पूरा नंबर। पूर्णांक और परिमेय संख्याएँ. वास्तविक संख्या। पूर्णांक धनात्मक संख्याएँ. पूर्णांक ऋणात्मक संख्याएँ

किसी भी कार्य को प्रभावी ढंग से करने के लिए, आपको खुदाई करने के लिए उपकरणों की आवश्यकता होती है, आपको फावड़े या खुदाई करने वाले यंत्र की आवश्यकता होती है; सोचने के लिए आपको शब्दों की आवश्यकता है। संख्याएँ ऐसे उपकरण हैं जो आपको मात्राओं के साथ काम करने की अनुमति देते हैं।

ऐसा लगता है कि हम सभी जानते हैं कि संख्या क्या है: 1, 2, 3... लेकिन आइए उपकरणों के रूप में संख्याओं के बारे में बात करें।

आइए तीन वस्तुएँ लें: एक सेब, एक गुब्बारा, पृथ्वी (चित्र 1)। उन दोनों में क्या समान है? आकार सभी गेंदें हैं.

चावल। 1. उदाहरण के लिए चित्रण

तीन अन्य वस्तुएँ लें (चित्र 2)। उन दोनों में क्या समान है? रंग - वे सभी नीले हैं.

चावल। 2. उदाहरण के लिए चित्रण

आइए अब तीन सेट लें: तीन कारें, तीन सेब, तीन पेंसिलें (चित्र 3)। उन दोनों में क्या समान है? संख्या तीन है.

चावल। 3. उदाहरण के लिए चित्रण

हम प्रत्येक कार पर एक सेब रख सकते हैं, और प्रत्येक सेब में एक पेंसिल चिपका सकते हैं (चित्र 4)। इन सेटों का एक सामान्य गुण तत्वों की संख्या है।

चावल। 4. सेट की तुलना

हालाँकि, समस्याओं को हल करने के लिए कुछ प्राकृतिक संख्याएँ हैं, इसलिए नकारात्मक, तर्कसंगत, अपरिमेय आदि भी पेश किए गए। गणित (विशेष रूप से इसका वह हिस्सा जो स्कूल में पढ़ा जाता है) संकेतों को संसाधित करने के लिए एक प्रकार का तंत्र है।

उदाहरण के लिए, लकड़ियों के दो ढेर लें, एक सत्रह टुकड़ों वाला और दूसरा पच्चीस टुकड़ों वाला (चित्र 5)। कैसे पता करें कि दोनों ढेरों में कितनी छड़ियाँ हैं?

चावल। 5. उदाहरण के लिए चित्रण

यदि कोई तंत्र नहीं है, तो यह स्पष्ट नहीं है: आप केवल छड़ियों को एक ढेर में रख सकते हैं और उन्हें गिन सकते हैं।

लेकिन यदि छड़ियों की संख्या हमारे (और) से परिचित दशमलव प्रणाली में लिखी गई है, तो हम जोड़ के लिए तंत्र का उपयोग कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, हम किसी कॉलम में संख्याएँ जोड़ सकते हैं (चित्र 6): .

चावल। 6. ढेर लगाना

इसके अलावा, हम इस तरह लिखी संख्याओं को भी नहीं जोड़ पाएंगे: तीन सौ चौहत्तर प्लस चार सौ पचासी। लेकिन यदि आप दशमलव प्रणाली में संख्याओं को लिखते हैं, तो जोड़ने के लिए एक एल्गोरिदम है - एक कॉलम में जोड़ (चित्र 7):।

चावल। 7. ढेर लगाना

यदि कोई कार है, तो यह एक चिकनी सड़क बनाने के लायक है, साथ में वे प्रभावी हैं। इसी प्रकार: यदि विमान है, तो हवाई क्षेत्र की आवश्यकता है। यही है, तंत्र स्वयं और आसपास के बुनियादी ढांचे जुड़े हुए हैं - व्यक्तिगत रूप से वे बहुत कम प्रभावी हैं।

इस मामले में, एक उपकरण है - स्थितीय प्रणाली में लिखी गई संख्याएं, और उनके लिए एक बुनियादी ढांचे का आविष्कार किया गया है: विभिन्न कार्यों को करने के लिए एल्गोरिदम, उदाहरण के लिए, एक कॉलम में जोड़ना।

दशमलव स्थितीय प्रणाली में लिखी संख्याओं ने दूसरों (रोमन, आदि) को प्रतिस्थापित कर दिया क्योंकि उनके साथ काम करने के लिए कुशल और सरल एल्गोरिदम का आविष्कार किया गया था।

आइए दशमलव स्थिति प्रणाली पर करीब से नज़र डालें। इसके मूल में दो मुख्य विचार हैं (जिसकी बदौलत इसे यह नाम मिला)।

1. दशमलव: हम समूहों में गिनते हैं, अर्थात् दसियों में।

2. स्थिति: किसी संख्या में अंक का योगदान उसकी स्थिति पर निर्भर करता है। उदाहरण के लिए, , : संख्याएँ भिन्न हैं, हालाँकि उनमें समान अंक शामिल हैं।

इन दो विचारों ने एक ऐसी प्रणाली बनाने में मदद की है जो संख्याओं को निष्पादित करना और लिखना आसान है, क्योंकि हमारे पास अनंत संख्याओं को लिखने के लिए वर्णों का एक सीमित सेट (इस मामले में, संख्याएं) हैं।

महत्व पर जोर दें प्रौद्योगिकियोंऐसे उदाहरण पर. मान लीजिए आपको एक भारी बोझ उठाना है। यदि आप शारीरिक श्रम का उपयोग करते हैं, तो सब कुछ इस बात पर निर्भर करेगा कि कोई व्यक्ति कितना मजबूत भार उठा रहा है: एक सामना करेगा, दूसरा नहीं।

प्रौद्योगिकी का आविष्कार (उदाहरण के लिए, एक कार जो इस भार को ले जा सकती है) लोगों की संभावनाओं को बराबर करती है: एक नाजुक लड़की या भारोत्तोलक पहिया के पीछे बैठ सकता है, लेकिन वे दोनों भार उठाने के कार्य का सामना करने में सक्षम होंगे समान रूप से प्रभावी ढंग से. यानी तकनीक सिर्फ किसी विशेषज्ञ को नहीं बल्कि किसी को भी सिखाई जा सकती है।

किसी कॉलम में जोड़ और गुणा करना भी एक तकनीक है. रोमन अंक प्रणाली में लिखे अंकों के साथ काम करना एक कठिन काम है, केवल विशेष रूप से प्रशिक्षित लोग ही इसे कर सकते हैं। कोई भी चौथी कक्षा का विद्यार्थी दशमलव प्रणाली में संख्याओं को जोड़ और गुणा कर सकता है।

जैसा कि हमने कहा है, लोगों ने विभिन्न संख्याओं का आविष्कार किया है, और उन सभी की आवश्यकता है। अगला (प्राकृतिक के बाद) महत्वपूर्ण आविष्कार ऋणात्मक संख्याएँ हैं। ऋणात्मक संख्याओं की सहायता से गिनती करना आसान हो गया है। यह कैसे हुआ?

यदि हम बड़ी संख्या में से छोटी संख्या को घटा दें, तो ऋणात्मक संख्याओं की कोई आवश्यकता नहीं है: यह स्पष्ट है कि बड़ी संख्या में छोटी संख्या समाहित होती है। लेकिन यह पता चला कि नकारात्मक संख्याओं को एक अलग वस्तु के रूप में पेश करना उचित है। इसे देखा या छुआ नहीं जा सकता, लेकिन यह उपयोगी है।

इस उदाहरण पर विचार करें: आप गणनाएँ भिन्न क्रम में कर सकते हैं: तब कोई समस्या नहीं है, हमारे पास पर्याप्त प्राकृतिक संख्याएँ हैं।

लेकिन कभी-कभी क्रियाओं को क्रमबद्ध तरीके से करने की आवश्यकता होती है। अगर हमारे खाते में पैसे खत्म हो जाते हैं तो हमें लोन दिया जाता है। चलो हमारे पास रूबल हैं, और हमने बातचीत पर खर्च किया। खाते में पर्याप्त रूबल नहीं हैं, इसे ऋण चिह्न के साथ लिखना सुविधाजनक है, क्योंकि यदि हम उन्हें वापस करते हैं, तो खाते में होगा:। यह विचार ऋणात्मक संख्याओं जैसे उपकरण के आविष्कार का आधार है।

जीवन में, हम अक्सर उन अवधारणाओं के साथ काम करते हैं जिन्हें छुआ नहीं जा सकता: खुशी, दोस्ती, आदि। लेकिन यह हमें उन्हें समझने और उनका विश्लेषण करने से नहीं रोकता है। हम कह सकते हैं कि ये महज़ आविष्कृत चीज़ें हैं। वास्तव में, वे हैं, लेकिन वे लोगों को कुछ करने में मदद करते हैं। इसके अलावा, कार का आविष्कार मनुष्य ने किया था, लेकिन यह हमें चलने में मदद करती है। संख्याओं का आविष्कार भी मनुष्य ने किया है, लेकिन वे समस्याओं को हल करने में मदद करते हैं।

आइए एक ऐसी वस्तु को घड़ी के रूप में लें (चित्र 8)। यदि आप वहां से कोई हिस्सा बाहर निकालते हैं, तो यह स्पष्ट नहीं होता है कि यह क्या है और इसकी आवश्यकता क्यों है। घड़ी के बिना इस भाग का अस्तित्व ही नहीं है। तो ऋणात्मक संख्या गणित के भीतर मौजूद है।

चावल। 8. घड़ी

अक्सर शिक्षक यह बताने का प्रयास करते हैं कि ऋणात्मक संख्या क्या है। वे ऋणात्मक तापमान का उदाहरण देते हैं (चित्र 9)।

चावल। 9. नकारात्मक तापमान

लेकिन यह केवल एक नाम, एक पदनाम है, संख्या नहीं। एक और पैमाना पेश करना संभव था, जहां समान तापमान होगा, उदाहरण के लिए, सकारात्मक। विशेष रूप से, केल्विन पैमाने में सेल्सियस पैमाने पर नकारात्मक तापमान को सकारात्मक संख्याओं के रूप में व्यक्त किया जाता है: .

अर्थात् प्रकृति में कोई ऋणात्मक मात्रा नहीं है। हालाँकि, संख्याओं का उपयोग केवल मात्राएँ व्यक्त करने के लिए नहीं किया जाता है। संख्या के मूल कार्यों को याद करें।

तो, हमने प्राकृतिक और पूर्णांक संख्याओं के बारे में बात की। नंबर एक उपयोगी उपकरण है जिसका उपयोग विभिन्न समस्याओं को हल करने के लिए किया जा सकता है। निःसंदेह, गणित के अंदर काम करने वालों के लिए संख्याएँ वस्तुएँ हैं। जहाँ तक चिमटा बनाने वालों का प्रश्न है, वे भी उपकरण नहीं, वस्तु हैं। हम संख्याओं को एक उपकरण के रूप में मानेंगे जो हमें मात्राओं के साथ सोचने और काम करने की अनुमति देता है।

इस आलेख की जानकारी एक सामान्य विचार बनाती है पूर्ण संख्याएं. सबसे पहले, पूर्णांकों की परिभाषा दी गई है और उदाहरण दिए गए हैं। इसके बाद, संख्या रेखा पर पूर्णांकों पर विचार किया जाता है, जिससे यह स्पष्ट हो जाता है कि कौन सी संख्याएँ धनात्मक पूर्णांक कहलाती हैं, और कौन सी संख्याएँ ऋणात्मक पूर्णांक हैं। उसके बाद, यह दिखाया गया है कि पूर्णांकों का उपयोग करके मात्राओं में परिवर्तन का वर्णन कैसे किया जाता है, और ऋणात्मक पूर्णांकों को ऋण के अर्थ में माना जाता है।

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पूर्णांक - परिभाषा और उदाहरण

परिभाषा।

पूर्ण संख्याएंप्राकृतिक संख्याएँ, शून्य संख्या, साथ ही प्राकृतिक के विपरीत संख्याएँ भी हैं।

पूर्णांकों की परिभाषा बताती है कि कोई भी संख्या 1, 2, 3,…, संख्या 0, और कोई भी संख्या −1, −2, −3,… एक पूर्णांक है। अब हम आसानी से ला सकते हैं पूर्णांक उदाहरण. उदाहरण के लिए, संख्या 38 एक पूर्णांक है, संख्या 70040 भी एक पूर्णांक है, शून्य एक पूर्णांक है (याद रखें कि शून्य एक प्राकृतिक संख्या नहीं है, शून्य एक पूर्णांक है), संख्याएँ −999 , −1 , −8 934 832 पूर्णांक संख्याओं के भी उदाहरण हैं।

सभी पूर्णांकों को पूर्णांकों के अनुक्रम के रूप में प्रस्तुत करना सुविधाजनक है, जिसका निम्नलिखित रूप है: 0, ±1, ±2, ±3,… पूर्णांकों का अनुक्रम इस प्रकार भी लिखा जा सकता है: …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …

पूर्णांकों की परिभाषा से यह निष्कर्ष निकलता है कि प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय पूर्णांकों के समुच्चय का एक उपसमुच्चय है। इसलिए, प्रत्येक प्राकृत संख्या एक पूर्णांक होती है, लेकिन प्रत्येक पूर्णांक एक प्राकृत संख्या नहीं होती।

निर्देशांक रेखा पर पूर्णांक

परिभाषा।

पूर्णांक धनात्मक संख्याएँवे पूर्णांक हैं जो शून्य से बड़े हैं।

परिभाषा।

पूर्णांक ऋणात्मक संख्याएँवे पूर्णांक हैं जो शून्य से कम हैं।

पूर्णांक धनात्मक और ऋणात्मक संख्याएँ निर्देशांक रेखा पर उनकी स्थिति से भी निर्धारित की जा सकती हैं। क्षैतिज निर्देशांक रेखा पर, वे बिंदु जिनके निर्देशांक धनात्मक पूर्णांक हैं, मूल बिंदु के दाईं ओर स्थित होते हैं। बदले में, नकारात्मक पूर्णांक निर्देशांक वाले बिंदु बिंदु O के बाईं ओर स्थित होते हैं।

यह स्पष्ट है कि सभी धनात्मक पूर्णांकों का समुच्चय प्राकृत संख्याओं का समुच्चय है। बदले में, सभी ऋणात्मक पूर्णांकों का समुच्चय प्राकृतिक संख्याओं के विपरीत सभी संख्याओं का समुच्चय होता है।

अलग से, हम आपका ध्यान इस तथ्य की ओर आकर्षित करते हैं कि हम सुरक्षित रूप से किसी भी प्राकृतिक संख्या को पूर्णांक कह सकते हैं, और हम किसी भी पूर्णांक को प्राकृतिक संख्या नहीं कह सकते हैं। हम केवल किसी भी धनात्मक पूर्णांक को प्राकृतिक कह सकते हैं, क्योंकि ऋणात्मक पूर्णांक और शून्य प्राकृतिक नहीं हैं।

पूर्णांक गैर-धनात्मक और पूर्णांक गैर-ऋणात्मक संख्याएँ

आइए हम अधनात्मक पूर्णांकों और अऋणात्मक पूर्णांकों की परिभाषा दें।

परिभाषा।

शून्य सहित सभी धनात्मक पूर्णांक कहलाते हैं पूर्णांक गैर-नकारात्मक संख्याएँ.

परिभाषा।

पूर्णांक गैर-धनात्मक संख्याएँसंख्या 0 सहित सभी ऋणात्मक पूर्णांक हैं।

दूसरे शब्दों में, एक गैर-नकारात्मक पूर्णांक वह पूर्णांक है जो शून्य से बड़ा या उसके बराबर है, और एक गैर-धनात्मक पूर्णांक वह पूर्णांक है जो शून्य से कम या उसके बराबर है।

गैर-धनात्मक पूर्णांकों के उदाहरण संख्याएँ हैं -511, -10 030, 0, -2, और गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों के उदाहरण के रूप में, आइए संख्याएँ 45, 506, 0, 900 321 दें।

प्रायः, "गैर-धनात्मक पूर्णांक" और "गैर-ऋणात्मक पूर्णांक" शब्दों का उपयोग संक्षिप्तता के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए, वाक्यांश "संख्या a एक पूर्णांक है, और a शून्य से बड़ा या शून्य के बराबर है" के बजाय, आप कह सकते हैं "a एक गैर-नकारात्मक पूर्णांक है"।

पूर्णांकों का उपयोग करके बदलते मानों का विवरण

अब इस बारे में बात करने का समय आ गया है कि पूर्णांक किस लिए हैं।

पूर्णांकों का मुख्य उद्देश्य यह है कि उनकी सहायता से किसी भी वस्तु की संख्या में परिवर्तन का वर्णन करना सुविधाजनक होता है। आइए इसे उदाहरणों से समझें।

मान लीजिए कि स्टॉक में एक निश्चित मात्रा में हिस्से हैं। यदि, उदाहरण के लिए, गोदाम में 400 और हिस्से लाए जाते हैं, तो गोदाम में हिस्सों की संख्या बढ़ जाएगी, और संख्या 400 मात्रा में इस परिवर्तन को सकारात्मक दिशा में (वृद्धि की दिशा में) व्यक्त करती है। यदि, उदाहरण के लिए, गोदाम से 100 हिस्से लिए जाते हैं, तो गोदाम में हिस्सों की संख्या कम हो जाएगी, और संख्या 100 मात्रा में परिवर्तन को नकारात्मक दिशा में (कमी की दिशा में) व्यक्त करेगी। भागों को गोदाम में नहीं लाया जाएगा, और भागों को गोदाम से दूर नहीं ले जाया जाएगा, तो हम भागों की संख्या की अपरिवर्तनीयता के बारे में बात कर सकते हैं (अर्थात, हम मात्रा में शून्य परिवर्तन के बारे में बात कर सकते हैं)।

दिए गए उदाहरणों में, भागों की संख्या में परिवर्तन को क्रमशः पूर्णांक 400, −100 और 0 का उपयोग करके वर्णित किया जा सकता है। एक धनात्मक पूर्णांक 400 मात्रा में धनात्मक परिवर्तन (वृद्धि) को इंगित करता है। ऋणात्मक पूर्णांक −100 मात्रा में ऋणात्मक परिवर्तन (कमी) को व्यक्त करता है। पूर्णांक 0 इंगित करता है कि मात्रा नहीं बदली है।

प्राकृतिक संख्याओं का उपयोग करने की तुलना में पूर्णांकों का उपयोग करने की सुविधा यह है कि स्पष्ट रूप से यह इंगित करने की आवश्यकता नहीं है कि मात्रा बढ़ रही है या घट रही है - पूर्णांक परिवर्तन को मात्रात्मक रूप से निर्दिष्ट करता है, और पूर्णांक का चिह्न परिवर्तन की दिशा को इंगित करता है।

पूर्णांक न केवल मात्रा में परिवर्तन, बल्कि कुछ मूल्य में परिवर्तन भी व्यक्त कर सकते हैं। आइए तापमान परिवर्तन के उदाहरण का उपयोग करके इससे निपटें।

तापमान में 4 डिग्री की वृद्धि को एक धनात्मक पूर्णांक 4 के रूप में व्यक्त किया जाता है। उदाहरण के लिए, तापमान में 12 डिग्री की कमी को ऋणात्मक पूर्णांक -12 द्वारा वर्णित किया जा सकता है। और तापमान की अपरिवर्तनीयता इसका परिवर्तन है, जो पूर्णांक 0 द्वारा निर्धारित होती है।

ऋण की राशि के रूप में ऋणात्मक पूर्णांकों की व्याख्या के बारे में अलग से कहा जाना चाहिए। उदाहरण के लिए, यदि हमारे पास 3 सेब हैं, तो धनात्मक पूर्णांक 3 हमारे पास मौजूद सेबों की संख्या को दर्शाता है। दूसरी ओर, यदि हमें किसी को 5 सेब देने हैं, और वे हमारे पास उपलब्ध नहीं हैं, तो इस स्थिति को ऋणात्मक पूर्णांक -5 का उपयोग करके वर्णित किया जा सकता है। इस मामले में, हम −5 सेबों के "मालिक" हैं, ऋण चिह्न ऋण को इंगित करता है, और संख्या 5 ऋण की मात्रा निर्धारित करती है।

ऋण के रूप में ऋणात्मक पूर्णांक की समझ, उदाहरण के लिए, ऋणात्मक पूर्णांकों को जोड़ने के नियम को उचित ठहराने की अनुमति देती है। चलिए एक उदाहरण लेते हैं. यदि किसी पर एक व्यक्ति का 2 सेब बकाया है और दूसरे का एक सेब बकाया है, तो कुल ऋण 2+1=3 सेब है, इसलिए −2+(−1)=−3 ।

ग्रंथ सूची.

• विलेनकिन एन.वाई.ए. आदि गणित. ग्रेड 6: शैक्षणिक संस्थानों के लिए पाठ्यपुस्तक।

इस लेख में हम पूर्णांकों के समुच्चय को परिभाषित करेंगे, विचार करेंगे कि कौन से पूर्णांक धनात्मक कहलाते हैं और कौन से पूर्णांक ऋणात्मक। हम यह भी दिखाएंगे कि कुछ मात्राओं में परिवर्तन का वर्णन करने के लिए पूर्णांकों का उपयोग कैसे किया जाता है। आइए पूर्णांकों की परिभाषा और उदाहरणों से शुरुआत करें।

पूर्ण संख्याएं। परिभाषा, उदाहरण

सबसे पहले, आइए प्राकृतिक संख्याओं को याद करें ℕ। नाम से ही पता चलता है कि ये वे संख्याएँ हैं जिनका उपयोग स्वाभाविक रूप से प्राचीन काल से गिनती के लिए किया जाता रहा है। पूर्णांकों की अवधारणा को कवर करने के लिए, हमें प्राकृतिक संख्याओं की परिभाषा का विस्तार करने की आवश्यकता है।

परिभाषा 1. पूर्णांक

पूर्णांक प्राकृतिक संख्याएँ, उनके विपरीत संख्याएँ और संख्या शून्य हैं।

पूर्णांकों के समुच्चय को अक्षर ℤ द्वारा दर्शाया जाता है।

प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय ℕ पूर्णांकों ℤ का एक उपसमुच्चय है। प्रत्येक प्राकृत संख्या एक पूर्णांक होती है, लेकिन प्रत्येक पूर्णांक एक प्राकृत संख्या नहीं होती।

परिभाषा से यह निष्कर्ष निकलता है कि 1, 2, 3 में से कोई भी संख्या एक पूर्णांक है। . , संख्या 0 , साथ ही संख्याएँ - 1 , - 2 , - 3 , . .

तदनुसार, हम उदाहरण देते हैं। संख्याएँ 39 , - 589 , 10000000 , - 1596 , 0 पूर्ण संख्याएँ हैं।

मान लीजिए कि निर्देशांक रेखा क्षैतिज रूप से खींची गई है और दाईं ओर निर्देशित है। आइए एक सीधी रेखा पर पूर्णांकों के स्थान की कल्पना करने के लिए इस पर एक नज़र डालें।

समन्वय रेखा पर संदर्भ बिंदु संख्या 0 से मेल खाता है, और शून्य के दोनों किनारों पर स्थित बिंदु सकारात्मक और नकारात्मक पूर्णांक से मेल खाते हैं। प्रत्येक बिंदु एक पूर्णांक से मेल खाता है।

एक सीधी रेखा पर कोई भी बिंदु जिसका निर्देशांक एक पूर्णांक है, मूल बिंदु से एक निश्चित संख्या में इकाई खंडों को अलग करके पहुंचा जा सकता है।

धनात्मक और ऋणात्मक पूर्णांक

सभी पूर्णांकों में से, धनात्मक और ऋणात्मक पूर्णांकों के बीच अंतर करना तर्कसंगत है। आइए उनकी परिभाषाएँ दें।

परिभाषा 2. धनात्मक पूर्णांक

धनात्मक पूर्णांक धन चिह्न वाले पूर्णांक होते हैं।

उदाहरण के लिए, संख्या 7 धन चिह्न वाला एक पूर्णांक है, अर्थात एक धनात्मक पूर्णांक है। निर्देशांक रेखा पर यह संख्या संदर्भ बिंदु के दाईं ओर स्थित है, जिसके लिए संख्या 0 ली गई है। धनात्मक पूर्णांकों के अन्य उदाहरण: 12 , 502 , 42 , 33 , 100500 .

परिभाषा 3. ऋणात्मक पूर्णांक

ऋणात्मक पूर्णांक ऋण चिह्न वाले पूर्णांक होते हैं।

ऋणात्मक पूर्णांकों के उदाहरण: - 528 , - 2568 , - 1 .

संख्या 0 धनात्मक और ऋणात्मक पूर्णांकों को अलग करती है और स्वयं न तो धनात्मक है और न ही ऋणात्मक।

कोई भी संख्या जो किसी धनात्मक पूर्णांक के विपरीत हो, परिभाषा के अनुसार, एक ऋणात्मक पूर्णांक होती है। विपरीत भी सही है। किसी भी ऋणात्मक पूर्णांक का व्युत्क्रम एक धनात्मक पूर्णांक होता है।

शून्य के साथ उनकी तुलना का उपयोग करके ऋणात्मक और धनात्मक पूर्णांकों की परिभाषाओं के अन्य सूत्र देना संभव है।

परिभाषा 4. धनात्मक पूर्णांक

धनात्मक पूर्णांक वे पूर्णांक होते हैं जो शून्य से बड़े होते हैं।

परिभाषा 5. ऋणात्मक पूर्णांक

ऋणात्मक पूर्णांक वे पूर्णांक होते हैं जो शून्य से कम होते हैं।

तदनुसार, धनात्मक संख्याएँ निर्देशांक रेखा पर मूल बिंदु के दाईं ओर स्थित होती हैं, और ऋणात्मक पूर्णांक शून्य के बाईं ओर होते हैं।

पहले हमने कहा था कि प्राकृत संख्याएँ पूर्णांकों का एक उपसमूह होती हैं। आइए इस बात को स्पष्ट करें। प्राकृत संख्याओं का समुच्चय धनात्मक पूर्णांक होता है। बदले में, ऋणात्मक पूर्णांकों का समुच्चय प्राकृतिक पूर्णांकों के विपरीत संख्याओं का समुच्चय होता है।

महत्वपूर्ण!

किसी भी प्राकृत संख्या को पूर्णांक कहा जा सकता है, लेकिन किसी भी पूर्णांक को प्राकृत संख्या नहीं कहा जा सकता। इस प्रश्न का उत्तर देते हुए कि क्या ऋणात्मक संख्याएँ प्राकृतिक हैं, किसी को साहसपूर्वक कहना चाहिए - नहीं, वे नहीं हैं।

गैर-धनात्मक और गैर-नकारात्मक पूर्णांक

आइए परिभाषाएँ दें।

परिभाषा 6. गैर-ऋणात्मक पूर्णांक

गैर-ऋणात्मक पूर्णांक धनात्मक पूर्णांक और संख्या शून्य हैं।

परिभाषा 7. गैर-धनात्मक पूर्णांक

गैर-धनात्मक पूर्णांक ऋणात्मक पूर्णांक और संख्या शून्य हैं।

जैसा कि आप देख सकते हैं, संख्या शून्य न तो सकारात्मक है और न ही नकारात्मक।

गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों के उदाहरण: 52 , 128 , 0 .

गैर-धनात्मक पूर्णांकों के उदाहरण: - 52 , - 128 , 0 .

एक गैर-ऋणात्मक संख्या शून्य से बड़ी या उसके बराबर की संख्या होती है। तदनुसार, एक गैर-धनात्मक पूर्णांक शून्य से कम या उसके बराबर की संख्या है।

संक्षिप्तता के लिए "गैर-धनात्मक संख्या" और "गैर-ऋणात्मक संख्या" शब्दों का उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, यह कहने के बजाय कि संख्या a शून्य से बड़ा या उसके बराबर एक पूर्णांक है, आप कह सकते हैं: a एक गैर-नकारात्मक पूर्णांक है।

मूल्यों में परिवर्तन का वर्णन करते समय पूर्णांकों का उपयोग करना

पूर्णांकों का उपयोग किस लिए किया जाता है? सबसे पहले, उनकी मदद से किसी भी वस्तु की संख्या में परिवर्तन का वर्णन और निर्धारण करना सुविधाजनक है। चलिए एक उदाहरण लेते हैं.

गोदाम में एक निश्चित संख्या में क्रैंकशाफ्ट जमा होने दें। यदि अन्य 500 क्रैंकशाफ्ट गोदाम में लाए जाते हैं, तो उनकी संख्या बढ़ जाएगी। संख्या 500 केवल भागों की संख्या में परिवर्तन (वृद्धि) को व्यक्त करती है। यदि फिर गोदाम से 200 हिस्से हटा दिए जाते हैं, तो यह संख्या क्रैंकशाफ्ट की संख्या में परिवर्तन को भी चित्रित करेगी। इस बार कटौती की दिशा में.

यदि गोदाम से कुछ भी नहीं लिया जाता है, और कुछ भी नहीं लाया जाता है, तो संख्या 0 भागों की संख्या की अपरिवर्तनीयता को इंगित करेगी।

प्राकृतिक संख्याओं के विपरीत, पूर्णांकों का उपयोग करने की स्पष्ट सुविधा यह है कि उनका चिह्न परिमाण में परिवर्तन (वृद्धि या कमी) की दिशा को स्पष्ट रूप से इंगित करता है।

तापमान में 30 डिग्री की कमी को एक ऋणात्मक संख्या - 30 द्वारा दर्शाया जा सकता है, और 2 डिग्री की वृद्धि को एक धनात्मक पूर्णांक 2 द्वारा दर्शाया जा सकता है।

पूर्णांकों का उपयोग करते हुए यहां एक और उदाहरण दिया गया है। इस बार मान लीजिए कि हमें किसी को 5 सिक्के देने हैं। तब, हम कह सकते हैं कि हमारे पास - 5 सिक्के हैं। संख्या 5 ऋण की राशि का वर्णन करती है, और ऋण चिह्न इंगित करता है कि हमें सिक्के वापस देने होंगे।

यदि हम पर एक व्यक्ति पर 2 सिक्के और दूसरे पर 3 सिक्के बकाया हैं, तो कुल ऋण (5 सिक्के) की गणना ऋणात्मक संख्याओं को जोड़ने के नियम से की जा सकती है:

2 + (- 3) = - 5

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1) मैं तुरंत विभाजित करता हूं, क्योंकि दोनों संख्याएं 100% विभाज्य हैं:

2) मैं शेष बड़ी संख्याओं से विभाजित करूंगा, क्योंकि वे बिना किसी शेषफल के विभाजित हैं (साथ ही, मैं विघटित नहीं करूंगा - यह पहले से ही एक सामान्य भाजक है):

6 2 4 0 = 1 0 ⋅ 4 ⋅ 1 5 6

6 8 0 0 = 1 0 ⋅ 4 ⋅ 1 7 0

3) मैं अकेला चला जाऊंगा और संख्याओं पर विचार करना शुरू कर दूंगा। दोनों संख्याएँ (अंत में सम अंकों में) बिल्कुल विभाज्य हैं (इस मामले में, हम इस रूप में प्रस्तुत करते हैं, लेकिन इन्हें विभाजित किया जा सकता है)):

4) हम संख्याओं के साथ काम करते हैं और। क्या उनके पास सामान्य भाजक हैं? यह पिछले चरणों की तरह ही आसान है, और आप कह नहीं सकते, इसलिए फिर हम उन्हें सरल कारकों में विघटित कर देंगे:

5) जैसा कि हम देख सकते हैं, हम सही थे: और हमारे पास कोई सामान्य भाजक नहीं है, और अब हमें गुणा करने की आवश्यकता है।
जीसीडी

कार्य संख्या 2. संख्या 345 और 324 की जीसीडी ज्ञात कीजिए

मुझे यहां कम से कम एक सामान्य भाजक तुरंत नहीं मिल रहा है, इसलिए मैं इसे अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करता हूं (जितना संभव हो उतना कम):

बिल्कुल, जीसीडी, और मैंने शुरू में विभाज्यता मानदंड की जांच नहीं की थी, और, शायद, मुझे इतने सारे कार्य नहीं करने होंगे।

लेकिन आपने जाँच की, है ना?

जैसा कि आप देख सकते हैं, यह काफी आसान है।

लघुत्तम समापवर्त्य (एलसीएम) - समय बचाता है, बॉक्स के बाहर समस्याओं को हल करने में मदद करता है

मान लीजिए कि आपके पास दो संख्याएँ हैं - और। वह सबसे छोटी संख्या कौन सी है जो विभाज्य है? एक का पता लगाए बिना(अर्थात् पूर्णतः)? कल्पना करना मुश्किल है? यहां आपके लिए एक दृश्य सुराग है:

क्या आपको याद है कि पत्र का क्या मतलब है? यह सही है, बस पूर्ण संख्याएं।तो वह सबसे छोटी संख्या कौन सी है जो x पर फिट बैठती है? :

इस मामले में।

इस सरल उदाहरण से कई नियम अनुसरण करते हैं।

एनओसी शीघ्रता से ढूंढने के नियम

नियम 1. यदि दो प्राकृतिक संख्याओं में से एक किसी अन्य संख्या से विभाज्य है, तो इन दोनों संख्याओं में से बड़ी संख्या उनका सबसे छोटा सामान्य गुणज है।

निम्नलिखित संख्याएँ ज्ञात कीजिए:

• एनओसी (7;21)
• एनओसी (6;12)
• एनओसी (5;15)
• एनओसी (3;33)

निःसंदेह, आपने इस कार्य को आसानी से पूरा कर लिया और आपको उत्तर मिल गए - और।

ध्यान दें कि जिस नियम में हम दो संख्याओं की बात कर रहे हैं, यदि संख्याएँ अधिक हैं तो नियम काम नहीं करता है।

उदाहरण के लिए, एलसीएम (7;14;21) 21 के बराबर नहीं है, क्योंकि इसे शेषफल के बिना विभाजित नहीं किया जा सकता है।

नियम 2. यदि दो (या दो से अधिक) संख्याएँ सहअभाज्य हैं, तो लघुत्तम समापवर्त्य उनके गुणनफल के बराबर होता है।

खोजो अनापत्ति प्रमाण पत्रनिम्नलिखित संख्याओं के लिए:

• एनओसी (1;3;7)
• एनओसी (3;7;11)
• एनओसी (2;3;7)
• एनओसी (3;5;2)

क्या आपने गिनती की? यहाँ उत्तर हैं - , ; .

जैसा कि आप समझते हैं, समान x को लेना और उठाना हमेशा इतना आसान नहीं होता है, इसलिए थोड़ी अधिक जटिल संख्याओं के लिए निम्नलिखित एल्गोरिदम होता है:

क्या हम अभ्यास करें?

लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात कीजिए - LCM (345; 234)

आइए प्रत्येक संख्या को तोड़ें:

मैंने अभी क्यों लिखा?

विभाज्यता के लक्षण याद रखें: विभाज्य (अंतिम अंक सम है) और अंकों का योग विभाज्य है।

तदनुसार, हम इसे इस रूप में लिखकर तुरंत विभाजित कर सकते हैं।

अब हम एक पंक्ति में सबसे लंबा विस्तार लिखते हैं - दूसरा:

आइए इसमें पहले विस्तार से संख्याएँ जोड़ें, जो हमने जो लिखा है उसमें नहीं हैं:

ध्यान दें: हमने इसे छोड़कर सब कुछ लिख दिया है, क्योंकि यह हमारे पास पहले से ही मौजूद है।

अब हमें इन सभी संख्याओं को गुणा करना होगा!

लघुत्तम समापवर्तक (LCM) स्वयं ज्ञात कीजिए

आपको क्या उत्तर मिले?

यहाँ मेरे साथ क्या हुआ:

आपको ढूंढने में कितना समय लगा अनापत्ति प्रमाण पत्र? मेरा समय 2 मिनट है, मैं सचमुच जानता हूँ एक तरकीब, जिसे मैं आपको अभी खोलने का सुझाव देता हूं!

यदि आप बहुत चौकस हैं, तो आपने शायद देखा होगा कि दिए गए नंबरों के लिए हम पहले ही खोज चुके हैं जीसीडीऔर आप उस उदाहरण से इन संख्याओं का गुणनखंडन ले सकते हैं, जिससे आपका कार्य सरल हो जाएगा, लेकिन यह सब से बहुत दूर है।

तस्वीर देखिए, शायद आपके मन में कुछ और विचार आएं:

कुंआ? मैं तुम्हें एक संकेत देता हूँ: गुणा करने का प्रयास करें अनापत्ति प्रमाण पत्रऔर जीसीडीआपस में और उन सभी कारकों को लिख लें जो गुणा करते समय होंगे। क्या आप संभाल पाओगे? आपको इस तरह की एक श्रृंखला समाप्त करनी चाहिए:

इस पर करीब से नज़र डालें: कारकों की तुलना करें कि कैसे और कैसे विघटित होते हैं।

आप इससे क्या निष्कर्ष निकाल सकते हैं? सही! यदि हम मानों को गुणा करते हैं अनापत्ति प्रमाण पत्रऔर जीसीडीआपस में, तो हमें इन संख्याओं का गुणनफल मिलता है।

तदनुसार, संख्याएँ और अर्थ होना जीसीडी(या अनापत्ति प्रमाण पत्र), हम ढूंढ सकते हैं अनापत्ति प्रमाण पत्र(या जीसीडी) इस अनुसार:

1. संख्याओं का गुणनफल ज्ञात कीजिए:

2. हम परिणामी उत्पाद को हमारे द्वारा विभाजित करते हैं जीसीडी (6240; 6800) = 80:

बस इतना ही।

आइए नियम को सामान्य रूप में लिखें:

ढूंढने की कोशिश करो जीसीडीयदि यह ज्ञात हो कि:

क्या आप संभाल पाओगे? .

नकारात्मक संख्याएँ - "झूठी संख्याएँ" और मानव जाति द्वारा उनकी मान्यता।

जैसा कि आप पहले ही समझ चुके हैं, ये प्राकृतिक संख्याओं के विपरीत संख्याएँ हैं, अर्थात्:

ऐसा लगेगा कि वे इतने खास हैं?

लेकिन तथ्य यह है कि नकारात्मक संख्याओं ने 19वीं शताब्दी तक गणित में अपना उचित स्थान "जीत" लिया था (उस क्षण तक इस बात पर भारी विवाद था कि वे मौजूद हैं या नहीं)।

प्राकृतिक संख्याओं के साथ "घटाव" जैसे ऑपरेशन के कारण ऋणात्मक संख्या स्वयं उत्पन्न हुई।

वास्तव में, से घटाएँ - यह एक ऋणात्मक संख्या है। इसीलिए प्रायः ऋणात्मक संख्याओं का समुच्चय कहा जाता है "प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय का विस्तार"।

नकारात्मक संख्याओं को लंबे समय तक लोगों द्वारा पहचाना नहीं गया था।

तो, प्राचीन मिस्र, बेबीलोन और प्राचीन ग्रीस - अपने समय की रोशनी, नकारात्मक संख्याओं को नहीं पहचानते थे, और समीकरण में नकारात्मक जड़ें प्राप्त करने के मामले में (उदाहरण के लिए, जैसा कि हमारे पास है), जड़ों को असंभव के रूप में खारिज कर दिया गया था।

पहली बार ऋणात्मक संख्याओं को अस्तित्व का अधिकार चीन में मिला, और फिर 7वीं शताब्दी में भारत में।

आप इस स्वीकारोक्ति के बारे में क्या सोचते हैं?

यह सही है, ऋणात्मक संख्याएँ निरूपित होने लगीं ऋण (अन्यथा - कमी)।

यह माना जाता था कि नकारात्मक संख्याएँ एक अस्थायी मूल्य हैं, जो परिणामस्वरूप सकारात्मक में बदल जाएंगी (अर्थात, पैसा अभी भी लेनदार को वापस कर दिया जाएगा)। हालाँकि, भारतीय गणितज्ञ ब्रह्मगुप्त ने पहले से ही नकारात्मक संख्याओं को सकारात्मक संख्याओं के बराबर माना था।

यूरोप में, नकारात्मक संख्याओं की उपयोगिता, साथ ही तथ्य यह है कि वे ऋण को इंगित कर सकते हैं, बहुत बाद में, यानी एक सहस्राब्दी बाद आई।

पहला उल्लेख 1202 में पीसा के लियोनार्ड द्वारा लिखित "बुक ऑफ द अबेकस" में देखा गया था (मैं तुरंत कहता हूं कि पुस्तक के लेखक का पीसा की झुकी मीनार से कोई लेना-देना नहीं है, लेकिन फाइबोनैचि संख्याएं उनका काम हैं) पीसा के लियोनार्डो का उपनाम फाइबोनैचि है))।

तो, XVII सदी में, पास्कल ने ऐसा माना।

आपको क्या लगता है उन्होंने इसे कैसे उचित ठहराया?

यह सही है, "कुछ भी नहीं से कम नहीं हो सकता"।

उस समय की एक प्रतिध्वनि यह तथ्य है कि एक ऋणात्मक संख्या और घटाने की क्रिया को एक ही प्रतीक - ऋण "-" द्वारा दर्शाया जाता है। और सच: । क्या संख्या " " धनात्मक है, जिसमें से घटाया गया है, या ऋणात्मक है, जिसमें जोड़ा गया है? ...श्रृंखला से कुछ "जो पहले आता है: मुर्गी या अंडा?" यहाँ इस प्रकार का गणितीय दर्शन है।

नकारात्मक संख्याओं ने विश्लेषणात्मक ज्यामिति के आगमन के साथ अस्तित्व में रहने का अपना अधिकार सुरक्षित कर लिया, दूसरे शब्दों में, जब गणितज्ञों ने वास्तविक धुरी जैसी चीज़ पेश की।

इसी क्षण से समानता आई। हालाँकि, अभी भी उत्तर से अधिक प्रश्न थे, उदाहरण के लिए:

अनुपात

इस अनुपात को अर्नो विरोधाभास कहा जाता है। सोचो, इसमें क्या संदेह है?

आइए मिलकर बात करें " " से ज्यादा " " सही? इस प्रकार, तर्क के अनुसार, अनुपात का बायाँ भाग दाएँ पक्ष से बड़ा होना चाहिए, लेकिन वे बराबर हैं... यहाँ यह विरोधाभास है।

परिणामस्वरूप, गणितज्ञ इस बात पर सहमत हुए कि कार्ल गॉस (हाँ, हाँ, यह वही है जिसने 1831 में संख्याओं के योग (या) पर विचार किया था) ने इसे समाप्त कर दिया।

उन्होंने कहा कि नकारात्मक संख्याओं का भी सकारात्मक संख्याओं के समान ही अधिकार है, और तथ्य यह है कि वे सभी चीजों पर लागू नहीं होते हैं, इसका कोई मतलब नहीं है, क्योंकि अंश भी कई चीजों पर लागू नहीं होते हैं (ऐसा नहीं होता है कि एक खोदने वाला एक छेद खोदता है, आप सिनेमा आदि का टिकट नहीं खरीद सकते)।

गणितज्ञ केवल 19वीं शताब्दी में शांत हुए, जब विलियम हैमिल्टन और हरमन ग्रासमैन द्वारा ऋणात्मक संख्याओं का सिद्धांत बनाया गया।

वे कितने विवादास्पद हैं, ये नकारात्मक संख्याएँ।

"शून्यता" का उद्भव, या शून्य की जीवनी।

गणित में, एक विशेष संख्या.

पहली नज़र में, यह कुछ भी नहीं है: जोड़ें, घटाएं - कुछ भी नहीं बदलेगा, लेकिन आपको बस इसे "" के दाईं ओर ले जाना होगा, और परिणामी संख्या मूल संख्या से कई गुना अधिक होगी।

शून्य से गुणा करके, हम सब कुछ को शून्य में बदल देते हैं, लेकिन हम "कुछ नहीं" से विभाजित नहीं कर सकते। एक शब्द में, जादुई संख्या)

शून्य का इतिहास बहुत लम्बा और जटिल है।

2000 ईस्वी में चीनियों के लेखन में शून्य का निशान मिलता है। और पहले भी माया के साथ। शून्य प्रतीक का पहला प्रयोग, जैसा कि आज होता है, यूनानी खगोलविदों के बीच देखा गया था।

इस बात के कई संस्करण हैं कि ऐसा पदनाम "कुछ नहीं" क्यों चुना गया।

कुछ इतिहासकारों का मानना ​​है कि यह एक ओमिक्रॉन है, यानी। ग्रीक शब्द फॉर नथिंग का पहला अक्षर ओडेन है। एक अन्य संस्करण के अनुसार, शब्द "ओबोल" (लगभग कोई मूल्य का सिक्का) ने शून्य के प्रतीक को जीवन दिया।

गणितीय प्रतीक के रूप में शून्य (या शून्य) सबसे पहले भारतीयों में दिखाई देता है(ध्यान दें कि नकारात्मक संख्याएँ वहाँ "विकसित" होने लगीं)।

शून्य लिखने का पहला विश्वसनीय प्रमाण 876 का है, और उनमें "" संख्या का एक घटक है।

ज़ीरो भी यूरोप में देर से आया - केवल 1600 में, और नकारात्मक संख्याओं की तरह, इसे प्रतिरोध का सामना करना पड़ा (आप क्या कर सकते हैं, वे यूरोपीय हैं)।

"शून्य से अक्सर नफरत की जाती थी, लंबे समय तक डराया जाता था और यहां तक ​​कि उस पर प्रतिबंध भी लगा दिया गया था"- अमेरिकी गणितज्ञ चार्ल्स सेफ लिखते हैं।

तो, 19वीं सदी के अंत में तुर्की सुल्तान अब्दुल-हामिद द्वितीय। उन्होंने अपने सेंसर को सभी रसायन विज्ञान की पाठ्यपुस्तकों से H2O जल फार्मूला हटाने का आदेश दिया, "O" अक्षर को शून्य के रूप में लिया और नहीं चाहते थे कि घृणित शून्य की निकटता से उनके प्रारंभिक अक्षरों को बदनाम किया जाए।

इंटरनेट पर आप यह वाक्यांश पा सकते हैं: "शून्य ब्रह्मांड में सबसे शक्तिशाली शक्ति है, यह कुछ भी कर सकता है!" शून्य गणित में व्यवस्था बनाता है और अराजकता भी लाता है। बिल्कुल सही बात :)

अनुभाग और बुनियादी सूत्रों का सारांश

पूर्णांकों के समुच्चय में 3 भाग होते हैं:

• प्राकृतिक संख्याएँ (हम उन पर नीचे अधिक विस्तार से विचार करेंगे);
• प्राकृतिक संख्याओं के विपरीत संख्याएँ;
• शून्य - " "

पूर्णांकों का समुच्चय दर्शाया गया है अक्षर Z.

1. प्राकृतिक संख्याएँ

प्राकृतिक संख्याएँ वे संख्याएँ हैं जिनका उपयोग हम वस्तुओं को गिनने के लिए करते हैं।

प्राकृत संख्याओं का समुच्चय निरूपित किया जाता है पत्र एन.

पूर्णांकों के साथ संचालन में, आपको जीसीडी और एलसीएम खोजने की क्षमता की आवश्यकता होगी।

महानतम सामान्य भाजक (जीसीडी)

आपको आवश्यक एनओडी ढूंढने के लिए:

1. संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करें (उन संख्याओं में जिन्हें स्वयं या उदाहरण के लिए, आदि के अलावा किसी अन्य चीज़ से विभाजित नहीं किया जा सकता है)।
2. उन कारकों को लिखिए जो दोनों संख्याओं का हिस्सा हैं।
3. उन्हें गुणा करें.

लघुत्तम समापवर्त्य (एलसीएम)

आपको आवश्यक एनओसी ढूंढने के लिए:

1. संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में गुणनखंडित करें (आप पहले से ही जानते हैं कि यह कैसे करना है)।
2. किसी एक संख्या के विस्तार में शामिल कारकों को लिखें (सबसे लंबी श्रृंखला लेना बेहतर है)।
3. उनमें शेष संख्याओं के विस्तार से लुप्त गुणनखंड जोड़ें।
4. परिणामी कारकों का उत्पाद ज्ञात कीजिए।

2. ऋणात्मक संख्याएँ

ये वे संख्याएँ हैं जो प्राकृतिक संख्याओं के विपरीत हैं, अर्थात्:

अब मैं आपसे सुनना चाहता हूं...

मुझे आशा है कि आपने इस अनुभाग की अति-उपयोगी "ट्रिक्स" की सराहना की है और समझ गए हैं कि वे परीक्षा में आपकी कैसे मदद करेंगे।

और इससे भी महत्वपूर्ण बात, जीवन में। मैं इसके बारे में बात नहीं कर रहा हूं, लेकिन मेरा विश्वास करो, यह है। तेजी से और त्रुटियों के बिना गिनने की क्षमता कई जीवन स्थितियों में बचाती है।

अब आपकी बारी है!

लिखें, क्या आप गणना में समूहीकरण विधियों, विभाज्यता मानदंड, जीसीडी और एलसीएम का उपयोग करेंगे?

हो सकता है कि आपने पहले उनका उपयोग किया हो? कहां और कैसे?

शायद आपके पास प्रश्न हों. या सुझाव.

आपको आर्टिकल कैसा लगा कमेंट में लिखें।

और आपकी परीक्षाओं के लिए शुभकामनाएँ!

संख्या- सबसे महत्वपूर्ण गणितीय अवधारणा जो सदियों से बदल गई है।

संख्या के बारे में पहला विचार लोगों, जानवरों, फलों, विभिन्न उत्पादों आदि की गिनती से उत्पन्न हुआ। परिणाम प्राकृतिक संख्याएँ हैं: 1, 2, 3, 4, ...

ऐतिहासिक रूप से, संख्या की अवधारणा का पहला विस्तार एक प्राकृतिक संख्या में भिन्नात्मक संख्याओं का योग है।

गोली मारनाकिसी इकाई का एक भाग (शेयर) या उसके कई समान भाग कहलाते हैं।

नामित: , कहाँ एम,एन- पूर्ण संख्याएं;

हर 10 वाले भिन्न एन, कहाँ एनएक पूर्णांक है, उन्हें कहा जाता है दशमलव: .

दशमलव भिन्नों में एक विशेष स्थान होता है आवधिक अंश: - शुद्ध आवर्त अंश, - मिश्रित आवधिक अंश।

संख्या की अवधारणा का और अधिक विस्तार पहले से ही गणित (बीजगणित) के विकास के कारण हुआ है। 17वीं शताब्दी में डेसकार्टेस अवधारणा का परिचय देता है ऋणात्मक संख्या.

संख्याएँ पूर्णांक (धनात्मक एवं ऋणात्मक), भिन्नात्मक (धनात्मक एवं ऋणात्मक) तथा शून्य कहलाती हैं भिन्नात्मक संख्याएं. किसी भी परिमेय संख्या को परिमित एवं आवर्ती भिन्न के रूप में लिखा जा सकता है।

लगातार बदलते चरों का अध्ययन करने के लिए, संख्या की अवधारणा का विस्तार करना आवश्यक हो गया - तर्कसंगत संख्याओं में अपरिमेय संख्याओं को जोड़कर वास्तविक (वास्तविक) संख्याओं का परिचय: तर्कहीन संख्याअनंत दशमलव गैर-आवधिक भिन्न हैं।

बीजगणित में असंगत खंडों (एक वर्ग की भुजा और विकर्ण) को मापते समय अपरिमेय संख्याएँ प्रकट हुईं - जड़ें निकालते समय, एक अनुवांशिक, अपरिमेय संख्या का एक उदाहरण π है, इ .

नंबर प्राकृतिक(1, 2, 3,...), साबुत(..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,...), तर्कसंगत(एक अंश के रूप में दर्शाया गया) और तर्कहीन(अंश के रूप में प्रस्तुत करने योग्य नहीं ) एक सेट बनाएं वास्तविक (वास्तविक)नंबर.

गणित में जटिल संख्याओं को अलग से प्रतिष्ठित किया जाता है।

जटिल आंकड़ेमामले के वर्गों को हल करने की समस्या के संबंध में उत्पन्न होता है डी< 0 (здесь डीद्विघात समीकरण का विभेदक है)। लंबे समय तक, इन संख्याओं का भौतिक उपयोग नहीं हुआ, यही कारण है कि इन्हें "काल्पनिक" संख्याएँ कहा जाता था। हालाँकि, अब वे भौतिकी और प्रौद्योगिकी के विभिन्न क्षेत्रों में बहुत व्यापक रूप से उपयोग किए जाते हैं: इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग, हाइड्रो- और वायुगतिकी, लोच सिद्धांत, आदि।

जटिल आंकड़े इस प्रकार लिखे गए हैं: z= ए+ द्वि. यहाँ एऔर बी – वास्तविक संख्या, ए मैं – काल्पनिक इकाई.इ. मैं 2 = -1. संख्या एबुलाया सूच्याकार आकृति का भुज, ए बी-तालमेलजटिल संख्या ए+ द्वि. दो सम्मिश्र संख्याएँ ए+ द्विऔर ए-द्विबुलाया संयुग्मजटिल आंकड़े।

गुण:

1. वास्तविक संख्या एएक सम्मिश्र संख्या के रूप में भी लिखा जा सकता है: ए+ 0मैंया ए - 0मैं. उदाहरण के लिए 5 + 0 मैंऔर 5 - 0 मैंमतलब वही संख्या 5 .

2. सम्मिश्र संख्या 0 + द्विबुलाया पूर्णतः काल्पनिक संख्या. रिकॉर्डिंग द्विमतलब 0 के समान है + द्वि.

3. दो सम्मिश्र संख्याएँ ए+ द्विऔर सी+ डियदि समान माना जाता है ए= सीऔर बी= डी. अन्यथा, सम्मिश्र संख्याएँ समान नहीं हैं।

क्रियाएँ:

जोड़ना। सम्मिश्र संख्याओं का योग ए+ द्विऔर सी+ डिसम्मिश्र संख्या कहलाती है ( ए+ सी) + (बी+ डी)मैं. इस प्रकार, सम्मिश्र संख्याओं को जोड़ते समय, उनके भुज और निर्देशांक अलग-अलग जोड़े जाते हैं।

घटाव. दो सम्मिश्र संख्याओं के बीच का अंतर ए+ द्वि(कम) और सी+ डि(घटाना) एक सम्मिश्र संख्या कहलाती है ( एसी) + (बी डी)मैं. इस प्रकार, दो जटिल संख्याओं को घटाते समय, उनके भुज और निर्देशांक अलग-अलग घटाए जाते हैं।

गुणन. सम्मिश्र संख्याओं का गुणनफल ए+ द्विऔर सी+ डिसम्मिश्र संख्या कहलाती है.

(एसी-बीडी) + (विज्ञापन+ ईसा पूर्व)मैं. यह परिभाषा दो आवश्यकताओं से उत्पन्न होती है:

1) संख्याएँ ए+ द्विऔर सी+ डिबीजगणितीय द्विपदों की तरह गुणा करना होगा,

2) संख्या मैंमुख्य संपत्ति है: मैं 2 = –1.

उदाहरण ( ए + द्वि)(ए-द्वि)= ए 2 +बी 2 . इस तरह, कामदो संयुग्मी सम्मिश्र संख्याएँ एक धनात्मक वास्तविक संख्या के बराबर होती हैं।

विभाजन। किसी सम्मिश्र संख्या को विभाजित करें ए+ द्वि(विभाज्य) दूसरे को सी+ डि (विभाजक) - मतलब तीसरा नंबर ढूंढना इ+ फाई(चैट), जिसे, जब एक भाजक से गुणा किया जाता है सी+ डि, जिसके परिणामस्वरूप लाभांश मिलता है ए+ द्वि. यदि भाजक शून्य नहीं है, तो विभाजन सदैव संभव है।

उदाहरण खोजें (8+ मैं) : (2 – 3मैं) .

समाधान। आइए इस अनुपात को भिन्न के रूप में फिर से लिखें:

इसके अंश और हर को 2 + 3 से गुणा करना मैंऔर सभी परिवर्तन करने पर, हमें मिलता है:

कार्य 1: z जोड़ें, घटाएँ, गुणा करें और भाग करें 1 ज़ेड के लिए 2

वर्गमूल निकालना: प्रश्न हल करें एक्स 2 = -एक। इस समीकरण को हल करने के लिएहम एक नए प्रकार के नंबरों का उपयोग करने के लिए बाध्य हैं - काल्पनिक संख्याएँ . इस प्रकार, काल्पनिक नंबर पर कॉल किया जाता है जिसकी दूसरी घात एक ऋणात्मक संख्या है. काल्पनिक संख्याओं की इस परिभाषा के अनुसार हम तथा को परिभाषित कर सकते हैं काल्पनिक इकाई:

फिर समीकरण के लिए एक्स 2 = - 25 हमें दो प्राप्त होते हैं काल्पनिकजड़:

कार्य 2: प्रश्न हल करें:

1) एक्स 2 = – 36; 2) एक्स 2 = – 49; 3) एक्स 2 = – 121

सम्मिश्र संख्याओं का ज्यामितीय निरूपण। वास्तविक संख्याओं को संख्या रेखा पर बिंदुओं द्वारा दर्शाया जाता है:

बात यहीं है एमतलब नंबर -3, बिंदु बीसंख्या 2 है, और हे-शून्य। इसके विपरीत, जटिल संख्याओं को निर्देशांक तल पर बिंदुओं द्वारा दर्शाया जाता है। इसके लिए, हम दोनों अक्षों पर समान पैमाने के साथ आयताकार (कार्टेशियन) निर्देशांक चुनते हैं। फिर सम्मिश्र संख्या ए+ द्विएक बिंदु द्वारा दर्शाया जाएगा एब्सिस्सा के साथ पीए और समन्वयबी. इस समन्वय प्रणाली को कहा जाता है जटिल विमान .

मापांक सम्मिश्र संख्या को सदिश की लंबाई कहा जाता है सेशन, निर्देशांक पर एक सम्मिश्र संख्या को दर्शाते हुए ( एकीकृत) विमान। सम्मिश्र संख्या मापांक ए+ द्विद्वारा निरूपित | ए+ द्वि| या) पत्र आरऔर इसके बराबर है:

संयुग्मी सम्मिश्र संख्याओं का मापांक समान होता है।

एक चित्र बनाने के नियम लगभग कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में एक चित्र के समान ही हैं। अक्षों के साथ, आपको आयाम निर्धारित करने की आवश्यकता है, ध्यान दें:

इ
वास्तविक अक्ष के अनुदिश इकाई; रेज

काल्पनिक अक्ष के अनुदिश काल्पनिक इकाई। मैं ज़ेड हूँ

कार्य 3. सम्मिश्र तल पर निम्नलिखित सम्मिश्र संख्याओं की रचना कीजिए: , , , , , , ,

1. संख्याएँ सटीक और अनुमानित हैं।व्यवहार में हम जिन संख्याओं का सामना करते हैं वे दो प्रकार की होती हैं। कुछ मात्रा का सही मूल्य बताते हैं, अन्य केवल अनुमानित। पहले को सटीक कहा जाता है, दूसरे को अनुमानित कहा जाता है। अक्सर सटीक संख्या के बजाय अनुमानित संख्या का उपयोग करना सुविधाजनक होता है, खासकर जब से कई मामलों में सटीक संख्या बिल्कुल नहीं मिल पाती है।

इसलिए, यदि वे कहते हैं कि कक्षा में 29 छात्र हैं, तो संख्या 29 सटीक है। यदि वे कहते हैं कि मॉस्को से कीव की दूरी 960 किमी है, तो यहां संख्या 960 अनुमानित है, क्योंकि, एक तरफ, हमारे मापने वाले उपकरण बिल्कुल सटीक नहीं हैं, दूसरी तरफ, शहरों में स्वयं कुछ हद तक है।

अनुमानित संख्याओं के साथ संक्रियाओं का परिणाम भी एक अनुमानित संख्या ही होता है। सटीक संख्याओं पर कुछ ऑपरेशन करके (विभाजित करना, मूल निकालना), आप अनुमानित संख्याएँ भी प्राप्त कर सकते हैं।

अनुमानित गणना का सिद्धांत अनुमति देता है:

1) डेटा की सटीकता की डिग्री जानने के बाद, परिणामों की सटीकता की डिग्री का आकलन करें;

2) सटीकता की उचित डिग्री के साथ डेटा लें, जो परिणाम की आवश्यक सटीकता सुनिश्चित करने के लिए पर्याप्त हो;

3) गणना प्रक्रिया को युक्तिसंगत बनाएं, इसे उन गणनाओं से मुक्त करें जो परिणाम की सटीकता को प्रभावित नहीं करेंगी।

2. गोलाई.अनुमानित संख्याओं का एक स्रोत पूर्णांकन है। अनुमानित और सटीक दोनों संख्याओं को पूर्णांकित करें।

किसी दी गई संख्या को उसके कुछ अंकों तक पूर्णांकित करना उसे एक नई संख्या से प्रतिस्थापित करना है, जो दी गई संख्या से इस अंक के दाईं ओर लिखे उसके सभी अंकों को हटाकर, या उन्हें शून्य से प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया जाता है। ये शून्य आमतौर पर रेखांकित या छोटे लिखे जाते हैं। पूर्णांकित संख्या की पूर्णांकित संख्या से अधिकतम निकटता सुनिश्चित करने के लिए, निम्नलिखित नियमों का उपयोग किया जाना चाहिए: किसी संख्या को एक निश्चित अंक में पूर्णांकित करने के लिए, आपको इस अंक के अंक के बाद के सभी अंकों को छोड़ना होगा, और उन्हें प्रतिस्थापित करना होगा पूर्ण संख्या में शून्य के साथ. यह निम्नलिखित को ध्यान में रखता है:

1) यदि छोड़े गए अंकों में से पहला (बाएं) 5 से कम है, तो अंतिम शेष अंक नहीं बदला जाएगा (नीचे पूर्णांकित किया जाएगा);

2) यदि पहला छोड़ा गया अंक 5 से अधिक या 5 के बराबर है, तो अंतिम शेष अंक एक (पूर्णांकित) बढ़ा दिया जाता है।

आइए इसे उदाहरणों के साथ दिखाते हैं। बढ़ाना:

ए) 12.34 के दसवें हिस्से तक;

बी) 3.2465 के सौवें हिस्से तक; 1038.785;

ग) 3.4335 के हजारवें हिस्से तक।

घ) 12375 हजार तक; 320729.

ए) 12.34 ≈ 12.3;

बी) 3.2465 ≈ 3.25; 1038.785 ≈ 1038.79;

ग) 3.4335 ≈ 3.434।

घ) 12375 ≈ 12,000; 320729 ≈ 321000.

3. निरपेक्ष एवं सापेक्ष त्रुटियाँ।सटीक संख्या और उसके अनुमानित मान के बीच के अंतर को अनुमानित संख्या की निरपेक्ष त्रुटि कहा जाता है। उदाहरण के लिए, यदि सटीक संख्या 1.214 को दसवें तक पूर्णांकित किया जाए, तो हमें 1.2 की अनुमानित संख्या प्राप्त होती है। इस मामले में, अनुमानित संख्या 1.2 की पूर्ण त्रुटि 1.214 - 1.2 है, अर्थात। 0.014.

लेकिन ज्यादातर मामलों में, विचाराधीन मात्रा का सटीक मूल्य अज्ञात है, लेकिन केवल अनुमानित है। तब पूर्ण त्रुटि भी अज्ञात है. इन मामलों में, उस सीमा को इंगित करें जिससे यह अधिक न हो। इस संख्या को सीमांत निरपेक्ष त्रुटि कहा जाता है। वे कहते हैं कि किसी संख्या का सटीक मान सीमा त्रुटि से कम त्रुटि के साथ उसके अनुमानित मान के बराबर होता है। उदाहरण के लिए, संख्या 23.71 0.01 की सटीकता के साथ संख्या 23.7125 का अनुमानित मान है, क्योंकि पूर्ण सन्निकटन त्रुटि 0.0025 है और 0.01 से कम है। यहां सीमा निरपेक्ष त्रुटि 0.01 * के बराबर है।

अनुमानित संख्या की सीमा निरपेक्ष त्रुटि एप्रतीक Δ द्वारा निरूपित ए. रिकॉर्डिंग

एक्स≈ए(±Δ ए)

इसे इस प्रकार समझा जाना चाहिए: मात्रा का सटीक मूल्य एक्सबीच में है ए– Δ एऔर ए+ Δ ए, जिन्हें क्रमशः निचली और ऊपरी सीमाएँ कहा जाता है। एक्सऔर एनजी को निरूपित करें एक्सवीजी एक्स.

उदाहरण के लिए, यदि एक्स≈ 2.3 (±0.1), फिर 2.2<एक्स< 2,4.

इसके विपरीत, यदि 7.3< एक्स< 7,4, тоएक्स≈ 7.35 (±0.05). पूर्ण या सीमांत पूर्ण त्रुटि माप की गुणवत्ता की विशेषता नहीं बताती है। मापे गए मान को व्यक्त करने वाली संख्या के आधार पर उसी पूर्ण त्रुटि को महत्वपूर्ण और महत्वहीन माना जा सकता है। उदाहरण के लिए, यदि हम दो शहरों के बीच की दूरी को एक किलोमीटर की सटीकता के साथ मापते हैं, तो ऐसी सटीकता इस परिवर्तन के लिए काफी पर्याप्त है, जबकि उसी समय, जब एक ही सड़क पर दो घरों के बीच की दूरी को मापते हैं, तो ऐसी सटीकता होगी गवारा नहीं। इसलिए, किसी मात्रा के अनुमानित मूल्य की सटीकता न केवल पूर्ण त्रुटि के परिमाण पर निर्भर करती है, बल्कि मापी गई मात्रा के मूल्य पर भी निर्भर करती है। इसलिए, सटीकता का माप सापेक्ष त्रुटि है।

सापेक्ष त्रुटि पूर्ण त्रुटि का अनुमानित संख्या के मान से अनुपात है। सीमा निरपेक्ष त्रुटि और अनुमानित संख्या के अनुपात को सीमा सापेक्ष त्रुटि कहा जाता है; इसे इस प्रकार निरूपित करें: सापेक्ष और सीमा सापेक्ष त्रुटियाँ आमतौर पर प्रतिशत के रूप में व्यक्त की जाती हैं। उदाहरण के लिए, यदि माप से पता चलता है कि दूरी एक्सदो बिंदुओं के बीच 12.3 किमी से अधिक, लेकिन 12.7 किमी से कम है, तो इन दो संख्याओं का अंकगणितीय माध्य अनुमानित मान के रूप में लिया जाता है, अर्थात। उनका आधा योग, फिर सीमा निरपेक्ष त्रुटि इन संख्याओं के आधे अंतर के बराबर है। इस मामले में एक्स≈ 12.5 (±0.2). यहां, सीमा निरपेक्ष त्रुटि 0.2 किमी है, और सीमा सापेक्ष है