Pdf समाधान लघुगणक और घातीय फ़ंक्शन का व्युत्पन्न है। लघुगणक व्युत्पन्न का उपयोग कर डेरिवेटिव की गणना। नकारात्मक y मानों का मामला

घातीय और लघुगणक कार्यों का विभेदन

1. नंबर ई। फंक्शन y \u003d ई एक्स, इसके गुण, ग्राफ, भेदभाव

एक संकेत पर विचार करें समारोह y \u003d कुल्हाड़ी, जहां a\u003e 1. विभिन्न आधारों के लिए हमें अलग-अलग रेखांकन (चित्र 232-234) मिलते हैं, लेकिन आप देख सकते हैं कि वे सभी बिंदु (0; 1) से गुजरते हैं, उन सभी में एक क्षैतिज स्पर्शोन्मुख y \u003d 0 होता है। , वे सभी नीचे की ओर उत्तल हैं और अंत में, वे सभी उनके सभी बिंदुओं पर स्पर्शरेखा हैं। उदाहरण के लिए, स्पर्शरेखा को आकर्षित करें ग्राफिक्स समारोह x \u003d 0 बिंदु x \u003d 0 पर (छवि 232)। यदि आप सटीक निर्माण और माप करते हैं, तो आप यह सुनिश्चित कर सकते हैं कि यह स्पर्शरेखा एक्स अक्ष (लगभग) के साथ 35 ° का कोण बनाती है।

अब फंक्शन के ग्राफ y \u003d 3 x को बिंदु x \u003d 0 (चित्र। 233) पर भी स्पर्शरेखा बनाएं। यहाँ स्पर्शरेखा और x- अक्ष के बीच का कोण अधिक होगा - 48 °। और किसके लिए घातांक प्रकार्य y \u003d एक समान में 10 x
स्थिति हमें 66.5 ° (छवि 234) के कोण पर मिलती है।

इसलिए, यदि घातीय फलन y \u003d कुल्हाड़ी का आधार धीरे-धीरे 2 से 10 तक बढ़ जाता है, तो बिंदु x \u003d 0 पर फ़ंक्शन के ग्राफ के स्पर्शरेखा और अनुपस्थित अक्ष के बीच का कोण धीरे-धीरे 35 ° से 66.5 ° तक बढ़ जाता है। यह मानना \u200b\u200bतर्कसंगत है कि एक आधार है जिसके लिए संबंधित कोण 45 ° है। यह आधार संख्या 2 और 3 के बीच होना चाहिए, क्योंकि फ़ंक्शन y-2x के लिए हमारे लिए ब्याज का कोण 35 ° है, जो 45 ° से कम है, और फ़ंक्शन y \u003d 3 x के लिए यह 48 ° है, जो पहले से 45 से थोड़ा अधिक है °। हमारे लिए ब्याज का आधार आमतौर पर पत्र ई द्वारा निरूपित किया जाता है। यह स्थापित किया गया है कि संख्या ई तर्कहीन है, अर्थात। एक अनंत दशमलव गैर-आवधिक का प्रतिनिधित्व करता है अंश:

e \u003d 2.7182818284590 ...;

व्यवहार में, यह आमतौर पर माना जाता है कि ई \u003d 2.7।

टिप्पणी(बहुत गंभीर नहीं)। यह स्पष्ट है कि एल.एन. टॉल्स्टॉय का नंबर ई के साथ कोई लेना-देना नहीं है, फिर भी, नंबर ई के अंकन में, ध्यान दें कि संख्या 1828 को लगातार दो बार दोहराया जाता है - एल.एन. के जन्म का वर्ष। टालस्टाय।

फंक्शन y \u003d ex का ग्राफ अंजीर में दिखाया गया है। 235. यह एक घातांक है, जो अन्य घातांक (अन्य ठिकानों के साथ घातीय कार्यों के ग्राफ) से भिन्न होता है, जिसमें बिंदु x \u003d 0 पर अनुपस्थित ग्राफ और अनुपस्थित अक्ष के बीच का कोण 45 ° होता है।

समारोह के गुण y \u003d e x:

1)
2) न तो विषम है और न ही विषम;
3) बढ़ जाती है;
4) ऊपर से सीमित नहीं, नीचे से सीमित;
5) न तो उच्चतम और न ही सबसे कम मूल्य हैं;
6) निरंतर;
7)
8) उत्तल नीचे की ओर;
9) भिन्न।

Back 45 पर वापस जाएं, वहां घातांक फ़ंक्शन y \u003d ax के गुणों की सूची पर एक\u003e 1 के लिए एक नज़र डालें। आपको समान गुण 1-8 (जो कि काफी स्वाभाविक है), और नौवीं संपत्ति से संबद्ध मिलेगा
फ़ंक्शन की भिन्नता, हमने तब उल्लेख नहीं किया था। आइए अब इसकी चर्चा करते हैं।

हमें व्युत्पन्न y- पूर्व को खोजने के लिए एक सूत्र प्राप्त करें। इस स्थिति में, हम सामान्य एल्गोरिथम का उपयोग नहीं करेंगे जो हमने धारा 32 में विकसित किया था और जिसे हमने एक से अधिक बार सफलतापूर्वक उपयोग किया है। इस एल्गोरिथ्म में अंतिम चरण सीमा की गणना करना आवश्यक है, और सीमा के सिद्धांत का हमारा ज्ञान अभी भी बहुत, बहुत सीमित है। इसलिए, हम ज्यामितीय पूर्वापेक्षाओं पर भरोसा करेंगे, विशेष रूप से, संदेह से परे घातीय फ़ंक्शन के ग्राफ के लिए एक स्पर्शरेखा के अस्तित्व का बहुत तथ्य (यही कारण है कि हम बहुत आत्मविश्वास से गुणों की उपरोक्त सूची में नौवीं संपत्ति को लिखते हैं - फ़ंक्शन की भिन्नता y \u003d ex)।

1. ध्यान दें कि फ़ंक्शन के लिए y \u003d f (x), जहां f (x) \u003d ex, हम पहले से ही बिंदु x \u003d 0: f / \u003d tan45 ° \u003d 1 पर व्युत्पन्न का मूल्य जानते हैं।

2. फ़ंक्शन y \u003d g (x), जहां g (x) -f (x-a), i.e. पर विचार करें। g (x) -ex "a। Fig। 236 फ़ंक्शन y \u003d g (x) के ग्राफ को दर्शाता है: यह x- अक्ष के साथ-साथ स्थानांतरण द्वारा फ़ंक्शन y - fx) के ग्राफ से प्राप्त होता है। a | स्केल इकाइयाँ। फ़ंक्शन के ग्राफ के स्पर्शरेखा y \u003d g। (x) में बिंदु x- ए बिंदु x -0 पर फ़ंक्शन y \u003d f (x) के ग्राफ के स्पर्शरेखा के समानांतर है (चित्र 236 देखें), जिसका अर्थ है कि यह x- अक्ष के साथ 45 ° का कोण बनाता है। व्युत्पन्न के ज्यामितीय अर्थ का उपयोग करते हुए, हम उस g (a) \u003d tan45 °; \u003d 1 लिख सकते हैं।

3. चलो y \u003d f (x) फ़ंक्शन पर लौटते हैं। हमारे पास है:

4. हमने स्थापित किया है कि संबंध के किसी भी मूल्य के लिए वैध है। पत्र ए के बजाय, आप स्वाभाविक रूप से अक्षर x का उपयोग कर सकते हैं; तो हम प्राप्त करते हैं

यह सूत्र संगत एकीकरण सूत्र देता है:

ए.जी. मोर्डकोविच बीजगणित ग्रेड 10

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विभेद करते समय, यह महत्वपूर्ण है ऊर्जा समीकरण या बोझिल भिन्नात्मक अभिव्यक्ति, यह लघुगणक व्युत्पन्न का उपयोग करने के लिए सुविधाजनक है। इस लेख में, हम विस्तृत समाधान के साथ इसके आवेदन के उदाहरणों को देखेंगे।

आगे की प्रस्तुति से तात्पर्य है, किसी जटिल कार्य के व्युत्पन्न के लिए व्युत्पत्ति की तालिका, विभेदीकरण के नियम और सूत्र के ज्ञान का उपयोग करने की क्षमता।

लघुगणक व्युत्पन्न के लिए सूत्र की व्युत्पत्ति।

पहले, हम बेस ई के लिए लघुगणक बनाते हैं, लघुगणक के गुणों का उपयोग करके फ़ंक्शन के रूप को सरल करते हैं, और फिर दिए गए फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाते हैं:

उदाहरण के लिए, हम एक्स की शक्ति के लिए घातीय फ़ंक्शन x के व्युत्पन्न का पता लगाते हैं।

लघुगणक देता है। लघुगणक के गुणों द्वारा। समानता के दोनों पक्षों का विभेदीकरण परिणाम की ओर ले जाता है:

उत्तर: .

लॉगरिदमिक व्युत्पन्न का उपयोग किए बिना एक ही उदाहरण हल किया जा सकता है। आप कुछ परिवर्तनों को अंजाम दे सकते हैं और घातांक को खोजने के लिए घातीय कार्य को अलग कर सकते हैं जटिल कार्य:

उदाहरण।

किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें .

फेसला।

इस उदाहरण में, फ़ंक्शन एक अंश है और विभेदन के नियमों का उपयोग करने के लिए इसका व्युत्पन्न खोजा जा सकता है। लेकिन बोझिल अभिव्यक्ति के कारण, इसके लिए कई परिवर्तनों की आवश्यकता होगी। ऐसे मामलों में, लॉगरिदमिक व्युत्पन्न के लिए सूत्र का उपयोग करना समझदारी है ... क्यों? अब आप समझ जाएंगे।

पहले इसे खोज लेते हैं। परिवर्तनों में, हम लघुगणक के गुणों का उपयोग करेंगे (अंश का लघुगणक लघुगणक के अंतर के बराबर है, और उत्पाद का लघुगणक लघुगणक के योग के बराबर है, और लघुगणक के सामने अभिव्यक्ति की शक्ति को लघुगणक के सामने एक गुणांक के रूप में निकाला जा सकता है)

इन परिवर्तनों ने हमें काफी सरल अभिव्यक्ति के लिए प्रेरित किया, जिनमें से व्युत्पन्न को खोजना आसान है:

हम लघुगणक व्युत्पन्न के लिए सूत्र में प्राप्त परिणाम को प्रतिस्थापित करते हैं और उत्तर प्राप्त करते हैं:

सामग्री को मजबूत करने के लिए, हम विस्तृत विवरण के बिना कुछ और उदाहरण देंगे।

उदाहरण।

घातीय फलन का व्युत्पन्न ज्ञात कीजिए