வரைபடங்களை அமைக்கவும். செயல்பாடுகள் மேப்பிங் பொது கருத்துக்கள் செயல்பாடுகள் அடிப்படை வரையறைகளை அமைக்கிறது

கடிதப் பரிமாற்றம் A மற்றும் B ஆகிய செட்களுக்கு இடையில், அவற்றின் கார்ட்டீசியன் தயாரிப்பின் துணைக்குழு ஆகும்

வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், A=( ) மற்றும் B=( ) ஆகிய தொகுப்புகளுக்கு இடையே உள்ள கடிதப் பரிமாற்றத்தை ஜோடிகள் வரையறுக்கின்றன, விதி R குறிப்பிடப்பட்டால், A தொகுப்பின் உறுப்புக்கு B தொகுப்பிலிருந்து ஒரு உறுப்பு தேர்ந்தெடுக்கப்படும்.

ஒரு உறுப்பு சில உறுப்புகளுடன் தொடர்புடையதாக இருந்தால், b என்று அழைக்கப்படுகிறது வழிஉறுப்பு a மற்றும் பின்வருமாறு எழுதப்பட்டுள்ளது: b = R (a). பிறகு - முன்மாதிரிதனித்துவம் மற்றும் முழுமையின் பண்புகளைக் கொண்ட உறுப்பு:

1. ஒவ்வொரு முன்மாதிரியும் ஒரு படத்திற்கு ஒத்திருக்கிறது;

2. ப்ரோடோடைப் முழுமை பெறுவது போல், படமும் முழுமையாக இருக்க வேண்டும்.

உதாரணமாக. A என்பது பரவளையங்களின் தொகுப்பாக இருந்தால், B என்பது ஒரு விமானத்தில் உள்ள புள்ளிகளின் தொகுப்பாகவும், R என்பது "பரபோலாவின் உச்சியில்" இருக்கும் ஒரு புள்ளியாகவும் இருந்தால், R (a) என்பது பரவளைய a இன் உச்சி மற்றும் அனைத்தையும் உள்ளடக்கிய ஒரு புள்ளியாகும். புள்ளி b இல் உச்சியுடன் கூடிய பரவளையங்கள் (படம் 6)

கடிதம் R உடன் A தொகுப்பின் படம் அழைக்கப்படுகிறது அர்த்தங்களின் தொகுப்பு R (A) ஆனது A தொகுப்பின் அனைத்து உறுப்புகளின் படங்களையும் கொண்டிருந்தால், இந்த கடிதம் R (A) ஆல் குறிக்கப்படுகிறது.

சில கடிதப் பரிமாற்றம் R உடன் B தொகுப்பின் தலைகீழ் படம் அழைக்கப்படுகிறது வரையறையின் களம்இந்த கடிதம் மூலம் குறிக்கப்படுகிறது. இதையொட்டி உள்ளது தலைகீழ் R க்கு பொருந்தும்.

எனவே, ஆயத் தளத்தின் புள்ளிகளால் குறிப்பிடப்பட்ட R இன் கடிதப் பரிமாற்றத்திற்கு, வரையறையின் டொமைன் என்பது அப்சிஸ்ஸா அச்சின் புள்ளிகளின் தொகுப்பாகும், மேலும் மதிப்புகளின் தொகுப்பு என்பது புள்ளிகளின் ஆர்டினேட் அச்சில் (படம் 7). எனவே, சில புள்ளிகளுக்கு

M (x, y) y என்பது ஒரு படமாகும், மேலும் x என்பது சில கடிதப் பரிமாற்றங்களுக்கான தலைகீழ் படம் R: Y = R (x), X செட்களுக்கு இடையேயான தொடர்பு கார்ட்டீசியன் ஒருங்கிணைப்பு முறையைப் பயன்படுத்தி விமானத்தில் ஒரு புள்ளியின் வடிவத்தில் வசதியாக இருக்கும்.

R மற்றும் Y=R (X) ஆகியவற்றுக்கு இடையே உள்ள கடிதத் தொடர்பைக் கொடுக்கலாம். இது ஆய (x; y) (படம் 7) உடன் M புள்ளிகளுக்கு ஒத்திருக்கிறது. பின்னர் மேப்பிங் ஆர் மூலம் வேறுபடுத்தப்பட்ட விமானத்தின் புள்ளிகளின் தொகுப்பு இருக்கும் அட்டவணை.

தொகுப்புகளுக்கு இடையிலான கடிதப் பரிமாற்றங்களை விவரிக்க, ஒரு தொகுப்பின் மேப்பிங் (செயல்பாடு) மற்றொரு தொகுப்பின் கருத்து பயன்படுத்தப்படுகிறது.

காட்சியை அமைக்க, நீங்கள் குறிப்பிட வேண்டும்:

1. மேப் செய்யப்பட்ட தொகுப்பு (கொடுக்கப்பட்ட வரைபடத்தின் வரையறையின் டொமைன், பெரும்பாலும் குறிக்கப்படுகிறது);

2. கொடுக்கப்பட்ட வரையறையின் டொமைன் வரைபடத்தில் உள்ள (ஆன்) தொகுப்பு (இந்த மேப்பிங்கின் மதிப்புகளின் தொகுப்பு பெரும்பாலும் குறிக்கப்படுகிறது);

3. இந்த தொகுப்புகளுக்கு இடையிலான சட்டம் அல்லது கடிதப் பரிமாற்றம், அதன் படி இரண்டாவது தொகுப்பிலிருந்து கூறுகள் (படங்கள்) முதல் தொகுப்பின் உறுப்புகளுக்கு (முன்மாதிரிகள், வாதங்கள்) தேர்ந்தெடுக்கப்படுகின்றன.

பதவிகள்: .

காட்சிகளைக் குறிப்பிடுவதற்கான முறைகள்: பகுப்பாய்வு(சூத்திரங்கள் வடிவில்), அட்டவணை, வரைகலை(வரைபடங்கள் அல்லது வரைபடங்கள்).

ஒற்றை-மதிப்பு மேப்பிங்கில் இரண்டு முக்கிய வகைகள் உள்ளன (செயல்பாடுகள்). அதிகாரத்தால் அவை பிரிக்கப்பட்டுள்ளன surjectiveமற்றும் ஊசி.

1. செட் A இன் ஒவ்வொரு உறுப்பும் B தொகுப்பின் ஒரு தனிமத்தால் குறிக்கப்படும் ஒரு கடிதம், மற்றும் B தொகுப்பின் ஒவ்வொரு உறுப்பும் A தொகுப்பின் குறைந்தபட்சம் ஒரு தனிமத்தையாவது குறிக்கலாம், இது A தொகுப்பின் மேப்பிங் எனப்படும். பி அமைக்க(எதிர்ப்பு).

2. A தொகுப்பின் ஒவ்வொரு தனிமமும் B தொகுப்பின் ஒரு தனிமத்துடன் ஒத்திருக்கும் ஒரு கடிதம், மேலும் B இன் ஒவ்வொரு உறுப்பும் A இலிருந்து அதிகபட்சம் ஒரு முன்மாதிரிக்கு ஒத்திருக்கும், இது A தொகுப்பின் மேப்பிங் எனப்படும். பலபி (ஊசி).

A தொகுப்பிலிருந்து B வரையிலான ஒரு மேப்பிங், இதில் B தொகுப்பின் ஒவ்வொரு உறுப்பும் A தொகுப்பின் ஒற்றை உறுப்புக்கு ஒத்திருக்கும், நேருக்கு நேர்இரண்டு தொகுப்புகளுக்கு இடையே கடிதப் பரிமாற்றம், அல்லது பிஜேக்ஷன்.ஊசி மற்றும் surjection.

தொகுப்பு கோட்பாட்டின் கூறுகள்

தொகுப்பின் கருத்து

கணிதத்தில் பலவகைகள் உள்ளன அமைக்கிறது. பாலிஹெட்ரானின் முகங்களின் தொகுப்பு, ஒரு கோட்டில் உள்ள புள்ளிகள், இயற்கை எண்களின் தொகுப்பு போன்றவற்றைப் பற்றி நாம் பேசலாம். தொகுப்பின் கருத்து முதன்மையான கருத்துக்களில் ஒன்றாகும், அவை மற்ற, எளிமையானவை மூலம் வரையறுக்கப்படவில்லை. "தொகுப்பு" என்ற வார்த்தைக்கு பதிலாக, அவர்கள் சில நேரங்களில் "சேகரிப்பு", பொருட்களின் "சேகரிப்பு" போன்றவற்றைச் சொல்கிறார்கள். கொடுக்கப்பட்ட தொகுப்பை உருவாக்கும் பொருள்கள் கொடுக்கப்பட்ட தொகுப்பின் கூறுகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

செட் கோட்பாடு முக்கியமாக ஆய்வுக்கு அர்ப்பணிக்கப்பட்டுள்ளது எல்லையற்ற தொகுப்புகள். கோட்பாடு வரையறுக்கப்பட்ட தொகுப்புகள்சில நேரங்களில் அழைக்கப்படுகிறது சேர்க்கைகள்.

ஆனால் தொகுப்புகளின் எளிமையான பண்புகள், நாம் இங்கே பேசுவோம், பெரும்பாலான சந்தர்ப்பங்களில் வரையறுக்கப்பட்ட மற்றும் எல்லையற்ற தொகுப்புகளுக்கு சமமாக பொருந்தும்.

கணிதத்தில் கூறுகள் இல்லாத ஒரு தொகுப்பு பரிசீலனைக்கு அனுமதிக்கப்படுகிறது - வெற்று தொகுப்பு. பதிவு ஏÎ X என்றால் அது ஏ X தொகுப்பின் உறுப்பு ஆகும்.

வரையறை.தொகுப்பு B என்று அழைக்கப்படுகிறது துணைக்குழு B தொகுப்பின் ஒவ்வொரு உறுப்பும் அதே நேரத்தில் A தொகுப்பின் உறுப்பு என்றால் A அமைக்கவும்.

தொகுப்பு A இன் ஒவ்வொரு தனிமமும் அந்த ஒரு உறுப்பைக் கொண்ட ஒரு துணைக்குழுவை உருவாக்குகிறது. மேலும், வெற்று தொகுப்பு ஒவ்வொரு தொகுப்பின் துணைக்குழு ஆகும்.

தொகுப்பு A இன் துணைக்குழு அழைக்கப்படுகிறது உங்களுடையது அல்ல, அது செட் A உடன் ஒத்துப்போனால்.

B என்பது A தொகுப்பின் துணைக்குழு எனில், B ஆனது A யில் உள்ளது என்றும் B Í A ஐக் குறிக்கும் என்றும் கூறுகிறோம். A தொகுப்பின் B துணைக்குழு எனப்படும். சொந்தம் B காலியாக இல்லாவிட்டால் மற்றும் A உடன் ஒத்துப்போகவில்லை என்றால் ஒரு துணைக்குழு (அதாவது, A தொகுப்பின் ஒரு உறுப்பு உள்ளது, அது B இல் இல்லை).

செயல்பாடுகளை அமைக்கவும்

A மற்றும் B தன்னிச்சையான தொகுப்புகளாக இருக்கட்டும்.

வரையறை. A மற்றும் B ஆகிய இரண்டு செட்களின் ஒன்றியமானது C = AÈB தொகுப்பாகும், இது A மற்றும் B செட்களில் குறைந்தபட்சம் ஒன்றிற்குச் சொந்தமான அனைத்து உறுப்புகளையும் கொண்டுள்ளது (படம் 1 ஐப் பார்க்கவும்).

எந்த (வரையறுக்கப்பட்ட அல்லது எல்லையற்ற) தொகுப்புகளின் ஒன்றியம் இதேபோல் வரையறுக்கப்படுகிறது: என்றால் A நான்தன்னிச்சையான தொகுப்புகள், பின்னர் அவற்றின் தொழிற்சங்கம் தனிமங்களின் தொகுப்பாகும், அவை ஒவ்வொன்றும் குறைந்தது ஒரு செட் A க்கு சொந்தமானது. நான்.

படம்.1 படம்.2

வரையறை. A மற்றும் B செட்களின் குறுக்குவெட்டு C = AÇB ஆகும், இது A மற்றும் B இரண்டிற்கும் சொந்தமான அனைத்து கூறுகளையும் கொண்டுள்ளது (படம் 2 ஐப் பார்க்கவும்). எந்த (வரையறுக்கப்பட்ட அல்லது எல்லையற்ற) செட்களின் குறுக்குவெட்டு A நான் A என்பது ஒவ்வொரு தொகுப்புக்கும் சொந்தமான தனிமங்களின் தொகுப்பாகும் நான்.

தொகுப்புகளின் தொழிற்சங்கம் மற்றும் குறுக்குவெட்டு செயல்பாடுகள் வரையறையின்படி பரிமாற்றம் மற்றும் துணை, அதாவது.

AÈB = B È A, (A ÈB) ÈC = A È (B È C),

A Ç B = B Ç A, (A Ç B) Ç C = A Ç (B Ç C).

கூடுதலாக, அவை பரஸ்பரம் விநியோகிக்கப்படுகின்றன:

(A È B) Ç C = (A Ç C) È (B Ç C), (1)

(A Ç B) È C = (A È C) Ç (B È C). (2)

வரையறை. வித்தியாசத்தால்செட் A மற்றும் B என்பது A இலிருந்து B இல் இல்லாத தனிமங்களின் தொகுப்பாகும் ( அரிசி. 3).

செயல்பாட்டின் கருத்து. காட்சிப்படுத்தல் தொகுப்புகள்

X மற்றும் Y இரண்டு தன்னிச்சையான தொகுப்புகளாக இருக்கட்டும்.

வரையறை. X இல் ஒரு செயல்பாடு வரையறுக்கப்படுகிறது என்று அவர்கள் கூறுகிறார்கள் f, ஒவ்வொரு உறுப்பு என்றால் Y இலிருந்து ஒரு மதிப்பை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள் எக்ஸ்Î X என்பது ஒரே ஒரு உறுப்புடன் தொடர்புடையது ஒய்О Y. இந்த வழக்கில், X தொகுப்பு அழைக்கப்படுகிறது வரையறையின் களம்கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாடு, மற்றும் Y என்பது அதன் தொகுப்பு மதிப்புகளின் வரம்பு.

தன்னிச்சையான இயற்கையின் தொகுப்புகளுக்கு, "செயல்பாடு" என்ற சொல்லுக்குப் பதிலாக, "மேப்பிங்" என்ற சொல் பெரும்பாலும் பயன்படுத்தப்படுகிறது, இது ஒரு தொகுப்பின் மேப்பிங்கைப் பற்றி பேசுகிறது.

என்றால் ஏ X இலிருந்து உறுப்பு, பின்னர் தொடர்புடைய உறுப்பு பி = f(ஏ Y இலிருந்து அழைக்கப்படுகிறது வழி அகாட்டப்படும் போது f. அந்த அனைத்து கூறுகளின் மொத்த ஏ X இன் படம், கொடுக்கப்பட்ட உறுப்பு ஆகும் பிஒய், அழைக்கப்பட்டது முன்மாதிரி(அல்லது இன்னும் துல்லியமாக ஒரு முழுமையான முன்மாதிரி) உறுப்பு பிமற்றும் நியமிக்கப்பட்டுள்ளது f –1 (பி).

A X இலிருந்து சில தொகுப்பாக இருக்கட்டும்; தொகுப்பு ( f (ஏ): ஏÎ A) படிவத்தின் அனைத்து கூறுகளும் f (ஏ), எங்கே ஏÎ A, A இன் படம் என்று அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் குறிக்கப்படுகிறது f(A) இதையொட்டி, Y இலிருந்து ஒவ்வொரு தொகுப்பு B க்கும் அதன் முழுமையான தலைகீழ் படம் தீர்மானிக்கப்படுகிறது f–1 (V), அதாவது: f–1 (B) என்பது X இலிருந்து அனைத்து கூறுகளின் தொகுப்பாகும், அதன் படங்கள் B க்கு சொந்தமானது.

வரையறை.என்று சொல்லலாம் f X தொகுப்பிலிருந்து Y ஐ அமைப்பதற்கு மேப்பிங் ஆகும் f(X) = Y; அத்தகைய வரைபடம் அழைக்கப்படுகிறது surjection. பொது வழக்கில், அதாவது. எப்பொழுது f(எக்ஸ்) எம் ஒய், என்று சொல்கிறார்கள் f Y இல் ஒரு மேப்பிங் உள்ளது. ஏதேனும் இரண்டு தனித்த உறுப்புகள் இருந்தால் எக்ஸ் 1 மற்றும் எக்ஸ் X இல் 2 அவற்றின் படங்கள் ஒய் 1 = f (எக்ஸ் 1) மற்றும் ஒய் 2 = f (எக்ஸ் 2) வேறுபட்டவை, பின்னர் fஅழைக்கப்பட்டது ஊசி.காட்சி f: X®Y, இது ஒரு surjection மற்றும் ஒரு ஊசி என அழைக்கப்படுகிறது ஒன்றுக்கு ஒன்று கடித தொடர்பு X மற்றும் Y இடையே

கடிதப் பரிமாற்றத்தின் பொதுவான கருத்தின் மற்றொரு முக்கியமான சிறப்பு வழக்கைக் கருத்தில் கொள்வோம் - தொகுப்புகளின் மேப்பிங். இணக்கமாக இருந்தால் ஆர்செட் இடையே எக்ஸ்மற்றும் ஒய்உறுப்பு படம் ஏஎக்ஸ்காலியாக இருக்கலாம் அல்லது பல கூறுகளைக் கொண்டிருக்கலாம்.

தொகுப்புகளின் கூறுகளுக்கு இடையிலான உறவு எக்ஸ்மற்றும் ஒய்அழைக்கப்பட்டது காட்சி எக்ஸ்விஒய் , ஒவ்வொரு உறுப்பு என்றால் எக்ஸ்பலரிடமிருந்து எக்ஸ்தொகுப்பின் ஒரே ஒரு உறுப்பு மட்டுமே பொருந்துகிறது ஒய். இந்த உறுப்பு அழைக்கப்படுகிறது உறுப்பு படம்எக்ஸ்இந்த காட்சியுடன்: f(x)தொகுப்பின் ஒவ்வொரு புள்ளியிலிருந்தும் அத்தகைய வரைபடத்தின் வரைபடத்தில் எக்ஸ்ஒரே ஒரு அம்பு வெளியே வரும் (படம் 29).

பின்வரும் உதாரணத்தைக் கவனியுங்கள் . விடுங்கள் எக்ஸ்- பார்வையாளர்களில் பல மாணவர்கள், மற்றும் ஒய்- ஒரே ஆடிட்டோரியத்தில் பல நாற்காலிகள். "மாணவர்" போட்டி எக்ஸ்ஒரு நாற்காலியில் உட்கார்ந்து மணிக்கு»தொகுப்புகள் காட்சி எக்ஸ்விஒய். மாணவர் படம் எக்ஸ்ஒரு நாற்காலி ஆகும்.

விடுங்கள் X = Y = N- இயற்கை எண்களின் தொகுப்பு. "எண்ணின் தசமக் குறியீடு" பொருத்தம் எக்ஸ்கொண்டுள்ளது மணிக்குஇலக்கங்கள்" காட்சியை தீர்மானிக்கிறது என்வி என். இந்த காட்சியுடன், எண் 39 எண் 2 உடன் ஒத்துள்ளது, மேலும் 45981 எண் 5 க்கு ஒத்திருக்கிறது (39 என்பது இரண்டு இலக்க எண், 45981 என்பது ஐந்து இலக்க எண்).

விடுங்கள் எக்ஸ்- பல நாற்கரங்கள், ஒய்- பல வட்டங்கள். "நாற்கரம்" பொருத்தம் எக்ஸ்ஒரு வட்டத்தில் பொறிக்கப்பட்டுள்ளது மணிக்கு» ஒரு காட்சி அல்ல எக்ஸ்வி ஒய், ஒரு வட்டத்தில் பொறிக்க முடியாத நாற்கரங்கள் இருப்பதால். ஆனால் இந்த விஷயத்தில் அவர்கள் முடிவு செட்டில் இருந்து மேப்பிங் என்று கூறுகிறார்கள் எக்ஸ்திரளாக ஒய்.

காட்சி என்றால் எக்ஸ்வி ஒய்ஒவ்வொரு உறுப்பு என்று ஒய்பலரிடமிருந்து
ஒய்ஒன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட கூறுகளுடன் பொருந்துகிறது எக்ஸ்பலரிடமிருந்து எக்ஸ், பின்னர் அத்தகைய மேப்பிங் அழைக்கப்படுகிறது தொகுப்பின் காட்சி எக்ஸ்பலருக்குஒய்.

ஒரு கொத்து எக்ஸ்மேப்பிங்கின் வரையறையின் களம் என்று அழைக்கப்படுகிறது f: XY,மற்றும் நிறைய ஒய்- இந்த மேப்பிங்கின் வருகைப் பகுதி. அனைத்து படங்களையும் கொண்ட வருகை பகுதியின் ஒரு பகுதி ஒய்பலரிடமிருந்து ஒய்,மேப்பிங் மதிப்பு தொகுப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது f.

என்றால் y=f(x),பின்னர் x அழைக்கப்படுகிறது உறுப்பு y இன் முன்மாதிரி காட்டப்படும் போது f. ஒரு தனிமத்தின் அனைத்து முன் உருவங்களின் தொகுப்பு மணிக்குஅவர்கள் அதை ஒரு முழுமையான முன்மாதிரி என்று அழைக்கிறார்கள்: f(y).

காட்சிகள் பின்வரும் வகைகளில் உள்ளன: ஊசி, surjective மற்றும் bijective.

ஒவ்வொரு தனிமத்தின் முழுமையான முன்மாதிரி என்றால் yYஅதிகபட்சம் ஒரு உறுப்பு (காலியாக இருக்கலாம்), பின்னர் அத்தகைய மேப்பிங் என்று அழைக்கப்படும் ஊசி.

காட்சிகள் XYஅதுபோல் f(X)=Y, வரைபடங்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன எக்ஸ்முழு கூட்டத்திற்கும் ஒய்அல்லது surjective(தொகுப்பின் ஒவ்வொரு புள்ளியிலிருந்தும் எக்ஸ்ஒரு அம்பு வெளியே வருகிறது, மற்றும் தொகுப்பின் ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் திசையை மாற்றிய பிறகு எக்ஸ்முடிவடைகிறது) (படம் 31).

ஒரு மேப்பிங் உட்செலுத்துதல் மற்றும் surjective என்றால், அது ஒன்றுக்கு ஒன்று அல்லது இருமுனை என்று அழைக்கப்படுகிறது.

காட்சியை அமைக்கவும் எக்ஸ்ஒரு தொகுப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது இருமுனை, ஒவ்வொரு உறுப்பு என்றால் எக்ஸ்எக்ஸ்ஒற்றை உறுப்புடன் பொருந்துகிறது yY,மற்றும் ஒவ்வொரு உறுப்பு yYஒரே ஒரு உறுப்புடன் பொருந்துகிறது எக்ஸ்எக்ஸ்(படம் 32) .

பைஜெக்டிவ் மேப்பிங் சமமான தொகுப்புகளை உருவாக்குகிறது : X~Y.

உதாரணமாக . விடுங்கள் - எக்ஸ்அலமாரியில் பல கோட்டுகள், ஒய்- அங்கே நிறைய கொக்கிகள். ஒவ்வொரு கோட்டையும் அது தொங்கும் கொக்கியுடன் பொருத்துவோம். இந்த கடிதம் ஒரு வரைபடமாகும் எக்ஸ் இன்ஒய்.எந்த கொக்கியிலும் ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட கோட்டுகள் தொங்கவிடப்பட்டாலோ அல்லது சில கொக்கிகள் இலவசமாக இருந்தாலோ அது ஊசி. எல்லா கொக்கிகளும் ஆக்கிரமிக்கப்பட்டிருந்தாலோ அல்லது சிலவற்றில் பல கோட்டுகள் தொங்கிக் கொண்டிருந்தாலோ இந்த மேப்பிங் சர்ஜக்டிவ் ஆகும். ஒவ்வொரு கொக்கியிலும் ஒரே ஒரு கோட் மட்டுமே தொங்கினால் அது இருமுனையாக இருக்கும்.

உட்செலுத்துதல், ஊசி மற்றும் பைஜெக்ஷன்

மேப்பிங் f: X (அல்லது செயல்பாடு /) ஐ வரையறுக்கும் விதியை அம்புகள் மூலம் குறிப்பிடலாம் (படம். 2.1). அம்புகள் எதுவும் சுட்டிக்காட்டாத Y தொகுப்பில் குறைந்தபட்சம் ஒரு உறுப்பு இருந்தால், f செயல்பாட்டின் மதிப்புகளின் வரம்பு முழு Y தொகுப்பையும் நிரப்பவில்லை என்பதை இது குறிக்கிறது, அதாவது. f(X) சி ஒய்.

மதிப்புகளின் வரம்பு / Y உடன் இணைந்தால், அதாவது. f(X) = Y, பின்னர் அத்தகைய செயல்பாடு surjective என்று அழைக்கப்படுகிறது) அல்லது, சுருக்கமாக, surjection, மற்றும் செயல்பாடு / ஆனது X தொகுப்பை Y தொகுப்பில் வரைபடமாக்குவதாகக் கூறப்படுகிறது (எக்ஸ் தொகுப்பை மேப்பிங் செய்யும் பொதுவான நிகழ்வுக்கு மாறாக வரையறை 2.1 இன் படி Y தொகுப்பு). எனவே, / : X என்பது Vy 6 Y 3x € X: /(x) = y எனில் surjection ஆகும். இந்த வழக்கில், படத்தில், Y (படம் 2.2) தொகுப்பின் ஒவ்வொரு உறுப்புக்கும் குறைந்தது ஒரு அம்புக்குறி வழிவகுக்கிறது. இந்த வழக்கில், பல அம்புகள் Y இலிருந்து சில கூறுகளுக்கு வழிவகுக்கும். ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட அம்புகள் எந்த உறுப்பு y € Y க்கும் வழிவகுக்கவில்லை என்றால், / என்பது ஊசி செயல்பாடு அல்லது ஊசி எனப்படும். இந்தச் செயல்பாடு சர்ஜெக்டிவ் அல்ல, அதாவது. அம்புகள் Y தொகுப்பின் அனைத்து உறுப்புகளுக்கும் வழிவகுக்காது (படம் 2.3).

• எனவே, செயல்பாடு /: X -Y Y என்பது X இலிருந்து ஏதேனும் இரண்டு வெவ்வேறு கூறுகளை மேப்பிங் செய்யும் போது அவற்றின் படங்களாக இருந்தால் / Y இலிருந்து இரண்டு வெவ்வேறு கூறுகள் அல்லது Vy £ f(X) C Y 3xeX: f(x) = y. உட்செலுத்துதல், ஊசி மற்றும் பைஜெக்ஷன். தலைகீழ் மேப்பிங். மேப்பிங்கின் கலவை என்பது தொகுப்புகளின் விளைபொருளாகும். காட்சி அட்டவணை. மேப்பிங் /: X->Y என்பது bijective அல்லது bi-jection எனப்படும், y 6 Y இன் ஒவ்வொரு உறுப்பும் சிலவற்றின் உருவமாகவும் X இலிருந்து ஒரே உறுப்புகளாகவும் இருந்தால், அதாவது. Vy € f(X) = Y E!x € X: f(x) = y.

உண்மையில், செயல்பாடு / இந்த வழக்கில் X மற்றும் Y செட்களுக்கு இடையில் ஒருவருக்கு ஒரு கடிதத்தை நிறுவுகிறது, எனவே இது பெரும்பாலும் ஒன்றுக்கு ஒன்று செயல்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது. வெளிப்படையாக, ஒரு செயல்பாடு / அது உட்செலுத்துதல் மற்றும் surjective ஆகிய இரண்டும் இருந்தால் மட்டுமே அது இருமுனையமாகும். இந்த வழக்கில், அம்புகள் (படம். 2.4) X இலிருந்து ஒவ்வொரு தனிமத்தையும் Y இலிருந்து ஒவ்வொரு உறுப்புடன் ஜோடிகளாக இணைக்கிறது. மேலும், X இலிருந்து எந்த இரண்டு உறுப்புகளையும் Y இலிருந்து அதே உறுப்புடன் இணைக்க முடியாது, ஏனெனில் / என்பது ஊசி, மற்றும் மேப்பிங்கின் வரையறை 2.1 இல் உள்ள படத்தின் தனித்தன்மையின் காரணமாக, X இலிருந்து ஒரே உறுப்புடன் Y இலிருந்து எந்த இரண்டு கூறுகளையும் அம்புகளால் இணைக்க முடியாது. X செயல்பாட்டின் களமாக இருப்பதால், X இன் ஒவ்வொரு உறுப்பும் ஜோடிவரிசை இணைப்பில் பங்கேற்கிறது. இறுதியாக, Y இலிருந்து ஒவ்வொரு உறுப்பும் ஜோடிகளில் ஒன்றில் பங்கேற்கிறது, ஏனெனில் / என்பது surjective. இந்த வழக்கில் X மற்றும் Y இன் பாத்திரங்கள் முற்றிலும் ஒரே மாதிரியாகத் தோன்றுகின்றன, மேலும் அனைத்து அம்புகளையும் திரும்பப் பெற்றால் (படம் 2.5), நாம் வேறு மேப்பிங் அல்லது வேறு செயல்பாடு d) ஐப் பெறுகிறோம், இது உட்செலுத்துதல் மற்றும் surjective ஆகும். அத்தகைய தலைகீழ் மாற்றத்தை அனுமதிக்கும் மேப்பிங்ஸ் (செயல்பாடுகள்) பின்வருவனவற்றில் முக்கிய பங்கு வகிக்கும்.

ஒரு குறிப்பிட்ட வழக்கில், X மற்றும் Y தொகுப்புகள் (X = Y) இணையலாம். பின்னர் பைஜெக்டிவ் செயல்பாடு X தொகுப்பை அதன் மீது வரைபடமாக்கும். ஒரு தொகுப்பு தன்னைத்தானே எதிர்கொள்வது உருமாற்றம் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது. 2.3 தலைகீழ் மேப்பிங் லெட் /: எக்ஸ் -? Y என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட பைஜெக்ஷன் மற்றும் y € Y என்று கொள்வோம். /(r) = y போன்ற ஒரே உறுப்பு x € Xஐ /_1(y) ஆல் குறிப்போம். இவ்வாறு நாம் சில மேப்பிங் 9: Y Xу ஐ வரையறுக்கிறோம், இது மீண்டும் ஒரு பைஜெக்ஷன் ஆகும். இது தலைகீழ் மேப்பிங் அல்லது / க்கு தலைகீழ் பைஜெக்ஷன் என்று அழைக்கப்படுகிறது. பெரும்பாலும் இது வெறுமனே தலைகீழ் செயல்பாடு என்றும் அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் /"* குறிக்கப்படுகிறது. படம். 2.5 இல், d சார்பு துல்லியமாக / இன் தலைகீழ் ஆகும், அதாவது d = f"1.

பிரச்சனைகளில் தீர்வுக்கான எடுத்துக்காட்டுகள்

மேப்பிங்ஸ் (செயல்பாடுகள்) / மற்றும் ஒன்றுக்கொன்று நேர்மாறானது. ஒரு சார்பு பைஜெக்ஷன் இல்லை என்றால், அதன் தலைகீழ் செயல்பாடு இல்லை என்பது தெளிவாகிறது. உண்மையில், / இன்ஜெக்டிவ் இல்லை என்றால், சில உறுப்பு y € Y ஆனது X தொகுப்பிலிருந்து x பல உறுப்புகளுடன் ஒத்திருக்கும், இது ஒரு செயல்பாட்டின் வரையறைக்கு முரணானது. / என்பது surjective ஆக இல்லாவிட்டால், Y இல் உள்ள கூறுகள் உள்ளன, இதற்கு X இல் முன் உருவங்கள் இல்லை, அதாவது. இந்த உறுப்புகளுக்கு தலைகீழ் செயல்பாடு வரையறுக்கப்படவில்லை. எடுத்துக்காட்டு 2.1. ஏ. X = Y = R - உண்மையான எண்களின் தொகுப்பு. y = For - 2, i,y € R என்ற சூத்திரத்தால் வரையறுக்கப்பட்ட செயல்பாடு /, ஒரு பைஜெக்ஷன் ஆகும். தலைகீழ் செயல்பாடு x = (y + 2)/3. பி. ஒரு உண்மையான மாறி x இன் உண்மையான செயல்பாடு f(x) = x2 என்பது சர்ஜெக்டிவ் அல்ல, ஏனெனில் Y = R இலிருந்து எதிர்மறை எண்கள் X = K இலிருந்து /: Γ -> Y ஆக உள்ள உறுப்புகளின் படங்கள் அல்ல. எடுத்துக்காட்டு 2.2. A" = R, மற்றும் Y = R+ என்பது நேர்மறை உண்மையான எண்களின் தொகுப்பாக இருக்கட்டும். f(x) = ax, a > 0, af 1 என்பது ஒரு இருமுனையாகும். தலைகீழ் செயல்பாடு Z"1 (Y) = 1°8a ஒய்

• உட்செலுத்துதல், ஊசி மற்றும் பைஜெக்ஷன். தலைகீழ் மேப்பிங். மேப்பிங்கின் கலவை என்பது தொகுப்புகளின் விளைபொருளாகும். காட்சி அட்டவணை. 2.4 மேப்பிங்கின் கலவை f:X-*Y மற்றும் g:Y-*Zy எனில், மேப்பிங் (p:X -+Z, ஒவ்வொரு a: 6 A"க்கும் = சூத்திரத்தால் வரையறுக்கப்படுகிறது, இது மேப்பிங்கின் கலவை (மேற்பார்வை) எனப்படும். (செயல்பாடுகள்) / மற்றும் d> அல்லது ஒரு சிக்கலான செயல்பாடு, மற்றும் rho/ (படம். 2.6) என நியமிக்கப்பட்டுள்ளது.
• எனவே, f-க்கு முன் ஒரு சிக்கலான செயல்பாடு விதியை செயல்படுத்துகிறது: i Apply / first, and then di, i.e. செயல்பாடுகளின் கலவையில் “முன் / நீங்கள் வலதுபுறத்தில் அமைந்துள்ள / செயல்பாட்டுடன் தொடங்க வேண்டும். கலவை படம் என்பதை நினைவில் கொள்க. 2.6 மேப்பிங்குகள் அசோசியேட்டிவ் ஆகும், அதாவது /: X -+Y, d: Y Z மற்றும் h: Z-*H> பிறகு (ஹாக்)of = = ho(gof)i, ho to / வடிவத்தில் எழுதுவது எளிது. இதைப் பின்வருமாறு சரிபார்ப்போம்: எந்த wK "oaicecmee X இல் ஒரு மேப்பிங் 1x -X X, ஒரே மாதிரியாக அழைக்கப்படுகிறது, பெரும்பாலும் idx ஆல் குறிக்கப்படுகிறது மற்றும் Ix(x) = x Vx € A" சூத்திரத்தால் வழங்கப்படுகிறது. அதன் -செயல் அது அது எல்லாவற்றையும் தங்கள் இடங்களில் விட்டுவிடுகிறது.

இவ்வாறு, பைஜெக்ஷன் /: X - + Y க்கு நேர்மாறான ஒரு பைஜெக்ஷன் என்றால், /"1o/ = /x, மற்றும் /o/-1 = /y, இங்கு மற்றும் /y என்பது X மற்றும் Y செட்களின் ஒரே மாதிரியான வரைபடங்கள், மாறாக, மேப்பிங்குகள் f: X ->Y மற்றும் p: Y A" ஆனது gof = Ix மற்றும் fog = /y என இருந்தால், செயல்பாடு / என்பது ஒரு பைஜெக்ஷன் மற்றும் y என்பது அதன் தலைகீழ் பைஜெக்ஷன் ஆகும். வெளிப்படையாக, / என்பது Y இல் A" மற்றும் Z க்கு ஒரு பைஜெக்ஷன், மற்றும் $ என்பது Y இன் பைஜெக்ஷன் ஆகும், பின்னர் gof என்பது X மீது Z இன் பைஜெக்ஷனாக இருக்கும், மேலும் அது தலைகீழ் பைஜெக்ஷனாக இருக்கும். 2.5. தொகுப்புகளின் தயாரிப்பு. வரைபட வரைபடம் இரண்டு பரஸ்பர செங்குத்து ஒருங்கிணைப்பு அச்சுகள், இரண்டு அச்சுகளுக்கும் ஒரே அளவில் இருக்கும் ஒரு செவ்வக கார்ட்டீசியன் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பை விமானத்தில் வரையறுக்கின்றன என்பதை நினைவில் கொள்க (படம். 2.7). ஆய அச்சுகளின் குறுக்குவெட்டின் புள்ளி O ஆனது தோற்றம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஒருங்கிணைப்புகள்.

ஒவ்வொரு புள்ளியும் M ஒரு ஜோடி (i, y) உண்மையான எண்களுடன் தொடர்புபடுத்தப்படலாம், அங்கு x என்பது ஆக்ஸ் ஆக்ஸின் ஆயத்திலுள்ள Mx புள்ளியின் ஒருங்கிணைப்பு ஆகும், மேலும் y என்பது ஆய அச்சில் உள்ள Mu புள்ளியின் ஒருங்கிணைப்பு ஆகும். புள்ளிகள் Mx மற்றும் Mu ஆகியவை முறையே Ox மற்றும் Oy அச்சுகளில் M புள்ளியிலிருந்து கைவிடப்பட்ட செங்குத்துகளின் அடிப்படைகள். எண்கள் x மற்றும் y புள்ளி M இன் ஆயத்தொலைவுகள் (தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில்), மற்றும் x புள்ளி M இன் abscissa என்றும், y என்பது இந்த புள்ளியின் வரிசை என்றும் அழைக்கப்படுகிறது. நிஜ எண்களின் ஒவ்வொரு ஜோடியும் (a, b) a, 6 6R ஆனது விமானத்தில் உள்ள M புள்ளியுடன் ஒத்துள்ளது, இந்த எண்களை அதன் ஆயத்தொலைவுகளாகக் கொண்டுள்ளது. மற்றும் மாறாக, விமானத்தின் ஒவ்வொரு புள்ளி M ஒரு ஜோடி (a, 6) உண்மையான எண்கள் a மற்றும் 6 ஒத்துள்ளது. பொதுவான வழக்கில், ஜோடிகள் (a, b) மற்றும் (6, a) வெவ்வேறு புள்ளிகளை வரையறுக்கின்றன, அதாவது. ஜோடியின் பதவியில் a மற்றும் b இரண்டு எண்களில் எது முதலில் வருகிறது என்பது முக்கியம். இவ்வாறு, நாங்கள் ஆர்டர் செய்யப்பட்ட ஜோடியைப் பற்றி பேசுகிறோம். இது சம்பந்தமாக, ஜோடிகள் (a, 6) மற்றும் (6, a) ஒருவருக்கொருவர் சமமாகக் கருதப்படுகின்றன, மேலும் அவை விமானத்தில் ஒரே புள்ளியை வரையறுக்கின்றன, a = 6 மட்டுமே. தலைகீழ் மேப்பிங்.

மேப்பிங்கின் கலவை என்பது தொகுப்புகளின் விளைபொருளாகும். காட்சி அட்டவணை. உண்மையான எண்களின் அனைத்து ஜோடிகளின் தொகுப்பும், அதே போல் விமானத்தில் உள்ள புள்ளிகளின் தொகுப்பும் R2 ஆல் குறிக்கப்படுகிறது. இந்த பதவியானது செட்களின் நேரடி (அல்லது டெக்-ஆர்டோவ்) தயாரிப்புகளின் தொகுப்புக் கோட்பாட்டின் முக்கியமான கருத்துடன் தொடர்புடையது (பெரும்பாலும் அவை தொகுப்புகளின் தயாரிப்பைப் பற்றி பேசுகின்றன). வரையறை 2.2. A மற்றும் B ஆகிய செட்களின் பெருக்கமானது சாத்தியமான வரிசைப்படுத்தப்பட்ட ஜோடிகளின் (x, y) தொகுப்பான Ax B ஆகும், இதில் முதல் உறுப்பு A இலிருந்தும் இரண்டாவது B இலிருந்தும் எடுக்கப்படுகிறது, இதனால் இரண்டு ஜோடிகளின் சமத்துவம் (x, y) மற்றும் (&", y") என்பது நிர்ணயிக்கப்பட்ட நிபந்தனைகள் x = x" மற்றும் y = y7. ஜோடிகள் (i, y) மற்றும் (y, x) xy எனில் வேறுபட்டதாகக் கருதப்படும். A மற்றும் செட்களை அமைக்கும்போது இது மிகவும் முக்கியமானது. B ஒத்துப்போகிறது.எனவே, பொது வழக்கில் A x B f B x A, அதாவது தன்னிச்சையான தொகுப்புகளின் பலன் மாற்றத்தக்கது அல்ல, ஆனால் இது யூனியன், குறுக்குவெட்டு மற்றும் தொகுப்புகளின் வேறுபாடு ஆகியவற்றைப் பொறுத்து விநியோகிக்கப்படுகிறது: இதில் பெயரிடப்பட்ட மூன்றில் ஒன்றைக் குறிக்கிறது. செயல்பாடுகள்.செட்களின் தயாரிப்பு இரண்டு செட்களில் சுட்டிக்காட்டப்பட்ட செயல்பாடுகளிலிருந்து கணிசமாக வேறுபடுகிறது. இந்த செயல்பாடுகளைச் செய்வதன் விளைவாக, அசல் தொகுப்புகளில் ஒன்று அல்லது இரண்டையும் சேர்ந்த கூறுகள் (அது காலியாக இல்லை என்றால்) ஒரு தொகுப்பாகும். தொகுப்புகள் புதிய தொகுப்பைச் சேர்ந்தவை மற்றும் அசல் தொகுப்புகளின் கூறுகளுடன் ஒப்பிடும்போது வேறு வகையான பொருட்களைக் குறிக்கின்றன. வரையறை 2.2 போன்றது

இரண்டு தொகுப்புகளுக்கு மேல் உள்ள தயாரிப்பு என்ற கருத்தை நாம் அறிமுகப்படுத்தலாம். தொகுப்புகள் (A x B) x C மற்றும் A*x (B x C) ஆகியவை அடையாளம் காணப்பட்டு, A x B x C எனக் குறிக்கப்படுகின்றன. படைப்புகள் ஆ ஆ ஆ ஆ ஆ ஆ ஆ, முதலியன. ஒரு விதியாக, A2, A3 போன்றவற்றால் குறிக்கப்படுகிறது. வெளிப்படையாக, விமானம் R2 என்பது உண்மையான எண்களின் தொகுப்பின் இரண்டு நகல்களின் தயாரிப்பு R x R ஆகக் கருதப்படலாம் (எனவே விமானத்தின் புள்ளிகளின் தொகுப்பை எண் கோட்டில் உள்ள இரண்டு புள்ளிகளின் தொகுப்பாகக் குறிப்பிடலாம்). வடிவியல் (முப்பரிமாண) இடத்தில் உள்ள புள்ளிகளின் தொகுப்பு, R3 எனக் குறிக்கப்படும் எண் வரிசையில் உள்ள புள்ளிகளின் தொகுப்பின் மூன்று நகல்களின் தயாரிப்பு R x R x R உடன் ஒத்துள்ளது.

• நிஜ எண்களின் n தொகுப்புகளின் பெருக்கல் Rn ஆல் குறிக்கப்படுகிறது. இந்தத் தொகுப்பு n நிஜ எண்கள் X2) xn £ R இன் சாத்தியமான அனைத்து சேகரிப்புகளையும் (xj, X2, xn) பிரதிபலிக்கிறது, மேலும் Rn இலிருந்து x* எந்தப் புள்ளியும் உண்மையான எண்களின் xn £ K* தொகுப்பாகும் (xj, x, x*)
• n தன்னிச்சையான தொகுப்புகளின் தயாரிப்பு என்பது n (பொதுவாக பன்முகத்தன்மை கொண்ட) தனிமங்களின் வரிசைப்படுத்தப்பட்ட தொகுப்புகளின் தொகுப்பாகும். அத்தகைய தொகுப்புகளுக்கு, tuple அல்லது n-ka என்ற பெயர்கள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன ("என்கா" என்று உச்சரிக்கப்படுகிறது) எடுத்துக்காட்டு 2.3. A = (1, 2) மற்றும் B = (1, 2) எனலாம். பின்னர் A x B தொகுப்பை அடையாளம் காணலாம். விமானம் R2 இன் நான்கு புள்ளிகள், இந்த தொகுப்பின் கூறுகளை பட்டியலிடும்போது அவற்றின் ஆயத்தொலைவுகள் குறிக்கப்படுகின்றன, C = (1,2) மற்றும் D = (3,4), பின்னர் எடுத்துக்காட்டு 2.4 பின்னர் E செட்களின் வடிவியல் விளக்கம் x F மற்றும் F x E ஆகியவை படம் 2.8 இல் வழங்கப்பட்டுள்ளன.
• அத்தகைய தொகுப்பு மேப்பிங் f இன் வரைபடம் (அல்லது செயல்பாட்டின் i*" வரைபடம் என்று அழைக்கப்படுகிறது - எடுத்துக்காட்டு 2.5. XCR மற்றும் Y = K வழக்கில், ஒவ்வொரு ஆர்டர் ஜோடியும் விமானம் R2 இல் உள்ள ஒரு புள்ளியின் ஆயங்களை குறிப்பிடுகிறது. X என்பது எண் வரி R இன் இடைவெளியாகும், பின்னர் செயல்பாட்டின் வரைபடம் சில வரிகளைக் குறிக்கும் (படம். 2.9) எடுத்துக்காட்டு 2.6 XCR2 மற்றும் Y = R உடன் செயல்பாட்டின் வரைபடம் R3 இல் குறிப்பிட்ட புள்ளிகளின் தொகுப்பாகும் என்பது தெளிவாகிறது. , இது ஒரு குறிப்பிட்ட மேற்பரப்பைக் குறிக்கும் (படம் 2.10).

X C R, மற்றும் Y = R2 எனில், செயல்பாட்டின் வரைபடமும் R3 இல் உள்ள புள்ளிகளின் தொகுப்பாகும், இது x = const என்ற ஒரு புள்ளியில் M என்ற மூன்று ஆயங்களுடன் x) yi, y2 ( படம் 2.11) . # செயல்பாட்டு வரைபடங்களின் அனைத்து குறிப்பிடப்பட்ட எடுத்துக்காட்டுகளும் கணித பகுப்பாய்வின் மிக முக்கியமான பொருள்கள், மேலும் எதிர்காலத்தில் அவை விரிவாக விவாதிக்கப்படும்.