பிரச்சனைக்கான தீர்வு:

252 = 242 + 72, அதாவது முக்கோணம் வலது கோணம் மற்றும் அதன் பகுதி அதன் கால்களின் பாதி உற்பத்திக்கு சமம், அதாவது. S = hс * с: 2, இதில் с என்பது ஹைப்போடென்யூஸ், hс என்பது ஹைப்போடென்ஸுக்கு வரையப்பட்ட உயரம், பின்னர் hс = = = 6.72 (செ.மீ.)

பதில்: 6.72 செ.மீ.

மேடையின் நோக்கம்:

ஸ்லைடு எண் 4

“4” - 1 தவறான பதில்

"3" - பதில்கள் தவறானவை.

நான் செய்ய பரிந்துரைக்கிறேன்:

ஸ்லைடு எண் 5

மேடையின் நோக்கம்:

பாடத்தின் முடிவில்:

பலகையில் பின்வரும் சொற்றொடர்கள் எழுதப்பட்டுள்ளன:

பாடம் பயனுள்ளதாக இருக்கிறது, எல்லாம் தெளிவாக உள்ளது.

நீங்கள் இன்னும் கடினமாக உழைக்க வேண்டும்.

ஆம், படிப்பது இன்னும் கடினம்!

ஆவண உள்ளடக்கங்களைக் காண்க
"கணிதம் பாடத் திட்டம் "பித்தகோரியன் தேற்றத்திற்கு நேர்மாறான தேற்றம்""

பாடத்திட்டம் "பித்தகோரியன் தேற்றத்திற்கு நேர்மாறான தேற்றம்"

புதிய அறிவை "கண்டுபிடிப்பதில்" ஒரு பாடம்

பாடத்தின் நோக்கங்கள்:

செயல்பாடு: நிர்பந்தமான சுய-அமைப்பு முறையின் அடிப்படையில் புதிய செயல்பாட்டு முறைகளை சுயாதீனமாக உருவாக்கும் திறனை மாணவர்களில் உருவாக்குதல்;

கல்வி: புதிய கூறுகளைச் சேர்ப்பதன் மூலம் கருத்தியல் தளத்தின் விரிவாக்கம்.

கற்றல் நடவடிக்கைகளுக்கான உந்துதலின் நிலை (5 நிமிடம்)

ஆசிரியர் மற்றும் மாணவர்களின் பரஸ்பர வாழ்த்து, பாடத்திற்கான தயார்நிலையைச் சரிபார்த்தல், கவனத்தையும் உள் தயார்நிலையையும் ஒழுங்கமைத்தல், ஆயத்த வரைபடங்களைப் பயன்படுத்தி சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதன் மூலம் மாணவர்களை வணிகத் தாளத்தில் விரைவாக ஒருங்கிணைத்தல்:

ABCD ஒரு ரோம்பஸ் என்றால் BC ஐக் கண்டறியவும்.

ஏபிசிடி ஒரு செவ்வகம். AB:AD = 3:4. AD ஐக் கண்டுபிடி.

AD ஐக் கண்டுபிடி.

ஏபியைக் கண்டுபிடி.

சூரியனைக் கண்டுபிடி.

ஆயத்த வரைபடங்களின் அடிப்படையில் சிக்கல்களுக்கான பதில்கள்:

1.BC = 3; 2.BP = 4cm; 3.AB = 3√2cm.

புதிய அறிவு மற்றும் செயல் முறைகளின் "கண்டுபிடிப்பின்" நிலை (15 நிமிடம்)

மேடையின் நோக்கம்:அறிமுக உரையாடலைப் பயன்படுத்தி பாடத்தின் தலைப்பு மற்றும் இலக்குகளை உருவாக்குதல் ("சிக்கல் சூழ்நிலை" நுட்பம்).

தரவுகளுக்கு நேர்மாறான அறிக்கைகளை உருவாக்கி அவை உண்மையா என்பதைக் கண்டறியவும்:ஸ்லைடு எண் 1

பிந்தைய வழக்கில், மாணவர்கள் கொடுக்கப்பட்ட அறிக்கைக்கு நேர்மாறான ஒரு அறிக்கையை உருவாக்கலாம்.

பித்தகோரியன் தேற்றத்திற்கு நேர்மாறான தேற்றத்தின் நிரூபணத்தை ஆய்வு செய்ய ஜோடிகளாக வேலை செய்வதற்கான வழிமுறைகள்.

செயல்பாட்டின் முறை, பொருளின் இருப்பிடம் பற்றி நான் மாணவர்களுக்கு அறிவுறுத்துகிறேன்.

ஜோடிகளுக்கான பணி: ஸ்லைடு எண் 2

பித்தகோரியன் தேற்றத்திற்கு நேர்மாறான தேற்றத்தின் ஆதாரத்தை ஆய்வு செய்ய ஜோடிகளாக சுயாதீனமான வேலை. ஆதாரங்களின் பொது பாதுகாப்பு.

ஜோடிகளில் ஒன்று தேற்றத்தைக் கூறி தங்கள் விளக்கக்காட்சியைத் தொடங்குகிறது. ஆதாரத்தின் செயலில் விவாதம் உள்ளது, இதன் போது ஆசிரியர் மற்றும் மாணவர்களிடமிருந்து கேள்விகளின் உதவியுடன் ஒன்று அல்லது மற்றொரு விருப்பம் நியாயப்படுத்தப்படுகிறது.

தேற்றத்தின் ஆதாரத்தை ஆசிரியரின் சான்றுடன் ஒப்பிடுதல்

ஆசிரியர் கரும்பலகையில் பணிபுரிகிறார், அவர்களின் குறிப்பேடுகளில் பணிபுரியும் மாணவர்களிடம் உரையாற்றுகிறார்.

கொடுக்கப்பட்டது: ABC – முக்கோணம், AB 2 = AC 2 + BC 2

ஏபிசி செவ்வகமாக உள்ளதா என்பதைக் கண்டறியவும். ஆதாரம்:

A 1 B 1 C 1 ஐக் கவனியுங்கள், அதாவது ˂C = 90 0, A 1 C 1 = AC, B 1 C 1 = BC. பின்னர், பித்தகோரியன் தேற்றத்தின்படி, A 1 B 1 2 = A 1 C 1 2 + B 1 C 1 2.

A 1 C 1 = AC, B 1 C 1 = BC, பின்னர்: A 1 C 1 2 + B 1 C 1 2 = AC 2 + BC 2 = AB 2, எனவே, AB 2 = A 1 B 1 2 மற்றும் AB = A 1 B 1.

A 1 B 1 C 1 = ABC மூன்று பக்கங்களிலும், எங்கிருந்து ˂C = ˂C 1 = 90 0, அதாவது, ABC செவ்வகமானது. எனவே, ஒரு முக்கோணத்தின் ஒரு பக்கத்தின் சதுரம் மற்ற இரண்டு பக்கங்களின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமமாக இருந்தால், முக்கோணம் வலது கோணமாக இருக்கும்.

இந்த அறிக்கை அழைக்கப்படுகிறது ஒரு தேற்றம் பித்தகோரியன் தேற்றத்துடன் மாறுகிறது.

பித்தகோரியன் முக்கோணங்களைப் பற்றி மாணவர்களில் ஒருவரின் பொது பேச்சு (தயாரிக்கப்பட்ட தகவல்).

ஸ்லைடு எண் 3

தகவல் கிடைத்ததும் மாணவர்களிடம் சில கேள்விகள் கேட்கிறேன்.

பின்வரும் முக்கோணங்கள் பித்தகோரியன் முக்கோணங்களா?

ஹைப்போடென்யூஸ் 25 மற்றும் கால் 15 உடன்;

5 மற்றும் 4 கால்களுடன்?

வெளிப்புற பேச்சில் உச்சரிப்புடன் முதன்மை ஒருங்கிணைப்பின் நிலை (10 நிமிடம்)

மேடையின் நோக்கம்:சிக்கல்களைத் தீர்க்கும் செயல்பாட்டில் பித்தகோரியன் தேற்றத்திற்கு தலைகீழ் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்துவதை நிரூபிக்கவும்.

பிரச்சனை எண். 499 a) பாடப்புத்தகத்திலிருந்து தீர்க்க நான் முன்மொழிகிறேன். மாணவர்களில் ஒருவர் குழுவிற்கு அழைக்கப்படுகிறார், ஆசிரியர் மற்றும் மாணவர்களின் உதவியுடன் சிக்கலை தீர்க்கிறார், வெளிப்புற பேச்சில் தீர்வை உச்சரிக்கிறார். விருந்தினர் மாணவர் விளக்கக்காட்சியின் போது, ​​நான் பல கேள்விகளைக் கேட்கிறேன்:

ஒரு முக்கோணம் செங்கோணமாக உள்ளதா என்பதை எவ்வாறு சரிபார்க்கலாம்?

முக்கோணத்தின் குறுகிய உயரம் எந்தப் பக்கம் வரையப்படும்?

வடிவவியலில் முக்கோணத்தின் உயரத்தைக் கணக்கிடும் முறை என்ன?

ஒரு முக்கோணத்தின் பரப்பளவைக் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி, விரும்பிய உயரத்தைக் கண்டறியவும்.

பிரச்சனைக்கான தீர்வு:

25 2 = 24 2 + 7 2, அதாவது முக்கோணம் வலது கோணம் மற்றும் அதன் பகுதி அதன் கால்களின் பாதி உற்பத்திக்கு சமம், அதாவது. S = h с * с: 2, இதில் с என்பது ஹைப்போடென்யூஸ், h с என்பது ஹைப்போடென்ஸுக்கு வரையப்பட்ட உயரம், பின்னர் h с = = = 6.72 (செ.மீ.)

பதில்: 6.72 செ.மீ.

தரநிலையின்படி சுய-சோதனையுடன் சுயாதீனமான வேலையின் நிலை (10 நிமிடம்)

மேடையின் நோக்கம்:சுய-சோதனைகளை மேற்கொள்வதன் மூலம் வகுப்பறையில் சுயாதீனமான செயல்பாட்டை மேம்படுத்தவும், செயல்பாடுகளை மதிப்பீடு செய்யவும், பகுப்பாய்வு செய்யவும் மற்றும் முடிவுகளை எடுக்கவும் கற்றுக்கொள்ளுங்கள்.

உங்கள் வேலையை போதுமான அளவு மதிப்பீடு செய்து பொருத்தமான மதிப்பீட்டை வழங்குவதற்கான முன்மொழிவுடன் சுயாதீனமான வேலை முன்மொழியப்பட்டது.

ஸ்லைடு எண் 4

தர அளவுகோல்கள்: "5" - அனைத்து பதில்களும் சரியானவை

“4” - 1 தவறான பதில்

"3" - பதில்கள் தவறானவை.

வீட்டுப்பாடம் பற்றி மாணவர்களுக்குத் தெரிவிக்கும் நிலை, அதை எவ்வாறு முடிப்பது என்பதற்கான வழிமுறைகள் (3 நிமிடம்).

நான் மாணவர்களுக்கு அவர்களின் வீட்டுப்பாடத்தைப் பற்றி தெரிவிக்கிறேன், அதை எப்படி முடிப்பது என்பதை விளக்குகிறேன், மேலும் வேலையின் உள்ளடக்கத்தைப் பற்றிய அவர்களின் புரிதலைச் சரிபார்க்கிறேன்.

நான் செய்ய பரிந்துரைக்கிறேன்:

ஸ்லைடு எண் 5

பாடத்தில் கல்வி நடவடிக்கைகளின் பிரதிபலிப்பு நிலை (2 நிமிடம்)

மேடையின் நோக்கம்:அறியாமையைக் கண்டறிவதற்கும், சிரமங்களுக்கான காரணங்களைக் கண்டறிவதற்கும், அவர்களின் செயல்பாடுகளின் முடிவைத் தீர்மானிப்பதற்கும் அவர்களின் தயார்நிலையை மதிப்பிடுவதற்கு மாணவர்களுக்குக் கற்பிக்கவும்.

இந்த கட்டத்தில், ஒவ்வொரு மாணவரும் அவர்களின் ஒத்துழைப்புக்கு நன்றி சொல்ல விரும்பும் தோழர்களில் ஒருவரை மட்டுமே தேர்வு செய்ய அழைக்கிறேன், மேலும் இந்த ஒத்துழைப்பு எவ்வாறு சரியாக வெளிப்பட்டது என்பதை விளக்கவும்.

ஆசிரியரின் நன்றி வார்த்தை இறுதியானது. அதே சமயம், குறைவான பாராட்டுகளைப் பெற்றவர்களையே தேர்வு செய்கிறேன்.

பாடத்தின் முடிவில்:

பலகையில் பின்வரும் சொற்றொடர்கள் எழுதப்பட்டுள்ளன:

பாடம் பயனுள்ளதாக இருக்கிறது, எல்லாம் தெளிவாக உள்ளது.

கொஞ்சம் தெளிவாகத் தெரியாத ஒரு விஷயம் இருக்கிறது.

நீங்கள் இன்னும் கடினமாக உழைக்க வேண்டும்.

ஆம், படிப்பது இன்னும் கடினம்!

குழந்தைகள் வந்து பாடத்தின் முடிவில் தங்களுக்கு மிகவும் பொருத்தமான வார்த்தைகளுக்கு அடுத்ததாக ஒரு அடையாளத்தை (டிக்) வைக்கிறார்கள்.

வான் டெர் வேர்டனின் கூற்றுப்படி, கிமு 18 ஆம் நூற்றாண்டில் பாபிலோனில் பொதுவான வடிவத்தில் விகிதம் அறியப்பட்டிருக்கலாம். இ.

சுமார் 400 கி.மு. கி.மு., ப்ரோக்லஸின் படி, இயற்கணிதம் மற்றும் வடிவவியலை இணைத்து பித்தகோரியன் மும்மடங்குகளைக் கண்டறிவதற்கான ஒரு முறையை பிளேட்டோ வழங்கினார். சுமார் 300 கி.மு. இ. பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் மிகப் பழமையான அச்சு ஆதாரம் யூக்ளிடின் தனிமங்களில் தோன்றியது.

சூத்திரங்கள்

அடிப்படை உருவாக்கம் இயற்கணித செயல்பாடுகளைக் கொண்டுள்ளது - ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில், நீளம் சமமாக இருக்கும் a (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​a)மற்றும் b (\ displaystyle b), மற்றும் ஹைப்போடென்யூஸின் நீளம் c (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​சி), பின்வரும் உறவு திருப்தி அளிக்கிறது:

.

ஒரு உருவத்தின் பரப்பளவைக் கருத்தில் கொண்டு, சமமான வடிவியல் உருவாக்கம் சாத்தியமாகும்: ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில், ஹைபோடென்யூஸில் கட்டப்பட்ட சதுரத்தின் பரப்பளவு அதன் மீது கட்டப்பட்ட சதுரங்களின் பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம். கால்கள். யூக்ளிட் கூறுகளில் இந்த வடிவத்தில் தேற்றம் உருவாக்கப்பட்டுள்ளது.

பித்தகோரியன் தேற்றத்தை மாற்று- எந்த முக்கோணத்தின் செவ்வகத்தைப் பற்றிய அறிக்கை, அதன் பக்கங்களின் நீளம் உறவால் தொடர்புடையது a 2 + b 2 = c 2 (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​a^(2)+b^(2)=c^(2)). இதன் விளைவாக, ஒவ்வொரு மூன்று மடங்கு நேர்மறை எண்களுக்கும் a (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​a), b (\ displaystyle b)மற்றும் c (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​சி), அதுபோல் a 2 + b 2 = c 2 (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​a^(2)+b^(2)=c^(2)), கால்களுடன் ஒரு செங்கோண முக்கோணம் உள்ளது a (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​a)மற்றும் b (\ displaystyle b)மற்றும் ஹைப்போடென்யூஸ் c (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​சி).

ஆதாரம்

பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் குறைந்தபட்சம் 400 சான்றுகள் அறிவியல் இலக்கியத்தில் பதிவு செய்யப்பட்டுள்ளன, இது வடிவவியலுக்கான அதன் அடிப்படை முக்கியத்துவம் மற்றும் முடிவின் அடிப்படை தன்மை ஆகிய இரண்டாலும் விளக்கப்பட்டுள்ளது. ஆதாரங்களின் முக்கிய திசைகள்: ஒரு முக்கோணத்தின் உறுப்புகளுக்கு இடையிலான உறவுகளின் இயற்கணித பயன்பாடு (எடுத்துக்காட்டாக, பிரபலமான ஒற்றுமை முறை), பகுதிகளின் முறை, பல்வேறு கவர்ச்சியான சான்றுகள் உள்ளன (எடுத்துக்காட்டாக, வேறுபட்ட சமன்பாடுகளைப் பயன்படுத்துதல்).

ஒத்த முக்கோணங்கள் மூலம்

யூக்ளிட்டின் கிளாசிக்கல் ஆதாரம், செவ்வகங்களுக்கிடையேயான பகுதிகளின் சமத்துவத்தை நிறுவுவதை நோக்கமாகக் கொண்டது, இது ஹைபோடென்யூஸுக்கு மேலே உள்ள சதுரத்தை கால்களுக்கு மேலே உள்ள சதுரங்களுடன் வலது கோணத்தின் உயரத்தால் பிரிப்பதன் மூலம் உருவாகிறது.

நிரூபணத்திற்குப் பயன்படுத்தப்படும் கட்டுமானம் பின்வருமாறு: செங்கோணத்துடன் கூடிய செங்கோண முக்கோணத்திற்கு சி (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​சி), கால்களுக்கு மேல் சதுரங்கள் மற்றும் ஹைபோடென்யூஸின் மேல் சதுரங்கள் A B I K (\displaystyle ABIK)உயரம் கட்டப்பட்டு வருகிறது சிஎச்அதைத் தொடரும் கதிர் கள் (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல்கள்), ஹைப்போடென்ஸுக்கு மேலே உள்ள சதுரத்தை இரண்டு செவ்வகங்களாகப் பிரித்தல் மற்றும் . ஆதாரம் செவ்வகத்தின் பகுதிகளின் சமத்துவத்தை நிறுவுவதை நோக்கமாகக் கொண்டுள்ளது ஏ எச் ஜே கே (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​ஏஎச்ஜேகே)காலின் மேல் ஒரு சதுரத்துடன் ஏ சி (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​ஏசி); இரண்டாவது செவ்வகத்தின் பகுதிகளின் சமத்துவம், ஹைப்போடென்ஸுக்கு மேலே உள்ள சதுரத்தையும், மற்ற காலுக்கு மேலே உள்ள செவ்வகத்தையும் இதே வழியில் நிறுவுகிறது.

ஒரு செவ்வகத்தின் பகுதிகளின் சமத்துவம் ஏ எச் ஜே கே (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​ஏஎச்ஜேகே)மற்றும் A C E D (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​ACED)முக்கோணங்களின் ஒற்றுமை மூலம் நிறுவப்பட்டது △ ஏ சி கே (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​\ முக்கோணம் ஏசிகே)மற்றும் △ A B D (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​\ முக்கோணம் ABD), ஒவ்வொன்றின் பரப்பளவு சதுரங்களின் பாதி பகுதிக்கு சமம் ஏ எச் ஜே கே (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​ஏஎச்ஜேகே)மற்றும் A C E D (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​ACED)அதன்படி, பின்வரும் சொத்து தொடர்பாக: ஒரு முக்கோணத்தின் பரப்பளவு ஒரு செவ்வகத்தின் பாதி பகுதிக்கு சமம், புள்ளிவிவரங்கள் பொதுவான பக்கத்தைக் கொண்டிருந்தால், முக்கோணத்தின் உயரம் பொதுவான பக்கத்தின் மறுபுறம் செவ்வகம். முக்கோணங்களின் ஒற்றுமை இரண்டு பக்கங்களின் சமத்துவம் (சதுரங்களின் பக்கங்கள்) மற்றும் அவற்றுக்கிடையேயான கோணம் (செங்கோணம் மற்றும் ஒரு கோணம் ஆகியவற்றால் ஆனது A (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​A).

எனவே, ஹைப்போடென்ஸுக்கு மேலே ஒரு சதுரத்தின் பரப்பளவு செவ்வகங்களால் ஆனது என்பதை ஆதாரம் நிறுவுகிறது. ஏ எச் ஜே கே (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​ஏஎச்ஜேகே)மற்றும் BH J I (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​BHJI), கால்களுக்கு மேல் உள்ள சதுரங்களின் பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம்.

லியோனார்டோ டா வின்சியின் சான்று

பகுதி முறை லியோனார்டோ டா வின்சி கண்டுபிடித்த ஆதாரத்தையும் உள்ளடக்கியது. ஒரு செங்கோண முக்கோணம் கொடுக்கப்பட வேண்டும் △ ஏ பி சி (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​\ முக்கோணம் ஏபிசி)வலது கோணத்துடன் சி (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​சி)மற்றும் சதுரங்கள் A C E D (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​ACED), B C F G (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​BCFG)மற்றும் A B H J (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​ABHJ)(படம் பார்க்கவும்). பக்கத்தில் இந்த ஆதாரத்தில் HJ (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​HJ)பிந்தையவற்றில், ஒரு முக்கோணம் வெளிப்புறத்தில் சமமாக கட்டப்பட்டுள்ளது △ ஏ பி சி (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​\ முக்கோணம் ஏபிசி), மேலும், ஹைப்போடென்ஸுடன் தொடர்புடையது மற்றும் அதன் உயரத்துடன் தொடர்புடையது (அதாவது, J I = B C (\displaystyle JI=BC)மற்றும் H I = A C (\displaystyle HI=AC)) நேராக சி ஐ (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​சிஐ)முக்கோணங்கள் என்பதால், ஹைப்போடென்யூஸில் கட்டப்பட்ட சதுரத்தை இரண்டு சம பாகங்களாகப் பிரிக்கிறது △ ஏ பி சி (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​\ முக்கோணம் ஏபிசி)மற்றும் △ J H I (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​\முக்கோணம் JHI)கட்டுமானத்தில் சமம். ஆதாரம் நாற்கரங்களின் ஒற்றுமையை நிறுவுகிறது C A J I (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​CAJI)மற்றும் டி ஏ பி ஜி (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​டிஏபிஜி), ஒவ்வொன்றின் பரப்பளவு, ஒருபுறம், கால்களில் உள்ள சதுரங்களின் பாதி பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் அசல் முக்கோணத்தின் பரப்பளவு, மறுபுறம், பாதியாக மாறும் ஹைபோடென்யூஸில் உள்ள சதுரத்தின் பரப்பளவு மற்றும் அசல் முக்கோணத்தின் பரப்பளவு. மொத்தத்தில், கால்களுக்கு மேல் உள்ள சதுரங்களின் பகுதிகளின் பாதி தொகை, ஹைபோடென்யூஸின் மேல் சதுரத்தின் பாதி பகுதிக்கு சமம், இது பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் வடிவியல் உருவாக்கத்திற்கு சமம்.

எல்லையற்ற முறை மூலம் ஆதாரம்

வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் நுட்பத்தைப் பயன்படுத்தி பல சான்றுகள் உள்ளன. குறிப்பாக, ஹார்டி கால்களின் எண்ணற்ற அதிகரிப்புகளைப் பயன்படுத்தி ஒரு ஆதாரத்துடன் வரவு வைக்கப்படுகிறார் a (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​a)மற்றும் b (\ displaystyle b)மற்றும் ஹைப்போடென்யூஸ் c (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​சி), மற்றும் அசல் செவ்வகத்துடன் ஒற்றுமையைப் பாதுகாத்தல், அதாவது, பின்வரும் வேறுபட்ட உறவுகளை நிறைவேற்றுவதை உறுதி செய்தல்:

d a d c = c a (\displaystyle (\frac (da)(dc))=(\frac (c)(a))), d b d c = c b (\displaystyle (\frac (db)(dc))=(\frac (c)(b))).

மாறிகளைப் பிரிக்கும் முறையைப் பயன்படுத்தி, அவற்றிலிருந்து வேறுபட்ட சமன்பாடு பெறப்படுகிறது c d c = a d a + b d b (\displaystyle c\ dc=a\,da+b\,db), யாருடைய ஒருங்கிணைப்பு உறவைக் கொடுக்கிறது c 2 = a 2 + b 2 + C o n s t (\displaystyle c^(2)=a^(2)+b^(2)+\mathrm (Const) ). ஆரம்ப நிபந்தனைகளின் பயன்பாடு a = b = c = 0 (\displaystyle a=b=c=0)மாறிலியை 0 என வரையறுக்கிறது, இது தேற்றத்தின் அறிக்கையை விளைவிக்கிறது.

இறுதி சூத்திரத்தில் இருபடி சார்பு என்பது முக்கோணத்தின் பக்கங்களுக்கும் அதிகரிப்புகளுக்கும் இடையிலான நேரியல் விகிதாச்சாரத்தின் காரணமாக தோன்றுகிறது, அதே நேரத்தில் கூட்டுத்தொகை வெவ்வேறு கால்களின் அதிகரிப்பிலிருந்து சுயாதீனமான பங்களிப்புகளுடன் தொடர்புடையது.

மாறுபாடுகள் மற்றும் பொதுமைப்படுத்தல்கள்

மூன்று பக்கங்களிலும் ஒரே மாதிரியான வடிவியல் வடிவங்கள்

பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் முக்கியமான வடிவியல் பொதுமைப்படுத்தல் யூக்ளிட் கூறுகளில் கொடுக்கப்பட்டது, பக்கங்களில் உள்ள சதுரங்களின் பகுதிகளிலிருந்து தன்னிச்சையான ஒத்த வடிவியல் உருவங்களின் பகுதிகளுக்கு நகர்கிறது: கால்களில் கட்டப்பட்ட அத்தகைய உருவங்களின் பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகை சமமாக இருக்கும். ஹைப்போடென்யூஸில் கட்டப்பட்ட ஒத்த உருவத்தின் பரப்பளவு.

இந்த பொதுமைப்படுத்தலின் முக்கிய யோசனை என்னவென்றால், அத்தகைய வடிவியல் உருவத்தின் பரப்பளவு அதன் எந்த நேரியல் பரிமாணங்களின் சதுரத்திற்கும், குறிப்பாக, எந்த பக்கத்தின் நீளத்தின் சதுரத்திற்கும் விகிதாசாரமாகும். எனவே, பகுதிகளுடன் ஒத்த புள்ளிவிவரங்களுக்கு A (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​A), பி (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​பி)மற்றும் சி (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​சி), நீளம் கொண்ட கால்களில் கட்டப்பட்டது a (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​a)மற்றும் b (\ displaystyle b)மற்றும் ஹைப்போடென்யூஸ் c (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​சி)அதன்படி, பின்வரும் உறவு உள்ளது:

A a 2 = B b 2 = C c 2 ⇒ A + B = a 2 c 2 C + b 2 c 2 C (\displaystyle (\frac (A)(a^(2)))=(\frac (B )(b^(2)))=(\frac (C)(c^(2)))\,\Rightarrow \,A+B=(\frac (a^(2))(c^(2) ))C+(\frac (b^(2))(c^(2)))C).

பித்தகோரியன் தேற்றத்தின்படி a 2 + b 2 = c 2 (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​a^(2)+b^(2)=c^(2)), பிறகு முடிந்தது.

கூடுதலாக, பித்தகோரியன் தேற்றத்தை செயல்படுத்தாமல் நிரூபிக்க முடிந்தால், ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் பக்கங்களில் உள்ள மூன்று ஒத்த வடிவியல் உருவங்களின் பகுதிகள் உறவை திருப்திப்படுத்துகின்றன. A + B = C (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​A+B=C), யூக்ளிட்டின் பொதுமைப்படுத்தலின் மறுபக்கத்தைப் பயன்படுத்தி, பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் ஆதாரத்தைப் பெறலாம். எடுத்துக்காட்டாக, ஹைபோடென்யூஸில் நாம் ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தை ஒரு பகுதியுடன் ஆரம்ப முக்கோணத்துடன் இணைத்தால் சி (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​சி), மற்றும் பக்கங்களிலும் - பகுதிகளுடன் இரண்டு ஒத்த வலது கோண முக்கோணங்கள் A (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​A)மற்றும் பி (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​பி), ஆரம்ப முக்கோணத்தை அதன் உயரத்தால் வகுப்பதன் விளைவாக பக்கங்களில் உள்ள முக்கோணங்கள் உருவாகின்றன, அதாவது முக்கோணங்களின் இரண்டு சிறிய பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகை மூன்றாவது பகுதிக்கு சமம். A + B = C (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​A+B=C)மேலும், ஒத்த புள்ளிவிவரங்களுக்கான உறவைப் பயன்படுத்தி, பித்தகோரியன் தேற்றம் பெறப்பட்டது.

கொசைன் தேற்றம்

பித்தகோரியன் தேற்றம் என்பது மிகவும் பொதுவான கொசைன் தேற்றத்தின் ஒரு சிறப்பு வழக்கு, இது ஒரு தன்னிச்சையான முக்கோணத்தில் பக்கங்களின் நீளத்தை தொடர்புபடுத்துகிறது:

a 2 + b 2 − 2 a b cos ⁡ θ = c 2 (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​a^(2)+b^(2)-2ab\cos (\theta )=c^(2)),

பக்கங்களுக்கு இடையே உள்ள கோணம் எங்கே a (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​a)மற்றும் b (\ displaystyle b). கோணம் 90° ஆக இருந்தால் cos ⁡ θ = 0 (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​\cos \theta =0), மற்றும் சூத்திரம் வழக்கமான பித்தகோரியன் தேற்றத்திற்கு எளிதாக்குகிறது.

இலவச முக்கோணம்

பித்தகோரியன் தேற்றத்தை ஒரு தன்னிச்சையான முக்கோணத்திற்கு பொதுமைப்படுத்துவது உள்ளது, இது பக்கங்களின் நீளங்களின் விகிதத்தில் மட்டுமே இயங்குகிறது, இது முதலில் சாபியன் வானியலாளர் தாபித் இபின் குராவால் நிறுவப்பட்டது என்று நம்பப்படுகிறது. அதில், பக்கங்களைக் கொண்ட ஒரு தன்னிச்சையான முக்கோணத்திற்கு, பக்கத்தில் ஒரு அடித்தளத்துடன் ஒரு ஐசோசெல்ஸ் முக்கோணம் அதில் பொருந்துகிறது. c (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​சி), பக்கத்திற்கு எதிரே உள்ள அசல் முக்கோணத்தின் உச்சியுடன் இணைந்த உச்சி c (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​சி)மற்றும் கோணத்திற்கு சமமான அடிப்பகுதியில் கோணங்கள் θ (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​\தீட்டா), எதிர் பக்கம் c (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​சி). இதன் விளைவாக, அசல் ஒன்றைப் போலவே இரண்டு முக்கோணங்கள் உருவாகின்றன: முதல் - பக்கங்களுடன் a (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​a), பொறிக்கப்பட்ட ஐசோசெல்ஸ் முக்கோணத்தில் இருந்து வெகு தொலைவில் உள்ள பக்கம், மற்றும் r (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​r)- பக்க பாகங்கள் c (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​சி); இரண்டாவது - பக்கத்திலிருந்து சமச்சீராக b (\ displaystyle b)பக்கத்துடன் கள் (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல்கள்)- பக்கத்தின் தொடர்புடைய பகுதி c (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​சி). இதன் விளைவாக, பின்வரும் உறவு திருப்தி அடைகிறது:

a 2 + b 2 = c (r + s) (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c(r+s)),

பித்தகோரியன் தேற்றத்தில் சிதைகிறது θ = π / 2 (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​\theta =\pi /2). உருவான முக்கோணங்களின் ஒற்றுமையின் விளைவாக உறவுமுறை உள்ளது:

c a = a r , c b = b s ⇒ c r + c s = a 2 + b 2 (\ displaystyle (\frac (c)(a))=(\frac (a)(r)),\,(\frac (c) (b))=(\frac (b)(s))\,\Rightarrow \,cr+cs=a^(2)+b^(2)).

பகுதிகளில் பாப்புஸ் தேற்றம்

யூக்ளிடியன் அல்லாத வடிவியல்

பித்தகோரியன் தேற்றம் யூக்ளிடியன் வடிவவியலின் கோட்பாடுகளிலிருந்து பெறப்பட்டது மற்றும் யூக்ளிடியன் அல்லாத வடிவவியலுக்கு இது செல்லுபடியாகாது - பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் நிறைவேற்றம் யூக்ளிடியன் பேரலலிசம் போஸ்டுலேட்டுக்கு சமமானதாகும்.

யூக்ளிடியன் அல்லாத வடிவவியலில், ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் பக்கங்களுக்கிடையேயான தொடர்பு பித்தகோரியன் தேற்றத்திலிருந்து வேறுபட்ட வடிவத்தில் இருக்க வேண்டும். எடுத்துக்காட்டாக, கோள வடிவவியலில், அலகு கோளத்தின் எண்கோணத்தை பிணைக்கும் ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் மூன்று பக்கங்களும் நீளம் கொண்டவை. π / 2 (\ காட்சி பாணி \pi /2), இது பித்தகோரியன் தேற்றத்திற்கு முரணானது.

மேலும், பித்தகோரியன் தேற்றம் ஹைபர்போலிக் மற்றும் நீள்வட்ட வடிவவியலில் செல்லுபடியாகும், முக்கோணம் செவ்வகமாக இருக்க வேண்டும் என்ற நிபந்தனை முக்கோணத்தின் இரண்டு கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை மூன்றில் சமமாக இருக்க வேண்டும் என்ற நிபந்தனையால் மாற்றப்படுகிறது.

கோள வடிவியல்

ஆரம் கொண்ட கோளத்தில் உள்ள எந்த செங்கோண முக்கோணத்திற்கும் ஆர் (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​ஆர்)(உதாரணமாக, ஒரு முக்கோணத்தில் கோணம் சரியாக இருந்தால்) பக்கங்களுடன் a , b , c (\ displaystyle a,b,c)பக்கங்களுக்கு இடையிலான உறவு:

cos ⁡ (c R) = cos ⁡ (a R) ⋅ cos ⁡ (b R) (\displaystyle \cos \left((\frac (c)(R))\right)=\cos \left((\frac (a)(R))\வலது)\cdot \cos \left((\frac (b)(R))\right)).

இந்த சமத்துவத்தை கோள கோசைன் தேற்றத்தின் ஒரு சிறப்பு நிகழ்வாகப் பெறலாம், இது அனைத்து கோள முக்கோணங்களுக்கும் செல்லுபடியாகும்:

cos ⁡ (c R) = cos ⁡ (a R) ⋅ cos ⁡ (b R) + sin ⁡ (a R) ⋅ sin ⁡ (b R) ⋅ cos ⁡ γ (\displaystyle \cos \left((\frac) c)(R))\right)=\cos \left((\frac (a)(R))\right)\cdot \cos \left((\frac (b)(R))\right)+\ sin \left((\frac (a)(R))\right)\cdot \sin \left((\frac (b)(R))\right)\cdot \cos \gamma ). ch ⁡ c = ch ⁡ a ⋅ ch ⁡ b (\displaystyle \operatorname (ch) c=\operatorname (ch) a\cdot \operatorname (ch) b),

எங்கே ch (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​\ ஆபரேட்டர் பெயர் (ch) )- ஹைபர்போலிக் கொசைன். இந்த சூத்திரம் ஹைபர்போலிக் கொசைன் தேற்றத்தின் ஒரு சிறப்பு வழக்கு, இது அனைத்து முக்கோணங்களுக்கும் செல்லுபடியாகும்:

ch ⁡ c = ch ⁡ a ⋅ ch ⁡ b − sh ⁡ a ⋅ sh ⁡ b ⋅ cos ⁡ γ (\ displaystyle \ operatorname (ch) c=\operatorname (ch) a\cdot \ operatorname (ch) (sh) a\cdot \operatorname (sh) b\cdot \cos \gamma ),

எங்கே γ (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​\காமா)- ஒரு கோணத்தின் உச்சி பக்கத்திற்கு எதிரே உள்ளது c (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​சி).

ஹைபர்போலிக் கொசைனுக்கு டெய்லர் தொடரைப் பயன்படுத்துதல் ( ch ⁡ x ≈ 1 + x 2 / 2 (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​\ ஆப்பரேட்டர் பெயர் (ch) x\தோராயமாக 1+x^(2)/2)) ஹைபர்போலிக் முக்கோணம் குறைந்தால் (அதாவது எப்போது a (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​a), b (\ displaystyle b)மற்றும் c (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​சி)பூஜ்ஜியமாக இருக்கும்), பின்னர் ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில் உள்ள ஹைபர்போலிக் உறவுகள் கிளாசிக்கல் பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் உறவை அணுகுகின்றன.

விண்ணப்பம்

இரு பரிமாண செவ்வக அமைப்புகளில் உள்ள தூரம்

பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் மிக முக்கியமான பயன்பாடு ஒரு செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் இரண்டு புள்ளிகளுக்கு இடையே உள்ள தூரத்தை தீர்மானிப்பதாகும்: தூரம் கள் (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல்கள்)ஆய புள்ளிகளுக்கு இடையில் (a, b) (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​(a,b))மற்றும் (c , d) (\ displaystyle (c,d))சமம்:

s = (a - c) 2 + (b - d) 2 (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​s=(\sqrt ((a-c)^(2)+(b-d)^(2)))).

கலப்பு எண்களுக்கு, பித்தகோரியன் தேற்றம் ஒரு கலப்பு எண்ணின் மாடுலஸைக் கண்டறிவதற்கான இயற்கையான சூத்திரத்தை அளிக்கிறது. z = x + y i (\displaystyle z=x+yi)அது நீளத்திற்கு சமம்

பித்தகோரியன் தேற்றத்தில் குறிப்பிடப்பட்டுள்ள சொத்து ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் சிறப்பியல்பு பண்பு என்பது குறிப்பிடத்தக்கது. இது தேற்றத்திலிருந்து பித்தகோரியன் தேற்றத்திற்கு மாறுகிறது.

தேற்றம்: ஒரு முக்கோணத்தின் ஒரு பக்கத்தின் சதுரம் மற்ற இரண்டு பக்கங்களின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமமாக இருந்தால், முக்கோணம் வலது கோணத்தில் இருக்கும்.

ஹெரானின் சூத்திரம்

ஒரு முக்கோணத்தின் பக்கங்களின் நீளத்தின் அடிப்படையில் அதன் விமானத்தை வெளிப்படுத்தும் சூத்திரத்தைப் பெறுவோம். இந்த சூத்திரம் அலெக்ஸாண்ட்ரியாவின் ஹெரானின் பெயருடன் தொடர்புடையது - ஒரு பண்டைய கிரேக்க கணிதவியலாளர் மற்றும் மெக்கானிக் கி.பி 1 ஆம் நூற்றாண்டில் வாழ்ந்தவர். ஹெரான் வடிவவியலின் நடைமுறை பயன்பாடுகளில் அதிக கவனம் செலுத்தினார்.

தேற்றம். ஒரு முக்கோணத்தின் பகுதி S, a, b, c க்கு சமமாக இருக்கும் பக்கங்கள் S= சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது, இங்கு p என்பது முக்கோணத்தின் அரை சுற்றளவு.

ஆதாரம்.

கொடுக்கப்பட்டவை: ?ABC, AB= c, BC= a, AC= b. கோணங்கள் A மற்றும் B கடுமையானவை. CH - உயரம்.

நிரூபிக்க:

ஆதாரம்:

ABC முக்கோணத்தைக் கவனியுங்கள், இதில் AB=c, BC=a, AC=b. ஒவ்வொரு முக்கோணமும் குறைந்தது இரண்டு கடுமையான கோணங்களைக் கொண்டுள்ளது. A மற்றும் B முக்கோண ABCயின் தீவிர கோணங்களாக இருக்கட்டும். பின்னர் முக்கோணத்தின் உயரமான CH இன் அடிப்படை H ஆனது AB பக்கத்தில் உள்ளது. பின்வரும் குறியீட்டை அறிமுகப்படுத்துவோம்: CH = h, AH=y, HB=x. பித்தகோரியன் தேற்றத்தால் a 2 - x 2 = h 2 =b 2 -y 2, எங்கிருந்து

Y 2 - x 2 = b 2 - a 2, அல்லது (y - x) (y + x) = b 2 - a 2, மற்றும் y + x = c, பின்னர் y- x = (b2 - a2).

கடைசி இரண்டு சமத்துவங்களைச் சேர்த்தால், நாம் பெறுகிறோம்:

2y = +c, எங்கிருந்து

y=, மற்றும், எனவே, h 2 = b 2 -y 2 =(b - y)(b+y)=

பொருள்: தேற்றம் பித்தகோரியன் தேற்றத்துடன் மாறுகிறது.

பாடத்தின் நோக்கங்கள்: 1) தேற்றம் பித்தகோரியன் தேற்றத்துடன் மாறுவதைக் கருத்தில் கொள்ளுங்கள்; சிக்கலைத் தீர்க்கும் செயல்பாட்டில் அதன் பயன்பாடு; பித்தகோரியன் தேற்றத்தை ஒருங்கிணைத்து அதன் பயன்பாட்டிற்கான சிக்கலைத் தீர்க்கும் திறன்களை மேம்படுத்துதல்;

2) தர்க்கரீதியான சிந்தனை, ஆக்கபூர்வமான தேடல், அறிவாற்றல் ஆர்வத்தை உருவாக்குதல்;

3) மாணவர்களில் கற்றல் மற்றும் கணித பேச்சு கலாச்சாரம் ஆகியவற்றில் பொறுப்பான அணுகுமுறையை வளர்ப்பது.

பாடம் வகை. புதிய அறிவைக் கற்றுக்கொள்வதற்கான பாடம்.

வகுப்புகளின் போது

І. ஏற்பாடு நேரம்

ІІ. புதுப்பிக்கவும் அறிவு

எனக்கு பாடம்என்றுநான் விரும்பினேன்ஒரு குவாட்ரெயினுடன் தொடங்கவும்.

ஆம், அறிவின் பாதை சீராக இல்லை

ஆனால் எங்கள் பள்ளி ஆண்டுகளில் இருந்து எங்களுக்குத் தெரியும்,

பதில்களை விட மர்மங்கள் அதிகம்

மேலும் தேடலுக்கு எல்லையே இல்லை!

எனவே, கடந்த பாடத்தில் நீங்கள் பித்தகோரியன் தேற்றத்தைக் கற்றுக்கொண்டீர்கள். கேள்விகள்:

பித்தகோரியன் தேற்றம் எந்த உருவத்திற்கு சரியானது?

எந்த முக்கோணம் செங்கோண முக்கோணம் என்று அழைக்கப்படுகிறது?

பித்தகோரியன் தேற்றத்தை கூறுங்கள்.

ஒவ்வொரு முக்கோணத்திற்கும் பித்தகோரியன் தேற்றத்தை எவ்வாறு எழுதுவது?

எந்த முக்கோணங்கள் சமம் என்று அழைக்கப்படுகின்றன?

முக்கோணங்களின் சமத்துவத்திற்கான அளவுகோலை உருவாக்கவா?

இப்போது ஒரு சிறிய சுயாதீனமான வேலையைச் செய்வோம்:

வரைபடங்களைப் பயன்படுத்தி சிக்கல்களைத் தீர்ப்பது.

№1

(1 ஆ.) கண்டுபிடி: ஏபி.

№2

(1 ஆ.) கண்டுபிடி: வி.எஸ்.

№3

( 2 b.)கண்டுபிடி: ஏசி

№4

(1 புள்ளி)கண்டுபிடி: ஏசி

№5 வழங்கியவர்: ஏபிசிடிரோம்பஸ்

(2 ஆ.) ஏபி = 13 செ.மீ

ஏசி = 10 செ.மீ

கண்டுப்பிடிடி

சுய பரிசோதனை எண். 1. 5

№2. 5

№3. 16

№4. 13

№5. 24

ІІІ. படிக்கிறது புதிய பொருள்.

பண்டைய எகிப்தியர்கள் இந்த வழியில் தரையில் செங்கோணங்களை உருவாக்கினர்: அவர்கள் கயிற்றை 12 சம பாகங்களாக முடிச்சுகளுடன் பிரித்து, அதன் முனைகளை கட்டி, அதன் பிறகு கயிறு தரையில் நீட்டப்பட்டது, இதனால் 3, 4 மற்றும் பக்கங்களுடன் ஒரு முக்கோணம் உருவாக்கப்பட்டது. 5 பிரிவுகள். 5 பிரிவுகள் கொண்ட பக்கத்திற்கு எதிரே இருந்த முக்கோணத்தின் கோணம் சரியாக இருந்தது.

இந்தத் தீர்ப்பின் சரியான தன்மையை விளக்க முடியுமா?

கேள்விக்கான பதிலைத் தேடுவதன் விளைவாக, கணிதக் கண்ணோட்டத்தில் கேள்வி எழுப்பப்படுகிறது என்பதை மாணவர்கள் புரிந்து கொள்ள வேண்டும்: முக்கோணம் செங்கோணமாக இருக்குமா?

நாங்கள் ஒரு சிக்கலை முன்வைக்கிறோம்: கொடுக்கப்பட்ட பக்கங்களைக் கொண்ட ஒரு முக்கோணம் செவ்வகமாக இருக்குமா என்பதை அளவீடுகள் செய்யாமல் எப்படி தீர்மானிப்பது. இந்த சிக்கலைத் தீர்ப்பதே பாடத்தின் குறிக்கோள்.

பாடத்தின் தலைப்பை எழுதுங்கள்.

தேற்றம். ஒரு முக்கோணத்தின் இரண்டு பக்கங்களின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகை மூன்றாவது பக்கத்தின் சதுரத்திற்குச் சமமாக இருந்தால், முக்கோணம் வலது கோணமாக இருக்கும்.

தேற்றத்தை சுயாதீனமாக நிரூபிக்கவும் (பாடப்புத்தகத்தைப் பயன்படுத்தி ஒரு ஆதாரத் திட்டத்தை உருவாக்கவும்).

இந்தத் தேற்றத்திலிருந்து 3, 4, 5 பக்கங்களைக் கொண்ட ஒரு முக்கோணம் செங்கோணமானது (எகிப்தியன்) எனத் தெரிகிறது.

பொதுவாக, சமத்துவம் வைத்திருக்கும் எண்கள் , பித்தகோரியன் மும்மூர்த்திகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. மேலும் பித்தகோரியன் முக்கோணங்களால் (6, 8, 10) பக்க நீளம் வெளிப்படுத்தப்படும் முக்கோணங்கள் பித்தகோரியன் முக்கோணங்களாகும்.

ஒருங்கிணைப்பு.

ஏனெனில் , பின்னர் 12, 13, 5 பக்கங்களைக் கொண்ட முக்கோணம் வலது கோணமாக இருக்காது.

ஏனெனில் , பின்னர் 1, 5, 6 பக்கங்களைக் கொண்ட ஒரு முக்கோணம் வலது கோணமானது.

№ 430 (a, b, c)

( - இல்லை)

பித்தகோரியன் தேற்றம்யூக்ளிடியன் வடிவவியலின் அடிப்படைக் கோட்பாடுகளில் ஒன்று, உறவை நிறுவுகிறது

ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் பக்கங்களுக்கு இடையில்.

இது கிரேக்க கணிதவியலாளர் பித்தகோரஸால் நிரூபிக்கப்பட்டதாக நம்பப்படுகிறது, அதன் பெயரால் அது பெயரிடப்பட்டது.

பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் வடிவியல் உருவாக்கம்.

தேற்றம் முதலில் பின்வருமாறு வடிவமைக்கப்பட்டது:

ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில், ஹைபோடென்யூஸில் கட்டப்பட்ட சதுரத்தின் பரப்பளவு சதுரங்களின் பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம்,

கால்களில் கட்டப்பட்டது.

பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் இயற்கணித உருவாக்கம்.

ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில், ஹைப்போடென்யூஸின் நீளத்தின் சதுரம் கால்களின் நீளத்தின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமமாக இருக்கும்.

அதாவது, முக்கோணத்தின் ஹைப்போடென்யூஸின் நீளத்தைக் குறிக்கிறது c, மற்றும் கால்களின் நீளம் அமற்றும் பி:

இரண்டு சூத்திரங்கள் பித்தகோரியன் தேற்றம்சமமானவை, ஆனால் இரண்டாவது உருவாக்கம் மிகவும் அடிப்படையானது, அது இல்லை

பகுதி என்ற கருத்து தேவைப்படுகிறது. அதாவது, இரண்டாவது அறிக்கையை அந்த பகுதி மற்றும் பற்றி எதுவும் தெரியாமல் சரிபார்க்க முடியும்

ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் பக்கங்களின் நீளத்தை மட்டும் அளவிடுவதன் மூலம்.

பித்தகோரியன் தேற்றத்தை மாற்று.

ஒரு முக்கோணத்தின் ஒரு பக்கத்தின் சதுரம் மற்ற இரண்டு பக்கங்களின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமமாக இருந்தால்

வலது முக்கோணம்.

அல்லது, வேறுவிதமாகக் கூறினால்:

ஒவ்வொரு மூன்று மடங்கு நேர்மறை எண்களுக்கும் அ, பிமற்றும் c, அதுபோல்

கால்களுடன் ஒரு செங்கோண முக்கோணம் உள்ளது அமற்றும் பிமற்றும் ஹைப்போடென்யூஸ் c.

ஐசோசெல்ஸ் முக்கோணத்திற்கான பித்தகோரியன் தேற்றம்.

ஒரு சமபக்க முக்கோணத்திற்கான பித்தகோரியன் தேற்றம்.

பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் சான்றுகள்.

தற்போது, ​​இந்த தேற்றத்தின் 367 சான்றுகள் அறிவியல் இலக்கியங்களில் பதிவு செய்யப்பட்டுள்ளன. ஒருவேளை தேற்றம்

பித்தகோரஸ் மட்டுமே இவ்வளவு ஈர்க்கக்கூடிய சான்றுகளைக் கொண்ட ஒரே தேற்றம். அத்தகைய பன்முகத்தன்மை

வடிவவியலுக்கான தேற்றத்தின் அடிப்படை முக்கியத்துவத்தால் மட்டுமே விளக்க முடியும்.

நிச்சயமாக, கருத்தியல் ரீதியாக அவை அனைத்தையும் ஒரு சிறிய எண்ணிக்கையிலான வகுப்புகளாகப் பிரிக்கலாம். அவற்றில் மிகவும் பிரபலமானவை:

ஆதாரம் பகுதி முறை, அச்சுமற்றும் கவர்ச்சியான சான்றுகள்(உதாரணத்திற்கு,

பயன்படுத்தி வகைக்கெழு சமன்பாடுகள்).

1. ஒத்த முக்கோணங்களைப் பயன்படுத்தி பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் ஆதாரம்.

இயற்கணித உருவாக்கத்தின் பின்வரும் சான்றுகள் கட்டமைக்கப்பட்ட சான்றுகளில் எளிமையானவை

நேரடியாக கோட்பாடுகளிலிருந்து. குறிப்பாக, இது ஒரு உருவத்தின் பரப்பளவு என்ற கருத்தைப் பயன்படுத்துவதில்லை.

விடுங்கள் ஏபிசிவலது கோணத்துடன் ஒரு செங்கோண முக்கோணம் உள்ளது சி. இருந்து உயரத்தை வரைவோம் சிமற்றும் குறிக்கவும்

அதன் அடித்தளம் மூலம் எச்.

முக்கோணம் ACHஒரு முக்கோணத்தைப் போன்றது ஏபிஇரண்டு மூலைகளிலும் சி. அதேபோல், முக்கோணம் CBHஒத்த ஏபிசி.

குறிப்பை அறிமுகப்படுத்துவதன் மூலம்:

நாம் பெறுகிறோம்:

,

இது பொருந்துகிறது -

மடிந்தது அ 2 மற்றும் பி 2, நாம் பெறுகிறோம்:

அல்லது , இது நிரூபிக்கப்பட வேண்டும்.

2. பகுதி முறையைப் பயன்படுத்தி பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் ஆதாரம்.

கீழே உள்ள சான்றுகள், அவற்றின் வெளிப்படையான எளிமை இருந்தபோதிலும், அவ்வளவு எளிமையானவை அல்ல. அவர்கள் அனைவரும்

பகுதியின் பண்புகளைப் பயன்படுத்தவும், பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் நிரூபணத்தை விட மிகவும் சிக்கலான சான்றுகள்.

• சமநிலை மூலம் ஆதாரம்.

நான்கு சம செவ்வக வடிவில் அமைப்போம்

படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளபடி முக்கோணம்

வலதுபுறம்.

பக்கங்களுடன் நாற்கோணம் c- சதுரம்,

இரண்டு தீவிர கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை 90°, மற்றும்

விரிந்த கோணம் - 180°.

முழு உருவத்தின் பரப்பளவு சமமாக உள்ளது, ஒருபுறம்,

பக்கத்துடன் ஒரு சதுரத்தின் பரப்பளவு ( a+b), மறுபுறம், நான்கு முக்கோணங்களின் பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகை மற்றும்

கே.இ.டி.

3. எல்லையற்ற முறை மூலம் பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் ஆதாரம்.

​

படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ள வரைபடத்தைப் பார்த்து

பக்க மாற்றம் பார்க்கிறதுஅ, நம்மால் முடியும்

பின்வரும் தொடர்பை எல்லையற்றதாக எழுதவும்

சிறிய பக்க அதிகரிப்புகள்உடன்மற்றும் அ(ஒற்றுமையைப் பயன்படுத்தி

முக்கோணங்கள்):

மாறி பிரிப்பு முறையைப் பயன்படுத்தி, நாம் காண்கிறோம்:

இருபுறமும் அதிகரிப்புகளில் ஹைபோடென்யூஸில் ஏற்படும் மாற்றத்திற்கான பொதுவான வெளிப்பாடு:

இந்த சமன்பாட்டை ஒருங்கிணைத்து, ஆரம்ப நிலைகளைப் பயன்படுத்தி, நாம் பெறுகிறோம்:

எனவே நாம் விரும்பிய பதிலை அடைகிறோம்:

பார்க்க எளிதானது போல, இறுதி சூத்திரத்தில் இருபடி சார்பு நேரியல் காரணமாக தோன்றுகிறது

முக்கோணத்தின் பக்கங்களுக்கும் அதிகரிப்புகளுக்கும் இடையிலான விகிதாசாரம், கூட்டுத்தொகை சார்புடன் தொடர்புடையது

வெவ்வேறு கால்களின் அதிகரிப்பில் இருந்து பங்களிப்பு.

கால்களில் ஒன்று அதிகரிப்பு ஏற்படவில்லை என்று நாம் கருதினால் எளிமையான ஆதாரம் கிடைக்கும்

(இந்த வழக்கில் கால் பி) ஒருங்கிணைப்பு மாறிலிக்கு நாம் பெறுகிறோம்: