CPT இன் முக்கிய பயன்பாட்டு முக்கியத்துவம் என்ன? MS EXCEL இல் மத்திய வரம்பு தேற்றம். செபிஷேவின் தேற்றத்தின் சாராம்சம்

சார்லஸ் வீலன்புத்தக அத்தியாயம்
பப்ளிஷிங் ஹவுஸ் "மான், இவனோவ் மற்றும் ஃபெர்பர்"

இறுதியாக, சொல்லப்பட்டதை சுருக்கமாகக் கூற வேண்டிய நேரம் வந்துவிட்டது. மாதிரி வழிமுறைகள் பொதுவாக விநியோகிக்கப்படுவதால் (மத்திய வரம்பு தேற்றம் காரணமாக), பெல் வளைவின் வளமான திறனைப் பயன்படுத்திக் கொள்ளலாம். அனைத்து மாதிரி வழிமுறைகளிலும் தோராயமாக 68% மக்கள்தொகை சராசரியின் ஒரு நிலையான பிழைக்குள் இருக்கும் என்று நாங்கள் எதிர்பார்க்கிறோம்; 95% - இரண்டு நிலையான பிழைகளுக்கு மேல் இல்லாத தூரத்தில்; மற்றும் 99.7% - மூன்று நிலையான பிழைகளுக்கு மேல் இல்லாத தூரத்தில்.

இப்போது விடுபட்ட பேருந்தின் எடுத்துக்காட்டில் உள்ள விலகலுக்கு (பரப்பு) திரும்புவோம் - இருப்பினும், இந்த நேரத்தில் நாம் உதவிக்கு எண்களை அழைப்போம், உள்ளுணர்வு அல்ல. (இந்த உதாரணம் அபத்தமாகவே உள்ளது; இன்னும் பல யதார்த்தமான நிகழ்வுகளை அடுத்த அத்தியாயத்தில் பார்ப்போம்.) மாற்றும் உயிர்கள் ஆய்வின் அமைப்பாளர்கள் அதன் பங்கேற்பாளர்கள் அனைவரையும் ஒரு வார இறுதிக்கு பாஸ்டனுக்கு வேடிக்கையாகவும் அதே நேரத்தில் அழைத்ததாகவும் சொல்லலாம். நேரம் சில விடுபட்ட தரவை வழங்குகிறது. பங்கேற்பாளர்கள் தோராயமாக பேருந்துகளுக்கு நியமிக்கப்பட்டு தேர்வு மையத்திற்கு அழைத்துச் செல்லப்படுவார்கள், அங்கு அவர்கள் எடை, உயரம் போன்றவை தீர்மானிக்கப்படும். நிகழ்ச்சி ஏற்பாட்டாளர்களின் திகிலுக்கு, சோதனைக்கு செல்லும் வழியில் பேருந்துகளில் ஒன்று எங்கோ மறைந்துவிடும். இந்த நிகழ்வு உள்ளூர் வானொலி மற்றும் தொலைக்காட்சி செய்திகளில் அறிவிக்கப்பட்டுள்ளது. அதே நேரத்தில் உங்கள் காரில் தொத்திறைச்சி விழா முடிந்து திரும்பும் போது, ​​சாலையோரத்தில் பழுதடைந்த பஸ்ஸை நீங்கள் கவனிக்கிறீர்கள். அதன் ஓட்டுனர் கட்டாயப்படுத்தப்பட்டதாகத் தெரிகிறது. திடீரென்று சாலையில் தோன்றிய கடமான்களைத் தாக்குவதைத் தவிர்க்கும் முயற்சியில் பக்கத்திற்கு ஒரு கூர்மையான திருப்பத்தை ஏற்படுத்துங்கள், அத்தகைய கூர்மையான சூழ்ச்சியால், அனைத்து பயணிகளும் சுயநினைவை இழந்தனர் அல்லது பேசாமல் இருந்தனர், இருப்பினும் அவர்களில் யாருக்கும், அதிர்ஷ்டவசமாக, கடுமையான காயங்கள் ஏற்படவில்லை. (இங்கே கொடுக்கப்பட்டுள்ள உதாரணத்தின் தூய்மைக்காக மட்டுமே நான் இந்த அனுமானத்தை செய்தேன், மேலும் பயணிகளுக்கு பலத்த காயம் ஏற்படாது என்ற நம்பிக்கை எனது உள்ளார்ந்த மனிதநேயத்தால் விளக்கப்பட்டுள்ளது.) விபத்து நடந்த இடத்திற்கு விரைந்து வந்த ஆம்புலன்ஸ் மருத்துவர்கள் உங்களுக்குத் தெரிவித்தனர். பேருந்தில் இருந்த 62 பயணிகளின் சராசரி எடை 194 பவுண்டுகள். கூடுதலாக, பஸ் டிரைவர் தவிர்க்க முயன்ற எல்க், நடைமுறையில் பாதிப்பில்லாமல் இருந்தது (அவரது முதுகின் காலில் லேசான காயத்தைத் தவிர), ஆனால் கடுமையான பயத்தில் அவரும் இழந்தார் என்பது (அனைத்து விலங்கு பிரியர்களுக்கும் பெரும் நிவாரணமாக) மாறியது. பேருந்தின் அருகில் உணர்வு மற்றும் கிடக்கிறது.

அதிர்ஷ்டவசமாக, பஸ் பயணிகளின் சராசரி எடையையும், அமெரிக்கர்களின் மொத்த மக்கள்தொகைக்கான நிலையான விலகலையும் நீங்கள் அறிவீர்கள்" மாற்றும் வாழ்க்கை. கூடுதலாக, மத்திய வரம்பு தேற்றத்தைப் பற்றிய பொதுவான புரிதல் எங்களிடம் உள்ளது மற்றும் காயமடைந்தவர்களுக்கு எப்படி முதலுதவி வழங்குவது என்பது எங்களுக்குத் தெரியும். அமெரிக்கர்கள் ஆய்வில் பங்கேற்பாளர்களின் சராசரி எடை "வாழ்க்கையை மாற்றுவது 162 பவுண்டுகள்; நிலையான விலகல் 36. இந்தத் தகவலின் அடிப்படையில், 62 பேரின் மாதிரிக்கான நிலையான பிழையை நீங்கள் கணக்கிடலாம் (வெளியேற்றப்பட்ட பேருந்து பயணிகளின் எண்ணிக்கை): .

மாதிரி சராசரி (194 பவுண்டுகள்) மற்றும் மக்கள்தொகை சராசரி (162 பவுண்டுகள்) ஆகியவற்றுக்கு இடையேயான வேறுபாடு 32 பவுண்டுகள் ஆகும், இது மூன்று நிலையான பிழைகளுக்கு மேல். மைய வரம்பு தேற்றத்திலிருந்து, அனைத்து மாதிரி வழிமுறைகளிலும் 99.7% மக்கள் தொகை சராசரியின் மூன்று நிலையான பிழைகளுக்குள் இருக்கும் என்பதை நீங்கள் அறிவீர்கள். எனவே, நீங்கள் கடந்து செல்லும் பேருந்தில் மாறிவரும் அமெரிக்கர்கள் குழுவாக இருக்க வாய்ப்பில்லை. நகரத்தின் ஒரு முக்கிய சமூக ஆர்வலராக, நீங்கள் கடந்து செல்லும் பேருந்தில் வேறு சிலரை ஏற்றிச் செல்வதாக நிகழ்வு ஏற்பாட்டாளர்களை அழைக்கிறீர்கள். இருப்பினும், இந்த விஷயத்தில், நீங்கள் புள்ளிவிவர முடிவுகளை நம்பலாம், உங்கள் "உள்ளுணர்வு யூகங்கள்" அல்ல. 99.7% நம்பிக்கையுடன், நீங்கள் கண்டறிந்த பேருந்தே அவர்கள் தேடும் நிகழ்தகவை நீங்கள் மறுக்கிறீர்கள் என்று அமைப்பாளர்களிடம் கூறுகிறீர்கள். இந்த விஷயத்தில், நீங்கள் புள்ளிவிவரங்களை நன்கு அறிந்தவர்களுடன் பேசுகிறீர்கள், நீங்கள் சொல்வது சரிதான் என்பதை அவர்கள் புரிந்துகொள்வதை நீங்கள் உறுதியாக நம்பலாம் (புத்திசாலிகளுடன் பழகுவது எப்போதும் நல்லது!)

அவசரகால மருத்துவர்கள் பேருந்துப் பயணிகளிடமிருந்து இரத்த மாதிரிகளை எடுத்து, அவர்களின் சராசரி இரத்தக் கொலஸ்ட்ரால் அளவுகள் மாற்றும் உயிர்கள் ஆய்வில் பங்கேற்பவர்களின் சராசரி இரத்தக் கொலஸ்ட்ரால் அளவை விட ஐந்து நிலையான பிழைகள் அதிகமாக இருப்பதைக் கண்டறியும் போது உங்கள் முடிவுகள் மேலும் ஆதரிக்கப்படுகின்றன. மயக்கம் (இது பின்னர் மறுக்கமுடியாமல் நிரூபிக்கப்பட்டது.)

[இந்தக் கதைக்கு மகிழ்ச்சியான முடிவு உண்டு. பேருந்து பயணிகளுக்கு சுயநினைவு திரும்பியதும், அமெரிக்கர்களின் 'சேஞ்சிங் லைவ்ஸ்' ஆய்வின் ஏற்பாட்டாளர்கள், நிறைவுற்ற கொழுப்பு அதிகம் உள்ள உணவுகளை சாப்பிடுவதால் ஏற்படும் ஆபத்துகள் குறித்து ஊட்டச்சத்து நிபுணர்களுடன் கலந்தாலோசிக்குமாறு அறிவுறுத்தினர். ஆரோக்கியமான வாழ்க்கைக்கு திரும்பவும்.உணவு.காயமடைந்த கடமான் உள்ளூர் கால்நடை மருத்துவ மனையில் சிகிச்சை பெற்று உள்ளூர் மனிதநேய சங்கத்தின் உறுப்பினர்களின் ஆரவாரத்துடன் விடுவிக்கப்பட்டது.ஆம், சில காரணங்களால் பேருந்து ஓட்டுநரின் கதி குறித்து வரலாறு மௌனமாக உள்ளது.ஒருவேளை புள்ளிவிவரங்கள் தனிப்பட்ட நபர்களின் தலைவிதியை சமாளிக்க வேண்டாம். மூஸ் - இது முற்றிலும் வேறுபட்ட விஷயம், அவரது தலைவிதியை அமைதிப்படுத்த முடியாது! ஏதாவது நடந்தால், விலங்குகள் நல சங்கம் அவருக்கு ஆதரவாக நிற்க முடியும்.]

இந்த அத்தியாயத்தில் நான் அடிப்படை விஷயங்களைப் பற்றி மட்டுமே பேச முயற்சித்தேன். மாதிரி அளவு போதுமான அளவு (பொதுவாக குறைந்தது 30) இருக்கும் சந்தர்ப்பங்களில் மட்டுமே மைய வரம்பு தேற்றம் பொருந்தும் என்பதை நீங்கள் கவனித்திருக்கலாம். கூடுதலாக, அதன் நிலையான விலகல் மக்கள்தொகை நிலையான விலகலைப் போலவே இருக்கும் என்று நாம் கருதினால், ஒப்பீட்டளவில் பெரிய மாதிரி தேவை.

இந்த நிபந்தனைகள் பூர்த்தி செய்யப்படாவிட்டால், சில புள்ளிவிவர சரிசெய்தல்களைச் செய்யலாம், ஆனால் இது ஒரு கேக்கில் ஐசிங் செய்வது போன்றது (மற்றும் சாக்லேட் சில்லுகள் ஐசிங்கின் மேல் தூவப்பட்டிருக்கலாம்). இங்கே "பெரிய படம்" எளிமையானது மற்றும் மிகவும் பயனுள்ளது.

1. எந்தவொரு மக்கள்தொகையின் அடிப்படையிலும் நீங்கள் பெரிய (அளவின் அடிப்படையில்) சீரற்ற மாதிரிகளை உருவாக்கினால், அவற்றின் சராசரி மதிப்புகள் தொடர்புடைய மக்கள்தொகையின் சராசரி மதிப்புக்கு அருகில் ஒரு சாதாரண சட்டத்தின் படி விநியோகிக்கப்படும் (அசல் மக்கள்தொகையின் விநியோகத்தின் வடிவம் எதுவாக இருந்தாலும் சரி. )
2. பெரும்பாலான மாதிரி வழிமுறைகள் மக்கள்தொகை சராசரிக்கு மிகவும் நெருக்கமாக இருக்கும் (எந்தவொரு சந்தர்ப்பத்திலும் "அருமையானது" என்று சரியாகக் கருதப்படுவது நிலையான பிழையால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது).
3. மைய வரம்பு தேற்றம், மாதிரி சராசரி மக்கள்தொகை சராசரியிலிருந்து ஒரு குறிப்பிட்ட தூரத்திற்குள் இருக்கும் நிகழ்தகவை நமக்குக் கூறுகிறது. மாதிரி சராசரியானது மக்கள்தொகை சராசரியிலிருந்து இரண்டு நிலையான பிழைகளுக்கு மேல் இருக்கும் என்பது ஒப்பீட்டளவில் சாத்தியமில்லை, மேலும் மாதிரி சராசரியானது மக்கள்தொகை சராசரியிலிருந்து மூன்று நிலையான பிழைகளுக்கு மேல் இருக்கும் என்பது மிகவும் சாத்தியமில்லை.
4. ஒரு விளைவு முற்றிலும் சீரற்றதாக இருப்பதற்கான சாத்தியக்கூறுகள் குறைவாக இருந்தால், வேறு சில காரணிகள் சம்பந்தப்பட்டிருப்பதாக நாம் அதிக நம்பிக்கையுடன் இருக்கலாம்.

இது, பெரிய அளவில், புள்ளியியல் அனுமானத்தின் சாராம்சம். மத்திய வரம்பு தேற்றம் அடிப்படையில் இவை அனைத்தையும் சாத்தியமாக்குகிறது. மைக்கேல் ஜோர்டான் (ஆறு) போன்ற பல NBA பட்டங்களை லெப்ரான் ஜேம்ஸ் வெல்லும் வரை, பிரபலமான கூடைப்பந்து வீரரை விட மத்திய வரம்பு தேற்றம் நம்மை மிகவும் கவர்ந்திழுக்கும்.

லெப்ரான் ரேமோன் ஜேம்ஸ் ஒரு அமெரிக்க தொழில்முறை கூடைப்பந்து வீரர் ஆவார், அவர் NBA அணியான கிளீவ்லேண்ட் கவாலியர்ஸ் ஒரு சிறிய முன்னோக்கி மற்றும் ஒரு சக்தி முன்னோக்கி விளையாடுகிறார். குறிப்பு மொழிபெயர்ப்பு

இந்த வழக்கில் தவறான துல்லியத்தின் மிகவும் புத்திசாலித்தனமான பயன்பாட்டைக் கவனியுங்கள்.

தொடர்புடைய மக்கள்தொகையின் நிலையான விலகல் ஒரு சிறிய மாதிரியின் அடிப்படையில் கணக்கிடப்படும்போது, ​​நாங்கள் கொடுத்த சூத்திரம் சிறிது மாற்றியமைக்கப்படுகிறது: ஒரு சிறிய மாதிரியின் மாறுபாடு முழு மக்கள்தொகையில் உள்ள மாறுபாட்டை "குறைத்து மதிப்பிடலாம்" என்ற உண்மையை இது கணக்கிட உதவுகிறது. இந்த அத்தியாயத்தில் விவாதிக்கப்பட்ட உலகளாவிய விதிகளில் இது எந்த சிறப்புத் தாக்கத்தையும் கொண்டிருக்கவில்லை.

சிகாகோ பல்கலைக்கழகத்தில் எனது சக ஊழியர் ஜிம் சாலி, விடுபட்ட பேருந்து உதாரணங்களைப் பற்றி மிக முக்கியமான விமர்சனம் செய்தார். இந்த நாட்களில் பேருந்து காணாமல் போவது மிகவும் அரிதான நிகழ்வாக அவர் சுட்டிக்காட்டினார். எனவே, விடுபட்ட பேருந்தை நாம் தேட வேண்டியிருந்தால், நாம் சந்திக்கும் எந்தப் பேருந்தும் காணாமல் போனதாகவோ அல்லது பழுதாகிவிட்டதாகவோ மாறினால், இந்தப் பேருந்தில் பயணிக்கும் பயணிகளின் எடை என்னவாக இருந்தாலும், அது நிச்சயமாக நமக்கு விருப்பமான பேருந்தாக இருக்கும். ஒருவேளை ஜிம் சொல்வது சரிதான். (நான் இந்த ஒப்புமையைப் பயன்படுத்துகிறேன்: நீங்கள் உங்கள் குழந்தையை ஒரு பல்பொருள் அங்காடியில் இழந்தால் மற்றும் இந்த கடையின் நிர்வாகம் ரேடியோவில் யாரோ ஒருவரின் குழந்தை செக்அவுட் எண் 6க்கு அருகில் நிற்கிறது என்று தெரிவித்தால், அது உங்கள் குழந்தை என்று நீங்கள் உடனடியாக முடிவு செய்யலாம். இதைப் பற்றி பேசுகிறோம்.) இதன் விளைவாக, ஒரு பேருந்து காணாமல் போனது முற்றிலும் சாதாரண நிகழ்வு என்று நம்பி, எங்கள் உதாரணங்களில் அபத்தத்தின் மற்றொரு கூறுகளைச் சேர்ப்பதைத் தவிர வேறு வழியில்லை.

பயன்பாடுகளில் பல சீரற்ற மாறிகள் பல பலவீனமான சார்புடைய சீரற்ற காரணிகளின் செல்வாக்கின் கீழ் உருவாகின்றன என்பதால், அவற்றின் விநியோகம் சாதாரணமாகக் கருதப்படுகிறது. இந்த வழக்கில், காரணிகள் எதுவும் ஆதிக்கம் செலுத்துவதில்லை என்ற நிபந்தனையை பூர்த்தி செய்ய வேண்டும். இந்த நிகழ்வுகளில் மத்திய வரம்பு கோட்பாடுகள் சாதாரண விநியோகத்தின் பயன்பாட்டை நியாயப்படுத்துகின்றன.

என்சைக்ளோபீடிக் YouTube

• 1 / 5

  வரையறுக்கப்பட்ட எதிர்பார்ப்பு மற்றும் மாறுபாடு கொண்ட சுயாதீனமான ஒரே மாதிரியான விநியோகிக்கப்பட்ட சீரற்ற மாறிகளின் எல்லையற்ற வரிசை இருக்கட்டும். பிந்தையதைக் குறிக்கலாம் μ (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​\mu )மற்றும் σ 2 (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​\ சிக்மா ^(2)), முறையே. கூட விடுங்கள்

  . S n − μn σ n → N (0 , 1) (\ டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​(\frac (S_(n)-\mu n)(\sigma (\sqrt (n))))\ to N(0,1) )விநியோகம் மூலம்,

  எங்கே N (0 , 1) (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​N(0,1))- பூஜ்ஜிய கணித எதிர்பார்ப்புடன் இயல்பான விநியோகம் மற்றும் ஒன்றுக்கு சமமான நிலையான விலகல். முதல் மாதிரி சராசரியை அடையாளப்படுத்துவதன் மூலம் n (\displaystyle n)அளவு, அதாவது X ¯ n = 1 n ∑ i = 1 n X i (\displaystyle (\bar (X))_(n)=(\frac (1)(n))\sum \ வரம்புகள் _(i=1)^( n)X_(i)), மத்திய வரம்பு தேற்றத்தின் முடிவை பின்வருமாறு மீண்டும் எழுதலாம்:

  n X ¯ n − μ σ → N (0 , 1) (\ displaystyle (\sqrt (n))(\frac ((\bar (X))_(n)-\mu )(\sigma ))\to N(0,1))விநியோகம் மூலம் n → ∞ (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​n\to \infty ).

  பெர்ரி-எஸ்சீன் சமத்துவமின்மையைப் பயன்படுத்தி ஒன்றிணைக்கும் விகிதத்தை மதிப்பிடலாம்.

  குறிப்புகள்

  • முறைசாரா முறையில் கூறினால், கிளாசிக்கல் மத்திய வரம்பு தேற்றம் தொகை என்று கூறுகிறது n (\displaystyle n)சுயாதீனமான ஒரே மாதிரியாக விநியோகிக்கப்படும் சீரற்ற மாறிகள் ஒரு விநியோகத்தை நெருங்கி உள்ளன N (n μ, n σ 2) (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​N(n\mu ,n\sigma ^(2))). சமமாக, X ¯ n (\displaystyle (\bar (X))_(n))அருகில் விநியோகம் உள்ளது N (μ, σ 2 / n) (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​N(\mu ,\sigma ^(2)/n)).
  • நிலையான இயல்பான விநியோகத்தின் விநியோகச் செயல்பாடு தொடர்ச்சியாக இருப்பதால், இந்தப் பரவலுக்கான ஒருங்கிணைப்பானது, நிலையான இயல்பான விநியோகத்தின் விநியோகச் செயல்பாட்டிற்கு விநியோகச் செயல்பாடுகளின் புள்ளிவாரியான ஒருங்கிணைப்புக்குச் சமமாகும். போடுவது Z n = S n - μn σ n (\displaystyle Z_(n)=(\frac (S_(n)-\mu n)(\sigma (\sqrt (n))))), நாம் பெறுகிறோம் F Z n (x) → Φ (x) , ∀ x ∈ R (\Displaystyle F_(Z_(n))(x)\to \Phi (x),\;\forall x\in \mathbb (R) ), எங்கே Φ (x) (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​\Phi (x))- நிலையான இயல்பான விநியோகத்தின் விநியோக செயல்பாடு.
  • கிளாசிக்கல் சூத்திரத்தில் உள்ள மைய வரம்பு தேற்றம் பண்பு செயல்பாடுகளின் முறையால் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது (லெவியின் தொடர்ச்சி தேற்றம்).
  • பொதுவாக, பரவல் செயல்பாடுகளின் ஒருங்கிணைப்பு என்பது அடர்த்திகளின் ஒருங்கிணைப்பைக் குறிக்காது. ஆயினும்கூட, இந்த உன்னதமான வழக்கில் இது வழக்கு.

  உள்ளூர் சி.பி.டி.

  கிளாசிக்கல் ஃபார்முலேஷன் அனுமானங்களின் கீழ், சீரற்ற மாறிகளின் விநியோகம் என்று கூடுதலாக வைத்துக் கொள்வோம். ( X i ) i = 1 ∞ (\displaystyle \(X_(i)\)_(i=1)^(\infty ))முற்றிலும் தொடர்ச்சியான, அதாவது, அது அடர்த்தி கொண்டது. பின்னர் விநியோகம் முற்றிலும் தொடர்ச்சியானது, மேலும்,

  f Z n (x) → 1 2 π e - x 2 2 (\ displaystyle f_(Z_(n))(x)\to (\frac (1)(\sqrt (2\pi )))\,e^ (-(\frac (x^(2))(2))))மணிக்கு n → ∞ (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​n\to \infty ),

  எங்கே f Z n (x) (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​f_(Z_(n))(x))- சீரற்ற மாறியின் அடர்த்தி Z n (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​Z_(n)), மற்றும் வலது பக்கத்தில் நிலையான சாதாரண விநியோகத்தின் அடர்த்தி உள்ளது.

  பொதுமைப்படுத்தல்கள்

  பாரம்பரிய மைய வரம்பு தேற்றத்தின் முடிவு முழுமையான சுதந்திரம் மற்றும் சமமான விநியோகத்தை விட மிகவும் பொதுவான சூழ்நிலைகளுக்கு செல்லுபடியாகும்.

  சி.பி.டி. லிண்டெபெர்க்

  சுயாதீன சீரற்ற மாறிகளை விடுங்கள் X 1 , … , X n , … (\ டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​X_(1),\ldots ,X_(n),\ldots )ஒரே நிகழ்தகவு இடத்தில் வரையறுக்கப்பட்டு வரையறுக்கப்பட்ட எதிர்பார்ப்புகள் மற்றும் மாறுபாடுகள் உள்ளன: E [ X i ] = μi , D [X i ] = σ i 2 (\displaystyle \mathbb (E) =\mu _(i),\;\mathrm (D) =\sigma _(i)^( 2)).

  விடுங்கள் S n = ∑ i = 1 n X i (\displaystyle S_(n)=\sum \ வரம்புகள் _(i=1)^(n)X_(i)).

  பிறகு E [ S n ] = m n = ∑ i = 1 n μi , D [ S n ] = s n 2 = ∑ i = 1 n σ i 2 (\displaystyle \mathbb (E) =m_(n)=\sum \ வரம்புகள் _(i=1)^(n)\mu _(i),\;\mathrm (D) =s_(n)^(2)=\sum \ வரம்புகள் _(i=1)^(n)\ சிக்மா_(i)^(2)).

  மேலும் அது செய்யப்படட்டும் லிண்டெபெர்க் நிலை:

  ∀ ε > 0 , lim n → ∞ ∑ i = 1 n E [ (X i - μi) 2 s n 2 1 ( | X i − μi | > ε s n ) ] = 0 , (\varepsil \\n\n\n\n >0,\;\lim \limits _(n\ to \infty )\sum \ வரம்புகள் _(i=1)^(n)\mathbb (E) \left[(\frac ((X_(i)-\) mu _(i))^(2))(s_(n)^(2)))\,\mathbf (1) _(\(|X_(i)-\mu _(i)|>\varepsilon s_ (n)\))\right]=0,)

  எங்கே 1 ( | X i - μi | > ε s n ) (\displaystyle \mathbf (1) _(\(|X_(i)-\mu _(i)|>\varepsilon s_(n)\)))செயல்பாடு - காட்டி.

  விநியோகம் மூலம் n → ∞ (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​n\to \infty ).

  Ts. P. T. லியாபுனோவா

  சி.பி.டி. லிண்டபெர்க்கின் அடிப்படை அனுமானங்கள் திருப்தி அடையட்டும். சீரற்ற மாறிகளை விடுங்கள் ( X i ) (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​\(X_(i)\))வரையறுக்கப்பட்ட மூன்றாவது கணம் வேண்டும். பின்னர் வரிசை வரையறுக்கப்படுகிறது

  r n 3 = ∑ i = 1 n E [ | X i - μi | 3 ] (\displaystyle r_(n)^(3)=\sum _(i=1)^(n)\mathbb (E) \left[|X_(i)-\mu _(i)|^(3 )\வலது]).

  வரம்பு என்றால்

  லிம் n → ∞ r n s n = 0 (\ displaystyle \lim \limits _(n\ to \infty )(\frac (r_(n))(s_(n)))=0) (லியாபுனோவின் நிலை), S n − m n s n → N (0 , 1) (\ displaystyle (\frac (S_(n)-m_(n))(s_(n)))\ to N(0,1))விநியோகம் மூலம் n → ∞ (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​n\to \infty ).

  மார்டிங்கேல்களுக்கான சி.பி.டி

  செயல்முறையை விடுங்கள் (X n) n ∈ N (\displaystyle (X_(n))_(n\in \mathbb (N) ))வரையறுக்கப்பட்ட அதிகரிப்புகளைக் கொண்ட மார்டிங்கேல் ஆகும். குறிப்பாக, என்று வைத்துக்கொள்வோம்

  E [ X n + 1 − X n ∣ X 1 , … , X n ] = 0 , n ∈ N , X 0 ≡ 0 , (\displaystyle \mathbb (E) \left=0,\;n\in \mathbb (N) ,\;X_(0)\equiv 0,)

  மற்றும் அதிகரிப்புகள் ஒரே மாதிரியாக வரையறுக்கப்பட்டுள்ளன, அதாவது

  ∃ C > 0 ∀ n ∈ N | X n + 1 − X n | ≤ C (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​\இருக்கிறது C>0\,\அனைத்திற்கும் n\in \mathbb (N) \;|X_(n+1)-X_(n)|\leq C) τ n = நிமிடம் ( k | ∑ i = 1 k σ i 2 ≥ n ) (\displaystyle \tau _(n)=\min \left\(k\left\vert \;\sum _(i=1)^ (k)\sigma _(i)^(2)\geq n\right.\right\)). X τ n n → N (0 , 1) (\ displaystyle (\frac (X_(\tau _(n)))(\sqrt (n)))\ to N(0,1))விநியோகம் மூலம் n → ∞ (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​n\to \infty ).

  மத்திய வரம்பு தேற்றம் (CLT) என்பது விநியோகச் சட்டத்திற்கு இடையேயான தொடர்பை நிறுவும் வரம்புத் தேற்றங்களின் இரண்டாவது குழுவாகும். சீரற்ற மாறிகளின் தொகைகள்மற்றும் அதன் இறுதி வடிவம் - சாதாரண விநியோக சட்டம்.

  இப்போது வரை, அதிக எண்ணிக்கையிலான சோதனைகளின் சராசரி குணாதிசயங்களின் நிலைத்தன்மையைப் பற்றி அல்லது இன்னும் துல்லியமாக, படிவத்தின் தொகைகளின் நிலைத்தன்மையைப் பற்றி நாங்கள் அடிக்கடி பேசினோம்.

  இருப்பினும், மதிப்பு என்பதை கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும்
  சீரற்ற, அதாவது இது சில விநியோகச் சட்டத்தைக் கொண்டுள்ளது. இந்த குறிப்பிடத்தக்க உண்மை உள்ளடக்கத்தை உருவாக்குகிறது என்று மாறிவிடும்

  கோட்பாடுகளின் மற்றொரு குழு, பொதுவான பெயரில் ஒன்றுபட்டது மத்திய எல்லைதேற்றம், மிகவும் பொதுவான நிலைமைகளின் கீழ் விநியோகச் சட்டம் சாதாரண சட்டத்திற்கு அருகில்.

  மதிப்பு இருந்து தொகையிலிருந்து வேறுபட்டது

  

  ஒரு நிலையான காரணி மட்டுமே
  பின்னர், பொதுவாக, CLT இன் உள்ளடக்கத்தை பின்வருமாறு உருவாக்கலாம்.

  ஒரு பெரிய எண்ணிக்கையிலான சுயாதீன சீரற்ற மாறிகளின் கூட்டுத்தொகையின் பரவல்

  பொதுவான நிபந்தனைகள் சாதாரண விநியோக சட்டத்திற்கு அருகில் உள்ளன.

  பொதுவாக விநியோகிக்கப்படும் சீரற்ற மாறிகள் நடைமுறையில் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன என்பது அறியப்படுகிறது (நிகழ்தகவுக் கோட்பாட்டில் மட்டுமல்ல, அதன் பல பயன்பாடுகளிலும்). இந்த நிகழ்வை என்ன விளக்குகிறது? அத்தகைய "நிகழ்வு" க்கான பதில் முதலில் சிறந்த ரஷ்ய கணிதவியலாளர் ஏ.எம். 1901 இல் லியாபுனோவ்: "லியாபுனோவின் மைய வரம்பு தேற்றம்." லியாபுனோவின் பதில் CLT வைத்திருக்கும் நிபந்தனைகளில் உள்ளது (கீழே காண்க).

  CLTயின் துல்லியமான சூத்திரத்தைத் தயாரிப்பதற்காக, நமக்கு நாமே இரண்டு கேள்விகளைக் கேட்டுக்கொள்ளலாம்:

  1. “தொகை விநியோக சட்டம் சாதாரண சட்டத்திற்கு "நெருக்கமா"?

  2. எந்த நிபந்தனைகளின் கீழ் இந்த அருகாமை செல்லுபடியாகும்?

  இந்தக் கேள்விகளுக்குப் பதிலளிக்க, சீரற்ற மாறிகளின் எல்லையற்ற வரிசையைக் கவனியுங்கள்:
  நமது r.v வரிசையின் "பகுதி தொகைகளை" உருவாக்குவோம்.
  

  (23)
  

  ஒவ்வொரு சீரற்ற மாறியிலிருந்து "இயல்பாக்கப்பட்ட" சீரற்ற மாறிக்கு செல்லலாம்

  (24)
  

  நாங்கள் நிறுவியுள்ளோம் (பார்க்க T.8., பத்தி 3, சமத்துவங்கள் (19)).
  .

  முதல் கேள்விக்கான பதிலை இப்போது வரம்பு சமத்துவத்தின் அடிப்படையில் உருவாக்கலாம்

  (25)
  , (
  ,

  அதாவது r.v இன் விநியோக சட்டம். வளர்ச்சியுடன் உடன் சாதாரண சட்டத்தை அணுகுகிறது
  . நிச்சயமாக, மதிப்பு என்று உண்மையில் இருந்து தோராயமாக சாதாரண விநியோகம் உள்ளது, அது மதிப்பு என்று பின்வருமாறு தோராயமாக பொதுவாக விநியோகிக்கப்படுகிறது,

  

  (26)
  
  

  நிகழ்தகவை நிர்ணயிப்பதற்கான சூத்திரம் பல r.v. குறிப்பிட்ட வரம்புக்குள் இருக்கும். CPT பெரும்பாலும் பயன்படுத்தப்படுகிறது
  

  அளவுகளில் விதிக்கப்பட வேண்டிய நிபந்தனைகள் குறித்து
  பின்வரும் கருத்தில் கொள்ள முடியும். வித்தியாசத்தை கருத்தில் கொள்வோம்
  r.v இன் விலகலைப் பெறுகிறோம். அதன் கணித எதிர்பார்ப்பில் இருந்து. அளவுகளில் விதிக்கப்பட்ட நிபந்தனைகளின் பொதுவான பொருள்
  அது தனிப்பட்ட விலகல்கள்
  மொத்த விலகலுடன் ஒப்பிடும்போது ஒரே மாதிரியாக சிறியதாக இருக்க வேண்டும்
  வரம்பு உறவு செல்லுபடியாகும் இந்த நிபந்தனைகளின் சரியான உருவாக்கம் எம்.ஏ. லியாபுனோவ் 1901 இல். இது பின்வருமாறு.

  ஒவ்வொரு அளவுக்கும் விடுங்கள்
  எண்கள் வரையறுக்கப்பட்டவை (கவனிக்கவும் ஒரு சிதறல் r.v உள்ளது.
  - « மூன்றாவது வரிசையின் மைய தருணம்").

  இல் இருந்தால்
  

  ,

  பிறகு வரிசை என்று சொல்வோம்
  திருப்தி அளிக்கிறது லியாபுனோவின் நிலை.

  குறிப்பாக, சீரற்ற மாறிகளின் கூட்டுத்தொகையில் ஒவ்வொரு காலமும் ஒரே மாதிரியான பரவலைக் கொண்டிருக்கும் நிகழ்வுகளுக்கான CLT, அதாவது. எல்லாம் மற்றும்
  பின்னர் லியாபுனோவ் நிபந்தனை திருப்தி அடைகிறது

  

  அதாவது, நடைமுறையில் CLT இன் இந்த வழக்கு பெரும்பாலும் பயன்படுத்தப்படுகிறது. ஏனெனில் கணிதப் புள்ளிவிவரங்களில் r.v இன் சீரற்ற மாதிரி. ஒரே மாதிரியான விநியோகங்களைக் கொண்டிருக்கின்றன, ஏனெனில் "மாதிரிகள்" ஒரே மக்கள்தொகையிலிருந்து எடுக்கப்பட்டவை.

  இந்த வழக்கை CLTயின் தனி அறிக்கையாக உருவாக்குவோம்.

  தேற்றம் 10.7 (CPT).சீரற்ற மாறிகளை விடுங்கள்
  சுதந்திரமாக, சமமாகவிநியோகிக்கப்பட்டது, வரையறுக்கப்பட்ட கணித எதிர்பார்ப்பு உள்ளது
  மற்றும் மாறுபாடு
  
  

  பின்னர் இந்த r.v இன் மையப்படுத்தப்பட்ட மற்றும் இயல்பாக்கப்பட்ட தொகையின் விநியோக செயல்பாடு. மணிக்கு
  ஒரு நிலையான சாதாரண சீரற்ற மாறியின் விநியோகச் செயல்பாட்டைச் செய்கிறது:

  (27)
  
  

  

  இந்த குறிப்பிட்ட வழக்கில், விதிமுறைகளின் சீரான "சிறிய தன்மை" எவ்வாறு வெளிப்படுகிறது என்பதைப் புரிந்துகொள்வது நல்லது,
  மதிப்பு எங்கே ஒழுங்கு உள்ளது , மற்றும் மதிப்பு
  உத்தரவு
  , இதன் மூலம் முதல் அளவு மற்றும் இரண்டாவது விகிதம் 0 ஆக இருக்கும்.

  இப்போது நாம் மத்திய வரம்பு தேற்றத்தை ஏ.எம் வடிவில் உருவாக்க முடியும். லியாபுனோவா.

  தேற்றம் 10.8. (லியாபுனோவ்).வரிசை என்றால்
  சுயாதீன சீரற்ற மாறிகள் லியாபுனோவ் நிபந்தனையை பூர்த்தி செய்கின்றன, பின்னர் வரம்பு உறவு செல்லுபடியாகும்

  (28)
  ,

  எதற்கும்
  மற்றும் , இதில் (
  .

  வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், இந்த வழக்கில், இயல்பாக்கப்பட்ட தொகையின் விநியோக சட்டம் அளவுருக்களுடன் சாதாரண சட்டத்திற்கு இணைகிறது
  

  CPT A.M ஐ நிரூபிக்க வேண்டும் என்பதை கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும். லியாபுனோவ் சிறப்பியல்பு செயல்பாடுகள் என்று அழைக்கப்படும் கோட்பாட்டின் அடிப்படையில் ஒரு சிறப்பு முறையை உருவாக்கினார். இந்த முறை கணிதத்தின் பிற கிளைகளில் மிகவும் பயனுள்ளதாக மாறியது (சிஎல்டியின் ஆதாரத்தைப் பார்க்கவும், எடுத்துக்காட்டாக, போரோடின் புத்தகத்தில் […]). இந்த புத்தகத்தில், சீரற்ற மாறிகளின் எண்ணியல் பண்புகளை கணக்கிடுவதற்கான செயல்பாடுகள் மற்றும் சில பயன்பாடுகள் பற்றிய சுருக்கமான தகவல்களை வழங்குவோம்.

  அளவீட்டு பிழை பற்றிய சுருக்கமான தகவல்.அதே பொருளின் அளவீடுகளை மீண்டும் மீண்டும் செய்யும் போது, ​​அதே அளவீட்டு கருவியுடன் அதே கவனிப்புடன் (அதே நிலைமைகளின் கீழ்) அதே முடிவுகள் எப்போதும் அடையப்படுவதில்லை என்பது அறியப்படுகிறது. அளவீட்டு முடிவுகளின் சிதறல், அளவீட்டு செயல்முறை பல காரணிகளால் பாதிக்கப்படுகிறது என்பதன் மூலம் ஏற்படுகிறது, அவை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ள முடியாத அல்லது அறிவுறுத்தப்பட முடியாதவை. இந்த சூழ்நிலையில், எங்களுக்கு வட்டி அளவை அளவிடும் போது எழும் பிழையானது, ஒரு பெரிய எண்ணிக்கையிலான சுயாதீன சொற்களின் கூட்டுத்தொகையாகக் கருதப்படலாம், அவை ஒவ்வொன்றும் முழுத் தொகையை உருவாக்குவதற்கு ஒரு சிறிய பங்களிப்பை மட்டுமே செய்கிறது. ஆனால் இதுபோன்ற வழக்குகள் லியாபுனோவின் தேற்றத்தின் பொருந்தக்கூடிய நிலைமைகளுக்கு நம்மை துல்லியமாக இட்டுச் செல்கின்றன, மேலும் அளவிடப்பட்ட அளவின் பிழையின் விநியோகம் சாதாரண விநியோகத்திலிருந்து சிறிது வேறுபடுகிறது என்று எதிர்பார்க்கலாம்.

  பொதுவாக, பிழை என்பது ஒரு பெரிய எண்ணிக்கையிலான சீரற்ற வாதங்களின் செயல்பாடாகும், அவை ஒவ்வொன்றும் அதன் எதிர்பார்க்கப்படும் மதிப்பிலிருந்து சிறிது வேறுபடுகின்றன. இந்த செயல்பாட்டை நேர்கோட்டாக மாற்றுவதன் மூலம், அதாவது, அதை நேரியல் ஒன்றுடன் மாற்றுவதன் மூலம், மீண்டும் முந்தைய வழக்கிற்கு வருவோம். அளவீட்டு முடிவுகளின் புள்ளிவிவர செயலாக்கத்தில் திரட்டப்பட்ட அனுபவம் உண்மையில் பெரும்பாலான நடைமுறை நிகழ்வுகளில் இந்த உண்மையை உறுதிப்படுத்துகிறது.

  வெகுஜன உற்பத்தியில் நிலையான மதிப்புகளிலிருந்து வெளியிடப்பட்ட முடிக்கப்பட்ட தயாரிப்பை (தயாரிப்பு) தீர்மானிக்கும் அளவுருக்களின் விலகல்களில் இயல்பான விநியோகத்தின் தோற்றத்தை இதே போன்ற பகுத்தறிவு விளக்குகிறது.

  பின்வரும் உதாரணத்தைக் கவனியுங்கள்.

  உதாரணம் 5.சுயாதீன சீரற்ற மாறிகள் பிரிவில் ஒரே சீராக விநியோகிக்கப்படுகிறது. r.v. விநியோகச் சட்டத்தைக் கண்டறியவும்.
  , அத்துடன் நிகழ்தகவு என்று
  

  தீர்வு. CPT இன் நிபந்தனைகள் பூர்த்தி செய்யப்படுகின்றன, எனவே r.v. தோராயமாக ஒரு விநியோக அடர்த்தி உள்ளது

  

  m.o க்கான அறியப்பட்ட சூத்திரங்களின்படி. மற்றும் சீரான விநியோகத்தில் உள்ள மாறுபாட்டை நாம் காண்கிறோம்: பிறகு

  

  சூத்திரம் (26) அடிப்படையில், நாம் கண்டுபிடிக்கிறோம் (லாப்லேஸ் செயல்பாட்டின் அட்டவணைப்படுத்தப்பட்ட மதிப்புகளை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்வது)

  

  மத்திய வரம்பு தேற்றத்தின் முக்கிய முடிவுகளைப் பயன்படுத்தி விளக்குவோம்செல்விEXCEL: சராசரியின் மாதிரி விநியோகத்தை உருவாக்குவோம், நிலையான பிழையைக் கணக்கிட்டு, மாதிரியிலிருந்து பெறப்பட்ட மதிப்புகளை CLT இன் முடிவுகளுடன் ஒப்பிடுவோம்.

  பாடுபடுகிறது சாதாரண விநியோகம்உடன் சராசரி மதிப்புμ மற்றும் நிலையான விலகல்σ/√nக்கு சமம்

  குறிப்பு: பற்றி புள்ளிவிவரங்கள்மற்றும் அவர்கள் மாதிரி விநியோகம்கட்டுரையில் படிக்கலாம்.

  ஏன் என்று காட்டுவோம் σ/√nக்கு சமம்.

  ஒவ்வொரு தனிப்பட்ட கவனிப்பு X i in மாதிரிஅது உள்ளது சிதறல்σ 2 . ல் இருந்து, இது சுயாதீன சீரற்ற மாறிகளின் கூட்டுத்தொகையைப் பின்பற்றுகிறது மாதிரி, அதாவது x 1 + x 2 ... + x n, உள்ளது சிதறல் n*σ 2 , ஏ நிலையான விலகல்இந்த தொகை ரூட்(n) *σக்கு சமம் . கண்டுபிடிக்க மாதிரி சராசரியின் நிலையான விலகல்பிரிக்கப்பட வேண்டும் நிலையான விலகல்ஒரு nக்கான தொகைகள். இதன் விளைவாக நாம் அதைப் பெறுகிறோம் மாதிரி சராசரியின் நிலையான விலகல்σ/√nக்கு சமம்.

  ஏனெனில் பொதுவாக நிலையான விலகல்அது எடுக்கப்பட்ட அசல் விநியோகம் மாதிரி,என்பது தெரியவில்லை, பின்னர் கணக்கீடுகளில் σக்கு பதிலாக அதன் மதிப்பீடு பயன்படுத்தப்படுகிறது கள் - மாதிரி நிலையான விலகல்.

  தொடர்புடைய மதிப்பு s/√n, இங்கு n என்பது அளவு மாதிரிகள், ஒரு சிறப்பு பெயர் உள்ளது: நிலையான பிழை (நிலையான பிழைஇன்திசராசரி, SEஎம்).

  குறிப்பு: SEM என்ற சொல் சில நேரங்களில் பயன்படுத்தப்படலாம் நிலையான விலகல் மாதிரி விநியோகம் சராசரி.

  குறிப்பு:இருந்தாலும் நிலையான பிழைஉண்மையில், நிலையான விலகல், அதன் சிறப்புப் பெயர் நிச்சயமற்ற அளவைக் காட்டுகிறது என்பதை வலியுறுத்த விரும்புவதால் மாதிரி சராசரி. நிலையான பிழைஎவ்வளவு என்று மதிப்பிடுகிறது மாதிரி சராசரி X சராசரிவேறுபடுகிறது சராசரி மதிப்புஅசல் விநியோகத்தின் μ. மற்றும் கால நிலையான விலகல்பொதுவாக தனி உறுப்புகளின் மாறுபாட்டின் அளவைக் குறிக்கப் பயன்படுகிறது மாதிரிகள்இருந்து சராசரி.

  உபயோகத்திற்காக CPTபின்வரும் நிபந்தனைகள் பூர்த்தி செய்யப்பட வேண்டும்:

  • தனிப்பட்ட அவதானிப்புகள் மாதிரிசுதந்திரமாக இருக்க வேண்டும்;
  • அவதானிப்புகள் அதிலிருந்து எடுக்கப்படுகின்றன மக்கள் தொகை, அதாவது μ மற்றும் σ அளவுருக்களுடன் ஒரே விநியோகத்தைக் கொண்டுள்ளது ;
  • அளவு மாதிரிகள் n "போதுமான அளவு" இருக்க வேண்டும் (கீழே உள்ள விளக்கத்தைப் பார்க்கவும்).

  குறிப்பு: மாதிரி அர்த்தம்ஒரு சீரற்ற மாறி ஆகும். மேலே உள்ள நிபந்தனைகள் பூர்த்தி செய்யப்பட்டால், பின்னர் மாதிரி அர்த்தம்முழுவதும் விநியோகிக்கப்பட்டது சாதாரண சட்டம். இந்த வழக்கில், அசல் விநியோகம் எதில் இருந்து தேவை இல்லை மாதிரிஇருக்க வேண்டும் சாதாரண.

  குறிப்பு: தனிப்பட்ட மதிப்புகள் x நான் நமக்குத் தெரியாத சில விநியோகச் சட்டத்திற்குக் கீழ்ப்படிந்தாலும், பல மதிப்புகளை இணைத்துத் தொகையைக் கணக்கிடுவதற்கான செயல்முறை அல்லது சராசரி, இட்டு செல்லும் சாதாரண விநியோகம்(இதற்கு நாம் நிகழ்தகவுகளை கணக்கிடலாம்). பெரும்பாலும், விநியோகம் என்று சொல்வது அர்த்தமுள்ளதாக இருக்கிறது சாதாரணஅல்லது இல்லை, தொகை தொடர்பாக மட்டும் அல்லது சராசரி.

  CLT ஐப் பயன்படுத்தி MS EXCEL இல் நிகழ்தகவு கணக்கீடுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்

  பிரச்சனை 1 . நிறுவனம் பதப்படுத்தப்பட்ட சீஸ் தயிர் உற்பத்தி செய்கிறது. சீஸ் பெயரளவு எடை 100 கிராம் இருக்க வேண்டும். இயற்கை காரணங்களுக்காக, ஒவ்வொரு பாலாடைக்கட்டியின் எடையும் பெயரளவு மதிப்பிலிருந்து வேறுபடுகிறது. பாலாடைக்கட்டியின் சராசரி எடை 105 கிராம் என்றும், நிலையான விலகல் 15 கிராம் என்றும் அனுபவத்திலிருந்து அறியப்படுகிறது. நிறுவனத்தின் நற்பெயரை இழப்பதைத் தவிர்க்க, பாலாடைக்கட்டி எடை மிகவும் சிறியதாக இருக்கக்கூடாது, ஆனால் அது பெரியதாக இருக்கக்கூடாது, ஏனென்றால்... அதே நேரத்தில் செலவுகள் அதிகரிக்கும். பாலாடைக்கட்டி தயிர் 30 துண்டுகள் கொண்ட எந்தப் பொதியும் அதில் உள்ள பாலாடைக்கட்டியின் சராசரி எடை 95 கிராமுக்கு குறைவாகவும் 110 கிராமுக்கு அதிகமாகவும் இருந்தால் நிராகரிக்கப்படும் என்று அறியப்படுகிறது. 100% ஆய்வுடன் எந்தப் பகுதி தொகுப்புகள் நிராகரிக்கப்படும்?

  நிகழ்தகவைக் கண்டறிய (நிராகரிக்கப்பட்ட தொகுப்புகளின் விகிதம்), ஒரு சீரற்ற மாறியின் விநியோகத்தை நாம் அறிந்திருக்க வேண்டும் - தொகுப்பின் எடை. ஒரு தனிப்பட்ட பாலாடைக்கட்டியின் விநியோக முறை எங்களுக்குத் தெரியாது என்றாலும் (இது விநியோகம்அவசியமில்லை சாதாரண), ஆனால் இருந்து CPTதொகுப்பின் எடை முழுவதும் விநியோகிக்கப்படும் என்பதை நாங்கள் அறிவோம் சாதாரண சட்டம். இந்த விநியோகத்தின் அளவுருக்களை தீர்மானிக்க இது உள்ளது.

  குறிப்பு: இருந்தாலும் CPTமூலம் என்று கூறப்படுகிறது சாதாரண சட்டம்விநியோகிக்கப்பட்டது மாதிரி சராசரி, ஆனால் அது வெளிப்படையானது மாதிரி விநியோகம்தொகையும் பகிர்ந்தளிக்கப்படும் சாதாரண சட்டம், ஆனால் வெவ்வேறு அளவுருக்கள்.

  பிரச்சினையின் நிலைமைகளிலிருந்து நாம் அதை அறிவோம் சராசரி மதிப்புசீஸ் பொட்டலத்தின் எடை 30 பிசிக்கள்*105 கிராம். நாமும் கணக்கிடலாம் நிலையான விலகல்இது மாதிரி விநியோகம்.

  நிலையான விலகல்பாலாடைக்கட்டிக்கு மட்டுமே தெரியும் ( 15 கிராம்), ஆனால் இருந்து (தயிர் எடைகள் தோராயமாக பெறப்பட்டதாக நாங்கள் கருதுகிறோம்) நாம் கணக்கிடலாம் நிலையான விலகல்தொகுப்புக்கு:
  Var(x 1 +…+x 30)= Var(x 1)+…+ Var(x 30)=30* Var(x)

  ஏனெனில் அனைத்து எடைகளும் x i க்கும் ஒரே விநியோகம் இருப்பதாக நாங்கள் கருதுகிறோம், பின்னர் சீரற்ற மாறியை (சீஸ் எடை) x ஆல் குறிக்கிறோம்.

  எனவே, நிலையான விலகல்சீஸ் பொட்டலங்கள் =15*ரூட்(30)

  முதலில், சீஸ் தயிர் ஒரு பொட்டலம் 95*30 கிராம் எடையை விட குறைவாக இருக்கும் நிகழ்தகவை தீர்மானிக்கலாம். MS EXCEL இல், சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி இதைச் செய்யலாம்:
  =NORM.DIST(95*30; 105*30; 15*SQRT(30); TRUE)=0.013%

  இப்போது சீஸ் தயிர் ஒரு தொகுப்பு 110 * 30 கிராம் எடையுள்ளதாக இருக்கும் நிகழ்தகவை தீர்மானிக்கலாம்.
  =1-NORM.DIST(110*30; 105*30; 15*SQRT(30); TRUE)=3.395%

  இதனால், 3.395% + 0.013% = 3.407% தயாரிப்புகள் நிராகரிக்கப்படும்.

  மூலம் கணக்கிடும் போது அதே முடிவைப் பெறலாம் சராசரி மதிப்புஒரு சீஸ்:
  =NORM.DIST(95, 105, 15/SQRT(30), TRUE)+ 1-NORM.DIST(110, 105, 15/SQRT(30), TRUE)

  பிரச்சனை 2. பண்புகளிலிருந்து சாதாரண விநியோகம்தோராயமாக 95% வழக்குகளில் இது எதிர்பார்க்கப்படுகிறது மாதிரி சராசரி 2க்குள் இருக்கும் நிலையான பிழைகள்இருந்து சராசரி மக்கள் தொகை(இதிலிருந்து அசல் விநியோகம் மாதிரி), அதாவது. உள்ளே:

  2*s/ROOT(n)<μ<2*s/КОРЕНЬ(n)

  உதாரணமாக, அளவை விடுங்கள் மாதிரிகள் n=30, சராசரி மக்கள் தொகை μ=0, மற்றும் அடிப்படையில் கணக்கிடப்படுகிறது மாதிரிகள் நிலையான விலகல் s=5.

  இந்த வழக்கில் நிலையான பிழை = 5/ரூட்(30)

  MS EXCEL சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி, விரும்பிய நிகழ்தகவு உண்மையில் 95% க்கு அருகில் உள்ளது என்பதைக் காட்டுவோம்:
  =1-(1-NORM.DIST(2*5/SQRT(30),0,5/SQRT(30),TRUE))+ NORM.DIST(-2*5/SQRT(30),0,5 /ரூட்(30);சரி)=95.45%

  n=3 மற்றும் n=10 இல் CLT எவ்வாறு செயல்படுகிறது

  கண்டுபிடிப்புகளை நிரூபிக்க CPTவிநியோகத்தின் "இயல்புநிலை மதிப்பீட்டை" மேற்கொள்வோம் மாதிரி சராசரி n=3 மற்றும் n=10 இல்.

  ஆரம்ப விநியோகமாக, நாங்கள் எடுத்துக்கொள்கிறோம், இது ஒரு டை வீசும்போது ஒரு குறிப்பிட்ட பக்கத்தைப் பெறுவதற்கான நிகழ்தகவை விவரிக்கிறது.

  அறியப்பட்டபடி, சராசரி மதிப்புஇந்த விநியோகம் =(1+6)/2=3.5; ஏ நிலையான விநியோகம் =ரூட்(((6-1+1)^2-1)/12)=1.708

  MS EXCEL ஐப் பயன்படுத்தி, 3 பகடை வீசுதல்களின் 100 தொடர்களையும் (n=3) மற்றும் 100 தொடர் 10 பகடை வீசுதல்களையும் (n=10) உருவாக்குவோம்.

  வீசுதல்களின் ஒவ்வொரு தொடருக்கும் (அதாவது ஒவ்வொன்றிற்கும் மாதிரிகள்) நாங்கள் கணக்கிடுவோம் மாதிரி சராசரி.பின்னர் நாம் கணக்கிடுகிறோம் சராசரி மாதிரி பொருள்மற்றும் நிலையான பிழை. அதன்படி உறுதி செய்வோம் CPT, இந்த மதிப்புகள் முறையே 3.5 மற்றும் 1.708/ROOT(n) ஆகும்.

  அதை உறுதி செய்ய நாமும் கட்டுவோம் மாதிரி சராசரிவிநியோகிக்கப்பட்டது , மற்றும் அசல் சீரான விநியோகம்மற்றும் விநியோகம் மாதிரி சராசரி.

  CPT கிளாசிக் தாளில் உள்ள எடுத்துக்காட்டு கோப்பு.

  எப்போது n=3 இயல்பான தன்மைக்கான விநியோக சோதனையின் வரைபடம்ஒரு நேர்கோட்டுடன் மிகவும் நிபந்தனையுடன் ஒத்திருக்கும் (அசல் விநியோகத்திலிருந்து பெறப்பட்ட தரவின் தனித்தன்மை பாதுகாக்கப்படுகிறது), ஆனால் n=10 - கடிதத்திற்கு சாதாரண விநியோகம்நன்றாக இருக்கும்.

  
  

  குறிப்பு: ஒரு விளக்கமாக, ஒப்பிடுக இயல்பான தன்மைக்கான விநியோக சோதனை வரைபடங்கள் n=3 மற்றும் ஆரம்பத்துடன், அதாவது. n=1க்கு (கீழே உள்ள படத்தில் சிவப்பு புள்ளிகள்). படத்தில் காணலாம், பெறப்பட்ட மதிப்புகள் சீரான விநியோகம்,தெளிவாக வரையறுக்கப்பட்ட குழுக்களில் அமைந்துள்ளது.

  

  சராசரிமற்றும் சராசரியின் மாதிரி விநியோகத்தின் நிலையான பிழைகணிக்கப்பட்ட கணக்கிடப்பட்ட மதிப்புகளுக்கு அருகில் CPT.

  

  n=10 க்கு மதிப்புகளின் பரவல் என்பது தெளிவாகிறது மாதிரி சராசரி(இடதுபுறத்தில் உள்ள ஹிஸ்டோகிராம்) இதிலிருந்து பெறப்பட்ட ஹிஸ்டோகிராமுடன் பொதுவான எதுவும் இல்லை மாதிரிகள்அசல் இருந்து சீரான விநியோகம்(வலதுபுறத்தில் உள்ள ஹிஸ்டோகிராம்).

  

  முடிவுரை: MS EXCEL ஐப் பயன்படுத்தி, அது எவ்வாறு செயல்படுகிறது என்பதை நாங்கள் விளக்கினோம் CPT: அசல் வடிவ விநியோகம் எதுவும் இல்லை என்ற போதிலும் சாதாரண, ஏற்கனவே ஒரு சிறிய n=10 உடன் மாதிரி சராசரிமுழுவதும் விநியோகிக்கப்பட்டது சட்டம் வழக்கத்திற்கு அருகில் உள்ளதுஅதே கொண்டு சராசரி மதிப்புமற்றும் உடன் நிலையான விலகல்சமமான நிலையான பிழை.

  நடைமுறையில், விநியோகத்தை உறுதிப்படுத்த போதுமான மாதிரி அளவை n தீர்மானிக்க வேண்டியது அவசியம் மாதிரி சராசரிஇயல்புக்கு மிக அருகில் இருந்தது. பரவலின் அறிகுறியற்ற தோராயமானது என்பது வெளிப்படையானது மாதிரி சராசரிஅது எடுக்கப்பட்ட அசல் விநியோகத்தைப் பொறுத்தது மாதிரி(அசல் விநியோகம் இருந்தால், விநியோகம் மாதிரி சராசரி n அதிகரிக்கும் போது மெதுவாக இயல்பை நெருங்கும்). நடைமுறையில், அசல் விநியோகம் தெரியவில்லை, எனவே பொதுவாக மாதிரி அளவு n=>30 ஆக இருக்க வேண்டும் என்று கருதப்படுகிறது.

  கிளாசிக்கல் CLT ஐப் பயன்படுத்தி சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான அல்காரிதம்

  நீங்கள் ஒரு பெரிய வங்கியின் தணிக்கையை நடத்துகிறீர்கள். ஒரு வங்கியில் சராசரி வைப்புத்தொகை $200 என்றும், நிலையான விலகல் $45 என்றும் ஒரு வங்கிச் சொல்பவர் உங்களுக்குச் சொல்கிறார். மேலாளரின் தகவல் உண்மையா என்பதை நீங்கள் உறுதிசெய்ய வேண்டும், எனவே 50 டெபாசிட்களின் சீரற்ற மாதிரியிலிருந்து தரவை எடுக்க முடிவு செய்கிறீர்கள்.
  இல் சராசரியின் மாதிரி விநியோகம் பற்றிய விளக்கத்தைக் கொடுங்கள்n=50. மேலாளரின் அறிக்கையிடப்பட்ட விநியோக பண்புகள் சரியாக இருப்பதாகக் கருதி, உங்கள் கணக்கிடப்பட்ட மாதிரி சராசரி $190க்கும் குறைவாக இருக்கும் நிகழ்தகவைக் கணக்கிடுங்கள்.

  அறிவுரை:இந்த தலைப்பில் ஒரு சிறந்த சுருக்கம் இணையதளத்தில் கிடைக்கிறது http://brownmath.com/swt/chap08.htm(ஆங்கிலம்)

  முதலில் விளக்கம் தருவோம் மாதிரி விநியோகம் சராசரி. நமக்கு இது ஏன் தேவை? நிகழ்தகவைக் கணக்கிட, நிகழ்தகவு விநியோகத்தை நீங்கள் அறிந்து கொள்ள வேண்டும் என்பதுதான். அந்த. என்பதை காட்ட வேண்டும் மாதிரி சராசரிஒரு சாதாரண சட்டத்தின் படி விநியோகிக்கப்பட்டது.

  எந்தவொரு விநியோகத்தையும் விவரிக்க, அதைக் கணக்கிடுவது அவசியம் என்பதை நினைவில் கொள்க சராசரி, பரவுதல்மற்றும் வடிவம்.

  விநியோக படிவம். சிக்கலைத் தீர்க்க, நீங்கள் அதை உறுதிப்படுத்த வேண்டும் மாதிரி விநியோகம் என்று பொருள்இருக்கிறது சாதாரண(CPT இன் பொருந்தக்கூடிய நிபந்தனைகள் பூர்த்தி செய்யப்பட்டுள்ளன). ஒரு விதியாக, இதற்காக நீங்கள் 2 நிபந்தனைகளை சரிபார்க்க வேண்டும்:

  • அளவு மாதிரிகள் 10% ஐ விட அதிகமாக இருக்கக்கூடாது மக்கள் தொகை;
  • அளவு மாதிரிகள்அசல் விநியோகத்தின் வடிவம் இருந்தபோதிலும் போதுமானது, மாதிரி சராசரி விநியோகம்இருந்தது சாதாரண. பொதுவாக n 30ஐ விட அதிகமாக இருந்தால் போதும்.

  முதல் நிபந்தனை பூர்த்தி செய்யப்பட்டதாக வைத்துக்கொள்வோம் (வங்கியில் 1000 க்கும் மேற்பட்ட வைப்புத்தொகை உள்ளது என்பதை அறியலாம்); அதன்படி, 50 வைப்புத்தொகைகள் வங்கியின் மொத்த டெபாசிட்களின் எண்ணிக்கையில் 10% க்கும் குறைவாக இருக்கும். அசல் விநியோகம் பெரும்பாலும் இடதுபுறமாக வளைந்திருக்கும், ஏனெனில் பொதுவாக, பெரும்பாலான வைப்புத்தொகைகள் சிறியவை முதல் நடுத்தர அளவில் இருக்கும், மேலும் பெரிய வைப்புத்தொகைகள் மிகவும் சிறியதாக இருக்கும். மாதிரி அளவானது போதுமான அளவு பெரியதாக உள்ளது (50>30) மாதிரி சராசரியின் விநியோகத்தின் வடிவம் அருகில் இருப்பதை உறுதிப்படுத்துகிறது சாதாரண விநியோகம்.

  சராசரி. மாதிரி விநியோகத்தின் சராசரி, படி CPT, சமம் சராசரிஅசல் விநியோகம், அதாவது. எங்கள் விஷயத்தில், 200 டாலர்கள்.

  சிதறல். மாதிரி சராசரியின் நிலையான விலகல் (நிலையான பிழை), CLT இன் படி, =45/ROOT(50)=6.36.

  இப்போது சிக்கலைத் தீர்ப்பதற்கு நேரடியாக செல்லலாம். முதலில் கட்டுவோம் மாதிரி சராசரி N(200; 45/SQRT(50)).

  

  பச்சை செங்குத்து கோடு x=$190 ஐ ஒத்துள்ளது.

  பிரச்சனையின் நிபந்தனைகளின்படி, நாங்கள் எடுத்தோம் மாதிரி 50 வைப்புகளிலிருந்து மற்றும் கணக்கிடப்பட்டது சராசரிஇந்த மாதிரி (Xsr). இப்போது Xcp $190 க்கும் குறைவாக இருக்கும் நிகழ்தகவைக் கணக்கிடுவோம். சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி இதைச் செய்யலாம்
  =NORM.DIST(190, 200, 45/SQRT(50), TRUE)=0.058

  எனவே, 50 வைப்புத்தொகைகளிலிருந்து கணக்கிடப்பட்ட X சராசரி, $190 க்கும் குறைவாக இருந்தால், வங்கி ஊழியரின் (சராசரி வங்கி வைப்பு $200 க்கு சமம் என்று கூறிய) வார்த்தைகளின் உண்மைத்தன்மையை சந்தேகிக்க இது ஒரு தீவிர காரணமாக இருக்கலாம். , ஏனெனில் இது சாத்தியமில்லாத நிகழ்வு (<6%).

  கணக்கீடுகள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன பணி தாளில் உள்ள எடுத்துக்காட்டு கோப்பு.

  குறிப்பு: இது போன்ற பிரச்சனைகளை தீர்க்கும் போது ஒரு பொதுவான தவறு தவறான பயன்பாடு ஆகும் நிலையான விலகல், அதாவது பதிலாக போது நிலையான பிழைஅறியப்பட்ட பயன்பாடு நிலையான விலகல்அசல் ஒதுக்கீடு ($45), இது அவசியமில்லை சாதாரண. ஆனால், அசல் விநியோகம் கூட சாதாரண, பின்னர் கணக்கிடப்பட்ட நிகழ்தகவு மதிப்பு (எங்கள் விஷயத்தில் இது சுமார் 40% ஆக இருக்கும்) எப்போதும் சரியான மதிப்பை விட (சுமார் 6%) அதிகமாக இருக்கும். நாங்கள் 1 வைப்புத்தொகையை (50 க்கு பதிலாக) தேர்ந்தெடுத்து, அதன் மதிப்பின் அடிப்படையில் வங்கி ஊழியரின் வார்த்தைகளின் உண்மையை தீர்மானிக்க முயற்சித்தால் இது கணக்கீட்டு திட்டத்திற்கு ஒத்திருக்கிறது.

  சுருக்கம்: பெரும்பாலும் நடைமுறையில், இதில் இருந்து விநியோகம் மாதிரிதெரியவில்லை (வங்கி வைப்புத்தொகைகளின் விநியோகம் பெரும்பாலும் இடதுபுறமாக வளைந்திருக்கும் என்று மட்டுமே கருத முடியும், ஏனெனில் சிறிய வைப்புத்தொகைகள் பொதுவாக மிகப்பெரிய எண்ணிக்கையை உருவாக்குகின்றன). ஆனால் விநியோகத்திற்கான கணித வெளிப்பாடு தெரியாமல், அதிலிருந்து ஒரு குறிப்பிட்ட மதிப்பைப் பிரித்தெடுப்பதற்கான நிகழ்தகவை மதிப்பிட முடியாது. இது போன்ற சமயங்களில் அது நமக்கு உதவுகிறது CPT.

  CLT இன் மாற்று உருவாக்கம்

  இப்போது அது எவ்வாறு செயல்படுகிறது என்பதைப் பார்ப்போம் CPTஒரு சீரற்ற மாறி என்பது வெவ்வேறு சட்டங்களின்படி வெவ்வேறு விதிகளின்படி விநியோகிக்கப்படும் சீரற்ற மாறிகளின் கூட்டுத்தொகையாகும். சராசரிமற்றும் நிலையான விலகல்கள்.

  x 1, x 2, x 3, … x n என்பது அறியப்பட்ட மதிப்புகளைக் கொண்ட சீரற்ற மாறிகள் என்றால் சராசரி μநானும் நிலையான விலகல்σ i, மற்றும் y= x 1 +x 2 +x 3 + ... +x n, பின்னர் விநியோகம்
  

  நெருங்கி என்(0;1) மணிக்கு nமுடிவிலியை நோக்கி பாடுபடுகிறது.

  வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால் CPTதொகை என்று கூறுகிறது nபோதுமான பெரியவற்றிற்கான சுயாதீன சீரற்ற மாறிகள் n, மீது விநியோகிக்கப்படும் சாதாரண சட்டம்உடன் சராசரிதொகைக்கு சமமான மதிப்பு சராசரிஇந்த சீரற்ற மாறிகளின் மதிப்புகள் மற்றும் சிதறல்அவற்றின் தொகைக்கு சமம் மாறுபாடுகள், அதாவது சட்டத்தில்

  

  வழக்கில் என கிளாசிக்கல் CPT, CPT வெளியீடுகளை நிரூபிக்க நாங்கள் MS EXCEL ஐப் பயன்படுத்துகிறோம். ஆரம்ப விநியோகமாக நாம் 4 B(0.1; 20), 3 U மற்றும் 3 )