एक सतह की रूपरेखा और समोच्च क्या है। एक जटिल ड्राइंग में एक सतह निर्दिष्ट करता है। पेचदार शासित सतहें

अंजीर में। 354 एक सीधा गोलाकार शंकु दिखाता है, जिसका अक्ष वर्ग के समानांतर है। π 2 और pl के लिए इच्छुक है। १ इसके ललाट प्रक्षेपण की रूपरेखा दी गई है: यह है समद्विबाहु त्रिकोणएस "डी" ई "क्षैतिज प्रक्षेपण का एक स्केच बनाना आवश्यक है।

वांछित रूपरेखा एक दीर्घवृत्त के एक भाग और उस पर स्पर्शरेखा वाली दो रेखाओं से बनी होती है। वास्तव में, शंकु को उसकी दी गई स्थिति में वर्ग पर प्रक्षेपित किया जाता है। π 1 एक अण्डाकार बेलन की सतह का उपयोग करते हुए, जिसके जनक शंकु के आधार की परिधि के बिंदुओं से गुजरते हैं, और शंकु की सतह पर स्पर्शरेखा वाले दो समतलों का उपयोग करते हैं।

एक क्षैतिज प्रक्षेपण पर एक दीर्घवृत्त को इसके दो अक्षों के साथ बनाया जा सकता है: छोटा डी "ई" और बड़ा, आकार में डी "ई" (शंकु के आधार की परिधि का व्यास)। सीधी रेखाएँ S "B" और S "F" प्राप्त होती हैं यदि हम बिंदु S " से दीर्घवृत्त पर स्पर्शरेखा रेखाएँ खींचते हैं। शंकु चूंकि π 1 पर प्रक्षेपित विमान एक साथ शंकु और गोले को छूता है, इसलिए स्पर्शरेखा खींचना संभव है बिंदु S "वृत्त के लिए - गोले के भूमध्य रेखा का प्रक्षेपण - और इस स्पर्शरेखा को मांगे गए जेनरेटर के प्रक्षेपण के रूप में लें। निर्माण को बिंदु ए "- वांछित जेनरेटर के बिंदुओं में से एक का ललाट प्रक्षेपण प्राप्त करके शुरू किया जा सकता है। बिंदु ए" तब प्राप्त होता है जब ललाट अनुमान प्रतिच्छेद करते हैं: 1) शंकु और गोले की स्पर्शरेखा का चक्र (सीधी रेखा) एम "एन") और 2) क्षेत्र के भूमध्य रेखा (सीधी रेखा के "एल")। अब आप प्रक्षेपण ए "भूमध्य रेखा के क्षैतिज प्रक्षेपण पर और बिंदु एस के माध्यम से" और ए "एक सीधी रेखा खींच सकते हैं - वांछित जेनरेटर का क्षैतिज प्रक्षेपण। इस रेखा पर, बिंदु बी भी निर्धारित किया जाता है, क्षैतिज प्रक्षेपण जिनमें से (बिंदु B") दीर्घवृत्त के साथ सीधी रेखा का स्पर्शरेखा बिंदु है।

क्रांति के शंकु के अनुमानों के रेखाचित्रों के निर्माण के साथ, हम मिलते हैं, उदाहरण के लिए, इस मामले में: शंकु के शीर्ष के दिए गए अनुमान (एस ", एस"), इसकी धुरी की दिशा (एसके), के आयाम आधार की ऊंचाई और व्यास; शंकु के प्रक्षेपण का निर्माण करें। अंजीर में। 355 यह अतिरिक्त प्रक्षेपण विमानों का उपयोग करके किया जाता है।

तो, एक ललाट प्रक्षेपण बनाने के लिए, एक वर्ग पेश किया गया था। 3 2 के लंबवत और शंकु अक्ष की दिशा को परिभाषित करने वाली सीधी रेखा SK के समानांतर। प्रक्षेपण पर एस "" के "" खंड एस "" सी "" शंकु की निर्दिष्ट ऊंचाई के बराबर प्लॉट किया गया है। बिंदु C "" पर S "" C "" के लिए एक लंबवत खींचा जाता है, और उस पर एक खंड C "" B "" बनाया जाता है, जो शंकु के आधार की त्रिज्या के बराबर होता है। अंक सी "" और बी "" का उपयोग अंक सी "और बी" प्राप्त करने के लिए किया जाता है और इस प्रकार शंकु के आधार के अंडाकार-ललाट प्रक्षेपण का अर्ध-लघु अक्ष सी "बी" प्राप्त होता है। खंड सी "ए" सी "" बी "" के बराबर इस अंडाकार के प्रमुख अर्ध-अक्ष का प्रतिनिधित्व करता है। दीर्घवृत्त की कुल्हाड़ियों के साथ, आप इसे चित्र में दिखाए अनुसार बना सकते हैं। 147.

एक क्षैतिज प्रक्षेपण का निर्माण करने के लिए, प्रक्षेपण विमान π 4 पेश किया जाता है, 1 के लंबवत और एसके के समानांतर। निर्माण प्रक्रिया ललाट प्रक्षेपण के लिए वर्णित के समान है।

आप प्रोजेक्शन स्केच कैसे बनाते हैं? अंजीर में। 356 को अंजीर से अलग दिखाया गया है। 354, एक दीर्घवृत्त पर स्पर्श रेखा खींचने की विधि एक शंकु में अंकित एक गोले के बिना है।

सबसे पहले, दीर्घवृत्त के अर्ध-लघु अक्ष के बराबर त्रिज्या के साथ, इसके केंद्र से एक चाप खींचा जाता है (चित्र 356 में यह एक वृत्त का एक चौथाई है)। व्यास एस "सी" के सर्कल के साथ इस चाप के चौराहे के बिंदु 2 को परिभाषित किया गया है। बिंदु 2 से, दीर्घवृत्त के दीर्घ अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा खींची जाती है; यह

सीधी रेखा दीर्घवृत्त को बिंदु K "1 और K 2 पर काटती है। अब यह रेखाएँ S" K "1 और S" K "2 खींचने के लिए बनी हुई है, वे दीर्घवृत्त के स्पर्शरेखा हैं और शंकु के ललाट प्रक्षेपण की रूपरेखा में प्रवेश करते हैं। .

अंजीर में। 357 pl के समानांतर झुके हुए अक्ष के साथ क्रांति का एक पिंड दिखाता है। 2. यह पिंड दो सिलिंडरों, एक वृत्ताकार वलय की सतह और दो समतलों से मिलकर बनी एक संयुक्त सतह से घिरा है। इस पिंड के ललाट प्रक्षेपण की रूपरेखा इसका मुख्य मध्याह्न रेखा है।

किसी दिए गए शरीर के ऊपरी बेलनाकार भाग के क्षैतिज प्रक्षेपण की रूपरेखा एक दीर्घवृत्त और उस पर स्पर्शरेखा वाली दो रेखाओं से बनी होती है। लाइन ए "बी" सिलेंडर के जेनरेटर का एक क्षैतिज प्रक्षेपण है, जिसके साथ π 1 पर प्रक्षेपित विमान सिलेंडर की सतह को छूता है। निचले सिलेंडर के प्रक्षेपण की रूपरेखा पर भी यही लागू होता है (चित्र 357 में यह रूपरेखा पूरी तरह से चित्रित नहीं है)।

हम निबंध के अधिक जटिल भाग पर चलते हैं - मध्यवर्ती। हमें उस स्थानिक वक्र रेखा का एक क्षैतिज प्रक्षेपण बनाना चाहिए, जिसके बिंदुओं पर वृत्ताकार वलय की सतह पर स्पर्शरेखा और pl के लंबवत प्रक्षेपण रेखाएँ हों। १. इस तरह के वक्र के प्रत्येक बिंदु का ललाट प्रक्षेपण उसी तरह से बनाया गया है जैसे यह बिंदु ए के लिए किया गया था "अंजीर में। 354 में - खुदे हुए क्षेत्रों का उपयोग करके। बिंदुओं के क्षैतिज अनुमानों को भूमध्य रेखा के प्रक्षेपण पर निर्धारित किया जाता है। इसी तरह, इस तरह, उदाहरण के लिए, बिंदु डी 1 (डी" 1, डी "1)।

बिंदु K "1 और K" 2 बिंदु K "1 (उर्फ K" 2) द्वारा केंद्र O के साथ गोले के भूमध्य रेखा पर प्राप्त किए जाते हैं, और यह बिंदु K "1 (K" 2) एक संचार रेखा स्पर्शरेखा खींचकर प्राप्त किया जाता है। निर्मित वक्र बी "डी" 1 सी "।

तो, वक्र बी "डी" 1 के "1 में बिंदुओं के ललाट अनुमान शामिल हैं, जिनमें से क्षैतिज अनुमान बी", डी "1, के" 1 प्रश्न में शरीर के क्षैतिज प्रक्षेपण की रूपरेखा में शामिल हैं।

§§ 53-54 . के प्रश्न

1. उस सतह पर किसी दिए गए बिंदु पर वक्र पृष्ठ पर स्पर्श रेखा को क्या कहते हैं?
2. सतह पर एक साधारण (या नियमित) बिंदु क्या कहलाता है?
3. किसी बिंदु पर घुमावदार सतह पर स्पर्शरेखा समतल का निर्माण कैसे करें?
4. सतह सामान्य क्या है?
5. गोले पर किसी बिंदु पर गोले की स्पर्शरेखा का निर्माण कैसे करें?
6. एक घुमावदार सतह उत्तल कब होती है?
7. क्या इस सतह के किसी भी बिंदु पर एक वक्र सतह पर स्पर्शरेखा वाला तल बाद वाले को काट सकता है? दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन का उदाहरण दीजिए।
8. क्रान्ति के पृष्ठ पर, जिसकी धुरी वर्ग के समानांतर है, गोलों को किस प्रकार उत्कीर्ण किया जाता है, इसका उपयोग कैसे किया जाता है। 2, वर्ग पर इस सतह के प्रक्षेपण की रूपरेखा तैयार करने के लिए। 1, जिसके संबंध में क्रांति की सतह की धुरी एक न्यून कोण पर झुकी हुई है?
9. अपने लघु अक्ष के विस्तार पर स्थित एक बिंदु से दीर्घवृत्त पर स्पर्श रेखा कैसे खींचे?
10. इस मामले में क्रांति के सिलेंडर और क्रांति के शंकु के अनुमानों की रूपरेखा pl पर बिल्कुल समान होगी। 1, और पीएल। २?

सतह अवधारणा

सतह

वर्णनात्मक ज्यामिति में, सतहों को एक निश्चित कानून के अनुसार अंतरिक्ष में चलती एक निश्चित रेखा की क्रमिक स्थितियों का एक समूह माना जाता है। सतह निर्माण की इस विधि को गतिज कहा जाता है।

एक रेखा (वक्र या सीधी) एक निश्चित नियम के अनुसार अंतरिक्ष में चलती है और एक सतह बनाती है। इसे एक जेनरेट्रिक्स कहा जाता है। सतह के निर्माण के दौरान, यह अपरिवर्तित रह सकता है या अपना आकार बदल सकता है। जेनरेट्रिक्स के विस्थापन के नियम को लाइनों के एक सेट के रूप में सेट किया गया है और जेनरेटर के विस्थापन की प्रकृति के संकेत हैं। इन पंक्तियों को दिशानिर्देश कहा जाता है।

गतिज विधि के अलावा, सतह को निर्दिष्ट किया जा सकता है

विश्लेषणात्मक रूप से, अर्थात्, यह एक गणितीय व्यंजक द्वारा वर्णित है;

· वायरफ्रेम विधि, जिसका उपयोग जटिल सतहों को परिभाषित करते समय किया जाता है; एक सतह वायरफ्रेम एक सतह से संबंधित बिंदुओं या रेखाओं का एक क्रमबद्ध सेट है।

एक जटिल ड्राइंग में एक सतह को परिभाषित करने के लिए, उस पर ऐसे सतह तत्व होना पर्याप्त है जो आपको इसके प्रत्येक बिंदु का निर्माण करने की अनुमति देता है। इन तत्वों के संग्रह को सतह निर्धारक कहा जाता है।

सतह पहचानकर्ता में दो भाग होते हैं:

· ज्यामितीय भाग, जिसमें निरंतर ज्यामितीय तत्व (बिंदु, रेखाएं) शामिल होते हैं जो सतह के निर्माण में भाग लेते हैं;

· एल्गोरिथम भाग, जो जनरेटर की गति के नियम, उसके आकार में परिवर्तन की प्रकृति को निर्धारित करता है।

प्रतीकात्मक रूप में, सतह F के निर्धारक को इस प्रकार लिखा जा सकता है: F (Г) [A], जहां सारणिक का ज्यामितीय भाग है, A एल्गोरिथम भाग है।

सतह के पास एक सारणिक को अलग करने के लिए, इसके गठन की गतिज विधि से आगे बढ़ना चाहिए। लेकिन चूंकि कई समान सतहों को अलग-अलग तरीकों से प्राप्त किया जा सकता है, इसलिए उनके अलग-अलग निर्धारक होंगे। नीचे हम वर्गीकरण मानदंडों के अनुसार सबसे सामान्य सतहों पर विचार करेंगे, जो वर्णनात्मक ज्यामिति के दौरान सुखद हैं।

एक जटिल ड्राइंग में सतह को परिभाषित करने के लिए, सतह से संबंधित बिंदुओं और रेखाओं के पूरे सेट के अनुमानों को इंगित करने के लिए पर्याप्त नहीं है, बल्कि केवल ज्यामितीय आकारइसके निर्धारक में शामिल है। सतह को परिभाषित करने का यह तरीका आपको इसके किसी भी बिंदु का अनुमान लगाने की अनुमति देता है। किसी सतह को उसके निर्धारक के अनुमानों द्वारा निर्दिष्ट करना स्पष्टता प्रदान नहीं करता है, जिससे चित्र को पढ़ना मुश्किल हो जाता है। स्पष्टता में सुधार करने के लिए, यदि संभव हो तो, चित्र में सतह की रेखाचित्र रेखाएं (स्केच) दर्शाई गई हैं।

जब किसी सतह W को प्रोजेक्शन प्लेन S के समानांतर प्रक्षेपित किया जाता है, तो प्रोजेक्शन लाइन्स सतह W . की स्पर्शरेखा होती है , एक बेलनाकार सतह बनाते हैं (चित्र 11.1)। ये प्रक्षेपित सीधी रेखाएं सतह W को कुछ रेखा m बनाने वाले बिंदुओं पर स्पर्श करती हैं, जिसे समोच्च रेखा कहा जाता है।

समतल S - m / पर समोच्च रेखा m के प्रक्षेपण को सतह की रूपरेखा कहा जाता है। सतह की रूपरेखा सतह के प्रक्षेपण को बाकी प्रक्षेपण विमान से अलग करती है।

प्रोजेक्शन प्लेन के सापेक्ष बिंदुओं की दृश्यता निर्धारित करने के लिए सतह समोच्च रेखा का उपयोग किया जाता है। तो, अंजीर में। ११.१ समतल S पर समोच्च m के बाईं ओर स्थित सतह W के बिंदुओं का अनुमान दिखाई देगा। शेष सतह बिंदुओं के अनुमान अदृश्य होंगे।

निबंध

प्रक्षेपण के लिए घुमावदार किनारों के साथ एक वस्तु को परिभाषित करते समय, प्रक्षेपण वस्तु के बिंदुओं, किनारों और चेहरों के एक सेट को परिभाषित करने के अलावा, इसके घुमावदार किनारों के लिए रूपरेखा के एक सेट को परिभाषित करना आवश्यक है।

घुमावदार सतह रेखाचित्र उस घुमावदार सतह पर रेखाएँ होती हैं जो सतह को ऐसे भागों में विभाजित करती हैं जो दिखाई नहीं देते हैं और वे भाग जो प्रक्षेपण तल पर दिखाई देते हैं। इस मामले में, हम विचाराधीन केवल घुमावदार सतह के प्रक्षेपण के बारे में बात कर रहे हैं और अन्य अग्रभूमि सतहों द्वारा इस सतह की संभावित छायांकन को ध्यान में नहीं रखते हैं।

वे भाग जिनमें रेखाचित्रों को वक्र पृष्ठ द्वारा विभाजित किया जाता है, कहलाते हैं डिब्बों.

घुमावदार चेहरों के रेखाचित्रों की स्थिति प्रक्षेपण मापदंडों द्वारा निर्धारित की जाती है, इसलिए, रेखाचित्रों को प्रजातियों के समन्वय प्रणाली में संक्रमण के पूरा होने के बाद निर्धारित किया जाना चाहिए।

एक घुमावदार सतह की रूपरेखा निर्धारित करना, सामान्य स्थिति में, एक अपेक्षाकृत कठिन कार्य है। इसलिए, एक नियम के रूप में, एक विशिष्ट घुमावदार सतहों में से एक का उपयोग करके दी गई घुमावदार सतह का अनुमान लगाया जाता है, जिसमें शामिल हैं:

बेलनाकार सतह;

गोलाकार सतह;

शंक्वाकार सतह।

इस प्रकार की घुमावदार सतहों के लिए रेखाचित्र खोजने पर विचार करें।

खोज एक गोलाकार सतह की रूपरेखाचित्र में सचित्र। 6.6-7.

आंकड़ा निम्नलिखित पदनामों का उपयोग करता है:

- गोले का केंद्र;

- गोले के केंद्र का प्रक्षेपण;

GM किसी दिए गए गोले का मुख्य मध्याह्न रेखा है;

Pl1 - प्रक्षेपण विमान के समानांतर, गोले के केंद्र से गुजरने वाला विमान;

एक्स इन, वाई इन, जेड इन - दृश्य समन्वय प्रणाली के समन्वय अक्ष;

एक्स पी, वाई पी - प्रक्षेपण विमान पर समन्वय अक्ष।

गोले की सतह पर रूपरेखा का पता लगाने के लिए, प्रक्षेपण विमान के समानांतर, गोले के केंद्र के माध्यम से एक विमान (चित्र 6.6‑7 में pl1) खींचना आवश्यक है। इस सतह और गोले के प्रतिच्छेदन की रेखा, जिसमें एक वृत्त का आकार होता है, को गोलाकार सतह का मुख्य मध्याह्न रेखा (GM) कहा जाता है। यह मुख्य मध्याह्न रेखा वांछित रूपरेखा है।

इस रूपरेखा का प्रक्षेपण समान त्रिज्या वाला एक वृत्त होगा। इस वृत्त का केंद्र प्रक्षेपण तल पर मूल गोले के केंद्र का प्रक्षेपण है (चित्र 6.7-1 में O p)।

चावल।6.7 ‑ 1

निर्धारण के लिए एक बेलनाकार सतह की रूपरेखा, दिए गए बेलन के अक्ष के माध्यम से o 1 o 2 (चित्र 6.7-2) समतल Pl, प्रक्षेपण तल के लंबवत खींचा गया है। इसके अलावा, समतल Pl2 को बेलन की धुरी के माध्यम से, समतल Pl1 के लंबवत खींचा जाता है। बेलनाकार सतह के साथ इसके प्रतिच्छेदन दो सीधी रेखाएँ o h 1 och 2 और o h 3 o h 4 बनाते हैं, जो बेलनाकार सतह की रूपरेखा हैं। इन रेखाचित्रों के अनुमान सीधी रेखाएँ o h 1p och 2p और o h 3p o h 4p हैं, जिन्हें चित्र में दिखाया गया है। 6.7-2।

निबंधों का निर्माण शंक्वाकार सतहचित्र में सचित्र। 6.7-3.

आकृति में, निम्नलिखित पदनामों को अपनाया गया है:

O शंकु का शीर्ष है;

OO 1 - शंकु की धुरी;

एक्स इन, वाई इन, जेड इन - स्पीशीज कोऑर्डिनेट सिस्टम;

पीपी - प्रक्षेपण विमान;

एक्स पी, वाई पी, - प्रक्षेपण विमान की समन्वय प्रणाली;

- प्रक्षेपण रेखाएं;

ओ १ - शंकु में अंकित गोले का केंद्र;

ओ २ - खुदा हुआ गोले के स्पर्शरेखा वाला एक वृत्त, जिसका केंद्र बिंदु O १ और मूल शंक्वाकार सतह है;

ओ एच १, ओ एच १ - शंक्वाकार सतह की रूपरेखा पर स्थित बिंदु;

ओ एच 1 पी, ओ एच 1 पी वे बिंदु हैं जिनके माध्यम से शंक्वाकार सतह की रूपरेखा के अनुमानों के अनुरूप रेखाएं गुजरती हैं।

शंक्वाकार सतह पर सीधी रेखाओं के रूप में दो रूपरेखाएँ होती हैं। जाहिर है, ये रेखाएं शंकु-बिंदु ओ के शिखर से गुजरती हैं। रूपरेखा को स्पष्ट रूप से परिभाषित करने के लिए, इसलिए, प्रत्येक रूपरेखा के लिए एक बिंदु खोजना आवश्यक है।

शंक्वाकार सतह की रूपरेखा बनाने के लिए, निम्न चरणों का पालन करें।

एक गोले को दी गई शंक्वाकार सतह में अंकित किया जाता है (उदाहरण के लिए, बिंदु O 1 पर एक केंद्र के साथ) और एक शंक्वाकार सतह के साथ इस गोले की स्पर्शरेखा निर्धारित की जाती है। आकृति में विचार किए गए मामले में, स्पर्शरेखा रेखा एक वृत्त के आकार की होगी जिसका केंद्र शंकु के अक्ष पर स्थित बिंदु O 2 पर होगा।

जाहिर है, एक गोलाकार सतह के सभी बिंदुओं में, रूपरेखा से संबंधित बिंदु केवल एक स्पर्शरेखा वृत्त से संबंधित बिंदु हो सकते हैं। दूसरी ओर, इन बिंदुओं को खुदे हुए गोले के मुख्य मध्याह्न रेखा की परिधि पर स्थित होना चाहिए।

इसलिए, उत्कीर्ण गोले के मुख्य मध्याह्न रेखा के वृत्त के प्रतिच्छेदन बिंदु और वृत्त-स्पर्शरेखा आवश्यक बिंदु होंगे। इन बिंदुओं को टेंगेंट सर्कल के चौराहे के बिंदुओं के रूप में परिभाषित किया जा सकता है और प्रक्षेपण विमान के समानांतर उत्कीर्ण क्षेत्र ओ 1 के केंद्र से गुजरने वाले विमान के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। आकृति में ऐसे बिंदु O h 1 और O h 2 हैं।

स्केच के अनुमानों का निर्माण करने के लिए, ओ एच 1 पी और ओ एच 2 पी बिंदुओं को खोजने के लिए पर्याप्त है, जो ओ एच 1 और ओ एच 2 पाए गए बिंदुओं के अनुमान हैं। प्रक्षेपण विमान पर, और, इन बिंदुओं और शंकु के शीर्ष के प्रक्षेपण के बिंदु O n का उपयोग करके, किसी दिए गए शंक्वाकार सतह की रूपरेखा के अनुमानों के अनुरूप दो सीधी रेखाएँ बनाएँ (चित्र 6.7-3 देखें)।

चावल। 3.15

प्रौद्योगिकी के सभी क्षेत्रों में क्रांति की सतहों का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। क्रांति की सतह को कुछ उत्पन्न करने वाली रेखा के घूर्णन के परिणामस्वरूप सतह कहा जाता है 1 एक निश्चित रेखा के आसपास मैं- सतह के घूर्णन की धुरी (चित्र 3.15)। ड्राइंग में, क्रांति की सतह को इसकी रूपरेखा द्वारा परिभाषित किया गया है। सतह की रूपरेखा वे रेखाएँ हैं जो इसके प्रक्षेपण के क्षेत्र का परिसीमन करती हैं। रोटेशन के दौरान, जेनरेट्रिक्स का प्रत्येक बिंदु एक वृत्त का वर्णन करता है, जिसका तल अक्ष के लंबवत होता है। तदनुसार, अक्ष के लंबवत समतल के साथ क्रांति की सतह के प्रतिच्छेदन की रेखा एक वृत्त है। ऐसे वृत्त समांतर कहलाते हैं (चित्र 3.15)। सबसे बड़े त्रिज्या के समानांतर को भूमध्य रेखा कहा जाता है, सबसे छोटा - कंठ। क्रांति की सतह के अक्ष से गुजरने वाले विमान को मेरिडियन कहा जाता है, क्रांति की सतह के साथ इसके चौराहे की रेखा को मेरिडियन कहा जाता है। प्रोजेक्शन प्लेन के समानांतर एक प्लेन में स्थित मेरिडियन को मेन मेरिडियन कहा जाता है। ड्राइंग के अभ्यास में, क्रांति की निम्नलिखित सतहें सबसे अधिक बार सामने आती हैं: बेलनाकार, शंक्वाकार, गोलाकार, टोरस।

चावल। 3.16

क्रांति की बेलनाकार सतह... संरक्षक के तौर पर एएक वृत्त लेना चाहिए, और एक सीधी रेखा के रूप में बी- एक्सिस मैं(चित्र 3.16)। तब हम पाते हैं कि जनरेटर मैंअक्ष के समानांतर मैं, बाद के इर्द-गिर्द घूमती है। यदि घूर्णन की धुरी प्रक्षेपणों के क्षैतिज तल के लंबवत है, तो पर एन एस 1 बेलनाकार सतह को एक वृत्त में प्रक्षेपित किया जाता है, और पर एन एस 3 - एक आयत में। बेलनाकार सतह का मुख्य मध्याह्न रेखा दो समानांतर सीधी रेखाएँ होती हैं।

चित्र 3.17

क्रांति की शंक्वाकार सतहहम सीधे जेनरेट्रिक्स को घुमाकर प्राप्त करते हैं मैंअक्ष के चारों ओर मैं... इस मामले में, जनरेटर मैंअक्ष को पार करता है मैंबिंदु पर एसशंकु का शीर्ष कहा जाता है (चित्र 3.17)। शंक्वाकार सतह का मुख्य मध्याह्न रेखा दो प्रतिच्छेदी सीधी रेखाएं हैं। यदि हम एक सरल रेखा खंड को एक जनरेटर के रूप में लेते हैं, और शंकु का अक्ष लंबवत है एन एस१, उसके बाद एन एस 1 शंक्वाकार सतह को एक वृत्त में प्रक्षेपित किया जाता है, और पर एन एस 2 - एक त्रिकोण में।

गोलाकार सतहवृत्त के केंद्र से गुजरने वाली और उसके तल में स्थित अक्ष के चारों ओर एक वृत्त को घुमाने से बनता है (चित्र 3.18)। एक गोलाकार सतह के भूमध्य रेखा और मेरिडियन समान वृत्त होते हैं। इसलिए, किसी भी तल पर ओर्थोगोनल प्रक्षेपण के साथ, एक गोलाकार सतह को हलकों में प्रक्षेपित किया जाता है।

चावल। 3.18जब एक वृत्त इस वृत्त के तल में स्थित अक्ष के चारों ओर घूमता है, लेकिन इसके केंद्र से नहीं गुजरता है, तो एक सतह बनती है, जिसे टोरस कहा जाता है (चित्र 3.19)।

चावल। 3.19

11. स्थितिगत समस्याएं। एक बिंदु के सहायक उपकरण, सतह रेखा। मोंगे का प्रमेय। स्थिति के तहतका अर्थ है कार्य, जिसका समाधान आपको एक तत्व (बिंदु) या एक उपसमुच्चय (रेखा) से एक सेट (सतह) से संबंधित होने के बारे में उत्तर प्राप्त करने की अनुमति देता है। स्थितीय में विभिन्न ज्यामितीय आकृतियों से संबंधित सामान्य तत्वों को निर्धारित करने के कार्य भी शामिल हैं। कार्यों के पहले समूह को सदस्यता कार्य के सामान्य शीर्षक के तहत जोड़ा जा सकता है। इनमें, विशेष रूप से, निर्धारित करने के लिए कार्य शामिल हैं: 1) रेखा के बिंदु से संबंधित; 2) सतह के बिंदु से संबंधित; 3) सतह की रेखा से संबंधित। दूसरे समूह में चौराहे की समस्याएं शामिल हैं . इस समूह में तीन प्रकार के कार्य भी शामिल हैं: 1) एक रेखा के साथ एक रेखा के चौराहे के लिए; 2) एक सतह के साथ एक सतह के चौराहे के लिए; 3) एक सतह के साथ एक रेखा के चौराहे के लिए। सतह बिंदु संबद्धता ... संबंधित के इस विकल्प के लिए समस्याओं को हल करने में मुख्य स्थिति इस प्रकार है : एक बिंदु एक सतह से संबंधित है यदि वह उस सतह की किसी भी रेखा से संबंधित है... इस मामले में, इस तरह की रेखा के अनुमानों को बनाना आसान बनाने के लिए लाइनों को सबसे सरल लोगों के रूप में चुना जाना चाहिए, फिर इस तथ्य का उपयोग करें कि सतह पर पड़े एक बिंदु के अनुमान इस रेखा के समान प्रक्षेपण से संबंधित होने चाहिए सतह ... इस समस्या के समाधान का एक उदाहरण चित्र में दिखाया गया है।... इसे हल करने के दो तरीके हैं, क्योंकि आप एक शंक्वाकार सतह से संबंधित दो सरल रेखाएँ खींच सकते हैं। पहले मामले में, एक सीधी रेखा खींची जाती है - शंक्वाकार सतह S1 का जनरेटर ताकि वह बिंदु C के किसी दिए गए प्रक्षेपण से गुजरे। इस प्रकार, हम मानते हैं कि बिंदु C शंक्वाकार सतह के जनरेटर S1 से संबंधित है, और इसलिए शंक्वाकार सतह पर ही। इस मामले में, बिंदु C के समान नाम के अनुमान इस जेनरेटर के संगत अनुमानों पर स्थित होने चाहिए। एक और सरल रेखा 1-2 के व्यास वाला एक वृत्त है (इस वृत्त की त्रिज्या को शंकु के अक्ष से मापा जाता है) आउटलाइन जेनरेटर के लिए)। इस तथ्य को स्कूल ज्यामिति पाठ्यक्रम से भी जाना जाता है: जब एक गोलाकार शंकु अपने आधार के समानांतर या अपनी धुरी के लंबवत एक विमान के साथ छेड़छाड़ करता है, तो अनुभाग में एक सर्कल प्राप्त किया जाएगा। दूसरी समाधान विधि आपको बिंदु सी के लापता प्रक्षेपण को खोजने की अनुमति देती है, जो इसके ललाट प्रक्षेपण द्वारा दिया गया है, शंकु की सतह से संबंधित है और तीसरे प्रक्षेपण के निर्माण के बिना, शंकु के रोटेशन की धुरी के साथ ड्राइंग में मेल खाता है। आपको हमेशा यह ध्यान रखना चाहिए कि शंकु की सतह पर स्थित बिंदु दिखाई दे रहा है या नहीं (यदि यह दिखाई नहीं दे रहा है, तो बिंदु का संबंधित प्रक्षेपण कोष्ठक में संलग्न किया जाएगा)। जाहिर है, हमारी समस्या में, बिंदु सी सतह से संबंधित है, क्योंकि बिंदु के अनुमान एक ही नाम के अनुमानों से संबंधित हैं, जो पहले और दूसरे समाधान विधियों दोनों को हल करने के लिए उपयोग किए जाते हैं। भूतल रेखा संबद्धता। मूल स्थिति: एक रेखा एक सतह से संबंधित होती है यदि रेखा के सभी बिंदु किसी दिए गए सतह के होते हैं... इसका मतलब यह है कि संबंधित होने के मामले में, एक बिंदु के सतह से संबंधित होने की समस्या को कई बार हल किया जाना चाहिए। मोंगे का प्रमेय: यदि दूसरे क्रम की दो सतहों को तीसरे के पास वर्णित किया गया है या उसमें खुदा हुआ है, तो उनके प्रतिच्छेदन की रेखा दूसरे क्रम के दो वक्रों में विभाजित हो जाती है, जिसके तल एक सीधी रेखा से गुजरते हैं जो चौराहे के बिंदुओं को जोड़ती है। स्पर्शरेखा का चक्र।

12.प्रोजेक्टिंग प्लान्स द्वारा रोटेशन के शंकु के खंड . सतहों को पार करते समयप्रोजेक्शन प्लेन वाले पिंड, एक सेक्शन प्रोजेक्शन प्रोजेक्शन प्लेन के प्रोजेक्शन के साथ मेल खाता है। शंकु के क्रॉस सेक्शन में पांच अलग-अलग आकार हो सकते हैं। त्रिकोण- यदि काटने वाला विमान शंकु को शीर्ष से होकर दो जनकों के अनुदिश काटता है। वृत्त- यदि तल शंकु को आधार के समानांतर (अक्ष के लंबवत) काटता है। अंडाकार- यदि विमान सभी जनरेटर को एक निश्चित कोण पर काटता है। परवलय- यदि तल शंकु के किसी एक जनक के समानांतर है। अतिशयोक्ति- यदि तल अक्ष के समानांतर या शंकु के दो जनक है। विमान द्वारा सतह खंडएक बंद रेखा से घिरी एक सपाट आकृति है, जिसके सभी बिंदु काटने वाले विमान और सतह दोनों से संबंधित हैं। जब एक विमान एक बहुफलक को एक खंड में काटता है, तो बहुभुज के किनारों पर स्थित शीर्षों के साथ एक बहुभुज प्राप्त होता है। उदाहरण... समतल β द्वारा लम्ब वृत्तीय शंकु के पृष्ठ के प्रतिच्छेदन रेखा L के प्रक्षेपणों की रचना कीजिए। समाधान... खंड में, एक परवलय प्राप्त होता है, जिसका शीर्ष बिंदु A (A ', A' ') पर प्रक्षेपित होता है। चौराहे की रेखा के बिंदु ए, डी, ई चरम हैं। अंजीर में। चौराहे की मांगी गई रेखा का निर्माण स्तर αi के क्षैतिज विमानों का उपयोग करके किया जाता है, जो समानांतर рi के साथ शंकु ω की सतह को काटते हैं, और विमान β - सामने की ओर सीधी रेखाओं को प्रक्षेपित करने वाले खंडों के साथ। प्रतिच्छेदन रेखा L विमानों पर पूरी तरह से दिखाई देती है।

№13. समाक्षीय सतहें। संकेंद्रित गोले विधि।

सतहों के चौराहे की एक रेखा का निर्माण करते समय, क्रांति की समाक्षीय सतहों के प्रतिच्छेदन की विशेषताएं सहायक मध्यवर्ती सतहों के रूप में इन सतहों के साथ समाक्षीय क्षेत्रों का उपयोग करने की अनुमति देती हैं। क्रांति की समाक्षीय सतहों में वे सतहें शामिल होती हैं जिनमें क्रांति की एक सामान्य धुरी होती है। अंजीर में। 134 एक समाक्षीय बेलन और एक गोला (चित्र 134, a), एक समाक्षीय शंकु और एक गोला (चित्र 134, b) और एक समाक्षीय बेलन और एक शंकु (चित्र 134, c) दिखाता है।

क्रांति की समाक्षीय सतह हमेशा उन वृत्तों के साथ प्रतिच्छेद करती है जिनके तल क्रांति की धुरी के लंबवत होते हैं। इनमें से कई वृत्त दोनों सतहों के लिए समान हैं क्योंकि सतहों की रूपरेखा रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं। अंजीर में सतहों। 134 उनके मुख्य मध्याह्न रेखा के प्रतिच्छेदन के बिंदु 1 और 2 द्वारा बनाए गए वृत्तों में प्रतिच्छेद करते हैं। सहायक क्षेत्र-मध्यस्थ प्रत्येक निर्दिष्ट सतहों को एक सर्कल में काटता है, जिसके चौराहे पर बिंदु प्राप्त होते हैं जो दूसरी सतह से संबंधित होते हैं, और इसलिए चौराहे की रेखाएं। यदि सतहों की कुल्हाड़ियाँ प्रतिच्छेद करती हैं, तो अक्षों के प्रतिच्छेदन के एक केंद्र-बिंदु से सहायक गोले खींचे जाते हैं। इस मामले में, सहायक संकेंद्रित गोले की विधि द्वारा सतहों के प्रतिच्छेदन की रेखा का निर्माण किया जाता है। सहायक संकेंद्रित क्षेत्रों की विधि का उपयोग करने के लिए सतहों के चौराहे की एक रेखा का निर्माण करते समय, निम्नलिखित शर्तों को पूरा किया जाना चाहिए: 1) क्रांति की सतहों का प्रतिच्छेदन; 2) सतहों की कुल्हाड़ियों - सीधी रेखाओं को काटना - प्रक्षेपण विमानों में से एक के समानांतर हैं , अर्थात्, समरूपता का एक सामान्य तल है; 3) विधि का उपयोग निर्माण क्लिपिंग विमानों में नहीं किया जा सकता है क्योंकि वे सतहों पर ग्राफिक रूप से सरल रेखाएं नहीं बनाते हैं। आमतौर पर, निर्माण क्षेत्र विधि का उपयोग निर्माण कतरन विमान विधि के संयोजन में किया जाता है। अंजीर में। 135, स्तर (Ф1) के ललाट तल में प्रतिच्छेद करते हुए क्रांति की कुल्हाड़ियों के साथ क्रांति की दो शंक्वाकार सतहों के प्रतिच्छेदन की एक रेखा का निर्माण किया जाता है। इसका मतलब यह है कि इन सतहों के मुख्य मेरिडियन एक दूसरे को काटते हैं और उनके चौराहे में विमान पी 2 या उच्चतम ए और निम्नतम बी बिंदुओं के सापेक्ष चौराहे की रेखा की दृश्यता के बिंदु देते हैं। क्षैतिज मेरिडियन एच और समानांतर एच के चौराहे पर, एक सहायक काटने वाले विमान Г (Г2) में झूठ बोलना, विमान पी 1 के सापेक्ष चौराहे की रेखा के दृश्यता सी और डी के बिंदु निर्धारित किए जाते हैं। Ф, दोनों सतहों को एक दूसरे के साथ काटेगा हाइपरबोलस, और के समानांतर विमान, सर्कल और हाइपरबोला की सतहों के चौराहे में देंगे। सतहों में से एक के शीर्ष के माध्यम से खींचे गए सहायक क्षैतिज या ललाट प्रक्षेपण विमान उन्हें जनरेटर और दीर्घवृत्त के साथ प्रतिच्छेद करेंगे। स्थितियां अनुमति देती हैं प्रतिच्छेदन रेखा के बिंदुओं के निर्माण के लिए सहायक गोले का उपयोग। क्रांति की सतहों की कुल्हाड़ियाँ बिंदु O (O1; O2) पर प्रतिच्छेद करती हैं, जो सहायक क्षेत्रों का केंद्र है, गोले की त्रिज्या Rmin के भीतर बदल जाती है< R < Rmах- Радиус максимальной сферы определяется расстоянием от центра О наиболее удаленной точки В (Rmax = О2В2), а радиус минимальной сферы определяется как радиус сферы, касающейся одной поверхности (по окружности h2) и пересекающей другую (по окружности h3).Плоскости этих окружностей перпендикулярны осям вращения поверхностей. В пересечении этих окружностей получаем точки Е и F, принадлежащие линии пересечения поверхностей:

h22 ^ h32 = E2 (F2); Е2Е1 || ए2ए1; E2E1 ^ h21 = E1; F2F ^ h1 = F1 त्रिज्या R का एक मध्यवर्ती गोला h4 और h5 के वृत्तों के साथ सतहों को काटता है, जिसके चौराहे पर बिंदु M और N स्थित हैं: h42 ^ h52 = M2 (N2); एम२एम१ || A2A1, M2M1 ^ h41 = M1; N2N1 ^ h41 = N1 निर्मित बिंदुओं के समान नाम के अनुमानों को जोड़कर, उनकी दृश्यता को ध्यान में रखते हुए, हम सतहों के चौराहे की रेखा के अनुमान प्राप्त करते हैं।

नंबर 14. सतहों के प्रतिच्छेदन की एक रेखा का निर्माण, यदि उनमें से कम से कम एक प्रक्षेपित हो रहा हो। चौराहे की रेखा के मुख्य बिंदु।

सतहों के चौराहे की रेखा के निर्माण के साथ आगे बढ़ने से पहले, समस्या की स्थिति का सावधानीपूर्वक अध्ययन करना आवश्यक है, अर्थात। जो सतहें प्रतिच्छेद करती हैं। यदि सतहों में से एक प्रक्षेपित हो रही है, तो समस्या का समाधान सरल हो जाता है, क्योंकि अनुमानों में से एक पर, प्रतिच्छेदन रेखा सतह प्रक्षेपण के साथ मेल खाती है। और दूसरी प्रोजेक्शन लाइन खोजने का काम नीचे आता है। समस्या को हल करते समय, सबसे पहले, "विशेषता" अंक या "विशेष" वाले को नोट करना आवश्यक है। यह:

चरम जेनरेटर पर अंक

रेखा को दृश्य और अदृश्य भागों में विभाजित करने वाले बिंदु

· ऊपरी और निचले बिंदु, आदि। इसके बाद, आपको बुद्धिमानी से उस विधि का चयन करना चाहिए जिसका उपयोग हम सतहों के प्रतिच्छेदन की रेखा का निर्माण करते समय करेंगे। हम दो विधियों का उपयोग करेंगे: 1. सहायक कट विमान। 2. सहायक छेदक गोले। प्रोजेक्शन सतहों में शामिल हैं: 1) एक सिलेंडर यदि इसकी धुरी प्रक्षेपण विमान के लंबवत है; 2) एक प्रिज्म, यदि प्रिज्म के किनारे प्रोजेक्शन प्लेन के लंबवत हैं। प्रक्षेपण सतह पर प्रक्षेपण सतह को एक रेखा में प्रक्षेपित किया जाता है। प्रोजेक्शन सिलेंडर या प्रोजेक्शन प्रिज्म की पार्श्व सतह से संबंधित सभी बिंदुओं और रेखाओं को समतल पर एक रेखा में प्रक्षेपित किया जाता है, जिस पर सिलेंडर की धुरी या प्रिज्म का किनारा लंबवत होता है। सतहों के प्रतिच्छेदन की रेखा एक ही समय में दोनों सतहों से संबंधित होती है, और यदि इनमें से कोई एक सतह प्रक्षेपित हो रही है, तो प्रतिच्छेदन की रेखा के निर्माण के लिए निम्नलिखित नियम का उपयोग किया जा सकता है: यदि प्रतिच्छेदी सतहों में से एक प्रक्षेपण है, तो एक प्रक्षेपण चौराहे की रेखा तैयार की गई ड्राइंग में है और प्रक्षेपण सतह के प्रक्षेपण के साथ मेल खाती है (वह सर्कल जिसमें सिलेंडर प्रक्षेपित होता है या बहुभुज जिसमें प्रिज्म प्रक्षेपित होता है)। चौराहे की रेखा का दूसरा प्रक्षेपण इस शर्त के आधार पर बनाया गया है कि इस रेखा के बिंदु किसी अन्य गैर-प्रोजेक्टिंग सतह से संबंधित हैं।

विशिष्ट बिंदुओं की मानी गई विशेषताएं सतहों के चौराहे की रेखा के निर्माण की शुद्धता की जांच करना आसान बनाती हैं, अगर इसे मनमाने ढंग से चयनित बिंदुओं से बनाया गया हो। इस मामले में, चौराहे की रेखा के सुचारू अनुमानों को खींचने के लिए दस बिंदु पर्याप्त हैं। यदि आवश्यक हो तो किसी भी संख्या में मध्यवर्ती बिंदुओं को प्लॉट किया जा सकता है। निर्मित बिंदु उनकी स्थिति और दृश्यता की ख़ासियत को ध्यान में रखते हुए, एक चिकनी रेखा से जुड़े हुए हैं। आइए तैयार करें सामान्य नियमसतहों के चौराहे की रेखा का निर्माण: सहायक सतहों के प्रकार का चयन करें; निर्दिष्ट सतहों के साथ सहायक सतहों के चौराहे की लाइनें बनाएं; निर्मित रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए और उन्हें एक दूसरे से जोड़िए। हम सहायक काटने वाले विमानों को इस तरह से चुनते हैं कि, दी गई सतहों के साथ चौराहे पर, ज्यामितीय रूप से सरल रेखाएं (सीधी रेखाएं या मंडल) प्राप्त होती हैं। सहायक कतरन विमानों का चयन करें। अक्सर, प्रक्षेपण विमानों, विशेष स्तर के विमानों में, सहायक अनुभाग विमानों के रूप में चुने जाते हैं। इस मामले में, विमान द्वारा सतह के प्रतिच्छेदन के परिणामस्वरूप सतह पर प्राप्त प्रतिच्छेदन रेखाओं को ध्यान में रखना आवश्यक है। तो शंकु उस पर प्राप्त रेखाओं की संख्या के संदर्भ में सबसे जटिल सतह है। केवल शंकु के शीर्ष से गुजरने वाले विमान या शंकु की धुरी के लंबवत इसे क्रमशः एक सीधी रेखा और एक वृत्त (ज्यामितीय रूप से सरल रेखा) में काटते हैं। एक जेनरेट्रिक्स के समानांतर चलने वाला एक विमान इसे एक परवलय में काटता है, शंकु की धुरी के समानांतर एक विमान इसे एक हाइपरबोला के साथ प्रतिच्छेद करता है, और एक विमान जो सभी जनरेटर को काटता है और शंकु की धुरी की ओर झुकता है, इसे एक दीर्घवृत्त के साथ काटता है। एक गोले पर, जब इसे एक समतल द्वारा पार किया जाता है, तो हमेशा एक वृत्त प्राप्त होता है, और यदि इसे एक समतल समतल द्वारा पार किया जाता है, तो यह वृत्त क्रमशः प्रक्षेपण तल पर एक सीधी रेखा और एक वृत्त में प्रक्षेपित होता है। इसलिए, सहायक विमानों के रूप में, हम उस स्तर के क्षैतिज विमानों का चयन करते हैं जो शंकु और गोले दोनों को वृत्तों (सबसे सरल रेखाओं) में काटते हैं। सतहों को काटने के कुछ विशेष मामलेकुछ मामलों में, घुमावदार सतहों का स्थान, आकार या पहलू अनुपात ऐसा होता है कि उनके चौराहे की रेखा को चित्रित करने के लिए किसी जटिल निर्माण की आवश्यकता नहीं होती है। इनमें समानांतर जेनरेटर के साथ सिलेंडर का प्रतिच्छेदन, एक सामान्य शीर्ष के साथ शंकु, क्रांति की समाक्षीय सतह, एक गोले के चारों ओर वर्णित क्रांति की सतह शामिल हैं।