பித்தகோரியன் தேற்றம்யூக்ளிடியன் வடிவவியலின் அடிப்படைக் கோட்பாடுகளில் ஒன்று, உறவை நிறுவுகிறது

ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் பக்கங்களுக்கு இடையில்.

இது கிரேக்க கணிதவியலாளர் பித்தகோரஸால் நிரூபிக்கப்பட்டதாக நம்பப்படுகிறது, அதன் பெயரால் அது பெயரிடப்பட்டது.

பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் வடிவியல் உருவாக்கம்.

தேற்றம் முதலில் பின்வருமாறு வடிவமைக்கப்பட்டது:

ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில், ஹைபோடென்யூஸில் கட்டப்பட்ட சதுரத்தின் பரப்பளவு சதுரங்களின் பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம்,

கால்களில் கட்டப்பட்டது.

பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் இயற்கணித உருவாக்கம்.

ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில், ஹைப்போடென்யூஸின் நீளத்தின் சதுரம் கால்களின் நீளத்தின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமமாக இருக்கும்.

அதாவது, முக்கோணத்தின் ஹைப்போடென்யூஸின் நீளத்தைக் குறிக்கிறது c, மற்றும் கால்களின் நீளம் அமற்றும் பி:

இரண்டு சூத்திரங்கள் பித்தகோரியன் தேற்றம்சமமானவை, ஆனால் இரண்டாவது உருவாக்கம் மிகவும் அடிப்படையானது, அது இல்லை

பகுதி என்ற கருத்து தேவைப்படுகிறது. அதாவது, இரண்டாவது அறிக்கையை அந்த பகுதி மற்றும் பற்றி எதுவும் தெரியாமல் சரிபார்க்க முடியும்

ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் பக்கங்களின் நீளத்தை மட்டும் அளவிடுவதன் மூலம்.

பித்தகோரியன் தேற்றத்தை மாற்று.

ஒரு முக்கோணத்தின் ஒரு பக்கத்தின் சதுரம் மற்ற இரண்டு பக்கங்களின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமமாக இருந்தால்

வலது முக்கோணம்.

அல்லது, வேறுவிதமாகக் கூறினால்:

ஒவ்வொரு மூன்று மடங்கு நேர்மறை எண்களுக்கும் அ, பிமற்றும் c, அதுபோல்

கால்களுடன் ஒரு செங்கோண முக்கோணம் உள்ளது அமற்றும் பிமற்றும் ஹைப்போடென்யூஸ் c.

ஐசோசெல்ஸ் முக்கோணத்திற்கான பித்தகோரியன் தேற்றம்.

ஒரு சமபக்க முக்கோணத்திற்கான பித்தகோரியன் தேற்றம்.

பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் சான்றுகள்.

தற்போது, ​​இந்த தேற்றத்தின் 367 சான்றுகள் அறிவியல் இலக்கியங்களில் பதிவு செய்யப்பட்டுள்ளன. ஒருவேளை தேற்றம்

பித்தகோரஸ் மட்டுமே இவ்வளவு ஈர்க்கக்கூடிய சான்றுகளைக் கொண்ட ஒரே தேற்றம். அத்தகைய பன்முகத்தன்மை

வடிவவியலுக்கான தேற்றத்தின் அடிப்படை முக்கியத்துவத்தால் மட்டுமே விளக்க முடியும்.

நிச்சயமாக, கருத்தியல் ரீதியாக அவை அனைத்தையும் ஒரு சிறிய எண்ணிக்கையிலான வகுப்புகளாகப் பிரிக்கலாம். அவற்றில் மிகவும் பிரபலமானவை:

ஆதாரம் பகுதி முறை, அச்சுமற்றும் கவர்ச்சியான சான்றுகள்(உதாரணத்திற்கு,

பயன்படுத்தி வகைக்கெழு சமன்பாடுகள்).

1. ஒத்த முக்கோணங்களைப் பயன்படுத்தி பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் ஆதாரம்.

இயற்கணித உருவாக்கத்தின் பின்வரும் சான்றுகள் கட்டமைக்கப்பட்ட சான்றுகளில் எளிமையானவை

நேரடியாக கோட்பாடுகளிலிருந்து. குறிப்பாக, இது ஒரு உருவத்தின் பரப்பளவு என்ற கருத்தைப் பயன்படுத்துவதில்லை.

விடுங்கள் ஏபிசிவலது கோணத்துடன் ஒரு செங்கோண முக்கோணம் உள்ளது சி. இருந்து உயரத்தை வரைவோம் சிமற்றும் குறிக்கவும்

அதன் அடித்தளம் மூலம் எச்.

முக்கோணம் ACHஒரு முக்கோணத்தைப் போன்றது ஏபிஇரண்டு மூலைகளிலும் சி. அதேபோல், முக்கோணம் CBHஒத்த ஏபிசி.

குறிப்பை அறிமுகப்படுத்துவதன் மூலம்:

நாம் பெறுகிறோம்:

,

இது பொருந்துகிறது -

மடிந்தது அ 2 மற்றும் பி 2, நாம் பெறுகிறோம்:

அல்லது , இது நிரூபிக்கப்பட வேண்டும்.

2. பகுதி முறையைப் பயன்படுத்தி பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் ஆதாரம்.

கீழே உள்ள சான்றுகள், அவற்றின் வெளிப்படையான எளிமை இருந்தபோதிலும், அவ்வளவு எளிமையானவை அல்ல. அவர்கள் அனைவரும்

பகுதியின் பண்புகளைப் பயன்படுத்தவும், பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் நிரூபணத்தை விட மிகவும் சிக்கலான சான்றுகள்.

• சமநிலை மூலம் ஆதாரம்.

நான்கு சம செவ்வக வடிவில் அமைப்போம்

படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளபடி முக்கோணம்

வலதுபுறம்.

பக்கங்களுடன் நாற்கோணம் c- சதுரம்,

இரண்டு தீவிர கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை 90°, மற்றும்

விரிந்த கோணம் - 180°.

முழு உருவத்தின் பரப்பளவு சமமாக உள்ளது, ஒருபுறம்,

பக்கத்துடன் ஒரு சதுரத்தின் பரப்பளவு ( a+b), மறுபுறம், நான்கு முக்கோணங்களின் பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகை மற்றும்

கே.இ.டி.

3. எல்லையற்ற முறை மூலம் பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் ஆதாரம்.

​

படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ள வரைபடத்தைப் பார்த்து

பக்க மாற்றம் பார்க்கிறதுஅ, நம்மால் முடியும்

பின்வரும் தொடர்பை எல்லையற்றதாக எழுதவும்

சிறிய பக்க அதிகரிப்புகள்உடன்மற்றும் அ(ஒற்றுமையைப் பயன்படுத்தி

முக்கோணங்கள்):

மாறி பிரிப்பு முறையைப் பயன்படுத்தி, நாம் காண்கிறோம்:

இருபுறமும் அதிகரிப்புகளில் ஹைபோடென்யூஸில் ஏற்படும் மாற்றத்திற்கான பொதுவான வெளிப்பாடு:

இந்த சமன்பாட்டை ஒருங்கிணைத்து, ஆரம்ப நிலைகளைப் பயன்படுத்தி, நாம் பெறுகிறோம்:

எனவே நாம் விரும்பிய பதிலை அடைகிறோம்:

பார்க்க எளிதானது போல, இறுதி சூத்திரத்தில் இருபடி சார்பு நேரியல் காரணமாக தோன்றுகிறது

முக்கோணத்தின் பக்கங்களுக்கும் அதிகரிப்புகளுக்கும் இடையிலான விகிதாசாரம், கூட்டுத்தொகை சுயாதீனத்துடன் தொடர்புடையது

வெவ்வேறு கால்களின் அதிகரிப்பில் இருந்து பங்களிப்பு.

கால்களில் ஒன்று அதிகரிப்பு ஏற்படவில்லை என்று நாம் கருதினால் எளிமையான ஆதாரம் கிடைக்கும்

(இந்த வழக்கில் கால் பி) ஒருங்கிணைப்பு மாறிலிக்கு நாம் பெறுகிறோம்:

பாடத்தின் நோக்கங்கள்:

பொது கல்வி:

• மாணவர்களின் தத்துவார்த்த அறிவை சோதிக்கவும் (செங்கோண முக்கோணத்தின் பண்புகள், பித்தகோரியன் தேற்றம்), சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதில் அவற்றைப் பயன்படுத்துவதற்கான திறன்;
• ஒரு சிக்கலான சூழ்நிலையை உருவாக்கிய பின்னர், தலைகீழ் பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் "கண்டுபிடிப்பு" க்கு மாணவர்களை வழிநடத்துங்கள்.

வளரும்:

• நடைமுறையில் தத்துவார்த்த அறிவைப் பயன்படுத்துவதற்கான திறன்களின் வளர்ச்சி;
• அவதானிப்புகளிலிருந்து முடிவுகளை உருவாக்கும் திறனை வளர்ப்பது;
• நினைவகம், கவனம், கவனிப்பு ஆகியவற்றின் வளர்ச்சி:
• கண்டுபிடிப்புகளிலிருந்து உணர்ச்சித் திருப்தியின் மூலம் கற்றல் உந்துதலின் வளர்ச்சி, கணிதக் கருத்துகளின் வளர்ச்சியின் வரலாற்றின் கூறுகளை அறிமுகப்படுத்துதல்.

கல்வி:

• பித்தகோரஸின் வாழ்க்கைச் செயல்பாட்டைப் படிப்பதன் மூலம் இந்த விஷயத்தில் நிலையான ஆர்வத்தை வளர்ப்பது;
• பரஸ்பர உதவியை வளர்ப்பது மற்றும் பரஸ்பர சோதனை மூலம் வகுப்பு தோழர்களின் அறிவின் புறநிலை மதிப்பீடு.

பாடம் வடிவம்: வகுப்பு-பாடம்.

பாட திட்டம்:

• ஏற்பாடு நேரம்.
• வீட்டுப்பாடத்தை சரிபார்க்கிறது. அறிவைப் புதுப்பித்தல்.
• பித்தகோரியன் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி நடைமுறைச் சிக்கல்களைத் தீர்ப்பது.
• புது தலைப்பு.
• அறிவின் முதன்மை ஒருங்கிணைப்பு.
• வீட்டு பாடம்.
• பாடத்தின் சுருக்கம்.
• சுயாதீனமான வேலை (பித்தகோரஸின் பழமொழிகளை யூகித்து தனிப்பட்ட அட்டைகளைப் பயன்படுத்துதல்).

வகுப்புகளின் போது.

ஏற்பாடு நேரம்.

வீட்டுப்பாடத்தை சரிபார்க்கிறது. அறிவைப் புதுப்பித்தல்.

ஆசிரியர்:நீங்கள் வீட்டில் என்ன பணி செய்தீர்கள்?

மாணவர்கள்:ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் கொடுக்கப்பட்ட இரண்டு பக்கங்களைப் பயன்படுத்தி, மூன்றாவது பக்கத்தைக் கண்டறிந்து பதில்களை அட்டவணை வடிவில் வழங்கவும். ஒரு ரோம்பஸ் மற்றும் ஒரு செவ்வகத்தின் பண்புகளை மீண்டும் செய்யவும். நிலை என்று அழைக்கப்படுவதையும் தேற்றத்தின் முடிவு என்ன என்பதையும் மீண்டும் செய்யவும். பித்தகோரஸின் வாழ்க்கை மற்றும் பணி பற்றிய அறிக்கைகளைத் தயாரிக்கவும். 12 முடிச்சுகள் கட்டப்பட்ட ஒரு கயிற்றைக் கொண்டு வாருங்கள்.

ஆசிரியர்:அட்டவணையைப் பயன்படுத்தி உங்கள் வீட்டுப்பாடத்திற்கான பதில்களைச் சரிபார்க்கவும்

(தரவு கருப்பு நிறத்தில் முன்னிலைப்படுத்தப்பட்டுள்ளது, பதில்கள் சிவப்பு நிறத்தில் உள்ளன).

ஆசிரியர்: அறிக்கைகள் பலகையில் எழுதப்பட்டுள்ளன. நீங்கள் அவர்களுடன் உடன்பட்டால், தொடர்புடைய கேள்வி எண்ணுக்கு அடுத்துள்ள காகிதத் துண்டுகளில் "+" ஐ வைக்கவும், நீங்கள் ஒப்புக்கொள்ளவில்லை என்றால், "-" என்று வைக்கவும்.

அறிக்கைகள் பலகையில் முன்பே எழுதப்பட்டுள்ளன.

1. ஹைப்போடென்யூஸ் காலை விட நீளமானது.
2. ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் தீவிர கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை 180 0 ஆகும்.
3. கால்கள் கொண்ட வலது முக்கோணத்தின் பகுதி ஏமற்றும் விசூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது S=ab/2.
4. பித்தகோரியன் தேற்றம் அனைத்து ஐசோசெல்ஸ் முக்கோணங்களுக்கும் பொருந்தும்.
5. ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில், 30 0 கோணத்திற்கு எதிரே உள்ள கால் ஹைப்போடென்யூஸின் பாதிக்கு சமம்.
6. கால்களின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகை ஹைப்போடென்யூஸின் சதுரத்திற்கு சமம்.
7. காலின் சதுரம் ஹைப்போடென்யூஸின் சதுரங்களுக்கும் இரண்டாவது காலுக்கும் இடையிலான வேறுபாட்டிற்கு சமம்.
8. ஒரு முக்கோணத்தின் ஒரு பக்கமானது மற்ற இரண்டு பக்கங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம்.

பரஸ்பர சரிபார்ப்பைப் பயன்படுத்தி வேலை சரிபார்க்கப்படுகிறது. சர்ச்சையை ஏற்படுத்திய அறிக்கைகள் குறித்து விவாதிக்கப்படுகிறது.

தத்துவார்த்த கேள்விகளுக்கான திறவுகோல்.

பின்வரும் முறையைப் பயன்படுத்தி மாணவர்கள் ஒருவருக்கொருவர் தரப்படுத்துகிறார்கள்:

8 சரியான பதில்கள் "5";
6-7 சரியான பதில்கள் "4";
4-5 சரியான பதில்கள் "3";
4 க்கும் குறைவான சரியான பதில்கள் "2".

ஆசிரியர்:கடைசி பாடத்தில் எதைப் பற்றி பேசினோம்?

மாணவர்:பித்தகோரஸ் மற்றும் அவரது தேற்றம் பற்றி.

ஆசிரியர்:பித்தகோரியன் தேற்றத்தை கூறுங்கள். (பல மாணவர்கள் சூத்திரத்தைப் படிக்கிறார்கள், இந்த நேரத்தில் 2-3 மாணவர்கள் கரும்பலகையில் அதை நிரூபிக்கிறார்கள், 6 மாணவர்கள் முதல் மேசைகளில் காகித துண்டுகள் மீது).

கணித சூத்திரங்கள் காந்த பலகையில் அட்டைகளில் எழுதப்பட்டுள்ளன. பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் பொருளைப் பிரதிபலிக்கும்வற்றைத் தேர்ந்தெடுக்கவும் ஏ மற்றும் வி - கால்கள், உடன் - ஹைப்போடென்யூஸ்.

1) c 2 = a 2 + b 2	2) c = a + b	3) a 2 = 2 - இல் 2
4) 2 = a 2 - இல் 2	5) 2 = c 2 - a 2 இல்	6) a 2 = c 2 + c 2

கரும்பலகையிலும் களத்திலும் தேற்றத்தை நிரூபிக்கும் மாணவர்கள் தயாராக இல்லாத நிலையில், பித்தகோரஸின் வாழ்க்கை மற்றும் பணி குறித்த அறிக்கைகளைத் தயாரித்தவர்களுக்கு இடம் வழங்கப்படுகிறது.

வயலில் பணிபுரியும் பள்ளிக்குழந்தைகள் காகிதத் துண்டுகளைக் கொடுத்து, போர்டில் பணிபுரிந்தவர்களின் சான்றுகளைக் கேட்கிறார்கள்.

பித்தகோரியன் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி நடைமுறைச் சிக்கல்களைத் தீர்ப்பது.

ஆசிரியர்:ஆய்வு செய்யப்படும் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி நடைமுறைச் சிக்கல்களை உங்களுக்கு வழங்குகிறேன். முதலில் காட்டை, புயலுக்குப் பிறகு, புறநகர்ப் பகுதிக்கு செல்வோம்.

பிரச்சனை 1. புயலுக்குப் பிறகு, தளிர் உடைந்தது. மீதமுள்ள பகுதியின் உயரம் 4.2 மீ. அடித்தளத்திலிருந்து விழுந்த உச்சி வரையிலான தூரம் 5.6 மீ. புயலுக்கு முன் தளிர் உயரத்தைக் கண்டறியவும்.

பிரச்சனை 2. வீட்டின் உயரம் 4.4 மீ. வீட்டைச் சுற்றியுள்ள புல்வெளியின் அகலம் 1.4 மீ. புல்வெளியில் குறுக்கிடாதபடி மற்றும் வீட்டின் கூரையை அடையும் வகையில் ஏணியை எவ்வளவு நீளமாக உருவாக்க வேண்டும்?

புது தலைப்பு.

ஆசிரியர்:(இசை ஒலிகள்)கண்களை மூடு, சில நிமிடங்களுக்கு நாம் வரலாற்றில் மூழ்குவோம். பண்டைய எகிப்தில் நாங்கள் உங்களுடன் இருக்கிறோம். இங்கே கப்பல் கட்டும் தளங்களில் எகிப்தியர்கள் தங்கள் புகழ்பெற்ற கப்பல்களை உருவாக்குகிறார்கள். ஆனால் நில அளவையாளர்கள் நைல் நதி வெள்ளத்திற்குப் பிறகு அதன் எல்லைகள் கழுவப்பட்ட நிலத்தின் பகுதிகளை அளவிடுகின்றனர். பில்டர்கள் பிரமாண்டமான பிரமிடுகளை உருவாக்குகிறார்கள், அவை அவற்றின் மகத்துவத்தால் இன்னும் நம்மை ஆச்சரியப்படுத்துகின்றன. இந்த நடவடிக்கைகள் அனைத்திலும், எகிப்தியர்கள் சரியான கோணங்களைப் பயன்படுத்த வேண்டியிருந்தது. ஒருவருக்கொருவர் சமமான தூரத்தில் 12 முடிச்சுகள் கட்டப்பட்ட கயிற்றைப் பயன்படுத்தி அவற்றை எவ்வாறு உருவாக்குவது என்பது அவர்களுக்குத் தெரியும். பழங்கால எகிப்தியர்களைப் போல சிந்தித்து, உங்கள் கயிறுகளால் சரியான முக்கோணங்களை உருவாக்க முயற்சிக்கவும். (இந்த சிக்கலை தீர்க்க, தோழர்களே 4 குழுக்களாக வேலை செய்கிறார்கள். சிறிது நேரத்திற்குப் பிறகு, போர்டுக்கு அருகில் ஒரு டேப்லெட்டில் ஒரு முக்கோணத்தின் கட்டுமானத்தை யாரோ காட்டுகிறார்கள்).

இதன் விளைவாக வரும் முக்கோணத்தின் பக்கங்கள் 3, 4 மற்றும் 5 ஆகும். இந்த முடிச்சுகளுக்கு இடையில் நீங்கள் மேலும் ஒரு முடிச்சைப் போட்டால், அதன் பக்கங்கள் 6, 8 மற்றும் 10 ஆக மாறும். ஒவ்வொன்றும் இரண்டு இருந்தால் - 9, 12 மற்றும் 15. இந்த முக்கோணங்கள் அனைத்தும் ஏனெனில் வலது கோணம்

5 2 = 3 2 + 4 2, 10 2 = 6 2 + 8 2, 15 2 = 9 2 + 12 2, முதலியன.

ஒரு முக்கோணம் செங்கோணமாக இருக்க என்ன சொத்து இருக்க வேண்டும்? (மாணவர்கள் தலைகீழ் பித்தகோரியன் தேற்றத்தை தாங்களே உருவாக்க முயற்சி செய்கிறார்கள்; இறுதியாக, யாரோ ஒருவர் வெற்றி பெறுகிறார்).

இந்த தேற்றம் பித்தகோரியன் தேற்றத்திலிருந்து எவ்வாறு வேறுபடுகிறது?

மாணவர்:நிலையும் முடிவும் இடம் மாறிவிட்டன.

ஆசிரியர்:அத்தகைய கோட்பாடுகள் என்ன அழைக்கப்படுகின்றன என்பதை வீட்டில் நீங்கள் மீண்டும் சொன்னீர்கள். இப்போது நாம் என்ன சந்தித்தோம்?

மாணவர்: தலைகீழ் பித்தகோரியன் தேற்றத்துடன்.

ஆசிரியர்: பாடத்தின் தலைப்பை நம் குறிப்பேட்டில் எழுதுவோம். உங்கள் பாடப்புத்தகங்களை பக்கம் 127 இல் திறந்து, இந்த அறிக்கையை மீண்டும் படித்து, அதை உங்கள் நோட்புக்கில் எழுதி, ஆதாரத்தை பகுப்பாய்வு செய்யுங்கள்.

(பாடப்புத்தகத்துடன் சில நிமிடங்கள் சுயாதீனமான வேலைக்குப் பிறகு, விரும்பினால், கரும்பலகையில் ஒருவர் தேற்றத்தின் ஆதாரத்தை அளிக்கிறார்).

1. 3, 4 மற்றும் 5 பக்கங்களைக் கொண்ட முக்கோணத்தின் பெயர் என்ன? ஏன்?
2. எந்த முக்கோணங்கள் பித்தகோரியன் முக்கோணங்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன?
3. உங்கள் வீட்டுப்பாடத்தில் நீங்கள் எந்த முக்கோணங்களுடன் பணிபுரிந்தீர்கள்? ஒரு பைன் மரம் மற்றும் ஒரு ஏணியில் உள்ள பிரச்சனைகளைப் பற்றி என்ன?

அறிவின் முதன்மை ஒருங்கிணைப்பு

.

இந்த தேற்றம் முக்கோணங்கள் சரியான கோணத்தில் உள்ளதா என்பதை நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டிய சிக்கல்களைத் தீர்க்க உதவுகிறது.

பணிகள்:

1) ஒரு முக்கோணம் அதன் பக்கங்கள் சமமாக இருந்தால் அது செங்கோணமாக உள்ளதா என்பதைக் கண்டறியவும்:

a) 12,37 மற்றும் 35; b) 21, 29 மற்றும் 24.

2) 6, 8 மற்றும் 10 செமீ பக்கங்களைக் கொண்ட முக்கோணத்தின் உயரங்களைக் கணக்கிடுங்கள்.

வீட்டு பாடம்

.

பக்கம் 127: தலைகீழ் பித்தகோரியன் தேற்றம். எண். 498(a,b,c) எண். 497.

பாடத்தின் சுருக்கம்.

பாடத்தில் நீங்கள் புதிதாக என்ன கற்றுக்கொண்டீர்கள்?

எகிப்தில் தலைகீழ் பித்தகோரியன் தேற்றம் எவ்வாறு பயன்படுத்தப்பட்டது?

என்ன பிரச்சனைகளை தீர்க்க இது பயன்படுகிறது?

நீங்கள் என்ன முக்கோணங்களை சந்தித்தீர்கள்?

நீங்கள் எதை அதிகம் நினைவில் வைத்திருக்கிறீர்கள் மற்றும் விரும்புகிறீர்கள்?

சுயாதீனமான வேலை (தனிப்பட்ட அட்டைகளைப் பயன்படுத்தி மேற்கொள்ளப்படுகிறது).

ஆசிரியர்:வீட்டில் நீங்கள் ஒரு ரோம்பஸ் மற்றும் ஒரு செவ்வகத்தின் பண்புகளை மீண்டும் மீண்டும் செய்தீர்கள். அவற்றை பட்டியலிடுங்கள் (வகுப்புடன் ஒரு உரையாடல் உள்ளது). கடந்த பாடத்தில் பித்தகோரஸ் ஒரு பல்துறை ஆளுமை என்பது பற்றி பேசினோம். அவர் மருத்துவம், இசை மற்றும் வானியல் ஆகியவற்றைப் படித்தார், மேலும் ஒரு தடகள வீரராகவும் இருந்தார் மற்றும் ஒலிம்பிக் போட்டிகளில் பங்கேற்றார். பித்தகோரஸ் ஒரு தத்துவஞானியும் கூட. அவருடைய பல பழமொழிகள் இன்றும் நமக்குப் பொருத்தமானவை. இப்போது நீங்கள் சுதந்திரமான வேலையைச் செய்வீர்கள். ஒவ்வொரு பணிக்கும், பல பதில் விருப்பங்கள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன, அதற்கு அடுத்ததாக பித்தகோரஸின் பழமொழிகளின் துண்டுகள் எழுதப்பட்டுள்ளன. உங்கள் பணி அனைத்து பணிகளையும் தீர்க்க வேண்டும், பெறப்பட்ட துண்டுகளிலிருந்து ஒரு அறிக்கையை உருவாக்கி அதை எழுதுங்கள்.

பித்தகோரியன் தேற்றம் கூறுகிறது:

ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில், கால்களின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகை ஹைபோடென்யூஸின் சதுரத்திற்கு சமம்:

a 2 + b 2 = c 2,

• அமற்றும் பி- கால்கள் சரியான கோணத்தை உருவாக்குகின்றன.
• உடன்- முக்கோணத்தின் ஹைப்போடென்யூஸ்.

பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் சூத்திரங்கள்

• a = \sqrt(c^(2) - b^(2))
• b = \sqrt (c^(2) - a^(2))
• c = \sqrt (a^(2) + b^(2))

பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் ஆதாரம்

வலது முக்கோணத்தின் பரப்பளவு சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது:

S = \frac(1)(2) ab

தன்னிச்சையான முக்கோணத்தின் பரப்பளவைக் கணக்கிட, பகுதி சூத்திரம்:

• ப- அரை சுற்றளவு. p=\frac(1)(2)(a+b+c) ,
• ஆர்- பொறிக்கப்பட்ட வட்டத்தின் ஆரம். ஒரு செவ்வகத்திற்கு r=\frac(1)(2)(a+b-c).

முக்கோணத்தின் பரப்பளவிற்கு இரண்டு சூத்திரங்களின் வலது பக்கங்களையும் சமன் செய்கிறோம்:

\frac(1)(2) ab = \frac(1)(2)(a+b+c) \frac(1)(2)(a+b-c)

2 ab = (a+b+c) (a+b-c)

2 ab = \இடது((a+b)^(2) -c^(2) \வலது)

2 ab = a^(2)+2ab+b^(2)-c^(2)

0=a^(2)+b^(2)-c^(2)

c^(2) = a^(2)+b^(2)

உரையாடல் பித்தகோரியன் தேற்றம்:

ஒரு முக்கோணத்தின் ஒரு பக்கத்தின் சதுரம் மற்ற இரண்டு பக்கங்களின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமமாக இருந்தால், முக்கோணம் வலது கோணமாக இருக்கும். அதாவது, எந்த மூன்று மடங்கு நேர்மறை எண்களுக்கும் a, bமற்றும் c, அதுபோல்

a 2 + b 2 = c 2,

கால்களுடன் ஒரு செங்கோண முக்கோணம் உள்ளது அமற்றும் பிமற்றும் ஹைப்போடென்யூஸ் c.

பித்தகோரியன் தேற்றம்- யூக்ளிடியன் வடிவவியலின் அடிப்படைக் கோட்பாடுகளில் ஒன்று, செங்கோண முக்கோணத்தின் பக்கங்களுக்கிடையேயான உறவை நிறுவுகிறது. இது கற்றறிந்த கணிதவியலாளரும் தத்துவஞானியுமான பித்தகோரஸால் நிரூபிக்கப்பட்டது.

தேற்றத்தின் பொருள்மற்ற தேற்றங்களை நிரூபிக்கவும், சிக்கல்களைத் தீர்க்கவும் இதைப் பயன்படுத்தலாம் என்பதுதான் புள்ளி.

கூடுதல் பொருள்:

பித்தகோரியன் தேற்றத்தில் குறிப்பிடப்பட்டுள்ள சொத்து ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் சிறப்பியல்பு பண்பு என்பது குறிப்பிடத்தக்கது. இது தேற்றத்திலிருந்து பித்தகோரியன் தேற்றத்திற்கு மாறுகிறது.

தேற்றம்: ஒரு முக்கோணத்தின் ஒரு பக்கத்தின் சதுரம் மற்ற இரண்டு பக்கங்களின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமமாக இருந்தால், முக்கோணம் வலது கோணத்தில் இருக்கும்.

ஹெரானின் சூத்திரம்

ஒரு முக்கோணத்தின் பக்கங்களின் நீளத்தின் அடிப்படையில் அதன் விமானத்தை வெளிப்படுத்தும் சூத்திரத்தைப் பெறுவோம். இந்த சூத்திரம் அலெக்ஸாண்ட்ரியாவின் ஹெரானின் பெயருடன் தொடர்புடையது - ஒரு பண்டைய கிரேக்க கணிதவியலாளர் மற்றும் மெக்கானிக் கி.பி 1 ஆம் நூற்றாண்டில் வாழ்ந்தவர். ஹெரான் வடிவவியலின் நடைமுறை பயன்பாடுகளில் அதிக கவனம் செலுத்தினார்.

தேற்றம். ஒரு முக்கோணத்தின் பகுதி S, a, b, c க்கு சமமாக இருக்கும் பக்கங்கள் S= சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது, இங்கு p என்பது முக்கோணத்தின் அரை சுற்றளவு.

ஆதாரம்.

கொடுக்கப்பட்டவை: ?ABC, AB= c, BC= a, AC= b. கோணங்கள் A மற்றும் B கடுமையானவை. CH - உயரம்.

நிரூபிக்க:

ஆதாரம்:

ABC முக்கோணத்தைக் கவனியுங்கள், இதில் AB=c, BC=a, AC=b. ஒவ்வொரு முக்கோணமும் குறைந்தது இரண்டு கடுமையான கோணங்களைக் கொண்டுள்ளது. A மற்றும் B முக்கோண ABCயின் தீவிர கோணங்களாக இருக்கட்டும். பின்னர் முக்கோணத்தின் உயரமான CH இன் அடிப்படை H ஆனது AB பக்கத்தில் உள்ளது. பின்வரும் குறியீட்டை அறிமுகப்படுத்துவோம்: CH = h, AH=y, HB=x. பித்தகோரியன் தேற்றத்தால் a 2 - x 2 = h 2 =b 2 -y 2, எங்கிருந்து

Y 2 - x 2 = b 2 - a 2, அல்லது (y - x) (y + x) = b 2 - a 2, மற்றும் y + x = c, பின்னர் y- x = (b2 - a2).

கடைசி இரண்டு சமத்துவங்களைச் சேர்த்தால், நாம் பெறுகிறோம்:

2y = +c, எங்கிருந்து

y=, மற்றும், எனவே, h 2 = b 2 -y 2 =(b - y)(b+y)=

வீடியோ பாடங்களைப் பயன்படுத்தி பள்ளி பாடத்திட்டத்தின் தலைப்புகளை மதிப்பாய்வு செய்வது, பொருள் படிக்கவும் தேர்ச்சி பெறவும் ஒரு வசதியான வழியாகும். முக்கிய கோட்பாட்டு கருத்துகளில் மாணவர்களின் கவனத்தை செலுத்தவும், முக்கியமான விவரங்களை தவறவிடாமல் இருக்கவும் வீடியோ உதவுகிறது. தேவைப்பட்டால், மாணவர்கள் எப்போதும் வீடியோ பாடத்தை மீண்டும் கேட்கலாம் அல்லது பல தலைப்புகளுக்குத் திரும்பலாம்.

8 ஆம் வகுப்பிற்கான இந்த வீடியோ பாடம் மாணவர்களுக்கு வடிவவியலில் புதிய தலைப்பைக் கற்றுக்கொள்ள உதவும்.

முந்தைய தலைப்பில், பித்தகோரியன் தேற்றத்தைப் படித்து அதன் ஆதாரத்தை பகுப்பாய்வு செய்தோம்.

தலைகீழ் பித்தகோரியன் தேற்றம் என்று அழைக்கப்படும் ஒரு தேற்றமும் உள்ளது. அதைக் கூர்ந்து கவனிப்போம்.

தேற்றம். ஒரு முக்கோணம் பின்வரும் சமத்துவத்தை வைத்திருந்தால் அது செங்கோணமாக இருக்கும்: முக்கோணத்தின் ஒரு பக்கத்தின் மதிப்பானது ஸ்கொயர் செய்யப்பட்ட மற்ற இரண்டு பக்கங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமமாக இருக்கும்.

ஆதாரம். நமக்கு ஒரு முக்கோணம் ABC கொடுக்கப்பட்டுள்ளது என்று வைத்துக் கொள்வோம், அதில் AB 2 = CA 2 + CB 2 என்ற சமத்துவம் உள்ளது. கோணம் C 90 டிகிரிக்கு சமம் என்பதை நிரூபிக்க வேண்டியது அவசியம். A 1 B 1 C 1 முக்கோணத்தைக் கவனியுங்கள், இதில் கோணம் C 1 90 டிகிரிக்கு சமம், பக்க C 1 A 1 CA க்கு சமம் மற்றும் பக்க B 1 C 1 BC க்கு சமம்.

பித்தகோரியன் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி, A 1 C 1 B 1: A 1 B 1 2 = C 1 A 1 2 + C 1 B 1 2 என்ற முக்கோணத்தில் பக்கங்களின் விகிதத்தை எழுதுகிறோம். வெளிப்பாட்டை சம பக்கங்களுடன் மாற்றினால், நாம் A 1 B 1 2 = CA 2 + CB 2 ஐப் பெறுகிறோம்.

தேற்றத்தின் நிபந்தனைகளிலிருந்து AB 2 = CA 2 + CB 2 என்பதை நாம் அறிவோம். பிறகு A 1 B 1 2 = AB 2 என்று எழுதலாம், அதில் இருந்து A 1 B 1 = AB என்று வரும்.

ABC மற்றும் A 1 B 1 C 1 முக்கோணங்களில் மூன்று பக்கங்களும் சமமாக இருப்பதைக் கண்டறிந்தோம்: A 1 C 1 = AC, B 1 C 1 = BC, A 1 B 1 = AB. எனவே இந்த முக்கோணங்கள் சமம். முக்கோணங்களின் சமத்துவத்திலிருந்து, கோணம் C கோணம் C 1 க்கு சமம் மற்றும் அதன்படி, 90 டிகிரிக்கு சமம். முக்கோணம் ஏபிசி செங்கோணம் என்றும் அதன் கோணம் சி 90 டிகிரி என்றும் நாங்கள் தீர்மானித்துள்ளோம். இந்த தேற்றத்தை நாங்கள் நிரூபித்துள்ளோம்.

அடுத்து, ஆசிரியர் ஒரு உதாரணம் தருகிறார். நமக்கு ஒரு தன்னிச்சையான முக்கோணம் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம். அதன் பக்கங்களின் அளவுகள் அறியப்படுகின்றன: 5, 4 மற்றும் 3 அலகுகள். தேற்றத்திலிருந்து பித்தகோரியன் தேற்றத்திற்கு நேர்மாறான அறிக்கையைச் சரிபார்ப்போம்: 5 2 = 3 2 + 4 2. அறிக்கை உண்மை, அதாவது இந்த முக்கோணம் வலது கோணத்தில் உள்ளது.

பின்வரும் எடுத்துக்காட்டுகளில், முக்கோணங்களும் அவற்றின் பக்கங்கள் சமமாக இருந்தால் அவை செங்கோண முக்கோணங்களாக இருக்கும்:

5, 12, 13 அலகுகள்; சமத்துவம் 13 2 = 5 2 + 12 2 உண்மை;

8, 15, 17 அலகுகள்; சமத்துவம் 17 2 = 8 2 + 15 2 உண்மை;

7, 24, 25 அலகுகள்; சமத்துவம் 25 2 = 7 2 + 24 2 உண்மை.

பித்தகோரியன் முக்கோணத்தின் கருத்து அறியப்படுகிறது. இது ஒரு செங்கோண முக்கோணமாகும், அதன் பக்கங்களும் முழு எண்களுக்கு சமமாக இருக்கும். பித்தகோரியன் முக்கோணத்தின் கால்கள் a மற்றும் c மற்றும் ஹைபோடென்யூஸ் b ஆல் குறிக்கப்பட்டால், இந்த முக்கோணத்தின் பக்கங்களின் மதிப்புகளை பின்வரும் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி எழுதலாம்:

b = k x (m 2 - n 2)

c = k x (m 2 + n 2)

m, n, k ஆகியவை இயற்கை எண்களாகும், மேலும் m இன் மதிப்பு n இன் மதிப்பை விட அதிகமாக இருக்கும்.

சுவாரஸ்யமான உண்மை: 5, 4 மற்றும் 3 பக்கங்களைக் கொண்ட ஒரு முக்கோணம் எகிப்திய முக்கோணம் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது; அத்தகைய முக்கோணம் பண்டைய எகிப்தில் அறியப்பட்டது.

இந்த வீடியோ பாடத்தில் பித்தகோரியன் தேற்றத்துடன் தேற்றம் மாறுவதைக் கற்றுக்கொண்டோம். ஆதாரங்களை விரிவாக ஆராய்ந்தோம். எந்த முக்கோணங்கள் பித்தகோரியன் முக்கோணங்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன என்பதையும் மாணவர்கள் அறிந்து கொண்டனர்.

இந்த வீடியோ பாடத்தின் உதவியுடன் மாணவர்கள் தாங்களாகவே "பித்தகோரஸின் தலைகீழ் தேற்றம்" என்ற தலைப்பை எளிதில் அறிந்து கொள்ளலாம்.