फ़ंक्शन y के ग्राफ़ का उपयोग करना। ऑनलाइन चार्टिंग। एक जटिल कार्य प्लॉटिंग

एक फंक्शन ग्राफ एक समन्वय विमान पर एक फ़ंक्शन के व्यवहार का एक दृश्य प्रतिनिधित्व है। रेखांकन आपको फ़ंक्शन के विभिन्न पहलुओं को समझने में मदद करता है जिन्हें फ़ंक्शन से ही पहचाना नहीं जा सकता है। आप कई फ़ंक्शन के ग्राफ़ को प्लॉट कर सकते हैं, और उनमें से प्रत्येक एक निश्चित सूत्र द्वारा दिया जाएगा। किसी भी फ़ंक्शन का ग्राफ़ एक निश्चित एल्गोरिदम के अनुसार बनाया गया है (यदि आप किसी विशिष्ट फ़ंक्शन के ग्राफ़ को साजिश करने की सटीक प्रक्रिया को भूल गए हैं)।

कदम

एक रैखिक समारोह प्लॉटिंग

निर्धारित करें कि क्या फ़ंक्शन रैखिक है। रैखिक फ़ंक्शन फॉर्म के एक सूत्र द्वारा दिया जाता है F (x) \u003d k x + b (\\ displaystyle F (x) \u003d kx + b) या y \u003d k x + b (\\ displaystyle y \u003d kx + b) (उदाहरण के लिए), और इसका ग्राफ एक सीधी रेखा है। इस प्रकार, सूत्र में एक चर और एक स्थिरांक (स्थिर) बिना किसी घातांक, मूल चिह्न, और जैसे शामिल है। एक समान प्रकार के फ़ंक्शन को देखते हुए, इस तरह के फ़ंक्शन की साजिश करना काफी सरल है। यहाँ रैखिक कार्यों के अन्य उदाहरण दिए गए हैं:

Y अक्ष पर किसी बिंदु को चिह्नित करने के लिए एक स्थिरांक का उपयोग करें। निरंतर (b) y- अक्ष के साथ ग्राफ के प्रतिच्छेदन के बिंदु का "y" समन्वय है। अर्थात, यह वह बिंदु है जिसका "x" समन्वय 0. है। इस प्रकार, यदि आप सूत्र में x \u003d 0 को प्रतिस्थापित करते हैं। , फिर y \u003d b (स्थिर)। हमारे उदाहरण में y \u003d 2 x + 5 (\\ displaystyle y \u003d 2x + 5) स्थिरांक 5 है, अर्थात, y- अवरोधन में निर्देशांक (0.5) है। इस बिंदु को लागू करें विमान का समन्वय.

लाइन की ढलान का पता लगाएं। यह चर के गुणक के बराबर है। हमारे उदाहरण में y \u003d 2 x + 5 (\\ displaystyle y \u003d 2x + 5) चर "x" में 2 का कारक है; इस प्रकार, ढलान 2 है। ढलान एक्स-अक्ष पर सीधी रेखा के झुकाव के कोण को निर्धारित करता है, अर्थात ढलान जितना बड़ा होता है, उतनी ही तेजी से कार्य बढ़ता या घटता है।

ढलान को अंश के रूप में लिखिए। ढलान ढलान के स्पर्शरेखा के बराबर है, अर्थात, ऊर्ध्वाधर दूरी (एक सीधी रेखा पर दो बिंदुओं के बीच) से क्षैतिज दूरी (समान बिंदुओं के बीच) का अनुपात है। हमारे उदाहरण में, ढलान 2 है, इसलिए हम बता सकते हैं कि ऊर्ध्वाधर दूरी 2 है और क्षैतिज दूरी 1. है इसे एक अंश के रूप में लिखें: 2 1 (\\ displaystyle (\\ frac (2) (1))).

• यदि ढलान नकारात्मक है, तो फ़ंक्शन कम हो रहा है।

1. Y- अक्ष के साथ रेखा के चौराहे से, ऊर्ध्वाधर और क्षैतिज दूरी का उपयोग करके एक दूसरा बिंदु खींचें। एक रैखिक फ़ंक्शन ग्राफ को दो बिंदुओं से प्लॉट किया जा सकता है। हमारे उदाहरण में, y- अवरोधन में निर्देशांक (0.5) है; इस बिंदु से, 2 डिवीजनों को ऊपर ले जाएं, और फिर दाईं ओर 1 विभाजन। बिंदु को चिह्नित करें; इसमें निर्देशांक (1,7) होंगे। अब आप एक सीधी रेखा खींच सकते हैं।

   दो बिंदुओं के माध्यम से एक सीधी रेखा खींचने के लिए एक शासक का उपयोग करें। गलतियों से बचने के लिए तीसरा बिंदु खोजें, लेकिन ज्यादातर मामलों में आप दो बिंदुओं से एक ग्राफ बना सकते हैं। इस प्रकार, आपने एक रैखिक कार्य किया है।

   समन्वय विमान पर बिंदुओं को रखना

   1. एक फ़ंक्शन को परिभाषित करें। फ़ंक्शन को f (x) के रूप में दर्शाया जाता है। चर "y" के सभी संभावित मानों को फ़ंक्शन के मानों की श्रेणी कहा जाता है, और चर "x" के सभी संभावित मानों को फ़ंक्शन की श्रेणी कहा जाता है। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन y \u003d x + 2, अर्थात् f (x) \u003d x + 2 पर विचार करें।

      लंबवत दो चौराहों को खींचें। क्षैतिज रेखा X- अक्ष है। ऊर्ध्वाधर रेखा Y- अक्ष है।

      समन्वय अक्षों को लेबल करें। प्रत्येक अक्ष को समान खंडों में विभाजित करें और उन्हें संख्या दें। कुल्हाड़ियों के चौराहे का बिंदु 0. है। एक्स-अक्ष के लिए, सकारात्मक संख्याएं दाईं ओर (0 से), और नकारात्मक संख्याएं बाईं ओर स्थित हैं। Y अक्ष के लिए: सकारात्मक संख्या ऊपर (0 से) प्लॉट की गई है, और नीचे नकारात्मक संख्याएं हैं।

      X मानों द्वारा y- मान ज्ञात कीजिए। हमारे उदाहरण में, f (x) \u003d x + 2। इसी सूत्र में विशिष्ट x- मानों में प्लग करें ताकि संबंधित y-मानों की गणना की जा सके। यदि आपके पास एक जटिल कार्य है, तो समीकरण के एक तरफ "y" को अलग करके इसे सरल बनाएं।

      • -1: -1 + 2 = 1
      • 0: 0 +2 = 2
      • 1: 1 + 2 = 3

   2. समन्वय विमान पर अंक बनाएँ। निर्देशांक के प्रत्येक जोड़े के लिए, निम्नलिखित करें: एक्स-अक्ष पर संबंधित मान ढूंढें और एक ऊर्ध्वाधर रेखा (बिंदीदार रेखा) खींचें; Y- अक्ष पर संबंधित मान ज्ञात करें और क्षैतिज रेखा (बिंदीदार रेखा) खींचें। दो धराशायी लाइनों के चौराहे के बिंदु को चिह्नित करें; इस तरह से आपने ग्राफ पर एक बिंदु दिया है।

      बिंदीदार रेखाओं को मिटा दें। समन्वय विमान पर ग्राफ के सभी बिंदुओं की साजिश रचने के बाद ऐसा करें। नोट: फ़ंक्शन का ग्राफ f (x) \u003d x एक सीधी रेखा है जो निर्देशांक के केंद्र से गुजर रही है [निर्देशांक के साथ बिंदु (0,0)]; ग्राफ f (x) \u003d x + 2 सीधी रेखा f (x) \u003d x के समानांतर एक सीधी रेखा है, लेकिन दो इकाइयों को ऊपर स्थानांतरित कर दिया है और इसलिए निर्देशांक (0,2) के साथ बिंदु से गुजर रहा है (क्योंकि स्थिरांक 2 है ) का है।

   एक जटिल कार्य प्लॉटिंग

   फ़ंक्शन का शून्य ढूंढें। किसी फ़ंक्शन का शून्य वेरिएबल "x" का मान होता है, जिस पर y \u003d 0 होता है, अर्थात वे x- अक्ष के साथ ग्राफ के प्रतिच्छेदन के बिंदु होते हैं। ध्यान रखें कि सभी फ़ंक्शन में शून्य नहीं हैं, लेकिन यह किसी भी कार्य की साजिश रचने की प्रक्रिया में पहला कदम है। किसी फ़ंक्शन के शून्य को खोजने के लिए, इसे शून्य पर सेट करें। उदाहरण के लिए:

   क्षैतिज विषमकोणों को ढूंढें और चिह्नित करें। एक स्पर्शोन्मुख एक सीधी रेखा है, जो किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ पहुंचता है, लेकिन इसे कभी भी पार नहीं करता है (अर्थात, इस क्षेत्र में फ़ंक्शन को परिभाषित नहीं किया जाता है, उदाहरण के लिए, जब 0 से विभाजित होता है)। बिंदीदार रेखा के साथ स्पर्शरेखा को चिह्नित करें। यदि चर "x" अंश के हर में होता है (उदाहरण के लिए, y \u003d 1 4 - x 2 (\\ displaystyle y \u003d (\\ frac (1) (4-x ^ (2))))), भाजक को शून्य पर सेट करें और "x" ढूंढें। चर "x" के प्राप्त मूल्यों में, फ़ंक्शन परिभाषित नहीं है (हमारे उदाहरण में, x \u003d 2 और x \u003d -2 के माध्यम से बिंदीदार रेखाएं खींचें), क्योंकि आप 0 से विभाजित नहीं कर सकते हैं। लेकिन एसिम्प्टोट्स न केवल उन मामलों में मौजूद हैं जहां फ़ंक्शन में एक भिन्नात्मक अभिव्यक्ति होती है। इसलिए, सामान्य ज्ञान का उपयोग करने की सिफारिश की जाती है:

समारोह बनाएँ

हम आपके ध्यान में ऑनलाइन कार्यों के ग्राफ़ के निर्माण के लिए एक सेवा लाते हैं, जो सभी अधिकार कंपनी के हैं Desmos... फ़ंक्शन दर्ज करने के लिए बाएं कॉलम का उपयोग करें। आप मैन्युअल रूप से या उपयोग कर सकते हैं वर्चुअल कीबोर्ड खिड़की के नीचे। ग्राफ के साथ विंडो को बड़ा करने के लिए, आप बाएं कॉलम और वर्चुअल कीबोर्ड दोनों को छिपा सकते हैं।

ऑनलाइन चार्टिंग के लाभ

• प्रवेश किए गए कार्यों का दृश्य प्रदर्शन
• बहुत जटिल रेखांकन का निर्माण
• अनुमानित रूप से दिए गए रेखांकन का निर्माण (उदाहरण के लिए, दीर्घवृत्त x ^ 2/9 + y ^ 2/16 \u003d 1)
• चार्ट को बचाने और उनके लिए एक लिंक प्राप्त करने की क्षमता, जो इंटरनेट पर सभी के लिए उपलब्ध हो जाती है
• स्केल नियंत्रण, लाइन रंग
• स्थिरांक का उपयोग करते हुए, अंकों द्वारा रेखांकन की साजिश की संभावना
• कार्यों के कई रेखांकन का एक साथ निर्माण
• ध्रुवीय निर्देशांक में प्लॉटिंग (r और \\ (theta का उपयोग करें))

हमारे साथ ऑनलाइन बदलती जटिलता के चार्ट बनाना आसान है। निर्माण तुरन्त किया जाता है। फ़ंक्शन ग्राफ़ के व्यवहारगत विशेषताओं का विश्लेषण करने के लिए, समस्याओं को हल करते समय चित्र के रूप में एक शब्द दस्तावेज़ में उनके आगे के आंदोलन के लिए रेखांकन प्रदर्शित करने के लिए कार्यों को चौराहे के बिंदुओं को खोजने की मांग है। साइट के इस पृष्ठ पर चार्ट के साथ काम करने का इष्टतम ब्राउज़र Google Chrome है। अन्य ब्राउज़रों के साथ ऑपरेशन की गारंटी नहीं है।

आइए हम विमान पर एक आयताकार समन्वय प्रणाली चुनते हैं और एब्सिस्सा अक्ष पर तर्क के मूल्यों की साजिश करते हैं एक्स, और समन्वय पर - फ़ंक्शन के मान y \u003d f (x).

फंक्शन ग्राफ y \u003d f (x) उन सभी बिंदुओं का समूह है, जिनके एब्सिस फ़ंक्शन के डोमेन से संबंधित हैं, और निर्देश फ़ंक्शन के संबंधित मूल्यों के बराबर हैं।

दूसरे शब्दों में, फ़ंक्शन y \u003d f (x) का ग्राफ विमान के सभी बिंदुओं का समूह है, निर्देशांक है एक्स, पर जो संबंध को संतुष्ट करता है y \u003d f (x).

अंजीर में। 45 और 46 फ़ंक्शंस के ग्राफ़ हैं y \u003d 2x + १ तथा y \u003d x 2 - 2x.

कड़ाई से बोलते हुए, किसी को फ़ंक्शन के ग्राफ़ (ऊपर दी गई सटीक गणितीय परिभाषा) और तैयार वक्र के बीच अंतर करना चाहिए, जो हमेशा ग्राफ के एक और अधिक या कम सटीक स्केच देता है (और फिर भी, एक नियम के रूप में, पूरा ग्राफ नहीं, लेकिन केवल इसका हिस्सा विमान के अंतिम भाग में स्थित है)। हालांकि, इस प्रकार, हम आमतौर पर "स्केच ग्राफ" के बजाय "ग्राफ" कहेंगे।

ग्राफ का उपयोग करके, आप एक बिंदु पर एक फ़ंक्शन का मान पा सकते हैं। अर्थात्, अगर बिंदु x \u003d ए फ़ंक्शन के डोमेन से संबंधित है y \u003d f (x), फिर नंबर खोजने के लिए च (ए) (यानी, बिंदु पर फ़ंक्शन के मान x \u003d ए) तुम्हें यह करना चाहिए। यह एक एब्सिस्सा के साथ बिंदु के माध्यम से आवश्यक है x \u003d ए समन्वय के समानांतर एक सीधी रेखा खींचना; यह रेखा फ़ंक्शन के ग्राफ को काट देगी y \u003d f (x) एक बिंदु पर; इस बिंदु का समन्वय, ग्राफ की परिभाषा के आधार पर, के बराबर होगा च (ए) (अंजीर। 47)।

उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन के लिए f (x) \u003d x 2 - 2x ग्राफ (चित्र 46) का उपयोग करके हम f (-1) \u003d 3, f (0) \u003d 0, f (1) \u003d -l, f (2) \u003d 0, इत्यादि पाते हैं।

फ़ंक्शन ग्राफ स्पष्ट रूप से एक फ़ंक्शन के व्यवहार और गुणों को दिखाता है। उदाहरण के लिए, अंजीर के एक विचार से। 46 यह स्पष्ट है कि फ़ंक्शन y \u003d x 2 - 2x पर सकारात्मक मूल्यों लेता है एक्स< 0 और कम से x\u003e 2, नकारात्मक - 0 पर< x < 2; наименьшее значение функция y \u003d x 2 - 2x पर लेता है x \u003d 1.

समारोह की साजिश करने के लिए च (x)आपको विमान के सभी बिंदुओं को खोजने की आवश्यकता है, निर्देशांक एक्स, पर जो समीकरण को संतुष्ट करता है y \u003d f (x)... ज्यादातर मामलों में, ऐसा नहीं किया जा सकता है, क्योंकि असीम रूप से ऐसे कई बिंदु हैं। इसलिए, फ़ंक्शन का ग्राफ लगभग या कम सटीकता के साथ चित्रित किया गया है। सरलतम बहु-बिंदु प्लॉटिंग विधि है। यह इस तथ्य में निहित है कि तर्क एक्स मानों की एक सीमित संख्या दें - कहते हैं, x 1, x 2, x 3, ..., x k और तालिका बनाएं, जिसमें फ़ंक्शन के चयनित मान शामिल हैं।

तालिका इस तरह दिखती है:

ऐसी तालिका संकलित करने के बाद, हम फ़ंक्शन के ग्राफ के कई बिंदुओं को रेखांकित कर सकते हैं y \u003d f (x)... फिर, इन बिंदुओं को एक चिकनी रेखा से जोड़ते हुए, हमें फ़ंक्शन के ग्राफ़ का एक अनुमानित दृश्य मिलता है y \u003d f (x)।

हालांकि, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि बहु-बिंदु प्लॉटिंग विधि बहुत अविश्वसनीय है। वास्तव में, निर्दिष्ट बिंदुओं के चरम के बीच खंड के बाहर नामित बिंदुओं और उसके व्यवहार के बीच ग्राफ का व्यवहार अज्ञात रहता है।

उदाहरण 1... फ़ंक्शन को प्लॉट करने के लिए y \u003d f (x) किसी ने तर्क और फ़ंक्शन मानों की तालिका बनाई:

इसी पांच बिंदु अंजीर में दिखाए गए हैं। ४ 48।

इन बिंदुओं के स्थान के आधार पर, उन्होंने निष्कर्ष निकाला कि फ़ंक्शन का ग्राफ एक सीधी रेखा है (चित्र 48 में चित्र रेखा द्वारा दिखाया गया है)। क्या इस निष्कर्ष को विश्वसनीय माना जा सकता है? यदि इस निष्कर्ष का समर्थन करने के लिए कोई अतिरिक्त विचार नहीं हैं, तो इसे शायद ही विश्वसनीय माना जा सकता है। विश्वसनीय है।

हमारे कथन को प्रमाणित करने के लिए, फ़ंक्शन पर विचार करें

.

गणना से पता चलता है कि अंक -2, -1, 0, 1, 2 पर इस फ़ंक्शन के मूल्य केवल उपरोक्त तालिका द्वारा वर्णित हैं। हालांकि, इस फ़ंक्शन का ग्राफ बिल्कुल सीधी रेखा नहीं है (यह चित्र 49 में दिखाया गया है)। एक अन्य उदाहरण फ़ंक्शन है y \u003d x + l + sinπx; इसके मूल्य भी ऊपर तालिका में वर्णित हैं।

ये उदाहरण बताते हैं कि शुद्ध बहु-बिंदु चार्टिंग विधि अविश्वसनीय है। इसलिए, किसी दिए गए फ़ंक्शन के ग्राफ को बनाने के लिए, एक नियम के रूप में, निम्नानुसार आगे बढ़ें। सबसे पहले, हम इस फ़ंक्शन के गुणों का अध्ययन करते हैं, जिसके साथ आप ग्राफ का एक स्केच बना सकते हैं। फिर, कई बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मूल्यों की गणना (जिनमें से विकल्प फ़ंक्शन के सेट गुणों पर निर्भर करता है), ग्राफ के संबंधित बिंदु पाए जाते हैं। और, अंत में, इस फ़ंक्शन के गुणों का उपयोग करके निर्मित बिंदुओं के माध्यम से एक वक्र खींचा जाता है।

ग्राफ़ के एक स्केच को खोजने के लिए उपयोग किए जाने वाले कार्यों के कुछ (सरल और सबसे अधिक बार उपयोग किए जाने वाले) गुणों पर बाद में चर्चा की जाएगी, लेकिन अब हम प्लॉटिंग के कुछ आमतौर पर उपयोग किए जाने वाले तरीकों का विश्लेषण करेंगे।

फ़ंक्शन का ग्राफ y \u003d | f (x) |

अक्सर आपको एक फंक्शन प्लॉट करना होता है y \u003d | f (x)| जहां च (x) -समारोह दिया। आइए हम याद करें कि यह कैसे किया जाता है। किसी संख्या के निरपेक्ष मान की परिभाषा से, आप लिख सकते हैं

इसका मतलब है कि फ़ंक्शन का ग्राफ y \u003d | f (x) | ग्राफ, समारोह से प्राप्त किया जा सकता है y \u003d f (x) निम्नानुसार: फ़ंक्शन के ग्राफ़ के सभी बिंदु y \u003d f (x)जिसके लिए निर्देश गैर-नकारात्मक हैं उसे अपरिवर्तित छोड़ दिया जाना चाहिए; आगे, फ़ंक्शन के ग्राफ के बिंदुओं के बजाय y \u003d f (x)नकारात्मक निर्देशांक के साथ, आपको फ़ंक्शन के ग्राफ़ के संबंधित बिंदुओं का निर्माण करना चाहिए y \u003d -f (x) (यानी फंक्शन के ग्राफ का हिस्सा
y \u003d f (x)जो अक्ष के नीचे स्थित है एक्स, अक्ष के बारे में सममित रूप से परिलक्षित होना चाहिए एक्स).

उदाहरण 2। प्लॉट फ़ंक्शन y \u003d | x |

हम फ़ंक्शन का ग्राफ लेते हैं y \u003d x(चित्र। 50, ए) और इस ग्राफ का हिस्सा है एक्स< 0 (अक्ष के नीचे झूठ बोलना एक्स) अक्ष के बारे में सममित रूप से प्रतिबिंबित करते हैं एक्स... नतीजतन, हम फ़ंक्शन का ग्राफ प्राप्त करते हैं y \u003d | x | (चित्र। 50, बी)।

उदाहरण 3... प्लॉट फ़ंक्शन y \u003d | x 2 - 2x |

सबसे पहले, फ़ंक्शन को प्लॉट करें y \u003d x 2 - 2x। इस फ़ंक्शन का ग्राफ एक पेराबोला है, जिसकी शाखाएं ऊपर की ओर निर्देशित होती हैं, पैराबोला के शीर्ष पर निर्देशांक (1! -1) होता है, इसका ग्राफ अंक 0 और 2 पर एब्सिस्सा अक्ष को इंटरसेक्ट करता है (अंतराल; 0; 2) ), फ़ंक्शन लेता है नकारात्मक मूल्यइसलिए, यह ग्राफ का यह हिस्सा है जिसे हम सममित रूप से एब्सिस्सा अक्ष के बारे में दर्शाते हैं। चित्र 51 फ़ंक्शन का ग्राफ़ दिखाता है y \u003d | x 2 -2x |फ़ंक्शन के ग्राफ के आधार पर y \u003d x 2 - 2x

फ़ंक्शन का ग्राफ़ y \u003d f (x) + g (x)

फ़ंक्शन को प्लॉट करने की समस्या पर विचार करें y \u003d f (x) + g (x)। अगर फंक्शन ग्राफ दिए गए हैं y \u003d f (x) तथा y \u003d g (x).

ध्यान दें कि फ़ंक्शन y \u003d f (x) + g (x) का डोमेन | x के उन सभी मूल्यों का समुच्चय है, जिसके लिए y \u003d f (x) और y \u003d g (x) दोनों कार्य परिभाषित हैं, अर्थात, यह डोमेन डोमेन, फ़ंक्शन f (x) और g (x) का अंतरक्षेत्र है। ) का है।

अंक दो (x ०, य १) तथा (x ०, य २) क्रमशः कार्यों के ग्राफ से संबंधित हैं y \u003d f (x) तथा y \u003d g (x), अर्थात् वाई 1 \u003d एफ (एक्स 0), वाई 2 \u003d जी (एक्स 0)। तब बिंदु (x0; y1 + y2) फ़ंक्शन के ग्राफ के अंतर्गत आता है y \u003d f (x) + g (x) (के लिये f (x 0) + g (x 0)) \u003d य 1 + वाई 2), और फ़ंक्शन के ग्राफ पर कोई बिंदु y \u003d f (x) + g (x) इस तरह से प्राप्त किया जा सकता है। इसलिए, फ़ंक्शन का ग्राफ़ y \u003d f (x) + g (x) फ़ंक्शन ग्राफ़ से प्राप्त किया जा सकता है y \u003d f (x)... तथा y \u003d g (x) प्रत्येक बिंदु की जगह ( x n, y 1) फंक्शन ग्राफिक्स y \u003d f (x) बिंदु (x n, y 1 + y 2), कहा पे y 2 \u003d g (x n)), अर्थात, प्रत्येक बिंदु की पारी द्वारा ( x n, y १) समारोह ग्राफ y \u003d f (x) अक्ष के साथ पर राशि से y 1 \u003d g (x n)) का है। इस मामले में, केवल ऐसे बिंदुओं पर विचार किया जाता है एक्स n जिसके लिए दोनों कार्य परिभाषित हैं y \u003d f (x) तथा y \u003d g (x).

किसी फ़ंक्शन को प्लॉट करने की यह विधि y \u003d f (x) + g (x)) को कार्यों के रेखांकन के अलावा कहा जाता है y \u003d f (x)तथा y \u003d g (x)

उदाहरण 4... चित्र में, रेखांकन जोड़कर, फ़ंक्शन का एक ग्राफ बनाया जाता है
y \u003d x + sinx.

समारोह की साजिश रचते समय y \u003d x + sinx हमें विश्वास था कि f (x) \u003d x,तथा g (x) \u003d sinx।फ़ंक्शन ग्राफ को प्लॉट करने के लिए, एब्सिसस -1.5 -, -, -0.5, 0, 0.5, 1.5, 2. मान के साथ पॉइंट चुनें। f (x) \u003d x, g (x) \u003d sinx, y \u003d x + sinxचयनित बिंदुओं पर गणना करें और परिणाम तालिका में रखें।

कभी-कभी कार्यों में काफी सामान्य कार्य नहीं होते हैं, जहां फ़ंक्शन सूत्र में केवल "y" या केवल "x" होता है।

सवाल उठता है: " ऐसे समारोह की साजिश कैसे करें?».

याद कीजिए!

प्रपत्र "y \u003d 7" और "x \u003d 2" के फ़ंक्शन का ग्राफ़ (जहां केवल "y" या केवल "x" है) एक सीधी रेखा है जो समन्वय अक्षों में से एक के समानांतर है।

फ़ंक्शन "y \u003d 7" कैसे प्लॉट करें

आइए एक उदाहरण देखें। फ़ंक्शन "y \u003d 7" पर विचार करें।

फ़ंक्शन सूत्र "y \u003d 7" में केवल "y" है। इसका मतलब है कि फ़ंक्शन "y \u003d 7" के ग्राफ के सभी बिंदुओं में "7" के बराबर "y" अक्ष (निर्देशांक) के साथ एक समन्वय है।

फ़ंक्शन तर्क "x" फ़ंक्शन सूत्र "y \u003d 7" में स्पष्ट रूप से अनुपस्थित है, लेकिन फिर भी "x", यद्यपि "अदृश्य", फ़ंक्शन में है और कोई संख्यात्मक मान लेता है।

इसके साथ ही कहा, चलो कुछ बिंदुओं को पाते हैं ललित कलाएं
फ़ंक्शन "y \u003d 7"... हम तीन मनमानी चुनते हैं संख्यात्मक मूल्य "x" के लिए। उदाहरण के लिए, संख्या "1", "2" और "3"।

यदि हम फ़ंक्शन "y \u003d 7" के ग्राफ के प्राप्त बिंदुओं को जोड़ते हैं, तो हमें एक सीधी रेखा मिलती है जो "ऑक्स" अक्ष के समानांतर होती है।

फ़ंक्शन "x \u003d 2" की साजिश कैसे करें

ऐसे कार्य जहां केवल "x" का निर्माण एक समान सिद्धांत के अनुसार किया जाता है, जहां केवल "y" कार्य होते हैं, एकमात्र अंतर यह है कि अब हम "Ox" अक्ष के साथ काम कर रहे हैं।

आइए एक उदाहरण देखें। फ़ंक्शन "x \u003d 2" पर विचार करें।

फ़ंक्शन सूत्र "x \u003d 2" में केवल "x" शामिल है।

इसका मतलब है कि फ़ंक्शन "x \u003d 2" के ग्राफ के सभी बिंदुओं में "2" के बराबर "x" अक्ष (abscissa) के साथ एक समन्वय है।

"Y" फ़ंक्शन का मान "x \u003d 2" फ़ंक्शन में स्पष्ट रूप से अनुपस्थित है, लेकिन फिर भी फ़ंक्शन में "y" "अदृश्य" है और कोई संख्यात्मक मान लेता है।

इसके साथ ही कहा, चलो कुछ ग्राफ अंक पाते हैं
फ़ंक्शन "x \u003d 2"।

चलो "y" के लिए तीन मनमाना संख्यात्मक मान चुनें। उदाहरण के लिए, संख्या "1", "2" और "3"।

आइए समन्वय प्रणाली पर प्राप्त बिंदुओं को चिह्नित करें।

यदि हम फ़ंक्शन "x \u003d 2" के ग्राफ के प्राप्त बिंदुओं को जोड़ते हैं, तो हमें एक सीधी रेखा मिलती है, जो "Oy" अक्ष के समानांतर होती है।

"Y \u003d 7" और "x \u003d 2" जैसे कार्यों को प्लॉट करने के नियमों को कैसे याद रखें

"Y \u003d 7" और "x \u003d 2" फ़ॉर्म के फ़ंक्शन को ग्राफ़ करने के लिए, निम्नलिखित नियम को याद रखें।

मॉड्यूल वाले कार्यों के रेखांकन का निर्माण आमतौर पर स्कूली बच्चों के लिए काफी कठिनाइयों का कारण बनता है। हालांकि, चीजें इतनी बुरी नहीं हैं। यह इस तरह की समस्याओं को हल करने के लिए कई एल्गोरिदम को याद करने के लिए पर्याप्त है, और आप आसानी से एक ग्राफ का निर्माण कर सकते हैं, यहां तक \u200b\u200bकि उपस्थिति में भी जटिल कार्य... आइए देखें कि ये एल्गोरिदम क्या हैं।

1. फ़ंक्शन को प्लॉट करना y \u003d | f (x) |

ध्यान दें कि फ़ंक्शन के मानों का सेट y \u003d | f (x) | : y are 0. इस प्रकार, ऐसे कार्यों के ग्राफ हमेशा ऊपरी आधे तल में स्थित होते हैं।

फ़ंक्शन को प्लॉट करना y \u003d | f (x) | निम्नलिखित सरल चार चरणों के होते हैं।

1) सही ढंग से और ध्यान से फ़ंक्शन y \u003d f (x) के ग्राफ का निर्माण करें।

2) ग्राफ के सभी बिंदुओं को छोड़ दें जो कि 0x अक्ष के ऊपर या उस पर हैं।

3) ग्राफ का हिस्सा, जो 0x अक्ष के नीचे स्थित है, 0x अक्ष के बारे में सममित रूप से प्रदर्शित करता है।

उदाहरण 1. फ़ंक्शन का ग्राफ y \u003d | x 2 - 4x + 3 |

1) हम फ़ंक्शन y \u003d x 2 - 4x + 3. का एक ग्राफ बनाते हैं, जाहिर है, इस फ़ंक्शन का ग्राफ एक पैराबोला है। Parabola के चौराहे के सभी बिंदुओं के निर्देशांक को अक्षीय अक्षों और Parabola के शीर्ष के निर्देशांक के साथ खोजें।

x 2 - 4x + 3 \u003d 0।

x 1 \u003d 3, x 2 \u003d 1।

इसलिए, पेराबोला 0x अक्ष को बिंदुओं (3, 0) और (1, 0) पर रखता है।

y \u003d 0 2 - 4 0 + 3 \u003d 3।

इसलिए, पेराबोला बिंदु (0, 3) पर 0y अक्ष को काटता है।

परबोला शीर्ष निर्देशांक:

x in \u003d - (- 4/2) \u003d 2, y में \u003d 2 2 - 4 2 + 3 \u003d -1।

इसलिए, बिंदु (2, -1) इस परवलय का शीर्ष है।

प्राप्त आंकड़ों का उपयोग करके एक परवलय बनाएं (चित्र एक)

2) ग्राफ का वह भाग जो 0x अक्ष के नीचे होता है, 0x अक्ष के बारे में सममित रूप से प्रदर्शित होता है।

3) हमें मूल फ़ंक्शन का ग्राफ मिलता है ( अंजीर। २, एक बिंदीदार रेखा द्वारा दर्शाया गया है)।

2. फ़ंक्शन को प्लॉट करना y \u003d f (! X | |

ध्यान दें कि फॉर्म के कार्य y \u003d f (! X |) भी हैं:

y (-x) \u003d f (| -x |) \u003d f (| x |) \u003d y (x)। इसका मतलब है कि ऐसे कार्यों के ग्राफ 0y अक्ष के बारे में सममित हैं।

फ़ंक्शन को प्लॉट करना y \u003d f (| x |) में निम्न सरल श्रृंखलाओं की क्रियाएं होती हैं।

1) फ़ंक्शन y \u003d f (x) के ग्राफ का निर्माण करें।

2) ग्राफ के उस हिस्से को छोड़ दें, जिसके लिए x that 0, अर्थात्, सही आधे-विमान में स्थित ग्राफ का हिस्सा है।

3) पैरा के संकेत के भाग को (2) सममित रूप से 0y अक्ष पर प्रदर्शित करें।

4) पैराग्राफ (2) और (3) में प्राप्त वक्रों के मिलन को अंतिम ग्राफ के रूप में चुनें।

उदाहरण 2. फ़ंक्शन का ग्राफ y \u003d x 2 - 4 · | x | + ३

चूंकि x 2 \u003d | x | 2, फिर मूल फ़ंक्शन को निम्नानुसार फिर से लिखा जा सकता है: y \u003d | x | 2 - 4 · | x | + 3. और अब हम ऊपर प्रस्तावित एल्गोरिथ्म को लागू कर सकते हैं।

1) हम सही ढंग से और ध्यान से फ़ंक्शन y \u003d x 2 - 4 x + 3 का ग्राफ बनाते हैं (यह भी देखें) अंजीर। एक).

2) हम ग्राफ के उस हिस्से को छोड़ते हैं जिसके लिए x that 0 है, यानी सही आधे-प्लेन में स्थित ग्राफ का हिस्सा।

3) ग्राफ के दाईं ओर सममित रूप से 0y अक्ष पर प्रदर्शित करें।

(अंजीर। 3).

उदाहरण 3. फ़ंक्शन का ग्राफ़ प्रदर्शित करें y \u003d log 2 | x |

हम ऊपर दी गई योजना को लागू करते हैं।

1) प्लॉट y \u003d y लॉग 2 x (अंजीर। 4).

3. फ़ंक्शन को प्लॉट करना y \u003d | f (| x |) |

ध्यान दें कि प्रपत्र y \u003d f (| x |) | भी हैं। दरअसल, y (-x) \u003d y \u003d | f (| -x |) | \u003d y \u003d | f (| x |) | \u003d y (x), और इसलिए, उनके ग्राफ 0y अक्ष के बारे में सममित हैं। ऐसे कार्यों के मूल्यों का समूह: y ≥ 0. इसलिए, इस तरह के कार्यों के ग्राफ पूरी तरह से ऊपरी आधे विमान में स्थित हैं।

फ़ंक्शन को प्लॉट करने के लिए y \u003d | f (| x |) | |, आपको चाहिए:

1) फ़ंक्शन के ग्राफ का सही रूप से निर्माण करें y \u003d f (| x |) |

2) ग्राफ़ के उस हिस्से को छोड़ दें जो ऊपर या 0x अक्ष पर अपरिवर्तित है।

3) ग्राफ का हिस्सा, 0x अक्ष के नीचे स्थित है, 0x अक्ष के बारे में सममित रूप से प्रदर्शित करें।

4) पैराग्राफ (2) और (3) में प्राप्त वक्रों के मिलन को अंतिम ग्राफ के रूप में चुनें।

उदाहरण 4. फ़ंक्शन का ग्राफ़ प्रदर्शित करें y \u003d | -x 2 + 2 | x | - 1 |

1) ध्यान दें कि x 2 \u003d | x | २। इसलिए, मूल फ़ंक्शन के बजाय y \u003d -x 2 + 2 | x | - एक

आप फ़ंक्शन का उपयोग कर सकते हैं y \u003d - | x | 2 + 2 | x | - 1, चूंकि उनके रेखांकन समान हैं।

हम एक ग्राफ बनाते हैं y \u003d - | x | 2 + 2 | x | - 1. इसके लिए हम एल्गोरिथ्म 2 लागू करते हैं।

a) प्लॉट फ़ंक्शन y \u003d -x 2 + 2x - 1 (अंजीर। 6).

b) ग्राफ़ का वह भाग छोड़ें जो दाएं आधे तल में स्थित है।

c) ग्राफ का परिणामी भाग सममित रूप से 0y अक्ष पर प्रदर्शित करें।

d) परिणामी ग्राफ को बिंदीदार रेखा के साथ चित्र में दिखाया गया है (अंजीर। 7).

2) 0x अक्ष के ऊपर कोई बिंदु नहीं हैं, हम 0x अक्ष पर अंक को अपरिवर्तित छोड़ देते हैं।

3) 0x अक्ष के नीचे स्थित ग्राफ का हिस्सा सममित रूप से 0x के बारे में प्रदर्शित होता है।

4) परिणामी ग्राफ को बिंदीदार रेखा के साथ चित्र में दिखाया गया है (अंजीर। 8).

उदाहरण 5. प्लॉट फ़ंक्शन y \u003d | (2 | x | - 4) / (| x | + 3) |

1) सबसे पहले, आपको फ़ंक्शन y \u003d (2 | x | - 4) / (| x | + 3) प्लॉट करने की आवश्यकता है। ऐसा करने के लिए, हम एल्गोरिथम 2 पर लौटते हैं।

a) फ़ंक्शन y \u003d (2x - 4) / (x + 3) को सावधानीपूर्वक प्लॉट करें (अंजीर। 9).

ध्यान दें कि यह फ़ंक्शन रैखिक-भिन्नात्मक है और इसका ग्राफ एक हाइपरबोला है। वक्र को प्लॉट करने के लिए, आपको पहले ग्राफ़ के एसिम्प्टोट्स को खोजने की आवश्यकता है। क्षैतिज - y \u003d 2/1 (अंश में गुणांक और भिन्न में गुणांक का अनुपात), ऊर्ध्वाधर - x \u003d -3।

2) ग्राफ के भाग को ऊपर या 0x अक्ष पर अपरिवर्तित छोड़ दें।

3) 0x अक्ष के नीचे स्थित ग्राफ के हिस्से को 0x के बारे में सममित रूप से प्रदर्शित किया जाएगा।

4) अंतिम ग्राफ चित्र में दिखाया गया है (अंजीर। 11).

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