सूचना विज्ञान पर पाठ एक सामान्य शिक्षा स्कूल के 10 वीं कक्षा के छात्रों के लिए डिज़ाइन किया गया है, जिसके पाठ्यक्रम में "तर्क का बीजगणित" अनुभाग शामिल है। यह विषय छात्रों के लिए बहुत कठिन है, इसलिए एक शिक्षक के रूप में, मैं उन्हें तर्क के नियमों का अध्ययन करने, तार्किक अभिव्यक्तियों को सरल बनाने और रुचि के साथ तार्किक समस्याओं के समाधान में रुचि लेना चाहता था। सामान्य रूप में, इस विषय पर पाठ देना कठिन और परेशानी भरा होता है, और कुछ परिभाषाएँ बच्चों को हमेशा स्पष्ट नहीं होती हैं। सूचना स्थान के प्रावधान के संबंध में, मुझे अपने पाठों को "सीखने" शेल में पोस्ट करने का अवसर मिला। इसमें पंजीकृत छात्र अपने खाली समय में इस पाठ्यक्रम में भाग ले सकते हैं और पाठ में जो स्पष्ट नहीं था उसे दोबारा पढ़ सकते हैं। कुछ छात्र, बीमारी के कारण छूटे हुए पाठ को घर या स्कूल में याद करते हैं और अगले पाठ के लिए हमेशा तैयार रहते हैं। शिक्षण का यह रूप कई बच्चों के लिए बहुत उपयुक्त है, और जो कानून उनके लिए समझ से बाहर थे, वे अब कंप्यूटर के माध्यम से बहुत आसानी से और तेजी से सीखे जाते हैं। मैं इनमें से एक सूचना विज्ञान पाठ की पेशकश करता हूं, जो आईसीटी के साथ एकीकृत रूप से संचालित किया जाता है।

शिक्षण योजना

1. कंप्यूटर की भागीदारी के साथ नई सामग्री की व्याख्या - 25 मिनट।
2. "सीखने" में दी गई बुनियादी अवधारणाएँ और परिभाषाएँ - 10 मिनट।
3. जिज्ञासुओं के लिए सामग्री - 5 मिनट।
4. होमवर्क - 5 मिनट.

1. नई सामग्री की व्याख्या

औपचारिक तर्क के नियम

विचारों के बीच सबसे सरल और सबसे आवश्यक सच्चा संबंध औपचारिक तर्क के बुनियादी नियमों में व्यक्त किया गया है। ये पहचान, गैर-विरोधाभास, बहिष्कृत मध्य, पर्याप्त कारण के नियम हैं।

ये नियम मौलिक हैं क्योंकि तर्क में वे विशेष रूप से महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं, वे सबसे सामान्य हैं। वे आपको तार्किक अभिव्यक्तियों को सरल बनाने और निष्कर्ष और प्रमाण बनाने की अनुमति देते हैं। उपरोक्त कानूनों में से पहले तीन को अरस्तू द्वारा पहचाना और तैयार किया गया था, और पर्याप्त कारण का कानून - जी. लीबनिज़ द्वारा।

पहचान का नियम: एक निश्चित तर्क की प्रक्रिया में, प्रत्येक अवधारणा और निर्णय स्वयं के समान होना चाहिए।

गैर-विरोधाभास का नियम: यह असंभव है कि एक ही समय में एक ही आंख एक ही चीज में समान संबंध में निहित हो और न हो। यानी एक ही समय में किसी बात की पुष्टि और खंडन करना असंभव है।

बहिष्कृत मध्य का नियम: दो विरोधाभासी प्रस्तावों में से एक सत्य है, दूसरा गलत है, और तीसरा नहीं दिया गया है।

पर्याप्त कारण का नियम: प्रत्येक सच्चे विचार को पर्याप्त रूप से उचित ठहराया जाना चाहिए।

अंतिम नियम कहता है कि किसी चीज़ का प्रमाण सटीक और केवल सच्चे विचारों के औचित्य को मानता है। मिथ्या विचार सिद्ध नहीं किये जा सकते। एक अच्छी लैटिन कहावत है: "गलती करना हर व्यक्ति के लिए आम बात है, लेकिन गलती पर अड़े रहना केवल मूर्ख ही होता है।" इस कानून का कोई फार्मूला नहीं है, क्योंकि इसका केवल एक सारगर्भित चरित्र है। सच्चे विचार की पुष्टि के लिए तर्क के रूप में सच्चे निर्णय, तथ्यात्मक सामग्री, सांख्यिकीय डेटा, विज्ञान के नियम, स्वयंसिद्ध, सिद्ध प्रमेयों का उपयोग किया जा सकता है।

प्रस्तावक बीजगणित के नियम

प्रस्तावों का बीजगणित (तर्क का बीजगणित) गणितीय तर्क का एक खंड है जो प्रस्तावों पर तार्किक संचालन और जटिल प्रस्तावों को बदलने के नियमों का अध्ययन करता है।

कई तार्किक समस्याओं को हल करते समय, उनकी शर्तों को औपचारिक बनाकर प्राप्त सूत्रों को सरल बनाना अक्सर आवश्यक होता है। प्रस्तावों के बीजगणित में सूत्रों का सरलीकरण बुनियादी तार्किक कानूनों के आधार पर समकक्ष परिवर्तनों के आधार पर किया जाता है।

प्रस्तावों के बीजगणित (तर्क के बीजगणित) के नियम तनातनी हैं।

कभी-कभी इन नियमों को प्रमेय कहा जाता है।

प्रस्तावित बीजगणित में, तार्किक कानूनों को समकक्ष सूत्रों की समानता के रूप में व्यक्त किया जाता है। कानूनों में, वे विशेष रूप से प्रतिष्ठित हैं जिनमें एक चर होता है।

निम्नलिखित कानूनों में से पहले चार प्रस्तावित बीजगणित के बुनियादी कानून हैं।

पहचान कानून:

प्रत्येक अवधारणा और निर्णय स्वयं के समान है।

पहचान के नियम का अर्थ है कि तर्क की प्रक्रिया में कोई एक विचार को दूसरे से, एक अवधारणा को दूसरे से प्रतिस्थापित नहीं कर सकता है। यदि इस कानून का उल्लंघन किया जाता है, तो तार्किक त्रुटियाँ संभव हैं।

उदाहरण के लिए, चर्चा वे सही कहते हैं कि जीभ आपको कीव ले आएगी, लेकिन मैंने कल स्मोक्ड जीभ खरीदी, जिसका मतलब है कि अब मैं सुरक्षित रूप से कीव जा सकता हूंगलत, क्योंकि पहला और दूसरा शब्द "भाषा" अलग-अलग अवधारणाओं को दर्शाता है।

चर्चा में: गति शाश्वत है. स्कूल जाना आंदोलन है. इसलिए, स्कूल जाना हमेशा के लिए हैशब्द "गति" का प्रयोग दो अलग-अलग अर्थों में किया जाता है (पहला - दार्शनिक अर्थ में - पदार्थ के गुण के रूप में, दूसरा - सामान्य अर्थ में - अंतरिक्ष में गति करने की क्रिया के रूप में), जिससे गलत निष्कर्ष निकलता है।

गैर-विरोधाभास का नियम:

एक प्रस्ताव और उसका निषेध एक ही समय में सत्य नहीं हो सकते। अर्थात्, यदि कथन एसत्य है तो उसका निषेध ए नहींझूठा होना चाहिए (और इसके विपरीत)। तब उनका उत्पाद सदैव झूठा होगा।

यह वह समानता है जिसका उपयोग अक्सर जटिल तार्किक अभिव्यक्तियों को सरल बनाते समय किया जाता है।

कभी-कभी यह कानून इस प्रकार तैयार किया जाता है: दो कथन जो एक-दूसरे का खंडन करते हैं वे एक ही समय में सत्य नहीं हो सकते। गैर-विरोधाभास के कानून का अनुपालन न करने के उदाहरण:

1. मंगल ग्रह पर जीवन है और मंगल ग्रह पर कोई जीवन नहीं है।

2. ओलेया ने हाई स्कूल से स्नातक किया है और 10वीं कक्षा में है।

बहिष्कृत मध्य का नियम:

समय के एक ही क्षण में, कथन सत्य या असत्य हो सकता है, कोई तीसरा नहीं है। सच भी है ए,या ए नहीं.बहिष्कृत मध्य के कानून के कार्यान्वयन के उदाहरण:

1. संख्या 12345 या तो सम है या विषम, कोई तीसरा नहीं है।

2. कंपनी घाटे में या घाटे में चल रही है।

3. यह तरल अम्ल हो भी सकता है और नहीं भी।

बहिष्कृत मध्य का नियम सभी तर्कशास्त्रियों द्वारा तर्क के सार्वभौमिक नियम के रूप में मान्यता प्राप्त कानून नहीं है। यह नियम वहां लागू होता है जहां ज्ञान एक कठोर स्थिति से निपटता है: "या तो - या", "सच्चा-झूठा"। जहां अनिश्चितता है (उदाहरण के लिए, भविष्य के बारे में तर्क में), बहिष्कृत मध्य का नियम अक्सर लागू नहीं किया जा सकता है।

निम्नलिखित कथन पर विचार करें: यह सुझाव ग़लत है.यह सच नहीं हो सकता क्योंकि यह झूठ होने का दावा करता है। लेकिन यह झूठ भी नहीं हो सकता, क्योंकि तब यह सच होगा। यह कथन न तो सत्य है और न ही असत्य, और इसलिए बहिष्कृत मध्य के नियम का उल्लंघन होता है।

विरोधाभास(ग्रीक विरोधाभास - अप्रत्याशित, अजीब) इस उदाहरण में इस तथ्य से उत्पन्न होता है कि वाक्य स्वयं को संदर्भित करता है। एक और प्रसिद्ध विरोधाभास नाई की समस्या है: एक शहर में, एक नाई सभी निवासियों के बाल काटता है, सिवाय उन लोगों के जो अपने बाल खुद काटते हैं। नाई के बाल कौन काटता है?तर्कशास्त्र में इसकी औपचारिकता के कारण ऐसे स्व-संदर्भित कथन का स्वरूप प्राप्त करना संभव नहीं है। यह एक बार फिर इस विचार की पुष्टि करता है कि तर्क के बीजगणित की सहायता से सभी संभावित विचारों और तर्कों को व्यक्त करना असंभव है। आइए हम दिखाएं कि प्रस्तावात्मक तुल्यता की परिभाषा के आधार पर, प्रस्तावात्मक बीजगणित के बाकी नियम कैसे प्राप्त किए जा सकते हैं।

उदाहरण के लिए, आइए परिभाषित करें कि (के बराबर) क्या है ए(दो बार नहीं) ए,यानी नकार का नकार ए)।ऐसा करने के लिए, हम एक सत्य तालिका बनाएंगे:

समतुल्यता की परिभाषा के अनुसार, हमें वह कॉलम ढूंढना होगा जिसका मान कॉलम के मानों से मेल खाता हो एक।यह कॉलम होगा एक।

इस प्रकार, हम सूत्रीकरण कर सकते हैं दोहरा कानूननिषेध:

यदि हम किसी कथन को दो बार अस्वीकार करते हैं, तो परिणाम मूल कथन होता है। उदाहरण के लिए, कथन ए= मैट्रोस्किन- बिल्लीकहने के बराबर है ए = यह सच नहीं है कि मैट्रोस्किन एक बिल्ली नहीं है।

इसी प्रकार, निम्नलिखित कानूनों को प्राप्त और सत्यापित किया जा सकता है:

निरंतर गुण:

निष्क्रियता के नियम:

चाहे हम कितनी भी बार दोहराएँ: टीवी चालू या टीवी चालू या टीवी चालू...वाक्य का अर्थ नहीं बदलेगा. इसी प्रकार पुनरावृत्ति से बाहर गर्मी है, बाहर गर्मी है...एक डिग्री अधिक गरम नहीं.

क्रमविनिमेयता के नियम:

ए वी बी = बी वी ए

ए और बी = बी और ए

ऑपरेंड एऔर मेंविच्छेदन और संयोजन की संक्रियाओं में परस्पर परिवर्तन किया जा सकता है।

साहचर्यता कानून:

ए वी(बी वी सी) = (ए वी बी) वी सी;

ए और (बी और सी) = (ए और बी) और सी।

यदि अभिव्यक्ति केवल वियोजन संक्रिया या केवल संयोजन संक्रिया का उपयोग करती है, तो आप कोष्ठक की उपेक्षा कर सकते हैं या उन्हें मनमाने ढंग से व्यवस्थित कर सकते हैं।

वितरण कानून:

ए वी (बी और सी) = (ए वी बी) और (ए वी सी)

(वितरणात्मक वियोजन
संयोजन के संबंध में)

ए और (बी वी सी) = (ए और बी) वी (ए और सी)

(संयोजन की वितरणशीलता
विच्छेद के संबंध में)

विच्छेदन के संबंध में संयोजन का वितरणात्मक नियम बीजगणित में वितरणात्मक नियम के समान है, लेकिन संयोजन के संबंध में वितरणात्मक वियोजन के नियम का कोई अनुरूप नहीं है, यह केवल तर्क में मान्य है। अत: इसे सिद्ध करना आवश्यक है। सत्य तालिका का उपयोग करके प्रमाण सबसे अच्छा किया जाता है:

अवशोषण नियम:

ए वी (ए और बी) = ए

ए और (ए वी बी) = ए

अवशोषण कानूनों का प्रमाण स्वयं प्रस्तुत करें।

डी मॉर्गन के नियम:

डी मॉर्गन के नियमों का मौखिक सूत्रीकरण:

स्मरणीय नियम:पहचान के बाईं ओर, निषेध की संक्रिया संपूर्ण कथन के ऊपर है। दाहिनी ओर, यह टूटा हुआ प्रतीत होता है और प्रत्येक सरल कथन के ऊपर निषेध खड़ा होता है, लेकिन साथ ही संक्रिया बदल जाती है: वियोजन से संयोजन और इसके विपरीत।

डी मॉर्गन के नियम के कार्यान्वयन के उदाहरण:

1) कथन यह सत्य नहीं है कि मैं अरबी या चीनी जानता हूँकथन के समान है मैं अरबी नहीं जानता और मैं चीनी नहीं जानता।

2) कथन यह सच नहीं है कि मैंने अपना पाठ सीखा और उस पर डी प्राप्त कियाकथन के समान है या तो मैंने पाठ नहीं सीखा, या मुझे उस पर ए नहीं मिला।

निहितार्थ और तुल्यता संचालन का प्रतिस्थापन

निहितार्थ और तुल्यता के संचालन कभी-कभी किसी प्रोग्रामिंग भाषा से किसी विशेष कंप्यूटर या कंपाइलर के तार्किक संचालन में से नहीं होते हैं। हालाँकि, ये ऑपरेशन कई समस्याओं के समाधान के लिए आवश्यक हैं। इन संक्रियाओं को निषेध, विच्छेद और संयोजन संक्रियाओं के अनुक्रम से बदलने के नियम हैं।

तो, ऑपरेशन बदलें आशयनिम्नलिखित नियम के अनुसार संभव:

ऑपरेशन को बदलने के लिए समानकदो नियम हैं:

दोनों पहचानों के दाएं और बाएं पक्षों के लिए सत्य सारणी बनाकर इन सूत्रों की वैधता को सत्यापित करना आसान है।

निहितार्थ और तुल्यता के संचालन को प्रतिस्थापित करने के नियमों का ज्ञान, उदाहरण के लिए, किसी निहितार्थ के निषेध का सही ढंग से निर्माण करने में मदद करता है।

निम्नलिखित उदाहरण पर विचार करें.

आइए बयान दिया जाए:

ई = यह सत्य नहीं है कि यदि मैं प्रतियोगिता जीतूंगा तो मुझे पुरस्कार मिलेगा।

होने देना ए= मैं प्रतियोगिता जीतूंगा

बी = मुझे पुरस्कार मिलेगा.

इसलिए, E = मैं प्रतियोगिता जीतूंगा, लेकिन मुझे पुरस्कार नहीं मिलेगा।

निम्नलिखित नियम भी रुचिकर हैं:

आप सत्य तालिकाओं का उपयोग करके भी उनकी वैधता सिद्ध कर सकते हैं।

प्राकृतिक भाषा में इनकी अभिव्यक्ति रोचक है.

उदाहरण के लिए, वाक्यांश

यदि विनी द पूह ने शहद खा लिया, तो उसका पेट भर गया

वाक्यांश के समान है

अगर विनी द पूह का पेट नहीं भरा तो उसने शहद नहीं खाया।

व्यायाम:इन नियमों पर वाक्यांश-उदाहरणों के बारे में सोचें।

2. बुनियादी अवधारणाएँ और परिभाषाएँपरिशिष्ट 1 में

3. जिज्ञासुओं के लिए सामग्रीपरिशिष्ट 2 में

4. गृहकार्य

1) सूचना स्थान (www.learning.9151394.ru) में स्थित तर्क के बीजगणित पाठ्यक्रम का उपयोग करके तर्क के नियम सीखें।

2) सत्य तालिका बनाकर एक पीसी पर डी मॉर्गन के नियमों के प्रमाण की जाँच करें।

अनुप्रयोग

1. बुनियादी अवधारणाएँ और परिभाषाएँ (परिशिष्ट 1)।
2. जिज्ञासुओं के लिए सामग्री (परिशिष्ट 2)।

1.3.1. कथन
1.3.2. तार्किक संचालन
1.3.3. तार्किक अभिव्यक्तियों के लिए सत्य तालिकाओं का निर्माण
1.3.4. तार्किक संक्रियाओं के गुण
1.3.5. तार्किक समस्याओं का समाधान
1.3.6. तर्क तत्व

1. पाठ्यपुस्तक के इलेक्ट्रॉनिक पूरक में शामिल पैराग्राफ के लिए प्रस्तुति सामग्री से खुद को परिचित करें। क्या प्रस्तुतिकरण अनुच्छेद के पाठ में निहित जानकारी का पूरक है?

2. बताएं कि निम्नलिखित वाक्य कथन क्यों नहीं हैं।
1) यह घर किस रंग का है?
2) संख्या X एक से अधिक नहीं है।
3) 4X+3.
4) खिड़की से बाहर देखो.
5) टमाटर का जूस पियें!
6) यह विषय उबाऊ है.
7) रिकी मार्टिन सबसे लोकप्रिय गायक हैं।
8) क्या आप थिएटर गए हैं?

3. जीव विज्ञान, भूगोल, कंप्यूटर विज्ञान, इतिहास, गणित, साहित्य से सत्य और असत्य कथनों का एक उदाहरण दीजिए।

4. निम्नलिखित कथनों में, सरल कथनों को उजागर करें, उनमें से प्रत्येक को एक अक्षर से चिह्नित करें; तार्किक संचालन के अक्षरों और संकेतों का उपयोग करके प्रत्येक यौगिक कथन को लिखें।
1) संख्या 376 सम और तीन अंकों वाली है।
2) सर्दियों में बच्चे स्केटिंग या स्कीइंग करने जाते हैं।
3) हम नया साल दचा में या रेड स्क्वायर पर मनाएंगे।
4) यह सत्य नहीं है कि सूर्य पृथ्वी के चारों ओर घूमता है।
5) पृथ्वी एक गेंद के आकार की है, जो अंतरिक्ष से नीली दिखती है।
6) गणित के पाठ में, हाई स्कूल के छात्रों ने शिक्षक के सवालों के जवाब दिए, और स्वतंत्र कार्य भी लिखा।

5. निम्नलिखित कथनों के नकारात्मक की रचना कीजिए।

6. मान लीजिए A \u003d "Any को गणित का पाठ पसंद है", और B \u003d "Ay को रसायन शास्त्र का पाठ पसंद है।" निम्नलिखित सूत्रों को सरल भाषा में व्यक्त करें:

7. इंटरनेट नेटवर्क के कुछ खंड में 1000 साइटें हैं। खोज सर्वर ने स्वचालित रूप से इस खंड की साइटों के लिए कीवर्ड की एक तालिका संकलित की। यहाँ उसका अंश है:

920; 80.

8. निम्नलिखित तार्किक अभिव्यक्तियों के लिए सत्य तालिकाएँ बनाएँ:

9. सत्य तालिकाओं का उपयोग करके पैराग्राफ में विचार किए गए तार्किक कानूनों का प्रमाण दें।

10. दशमलव संख्या प्रणाली में तीन संख्याएँ दी गई हैं: A=23, B=19, C=26. ए, बी और सी को बाइनरी संख्या प्रणाली में परिवर्तित करें और बिटवाइज़ तार्किक संचालन (ए वी बी) और सी करें। उत्तर दशमलव संख्या प्रणाली में दें।

11. भावों का अर्थ खोजें:

12. तार्किक व्यंजक (x) का मान ज्ञात कीजिए
1) 1
2) 2
3) 3
4) 4
1) 0. 2) 0. 3) 1. 4) 1.

13. मान लीजिए A = "नाम का पहला अक्षर एक स्वर है", B = "नाम का चौथा अक्षर एक व्यंजन है।" निम्नलिखित नामों के लिए तार्किक अभिव्यक्ति A v B का मान ज्ञात कीजिए:
1) ऐलेना 2) वादिम 3) एंटोन 4) फेडर
1) 1. 2) 1. 3) 0. 4) 1.

14. जॉन, ब्राउन और स्मिथ का मामला निपटाया जा रहा है। यह ज्ञात है कि उनमें से एक ने खजाना पाया और छुपाया। जांच के दौरान, प्रत्येक संदिग्ध ने दो बयान दिए:
स्मिथ: "मैंने ऐसा नहीं किया। ब्राउन ने यह किया।"
जॉन: "ब्राउन दोषी नहीं है. स्मिथ ने यह किया।"
ब्राउन: मैंने ऐसा नहीं किया। जॉन ने ऐसा नहीं किया।"
अदालत ने पाया कि उनमें से एक ने दो बार झूठ बोला, दूसरे ने दो बार सच कहा, तीसरे ने एक बार झूठ बोला, एक बार सच कहा। किस संदिग्ध को बरी किया जाना चाहिए?
उत्तर: स्मिथ और जॉन.

15. एलोशा, बोर्या और ग्रिशा को जमीन में एक पुराना बर्तन मिला। आश्चर्यजनक खोज पर विचार करते हुए, प्रत्येक ने दो धारणाएँ बनाईं:
1) एलोशा: "यह जहाज ग्रीक है और 5वीं शताब्दी में बना है।"
2) बोरिया: "यह एक फोनीशियन जहाज है और तीसरी शताब्दी में बनाया गया था।"
3) ग्रिशा: "यह जहाज ग्रीक नहीं है और चौथी शताब्दी में बनाया गया था।"
इतिहास के शिक्षक ने बच्चों को बताया कि उनमें से प्रत्येक दो धारणाओं में से केवल एक में सही था। जहाज कहाँ और किस शताब्दी में बनाया गया था?
उत्तर: फोनीशियन जहाज, 5वीं शताब्दी में बना।

16. पता लगाएं कि इनपुट पर सिग्नल के प्रत्येक संभावित सेट के लिए इलेक्ट्रॉनिक सर्किट के आउटपुट पर कौन सा सिग्नल होना चाहिए। सर्किट की एक वर्कशीट बनाएं। कौन सी तार्किक अभिव्यक्ति सर्किट का वर्णन करती है?

तार्किक अभिव्यक्तियों के लिए सत्य तालिकाओं का निर्माण

इंतिहान बुनियादी तार्किक संचालन.

53. तालिका इंटरनेट के एक निश्चित खंड के लिए क्वेरीज़ और उन पर पाए गए पृष्ठों की संख्या दिखाती है।

अनुरोध	पन्ने मिले (हजारों में)
चॉकलेट | ज़ेफिर	15 000
चॉकलेट और संगमरमर	8 000
ज़ेफिर	12 000

प्रश्न CHOCOLATE के लिए कितने पृष्ठ (हजारों में) मिलेंगे? यूलर सर्कल का उपयोग करके समस्या का समाधान करें:

54. तालिका इंटरनेट के एक निश्चित खंड के लिए क्वेरी और उन पर पाए गए पृष्ठों की संख्या दिखाती है।

अनुरोध	पन्ने मिले (हजारों में)
ज़ुबर और टूर	5 000
बाइसन	18 000
यात्रा	12 000

ZUBR | क्वेरी के लिए कितने पेज (हजारों में) मिलेंगे यात्रा?यूलर सर्कल का उपयोग करके समस्या का समाधान करें:

55. तालिका इंटरनेट के एक निश्चित खंड के लिए क्वेरीज़ और उन पर पाए गए पृष्ठों की संख्या दिखाती है।

अनुरोध	पन्ने मिले (हजारों में)
फुटबॉल | हॉकी	20 000
फ़ुटबॉल	14 000
हॉकी	16 000

फुटबॉल और हॉकी के लिए कितने पेज (हजारों में) मिलेंगे? यूलर सर्कल का उपयोग करके समस्या का समाधान करें:

कार्य.

1. बताएं कि निम्नलिखित वाक्य कथन क्यों नहीं हैं।

1) यह घर किस रंग का है?

2) संख्या X एक से अधिक नहीं है।

4) खिड़की से बाहर देखो.

5) टमाटर का जूस पियें!

6) यह विषय उबाऊ है.

7) रिकी मार्टिन सबसे लोकप्रिय गायक हैं।

8) क्या आप थिएटर गए हैं?

3. निम्नलिखित कथनों में, सरल कथनों को उजागर करें, उनमें से प्रत्येक को एक अक्षर से चिह्नित करें; तार्किक संचालन के अक्षरों और संकेतों का उपयोग करके प्रत्येक यौगिक कथन को लिखें।

1) संख्या 376 सम और तीन अंकों वाली है।

2) सर्दियों में बच्चे स्केटिंग या स्कीइंग करने जाते हैं।

3) हम नया साल दचा में या रेड स्क्वायर पर मनाएंगे।

4) यह सत्य नहीं है कि सूर्य पृथ्वी के चारों ओर घूमता है।

5) पृथ्वी एक गेंद के आकार की है, जो अंतरिक्ष से नीली दिखती है।

6) गणित के पाठ में, हाई स्कूल के छात्रों ने शिक्षक के सवालों के जवाब दिए, और स्वतंत्र कार्य भी लिखा।

4. निम्नलिखित कथनों की नकारात्मकताएँ बनाएँ।

1) आज थिएटर ओपेरा "यूजीन वनगिन" का प्रदर्शन कर रहा है।

2) हर शिकारी जानना चाहता है कि तीतर कहाँ बैठा है।

3) संख्या 1 एक अभाज्य संख्या है।

4) O पर समाप्त होने वाली प्राकृतिक संख्याएँ अभाज्य संख्याएँ नहीं हैं।

5) यह सत्य नहीं है कि संख्या 3, संख्या 198 का ​​भाजक नहीं है।

6) कोल्या ने परीक्षण के सभी कार्यों को हल किया।

7) प्रत्येक विद्यालय में कुछ विद्यार्थी खेलों में रुचि रखते हैं।

8) कुछ स्तनधारी ज़मीन पर नहीं रहते।

5. चलो ए \u003d " आन्या को गणित का पाठ पसंद है", और बी = " लेकिन नहींमुझे रसायन शास्त्र के पाठ पसंद हैं। निम्नलिखित सूत्रों को सरल भाषा में व्यक्त करें:

6. चित्र में दिखाए गए विद्युत परिपथों पर विचार करें:

वे भौतिकी पाठ्यक्रम से आपको ज्ञात स्विचों के समानांतर और श्रृंखला कनेक्शन दिखाते हैं। पहले मामले में, बल्ब को जलाने के लिए दोनों स्विच चालू करने होंगे। दूसरे मामले में, स्विचों में से एक को चालू करना पर्याप्त है। विद्युत सर्किट के तत्वों और वस्तुओं और तर्क के बीजगणित के संचालन के बीच स्वतंत्र रूप से एक सादृश्य बनाने का प्रयास करें:

वायरिंग का नक्शा	तर्क का बीजगणित
बदलना
चालू करना
बंद करना
स्विचों का सीरियल कनेक्शन
स्विचों का समानांतर कनेक्शन

7. इंटरनेट नेटवर्क के कुछ खंड में 1000 साइटें हैं। खोज सर्वर ने स्वचालित रूप से इस खंड की साइटों के लिए कीवर्ड की एक तालिका संकलित की। यहाँ उसका अंश है:

कीवर्ड	उन साइटों की संख्या जिनके लिए यह शब्द एक कीवर्ड है
कैटफ़िश	250
तलवारबाज	200
गप्पे	500

अनुरोध पर कैटफ़िश और गप्पीअनुरोध पर 0 साइटें मिलीं कैटफ़िश और तलवार की पूंछ- 20 साइटें, और अनुरोध पर तलवार की पूंछ और गप्पी- 10 साइटें.अनुरोध पर कितनी साइटें मिलेंगी कैटफ़िश | तलवारबाज | गप्पे?
विचाराधीन खंड की कितनी साइटों के लिए कथन गलत है"कैटफ़िश - साइट का कीवर्ड या तलवारबाज़ -साइट कीवर्ड या गप्पी - साइट कीवर्ड"?
8. निम्नलिखित तार्किक अभिव्यक्तियों के लिए सत्य तालिकाएँ बनाएँ:

9. पैराग्राफ में माने गए तर्क को सिद्ध करें सत्य तालिकाओं की सहायता से कुछ कानून।

दशमलव संख्या प्रणाली में तीन संख्याएँ दी गई हैं: ए = 23, बी = 19, सी = 26। ए, बी और सी को बाइनरी संख्या प्रणाली में बदलें और बिटवाइज़ तार्किक संचालन करें (ए वी बी) और सी। उत्तर दें दशमलव संख्या प्रणाली.
11. अभिव्यक्ति मान खोजें:
1) (1 वि 1) वि (1 वि 0);
2) ((1 वि0) वि 1) वि 1);
3) (0 & 1) & 1;
4) 1 & (1 & 1) & 1;
5) ((1 वि0) एवं (1 एवं 1)) एवं (0 वि0 1);
6) ((1 एवं 1) वि 0) एवं (0 वि 1);
7) ((0 एवं 0) वी 0) एवं (1 वी 1);
8) (अ वि 1) वि (ब वि 0);
9) ((1 एवं ए) वी (बी एवं 0)) वी 1;
10) 1 वि ए एवं 0.
12. बूलियन अभिव्यक्ति का मान ज्ञात कीजिए

के लिए संख्या X के निर्दिष्ट मान: 1) 1 2) 2 3) 3 4) 4

तर्क के सूत्र और नियम

पर एक परिचयात्मक पाठ में गणितीय तर्क की बुनियादी बातें, हम गणित के इस खंड की बुनियादी अवधारणाओं से परिचित हो गए, और अब इस विषय को स्वाभाविक निरंतरता मिल रही है। नए सैद्धांतिक, या सैद्धांतिक भी नहीं - बल्कि सामान्य शैक्षिक सामग्री के अलावा, व्यावहारिक कार्य हमारा इंतजार कर रहे हैं, और इसलिए यदि आप किसी खोज इंजन से इस पृष्ठ पर आए हैं और/या सामग्री में खराब उन्मुख हैं, तो कृपया लिंक का अनुसरण करें ऊपर और पिछले लेख से शुरू करें। इसके अलावा, अभ्यास के लिए हमें 5 की आवश्यकता है सत्य सारणी तार्किक संचालनजो मैं अत्यधिक सिफारिश किया जाता है हाथ से पुनः लिखें.

याद न रखें, प्रिंट न करें, अर्थात्, एक बार फिर से समझें और अपने हाथ से कागज पर फिर से लिखें - ताकि वे आपकी आंखों के सामने हों:

- तालिका नहीं;
- टेबल I;
– या टेबल;
- निहितार्थ तालिका;
- तुल्यता तालिका.

बहुत जरुरी है। सिद्धांत रूप में, उन्हें क्रमांकित करना सुविधाजनक होगा "तालिका 1", "तालिका 2", आदि।, लेकिन मैंने बार-बार इस दृष्टिकोण में दोष पर जोर दिया है - जैसा कि वे कहते हैं, एक स्रोत में तालिका पहली होगी, और दूसरे में - एक सौ और पहली। इसलिए, हम "प्राकृतिक" नामों का उपयोग करेंगे। हम जारी रखते हैं:

वास्तव में, आप तार्किक सूत्र की अवधारणा से पहले से ही परिचित हैं। मैं एक मानक दूंगा, बल्कि मजाकिया परिभाषा: सूत्रोंप्रस्तावात्मक बीजगणित को कहा जाता है:

1) कोई प्रारंभिक (सरल) कथन;

2) यदि और सूत्र हैं, तो सूत्र भी रूप के भाव हैं
.

कोई अन्य सूत्र नहीं हैं.

विशेष रूप से, सूत्र कोई भी तार्किक संक्रिया है, जैसे तार्किक गुणन। दूसरे बिंदु पर ध्यान दें - यह अनुमति देता है पुनरावर्तीमनमाने ढंग से लंबे फ़ॉर्मूले को "बनाने" का तरीका। क्योंकि सूत्र हैं, तो सूत्र भी है; चूँकि और सूत्र हैं, तो - एक सूत्र, आदि भी। कोई प्रारंभिक कथन (फिर से परिभाषा के अनुसार)सूत्र को एक से अधिक बार दर्ज किया जा सकता है.

FORMULA नहींउदाहरण के लिए, एक रिकॉर्ड है - और यहां "बीजगणितीय कचरा" के साथ एक स्पष्ट सादृश्य है, जिससे यह स्पष्ट नहीं है कि संख्याओं को जोड़ने या गुणा करने की आवश्यकता है या नहीं।

तार्किक सूत्र इस प्रकार सोचा जा सकता है तर्क समारोह. आइए उसी संयोजन को क्रियात्मक रूप में लिखें:

इस मामले में प्राथमिक कथन भी तर्क (स्वतंत्र चर) की भूमिका निभाते हैं, जो शास्त्रीय तर्क में 2 मान ले सकते हैं: सत्यया झूठ. निम्नलिखित में, सुविधा के लिए, मैं कभी-कभी सरल कथन कहूँगा चर.

तार्किक सूत्र (फ़ंक्शन) का वर्णन करने वाली तालिका को कहा जाता है, जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, ट्रुथ टेबल. कृपया - एक परिचित चित्र:

सत्य तालिका बनाने का सिद्धांत इस प्रकार है: "इनपुट पर" आपको सूचीबद्ध करने की आवश्यकता है सभी संभावित संयोजनसत्य और झूठ जिन्हें प्राथमिक प्रस्ताव (तर्क) स्वीकार कर सकते हैं। इस मामले में, सूत्र में दो कथन शामिल हैं, और यह पता लगाना आसान है कि ऐसे चार संयोजन हैं। "आउटपुट पर", हमें संपूर्ण सूत्र (फ़ंक्शन) के संबंधित तार्किक मान मिलते हैं।

मुझे कहना होगा कि यहां "निकास" "एक चरण में" निकला, लेकिन सामान्य मामले में तार्किक सूत्र अधिक जटिल है। और ऐसे "कठिन मामलों" में निरीक्षण करना आवश्यक है तार्किक संचालन के निष्पादन का क्रम:

- निषेध पहले किया जाता है;
- दूसरा - संयोजन;
- फिर - विच्छेद;
- फिर निहितार्थ ;
- और, अंततः, सबसे कम प्राथमिकता समतुल्य है।

इसलिए, उदाहरण के लिए, प्रविष्टि का तात्पर्य है कि आपको पहले तार्किक गुणन करने की आवश्यकता है, और फिर - तार्किक जोड़:। बिल्कुल "सामान्य" बीजगणित की तरह - "पहले हम गुणा करते हैं, और फिर जोड़ते हैं।"

क्रियाओं का क्रम सामान्य तरीके से बदला जा सकता है - कोष्ठक:
- यहां, सबसे पहले, विच्छेदन किया जाता है और उसके बाद ही अधिक "मजबूत" ऑपरेशन किया जाता है।

संभवतः हर कोई समझता है, लेकिन केवल एक फायरमैन के मामले में: और इस दो अलगसूत्र! (औपचारिक रूप से और वास्तविक रूप से)

आइए सूत्र के लिए एक सत्य तालिका बनाएं। इस सूत्र में दो प्राथमिक कथन शामिल हैं और "इनपुट पर" हमें इकाई और शून्य के सभी संभावित संयोजनों को सूचीबद्ध करने की आवश्यकता है। भ्रम और विसंगतियों से बचने के लिए, हम संयोजनों को सूचीबद्ध करने पर सहमत हैं सख्ती से उसी क्रम में (जिसे मैं वास्तव में शुरुआत से ही उपयोग करता हूं):

सूत्र में दो तार्किक संचालन शामिल हैं, और उनकी प्राथमिकता के अनुसार, सबसे पहले, आपको प्रदर्शन करने की आवश्यकता है नकारबयान. खैर, हम "पे" कॉलम को नकारते हैं - हम इकाइयों को शून्य में और शून्य को इकाइयों में बदलते हैं:

दूसरे चरण में, हम कॉलमों को देखते हैं और उन पर लागू होते हैं या ऑपरेशन. थोड़ा आगे देखते हुए मैं कहूंगा कि विभक्ति क्रमपरिवर्तनीय है (और ये एक ही चीज़ हैं), और इसलिए स्तंभों का विश्लेषण सामान्य क्रम में किया जा सकता है - बाएं से दाएं। तार्किक जोड़ करते समय, निम्नलिखित व्यावहारिक तर्क का उपयोग करना सुविधाजनक होता है: "यदि दो शून्य हैं, तो हम शून्य डालते हैं, यदि कम से कम एक इकाई है, तो हम एक डालते हैं":

सत्य तालिका का निर्माण किया गया है। और अब आइए अच्छे पुराने निहितार्थ को याद करें:

…ध्यानपूर्वक-ध्यानपूर्वक…अंतिम कॉलम को देखें…। प्रस्तावात्मक बीजगणित में ऐसे सूत्रों को कहा जाता है समकक्षया समान:

(तीन क्षैतिज रेखाएं पहचान चिह्न हैं)

पाठ के पहले भाग में, मैंने बुनियादी तार्किक संचालन के माध्यम से निहितार्थ व्यक्त करने का वादा किया था, और वादा पूरा होने में ज्यादा समय नहीं था! जो चाहें वे इसमें सार्थक अर्थ डाल सकते हैं (उदाहरण के लिए "यदि बारिश हो रही है, तो बाहर नमी है")और स्वतंत्र रूप से समकक्ष कथन का विश्लेषण करें।

आइए सूत्रबद्ध करें सामान्य परिभाषा: दो सूत्र कहलाते हैं समतुल्य (समान), यदि वे इन चर सूत्रों में शामिल मूल्यों के किसी भी सेट के लिए समान मान लेते हैं (प्रारंभिक कथन). ये भी कहते हैं "सूत्र समतुल्य हैं यदि उनकी सत्य तालिकाएँ समान हैं"लेकिन मुझे वास्तव में वह वाक्यांश पसंद नहीं है।

अभ्यास 1

सूत्र के लिए एक सत्य तालिका बनाएं और सुनिश्चित करें कि जो पहचान आप जानते हैं वह सत्य है।

आइए समस्या को हल करने की प्रक्रिया दोहराएं:

1) चूँकि सूत्र में दो चर शामिल हैं, इसलिए शून्य और एक के कुल 4 संभावित सेट होंगे। हम उन्हें ऊपर निर्दिष्ट क्रम में लिखते हैं।

2) निहितार्थ संयोजन संयोजनों की तुलना में "कमजोर" होते हैं, लेकिन वे कोष्ठक में स्थित होते हैं। हम कॉलम भरते हैं, जबकि निम्नलिखित लागू तर्क का उपयोग करना सुविधाजनक है: "यदि शून्य एक से आता है, तो हम शून्य डालते हैं, अन्य सभी मामलों में - एक". इसके बाद, निहितार्थ के लिए कॉलम भरें, और साथ ही, ध्यान!- कॉलम और "दाएं से बाएं" का विश्लेषण किया जाना चाहिए!

3) और अंतिम चरण में, अंतिम कॉलम भरें। और यहाँ इस तरह बहस करना सुविधाजनक है: "यदि कॉलम में दो हैं, तो हम एक डालते हैं, अन्य सभी मामलों में - शून्य".

और अंत में, हम सत्य तालिका की जाँच करते हैं समकक्षताएँ .

प्रस्तावित बीजगणित की मूल तुल्यताएँ

हम अभी उनमें से दो से मिले हैं, लेकिन मामला केवल उन्हीं तक सीमित नहीं है। बहुत सी पहचानें हैं और मैं उनमें से सबसे महत्वपूर्ण और सबसे प्रसिद्ध की सूची बनाऊंगा:

संयोजन की क्रमविनिमेयता और वियोजन की क्रमविनिमेयता

क्रमपरिवर्तनशीलताएक क्रमपरिवर्तन है:

पहली कक्षा के नियमों से परिचित: "कारकों (शर्तों) की पुनर्व्यवस्था से, उत्पाद (योग) नहीं बदलता है". लेकिन इस संपत्ति की सभी प्रतीत होने वाली प्राथमिकता के लिए, यह हमेशा सत्य से बहुत दूर है, विशेष रूप से, यह गैर-अनुक्रमणीय है मैट्रिक्स गुणन (सामान्य तौर पर, उन्हें पुनर्व्यवस्थित नहीं किया जा सकता), ए वैक्टर का क्रॉस उत्पाद– प्रतिविनिमयात्मक रूप से (वेक्टर के क्रमपरिवर्तन में एक संकेत परिवर्तन शामिल है).

और इसके अलावा, यहां मैं फिर से गणितीय तर्क की औपचारिकता पर जोर देना चाहता हूं। तो, उदाहरण के लिए, वाक्यांश "छात्र ने परीक्षा उत्तीर्ण की और शराब पी"और "छात्र ने शराब पी और परीक्षा दे दी"विषय-वस्तु की दृष्टि से भिन्न, लेकिन औपचारिक सत्य की दृष्टि से अप्रभेद्य। ... हम में से प्रत्येक ऐसे छात्रों को जानता है, और नैतिक कारणों से हम विशिष्ट नाम नहीं देंगे =)

तार्किक गुणन और जोड़ की साहचर्यता

या, यदि "स्कूल-शैली" एक सहयोगी संपत्ति है:

वितरण गुण

कृपया ध्यान दें कि दूसरे मामले में "कोष्ठक खोलने" के बारे में बात करना गलत होगा, एक अर्थ में, यहाँ एक "कल्पना" है - आखिरकार, उन्हें पूरी तरह से हटाया जा सकता है: गुणन एक मजबूत ऑपरेशन है.

और फिर, ये प्रतीत होने वाले "सामान्य" गुण सभी बीजगणितीय प्रणालियों में संतुष्ट होने से बहुत दूर हैं, और, इसके अलावा, प्रमाण की आवश्यकता है (जिसके बारे में हम जल्द ही बात करेंगे). वैसे, दूसरा वितरण नियम हमारे "साधारण" बीजगणित में भी मान्य नहीं है। सचमुच:

नपुंसकता का नियम

क्या करें, लैटिन....

स्वस्थ मानस के कुछ सिद्धांत: "मैं और मैं ही मैं हूं", "मैं या मैं भी मैं हूं" =)

और यहाँ कुछ समान पहचान हैं:

... ठीक है, मैंने फोन भी रख दिया... ताकि कल आप पीएचडी के साथ उठ सकें। =)

दोहरे निषेध का नियम

खैर, यहां रूसी भाषा का उदाहरण पहले से ही खुद को सुझाता है - हर कोई अच्छी तरह से जानता है कि दो कणों "नहीं" का मतलब "हां" है। और इनकार के भावनात्मक रंग को बढ़ाने के लिए, तीन "नहीं" का अक्सर उपयोग किया जाता है:
- थोड़े से सबूत के साथ भी यह काम कर गया!

अवशोषण नियम

- क्या यह एक लड़का था? =)

सही पहचान में कोष्ठक को छोड़ा जा सकता है।

डी मॉर्गन के नियम

मान लीजिए एक सख्त शिक्षक (जिसका नाम आप भी जानते हैं :))परीक्षा देता है यदि - छात्र ने पहले प्रश्न का उत्तर दिया और – छात्र ने दूसरे प्रश्न का उत्तर दिया. फिर बयान यह बताता है विद्यार्थी नहींपरीक्षा उत्तीर्ण की, कथन के समतुल्य होगा - विद्यार्थी नहींपहले प्रश्न का उत्तर दिया यादूसरे प्रश्न के लिए.

जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, समतुल्यता प्रमाण के अधीन है, जिसे मानक रूप से सत्य तालिकाओं का उपयोग करके किया जाता है। वास्तव में, हम पहले ही उन तुल्यताओं को सिद्ध कर चुके हैं जो निहितार्थ और तुल्यता को व्यक्त करते हैं, और अब इस समस्या को हल करने के लिए तकनीक को ठीक करने का समय आ गया है।

आइए पहचान साबित करें. चूंकि इसमें एक ही कथन शामिल है, तो "इनपुट पर" केवल दो विकल्प संभव हैं: एक या शून्य। इसके बाद, हम एक एकल कॉलम निर्दिष्ट करते हैं और उन पर लागू होते हैं नियम तथा:

परिणामस्वरूप, "आउटपुट पर" एक सूत्र प्राप्त होता है, जिसकी सत्यता कथन की सत्यता से मेल खाती है। समतुल्यता सिद्ध हो चुकी है।

हाँ, यह प्रमाण आदिम है (और कोई कहेगा कि यह "बेवकूफी" है), लेकिन एक विशिष्ट गणित तर्क शिक्षक उसके लिए अपनी आत्मा हिला देगा। अत: ऐसी साधारण बातों का भी तिरस्कार नहीं करना चाहिए।

आइए, उदाहरण के लिए, डी मॉर्गन के नियम की वैधता सुनिश्चित करें।

सबसे पहले, आइए बाईं ओर के लिए एक सत्य तालिका बनाएं। चूँकि वियोजन कोष्ठक में है, हम सबसे पहले इसे निष्पादित करते हैं, जिसके बाद हम कॉलम को नकारते हैं:

इसके बाद, हम दाईं ओर के लिए एक सत्य तालिका संकलित करते हैं। यहां भी, सब कुछ पारदर्शी है - सबसे पहले, हम अधिक "मजबूत" नकारात्मक कार्य करते हैं, फिर कॉलम पर लागू होते हैं नियम तथा:

नतीजे मेल खा गए, इसलिए पहचान साबित हो गई.

किसी भी तुल्यता को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है समान रूप से सत्य सूत्र. यह मतलब है कि शून्य और इकाई के किसी भी प्रारंभिक सेट के लिए"आउटपुट पर" सख्ती से एकता प्राप्त की जाती है। और इसके लिए एक बहुत ही सरल स्पष्टीकरण है: चूंकि सत्य तालिकाएं मेल खाती हैं, तो, निश्चित रूप से, वे समतुल्य हैं। आइए, उदाहरण के लिए, समतुल्य द्वारा सिद्ध डी मॉर्गन पहचान के बाएं और दाएं हिस्सों को मिलाएं:

या, अधिक संक्षिप्त रूप से:

कार्य 2

निम्नलिखित तुल्यताएँ सिद्ध करें:

बी)

पाठ के अंत में संक्षिप्त समाधान। आइए आलसी न बनें! न केवल सत्य सारणी बनाने का प्रयास करें, बल्कि यह भी करें स्पष्ट रूप सेनिष्कर्ष निकालना. जैसा कि मैंने हाल ही में नोट किया, साधारण चीजों की उपेक्षा करना बहुत, बहुत महंगा हो सकता है!

हम तर्क के नियमों से परिचित होते रहते हैं!

हां, बिल्कुल सही - हम पहले से ही उनके साथ पूरी ताकत से काम कर रहे हैं:

सत्यपर , कहा जाता है समान रूप से सत्य सूत्रया तर्क का नियम.

तुल्यता से समान रूप से सत्य सूत्र में पहले से उचित संक्रमण के आधार पर, ऊपर सूचीबद्ध सभी पहचान तर्क के नियम हैं।

सूत्र जो एक मान लेता है झूठपर इसमें शामिल चर के मानों का कोई भी सेट, कहा जाता है समान रूप से गलत सूत्रया विरोधाभास.

प्राचीन यूनानियों के विरोधाभास का एक हस्ताक्षरित उदाहरण:
कोई भी कथन एक ही समय में सत्य और असत्य नहीं हो सकता।

प्रमाण तुच्छ है:

"आउटपुट" को विशेष रूप से शून्य प्राप्त हुआ, इसलिए, सूत्र वास्तव में है समान असत्य.

हालाँकि, कोई भी विरोधाभास तर्क का नियम भी है, विशेष रूप से:

एक ही लेख में इतने बड़े विषय को शामिल करना असंभव है, और इसलिए मैं खुद को केवल कुछ और कानूनों तक ही सीमित रखूंगा:

बहिष्कृत मध्य का कानून

- शास्त्रीय तर्क में, कोई भी कथन सत्य या असत्य है, और कोई तीसरा तरीका नहीं है। "होना या न होना" - यही प्रश्न है।

अपनी स्वयं की सत्य तालिका बनाएं और सुनिश्चित करें कि यह सत्य है समान रूप से सत्यसूत्र.

प्रतिस्थिति का नियम

जब हमने सार पर चर्चा की तो इस कानून को सक्रिय रूप से बढ़ा-चढ़ाकर पेश किया गया आवश्यक शर्त, याद करना: "अगर बारिश के दौरान बाहर नमी है, तो इसका मतलब यह है कि अगर बाहर सूखा है, तो निश्चित रूप से बारिश नहीं हुई".

इस कानून से यह भी पता चलता है कि यदि निष्पक्ष है सीधा प्रमेय, फिर कथन, जिसे कभी-कभी कहा जाता है विलोमप्रमेय.

यदि सही रिवर्सप्रमेय, तो विरोधाभास के नियम के आधार पर, प्रमेय भी मान्य है, विपरीत उलटा:

और आइए अपने सार्थक उदाहरणों पर वापस जाएँ: कथनों के लिए - एक संख्या 4 से विभाज्य है, - एक संख्या 2 से विभाज्य हैगोरा सीधाऔर विलोमप्रमेय, लेकिन गलत रिवर्सऔर विपरीत उलटाप्रमेय पाइथागोरस प्रमेय के "वयस्क" सूत्रीकरण के लिए, सभी 4 "दिशाएँ" सत्य हैं।

न्यायशास्त्र का नियम

इस शैली का एक क्लासिक भी: "सभी ओक पेड़ हैं, सभी पेड़ पौधे हैं, इसलिए सभी ओक पौधे हैं".

खैर, यहां मैं फिर से गणितीय तर्क की औपचारिकता पर ध्यान देना चाहूंगा: यदि हमारा सख्त शिक्षक सोचता है कि एक निश्चित छात्र एक ओक है, तो औपचारिक दृष्टिकोण से, यह छात्र निश्चित रूप से एक पौधा है =) ... हालांकि, यदि आप इसके बारे में सोचें, यह अनौपचारिक रूप से भी हो सकता है=)

आइए सूत्र के लिए एक सत्य तालिका बनाएं। तार्किक संचालन की प्राथमिकता के अनुसार, हम निम्नलिखित एल्गोरिथम का पालन करते हैं:

1) निहितार्थ निष्पादित करें और। सामान्यतया, आप तीसरे निहितार्थ को तुरंत निष्पादित कर सकते हैं, लेकिन इसके साथ यह अधिक सुविधाजनक है (और अनुमति दी गई!)इसे थोड़ी देर बाद समझें

2) कॉलम पर लागू करें नियम तथा;

3) अब हम निष्पादित करते हैं;

4) और अंतिम चरण में स्तंभों पर निहितार्थ लागू करें और ।

बेझिझक इस प्रक्रिया को अपनी तर्जनी और मध्यमा उंगलियों से नियंत्रित करें :))


अंतिम कॉलम से, मुझे लगता है कि टिप्पणियों के बिना सब कुछ स्पष्ट है:
, जिसे सिद्ध करना था।

कार्य 3

पता लगाएँ कि क्या निम्नलिखित सूत्र तर्क का नियम है:

पाठ के अंत में संक्षिप्त समाधान। हाँ, और मैं लगभग भूल ही गया था - आइए शून्य और इकाई के आरंभिक सेटों को ठीक उसी क्रम में सूचीबद्ध करने के लिए सहमत हों जैसा कि सिलोगिज़्म कानून के प्रमाण में है। बेशक, पंक्तियों को पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है, लेकिन इससे मेरे समाधान के साथ सामंजस्य बिठाना बहुत मुश्किल हो जाएगा।

बूलियन सूत्रों को परिवर्तित करना

उनके "तार्किक" उद्देश्य के अलावा, सूत्रों को बदलने और सरल बनाने के लिए तुल्यताओं का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। मोटे तौर पर कहें तो, पहचान के एक हिस्से को दूसरे हिस्से से बदला जा सकता है। इसलिए, उदाहरण के लिए, यदि आपको किसी तार्किक सूत्र में कोई टुकड़ा मिलता है, तो, निष्क्रियता के नियम के अनुसार, आप इसके बजाय बस लिख सकते हैं (और करना भी चाहिए)। यदि आप देखते हैं, तो, अवशोषण के नियम के अनुसार, अंकन को सरल बनाएं। और इसी तरह।

इसके अलावा, एक और महत्वपूर्ण बात है: पहचान न केवल प्राथमिक प्रस्तावों के लिए मान्य हैं, बल्कि मनमाने सूत्रों के लिए भी मान्य हैं। उदाहरण के लिए:

, कोई कहां हैं (जितना आप चाहें उतना जटिल)सूत्र.

आइए, उदाहरण के लिए, जटिल निहितार्थ को रूपांतरित करें (पहली पहचान):

इसके अलावा, हम "जटिल" डी मॉर्गन कानून को ब्रैकेट में लागू करते हैं, जबकि, संचालन की प्राथमिकता के कारण, यह कानून है, जहां :

कोष्ठक हटाए जा सकते हैं, क्योंकि अंदर एक अधिक "मजबूत" संयोजन है:

खैर, कम्यूटेटिविटी के साथ, सामान्य तौर पर, सब कुछ सरल है - आपको कुछ भी नामित करने की आवश्यकता नहीं है ... मेरी आत्मा में सिलोगिज्म का नियम कुछ डूब गया है :))

इस प्रकार, कानून को और अधिक जटिल रूप में फिर से लिखा जा सकता है:

"एक ओक, एक पेड़, एक पौधे के साथ" तार्किक श्रृंखला को ज़ोर से बोलें, और आप समझेंगे कि कानून का वास्तविक अर्थ निहितार्थों के पुनर्व्यवस्था से बिल्कुल भी नहीं बदला है। क्या शब्दांकन अधिक मौलिक हो गया है?

प्रशिक्षण के रूप में, हम सूत्र को सरल बनाते हैं।

कहाँ से शुरू करें? सबसे पहले, क्रियाओं के क्रम को समझने के लिए: यहां निषेध को पूरे ब्रैकेट पर लागू किया जाता है, जिसे "थोड़ा कमजोर" संयोजन द्वारा कथन के साथ "बन्धन" किया जाता है। संक्षेप में, हमारे सामने दो कारकों का तार्किक उत्पाद है:। शेष दो ऑपरेशनों में, निहितार्थ की प्राथमिकता सबसे कम है, और इसलिए पूरे सूत्र में निम्नलिखित संरचना है:।

एक नियम के रूप में, पहले चरण (कदम) पर तुल्यता और निहितार्थ से छुटकारा मिलता है (अगर वे हैं)और सूत्र को तीन बुनियादी तार्किक परिचालनों तक सीमित करें। मुझे क्या कहना चाहिए…। तर्क में।

(1) हम पहचान का उपयोग करते हैं . और हमारे मामले में.

इसके बाद आमतौर पर ब्रैकेट के साथ "डिससेम्बली" होता है। पहले संपूर्ण समाधान, फिर टिप्पणियाँ। "मक्खन तेल" न पाने के लिए, मैं "सामान्य" समानता चिह्न का उपयोग करूंगा:

(2) हम डी मॉर्गन के नियम को बाहरी कोष्ठक पर लागू करते हैं, जहां।

§ 1.3. तर्क के बीजगणित के तत्व

तर्क के बीजगणित के तत्व. प्रश्न और कार्य

1. पाठ्यपुस्तक के इलेक्ट्रॉनिक पूरक में शामिल पैराग्राफ के लिए प्रस्तुति सामग्री से खुद को परिचित करें। क्या प्रस्तुतिकरण अनुच्छेद के पाठ में निहित जानकारी का पूरक है?

2. बताएं कि निम्नलिखित वाक्य कथन क्यों नहीं हैं।

1) यह घर किस रंग का है?
2) संख्या X एक से अधिक नहीं है।
3) 4X + 3.
4) खिड़की से बाहर देखो.
5) टमाटर का जूस पियें!
6) यह विषय उबाऊ है.
7) रिकी मार्टिन सबसे लोकप्रिय गायक हैं।
8) क्या आप थिएटर गए हैं?

3. जीव विज्ञान, भूगोल, कंप्यूटर विज्ञान, इतिहास, गणित, साहित्य से सत्य और असत्य कथनों का एक उदाहरण दीजिए।

4. निम्नलिखित कथनों में, सरल कथनों को उजागर करें, उनमें से प्रत्येक को एक अक्षर से चिह्नित करें; तार्किक संचालन के अक्षरों और संकेतों का उपयोग करके प्रत्येक यौगिक कथन को लिखें।

1) संख्या 376 सम और तीन अंकों वाली है।
2) सर्दियों में बच्चे स्केटिंग या स्कीइंग करने जाते हैं।
3) हम नया साल दचा में या रेड स्क्वायर पर मनाएंगे।
4) यह सत्य नहीं है कि सूर्य पृथ्वी के चारों ओर घूमता है।
5) पृथ्वी एक गेंद के आकार की है, जो अंतरिक्ष से नीली दिखती है।
6) गणित के पाठ में, हाई स्कूल के छात्रों ने शिक्षक के सवालों के जवाब दिए, और स्वतंत्र कार्य भी लिखा।

5. निम्नलिखित कथनों के नकारात्मक की रचना कीजिए।

1) आज थिएटर में ओपेरा "यूजीन वनगिन" चल रहा है।
2) हर शिकारी जानना चाहता है कि तीतर कहाँ बैठा है।
3) संख्या 1 एक अभाज्य संख्या है।
4) 0 पर समाप्त होने वाली प्राकृतिक संख्याएँ अभाज्य संख्याएँ नहीं हैं।
5) यह सत्य नहीं है कि संख्या 3, संख्या 198 का ​​भाजक नहीं है।
6) कोल्या ने परीक्षण के सभी कार्यों को हल किया।
7) प्रत्येक विद्यालय में कुछ विद्यार्थी खेलों में रुचि रखते हैं।
8) कुछ स्तनधारी ज़मीन पर नहीं रहते।

6. मान लीजिए A = "अन्ना को गणित का पाठ पसंद है", और बी = "एना को रसायन विज्ञान का पाठ पसंद है". निम्नलिखित सूत्रों को सरल भाषा में व्यक्त करें:

7. इंटरनेट नेटवर्क के कुछ खंड में 1000 साइटें हैं। खोज सर्वर ने स्वचालित रूप से इस खंड की साइटों के लिए कीवर्ड की एक तालिका संकलित की। यहाँ उसका अंश है:

अनुरोध पर कैटफ़िश और गप्पीअनुरोध पर 0 साइटें मिलीं कैटफ़िश और तलवार की पूंछ- 20 साइटें, और अनुरोध पर तलवार की पूंछ और गप्पी- 10 साइटें.

अनुरोध पर कितनी साइटें मिलेंगी कैटफ़िश | तलवारबाज | गप्पे?

विचाराधीन खंड की कितनी साइटों के लिए कथन गलत है "कैटफ़िश - साइट का कीवर्ड या स्वोर्डटेल्स - साइट का कीवर्ड या गप्पी - साइट का कीवर्ड"?

8. निम्नलिखित तार्किक अभिव्यक्तियों के लिए सत्य तालिकाएँ बनाएँ:

9. सत्य तालिकाओं का उपयोग करके अनुच्छेद में विचार किए गए तार्किक कानूनों का प्रमाण प्रस्तुत करें।