ஒரு பரபோலாய்டின் பகுதி. சுழற்சியின் பரபோலாய்டு. மற்ற அகராதிகளில் "எலிப்டிகல் பாராபோலாய்டு" என்றால் என்ன என்பதைப் பார்க்கவும்

நீள்வட்டம்- மூன்று பரஸ்பர செங்குத்து அச்சுகளுடன் ஒரு கோளத்தை சிதைப்பதன் மூலம் பெறப்பட்ட முப்பரிமாண இடைவெளியில் ஒரு மேற்பரப்பு. கார்ட்டீசியன் ஆயத்தொகுதிகளில் உள்ள நீள்வட்டத்தின் நியதிச் சமன்பாடு நீள்வட்டத்தின் சிதைவு அச்சுகளுடன் ஒத்துப்போகிறது: .

a, b, c அளவுகள் நீள்வட்டத்தின் அரை அச்சுகள் எனப்படும். ஒரு நீள்வட்டமானது ஒரு நீள்வட்டத்தின் மேற்பரப்பால் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட ஒரு உடல் ஆகும். ஒரு நீள்வட்டமானது இரண்டாவது வரிசை மேற்பரப்புகளின் சாத்தியமான வடிவங்களில் ஒன்றாகும்.

ஒரு ஜோடி அரை அச்சுகள் ஒரே நீளம் கொண்டால், நீள்வட்டத்தை அதன் அச்சில் ஒன்றைச் சுற்றி சுழற்றுவதன் மூலம் ஒரு நீள்வட்டத்தைப் பெறலாம். இத்தகைய நீள்வட்டமானது புரட்சியின் நீள்வட்டம் அல்லது கோளக்கட்டு எனப்படும்.

ஒரு நீள்வட்டமானது பூமியின் இலட்சியப்படுத்தப்பட்ட மேற்பரப்பை ஒரு கோளத்தை விட துல்லியமாக பிரதிபலிக்கிறது.

நீள்வட்டத்தின் அளவு:.

புரட்சியின் நீள்வட்டத்தின் மேற்பரப்பு பகுதி:

ஹைபர்போலாய்டு- இது முப்பரிமாண இடைவெளியில் உள்ள இரண்டாம்-வரிசை மேற்பரப்பின் ஒரு வகை, சமன்பாட்டின் மூலம் கார்ட்டீசியன் ஆயங்களில் குறிப்பிடப்படுகிறது - (ஒரு-தாள் ஹைப்பர்போலாய்டு), இதில் a மற்றும் b உண்மையான அரை-அச்சுகள், மற்றும் c என்பது கற்பனை அரை-அச்சு. ; அல்லது - (இரண்டு-தாள் ஹைப்பர்போலாய்டு), இதில் a மற்றும் b கற்பனையான அரை-அச்சுகள், மற்றும் c என்பது உண்மையான அரை-அச்சு.

a = b என்றால், அத்தகைய மேற்பரப்பு புரட்சியின் ஹைப்பர்போலாய்டு என்று அழைக்கப்படுகிறது. அதிபரவளைவை அதன் கற்பனை அச்சில் சுழற்றுவதன் மூலம் புரட்சியின் ஒரு தாள் ஹைப்பர்போலாய்டைப் பெறலாம். புரட்சியின் இரண்டு-தாள் ஹைப்பர்போலாய்டு என்பது புள்ளிகள் P இன் இருப்பிடமாகும், இது A மற்றும் B ஆகிய இரண்டு கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகளுக்கான தூரத்தில் உள்ள வேறுபாட்டின் மாடுலஸ் நிலையானது: | AP - BP | = தொடர்ந்து. இந்த வழக்கில், A மற்றும் B ஆகியவை ஹைப்பர்போலாய்டின் foci என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

ஒரு தாள் ஹைப்பர்போலாய்டு என்பது இரட்டிப்பு ஆளப்பட்ட மேற்பரப்பு; இது புரட்சியின் ஹைப்பர்போலாய்டு என்றால், அதை வெட்டும் மற்றொரு கோட்டைச் சுற்றி ஒரு கோட்டைச் சுழற்றுவதன் மூலம் அதைப் பெறலாம்.

பரபோலாய்டு- இரண்டாவது வரிசை மேற்பரப்பு வகை. ஒரு பரவளையமானது திறந்த மையமற்ற (அதாவது, சமச்சீர் மையம் இல்லாமல்) இரண்டாம்-வரிசை மேற்பரப்பாக வகைப்படுத்தப்படலாம்.

கார்ட்டீசியன் ஆயத்தொகுப்புகளில் ஒரு பரபோலாய்டின் நியதிச் சமன்பாடுகள்:

· a மற்றும் b ஒரே அடையாளமாக இருந்தால், பரபோலாய்டு நீள்வட்டம் எனப்படும்.

· a மற்றும் b வெவ்வேறு அறிகுறிகளாக இருந்தால், பரபோலாய்டு ஹைபர்போலிக் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

குணகங்களில் ஒன்று பூஜ்ஜியமாக இருந்தால், பரவளையமானது பரவளைய உருளை எனப்படும்.

ü என்பது ஒரு நீள்வட்ட பாராபோலாய்டு, இதில் a மற்றும் b ஆகியவை ஒரே அடையாளமாக இருக்கும். மேல்நோக்கி இயக்கப்பட்ட கிளைகளைக் கொண்ட இணையான பரவளையங்களின் குடும்பத்தால் மேற்பரப்பு விவரிக்கப்படுகிறது, அதன் செங்குத்துகள் ஒரு பரவளையத்தை விவரிக்கின்றன, கிளைகளும் மேல்நோக்கி இயக்கப்படுகின்றன. a = b எனில், ஒரு நீள்வட்ட பரவளையமானது, இந்த பரவளையத்தின் உச்சி வழியாகச் செல்லும் செங்குத்து அச்சைச் சுற்றி ஒரு பரவளையத்தைச் சுழற்றுவதன் மூலம் உருவாகும் புரட்சியின் மேற்பரப்பு ஆகும்.

ü என்பது ஒரு ஹைபர்போலிக் பரபோலாய்டு.

ஒரு பரவளையத்திற்கு தொடுவானின் நிரூபிக்கப்பட்ட சொத்து மிகவும் முக்கியமானது, ஏனெனில் இது ஒரு குழிவான பரவளைய கண்ணாடியின் மையத்திலிருந்து வெளிப்படும் கதிர்கள், அதாவது, அதன் அச்சில் பரவளையத்தின் சுழற்சியின் மேற்பரப்பில் இருந்து பெறப்பட்ட ஒரு கண்ணாடி. இணையான கற்றை மூலம் பிரதிபலிக்கிறது, அதாவது இணை கண்ணாடி அச்சுகள் (படம்.).

பரவளைய கண்ணாடிகளின் இந்த பண்பு, தேடல் விளக்குகளின் கட்டுமானத்திலும், எந்த காரின் ஹெட்லைட்களிலும், அதே போல் தொலைநோக்கிகளைப் பிரதிபலிக்கும் வகையிலும் பயன்படுத்தப்படுகிறது. மேலும், பிந்தைய வழக்கில், நேர்மாறாக, பரலோக உடலில் இருந்து வரும் கதிர்கள்; ஏறக்குறைய இணையாக, அவை தொலைநோக்கி கண்ணாடியின் மையத்திற்கு அருகில் குவிந்துள்ளன, மேலும் ஒளியின் வெவ்வேறு புள்ளிகளிலிருந்து வரும் கதிர்கள் மிகவும் இணையாக இல்லாததால், அவை வெவ்வேறு புள்ளிகளில் குவிமையத்திற்கு அருகில் குவிந்துள்ளன, இதனால் மையத்திற்கு அருகில் ஒரு படம் ஒளிர்வு பெறப்படுகிறது, பரவளையத்தின் குவிய நீளம் அதிகமாகும். இந்த படம் ஏற்கனவே ஒரு நுண்ணோக்கி (தொலைநோக்கி கண்ணி) மூலம் பார்க்கப்பட்டது. கண்டிப்பாகச் சொன்னால், கண்ணாடியின் அச்சுக்கு இணையான கதிர்கள் மட்டுமே ஒரு புள்ளியில் (ஃபோகஸ்) சேகரிக்கப்படுகின்றன, அதே நேரத்தில் கண்ணாடியின் அச்சுக்கு ஒரு கோணத்தில் செல்லும் இணையான கதிர்கள் கிட்டத்தட்ட ஒரு புள்ளியில் மட்டுமே சேகரிக்கப்படுகின்றன, மேலும் இந்த புள்ளி மேலும் ஃபோகஸ் இருந்து, அதிக படம் மேலும் மங்கலாக. இந்த சூழ்நிலை "தொலைநோக்கியின் பார்வைப் புலத்தை" கட்டுப்படுத்துகிறது.

அதன் உள் மேற்பரப்பு ஒரு கண்ணாடி மேற்பரப்பாக இருக்கட்டும்; இந்த பரவளைய கண்ணாடி op-amp இன் அச்சுக்கு இணையான ஒளிக்கதிர்களின் கற்றை மூலம் ஒளிரும். op-amp அச்சுக்கு இணையான அனைத்து கதிர்களும், பிரதிபலிப்புக்குப் பிறகு, op-amp அச்சில் (ஃபோகஸ் F) ஒரு புள்ளியில் வெட்டும். பரவளைய தொலைநோக்கிகளின் வடிவமைப்பு இந்த பண்புகளை அடிப்படையாகக் கொண்டது. தொலைதூர நட்சத்திரங்களிலிருந்து வரும் கதிர்கள் இணையான கற்றை வடிவில் நமக்கு வருகின்றன. ஒரு பரவளைய தொலைநோக்கியை உருவாக்கி, அதன் மையத்தில் ஒரு புகைப்படத் தகட்டை வைப்பதன் மூலம், நட்சத்திரத்திலிருந்து வரும் ஒளி சமிக்ஞையைப் பெருக்கும் வாய்ப்பைப் பெறுகிறோம்.

ரேடியோ சிக்னல்களை பெருக்க அனுமதிக்கும் பரவளைய ஆண்டெனாவை உருவாக்குவதற்கும் அதே கொள்கை அடிப்படையாக உள்ளது. நீங்கள் ஒரு பரவளைய கண்ணாடியின் மையத்தில் ஒரு ஒளி மூலத்தை வைத்தால், கண்ணாடியின் மேற்பரப்பில் இருந்து பிரதிபலித்த பிறகு, இந்த மூலத்திலிருந்து வரும் கதிர்கள் சிதறாது, ஆனால் கண்ணாடியின் அச்சுக்கு இணையான ஒரு குறுகிய கற்றைக்குள் சேகரிக்கப்படும். . இந்த உண்மை ஸ்பாட்லைட்கள் மற்றும் விளக்குகள், பல்வேறு ப்ரொஜெக்டர்கள் தயாரிப்பில் பயன்படுத்தப்படுகிறது, இதன் கண்ணாடிகள் பரபோலாய்டுகளின் வடிவத்தில் செய்யப்படுகின்றன.

ஒரு பரவளைய கண்ணாடியின் மேலே குறிப்பிடப்பட்ட ஒளியியல் பண்பு கண்ணாடி தொலைநோக்கிகள், பல்வேறு சூரிய வெப்ப நிறுவல்கள் மற்றும் தேடல் விளக்குகளை உருவாக்க பயன்படுகிறது. ஒரு பரவளைய கண்ணாடியின் மையத்தில் ஒளியின் சக்திவாய்ந்த புள்ளி மூலத்தை வைப்பதன் மூலம், கண்ணாடியின் அச்சுக்கு இணையாக பிரதிபலித்த கதிர்களின் அடர்த்தியான ஸ்ட்ரீமைப் பெறுகிறோம்.

ஒரு பரவளையம் அதன் அச்சில் சுழலும் போது, ​​ஒரு உருவம் பெறப்படுகிறது, அது ஒரு பரபோலாய்டு என்று அழைக்கப்படுகிறது. பரவளையத்தின் உள் மேற்பரப்பு கண்ணாடியாக்கப்பட்டு, பரவளையத்தின் சமச்சீர் அச்சுக்கு இணையான கதிர்களின் கற்றை அதன் மீது செலுத்தப்பட்டால், பிரதிபலித்த கதிர்கள் ஒரு கட்டத்தில் குவிந்துவிடும், இது கவனம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. அதே நேரத்தில், ஒளி மூலத்தை மையமாக வைத்தால், பரபோலாய்டின் கண்ணாடி மேற்பரப்பில் இருந்து பிரதிபலிக்கும் கதிர்கள் இணையாக இருக்கும் மற்றும் சிதறாது.

முதல் சொத்து பரபோலாய்டின் மையத்தில் அதிக வெப்பநிலையைப் பெறுவதை சாத்தியமாக்குகிறது. புராணத்தின் படி, இந்த சொத்து பண்டைய கிரேக்க விஞ்ஞானி ஆர்க்கிமிடிஸ் (கிமு 287-212) மூலம் பயன்படுத்தப்பட்டது. ரோமானியர்களுக்கு எதிரான போரில் சைராகுஸைப் பாதுகாக்கும் போது, ​​அவர் பரவளைய கண்ணாடிகளின் அமைப்பை உருவாக்கினார், இது சூரியனின் பிரதிபலித்த கதிர்களை ரோமானிய கப்பல்களில் கவனம் செலுத்த அனுமதித்தது. இதன் விளைவாக, பரவளைய கண்ணாடிகளின் ஃபோசியில் வெப்பநிலை மிக அதிகமாக இருந்தது, கப்பல்களில் தீப்பிடித்து அவை எரிந்தன.

இரண்டாவது சொத்து பயன்படுத்தப்படுகிறது, எடுத்துக்காட்டாக, ஸ்பாட்லைட்கள் மற்றும் கார் ஹெட்லைட்கள் தயாரிப்பில்.

ஹைபர்போலா

4. ஹைப்பர்போலாவின் வரையறையானது, தொடர்ச்சியான இயக்கத்துடன் அதைக் கட்டமைப்பதற்கான எளிய வழியை நமக்கு வழங்குகிறது: இரண்டு நூல்களை எடுத்து, அதன் நீளத்தின் வித்தியாசம் 2a, மற்றும் இந்த இழைகளின் ஒரு முனையை F" மற்றும் F புள்ளிகளுடன் இணைக்கவும். மற்றொன்றைப் பிடித்தால் இரண்டு முனைகளை உங்கள் கையால் சேர்த்து, ஒரு பென்சிலின் முனையுடன் நூல்களை நகர்த்தவும், நூல்கள் காகிதத்தில் அழுத்தப்படுவதையும், நீட்டப்பட்டு தொடுவதையும் கவனித்து, வரைதல் முனையில் தொடங்கி முனைகள் சந்திக்கும் புள்ளி வரை, முனை வரையப்படும். ஹைபர்போலாவின் கிளைகளில் ஒன்றின் ஒரு பகுதி (பெரியதாக நீளமான நூல்கள் எடுக்கப்படுகின்றன) (படம்.).

F" மற்றும் F புள்ளிகளின் பாத்திரங்களை மாற்றியமைத்து, மற்றொரு கிளையின் ஒரு பகுதியைப் பெறுகிறோம்.

உதாரணத்திற்கு,"2வது வரிசை வளைவுகள்" என்ற தலைப்பில் நீங்கள் பின்வரும் சிக்கலைக் கருத்தில் கொள்ளலாம்:

பணி.இரண்டு ரயில் நிலையங்கள் A மற்றும் B ஆகியவை ஒன்றிலிருந்து மற்றொன்று s கிமீ தொலைவில் அமைந்துள்ளன. எந்தப் புள்ளிக்கும் M, சரக்கு A நிலையத்திலிருந்து நேரடி சாலைப் போக்குவரத்து (முதல் வழி), அல்லது இரயில் மூலம் நிலைய B க்கு, மற்றும் அங்கிருந்து கார் (இரண்டாம் வழி) மூலம் வழங்கப்படலாம். ரயில்வே கட்டணம் (1 கிமீக்கு 1 டன் போக்குவரத்து விலை) m ரூபிள், சாலை போக்குவரத்து கட்டணம் n ரூபிள், n > m, ஏற்றுதல் மற்றும் இறக்குதல் கட்டணம் k ரூபிள் ஆகும். ரயில் நிலையம் B இன் செல்வாக்கின் பகுதியைத் தீர்மானிக்கவும், அதாவது, A நிலையத்திலிருந்து கலப்பு வழிகளில் சரக்குகளை வழங்குவது மலிவானது - ரயில் மூலம், பின்னர் சாலை வழியாக, அதாவது. முதல் பாதையை விட இரண்டாவது பாதை அதிக லாபம் தரும் புள்ளிகளின் வடிவியல் இருப்பிடத்தை தீர்மானிக்கவும்.

தீர்வு. AM = r, BM = r ஐக் குறிக்கலாம், பின்னர் AM பாதையில் டெலிவரிக்கான செலவு (போக்குவரத்து மற்றும் ஏற்றுதல்-இறக்குதல்) nr + k க்கு சமம், மேலும் ABM பாதையில் டெலிவரிக்கான செலவு ms + 2k + க்கு சமம் என்ஜி இரண்டு மதிப்புகளும் சமமாக இருக்கும் M புள்ளிகள், nr + k = ms+2k+nг, அல்லது

ms + k = nr - ng

r - r = = const > O,

எனவே, இப்பகுதியை வரையறுக்கும் கோடு ஹைப்பர்போலாவின் கிளைகளில் ஒன்றாகும் | r - r | = தொடர்ந்து. இந்த ஹைப்பர்போலாவின் புள்ளி A க்கு ஒரே பக்கத்தில் இருக்கும் விமானத்தின் அனைத்து புள்ளிகளுக்கும், முதல் பாதை மிகவும் சாதகமானது, மற்றும் மறுபுறம் இருக்கும் புள்ளிகளுக்கு - இரண்டாவது, எனவே ஹைப்பர்போலாவின் கிளையானது செல்வாக்கின் பகுதியைக் கோடிட்டுக் காட்டுகிறது. நிலையத்தின் பி.

இந்த சிக்கலின் மாறுபாடு.

A மற்றும் B ஆகிய இரண்டு ரயில் நிலையங்கள் ஒன்றிலிருந்து ஒரு கிலோமீட்டர் தொலைவில் அமைந்துள்ளன. புள்ளி M க்கு, சரக்கு A நிலையத்திலிருந்து நேரடி சாலைப் போக்குவரத்து மூலமாகவோ அல்லது இரயில் மூலமாக நிலைய B க்கு, மற்றும் அங்கிருந்து கார் மூலமாகவோ வழங்கப்படலாம் (படம் 49). இந்த வழக்கில், ரயில்வே கட்டணம் (1 கிமீக்கு 1 டன் கொண்டு செல்வதற்கான விலை) m ரூபிள் ஆகும், ஏற்றுதல் மற்றும் இறக்குதல் செலவுகள் k ரூபிள் (1 டன் ஒன்றுக்கு) மற்றும் சாலை போக்குவரத்து கட்டணம் n ரூபிள் (n > m). ரயில் நிலையம் B இன் செல்வாக்கின் மண்டலம் என்று அழைக்கப்படுவதைத் தீர்மானிப்போம், அதாவது, கலப்பு வழியைப் பயன்படுத்தி A இலிருந்து சரக்குகளை வழங்குவது மலிவான மண்டலம்: ரயில் மற்றும் பின்னர் சாலை வழியாக.

தீர்வு. AM பாதையில் 1 டன் சரக்குகளை வழங்குவதற்கான செலவு r n ஆகும், இங்கு r = AM, மற்றும் ABM பாதையில் அது 1m + k + r n க்கு சமமாக இருக்கும். இரட்டை சமத்துவமின்மை r n 1m+ k+ r n ஐ தீர்க்க வேண்டும் மற்றும் விமானத்தில் உள்ள புள்ளிகள் (x, y) எவ்வாறு விநியோகிக்கப்படுகின்றன என்பதை தீர்மானிக்க வேண்டும், முதல் அல்லது இரண்டாவது பாதையில் சரக்குகளை வழங்குவது மலிவானது.

இந்த இரண்டு மண்டலங்களுக்கிடையேயான எல்லையை உருவாக்கும் கோட்டின் சமன்பாட்டைக் கண்டுபிடிப்போம், அதாவது இரண்டு பாதைகளும் "சமமாக நன்மை பயக்கும்" புள்ளிகளின் இருப்பிடம்:

r n = 1m+ k+ r n

இந்த நிலையில் இருந்து நாம் r - r = = const ஐப் பெறுகிறோம்.

எனவே, பிரிக்கும் கோடு ஒரு ஹைபர்போலா ஆகும். இந்த ஹைபர்போலாவின் அனைத்து வெளிப்புற புள்ளிகளுக்கும், முதல் பாதை மிகவும் சாதகமானது, மற்றும் உள் புள்ளிகளுக்கு - இரண்டாவது. எனவே, ஹைப்பர்போலானது நிலைய B இன் செல்வாக்கின் மண்டலத்தை கோடிட்டுக் காட்டும். ஹைப்பர்போலாவின் இரண்டாவது கிளையானது நிலையம் A இன் செல்வாக்கின் மண்டலத்தை கோடிட்டுக் காட்டும் (சரக்கு B நிலையத்திலிருந்து வழங்கப்படுகிறது). நமது ஹைப்பர்போலாவின் அளவுருக்களைக் கண்டுபிடிப்போம். அதன் முக்கிய அச்சு 2a = , மற்றும் இந்த வழக்கில் foci (அவை A மற்றும் B நிலையங்கள்) இடையே உள்ள தூரம் 2c = l ஆகும்.

எனவே, இந்த சிக்கலின் சாத்தியத்திற்கான நிபந்தனை, உறவால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது a< с, будет

இந்தப் பிரச்சனை ஹைபர்போலாவின் சுருக்க வடிவியல் கருத்தை போக்குவரத்து மற்றும் பொருளாதார சிக்கலுடன் இணைக்கிறது.

புள்ளிகளின் தேவையான இடம் என்பது புள்ளி B கொண்ட ஹைப்பர்போலாவின் வலது கிளைக்குள் இருக்கும் புள்ளிகளின் தொகுப்பாகும்.

6. எனக்கு தெரியும் " விவசாய இயந்திரங்கள்» ஒரு சாய்வில் இயங்கும் டிராக்டரின் முக்கியமான செயல்பாட்டு பண்புகள், அதன் நிலைத்தன்மையைக் காட்டுகிறது, நீளமான சாய்வு கோணம் மற்றும் பக்கவாட்டு ரோல் கோணம்.

எளிமைக்காக, ஒரு சக்கர டிராக்டரைக் கருத்தில் கொள்வோம். டிராக்டர் இயங்கும் மேற்பரப்பை (குறைந்தது ஒரு சிறிய பகுதியாவது) ஒரு விமானமாக (இயக்கத்தின் விமானம்) கருதலாம். டிராக்டரின் நீளமான அச்சு என்பது முன் மற்றும் பின்புற அச்சுகளின் நடுப்பகுதிகளை இயக்கத்தின் விமானத்தில் இணைக்கும் நேர்கோட்டின் திட்டமாகும். பக்கவாட்டு ரோல் கோணம் என்பது ஒரு நேர் கோட்டின் கிடைமட்ட விமானத்துடன் உருவாக்கப்பட்ட கோணம், நீளமான அச்சுக்கு செங்குத்தாக மற்றும் இயக்கத்தின் விமானத்தில் உள்ளது.

ஒரு கணித பாடத்தில் "விண்வெளியில் கோடுகள் மற்றும் விமானங்கள்" என்ற தலைப்பைப் படிக்கும்போது, ​​​​பின்வரும் சிக்கல்களைக் கருதுகிறோம்:

a) சாய்வின் சாய்வின் கோணம் மற்றும் நீளமான திசையில் இருந்து டிராக்டரின் பாதையின் விலகல் கோணம் தெரிந்தால், ஒரு டிராக்டரின் நீளமான சாய்வின் கோணத்தைக் கண்டறியவும்.

ஆ) டிராக்டரின் அதிகபட்ச பக்கவாட்டு ரோல் கோணம் சாய்வின் அதிகபட்ச அனுமதிக்கப்பட்ட கோணமாகும், அதன் குறுக்கே டிராக்டர் சாய்ந்து நிற்காமல் நிற்க முடியும். அதிகபட்ச பக்கவாட்டு ரோல் கோணத்தை தீர்மானிக்க என்ன டிராக்டர் அளவுருக்கள் போதுமானவை; இதை எப்படி கண்டுபிடிப்பது
மூலையில்?

7. கட்டுமான உபகரணங்களில் ரெக்டிலினியர் ஜெனரேட்ரைஸ்கள் இருப்பது பயன்படுத்தப்படுகிறது. இந்த உண்மையின் நடைமுறை பயன்பாட்டின் நிறுவனர் பிரபல ரஷ்ய பொறியியலாளர் விளாடிமிர் கிரிகோரிவிச் சுகோவ் (1853-1939). வி.ஜி. ஷுகோவ், செவ்வக ஜெனரேட்ரைஸில் அமைந்துள்ள உலோகக் கற்றைகளால் ஆன மாஸ்ட்கள், கோபுரங்கள் மற்றும் ஆதரவுகளின் வடிவமைப்பை மேற்கொண்டார். புரட்சியின் ஒற்றை-தாள் ஹைப்பர்போலாய்டு.இத்தகைய கட்டமைப்புகளின் அதிக வலிமை, லேசான தன்மை, குறைந்த உற்பத்தி செலவு மற்றும் நேர்த்தியுடன் இணைந்து, நவீன கட்டுமானத்தில் அவற்றின் பரவலான பயன்பாட்டை உறுதி செய்கிறது.

8. ஒரு இலவச இறுக்கமான உடலின் இயக்கத்தின் சட்டங்கள்

ஒரு இலவச உடலுக்கு, அனைத்து வகையான இயக்கங்களும் சமமாக சாத்தியமாகும், ஆனால் இது ஒரு சுதந்திர உடலின் இயக்கம் ஒழுங்கற்றது மற்றும் எந்த சட்டங்களுக்கும் கீழ்ப்படியவில்லை என்று அர்த்தமல்ல; மாறாக, ஒரு திடமான உடலின் மொழிபெயர்ப்பு இயக்கம், அதன் வெளிப்புற வடிவத்தைப் பொருட்படுத்தாமல், வெகுஜன மையத்தின் சட்டத்தால் கட்டுப்படுத்தப்படுகிறது மற்றும் ஒரு புள்ளியின் இயக்கமாக குறைக்கப்படுகிறது, மேலும் சுழற்சி இயக்கம் முக்கிய அச்சுகள் என்று அழைக்கப்படுவதால். செயலற்ற தன்மை அல்லது மந்தநிலையின் நீள்வட்டம். இவ்வாறு, இலவச இடத்தில் வீசப்பட்ட ஒரு குச்சி, அல்லது ஒரு வரிசையாக்கத்திலிருந்து வெளியே பறக்கும் தானியங்கள் போன்றவை, மொழிபெயர்ப்பில் ஒரு புள்ளியாக (நிறையின் மையம்) நகரும், அதே நேரத்தில் வெகுஜன மையத்தைச் சுற்றி சுழலும். பொதுவாக, மொழிபெயர்ப்பு இயக்கத்தின் போது, ​​எந்த ஒரு திடமான உடலும், அதன் வடிவம் அல்லது ஒரு சிக்கலான இயந்திரத்தை ஒரு புள்ளியால் (நிறையின் மையம்) மாற்றலாம் மற்றும் சுழற்சி இயக்கத்தின் போது, ​​மந்தநிலையின் நீள்வட்டத்தால் மாற்றப்படும். , அதன் ஆரம் திசையன்கள் சமமாக இருக்கும் --, எங்கே / என்பது நீள்வட்டத்தின் மையத்தின் வழியாக செல்லும் அச்சுகளுடன் தொடர்புடைய இந்த உடலின் நிலைமத்தின் தருணம்.

சுழற்சியின் போது சில காரணங்களால் உடலின் நிலைத்தன்மையின் தருணம் மாறினால், அதற்கேற்ப சுழற்சியின் வேகம் மாறும். எடுத்துக்காட்டாக, மேல்நிலைத் தாண்டலின் போது, ​​அக்ரோபேட்டுகள் ஒரு பந்தாக அழுத்தி, உடலின் நிலைத்தன்மையின் தருணம் குறைந்து, சுழற்சி வேகம் அதிகரிக்கும், இது தாவலின் வெற்றிக்குத் தேவை. அதே வழியில், நழுவியதும், மக்கள் தங்கள் கைகளை பக்கங்களுக்கு நீட்டிக்கொள்கிறார்கள், இது செயலற்ற தருணத்தை அதிகரிக்கிறது மற்றும் சுழற்சியின் வேகம் குறைகிறது. அதே வழியில், செங்குத்து அச்சில் அறுவடை ரேக்கின் நிலைத்தன்மையின் தருணம் கிடைமட்ட அச்சில் அதன் சுழற்சியின் போது மாறுபடும்.

ஒரு ஹைபர்போலிக் பாராபோலாய்டு இரண்டாம் வரிசை மேற்பரப்புகளுக்கும் சொந்தமானது. ஒரு நிலையான அச்சுடன் தொடர்புடைய ஒரு குறிப்பிட்ட கோட்டின் சுழற்சியைப் பயன்படுத்தும் வழிமுறையைப் பயன்படுத்தி இந்த மேற்பரப்பைப் பெற முடியாது.

ஒரு ஹைபர்போலிக் பரபோலாய்டை உருவாக்க ஒரு சிறப்பு மாதிரி பயன்படுத்தப்படுகிறது. இந்த மாதிரியானது இரண்டு பரஸ்பர செங்குத்தாக உள்ள விமானங்களில் அமைந்துள்ள இரண்டு பரவளைகளை உள்ளடக்கியது.

பரவளைய நான் ஒரு விமானத்தில் அசையாமல் இருக்கட்டும். பரபோலா II ஒரு சிக்கலான இயக்கத்தை உருவாக்குகிறது:

▫ அதன் ஆரம்ப நிலை விமானத்துடன் ஒத்துப்போகிறது
, மற்றும் பரவளையத்தின் உச்சியானது ஆயங்களின் தோற்றத்துடன் ஒத்துப்போகிறது: =(0,0,0);

▫ பின்னர் இந்த பரவளையம் இணை மொழிபெயர்ப்பில் நகரும், அதன் உச்சியில்
பரவளைய I உடன் இணைந்த ஒரு பாதையை உருவாக்குகிறது;

▫ பரவளைய II இன் இரண்டு வெவ்வேறு ஆரம்ப நிலைகள் கருதப்படுகின்றன: ஒன்று - பரவளையத்தின் மேல்நோக்கி கிளைகள், இரண்டாவது - கீழ்நோக்கிய கிளைகள்.

சமன்பாடுகளை எழுதுவோம்: முதல் பரவளையத்திற்கு I:
- மாறாமல்; இரண்டாவது பரவளைய II க்கு:
- ஆரம்ப நிலை, இயக்கத்தின் சமன்பாடு:
புள்ளியைப் பார்ப்பது கடினம் அல்ல
ஆயங்கள் உள்ளன:
. ஒரு புள்ளியின் இயக்க விதியைக் காட்ட வேண்டியது அவசியம் என்பதால்
: இந்த புள்ளி பரவளைய I க்கு சொந்தமானது, பின்னர் பின்வரும் உறவுகள் எப்போதும் திருப்தி அடைய வேண்டும்: =
மற்றும்
.

மாதிரியின் வடிவியல் அம்சங்களிலிருந்து, நகரக்கூடிய பரவளையத்தைக் காண்பது எளிது வரை துடைக்கிறது சில மேற்பரப்பு. இந்த வழக்கில், பரவளைய II ஆல் விவரிக்கப்பட்ட மேற்பரப்பின் சமன்பாடு வடிவம் கொண்டது:

அல்லது→
. (1)

விளைந்த மேற்பரப்பின் வடிவம் அளவுருக்களின் அறிகுறிகளின் விநியோகத்தைப் பொறுத்தது
. இரண்டு சாத்தியமான வழக்குகள் உள்ளன:

1) அளவுகளின் அறிகுறிகள் பமற்றும் கேஇணைகிறது: பரவளைய I மற்றும் II விமானத்தின் ஒரே பக்கத்தில் அமைந்துள்ளது OXY. ஏற்றுக் கொள்வோம்: ப = அ 2 மற்றும் கே = பி 2 . அறியப்பட்ட மேற்பரப்பின் சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்:

→ நீள்வட்ட பாராபோலாய்டு . (2)

2) அளவுகளின் அறிகுறிகள் பமற்றும் கேவேறுபட்டவை: பரவளையங்கள் I மற்றும் II விமானத்தின் எதிர் பக்கங்களில் அமைந்துள்ளன OXY. விடுங்கள் ப = அ 2 மற்றும் கே = - பி 2 . இப்போது நாம் மேற்பரப்பு சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்:

→அதிபரவளையம் . (3)

இயக்கத்தில் ஈடுபட்டுள்ள இரண்டு பரவளையங்களின் தொடர்புகளின் இயக்கவியல் மாதிரியை நாம் நினைவுபடுத்தினால், சமன்பாடு (3) மூலம் வரையறுக்கப்பட்ட மேற்பரப்பின் வடிவியல் வடிவத்தை கற்பனை செய்வது கடினம் அல்ல.

படத்தில், பரபோலா I வழக்கமாக சிவப்பு நிறத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது. ஆயத்தொலைவுகளின் தோற்றத்தில் மேற்பரப்பின் அக்கம் மட்டுமே காட்டப்பட்டுள்ளது. மேற்பரப்பின் வடிவம் ஒரு குதிரைப்படை சேணத்தை வெளிப்படையாகக் குறிப்பிடுவதால், இந்த சுற்றுப்புறம் பெரும்பாலும் அழைக்கப்படுகிறது - சேணம் .

இயற்பியலில், செயல்முறைகளின் நிலைத்தன்மையைப் படிக்கும் போது, ​​சமநிலையின் வகைகள் அறிமுகப்படுத்தப்படுகின்றன: நிலையானது - ஒரு துளை, குவிந்த கீழ்நோக்கி, நிலையற்றது - ஒரு மேற்பரப்பு குவிந்த மேல்நோக்கி, மற்றும் இடைநிலை - ஒரு சேணம். மூன்றாவது வகையின் சமநிலையானது நிலையற்ற சமநிலையின் வகையாகவும் வகைப்படுத்தப்படுகிறது, மேலும் சிவப்புக் கோட்டில் மட்டுமே (பரபோலா I) சமநிலை சாத்தியமாகும்.

§ 4. உருளை மேற்பரப்புகள்.

புரட்சியின் மேற்பரப்புகளைக் கருத்தில் கொள்ளும்போது, ​​​​எளிமையான உருளை மேற்பரப்பு - புரட்சியின் ஒரு உருளை, அதாவது ஒரு வட்ட உருளை.

அடிப்படை வடிவவியலில், ஒரு சிலிண்டர் என்பது ப்ரிஸத்தின் பொதுவான வரையறையுடன் ஒப்புமை மூலம் வரையறுக்கப்படுகிறது. இது மிகவும் சிக்கலானது:

▫ விண்வெளியில் ஒரு தட்டையான பலகோணம் இருக்கட்டும்
- என்று குறிக்கலாம் , மற்றும் பலகோணம் அதனுடன் ஒத்துப்போகிறது
- என்று குறிக்கலாம்
;

▫ பலகோணத்திற்கு பொருந்தும்
இயக்கம் இணை மொழிபெயர்ப்பு: புள்ளிகள்
கொடுக்கப்பட்ட திசைக்கு இணையான பாதைகளில் நகர்த்தவும் ;

▫ நீங்கள் பலகோண பரிமாற்றத்தை நிறுத்தினால்
, பின்னர் அதன் விமானம்
விமானத்திற்கு இணையாக ;

▫ ஒரு ப்ரிஸத்தின் மேற்பரப்பு அழைக்கப்படுகிறது: பலகோணங்களின் தொகுப்பு ,
– மைதானங்கள் ப்ரிஸங்கள் மற்றும் இணையான வரைபடங்கள்
,
,... – பக்க மேற்பரப்பு prisms.

IN ஒரு ப்ரிஸம் மற்றும் அதன் மேற்பரப்பின் பொதுவான வரையறையை உருவாக்க ஒரு ப்ரிஸத்தின் அடிப்படை வரையறையைப் பயன்படுத்துவோம், அதாவது, நாம் வேறுபடுத்துவோம்:

▫ எல்லையற்ற ப்ரிசம் என்பது விளிம்புகளால் கட்டப்பட்ட ஒரு பாலிஹெட்ரல் உடல் ,,... மற்றும் இந்த விளிம்புகளுக்கு இடையே உள்ள விமானங்கள்;

▫ வரையறுக்கப்பட்ட ப்ரிஸம் என்பது விளிம்புகளால் கட்டப்பட்ட ஒரு பாலிஹெட்ரல் உடல் ஆகும் ,,... மற்றும் இணையான வரைபடங்கள்
,
,...; இந்த ப்ரிஸத்தின் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பு இணையான வரைபடங்களின் தொகுப்பாகும்
,
,...; prism bases - பலகோணங்களின் தொகுப்பு ,
.

நமக்கு வரம்பற்ற ப்ரிஸம் இருக்கட்டும்: ,,... இந்த ப்ரிஸத்தை ஒரு தன்னிச்சையான விமானத்துடன் வெட்டுவோம் . அதே ப்ரிஸத்தை மற்றொரு விமானத்துடன் வெட்டுவோம்
. குறுக்குவெட்டில் நாம் ஒரு பலகோணத்தைப் பெறுகிறோம்
. பொதுவாக, விமானம் என்று நாங்கள் கருதுகிறோம்
விமானத்திற்கு இணையாக இல்லை . பலகோணத்தின் இணையான மொழிபெயர்ப்பால் ப்ரிஸம் கட்டப்படவில்லை என்பதே இதன் பொருள் .

ஒரு ப்ரிஸத்தின் முன்மொழியப்பட்ட கட்டுமானமானது நேராக மற்றும் சாய்ந்த ப்ரிஸங்களை மட்டுமல்ல, துண்டிக்கப்பட்டவற்றையும் உள்ளடக்கியது.

பகுப்பாய்வு வடிவவியலில், நாம் பொதுவாக உருளைப் பரப்புகளைப் புரிந்துகொள்வோம். வழிகாட்டி உருளை. திசையில் அழைக்கப்பட்டது ஜெனரட்ரிக்ஸ் உருளை.

கூறப்பட்ட எல்லாவற்றிலிருந்தும், இது பின்வருமாறு: ஒரு உருளை மேற்பரப்பை வரையறுக்க, ஒரு வழிகாட்டி வரி மற்றும் ஜெனரட்ரிக்ஸின் திசையை குறிப்பிடுவது அவசியம்.

2 வது வரிசையின் விமான வளைவுகளின் அடிப்படையில் உருளை மேற்பரப்புகள் பெறப்படுகின்றன, சேவை செய்கின்றன வழிகாட்டுகிறது க்கு உருவாக்கும் .

உருளை மேற்பரப்புகளைப் படிக்கும் ஆரம்ப கட்டத்தில், எளிமையான அனுமானங்களை நாங்கள் ஏற்றுக்கொள்வோம்:

▫ உருளை மேற்பரப்பின் வழிகாட்டி எப்போதும் ஒருங்கிணைப்பு விமானங்களில் ஒன்றில் இருக்கட்டும்;

▫ ஜெனரேட்ரிக்ஸின் திசை ஒருங்கிணைப்பு அச்சுகளில் ஒன்றோடு ஒத்துப்போகிறது, அதாவது வழிகாட்டி வரையறுக்கப்பட்ட விமானத்திற்கு செங்குத்தாக.

ஏற்றுக்கொள்ளப்பட்ட கட்டுப்பாடுகள் பொதுவான தன்மையை இழக்க வழிவகுக்காது, ஏனெனில் விமானங்கள் மூலம் பிரிவுகளைத் தேர்ந்தெடுப்பதன் காரணமாக இது சாத்தியமாகும். மற்றும்
தன்னிச்சையான வடிவியல் வடிவங்களை உருவாக்குதல்: நேராக, சாய்ந்த, துண்டிக்கப்பட்ட சிலிண்டர்கள்.

நீள்வட்ட உருளை .

சிலிண்டரின் வழிகாட்டியாக ஒரு நீள்வட்டத்தை எடுத்துக் கொள்வோம் :
, ஒருங்கிணைப்பு விமானத்தில் அமைந்துள்ளது

: நீள்வட்ட உருளை.

ஹைபர்போலிக் சிலிண்டர் .

:

, மற்றும் ஜெனராட்ரிக்ஸின் திசை அச்சை தீர்மானிக்கிறது
. இந்த வழக்கில், சிலிண்டரின் சமன்பாடு கோடு தானே : ஹைபர்போலிக் சிலிண்டர்.

பரவளைய உருளை .

சிலிண்டரின் வழிகாட்டியாக ஒரு ஹைபர்போலாவை எடுத்துக் கொள்வோம் :
, ஒருங்கிணைப்பு விமானத்தில் அமைந்துள்ளது
, மற்றும் ஜெனராட்ரிக்ஸின் திசை அச்சை தீர்மானிக்கிறது
. இந்த வழக்கில், சிலிண்டரின் சமன்பாடு கோடு தானே : பரவளைய உருளை.

கருத்து: உருளை மேற்பரப்புகளின் சமன்பாடுகளை உருவாக்குவதற்கான பொதுவான விதிகளையும், நீள்வட்ட, ஹைபர்போலிக் மற்றும் பரவளைய சிலிண்டர்களின் குறிப்பிட்ட எடுத்துக்காட்டுகளையும் கணக்கில் எடுத்துக்கொண்டு, நாங்கள் கவனிக்கிறோம்: ஏற்றுக்கொள்ளப்பட்ட எளிமைப்படுத்தும் நிபந்தனைகளுக்கு, வேறு எந்த ஜெனரட்ரிக்ஸிற்கும் ஒரு சிலிண்டரை உருவாக்குவது. சிரமங்கள்!

உருளை மேற்பரப்புகளின் சமன்பாடுகளை உருவாக்குவதற்கான பொதுவான நிபந்தனைகளை இப்போது கருத்தில் கொள்வோம்:

▫ உருளை மேற்பரப்பின் வழிகாட்டி விண்வெளியின் தன்னிச்சையான விமானத்தில் அமைந்துள்ளது
;

▫ ஜெனரேட்ரிக்ஸின் திசை ஏற்றுக்கொள்ளப்பட்ட ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் தன்னிச்சையானது.

ஏற்றுக்கொள்ளப்பட்ட நிபந்தனைகளை படத்தில் சித்தரிக்கிறோம்.

▫ உருளை மேற்பரப்பு வழிகாட்டி ஒரு தன்னிச்சையான விமானத்தில் அமைந்துள்ளது விண்வெளி
;

▫ ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பு
ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பிலிருந்து பெறப்பட்டது
இணை பரிமாற்றம்;

▫ வழிகாட்டி இடம் விமானத்தில் மிகவும் விரும்பத்தக்கது: 2வது வரிசை வளைவுக்கு, ஆயத்தொலைவுகளின் தோற்றம் என்று கருதுவோம் உடன் ஒத்துப்போகிறது மையம் பரிசீலனையில் உள்ள வளைவின் சமச்சீர்;

▫ ஜெனரேட்ரிக்ஸின் திசை தன்னிச்சையான (எந்த வழிகளிலும் குறிப்பிடலாம்: திசையன், நேர்கோடு, முதலியன).

பின்வருவனவற்றில் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்புகள் என்று வைத்துக்கொள்வோம்
மற்றும்
இணை செய். இதன் பொருள் உருளை மேற்பரப்புகளை உருவாக்குவதற்கான பொது வழிமுறையின் 1 வது படி, இணையான மொழிபெயர்ப்பை பிரதிபலிக்கிறது:
→
, முன்பு முடிந்தது.

ஒரு எளிய உதாரணத்தைக் கருத்தில் கொண்டு பொது வழக்கில் இணை பரிமாற்றம் எவ்வாறு கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ளப்படுகிறது என்பதை நினைவுபடுத்துவோம்.

எடுத்துக்காட்டு 6–13 : ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில்
என:
=0. இந்த வழிகாட்டியின் சமன்பாட்டை கணினியில் எழுதவும்
.

தீர்வு:

1) ஒரு தன்னிச்சையான புள்ளியைக் குறிப்பிடுவோம்
: அமைப்பில்
எப்படி
, மற்றும் அமைப்பில்
எப்படி
.

2) திசையன் சமத்துவத்தை எழுதுவோம்:
=
+
. ஒருங்கிணைப்பு வடிவத்தில் இதை இவ்வாறு எழுதலாம்:
=
+
. அல்லது வடிவத்தில்:
=
–
, அல்லது:
=.

3) சிலிண்டர் வழிகாட்டியின் சமன்பாட்டை எழுதுவோம் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில்
:

பதில்: மாற்றப்பட்ட வழிகாட்டி சமன்பாடு: =0.

எனவே, சிலிண்டர் வழிகாட்டியைக் குறிக்கும் வளைவின் மையம் எப்பொழுதும் கணினி ஒருங்கிணைப்புகளின் தோற்றத்தில் அமைந்துள்ளது என்று நாம் கருதுவோம்.
விமானத்தில் .

அரிசி. IN . ஒரு சிலிண்டரை உருவாக்குவதற்கான அடிப்படை வரைதல்.

ஒரு உருளை மேற்பரப்பை உருவாக்குவதற்கான இறுதி படிகளை எளிதாக்கும் மற்றொரு அனுமானத்தை செய்வோம். ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பின் சுழற்சியைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் அச்சின் திசையை சீரமைப்பது கடினம் அல்ல
ஒருங்கிணைப்பு அமைப்புகள்
சாதாரண விமானத்துடன் , மற்றும் அச்சுகளின் திசைகள்
மற்றும்
வழிகாட்டி சமச்சீர் அச்சுகளுடன் , பின்னர் அதை வழிகாட்டியின் ஆரம்ப நிலையாகக் கருதுவோம் விமானத்தில் ஒரு வளைவு உள்ளது
, மற்றும் அதன் சமச்சீர் அச்சில் ஒன்று அச்சுடன் ஒத்துப்போகிறது
, மற்றும் இரண்டாவது அச்சுடன்
.

கருத்து: ஒரு நிலையான அச்சில் இணையான மொழிபெயர்ப்பு மற்றும் சுழற்சியின் செயல்பாடுகள் மிகவும் எளிமையானவை என்பதால், ஏற்றுக்கொள்ளப்பட்ட அனுமானங்கள் மிகவும் பொதுவான வழக்கில் ஒரு உருளை மேற்பரப்பை உருவாக்குவதற்கான வளர்ந்த வழிமுறையின் பொருந்தக்கூடிய தன்மையைக் கட்டுப்படுத்தாது!

நாம் ஒரு உருளை மேற்பரப்பு கட்டும் போது எங்கே வழக்கில் வழிகாட்டி என்று பார்த்தேன் விமானத்தில் அமைந்துள்ளது
, மற்றும் ஜெனரேட்ரிக்ஸ் அச்சுக்கு இணையாக உள்ளது
, வழிகாட்டியை மட்டும் தீர்மானித்தால் போதும் .

ஒரு தன்னிச்சையான விமானம் மூலம் இந்த மேற்பரப்பின் பிரிவில் பெறப்பட்ட எந்த வரியையும் குறிப்பிடுவதன் மூலம் ஒரு உருளை மேற்பரப்பை தனித்துவமாக தீர்மானிக்க முடியும் என்பதால், சிக்கலைத் தீர்ப்பதற்கான பின்வரும் பொதுவான வழிமுறையை நாங்கள் ஏற்றுக்கொள்வோம்:

1 ▫ . ஜெனரேட்ரிக்ஸின் திசையை விடுங்கள் திசையன் மூலம் கொடுக்கப்பட்ட உருளை மேற்பரப்பு . ஒரு வழிகாட்டியை வடிவமைப்போம் , சமன்பாட்டின் மூலம் வழங்கப்படுகிறது:
=0, ஜெனரேட்ரிக்ஸின் திசைக்கு செங்குத்தாக ஒரு விமானத்திற்கு , அதாவது, விமானத்தில்
. இதன் விளைவாக, உருளை மேற்பரப்பு ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் குறிப்பிடப்படும்
சமன்பாடு:
=0.

2 ▫
அச்சை சுற்றி
ஒரு கோணத்தில்
: கோணத்தின் பொருள்
அமைப்புடன் இணக்கமானது
, மற்றும் கூம்பு மேற்பரப்பு சமன்பாடு சமன்பாடு மாற்றப்படுகிறது:
=0.

3 ▫ . ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பின் சுழற்சியைப் பயன்படுத்துங்கள்
அச்சை சுற்றி
ஒரு கோணத்தில்
: கோணத்தின் பொருள் படத்தில் இருந்து தெளிவாக உள்ளது. சுழற்சியின் விளைவாக, ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பு
அமைப்புடன் இணக்கமானது
, மற்றும் கூம்பு மேற்பரப்பு சமன்பாடு மாற்றப்படுகிறது
=0. இது வழிகாட்டி கொடுக்கப்பட்ட உருளை மேற்பரப்பு சமன்பாடு ஆகும் மற்றும் ஜெனரேட்டர் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில்
.

கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ள உதாரணம், எழுதப்பட்ட அல்காரிதம் செயல்படுத்தப்படுவதையும், அத்தகைய சிக்கல்களின் கணக்கீட்டு சிக்கல்களையும் விளக்குகிறது.

எடுத்துக்காட்டு 6–14 : ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில்
சிலிண்டர் வழிகாட்டி சமன்பாடு கொடுக்கப்பட்டுள்ளது என:
=9. வெக்டருக்கு இணையான ஜெனரேட்டர்களைக் கொண்ட சிலிண்டருக்கான சமன்பாட்டை எழுதுங்கள். =(2,–3,4).

ஆர்
முடிவு:

1) சிலிண்டர் வழிகாட்டியை செங்குத்தாக ஒரு விமானத்தில் வைப்போம் . அத்தகைய மாற்றம் கொடுக்கப்பட்ட வட்டத்தை நீள்வட்டமாக மாற்றுகிறது என்பது அறியப்படுகிறது, அதன் அச்சுகள்: பெரியது =9, மற்றும் சிறியது =
.

இந்த எண்ணிக்கை ஒரு விமானத்தில் வரையறுக்கப்பட்ட வட்டத்தின் வடிவமைப்பை விளக்குகிறது
ஒருங்கிணைப்பு விமானத்திற்கு
.

2) ஒரு வட்டத்தை வடிவமைப்பதன் விளைவாக ஒரு நீள்வட்டம் உள்ளது:
=1, அல்லது
. எங்கள் விஷயத்தில் இது:
, எங்கே
==.

3
) எனவே, ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் ஒரு உருளை மேற்பரப்பு சமன்பாடு
பெற்றது. சிக்கலின் நிலைமைகளின்படி, இந்த சிலிண்டரின் சமன்பாடு ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் இருக்க வேண்டும்.
, பின்னர் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பை மாற்றும் ஒரு ஒருங்கிணைப்பு மாற்றத்தைப் பயன்படுத்த வேண்டும்
ஒருங்கிணைப்பு அமைப்புக்கு
, அதே நேரத்தில் சிலிண்டரின் சமன்பாடு:
மாறிகளின் அடிப்படையில் வெளிப்படுத்தப்படும் ஒரு சமன்பாட்டில்
.

4) பயன் பெறுவோம் அடிப்படை சிக்கலைத் தீர்க்க தேவையான அனைத்து முக்கோணவியல் மதிப்புகளையும் வரைந்து எழுதவும்:

==,
==,
==.

5) கணினியிலிருந்து நகரும்போது ஆயங்களை மாற்றுவதற்கான சூத்திரங்களை எழுதுவோம்
அமைப்புக்கு
:
(IN)

6) கணினியிலிருந்து நகரும்போது ஆயங்களை மாற்றுவதற்கான சூத்திரங்களை எழுதுவோம்
அமைப்புக்கு
:
(உடன்)

7) மாறிகளை மாற்றுதல்
சிஸ்டம் (பி) இலிருந்து சிஸ்டம் (சி) வரை, மேலும் பயன்படுத்தப்படும் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் மதிப்புகளை கணக்கில் எடுத்துக்கொண்டு, நாங்கள் எழுதுகிறோம்:

=
=
.

=
=
.

8) கண்டுபிடிக்கப்பட்ட மதிப்புகளை மாற்றுவதற்கு இது உள்ளது மற்றும் சிலிண்டர் வழிகாட்டி சமன்பாட்டில் :
ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில்
. முடித்ததும் கவனமாக அனைத்து இயற்கணித மாற்றங்களும், ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் ஒரு கூம்பு மேற்பரப்பு சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்
: =0.

பதில்: கூம்பு சமன்பாடு: =0.

எடுத்துக்காட்டு 6–15 : ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில்
சிலிண்டர் வழிகாட்டி சமன்பாடு கொடுக்கப்பட்டுள்ளது என:
=9, =1. வெக்டருக்கு இணையான ஜெனரேட்டர்களைக் கொண்ட சிலிண்டருக்கான சமன்பாட்டை எழுதுங்கள். =(2,–3,4).

தீர்வு:

1) வழிகாட்டி 1 மேல்நோக்கி இணையாக நகர்த்தப்பட்டதில் மட்டுமே இந்த உதாரணம் முந்தையவற்றிலிருந்து வேறுபடுவதைப் பார்ப்பது எளிது.

2) இதன் பொருள் உறவுகளில் (பி) ஒருவர் ஏற்றுக்கொள்ள வேண்டும்: =-1. கணினியின் (C) வெளிப்பாடுகளை கணக்கில் எடுத்துக்கொண்டு, மாறிக்கான உள்ளீட்டை சரிசெய்வோம் :

=
.

3) முந்தைய எடுத்துக்காட்டில் இருந்து சிலிண்டருக்கான இறுதி சமன்பாட்டை சரிசெய்வதன் மூலம் மாற்றம் எளிதில் கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ளப்படுகிறது:

பதில்: கூம்பு சமன்பாடு: =0.

கருத்து: உருளை மேற்பரப்புகளில் உள்ள சிக்கல்களில் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்புகளின் பல மாற்றங்களின் முக்கிய சிரமம் என்பதைக் காண்பது எளிது. துல்லியம் மற்றும் சகிப்புத்தன்மை இயற்கணித மாரத்தான்களில்: நம் நாட்டில் நீண்டகாலமாக ஏற்றுக்கொள்ளப்பட்ட கல்வி முறை வாழ்க!

ஒரு நீள்வட்டம் என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட செவ்வக கார்ட்டீசியன் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் உள்ள சமன்பாடு ஆக்ஸிஸ் ஒரு ^ b ^ c > 0 வடிவத்தைக் கொண்ட ஒரு மேற்பரப்பு ஆகும். Oxz விமானத்தில் ஒரு நீள்வட்டத்தை எடுத்து Oz அச்சில் சுழற்றுவோம் (படம் 46). படம்.46 இதன் விளைவாக வரும் மேற்பரப்பு ஒரு நீள்வட்டமாகும். ஹைபர்போலாய்டுகள். பரபோலாய்டுகள். சிலிண்டர்கள் மற்றும் இரண்டாவது வரிசை கூம்பு. - புரட்சியின் நீள்வட்டம் - ஒரு பொதுவான நீள்வட்டமானது எவ்வாறு கட்டமைக்கப்பட்டுள்ளது என்பது பற்றிய ஒரு யோசனையை ஏற்கனவே தருகிறது. அதன் சமன்பாட்டைப் பெற, சுழற்சியின் நீள்வட்டத்தை Oy அச்சில் சமமாக J ^!, t.c என்ற குணகத்துடன் சுருக்கினால் போதும். y ஐ அவரது சமன்பாட்டில் Jt/5 உடன் மாற்றவும்). 10.2 ஹைப்பர்போலாய்டுகள் ஹைப்பர்போலாய்டுகளை சுழற்றுகின்றன. = a2 c2 1 Oz அச்சைச் சுற்றி (படம். 47), நாம் ஒரு தாள் அதிபரப்புலாய்டு புரட்சி எனப்படும் மேற்பரப்பைப் பெறுகிறோம். அதன் சமன்பாடு *2 + y; புரட்சியின் நீள்வட்டத்தின் விஷயத்தில் அதே வழியில் பெறப்படுகிறது. 5) ஒரு குணகம் ~ ^ 1 உடன் Oz அச்சில் +yJ + *J = l" கோளத்தின் சீரான சுருக்கத்தின் மூலம் சுழற்சியின் நீள்வட்டத்தைப் பெறலாம். குணகம் 2 ^ 1 உடன் இந்த மேற்பரப்பை ஓய் அச்சில் சீரான சுருக்கத்தால் பெறலாம். , பொது வடிவத்தின் ஒற்றை-தாள் ஹைப்பர்போலாய்டைப் பெறுகிறோம், அதன் சமன்பாடு நீள்வட்டமாகும், ஹைபர்போலாய்டுகள் பாராபோலாய்டுகள் சிலிண்டர்கள் மற்றும் இரண்டாம்-வரிசை கூம்பு ஆகியவை மேலே விவாதிக்கப்பட்ட நீள்வட்டத்தில் உள்ளதைப் போலவே பெறப்படுகின்றன. Oz, நாம் புரட்சியின் இரண்டு-தாள் ஹைப்பர்போலாய்டைப் பெறுகிறோம் (படம் 48) அதன் சமன்பாடு a2 C2 ஆகும். இந்த மேற்பரப்பை Oy அச்சில் ஒரே மாதிரியாக அழுத்துவதன் மூலம் குணகம் 2 ^ 1 உடன் பொது வடிவத்தின் இரண்டு-தாள் ஹைப்பர்போலாய்டை அடைகிறோம். y ஐ -y உடன் மாற்றுவதன் மூலம் அதன் சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம், பரவளையத்தை Oz அச்சில் (படம் 49) சுழற்றினால், நாம் புரட்சியின் ஒரு பரவளையத்தைப் பெறுகிறோம், அதன் சமன்பாடு x2 + y2 = 2 pz வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது. குணகம் yj* ^ 1 உடன் அச்சில், நாம் ஒரு நீள்வட்ட பரபோலாய்டைப் பெறுகிறோம், அதன் சமன்பாடு, If ஐ மாற்றுவதன் மூலம் சுழற்சி பரபோலாய்டின் சமன்பாட்டிலிருந்து பெறப்படுகிறது, பின்னர் படம். 50. 10.4. ஹைபர்போலிக் பாராபோலாய்ட் என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட செவ்வக கார்ட்டீசியன் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் ஆக்ஸிஸ் சமன்பாடு p > 0, q > 0 என்ற வடிவத்தைக் கொண்டிருக்கும் ஒரு மேற்பரப்பு. : ஒருங்கிணைப்பு விமானங்களுக்கு இணையாக, ஆய்வின் கீழ் மேற்பரப்பை வெட்டும் விமானங்கள் வரையப்படுகின்றன, மேலும் இதன் விளைவாக வரும் தட்டையான வளைவுகளின் உள்ளமைவை மாற்றுவதன் மூலம், மேற்பரப்பின் கட்டமைப்பைப் பற்றி ஒரு முடிவு எடுக்கப்படுகிறது. Oxy என்ற ஒருங்கிணைப்பு விமானத்திற்கு இணையான z = h = const என்ற விமானங்களின் பிரிவுகளுடன் ஆரம்பிக்கலாம். h > 0 க்கு, h - conjugate hyperbolas க்கு ஹைபர்போலாக்களைப் பெறுகிறோம், மற்றும் - ஒரு ஜோடி வெட்டும் நேர் கோடுகளுக்கு இந்த நேர்கோடுகள் அனைத்து ஹைப்பர்போலஸ்களுக்கும் (அதாவது, எந்த h Ф 0 க்கும்) அறிகுறிகளாகும் என்பதை நினைவில் கொள்ளவும். இதன் விளைவாக வரும் வளைவுகளை Oxy விமானத்தின் மீது செலுத்துவோம். நாம் பின்வரும் படத்தைப் பெறுகிறோம் (படம் 51). இந்த பரிசீலனை மட்டுமே, பரிசீலனையின் கீழ் மேற்பரப்பின் சேணம் வடிவ அமைப்பைப் பற்றி ஒரு முடிவை எடுக்க அனுமதிக்கிறது (படம் 52). Fig.51 Fig.52 இப்போது விமானங்கள் மூலம் பிரிவுகளைக் கருத்தில் கொள்வோம், சமன்பாட்டில் y மேற்பரப்புகளை A உடன் மாற்றுவதன் மூலம், நாம் பரவளையங்களின் சமன்பாடுகளைப் பெறுகிறோம் (படம் 53). கொடுக்கப்பட்ட மேற்பரப்பை விமானங்களைக் கொண்டு வெட்டும்போது இதேபோன்ற படம் எழுகிறது.இந்த வழக்கில், பரவளையங்களும் பெறப்படுகின்றன, அதன் கிளைகள் கீழ்நோக்கி இயக்கப்படுகின்றன (மேலே அல்ல, விமானங்கள் y = h உடன் வெட்டுவது போல) (படம் 54). கருத்து. பிரிவுகளின் முறையைப் பயன்படுத்தி, முன்னர் கருதப்பட்ட அனைத்து இரண்டாம்-வரிசை மேற்பரப்புகளின் கட்டமைப்பை நீங்கள் புரிந்து கொள்ளலாம். இருப்பினும், இரண்டாவது வரிசையின் வளைவுகளைச் சுழற்றுவதன் மூலமும், அடுத்தடுத்த சீரான சுருக்கத்தின் மூலமும், அவற்றின் கட்டமைப்பைப் பற்றிய புரிதலை ஒருவர் எளிதாகவும் மிக வேகமாகவும் பெறலாம். மீதமுள்ள இரண்டாம்-வரிசை மேற்பரப்புகள் ஏற்கனவே ஏற்கனவே கருதப்பட்டன. இவை சிலிண்டர்கள்: நீள்வட்ட மற்றும் ஹைபர்போலிக் படம். 56 மற்றும் ஒரு பரவளைய மற்றும் இரண்டாம்-வரிசை கூம்பு, ஒரு ஜோடி வெட்டும் கோடுகளை Oz அச்சில் சுழற்றுவதன் மூலமும், அதைத் தொடர்ந்து சுருக்குவதன் மூலமும் அல்லது பிரிவுகளின் முறையின் மூலமும் ஒரு யோசனையைப் பெறலாம். நிச்சயமாக, இரண்டு நிகழ்வுகளிலும் ஆய்வின் கீழ் உள்ள மேற்பரப்பு படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ள வடிவத்தைக் கொண்டிருப்பதைக் காண்கிறோம். 59. a) foci இன் ஆயங்களை கணக்கிடுங்கள்; , . b) விசித்திரத்தை கணக்கிடுங்கள்; . c) அசிம்டோட்கள் மற்றும் டைரக்ட்ரிக்ஸின் சமன்பாடுகளை எழுதுங்கள்; ஈ) இணை ஹைப்பர்போலாவின் சமன்பாட்டை எழுதி அதன் விசித்திரத்தை கணக்கிடவும். 2. ஃபோகஸ் முதல் உச்சி வரையிலான தூரம் 3 எனில், பரவளையத்தின் நியதிச் சமன்பாட்டை எழுதவும். 4. சமன்பாட்டின் மூலம் கொடுக்கப்பட்ட வளைவின் வகை மற்றும் இருப்பிடத்தைத் தீர்மானிக்கவும்: பதில்கள்: நீள்வட்டம், நீள்வட்டத்திற்கு இணையான பெரிய அச்சு. ஹைபர்போலாய்டுகள். பரபோலாய்டுகள். சிலிண்டர்கள் மற்றும் இரண்டாவது வரிசை கூம்பு. எருது அச்சு; ஆ) ஹைபர்போலா சென்டர் O (-1,2), எடையுள்ள அச்சின் X இன் கோண குணகம் 3 க்கு சமம்; c) பரவளையம் У2 = , உச்சி (3, 2), பரவளையத்தின் குழிவுத்தன்மையை நோக்கி இயக்கப்பட்ட அச்சு திசையன் (-2, -1) க்கு சமம்; ஈ) ஒரு மையத்துடன் கூடிய ஹைபர்போலா, ஆய அச்சுகளுக்கு இணையான அறிகுறிகள்; இ) ஒரு ஜோடி வெட்டும் கோடுகள் f) ஒரு ஜோடி இணை கோடுகள்

ஒரு பரபோலாய்டின் உயரத்தை சூத்திரத்தால் தீர்மானிக்க முடியும்

கீழே தொடும் பாராபோலாய்டின் அளவு, அடிப்படை ஆரம் R மற்றும் உயரம் H கொண்ட சிலிண்டரின் பாதி அளவுக்கு சமமாக இருக்கும், அதே அளவு பாராபோலாய்டின் கீழ் W’ இடத்தை ஆக்கிரமித்துள்ளது (படம் 4.5a)

படம்.4.5. கீழே தொடும் ஒரு பரபோலாய்டில் உள்ள தொகுதிகளின் விகிதம்.

டபிள்யூபி - பாராபோலாய்டின் அளவு, டபிள்யூ' - பாராபோலாய்டின் கீழ் தொகுதி, எச்பி - பாராபோலாய்டின் உயரம்

படம்.4.6. Hp சிலிண்டரின் விளிம்புகளைத் தொடும் ஒரு பரபோலாய்டில் உள்ள தொகுதிகளின் விகிதம் பரபோலாய்டின் உயரம்., R என்பது கப்பலின் ஆரம், Wl என்பது சுழற்சி தொடங்கும் முன் பாத்திரத்தில் உள்ள திரவத்தின் உயரத்தின் கீழ் இருக்கும் அளவு, z 0 என்பது பாராபோலாய்டின் உச்சியின் நிலை, H என்பது சுழற்சியின் தொடக்கத்திற்கு முன் பாத்திரத்தில் உள்ள திரவத்தின் உயரம்.

படம் 4.6a இல், சுழற்சி தொடங்குவதற்கு முன் சிலிண்டரில் உள்ள திரவ நிலை H. சுழற்சிக்கு முன்னும் பின்னும் திரவ Wl அளவு பராமரிக்கப்பட்டு, உயரம் z 0 உடன் சிலிண்டரின் Wt தொகுதியின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம். பாராபோலாய்டின் கீழ் உள்ள திரவத்தின் அளவு, இது Hn உயரத்துடன் கூடிய பரபோலாய்ட் Wp இன் தொகுதிக்கு சமம்

பாராபோலாய்டு உருளையின் மேல் விளிம்பைத் தொட்டால், சிலிண்டரில் உள்ள திரவத்தின் உயரம், சுழற்சி தொடங்கும் முன் H ஆனது, Hn என்ற பரபோலாய்டின் உயரத்தை இரண்டு சம பாகங்களாகப் பிரிக்கிறது, பரபோலாய்டின் மிகக் குறைந்த புள்ளி (உச்சி) தொடர்புடையது அடித்தளத்திற்கு (படம் 4.6c)

கூடுதலாக, உயரம் H பரபோலாய்டை இரண்டு பகுதிகளாகப் பிரிக்கிறது (படம். 4.6c), இதன் தொகுதிகள் W 2 = W 1 க்கு சமம். பரவளைய வளையம் W 2 மற்றும் பரவளைய கோப்பை W 1 ஆகியவற்றின் தொகுதிகளின் சமத்துவத்திலிருந்து, படம் 4.6c

பரபோலாய்டின் மேற்பரப்பு கப்பலின் அடிப்பகுதியை வெட்டும்போது (படம். 4.7) W 1 =W 2 =0.5W வளையம்

படம் 4.7 பாராபோலாய்டின் மேற்பரப்பு சிலிண்டரின் அடிப்பகுதியை வெட்டும்போது தொகுதிகள் மற்றும் உயரங்கள்

படம் 4.6 இல் உள்ள உயரங்கள்

படம் 4.6 இல் உள்ள தொகுதிகள்.

கப்பலில் இலவச மேற்பரப்பின் இடம்

படம்.4.8. சுழற்சியின் போது உறவினர் ஓய்வு மூன்று வழக்குகள்

1. கப்பல் திறந்திருந்தால், Po = Ratm (படம் 4.8a). சுழற்சியின் போது, ​​பரபோலாய்டின் மேற்பகுதி ஆரம்ப நிலை-H-க்குக் கீழே விழுகிறது, மேலும் விளிம்புகள் ஆரம்ப நிலைக்கு மேலே உயரும், மேல் நிலை

2. பாத்திரம் முழுவதுமாக நிரப்பப்பட்டு, மூடியால் மூடப்பட்டிருந்தால், இலவச மேற்பரப்பு இல்லாமல், அதிகப்படியான அழுத்தத்தில் Po>Patm இருந்தால், சுழலும் முன் மேற்பரப்பு (PP) அதன் மீது Po=Patm உயரத்தில் மூடியின் மட்டத்திற்கு மேல் இருக்கும். h 0i =M/ ρg, H 1 =H+ M/ρg.

3. பாத்திரம் முழுவதுமாக நிரப்பப்பட்டிருந்தால், அது வெற்றிட போவின் கீழ் உள்ளது<Ратм, до вращения поверхность П.П., на которой Ро=Ратм будет находиться под уровнем крышки на высоте h 0и =-V/ρg, Н 2 =Н-V/ρg ,

4.7. அதிக கோண வேகத்தில் சுழற்சி (படம் 4.9)

திரவம் கொண்ட ஒரு பாத்திரம் அதிக கோண வேகத்தில் சுழலும் போது, ​​மையவிலக்கு விசைகளுடன் ஒப்பிடும்போது ஈர்ப்பு விசை புறக்கணிக்கப்படலாம். ஒரு திரவத்தில் அழுத்தம் மாற்றம் விதியை சூத்திரத்தில் இருந்து பெறலாம்

(4.22),

நிலையின் மேற்பரப்புகள் ஒரு பொதுவான அச்சுடன் சிலிண்டர்களை உருவாக்குகின்றன, அதைச் சுற்றி கப்பல் சுழலும். சுழற்சி தொடங்கும் முன் கப்பல் முழுமையாக நிரப்பப்படவில்லை என்றால், அழுத்தம் பி 0 ஆரம் கொண்டு செயல்படும் ஆர் = ஆர் 0 , வெளிப்பாட்டிற்கு பதிலாக (4.22) நம்மிடம் இருக்கும்

இதில் நாம் g(z 0 - z) = 0,

அரிசி. 4.9 புவியீர்ப்பு இல்லாத நிலையில் சுழற்சியின் மேற்பரப்புகளின் இருப்பிடம்.

அறியப்பட்ட H மற்றும் h க்கான உள் மேற்பரப்பின் ஆரம்