पाठ का विषय: फ़ंक्शन ग्राफ़ के स्पर्शरेखा का समीकरण। अब हमें फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा का समीकरण मिलता है। मूल विभेदन सूत्र

स्लाइड 8

दो रेखाएँ समानांतर होती हैं यदि और केवल यदि उनकी ढलानें समान हों

क्या रेखाएँ समानांतर हैं?

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मान लीजिए कि फलन y=f(x) का ग्राफ दिया गया है। इस पर एक बिंदु M(a;f(a)) चुना जाता है, इस बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर एक स्पर्शरेखा खींची जाती है (हम मानते हैं कि यह मौजूद है)। स्पर्शरेखा का ढलान ज्ञात कीजिए।

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व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ

यदि एक स्पर्शरेखा जो y अक्ष के समानांतर नहीं है, उसे एक बिंदु पर फ़ंक्शन y \u003d f (x) के ग्राफ़ पर खींचा जा सकता है, तो यह स्पर्शरेखा के ढलान को व्यक्त करता है

स्लाइड 11

किसी बिंदु पर व्युत्पन्न उस बिंदु पर फ़ंक्शन y = f(x) के ग्राफ के स्पर्शरेखा के ढलान के बराबर है। वे। इसके अलावा, यदि: .

स्लाइड 12

स्पर्शरेखा समीकरण की व्युत्पत्ति

मान लीजिए कि सीधी रेखा समीकरण द्वारा दी गई है: फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा का समीकरण

स्लाइड 13

स्पर्शरेखा के लिए एक समीकरण लिखें:

किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर

स्लाइड 14

किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर

स्लाइड 15

फ़ंक्शन y=f(x) के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा का समीकरण खोजने के लिए एल्गोरिदम।

आइए संपर्क बिंदु के भुज को अक्षर x=a से निरूपित करें। चलिए हिसाब लगाते हैं. आइए खोजें और प्राप्त संख्याओं को सूत्र में प्रतिस्थापित करें

स्लाइड 16

किसी बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा के लिए एक समीकरण लिखें।

स्लाइड 17

फ़ंक्शन ग्राफ़ पर एक स्पर्शरेखा बनाएं ताकि वह सीधी रेखा के समानांतर हो।

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स्वतंत्र काम

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पाठ्यपुस्तक से संख्याएँ

क्रमांक 29.3 (ए, सी) क्रमांक 29.12 (बी, डी) क्रमांक 29.18 क्रमांक 29.23 (ए)

स्लाइड 21

प्रश्नों के उत्तर दें:

किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्श रेखा क्या कहलाती है? व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ क्या है? स्पर्शरेखा समीकरण ज्ञात करने के लिए एक एल्गोरिदम तैयार करें?

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गृहकार्य

क्रमांक 29.3 (बी, डी) क्रमांक 29.12 (ए, सी) क्रमांक 29.19 क्रमांक 29.23 (बी)

स्लाइड 23

साहित्य

बीजगणित और गणितीय विश्लेषण की शुरुआत: प्रोक। 10-11 कोशिकाओं के लिए. शैक्षणिक संस्थानों के छात्रों के लिए (बुनियादी स्तर) / ए.जी. द्वारा संपादित। मोर्दकोविच. - एम.: मेनेमोसिन, 2009. बीजगणित और गणितीय विश्लेषण की शुरुआत: समस्या पुस्तक, 10-11 कोशिकाओं के लिए। शैक्षणिक संस्थानों के छात्रों के लिए (बुनियादी स्तर) / ए.जी. द्वारा संपादित। मोर्दकोविच. - एम.: मेनेमोसिने, 2009. बीजगणित और विश्लेषण की शुरुआत। ग्रेड 10-11 के लिए स्वतंत्र और नियंत्रण कार्य। / एर्शोवा ए.पी., गोलोबोरोडको वी.वी. - एम.: ILEKSA, 2010 USE 2010. गणित। कार्य बी8. कार्यपुस्तिका / ए.एल. सेमेनोव और आई.वी. यशचेंको द्वारा संपादित - एम.: एमटीएसएनएमओ पब्लिशिंग हाउस, 2010

सभी स्लाइड देखें

कक्षा 10 में पाठ योजना

"फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा का समीकरण"

पाठ का प्रकार: नए ज्ञान की प्राथमिक प्रस्तुति और प्रारंभिक विषय कौशल के निर्माण, विषय कौशल में महारत हासिल करने का पाठ।

पाठ का उपदेशात्मक कार्य: अवधारणाओं, नियमों, एल्गोरिदम के बारे में जागरूकता और आत्मसात सुनिश्चित करना; शैक्षिक समस्याओं को हल करने की स्थितियों में सैद्धांतिक प्रावधानों को लागू करने के लिए कौशल का निर्माण।

पाठ मकसद:निकालना फ़ंक्शन ग्राफ़ का स्पर्शरेखा समीकरण, किसी दिए गए बिंदु पर दिए गए फ़ंक्शन के लिए स्पर्शरेखा समीकरण लिखना सिखाएं।

नियोजित परिणाम:

ZUNs।छात्रों को चाहिए

जानें: बिंदु x पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा का समीकरण 0 ;

करने में सक्षम हो: किसी दिए गए बिंदु पर दिए गए फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा का एक समीकरण तैयार करें।

किसी दिए गए बिंदु पर दिए गए फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्श रेखा का समीकरण बनाने के कौशल का निर्माण।

उपकरण: बोर्ड, कंप्यूटर, प्रोजेक्टर, स्क्रीन, पाठ्यपुस्तकें, छात्र नोटबुक, स्टेशनरी।

शिक्षक: नेस्टरोवा स्वेतलाना युरेविना

1 स्लाइड. "किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा"

मौखिक कार्य का उद्देश्य छात्रों को एक नए विषय की धारणा के लिए तैयार करना है (पहले अध्ययन की गई सामग्री की पुनरावृत्ति)

10.01 – 10.03

ललाट

मौखिक कार्य

आज के पाठ के विषय को गुणात्मक रूप से समझने के लिए, हमें यह याद रखना होगा कि हमने पहले क्या पढ़ा था।

निम्नलिखित सवालों का जवाब दें।

2 स्लाइड.

कौन सा फ़ंक्शन ग्राफ़ एक सीधी रेखा है?(रैखिक)

कौन सा समीकरण एक रैखिक फलन को परिभाषित करता है?(य = क एक्स + बी )

पहले नंबर का नाम क्या है?एक्स »? ( ढलान गुणांक प्रत्यक्ष)

एक और समीकरणआप= क एक्स + बी ढलान वाली सीधी रेखा का समीकरण कहलाता है।

3 स्लाइड.

सीधी रेखा का ढलान कितना होता है?(सीधी रेखा के झुकाव के कोण का स्पर्शरेखा, जिसे यह सीधी रेखा ऑक्स अक्ष की सकारात्मक दिशा के साथ बनाती है)।

स्पर्शरेखा की परिभाषा तैयार करें:(बिंदु (x) से गुजरने वाली रेखा हे ; एफ (एक्स हे )), जिस खंड के साथ ग्राफ व्यावहारिक रूप से विलीन हो जाता है x पर अवकलनीय हे कार्य एफ x के निकट x मानों के लिए हे ).

4 स्लाइड.

अगर बिंदु x पर हे मौजूद यौगिक , वह मौजूद स्पर्शरेखा (गैर-ऊर्ध्वाधर) फ़ंक्शन के ग्राफ़ में बिंदु एक्स हे .

5 स्लाइड.

अगर एफ ’ ( एक्स 0 ) अस्तित्व में नहीं है, फिर स्पर्शरेखा भी

मौजूद नहीं है (फ़ंक्शन की तरह y = |x|),

या ऊर्ध्वाधर (जैसा कि ग्राफ़ y \u003d में है)। 3 √x).

6 स्लाइड.

याद रखें, x-अक्ष के साथ स्पर्शरेखा की सापेक्ष स्थिति क्या हो सकती है?

प्रत्यक्ष वृद्धि => ढलानक >0, टीजी> 0 => न्यूनकोण.

सीधी रेखा // OX अक्ष => ढलानक=0, टीजी= 0 => कोण = 0 0

सीधा अवरोही => ढलानक <0, टीजी < 0 =>अधिक कोण।

7 स्लाइड.

व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ:

स्पर्शरेखा का ढलान उस बिंदु पर फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के मान के बराबर होता है जहां स्पर्शरेखा खींची जाती है क = एफ `( एक्स हे ).

ठीक है, अच्छा हुआ, दोहराव ख़त्म हो गया है।

पाठ विषय. पाठ का लक्ष्य निर्धारित करना

10.03-10.05

चर्चा, बातचीत

निम्नलिखित कार्य पूरा करें:

एक फ़ंक्शन दिया गया वाई = एक्स 3 . लिखना स्पर्शरेखा समीकरण बिंदु x पर इस फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर 0 = 1.

संकट? हाँ। इसे कैसे हल करें? आपके पास क्या विकल्प हैं? आपको इस समस्या से निपटने में सहायता कहाँ से मिल सकती है? कौन से स्रोत? लेकिन क्या समस्या का समाधान संभव है? तो आपको क्या लगता है हमारे पाठ का विषय क्या होगा?

आज के पाठ का विषय"स्पर्शरेखा समीकरण" .

खैर, अब हमारे पाठ के लक्ष्य तैयार करें (बच्चे):

1. बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा के समीकरण व्युत्पन्न करेंएक्स हे .

2. किसी दिए गए फ़ंक्शन के लिए स्पर्शरेखा समीकरण लिखना सीखें।

हम नोटबुक खोलते हैं, हाशिये पर संख्या, "कक्षा कार्य", पाठ का विषय लिखते हैं।

नई सैद्धांतिक शैक्षिक सामग्री की प्राथमिक धारणा और आत्मसात

10.06- 10.12

ललाट

खोज - अनुसंधान

8 स्लाइड.

आइए इस व्यावहारिक समस्या का समाधान करें। मैं बोर्ड पर लिखता हूं - तुम देखो, मेरे साथ तर्क करो।

एक फ़ंक्शन दिया गया वाई = एक्स 3 . इस फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्श रेखा का समीकरण बिंदु x पर लिखना आवश्यक है 0 = 1.

हम तर्क देते हैं: ढलान के साथ एक सीधी रेखा के समीकरण का रूप है:आप= क एक्स + बी .

इसे लिखने के लिए हमें इसका मूल्य जानना होगाक और बी .

पता लगाते हैं क (व्युत्पन्न के ज्यामितीय अर्थ से):

क = एफ `( एक्स हे ) = एफ `(1) = 3 * 1 2 = 3, यानी क = 3 .

हमारा समीकरण बन जाता है:= 3x + बी .

याद रखें: यदि एक सीधी रेखा किसी दिए गए बिंदु से होकर गुजरती है, तो इस बिंदु के निर्देशांक को एक सीधी रेखा के समीकरण में प्रतिस्थापित करते समय, सही समानता प्राप्त की जानी चाहिए। इसलिए, हमें बिंदु की कोटि ज्ञात करने की आवश्यकता है - बिंदु x पर फ़ंक्शन का मान 0 = 1: एफ (1) =1 3 =1. स्पर्श बिंदु के निर्देशांक (1; 1) हैं।

हम पाए गए मानों को एक सीधी रेखा के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं, हमें मिलता है:

1 = 3 . 1+ बी ; मतलब बी=-2 .

पाए गए मानों को प्रतिस्थापित करेंक = 3 और बी=-2 एक सीधी रेखा के समीकरण में:y = 3x - 2.

समस्या हल हो गई।

9 स्लाइड.

और अब हम इसी समस्या को सामान्य रूप में हल करेंगे।

एक फ़ंक्शन दिया गया आप= एफ ( एक्स ), इस फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा का समीकरण बिंदु x पर लिखना आवश्यक है 0 .

हम उसी योजना के अनुसार तर्क देते हैं: ढलान के साथ एक सीधी रेखा के समीकरण का रूप होता है:आप= क एक्स + बी .

व्युत्पन्न के ज्यामितीय अर्थ से: क = एफ `( एक्स हे )=> आप= एफ `( एक्स हे ) * एक्स + बी .

बिंदु x पर फ़ंक्शन मान 0 हाँ एफ ( एक्स हे ), इसलिए स्पर्श रेखा निर्देशांक वाले बिंदु से होकर गुजरती है( एक्स 0 ; एफ ( एक्स हे ))=> एफ ( एक्स हे )= एफ `( एक्स हे ) * एक्स हे + बी .

इस रिकार्ड से व्यक्त करें बी : बी = एफ ( एक्स हे ) - एफ `( एक्स हे ) * एक्स हे .

एक सीधी रेखा के समीकरण में सभी भावों को प्रतिस्थापित करें:

आप= एफ `( एक्स हे ) * एक्स + बी = एफ `( एक्स हे ) * एक्स + एफ ( एक्स हे ) - एफ `( एक्स हे ) * एक्स हे = एफ `( एक्स हे ) * ( एक्स - एक्स हे )+ एफ ( एक्स हे ).

पाठ्यपुस्तक से तुलना करें (पृष्ठ 131)

कृपया पाठ्यपुस्तक के पाठ में स्पर्शरेखा समीकरण की प्रविष्टि ढूंढें और जो हमें मिला उससे तुलना करें।

प्रविष्टि थोड़ी भिन्न है (किससे?), लेकिन यह सही है।

स्पर्शरेखा समीकरण को निम्नलिखित रूप में लिखने की प्रथा है:

आप= एफ ( एक्स हे ) + एफ `( एक्स हे )( एक्स - एक्स हे )

इस सूत्र को अपनी नोटबुक में लिखें और हाइलाइट करें - आपको यह अवश्य पता होना चाहिए!

9 स्लाइड.

और अब आइए स्पर्शरेखा समीकरण खोजने के लिए एक एल्गोरिदम बनाएं। सभी "संकेत" सूत्र में हैं।

किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन का मान ज्ञात करेंएक्स हे

किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की गणना करें

किसी बिंदु पर किसी फलन के अवकलज का मान ज्ञात कीजिएएक्स हे

परिणामी संख्याओं को सूत्र में रखें

य = एफ ( एक्स हे ) + एफ `( एक्स हे )( एक्स – एक्स हे )

समीकरण को मानक रूप में लाएँ

प्राथमिक कौशल का विकास

10.12-10.14

ललाट

लिखित+संयुक्त चर्चा

यह फॉर्मूला कैसे काम करता है? आइए एक उदाहरण देखें. हम एक नोटबुक में एक उदाहरण लिखते हैं।

फ़ंक्शन f के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा का समीकरण लिखें (एक्स) = x 3 - 2x 2 + 1 भुज 2 के साथ बिंदु पर।

हम समीकरण की व्युत्पत्ति बोर्ड और नोटबुक में रिकॉर्ड करके करते हैं।

उत्तर: y = 4x - 7.

सूचना के स्रोत के साथ कार्य करना

10.14-10.15

व्यक्ति

पाठ पढ़ना, चर्चा

पी पर पाठ्यपुस्तक में देखें। 131, उदाहरण 2. बिंदु 3 तक पढ़ें। इस उदाहरण में यह किस बारे में है? (आप किसी दिए गए फ़ंक्शन के लिए सामान्य रूप में एक समीकरण बना सकते हैं और फिर x के किसी भी मान के लिए स्पर्शरेखा समीकरण ढूंढ सकते हैं 0 , और आप ऑक्स अक्ष के साथ मानक परवलय की स्पर्शरेखा का प्रतिच्छेदन बिंदु भी पा सकते हैं

गतिशील विराम

10.15-10.16

आराम

आराम का एक पल.

स्लाइड - शरीर के लिए व्यायाम, आँखों के लिए व्यायाम।

अभ्यास करने और समस्याओं को हल करने की स्थितियों में सैद्धांतिक प्रावधानों का अनुप्रयोग

10.16- 10.30

ललाट, व्यक्तिगत

लिखित (बोर्ड + नोटबुक)

खैर, अब व्यावहारिक कार्य पर आते हैं, जिसका उद्देश्य स्पर्शरेखा समीकरण संकलित करने का कौशल तैयार करना है।

बोर्ड पर क्रमांक 255 (ए, बी), 256 (ए, बी) लिखें।आरक्षित 257 (ए, बी),* .

* - सबसे अधिक तैयार छात्रों के लिए जटिलता के अगले स्तर का कार्य: एक परवलय पर y = 3x 2 - 4x + 6 उस बिंदु को ढूंढें जहां रेखा स्पर्शरेखा // y \u003d 2x + 4 है और इस बिंदु पर परवलय के स्पर्शरेखा का समीकरण लिखें।

छात्रों को बोर्ड में (बदले में) काम करने के लिए आमंत्रित किया जाता है।

उत्तर:

№255

a) y = - 3x - 6, y = - 3x + 6 b) y = 2x, y = - 2x +4

№256

a) y = 3, y = - 3x + 3π b) y = 2x + 1 - π / 2, y = 4x + √3 - 4 π / 3

№257 (आरक्षित)

ए) एक्स \u003d 1, वाई \u003d 1, टी में। (1; 1) स्पर्शरेखा // ऑक्स

बी) एक्स \u003d - 2, वाई \u003d - 24, टी में। (-2; -24) स्पर्शरेखा // ओह

कार्य *उत्तर:

ए (1; 5), स्पर्शरेखा समीकरण y \u003d 2x + 3।

कौशल का स्वतंत्र उपयोग

10.30-10.35

समूह, व्यक्तिगत, स्वतंत्र

लिखित (नोटबुक), जोड़ियों में काम की चर्चा

तो हम क्या कर रहे थे? सामग्री को कौन समझता है? प्रश्न किसके पास हैं? हम पाठ के विषय को समझने का आत्म-नियंत्रण करेंगे।

आप जोड़ियों में काम करेंगे - टेबल पर आपके पास कार्यों वाले कार्ड होंगे। कार्य को ध्यान से पढ़ें, कार्य को पूरा करने के लिए 4-5 मिनट का समय दिया जाता है।

कार्य: किसी दिए गए फ़ंक्शन के स्पर्शरेखा के लिए एक समीकरण लिखेंएफ(एक्स) किसी दिए गए भुज के साथ एक बिंदु पर।

मैं: एफ( एक्स) = एक्स 2 - 2x - 8, भुज -1 के साथ बिंदु पर. उत्तर: y = -4x - 9.

द्वितीय: एफ( एक्स) = 2x 2 - 4x + 12, भुज 2 के साथ बिंदु पर. उत्तर: y = 4x + 4.

तृतीय: एफ( एक्स) = 3x 2 - x - 9, भुज 1 के साथ बिंदु पर. उत्तर: y = 5x -12।

चतुर्थ: एफ( एक्स) = 4x 2 + 2x + 3, भुज -0.5 वाले बिंदु पर. उत्तर: y = -2x + 2.

स्वतंत्र कार्य के प्रदर्शन की जाँच करना

10.35-10.37

ललाट, समूह

मॉडल, चर्चा के अनुसार आत्म-नियंत्रण का अभ्यास करना

बोर्ड पर (रोटरी) उत्तर। विद्यार्थी स्वयं परीक्षण करें।

समान उत्तर किसे मिले?

कौन सहमत नहीं था?

आपने कहां गलती की?

व्युत्पन्न के ज्यामितीय अर्थ को समेकित करने के लिए छात्रों के लिए प्रश्न:

उन रेखाओं के नाम बताइए जो x-अक्ष को न्यून कोण पर प्रतिच्छेद करती हैं।

उन रेखाओं का नाम बताइए जो //अक्ष ऑक्स.

उन रेखाओं का नाम बताइए जो x-अक्ष के साथ एक कोण बनाती हैं जिनकी स्पर्शरेखा एक ऋणात्मक संख्या है।

गतिविधि का प्रतिबिंब

10.37-10.39

ललाट

बातचीत

पाठ का सारांश.

क्या समस्या हैपाठ के दौरान हमारे सामने उपस्थित हुए? (स्पर्शरेखा समीकरण लिखना आवश्यक था, लेकिन हमें नहीं पता था कि यह कैसे करना है)

इस पाठ के लिए हमारे लक्ष्य क्या हैं? (स्पर्शरेखा समीकरण घटाएं, किसी दिए गए बिंदु पर दिए गए फ़ंक्शन के लिए स्पर्शरेखा समीकरण लिखना सीखें)

क्या आपने पाठ के उद्देश्यों को प्राप्त किया?

आपमें से कितने लोग विश्वास के साथ कह सकते हैं कि आपने स्पर्शरेखा का समीकरण लिखना सीख लिया है?

और किसके पास प्रश्न हैं? हम निश्चित रूप से इस विषय पर काम करना जारी रखेंगे और मुझे आशा है कि आपकी समस्याएं 100% हल हो जाएंगी!

गृहकार्य

10.39-10.40

अपना होमवर्क लिखें - क्रमांक 255 (वीजी), 256 (वीजी), 257 (वीजी),* , सूत्र!!!

अपने होमवर्क असाइनमेंट के लिए अपनी पाठ्यपुस्तक देखें।

№№ 255(वीजी), 256(वीजी) - स्पर्शरेखा समीकरण लिखने का कौशल विकसित करने पर कक्षा कार्य जारी रखना।

* - उन लोगों के लिए कठिनाई के अगले स्तर का कार्य जो स्वयं का परीक्षण करना चाहते हैं:

एक परवलय पर y = x 2 + 5x - 16 वह बिंदु ज्ञात करें जहां रेखा स्पर्शरेखा है // 5x+y+4 =0.

आपके काम के लिए धन्यवाद। पाठ ख़त्म हो गया.

वीडियो ट्यूटोरियल "फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा का समीकरण" विषय में महारत हासिल करने के लिए शैक्षिक सामग्री प्रदर्शित करता है। वीडियो पाठ के दौरान, किसी दिए गए बिंदु पर किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा के समीकरण की अवधारणा के निर्माण के लिए आवश्यक सैद्धांतिक सामग्री प्रस्तुत की जाती है, ऐसे स्पर्शरेखा को खोजने के लिए एल्गोरिथ्म, अध्ययन किए गए सैद्धांतिक का उपयोग करके समस्याओं को हल करने के उदाहरण सामग्री का वर्णन किया गया है।

वीडियो ट्यूटोरियल उन तरीकों का उपयोग करता है जो सामग्री की दृश्यता में सुधार करते हैं। चित्र, आरेख दृश्य में डाले जाते हैं, महत्वपूर्ण ध्वनि टिप्पणियाँ दी जाती हैं, एनीमेशन, रंग हाइलाइटिंग और अन्य उपकरण लागू किए जाते हैं।

वीडियो पाठ पाठ के विषय की प्रस्तुति और बिंदु M(a;f(a)) पर कुछ फ़ंक्शन y=f(x) के ग्राफ की स्पर्शरेखा की छवि के साथ शुरू होता है। यह ज्ञात है कि किसी दिए गए बिंदु पर ग्राफ़ पर खींची गई स्पर्शरेखा का ढलान किसी दिए गए बिंदु पर फ़ंक्शन f΄(a) के व्युत्पन्न के बराबर है। बीजगणित के पाठ्यक्रम से भी सीधी रेखा y=kx+m का समीकरण ज्ञात होता है। किसी बिंदु पर स्पर्शरेखा समीकरण ज्ञात करने की समस्या का समाधान योजनाबद्ध रूप से प्रस्तुत किया गया है, जो गुणांक k, m ज्ञात करने तक सीमित हो जाता है। फ़ंक्शन के ग्राफ़ से संबंधित बिंदु के निर्देशांक जानने के बाद, हम स्पर्शरेखा f(a)=ka+m के समीकरण में निर्देशांक के मान को प्रतिस्थापित करके m पा सकते हैं। इससे हमें m=f(a)-ka मिलता है। इस प्रकार, किसी दिए गए बिंदु पर व्युत्पन्न का मान और बिंदु के निर्देशांक को जानकर, हम स्पर्शरेखा समीकरण को इस प्रकार निरूपित कर सकते हैं y=f(a)+f΄(a)(x-a)।

योजना का अनुसरण करते हुए स्पर्शरेखा समीकरण बनाने का एक उदाहरण निम्नलिखित है। एक फलन y=x 2 , x=-2 दिया गया है। a=-2 को स्वीकार करने के बाद, हम इस बिंदु पर फ़ंक्शन का मान पाते हैं f(a)= f(-2)=(-2) 2 =4. हम फलन f΄(х)=2х का अवकलज निर्धारित करते हैं। इस बिंदु पर, व्युत्पन्न f΄(a)= f΄(-2)=2 (-2)=-4 के बराबर है। समीकरण संकलित करने के लिए, सभी गुणांक a=-2, f(a)=4, f΄(a)=-4 पाए जाते हैं, इसलिए स्पर्शरेखा समीकरण y=4+(-4)(x+2)। समीकरण को सरल बनाने पर, हमें y = -4-4x प्राप्त होता है।

निम्नलिखित उदाहरण में, फ़ंक्शन y=tgx के ग्राफ़ के मूल में स्पर्शरेखा के समीकरण को तैयार करने का प्रस्ताव है। इस बिंदु पर a=0, f(0)=0, f΄(х)=1/cos 2 x, f΄(0)=1. तो स्पर्शरेखा समीकरण y=x जैसा दिखता है।

सामान्यीकरण के रूप में, किसी बिंदु पर फ़ंक्शन ग्राफ़ के स्पर्शरेखा के समीकरण को संकलित करने की प्रक्रिया को 4 चरणों वाले एल्गोरिदम के रूप में औपचारिक रूप दिया जाता है:

• संपर्क बिंदु के भुज के लिए एक पदनाम पेश किया गया है;
• एफ(ए) की गणना की जाती है;
• F΄(х) निर्धारित किया जाता है और f΄(a) की गणना की जाती है। पाए गए मान a, f(a), f΄(a) को स्पर्शरेखा समीकरण y=f(a)+f΄(a)(x-a) के सूत्र में प्रतिस्थापित किया जाता है।

उदाहरण 1 बिंदु x = 1 पर फ़ंक्शन y = 1 / x के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा के समीकरण के संकलन पर विचार करता है। हम समस्या को हल करने के लिए एक एल्गोरिदम का उपयोग करते हैं। बिंदु a=1 पर इस फ़ंक्शन के लिए, फ़ंक्शन का मान f(a)=-1 है। फलन f΄(х)=1/х 2 का व्युत्पन्न। बिंदु a=1 पर, अवकलज f΄(a)= f΄(1)=1. प्राप्त आंकड़ों का उपयोग करते हुए, स्पर्शरेखा y \u003d -1 + (x-1), या y \u003d x-2 का समीकरण संकलित किया जाता है।

उदाहरण 2 में, आपको फ़ंक्शन y \u003d x 3 +3x 2 -2x-2 के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा का समीकरण खोजने की आवश्यकता है। मुख्य स्थिति स्पर्शरेखा और सीधी रेखा y \u003d -2x + 1 की समानता है। सबसे पहले, हम स्पर्शरेखा का ढलान पाते हैं, जो सीधी रेखा y \u003d -2x + 1 के ढलान के बराबर है। चूँकि इस सीधी रेखा के लिए f΄(a)=-2, वांछित स्पर्शरेखा के लिए k=-2 है। हम फ़ंक्शन का व्युत्पन्न पाते हैं (x 3 + 3x 2 -2x-2) ΄ \u003d 3x 2 + 6x-2। यह जानते हुए कि f΄(a)=-2, हम बिंदु 3а 2 +6а-2=-2 के निर्देशांक पाते हैं। समीकरण को हल करने पर, हमें 1 = 0, और 2 = -2 प्राप्त होता है। पाए गए निर्देशांक का उपयोग करके, आप एक प्रसिद्ध एल्गोरिदम का उपयोग करके स्पर्शरेखा समीकरण पा सकते हैं। हम बिंदुओं f(a 1)=-2, f(a 2)=-18 पर फ़ंक्शन का मान पाते हैं। बिंदु f΄(а 1)=f΄(а 2)=-2 पर अवकलज का मान। पाए गए मानों को स्पर्शरेखा समीकरण में प्रतिस्थापित करते हुए, हम पहले बिंदु a 1 \u003d 0 y \u003d -2x-2 के लिए प्राप्त करते हैं, और दूसरे बिंदु a 2 \u003d -2 के लिए स्पर्शरेखा समीकरण y \u003d -2x- प्राप्त करते हैं। 22.

उदाहरण 3 फ़ंक्शन y=√x के ग्राफ़ के बिंदु (0;3) पर इसके चित्रण के लिए स्पर्शरेखा समीकरण के निर्माण का वर्णन करता है। निर्णय ज्ञात एल्गोरिथम के अनुसार किया जाता है। स्पर्श बिंदु के निर्देशांक x=a हैं, जहां a>0। बिंदु f(a)=√x पर फ़ंक्शन का मान। फ़ंक्शन का व्युत्पन्न f΄(х)=1/2√х, इसलिए, दिए गए बिंदु पर f΄(а)=1/2√а. सभी प्राप्त मानों को स्पर्शरेखा समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हमें y \u003d √a + (x-a) / 2√a मिलता है। समीकरण को बदलने पर, हमें y=x/2√a+√a/2 मिलता है। यह जानते हुए कि स्पर्श रेखा बिंदु (0; 3) से होकर गुजरती है, हम a का मान ज्ञात करते हैं। 3=√a/2 से a ज्ञात कीजिये। अत: √a=6, a=36। हम स्पर्शरेखा y \u003d x / 12 + 3 का समीकरण पाते हैं। यह आंकड़ा विचाराधीन फ़ंक्शन का ग्राफ़ और निर्मित वांछित स्पर्शरेखा दिखाता है।

छात्रों को अनुमानित समानताएं Δy=≈f΄(x)Δxand f(x+Δx)-f(x)≈f΄(x)Δx याद दिलाई जाती हैं। x=a, x+Δx=x, Δx=x-a लेते हुए, हमें f(x)- f(a)≈f΄(a)(x-a) मिलता है, इसलिए f(x)≈f(a)+ f΄( ए)(एक्स-ए)।

उदाहरण 4 में, अभिव्यक्ति 2.003 6 का अनुमानित मान ज्ञात करना आवश्यक है। चूँकि बिंदु x = 2.003 पर फ़ंक्शन f (x) = x 6 का मान ज्ञात करना आवश्यक है, हम f (x) = x 6, a = 2 लेते हुए प्रसिद्ध सूत्र का उपयोग कर सकते हैं। , f (a) = f (2) = 64, f ΄(x)=6х 5 . बिंदु f΄(2)=192 पर व्युत्पन्न। इसलिए, 2.003 6 ≈65-192 0.003. व्यंजक की गणना करने पर हमें 2.003 6 ≈64.576 प्राप्त होता है।

वीडियो पाठ "फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा का समीकरण" को स्कूल में पारंपरिक गणित पाठ में उपयोग के लिए अनुशंसित किया गया है। दूरस्थ शिक्षा शिक्षक के लिए, वीडियो सामग्री विषय को अधिक स्पष्ट रूप से समझाने में मदद करेगी। यदि आवश्यक हो तो विषय की समझ को गहरा करने के लिए छात्रों द्वारा आत्म-विचार के लिए वीडियो की सिफारिश की जा सकती है।

पाठ व्याख्या:

हम जानते हैं कि यदि बिंदु M (a; f (a)) (em निर्देशांक a और eff से a) फ़ंक्शन y \u003d f (x) के ग्राफ से संबंधित है और यदि इस बिंदु पर एक स्पर्शरेखा खींची जा सकती है फ़ंक्शन का ग्राफ़, अक्ष भुज के लंबवत नहीं है, तो स्पर्शरेखा का ढलान f "(a) (a से ef स्ट्रोक) है।

मान लीजिए कि एक फ़ंक्शन y = f(x) और एक बिंदु M (a; f(a)) दिया गया है, और यह भी ज्ञात है कि f´(a) मौजूद है। आइए किसी दिए गए बिंदु पर दिए गए फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा का समीकरण बनाएं। यह समीकरण, किसी भी सीधी रेखा के समीकरण की तरह जो y-अक्ष के समानांतर नहीं है, का रूप y = kx + m है (y, ka x प्लस em के बराबर है), इसलिए कार्य गुणांक के मान ज्ञात करना है के और एम. (का और एम)

ढलान k \u003d f "(a)। m के मान की गणना करने के लिए, हम इस तथ्य का उपयोग करते हैं कि वांछित सीधी रेखा बिंदु M (a; f (a)) से होकर गुजरती है। इसका मतलब यह है कि यदि हम निर्देशांक को प्रतिस्थापित करते हैं सीधी रेखा के समीकरण में बिंदु M पर, हमें सही समानता मिलती है: f(a) = ka+m, जहाँ से हम पाते हैं कि m = f(a) - ka।

यह गुणांक Ki और m के पाए गए मानों को एक सीधी रेखा के समीकरण में प्रतिस्थापित करना बाकी है:

y = kx+(f(a)-ka);

y = f(a)+k(x-a);

य= एफ(ए)+ एफ"(ए) (एक्स- ए). ( Y, x घटा a से गुणा किए गए प्लस ef स्ट्रोक से eff के बराबर है)।

हमने बिंदु x=a पर फ़ंक्शन y = f(x) के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा का समीकरण प्राप्त कर लिया है।

यदि, कहें, y \u003d x 2 और x \u003d -2 (यानी a \u003d -2), तो f (a) \u003d f (-2) \u003d (-2) 2 \u003d 4; f´(x) = 2x, इसलिए f "(a) = f´(-2) = 2 (-2) = -4। (तब a से eff चार के बराबर है, x से eff अभाज्य है दो x के बराबर, जिसका अर्थ है कि a से ef स्ट्रोक शून्य से चार के बराबर है)

समीकरण में पाए गए मान a = -2, f (a) = 4, f "(a) = -4 को प्रतिस्थापित करने पर, हमें मिलता है: y = 4 + (-4) (x + 2) , यानी y \u003d -4x -4।

(y शून्य से चार x शून्य से चार के बराबर है)

आइए मूल बिंदु पर फ़ंक्शन y \u003d tgx (y स्पर्शरेखा x के बराबर है) के ग्राफ की स्पर्शरेखा का समीकरण बनाएं। हमारे पास है: a = 0, f(0) = tg0=0;

f"(x)= , इसलिए f"(0) = l. समीकरण में पाए गए मान a=0, f(a)=0, f´(a) = 1 को प्रतिस्थापित करने पर, हमें मिलता है: y=x।

हम एल्गोरिथम का उपयोग करके बिंदु x पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा के समीकरण को खोजने के लिए अपने चरणों को सामान्यीकृत करते हैं।

ग्राफ़ y \u003d f (x) के स्पर्शरेखा फ़ंक्शन के समीकरण की रचना के लिए एल्गोरिदम:

1) संपर्क बिंदु के भुज को अक्षर a से निर्दिष्ट करें।

2) f(a) की गणना करें।

3) f´(x) खोजें और f´(a) की गणना करें।

4) सूत्र में प्राप्त संख्याओं a, f(a), f´(a) को प्रतिस्थापित करें य= एफ(ए)+ एफ"(ए) (एक्स- ए).

उदाहरण 1. फ़ंक्शन y \u003d - in के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा का समीकरण लिखें

बिंदु x = 1.

समाधान। आइए इस उदाहरण पर विचार करते हुए एल्गोरिथम का उपयोग करें

2) f(a)=f(1)=-=-1

3)f´(x)=; f´(a)= f´(1)= =1.

4) प्राप्त तीन संख्याओं को प्रतिस्थापित करें: a = 1, f (a) = -1, f "(a) = 1 सूत्र में। हमें मिलता है: y = -1 + (x-1), y = x-2.

उत्तर: y = x-2.

उदाहरण 2. एक फलन y = दिया गया है एक्स 3 +3एक्स 2 -2एक्स-2. फ़ंक्शन y = f (x) के ग्राफ़ की स्पर्श रेखा का समीकरण, सीधी रेखा y = -2x +1 के समानांतर लिखें।

स्पर्शरेखा समीकरण को संकलित करने के लिए एल्गोरिदम का उपयोग करते हुए, हम इस बात को ध्यान में रखते हैं कि इस उदाहरण में f(x) = एक्स 3 +3एक्स 2 -2एक्स-2, लेकिन स्पर्श बिंदु का भुज यहां निर्दिष्ट नहीं है।

चलिए ऐसे ही बात शुरू करते हैं. वांछित स्पर्श रेखा सीधी रेखा y = -2x + 1 के समानांतर होनी चाहिए। और समानान्तर रेखाओं का ढलान समान होता है। इसलिए, स्पर्शरेखा का ढलान दी गई सीधी रेखा के ढलान के बराबर है: k cas. = -2. होक कैस. = f "(a)। इस प्रकार, हम समीकरण f ´ (a) = -2 से a का मान ज्ञात कर सकते हैं।

आइए फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें आप=एफ(एक्स):

एफ"(एक्स) = (x 3 + 3x 2 -2x-2)´ = 3x 2 + 6x-2;एफ"(ए) = 3ए 2 + 6ए-2।

समीकरण f "(a) = -2 से, अर्थात। 3ए 2 +6ए-2\u003d -2 हमें 1 \u003d 0, ए 2 \u003d -2 मिलता है। इसका मतलब यह है कि दो स्पर्शरेखाएं हैं जो समस्या की शर्तों को पूरा करती हैं: एक एब्सिस्सा 0 वाले बिंदु पर, दूसरी एब्सिस्सा -2 वाले बिंदु पर।

अब आप एल्गोरिथम के अनुसार कार्य कर सकते हैं।

1) ए 1 = 0, और 2 = -2।

2) एफ(ए 1) = 0 3 +3 0 2 -2∙0-2=-2; f(a2)= (-2) 3 +3 (-2) 2 -2 (-2)-2=6;

3) एफ "(ए 1) = एफ" (ए 2) = -2।

4) मान a 1 = 0, f (a 1) = -2, f "(a 1) = -2 को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हमें मिलता है:

y=-2-2(x-0), y=-2x-2.

मान a 2 = -2, f (a 2) = 6, f "(a 2) = -2 को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

y=6-2(x+2), y=-2x+2.

उत्तर: y=-2x-2, y=-2x+2.

उदाहरण 3. बिंदु (0; 3) से फ़ंक्शन y \u003d के ग्राफ पर एक स्पर्शरेखा खींचें। समाधान। आइए स्पर्शरेखा समीकरण को संकलित करने के लिए एल्गोरिदम का उपयोग करें, यह देखते हुए कि इस उदाहरण में f(x) = है। ध्यान दें कि यहां, उदाहरण 2 की तरह, स्पर्श बिंदु का भुज स्पष्ट रूप से इंगित नहीं किया गया है। फिर भी, हम एल्गोरिथम के अनुसार कार्य करते हैं।

1) मान लीजिए x = a संपर्क बिंदु का भुज है; यह स्पष्ट है कि a > 0.

3)f´(x)=()´=; f´(ए) =.

4) मान a, f(a) = , f "(a) = को सूत्र में प्रतिस्थापित करना

y \u003d f (a) + f "(a) (x-a), हम पाते हैं:

शर्त के अनुसार, स्पर्शरेखा बिंदु (0; 3) से होकर गुजरती है। समीकरण में x = 0, y = 3 मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें मिलता है: 3 =, और फिर =6, a =36।

जैसा कि आप देख सकते हैं, इस उदाहरण में, एल्गोरिदम के केवल चौथे चरण में हम स्पर्श बिंदु का भुज खोजने में कामयाब रहे। समीकरण में मान a =36 रखने पर, हमें मिलता है: y=+3

अंजीर पर. चित्र 1 सुविचारित उदाहरण का एक ज्यामितीय चित्रण प्रस्तुत करता है: फ़ंक्शन y \u003d का एक ग्राफ़ प्लॉट किया गया है, एक सीधी रेखा y \u003d +3 खींची गई है।

उत्तर: y = +3.

हम जानते हैं कि फ़ंक्शन y = f(x) के लिए, जिसका बिंदु x पर व्युत्पन्न है, अनुमानित समानता मान्य है: Δyf´(x)Δx

या, अधिक विस्तार से, f(x+Δx)-f(x) f´(x) Δx (x से ef प्लस डेल्टा x घटा x से ef लगभग x से डेल्टा x तक ef prime के बराबर है)।

आगे तर्क की सुविधा के लिए, हम संकेतन बदलते हैं:

x की जगह हम लिखेंगे ए,

x + Δx के स्थान पर हम x लिखेंगे

Δx के स्थान पर हम x-a लिखेंगे।

तब ऊपर लिखी अनुमानित समानता का रूप ले लेगी:

f(x)-f(a)f´(a)(x-a)

f(x)f(a)+f´(a)(x-a). (x से ef लगभग a से ef स्ट्रोक के बराबर है, x और a के बीच के अंतर से गुणा किया गया है)।

उदाहरण 4. संख्यात्मक अभिव्यक्ति 2.003 6 का अनुमानित मान ज्ञात कीजिए।

समाधान। हम बिंदु x = 2.003 पर फ़ंक्शन y = x 6 का मान ज्ञात करने के बारे में बात कर रहे हैं। आइए सूत्र f(x)f(a)+f´(a)(x-a) का उपयोग करें, यह मानते हुए कि इस उदाहरण में f(x)=x 6 , a = 2,f(a) = f(2) = 2 6 =64; x = 2.003, f "(x) = 6x 5 और, इसलिए, f" (ए) = f "(2) = 6 2 5 = 192।

परिणामस्वरूप, हमें मिलता है:

2.003 6 64+192 0.003, अर्थात्। 2.003 6 = 64.576.

यदि हम कैलकुलेटर का उपयोग करते हैं, तो हमें मिलता है:

2,003 6 = 64,5781643...

जैसा कि आप देख सकते हैं, सन्निकटन सटीकता काफी स्वीकार्य है।

कक्षा: 10

पाठ के लिए प्रस्तुति

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पाठ का प्रकार:नई सामग्री सीखना.

शिक्षण विधियाँ: दृश्य, आंशिक रूप से खोज।

पाठ का उद्देश्य.

1. किसी बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ में स्पर्शरेखा की अवधारणा का परिचय दें, पता लगाएं कि व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ क्या है, स्पर्शरेखा समीकरण प्राप्त करें और सिखाएं कि इसे विशिष्ट कार्यों के लिए कैसे खोजना है।
2. तार्किक सोच, गणितीय भाषण विकसित करें।
3. अंतिम परिणाम प्राप्त करने के लिए इच्छाशक्ति और दृढ़ता विकसित करें।

उपकरण: इंटरैक्टिव बोर्ड, कंप्यूटर।

शिक्षण योजना

I. संगठनात्मक क्षण

पाठ के लिए विद्यार्थियों की तैयारी की जाँच करना। पाठ के विषय और उद्देश्यों के बारे में संदेश.

द्वितीय. ज्ञान अद्यतन.

(छात्रों के साथ किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा की ज्यामितीय परिभाषा को याद करें। ऐसे उदाहरण दें जो दर्शाते हों कि यह कथन पूर्ण नहीं है।)

याद कीजिए स्पर्शरेखा क्या है?

"स्पर्शरेखा एक सीधी रेखा है जिसका किसी दिए गए वक्र के साथ एक उभयनिष्ठ बिंदु होता है।" (स्लाइड #2)

इस परिभाषा की सत्यता पर चर्चा. (चर्चा के बाद, छात्र इस निष्कर्ष पर पहुंचे कि यह परिभाषा गलत है।) उनके निष्कर्ष को स्पष्ट करने के लिए, हम निम्नलिखित उदाहरण देते हैं।

एक उदाहरण पर विचार करें. (स्लाइड #3)

मान लीजिए एक परवलय और दो सीधी रेखाएँ दी गई हैं , जिसका इस परवलय के साथ एक उभयनिष्ठ बिंदु M (1; 1) है। इस बात पर चर्चा चल रही है कि पहली रेखा इस परवलय की स्पर्शरेखा क्यों नहीं है (चित्र 1), लेकिन दूसरी है (चित्र 2)।

इस पाठ में, हमें यह पता लगाना होगा कि किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा क्या है, स्पर्शरेखा के लिए समीकरण कैसे लिखें?

स्पर्शरेखा समीकरण संकलित करने के मुख्य कार्यों पर विचार करें।

ऐसा करने के लिए, एक सीधी रेखा के समीकरण के सामान्य रूप, समानांतर रेखाओं की शर्तें, व्युत्पन्न की परिभाषा और विभेदन के नियमों को याद करें। (स्लाइड नंबर 4)

तृतीय. नई सामग्री के अध्ययन के लिए प्रारंभिक कार्य।

1. व्युत्पन्न की परिभाषा तैयार करें। (स्लाइड नंबर 5)
2. मनमाने प्राथमिक कार्यों की तालिका भरें। (स्लाइड संख्या 6)
3. विभेदन के नियम याद रखें. (स्लाइड संख्या 7)
4. निम्नलिखित में से कौन सी रेखाएँ समानांतर हैं और क्यों? (दृश्य रूप से सुनिश्चित करें) (स्लाइड संख्या 8)

IV नई सामग्री का अध्ययन.

किसी समतल पर एक सीधी रेखा का समीकरण निर्धारित करने के लिए, हमारे लिए एक बिंदु का ढलान और निर्देशांक जानना पर्याप्त है।

मान लीजिए कि फ़ंक्शन का ग्राफ़ दिया गया है. इस पर एक बिंदु चुना जाता है, इस बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर एक स्पर्शरेखा खींची जाती है (हम मानते हैं कि यह मौजूद है)। स्पर्शरेखा का ढलान ज्ञात कीजिए।

आइए तर्क को बढ़ाएं और ग्राफ़ (चित्र 3) पर भुज के साथ बिंदु P पर विचार करें। सेकेंड एमपी का ढलान, यानी। छेदक और x-अक्ष के बीच के कोण की स्पर्शरेखा की गणना सूत्र द्वारा की जाती है।

यदि हम अब शून्य की ओर प्रवृत्त होते हैं, तो बिंदु P वक्र के अनुदिश बिंदु M तक पहुंचना शुरू कर देगा। हमने इस सन्निकटन में स्पर्शरेखा को छेदक की सीमित स्थिति के रूप में चित्रित किया है। इसलिए, यह मान लेना स्वाभाविक है कि स्पर्शरेखा की ढलान की गणना सूत्र द्वारा की जाएगी।

इस तरह, ।

यदि फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर y = f (x) बिंदु पर है एक्स = एआप अक्ष के गैर-समानांतर स्पर्श रेखा खींच सकते हैं पर, फिर स्पर्शरेखा की ढलान को व्यक्त करता है। (स्लाइड नंबर 10)

या किसी अन्य तरीके से. एक बिंदु पर व्युत्पन्न एक्स = एफ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा के ढलान के बराबर वाई = एफ(एक्स)इस समय।

यह व्युत्पत्ति का ज्यामितीय अर्थ है। (स्लाइड संख्या 11)

इसके अलावा, यदि:

आइए स्पर्शरेखा समीकरण का सामान्य रूप जानें।

माना कि समीकरण द्वारा सीधी रेखा दी गई है। हम वह जानते हैं । एम की गणना करने के लिए, हम इस तथ्य का उपयोग करते हैं कि रेखा बिंदु से होकर गुजरती है। आइए इसे समीकरण में रखें। हमें मिलता है, अर्थात्। . पाए गए मानों को प्रतिस्थापित करें कऔर एमएक सीधी रेखा के समीकरण में:

उदाहरणों पर विचार करें:

आइए स्पर्शरेखा का समीकरण बनाएं:

(स्लाइड संख्या 14)

इन उदाहरणों को हल करते हुए, हमने एक बहुत ही सरल एल्गोरिदम का उपयोग किया, जो इस प्रकार है: (स्लाइड नंबर 15)

विशिष्ट कार्यों और उनके समाधान पर विचार करें.

№1 बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा का समीकरण लिखें।

(स्लाइड संख्या 16)

समाधान। आइए एल्गोरिदम का उपयोग करें, यह इस उदाहरण में दिया गया है।

2)

3) ;

4) प्राप्त संख्याओं को सूत्र में प्रतिस्थापित करें।

№2 फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर एक स्पर्शरेखा बनाएं ताकि वह सीधी रेखा के समानांतर हो। (स्लाइड संख्या 17)

समाधान। आइए हम समस्या के सूत्रीकरण को परिष्कृत करें। "स्पर्शरेखा खींचने" की आवश्यकता का आमतौर पर मतलब "स्पर्शरेखा के लिए एक समीकरण बनाना" होता है। आइए, इस उदाहरण में, स्पर्शरेखा आरेखण एल्गोरिदम का उपयोग करें।

वांछित स्पर्श रेखा सीधी रेखा के समानांतर होनी चाहिए। दो रेखाएँ समानांतर होती हैं यदि और केवल यदि उनकी ढलानें समान हों। अतः स्पर्शरेखा का ढलान दी गई सीधी रेखा के ढलान के बराबर होना चाहिए: .नहीं। इस तरह: ; ।, अर्थात।

वी. समस्या समाधान.

1. तैयार चित्रों पर समस्याओं का समाधान (स्लाइड संख्या 18 और स्लाइड संख्या 19)

2. पाठ्यपुस्तक से समस्याओं का समाधान: क्रमांक 29.3 (ए, सी), क्रमांक 29.12 (बी, डी), क्रमांक 29.18, क्रमांक 29.23 (ए) (स्लाइड क्रमांक 20)

VI. संक्षेपण।

1. प्रश्नों के उत्तर दें:

• किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्श रेखा क्या कहलाती है?
• व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ क्या है?
• स्पर्शरेखा समीकरण ज्ञात करने के लिए एक एल्गोरिदम तैयार करें?

2. पाठ में क्या कठिनाइयाँ थीं, पाठ के कौन से क्षण आपको सबसे अधिक पसंद आए?

3. अंकन.

सातवीं. गृहकार्य टिप्पणियाँ

क्रमांक 29.3 (बी, डी), क्रमांक 29.12 (ए, सी), क्रमांक 29.19, क्रमांक 29.23 (बी) (स्लाइड क्रमांक 22)

साहित्य। (स्लाइड 23)

1. बीजगणित और गणितीय विश्लेषण की शुरुआत: प्रोक। 10-11 कोशिकाओं के लिए. शैक्षणिक संस्थानों के छात्रों के लिए (बुनियादी स्तर) / ए.जी. द्वारा संपादित। मोर्दकोविच. - एम.: मेनेमोसिन, 2009।
2. बीजगणित और गणितीय विश्लेषण की शुरुआत: समस्या पुस्तक, 10-11 कोशिकाओं के लिए। शैक्षणिक संस्थानों के छात्रों के लिए (बुनियादी स्तर) / ए.जी. द्वारा संपादित। मोर्दकोविच. - एम.: मेनेमोसिन, 2009।
3. बीजगणित और विश्लेषण की शुरुआत. ग्रेड 10-11 के लिए स्वतंत्र और नियंत्रण कार्य। / एर्शोवा ए.पी., गोलोबोरोडको वी.वी. - एम.: इलेक्सा, 2010।
4. USE 2010. गणित। कार्य बी8. कार्यपुस्तिका / ए.एल. सेमेनोव और आई.वी. यशचेंको द्वारा संपादित - एम.: एमटीएसएनएमओ पब्लिशिंग हाउस, 2010।

अनुभाग: अंक शास्त्र

लक्ष्य।

• विभेदीकरण के नियमों को सामान्य बनाना और व्यवस्थित करना;
• फ़ंक्शन ग्राफ़ के स्पर्शरेखा के निर्माण के लिए एल्गोरिदम को दोहराएं, फ़ंक्शन का अध्ययन करने की योजना;
• फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मानों के उपयोग पर समस्याओं का समाधान करना।

उपकरण।पोस्टर “व्युत्पन्न। डेरिवेटिव की गणना के लिए नियम. व्युत्पन्न के अनुप्रयोग"।

कक्षाओं के दौरान

कार्ड के अनुसार छात्र सैद्धांतिक सामग्री दोहराते हैं।

1. किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को परिभाषित करें। विभेदीकरण किसे कहते हैं? किसी बिंदु पर किस फ़ंक्शन को अवकलनीय कहा जाता है?

(बिंदु x पर फ़ंक्शन f का व्युत्पन्न वह संख्या है जिस ओर अनुपात प्रवृत्त होता है

एक फ़ंक्शन जिसका एक बिंदु x 0 पर व्युत्पन्न होता है, उस बिंदु पर अवकलनीय कहलाता है। f का अवकलज ज्ञात करना विभेदन कहलाता है।)

2. अवकलज ज्ञात करने के नियम बनाइये।

(1. योग का व्युत्पन्न (u + v)"=u"+v";
2. स्थिर कारक के बारे में (Cu)"=Cu";
3. उत्पाद का व्युत्पन्न (uv)"=u"v+uv";
4. भिन्न का व्युत्पन्न (u / v) "= (u" v-uv ") / v 2;
5. पावर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न (x n)"=nx n+1 .)

3. निम्नलिखित कार्यों के व्युत्पन्न क्या हैं:

4. किसी जटिल फलन का व्युत्पन्न कैसे ज्ञात करें?

(हमें इसे लगातार प्राथमिक कार्यों के रूप में प्रस्तुत करना चाहिए और ज्ञात नियमों के अनुसार व्युत्पन्न लेना चाहिए)।

5. निम्नलिखित कार्यों के व्युत्पन्न क्या हैं:

6. व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ क्या है?

(किसी बिंदु पर व्युत्पन्न का अस्तित्व फ़ंक्शन के ग्राफ़ के बिंदु (x 0, f (x 0)) पर एक गैर-ऊर्ध्वाधर स्पर्शरेखा के अस्तित्व के बराबर है, और इस स्पर्शरेखा का ढलान f है "( x 0)).

7. बिंदु (x 0, f (x 0)) पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्श रेखा का समीकरण क्या है?

(स्पर्शरेखा समीकरण का रूप y \u003d f (x 0) + f "(x 0) (x-x 0) है)

8. व्युत्पन्न का उपयोग करके किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ बनाने के लिए एक एल्गोरिदम तैयार करें।

(1. OOF खोजें।
2. समानता के लिए जांच करें.
3. आवधिकता के लिए जांच करें.
4. निर्देशांक अक्षों के साथ ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदु खोजें।
5. फ़ंक्शन का व्युत्पन्न और उसके महत्वपूर्ण बिंदु खोजें।
6. फ़ंक्शन की एकरसता और चरम सीमा के अंतराल खोजें।
7. अध्ययन के परिणामों के आधार पर एक तालिका बनाएं।
8. फ़ंक्शन का ग्राफ़ बनाएं.)

9. ऐसे प्रमेय तैयार करें जिनकी सहायता से फ़ंक्शन ग्राफ़ बनाना फैशनेबल है।

(1. वृद्धि (कमी) का संकेत.
2. चरम का एक आवश्यक लक्षण.
3. अधिकतम (न्यूनतम) का चिह्न.)

10. कार्यों की अनुमानित गणना के लिए कौन से सूत्र मौजूद हैं?

व्यक्तिगत काम।

लेवल ए (तीन विकल्प), लेवल बी (एक विकल्प)।

लेवल ए

विकल्प 1।

1. फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा का समीकरण लिखें

f (x) = (x -1) 2 (x -3) 3 समानांतर रेखाएँ y = 5-24x।

2. संख्या 18 को तीन धनात्मक पदों के योग के रूप में लिखें ताकि एक पद दूसरे से दोगुना हो, और तीनों पदों का गुणनफल सबसे बड़ा हो।

4. फलन f(x)=(x-1) e x+1 की वृद्धि और कमी के अंतराल ज्ञात कीजिए।

विकल्प 2।

1. भुज x 0 = - 2 वाले बिंदु पर फलन f (x) = 0.x 2 + x-1.5 के ग्राफ की स्पर्शरेखा भुज से किस कोण पर है? इस स्पर्शरेखा के लिए समीकरण लिखें और इस समस्या के लिए चित्र पूरा करें।

2. जैसे बी.1.

3. फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें:

लेवल बी

1. फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें:

ए) एफ (एक्स) \u003d ई -5x;
बी) एफ(एक्स) = लॉग 3 (2एक्स 2 -3एक्स+1)।

2. यदि f (x) \u003d e -x, x 0 \u003d 1 है तो भुज x 0 वाले बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा का समीकरण लिखें।

3. फलन f(x)=x·e 2х के बढ़ने और घटने के अंतराल ज्ञात कीजिए।

पाठ का सारांश.

कार्य की जाँच की जाती है, सिद्धांत और अभ्यास के लिए एक अंक दिया जाता है।

होमवर्क व्यक्तिगत रूप से दिया जाता है:

ए) त्रिकोणमितीय कार्यों के व्युत्पन्न को दोहराएं;
बी) अंतराल विधि;
ग) व्युत्पन्न का यांत्रिक अर्थ।

2. ए: नंबर 138, नंबर 142, बी: नंबर 137 (ए, बी), नंबर 140 (ए)।

3. कार्यों का व्युत्पन्न लें:

ए) एफ(एक्स)=एक्स 4 -3एक्स 2 -7;
बी) f(x)=4x 3 -6x;
सी) f(x)=-2sin(2x-4);
d) f(x)=cos(2x-4).

4. फ़ंक्शन अनुसंधान योजना का नाम बताइए।