एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज का आधार विकर्णों वाला एक समचतुर्भुज है। ज्यामितीय आंकड़े। पैरेललेपाइप्ड। पाठ: आयताकार समांतर चतुर्भुज

इस पाठ में, हर कोई "आयताकार समानांतर चतुर्भुज" विषय का अध्ययन करने में सक्षम होगा। पाठ की शुरुआत में, हम दोहराएंगे कि एक मनमानी और सीधी समानांतर चतुर्भुज क्या हैं, उनके विपरीत चेहरों और समानांतर चतुर्भुज के विकर्णों के गुणों को याद करें। फिर हम विचार करेंगे कि एक आयताकार समांतर चतुर्भुज क्या है और इसके मुख्य गुणों पर चर्चा करें।

विषय: रेखाओं और विमानों की लंबवतता

पाठ: आयताकार समांतर चतुर्भुज

दो समान समांतर चतुर्भुज एबीसीडी और ए 1 बी 1 सी 1 डी 1 और चार समांतर चतुर्भुज एबीबी 1 ए 1, बीसीसी 1 बी 1, सीडीडी 1 सी 1, डीएए 1 डी 1 से बना एक सतह कहलाता है। समानांतर खात(चित्र एक)।

चावल। १ समानांतरपिंड

अर्थात्: हमारे पास दो समान समांतर चतुर्भुज ABCD और A 1 B 1 C 1 D 1 (आधार) हैं, वे समानांतर विमानों में स्थित हैं ताकि भुजाएँ AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 समानांतर हों। इस प्रकार, समांतर चतुर्भुजों से बनी सतह को कहा जाता है समानांतर खात.

इस प्रकार, एक समानांतर चतुर्भुज की सतह समानांतर चतुर्भुज बनाने वाले सभी समांतर चतुर्भुजों का योग है।

1. बॉक्स के विपरीत फलक समानांतर और बराबर हैं।

(आकार बराबर हैं, यानी उन्हें ओवरले द्वारा जोड़ा जा सकता है)

उदाहरण के लिए:

एबीसीडी = ए 1 बी 1 सी 1 डी 1 (परिभाषा के अनुसार समांतर चतुर्भुज),

एए 1 बी 1 बी = डीडी 1 सी 1 सी (चूंकि एए 1 बी 1 बी और डीडी 1 सी 1 सी समानांतर चतुर्भुज के विपरीत फलक हैं),

एए 1 डी 1 डी = बीबी 1 सी 1 सी (चूंकि एए 1 डी 1 डी और बीबी 1 सी 1 सी समानांतर चतुर्भुज के विपरीत चेहरे हैं)।

2. समानांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं और इस बिंदु से आधे हो जाते हैं।

समानांतर चतुर्भुज AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B के विकर्ण एक बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं, और प्रत्येक विकर्ण इस बिंदु से आधे में विभाजित होता है (चित्र 2)।

चावल। 2 समानांतर चतुर्भुज के विकर्ण प्रतिच्छेद करते हैं और प्रतिच्छेदन बिंदु से आधे होते हैं।

3. समान और समानांतर समानांतर चतुर्भुज किनारों के तीन चौगुने होते हैं: 1 - एबी, ए 1 बी 1, डी 1 सी 1, डीसी, 2 - एडी, ए 1 डी 1, बी 1 सी 1, बीसी, 3 - एए 1, बीबी 1, सीसी 1, डीडी 1.

परिभाषा। एक समानांतर चतुर्भुज को सीधा कहा जाता है यदि इसके पार्श्व किनारे आधारों के लंबवत हों।

मान लीजिए कि पार्श्व किनारा AA 1 आधार के लंबवत है (चित्र 3)। इसका अर्थ है कि सीधी रेखा AA 1 सीधी रेखा AD और AB के लंबवत है, जो आधार के तल में स्थित है। इसका अर्थ यह है कि आयताकार पार्श्व फलकों में स्थित हैं। और आधारों पर मनमाना समांतर चतुर्भुज होते हैं। निरूपित करें, BAD = , कोण कोई भी हो सकता है।

चावल। 3 सीधे समानांतर चतुर्भुज

तो, एक सीधा समानांतर चतुर्भुज एक समानांतर चतुर्भुज है जिसमें पार्श्व किनारे समानांतर चतुर्भुज के आधारों के लंबवत होते हैं।

परिभाषा। समानांतर चतुर्भुज को आयताकार कहा जाता है,यदि इसकी पार्श्व पसलियां आधार के लंबवत हैं। आधार आयताकार हैं।

समानांतर चतुर्भुज ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - आयताकार (चित्र 4), यदि:

1. AA 1 ABCD (आधार के तल पर लंबवत पार्श्व किनारा, जो एक सीधा समानांतर चतुर्भुज है)।

2. ∠BAD = 90°, अर्थात् आधार पर एक आयत है।

चावल। 4 आयताकार समानांतर चतुर्भुज

एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज में एक मनमाना समानांतर चतुर्भुज के सभी गुण होते हैं।लेकिन अतिरिक्त गुण हैं जो एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज की परिभाषा से प्राप्त होते हैं।

इसलिए, आयताकार समानांतर चतुर्भुजआधार के लंबवत किनारों के साथ एक समानांतर चतुर्भुज है। आयताकार समांतर चतुर्भुज का आधार एक आयत है.

1. एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज में, सभी छह फलक आयत होते हैं।

एबीसीडी और ए 1 बी 1 सी 1 डी 1 - परिभाषा के अनुसार आयत।

2. पार्श्व पसलियां आधार के लंबवत होती हैं... इसका अर्थ है कि एक आयताकार समांतर चतुर्भुज के सभी पार्श्व फलक आयत होते हैं।

3. एक आयताकार समांतर चतुर्भुज के सभी डायहेड्रल कोने सीधे होते हैं।

उदाहरण के लिए, एक किनारे AB के साथ एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज के डायहेड्रल कोण पर विचार करें, जो कि एबीबी 1 और एबीसी के विमानों के बीच का डायहेड्रल कोण है।

एबी एक किनारा है, बिंदु ए 1 एक विमान में स्थित है - विमान एबीबी 1 में और दूसरे में बिंदु डी - विमान ए 1 बी 1 सी 1 डी 1 में है। तब माने गए द्विफलक कोण को निम्न प्रकार से भी निरूपित किया जा सकता है: A 1 ABD।

बिंदु A को किनारे AB पर लें। एए 1 - विमान एबीबी -1 में किनारे एबी के लंबवत, विमान एबीसी में किनारे एबी के लंबवत एडी। अत: 1 D दिए गए द्विफलकीय कोण का रैखिक कोण है। 1 D = 90 °, जिसका अर्थ है कि AB के किनारे पर डायहेड्रल कोण 90 ° है।

(ABB 1, ABC) = (AB) = A 1 ABD = ∠A 1 AD = 90 °।

इसी प्रकार से यह सिद्ध किया जाता है कि एक आयताकार समांतर चतुर्भुज का कोई भी द्विफलकीय कोण सीधा होता है।

एक आयताकार समांतर चतुर्भुज के विकर्ण का वर्ग उसके तीन आयामों के वर्गों के योग के बराबर होता है।

ध्यान दें। आयत के एक शीर्ष से निकलने वाले तीन किनारों की लंबाई आयताकार समानांतर चतुर्भुज के आयाम हैं। उन्हें कभी-कभी लंबाई, चौड़ाई, ऊंचाई कहा जाता है।

दिया गया है: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - आयताकार समांतर चतुर्भुज (चित्र 5)।

साबित:।

चावल। 5 आयताकार समांतर चतुर्भुज

सबूत:

सीधी CC 1 समतल ABC पर लंबवत है, और इसलिए सीधी रेखा AC पर है। इसका अर्थ है कि त्रिभुज CC 1 A आयताकार है। पाइथागोरस प्रमेय द्वारा:

विचार करना सही त्रिकोणएबीसी. पाइथागोरस प्रमेय द्वारा:

लेकिन BC और AD आयत की विपरीत भुजाएँ हैं। अत: BC = AD। फिर:

चूंकि , ए , फिर। चूँकि CC 1 = AA 1, तो सिद्ध करने के लिए क्या आवश्यक था।

एक आयताकार समांतर चतुर्भुज के विकर्ण बराबर होते हैं।

आइए समानांतर चतुर्भुज ABC के मापों को a, b, c (चित्र 6 देखें) के रूप में नामित करें, फिर AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =

एक समानांतर चतुर्भुज एक चतुर्भुज प्रिज्म है, जिसके आधार पर समांतर चतुर्भुज होते हैं। एक समानांतर चतुर्भुज की ऊंचाई उसके आधारों के तलों के बीच की दूरी है। आकृति में, ऊंचाई को रेखा द्वारा दिखाया गया है ... समानांतर चतुर्भुज दो प्रकार के होते हैं: सीधे और तिरछे। आमतौर पर, एक गणित शिक्षक पहले प्रिज्म के लिए उपयुक्त परिभाषा देता है, और फिर उन्हें एक बॉक्स में स्थानांतरित करता है। हम वही करेंगे।

आपको याद दिला दूं कि एक प्रिज्म को सीधा कहा जाता है यदि उसके पार्श्व किनारे आधारों के लंबवत हों, यदि कोई लंबवत न हो, तो प्रिज्म को झुका हुआ कहा जाता है। समानांतर चतुर्भुज को भी यह शब्दावली विरासत में मिली है। एक सीधा समानांतर चतुर्भुज एक प्रकार के सीधे प्रिज्म से ज्यादा कुछ नहीं है, जिसका पार्श्व किनारा ऊंचाई के साथ मेल खाता है। चेहरे, किनारे और शीर्ष जैसी अवधारणाओं की परिभाषाएं, जो पॉलीहेड्रा के पूरे परिवार के लिए सामान्य हैं, को बरकरार रखा गया है। विपरीत पक्षों की अवधारणा प्रकट होती है। समानांतर चतुर्भुज में विपरीत चेहरों के 3 जोड़े, 8 कोने और 12 किनारे होते हैं।

एक समानांतर चतुर्भुज का विकर्ण (एक प्रिज्म का विकर्ण) एक खंड है जो एक बहुफलक के दो शीर्षों को जोड़ता है और इसके किसी भी फलक में नहीं होता है।

विकर्ण खंड - इसके विकर्ण और इसके आधार के विकर्ण से गुजरने वाले समानांतर चतुर्भुज का एक खंड।

परोक्ष बॉक्स गुण:
1) इसके सभी फलक समांतर चतुर्भुज हैं, और विपरीत फलक समान समांतर चतुर्भुज हैं।
2)समानांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं और इस बिंदु पर आधे हो जाते हैं।
3)प्रत्येक समानांतर चतुर्भुज में समान आयतन के छह त्रिकोणीय पिरामिड होते हैं। उन्हें छात्र को दिखाने के लिए, गणित के ट्यूटर को इसके विकर्ण खंड के आधे हिस्से को समानांतरपीडो से काटना होगा और इसे अलग से 3 पिरामिडों में तोड़ना होगा। उनके आधार मूल समांतर चतुर्भुज के विभिन्न चेहरों पर स्थित होने चाहिए। एक गणित ट्यूटर विश्लेषणात्मक ज्यामिति में इस संपत्ति का एक अनुप्रयोग ढूंढेगा। इसका उपयोग वैक्टर के मिश्रित उत्पाद के माध्यम से पिरामिड के आयतन को आउटपुट करने के लिए किया जाता है।

समांतर चतुर्भुज के लिए आयतन सूत्र:
1), आधार का क्षेत्रफल कहाँ है, h ऊँचाई है।
2) समांतर चतुर्भुज का आयतन क्षेत्रफल के गुणनफल के बराबर होता है क्रॉस सेक्शनकिनारे के किनारे पर।
गणित में शिक्षक: जैसा कि आप जानते हैं, सूत्र सभी प्रिज्मों के लिए समान है और यदि ट्यूटर पहले ही इसे सिद्ध कर चुका है, तो समानांतर चतुर्भुज के लिए उसी बात को दोहराने का कोई मतलब नहीं है। हालांकि, जब एक इंटरमीडिएट स्तर के छात्र के साथ काम करते हैं (सूत्र कमजोर के लिए उपयोगी नहीं है), शिक्षक के लिए बिल्कुल विपरीत कार्य करने की सलाह दी जाती है। प्रिज्म को अकेला छोड़ दें और समानांतर चतुर्भुज के लिए साफ-सुथरा प्रूफ तैयार करें।
3), छह त्रिकोणीय पिरामिडों में से एक का आयतन कहाँ है, जिसमें समानांतर चतुर्भुज होते हैं।
4) यदि, तो

एक समांतर चतुर्भुज की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल उसके सभी फलकों के क्षेत्रफलों का योग होता है:
समांतर चतुर्भुज की पूर्ण सतह उसके सभी फलकों के क्षेत्रफलों का योग है, अर्थात् क्षेत्रफल + आधार के दो क्षेत्रफल:।

एक झुके हुए समानांतर चतुर्भुज वाले ट्यूटर के काम के बारे में:
एक गणित ट्यूटर अक्सर एक तिरछी समानांतर चतुर्भुज पर समस्याओं से निपटता नहीं है। यूनिफाइड स्टेट परीक्षा में उनकी उपस्थिति की संभावना कम है, और उपदेशात्मक रूप से खराब है। एक झुकाव समानांतर चतुर्भुज की मात्रा पर एक कम या ज्यादा सभ्य समस्या बिंदु एच के स्थान को निर्धारित करने से जुड़ी गंभीर समस्याओं का कारण बनती है - इसकी ऊंचाई का आधार। इस मामले में, गणित के शिक्षक को सलाह दी जा सकती है कि वह अपने छह पिरामिडों में से एक के समानांतर चतुर्भुज को काट दे (जिसे संपत्ति # 3 में संदर्भित किया गया है), इसकी मात्रा खोजने की कोशिश करें और इसे 6 से गुणा करें।

यदि समांतर चतुर्भुज के पार्श्व किनारे में आधार की भुजाओं के बराबर कोण हैं, तो H आधार ABCD के कोण A के समद्विभाजक पर स्थित है। और यदि, उदाहरण के लिए, ABCD एक समचतुर्भुज है, तो

गणित शिक्षक कार्य:
1) समांतर चतुर्भुज के किनारे 2 सेमी के किनारे और एक न्यून कोण के साथ समान पसलियां हैं। एक समानांतर चतुर्भुज का आयतन ज्ञात कीजिए।
2) एक झुके हुए समानांतर चतुर्भुज में, पार्श्व किनारा 5 सेमी है। इसका लंबवत खंड एक चतुर्भुज है जिसमें परस्पर लंबवत विकर्ण हैं जिनकी लंबाई 6 सेमी और 8 सेमी है। समानांतर चतुर्भुज की मात्रा की गणना करें।
3) एक झुके हुए समानांतर चतुर्भुज में यह ज्ञात है कि, और ABCD में 2 सेमी की भुजा और कोण वाला एक समचतुर्भुज है। बॉक्स का आयतन ज्ञात कीजिए।

गणित में ट्यूटर, अलेक्जेंडर कोलपाकोव

या (समान रूप से) छह समांतर चतुर्भुज चेहरों वाला एक पॉलीहेड्रॉन। षट्भुज।

समांतर चतुर्भुज जो समांतर चतुर्भुज बनाते हैं, वे हैं पहलुओंइस समांतर चतुर्भुज की भुजाएँ हैं समानांतर चतुर्भुज के किनारे, और समांतर चतुर्भुज के शीर्ष हैं चोटियों समानांतर खात... एक समानांतर चतुर्भुज के लिए, प्रत्येक चेहरा है समानांतर चतुर्भुज.

एक नियम के रूप में, किसी भी 2 विपरीत चेहरों को प्रतिष्ठित किया जाता है और कहा जाता है समानांतर चतुर्भुज के आधार, और शेष चेहरे हैं समानांतर चतुर्भुज के पार्श्व चेहरे... बॉक्स के किनारे जो आधारों से संबंधित नहीं हैं, हैं पार्श्व पसलियां.

एक आम किनारे वाले बॉक्स के 2 फलक हैं सम्बंधित, और जिनके आम किनारे नहीं हैं - विलोम.

वह खंड जो 2 शीर्षों को जोड़ता है जो पहले फलक से संबंधित नहीं है समांतर चतुर्भुज के विकर्ण द्वारा.

एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज के किनारों की लंबाई जो समानांतर नहीं हैं, हैं रैखिक आयाम (मापन) एक समानांतर चतुर्भुज का। एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज में 3 रैखिक आयाम होते हैं।

समानांतर चतुर्भुज के प्रकार।

समानांतर चतुर्भुज कई प्रकार के होते हैं:

सीधेआधार के तल के लंबवत किनारे के साथ एक समानांतर चतुर्भुज है।

समान परिमाण के सभी 3 आयामों वाला एक आयताकार समांतर चतुर्भुज है घनक्षेत्र... घन के प्रत्येक फलक बराबर है वर्गों.

मनमाना समानांतर चतुर्भुज।एक तिरछी समानांतर चतुर्भुज में आयतन और अनुपात मुख्य रूप से वेक्टर बीजगणित का उपयोग करके निर्धारित किया जाता है। समांतर चतुर्भुज का आयतनबराबरी निरपेक्ष मूल्य 3 वैक्टर का मिश्रित उत्पाद, जो समानांतर चतुर्भुज के 3 पक्षों द्वारा निर्धारित किया जाता है (जो एक शीर्ष से आते हैं)। समांतर चतुर्भुज की भुजाओं की लंबाई और उनके बीच के कोणों के बीच का अनुपात इस कथन को दर्शाता है कि इन 3 वैक्टरों का ग्राम निर्धारक उनके वर्ग के बराबर है मिश्रित कार्य.

बॉक्स गुण।

• समानांतर चतुर्भुज अपने विकर्ण के मध्य के बारे में सममित है।
• सिरों वाला कोई भी खंड जो समानांतर चतुर्भुज की सतह से संबंधित है और जो इसके विकर्ण के बीच से होकर गुजरता है, इसके द्वारा दो बराबर भागों में विभाजित किया जाता है। समांतर चतुर्भुज के सभी विकर्ण पहले बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं और इसके द्वारा दो बराबर भागों में विभाजित होते हैं।
• बॉक्स के विपरीत फलक समानांतर और बराबर आकार के हैं।
• एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज के विकर्ण की लंबाई का वर्ग है