தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியின் கணித எதிர்பார்ப்பு. எடுத்துக்காட்டு தீர்வு. நிகழ்தகவு பரவல் அடர்த்தி நிகழ்தகவு பரவல் அடர்த்தியைக் கண்டறியவும்

சீரற்ற மாறி பல்வேறு சூழ்நிலைகளைப் பொறுத்து சில மதிப்புகளைப் பெறக்கூடிய ஒரு மாறி, மற்றும் சீரற்ற மாறி தொடர்ச்சியானது என்று அழைக்கப்படுகிறது , அது எந்த வரையறுக்கப்பட்ட அல்லது வரம்பற்ற இடைவெளியில் இருந்து எந்த மதிப்பையும் எடுக்க முடியும் என்றால். தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறிக்கு, சாத்தியமான அனைத்து மதிப்புகளையும் குறிப்பிடுவது சாத்தியமில்லை, எனவே சில நிகழ்தகவுகளுடன் தொடர்புடைய இந்த மதிப்புகளின் இடைவெளிகளை நாங்கள் குறிப்பிடுகிறோம்.

தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறிகளின் எடுத்துக்காட்டுகள் பின்வருமாறு: கொடுக்கப்பட்ட அளவிற்கு ஒரு பகுதியின் விட்டம், ஒரு நபரின் உயரம், ஒரு எறிபொருளின் விமான வரம்பு போன்றவை.

தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறிகள் செயல்பாடு என்பதால் எஃப்(எக்ஸ்), போலல்லாமல் தனித்த சீரற்ற மாறிகள், எங்கும் தாவல்கள் இல்லை, பின்னர் தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியின் எந்தவொரு தனிப்பட்ட மதிப்பின் நிகழ்தகவு பூஜ்ஜியமாகும்.

இதன் பொருள் தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறிக்கு அதன் மதிப்புகளுக்கு இடையிலான நிகழ்தகவு விநியோகத்தைப் பற்றி பேசுவதில் அர்த்தமில்லை: அவை ஒவ்வொன்றும் பூஜ்ஜிய நிகழ்தகவைக் கொண்டுள்ளன. இருப்பினும், ஒரு வகையில், தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியின் மதிப்புகளில் "அதிகமாகவும் குறைவாகவும்" உள்ளன. எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு சீரற்ற மாறியின் மதிப்பு - தோராயமாக சந்திக்கும் நபரின் உயரம் - 170 செ.மீ - 220 செ.மீ க்கும் அதிகமாக இருக்கும் என்று யாரும் சந்தேகிக்க மாட்டார்கள், இருப்பினும் இரண்டு மதிப்புகளும் நடைமுறையில் ஏற்படலாம்.

தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறி மற்றும் நிகழ்தகவு அடர்த்தியின் விநியோக செயல்பாடு

தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறிகளுக்கு மட்டுமே அர்த்தமுள்ள ஒரு விநியோகச் சட்டமாக, விநியோக அடர்த்தி அல்லது நிகழ்தகவு அடர்த்தி என்ற கருத்து அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது. தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறி மற்றும் தனித்த சீரற்ற மாறிக்கான பரவல் செயல்பாட்டின் அர்த்தத்தை ஒப்பிடுவதன் மூலம் அதை அணுகலாம்.

எனவே, ஒரு சீரற்ற மாறியின் விநியோக செயல்பாடு (தனிப்பட்ட மற்றும் தொடர்ச்சியானது) அல்லது ஒருங்கிணைந்த செயல்பாடுஒரு சீரற்ற மாறியின் மதிப்பின் நிகழ்தகவை தீர்மானிக்கும் செயல்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது எக்ஸ்வரம்பு மதிப்பை விட குறைவாக அல்லது சமமாக எக்ஸ்.

அதன் மதிப்புகளின் புள்ளிகளில் ஒரு தனித்துவமான சீரற்ற மாறிக்கு எக்ஸ்1 , எக்ஸ் 2 , ..., எக்ஸ்நான்,...நிகழ்தகவுகளின் நிறை குவிந்துள்ளது ப1 , ப 2 , ..., பநான்,..., மற்றும் அனைத்து வெகுஜனங்களின் கூட்டுத்தொகை 1 க்கு சமம். இந்த விளக்கத்தை தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியின் வழக்குக்கு மாற்றுவோம். 1 க்கு சமமான வெகுஜனமானது தனிப்பட்ட புள்ளிகளில் குவிக்கப்படவில்லை, ஆனால் அப்சிஸ்ஸா அச்சில் தொடர்ந்து "ஸ்மியர்" செய்யப்படுகிறது என்று கற்பனை செய்யலாம். ஓசில சீரற்ற அடர்த்தியுடன். ஒரு சீரற்ற மாறியின் நிகழ்தகவு எந்தப் பகுதியிலும் விழும் Δ எக்ஸ்ஒரு பகுதிக்கான நிறை என்றும், அந்தப் பிரிவின் சராசரி அடர்த்தியானது நிறை மற்றும் நீளத்தின் விகிதமாக விளக்கப்படும். நிகழ்தகவு கோட்பாட்டில் ஒரு முக்கியமான கருத்தை அறிமுகப்படுத்தியுள்ளோம்: விநியோக அடர்த்தி.

நிகழ்தகவு அடர்த்தி f(எக்ஸ்) ஒரு தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறி அதன் பரவல் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலாகும்:

.

அடர்த்தி செயல்பாட்டை அறிந்தால், தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியின் மதிப்பு மூடிய இடைவெளிக்கு சொந்தமானது என்பதற்கான நிகழ்தகவைக் கண்டறியலாம். அ; பி]:

ஒரு தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியின் நிகழ்தகவு எக்ஸ்இடைவெளியில் இருந்து எந்த மதிப்பையும் எடுக்கும் [ அ; பி], அதன் நிகழ்தகவு அடர்த்தியின் ஒரு குறிப்பிட்ட ஒருங்கிணைப்புக்கு சமம் அமுன் பி:

.

இந்த வழக்கில், செயல்பாட்டின் பொதுவான சூத்திரம் எஃப்(எக்ஸ்) ஒரு தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியின் நிகழ்தகவு விநியோகம், இது அடர்த்தி செயல்பாடு தெரிந்தால் பயன்படுத்தப்படலாம் f(எக்ஸ்) :

.

தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியின் நிகழ்தகவு அடர்த்தி வரைபடம் அதன் பரவல் வளைவு என அழைக்கப்படுகிறது (கீழே உள்ள படம்).

ஒரு உருவத்தின் பரப்பளவு (படத்தில் நிழலாடப்பட்டது) ஒரு வளைவால், புள்ளிகளிலிருந்து வரையப்பட்ட நேர்கோடுகள் அமற்றும் பி x-அச்சு மற்றும் அச்சுக்கு செங்குத்தாக ஓ, தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியின் மதிப்பு நிகழ்தகவை வரைபடமாகக் காட்டுகிறது எக்ஸ்வரம்பிற்குள் உள்ளது அமுன் பி.

தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியின் நிகழ்தகவு அடர்த்தி செயல்பாட்டின் பண்புகள்

1. ஒரு சீரற்ற மாறியானது இடைவெளியிலிருந்து எந்த மதிப்பையும் எடுக்கும் நிகழ்தகவு (மற்றும் செயல்பாட்டின் வரைபடத்தால் வரையறுக்கப்பட்ட உருவத்தின் பரப்பளவு f(எக்ஸ்) மற்றும் அச்சு ஓ) ஒன்றுக்கு சமம்:

2. நிகழ்தகவு அடர்த்தி செயல்பாடு எதிர்மறை மதிப்புகளை எடுக்க முடியாது:

மற்றும் விநியோகத்தின் இருப்புக்கு வெளியே அதன் மதிப்பு பூஜ்ஜியமாகும்

விநியோக அடர்த்தி f(எக்ஸ்), அத்துடன் விநியோக செயல்பாடு எஃப்(எக்ஸ்), விநியோகச் சட்டத்தின் வடிவங்களில் ஒன்றாகும், ஆனால் விநியோகச் செயல்பாட்டைப் போலல்லாமல், இது உலகளாவியது அல்ல: தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறிகளுக்கு மட்டுமே விநியோக அடர்த்தி உள்ளது.

நடைமுறையில் தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியின் மிக முக்கியமான இரண்டு வகையான விநியோகங்களைக் குறிப்பிடுவோம்.

விநியோக அடர்த்தி செயல்பாடு என்றால் f(எக்ஸ்) சில வரையறுக்கப்பட்ட இடைவெளியில் தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறி [ அ; பி] ஒரு நிலையான மதிப்பை எடுக்கும் சி, மற்றும் இடைவெளிக்கு வெளியே பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமான மதிப்பை எடுக்கும், பின்னர் இது விநியோகம் சீரானதாக அழைக்கப்படுகிறது .

விநியோக அடர்த்தி செயல்பாட்டின் வரைபடம் மையத்தைப் பற்றி சமச்சீராக இருந்தால், சராசரி மதிப்புகள் மையத்திற்கு அருகில் குவிந்துள்ளன, மேலும் மையத்திலிருந்து விலகிச் செல்லும்போது, ​​சராசரியிலிருந்து வேறுபட்டவை சேகரிக்கப்படுகின்றன (செயல்பாட்டின் வரைபடம் ஒரு பகுதியை ஒத்திருக்கிறது. ஒரு மணி), பின்னர் இது விநியோகம் இயல்பானது என்று அழைக்கப்படுகிறது .

எடுத்துக்காட்டு 1.தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியின் நிகழ்தகவு பரவல் செயல்பாடு அறியப்படுகிறது:

செயல்பாட்டைக் கண்டறியவும் f(எக்ஸ்) தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியின் நிகழ்தகவு அடர்த்தி. இரண்டு செயல்பாடுகளின் வரைபடங்களை உருவாக்கவும். ஒரு தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியானது 4 முதல் 8 வரையிலான இடைவெளியில் எந்த மதிப்பையும் எடுக்கும் நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு. நிகழ்தகவு பரவல் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறிவதன் மூலம் நிகழ்தகவு அடர்த்தி செயல்பாட்டைப் பெறுகிறோம்:

ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடம் எஃப்(எக்ஸ்) - பரவளைய:

ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடம் f(எக்ஸ்) - நேராக:

ஒரு தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறி 4 முதல் 8 வரையிலான வரம்பில் எந்த மதிப்பையும் எடுக்கும் நிகழ்தகவைக் கண்டுபிடிப்போம்:

எடுத்துக்காட்டு 2.தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியின் நிகழ்தகவு அடர்த்தி செயல்பாடு பின்வருமாறு கொடுக்கப்பட்டுள்ளது:

குணகத்தை கணக்கிடுங்கள் சி. செயல்பாட்டைக் கண்டறியவும் எஃப்(எக்ஸ்) தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியின் நிகழ்தகவு பரவல். இரண்டு செயல்பாடுகளின் வரைபடங்களை உருவாக்கவும். ஒரு தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியானது 0 முதல் 5 வரையிலான வரம்பில் எந்த மதிப்பையும் எடுக்கும் நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு. குணகம் சிநிகழ்தகவு அடர்த்தி செயல்பாட்டின் பண்பு 1 ஐப் பயன்படுத்துவதைக் காண்கிறோம்:

எனவே, தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியின் நிகழ்தகவு அடர்த்தி செயல்பாடு:

ஒருங்கிணைப்பதன் மூலம், செயல்பாட்டைக் காண்கிறோம் எஃப்(எக்ஸ்) நிகழ்தகவு விநியோகம். என்றால் எக்ஸ் < 0 , то எஃப்(எக்ஸ்) = 0 . 0 என்றால்< எக்ஸ் < 10 , то

.

எக்ஸ்> 10, பின்னர் எஃப்(எக்ஸ்) = 1 .

எனவே, நிகழ்தகவு விநியோக செயல்பாட்டின் முழுமையான பதிவு:

ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடம் f(எக்ஸ்) :

ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடம் எஃப்(எக்ஸ்) :

ஒரு தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியானது 0 முதல் 5 வரையிலான வரம்பில் எந்த மதிப்பையும் எடுக்கும் நிகழ்தகவைக் கண்டுபிடிப்போம்:

எடுத்துக்காட்டு 3.தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியின் நிகழ்தகவு அடர்த்தி எக்ஸ்சமத்துவத்தால் வழங்கப்படுகிறது, மற்றும் . குணகத்தைக் கண்டறியவும் ஏ, ஒரு தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறி நிகழ்தகவு எக்ஸ்தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியின் பரவல் செயல்பாட்டின் ]0, 5[ இடைவெளியில் இருந்து எந்த மதிப்பையும் எடுக்கும் எக்ஸ்.

தீர்வு. நிபந்தனையின்படி நாம் சமத்துவத்தை அடைகிறோம்

எனவே, எங்கிருந்து . அதனால்,

.

இப்போது நாம் ஒரு தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியின் நிகழ்தகவைக் காண்கிறோம் எக்ஸ்]0, 5[:

இப்போது இந்த சீரற்ற மாறியின் விநியோக செயல்பாட்டைப் பெறுகிறோம்:

எடுத்துக்காட்டு 4.தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியின் நிகழ்தகவு அடர்த்தியைக் கண்டறியவும் எக்ஸ், இது எதிர்மறை அல்லாத மதிப்புகள் மற்றும் அதன் விநியோக செயல்பாடுகளை மட்டுமே எடுக்கும் .

விநியோகச் செயல்பாடு என்பது விநியோகச் சட்டத்தைக் குறிப்பிடுவதற்கான பொதுவான வடிவமாகும். இது தனித்த மற்றும் தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறிகள் இரண்டையும் குறிப்பிட பயன்படுகிறது. இது பொதுவாக குறிக்கப்படுகிறது. விநியோக செயல்பாடுஒரு சீரற்ற மாறி நிலையான உண்மையான எண்ணை விட குறைவான மதிப்புகளை எடுக்கும் நிகழ்தகவை தீர்மானிக்கிறது, அதாவது. . விநியோகச் செயல்பாடு ஒரு நிகழ்தகவுக் கண்ணோட்டத்தில் இருந்து ஒரு சீரற்ற மாறியை முழுமையாக வகைப்படுத்துகிறது. இது ஒட்டுமொத்த விநியோக செயல்பாடு என்றும் அழைக்கப்படுகிறது.

விநியோக செயல்பாட்டின் வடிவியல் விளக்கம் மிகவும் எளிமையானது. ஒரு சீரற்ற மாறி ஒரு அச்சில் ஒரு சீரற்ற புள்ளியாகக் கருதப்பட்டால் (படம் 6), ஒரு சோதனையின் விளைவாக இந்த அச்சில் ஒன்று அல்லது மற்றொரு நிலையை எடுக்க முடியும், பின்னர் விநியோக செயல்பாடு என்பது ஒரு சீரற்ற புள்ளியின் நிகழ்தகவு ஆகும். சோதனை புள்ளியின் இடதுபுறத்தில் விழும்.

மதிப்புகளை எடுக்கக்கூடிய ஒரு தனித்துவமான சீரற்ற மாறிக்கு,, ... ,, விநியோகச் செயல்பாடு வடிவம் கொண்டது

,

கூட்டுக் குறியின் கீழ் உள்ள சமத்துவமின்மை என்பது, அளவு சிறியதாக இருக்கும் அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் கூட்டுத்தொகை விரிவடைகிறது என்பதாகும். இந்த சூத்திரத்தில் இருந்து, ஒரு தனித்த சீரற்ற மாறியின் பரவல் செயல்பாடு இடைவிடாது மற்றும் புள்ளிகள் வழியாக செல்லும் போது தாவல்களில் அதிகரிக்கிறது,,...,, மற்றும் தாவலின் அளவு தொடர்புடைய மதிப்பின் நிகழ்தகவுக்கு சமம் (படம் 7 ) விநியோக செயல்பாட்டில் உள்ள அனைத்து தாவல்களின் கூட்டுத்தொகை ஒன்றுக்கு சமம்.

தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறி ஒரு தொடர்ச்சியான விநியோக செயல்பாட்டைக் கொண்டுள்ளது, இந்த செயல்பாட்டின் வரைபடம் மென்மையான வளைவின் வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது (படம் 8).

அரிசி. 7. படம். 8.

விநியோக செயல்பாடுகளின் பொதுவான பண்புகளை கருத்தில் கொள்வோம்.

சொத்து 1. விநியோகச் செயல்பாடு என்பது பூஜ்ஜியத்திற்கும் ஒன்றுக்கும் இடையே எதிர்மறையான செயல்பாடு அல்ல:

இந்தச் சொத்தின் செல்லுபடியாகும், விநியோகச் செயல்பாடு என்பது ஒரு சீரற்ற நிகழ்வின் நிகழ்தகவு என வரையறுக்கப்படுகிறது.

சொத்து 2. ஒரு சீரற்ற மாறி ஒரு இடைவெளியில் விழும் நிகழ்தகவு இந்த இடைவெளியின் முடிவில் உள்ள விநியோகச் செயல்பாட்டின் மதிப்புகளுக்கு இடையிலான வேறுபாட்டிற்கு சமம், அதாவது.

தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியின் எந்தவொரு தனிப்பட்ட மதிப்பின் நிகழ்தகவு பூஜ்ஜியமாக இருப்பதைப் பின்பற்றுகிறது.

சொத்து 3. ஒரு சீரற்ற மாறியின் பரவல் செயல்பாடு குறையாத செயல்பாடு ஆகும், அதாவது எப்போது .

சொத்து 4. கழித்தல் முடிவிலியில் விநியோகச் செயல்பாடு பூஜ்ஜியமாகும், மேலும் முடிவிலியில் விநியோகச் செயல்பாடு ஒன்று, அதாவது.

எடுத்துக்காட்டு 1.தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியின் பரவல் செயல்பாடு வெளிப்பாடு மூலம் வழங்கப்படுகிறது

குணகத்தைக் கண்டுபிடித்து வரைபடத்தை வரையவும். சோதனையின் விளைவாக ஒரு சீரற்ற மாறி இடைவெளியில் ஒரு மதிப்பை எடுக்கும் நிகழ்தகவைத் தீர்மானிக்கவும்.

தீர்வு. தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியின் விநியோக செயல்பாடு தொடர்ச்சியாக இருப்பதால், நாம் பெறுகிறோம்: . இங்கிருந்து. செயல்பாட்டு வரைபடம் படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது. 9.

விநியோக செயல்பாட்டின் இரண்டாவது சொத்தின் அடிப்படையில், எங்களிடம் உள்ளது:

.

4. நிகழ்தகவு பரவல் அடர்த்தி மற்றும் அதன் பண்புகள்.

தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியின் பரவல் செயல்பாடு அதன் நிகழ்தகவு பண்பு ஆகும். ஆனால் எண் அச்சில் ஒன்று அல்லது மற்றொரு புள்ளியில் ஒரு சிறிய சுற்றுப்புறத்தில் ஒரு சீரற்ற மாறியின் விநியோகத்தின் தன்மையை அதிலிருந்து தீர்மானிக்க கடினமாக உள்ளது என்ற குறைபாடு உள்ளது. தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியின் பரவலின் தன்மை பற்றிய தெளிவான யோசனையானது, ஒரு சீரற்ற மாறியின் நிகழ்தகவு பரவல் அடர்த்தி அல்லது வேறுபட்ட விநியோக செயல்பாடு எனப்படும் செயல்பாட்டின் மூலம் வழங்கப்படுகிறது.

விநியோக அடர்த்திவிநியோகச் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலுக்குச் சமம், அதாவது.

.

விநியோக அடர்த்தியின் பொருள் என்னவென்றால், சோதனைகள் மீண்டும் மீண்டும் செய்யப்படும்போது, ​​ஒரு புள்ளியின் ஒரு குறிப்பிட்ட சுற்றுப்புறத்தில் ஒரு சீரற்ற மாறி எவ்வளவு அடிக்கடி தோன்றும் என்பதைக் குறிக்கிறது. சீரற்ற மாறியின் பரவல் அடர்த்தியை சித்தரிக்கும் வளைவு அழைக்கப்படுகிறது விநியோக வளைவு.

விநியோக அடர்த்தியின் பண்புகளைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

சொத்து 1. விநியோக அடர்த்தி எதிர்மறையானது அல்ல, அதாவது.

சொத்து 2. ஒரு சீரற்ற மாறியின் பரவல் செயல்பாடு என்பது முதல் வரையிலான இடைவெளியில் உள்ள அடர்த்தியின் ஒருங்கிணைப்புக்கு சமம், அதாவது.

.

சொத்து 3. தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறி ஒரு பகுதியில் விழும் நிகழ்தகவு, இந்தப் பகுதியில் எடுக்கப்பட்ட விநியோக அடர்த்தியின் ஒருங்கிணைப்புக்குச் சமம், அதாவது.

.

சொத்து 4. பரவலான அடர்த்தியின் எல்லையற்ற வரம்புகளுக்கு மேல் உள்ள ஒருங்கிணைப்பு ஒற்றுமைக்கு சமம்:

.

எடுத்துக்காட்டு 2.சீரற்ற மாறியானது அடர்த்தியுடன் கூடிய விநியோகச் சட்டத்திற்கு உட்பட்டது

குணகத்தை தீர்மானிக்கவும்; விநியோக அடர்த்தி வரைபடத்தை உருவாக்குதல்; ஒரு சீரற்ற மாறியின் நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்; விநியோக செயல்பாட்டை தீர்மானித்து அதை திட்டமிடுங்கள்.

தீர்வு. விநியோக வளைவால் வரையறுக்கப்பட்ட பகுதி எண்ணியல் சமமாக உள்ளது

.

விநியோக அடர்த்தியின் சொத்து 4 ஐ கணக்கில் எடுத்துக்கொள்வது, நாம் காண்கிறோம்: எனவே, விநியோக அடர்த்தியை பின்வருமாறு வெளிப்படுத்தலாம்:

விநியோக அடர்த்தி வரைபடம் படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது. 10. சொத்து 3 மூலம் நம்மிடம் உள்ளது

.

விநியோகச் செயல்பாட்டைத் தீர்மானிக்க, நாங்கள் சொத்து 2 ஐப் பயன்படுத்துகிறோம்:

.

இவ்வாறு எங்களிடம் உள்ளது

விநியோக செயல்பாடு வரைபடம் படம் காட்டப்பட்டுள்ளது. பதினொரு.

மேலே, விநியோக செயல்பாட்டைப் பயன்படுத்தி தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறி குறிப்பிடப்பட்டது. இந்த ஒதுக்கீட்டு முறை மட்டும் அல்ல. ஒரு தொடர்ச்சியான ரேண்டம் மாறியும் ஒரு செயல்பாட்டைப் பயன்படுத்தி குறிப்பிடலாம் விநியோக அடர்த்தி அல்லது நிகழ்தகவு அடர்த்தி (பெரும்பாலும் அழைக்கப்படுகிறது வேறுபட்ட செயல்பாடு ).

தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியின் நிகழ்தகவு பரவல் அடர்த்தி எக்ஸ்செயல்பாட்டை அழைக்கவும் f(x)-விநியோகச் செயல்பாட்டின் முதல் வழித்தோன்றல் F(x):

f (x)= F" (x).

இந்த வரையறையிலிருந்து, விநியோக செயல்பாடு என்பது பின்வருமாறு எதிர் வழிவகை விநியோக அடர்த்திக்கு. விநியோக அடர்த்தியை அறிந்து, ஒரு தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறி, கொடுக்கப்பட்ட இடைவெளிக்கு சொந்தமான மதிப்பை எடுக்கும் நிகழ்தகவை நீங்கள் கணக்கிடலாம்.

தேற்றம். ஒரு தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறி நிகழ்தகவு எக்ஸ்இடைவெளிக்கு சொந்தமான மதிப்பை எடுக்கும் ( a, b), இருந்து வரம்பில் எடுக்கப்பட்ட விநியோக அடர்த்தியின் ஒரு குறிப்பிட்ட ஒருங்கிணைப்புக்கு சமம் ஏமுன் பி:

பரவல் அடர்த்தியை அறிதல் f(x), விநியோக செயல்பாட்டை நாம் காணலாம் F(x)சூத்திரத்தின் படி

.

விநியோக அடர்த்தி பண்புகள்:

சொத்து 1.விநியோக அடர்த்தி என்பது எதிர்மறையான செயல்பாடு அல்ல:
.

வடிவியல் ரீதியாக, இந்தப் பண்பு என்பது விநியோக அடர்த்தி வரைபடத்தைச் சேர்ந்த புள்ளிகள் அச்சுக்கு மேலே அமைந்துள்ளன. ஓ, அல்லது இந்த அச்சில். விநியோக அடர்த்தி வரைபடம் அழைக்கப்படுகிறது விநியோக வளைவு .

சொத்து 2. பரவலான அடர்த்தியின் தவறான ஒருங்கிணைப்பு
முன்
ஒன்றுக்கு சமம்:

.

வடிவியல் ரீதியாக, இது எருது அச்சு மற்றும் விநியோக வளைவால் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட வளைவு ட்ரெப்சாய்டின் முழுப் பகுதியும் ஒன்றுக்கு சமம்.

குறிப்பாக, ஒரு சீரற்ற மாறியின் அனைத்து மதிப்புகளும் இடைவெளியைச் சேர்ந்ததாக இருந்தால் ( a, b), அந்த

.

தனித்த சீரற்ற மாறியின் எதிர்பார்ப்பு

விநியோகச் சட்டம் சீரற்ற மாறியை முழுமையாக வகைப்படுத்துகிறது. இருப்பினும், இது பெரும்பாலும் முன்கூட்டியே தெரியவில்லை மற்றும் மறைமுகத் தகவலைப் பயன்படுத்த வேண்டும். பல சந்தர்ப்பங்களில், இந்த மறைமுக பண்புகள் நடைமுறை சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கு மிகவும் போதுமானவை மற்றும் விநியோக சட்டத்தை தீர்மானிக்க வேண்டிய அவசியமில்லை. இத்தகைய பண்புகள் அழைக்கப்படுகின்றன எண் பண்புகள் ஒரு சீரற்ற மாறியின் உண்ணிகள். அவற்றில் முதலாவது கணித எதிர்பார்ப்பு.

தனித்த சீரற்ற மாறியின் கணித எதிர்பார்ப்பு எக்ஸ்அதன் சாத்தியமான அனைத்து மதிப்புகளின் தயாரிப்புகளின் கூட்டுத்தொகை ( எக்ஸ் 1 , எக்ஸ் 2 , …, x n) அவற்றின் நிகழ்தகவு மீது ( ப 1 , ப 2 , …, ப என்):

என்பதை கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும் எம்(எக்ஸ்) அங்கு உள்ளது சீரற்ற (நிலையான. என்பதை நிரூபிக்க முடியும் எம்(எக்ஸ்) தோராயமாக சமமாக இருக்கும் (மேலும் துல்லியமாக, சோதனைகளின் எண்ணிக்கை அதிகமாகும் n) சீரற்ற மாறியின் கவனிக்கப்பட்ட மதிப்புகளின் எண்கணித சராசரி.

கணித எதிர்பார்ப்பு பின்வருவனவற்றைக் கொண்டுள்ளது பண்புகள்:

· எதிர்பார்க்கப்படும் மதிப்பு நிலையான மிகவும் நிலையானதுக்கு சமம்:

.

· நிலையான பெருக்கி கணித எதிர்பார்ப்பின் அடையாளமாக எடுத்துக்கொள்ளலாம்:

.

· எதிர்பார்க்கப்படும் மதிப்பு வேலை செய்கிறது இரண்டு சுயாதீன சீரற்ற மாறிகள் எக்ஸ்மற்றும் ஒய்(அதாவது, அவற்றில் ஒன்றின் விநியோகச் சட்டம் மற்றொன்றின் சாத்தியமான மதிப்புகளைச் சார்ந்தது அல்ல) அவர்களின் கணித எதிர்பார்ப்புகளின் விளைபொருளுக்குச் சமம்:

· எதிர்பார்க்கப்படும் மதிப்பு தொகைகள் இரண்டு சீரற்ற மாறிகள், சொற்களின் கணித எதிர்பார்ப்புகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம்:

இங்கே கீழ் தொகை எக்ஸ்+ஒய்சீரற்ற மாறிகள் ஒரு புதிய சீரற்ற மாறியாக புரிந்து கொள்ளப்படுகிறது, அதன் மதிப்புகள் ஒவ்வொரு மதிப்பின் கூட்டுத்தொகைக்கும் சமமாக இருக்கும் எக்ஸ்சாத்தியமான ஒவ்வொரு மதிப்புடனும் ஒய்; சாத்தியமான மதிப்புகளின் நிகழ்தகவுகள் எக்ஸ்+ஒய்சுயாதீன சீரற்ற மாறிகளுக்கு எக்ஸ்மற்றும் ஒய்விதிமுறைகளின் நிகழ்தகவுகளின் தயாரிப்புகளுக்கு சமம், மற்றும் சார்புடையவைகளுக்கு - ஒரு காலத்தின் நிகழ்தகவுகளின் தயாரிப்புகளுக்கு மற்றொன்றின் நிபந்தனை நிகழ்தகவு. அப்படியென்றால் எக்ஸ்மற்றும் ஒய்- அவற்றின் விநியோகச் சட்டங்களும் சுதந்திரமானவை

· உற்பத்தி செய்தால் nசுயாதீன சோதனைகள், இல்

ஒவ்வொன்றும் ஒரு நிகழ்வின் நிகழ்தகவு ஏநிலையானது மற்றும் சமமானது ப, பின்னர் கணித எதிர்பார்ப்பு தோற்றங்களின் எண்ணிக்கை நிகழ்வுகள் ஏதொடரில்:

.

மூன்று மற்றும் நான்கு பண்புகள் சீரற்ற மாறிகளின் எண்ணிக்கையில் எளிதில் பொதுமைப்படுத்தப்படுகின்றன என்பதை நினைவில் கொள்க.

தனித்த சீரற்ற மாறியின் மாறுபாடு

எதிர்பார்க்கப்படும் மதிப்பு ஒரு வசதியான குணாதிசயமாகும், ஆனால் ஒரு சீரற்ற மாறியின் சாத்தியமான மதிப்புகள் அல்லது அவை எப்படி இருக்கும் என்பதை தீர்மானிக்க இது பெரும்பாலும் போதுமானதாக இல்லை. சிதறியது சராசரி மதிப்பைச் சுற்றி. எனவே, மற்ற எண் பண்புகள் அறிமுகப்படுத்தப்படுகின்றன.

விடுங்கள் எக்ஸ்- கணித எதிர்பார்ப்புடன் சீரற்ற மாறி எம்(எக்ஸ்). விலகல் எக்ஸ் 0 என்பது ஒரு சீரற்ற மாறிக்கும் அதன் கணித எதிர்பார்ப்புக்கும் உள்ள வித்தியாசம்:

.

விலகலின் கணித எதிர்பார்ப்பு எம்(எக்ஸ் 0) = 0.

உதாரணமாக. அளவு விநியோக சட்டம் கொடுக்கப்படட்டும் எக்ஸ்:

விலகல் என்பது ஒரு இடைநிலை பண்பு ஆகும், அதன் அடிப்படையில் நாம் மிகவும் வசதியான பண்பை அறிமுகப்படுத்துகிறோம். மாறுபாடு (சிதறல் ) டிஸ்க்ரீட் ரேண்டம் மாறி என்பது ரேண்டம் மாறியின் ஸ்கொயர்டு விலகலின் கணித எதிர்பார்ப்பு:

எடுத்துக்காட்டாக, அளவின் சிதறலைக் கண்டுபிடிப்போம் எக்ஸ்பின்வரும் விநியோக சட்டத்துடன்:

இங்கே. தேவையான மாறுபாடு:

மாறுபாட்டின் அளவு சீரற்ற மாறியின் மதிப்புகளால் மட்டுமல்ல, அவற்றின் நிகழ்தகவுகளாலும் தீர்மானிக்கப்படுகிறது. எனவே, இரண்டு சீரற்ற மாறிகள் ஒரே மாதிரியான அல்லது ஒத்த கணித எதிர்பார்ப்புகளைக் கொண்டிருந்தால் (இது அடிக்கடி நிகழ்கிறது), பின்னர் மாறுபாடுகள் பொதுவாக வேறுபட்டவை. இது ஆய்வின் கீழ் உள்ள சீரற்ற மாறியை மேலும் வகைப்படுத்த அனுமதிக்கிறது.

சிதறலின் பண்புகளை பட்டியலிடலாம்:

· மாறுபாடு நிலையான அளவுகள் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்:

.

· நிலையான பெருக்கி ஸ்கொயர் மூலம் சிதறல் அடையாளத்திலிருந்து வெளியே எடுக்கலாம்:

.

· மாறுபாடு தொகைகள் மற்றும் வேறுபாடுகள் இரண்டு சுயாதீன சீரற்ற மாறிகள் இந்த மாறிகளின் மாறுபாடுகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம்:

· மாறுபாடு தோற்றங்களின் எண்ணிக்கை நிகழ்வுகள் ஏவி nசுயாதீன சோதனைகள், ஒவ்வொன்றிலும் நிகழ்தகவு பிஒரு நிகழ்வின் நிகழ்வு நிலையான , சூத்திரத்தால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது:

,

எங்கே
- ஒரு நிகழ்வு நிகழாத நிகழ்தகவு.

கணக்கீடுகளில் அடிக்கடி பயன்படுத்தப்படும் ஒரு வசதியான துணை பண்பு டி(எக்ஸ்), இருக்கிறது நிலையான விலகல் (அல்லது தரநிலை ) சீரற்ற மாறி:

.

உண்மை அதுதான் டி(எக்ஸ்) சீரற்ற மாறியின் பரிமாணத்தின் சதுரத்தின் பரிமாணமும், நிலையான பரிமாணமும் உள்ளது  எக்ஸ்) என்பது ரேண்டம் மாறிக்கு சமம் எக்ஸ். சீரற்ற மாறியின் பரவலை மதிப்பிடுவதற்கு இது மிகவும் வசதியானது.

உதாரணமாக. ஒரு சீரற்ற மாறியை விநியோகத்தால் கொடுக்கலாம்:

எக்ஸ்	2மீ	3மீ	10மீ
பி	0,1	0,4	0,5

நாங்கள் கணக்கிடுகிறோம்: மீ,

மற்றும் தரநிலை: எம்.

எனவே, சீரற்ற மாறி பற்றி எக்ஸ்அதன் கணித எதிர்பார்ப்பு 13.04 மீ 2 சிதறலுடன் 6.4 மீ, அல்லது - அதன் கணித எதிர்பார்ப்பு சிதறலுடன் 6.4 மீ.
மீ. இரண்டாவது உருவாக்கம் மிகவும் தெளிவாக உள்ளது.

என்பதை கவனிக்கவும் தொகைக்கு nசுயாதீன சீரற்ற மாறிகள்:

ஆரம்ப மற்றும் மைய கோட்பாட்டு புள்ளிகள்

மேலே அறிமுகப்படுத்தப்பட்ட எண் பண்புகளின் பெரும்பாலான நடைமுறை கணக்கீடுகளுக்கு எம்எக்ஸ்),டிஎக்ஸ்)மற்றும்  எக்ஸ்) போதும். இருப்பினும், சீரற்ற மாறிகளின் நடத்தையைப் படிக்க, நீங்கள் ஒரு சீரற்ற மாறியின் நடத்தையின் நுணுக்கங்களைக் கண்காணிக்கவும் மேலே உள்ள கோட்பாட்டைப் பொதுமைப்படுத்தவும் அனுமதிக்கும் சில கூடுதல் எண் பண்புகளையும் பயன்படுத்தலாம்.

சீரற்ற மாறியின் kth வரிசையின் ஆரம்ப தருணம் எக்ஸ்அளவின் கணித எதிர்பார்ப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது எக்ஸ் கே :

தொடர்ந்து எஸ். வி. பரவல் அடர்த்தி அல்லது நிகழ்தகவு அடர்த்தி அல்லது வேறுபட்ட விநியோக செயல்பாடு எனப்படும் செயல்பாட்டைப் பயன்படுத்தி குறிப்பிடலாம்.

விநியோக அடர்த்திதொடர்ச்சியான s இன் நிகழ்தகவுகள். வி. X சார்பு f(x) என்று அழைக்கப்படுகிறது - விநியோகச் செயல்பாட்டின் முதல் வழித்தோன்றல் F(x):

இந்த வரையறையிலிருந்து, விநியோகச் செயல்பாடு என்பது பரவல் அடர்த்தியின் எதிர்ப்பொருளாகும்.

ஒரு தனித்த s இன் நிகழ்தகவு பரவலை விவரிக்க. வி. அடர்த்தி விநியோகம் பொருந்தாது.

பரவல் அடர்த்தியின் நிகழ்தகவு பொருள்.

இவ்வாறு, நிகழ்தகவு விகிதத்தின் வரம்பு தொடர்ச்சியான s. வி. இடைவெளிக்கு (x, x +∆x), இந்த இடைவெளியின் நீளத்திற்கு (∆x → 0) புள்ளி x இல் உள்ள பரவல் அடர்த்தியின் மதிப்புக்கு சமமான மதிப்பை எடுக்கும்.

அடர்த்தி சார்பு ஒரு தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியின் ஒவ்வொரு மதிப்பையும் தனித்தனியாக வகைப்படுத்துகிறது, விநியோகச் செயல்பாட்டின் முழு வரம்பையும் அல்ல.

தொடர்ச்சியான s அடிக்கும் நிகழ்தகவு. வி. ஒரு குறிப்பிட்ட இடைவெளியில்.

நியூட்டன்-லீப்னிஸ் சூத்திரத்தின்படி:

பி(அ< X  b}= F(b) – F(a),

இதனால்

அறியப்பட்ட அடர்த்தி செயல்பாட்டிலிருந்து விநியோகச் செயல்பாட்டைக் கண்டறிதல்.

முந்தைய சூத்திரத்தில் a = -∞, b = x, மற்றும் ஒருங்கிணைப்பு மாறி x ஐ t ஆல் மாற்றினால், எங்களிடம் உள்ளது:

F(x) = P(X  x)=P(-∞< X  х},

எனவே

விநியோக அடர்த்தியின் பண்புகள்

சொத்து 1. விநியோக அடர்த்தி என்பது எதிர்மறையான செயல்பாடு அல்ல: f(x)0 (ஒருங்கிணைந்த பரவல் செயல்பாடு குறையாத செயல்பாடு என்பதால், விநியோக அடர்த்தி அதன் முதல் வழித்தோன்றலாகும்).

சொத்து 2:

ஆதாரம். முறையற்ற ஒருங்கிணைப்பு
ஒரு நிகழ்வின் நிகழ்தகவை ஒரு சீரற்ற மாறியானது இடைவெளிக்கு (-∞, ∞) சேர்ந்த மதிப்பை எடுக்கும். வெளிப்படையாக, அத்தகைய நிகழ்வு உறுதியானது, எனவே, அதன் நிகழ்தகவு ஒன்றுக்கு சமம்.

வடிவியல் ரீதியாக, 0x அச்சு மற்றும் விநியோக வளைவால் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட வளைவு ட்ரேப்சாய்டின் முழுப் பகுதியும் ஒன்றுக்கு சமமாக இருக்கும்.

IN குறிப்பாக, ஒரு சீரற்ற மாறியின் சாத்தியமான அனைத்து மதிப்புகளும் இடைவெளியில் (a,b) சேர்ந்ததாக இருந்தால்
.

சாத்தியமான விநியோக அடர்த்தி வரைபடம் (எடுத்துக்காட்டு)

f 1 (x) - 1வது ஆட்டத்தில் வென்ற அளவின் விநியோக அடர்த்தி

f 2 (x) - 2வது ஆட்டத்தில் வென்ற அளவின் விநியோக அடர்த்தி

எந்த விளையாட்டு விரும்பத்தக்கது?

சீரற்ற மாறிகளின் எண்ணியல் பண்புகள். .

இந்த குணாதிசயங்கள் சீரற்ற மாறிகளின் விநியோக விதியை அறியாமலே பல சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதை சாத்தியமாக்குகின்றன.

எண் அச்சில் ஒரு சீரற்ற மாறியின் நிலையின் சிறப்பியல்புகள்.

எதிர்பார்த்த மதிப்புஇது சீரற்ற மாறி X இன் மதிப்புகளின் எடையுள்ள சராசரி ஆகும், இதில் ஒவ்வொரு புள்ளி x i இன் abscissa ஆனது தொடர்புடைய நிகழ்தகவுக்கு சமமான "எடையுடன்" நுழைகிறது.

கணித எதிர்பார்ப்பு சில நேரங்களில் r.v இன் சராசரி மதிப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது.

பதவி: m x அல்லது M [X].

தனித்த சீரற்ற மாறிக்கு

எம் [X] =

தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறிக்கு

ஃபேஷன்- இது சீரற்ற மாறியின் மிகவும் சாத்தியமான மதிப்பு (இது நிகழ்தகவு p i , அல்லது பரவல் அடர்த்தி f(x) அதிகபட்சத்தை அடையும்).

பதவி: 

ஒரே மாதிரியான விநியோகங்கள் (ஒரு பயன்முறை உள்ளது), பாலிமோடல் விநியோகங்கள் (பல முறைகள் உள்ளன) மற்றும் அனிமோடல் (பயன்முறை இல்லை)

ஒரே மாதிரியான

இடைநிலை- இது சீரற்ற மாறி x m மதிப்பாகும், இதற்கு பின்வரும் சமத்துவம் உள்ளது:

பி(எக்ஸ்< х m }= P{X >x மீ)

இடைநிலையானது f(x) ஆல் எல்லைப்படுத்தப்பட்ட பகுதியை பாதியாகப் பிரிக்கிறது

ஒரு சீரற்ற மாறியின் பரவல் அடர்த்தி சமச்சீர் மற்றும் ஒரே மாதிரியாக இருந்தால், M[X],  மற்றும் x m ஆகியவை ஒத்துப்போகின்றன.

M[X], , x m - சீரற்ற அளவுகள்

விநியோக அடர்த்தியின் பண்புகள்

முதலில், விநியோக அடர்த்தி என்ன என்பதை நினைவுபடுத்துவோம்:

விநியோக அடர்த்தியின் பண்புகளைக் கவனியுங்கள்:

சொத்து 1:விநியோக அடர்த்தி செயல்பாடு $\varphi (x)$ எதிர்மறையானது அல்ல:

ஆதாரம்.

விநியோகச் செயல்பாடு $F(x)$ என்பது குறையாத செயல்பாடு என்பது நமக்குத் தெரியும். வரையறையில் இருந்து $\varphi \left(x\right)=F"(x)$, மற்றும் குறையாத செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் எதிர்மறை சார்பு அல்ல.

வடிவியல் ரீதியாக, இந்தப் பண்பு என்பது விநியோக அடர்த்தியின் $\varphi \left(x\right)$ செயல்பாட்டின் வரைபடம் மேலே அல்லது $Ox$ அச்சில் இருக்கும் (படம் 1)

படம் 1. $\varphi (x)\ge 0$ சமத்துவமின்மையின் விளக்கம்.

சொத்து 2:$-\infty $ முதல் $+\infty $ வரையிலான வரம்பிற்குள் விநியோக அடர்த்தி செயல்பாட்டின் முறையற்ற ஒருங்கிணைப்பு 1க்கு சமம்:

ஆதாரம்.

$(\alpha ,\beta)$ இடைவெளிக்குள் ஒரு சீரற்ற மாறி வரும் நிகழ்தகவைக் கண்டறிவதற்கான சூத்திரத்தை நினைவுபடுத்துவோம்:

படம் 2.

சீரற்ற மாறி $(-\infty ,+\infty $) இடைவெளியில் விழும் நிகழ்தகவைக் கண்டுபிடிப்போம்:

படம் 3.

வெளிப்படையாக, சீரற்ற மாறி எப்போதும் இடைவெளியில் விழும் $(-\infty ,+\infty $), எனவே, அத்தகைய வெற்றியின் நிகழ்தகவு ஒன்றுக்கு சமம். நாங்கள் பெறுகிறோம்:

வடிவியல் ரீதியாக, இரண்டாவது பண்பு என்பது $\varphi (x)$ விநியோக அடர்த்தி செயல்பாட்டின் வரைபடத்தால் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட ஒரு வளைவு ட்ரேப்சாய்டின் பரப்பளவு மற்றும் x-அச்சு எண் ரீதியாக ஒன்றுக்கு சமமாக இருக்கும்.

நாம் தலைகீழ் சொத்தை உருவாக்கலாம்:

சொத்து 3:$\int\எல்லைகள்^(+\infty )_(-\infty )(f\left(x\right)dx)=1$ சமத்துவத்தை திருப்திபடுத்தும் $f(x)\ge 0$ எந்த எதிர்மறையான செயல்பாடும் இல்லை விநியோக அடர்த்தி செயல்பாடு சில தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறி.

பரவல் அடர்த்தியின் நிகழ்தகவு பொருள்

மாறி $x$க்கு $\triangle x$ இன்க்ரிமென்ட் கொடுப்போம்.

பரவல் அடர்த்தியின் நிகழ்தகவு பொருள்: ஒரு தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறி $X$ ஆனது $(x,x+\முக்கோணம் x)$ என்ற இடைவெளியில் இருந்து மதிப்புகளை எடுக்கும் நிகழ்தகவு $x$ புள்ளியில் நிகழ்தகவு பரவல் அடர்த்தியின் பெருக்கத்திற்கு தோராயமாக சமம். $\முக்கோணம் x$ அதிகரிப்பின் மூலம்:

படம் 4. தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியின் பரவல் அடர்த்தியின் நிகழ்தகவு அர்த்தத்தின் வடிவியல் விளக்கம்.

விநியோக அடர்த்தியின் பண்புகளைப் பயன்படுத்தி சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள்

எடுத்துக்காட்டு 1

நிகழ்தகவு அடர்த்தி செயல்பாடு வடிவம் கொண்டது:

படம் 5.

1. $\alpha $ குணகத்தைக் கண்டறியவும்.
2. விநியோக அடர்த்தி வரைபடத்தை உருவாக்கவும்.

1. முறையற்ற ஒருங்கிணைந்த $\int\limits^(+\infty )_(-\infty )(\varphi \left(x\right)dx)$ஐ கருத்தில் கொள்ளுங்கள், நாங்கள் பெறுகிறோம்:

படம் 6.

சொத்து 2 ஐப் பயன்படுத்தி, நாங்கள் பெறுகிறோம்:

\[-2\alpha =1,\] \[\alpha =-\frac(1)(2).\]

அதாவது, விநியோக அடர்த்தி செயல்பாடு வடிவம் உள்ளது:

படம் 7.

1. அதன் வரைபடத்தை உருவாக்குவோம்:

படம் 8.

எடுத்துக்காட்டு 2

விநியோக அடர்த்தி செயல்பாடு $\varphi \left(x\right)=\frac(\alpha )(chx)$ வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது

($chx$ ஒரு ஹைபர்போலிக் கொசைன் என்பதை நினைவில் கொள்க).

குணகம் $\alpha $ மதிப்பைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு. இரண்டாவது சொத்தை பயன்படுத்துவோம்:

\[\int\limits^(+\infty )_(-\infty )(\frac(\alpha )(chx)dx)=1,\] \[\alpha \int\limits^(+\infty )_ (-\infty )(\frac(dx)(chx))=1,\] \[\int\எல்லைகள்^(+\infty )_(-\infty )(\frac(dx)(chx))=( \mathop(lim)_(a\to -\infty ) \int\limits^0_a(\frac(dx)(chx))\ )+(\mathop(lim)_(b\to +\infty ) \int \ வரம்புகள்^b_0(\frac(dx)(chx))\ )\]

$chx=\frac(e^x+e^(-x))(2)$ என்பதால்

\[\int(\frac(dx)(chx))=2\int(\frac(dx)(e^x+e^(-x)))=2\int(\frac(de^x)( (1+e)^(2x))=2arctge^x+C\]

\[\int\limits^(+\infty )_(-\infty )(\frac(dx)(chx))=(\mathop(lim)_(a\to -\infty ) \left(-2arctge^ a\right)\ )+(\mathop(lim)_(b\to +\infty ) \left(2arctge^b\right)\ )=\pi \]

எனவே:

\[\pi \alpha =1,\] \[\alpha =\frac(1)(\pi )\]