Nájdenie súradníc stredného bodu segmentu: príklady, riešenia. Vektory pre figuríny. Akcie s vektormi. Vektorové súradnice. Najjednoduchšie problémy s vektormi Vzorec na vyhľadanie súradníc stredu vektora

Nakoniec sa mi do rúk dostala rozsiahla a dlho očakávaná téma analytická geometria... Najprv niečo o tejto časti vyššej matematiky…. Určite vám teraz pripomína školský kurz geometrie s mnohými vetami, ich dôkazmi, výkresmi atď. Čo skrývať, nemilovaný a často nejasný predmet pre veľkú časť študentov. Analytická geometria, napodiv, sa môže zdať zaujímavejšia a prístupnejšia. Čo znamená prídavné meno analytický? Okamžite nás napadnú dve označené matematické obraty: „metóda grafického riešenia“ a „metóda analytického riešenia“. Grafická metóda, je samozrejme spojená s konštrukciou grafov, výkresov. Analytickérovnaký metóda zahŕňa riešenie problémov prevažne prostredníctvom algebraických akcií. V tomto ohľade je algoritmus riešenia takmer všetkých problémov analytickej geometrie jednoduchý a transparentný, často stačí opatrne použiť potrebné vzorce - a odpoveď je hotová! Nie, samozrejme, nezaobíde sa to vôbec bez kresieb, okrem toho sa pre lepšie pochopenie materiálu pokúsim nad nevyhnutnosť uviesť.

Otvorený kurz hodín geometrie si nenárokuje na teoretickú úplnosť, je zameraný na riešenie praktických problémov. Do svojich prednášok zahrniem iba to, čo je z môjho pohľadu dôležité z praktického hľadiska. Ak potrebujete podrobnejšiu pomoc k niektorej z podsekcií, odporúčam nasledujúcu ľahko dostupnú literatúru:

1) Vec, ktorú, žart, pozná niekoľko generácií: Učebnica geometrie školy, autori - L.S. Atanasyan a spoločnosť... Tento vešiak školskej šatne už odolal 20 (!) Dotlačiam, čo samozrejme nie je limit.

2) Geometria v 2 zväzkoch... Autori L.S. Atanasyan, Bazylev V.T... Toto je stredoškolská literatúra, ktorú budete potrebovať prvý diel... Zriedkavé úlohy mi môžu vypadnúť z dohľadu a tento návod bude neoceniteľnou pomocou.

Obidve knihy si môžete zadarmo stiahnuť na internete. Okrem toho môžete môj archív použiť s hotovými riešeniami, ktoré nájdete na stránke Stiahnite si príklady z vyššej matematiky.

Pokiaľ ide o nástroje, opäť navrhujem vlastný vývoj - softvérový balík na analytickej geometrii, ktorá výrazne zjednoduší život a ušetrí veľa času.

Predpokladá sa, že čitateľ pozná základné geometrické pojmy a tvary: bod, čiara, rovina, trojuholník, rovnobežník, rovnobežnosten, kocka atď. Je vhodné si zapamätať niektoré vety, aspoň Pytagorovu vetu, ahoj opakovače)

A teraz budeme postupne uvažovať: pojem vektora, akcie s vektormi, vektorové súradnice. Ďalej odporúčam prečítať rozhodujúci článok Bodový súčin vektorova tiež Vektor a zmiešaný produkt vektorov... Miestna úloha - Rozdelenie segmentu v tomto ohľade tiež nebude nadbytočná. Na základe vyššie uvedených informácií môžete zvládnuť rovnica priamky v rovine od najjednoduchšie príklady riešeníčo umožní naučiť sa riešiť problémy v geometrii... Užitočné sú aj nasledujúce články: Rovnica roviny v priestore, Rovnice priamky v priestore, Základné úlohy na priamke a rovine, ďalšie časti analytickej geometrie. Postupne sa samozrejme budú brať do úvahy štandardné úlohy.

Vektorový koncept. Zadarmo vektor

Najprv si zopakujme školskú definíciu vektora. Vektor zavolal smeroval segment, pre ktorý je uvedený jeho začiatok a koniec:

V tomto prípade je začiatkom segmentu bod, koncom segmentu je bod. Samotný vektor je označený. Smer je nevyhnutné, ak zmeníte usporiadanie šípky na druhý koniec segmentu, získate vektor a ten už je úplne iný vektor... Pojem vektor je možné stotožňovať s pohybom fyzického tela: musíte súhlasiť, vstup do dverí ústavu alebo výstup z dverí ústavu sú úplne iné veci.

Jednotlivé body roviny, priestoru sa pohodlne považujú za tzv nulový vektor ... Takýto vektor má rovnaký koniec a začiatok.

!!! Poznámka: Ďalej môžete predpokladať, že vektory ležia v rovnakej rovine alebo môžete predpokladať, že sa nachádzajú v priestore - podstata predloženého materiálu platí pre rovinu aj pre priestor.

Legenda: Mnohí si okamžite všimli prútik bez šípky v označení a povedali si, že hore je aj šípka! Je pravda, že môžete písať šípkou :, ale aj záznam, ktorý použijem v budúcnosti... Prečo? Zdá sa, že takýto zvyk sa vyvinul z praktických dôvodov, moji strelci sa v škole a na univerzite ukázali ako príliš pestrí a strapatí. Vo vzdelávacej literatúre sa niekedy neobťažujú s klinovým písmom, ale zvýraznia písmená tučne:, čo znamená, že ide o vektor.

To bol štýl, ale teraz o spôsoboch písania vektorov:

1) Vektory môžu byť napísané dvoma veľkými latinskými písmenami:
atď. Navyše prvé písmeno nevyhnutne označuje začiatočný bod vektora a druhé písmeno označuje koncový bod vektora.

2) Vektory sú napísané aj malými latinskými písmenami:
Náš vektor je možné predovšetkým stručne označiť malým písmenom latinky.

Dĺžka alebo modul nenulový vektor je dĺžka segmentu. Dĺžka nulového vektora je nula. Je to logické.

Dĺžka vektora je označená znamienkom modulu :,

O niečo neskôr sa dozvieme (alebo zopakujeme, ako zistiť dĺžku vektora).

Boli to základné informácie o vektore, ktoré poznali všetci školáci. V analytickej geometrii tzv voľný vektor.

Ak je to celkom jednoduché - vektor je možné odložiť z ktoréhokoľvek bodu:

Takéto vektory sme zvykli nazývať rovnocennými (definícia rovnakých vektorov bude uvedená nižšie), ale z čisto matematického hľadiska je to JEDEN A ROVNÝ VEKTOR alebo voľný vektor... Prečo zadarmo? Pretože v priebehu riešenia problémov môžete „pripevniť“ tento alebo ten „školský“ vektor k AKÉMKOĽVEK bodu v rovine alebo priestore, ktorý potrebujete. Toto je veľmi skvelá vlastnosť! Predstavte si namierený segment ľubovoľnej dĺžky a smeru - môže byť „klonovaný“ nekonečne veľa krát a v ľubovoľnom bode vesmíru, v skutočnosti existuje VŠADE. Jeden študent hovorí: Každý lektor vo vektore f ** k a. Napokon, nielen vtipná riekanka, všetko je takmer správne - aj tam sa dá pridať nasmerovaný segment. Ale neponáhľajte sa radovať, samotní študenti trpia častejšie \u003d)

Takže voľný vektor - toto kopa rovnaké nasmerované segmenty. Školská definícia vektora uvedená na začiatku odseku: „Vektor sa nazýva smerovaný segment ...“ konkrétne smerovaný segment prevzatý z danej množiny, ktorý je viazaný na konkrétny bod v rovine alebo priestore.

Je potrebné poznamenať, že z hľadiska fyziky je koncept voľného vektora všeobecne nesprávny a na aplikačnej stránke záleží. Priamy úder rovnakej sily na nos alebo na čelo skutočne postačí na rozvinutie môjho hlúpeho príkladu, ktorý má rôzne následky. Avšak nie zadarmo vektory sa nachádzajú aj na strednej škole (nechoďte tam :)).

Akcie s vektormi. Kolineárne vektory

V kurze školskej geometrie sa uvažuje s množstvom akcií a pravidiel s vektormi: sčítanie podľa pravidla trojuholníka, sčítanie podľa pravidla rovnobežníka, pravidlo rozdielu vektorov, násobenie vektora číslom, skalárny súčin vektorov atď. Pre semeno zopakujme dve pravidlá, ktoré sú obzvlášť dôležité pri riešení problémov s analytickou geometriou.

Pravidlo pre pridávanie vektorov podľa pravidla trojuholníkov

Zvážte dva ľubovoľné nenulové vektory a:

Je potrebné nájsť súčet týchto vektorov. Vzhľadom na to, že všetky vektory sa považujú za voľné, odložili sme vektor z koniec vektory:

Súčet vektorov je vektor. Pre lepšie pochopenie pravidla je vhodné dať mu fyzický význam: nechať nejaké telo vytvoriť cestu pozdĺž vektora a potom pozdĺž vektora. Potom je súčet vektorov vektorom výslednej dráhy, počnúc bodom odchodu a končiacim bodom príchodu. Podobné pravidlo je formulované pre súčet ľubovoľného počtu vektorov. Ako sa hovorí, telo môže ísť svojou cestou silno pozdĺž cikcaku a možno aj na autopilote - podľa výsledného vektora súčtu.

Mimochodom, ak odložíme vektor z začať vektor, dostanete ekvivalent pravidlo rovnobežníka pridanie vektorov.

Najprv o kolineárnych vektoroch. Dva vektory sa nazývajú kolineárneak ležia na jednej priamke alebo na rovnobežkách. Zhruba hovoríme o paralelných vektoroch. Ale vo vzťahu k nim sa vždy používa prídavné meno „kolineárne“.

Predstavte si dva kolineárne vektory. Ak sú šípky týchto vektorov nasmerované v rovnakom smere, potom sa také vektory nazývajú spolurežírovaný... Ak šípky smerujú rôznymi smermi, potom vektory budú opačný smer.

Legenda: kolinearita vektorov je napísaná obvyklým symbolom rovnobežnosti :, zatiaľ čo detaily sú možné: (vektory sú smerované spoločne) alebo (vektory sú smerované opačne).

Podľa produktu nenulového vektora číslom je vektor, ktorého dĺžka je rovnaká, a vektory a sú zamerané na a opačne.

Pravidlo násobenia vektora číslom je ľahšie pochopiteľné pomocou obrázku:

Poďme pochopiť podrobnejšie:

1) Smer. Ak je faktor záporný, potom vektor mení smer naopak.

2) Dĺžka. Ak je faktor v rámci alebo, potom dĺžka vektora klesá... Takže dĺžka vektora je polovica jeho dĺžky. Ak je modul väčší ako jeden, potom dĺžka vektora zvyšuje na čas.

3) Upozorňujeme, že všetky vektory sú kolineárne, zatiaľ čo jeden vektor je vyjadrený v zmysle druhého, napríklad. Platí to aj naopak: ak je možné jeden vektor vyjadriť v zmysle druhého, potom sú tieto vektory nevyhnutne kolineárne. Touto cestou: ak vynásobíme vektor číslom, dostaneme kolineárnu hodnotu (vo vzťahu k originálu) vektor.

4) Vektory sú smerové. Vektory a sú tiež smerové. Akýkoľvek vektor v prvej skupine je namierený opačne vzhľadom na akýkoľvek vektor v druhej skupine.

Ktoré vektory sú rovnaké?

Dva vektory sú si rovné, ak sú smerové a majú rovnakú dĺžku... Všimnite si, že ko-smernosť implikuje kolineárne vektory. Definícia bude nepresná (nadbytočná), ak povieme: „Dva vektory sú si rovné, ak sú kolineárne, smerové a majú rovnakú dĺžku.“

Z hľadiska konceptu voľného vektora sú rovnaké vektory jedným a tým istým vektorom, o ktorom sme už hovorili v predchádzajúcom odseku.

Vektorové súradnice v lietadle a vo vesmíre

Prvým bodom je zváženie vektorov v rovine. Predstavujeme karteziánsky obdĺžnikový súradnicový systém a odložíme ho od počiatku slobodný vektory a:

Vektory a kolmý... Ortogonálne \u003d kolmé. Odporúčam pomaly si zvyknúť na pojmy: namiesto rovnobežnosti a kolmosti používame slová, resp kolineárnosť a ortogonálnosť.

Označenie: ortogonalita vektorov sa píše obvyklým symbolom kolmosti, napríklad :.

Uvažované vektory sa nazývajú súradnicové vektory alebo orts... Tieto vektory sa tvoria základe na povrchu. Aký základ je myslím je mnohým intuitívne jasný, podrobnejšie informácie nájdete v článku Lineárna (ne) závislosť vektorov. Vektorový základJednoducho povedané, základ a pôvod súradníc definujú celý systém - to je akýsi základ, na ktorom vrie plný a bohatý geometrický život.

Niekedy sa zostavený základ nazýva ortonormálne základ roviny: „orto“ - pretože vektory súradníc sú kolmé, prídavné meno „normalizovaný“ znamená jednotku, t.j. dĺžky vektorov základne sa rovnajú jednej.

Označenie: základ sa obvykle píše v zátvorkách, vnútri ktorých v prísnom poradí sú uvedené základné vektory, napríklad :. Súradnicové vektory nemôže preskupiť.

akýkoľvek vektorové lietadlo jedinečným spôsobom vyjadrené ako:
, kde - číslaktoré sa volajú vektorové súradnice na tomto základe. A samotný výraz zavolal rozklad vektora na základe .

Večera sa podáva:

Začnime prvým písmenom abecedy :. Výkres jasne ukazuje, že pri rozširovaní vektora z hľadiska základu sa použijú práve uvažované:
1) pravidlo pre vynásobenie vektora číslom: a;
2) sčítanie vektorov podľa pravidla trojuholníka :.

Teraz mentálne odložte vektor z ktoréhokoľvek iného bodu v rovine. Je celkom zrejmé, že jeho rozpad ho „bude neúnavne nasledovať“. Tu to je, sloboda vektora - vektor „nesie všetko so sebou“. Táto vlastnosť samozrejme platí pre akýkoľvek vektor. Je sranda, že samotné základné (voľné) vektory sa nemusia odkladať od počiatku, jeden sa dá nakresliť napríklad vľavo dole a druhý vpravo hore a na tomto sa nič nezmení! Je pravda, že to nemusíte robiť, pretože učiteľ tiež preukáže originalitu a nakreslí vás „pripísaného“ na nečakané miesto.

Vektory, presne ilustrujú pravidlo vynásobenia vektora číslom, vektor je smerový so základným vektorom, vektor je oproti základnému vektoru. Tieto vektory majú jednu zo súradníc rovnajúcu sa nule, možno ju preto úzkostlivo zapísať nasledovne:


A základné vektory, mimochodom, takto: (v skutočnosti sú vyjadrené prostredníctvom seba).

A nakoniec:,. Mimochodom, čo je to odčítanie vektora a prečo som nehovoril o pravidle odčítania? Niekde v lineárnej algebre si nepamätám, kde som poznamenal, že odčítanie je zvláštny prípad sčítania. Takže expanzie vektorov „de“ a „e“ sú pokojne napísané ako suma :, ... Postupujte podľa výkresu, ako v týchto situáciách jasne funguje pridanie vektorov do starého dobrého trojuholníka.

Uvažovaný rozklad formy niekedy sa nazýva vektorový rozklad v systéme ort (t.j. v systéme jednotkových vektorov). Nie je to však jediný spôsob zápisu vektora, bežná je nasledujúca možnosť:

Alebo so znamienkom rovnosti:

Samotné základné vektory sa zapisujú takto: a

To znamená, že súradnice vektora sú uvedené v zátvorkách. Pri praktických úlohách sa využívajú všetky tri možnosti nahrávania.

Pochyboval som, či mám hovoriť, ale napriek tomu poviem: nie je možné preskupiť súradnice vektorov. Prísne na prvom mieste zapíšeme súradnicu, ktorá zodpovedá jednotkovému vektoru, striktne na druhom mieste zapíšeme súradnicu, ktorá zodpovedá jednotkovému vektoru. V skutočnosti sú to dva rôzne vektory.

Zistili sme súradnice v rovine. Teraz sa pozrime na vektory v trojrozmernom priestore, všetko je tu takmer rovnaké! Pridá sa iba jedna ďalšia súradnica. Je ťažké vykonať trojrozmerné kresby, preto sa obmedzím na jeden vektor, ktorý pre jednoduchosť odložím od počiatku:

akýkoľvek vektor trojrozmerného priestoru môže jediná cesta rozbaliť na ortonormálnom základe:
, kde sú súradnice vektora (čísla) na danom základe.

Ukážka z obrázku: ... Pozrime sa, ako tu fungujú vektorové pravidlá. Najskôr vynásobte vektor číslom: (červená šípka), (zelená šípka) a (karmínová šípka). Po druhé, tu je príklad pridania niekoľkých, v tomto prípade troch, vektorov :. Vektor súčtu začína v počiatočnom bode odchodu (začiatok vektora) a spočíva v konečnom bode príchodu (koniec vektora).

Všetky vektory trojrozmerného priestoru sú samozrejme tiež voľné, pokúste sa mentálne posunúť vektor z ktoréhokoľvek iného bodu a pochopíte, že jeho rozklad „v ňom zostane“.

Podobne ako v plochom kufri, okrem písania verzie s konzolami sú široko používané: buď.

Ak jeden (alebo dva) súradnicové vektory v expanzii chýbajú, potom sa na ich miesto umiestnia nuly. Príklady:
vektor (precízne ) - zapísať;
vektor (precízne ) - zapísať;
vektor (precízne ) - Napíš to.

Základné vektory sa zapisujú nasledovne:

To sú možno všetky minimálne teoretické vedomosti potrebné na riešenie problémov v analytickej geometrii. Možno existuje veľa výrazov a definícií, preto odporúčam figurínam, aby si tieto informácie prečítali a porozumeli im znova. A bude užitočné pre každého čitateľa, aby sa z času na čas odvolal na základnú lekciu pre lepšiu asimiláciu materiálu. Kolineárnosť, ortogonálnosť, ortonormálna báza, vektorový rozklad - tieto a ďalšie pojmy sa často použijú v nasledujúcom texte. Podotýkam, že materiály na tejto stránke nestačia na absolvovanie teoretického testu, kolokvia o geometrii, pretože všetky vety (okrem iných, bez dôkazov) starostlivo zašifrujem - na úkor vedeckého štýlu prezentácie, ale pre lepšie pochopenie predmetu. Ak chcete získať podrobný teoretický základ, pokloňte sa profesorovi Atanasyanovi.

Prejdime k praktickej časti:

Najjednoduchšie problémy analytickej geometrie.
Akcie s vektormi v súradniciach

Je veľmi žiaduce naučiť sa riešiť úlohy, ktoré sa budú považovať za plne automatické, a vzorce zapamätať si, nebudú si ani konkrétne pamätať, sami si ich zapamätajú \u003d) Je to veľmi dôležité, pretože ďalšie problémy analytickej geometrie sú založené na najjednoduchších základných príkladoch a bude nepríjemné tráviť viac času jedením pešiakov. Nie je potrebné zapínať vrchné gombíky na košeli, veľa vecí je vám známych už zo školy.

Prezentácia materiálu bude prebiehať paralelne - v rovine aj v priestore. Z toho dôvodu, že všetky vzorce ... uvidíte sami.

Ako nájsť vektor o dva body?

Ak sú uvedené dva body roviny, potom má vektor nasledujúce súradnice:

Ak sú dané dva vesmírne body, potom má vektor nasledujúce súradnice:

Tj. zo súradníc konca vektora musíte odpočítať príslušné súradnice vektorový štart.

Úloha: Pre rovnaké body si zapíšte vzorce na vyhľadanie súradníc vektora. Vzorce na konci hodiny.

Príklad 1

Sú uvedené dva body roviny. Nájdite vektorové súradnice

Rozhodnutie: podľa zodpovedajúceho vzorca:

Alternatívne je možné použiť nasledujúcu položku:

Estetici rozhodnú takto:

Osobne som si zvykol na prvú verziu nahrávky.

Odpoveď:

Podľa podmienky sa nevyžadovalo zostavenie výkresu (čo je typické pre úlohy analytickej geometrie), ale aby som vysvetlil niektoré body figurín, nebudem lenivý:

Musí to pochopiť rozdiel medzi bodovými súradnicami a vektorovými súradnicami:

Súradnice bodov Sú obvyklé súradnice v obdĺžnikovom súradnicovom systéme. Myslím, že každý vie, ako dať body na súradnicovú rovinu od 5. do 6. ročníka. Každý bod má v lietadle prísne miesto a nemôžete ich nikam presunúť.

Súradnice vektora Je jeho rozšírenie v tomto prípade základom. Akýkoľvek vektor je voľný, preto ho, ak je to potrebné alebo potrebné, môžeme ľahko posunúť z iného bodu roviny (aby sme predišli nejasnostiam a premenovali ho napríklad na). Je zaujímavé, že pre vektory je možné vôbec nepostaviť osi, obdĺžnikový súradnicový systém, stačí iba základ, v tomto prípade ortonormálny základ roviny.

Záznamy súradníc bodov a súradníc vektorov sa zdajú byť podobné:, a význam súradníc absolútne rôznea mali by ste tento rozdiel dobre pochopiť. Tento rozdiel samozrejme platí aj pre priestor.

Dámy a páni, vypĺňame ruku:

Príklad 2

a) Body sú a sú dané. Nájdite vektory a.
b) Body sa dávajú a. Nájdite vektory a.
c) Body sú a sú dané. Nájdite vektory a.
d) Body sa dávajú. Nájdite vektory .

Dosť, možno. Toto sú príklady nezávislého riešenia, snažte sa ich nezanedbávať, oplatí sa ;-). Nie je potrebné robiť výkresy. Riešenia a odpovede na konci hodiny.

Čo je dôležité pri riešení problémov v analytickej geometrii? Je dôležité, aby ste boli MIMORIADNE POZORNÍ, aby ste sa vyhli chybe dielne „dva plus dva sa rovná nule“. Hneď sa ospravedlňujem, ak som urobil chybu \u003d)

Ako zistiť dĺžku segmentu?

Dĺžka, ako už bolo uvedené, je označená znamienkom modulu.

Ak sú dané dva body roviny a potom je možné dĺžku segmentu vypočítať podľa vzorca

Ak sú dané dva priestorové body, potom je možné dĺžku segmentu vypočítať podľa vzorca

Poznámka: Vzorce zostanú správne, ak dôjde k novému usporiadaniu zodpovedajúcich súradníc: a, ale prvá možnosť je štandardnejšia

Príklad 3

Rozhodnutie: podľa zodpovedajúceho vzorca:

Odpoveď:

Pre názornosť urobím výkres

Úsečka - toto nie je vektor, a samozrejme ho nemôžete nikam presunúť. Ak navyše dokončujete výkres v mierke: 1 jednotka. \u003d 1 cm (dve bunky poznámkového bloku), potom je možné odpoveď získať pomocou bežného pravítka priamym meraním dĺžky segmentu.

Áno, riešenie je krátke, ale je tu ešte niekoľko dôležitých bodov, ktoré by som rád objasnil:

Najskôr do odpovede dáme dimenziu: „jednotky“. Podmienka nehovorí, ČO to je, milimetre, centimetre, metre alebo kilometre. Matematicky správnym riešením by preto bola všeobecná formulácia: „jednotky“ - skrátene „jednotka“.

Po druhé, zopakujeme školský materiál, ktorý je užitočný nielen pre posudzovaný problém:

dávaj pozor na dôležitá technika – vyberanie faktora spod koreňa... Ako výsledok výpočtov sme dostali výsledok a dobrý matematický štýl zahŕňa vyňatie faktora spod koreňa (ak je to možné). Podrobnejšie postup vyzerá takto: ... Samozrejme, že ponechanie odpovede vo formulári nebude chybou - ale chybou, určite, a závažným argumentom pre otravovanie zo strany učiteľa.

Ďalšie bežné prípady sú:

Často sa napríklad pod koreňom získa pomerne veľké množstvo. Čo robiť v takýchto prípadoch? Na kalkulačke skontrolujte, či je číslo deliteľné 4 :. Áno, bolo to rozdelené úplne, teda: ... Alebo možno možno počet opäť vydeliť 4? ... Touto cestou: ... Posledná číslica čísla je nepárna, takže zjavne nie je možné tretíkrát vydeliť číslom 4. Snažíme sa vydeliť deviatimi :. Ako výsledok:
Hotový.

Záver: ak sa pod koreňom získa neextrahovateľné číslo, potom sa pokúsime odstrániť multiplikátor pod koreňom - \u200b\u200bna kalkulačke skontrolujeme, či je číslo deliteľné: 4, 9, 16, 25, 36, 49 atď.

V priebehu riešenia rôznych problémov sa často stretávajú s koreňmi, vždy sa snažte získať faktory spod koreňa, aby ste predišli nižšiemu stupňu a zbytočným problémom pri prehodnocovaní riešení podľa pokynov učiteľa.

Zopakujme tiež druhé mocniny a ďalšie mocniny:

Pravidlá pre všeobecné zaobchádzanie s diplomami možno nájsť v školskej učebnici o algebre, ale myslím si, že z uvedených príkladov je už všetko alebo takmer všetko jasné.

Úloha nezávislého riešenia so segmentom v priestore:

Príklad 4

Body a sú dané. Nájdite dĺžku úsečky.

Riešenie a odpoveď na konci hodiny.

Ako zistím dĺžku vektora?

Ak je uvedený rovinový vektor, potom sa jeho dĺžka vypočíta podľa vzorca.

Ak je uvedený vektor priestoru, potom je jeho dĺžka vypočítaná vzorcom .

Tieto vzorce (rovnako ako vzorce pre dĺžku segmentu) je možné ľahko odvodiť pomocou známej Pytagorovej vety.

Vektor je veličina charakterizovaná svojou číselnou hodnotou a smerom. Inými slovami, vektor je smerová čiara. Pozícia vektor AB v priestore je dané súradnicami východiskového bodu vektor A a konečné body vektor B. Zvážte, ako určiť súradnice stredu vektor.

Inštrukcie

Najskôr definujeme označenia začiatku a konca vektor... Ak je vektor napísaný ako AB, potom bod A je začiatok vektora bod B je koniec. Naopak pre vektor Bod B je štart vektora bod A je koniec. Dajme vektoru AB so súradnicami počiatku vektor A \u003d (a1, a2, a3) a koniec vektor B \u003d (bl, b2, b3). Potom súradnice vektor AB bude nasledovné: AB \u003d (b1 - a1, b2 - a2, b3 - a3), t.j. od koncovej súradnice vektor musíte odpočítať príslušnú začiatočnú súradnicu vektor... Dĺžka vektor AB (alebo jeho modul) sa počíta ako druhá odmocnina zo súčtu druhých mocnín jeho súradníc: | AB | \u003d? ((b1 - a1) ^ 2 + (b2 - a2) ^ 2 + (b3 - a3) ^ 2).

Nájdite súradnice bodu, ktorý je v strede vektor... Označme to písmenom O \u003d (o1, o2, o3). Nájdite súradnice stredu vektor rovnako ako súradnice stredu pravidelného segmentu, podľa nasledujúcich vzorcov: o1 \u003d (a1 + b1) / 2, o2 \u003d (a2 + b2) / 2, o3 \u003d (a3 + b3) / 2. Nájdite súradnice vektor AO: AO \u003d (o1 - a1, o2 - a2, o3 - a3) \u003d ((b1 - a1) / 2, (b2 - a2) / 2, (b3 - a3) / 2).

Pozrime sa na príklad. Nech sa dá vektor AB so súradnicami počiatku vektor A \u003d (1, 3, 5) a koniec vektor B \u003d (3, 5, 7). Potom súradnice vektor AB je možné písať ako AB \u003d (3 - 1, 5 - 3, 7 - 5) \u003d (2, 2, 2). Nájdite modul vektor AB: | AB | \u003d? (4 + 4 + 4) \u003d 2 *? 3. Hodnota danej dĺžky vektor pomôže nám ďalej skontrolovať správnosť súradníc stredu vektor... Ďalej nájdeme súradnice bodu O: O \u003d ((1 + 3) / 2, (3 + 5) / 2, (5 + 7) / 2) \u003d (2, 4, 6). Potom súradnice vektor AO sa počíta ako AO \u003d (2 - 1, 4 - 3, 6 - 5) \u003d (1, 1, 1).

Skontrolujme to. Dĺžka vektor AO \u003d? (1 + 1 + 1) \u003d? 3. Pripomeňme, že dĺžka počiatočnej vektor sa rovná 2 *? 3, t.j. polovica vektor sa skutočne rovná polovici dĺžky originálu vektor... Teraz poďme vypočítať súradnice vektor OB: OB \u003d (3 - 2, 5 - 4, 7 - 6) \u003d (1, 1, 1). Nájdite súčet vektorov AO a OB: AO + OB \u003d (1 + 1, 1 + 1, 1 + 1) \u003d (2, 2, 2) \u003d AB. Preto súradnice stredu vektor boli nájdené správne.

Užitočná rada

Po vypočítaní súradníc stredového bodu vektora nezabudnite vykonať aspoň najjednoduchšiu kontrolu - vypočítajte dĺžku vektora a porovnajte ho s dĺžkou daného vektora.

V článku nižšie sa zdôraznia problémy s hľadaním súradníc stredného bodu segmentu, ak sú ako počiatočné údaje súradnice jeho krajných bodov. Predtým, ako sa začneme venovať tejto problematike, zavádzame však niekoľko definícií.

Definícia 1

Úsečka - priamka spájajúca dva ľubovoľné body, nazývaná konce čiary. Ako príklad nech sú to body A a B, a teda segment A B.

Ak segment A B pokračuje oboma smermi z bodov A a B, dostaneme priamku A B. Potom je segment A B časťou výslednej čiary ohraničenej bodmi A a B. Segment A B spája body A a B, ktoré sú jeho koncami, ako aj množinu bodov ležiacich medzi nimi. Ak napríklad vezmeme ľubovoľný bod K ležiaci medzi bodmi A a B, môžeme povedať, že bod K leží na segmente A B.

Definícia 2

Dĺžka segmentu - vzdialenosť medzi koncami segmentu v danej mierke (segment jednotkovej dĺžky). Dĺžka segmentu A B je označená takto: A B.

Definícia 3

Stredný bod - bod ležiaci na segmente a v rovnakej vzdialenosti od jeho koncov. Ak je stred úsečky A B označený bodom C, potom bude rovnosť pravdivá: A C \u003d C B

Počiatočné údaje: súradnicová čiara O x a na nej nezhodné body: A a B. Tieto body zodpovedajú reálnym číslam x A a x B. Bod C - stred úsečky A B: je potrebné určiť súradnicu x C.

Pretože bod C je stredom segmentu A B, bude platiť táto rovnosť: | A C | \u003d | C B | ... Vzdialenosť medzi bodmi je určená modulom rozdielu medzi ich súradnicami, t.j.

| A C | \u003d | C B | ⇔ x C - x A \u003d x B - x C

Potom sú možné dve rovnosti: x C - x A \u003d x B - x C a x C - x A \u003d - (x B - x C)

Z prvej rovnosti odvodíme vzorec pre súradnice bodu C: x C \u003d x A + x B 2 (polovica súčtu súradníc koncov úsečky).

Z druhej rovnosti dostaneme: x A \u003d x B, čo je nemožné, keďže v pôvodných údajoch nezhodné body. Touto cestou, vzorec na určenie súradníc stredného bodu úsečky A B s koncami A (x A) a B (x B):

Výsledný vzorec bude základom pre určenie súradníc stredného bodu segmentu v rovine alebo v priestore.

Počiatočné údaje: obdĺžnikový súradnicový systém v rovine O x y, dva ľubovoľné nezhodné body so zadanými súradnicami A x A, y A a B x B, y B. Bod C je stredom segmentu A B. Pre bod C je potrebné určiť súradnice x C a y C.

Vezmime si na analýzu prípad, keď sa body A a B nezhodujú a ležia na rovnakej súradnicovej čiare alebo priamke kolmej na jednu z osí. A x, A y; B x, B y a C x, C y - projekcie bodov A, B a C na súradnicové osi (priame čiary O x a O y).

Podľa konštrukcie sú priamky A A x, B B x, C C x rovnobežné; priame čiary sú tiež navzájom rovnobežné. Spolu s tým podľa Thalesovej vety z rovnosti A C \u003d C B vyplývajú rovnosti: A x C x \u003d C x B x a A y C y \u003d C y In y a tie zase naznačujú, že bod C x je stred segmentu A x B x a C y je stredom segmentu A y B y. A potom na základe vzorca získaného skôr dostaneme:

x C \u003d x A + x B 2 a y C \u003d y A + y B 2

Rovnaké vzorce je možné použiť v prípade, keď body A a B ležia na rovnakej súradnicovej čiare alebo priamke kolmej na jednu z osí. Nebudeme robiť podrobnú analýzu tohto prípadu, budeme ju brať iba graficky:

Ak zhrnieme všetky uvedené skutočnosti, súradnice stredu úsečky A B v rovine so súradnicami koncov A (x A, y A) a B (x B, y B) definovaný ako:

(x A + x B 2, y A + y B 2)

Počiatočné údaje: súradnicový systém О x y z a dva ľubovoľné body so zadanými súradnicami A (x A, y A, z A) a B (x B, y B, z B). Je potrebné určiť súradnice bodu C, ktorý je stredom úsečky A B.

A x, A y, A z; B x, B y, B z a C x, C y, C z - projekcie všetkých určených bodov na osi súradnicového systému.

Podľa Thalesovej vety platia nasledujúce rovnosti: A x C x \u003d C x B x, A y C y \u003d C y B y, A z C z \u003d C z B z

Preto sú body C x, C y, C z strednými bodmi segmentov A x B x, A y B y, A z B z. Potom, na určenie súradníc stredného bodu segmentu v priestore sú platné nasledujúce vzorce:

x C \u003d x A + x B 2, y c \u003d y A + y B 2, z c \u003d z A + Z B 2

Získané vzorce sú použiteľné aj v prípadoch, keď body A a B ležia na jednej zo súradnicových čiar; na priamke kolmej na jednu z osí; v jednej súradnicovej rovine alebo v rovine kolmej na jednu z rovín súradníc.

Určenie súradníc stredného bodu segmentu prostredníctvom súradníc vektorov polomerov jeho koncov

Vzorec na nájdenie súradníc stredného bodu úsečky možno odvodiť aj podľa algebraickej interpretácie vektorov.

Počiatočné údaje: obdĺžnikový kartézsky súradnicový systém O x y, body so zadanými súradnicami A (x A, y A) a B (x B, x B). Bod C je stredom segmentu A B.

Podľa geometrickej definície pôsobenia na vektory bude platiť nasledujúca rovnosť: O C → \u003d 1 2 · O A → + O B →. Bod C je v tomto prípade priesečníkom uhlopriečok rovnobežníka vytvorených na základe vektorov O A → a O B →, t.j. stred uhlopriečok. Súradnice vektora polomeru bodu sa rovnajú súradniciam bodu, potom sú rovnosti pravdivé: O A → \u003d (x A, y A), O B → \u003d (x B, y B). Vykonajme niektoré operácie s vektormi v súradniciach a získajme:

O C → \u003d 1 2 O A → + O B → \u003d x A + x B 2, y A + y B 2

Preto má bod C súradnice:

x A + x B 2, y A + y B 2

Analogicky sa určí vzorec na vyhľadanie súradníc stredného bodu segmentu v priestore:

C (x A + x B 2, y A + y B 2, z A + z B 2)

Príklady riešenia problémov na vyhľadanie súradníc stredu úsečky

Medzi úlohy spojené s použitím vyššie uvedených vzorcov patria úlohy, ktoré priamo súvisia s otázkou výpočtu súradníc stredu úsečky, aj úlohy, ktoré znamenajú splnenie daných podmienok pre túto otázku: často sa používa výraz „medián“, cieľom je nájsť súradnice jedného z nich. od koncov segmentu, a tiež bežné problémy so symetriou, ktorých riešenie by vo všeobecnosti tiež nemalo spôsobovať ťažkosti po preštudovaní tejto témy. Uvažujme o typických príkladoch.

Príklad 1

Počiatočné údaje: v rovine - body so zadanými súradnicami A (- 7, 3) a B (2, 4). Je potrebné nájsť súradnice stredného bodu segmentu A B.

Rozhodnutie

Označte stred segmentu A B bodom C. Jeho súradnice budú definované ako polovičný súčet súradníc koncov úsečky, t.j. body A a B.

x C \u003d x A + x B 2 \u003d - 7 + 2 2 \u003d - 5 2 y C \u003d y A + y B 2 \u003d 3 + 4 2 \u003d 7 2

Odpoveď: súradnice stredu segmentu A B - 5 2, 7 2.

Príklad 2

Počiatočné údaje: súradnice trojuholníka A B C sú známe: A (- 1, 0), B (3, 2), C (9, - 8). Je potrebné zistiť dĺžku mediánu A M.

Rozhodnutie

1. Podľa hypotézy problému je M stredná hodnota, a preto M je stredom segmentu B C. Najskôr nájdeme súradnice stredného bodu segmentu B C, t.j. bod M:

x M \u003d x B + x C 2 \u003d 3 + 9 2 \u003d 6 y M \u003d y B + y C 2 \u003d 2 + (- 8) 2 \u003d - 3

1. Pretože teraz poznáme súradnice oboch koncov mediánu (body A a M), môžeme pomocou vzorca určiť vzdialenosť medzi bodmi a vypočítať dĺžku mediánu A M:

A M \u003d (6 - (- 1)) 2 + (- 3 - 0) 2 \u003d 58

Odpoveď: 58

Príklad 3

Počiatočné údaje: v obdĺžnikovom súradnicovom systéme trojrozmerného priestoru je uvedený rovnobežnosten A B C D A 1 B 1 C 1 D 1. Sú uvedené súradnice bodu C 1 (1, 1, 0) a tiež je definovaný bod M, ktorý je stredom uhlopriečky B D 1 a má súradnice M (4, 2, - 4). Je potrebné vypočítať súradnice bodu A.

Rozhodnutie

Uhlopriečky rovnobežnostenu majú priesečník v jednom bode, ktorý je stredom všetkých uhlopriečok. Na základe tohto tvrdenia je možné mať na pamäti, že bod M známy z podmienok problému je stredom segmentu A C 1. Na základe vzorca na nájdenie súradníc stredného bodu úsečky v priestore nájdeme súradnice bodu A: x M \u003d x A + x C 1 2 ⇒ x A \u003d 2 x M - x C 1 \u003d 2 4 - 1 + 7 y M \u003d y A + y C 1 2 ⇒ y A \u003d 2 y M - y C 1 \u003d 2 2 - 1 \u003d 3 z M \u003d z A + z C 1 2 ⇒ z A \u003d 2 z M - z C 1 \u003d 2 (- 4) - 0 \u003d - 8

Odpoveď: súradnice bodu A (7, 3, - 8).

Ak spozorujete chybu v texte, vyberte ju a stlačte Ctrl + Enter

V tomto článku začneme diskusiu o jednej „čarovnej paličke“, ktorá vám umožní znížiť množstvo problémov s geometriou na jednoduchú aritmetiku. Táto „palica“ vám môže výrazne uľahčiť život, najmä keď máte neistotu pri vytváraní priestorových figúr, rezov atď. To všetko si vyžaduje určitú predstavivosť a praktické zručnosti. Metóda, ktorú tu začneme brať do úvahy, vám umožní takmer úplne abstrahovať od všetkých druhov geometrických konštrukcií a úvah. Metóda sa nazýva „Metóda súradníc“... V tomto článku zvážime nasledujúce otázky:

1. Súradnicová rovina
2. Body a vektory v rovine
3. Konštrukcia vektora z dvoch bodov
4. Dĺžka vektora (vzdialenosť medzi dvoma bodmi)
5. Súradnice stredu
6. Bodový súčin vektorov
7. Uhol medzi dvoma vektormi

Myslím, že ste už uhádli, prečo sa tak nazýva metóda súradníc? Je pravda, že dostal také meno, pretože operuje nie s geometrickými objektmi, ale s ich číselnými charakteristikami (súradnicami). A samotná transformácia, ktorá nám umožňuje prejsť od geometrie k algebre, spočíva v zavedení súradnicového systému. Ak bol pôvodný obrázok plochý, súradnice sú dvojrozmerné a ak je obrázok trojrozmerný, súradnice sú trojrozmerné. V tomto článku budeme uvažovať iba o dvojrozmernom prípade. A hlavným cieľom článku je naučiť vás, ako používať niektoré základné techniky súradnicovej metódy (niekedy sa ukážu ako užitočné pri riešení problémov na planimetrii v časti B USE). Ďalšie dve časti venované tejto téme sú venované diskusii o metódach riešenia úloh C2 (problém stereometrie).

Kde by bolo logické začať diskutovať o metóde súradníc? Pravdepodobne z konceptu súradnicového systému. Pamätajte si, kedy ste sa s ňou prvýkrát stretli. Zdá sa mi, že v 7. ročníku, keď ste sa dozvedeli napríklad o existencii lineárnej funkcie. Pripomínam, že ste to postavili bod po bode. Pamätáš si? Vybrali ste ľubovoľné číslo, dosadili ste ho do vzorca a vypočítali týmto spôsobom. Napríklad ak, potom, ak, potom atď. Čo ste nakoniec dostali? A dostali ste body so súradnicami: a. Potom ste nakreslili „kríž“ (súradnicový systém), vybrali ste na ňom mierku (koľko buniek budete mať ako segment jednotky) a označili ste na nej body, ktoré ste dostali, ktoré ste potom spojili priamkou, výslednou čiarou je graf funkcie.

Existuje niekoľko bodov, ktoré by vám mali byť vysvetlené trochu podrobnejšie:

1. Z dôvodu pohodlia si vyberiete jeden segment, aby všetko pekne a kompaktne sedelo na obrázku

2. Predpokladá sa, že os ide zľava doprava a os zdola nahor

3. Pretínajú sa v pravom uhle a bod ich priesečníka sa nazýva počiatok. Je to označené listom.

4. Napríklad pri zaznamenávaní súradníc bodu je vľavo v zátvorkách súradnica bodu pozdĺž osi a vpravo v osi. Najmä to jednoducho znamená, že v danom okamihu

5. Aby ste nastavili ľubovoľný bod na osi súradníc, musíte určiť jeho súradnice (2 čísla)

6. Pre akýkoľvek bod ležiaci na osi

7. Pre akýkoľvek bod na osi

8. Os sa nazýva os úsečky

9. Os sa nazýva os y.

Teraz poďme s vami na ďalší krok: označte dva body. Spojme tieto dva body so segmentom. A dajme šípku, akoby sme kreslili segment z bodu do bodu: to znamená, že náš segment nastavíme nasmerovaný!

Pamätajte, ako sa ešte nazýva nasmerovaný segment? Máte pravdu, volá sa to vektor!

Ak teda spojíme bod s bodom, kde začiatok bude bod A a koniec bude bod B, potom dostaneme vektor. Túto formáciu ste robili aj v 8. ročníku, pamätáte?

Ukázalo sa, že vektory, rovnako ako body, možno označiť dvoma číslami: tieto čísla sa nazývajú súradnice vektora. Otázka znie: myslíte si, že na zistenie jeho súradníc stačí poznať súradnice začiatku a konca vektora? Ukázalo sa, že áno! A to sa deje veľmi jednoducho:

Pretože vo vektore je bod začiatkom a koncom, má vektor nasledujúce súradnice:

Napríklad ak, potom súradnice vektora

Teraz urobme opak, nájdime súradnice vektora. Čo musíme pre to zmeniť? Áno, musíte vymeniť začiatok a koniec: teraz bude začiatok vektora v bode a koniec bude v bode. Potom:

Pozri sa pozorne, ako sú vektory a? Ich jediný rozdiel sú znaky v súradniciach. Sú oproti. Je obvyklé písať túto skutočnosť takto:

Niekedy, ak nie je konkrétne určené, ktorý bod je začiatkom vektora a ktorý je jeho koncom, potom sú vektory označené nie dvoma veľkými písmenami, ale jedným malým písmom, napríklad :, atď.

Teraz trochu prax sami a nájdite súradnice nasledujúcich vektorov:

Kontrola:

Teraz problém vyriešte trochu ťažšie:

Vektor s na-cha-lom v mieste má co-or-di-na-ty. Nie-di-tie abs-cis-su body.

To isté je pomerne prozaické: Nech sú súradnice bodu. Potom

Systém som vytvoril podľa definície toho, čo sú súradnice vektora. Potom má bod súradnice. Zaujíma nás úsečka. Potom

Odpoveď:

Čo ešte môžete robiť s vektormi? Áno, takmer všetko je rovnaké ako pri bežných číslach (okrem toho, že nemôžete deliť, ale môžete sa množiť dvoma spôsobmi, o ktorých si tu ešte trochu povieme)

1. Vektory môžu byť navzájom spojené
2. Vektory je možné od seba odčítať
3. Vektory môžu byť vynásobené (alebo delené) ľubovoľným nenulovým číslom
4. Vektory sa môžu navzájom znásobovať

Všetky tieto operácie majú veľmi jasné geometrické znázornenie. Napríklad pravidlo trojuholníka (alebo rovnobežníka) pre sčítanie a odčítanie:

Vektor sa zväčšuje alebo zmenšuje alebo mení smer po vynásobení alebo vydelení číslom:

Tu nás však bude zaujímať otázka, čo sa deje so súradnicami.

1. Pri sčítaní (odčítaní) dvoch vektorov sčítame (odčítame) ich súradnice prvok po prvku. Teda:

2. Pri vynásobení (vydelení) vektora číslom sa všetky jeho súradnice vynásobia (vydelia) týmto číslom:

Napríklad:

· Nay-di-te súčet co-or-di-nat vek-to-ra.

Najprv nájdeme súradnice každého z vektorov. Obidva majú rovnaký pôvod - východiskový bod. Ich konce sú rôzne. Potom ,. Teraz poďme vypočítať súradnice vektora. Potom je súčet súradníc výsledného vektora.

Odpoveď:

Teraz vyriešte nasledujúci problém sami:

Nájdite súčet súradníc vektora

Kontrolujeme:

Uvažujme teraz o nasledujúcom probléme: na súradnicovej rovine máme dva body. Ako zistiť vzdialenosť medzi nimi? Nech je prvý bod a druhý. Označme vzdialenosť medzi nimi. Pre názornosť urobíme nasledujúci výkres:

Čo som urobil? Najprv som spojil body a tiež z bodu som nakreslil čiaru rovnobežnú s osou a z bodu čiaru rovnobežnú s osou. Križovali sa v bode a vytvorili tak nádhernú postavu? Čím je pozoruhodný? Áno, ty a ja vieme takmer všetko o pravouhlom trojuholníku. No, Pytagorova veta - určite. Hľadaným segmentom je prepona tohto trojuholníka a segmenty sú nohy. Aké súradnice bodu? Áno, dajú sa ľahko nájsť z obrázka: Pretože segmenty sú rovnobežné s osami, ich dĺžky sa dajú ľahko nájsť: ak označíte dĺžky segmentov, potom, potom

Teraz použijeme Pytagorovu vetu. Poznáme dĺžky nôh, nájdeme preponu:

Vzdialenosť medzi dvoma bodmi je teda koreňom súčtu druhých mocnín rozdielov od súradníc. Alebo je vzdialenosť medzi dvoma bodmi dĺžka priamky, ktorá ich spája. Je ľahké vidieť, že vzdialenosť medzi bodmi je nezávislá od smeru. Potom:

Z toho vyvodíme tri závery:

Poďme si trochu precvičiť výpočet vzdialenosti medzi dvoma bodmi:

Napríklad ak, potom vzdialenosť medzi a je

Alebo poďme inak: nájdime súradnice vektora

A nájdite dĺžku vektora:

Ako vidíte, to isté!

Teraz si trochu zacvičte:

Úloha: nájdite vzdialenosť medzi zadanými bodmi:

Kontrolujeme:

Tu uvádzame niekoľko ďalších problémov s rovnakým vzorcom, ktoré však vyzerajú trochu inak:

1. Nay-di-te square-rat o dĺžke storočia k Ra.

2. Nay-di-te štvorcový potkan o dĺžke storočia až ra

Myslím, že si s nimi urobil ľahko? Kontrolujeme:

1. A to je pre pozornosť) Už sme našli súradnice vektorov a skôr :. Potom má vektor súradnice. Štvorček jeho dĺžky bude:

2. Nájdite súradnice vektora

Potom je štvorec jeho dĺžky

Nič zložité, však? Jednoduchá aritmetika, nič viac.

Nasledujúce úlohy nemožno jednoznačne kategorizovať, je pravdepodobnejšie, že budú mať všeobecnú erudíciu a schopnosť kresliť jednoduché obrázky.

1. Nay-di-te sínus uhla on-off-cut, co-uni-nya-yu-shch-tý bod s osou úsečky.

a

Čo tu budeme robiť? Musíte nájsť sínus uhla medzi a osou. A kde vieme, ako hľadať sínus? Priamo v pravouhlom trojuholníku. Čo teda musíme urobiť? Postavte tento trojuholník!

Pretože súradnice bodu sú a, segment je rovnaký a segment. Musíme nájsť sínus uhla. Dovoľte mi, aby som vám pripomenul, že sínus je teda pomer opačnej nohy k prepone

Čo nám zostáva urobiť? Nájdite preponu. Môžete to urobiť dvoma spôsobmi: Pytagorovou vetou (nohy sú známe!) Alebo vzorcom pre vzdialenosť medzi dvoma bodmi (v skutočnosti to isté ako prvý spôsob!). Pôjdem druhou cestou:

Odpoveď:

Ďalšia úloha sa vám bude javiť ešte ľahšia. Ona - na súradniciach bodu.

Cieľ 2. Per-pen-di-ku-lar je znížený z bodu k osi abs-ciss. Nay-di-te abs-cis-su os-no-va-nia per-pen-di-cu-la-ra.

Poďme urobiť výkres:

Základom kolmice je bod, v ktorom prechádza osou (osou) úsečky, pre mňa je to bod. Obrázok ukazuje, že má súradnice :. Zaujíma nás úsečka - teda zložka „X“. Je to rovnaké.

Odpoveď: .

Cieľ 3. Za podmienok predchádzajúcej úlohy nájdite súčet vzdialeností od bodu k súradnicovým osiam.

Úloha je všeobecne elementárna, ak viete, aká je vzdialenosť od bodu k osám. Vieš? Dúfam, ale stále vám pripomínam:

Takže na mojom obrázku umiestnenom trochu vyššie som už nakreslil jednu takú kolmú? Aká os je to? Na os. A potom aká je jej dĺžka? Je to rovnaké. Teraz nakreslite sami kolmicu na os a zistite jej dĺžku. Bude to rovnaké, však? Potom je ich súčet rovnaký.

Odpoveď: .

Úloha 4. V podmienkach úlohy 2 nájdite súradnicu bodu súmerne s bodom vzhľadom na os úsečky.

Myslím, že intuitívne rozumieš, čo je to symetria? Má ho veľa objektov: veľa budov, stolov, rovín, mnoho geometrických tvarov: guľa, valec, štvorec, kosoštvorec atď. Symetriu možno zhruba chápať takto: figúru tvoria dve (alebo viac) rovnakých polovíc. Táto symetria sa nazýva axiálna. Čo je potom os? Toto je presne čiara, pozdĺž ktorej je možné postavu relatívne „rozrezať“ na rovnaké polovice (na tomto obrázku je osou symetrie priamka):

Teraz sa vráťme k nášmu problému. Vieme, že hľadáme bod, ktorý je symetrický okolo osi. Potom je táto os osou symetrie. Musíme teda označiť bod tak, aby os rozrezala segment na dve rovnaké časti. Skúste si takýto bod označiť sami. Teraz porovnajte s mojím riešením:

Urobili ste to rovnako? Dobre! V nájdenom bode nás zaujíma súradnica. Je rovnocenná

Odpoveď:

Teraz mi povedzte, po premýšľaní o sekundách, aká bude úsečka bodu symetrického k bodu A vzhľadom na súradnicu? Aká je tvoja odpoveď? Správna odpoveď: .

Všeobecne možno pravidlo napísať takto:

Bod súmerný s bodom vzhľadom na os úsečky má súradnice:

Bod súmerný s bodom okolo osi súradnice má súradnice:

No, teraz je to úplne desivé úloha: vyhľadať súradnice bodu symetrického k bodu vo vzťahu k počiatku. Najskôr premýšľajte sami a potom sa pozrite na moju kresbu!

Odpoveď:

Teraz problém rovnobežníka:

Úloha 5: Body sú ver-shi-na-mi paral-le-lo-gram-ma. Body Nay-di-te alebo-di-na-tu.

Tento problém môžete vyriešiť dvoma spôsobmi: logikou a metódou súradníc. Najprv použijem súradnicovú metódu a potom ti poviem, ako sa môžeš rozhodnúť inak.

Je úplne zrejmé, že úsečka bodu je. (leží na kolmice nakreslenej z bodu na os úsečky). Musíme nájsť súradnicu. Využime to, že naša postava je rovnobežník, čo to znamená. Vyhľadajte dĺžku segmentu pomocou vzorca pre vzdialenosť medzi dvoma bodmi:

Znížime kolmicu spájajúcu bod s osou. Priesečník bude označený písmenom.

Dĺžka segmentu je. (nájdite samotný problém, kde sme diskutovali o tomto bode), potom zistíme dĺžku segmentu podľa Pytagorovej vety:

Dĺžka riadku je úplne rovnaká ako jeho súradnica.

Odpoveď: .

Iné riešenie (uvediem iba obrázok, ktorý ho ilustruje)

Postup riešenia:

1. Správanie

2. Nájdite súradnice a dĺžku bodu

3. Dokážte to.

Ešte jeden skladačka s dĺžkou segmentu:

Body sa zdajú-la-are-Xia ver-shi-na-mi tre-coal-no-ka. Nay-di-te je dĺžka jeho strednej čiary, rovnobežnej-lel-noy.

Pamätáte si, čo je stredná čiara trojuholníka? Potom je táto úloha pre vás elementárna. Ak si nepamätáte, potom vám pripomeniem: stredná čiara trojuholníka je čiara, ktorá spája stredy protiľahlých strán. Je rovnobežná so základňou a rovná sa jej polovici.

Základňa je úsečka. Jeho dĺžku sme museli hľadať skôr, je rovnaká. Potom je dĺžka stredovej čiary polovičná a rovnaká.

Odpoveď: .

Komentár: tento problém je možné vyriešiť aj inak, čomu sa budeme venovať trochu neskôr.

Medzitým - tu je niekoľko úloh, ktoré si môžeš precvičiť, sú celkom jednoduché, ale pomôžu ti „dostať si ruku“ pomocou metódy súradníc!

1. Body sú ver-shi-na-mi tra-petsii. Nay-di-te je dĺžka jeho strednej čiary.

2. Bodky a sú-la-sy-ver-shi-na-mi pa-ra-le-lo-gram-ma. Body Nay-di-te alebo-di-na-tu.

3. Nay-di-te dĺžka odrezaného bodu, co-single-nya-yu-shch-go a

4. Nay-di-te oblasť krásnej fi-guy v rovine co-or-di-nat-noy.

5. Kružnica so stredom na na-cha-le ko-or-di-nat prechádza bodom. Nie-di-te jej ra-di-us.

6. Nai-di-te ra-di-us kruhu, popísané-san-noy okolo obdĺžnikového uhlia-nik-ka, vrcholy ko-to-ro-go majú družstvo -di-na-ty spoluveterinár-ale

Riešenia:

1. Je známe, že stredná čiara lichobežníka sa rovná polovičnému súčtu jeho báz. Základňa je rovnaká a základňa. Potom

Odpoveď:

2. Najjednoduchší spôsob riešenia tohto problému je všimnúť si to (pravidlo rovnobežníka). Vypočítajte súradnice vektorov a nie je ťažké :. Pri pridávaní vektorov sa pridajú súradnice. Potom má súradnice. Bod má rovnaké súradnice, pretože pôvodom vektora je bod so súradnicami. Zaujíma nás ordinát. Je to rovnaké.

Odpoveď:

3. Okamžite konáme podľa vzorca pre vzdialenosť medzi dvoma bodmi:

Odpoveď:

4. Pozri sa na obrázok a povedz mi, medzi ktorými dvoma tvarmi je tieňovaná oblasť „obložená“? Je vložený medzi dva štvorce. Potom sa plocha požadovaného obrázka rovná ploche veľkého štvorca mínus plocha malého. Strana malého štvorca je čiarový úsek spájajúci body a Jeho dĺžka je

Potom je plocha malého štvorca

To isté urobíme s veľkým štvorcom: jeho strana je segment spájajúci body a jej dĺžka je

Potom je plocha veľkého štvorca

Oblasť požadovaného obrázka sa nachádza podľa vzorca:

Odpoveď:

5. Ak má kružnica pôvod súradníc ako stred a prechádza bodom, potom bude jej polomer presne rovný dĺžke segmentu (nakreslite obrázok a pochopíte, prečo je to zrejmé). Poďme zistiť dĺžku tohto segmentu:

Odpoveď:

6. Je známe, že polomer kruhu opísaného okolo obdĺžnika sa rovná polovici jeho uhlopriečky. Nájdite dĺžku ktorejkoľvek z dvoch uhlopriečok (koniec koncov, sú rovnaké v obdĺžniku!)

Odpoveď:

No všetko ste už riešili? Nebolo veľmi ťažké prísť na to, že? Tu platí pravidlo - vedieť urobiť vizuálny obraz a jednoducho z neho „prečítať“ všetky údaje.

Zostáva nám veľmi málo. Doslova existujú ďalšie dva body, o ktorých by som rád diskutoval.

Pokúsme sa vyriešiť tento jednoduchý problém. Nechajte dva body a treba ich dať. Nájdite súradnice stredného bodu segmentu. Riešenie tohto problému je nasledovné: nech je bod požadovaným stredom, potom má súradnice:

Teda: stredné súradnice \u003d aritmetický priemer zodpovedajúcich súradníc koncov segmentov.

Toto pravidlo je veľmi jednoduché a študentom zvyčajne nerobí ťažkosti. Pozrime sa, aké úlohy a ako sa používajú:

1. Nay-di-te alebo-di-na-tu-re-di-us z rezu, co-uni-nya-yu-shch-go bod a

2. Body sú-la-yut-sya ver-shi-na-mi-you-rekh-uhlí-č. Nay-di-te alebo-di-na-tu body pozorovania jeho dia-go-na-lei

3. Nie-di-tie abs-cis-su stred-trať kruhu, popísané-san-noy okolo uhlia-no-ka, vrcholy ko-to-ro-go co-op-di-na-ty co-vet-ale.

Riešenia:

1. Prvý problém je len klasický. Okamžite konáme, aby sme určili stred segmentu. Má súradnice. Súradnica je.

Odpoveď:

2. Je ľahké vidieť, že daný štvoruholník je rovnobežník (dokonca aj kosoštvorec!). Môžete to dokázať sami výpočtom dĺžok strán a ich vzájomným porovnaním. Čo viem o rovnobežníku? Jeho uhlopriečky sú o polovicu prieniku priesečníka! Aha! Takže priesečník uhlopriečok je aký? Toto je stred ktorejkoľvek z uhlopriečok! Vyberiem najmä uhlopriečku. Potom má bod súradnice Súradnica bodu je.

Odpoveď:

3. S čím je stred kruhu opísaného okolo obdĺžnika? Zhoduje sa s priesečníkom jeho uhlopriečok. Čo vieš o uhlopriečkach obdĺžnika? Sú rovnaké a priesečník je polovičný. Úloha sa zredukovala na predchádzajúcu. Vezmime si napríklad uhlopriečku. Potom, ak je stred opísanej kružnice, potom je stred. Hľadáme súradnice: Úsečka je rovnaká.

Odpoveď:

Teraz si trochu zacvičte, iba dám odpovede na každý problém, aby ste sa mohli otestovať.

1. Nai-di-te ra-di-us kruhu, popísané-san-noy okolo trojuholníka, vrcholy co-to-ro-go majú co-or-di -žiadni páni

2. Stredná trať kruhu Nay-di-te alebo-di-na-tu, opísaná-san-noy okolo trojuholníka-nik, vrcholy ko-to-ro-go majú súradnice

3. Ako-na-ra-di-u-sa by mala existovať kružnica so stredom v bode tak, aby bola zarovnaná s osou abs-cissa?

4. Nay-di-te alebo-di-na-tu body opätovného výsevu osi a medzného bodu, ko-uni-nya-yu-shch-go bodu a

Odpovede:

Uspeli ste? Naozaj v to dúfam! Teraz - posledné stlačenie. Teraz buďte obzvlášť opatrní. Materiál, ktorý teraz vysvetlím, priamo súvisí nielen s jednoduchými úlohami súradnicovej metódy z časti B, ale vyskytuje sa tiež všade v úlohe C2.

Ktoré zo svojich sľubov som ešte nedodržal? Pamätáte si, aké operácie na vektoroch som sľúbil zaviesť a ktoré som nakoniec zaviedol? Zabudol som niečo? Zabudol som! Zabudli ste vysvetliť, čo znamená násobenie vektorov.

Existujú dva spôsoby, ako vynásobiť vektor vektorom. Podľa zvolenej metódy získame objekty rôzneho charakteru:

Vektorový produkt je dosť zložitý. Ako na to a na čo to je, si s vami povieme v ďalšom článku. A v tomto sa zameriame na bodový produkt.

Existujú dva spôsoby výpočtu:

Ako ste uhádli, výsledok by mal byť rovnaký! Pozrime sa teda najskôr na prvý spôsob:

Bodový produkt z hľadiska súradníc

Nájsť: - spoločný bodový produktový zápis

Vzorec pre výpočet je nasledovný:

To znamená, že bodový súčin \u003d súčet súčinov súradníc vektorov!

Príklad:

Nai di te

Rozhodnutie:

Nájdeme súradnice každého z vektorov:

Bodový súčin vypočítame podľa vzorca:

Odpoveď:

Vidíte, absolútne nič zložité!

Teraz to vyskúšajte sami:

Nay-di-te scalar-noe pro-iz-ve-de-vek-to-moat a

Zvládli ste? Možno ste si všimli malý úlovok? Skontrolujme to:

Vektorové súradnice ako v predchádzajúcej úlohe! Odpoveď :.

Okrem súradnice existuje ďalší spôsob výpočtu bodového súčinu, a to prostredníctvom dĺžok vektorov a kosínusu uhla medzi nimi:

Označuje uhol medzi vektormi a.

To znamená, že bodový súčin sa rovná súčinu dĺžok vektora kosínusom uhla medzi nimi.

Prečo potrebujeme tento druhý vzorec, ak máme prvý, ktorý je oveľa jednoduchší, prinajmenšom v ňom nie sú kosíny. A je to potrebné, aby sme z prvého a druhého vzorca mohli odvodiť, ako nájsť uhol medzi vektormi!

Nech Potom si zapamätajte vzorec pre dĺžku vektora!

Potom, keď nahradím tieto údaje do vzorca bodového produktu, dostanem:

Ale iným spôsobom:

Čo ste teda dostali vy a ja? Teraz máme vzorec na výpočet uhla medzi dvoma vektormi! Niekedy je to pre stručnosť napísané aj takto:

To znamená, že algoritmus na výpočet uhla medzi vektormi je nasledovný:

1. Vypočítajte súradnicový súčin
2. Nájdite dĺžky vektorov a vynásobte ich
3. Výsledok bodu 1 vydelíme výsledkom bodu 2

Precvičme si na príkladoch:

1. Nie-di-tie uhly medzi storočím-k-ra-mi a. Odpoveď dajte v gra-du-sakh.

2. Za podmienok predchádzajúcej úlohy nájdite kosínus medzi vektormi

Urobme to: Pomôžem vám vyriešiť prvý problém a pokúsim sa urobiť druhý sám! Súhlasím? Tak poďme na to!

1. Tieto vektory sú naši starí známi. Ich bodový produkt sme už spočítali a bol rovnaký. Ich súradnice sú:,. Potom nájdeme ich dĺžky:

Potom hľadáme kosínus medzi vektormi:

Čo je kosínus uhla? Toto je roh.

Odpoveď:

Teraz vyriešte druhý problém sami a potom budeme porovnávať! Dám vám iba veľmi krátke riešenie:

2. má súradnice, má súradnice.

Nech je uhol medzi vektormi a, potom

Odpoveď:

Je potrebné poznamenať, že problémy priamo na vektoroch a metóda súradníc v časti B skúšobnej práce sú pomerne zriedkavé. Drvivú väčšinu problémov C2 je však možné ľahko vyriešiť zavedením súradnicového systému. Tento článok teda môžete považovať za základ, na základe ktorého urobíme celkom prefíkané stavby, ktoré potrebujeme na riešenie zložitých problémov.

KOORDINÁTORI A VEKTORI. PRIEMERNÝ ROVEN

Vy a ja pokračujeme v štúdiu metódy súradníc. V poslednej časti sme odvodili niekoľko dôležitých vzorcov, ktoré umožňujú:

1. Nájdite vektorové súradnice
2. Nájdite dĺžku vektora (alternatívne: vzdialenosť medzi dvoma bodmi)
3. Sčítajte, odčítajte vektory. Vynásobte ich skutočným číslom
4. Nájdite stred úsečky
5. Vypočítajte bodový súčin vektorov
6. Nájdite uhol medzi vektormi

Celá metóda súradníc sa samozrejme nezmestí do týchto 6 bodov. Je jadrom takej vedy, ako je analytická geometria, ktorú na univerzite spoznáte. Chcem len vybudovať základňu, ktorá vám umožní vyriešiť problémy v jednom štáte. skúška. Na úlohy časti B sme prišli v roku Teraz je čas posunúť sa na kvalitatívne novú úroveň! Tento článok sa bude venovať metóde riešenia tých úloh C2, pri ktorých by bolo rozumné prejsť na metódu súradníc. Táto racionalita je určená tým, čo je potrebné nájsť v probléme a aké číslo je uvedené. Metódu súradníc by som teda použil, ak sú tieto otázky:

1. Nájdite uhol medzi dvoma rovinami
2. Nájdite uhol medzi priamkou a rovinou
3. Nájdite uhol medzi dvoma priamkami
4. Nájdite vzdialenosť od bodu k rovine
5. Nájdite vzdialenosť od bodu k čiare
6. Nájdite vzdialenosť od priamky k rovine
7. Nájdite vzdialenosť medzi dvoma priamkami

Ak je údaj uvedený vo vyhlásení o probléme rotačným telieskom (guľka, valec, kužeľ ...)

Vhodné tvary pre súradnicovú metódu sú:

1. Obdĺžnikový rovnobežnosten
2. Pyramída (trojuholníková, štvoruholníková, šesťuholníková)

Aj podľa mojich skúseností je nevhodné použiť metódu súradníc pre:

1. Nájdenie prierezových plôch
2. Výpočet objemov tela

Hneď je však potrebné poznamenať, že tri situácie „nepriaznivé“ pre metódu súradníc sú v praxi pomerne zriedkavé. Pri väčšine úloh sa môže stať vašim záchrancom, najmä ak nie ste veľmi silní v trojrozmerných konštrukciách (ktoré sú niekedy dosť zložité).

Aké sú všetky údaje, ktoré som uviedol vyššie? Už nie sú ploché, ako napríklad štvorec, trojuholník, kruh, ale trojrozmerné! Podľa toho musíme brať do úvahy nie dvojrozmerný, ale trojrozmerný súradnicový systém. Je zostrojená celkom ľahko: okrem osí úsečky a súradnice predstavíme ešte jednu os, os aplikovaného. Obrázok schematicky zobrazuje ich relatívnu polohu:

Všetky sú vzájomne kolmé, pretínajú sa v jednom bode, ktorý nazveme počiatok. Os úsečky, ako predtým, bude označená, súradnicová os - a zadaná os aplikácie -.

Ak predtým každý bod v rovine charakterizovali dve čísla - úsečka a súradnica, potom je každý bod v priestore už opísaný tromi číslami - úsečka, súradnica, plat. Napríklad:

Podľa toho je úsečka bodu rovnaká, súradnica je a aplikátor je.

Niekedy sa úsečka bodu nazýva aj priemet bodu na os úsečky, súradnica je priemetom bodu na os súradnice a aplikát je priemetom bodu na os aplikátora. Ak je teda zadaný bod, potom bod so súradnicami:

sa nazýva priemet bodu na rovinu

sa nazýva priemet bodu na rovinu

Vzniká prirodzená otázka: sú všetky vzorce odvodené pre dvojrozmerný prípad platné v priestore? Odpoveď je áno, sú spravodlivé a majú rovnaký vzhľad. Pre malý detail. Myslím, že už ste uhádli, pre ktorú z nich. Do všetkých vzorcov budeme musieť pridať ešte jeden výraz zodpovedný za os aplikátora. A síce.

1. Ak sú pridelené dva body :, potom:

• Vektorové súradnice:
• Vzdialenosť medzi dvoma bodmi (alebo dĺžka vektora)
• Stred segmentu má súradnice

2. Ak sú uvedené dva vektory: a, potom:

• Ich bodový produkt je:
• Kosínus uhla medzi vektormi je:

Priestor však nie je taký jednoduchý. Ako si dokážete predstaviť, pridanie jednej ďalšej súradnice predstavuje značnú rozmanitosť v spektre postáv „žijúcich“ v tomto priestore. A pre ďalšie rozprávanie musím predstaviť nejaké, zhruba povedané, „zovšeobecnenie“ priamky. Toto „zovšeobecnenie“ je rovina. Čo vieš o lietadle? Skúste si odpovedať na otázku, čo je to lietadlo? Je to veľmi ťažké povedať. Všetci si však intuitívne predstavujeme, ako to vyzerá:

Zhruba povedané, ide o akýsi nekonečný „list“ zastrčený do vesmíru. „Nekonečno“ treba chápať tak, že rovina sa rozprestiera vo všetkých smeroch, to znamená, že jej plocha sa rovná nekonečnu. Toto vysvetlenie „na prstoch“ však neposkytuje najmenšiu predstavu o štruktúre lietadla. A bude nás to zaujímať.

Spomeňme si na jeden zo základných axiómov geometrie:

• priamka prechádza dvoma rôznymi bodmi v rovine, navyše iba jeden:

Alebo jeho náprotivok vo vesmíre:

Samozrejme, pamätáte si, ako odvodiť rovnicu priamky z dvoch daných bodov, nie je to vôbec ťažké: ak má prvý bod súradnice: a druhý, potom bude rovnica priamky vyzerať takto:

Týmto si prešiel v 7. ročníku. Vo vesmíre vyzerá rovnica priamky takto: dajme dvom bodom so súradnicami :, potom rovnica priamky prechádzajúcej cez ne má tvar:

Napríklad priamka prechádza bodmi:

Ako by sa to malo chápať? Malo by sa to chápať takto: bod leží na priamke, ak jeho súradnice vyhovujú nasledujúcemu systému:

Rovnica priamky nás nebude veľmi zaujímať, treba si však dať pozor na veľmi dôležitý koncept smerového vektora priamky. - akýkoľvek nenulový vektor ležiaci na danej priamke alebo s ňou rovnobežne.

Napríklad oba vektory sú smerové vektory priamky. Nech je bod ležiaci na priamke a je jeho smerovým vektorom. Potom možno rovnicu priamky napísať v nasledujúcom tvare:

Opäť ma nebude veľmi zaujímať rovnica priamky, ale naozaj potrebujem, aby ste si spomenuli, čo je smerový vektor! Opäť: je to AKÝKOĽVEK nenulový vektor ležiaci na priamke alebo rovnobežne s ním.

Vyberte rovnica roviny v troch daných bodoch už nie je také triviálne a zvyčajne sa táto otázka nerieši v stredoškolských kurzoch. Ale márne! Táto technika je nevyhnutná, ak na riešenie zložitých problémov používame súradnicovú metódu. Predpokladám však, že sa túžite dozvedieť niečo nové? Okrem toho budete schopní zapôsobiť na svojho učiteľa na univerzite, keď sa ukáže, že už viete, ako na metodiku, ktorá sa zvyčajne študuje v priebehu analytickej geometrie. Tak poďme na to.

Rovnica roviny sa príliš nelíši od rovnice priamky v rovine, konkrétne má tvar

niektoré čísla (nie všetky sa rovnajú nule), ale premenné, napríklad: atď. Ako vidíte, rovnica roviny sa veľmi nelíši od rovnice priamky (lineárna funkcia). Pamätáte si však, čo sme si povedali? Povedali sme si, že ak máme tri body, ktoré neležia na jednej priamke, potom je z nich jedinečne zrekonštruovaná rovnica roviny. Ale ako? Skúsim ti to vysvetliť.

Pretože rovnica roviny je:

A body patria do tejto roviny, potom keď dosadíme súradnice každého bodu do rovnice roviny, mali by sme získať správnu identitu:

Preto bude nevyhnutné vyriešiť tri rovnice aj s neznámymi! Dilema! Vždy to však môžete predpokladať (preto musíte vydeliť). Dostaneme teda tri rovnice s tromi neznámymi:

Takýto systém však nevyriešime, ale vypíšeme záhadný výraz, ktorý z neho vyplýva:

Rovnica roviny prechádzajúcej tromi danými bodmi

\\ [\\ doľava | (\\ begin (pole) (* (20) (c)) (x - (x_0)) & ((x_1) - (x_0)) & ((x_2) - (x_0)) \\\\ (y - (y_0) ) & ((y_1) - (y_0)) & ((y_2) - (y_0)) \\\\ (z - (z_0)) & ((z_1) - (z_0)) & ((z_2) - (z_0)) \\ end (pole)) \\ vpravo | \u003d 0 \\]

Prestaň! Čo to je? Veľmi neobvyklý modul! Objekt, ktorý vidíte pred sebou, však nemá s modulom nič spoločné. Tento objekt sa nazýva determinant tretieho rádu. Odteraz, keď sa budete zaoberať metódou súradníc v rovine, veľmi často narazíte na tie isté determinanty. Čo je to determinant tretieho rádu? Napodiv, toto je len číslo. Zostáva pochopiť, aké konkrétne číslo porovnáme s determinantom.

Najprv napíšeme determinant tretieho rádu vo všeobecnejšej podobe:

Kde sú nejaké čísla. Ďalej pod prvým indexom rozumieme číslo riadku a indexom - číslo stĺpca. Napríklad to znamená, že dané číslo je na priesečníku druhého riadku a tretieho stĺpca. Položme si ďalšiu otázku: ako presne vypočítame taký determinant? To znamená, aké konkrétne číslo mu priradíme? Pre determinant tretieho rádu existuje heuristické (vizuálne) pravidlo trojuholníka, vyzerá to takto:

1. Súčin prvkov hlavnej uhlopriečky (z ľavého horného rohu do pravého dolného rohu) súčin prvkov tvoriacich prvý trojuholník „kolmo“ na hlavný diagonálny súčin prvkov tvoriacich druhý trojuholník „kolmo“ na hlavnú uhlopriečku
2. Súčin prvkov bočnej uhlopriečky (z pravého horného rohu do ľavého dolného rohu) súčin prvkov tvoriacich prvý trojuholník „kolmý“ bočnej uhlopriečky súčin prvkov tvoriacich druhý trojuholník „kolmý“ bočnej uhlopriečky
3. Potom sa determinant rovná rozdielu medzi hodnotami získanými v kroku a

Ak to všetko napíšeme v číslach, dostaneme nasledujúci výraz:

Napriek tomu si nemusíte výpočtovú metódu v tejto podobe pamätať, stačí si len nechať v hlave trojuholníky a samotnú predstavu, čo sa k čomu pridáva a čo sa potom od čoho odčíta).

Ukážme si metódu trojuholníka na príklade:

1. Vypočítajte determinant:

Poďme zistiť, čo pridáme a čo odčítame:

Výrazy označené „plusom“:

Toto je hlavná uhlopriečka: súčin prvkov je

Prvý trojuholník „kolmý na hlavnú uhlopriečku: súčin prvkov je

Druhý trojuholník, „kolmý na hlavnú uhlopriečku: súčin prvkov je

Pridajte tri čísla:

Výrazy, ktoré majú záporný znak

Toto je bočná uhlopriečka: súčin prvkov je

Prvý trojuholník „kolmý na bočnú uhlopriečku: súčin prvkov je

Druhý trojuholník, „kolmý na bočnú uhlopriečku: súčin prvkov je

Pridajte tri čísla:

Ostáva už len odčítať od súčtu kladných výrazov súčet mínusových výrazov:

Touto cestou,

Ako vidíte, pri výpočte determinantov tretieho rádu nie je nič zložité a nadprirodzené. Je len dôležité pamätať si na trojuholníky a nerobiť aritmetické chyby. Teraz sa skúste vypočítať sami:

Kontrolujeme:

1. Prvý trojuholník kolmý na hlavnú uhlopriečku:
2. Druhý trojuholník kolmý na hlavnú uhlopriečku:
3. Súčet výrazov s plusom:
4. Prvý trojuholník kolmý na bočnú uhlopriečku:
5. Druhý trojuholník kolmý na bočnú uhlopriečku:
6. Súčet výrazov s mínusom:
7. Súčet výrazov s plus mínus súčet výrazov s mínus:

Tu je pre vás ďalších pár determinantov, vypočítajte si ich hodnoty sami a porovnajte ich s odpoveďami:

Odpovede:

No, všetko sa to zhodovalo? Super, potom môžete ísť ďalej! Ak sa vyskytnú ťažkosti, moja rada znie takto: na internete existuje veľa programov na výpočet určujúceho faktora online. Všetko, čo potrebujete, je prísť s vlastným determinantom, vypočítať si ho sami a potom ho porovnať s tým, čo program vypočíta. A tak ďalej, kým sa výsledky nezačnú zhodovať. Som si istý, že tento okamih na seba nenechá dlho čakať!

Vráťme sa teraz k determinantu, ktorý som napísal, keď som hovoril o rovnici roviny prechádzajúcej tromi danými bodmi:

Všetko, čo potrebujete, je priamo vypočítať jeho hodnotu (pomocou metódy trojuholníkov) a výsledok vynulovať. Prirodzene, keďže ide o premenné, získate výraz, ktorý od nich závisí. Práve týmto výrazom bude rovnica roviny prechádzajúcej tromi danými bodmi, ktoré neležia na jednej priamke!

Poďme si to ilustrovať na jednoduchom príklade:

1. Zostrojte rovnicu roviny prechádzajúcej bodmi

Zložíme determinant pre tieto tri body:

Poďme to zjednodušiť:

Teraz to vypočítame priamo podľa pravidla trojuholníkov:

\\ [(\\ doľava | (\\ begin (pole) (* (20) (c)) (x + 3) & 2 & 6 \\\\ (y - 2) & 0 & 1 \\\\ (z + 1) & 5 & 0 \\ end (pole)) \\) \\ cdot 5 \\ cdot 6 -) \\]

Rovnica roviny prechádzajúcej bodmi má teda tvar:

Teraz sa pokúste vyriešiť jeden problém sami a potom o ňom hovoríme:

2. Nájdite rovnicu roviny prechádzajúcej bodmi

Poďme teraz diskutovať o riešení:

Skladáme determinant:

A vypočítame jeho hodnotu:

Potom má rovnica roviny tvar:

Alebo znížením o dostaneme:

Teraz dve úlohy pre sebakontrolu:

1. Zostrojte rovnicu roviny prechádzajúcej tromi bodmi:

Odpovede:

Všetko sa to zhodovalo? Znova, ak existujú určité ťažkosti, potom moja rada znie: vezmete tri body z hlavy (s vysokou pravdepodobnosťou nebudú ležať na rovnakej priamke), postavíte pozdĺž nich rovinu. A potom sa skontrolujete online. Napríklad na webe:

Pomocou determinantov však zostrojíme nielen rovnicu roviny. Pamätajte, povedal som vám, že pre vektory nie je definovaný iba bodový súčin. K dispozícii je tiež vektorový produkt a tiež zmiešaný produkt. A ak je bodovým produktom dvoch vektorov číslo, potom vektorovým produktom dvoch vektorov bude vektor a tento vektor bude kolmý na dané vektory:

Jeho modul sa navyše bude rovnať ploche rovnobežníka postaveného na vektoroch a. Tento vektor budeme potrebovať na výpočet vzdialenosti od bodu k priamke. Ako vypočítame krížový produkt vektorov a ak sú dané ich súradnice? Determinant tretieho rádu nám opäť prichádza na pomoc. Predtým, ako sa však obrátim na algoritmus výpočtu vektorového produktu, musím urobiť malú lyrickú odbočku.

Táto odbočka sa týka základných vektorov.

Sú schematicky znázornené na obrázku:

Prečo si myslíte, že sa nazývajú základné? Faktom je, že:

Alebo na obrázku:

Platnosť tohto vzorca je zrejmá, pretože:

Vektorový produkt

Teraz môžem začať predstavovať krížový produkt:

Vektorový produkt dvoch vektorov je vektor, ktorý sa počíta podľa nasledujúceho pravidla:

Teraz uveďme niekoľko príkladov výpočtu krížového produktu:

Príklad 1: Nájdite krížový súčin vektorov:

Riešenie: Skladám determinant:

A vypočítam to:

Teraz sa od písania v zmysle základných vektorov vrátim k obvyklej notácii vektora:

Touto cestou:

Teraz to skús.

Si pripravený? Kontrolujeme:

A tradične dve úlohy kontroly:

1. Nájdite vzájomný súčin nasledujúcich vektorov:
2. Nájdite vzájomný súčin nasledujúcich vektorov:

Odpovede:

Zmiešaný produkt troch vektorov

Posledný potrebný konštrukt je zmiešaný produkt troch vektorov. Je to ako skalár číslo. Existujú dva spôsoby výpočtu. - prostredníctvom determinantu, - prostredníctvom zmiešaného produktu.

Menovite máme tri vektory:

Potom je možné vypočítať zmiešaný produkt troch vektorov označený ako:

1. - to znamená, že zmiešaný produkt je bodovým produktom vektora krížovým produktom dvoch ďalších vektorov

Napríklad zmiešaný produkt troch vektorov je:

Pokúste sa to vypočítať sami pomocou krížového produktu a uistite sa, že sa výsledky zhodujú!

A opäť - dva príklady nezávislého riešenia:

Odpovede:

Výber súradnicového systému

Teraz máme všetky potrebné vedomostné základne na riešenie zložitých stereometrických problémov v geometrii. Avšak skôr, ako pristúpime priamo k príkladom a algoritmom ich riešenia, verím, že bude užitočné venovať sa ešte jednej otázke: ako presne zvoliť súradnicový systém pre konkrétny údaj. Nakoniec, to, ako náročné budú výpočty, nakoniec bude závisieť od voľby relatívnej polohy súradnicového systému a čísla v priestore.

Pripomínam, že v tejto časti sa zaoberáme týmito tvarmi:

1. Obdĺžnikový rovnobežnosten
2. Rovný hranol (trojuholníkový, šesťhranný ...)
3. Pyramída (trojuholníková, štvoruholníková)
4. Tetrahedron (rovnaký ako trojuholníková pyramída)

Pre obdĺžnikovú škatuľu alebo kocku vám odporúčam nasledujúcu konštrukciu:

To znamená, že postavu umiestnim „do rohu“. Kocka a rovnobežnosten sú veľmi pekné tvary. Pre nich môžete vždy ľahko nájsť súradnice jeho vrcholov. Napríklad ak (ako je znázornené na obrázku)

potom súradnice vrcholov sú nasledujúce:

Samozrejme si to nemusíte pamätať, ale je potrebné pamätať na to, ako najlepšie umiestniť kocku alebo obdĺžnikový štvorhran.

Rovný hranol

Hranol je škodlivejšia postava. Môžete ho umiestniť do priestoru rôznymi spôsobmi. Nasledujúca možnosť sa mi však zdá najprijateľnejšia:

Trojuholníkový hranol:

To znamená, že jednu zo strán trojuholníka umiestnime úplne na os a jeden z vrcholov sa zhoduje s počiatkom.

Šesťhranný hranol:

To znamená, že jeden z vrcholov sa zhoduje s počiatkom a jedna zo strán leží na osi.

Štvoruholníková a šesťhranná pyramída:

Situácia podobná kocke: zarovnajte dve strany základne s osami súradníc, vyrovnajte jeden z vrcholov s počiatkom. Jedinou malou obtiažnosťou bude vypočítať súradnice bodu.

Pre šesťhrannú pyramídu - to isté ako pre šesťhranný hranol. Hlavnou úlohou bude opäť hľadanie súradníc vrcholu.

Štvorsten (trojuholníková pyramída)

Situácia je veľmi podobná tej, ktorú som uviedol pre trojuholníkový hranol: jeden vrchol sa zhoduje s počiatkom, jedna strana leží na osi súradníc.

No, teraz sme ty a ja konečne blízko k tomu, aby sme sa dostali k riešeniu problémov. Z toho, čo som povedal na samom začiatku článku, môžete vyvodiť nasledujúci záver: väčšina problémov C2 je rozdelená do 2 kategórií: problémy s uhlom a problémy so vzdialenosťou. Najskôr zvážime problém hľadania uhla. Oni sú zase rozdelení do nasledujúcich kategórií (podľa zvyšovania obtiažnosti):

Hľadanie rohov

1. Nájdenie uhla medzi dvoma priamymi čiarami
2. Nájdenie uhla medzi dvoma rovinami

Pozrime sa na tieto úlohy postupne: začnime hľadaním uhla medzi dvoma priamymi čiarami. Pamätajte, pamätali ste, riešili sme predtým podobné príklady aj my? Pamätajte, už sme mali niečo podobné ... Hľadali sme uhol medzi dvoma vektormi. Pripomeniem vám, ak sú uvedené dva vektory: a, potom je uhol medzi nimi v pomere:

Teraz máme cieľ - nájsť uhol medzi dvoma priamkami. Poďme na „plochý obrázok“:

Koľko uhlov sme dostali, keď sa pretínajú dve priamky? Ako veľa vecí. Je pravda, že iba dva z nich sú nerovné, zatiaľ čo iné sú k nim vertikálne (a preto sa s nimi zhodujú). Aký uhol by sme mali považovať za uhol medzi dvoma priamkami: alebo? Tu platí pravidlo: uhol medzi dvoma priamkami nie je vždy väčší ako stupne... To znamená, že z dvoch uhlov budeme vždy vyberať uhol s najmenšou mierkou stupňa. To znamená, že na tomto obrázku je uhol medzi dvoma priamymi čiarami rovnaký. Aby sa neobťažovali hľadaním najmenšieho z dvoch uhlov zakaždým, navrhli prefíkaní matematici použiť modul. Uhol medzi dvoma priamkami je teda určený vzorcom:

Ako pozorného čitateľa ste si mali položiť otázku: odkiaľ v skutočnosti dostaneme tieto čísla, ktoré potrebujeme na výpočet kosínusu uhla? Odpoveď: Zoberieme ich zo smerových vektorov priamok! Algoritmus na vyhľadanie uhla medzi dvoma priamymi čiarami je teda nasledovný:

1. Aplikujeme vzorec 1.

Alebo podrobnejšie:

1. Hľadáme súradnice smerového vektora prvej priamky
2. Hľadáme súradnice smerového vektora druhej priamky
3. Vypočítame modul ich bodového súčinu
4. Hľadáme dĺžku prvého vektora
5. Hľadáme dĺžku druhého vektora
6. Vynásobením výsledkov z bodu 4 výsledkami z bodu 5
7. Výsledok bodu 3 vydelíme výsledkom bodu 6. Dostaneme kosínus uhla medzi čiarami
8. Ak tento výsledok umožňuje presne vypočítať uhol, hľadajte ho
9. Inak píšeme cez inverzný kosínus

Nuž, teraz je čas prejsť k problémom: podrobne predvediem riešenie prvých dvoch, v krátkej podobe predstavím riešenie druhého a pri posledných dvoch problémoch uvediem iba odpovede, všetky výpočty musíte pre nich vykonať sami.

Úlohy:

1. V správnom tet-ra-ed-re, nay-di-tých uhloch medzi vami, takže tet-ra-ed-ra a med-di-a-noy bo-kovovou tvárou.

2. V šesťuhoľnom píle pre pravákov pí-ra-mi-de sú strany os-no-va-nia rovnaké a rebrá sú rovnaké, nájdite uhol medzi priamkami a.

3. Dĺžky všetkých okrajov správneho štvorhlavého uhlia pi-ra-mi-dy sa navzájom rovnajú. Nie-di-tie uhly medzi priamymi čiarami a ak je od-cut-ty-čo-vzhľadom na to pi-ra-mi-dy, bod je se-re-di-na jej bo-ko- druhé rebro

4. Na okraji kocky od bodu me-che-na tak, aby Nay-di-te bol uhol medzi priamkami a

5. Bod - nasmerujte znovu na okraje kocky.

Nie je náhoda, že som úlohy usporiadal v tomto poradí. Aj keď ste ešte nemali čas začať sa orientovať v metóde súradníc, sám analyzujem tie „najproblematickejšie“ figúry a nechám vás, aby ste sa zaoberali najjednoduchšou kockou! Postupne sa budete musieť naučiť pracovať so všetkými figúrkami, zložitosť úloh sa budem z témy na tému zvyšovať.

Začnime riešiť problémy:

1. Nakreslite štvorsten, umiestnite ho do súradnicového systému, ako som už skôr naznačil. Keďže štvorsten je pravidelný, všetky jeho tváre (vrátane základne) sú pravidelné trojuholníky. Keďže nám nie je daná dĺžka strany, môžem ju brať rovnú. Myslím, že rozumiete tomu, že uhol nebude skutočne závisieť od toho, ako veľmi je náš štvorsten „natiahnutý“? Tiež nakreslím výšku a strednú hodnotu v štvorstene. Cestou nakreslím jej základňu (bude sa nám tiež hodiť).

Potrebujem nájsť uhol medzi a. Čo vieme? Poznáme iba súradnicu bodu. To znamená, že musíme nájsť aj súradnice bodov. Teraz si myslíme: bod je priesečníkom výšok (alebo pôdorysov alebo stredov) trojuholníka. Bod je vyvýšený bod. Bod je stredom segmentu. Potom nakoniec musíme nájsť: súradnice bodov :.

Začnime najjednoduchšími: bodovými súradnicami. Pozrite sa na obrázok: Je zrejmé, že aplikát bodu sa rovná nule (bod leží na rovine). Jeho súradnica je (pretože je to medián). Ťažšie je nájsť jeho úsečku. To sa však dá ľahko urobiť na základe Pytagorovej vety: Uvažujme o trojuholníku. Jeho prepona je rovnaká a jedna z nôh je rovnaká. Potom:

Nakoniec máme :.

Teraz nájdeme súradnice bodu. Je zrejmé, že jeho aplikát je opäť rovný nule a jeho súradnica je rovnaká ako os bodu. Poďme nájsť jeho úsečku. Toto sa deje dosť triviálne, ak si to pamätáte výšky rovnostranného trojuholníka sú proporčne rozdelené priesečníkomrátanie zhora. Pretože :, potom požadovaná úsečka bodu, ktorá sa rovná dĺžke segmentu, sa rovná :. Súradnice bodu sú teda rovnaké:

Nájdeme súradnice bodu. Je zrejmé, že jeho úsečka a súradnica sa zhodujú s úsečkou a súradnicou bodu. A aplikátor sa rovná dĺžke segmentu. - toto je jedna z nôh trojuholníka. Prepona trojuholníka je segment - noha. Vyhľadáva sa z úvah, ktoré som zvýraznil tučným písmom:

Bod je stredom čiary. Potom si musíme spomenúť na vzorec pre súradnice stredného bodu segmentu:

To je všetko, teraz môžeme vyhľadať súradnice smerových vektorov:

Všetko je pripravené: všetky údaje nahradíme vzorcom:

Touto cestou,

Odpoveď:

Nemali by ste sa zastrašiť takýmito „strašidelnými“ odpoveďami: pre problémy s C2 je to bežná prax. Skôr by ma prekvapila „milá“ odpoveď v tejto časti. Tiež, ako ste si všimli, prakticky som sa neuchýlil k ničomu inému ako k Pytagorovej vete a vlastnosti výšok rovnostranného trojuholníka. To znamená, že na vyriešenie stereometrického problému som použil úplne minimum stereometrie. Zisk v tomto je čiastočne „uhasený“ dosť ťažkopádnymi výpočtami. Ale sú dosť algoritmické!

2. Nakreslíme pravidelnú šesťuholníkovú pyramídu spolu so súradnicovým systémom a jej základňou:

Musíme nájsť uhol medzi priamkami a. Naša úloha sa teda redukuje na nájdenie súradníc bodov :. Z malého obrázka nájdeme súradnice posledných troch a cez súradnicu bodu nájdeme súradnicu vrcholu. Pracujte hromadne, ale musíte to začať!

a) Súradnica: je zrejmé, že jej platňa a súradnica sú nulové. Poďme nájsť úsečku. Za týmto účelom zvážte pravouhlý trojuholník. Bohužiaľ, v ňom poznáme iba preponu, ktorá sa rovná. Pokúsime sa nájsť nohu (pretože je zrejmé, že dvojnásobná dĺžka nohy nám dá úsečku bodu). Ako ju môžeme nájsť? Pripomeňme si, akú postavu máme pri základni pyramídy? Toto je obyčajný šesťuholník. Čo to znamená? To znamená, že má všetky strany a všetky uhly. Jeden taký roh by sa mal nájsť. Nejaké nápady? Existuje veľa nápadov, ale existuje vzorec:

Súčet uhlov pravidelného n-uholníka je .

Súčet uhlov pravidelného šesťuholníka sa teda rovná stupňom. Potom sa každý z uhlov rovná:

Pozeráme sa znova na obrázok. Je zrejmé, že tento segment je priamkou uhla. Potom sa uhol rovná stupňom. Potom:

Potom kde.

Má teda súradnice

b) Teraz môžeme ľahko nájsť súradnicu bodu :.

c) Nájdite súradnice bodu. Pretože jeho úsečka sa zhoduje s dĺžkou segmentu, je rovná. Nájsť súradnicu tiež nie je veľmi ťažké: ak spojíme body a označíme priesečník priamky, povedzme tým. (DIY ľahká konštrukcia). Potom sa teda súradnica bodu B rovná súčtu dĺžok segmentov. Pozrime sa opäť na trojuholník. Potom

Potom od Potom má bod súradnice

d) Teraz nájdeme súradnice bodu. Uvažujme o obdĺžniku a dokázajme, že teda súradnice bodu sú:

e) Zostáva nájsť súradnice vrcholu. Je zrejmé, že jeho úsečka a súradnica sa zhodujú s úsečkou a súradnicou bodu. Poďme nájsť aplikátor. Odvtedy. Zvážte pravouhlý trojuholník. Podľa stavu problému, bočná hrana. Toto je prepona môjho trojuholníka. Potom je výška pyramídy noha.

Potom má bod súradnice:

Dobre, mám súradnice všetkých zaujímavých miest. Hľadáme súradnice smerových vektorov priamok:

Hľadáme uhol medzi týmito vektormi:

Odpoveď:

Pri riešení tohto problému som opäť nepoužil žiadne sofistikované triky, okrem vzorca pre súčet uhlov pravidelného n-gonu, ako aj určenia kosínusu a sínusu pravého trojuholníka.

3. Pretože nám opäť nie sú dané dĺžky rebier v pyramíde, budem ich považovať za rovné jednej. Pretože teda VŠETKY okraje, a nielen tie bočné, sú si navzájom rovné, potom leží u mňa a na pyramíde štvorec a bočné plochy sú pravidelné trojuholníky. Nakreslíme takúto pyramídu, ako aj jej základňu na rovinu, pričom označíme všetky údaje uvedené v texte úlohy:

Hľadáme uhol medzi a. Pri hľadaní súradníc bodov budem robiť veľmi krátke výpočty. Budete ich musieť „rozlúštiť“:

b) je stredom segmentu. Jeho súradnice:

c) Nájdem dĺžku segmentu podľa Pytagorovej vety v trojuholníku. Nájdem ho v trojuholníku podľa Pytagorovej vety.

Súradnice:

d) - stred segmentu. Jeho súradnice sú rovnaké

e) Vektorové súradnice

f) Vektorové súradnice

g) Hľadanie uhla:

Kocka je najjednoduchšia postava. Som si istý, že si s ňou poradíte sami. Odpovede na úlohy 4 a 5 sú tieto:

Nájdenie uhla medzi priamkou a rovinou

Nuž, čas na jednoduché úlohy sa skončil! Teraz budú príklady ešte komplikovanejšie. Pri hľadaní uhla medzi priamkou a rovinou budeme postupovať nasledovne:

1. Z troch bodov zostrojíme rovnicu roviny
   ,
   pomocou determinantu tretieho rádu.
2. Hľadanie súradníc smerovacieho vektora priamky o dva body:
3. Vzorec použijeme na výpočet uhla medzi priamkou a rovinou:

Ako vidíte, tento vzorec je veľmi podobný tomu, ktorý sme použili na zistenie uhlov medzi dvoma čiarami. Štruktúra pravej strany je rovnaká a na ľavej strane teraz hľadáme sínus, nie kosínus ako predtým. No, pridala sa jedna hnusná akcia - hľadanie rovnice lietadla.

Neodkladajme riešenie príkladov:

1. Hlavná, ale-va-no-em priama cena - sme-la-je-rovnaká-ale-zlá-ren-ny trojuholníkový-nick Ty-tak-tá cena-sme si rovní. Nai di te uhol medzi priamkou a rovinou

2. V obdĺžnikovom tvare pa-ra-le-le-pi-pe-de zo západného Nay-di-te uhol medzi priamkou a rovinou

3. V správnom šesťuhoľnom hranole sú všetky hrany rovnaké. Nay-di-tie uhol medzi priamkou a rovinou.

4. V pravouhlom trojuholníkovom pi-ra-mi-de s os-no-va-ni-je známe rebrá Nay-di-te uhol, ob-ra-zo-van plocho-kosť os-no-va-nia a rovné, pro-ho-dya-shi cez se-re-di-us rebier a

5. Dĺžky všetkých rebier pravidelnej štvorhrannej pyramídy s vrcholom sú si navzájom rovné. Nay-di-te je uhol medzi priamkou a rovinou, ak je bodom se-re-di-na bo-ko-té rebrá pi-ra-mi-dy.

Opäť podrobne vyriešim prvé dva problémy, tretí - stručne, a posledné dva nechám na vaše rozhodnutie. Okrem toho ste sa už zaoberali trojuholníkovými a štvoruholníkovými pyramídami, ale s hranolmi ešte nie.

Riešenia:

1. Poďme si znázorniť hranol, ako aj jeho základňu. Spojme to so súradnicovým systémom a označme všetky údaje uvedené vo vyhlásení o probléme:

Ospravedlňujem sa za nejaké nedodržanie proporcií, ale za vyriešenie problému to v skutočnosti nie je také dôležité. Lietadlo je iba „zadnou stenou“ môjho hranola. Je ľahké uhádnuť, že rovnica takejto roviny má tvar:

Môže sa to však zobraziť priamo:

Vyberme ľubovoľné tri body v tejto rovine: napríklad.

Zostavme rovnicu roviny:

Cvičenie pre vás: vypočítajte tento determinant sami. Urobil si to? Rovina roviny má potom tvar:

Alebo jednoducho

Touto cestou,

Na vyriešenie príkladu potrebujem nájsť súradnice smerového vektora priamky. Pretože sa bod zhodoval s počiatkom, súradnice vektora sa budú jednoducho zhodovať so súradnicami bodu. Na tento účel najskôr nájdeme súradnice bodu.

Ak to chcete urobiť, zvážte trojuholník. Z vrcholu nakreslíme výšku (je to medián a dvojsečka). Pretože, potom súradnica bodu je. Aby sme našli úsečku tohto bodu, musíme vypočítať dĺžku segmentu. Podľa Pytagorovej vety máme:

Potom má bod súradnice:

Bod je „vyvýšený“ bod:

Potom súradnice vektora:

Odpoveď:

Ako vidíte, pri riešení takýchto problémov nie je nič zásadne ťažké. Tento postup v skutočnosti ďalej zjednodušuje „priamosť“ tvaru, napríklad hranola. Prejdime teraz k ďalšiemu príkladu:

2. Nakreslite rovnobežnosten, nakreslite v ňom rovinu a priamku a tiež samostatne nakreslite jeho spodnú základňu:

Najskôr nájdeme rovnicu roviny: Súradnice troch bodov v nej ležiacich:

(prvé dve súradnice sa získavajú zrejmým spôsobom a poslednú súradnicu nájdete ľahko z obrázku z bodu). Potom zostavíme rovnicu roviny:

Vypočítame:

Hľadáme súradnice smerového vektora: Je zrejmé, že jeho súradnice sa zhodujú so súradnicami bodu, nie? Ako nájdem súradnice? Toto sú súradnice bodu zdvihnuté pozdĺž osi aplikácie o jeden! ... Potom hľadáme požadovaný uhol:

Odpoveď:

3. Nakreslite pravidelnú šesťuholníkovú pyramídu a potom do nej nakreslite rovinu a čiaru.

Tu je dokonca aj kreslenie roviny problematické, nehovoriac o riešení tohto problému, ale metóda súradníc to nezaujíma! Jeho univerzálna výhoda spočíva v jeho univerzálnej výhode!

Lietadlo prechádza tromi bodmi :. Hľadáme ich súradnice:

jeden). Sami si nakreslite súradnice posledných dvoch bodov. Riešenie problému so šesťhrannou pyramídou bude pre vás užitočné!

2) Vytvoríme rovnicu roviny:

Hľadáme súradnice vektora :. (pozri problém s trojuholníkovou pyramídou znova!)

3) Hľadáte uhol:

Odpoveď:

Ako vidíte, na týchto úlohách nie je nič nadprirodzene ťažké. Musíte byť veľmi opatrní pri svojich koreňoch. Za posledné dva problémy uvediem iba odpovede:

Ako vidíte, technika riešenia problémov je všade rovnaká: hlavnou úlohou je nájsť súradnice vrcholov a dosadiť ich do niektorých vzorcov. Zostáva nám zvážiť ďalšiu triedu problémov pri výpočte uhlov, a to:

Výpočet uhlov medzi dvoma rovinami

Algoritmus riešenia bude nasledovný:

1. Rovnicu prvej roviny hľadáme o tri body:
2. Pre ďalšie tri body hľadáme rovnicu druhej roviny:
3. Použijeme vzorec:

Ako vidíte, vzorec je veľmi podobný dvom predchádzajúcim, pomocou ktorých sme hľadali uhly medzi priamkami a medzi priamkou a rovinou. Pamätať si teda na túto nebude pre vás ťažké. Poďme priamo k analýze úloh:

1. Sto ro-na os-no-va-nia pravouhlého trojuholníkového hranola je rovnaké a diagonálny tvar veľkej tváre je rovnaký. Nie-di-tie sú uhlom medzi rovinou a rovinou hranola.

2. V správnom pi-ra-mi-de štyri-vy-rekh-uhlie-noy sú všetky okraje roja rovnaké, nájdite sínus uhla medzi rovinou a rovinou to-stu, pro-ho-dya-shchey cez bod per-pen-di-ku-lar-but straight

3. V správnom hranole štyri-vy-rekh-uhlie sú strany os-no-va-nia rovnaké a strany sú rovnaké. Na okraji od-me-che-do bodu tak, že. Nájdite uhol medzi rovinou a sti-mi a

4. V správnom štvorhrannom hranole sú strany os-no-va-nia rovnaké a bočné hrany rovnaké. Na okraji od mňa do bodu, takže Nay-di-te je uhol medzi rovinou a st-mi

5. V kocke nay-di-te ko-si-nus uhla medzi rovinou-ko-sti-mi a

Riešenie problémov:

1. Nakreslím pravidelný (na základni - rovnostranný trojuholník) trojuholníkový hranol a označím na ňom roviny, ktoré sa vyskytujú vo výroku o úlohe:

Musíme nájsť rovnice dvoch rovín: Rovnica základne je triviálna: zodpovedajúci determinant môžete skomponovať tromi bodmi, ale rovnicu zložím naraz:

Teraz nájdeme rovnicu Bod má súradnice Bod - Pretože je to medián a výška trojuholníka, je ľahké ho v trojuholníku nájsť pomocou Pytagorovej vety. Potom má bod súradnice: Nájdite uplatnenie bodu Za týmto účelom zvážte pravouhlý trojuholník

Potom dostaneme nasledujúce súradnice: Vytvoríme rovnicu roviny.

Vypočítame uhol medzi rovinami:

Odpoveď:

2. Tvorba výkresu:

Najťažšie je pochopiť, čo je táto záhadná rovina, ktorá kolmo prechádza bodom. Hlavná vec je, čo to je? Hlavná vec je pozornosť! Skutočne je čiara kolmá. Rovná čiara je tiež kolmá. Potom bude rovina prechádzajúca týmito dvoma líniami kolmá na priamku a, mimochodom, bude prechádzať bodom. Táto rovina tiež prechádza vrcholom pyramídy. Potom požadované lietadlo - A lietadlo už bolo dané nám. Hľadáme súradnice bodov.

Nájdite súradnicu bodu cez bod. Z malého obrázka je možné ľahko odvodiť, že súradnice bodu budú nasledujúce: Čo je teraz ponechané na nájdenie súradníc vrcholu pyramídy? Musíte tiež vypočítať jeho výšku. Toto sa deje pomocou tej istej Pytagorovej vety: najskôr to dokážte (triviálne z malých trojuholníkov tvoriacich štvorec na základni). Podľa stavu máme:

Teraz je všetko pripravené: súradnice vrcholov:

Zložíme rovnicu roviny:

Vo výpočte determinantov ste už zvláštni. Môžete ľahko získať:

Alebo inak (ak obe časti vynásobíme koreňom dvoch)

Teraz nájdeme rovnicu roviny:

(Nezabudli ste, ako dostaneme rovnicu roviny, však? Ak nerozumiete, odkiaľ pochádza táto mínusová rovnica, vráťte sa k definícii rovnice roviny! Je to tak, že predtým sa ukázalo, že pôvod súradníc patril mojej rovine!)

Vypočítame determinant:

(Môžete si všimnúť, že rovnica roviny sa zhoduje s rovnicou priamky prechádzajúcej bodmi a! Premýšľajte prečo!)

Teraz vypočítame uhol:

Musíme nájsť sínus:

Odpoveď:

3. Zložitá otázka: čo je podľa vás obdĺžnikový hranol? Je to len rovnobežnosten, ktorého dobre poznáš! Okamžite urobte kresbu! Je dokonca možné základňu nezobraziť osobitne, tu je z nej malý úžitok:

Rovina, ako sme si už predtým všimli, je napísaná vo forme rovnice:

Teraz tvoríme lietadlo

Okamžite zostavíme rovnicu roviny:

Hľadáte uhol:

Teraz odpovede na posledné dva problémy:

Teraz je ten správny čas si oddýchnuť, pretože ty a ja sme skvelí a odviedli sme skvelú prácu!

Súradnice a vektory. Pokročilá úroveň

V tomto článku s vami prediskutujeme ďalšiu triedu problémov, ktoré je možné vyriešiť pomocou súradnicovej metódy: problémy so vzdialenosťou. Konkrétne zvážime nasledujúce prípady:

1. Výpočet vzdialenosti medzi skríženými čiarami.

Tieto úlohy som si objednal, pretože sa zvyšuje ich zložitosť. Ukázalo sa, že je to najjednoduchšie nájsť vzdialenosť od bodu k rovine, a najťažšie je nájsť vzdialenosť medzi križovatkami... Aj keď samozrejme nie je nič nemožné! Neodkladajme to a okamžite začnime uvažovať o prvej triede problémov:

Výpočet vzdialenosti od bodu k rovine

Čo potrebujeme na vyriešenie tohto problému?

1. Bodové súradnice

Hneď ako získame všetky potrebné údaje, použijeme vzorec:

Mali by ste už vedieť, ako konštruujeme rovnicu roviny z predchádzajúcich problémov, o ktorých som hovoril v poslednej časti. Poďme hneď k úlohám. Schéma je nasledovná: 1, 2, pomôžem vám vyriešiť a podrobne 3, 4 - iba odpoveď, sami sa rozhodnete a porovnáte. Začnime!

Úlohy:

1. Daná kocka. Dĺžka okraja kocky je. Nay-di-te distance-i-ni from se-re-di-us from-cut to flat

2. Vzhľadom na pravú vil-naya hranicu bočnej ro-na-os-no-va-nia si štyri-vy-rekh-uhlie-naya pi-ra-mi-da Bo-kovoe rovná. Nie-di-tie vzdialenosti od bodu k rovine-k-sti, kde - se-re-di-on rebrá.

3. V pravostrannom trojuholníkovom pi-ra-mi-de s os-no-va-ni je hrana bo-ko-va rovnaká a bočná ro-na je rovná sa. Nie-di-te vzdialenosť-i-nye zhora do roviny.

4. V správnom šesťuhoľnom hranole sú všetky hrany rovnaké. Nie-di-te vzdialenosť i -tion z bodu do roviny-k-sti.

Riešenia:

1. Nakreslite kocku s hranami jednotiek, zostavte segment a rovinu, označte stred segmentu písmenom

.

Začnime ľahkým: nájdime súradnice bodu. Odvtedy (pamätajte na súradnice stredu segmentu!)

Teraz skladáme rovnicu roviny o tri body

\\ [\\ doľava | (\\ begin (pole) (* (20) (c)) x & 0 & 1 \\\\ y & 1 & 0 \\\\ z & 1 & 1 \\ end (pole)) \\ vpravo | \u003d 0 \\]

Teraz môžem začať hľadať vzdialenosť:

2. Začnite znova výkresom, na ktorý označíme všetky údaje!

Pre pyramídu by bolo užitočné nakresliť jej základňu osobitne.

Ani to, že kreslím ako kura s labkou, nám nezabráni v ľahkom riešení tohto problému!

Teraz je ľahké nájsť súradnice bodu

Od súradníc bodu teda

2. Pretože súradnice bodu a sú stredovým bodom segmentu, potom

Bez problémov nájdeme aj súradnice ďalších dvoch bodov v rovine. Vytvorte rovnicu roviny a zjednodušte ju:

\\ [\\ doľava | (\\ left | (\\ begin (pole) (* (20) (c)) x & 1 & (\\ frac (3) (2)) \\\\ y & 0 & (\\ frac (3) (2)) \\\\ z & 0 & (\\ frac ( (\\ sqrt 3)) (2)) \\ end (pole)) \\ vpravo |) \\ vpravo | \u003d 0 \\]

Pretože bod má súradnice :, potom vypočítame vzdialenosť:

Odpoveď (veľmi zriedkavá!):

No, prišli ste na to? Zdá sa mi, že všetko je tu rovnako technické ako v príkladoch, ktoré sme s vami zvažovali v predchádzajúcej časti. Takže som si istý, že ak ste zvládli tento materiál, nebude pre vás ťažké vyriešiť zvyšné dva problémy. Ja len dám odpovede:

Výpočet vzdialenosti od priamky k rovine

V skutočnosti tu nie je nič nové. Ako možno umiestniť priamku a rovinu navzájom? Majú všetky možnosti: pretínajú sa alebo je rovná čiara rovnobežná s rovinou. Aká je podľa teba vzdialenosť od priamky k rovine, s ktorou sa táto priamka pretína? Zdá sa mi, že tu je zrejmé, že takáto vzdialenosť sa rovná nule. Nezaujímavý prípad.

Druhý prípad je zložitejší: tu je vzdialenosť už nenulová. Pretože je však čiara rovnobežná s rovinou, potom je každý bod čiary v rovnakej vzdialenosti od tejto roviny:

Touto cestou:

A to znamená, že moja úloha sa zredukovala na predchádzajúcu: hľadáme súradnice ľubovoľného bodu na priamke, hľadáme rovnicu roviny, počítame vzdialenosť od bodu k rovine. V skutočnosti sú takéto úlohy na skúške mimoriadne zriedkavé. Podarilo sa mi nájsť iba jeden problém a údaje v ňom boli také, že metóda súradníc na ňu nebola veľmi použiteľná!

Prejdime teraz k ďalšej, oveľa dôležitejšej triede problémov:

Výpočet vzdialenosti bodu od priamky

Čo potrebujeme?

1. Súradnice bodu, od ktorého hľadáme vzdialenosť:

2. Súradnice ľubovoľného bodu ležiaceho na priamke

3. Súradnice smerového vektora priamky

Aký vzorec používame?

Čo pre vás znamená menovateľ danej frakcie a malo by byť zrejmé: toto je dĺžka smerovacieho vektora priamky. Nachádza sa tu veľmi zložitý čitateľ! Výraz znamená modul (dĺžku) vektorového súčinu vektorov a Ako vypočítať krížový súčin sme študovali v predchádzajúcej časti práce. Obnovte svoje vedomosti, budú pre nás teraz veľmi užitočné!

Algoritmus riešenia problémov bude teda nasledovný:

1. Hľadáme súradnice bodu, od ktorého hľadáme vzdialenosť:

2. Hľadáme súradnice ľubovoľného bodu na priamke, ku ktorej hľadáme vzdialenosť:

3. Vytvorte vektor

4. Vytvorte smerový vektor priamky

5. Vypočítajte krížový súčin

6. Hľadáme dĺžku výsledného vektora:

7. Vypočítajte vzdialenosť:

Máme veľa práce a príklady budú dosť zložité! Takže teraz zamerajte všetku svoju pozornosť!

1. Dana je pravouhlý trojuholníkový pí-ra-mi-da s vrcholom. Sto-ro-na os-no-va-nia pi-ra-mi-dy je rovnaké, ty-tak-to je rovnaké. Nay-di-tie vzdialenosti od se-re-di-ny bo-ko-th rebra k priamke, kde body a sú se-re-di-ny rebier a ko- veterinar-ale.

2. Dĺžky rebier a pravouhlé pa-ral-le-le-pi-pe-da sú rovnaké medzi vetvami a dolmi zhora po rovinu

3. V šesťuhoľnom hranole pre praváka sú všetky okraje roja rovnaké ako vzdialenosť find-di-those od bodu k priamke.

Riešenia:

1. Vytvoríme úhľadný výkres, do ktorého označíme všetky údaje:

{!LANG-0025614b036314b0a6e8a2aa15fd500f!}

{!LANG-1e1dfd9641bde91a5c19d9e2484cbfc0!}

{!LANG-a1c175c6a30f3802efbe3bd661f746a4!}

{!LANG-3ba8904704498f555c981093dd26e594!}

{!LANG-7f5fd4e2f51f96477fa05bc69552c04f!}

{!LANG-0763ef2f3f89de87d54be3f5fc7ed9c4!}

{!LANG-439bfe3de6c0c729d02b16ca1d008e8e!}

{!LANG-610d45812dea17ecfb7550319172790c!}

{!LANG-466d4b2170770988ae98add29930aa0d!}

{!LANG-df9204c6e01d38e91e97aa25c4e5bbde!}

{!LANG-8c068d8dbfe8d0e2586cdcdd789fe455!}

{!LANG-216cb5d76ea8d0664164a6ca42ad66cb!}

{!LANG-7f3cc393805ce1a60fa7ee8eaf72cd8b!}

{!LANG-6dbf63bd1fef7e3da4439b3b0fd67adf!}

{!LANG-8b28d5e35953fab0df30efb7bd5b4a3b!}

{!LANG-42aeb06366a3e5377b4c85bb648c0d5e!}

{!LANG-436a12b8fdcfa478d2e83efe3028ed6f!}

{!LANG-baec18c486aac370206078cc0cd2dfe8!}

{!LANG-900db98958e2b77721cccb9d6a67980a!}

{!LANG-3e47322b345430c16d15b4222e4dbb51!}

{!LANG-87b0abd75220bf7c47ee6c18fc4cebef!}

{!LANG-8014f8b179eca4a91cd6d1c62db23c31!}

{!LANG-11591488aafe86ee6ee6ca2a9f095aa9!}

{!LANG-7d8f1cf1705c0a371d623a328eb69834!}

{!LANG-5400d92986613832a6ba27aa84e56e20!}

{!LANG-4a400c6918e9d37d878f6778638d2aa7!}

{!LANG-09b0200f3c62e848ab1ed2a29873821a!}

{!LANG-724b1c216f19dff2cf64628d3ffbf652!}

{!LANG-c5bf4de765181009e1ea9500c09ddc7f!}

{!LANG-d4c88832c8d9d8e2b7ecdb4bd4cec773!}

{!LANG-67a3bc191c6cca0ff480ef3eee25b1cf!}

{!LANG-af7ce2e44f7d5ac3ab421b88f7b12a6f!} {!LANG-73177efd2de7198ab5fecc447a803385!}:

{!LANG-f2dfaf31022b460d6e195474e5f4a96f!}

{!LANG-1745a05db904edc8b5e4ee9536b6fbd9!}

{!LANG-499d3525c35a33c5924025d1d7536074!}

{!LANG-cec8270735d2882475c3ea7f66e73f37!}

{!LANG-d1171b25907ad38ae2abb372d3ad7694!}

{!LANG-9bced11ecd7d45f36cdd4f636d268d1e!}

{!LANG-e3938f8af92ec3cad0eeec85ad0b1d1d!}

{!LANG-216cb5d76ea8d0664164a6ca42ad66cb!}

{!LANG-436a12b8fdcfa478d2e83efe3028ed6f!}

{!LANG-216cb5d76ea8d0664164a6ca42ad66cb!}

{!LANG-436a12b8fdcfa478d2e83efe3028ed6f!}

{!LANG-436a12b8fdcfa478d2e83efe3028ed6f!}

{!LANG-e0059beaf567ac3261625e516b119e80!}

{!LANG-7482b23ed6da464317f72ee19ad3c760!}

{!LANG-a60468c5b650ce70a9c94b5626728cb4!}

{!LANG-93a6312ede7733135f536eb2831271bf!}

Odpoveď:

{!LANG-ccad0592c76a4e61731aacb27ceb0fe1!}

{!LANG-e43ae4a1d0f4393f3ca0193252529374!}

{!LANG-9911d0a9f98fcbd9355be92a0bd143d9!}
{!LANG-adc3d1aadf2c2215d59ab52212514403!}

{!LANG-3bf05314a8cf68e40a7af6bd9384316d!}{!LANG-2e25f51da276194496fc747b33f57e7d!}

{!LANG-d4f7b2daa7bc22d9ca6c2b0fe9330f95!}

,
{!LANG-74249704c467331cd272c991594a5d3e!}

{!LANG-26fa90c4517e9bb539262468a99e5c62!}

{!LANG-5212a1839205449942288f772eea4026!}

{!LANG-94d3244c5f3db9bd2a0ece7aedb8fcc5!}

{!LANG-e1f8c60e44054db33845644fc1d79ac4!}

{!LANG-b6095717ae5a012bb43213d0871f89dc!}

{!LANG-6102fa7ffb815831a4eaa66949896711!}

{!LANG-30cfe2c6d6703f79b9b2e2660b88c3f5!}

{!LANG-f9a3ab4e873c0f718067839ccfc48030!}