வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் ஐந்தாவது எண்ணின் விகிதம். வடிவியல் முன்னேற்றம் - அறிவு ஹைப்பர் மார்க்கெட். சலிப்பான மற்றும் நிலையான வரிசை

கணிதம் என்றால் என்னமக்கள் இயற்கையையும் தங்களையும் கட்டுப்படுத்துகிறார்கள்.

சோவியத் கணிதவியலாளர், கல்வியாளர் ஏ.என். கோல்மோகோரோவ்

வடிவியல் முன்னேற்றம்.

கணிதத்தில் நுழைவுத் தேர்வுகளில் எண்கணித முன்னேற்றங்களில் உள்ள சிக்கல்களுடன், வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் கருத்து தொடர்பான சிக்கல்களும் பொதுவானவை. இத்தகைய சிக்கல்களை வெற்றிகரமாக தீர்க்க, நீங்கள் வடிவியல் முன்னேற்றங்களின் பண்புகளை அறிந்து கொள்ள வேண்டும் மற்றும் அவற்றைப் பயன்படுத்துவதில் நல்ல திறன்களைக் கொண்டிருக்க வேண்டும்.

இந்த கட்டுரை வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் அடிப்படை பண்புகளை வழங்குவதற்கு அர்ப்பணிக்கப்பட்டுள்ளது. வழக்கமான சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டுகளும் இங்கே கொடுக்கப்பட்டுள்ளன., கணிதத்தில் நுழைவுத் தேர்வுகளின் பணிகளில் இருந்து கடன் வாங்கப்பட்டது.

முதலில் வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் அடிப்படை பண்புகளை கவனிப்போம் மற்றும் மிக முக்கியமான சூத்திரங்கள் மற்றும் அறிக்கைகளை நினைவுபடுத்துவோம், இந்த கருத்துடன் தொடர்புடையது.

வரையறை.ஒவ்வொரு எண்ணும், இரண்டாவது எண்ணிலிருந்து தொடங்கி, முந்தைய எண்ணுக்கு சமமாக, அதே எண்ணால் பெருக்கப்பட்டால், ஒரு எண் வரிசை வடிவியல் முன்னேற்றம் எனப்படும். எண் ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் வகுத்தல் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

வடிவியல் முன்னேற்றத்திற்குசூத்திரங்கள் செல்லுபடியாகும்

, (1)

எங்கே . ஃபார்முலா (1) வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் பொதுச் சொல்லின் சூத்திரம் என்று அழைக்கப்படுகிறது, மேலும் சூத்திரம் (2) வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் முக்கிய சொத்தை குறிக்கிறது: முன்னேற்றத்தின் ஒவ்வொரு காலமும் அதன் அண்டை சொற்களின் வடிவியல் சராசரியுடன் ஒத்துப்போகிறது.

குறிப்பு, இந்தச் சொத்தின் காரணமாகவே, கேள்விக்குரிய முன்னேற்றம் "வடிவியல்" என்று அழைக்கப்படுகிறது.

மேலே உள்ள சூத்திரங்கள் (1) மற்றும் (2) பின்வருமாறு பொதுமைப்படுத்தப்பட்டுள்ளன:

, (3)

தொகையை கணக்கிடமுதலில் ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் உறுப்பினர்கள்சூத்திரம் பொருந்தும்

நாம் குறிப்பது என்றால், பின்னர்

எங்கே . , சூத்திரம் (6) என்பது சூத்திரத்தின் (5) பொதுமைப்படுத்தலாகும்.

வழக்கில் எப்போது மற்றும் வடிவியல் முன்னேற்றம்முடிவில்லாமல் குறைந்து வருகிறது. தொகையை கணக்கிடஎல்லையற்ற குறையும் வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் அனைத்து விதிமுறைகளிலும், சூத்திரம் பயன்படுத்தப்படுகிறது

. (7)

உதாரணத்திற்கு , சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி (7) காட்டலாம், என்ன

எங்கே . இந்த சமத்துவங்கள் சூத்திரம் (7) இலிருந்து , (முதல் சமத்துவம்) மற்றும் , (இரண்டாவது சமத்துவம்) என்ற நிபந்தனையின் கீழ் பெறப்படுகின்றன.

தேற்றம்.என்றால், பின்னர்

ஆதாரம். என்றால், பின்னர்

தேற்றம் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

"வடிவியல் முன்னேற்றம்" என்ற தலைப்பில் சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டுகளைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

எடுத்துக்காட்டு 1.கொடுக்கப்பட்டது: , மற்றும் . கண்டுபிடி .

தீர்வு.நாம் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தினால் (5), பிறகு

பதில்: .

உதாரணம் 2.இருக்கட்டும். கண்டுபிடி .

தீர்வு.இருந்து மற்றும் , நாம் சூத்திரங்களை (5), (6) பயன்படுத்துகிறோம் மற்றும் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைப் பெறுகிறோம்

அமைப்பின் இரண்டாவது சமன்பாடு (9) முதல் ஆல் வகுக்கப்பட்டால், பின்னர் அல்லது. இதிலிருந்து இது பின்வருமாறு . இரண்டு நிகழ்வுகளைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

1. என்றால், பின்னர் கணினியின் முதல் சமன்பாட்டிலிருந்து (9) நம்மிடம் உள்ளது.

2. என்றால் , பிறகு .

எடுத்துக்காட்டு 3.விடு , மற்றும் . கண்டுபிடி .

தீர்வு.சூத்திரத்தில் இருந்து (2) அது பின்வருமாறு அல்லது . முதல் , பின்னர் அல்லது .

நிபந்தனையின்படி. எனினும், எனவே. மற்றும் பின்னர் இங்கே சமன்பாடுகளின் அமைப்பு உள்ளது

கணினியின் இரண்டாவது சமன்பாடு முதலில் வகுக்கப்பட்டால், அல்லது .

ஏனெனில், சமன்பாடு ஒரு தனித்துவமான பொருத்தமான மூலத்தைக் கொண்டுள்ளது. இந்த வழக்கில், இது அமைப்பின் முதல் சமன்பாட்டிலிருந்து பின்வருமாறு.

கணக்கு சூத்திரம் (7) எடுத்து, நாங்கள் பெறுகிறோம்.

பதில்: .

எடுத்துக்காட்டு 4.கொடுக்கப்பட்டது: மற்றும் . கண்டுபிடி .

தீர்வு.அப்போதிருந்து.

முதல், பின்னர் அல்லது

சூத்திரத்தின் படி (2) எங்களிடம் உள்ளது. இது சம்பந்தமாக, சமத்துவத்திலிருந்து (10) நாம் பெறுகிறோம் அல்லது .

இருப்பினும், நிபந்தனையின்படி, எனவே.

உதாரணம் 5.என்பது தெரிந்ததே. கண்டுபிடி .

தீர்வு. தேற்றத்தின்படி, நமக்கு இரண்டு சமத்துவங்கள் உள்ளன

முதல் , பின்னர் அல்லது . ஏனெனில் , அப்போது .

பதில்: .

எடுத்துக்காட்டு 6.கொடுக்கப்பட்டது: மற்றும் . கண்டுபிடி .

தீர்வு.கணக்கு சூத்திரம் (5) எடுத்து, நாங்கள் பெறுகிறோம்

அப்போதிருந்து. முதல் , மற்றும் , பின்னர் .

எடுத்துக்காட்டு 7.இருக்கட்டும். கண்டுபிடி .

தீர்வு.சூத்திரம் (1) படி நாம் எழுதலாம்

எனவே, எங்களிடம் உள்ளது அல்லது . அது அறியப்படுகிறது மற்றும் , எனவே மற்றும் .

பதில்: .

எடுத்துக்காட்டு 8.ஒரு எல்லையற்ற குறையும் வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் வகுப்பினைக் கண்டறிக

மற்றும் .

தீர்வு. சூத்திரம் (7) இலிருந்து பின்வருமாறுமற்றும் . இங்கிருந்து மற்றும் சிக்கலின் நிலைமைகளிலிருந்து நாம் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைப் பெறுகிறோம்

கணினியின் முதல் சமன்பாடு சதுரமாக இருந்தால், பின்னர் வரும் சமன்பாட்டை இரண்டாவது சமன்பாட்டால் வகுக்கவும், பிறகு நாம் பெறுவோம்

அல்லது .

பதில்: .

எடுத்துக்காட்டு 9.வரிசை , ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றமாக இருக்கும் அனைத்து மதிப்புகளையும் கண்டறியவும்.

தீர்வு.விடு , மற்றும் . வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் முக்கிய சொத்தை வரையறுக்கும் சூத்திரம் (2) படி, நாம் எழுதலாம் அல்லது .

இங்கிருந்து நாம் இருபடி சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம், யாருடைய வேர்கள்மற்றும் .

சரிபார்ப்போம்: என்றால், பின்னர் , மற்றும்; என்றால் , பின்னர் , மற்றும் .

முதல் வழக்கில் எங்களிடம் உள்ளதுமற்றும் , மற்றும் இரண்டாவது - மற்றும் .

பதில்:,.

எடுத்துக்காட்டு 10.சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்

, (11)

எங்கே மற்றும்.

தீர்வு. சமன்பாட்டின் இடது பக்கம் (11) என்பது எல்லையற்ற குறையும் வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் கூட்டுத்தொகையாகும், இதில் மற்றும் , உட்பட்டது: மற்றும் .

சூத்திரம் (7) இலிருந்து பின்வருமாறு, என்ன . இது சம்பந்தமாக, சமன்பாடு (11) வடிவம் எடுக்கிறதுஅல்லது . பொருத்தமான வேர் இருபடி சமன்பாடு ஆகும்

பதில்: .

எடுத்துக்காட்டு 11.பி நேர்மறை எண்களின் வரிசைஒரு எண்கணித முன்னேற்றத்தை உருவாக்குகிறது, ஏ - வடிவியல் முன்னேற்றம், அதற்கும் என்ன சம்பந்தம் . கண்டுபிடி .

தீர்வு.ஏனெனில் எண்கணித வரிசை, அந்த (எண்கணித முன்னேற்றத்தின் முக்கிய சொத்து). ஏனெனில், பின்னர் அல்லது. இது குறிக்கிறது, வடிவியல் முன்னேற்றத்திற்கு வடிவம் உள்ளது. சூத்திரத்தின் படி (2), பின்னர் அதை எழுதுகிறோம்.

முதல் மற்றும் , பின்னர் . இந்த வழக்கில், வெளிப்பாடுவடிவம் எடுக்கிறது அல்லது. நிபந்தனையின்படி, எனவே Eq இலிருந்து.பரிசீலனையில் உள்ள பிரச்சினைக்கு ஒரு தனித்துவமான தீர்வைப் பெறுகிறோம், அதாவது .

பதில்: .

எடுத்துக்காட்டு 12.தொகையைக் கணக்கிடு

. (12)

தீர்வு. சமத்துவத்தின் இரு பக்கங்களையும் (12) 5 ஆல் பெருக்கி பெறவும்

விளைந்த வெளிப்பாட்டிலிருந்து (12) கழித்தால், அந்த

அல்லது .

கணக்கிட, மதிப்புகளை சூத்திரத்தில் (7) மாற்றுவோம் மற்றும் பெறுவோம். அப்போதிருந்து.

பதில்: .

நுழைவுத் தேர்வுகளுக்குத் தயாராகும் போது விண்ணப்பதாரர்களுக்கு இங்கே கொடுக்கப்பட்டுள்ள சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள் பயனுள்ளதாக இருக்கும். சிக்கலைத் தீர்க்கும் முறைகள் பற்றிய ஆழமான ஆய்வுக்கு, வடிவியல் முன்னேற்றத்துடன் தொடர்புடையது, பரிந்துரைக்கப்பட்ட இலக்கியங்களின் பட்டியலிலிருந்து நீங்கள் பயிற்சிகளைப் பயன்படுத்தலாம்.

1. கல்லூரிகளுக்கு விண்ணப்பிப்பவர்களுக்கு கணிதத்தில் உள்ள சிக்கல்களின் தொகுப்பு / எட். எம்.ஐ. ஸ்கானாவி. - எம்.: மிர் மற்றும் கல்வி, 2013. - 608 பக்.

2. சுப்ருன் வி.பி. உயர்நிலைப் பள்ளி மாணவர்களுக்கான கணிதம்: பள்ளி பாடத்திட்டத்தின் கூடுதல் பிரிவுகள். – எம்.: லெனாண்ட் / யுஆர்எஸ்எஸ், 2014. - 216 பக்.

3. மெடின்ஸ்கி எம்.எம். சிக்கல்கள் மற்றும் பயிற்சிகளில் அடிப்படைக் கணிதத்தின் முழுமையான பாடநெறி. புத்தகம் 2: எண் வரிசைகள் மற்றும் முன்னேற்றங்கள். - எம்.: எடிடஸ், 2015. – 208 பக்.

இன்னும் கேள்விகள் உள்ளதா?

ஆசிரியரின் உதவியைப் பெற, பதிவு செய்யவும்.

இணையதளத்தில், உள்ளடக்கத்தை முழுமையாகவோ அல்லது பகுதியாகவோ நகலெடுக்கும்போது, ​​மூலத்திற்கான இணைப்பு தேவை.

எண்கணிதம் மற்றும் வடிவியல் முன்னேற்றங்கள்

தத்துவார்த்த தகவல்

தத்துவார்த்த தகவல்

	எண்கணித முன்னேற்றம்	வடிவியல் முன்னேற்றம்
வரையறை	எண்கணித முன்னேற்றம் ஒருஒவ்வொரு உறுப்பினரும், இரண்டாவது முதல் தொடங்கி, அதே எண்ணில் சேர்க்கப்பட்ட முந்தைய உறுப்பினருக்கு சமமாக இருக்கும் ஒரு வரிசை ஈ (ஈ- முன்னேற்ற வேறுபாடு)	வடிவியல் முன்னேற்றம் b nபூஜ்ஜியம் அல்லாத எண்களின் வரிசையாகும், அதன் ஒவ்வொரு காலமும், இரண்டாவதிலிருந்து தொடங்கி, அதே எண்ணால் பெருக்கப்படும் முந்தைய சொல்லுக்கு சமம் கே (கே- முன்னேற்றத்தின் வகுத்தல்)
மறுநிகழ்வு சூத்திரம்	எந்த இயற்கைக்கும் n a n + 1 = a n + d	எந்த இயற்கைக்கும் n b n + 1 = b n ∙ q, b n ≠ 0
ஃபார்முலா n வது கால	a n = a 1 + d (n – 1)	b n = b 1 ∙ q n - 1 , b n ≠ 0
சிறப்பியல்பு சொத்து
முதல் n விதிமுறைகளின் கூட்டுத்தொகை

கருத்துகளுடன் பணிகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்

உடற்பயிற்சி 1

எண்கணித முன்னேற்றத்தில் ( ஒரு) ஒரு 1 = -6, ஒரு 2

n வது கால சூத்திரத்தின் படி:

ஒரு 22 = ஒரு 1+ d (22 - 1) = ஒரு 1+ 21 டி

நிபந்தனையின்படி:

ஒரு 1= -6, பின்னர் ஒரு 22= -6 + 21 டி.

முன்னேற்றங்களின் வேறுபாட்டைக் கண்டறிவது அவசியம்:

ஈ = a 2 - a 1 = -8 – (-6) = -2

ஒரு 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

பதில்: ஒரு 22 = -48.

பணி 2

வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் ஐந்தாவது வார்த்தையைக் கண்டறியவும்: -3; 6;....

1வது முறை (n-term சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி)

வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் n வது கால சூத்திரத்தின் படி:

b 5 = b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.

ஏனெனில் b 1 = -3,

2வது முறை (மீண்டும் வரும் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி)

முன்னேற்றத்தின் வகுத்தல் -2 (q = -2) என்பதால்:

b 3 = 6 ∙ (-2) = -12;

b 4 = -12 ∙ (-2) = 24;

b 5 = 24 ∙ (-2) = -48.

பதில்: b 5 = -48.

பணி 3

எண்கணித முன்னேற்றத்தில் ( a n ) a 74 = 34; ஒரு 76= 156. இந்த முன்னேற்றத்தின் எழுபத்தைந்தாவது காலத்தைக் கண்டறியவும்.

ஒரு எண்கணித முன்னேற்றத்திற்கு, பண்பு பண்பு வடிவம் உள்ளது .

எனவே:

.

தரவை சூத்திரத்தில் மாற்றுவோம்:

பதில்: 95.

பணி 4

எண்கணித முன்னேற்றத்தில் ( a n ) a n= 3n - 4. முதல் பதினேழு சொற்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டறியவும்.

எண்கணித முன்னேற்றத்தின் முதல் n சொற்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டறிய, இரண்டு சூத்திரங்கள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன:

.

இந்த வழக்கில் பயன்படுத்த மிகவும் வசதியானது எது?

நிபந்தனையின்படி, அசல் முன்னேற்றத்தின் n வது காலத்திற்கான சூத்திரம் அறியப்படுகிறது ( ஒரு) ஒரு= 3n - 4. நீங்கள் உடனடியாக கண்டுபிடிக்கலாம் மற்றும் ஒரு 1, மற்றும் ஒரு 16டி கண்டுபிடிக்காமல். எனவே, முதல் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவோம்.

பதில்: 368.

பணி 5

எண்கணித முன்னேற்றத்தில்( ஒரு) ஒரு 1 = -6; ஒரு 2= -8. முன்னேற்றத்தின் இருபத்தி இரண்டாவது வார்த்தையைக் கண்டறியவும்.

n வது கால சூத்திரத்தின் படி:

a 22 = a 1 + d (22 – 1) = ஒரு 1+ 21d.

நிபந்தனையின்படி, என்றால் ஒரு 1= -6, பின்னர் ஒரு 22= -6 + 21d . முன்னேற்றங்களின் வேறுபாட்டைக் கண்டறிவது அவசியம்:

ஈ = a 2 - a 1 = -8 – (-6) = -2

ஒரு 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

பதில்: ஒரு 22 = -48.

பணி 6

வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் பல தொடர்ச்சியான சொற்கள் எழுதப்பட்டுள்ளன:

x ஆல் சுட்டிக்காட்டப்பட்ட முன்னேற்றத்தின் காலத்தைக் கண்டறியவும்.

தீர்க்கும் போது, ​​nth termக்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவோம் b n = b 1 ∙ q n - 1வடிவியல் முன்னேற்றங்களுக்கு. முன்னேற்றத்தின் முதல் சொல். முன்னேற்றம் q இன் வகுப்பினைக் கண்டறிய, நீங்கள் கொடுக்கப்பட்ட முன்னேற்ற விதிமுறைகளில் ஏதேனும் ஒன்றை எடுத்து முந்தையதைக் கொண்டு வகுக்க வேண்டும். எங்கள் எடுத்துக்காட்டில், நாம் எடுத்து பிரிக்கலாம். நாம் q = 3 ஐப் பெறுகிறோம். n க்குப் பதிலாக, சூத்திரத்தில் 3 ஐ மாற்றுகிறோம், ஏனெனில் கொடுக்கப்பட்ட வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் மூன்றாவது காலத்தைக் கண்டறிய வேண்டும்.

கண்டுபிடிக்கப்பட்ட மதிப்புகளை சூத்திரத்தில் மாற்றுவதன் மூலம், நாம் பெறுகிறோம்:

.

பதில்: .

பணி 7

n வது கால சூத்திரத்தால் கொடுக்கப்பட்ட எண்கணித முன்னேற்றங்களிலிருந்து, நிபந்தனை திருப்திகரமான ஒன்றைத் தேர்ந்தெடுக்கவும் ஒரு 27 > 9:

கொடுக்கப்பட்ட நிபந்தனையானது முன்னேற்றத்தின் 27வது தவணைக்கு திருப்தியாக இருக்க வேண்டும் என்பதால், நான்கு முன்னேற்றங்களில் ஒவ்வொன்றிலும் nக்கு பதிலாக 27ஐ மாற்றுகிறோம். 4 வது முன்னேற்றத்தில் நாம் பெறுகிறோம்:

.

பதில்: 4.

பணி 8

எண்கணித முன்னேற்றத்தில் ஒரு 1= 3, d = -1.5. சமத்துவமின்மை உள்ள n இன் மிகப்பெரிய மதிப்பைக் குறிப்பிடவும் ஒரு > -6.

ஜியோமெட்ரிக் முன்னேற்றம் என்பது ஒரு எண் வரிசையாகும், இதன் முதல் சொல் பூஜ்ஜியமற்றது, மேலும் ஒவ்வொரு அடுத்தடுத்த காலமும் அதே பூஜ்ஜியமற்ற எண்ணால் பெருக்கப்படும் முந்தைய சொல்லுக்கு சமம்.

வடிவியல் முன்னேற்றம் குறிக்கப்படுகிறது b1,b2,b3, ..., bn, ....

வடிவியல் பிழையின் எந்த காலத்தின் விகிதமும் அதன் முந்தைய காலத்திற்கான அதே எண்ணுக்கு சமமாக இருக்கும், அதாவது, b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = ... = bn/b(n-1) = b( n+1)/bn =…. இது ஒரு எண்கணித முன்னேற்றத்தின் வரையறையிலிருந்து நேரடியாகப் பின்தொடர்கிறது. இந்த எண் வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் வகுத்தல் என்று அழைக்கப்படுகிறது. வழக்கமாக வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் வகுப்பானது q என்ற எழுத்தால் குறிக்கப்படுகிறது.

சலிப்பான மற்றும் நிலையான வரிசை

வடிவியல் முன்னேற்றத்தைக் குறிப்பிடுவதற்கான வழிகளில் ஒன்று, அதன் முதல் கால b1 மற்றும் வடிவியல் பிழையின் வகுப்பினைக் குறிப்பிடுவது q. உதாரணமாக, b1=4, q=-2. இந்த இரண்டு நிபந்தனைகளும் வடிவியல் முன்னேற்றம் 4, -8, 16, -32, ....

q>0 (q என்பது 1க்கு சமம் இல்லை) என்றால், முன்னேற்றம் சலிப்பான வரிசை.எடுத்துக்காட்டாக, வரிசை, 2, 4,8,16,32, ... என்பது சலிப்பாக அதிகரிக்கும் வரிசை (b1=2, q=2).

வடிவியல் பிழையில் உள்ள வகுத்தல் q=1 எனில், வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் அனைத்து விதிமுறைகளும் ஒன்றுக்கொன்று சமமாக இருக்கும். அத்தகைய சந்தர்ப்பங்களில் அவர்கள் முன்னேற்றம் என்று கூறுகிறார்கள் நிலையான வரிசை.

வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் nவது காலத்திற்கான சூத்திரம்

ஒரு எண் வரிசை (bn) ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றமாக இருக்க, அதன் ஒவ்வொரு உறுப்பினரும், இரண்டாவது முதல், அண்டை உறுப்பினர்களின் வடிவியல் சராசரியாக இருப்பது அவசியம். அதாவது, பின்வரும் சமன்பாட்டை பூர்த்தி செய்வது அவசியம்
(b(n+1))^2 = bn * b(n+2), எந்த n>0க்கும், n என்பது N இயற்கை எண்களின் தொகுப்பைச் சேர்ந்தது.

வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் nவது காலத்திற்கான சூத்திரம்:

bn=b1*q^(n-1),

n என்பது N இயற்கை எண்களின் தொகுப்பைச் சேர்ந்தது.

வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் முதல் n சொற்களின் கூட்டுத்தொகைக்கான சூத்திரம்

வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் முதல் n சொற்களின் கூட்டுத்தொகைக்கான சூத்திரம் வடிவம் கொண்டது:

Sn = (bn*q - b1)/(q-1), q என்பது 1க்கு சமமாக இருக்காது.

ஒரு எளிய உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்:

வடிவியல் முன்னேற்றத்தில் b1=6, q=3, n=8 Sn ஐக் கண்டறியவும்.

S8ஐக் கண்டறிய, வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் முதல் n சொற்களின் கூட்டுத்தொகைக்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்.

S8= (6*(3^8 -1))/(3-1) = 19,680.

ஜியோமெட்ரிக் முன்னேற்றம் என்பது ஒரு புதிய வகை எண் வரிசையாகும், அதை நாம் தெரிந்துகொள்ளப்போகிறோம். வெற்றிகரமான டேட்டிங்கிற்கு, குறைந்தபட்சம் தெரிந்துகொள்வதும் புரிந்துகொள்வதும் வலிக்காது. பின்னர் வடிவியல் முன்னேற்றத்தில் எந்த பிரச்சனையும் இருக்காது.)

வடிவியல் முன்னேற்றம் என்றால் என்ன? வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் கருத்து.

நாங்கள் வழக்கம் போல், அடிப்படைகளுடன் சுற்றுப்பயணத்தைத் தொடங்குகிறோம். எண்களின் முடிக்கப்படாத வரிசையை எழுதுகிறேன்:

1, 10, 100, 1000, 10000, …

பேட்டர்னைக் கண்டறிந்து அடுத்து எந்த எண்கள் வரும் என்று சொல்ல முடியுமா? மிளகு தெளிவாக உள்ளது, பின்னர் எண்கள் 100,000, 1,000,000 மற்றும் பல வரும். அதிக மன முயற்சி இல்லாமல், எல்லாம் தெளிவாக உள்ளது, இல்லையா?)

சரி. மற்றொரு உதாரணம். நான் இந்த வரிசையை எழுதுகிறேன்:

1, 2, 4, 8, 16, …

16 என்ற எண்ணையும் பெயரையும் அடுத்து எந்த எண்கள் வரும் என்று சொல்ல முடியுமா? எட்டாவதுவரிசை உறுப்பினர்? அது 128 என்ற எண்ணாக இருக்கும் என்று நீங்கள் கண்டுபிடித்திருந்தால், மிகவும் நல்லது. எனவே, புரிந்து கொள்வதில் பாதி போர் உள்ளது உணர்வுமற்றும் முக்கிய புள்ளிகள்வடிவியல் முன்னேற்றம் ஏற்கனவே செய்யப்பட்டுள்ளது. நீங்கள் மேலும் வளரலாம்.)

இப்போது நாம் உணர்வுகளிலிருந்து கடுமையான கணிதத்திற்கு மீண்டும் நகர்கிறோம்.

வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் முக்கிய புள்ளிகள்.

முக்கிய புள்ளி #1

வடிவியல் முன்னேற்றம் ஆகும் எண்களின் வரிசை.முன்னேற்றமும் அப்படித்தான். ஆடம்பரமாக எதுவும் இல்லை. இந்த வரிசை மட்டுமே ஏற்பாடு செய்யப்பட்டுள்ளது வித்தியாசமாக.எனவே, இயற்கையாகவே, இதற்கு வேறு பெயர் உண்டு, ஆம்...

முக்கிய புள்ளி #2

இரண்டாவது முக்கிய புள்ளியுடன், கேள்வி தந்திரமானதாக இருக்கும். கொஞ்சம் பின்னோக்கிச் சென்று எண்கணித முன்னேற்றத்தின் முக்கியப் பண்புகளை நினைவில் கொள்வோம். அது இங்கே உள்ளது: ஒவ்வொரு உறுப்பினரும் முந்தையதை விட வேறுபட்டவர்கள் அதே அளவு.

ஜியோமெட்ரிக் முன்னேற்றத்திற்கு இதே போன்ற முக்கிய சொத்தை உருவாக்க முடியுமா? கொஞ்சம் யோசியுங்கள்... கொடுக்கப்பட்டுள்ள உதாரணங்களை கூர்ந்து கவனியுங்கள். நீங்கள் அதை யூகித்தீர்களா? ஆம்! வடிவியல் முன்னேற்றத்தில் (ஏதேனும்!) அதன் ஒவ்வொரு உறுப்பினர்களும் முந்தையவற்றிலிருந்து வேறுபடுகிறார்கள் அதே எண்ணிக்கையில்.எப்போதும்!

முதல் எடுத்துக்காட்டில், இந்த எண் பத்து. வரிசையின் எந்த உறுப்பினரை நீங்கள் எடுத்தாலும், அது முந்தையதை விட அதிகமாக இருக்கும் பத்து மடங்கு.

இரண்டாவது எடுத்துக்காட்டில் இது இரண்டு: ஒவ்வொரு காலமும் முந்தையதை விட பெரியது இரண்டு முறை.

இந்த முக்கிய புள்ளிதான் வடிவியல் முன்னேற்றம் எண்கணித முன்னேற்றத்திலிருந்து வேறுபடுகிறது. ஒரு எண்கணித முன்னேற்றத்தில், ஒவ்வொரு அடுத்தடுத்த காலமும் பெறப்படுகிறது சேர்ப்பதன் மூலம்முந்தைய காலத்தின் அதே மதிப்பு. மற்றும் இங்கே - பெருக்கல்முந்தைய கால அளவு அதே அளவு. அதுதான் முழு வித்தியாசம்.)

முக்கிய புள்ளி #3

இந்த முக்கிய புள்ளி எண்கணித முன்னேற்றத்திற்கு முற்றிலும் ஒத்ததாக உள்ளது. அதாவது: வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் ஒவ்வொரு உறுப்பினரும் அதன் இடத்தில் நிற்கிறார்கள்.எல்லாமே எண்கணித முன்னேற்றத்தில் உள்ளதைப் போலவே உள்ளது மற்றும் கருத்துகள் தேவையற்றவை என்று நான் நினைக்கிறேன். முதல் பதம் உள்ளது, நூறாவது முதல் உள்ளது, முதலியன. குறைந்தபட்சம் இரண்டு சொற்களை மாற்றுவோம் - முறை (மற்றும் அதனுடன் வடிவியல் முன்னேற்றம்) மறைந்துவிடும். எஞ்சியிருப்பது எந்த தர்க்கமும் இல்லாத எண்களின் வரிசை மட்டுமே.

அவ்வளவுதான். வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் முழுப் புள்ளியும் இதுதான்.

விதிமுறைகள் மற்றும் பதவிகள்.

ஆனால் இப்போது, ​​வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் பொருள் மற்றும் முக்கிய புள்ளிகளைப் புரிந்துகொண்டு, நாம் கோட்பாட்டிற்கு செல்லலாம். இல்லையெனில், அர்த்தம் புரியாமல் ஒரு கோட்பாடு என்ன, இல்லையா?

வடிவியல் முன்னேற்றத்தை எவ்வாறு குறிப்பது?

வடிவியல் முன்னேற்றம் எவ்வாறு பொதுவான வடிவத்தில் எழுதப்படுகிறது? எந்த பிரச்சினையும் இல்லை! முன்னேற்றத்தின் ஒவ்வொரு காலமும் ஒரு கடிதமாக எழுதப்பட்டுள்ளது. எண்கணித முன்னேற்றத்திற்கு மட்டுமே, பொதுவாக எழுத்து பயன்படுத்தப்படுகிறது "ஏ", வடிவியல் - கடிதம் "b". உறுப்பினர் எண்வழக்கம் போல், குறிக்கப்படுகிறது கீழே வலதுபுறத்தில் குறியீட்டு. காற்புள்ளிகள் அல்லது அரைப்புள்ளிகளால் பிரிக்கப்பட்ட முன்னேற்றத்தின் உறுப்பினர்களை நாங்கள் பட்டியலிடுகிறோம்.

இது போன்ற:

b 1,பி 2 , பி 3 , பி 4 , பி 5 , பி 6 , …

சுருக்கமாக, இந்த முன்னேற்றம் பின்வருமாறு எழுதப்பட்டுள்ளது: (b n) .

அல்லது இது போன்ற, வரையறுக்கப்பட்ட முன்னேற்றங்களுக்கு:

b 1, b 2, b 3, b 4, b 5, b 6.

b 1, b 2, ..., b 29, b 30.

அல்லது, சுருக்கமாக:

(b n), n=30 .

அது, உண்மையில், அனைத்து பதவி. எல்லாம் ஒன்றுதான், கடிதம் மட்டுமே வேறுபட்டது, ஆம்.) இப்போது நாம் நேரடியாக வரையறைக்கு செல்கிறோம்.

வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் வரையறை.

ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றம் என்பது ஒரு எண் வரிசையாகும், இதில் முதல் சொல் பூஜ்ஜியமற்றது, மேலும் ஒவ்வொரு அடுத்த காலமும் அதே பூஜ்ஜியம் அல்லாத எண்ணால் பெருக்கப்படும் முந்தைய சொல்லுக்கு சமம்.

அதுதான் முழு வரையறை. பெரும்பாலான வார்த்தைகள் மற்றும் சொற்றொடர்கள் உங்களுக்கு தெளிவாகவும் தெரிந்ததாகவும் இருக்கும். நிச்சயமாக, "உங்கள் விரல்களில்" மற்றும் பொதுவாக வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் அர்த்தத்தை நீங்கள் புரிந்து கொண்டால். ஆனால் நான் சிறப்பு கவனம் செலுத்த விரும்பும் சில புதிய சொற்றொடர்களும் உள்ளன.

முதலில், வார்த்தைகள்: "இதில் முதல் உறுப்பினர் பூஜ்யம் அல்லாத".

முதல் காலக்கட்டத்தில் இந்த கட்டுப்பாடு தற்செயலாக அறிமுகப்படுத்தப்படவில்லை. முதல் உறுப்பினரானால் என்ன நடக்கும் என்று நினைக்கிறீர்கள் பி 1 பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்குமா? ஒவ்வொரு காலமும் முந்தைய காலத்தை விட அதிகமாக இருந்தால் இரண்டாவது கால அளவு எதற்கு சமமாக இருக்கும்? அதே எண்ணிக்கையில்?மூன்று முறை சொல்லட்டுமா? பார்ப்போம்... முதல் காலத்தை (அதாவது 0) 3 ஆல் பெருக்கி... பூஜ்ஜியத்தைப் பெறுங்கள்! மூன்றாவது உறுப்பினர் பற்றி என்ன? மேலும் பூஜ்யம்! மேலும் நான்காவது காலமும் பூஜ்யம்தான்! மற்றும் பல…

பூஜ்ஜியங்களின் வரிசையான பேகல்களின் ஒரு பையைப் பெறுகிறோம்:

0, 0, 0, 0, …

நிச்சயமாக, அத்தகைய வரிசைக்கு வாழ்வதற்கான உரிமை உண்டு, ஆனால் அது நடைமுறையில் ஆர்வம் இல்லை. எல்லாம் தெளிவாக உள்ளது. அதில் எந்த உறுப்பினரும் பூஜ்ஜியம். எத்தனை சொற்களின் கூட்டுத்தொகை பூஜ்ஜியமாகும்... அதை வைத்து நீங்கள் என்ன சுவாரஸ்யமான விஷயங்களைச் செய்யலாம்? எதுவும் இல்லை…

பின்வரும் முக்கிய வார்த்தைகள்: "அதே பூஜ்ஜியமற்ற எண்ணால் பெருக்கப்படுகிறது."

இதே எண்ணுக்கு அதன் சொந்த சிறப்புப் பெயரும் உள்ளது - வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் வகுத்தல். பழக ஆரம்பிப்போம்.)

வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் வகுத்தல்.

பேரிக்காய் ஷெல் செய்வது போல் எல்லாம் எளிது.

வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் வகுத்தல் என்பது பூஜ்ஜியமற்ற எண் (அல்லது அளவு) குறிக்கும்எத்தனை முறைமுன்னேற்றத்தின் ஒவ்வொரு காலமும் முந்தையதை விட அதிகம்.

மீண்டும், எண்கணித முன்னேற்றத்தைப் போலவே, இந்த வரையறையில் பார்க்க வேண்டிய முக்கிய சொல் வார்த்தை "மேலும்". வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் ஒவ்வொரு காலமும் பெறப்படுகிறது என்று அர்த்தம் பெருக்கல்இந்த மிகவும் வகுப்பிற்கு முந்தைய உறுப்பினர்.

என்னை விவரிக்க விடு.

கணக்கிட, சொல்லலாம் இரண்டாவதுடிக், எடுக்க வேண்டும் முதலில்உறுப்பினர் மற்றும் பெருக்கிஅது வகுத்தலுக்கு. கணக்கீட்டிற்கு பத்தாவதுடிக், எடுக்க வேண்டும் ஒன்பதாவதுஉறுப்பினர் மற்றும் பெருக்கிஅது வகுத்தலுக்கு.

வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் வகுத்தல் எதுவாகவும் இருக்கலாம். முற்றிலும் யாரேனும்! முழு, பகுதியளவு, நேர்மறை, எதிர்மறை, பகுத்தறிவற்ற - எல்லாம். பூஜ்ஜியத்தைத் தவிர. வரையறையில் உள்ள "பூஜ்ஜியமற்ற" வார்த்தை இதைத்தான் நமக்குச் சொல்கிறது. இந்த வார்த்தை இங்கே ஏன் தேவைப்படுகிறது - அதைப் பற்றி பின்னர்.

வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் வகுத்தல்பெரும்பாலும் கடிதத்தால் குறிக்கப்படுகிறது கே.

அதை எப்படி கண்டுபிடிப்பது கே? எந்த பிரச்சினையும் இல்லை! முன்னேற்றத்தின் எந்த காலத்தையும் நாம் எடுக்க வேண்டும் முந்தைய காலத்தால் வகுக்கவும். பிரிவு என்பது பின்னம். எனவே பெயர் - "முன்னேற்ற வகுத்தல்". வகுத்தல், இது வழக்கமாக ஒரு பின்னத்தில் அமர்ந்திருக்கும், ஆம்...) இருப்பினும், தர்க்கரீதியாக, மதிப்பு கேஅழைக்கப்பட வேண்டும் தனிப்பட்டவடிவியல் முன்னேற்றம், போன்றது வேறுபாடுஎண்கணித முன்னேற்றத்திற்காக. ஆனால் நாங்கள் அழைக்க ஒப்புக்கொண்டோம் வகுக்கும். நாங்கள் சக்கரத்தை மீண்டும் கண்டுபிடிக்க மாட்டோம்.)

எடுத்துக்காட்டாக, அளவை வரையறுப்போம் கேஇந்த வடிவியல் முன்னேற்றத்திற்கு:

2, 6, 18, 54, …

எல்லாம் ஆரம்பநிலை. எடுக்கலாம் ஏதேனும்தொடரிலக்கம். நாங்கள் எதை வேண்டுமானாலும் எடுத்துக்கொள்கிறோம். முதல் ஒன்றைத் தவிர. உதாரணமாக, 18. மற்றும் வகுக்க முந்தைய எண். அதாவது 6 மணிக்கு.

நாங்கள் பெறுகிறோம்:

கே = 18/6 = 3

அவ்வளவுதான். இதுவே சரியான விடை. இந்த வடிவியல் முன்னேற்றத்திற்கு, வகுத்தல் மூன்று.

இப்போது பிரிவைக் கண்டுபிடிப்போம் கேமற்றொரு வடிவியல் முன்னேற்றத்திற்கு. உதாரணமாக, இது:

1, -2, 4, -8, 16, …

எல்லாம் ஒன்றே. உறுப்பினர்களுக்கு என்ன அறிகுறிகள் இருந்தாலும், நாங்கள் இன்னும் எடுத்துக்கொள்கிறோம் ஏதேனும்வரிசையின் எண்ணிக்கை (உதாரணமாக, 16) மற்றும் வகுக்கவும் முந்தைய எண்(அதாவது -8).

நாங்கள் பெறுகிறோம்:

ஈ = 16/(-8) = -2

அவ்வளவுதான்.) இந்த முறை முன்னேற்றத்தின் வகுத்தல் எதிர்மறையாக மாறியது. மைனஸ் இரண்டு. நடக்கும்.)

இப்போது இந்த முன்னேற்றத்தை எடுத்துக் கொள்வோம்:

1, 1/3, 1/9, 1/27, …

மீண்டும், வரிசையில் உள்ள எண்களின் வகையைப் பொருட்படுத்தாமல் (முழு எண்கள், பின்னங்கள், எதிர்மறை, பகுத்தறிவற்றது கூட), நாம் எந்த எண்ணையும் (உதாரணமாக, 1/9) எடுத்து முந்தைய எண்ணால் (1/3) வகுக்கிறோம். பின்னங்களுடன் வேலை செய்வதற்கான விதிகளின்படி, நிச்சயமாக.

நாங்கள் பெறுகிறோம்:

அவ்வளவுதான்.) இங்கே வகுத்தல் பின்னமாக மாறியது: கே = 1/3.

இந்த "முன்னேற்றம்" பற்றி நீங்கள் என்ன நினைக்கிறீர்கள்?

3, 3, 3, 3, 3, …

வெளிப்படையாக இங்கே கே = 1 . முறைப்படி, இதுவும் ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றம், உடன் மட்டுமே ஒரே மாதிரியான உறுப்பினர்கள்.) ஆனால் அத்தகைய முன்னேற்றங்கள் ஆய்வு மற்றும் நடைமுறை பயன்பாட்டிற்கு சுவாரஸ்யமானவை அல்ல. திடமான பூஜ்ஜியங்களுடன் கூடிய முன்னேற்றங்கள் போலவே. எனவே, அவற்றை நாங்கள் கருத்தில் கொள்ள மாட்டோம்.

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, முன்னேற்றத்தின் வகுத்தல் எதுவும் இருக்கலாம் - முழு எண், பின்னம், நேர்மறை, எதிர்மறை - எதுவும்! இது பூஜ்ஜியமாக இருக்க முடியாது. ஏன் என்று யூகிக்க முடியவில்லையா?

சரி, நாம் வகுப்பாக எடுத்துக் கொண்டால் என்ன நடக்கும் என்பதைப் பார்க்க சில குறிப்பிட்ட உதாரணத்தைப் பயன்படுத்துவோம் கேபூஜ்யம்.) உதாரணமாக, நாம் பி 1 = 2 , ஏ கே = 0 . அப்படியென்றால் இரண்டாவது பதவிக்காலம் எதற்குச் சமமாக இருக்கும்?

நாங்கள் எண்ணுகிறோம்:

பி 2 = பி 1 · கே= 2 0 = 0

மூன்றாவது உறுப்பினர் பற்றி என்ன?

பி 3 = பி 2 · கே= 0 0 = 0

வடிவியல் முன்னேற்றங்களின் வகைகள் மற்றும் நடத்தை.

எல்லாம் அதிகமாகவோ அல்லது குறைவாகவோ தெளிவாக இருந்தது: முன்னேற்ற வேறுபாடு என்றால் ஈநேர்மறையானது, பின்னர் முன்னேற்றம் அதிகரிக்கிறது. வேறுபாடு எதிர்மறையாக இருந்தால், முன்னேற்றம் குறைகிறது. இரண்டு விருப்பங்கள் மட்டுமே உள்ளன. மூன்றாவது இல்லை.)

ஆனால் வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் நடத்தையுடன், எல்லாம் மிகவும் சுவாரஸ்யமாகவும் மாறுபட்டதாகவும் இருக்கும்!)

விதிமுறைகள் இங்கே எவ்வாறு நடந்துகொண்டாலும் பரவாயில்லை: அவை அதிகரிக்கின்றன, குறைக்கின்றன, காலவரையின்றி பூஜ்ஜியத்தை அணுகுகின்றன, மேலும் அறிகுறிகளை மாற்றுகின்றன, மாறி மாறி தங்களை "பிளஸ்" ஆகவும் பின்னர் "மைனஸ்" ஆகவும் வீசுகின்றன! இந்த பன்முகத்தன்மையில் நீங்கள் நன்றாக புரிந்து கொள்ள வேண்டும், ஆம்...

அதை கண்டுபிடிக்கலாமா?) எளிமையான வழக்கிலிருந்து ஆரம்பிக்கலாம்.

வகுத்தல் நேர்மறை ( கே >0)

நேர்மறை வகுப்போடு, முதலில், வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் விதிமுறைகள் செல்லலாம் மேலும் முடிவிலி(அதாவது வரம்பு இல்லாமல் அதிகரிக்கும்) மற்றும் உள்ளே செல்லலாம் கழித்தல் முடிவிலி(அதாவது, வரம்பு இல்லாமல் குறையும்). முன்னேற்றங்களின் இந்த நடத்தைக்கு நாங்கள் ஏற்கனவே பழக்கமாகிவிட்டோம்.

உதாரணத்திற்கு:

(b n): 1, 2, 4, 8, 16, …

இங்கே எல்லாம் எளிது. முன்னேற்றத்தின் ஒவ்வொரு காலமும் பெறப்படுகிறது முந்தையதை விட அதிகம். மேலும், ஒவ்வொரு காலமும் மாறிவிடும் பெருக்கல்அன்று முந்தைய உறுப்பினர் நேர்மறைஎண் +2 (அதாவது. கே = 2 ) அத்தகைய முன்னேற்றத்தின் நடத்தை வெளிப்படையானது: முன்னேற்றத்தின் அனைத்து உறுப்பினர்களும் வரம்பில்லாமல் வளர்ந்து, விண்வெளிக்குச் செல்கிறார்கள். மேலும் முடிவிலி...

இப்போது இங்கே முன்னேற்றம்:

(b n): -1, -2, -4, -8, -16, …

இங்கேயும், முன்னேற்றத்தின் ஒவ்வொரு காலமும் பெறப்படுகிறது பெருக்கல்அன்று முந்தைய உறுப்பினர் நேர்மறைஎண் +2. ஆனால் அத்தகைய முன்னேற்றத்தின் நடத்தை முற்றிலும் நேர்மாறானது: முன்னேற்றத்தின் ஒவ்வொரு காலமும் பெறப்படுகிறது முந்தையதை விட குறைவாக, மற்றும் அதன் அனைத்து விதிமுறைகளும் வரம்பில்லாமல் குறைந்து, மைனஸ் முடிவிலிக்கு செல்லும்.

இப்போது சிந்திப்போம்: இந்த இரண்டு முன்னேற்றங்களுக்கும் பொதுவானது என்ன? அது சரி, வகுத்தல்! இங்கும் அங்கும் கே = +2 . நேர்மறை எண்.இரண்டு. மற்றும் இங்கே நடத்தைஇந்த இரண்டு முன்னேற்றங்களும் அடிப்படையில் வேறுபட்டவை! ஏன் என்று யூகிக்க முடியவில்லையா? ஆம்! இது பற்றியது முதல் உறுப்பினர்!அவர்கள் சொல்வது போல், அவர்தான் ட்யூனை அழைக்கிறார்.) நீங்களே பாருங்கள்.

முதல் வழக்கில், முன்னேற்றத்தின் முதல் சொல் நேர்மறை(+1) மற்றும், ஆல் பெருக்குவதன் மூலம் பெறப்பட்ட அனைத்து அடுத்தடுத்த சொற்களும் நேர்மறைவகுக்கும் கே = +2 , கூட இருக்கும் நேர்மறை.

ஆனால் இரண்டாவது வழக்கில், முதல் கால எதிர்மறை(-1) எனவே, முன்னேற்றத்தின் அனைத்து அடுத்தடுத்த விதிமுறைகளும், பெருக்குவதன் மூலம் பெறப்படுகின்றன நேர்மறை கே = +2 , கூட பெறப்படும் எதிர்மறை.ஏனெனில் “மைனஸ்” முதல் “பிளஸ்” வரை எப்போதும் “மைனஸ்” கொடுக்கிறது, ஆம்.)

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, ஒரு எண்கணித முன்னேற்றம் போலல்லாமல், ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றம் சார்ந்து மட்டும் முற்றிலும் வித்தியாசமாக செயல்பட முடியும் வகுப்பிலிருந்துகே, ஆனால் பொறுத்து முதல் உறுப்பினரிடமிருந்து, ஆம்.)

நினைவில் கொள்ளுங்கள்: வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் நடத்தை அதன் முதல் காலத்தால் தனித்துவமாக தீர்மானிக்கப்படுகிறது பி 1 மற்றும் வகுத்தல்கே .

இப்போது நாம் குறைவான பழக்கமான, ஆனால் மிகவும் சுவாரஸ்யமான நிகழ்வுகளை பகுப்பாய்வு செய்யத் தொடங்குகிறோம்!

உதாரணமாக, இந்த வரிசையை எடுத்துக் கொள்வோம்:

(b n): 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, …

இந்த வரிசையும் ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றமே! இந்த முன்னேற்றத்தின் ஒவ்வொரு காலமும் மாறிவிடும் பெருக்கல்முந்தைய உறுப்பினர், அதே எண்ணில். இது வெறும் எண் - பகுதியளவு: கே = +1/2 . அல்லது +0,5 . மேலும் (முக்கியம்!) எண் ஒன்றுக்கும் குறைவாக:கே = 1/2<1.

இந்த வடிவியல் முன்னேற்றம் ஏன் சுவாரஸ்யமானது? அதன் உறுப்பினர்கள் எங்கு செல்கிறார்கள்? பார்ப்போம்:

1/2 = 0,5;

1/4 = 0,25;

1/8 = 0,125;

1/16 = 0,0625;

…….

இங்கே என்ன சுவாரஸ்யமான விஷயங்களை நீங்கள் கவனிக்க முடியும்? முதலாவதாக, முன்னேற்றத்தின் அடிப்படையில் குறைவு உடனடியாக கவனிக்கப்படுகிறது: அதன் ஒவ்வொரு உறுப்பினர்களும் குறைவாகமுந்தையது சரியாக 2 முறை.அல்லது, ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் வரையறையின்படி, ஒவ்வொரு காலமும் மேலும்முந்தைய 1/2 முறை, ஏனெனில் முன்னேற்றம் வகுத்தல் கே = 1/2 . மேலும் ஒன்றுக்குக் குறைவான நேர்மறை எண்ணால் பெருக்கினால், விளைவு பொதுவாக குறைகிறது, ஆம்...

என்ன மேலும்இந்த முன்னேற்றத்தின் நடத்தையில் பார்க்க முடியுமா? அதன் உறுப்பினர்கள் குறைகிறதா? வரம்பற்ற, மைனஸ் இன்ஃபினிட்டிக்கு போகிறதா? இல்லை! அவர்கள் ஒரு சிறப்பு வழியில் மறைந்து விடுகிறார்கள். முதலில் அவை மிக விரைவாக குறைகின்றன, பின்னர் மேலும் மேலும் மெதுவாக. மற்றும் எல்லா நேரத்திலும் இருக்கும் போது நேர்மறை. மிக மிக சிறியதாக இருந்தாலும். மேலும் அவர்கள் எதற்காக பாடுபடுகிறார்கள்? நீங்கள் யூகிக்கவில்லையா? ஆம்! அவர்கள் பூஜ்ஜியத்தை நோக்கி பாடுபடுகிறார்கள்!) மேலும், கவனம் செலுத்துங்கள், நமது முன்னேற்றத்தின் உறுப்பினர்கள் பூஜ்ஜியத்திலிருந்து வந்தவர்கள் அடையவே இல்லை!மட்டுமே அவரை எல்லையில்லாமல் நெருங்குகிறது. இது மிகவும் முக்கியமானது.)

பின்வரும் முன்னேற்றத்தில் இதேபோன்ற நிலை ஏற்படும்:

(b n): -1, -1/2, -1/4, -1/8, -1/16, …

இங்கே பி 1 = -1 , ஏ கே = 1/2 . எல்லாம் ஒன்றுதான், இப்போதுதான் விதிமுறைகள் மறுபுறம், கீழே இருந்து பூஜ்ஜியத்தை அணுகும். எப்பொழுதும் தங்குவது எதிர்மறை.)

அத்தகைய வடிவியல் முன்னேற்றம், அதன் விதிமுறைகள் வரம்பு இல்லாமல் பூஜ்ஜியத்தை அணுகவும்(நேர்மறை அல்லது எதிர்மறை பக்கத்திலிருந்து பொருட்படுத்தாமல்), கணிதத்தில் ஒரு சிறப்பு பெயர் உள்ளது - எல்லையற்ற வடிவியல் முன்னேற்றம் குறைகிறது.இந்த முன்னேற்றம் மிகவும் சுவாரஸ்யமானது மற்றும் அசாதாரணமானது, அது விவாதிக்கப்படும் தனி பாடம் .)

எனவே, சாத்தியமான அனைத்தையும் நாங்கள் கருத்தில் கொண்டுள்ளோம் நேர்மறைபிரிவுகள் பெரியவை மற்றும் சிறியவை. மேலே கூறப்பட்ட காரணங்களுக்காக அலகையே ஒரு வகுப்பாக நாங்கள் கருதவில்லை (மூன்றுகளின் வரிசையுடன் உதாரணத்தை நினைவில் கொள்க...)

சுருக்கமாகக் கூறுவோம்:

நேர்மறைமற்றும் ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட (கே>1), பின்னர் முன்னேற்றத்தின் விதிமுறைகள்:

அ) வரம்பு இல்லாமல் அதிகரிக்கவும் (என்றால்பி 1 >0);

b) வரம்பு இல்லாமல் குறையும் (என்றால்பி 1 <0).

வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் வகுத்தல் என்றால் நேர்மறை மற்றும் ஒன்றுக்கும் குறைவானது (0< கே<1), то члены прогрессии:

a) பூஜ்ஜியத்திற்கு எல்லையற்ற அருகில் மேலே(என்றால்பி 1 >0);

b) பூஜ்ஜியத்திற்கு எல்லையில்லாமல் நெருங்குகிறது கீழிருந்து(என்றால்பி 1 <0).

இப்போது வழக்கை பரிசீலிக்க வேண்டும் எதிர்மறை வகுத்தல்.

வகுத்தல் எதிர்மறையானது ( கே <0)

ஒரு உதாரணத்திற்கு நாங்கள் வெகுதூரம் செல்ல மாட்டோம். ஏன், சரியாக, ஷாகி பாட்டி?!) எடுத்துக்காட்டாக, முன்னேற்றத்தின் முதல் வார்த்தையாக இருக்கட்டும் பி 1 = 1 , மற்றும் வகுப்பினை எடுத்துக் கொள்வோம் q = -2.

பின்வரும் வரிசையைப் பெறுகிறோம்:

(b n): 1, -2, 4, -8, 16, …

மற்றும் பல.) முன்னேற்றத்தின் ஒவ்வொரு காலமும் பெறப்படுகிறது பெருக்கல்அன்று முந்தைய உறுப்பினர் எதிர்மறை எண்-2. இந்த வழக்கில், ஒற்றைப்படை இடங்களில் (முதல், மூன்றாவது, ஐந்தாவது, முதலியன) நிற்கும் அனைத்து உறுப்பினர்களும் நேர்மறை, மற்றும் சம இடங்களில் (இரண்டாவது, நான்காவது, முதலியன) - எதிர்மறை.அறிகுறிகள் கண்டிப்பாக மாறி மாறி இருக்கும். பிளஸ்-மைனஸ்-பிளஸ்-மைனஸ்... இந்த வடிவியல் முன்னேற்றம் அழைக்கப்படுகிறது - மாறி மாறி அதிகரிக்கும் அடையாளம்.

அதன் உறுப்பினர்கள் எங்கு செல்கிறார்கள்? ஆனால் எங்கும் இல்லை.) ஆம், முழுமையான மதிப்பில் (அதாவது மாடுலோ)எங்கள் முன்னேற்றத்தின் உறுப்பினர்கள் வரம்பில்லாமல் அதிகரிக்கிறார்கள் (எனவே "அதிகரித்து" என்று பெயர்). ஆனால் அதே நேரத்தில், முன்னேற்றத்தின் ஒவ்வொரு உறுப்பினரும் மாறி மாறி உங்களை வெப்பத்திலும், பின்னர் குளிரிலும் தள்ளுகிறார்கள். ஒன்று "பிளஸ்" அல்லது "மைனஸ்". நமது முன்னேற்றம் அலைக்கழிக்கப்படுகிறது... மேலும், ஒவ்வொரு அடியிலும் ஏற்ற இறக்கங்களின் வீச்சு வேகமாக வளர்ந்து வருகிறது, ஆம்.) எனவே, முன்னேற்றத்தின் உறுப்பினர்களின் அபிலாஷைகள் எங்கோ சென்று கொண்டிருக்கின்றன. குறிப்பாகஇங்கே இல்லை.கூட்டல் முடிவிலி, அல்லது கழித்தல் முடிவிலி, அல்லது பூஜ்ஜியத்திற்கு - எங்கும் இல்லை.

இப்போது பூஜ்ஜியத்திற்கும் கழித்தல் ஒன்றிற்கும் இடையே உள்ள சில பகுதியளவு வகுப்பினைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

உதாரணமாக, அது இருக்கட்டும் பி 1 = 1 , ஏ q = -1/2.

பின்னர் நாம் முன்னேற்றத்தைப் பெறுகிறோம்:

(b n): 1, -1/2, 1/4, -1/8, 1/16, …

மீண்டும் எங்களிடம் அறிகுறிகளின் மாற்று உள்ளது! ஆனால், முந்தைய உதாரணத்தைப் போலல்லாமல், விதிமுறைகள் பூஜ்ஜியத்தை அணுகுவதற்கான தெளிவான போக்கு ஏற்கனவே உள்ளது.) இந்த முறை மட்டுமே எங்கள் விதிமுறைகள் பூஜ்ஜியத்தை மேலே அல்லது கீழே இருந்து கண்டிப்பாக அணுகவில்லை, ஆனால் மீண்டும் தயங்குகிறது. நேர்மறை மற்றும் எதிர்மறை மதிப்புகளை மாறி மாறி எடுத்துக்கொள்வது. ஆனால் அதே நேரத்தில் அவர்கள் தொகுதிகள்நேசத்துக்குரிய பூஜ்ஜியத்தை நெருங்கி வருகின்றன.)

இந்த வடிவியல் முன்னேற்றம் என்று அழைக்கப்படுகிறது எல்லையில்லாமல் குறையும் அடையாளம், மாறி மாறி.

இந்த இரண்டு எடுத்துக்காட்டுகள் ஏன் சுவாரஸ்யமானவை? மற்றும் இரண்டு நிகழ்வுகளிலும் நடைபெறுகிறது என்பது உண்மை அடையாளங்களின் மாற்று!இந்த தந்திரம் எதிர்மறை வகுப்பின் முன்னேற்றங்களுக்கு மட்டுமே பொதுவானது, ஆம்.) எனவே, சில பணிகளில் நீங்கள் மாற்று சொற்களுடன் வடிவியல் முன்னேற்றத்தைக் கண்டால், அதன் வகுத்தல் 100% எதிர்மறையானது என்பதை நீங்கள் ஏற்கனவே அறிந்திருப்பீர்கள், மேலும் நீங்கள் தவறு செய்ய மாட்டீர்கள். அடையாளத்தில்.)

மூலம், எதிர்மறை வகுப்பின் விஷயத்தில், முதல் காலத்தின் அடையாளம் முன்னேற்றத்தின் நடத்தையை பாதிக்காது. முன்னேற்றத்தின் முதல் காலத்தின் அடையாளத்தைப் பொருட்படுத்தாமல், எந்தவொரு சந்தர்ப்பத்திலும் விதிமுறைகளின் அடையாளம் கவனிக்கப்படும். ஒரே கேள்வி, எந்தெந்த இடங்களில்(கூட அல்லது ஒற்றைப்படை) குறிப்பிட்ட அடையாளங்களுடன் உறுப்பினர்கள் இருப்பார்கள்.

நினைவில் கொள்ளுங்கள்:

வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் வகுத்தல் என்றால் எதிர்மறை , பின்னர் முன்னேற்றத்தின் விதிமுறைகளின் அறிகுறிகள் எப்போதும் இருக்கும் மாற்று.

அதே நேரத்தில், உறுப்பினர்களே:

a) வரம்பு இல்லாமல் அதிகரிக்கும்தொகுதி, என்றால்கே<-1;

b) பூஜ்ஜியத்தை எல்லையின்றி அணுகினால் -1< கே<0 (прогрессия бесконечно убывающая).

அவ்வளவுதான். அனைத்து வழக்கமான வழக்குகளும் பகுப்பாய்வு செய்யப்பட்டுள்ளன.)

வடிவியல் முன்னேற்றங்களின் பல்வேறு எடுத்துக்காட்டுகளை பகுப்பாய்வு செய்யும் செயல்பாட்டில், நான் அவ்வப்போது வார்த்தைகளைப் பயன்படுத்தினேன்: "பூஜ்ஜியத்தை நோக்கி செல்கிறது", "முடிவிலியை கூட்டுகிறது", "மைனஸ் முடிவிலிக்கு முனைகிறது"... பரவாயில்லை.) பேச்சின் இந்த புள்ளிவிவரங்கள் (மற்றும் குறிப்பிட்ட எடுத்துக்காட்டுகள்) ஒரு ஆரம்ப அறிமுகம் மட்டுமே நடத்தைபல்வேறு எண் வரிசைகள். வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் உதாரணத்தைப் பயன்படுத்துதல்.

முன்னேற்றத்தின் நடத்தையை நாம் ஏன் தெரிந்து கொள்ள வேண்டும்? அவள் செல்லும் இடத்தில் என்ன வித்தியாசம்? பூஜ்ஜியத்தை நோக்கி, பிளஸ் இன்ஃபினிட்டிக்கு, மைனஸ் இன்ஃபினிட்டிக்கு... அது நம்மை என்ன செய்கிறது?

விஷயம் என்னவென்றால், ஏற்கனவே பல்கலைக்கழகத்தில், உயர் கணிதப் பாடத்தில், பலவிதமான எண் வரிசைகளுடன் (எந்தவொரு முன்னேற்றங்களுடனும் அல்ல!) பணிபுரியும் திறன் மற்றும் இந்த அல்லது அந்த வரிசையை சரியாக கற்பனை செய்யும் திறன் உங்களுக்குத் தேவைப்படும். நடந்துகொள்கிறது - அது வரம்பற்றதாகக் குறைகிறதா, அது ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணுக்கு (மற்றும் பூஜ்ஜியத்திற்கு அவசியமில்லை) முனைகிறதா, அல்லது எதற்கும் முனையாமல் இருந்தாலும் சரி... ஒரு முழுப் பகுதியும் கணிதப் பாடத்தில் இந்தத் தலைப்புக்கு அர்ப்பணிக்கப்பட்டுள்ளது. பகுப்பாய்வு - வரம்புகளின் கோட்பாடு.மற்றும் இன்னும் கொஞ்சம் குறிப்பாக - கருத்து எண் வரிசையின் வரம்பு.மிகவும் சுவாரஸ்யமான தலைப்பு! கல்லூரிக்குச் சென்று அதைக் கண்டுபிடிப்பதில் அர்த்தமுள்ளது.)

இந்தப் பிரிவிலிருந்து சில எடுத்துக்காட்டுகள் (வரம்பைக் கொண்ட தொடர்கள்) மற்றும் குறிப்பாக, எல்லையற்ற வடிவியல் முன்னேற்றம் குறைகிறதுபள்ளியில் பழகத் தொடங்குகிறார்கள். நாங்கள் பழகி வருகிறோம்.)

மேலும், வரிசைகளின் நடத்தையை நன்கு படிக்கும் திறன் எதிர்காலத்தில் உங்களுக்கு பெரிதும் பயனளிக்கும் மற்றும் மிகவும் பயனுள்ளதாக இருக்கும் செயல்பாடு ஆராய்ச்சி.மிகவும் மாறுபட்டது. ஆனால் செயல்பாடுகளுடன் திறமையாக வேலை செய்யும் திறன் (வழித்தோன்றல்களைக் கணக்கிடுங்கள், அவற்றை முழுமையாகப் படிக்கவும், அவற்றின் வரைபடங்களை உருவாக்கவும்) ஏற்கனவே உங்கள் கணித அளவை வியத்தகு முறையில் அதிகரிக்கிறது! உங்களுக்கு ஏதேனும் சந்தேகம் இருக்கிறதா? தேவை இல்லை. என் வார்த்தைகளையும் நினைவில் கொள்ளுங்கள்.)

வாழ்க்கையின் வடிவியல் முன்னேற்றத்தைப் பார்ப்போமா?

நம்மைச் சுற்றியுள்ள வாழ்க்கையில், வடிவியல் முன்னேற்றத்தை நாம் அடிக்கடி சந்திக்கிறோம். தெரியாமல் கூட.)

எடுத்துக்காட்டாக, எல்லா இடங்களிலும் பெரிய அளவில் நம்மைச் சூழ்ந்திருக்கும் மற்றும் நுண்ணோக்கி இல்லாமல் நம்மால் பார்க்க முடியாத பல்வேறு நுண்ணுயிரிகள் வடிவியல் முன்னேற்றத்தில் துல்லியமாகப் பெருகும்.

ஒரு பாக்டீரியம் பாதியாகப் பிரித்து, சந்ததிகளை 2 பாக்டீரியாக்களாகப் பிரிப்பதன் மூலம் இனப்பெருக்கம் செய்கிறது என்று வைத்துக்கொள்வோம். இதையொட்டி, அவை ஒவ்வொன்றும், பெருக்கும்போது, ​​பாதியாகப் பிரிந்து, 4 பாக்டீரியாக்களின் பொதுவான சந்ததியைக் கொடுக்கும். அடுத்த தலைமுறை 8 பாக்டீரியாக்களை உற்பத்தி செய்யும், பின்னர் 16 பாக்டீரியாக்கள், 32, 64 மற்றும் பல. ஒவ்வொரு அடுத்தடுத்த தலைமுறையிலும், பாக்டீரியாக்களின் எண்ணிக்கை இரட்டிப்பாகிறது. வடிவியல் முன்னேற்றத்திற்கான ஒரு பொதுவான எடுத்துக்காட்டு.)

மேலும், சில பூச்சிகள் - அஃபிட்ஸ் மற்றும் ஈக்கள் - அதிவேகமாக பெருகும். மற்றும் சில நேரங்களில் முயல்களும் கூட.)

ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் மற்றொரு உதாரணம், அன்றாட வாழ்க்கைக்கு நெருக்கமானது, என்று அழைக்கப்படுகிறது கூட்டு வட்டி.இந்த சுவாரஸ்யமான நிகழ்வு பெரும்பாலும் வங்கி வைப்புகளில் காணப்படுகிறது மற்றும் அழைக்கப்படுகிறது வட்டியின் மூலதனமாக்கல்.அது என்ன?

நீங்களே இன்னும், நிச்சயமாக, இளமையாக இருக்கிறீர்கள். நீங்கள் பள்ளியில் படிக்கிறீர்கள், நீங்கள் வங்கிகளுக்கு செல்ல மாட்டீர்கள். ஆனால் உங்கள் பெற்றோர் ஏற்கனவே பெரியவர்கள் மற்றும் சுதந்திரமானவர்கள். அவர்கள் வேலைக்குச் செல்கிறார்கள், தினசரி ரொட்டிக்கு பணம் சம்பாதிப்பார்கள், மேலும் பணத்தின் ஒரு பகுதியை வங்கியில் போட்டு சேமிப்பார்கள்.)

துருக்கியில் ஒரு குடும்ப விடுமுறைக்காக உங்கள் அப்பா குறிப்பிட்ட தொகையைச் சேமிக்க விரும்புகிறார் என்று வைத்துக்கொள்வோம், மேலும் மூன்று வருட காலத்திற்கு 50,000 ரூபிள்களை ஆண்டுக்கு 10% வங்கியில் வைக்கிறார். வருடாந்திர வட்டி மூலதனத்துடன்.மேலும், இந்த முழு காலகட்டத்திலும் டெபாசிட் மூலம் எதுவும் செய்ய முடியாது. நீங்கள் வைப்புத்தொகையை நிரப்பவோ அல்லது கணக்கில் இருந்து பணத்தை எடுக்கவோ முடியாது. இந்த மூன்று ஆண்டுகளுக்குப் பிறகு அவருக்கு எவ்வளவு லாபம்?

சரி, முதலில், ஆண்டுக்கு 10% என்ன என்பதைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். என்று அர்த்தம் ஒரு வருடத்தில்வங்கி ஆரம்ப வைப்புத் தொகையில் 10% சேர்க்கும். எதிலிருந்து? நிச்சயமாக, இருந்து ஆரம்ப வைப்புத் தொகை.

ஒரு வருடம் கழித்து கணக்கின் அளவைக் கணக்கிடுகிறோம். ஆரம்ப வைப்புத் தொகை 50,000 ரூபிள் (அதாவது 100%) என்றால், ஒரு வருடம் கழித்து கணக்கில் எவ்வளவு வட்டி இருக்கும்? அது சரி, 110%! 50,000 ரூபிள் இருந்து.

எனவே 50,000 ரூபிள்களில் 110% கணக்கிடுகிறோம்:

50000·1.1 = 55000 ரூபிள்.

ஒரு மதிப்பின் 110%ஐக் கண்டறிவது என்பது அந்த மதிப்பை 1.1 என்ற எண்ணால் பெருக்குவது என்று உங்களுக்குப் புரிந்திருக்கும் என்று நம்புகிறேன்? இது ஏன் என்று உங்களுக்கு புரியவில்லை என்றால், ஐந்தாம் மற்றும் ஆறாம் வகுப்புகளை நினைவில் கொள்ளுங்கள். அதாவது - சதவீதங்கள் மற்றும் பின்னங்கள் மற்றும் பகுதிகளுக்கு இடையேயான இணைப்பு.)

இவ்வாறு, முதல் ஆண்டு அதிகரிப்பு 5,000 ரூபிள் இருக்கும்.

இரண்டு ஆண்டுகளில் கணக்கில் எவ்வளவு பணம் இருக்கும்? 60,000 ரூபிள்? துரதிருஷ்டவசமாக (அல்லது மாறாக, அதிர்ஷ்டவசமாக), எல்லாம் அவ்வளவு எளிதல்ல. வட்டி மூலதனமாக்கலின் முழு தந்திரம் என்னவென்றால், ஒவ்வொரு புதிய வட்டி திரட்டலிலும், இதே ஆர்வங்கள் ஏற்கனவே பரிசீலிக்கப்படும் புதிய தொகையிலிருந்து!யார் ஒருவரிடமிருந்து ஏற்கனவேகணக்கில் உள்ளது இந்த நேரத்தில்.முந்தைய காலத்திற்கான வட்டியானது அசல் வைப்புத் தொகையுடன் சேர்க்கப்பட்டு, புதிய வட்டியைக் கணக்கிடுவதில் பங்கேற்கிறது! அதாவது, அவை ஒட்டுமொத்த கணக்கின் முழு பகுதியாக மாறும். அல்லது பொது மூலதனம்.எனவே பெயர் - வட்டியின் மூலதனமாக்கல்.

இது பொருளாதாரத்தில் உள்ளது. மேலும் கணிதத்தில் அத்தகைய சதவீதங்கள் அழைக்கப்படுகின்றன கூட்டு வட்டி.அல்லது வட்டி சதவீதம்.) அவர்களின் தந்திரம் என்னவென்றால், வரிசையாகக் கணக்கிடும்போது, ​​ஒவ்வொரு முறையும் சதவீதங்கள் கணக்கிடப்படுகின்றன புதிய மதிப்பிலிருந்து.மேலும் அசலில் இருந்து அல்ல...

எனவே, மூலம் தொகையை கணக்கிட இரண்டு ஆண்டுகளுக்கு, கணக்கில் இருக்கும் தொகையில் 110% கணக்கிட வேண்டும் ஒரு வருடத்தில்.அதாவது, ஏற்கனவே 55,000 ரூபிள் இருந்து.

55,000 ரூபிள்களில் 110% கணக்கிடுகிறோம்:

55000 · 1.1 = 60500 ரூபிள்.

இதன் பொருள் இரண்டாவது வருடத்திற்கான சதவீத அதிகரிப்பு 5,500 ரூபிள், மற்றும் இரண்டு ஆண்டுகளுக்கு - 10,500 ரூபிள் ஆகும்.

மூன்று ஆண்டுகளுக்குப் பிறகு கணக்கில் உள்ள தொகை 60,500 ரூபிள்களில் 110% ஆக இருக்கும் என்று இப்போது நீங்கள் ஏற்கனவே யூகிக்க முடியும். அது மீண்டும் 110% முந்தைய ஆண்டிலிருந்து (கடந்த ஆண்டு)தொகைகள்.

இங்கே நாம் நினைக்கிறோம்:

60500 · 1.1 = 66550 ரூபிள்.

இப்போது நாங்கள் எங்கள் பணத் தொகைகளை ஆண்டு வாரியாக வரிசைப்படுத்துகிறோம்:

50000;

55000 = 50000 1.1;

60500 = 55000 1.1 = (50000 1.1) 1.1;

66550 = 60500 1.1 = ((50000 1.1) 1.1) 1.1

அது எப்படி இருக்கிறது? ஏன் ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றம் இல்லை? முதல் உறுப்பினர் பி 1 = 50000 , மற்றும் வகுத்தல் கே = 1,1 . ஒவ்வொரு காலமும் முந்தையதை விட கண்டிப்பாக 1.1 மடங்கு பெரியது. அனைத்தும் வரையறைக்கு இணங்க கண்டிப்பாக உள்ளன.)

உங்கள் தந்தையின் 50,000 ரூபிள் மூன்று ஆண்டுகளாக அவரது வங்கிக் கணக்கில் இருக்கும் போது எத்தனை கூடுதல் வட்டி போனஸ் "குவிப்பார்"?

நாங்கள் எண்ணுகிறோம்:

66550 - 50000 = 16550 ரூபிள்

அதிகம் இல்லை, நிச்சயமாக. ஆனால் இது ஆரம்ப வைப்புத் தொகை சிறியதாக இருந்தால். இன்னும் இருந்தால் என்ன? 50 அல்ல, 200 ஆயிரம் ரூபிள் என்று சொல்லலாமா? பின்னர் மூன்று ஆண்டுகளில் அதிகரிப்பு 66,200 ரூபிள் (நீங்கள் கணிதம் செய்தால்). ஏற்கனவே மிகவும் நல்லது.) பங்களிப்பு இன்னும் அதிகமாக இருந்தால் என்ன செய்வது? அவ்வளவுதான்...

முடிவு: ஆரம்ப வைப்பு எவ்வளவு அதிகமாக இருக்கிறதோ, அவ்வளவு லாபம் தரும் வட்டி மூலதனம். அதனால்தான் வட்டி மூலதனத்துடன் கூடிய வைப்புத்தொகை நீண்ட காலத்திற்கு வங்கிகளால் வழங்கப்படுகிறது. ஐந்து வருடங்கள் என்று வைத்துக் கொள்வோம்.

மேலும், இன்ஃப்ளூயன்ஸா, தட்டம்மை மற்றும் இன்னும் பயங்கரமான நோய்கள் (2000 களின் முற்பகுதியில் அதே SARS அல்லது இடைக்காலத்தில் பிளேக்) போன்ற அனைத்து வகையான மோசமான நோய்களும் அதிவேகமாக பரவ விரும்புகின்றன. எனவே தொற்றுநோய்களின் அளவு, ஆம்...) மற்றும் அனைத்துமே வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் காரணமாக முழு நேர்மறை வகுத்தல் (கே>1) - மிக விரைவாக வளரும் ஒரு விஷயம்! பாக்டீரியாவின் இனப்பெருக்கத்தை நினைவில் கொள்ளுங்கள்: ஒரு பாக்டீரியாவிலிருந்து இரண்டு பெறப்படுகிறது, இரண்டு - நான்கு, நான்கு - எட்டு, மற்றும் பல ... எந்த நோய்த்தொற்றின் பரவலும் இதுவே.)

வடிவியல் முன்னேற்றத்தில் எளிமையான சிக்கல்கள்.

எப்பொழுதும் போல ஒரு எளிய பிரச்சனையுடன் ஆரம்பிக்கலாம். முற்றிலும் அர்த்தம் புரிந்து கொள்ள வேண்டும்.

1. வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் இரண்டாவது சொல் 6 க்கு சமம் என்பதும், வகுத்தல் -0.5 க்கு சமம் என்றும் அறியப்படுகிறது. முதல், மூன்றாவது மற்றும் நான்காவது சொற்களைக் கண்டறியவும்.

எனவே எங்களுக்கு வழங்கப்பட்டுள்ளது முடிவில்லாதவடிவியல் முன்னேற்றம், ஆனால் அறியப்படுகிறது இரண்டாம் தவணைஇந்த முன்னேற்றம்:

b 2 = 6

கூடுதலாக, எங்களுக்கும் தெரியும் முன்னேற்றம் வகுத்தல்:

q = -0.5

மற்றும் நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் முதல், மூன்றாவதுமற்றும் நான்காவதுஇந்த முன்னேற்றத்தின் உறுப்பினர்கள்.

எனவே நாங்கள் செயல்படுகிறோம். சிக்கலின் நிலைமைகளுக்கு ஏற்ப வரிசையை எழுதுகிறோம். நேரடியாக பொது வடிவத்தில், இரண்டாவது சொல் ஆறு:

b 1, 6,பி 3 , பி 4 , …

இப்போது தேட ஆரம்பிக்கலாம். நாங்கள் எப்பொழுதும், எளிமையானவற்றுடன் தொடங்குகிறோம். உதாரணமாக, மூன்றாவது காலத்தை நீங்கள் கணக்கிடலாம் b 3? முடியும்! உங்களுக்கும் எனக்கும் ஏற்கனவே தெரியும் (நேரடியாக வடிவியல் முன்னேற்றம் என்ற அர்த்தத்தில்) மூன்றாவது காலகட்டம் (பி 3)இரண்டாவது விட (பி 2 ) வி "q"ஒருமுறை!

எனவே நாங்கள் எழுதுகிறோம்:

b 3 =பி 2 · கே

அதற்குப் பதிலாக இந்த வெளிப்பாட்டிற்கு ஆறாக மாற்றுகிறோம் b 2மற்றும் -0.5 பதிலாக கேமற்றும் நாங்கள் எண்ணுகிறோம். நாங்கள் கழிப்பையும் புறக்கணிக்க மாட்டோம், நிச்சயமாக ...

b 3 = 6·(-0.5) = -3

இது போன்ற. மூன்றாவது முறை எதிர்மறையாக மாறியது. ஆச்சரியப்படுவதற்கில்லை: எங்கள் வகுத்தல் கே- எதிர்மறை. மேலும் ஒரு கூட்டலை மைனஸால் பெருக்குவது நிச்சயமாக மைனஸாக இருக்கும்.)

இப்போது நாம் முன்னேற்றத்தின் அடுத்த, நான்காவது காலத்தை எண்ணுகிறோம்:

b 4 =பி 3 · கே

b 4 = -3·(-0.5) = 1.5

நான்காவது தவணை மீண்டும் ஒரு பிளஸுடன் உள்ளது. ஐந்தாவது முறை மீண்டும் கழித்தல், ஆறாவது பிளஸ், மற்றும் பல. அடையாளங்கள் மாறி மாறி!

எனவே, மூன்றாவது மற்றும் நான்காவது சொற்கள் கண்டுபிடிக்கப்பட்டன. இதன் விளைவாக பின்வரும் வரிசை உள்ளது:

b 1 ; 6; -3; 1.5; ...

இப்போது எஞ்சியிருப்பது முதல் வார்த்தையைக் கண்டுபிடிப்பதுதான் b 1நன்கு அறியப்பட்ட இரண்டாவது படி. இதைச் செய்ய, நாங்கள் மற்ற திசையில், இடதுபுறம் செல்கிறோம். இதன் பொருள் என்னவென்றால், இந்த விஷயத்தில் நாம் முன்னேற்றத்தின் இரண்டாவது காலத்தை வகுப்பினால் பெருக்க வேண்டிய அவசியமில்லை, ஆனால் பிரி.

நாங்கள் பிரித்து பெறுகிறோம்:

அவ்வளவுதான்.) பிரச்சனைக்கான பதில் இப்படி இருக்கும்:

-12; 6; -3; 1,5; …

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, தீர்வு கொள்கை உள்ள அதே தான். எங்களுக்கு தெரியும் ஏதேனும்உறுப்பினர் மற்றும் வகுக்கும்வடிவியல் முன்னேற்றம் - அதில் வேறு எந்த உறுப்பினரையும் நாம் காணலாம். நாம் விரும்பும் ஒன்றைக் கண்டுபிடிப்போம்.) ஒரே வித்தியாசம் என்னவென்றால், கூட்டல்/கழித்தல் என்பது பெருக்கல்/வகுப்பால் மாற்றப்படுகிறது.

நினைவில் கொள்ளுங்கள்: வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் குறைந்தபட்சம் ஒரு உறுப்பினர் மற்றும் வகுப்பினை நாம் அறிந்திருந்தால், இந்த முன்னேற்றத்தின் வேறு எந்த உறுப்பினரையும் நாம் எப்போதும் காணலாம்.

பின்வரும் சிக்கல், பாரம்பரியத்தின் படி, OGE இன் உண்மையான பதிப்பிலிருந்து வந்தது:

2.

...; 150; எக்ஸ்; 6; 1.2; ...

அது எப்படி இருக்கிறது? இம்முறை முதல் தவணை இல்லை, வகுத்தல் இல்லை கே, எண்களின் வரிசை மட்டுமே கொடுக்கப்பட்டுள்ளது... ஏற்கனவே தெரிந்த ஒன்று, இல்லையா? ஆம்! இதே போன்ற பிரச்சனை ஏற்கனவே எண்கணித முன்னேற்றத்தில் தீர்க்கப்பட்டுள்ளது!

அதனால் நாங்கள் பயப்படவில்லை. எல்லாம் ஒன்றே. நம் தலையை இயக்கி, வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் அடிப்படை அர்த்தத்தை நினைவில் கொள்வோம். நாங்கள் எங்கள் வரிசையை கவனமாகப் பார்த்து, மூன்று முக்கியவற்றின் (முதல் கால, வகுத்தல், கால எண்) வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் எந்த அளவுருக்கள் அதில் மறைக்கப்பட்டுள்ளன என்பதைக் கண்டறியவும்.

உறுப்பினர் எண்கள்? உறுப்பினர் எண்கள் இல்லை, ஆம்... ஆனால் நான்கு உள்ளன தொடர்ச்சியாகஎண்கள். இந்த கட்டத்தில் இந்த வார்த்தையின் அர்த்தம் என்ன என்பதை நான் விளக்குவதில் எந்த அர்த்தமும் இல்லை.) இரண்டு உள்ளனவா அண்டை அறியப்பட்ட எண்கள்?சாப்பிடு! இவை 6 மற்றும் 1.2 ஆகும். எனவே நாம் கண்டுபிடிக்க முடியும் முன்னேற்றம் வகுத்தல்.எனவே 1.2 என்ற எண்ணை எடுத்து வகுக்கிறோம் முந்தைய எண்ணுக்கு.ஆறு வரை.

நாங்கள் பெறுகிறோம்:

நாங்கள் பெறுகிறோம்:

எக்ஸ்= 150·0.2 = 30

பதில்: எக்ஸ் = 30 .

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, எல்லாம் மிகவும் எளிது. முக்கிய சிரமம் கணக்கீடுகளில் மட்டுமே உள்ளது. எதிர்மறை மற்றும் பகுதியளவு பிரிவின் விஷயத்தில் இது மிகவும் கடினம். அதனால் பிரச்சனை உள்ளவர்கள் மீண்டும் எண்கணிதத்தை சொல்லுங்கள்! பின்னங்களுடன் எவ்வாறு வேலை செய்வது, எதிர்மறை எண்களுடன் எவ்வாறு வேலை செய்வது மற்றும் பல... இல்லையெனில், நீங்கள் இங்கே இரக்கமின்றி வேகத்தைக் குறைப்பீர்கள்.

இப்போது சிக்கலைச் சிறிது மாற்றியமைப்போம். இப்போது அது சுவாரஸ்யமாகப் போகிறது! அதிலிருந்து கடைசி எண் 1.2 ஐ அகற்றுவோம். இப்போது இந்த சிக்கலை தீர்க்கலாம்:

3. வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் பல தொடர்ச்சியான சொற்கள் எழுதப்பட்டுள்ளன:

...; 150; எக்ஸ்; 6; ...

x என்ற எழுத்தால் சுட்டிக்காட்டப்பட்ட முன்னேற்றத்தின் காலத்தைக் கண்டறியவும்.

எல்லாம் ஒன்றுதான், இரண்டு மட்டுமே அருகில் உள்ளன பிரபலமானஇப்போது எங்களிடம் முன்னேற்றத்தின் உறுப்பினர்கள் இல்லை. இதுதான் முக்கிய பிரச்சனை. ஏனெனில் அளவு கேஇரண்டு அண்டை சொற்கள் மூலம் நாம் எளிதாக தீர்மானிக்க முடியும் நம்மால் முடியாது.பணியைச் சமாளிக்க நமக்கு வாய்ப்பு உள்ளதா? நிச்சயமாக!

தெரியாத சொல்லை எழுதுவோம்" எக்ஸ்"நேரடியாக வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் பொருளுக்குள்! பொது அடிப்படையில்.

ஆம் ஆம்! அறியப்படாத வகுப்போடு சரி!

ஒருபுறம், X க்கு நாம் பின்வரும் விகிதத்தை எழுதலாம்:

எக்ஸ்= 150·கே

மறுபுறம், இதே X மூலம் விவரிக்க எங்களுக்கு எல்லா உரிமையும் உள்ளது அடுத்ததுஉறுப்பினர், ஆறு மூலம்! ஆறால் வகுக்கவும்.

இது போன்ற:

எக்ஸ் = 6/ கே

வெளிப்படையாக, இப்போது இந்த இரண்டு விகிதங்களையும் நாம் சமன் செய்யலாம். நாங்கள் வெளிப்படுத்துவதால் அதேஅளவு (x), ஆனால் இரண்டு வெவ்வேறு வழிகளில்.

நாம் சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்:

எல்லாவற்றையும் பெருக்குதல் கே, எளிமைப்படுத்துதல் மற்றும் சுருக்குதல், நாம் சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்:

q2 = 1/25

நாங்கள் தீர்க்கிறோம் மற்றும் பெறுகிறோம்:

q = ± 1/5 = ± 0.2

அச்சச்சோ! வகுத்தல் இரட்டிப்பாக மாறியது! +0.2 மற்றும் -0.2. மற்றும் நீங்கள் எதை தேர்வு செய்ய வேண்டும்? முட்டுக்கட்டையா?

அமைதி! ஆம், பிரச்சனை உண்மையில் உள்ளது இரண்டு தீர்வுகள்!அதில் தவறில்லை. இது நடக்கும்.) உதாரணமாக, வழக்கமான சிக்கலைத் தீர்க்கும்போது இரண்டு வேர்களைப் பெறும்போது நீங்கள் ஆச்சரியப்படுவதில்லையா? இங்கேயும் அதே கதைதான்.)

க்கு q = +0.2நாம் பெறுவோம்:

X = 150 0.2 = 30

மற்றும் கே = -0,2 விருப்பம்:

X = 150·(-0.2) = -30

நாங்கள் இரட்டை பதிலைப் பெறுகிறோம்: எக்ஸ் = 30; எக்ஸ் = -30.

இந்த சுவாரஸ்யமான உண்மை என்ன அர்த்தம்? மற்றும் என்ன இருக்கிறது இரண்டு முன்னேற்றங்கள், பிரச்சனையின் நிலைமைகளை திருப்திப்படுத்துதல்!

இவர்களைப் போல:

…; 150; 30; 6; …

…; 150; -30; 6; …

இரண்டும் பொருத்தமானவை.) பதில்களில் நாம் ஏன் பிளவுபட்டோம் என்று நினைக்கிறீர்கள்? ஆறிற்குப் பிறகு வரும் முன்னேற்றத்தின் (1,2) ஒரு குறிப்பிட்ட உறுப்பினர் நீக்கப்பட்டதால். மேலும் வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் முந்தைய (n-1)வது மற்றும் அடுத்தடுத்த (n+1)வது விதிமுறைகளை மட்டும் தெரிந்து கொண்டு, அவற்றுக்கிடையே உள்ள nth term நிற்பதைப் பற்றி நாம் சந்தேகத்திற்கு இடமின்றி எதையும் கூற முடியாது. இரண்டு விருப்பங்கள் உள்ளன - பிளஸ் மற்றும் மைனஸ் உடன்.

ஆனால் பிரச்சனை இல்லை. ஒரு விதியாக, வடிவியல் முன்னேற்றப் பணிகளில் தெளிவற்ற பதிலைத் தரும் கூடுதல் தகவல்கள் உள்ளன. வார்த்தைகளைச் சொல்வோம்: "மாற்று முன்னேற்றம்"அல்லது "ஒரு நேர்மறை வகுப்போடு முன்னேற்றம்"மற்றும் பல... இந்த வார்த்தைகள்தான் இறுதி விடையைத் தயாரிக்கும் போது எந்தக் குறி, கூட்டல் அல்லது கழித்தல் என்பதைத் தேர்ந்தெடுக்க வேண்டும் என்பதற்கான துப்பு. அத்தகைய தகவல் இல்லை என்றால், ஆம், பணி இருக்கும் இரண்டு தீர்வுகள்.)

இப்போது நாமே முடிவு செய்கிறோம்.

4. எண் 20 ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் உறுப்பினரா என்பதைத் தீர்மானிக்கவும்:

4 ; 6; 9; …

5. மாற்று வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் அடையாளம் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது:

…; 5; எக்ஸ் ; 45; …

கடிதத்தால் சுட்டிக்காட்டப்பட்ட முன்னேற்றத்தின் காலத்தைக் கண்டறியவும் எக்ஸ் .

6. வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் நான்காவது நேர்மறை சொல்லைக் கண்டறியவும்:

625; -250; 100; …

7. வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் இரண்டாவது சொல் -360 க்கு சமம், அதன் ஐந்தாவது கால அளவு 23.04. இந்த முன்னேற்றத்தின் முதல் வார்த்தையைக் கண்டறியவும்.

பதில்கள் (கோளாறில்): -15; 900; இல்லை; 2.56.

எல்லாம் செயல்பட்டால் வாழ்த்துக்கள்!

ஏதாவது பொருந்தவில்லையா? எங்காவது இரட்டை பதில் வந்ததா? பணியின் விதிமுறைகளை கவனமாகப் படியுங்கள்!

கடைசி பிரச்சனை தீரவில்லையா? அங்கு சிக்கலான எதுவும் இல்லை.) வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் பொருளின் படி நாங்கள் நேரடியாக வேலை செய்கிறோம். சரி, நீங்கள் ஒரு படத்தை வரையலாம். உதவுகிறது.)

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, எல்லாம் அடிப்படை. முன்னேற்றம் குறுகியதாக இருந்தால். நீளமாக இருந்தால் என்ன? அல்லது தேவையான உறுப்பினர் எண்ணிக்கை மிகப் பெரியதா? எண்கணித முன்னேற்றத்துடன் ஒப்பிடுவதன் மூலம், எப்படியாவது ஒரு வசதியான சூத்திரத்தைப் பெற விரும்புகிறேன், அது எளிதாகக் கண்டுபிடிக்கும் ஏதேனும்எந்த வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் கால அவரது எண் மூலம்.பல, பல மடங்கு பெருக்காமல் கே. மற்றும் அத்தகைய சூத்திரம் உள்ளது!) விவரங்கள் அடுத்த பாடத்தில் உள்ளன.

எனவே, உட்கார்ந்து சில எண்களை எழுத ஆரம்பிக்கலாம். உதாரணத்திற்கு:

நீங்கள் எந்த எண்களையும் எழுதலாம், மேலும் நீங்கள் விரும்பும் அளவுக்கு அவற்றில் பல இருக்கலாம் (எங்கள் விஷயத்தில், அவை உள்ளன). நாம் எத்தனை எண்களை எழுதினாலும், எது முதலில், எது இரண்டாவது, மற்றும் கடைசி வரை, அதாவது அவற்றை எண்ணலாம். எண் வரிசைக்கு இது ஒரு எடுத்துக்காட்டு:

எண் வரிசைஎண்களின் தொகுப்பாகும், ஒவ்வொன்றும் ஒரு தனிப்பட்ட எண்ணை ஒதுக்கலாம்.

எடுத்துக்காட்டாக, எங்கள் வரிசைக்கு:

ஒதுக்கப்பட்ட எண் வரிசையில் உள்ள ஒரு எண்ணுக்கு மட்டுமே குறிப்பிட்டது. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், வரிசையில் மூன்று வினாடி எண்கள் இல்லை. இரண்டாவது எண் (வது எண் போன்றது) எப்போதும் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும்.

எண்ணைக் கொண்ட எண் வரிசையின் n வது உறுப்பினர் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

நாம் வழக்கமாக முழு வரிசையையும் ஏதேனும் ஒரு எழுத்து மூலம் அழைக்கிறோம் (உதாரணமாக,), இந்த வரிசையின் ஒவ்வொரு உறுப்பினரும் இந்த உறுப்பினரின் எண்ணிக்கைக்கு சமமான குறியீட்டுடன் ஒரே கடிதம்: .

எங்கள் விஷயத்தில்:

முன்னேற்றத்தின் மிகவும் பொதுவான வகைகள் எண்கணிதம் மற்றும் வடிவியல் ஆகும். இந்த தலைப்பில் நாம் இரண்டாவது வகை பற்றி பேசுவோம் - வடிவியல் முன்னேற்றம்.

ஏன் வடிவியல் முன்னேற்றம் மற்றும் அதன் வரலாறு தேவை?

பண்டைய காலங்களில் கூட, இத்தாலிய கணிதவியலாளர் துறவியான பிசாவின் லியோனார்டோ (பிபோனச்சி என்று அழைக்கப்படுபவர்) வர்த்தகத்தின் நடைமுறைத் தேவைகளைக் கையாண்டார். துறவி ஒரு பொருளை எடைபோட பயன்படுத்தக்கூடிய மிகச்சிறிய எடைகள் என்ன என்பதை தீர்மானிக்கும் பணியை எதிர்கொண்டார்? ஃபிபோனச்சி தனது படைப்புகளில், அத்தகைய எடை அமைப்பு உகந்தது என்பதை நிரூபிக்கிறது: இது ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றத்தை மக்கள் சமாளிக்க வேண்டிய முதல் சூழ்நிலைகளில் ஒன்றாகும், இது நீங்கள் ஏற்கனவே கேள்விப்பட்டிருக்கலாம் மற்றும் குறைந்தபட்சம் ஒரு பொதுவான புரிதலைக் கொண்டிருக்கலாம். நீங்கள் தலைப்பை முழுமையாகப் புரிந்துகொண்டவுடன், அத்தகைய அமைப்பு ஏன் உகந்தது என்று யோசித்துப் பாருங்கள்?

தற்போது, ​​வாழ்க்கை நடைமுறையில், வங்கியில் பணத்தை முதலீடு செய்யும் போது வடிவியல் முன்னேற்றம் தன்னை வெளிப்படுத்துகிறது, முந்தைய காலத்திற்கான கணக்கில் திரட்டப்பட்ட தொகையில் வட்டி அளவு திரட்டப்படும் போது. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், நீங்கள் சேமிப்பு வங்கியில் நேர வைப்புத்தொகையில் பணத்தை வைத்தால், ஒரு வருடத்திற்குப் பிறகு வைப்புத்தொகை அசல் தொகையால் அதிகரிக்கும், அதாவது. புதிய தொகை பங்களிப்பை பெருக்குவதற்கு சமமாக இருக்கும். மற்றொரு ஆண்டில், இந்தத் தொகை அதிகரிக்கும், அதாவது. அந்த நேரத்தில் பெறப்பட்ட தொகை மீண்டும் பெருக்கப்படும் மற்றும் பல. அழைக்கப்படுவதைக் கணக்கிடுவதில் உள்ள சிக்கல்களில் இதேபோன்ற சூழ்நிலை விவரிக்கப்பட்டுள்ளது கூட்டு வட்டி- முந்தைய வட்டியை கணக்கில் எடுத்துக்கொண்டு, கணக்கில் இருக்கும் தொகையிலிருந்து ஒவ்வொரு முறையும் சதவீதம் எடுக்கப்படுகிறது. இந்த பணிகளைப் பற்றி சிறிது நேரம் கழித்து பேசுவோம்.

வடிவியல் முன்னேற்றம் பயன்படுத்தப்படும் இன்னும் பல எளிய வழக்குகள் உள்ளன. எடுத்துக்காட்டாக, இன்ஃப்ளூயன்ஸாவின் பரவல்: ஒரு நபர் மற்றொரு நபரைத் தொற்றினார், அவர் மற்றொரு நபரைப் பாதித்தார், இதனால் இரண்டாவது அலை தொற்று ஒரு நபருக்கு ஏற்படுகிறது, மேலும் அவர்கள் மற்றொருவருக்கு தொற்று... மற்றும் பல. .

மூலம், ஒரு நிதி பிரமிடு, அதே MMM, ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் பண்புகளை அடிப்படையாகக் கொண்ட ஒரு எளிய மற்றும் உலர் கணக்கீடு ஆகும். சுவாரஸ்யமானதா? அதை கண்டுபிடிக்கலாம்.

வடிவியல் முன்னேற்றம்.

எங்களிடம் ஒரு எண் வரிசை உள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம்:

இது எளிதானது மற்றும் அத்தகைய வரிசையின் பெயர் அதன் உறுப்பினர்களின் வித்தியாசத்துடன் உள்ளது என்று நீங்கள் உடனடியாக பதிலளிப்பீர்கள். இது எப்படி:

முந்தைய எண்ணை அடுத்த எண்ணிலிருந்து கழித்தால், ஒவ்வொரு முறையும் நீங்கள் புதிய வித்தியாசத்தைப் பெறுவதைக் காண்பீர்கள் (மற்றும் பல), ஆனால் வரிசை நிச்சயமாக உள்ளது மற்றும் கவனிக்க எளிதானது - ஒவ்வொரு அடுத்தடுத்த எண்ணும் முந்தையதை விட மடங்கு பெரியது!

இந்த வகை எண் வரிசை அழைக்கப்படுகிறது வடிவியல் முன்னேற்றம்மற்றும் நியமிக்கப்பட்டுள்ளது.

ஜியோமெட்ரிக் முன்னேற்றம் () என்பது ஒரு எண் வரிசையாகும், இதன் முதல் சொல் பூஜ்ஜியத்திலிருந்து வேறுபட்டது, மேலும் ஒவ்வொரு சொல், இரண்டாவதாகத் தொடங்கி, முந்தையதற்கு சமமாக, அதே எண்ணால் பெருக்கப்படுகிறது. இந்த எண் வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் வகுத்தல் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

முதல் சொல் ( ) சமமாக இல்லை மற்றும் சீரற்றதாக இல்லாத கட்டுப்பாடுகள். எதுவும் இல்லை என்று வைத்துக்கொள்வோம், முதல் சொல் இன்னும் சமம், மற்றும் q என்பது சமம்.

இது இனி ஒரு முன்னேற்றம் அல்ல என்பதை ஒப்புக்கொள்.

நீங்கள் புரிந்து கொண்டபடி, பூஜ்ஜியத்தைத் தவிர வேறு ஏதேனும் எண் இருந்தால் அதே முடிவுகளைப் பெறுவோம், a. இந்த சந்தர்ப்பங்களில், எந்த முன்னேற்றமும் இருக்காது, ஏனெனில் முழு எண் வரிசையும் அனைத்து பூஜ்ஜியங்களாகவோ அல்லது ஒரு எண்ணாகவோ இருக்கும், மீதமுள்ளவை அனைத்தும் பூஜ்ஜியங்களாக இருக்கும்.

இப்போது வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் வகுப்பைப் பற்றி மேலும் விரிவாகப் பேசலாம், அதாவது ஓ.

மீண்டும் சொல்கிறோம்: - இது எண் ஒவ்வொரு அடுத்த காலமும் எத்தனை முறை மாறும்?வடிவியல் முன்னேற்றம்.

அது என்னவாக இருக்கும் என்று நினைக்கிறீர்கள்? அது சரி, நேர்மறை மற்றும் எதிர்மறை, ஆனால் பூஜ்ஜியம் அல்ல (நாங்கள் இதைப் பற்றி கொஞ்சம் அதிகமாகப் பேசினோம்).

நம்முடையது நேர்மறை என்று வைத்துக் கொள்வோம். எங்கள் விஷயத்தில், ஏ. இரண்டாவது காலத்தின் மதிப்பு என்ன மற்றும்? நீங்கள் எளிதாக பதிலளிக்கலாம்:

அது சரி. அதன்படி, முன்னேற்றத்தின் அனைத்து அடுத்தடுத்த விதிமுறைகளும் ஒரே அடையாளமாக இருந்தால் - அவை நேர்மறையானவை.

எதிர்மறையாக இருந்தால் என்ன செய்வது? உதாரணமாக, ஏ. இரண்டாவது காலத்தின் மதிப்பு என்ன மற்றும்?

இது முற்றிலும் மாறுபட்ட கதை

இந்த முன்னேற்றத்தின் விதிமுறைகளை எண்ண முயற்சிக்கவும். உங்களுக்கு எவ்வளவு கிடைத்தது? என்னிடம் உள்ளது. இவ்வாறு, என்றால், வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் விதிமுறைகளின் அறிகுறிகள் மாறி மாறி வருகின்றன. அதாவது, அதன் உறுப்பினர்களுக்கான மாற்று அறிகுறிகளுடன் ஒரு முன்னேற்றத்தைக் கண்டால், அதன் வகுத்தல் எதிர்மறையாக இருக்கும். இந்தத் தலைப்பில் உள்ள சிக்கல்களைத் தீர்க்கும்போது உங்களை நீங்களே சோதிக்க இந்த அறிவு உங்களுக்கு உதவும்.

இப்போது கொஞ்சம் பயிற்சி செய்வோம்: எந்த எண் வரிசைகள் வடிவியல் முன்னேற்றம் மற்றும் எண்கணித முன்னேற்றம் என்பதை தீர்மானிக்க முயற்சிக்கவும்:

அறிந்துகொண்டேன்? எங்கள் பதில்களை ஒப்பிடுவோம்:

• வடிவியல் முன்னேற்றம் - 3, 6.
• எண்கணித முன்னேற்றம் – 2, 4.
• இது ஒரு எண்கணிதமோ அல்லது வடிவியல் முன்னேற்றமோ அல்ல - 1, 5, 7.

எங்கள் கடைசி முன்னேற்றத்திற்குத் திரும்பி, எண்கணிதத்தைப் போலவே அதன் உறுப்பினரைக் கண்டுபிடிக்க முயற்சிப்போம். நீங்கள் யூகித்தபடி, அதைக் கண்டுபிடிக்க இரண்டு வழிகள் உள்ளன.

ஒவ்வொரு சொல்லையும் தொடர்ச்சியாகப் பெருக்குகிறோம்.

எனவே, விவரிக்கப்பட்ட வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் வது சொல் சமம்.

நீங்கள் ஏற்கனவே யூகித்தபடி, வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் எந்த உறுப்பினரையும் கண்டுபிடிக்க உதவும் சூத்திரத்தை நீங்களே உருவாக்குவீர்கள். அல்லது வது உறுப்பினரை படிப்படியாகக் கண்டுபிடிப்பது எப்படி என்பதை விவரித்து, உங்களுக்காக ஏற்கனவே உருவாக்கியுள்ளீர்களா? அப்படியானால், உங்கள் நியாயத்தின் சரியான தன்மையை சரிபார்க்கவும்.

இந்த முன்னேற்றத்தின் வது காலத்தை கண்டுபிடிப்பதற்கான உதாரணத்துடன் இதை விளக்குவோம்:

வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால்:

கொடுக்கப்பட்ட வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் காலத்தின் மதிப்பை நீங்களே கண்டறியவும்.

நடந்ததா? எங்கள் பதில்களை ஒப்பிடுவோம்:

வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் ஒவ்வொரு முந்தைய காலத்தையும் வரிசையாகப் பெருக்கும்போது, ​​முந்தைய முறையில் இருந்த அதே எண்ணைப் பெற்றுள்ளீர்கள் என்பதை நினைவில் கொள்ளவும்.
இந்த சூத்திரத்தை "தனிப்பயனாக்க" முயற்சிப்போம் - அதை பொதுவான வடிவத்தில் வைத்து பெறுவோம்:

பெறப்பட்ட சூத்திரம் அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் உண்மை - நேர்மறை மற்றும் எதிர்மறை. பின்வரும் நிபந்தனைகளுடன் வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் விதிமுறைகளைக் கணக்கிடுவதன் மூலம் இதை நீங்களே சரிபார்க்கவும்: , a.

நீங்கள் எண்ணினீர்களா? முடிவுகளை ஒப்பிடுவோம்:

ஒரு சொல்லைப் போலவே ஒரு முன்னேற்றத்தின் காலத்தையும் கண்டுபிடிக்க முடியும் என்பதை ஒப்புக்கொள், இருப்பினும், தவறாகக் கணக்கிடுவதற்கான வாய்ப்பு உள்ளது. வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் வது வார்த்தையை நாம் ஏற்கனவே கண்டுபிடித்திருந்தால், சூத்திரத்தின் "துண்டிக்கப்பட்ட" பகுதியைப் பயன்படுத்துவதை விட எளிமையானது எதுவாக இருக்கும்.

வடிவியல் முன்னேற்றம் முடிவில்லாமல் குறைகிறது.

மிக சமீபத்தில், இது பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமாகவோ அல்லது குறைவாகவோ இருக்கலாம் என்ற உண்மையைப் பற்றி பேசினோம், இருப்பினும், வடிவியல் முன்னேற்றம் என்று அழைக்கப்படும் சிறப்பு மதிப்புகள் உள்ளன. முடிவில்லாமல் குறைகிறது.

இந்த பெயர் ஏன் கொடுக்கப்பட்டது என்று நினைக்கிறீர்கள்?
முதலில், சொற்களைக் கொண்ட சில வடிவியல் முன்னேற்றத்தை எழுதுவோம்.
அப்படியானால் சொல்லலாம்:

ஒவ்வொரு அடுத்தடுத்த காலமும் ஒரு காரணி மூலம் முந்தையதை விட குறைவாக இருப்பதைக் காண்கிறோம், ஆனால் ஏதேனும் எண் இருக்குமா? நீங்கள் உடனடியாக "இல்லை" என்று பதிலளிப்பீர்கள். அதனால்தான் அது முடிவில்லாமல் குறைகிறது - அது குறைகிறது மற்றும் குறைகிறது, ஆனால் பூஜ்ஜியமாக மாறாது.

இது பார்வைக்கு எப்படித் தெரிகிறது என்பதைத் தெளிவாகப் புரிந்துகொள்ள, நமது முன்னேற்றத்தின் வரைபடத்தை வரைய முயற்சிப்போம். எனவே, எங்கள் விஷயத்தில், சூத்திரம் பின்வரும் வடிவத்தை எடுக்கும்:

வரைபடங்களில் நாம் சார்ந்திருப்பதைத் திட்டமிடுவதற்குப் பழகிவிட்டோம், எனவே:

வெளிப்பாட்டின் சாராம்சம் மாறவில்லை: முதல் பதிவில், வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் உறுப்பினரின் மதிப்பை அதன் வரிசை எண்ணின் மீது சார்ந்திருப்பதைக் காட்டினோம், இரண்டாவது பதிவில், வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் உறுப்பினரின் மதிப்பை எடுத்துக் கொண்டோம். , மற்றும் ஆர்டினல் எண்ணை இவ்வாறு அல்ல, ஆனால் என நியமிக்கப்பட்டது. செய்ய வேண்டியது எல்லாம் ஒரு வரைபடத்தை உருவாக்குவதுதான்.
உங்களுக்கு என்ன கிடைத்தது என்று பார்ப்போம். நான் கொண்டு வந்த வரைபடம் இதோ:

நீ பார்க்கிறாயா? செயல்பாடு குறைகிறது, பூஜ்ஜியத்தை நோக்கி செல்கிறது, ஆனால் அதை ஒருபோதும் கடக்காது, எனவே அது முடிவில்லாமல் குறைகிறது. வரைபடத்தில் எங்கள் புள்ளிகளைக் குறிப்போம், அதே நேரத்தில் ஒருங்கிணைப்பு மற்றும் பொருள் என்ன:

அதன் முதல் காலமும் சமமாக இருந்தால், வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் வரைபடத்தை திட்டவட்டமாக சித்தரிக்க முயற்சிக்கவும். நமது முந்தைய வரைபடத்திற்கும் என்ன வித்தியாசம் என்பதை பகுப்பாய்வு செய்யுங்கள்?

சமாளித்தாயா? நான் கொண்டு வந்த வரைபடம் இதோ:

வடிவியல் முன்னேற்றம் என்ற தலைப்பின் அடிப்படைகளை இப்போது நீங்கள் முழுமையாகப் புரிந்துகொண்டுள்ளீர்கள்: அது என்னவென்று உங்களுக்குத் தெரியும், அதன் சொல்லை எப்படிக் கண்டுபிடிப்பது என்பது உங்களுக்குத் தெரியும், மேலும் முடிவில்லாமல் குறைந்துவரும் வடிவியல் முன்னேற்றம் என்னவென்று உங்களுக்குத் தெரியும், அதன் முக்கிய சொத்துக்கு செல்லலாம்.

வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் சொத்து.

எண்கணித முன்னேற்றத்தின் விதிமுறைகளின் சொத்து உங்களுக்கு நினைவிருக்கிறதா? ஆம், ஆம், இந்த முன்னேற்றத்தின் விதிமுறைகளின் முந்தைய மற்றும் அடுத்தடுத்த மதிப்புகள் இருக்கும்போது ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணிக்கையிலான முன்னேற்றத்தின் மதிப்பை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது. உனக்கு நினைவிருக்கிறதா? இது:

வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் விதிமுறைகளுக்கு இப்போது நாம் அதே கேள்வியை எதிர்கொள்கிறோம். அத்தகைய சூத்திரத்தைப் பெற, வரைதல் மற்றும் தர்க்கம் செய்ய ஆரம்பிக்கலாம். நீங்கள் பார்ப்பீர்கள், இது மிகவும் எளிதானது, நீங்கள் மறந்துவிட்டால், அதை நீங்களே வெளியேற்றலாம்.

மற்றொரு எளிய வடிவியல் முன்னேற்றத்தை எடுத்துக் கொள்வோம், அதில் நமக்குத் தெரியும். எப்படி கண்டுபிடிப்பது? எண்கணித முன்னேற்றத்துடன் இது எளிதானது மற்றும் எளிமையானது, ஆனால் இங்கே என்ன? உண்மையில், வடிவவியலில் சிக்கலான எதுவும் இல்லை - சூத்திரத்தின்படி எங்களுக்கு வழங்கப்பட்ட ஒவ்வொரு மதிப்பையும் நீங்கள் எழுத வேண்டும்.

இதற்கு நாம் இப்போது என்ன செய்ய வேண்டும் என்று நீங்கள் கேட்கலாம். ஆம், மிகவும் எளிமையானது. முதலில், இந்த சூத்திரங்களை ஒரு படத்தில் சித்தரித்து, மதிப்பை அடைய அவற்றைக் கொண்டு பல்வேறு கையாளுதல்களைச் செய்ய முயற்சிப்போம்.

நமக்குக் கொடுக்கப்பட்ட எண்களிலிருந்து சுருக்கமாக, சூத்திரத்தின் மூலம் அவற்றின் வெளிப்பாட்டில் மட்டுமே கவனம் செலுத்துவோம். ஆரஞ்சு நிறத்தில் முன்னிலைப்படுத்தப்பட்ட மதிப்பை நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டும், அதை ஒட்டிய சொற்களை அறிந்து கொள்ள வேண்டும். அவர்களுடன் பல்வேறு செயல்களைச் செய்ய முயற்சிப்போம், இதன் விளைவாக நாம் பெறலாம்.

கூட்டல்.
இரண்டு வெளிப்பாடுகளைச் சேர்க்க முயற்சிப்போம், நாங்கள் பெறுகிறோம்:

இந்த வெளிப்பாட்டிலிருந்து, நீங்கள் பார்க்கிறபடி, அதை எந்த வகையிலும் வெளிப்படுத்த முடியாது, எனவே, நாங்கள் மற்றொரு விருப்பத்தை முயற்சிப்போம் - கழித்தல்.

கழித்தல்.

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, எங்களால் இதை வெளிப்படுத்த முடியாது, எனவே, இந்த வெளிப்பாடுகளை ஒருவருக்கொருவர் பெருக்க முயற்சிப்போம்.

பெருக்கல்.

இப்போது கண்டுபிடிக்க வேண்டியவற்றுடன் ஒப்பிடுகையில், நமக்கு வழங்கப்பட்ட வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் விதிமுறைகளைப் பெருக்குவதன் மூலம் நம்மிடம் இருப்பதை கவனமாகப் பாருங்கள்:

நான் எதைப் பற்றி பேசுகிறேன் என்று யூகிக்கவா? சரியாக, கண்டுபிடிக்க, நாம் விரும்பிய ஒன்றின் அடுத்துள்ள வடிவியல் முன்னேற்ற எண்களின் வர்க்க மூலத்தை ஒன்றோடொன்று பெருக்க வேண்டும்:

இதோ போ. வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் சொத்தை நீங்களே பெற்றுக் கொண்டீர்கள். இந்த சூத்திரத்தை பொதுவான வடிவத்தில் எழுத முயற்சிக்கவும். நடந்ததா?

நிபந்தனை மறந்துவிட்டதா? இது ஏன் முக்கியமானது என்பதைப் பற்றி சிந்தியுங்கள், எடுத்துக்காட்டாக, அதை நீங்களே கணக்கிட முயற்சிக்கவும். இந்த வழக்கில் என்ன நடக்கும்? அது சரி, முழு முட்டாள்தனம், ஏனெனில் சூத்திரம் இதுபோல் தெரிகிறது:

அதன்படி, இந்த வரம்பை மறந்துவிடாதீர்கள்.

இப்போது அது சமம் என்பதை கணக்கிடுவோம்

சரியான பதில் - ! கணக்கீட்டின் போது சாத்தியமான இரண்டாவது மதிப்பை நீங்கள் மறக்கவில்லை என்றால், நீங்கள் சிறந்தவர், உடனடியாக பயிற்சிக்கு செல்லலாம், நீங்கள் மறந்துவிட்டால், கீழே விவாதிக்கப்பட்டதைப் படித்து, இரண்டு வேர்களையும் ஏன் எழுத வேண்டும் என்பதைக் கவனியுங்கள். பதில்.

நமது இரண்டு வடிவியல் முன்னேற்றங்களையும் வரைவோம் - ஒன்று மதிப்புடனும் மற்றொன்று மதிப்புடனும் வரைந்து, இரண்டுக்கும் இருப்பதற்கான உரிமை உள்ளதா எனச் சரிபார்க்கவும்:

அத்தகைய வடிவியல் முன்னேற்றம் உள்ளதா இல்லையா என்பதைச் சரிபார்க்க, கொடுக்கப்பட்ட அனைத்து விதிமுறைகளும் ஒரே மாதிரியானதா என்பதைப் பார்க்க வேண்டியது அவசியமா? முதல் மற்றும் இரண்டாவது நிகழ்வுகளுக்கு qஐக் கணக்கிடவும்.

நாம் ஏன் இரண்டு பதில்களை எழுத வேண்டும் என்று பாருங்கள்? ஏனென்றால் நீங்கள் தேடும் காலத்தின் அடையாளம் அது நேர்மறையா எதிர்மறையா என்பதைப் பொறுத்தது! அது என்னவென்று எங்களுக்குத் தெரியாததால், இரண்டு பதில்களையும் கூட்டல் மற்றும் கழித்தல் மூலம் எழுத வேண்டும்.

இப்போது நீங்கள் முக்கிய புள்ளிகளில் தேர்ச்சி பெற்றுள்ளீர்கள் மற்றும் வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் சொத்துக்கான சூத்திரத்தைப் பெற்றுள்ளீர்கள், கண்டுபிடிக்கவும், தெரிந்து கொள்ளவும் மற்றும்

உங்கள் பதில்களை சரியானவற்றுடன் ஒப்பிடுக:

நீங்கள் என்ன நினைக்கிறீர்கள், விரும்பிய எண்ணுக்கு அருகிலுள்ள வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் விதிமுறைகளின் மதிப்புகள் வழங்கப்படவில்லை, ஆனால் அதிலிருந்து சமமானதாக இருந்தால் என்ன செய்வது. உதாரணமாக, நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டும், மற்றும் கொடுக்கப்பட்ட மற்றும். இந்த வழக்கில் நாம் பெறப்பட்ட சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தலாமா? இந்த வாய்ப்பை உறுதிப்படுத்த அல்லது மறுக்க முயற்சிக்கவும், ஒவ்வொரு மதிப்பும் எதைக் கொண்டுள்ளது என்பதை விவரிக்கவும், நீங்கள் முதலில் சூத்திரத்தைப் பெறும்போது செய்ததைப் போல.
உனக்கு என்ன கிடைத்தது?

இப்போது மீண்டும் கவனமாக பாருங்கள்.
மற்றும் அதற்கேற்ப:

இதிலிருந்து சூத்திரம் செயல்படுகிறது என்று நாம் முடிவு செய்யலாம் அண்டை நாடுகளுடன் மட்டுமல்லவடிவியல் முன்னேற்றத்தின் விரும்பிய விதிமுறைகளுடன், ஆனால் உடன் சம தூரம்உறுப்பினர்கள் என்ன தேடுகிறார்கள்.

எனவே, எங்கள் ஆரம்ப சூத்திரம் வடிவம் பெறுகிறது:

அதாவது, முதலில் அப்படிச் சொன்னோம் என்றால், அது சிறியதாக இருக்கும் எந்த இயற்கை எண்ணுக்கும் சமமாக இருக்கலாம் என்று இப்போது சொல்கிறோம். முக்கிய விஷயம் என்னவென்றால், கொடுக்கப்பட்ட இரண்டு எண்களுக்கும் இது ஒன்றுதான்.

குறிப்பிட்ட எடுத்துக்காட்டுகளுடன் பயிற்சி செய்யுங்கள், மிகவும் கவனமாக இருங்கள்!

1. , . கண்டுபிடி.
2. , . கண்டுபிடி.
3. , . கண்டுபிடி.

முடிவு செய்ததா? நீங்கள் மிகவும் கவனமாக இருந்தீர்கள் மற்றும் ஒரு சிறிய பிடிப்பை கவனித்தீர்கள் என்று நம்புகிறேன்.

முடிவுகளை ஒப்பிட்டுப் பார்ப்போம்.

முதல் இரண்டு நிகழ்வுகளில், மேலே உள்ள சூத்திரத்தை நாங்கள் அமைதியாகப் பயன்படுத்துகிறோம் மற்றும் பின்வரும் மதிப்புகளைப் பெறுகிறோம்:

மூன்றாவது வழக்கில், நமக்குக் கொடுக்கப்பட்ட எண்களின் வரிசை எண்களை கவனமாக ஆராய்ந்தால், அவை நாம் தேடும் எண்ணிலிருந்து சமமான தொலைவில் இல்லை என்பதை நாங்கள் புரிந்துகொள்கிறோம்: இது முந்தைய எண், ஆனால் ஒரு நிலையில் அகற்றப்பட்டது, எனவே அது சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த முடியாது.

அதை எப்படி தீர்ப்பது? இது உண்மையில் தோன்றுவது போல் கடினம் அல்ல! நமக்குக் கொடுக்கப்பட்ட ஒவ்வொரு எண்ணும், நாம் தேடும் எண்ணும் என்ன என்பதை எழுதுவோம்.

எனவே நாம் மற்றும். அவர்களை என்ன செய்யலாம் என்று பார்ப்போம்? மூலம் பிரிக்க பரிந்துரைக்கிறேன். நாங்கள் பெறுகிறோம்:

நாங்கள் எங்கள் தரவை சூத்திரத்தில் மாற்றுகிறோம்:

நாம் கண்டுபிடிக்கக்கூடிய அடுத்த படி - இதற்காக நாம் விளைந்த எண்ணின் கனசதுர மூலத்தை எடுக்க வேண்டும்.

இப்போது நம்மிடம் இருப்பதை மீண்டும் பார்ப்போம். எங்களிடம் உள்ளது, ஆனால் நாம் அதைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும், மேலும் அது சமமாக இருக்கும்:

கணக்கீட்டிற்கு தேவையான அனைத்து தரவையும் நாங்கள் கண்டறிந்தோம். சூத்திரத்தில் மாற்றவும்:

எங்கள் பதில்: .

இதேபோன்ற மற்றொரு சிக்கலை நீங்களே தீர்க்க முயற்சிக்கவும்:
கொடுக்கப்பட்டது:,
கண்டுபிடி:

உங்களுக்கு எவ்வளவு கிடைத்தது? என்னிடம் உள்ளது - .

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, அடிப்படையில் உங்களுக்குத் தேவை ஒரே ஒரு சூத்திரத்தை நினைவில் கொள்ளுங்கள்- . எந்த நேரத்திலும் சிரமமின்றி மீதமுள்ள அனைத்தையும் நீங்களே திரும்பப் பெறலாம். இதைச் செய்ய, மேலே விவரிக்கப்பட்ட சூத்திரத்தின்படி, எளிமையான வடிவியல் முன்னேற்றத்தை ஒரு காகிதத்தில் எழுதி, அதன் ஒவ்வொரு எண்களும் சமமானவை என்பதை எழுதுங்கள்.

வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் விதிமுறைகளின் கூட்டுத்தொகை.

கொடுக்கப்பட்ட இடைவெளியில் வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் சொற்களின் கூட்டுத்தொகையை விரைவாகக் கணக்கிட அனுமதிக்கும் சூத்திரங்களைப் பார்ப்போம்:

வரையறுக்கப்பட்ட வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் சொற்களின் கூட்டுத்தொகைக்கான சூத்திரத்தைப் பெற, மேலே உள்ள சமன்பாட்டின் அனைத்து பகுதிகளையும் பெருக்கவும். நாங்கள் பெறுகிறோம்:

கவனமாகப் பாருங்கள்: கடைசி இரண்டு சூத்திரங்கள் பொதுவானவை என்ன? அது சரி, பொதுவான உறுப்பினர்கள், எடுத்துக்காட்டாக, மற்றும் பல, முதல் மற்றும் கடைசி உறுப்பினர் தவிர. 2 வது சமன்பாட்டிலிருந்து 1 ஐக் கழிக்க முயற்சிப்போம். உனக்கு என்ன கிடைத்தது?

இப்போது வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் காலத்தை சூத்திரத்தின் மூலம் வெளிப்படுத்தவும், அதன் விளைவாக வரும் வெளிப்பாட்டை எங்கள் கடைசி சூத்திரத்தில் மாற்றவும்:

வெளிப்பாட்டைக் குழுவாக்கு. நீங்கள் பெற வேண்டும்:

செய்ய வேண்டியது எல்லாம் வெளிப்படுத்துவதுதான்:

அதன்படி, இந்த வழக்கில்.

என்றால் என்ன? பிறகு என்ன சூத்திரம் வேலை செய்கிறது? ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றத்தை கற்பனை செய்து பாருங்கள். அவள் எப்படிப்பட்டவள்? ஒரே மாதிரியான எண்களின் தொடர் சரியானது, எனவே சூத்திரம் இப்படி இருக்கும்:

எண்கணிதம் மற்றும் வடிவியல் முன்னேற்றம் பற்றி பல புராணக்கதைகள் உள்ளன. அவற்றில் ஒன்று சதுரங்கத்தை உருவாக்கிய செட்டின் புராணக்கதை.

செஸ் விளையாட்டு இந்தியாவில் கண்டுபிடிக்கப்பட்டது என்பது பலருக்கும் தெரியும். இந்து மன்னன் அவளைச் சந்தித்தபோது, ​​அவளுடைய புத்திசாலித்தனம் மற்றும் அவளில் சாத்தியமான பல்வேறு நிலைகள் ஆகியவற்றால் மகிழ்ச்சியடைந்தார். இது அவரது குடிமக்களில் ஒருவரால் கண்டுபிடிக்கப்பட்டது என்பதை அறிந்த மன்னர், அவருக்கு தனிப்பட்ட முறையில் வெகுமதி அளிக்க முடிவு செய்தார். அவர் கண்டுபிடிப்பாளரைத் தானே வரவழைத்து, அவர் விரும்பும் அனைத்தையும் அவரிடம் கேட்கும்படி கட்டளையிட்டார், மிகவும் திறமையான விருப்பத்தை கூட நிறைவேற்றுவதாக உறுதியளித்தார்.

செட்டா சிந்திக்க நேரம் கேட்டார், அடுத்த நாள் சேட்டா ராஜா முன் தோன்றியபோது, ​​​​அவரது கோரிக்கையின் முன்னோடியில்லாத அடக்கத்துடன் ராஜாவை ஆச்சரியப்படுத்தினார். சதுரங்கப் பலகையின் முதல் சதுரத்திற்கு ஒரு கோதுமை தானியமும், இரண்டாவதாக ஒரு கோதுமை தானியமும், மூன்றாவதாக ஒரு கோதுமை தானியமும், நான்காவது தானியமும் கொடுக்கச் சொன்னார்.

மன்னன் கோபமடைந்து சேத்தை விரட்டினான், வேலைக்காரனின் வேண்டுகோள் மன்னனின் தாராள மனப்பான்மைக்கு தகுதியற்றது, ஆனால் வேலைக்காரன் பலகையின் அனைத்து சதுரங்களுக்கும் அவனுடைய தானியங்களைப் பெறுவதாக வாக்குறுதி அளித்தான்.

இப்போது கேள்வி: ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் விதிமுறைகளின் கூட்டுத்தொகைக்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி, சேத் எத்தனை தானியங்களைப் பெற வேண்டும் என்பதைக் கணக்கிடுங்கள்?

தர்க்கம் செய்ய ஆரம்பிக்கலாம். நிபந்தனையின்படி, சதுரங்கப் பலகையின் முதல் சதுரத்திற்கு, இரண்டாவது, மூன்றாவது, நான்காவது போன்றவற்றுக்கு, சேத் கோதுமை தானியத்தைக் கேட்டதால், பிரச்சனை ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றத்தைப் பற்றியது என்பதைக் காண்கிறோம். இந்த வழக்கில் அது என்ன சமம்?
சரி.

சதுரங்கப் பலகையின் மொத்த சதுரங்கள். முறையே, . எங்களிடம் எல்லா தரவுகளும் உள்ளன, அதை சூத்திரத்தில் செருகவும் கணக்கிடவும் மட்டுமே உள்ளது.

கொடுக்கப்பட்ட எண்ணின் தோராயமான "அளவை" கற்பனை செய்ய, பட்டத்தின் பண்புகளைப் பயன்படுத்தி மாற்றுகிறோம்:

நிச்சயமாக, நீங்கள் விரும்பினால், நீங்கள் ஒரு கால்குலேட்டரை எடுத்து, நீங்கள் எந்த எண்ணுடன் முடிவடையும் என்பதைக் கணக்கிடலாம், இல்லையெனில், அதற்கான எனது வார்த்தையை நீங்கள் எடுக்க வேண்டும்: வெளிப்பாட்டின் இறுதி மதிப்பு இருக்கும்.
அது:

quintillion quadrillion trillion பில்லியன் மில்லியன் ஆயிரம்.

ப்யூ) இந்த எண்ணின் மகத்துவத்தை நீங்கள் கற்பனை செய்ய விரும்பினால், தானியத்தின் முழு அளவையும் வைக்க எவ்வளவு பெரிய களஞ்சியம் தேவைப்படும் என்பதை மதிப்பிடுங்கள்.
களஞ்சியமானது மீ உயரமாகவும் மீ அகலமாகவும் இருந்தால், அதன் நீளம் கிமீ வரை நீட்டிக்க வேண்டும், அதாவது. பூமியிலிருந்து சூரியனுக்கு இரு மடங்கு தூரம்.

ராஜா கணிதத்தில் வல்லவராக இருந்தால், தானியங்களை எண்ணுவதற்கு விஞ்ஞானியை அழைத்திருக்கலாம், ஏனென்றால் ஒரு மில்லியன் தானியங்களை எண்ணுவதற்கு, குறைந்தபட்சம் ஒரு நாளாவது அயராது எண்ண வேண்டும், மேலும் க்வின்டில்லியன் கணக்கில் தானியங்களை எண்ணுவது அவசியம். அவரது வாழ்நாள் முழுவதும் கணக்கிடப்பட வேண்டும்.

இப்போது வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் சொற்களின் கூட்டுத்தொகையை உள்ளடக்கிய ஒரு எளிய சிக்கலைத் தீர்ப்போம்.
5A வகுப்பு படிக்கும் மாணவர் வாஸ்யா காய்ச்சலால் பாதிக்கப்பட்டார், ஆனால் தொடர்ந்து பள்ளிக்குச் செல்கிறார். ஒவ்வொரு நாளும் வாஸ்யா இரண்டு நபர்களை பாதிக்கிறது, அவர்கள் மேலும் இரண்டு நபர்களை பாதிக்கிறார்கள், மற்றும் பல. வகுப்பில் மக்கள் மட்டுமே உள்ளனர். எத்தனை நாட்களில் முழு வகுப்பினரும் காய்ச்சலால் பாதிக்கப்படுவார்கள்?

எனவே, வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் முதல் சொல் வாஸ்யா, அதாவது ஒரு நபர். வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் வது சொல், அவர் வந்த முதல் நாளில் அவர் தொற்றிய இருவர். முன்னேற்ற விதிமுறைகளின் மொத்தத் தொகை 5A மாணவர்களின் எண்ணிக்கைக்கு சமம். அதன்படி, நாங்கள் ஒரு முன்னேற்றத்தைப் பற்றி பேசுகிறோம்:

வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் விதிமுறைகளின் கூட்டுத்தொகைக்கான சூத்திரத்தில் எங்கள் தரவை மாற்றுவோம்:

சில நாட்களில் முழு வகுப்பும் நோய்வாய்ப்படும். சூத்திரங்கள் மற்றும் எண்களை நம்பவில்லையா? மாணவர்களின் "தொற்று" உங்களை நீங்களே சித்தரிக்க முயற்சிக்கவும். நடந்ததா? இது எனக்கு எப்படி இருக்கிறது என்று பாருங்கள்:

ஒவ்வொருவருக்கும் ஒருவருக்கு காய்ச்சல் ஏற்பட்டால், வகுப்பில் ஒருவர் மட்டுமே இருந்தால், மாணவர்களுக்கு காய்ச்சல் வர எத்தனை நாட்கள் ஆகும் என்பதை நீங்களே கணக்கிடுங்கள்.

உங்களுக்கு என்ன மதிப்பு கிடைத்தது? ஒரு நாள் கழித்து எல்லோரும் நோய்வாய்ப்பட ஆரம்பித்தனர்.

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, அத்தகைய பணியும் அதற்கான வரைபடமும் ஒரு பிரமிட்டை ஒத்திருக்கிறது, அதில் ஒவ்வொன்றும் புதிய நபர்களை "கொண்டு வருகின்றன". இருப்பினும், விரைவில் அல்லது பின்னர் ஒரு கணம் வருகிறது, பிந்தையது யாரையும் ஈர்க்க முடியாது. எங்கள் விஷயத்தில், வகுப்பு தனிமைப்படுத்தப்பட்டதாக நாம் கற்பனை செய்தால், அந்த நபர் சங்கிலியை மூடுகிறார் (). எனவே, ஒரு நபர் நிதி பிரமிட்டில் ஈடுபட்டிருந்தால், அதில் நீங்கள் மற்ற இரண்டு பங்கேற்பாளர்களை அழைத்து வந்தால், அந்த நபர் (அல்லது பொதுவாக) யாரையும் கொண்டு வரமாட்டார், அதன்படி, இந்த நிதி மோசடியில் அவர்கள் முதலீடு செய்த அனைத்தையும் இழக்க நேரிடும்.

மேலே கூறப்பட்ட அனைத்தும் குறைந்து வரும் அல்லது அதிகரிக்கும் வடிவியல் முன்னேற்றத்தைக் குறிக்கிறது, ஆனால், நீங்கள் நினைவில் வைத்திருப்பது போல், எங்களிடம் ஒரு சிறப்பு வகை உள்ளது - எண்ணற்ற அளவில் குறையும் வடிவியல் முன்னேற்றம். அதன் உறுப்பினர்களின் தொகையை எவ்வாறு கணக்கிடுவது? இந்த வகை முன்னேற்றம் ஏன் சில பண்புகளைக் கொண்டுள்ளது? அதை ஒன்றாகக் கண்டுபிடிப்போம்.

எனவே, முதலில், நமது எடுத்துக்காட்டில் இருந்து வரம்பற்ற குறையும் வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் இந்த வரைபடத்தை மீண்டும் பார்ப்போம்:

இப்போது சற்று முன்னர் பெறப்பட்ட வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் கூட்டுத்தொகைக்கான சூத்திரத்தைப் பார்ப்போம்:
அல்லது

நாம் எதற்காக பாடுபடுகிறோம்? அது சரி, வரைபடம் பூஜ்ஜியமாக இருப்பதைக் காட்டுகிறது. அதாவது, at, முறையே கிட்டத்தட்ட சமமாக இருக்கும், வெளிப்பாட்டைக் கணக்கிடும்போது நாம் கிட்டத்தட்ட பெறுவோம். இது சம்பந்தமாக, முடிவில்லாத குறையும் வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் கூட்டுத்தொகையைக் கணக்கிடும் போது, ​​இந்த அடைப்புக்குறி சமமாக இருக்கும் என்பதால், புறக்கணிக்கப்படலாம் என்று நாங்கள் நம்புகிறோம்.

- சூத்திரம் என்பது எண்ணற்ற அளவில் குறையும் வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் விதிமுறைகளின் கூட்டுத்தொகை ஆகும்.

முக்கியமான!நாம் தொகையைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் என்று நிபந்தனை வெளிப்படையாகக் கூறினால் மட்டுமே, எண்ணற்ற குறையும் வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் சொற்களின் கூட்டுத்தொகைக்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவோம். எல்லையற்றஉறுப்பினர்களின் எண்ணிக்கை.

ஒரு குறிப்பிட்ட எண் n குறிப்பிடப்பட்டால், அல்லது n சொற்களின் கூட்டுக்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவோம்.

இப்போது பயிற்சி செய்வோம்.

1. மற்றும் உடன் வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் முதல் சொற்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டறியவும்.
2. மற்றும் உடன் எண்ணற்ற குறையும் வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் விதிமுறைகளின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டறியவும்.

நீங்கள் மிகவும் கவனமாக இருந்தீர்கள் என்று நம்புகிறேன். எங்கள் பதில்களை ஒப்பிடுவோம்:

இப்போது நீங்கள் வடிவியல் முன்னேற்றம் பற்றி அனைத்தையும் அறிவீர்கள், மேலும் கோட்பாட்டிலிருந்து நடைமுறைக்கு செல்ல வேண்டிய நேரம் இது. தேர்வில் எதிர்கொள்ளும் மிகவும் பொதுவான வடிவியல் முன்னேற்றச் சிக்கல்கள் கூட்டு வட்டியைக் கணக்கிடுவதில் உள்ள சிக்கல்கள். இவைகளைத்தான் நாம் பேசுவோம்.

கூட்டு வட்டியைக் கணக்கிடுவதில் சிக்கல்கள்.

கூட்டு வட்டி சூத்திரம் என்று அழைக்கப்படுவதைப் பற்றி நீங்கள் கேள்விப்பட்டிருக்கலாம். இதன் பொருள் என்னவென்று புரிகிறதா? இல்லையென்றால், அதைக் கண்டுபிடிப்போம், ஏனென்றால் நீங்கள் செயல்முறையைப் புரிந்துகொண்டால், வடிவியல் முன்னேற்றத்திற்கும் அதற்கும் என்ன சம்பந்தம் என்பதை நீங்கள் உடனடியாக புரிந்துகொள்வீர்கள்.

நாம் அனைவரும் வங்கிக்குச் சென்று, வைப்புத்தொகைகளுக்கு வெவ்வேறு நிபந்தனைகள் உள்ளன என்பதை அறிவோம்: இதில் ஒரு சொல், கூடுதல் சேவைகள் மற்றும் வட்டி ஆகியவற்றைக் கணக்கிடுவதற்கான இரண்டு வெவ்வேறு வழிகள் உள்ளன - எளிய மற்றும் சிக்கலானது.

உடன் எளிய ஆர்வம்எல்லாம் அதிகமாகவோ அல்லது குறைவாகவோ தெளிவாக உள்ளது: டெபாசிட் காலத்தின் முடிவில் ஒரு முறை வட்டி திரட்டப்படும். அதாவது, நாங்கள் ஒரு வருடத்திற்கு 100 ரூபிள் டெபாசிட் செய்கிறோம் என்று சொன்னால், அவை ஆண்டின் இறுதியில் மட்டுமே வரவு வைக்கப்படும். அதன்படி, வைப்புத்தொகையின் முடிவில் நாங்கள் ரூபிள் பெறுவோம்.

கூட்டு வட்டி- இது நடக்கும் ஒரு விருப்பம் வட்டி மூலதனமாக்கல், அதாவது வைப்புத் தொகைக்கு அவை சேர்த்தல் மற்றும் வருமானத்தை ஆரம்பத்திலிருந்து அல்ல, ஆனால் திரட்டப்பட்ட வைப்புத் தொகையிலிருந்து கணக்கிடுதல். மூலதனமாக்கல் தொடர்ந்து நிகழாது, ஆனால் சில அதிர்வெண்களுடன். ஒரு விதியாக, அத்தகைய காலங்கள் சமமாக இருக்கும் மற்றும் பெரும்பாலும் வங்கிகள் ஒரு மாதம், காலாண்டு அல்லது வருடத்தைப் பயன்படுத்துகின்றன.

ஆண்டுதோறும் அதே ரூபிள்களை டெபாசிட் செய்கிறோம், ஆனால் வைப்புத்தொகையின் மாதாந்திர மூலதனத்துடன். நாம் என்ன செய்து கொண்டிருக்கின்றோம்?

இங்கே உங்களுக்கு எல்லாம் புரிகிறதா? இல்லையென்றால், அதை படிப்படியாகக் கண்டுபிடிப்போம்.

நாங்கள் வங்கிக்கு ரூபிள் கொண்டு வந்தோம். மாத இறுதிக்குள், எங்கள் கணக்கில் ரூபிள் மற்றும் வட்டியுடன் கூடிய ஒரு தொகை இருக்க வேண்டும், அதாவது:

ஒப்புக்கொள்கிறீர்களா?

நாம் அதை அடைப்புக்குறிக்குள் இருந்து வெளியே எடுக்கலாம், பின்னர் நாம் பெறலாம்:

ஒப்புக்கொள், இந்த சூத்திரம் ஏற்கனவே நாம் ஆரம்பத்தில் எழுதியதைப் போலவே உள்ளது. எஞ்சியிருப்பது சதவீதங்களைக் கண்டுபிடிப்பதுதான்

பிரச்சனை அறிக்கையில் ஆண்டு விகிதங்கள் பற்றி கூறப்பட்டுள்ளது. உங்களுக்குத் தெரியும், நாங்கள் பெருக்குவதில்லை - சதவீதங்களை தசம பின்னங்களாக மாற்றுகிறோம், அதாவது:

சரியா? இப்போது நீங்கள் கேட்கலாம், எண் எங்கிருந்து வந்தது? மிக எளிய!
நான் மீண்டும் சொல்கிறேன்: பிரச்சனை அறிக்கை பற்றி கூறுகிறது ஆண்டுதிரட்டப்படும் வட்டி மாதாந்திர. உங்களுக்குத் தெரியும், ஒரு வருடத்தில், அதன்படி, மாதத்திற்கு ஆண்டு வட்டியில் ஒரு பகுதியை வங்கி எங்களிடம் வசூலிக்கும்:

உணர்ந்ததா? வட்டி தினசரி கணக்கிடப்படுகிறது என்று நான் சொன்னால், சூத்திரத்தின் இந்த பகுதி எப்படி இருக்கும் என்பதை இப்போது எழுத முயற்சிக்கவும்.
சமாளித்தாயா? முடிவுகளை ஒப்பிடுவோம்:

நல்லது! எங்கள் பணிக்குத் திரும்புவோம்: திரட்டப்பட்ட வைப்புத் தொகையில் வட்டி திரட்டப்பட்டதைக் கருத்தில் கொண்டு, இரண்டாவது மாதத்தில் எங்கள் கணக்கில் எவ்வளவு வரவு வைக்கப்படும் என்பதை எழுதுங்கள்.
எனக்கு கிடைத்தது இதோ:

அல்லது, வேறுவிதமாகக் கூறினால்:

நீங்கள் ஏற்கனவே ஒரு வடிவத்தைக் கவனித்திருக்கிறீர்கள் என்று நினைக்கிறேன், இவை அனைத்திலும் ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றத்தைக் கண்டீர்கள். அதன் உறுப்பினர் என்ன சமமாக இருப்பார், அல்லது, வேறுவிதமாகக் கூறினால், மாத இறுதியில் நாம் எவ்வளவு பணம் பெறுவோம் என்பதை எழுதுங்கள்.
செய்தது? சரிபார்ப்போம்!

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, நீங்கள் ஒரு வருடத்திற்கு ஒரு எளிய வட்டி விகிதத்தில் வங்கியில் பணத்தை வைத்தால், நீங்கள் ரூபிள் பெறுவீர்கள், மேலும் கூட்டு வட்டி விகிதத்தில் இருந்தால், நீங்கள் ரூபிள் பெறுவீர்கள். நன்மை சிறியது, ஆனால் இது வது ஆண்டில் மட்டுமே நடக்கும், ஆனால் நீண்ட காலத்திற்கு மூலதனமாக்கல் மிகவும் லாபகரமானது:

கூட்டு வட்டி சம்பந்தப்பட்ட மற்றொரு வகை சிக்கலைப் பார்ப்போம். நீங்கள் கண்டுபிடித்த பிறகு, அது உங்களுக்கு அடிப்படையாக இருக்கும். எனவே, பணி:

Zvezda நிறுவனம் 2000 ஆம் ஆண்டில் தொழிலில் முதலீடு செய்யத் தொடங்கியது, டாலர்களில் மூலதனத்துடன். 2001 முதல் ஒவ்வொரு ஆண்டும், முந்தைய ஆண்டு மூலதனத்திற்கு நிகரான லாபத்தைப் பெற்றுள்ளது. புழக்கத்தில் இருந்து லாபம் திரும்பப் பெறப்படாவிட்டால், 2003 இன் இறுதியில் ஸ்வெஸ்டா நிறுவனம் எவ்வளவு லாபம் பெறும்?

2000 இல் Zvezda நிறுவனத்தின் தலைநகரம்.
- 2001 இல் Zvezda நிறுவனத்தின் மூலதனம்.
- 2002 இல் Zvezda நிறுவனத்தின் மூலதனம்.
- 2003 இல் Zvezda நிறுவனத்தின் மூலதனம்.

அல்லது சுருக்கமாக எழுதலாம்:

எங்கள் விஷயத்தில்:

2000, 2001, 2002 மற்றும் 2003.

முறையே:
ரூபிள்
இந்தச் சிக்கலில், சதவிகிதம் ஆண்டுதோறும் வழங்கப்பட்டு, அது ஆண்டுதோறும் கணக்கிடப்படுவதால், எங்களிடம் ஒரு பிரிவு இல்லை என்பதை நினைவில் கொள்ளவும். அதாவது, கூட்டு வட்டியில் ஒரு சிக்கலைப் படிக்கும்போது, ​​எந்த சதவிகிதம் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது, எந்த காலகட்டத்தில் கணக்கிடப்படுகிறது என்பதைக் கவனியுங்கள், பின்னர் மட்டுமே கணக்கீடுகளுக்குச் செல்லுங்கள்.
இப்போது உங்களுக்கு வடிவியல் முன்னேற்றம் பற்றி எல்லாம் தெரியும்.

பயிற்சி.

1. அது தெரிந்தால் வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் காலத்தைக் கண்டறியவும், மற்றும்
2. அது தெரிந்தால், வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் முதல் சொற்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டறியவும்
3. MDM Capital நிறுவனம் 2003 இல் தொழில்துறையில் முதலீடு செய்யத் தொடங்கியது, டாலர்களில் மூலதனத்துடன். 2004 முதல் ஒவ்வொரு ஆண்டும், முந்தைய ஆண்டு மூலதனத்திற்கு இணையான லாபம் கிடைத்து வருகிறது. MSK Cash Flows நிறுவனம் 2005 இல் $10,000 தொகையில் முதலீடு செய்யத் தொடங்கியது, 2006 இல் லாபம் ஈட்டத் தொடங்கியது. புழக்கத்தில் இருந்து லாபம் திரும்பப் பெறப்படாவிட்டால், 2007 ஆம் ஆண்டின் இறுதியில் ஒரு நிறுவனத்தின் மூலதனம் மற்றொன்றை விட எத்தனை டாலர்கள் அதிகமாகும்?

பதில்கள்:

1. சிக்கல் அறிக்கையானது முன்னேற்றம் எல்லையற்றது என்று கூறாததால், அதன் விதிமுறைகளின் ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணிக்கையின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டறிய வேண்டும், கணக்கீடு சூத்திரத்தின்படி மேற்கொள்ளப்படுகிறது:
2. 
   MDM மூலதன நிறுவனம்:

   2003, 2004, 2005, 2006, 2007.
   - 100% அதிகரிக்கிறது, அதாவது 2 மடங்கு.
   முறையே:
   ரூபிள்
   எம்எஸ்கே கேஷ் ஃப்ளோஸ் நிறுவனம்:

   2005, 2006, 2007.
   - அதிகரிக்கிறது, அதாவது, நேரங்களில்.
   முறையே:
   ரூபிள்
   ரூபிள்

சுருக்கமாகக் கூறுவோம்.

1) ஜியோமெட்ரிக் முன்னேற்றம் ( ) என்பது ஒரு எண் வரிசையாகும், இதன் முதல் சொல் பூஜ்ஜியத்திலிருந்து வேறுபட்டது, மேலும் ஒவ்வொரு காலமும், இரண்டாவதிலிருந்து தொடங்கி, முந்தைய ஒன்றிற்கு சமமாக, அதே எண்ணால் பெருக்கப்படுகிறது. இந்த எண் வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் வகுத்தல் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

2) வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் விதிமுறைகளின் சமன்பாடு .

3) மற்றும் தவிர எந்த மதிப்புகளையும் எடுக்கலாம்.

• என்றால், முன்னேற்றத்தின் அனைத்து அடுத்தடுத்த விதிமுறைகளும் ஒரே அடையாளத்தைக் கொண்டுள்ளன - அவை நேர்மறையானவை;
• என்றால், முன்னேற்றத்தின் அனைத்து அடுத்தடுத்த விதிமுறைகளும் மாற்று அறிகுறிகள்;
• எப்போது - முன்னேற்றம் எல்லையற்ற குறைதல் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

4), at – வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் சொத்து (அருகிலுள்ள சொற்கள்)

அல்லது
, மணிக்கு (சமமான விதிமுறைகள்)

நீங்கள் அதைக் கண்டால், அதை மறந்துவிடாதீர்கள் இரண்டு பதில்கள் இருக்க வேண்டும்.

உதாரணத்திற்கு,

5) வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் விதிமுறைகளின் கூட்டுத்தொகை சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது:
அல்லது

அல்லது

முக்கியமான!எல்லையற்ற எண்ணிக்கையிலான சொற்களின் கூட்டுத்தொகையை நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் என்று நிபந்தனை வெளிப்படையாகக் கூறினால் மட்டுமே, எல்லையற்ற குறையும் வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் சொற்களின் கூட்டுத்தொகைக்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவோம்.

6) புழக்கத்தில் இருந்து நிதி திரும்பப் பெறப்படவில்லை எனில், வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் வது கால சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கூட்டு வட்டியின் சிக்கல்களும் கணக்கிடப்படுகின்றன:

ஜியோமெட்ரிக் ப்ரோக்ரெஷன். முக்கிய விஷயங்களைப் பற்றி சுருக்கமாக

வடிவியல் முன்னேற்றம்( ) என்பது ஒரு எண் வரிசையாகும், இதன் முதல் சொல் பூஜ்ஜியத்திலிருந்து வேறுபட்டது, மேலும் ஒவ்வொரு சொல்லும், இரண்டாவதிலிருந்து தொடங்கி, முந்தைய ஒன்றிற்கு சமமாக, அதே எண்ணால் பெருக்கப்படுகிறது. இந்த எண் அழைக்கப்படுகிறது வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் வகுத்தல்.

வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் வகுத்தல்தவிர எந்த மதிப்பையும் எடுக்கலாம்.

• முன்னேற்றத்தின் அனைத்து அடுத்தடுத்த விதிமுறைகளும் ஒரே அடையாளத்தைக் கொண்டிருந்தால் - அவை நேர்மறையானவை;
• என்றால், முன்னேற்றத்தின் அனைத்து அடுத்தடுத்த உறுப்பினர்களும் மாற்று அறிகுறிகள்;
• எப்போது - முன்னேற்றம் எல்லையற்ற குறைதல் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் விதிமுறைகளின் சமன்பாடு - .

ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் விதிமுறைகளின் கூட்டுத்தொகைசூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது:
அல்லது

முன்னேற்றம் முடிவில்லாமல் குறைந்துவிட்டால், பின்:

YouClever மாணவராகுங்கள்,

கணிதத்தில் ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வு அல்லது ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வுக்குத் தயாராகுங்கள்,

மேலும் YouClever பாடப்புத்தகத்தை கட்டுப்பாடுகள் இல்லாமல் அணுகவும்...