टीजीएक्स की जड़ें एक समीकरण। त्रिकोणमितीय समीकरण। गुणन

तरंग समीकरण, निजी डेरिवेटिव के साथ अंतर समीकरण, टिखोनोव ए एन। और सैमस्की ए ए, गणितीय भौतिकी, 3 ईडी।, एम, 1 9 77 के समीकरणों के समीकरणों के प्रचार की प्रक्रिया का वर्णन करते हुए, एम।, 1 9 77. - पी। 155 ....

वर्गीकरण हाइपरबॉलिक विभेदक समीकरण निजी डेरिवेटिव्स में

थर्मल चालकता समीकरण एक ठोस माध्यम (गैस ... में गर्मी के प्रचार की प्रक्रिया का वर्णन करने वाली पैराबॉलिक प्रकार आंशिक डेरिवेटिव के साथ एक अंतर समीकरण है।

गणितीय तरीकेबड़े पैमाने पर रखरखाव प्रणाली के सिद्धांत में उपयोग किया जाता है

सिस्टम राज्यों की संभावनाओं को कोल्मोगोरोव विभेदक समीकरण प्रणाली से पाया जा सकता है, जिसे निम्नलिखित नियम के अनुसार संकलित किया जाता है: उनमें से प्रत्येक के बाईं तरफ आई-वें राज्य की संभावना का व्युत्पन्न है ...

नॉनस्टेशनरी समीकरण रिक्ति

1. आरआईसीकाटी के सामान्य समीकरण में फॉर्म है: (1.1) जहां पी, क्यू, अंतराल समीकरण में एक्सपीआरआई चेंज एक्स से पी, क्यू, आर-निरंतर कार्य स्वयं में निष्कर्ष निकाले गए समीकरणों के विशेष मामलों के रूप में पहले से ही हमारे द्वारा माना जाता है: जब हम पाते हैं रेखीय समीकरण, जब बर्नौलील्ली ...

परिवहन पर वैज्ञानिक अनुसंधान और योजना प्रयोगों की मूल बातें

हम कम से कम वर्ग विधि (एमएनए) का उपयोग कर कार्यात्मक निर्भरता वाई \u003d एफ (एक्स) (प्रतिगमन के समीकरण) प्राप्त करते हैं। कार्यों के अनुमान के रूप में, रैखिक (वाई \u003d ए 0 + ए 1 एक्स) और वर्गबद्ध निर्भरताओं (वाई \u003d ए 0 + ए 1 एक्स + ए 2 एक्स 2) का उपयोग करें। एमएन के माध्यम से, ए 0 के मूल्य ...

आयताकार समन्वय प्रणाली की शुरुआत में ध्रुवीय समन्वय प्रणाली के ध्रुव की स्थिति, ध्रुवीय अक्ष Abscissa (चित्र 3) के सकारात्मक आधा धुरी के साथ संगत है। अंजीर। 3 सामान्य रूप में समीकरण प्रत्यक्ष रूप से ले लो: (3.1) - लंबवत लंबाई ...

विमान पर ध्रुवीय समन्वय प्रणाली

ध्रुवीय अक्ष और आर त्रिज्या पर केंद्र के साथ, ध्रुव के माध्यम से गुजरने वाले सर्कल के ध्रुवीय निर्देशांक में एक समीकरण बनाएं आयताकार त्रिभुज ओएए ओए \u003d ओए (चित्र 4) प्राप्त करें ...

चुनिंदा सिद्धांत की अवधारणा। वितरण की पंक्तियाँ। सहसंबंध और प्रतिगमन विश्लेषण

एक्सप्लोर करें: ए) जोड़ा रैखिक प्रतिगमन की अवधारणा; बी) सामान्य समीकरणों की एक प्रणाली तैयार करना; सी) कम से कम वर्ग विधि के अनुसार अनुमानों के गुण; डी) रैखिक प्रतिगमन समीकरण खोजने की विधि। मान लीजिए ...

रूप में विभेदक समीकरणों के समाधान का निर्माण शक्ति पंक्तियाँ

निर्मित सिद्धांत के एक उदाहरण के रूप में, हम बेसेल समीकरण पर विचार करते हैं: (6.1) कहाँ। विशेष बिंदु z \u003d 0 नियमित है। विमान के अंतिम भाग में कोई अन्य विशेषताएं नहीं हैं। समीकरण में (6.1), इसलिए परिभाषित समीकरण में फॉर्म है, यानी ...

मैट्रिक्स समीकरणों का समाधान

मैट्रिक्स समीकरण ha \u003d b भी दो तरीकों से हल किया जा सकता है: 1. गणना की जा सकती है उलटा मैट्रिक्स ज्ञात तरीकों में से कोई भी। फिर मैट्रिक्स समीकरण का समाधान देखेंगे: 2 ...

मैट्रिक्स समीकरणों का समाधान

फॉर्म के समीकरणों को हल करने के लिए एएच \u003d केएच, एएच + केएच \u003d ऊपर वर्णित विधियों के साथ उपयुक्त नहीं हैं। वे समीकरणों को हल करने के लिए भी उपयुक्त नहीं हैं जिसमें अज्ञात मैट्रिक्स एक्स वाले कम से कम एक कारक एक अपरिवर्तनीय मैट्रिक्स है ...

मैट्रिक्स समीकरणों का समाधान

फॉर्म आह \u003d हेक्टेयर के समीकरण पिछले मामले में उसी तरह हल किए जाते हैं, जो वैकल्पिक रूप से है। यहां समाधान एक क्रमपरिवर्तन मैट्रिक्स खोजने के लिए नीचे आता है। उदाहरण के लिए हमें अधिक विस्तार से विचार करें। उदाहरण। सभी matrices खोजें ...

Rhombid समोच्च के साथ बड़े पैमाने पर रखरखाव नेटवर्क का निष्क्रिय संचालन

राज्य से निम्नलिखित राज्यों में से एक में जा सकते हैं: - तीव्रता के साथ पहले नोड की कतार में आवेदन की प्राप्ति के कारण; - तीव्रता के साथ तीसरे नोड कतार में संसाधित अनुप्रयोगों के पहले नोड से प्राप्त होने के कारण ...

त्रिकोणमितीय कार्य

आर्कटेनेंट को ऐसा नंबर कहा जाता है, जिसका साइनस बराबर है: यदि और। समीकरण की सभी जड़ें सूत्र द्वारा पाई जा सकती हैं: ...

संख्यात्मक तरीके गणितीय कार्यों के समाधान

\u003e\u003e आर्कटेनेंस और आर्कोथैंगेन्स। समीकरणों का समाधान tgx \u003d a, ctgx \u003d a

§ 19. आर्कटेनेंस और arkotanens। समीकरणों का समाधान tgx \u003d a, ctgx \u003d a

उदाहरण 2 §16, हम तीन समीकरणों को हल नहीं कर सके:

उनमें से दो हमने पहले ही फैसला कर लिया है - § 17 में पहला और दूसरा § 18 में, इसके लिए हमें अवधारणाओं को पेश करना पड़ा आर्ककोसिनस और Arksinus। तीसरे समीकरण x \u003d 2 पर विचार करें।
कार्यों के ग्राफ y \u003d tg x और y \u003d 2 में असीम रूप से कई आम बिंदु हैं, इन सभी बिंदुओं के एब्सिसा में फॉर्म है - टैंगेंसॉयड (अंजीर की मुख्य शाखा के साथ प्रत्यक्ष वाई \u003d 2 के चौराहे बिंदुओं का एब्सिसा। 90)। संख्या x1 गणित के लिए, एजीएसटीजी 2 के पदनाम का आविष्कार किया गया था ("दोनों के आर्कटेनेंस")। फिर समीकरण x \u003d 2 की सभी जड़ों को सूत्र एक्स \u003d एजीएसटीजी 2 + पीसी द्वारा वर्णित किया जा सकता है।
एजीएसटीजी 2 क्या है? यह एक संख्या है स्पर्शरेखा जो 2 है और जो अंतराल से संबंधित है
अब टीजी एक्स \u003d -2 समीकरण पर विचार करें।
कार्य ग्राफिक्स असीम रूप से कई आम बिंदु हैं, इन सभी बिंदुओं के फर्सीसा को देखा जाता है Tangentoids की मुख्य शाखा के साथ सीधे y \u003d -2 के चौराहे का Abscissa बिंदु। संख्या x 2 गणित के लिए, एजीएसटीजी (-2) के पदनाम का आविष्कार किया गया था। फिर समीकरण X \u003d -2 की सभी जड़ों को सूत्र द्वारा वर्णित किया जा सकता है

एजीएसटीजी (-2) क्या है? यह संख्या, जिसका टेंगेंट -2 है और जो अंतराल से संबंधित है। कृपया ध्यान दें (चित्र 90 देखें): x 2 \u003d -x 2। इसका मतलब है कि एजीएसटीजी (-2) \u003d - एजीएसटीजी 2।
हम सामान्य रूप से आर्कटेजेन की परिभाषा तैयार करते हैं।

परिभाषा 1। एजीएसटीजी ए (आर्कटेनेंस ए) अंतराल से ऐसी संख्या है जिसका टेंगेंट एक है। इसलिए,

अब हम निर्णय के बारे में एक सामान्य निष्कर्ष निकालने में सक्षम हैं समीकरण x \u003d a: समीकरण X \u003d A समाधान है

ऊपर, हमने नोट किया कि AGSTG (-2) \u003d -Agstg 2. सामान्य रूप से, किसी भी मूल्य के लिए, लेकिन सूत्र मान्य है

उदाहरण 1। गणना:

उदाहरण 2। समीकरण हल करें:

ए) समाधान का एक सूत्र बनाओ:

हम इस मामले में आर्कटेनमेंट के मूल्य की गणना नहीं कर सकते हैं, इसलिए, समीकरण के समाधान की रिकॉर्डिंग परिणामी रूप में छोड़ी जाएगी।
उत्तर:
उदाहरण 3। असमानताओं को हल करें:
निम्नलिखित योजनाओं का पालन करके प्रजातियों की असमानता को ग्राफिकल रूप से हल किया जा सकता है।
1) tangentoid y \u003d tg x और सीधे y \u003d a का निर्माण;
2) एक्स अक्ष की धुरी के निचोड़ों की मुख्य शाखा के लिए आवंटित करें, जिस पर निर्दिष्ट असमानता की जाती है;
3) फ़ंक्शन वाई \u003d टीजी एक्स की आवृत्ति को देखते हुए, सामान्य रूप से उत्तर लिखें।
निर्दिष्ट असमानताओं को हल करने के लिए इस योजना को लागू करें।

: ए) हम y \u003d tgx और y \u003d 1. togensoids की मुख्य शाखा पर कार्यों के ग्राफ का निर्माण करते हैं, वे बिंदु पर छेड़छाड़ करते हैं

हम एक्स अक्ष के अंतर को हाइलाइट करते हैं, जिस पर टैंगेंसॉयड की मुख्य शाखा प्रत्यक्ष वाई \u003d 1 के नीचे स्थित है, अंतराल है
फ़ंक्शन वाई \u003d टीजीएक्स की आवृत्ति को ध्यान में रखते हुए, हम निष्कर्ष निकालते हैं कि निर्दिष्ट असमानता फॉर्म के किसी भी अंतराल पर की जाती है:

ऐसे सभी अंतराल का संयोजन और निर्दिष्ट असमानता के एक सामान्य समाधान का प्रतिनिधित्व करता है।
जवाब अलग-अलग रिकॉर्ड किया जा सकता है:

बी) हम y \u003d tg x और y \u003d -2 कार्यों के ग्राफ का निर्माण करते हैं। Tangentoids (चित्र 92) की मुख्य शाखा पर, वे बिंदु x \u003d agstg (-2) पर छेड़छाड़ करते हैं।

हम एक्स अक्ष के अंतर को हाइलाइट करते हैं जिस पर टैंगेंसोइड की मुख्य शाखा

टीजी एक्स \u003d ए, जहां ए\u003e 0 के साथ समीकरण पर विचार करें। कार्यों के ग्राफ y \u003d ctg x और y \u003d और असीम रूप से कई आम बिंदु हैं, इन सभी बिंदुओं के अवशोषण फॉर्म के होते हैं: x \u003d x 1 + पीसी, जहां x 1 \u003d agssort a - चौराहे बिंदुओं के Abscissa प्रत्यक्ष y \u003d a tangentoids की मुख्य शाखा (चावल। 93) के साथ। इसका मतलब है कि एजीएसएसआर ए वह संख्या है जिसका कैटेंजेंट बराबर है और जो अंतराल (0, पी) से संबंधित है; इस अंतराल पर, फ़ंक्शन वाई \u003d एसटीजी एक्स के ग्राफ की मुख्य शाखा का निर्माण किया जा रहा है।

अंजीर में। 9 3 सी 1 टीजी \u003d -ए समीकरण को हल करने के ग्राफिक चित्रण को दिखाता है। कार्यों के ग्राफ y \u003d stg x और y \u003d -a में असीम रूप से कई आम बिंदु हैं, इन सभी बिंदुओं के अवशोषण x \u003d x 2 + पीसी के रूप में हैं, जहां x 2 \u003d agssort (- ए) - चौराहे का Abscissa अंक सीधे y \u003d -a tangentsoid शाखा। इसका मतलब है कि एजीएसएसओआरटी (-ए) वह संख्या है जिसका cutangent है -a और जो अंतराल (ओ, पी) से संबंधित है; इस अंतराल पर, फ़ंक्शन वाई \u003d एसटीजी एक्स के ग्राफ की मुख्य शाखा का निर्माण किया जा रहा है।

परिभाषा 2।एएसटीजी ए (Arkkothangence ए) अंतराल (0, पी) से एक संख्या है, जिसका cutangent एक के बराबर है।
इसलिए,

अब हम सीटीजी समीकरण एक्स \u003d ए: सीटीजी समीकरण एक्स \u003d ए के समाधान के बारे में सामान्य निष्कर्ष निकालने में सक्षम हैं:

कृपया ध्यान दें (चित्र 93 देखें): x 2 \u003d p-x 1। इसका मतलब है कि

उदाहरण 4। गणना:

A) इसे रखो

सीटीजी समीकरण एक्स \u003d ए लगभग हमेशा एक अपवाद को सीटीजी समीकरण x \u003d 0 में परिवर्तित करने के लिए संभव है। लेकिन इस मामले में, इस तथ्य का उपयोग करके कि आप जा सकते हैं
कॉस एक्स \u003d 0 समीकरण। इस प्रकार, प्रजातियों का समीकरण x \u003d और स्वतंत्र ब्याज का प्रतिनिधित्व नहीं करता है।

ए.जी. मॉर्डकोविच बीजगणित ग्रेड 10

गणित में कैलेंडर और विषयगत योजना, वीडियो गणित ऑनलाइन में, स्कूल में गणित डाउनलोड करें

सबक का डिजाइन सार पाठ संदर्भ फ्रेम प्रस्तुति पाठ त्वरित विधियों इंटरएक्टिव टेक्नोलॉजीज अभ्यास कार्य और अभ्यास स्वयं परीक्षण कार्यशाला, प्रशिक्षण, मामलों, Quests घर के कार्यों की चर्चा छात्रों से बयान के सवाल मुद्दों रेखांकन ऑडियो, वीडियो क्लिप्स और मल्टीमीडिया फोटो, चित्र, टेबल, हास्य, चुटकुले, चुटकुले, कॉमिक्स नीतिवचन, कहानियां, क्रॉसवर्ड, उद्धरण की योजनाएं की आपूर्ति करता है एब्सट्रैक्ट उत्सुक धोखा शीट्स पाठ्यपुस्तकों के लिए लेख चिप्स मूल और अतिरिक्त ग्लोब अन्य शर्तें पाठ्यपुस्तकों और सबक में सुधार पाठ्यपुस्तक में त्रुटियों को ठीक करना पाठ्यपुस्तक में खंड को अद्यतन करना। नोट्स में नवाचार तत्व पुराने ज्ञान को नए स्थान पर बदल देते हैं केवल शिक्षकों के लिए सही सबक एक वर्ष के लिए कैलेंडर योजना दिशा निर्देशों चर्चा कार्यक्रम एकीकृत सबक

पहले, कार्यक्रम के मुताबिक, छात्रों को त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने का एक विचार प्राप्त हुआ, जिसे आर्कोसिनस और आर्क्सिनस की अवधारणाओं के साथ परिचित किया, सीओएस टी \u003d ए और पाप समीकरणों के समाधान के उदाहरण। इस वीडियो भाषा में, समीकरण TG X \u003d A और CTG X \u003d A के समाधान पर विचार करें।

इस विषय के अध्ययन की शुरुआत में, समीकरण टीजी एक्स \u003d 3 और टीजी एक्स \u003d - 3 पर विचार करें। यदि टीजी एक्स \u003d 3 समीकरण को ग्राफिक्स का उपयोग करके हल किया गया है, तो हम देखेंगे कि कार्यों के चौराहे वाई \u003d टीजी एक्स और y \u003d 3 में अनंत सेट समाधान हैं, जहां x \u003d x 1 + πk। मान x 1 कार्यों के आलेखों के चौराहे का समन्वय एक्स बिंदु है y \u003d tg x और y \u003d 3. लेखक आर्कटेनेंट की अवधारणा पेश करता है: आरसीटीजी 3 संख्या है, जिसमें से टीजी 3 है, और यह संख्या है अंतराल- π / 2 से π / 2। आर्केंटेनेंट की अवधारणा का उपयोग करके, टीजी एक्स \u003d 3 समीकरण का समाधान फॉर्म x \u003d arctg 3 + πk में लिखा जा सकता है।

समानता से, टीजी एक्स \u003d - - 3 समीकरण कार्यों की संरचनाओं के अनुसार हल किया जाता है वाई \u003d टीजी एक्स और वाई \u003d - 3 यह देखा जा सकता है कि ग्राफ के चौराहे के अंक, और इसके परिणामस्वरूप, समीकरणों के समाधान होंगे x \u003d x 2 + πk हो। Arctangent की मदद से, समाधान को x \u003d arctg (- 3) + πk के रूप में लिखा जा सकता है। निम्नलिखित आकृति में, देखें कि आर्कट्ज (- 3) \u003d - आर्कट्ज 3।

आर्कटेन्टेंट की सामान्य परिभाषा इस तरह दिखती है: आर्कटेन्टेंट ए को अंतराल से-2/2 से π / 2 तक इस तरह की संख्या कहा जाता है, जिसमें से टेंगेंट एक बराबर होता है। फिर टीजी एक्स \u003d ए समीकरण के समाधान से x \u003d arctg a + πk है।

लेखक एक उदाहरण लाता है 1. आरसीटीजी अभिव्यक्ति समाधान का पता लगाएं। हम सराहना करते हैं: एक्स की संख्या एक्स है, फिर टीजी एक्स किसी दिए गए नंबर के बराबर होगा, जहां एक्स कट से-π / 2 से π / 2 से होता है। पिछले विषयों के उदाहरणों के रूप में, हम मानों की तालिका का उपयोग करते हैं। इस तालिका में, इस संख्या का टेंगेंट एक्स \u003d π / 3 से मेल खाता है। हम Arctanhancens संख्या समीकरण के समाधान को लिखते हैं π / 3, π / 3 -π / 2 से π / 2 के अंतराल से संबंधित है।

उदाहरण 2 - एक नकारात्मक संख्या के आर्केंटेनेंट की गणना करें। आर्कट्ज समानता (- ए) \u003d - आर्कट्ज ए का उपयोग करके, हम एक्स मान पेश करते हैं। उदाहरण के लिए उदाहरण 2 एक्स का मान लिखें, जो सेगमेंट से संबंधित है-/ 2 से π / 2 तक। मानों की तालिका पर हमें लगता है कि x \u003d π / 3, इसलिए, टीजी एक्स \u003d - π / 3। समीकरण की प्रतिक्रिया π / 3 होगी।

उदाहरण पर विचार करें 3. समीकरण TG x \u003d 1. लिखें कि x \u003d arctg 1 + πk लिखें। तालिका में, टीजी 1 का मान x \u003d π / 4 के अनुरूप है, इसलिए, Arctg 1 \u003d π / 4। हम इस मान को मूल एक्स फॉर्मूला में प्रतिस्थापित करते हैं और उत्तर x \u003d π / 4 + πk लिखते हैं।

उदाहरण 4: टीजी एक्स \u003d - 4.1 की गणना करें। इस मामले में, x \u003d arctg (- 4.1) + πk। चूंकि इस मामले में आर्कट्ज मूल्य ढूंढना संभव नहीं है, जवाब एक्स \u003d आर्कट्ज (- 4.1) + πK की तरह दिखेगा।

उदाहरण 5 में, असमानता टीजी एक्स\u003e 1. हल करने के लिए, फ़ंक्शंस के ग्राफ का निर्माण वाई \u003d टीजी एक्स और वाई \u003d 1. जैसा कि आकृति में देखा जा सकता है, ये ग्राफ अंक x \u003d π / 4 + πk पर छेड़छाड़ करते हैं । चूंकि इस मामले में, टीजी एक्स\u003e 1, चार्ट पर, टैंगेंसॉयड के क्षेत्र का चयन करें, जो ग्राफ वाई \u003d 1 से ऊपर है, जहां एक्स π / 4 से π / 2 के अंतराल से संबंधित है। उत्तर लिखें π / 4 + πk के रूप में लिखें< x < π/2 + πk.

इसके बाद, सीटीजी एक्स \u003d एक समीकरण पर विचार करें। आंकड़ा कार्यों के ग्राफ दिखाता है वाई \u003d सीटीजी एक्स, वाई \u003d ए, वाई \u003d - ए, जिसमें विभिन्न प्रकार के चौराहे अंक हैं। निर्णय X \u003d x 1 + πK के रूप में लिखा जा सकता है, जहां x 1 \u003d arcctg a और x \u003d x 2 + πk, जहां x 2 \u003d arcctg (- ए)। यह नोट किया गया है कि x 2 \u003d π - x 1। इससे एआरसीसीटीजी (- ए) \u003d π - आर्कक्ट ए की समानता का पालन करता है। अगला Arkkothanceence की परिभाषा के लिए दिया गया है: Arkkothangent a को 0 से π तक के अंतर से ऐसा नंबर कहा जाता है, जिसका कैटेंजेंट ए के बराबर है। सीटीजी एक्स \u003d एक समीकरण का समाधान फॉर्म में लिखा गया है: x \u003d arcctg a + πk।

वीडियो ट्यूटोरियल के अंत में, एक और महत्वपूर्ण आउटपुट बनाया गया है - अभिव्यक्ति ctg x \u003d a फॉर्म TG x \u003d 1 / a में लिखा जा सकता है, बशर्ते कि ए शून्य न हो।

पाठ डिकोडिंग:

समीकरणों के समाधान पर विचार करें टीजी एक्स \u003d 3 और टीजी एक्स \u003d - 3. पहले समीकरण को ग्राफिक रूप से हल करना, हम देखते हैं कि कार्यों के ग्राफ y \u003d tg x और y \u003d 3 में असीमित रूप से चौराहे के कई बिंदु हैं, जो लिखेंगे के रूप में फरार

एक्स \u003d एक्स 1 + πके, जहां एक्स 1 टैंगेंटोइड्स (चित्र 1) की मुख्य शाखा के साथ सीधे वाई \u003d 3 के चौराहे बिंदुओं का एब्सिसा है, जिसके लिए पदनाम का आविष्कार किया गया था

aRCTG 3 (Arctgernes तीन)।

ARCTG 3 को कैसे समझें?

यह संख्या, जिसका टैंगेंट 3 है और यह संख्या अंतराल (-;) से संबंधित है। फिर टीजी समीकरण एक्स \u003d 3 की सभी जड़ों को सूत्र एक्स \u003d आर्कटेक्स 3 + π के द्वारा लिखा जा सकता है।

इसी प्रकार, टीजी समीकरण एक्स \u003d - 3 का समाधान फॉर्म एक्स \u003d एक्स 2 + πके में लिखा जा सकता है, जहां एक्स 2 टेंगेंटोइड्स की मुख्य शाखा के साथ सीधे वाई \u003d - 3 के चौराहे बिंदुओं का एब्सिसा है ( चित्र 1), जिसके लिए आर्कट्ज पदनाम का आविष्कार किया गया था (- 3) (आर्कटेनन माइनस तीन)। फिर समीकरण की सभी जड़ों को सूत्र द्वारा दर्ज किया जा सकता है: x \u003d arctg (-3) + πk। चित्र दिखाता है कि आर्कट्ज (- 3) \u003d - आर्कट्ज 3।

हम आर्केंटेंटेंट की परिभाषा तैयार करते हैं। आर्कटेन्टेंट ए को अंतराल से एक संख्या कहा जाता है (-;), जिसका टेंगेंट एक के बराबर है।

अक्सर समानता का उपयोग करते हैं: Arctg (-aa) \u003d -एकसीटीजी ए, जो किसी के लिए मान्य है।

आर्कटेनेंट की परिभाषा को जानना, हम समीकरण को हल करने के बारे में एक सामान्य निष्कर्ष निकालेंगे

टीजी एक्स \u003d ए: समीकरण टीजी एक्स \u003d ए में समाधान एक्स \u003d आर्कट्ज ए + πK है।

उदाहरणों पर विचार करें।

उदाहरण 1. मानार्थ आरसीटीजी।

फेसला। Arctg \u003d x, फिर tgx \u003d और xε (-;) दें। परिणामस्वरूप मूल्यों की तालिका दिखाएं, x \u003d, tg \u003d और ε (-;) के बाद से।

तो, आर्कट्ज \u003d।

उदाहरण 2. आर्कट्ज (-) की गणना करें।

फेसला। आर्कट्ज समानता (- ए) \u003d - आर्कट्ज ए का उपयोग करके, लिखें:

aRCTG (-) \u003d - ARCTG। चलो - Arctg \u003d x, फिर - tgh \u003d और xε (-;)। नतीजतन, x \u003d, tg \u003d और ε (-;) के बाद से। तालिका मान दिखाएं

तो - ARCTG \u003d - TGX \u003d -।

उदाहरण 3. समीकरण TGX \u003d 1 को हल करें।

1. हम समाधान सूत्र लिखते हैं: x \u003d arctg 1 + πk।

2. Arctangent का अर्थ खोजें

चूंकि टीजी \u003d। तालिका मान दिखाएं

तो ARCTG1 \u003d।

3. निर्णय सूत्र में पाए गए मूल्य को रखें:

उदाहरण 4. समीकरण TGX \u003d - 4.1 हल करें (टेंगेंट एक्स एक दसवीं पूर्णांक के बराबर चार पूर्णांक के बराबर है)।

फेसला। हम समाधान सूत्र लिखते हैं: x \u003d arctg (- 4.1) + πk।

हम आर्केंटेनेंट के मूल्य की गणना नहीं कर सकते हैं, इसलिए, समीकरण का समाधान परिणामी रूप में छोड़ा जाएगा।

उदाहरण 5. असमानता TGX 1 हल करें।

फेसला। हम ग्राफिक रूप से तय करेंगे।

1. Tangentoid बनाएँ

y \u003d tgh और सीधे y \u003d 1 (Fig.2)। वे प्रजातियों x \u003d + πk के बिंदुओं पर छेड़छाड़ करते हैं।

2. हम एक्स अक्ष के अंतर को हाइलाइट करते हैं, जिस पर टैंगेंटोइड की मुख्य शाखा सीधी रेखा y \u003d 1 के ऊपर स्थित है, क्योंकि हालत TGX 1. यह एक अंतराल है (;)।

3. फ़ंक्शन की आवृत्ति का उपयोग करें।

निवेशली 2. वाई \u003d टीजी एक्स मुख्य अवधि के साथ एक आवधिक कार्य है π।

फ़ंक्शन वाई \u003d टीजीएक्स की आवृत्ति को देखते हुए, हम उत्तर लिखते हैं:

(;)। जवाब डबल असमानता के रूप में लिखा जा सकता है:

आइए सीटीजी एक्स \u003d ए समीकरण में जाएं। एक सकारात्मक और नकारात्मक (चित्र 3) के लिए समीकरण को हल करने के ग्राफिक चित्रण की कल्पना करें।

कार्यों के ग्राफ y \u003d ctg x और y \u003d के रूप में अच्छी तरह से

y \u003d ctg x और y \u003d -a

असीमित कई सामान्य बिंदु हैं जिनके फरार हैं:

एक्स \u003d एक्स 1 +, जहां एक्स 1 टेंगेंटोइड्स की मुख्य शाखा के साथ प्रत्यक्ष वाई \u003d ए के चौराहे का एब्रिसा बिंदु है और

x 1 \u003d arcstg a;

एक्स \u003d एक्स 2 +, जहां एक्स 2 चौराहे का एब्रिसा बिंदु है

y \u003d - और tangentzoids और x 2 \u003d arcstg (- ए) की मुख्य शाखा के साथ।

ध्यान दें कि x 2 \u003d π - x 1। तो हम महत्वपूर्ण समानता लिखते हैं:

aRCSTG (-a) \u003d π - ARCSTG A।

हम परिभाषा तैयार करते हैं: Arkkothangent A को अंतराल (0; π) से ऐसा नंबर कहा जाता है, जिसमें से घुटने वाला एक बराबर होता है।

सीटीजी समीकरण एक्स \u003d ए का समाधान फॉर्म में लिखा गया है: x \u003d arcstg ए +।

ध्यान दें कि CTG समीकरण x \u003d a को मन में परिवर्तित किया जा सकता है

अपवाद के लिए टीजी एक्स \u003d, जब ए \u003d 0।

सफलतापूर्वक निर्णय लेने के लिए त्रिकोणमितीय समीकरण इस्तेमाल करने में आसान विधि सूचनापहले हल किए गए कार्यों के लिए। आइए इसे समझें, इस विधि का सार क्या है?

किसी भी प्रस्तावित कार्य में, आपको पहले हल किए गए कार्य को देखने की आवश्यकता है, और फिर लगातार समकक्ष परिवर्तनों की मदद से, कार्य को सरल बनाने का प्रयास करें।

इस प्रकार, त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करते समय, वे आमतौर पर समकक्ष समीकरणों के कुछ सीमित अनुक्रम का गठन करते हैं, जिसका अंतिम लिंक एक स्पष्ट समाधान के समीकरण है। यह याद रखना महत्वपूर्ण है कि यदि सबसे सरल त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के कौशल का निर्माण नहीं किया गया है, तो अधिक जटिल समीकरणों का समाधान कठिन और अप्रभावी होगा।

इसके अलावा, त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के लिए हल करने के कई तरीकों के अस्तित्व की संभावना के बारे में कभी नहीं भुलाया जाना चाहिए।

उदाहरण 1. अंतराल पर सीओएस एक्स \u003d -1/2 समीकरण की जड़ों की संख्या पाएं।

फेसला:

मैं विधि। मैं y \u003d cos x और y \u003d -1/2 के कार्यों के ग्राफ को चित्रित करूंगा और हमें अंतराल (चित्र 1) पर उनके सामान्य बिंदुओं की संख्या मिलती है।

चूंकि कार्यों के आलेखों के अंतराल पर दो आम बिंदु होते हैं, समीकरण में दिए गए अंतराल पर दो जड़ें होती हैं।

II रास्ता। त्रिकोणमितीय सर्कल (चित्र 2) की मदद से, हमें उस अंतर से संबंधित बिंदुओं की संख्या पता है जिसमें सीओएस एक्स \u003d -1/2। चित्र दिखाता है कि समीकरण में दो जड़ें हैं।

Iii रास्ता। त्रिकोणमितीय समीकरण की जड़ों के सूत्र का लाभ लेना, सीओएस एक्स \u003d -1/2 समीकरण को हल करना।

एक्स \u003d ± आर्कोस (-1/2) + 2πk, के एक पूर्णांक (k € z) है;

एक्स \u003d ± (π - आर्कोस 1/2) + 2πk, के एक पूर्णांक (k € z) है;

x \u003d ± (π - π / 3) + 2πk, के एक पूर्णांक (k € z) है;

एक्स \u003d ± 2π / 3 + 2πk, के एक पूर्णांक (k € z) है।

अंतर जड़ 2π / 3 और -2π / 3 + 2π, के - एक पूर्णांक से संबंधित है। इस प्रकार, समीकरण में किसी दिए गए अंतराल पर दो जड़ें होती हैं।

उत्तर: 2।.

भविष्य में, त्रिकोणमितीय समीकरण प्रस्तावित विधियों में से एक द्वारा हल किए जाएंगे, जो कई मामलों में आवेदन और अन्य तरीकों को बाहर नहीं करते हैं।

उदाहरण 2. अंतराल पर टीजी समीकरण (एक्स + π / 4) \u003d 1 के समाधान की संख्या पाएं [-2π; 2π]।

फेसला:

त्रिकोणमितीय समीकरण की जड़ों के सूत्र का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं:

एक्स + π / 4 \u003d आर्कट्ज 1 + π के, के एक पूर्णांक (k € z) है;

एक्स + π / 4 \u003d π / 4 + πk, k एक पूर्णांक (k € z) है;

x \u003d πk, k एक पूर्णांक (k € z) है;

अंतराल [-2π; 2π] संख्या -2π से संबंधित है; -π; 0; π; 2π। इसलिए, समीकरण में दिए गए अंतराल पर पांच जड़ें हैं।

उत्तर: 5।

उदाहरण 3. अंतराल पर सीओएस 2 एक्स + पाप एक्स · कॉस एक्स \u003d 1 समीकरण की जड़ों की संख्या पाएं [-π; π]।

फेसला:

1 \u003d पाप 2 एक्स + कॉस 2 एक्स (मूल त्रिकोणमितीय पहचान) के बाद से, प्रारंभिक समीकरण फॉर्म लेता है:

कॉस 2 एक्स + पाप एक्स · कॉस एक्स \u003d पाप 2 एक्स + कॉस 2 एक्स;

पाप 2 एक्स - सिन एक्स · कॉस एक्स \u003d 0;

सिन एक्स (सिन एक्स - कॉस एक्स) \u003d 0. उत्पाद शून्य है, जिसका अर्थ है कि मल्टीप्लियर में से कम से कम एक शून्य होना चाहिए, इसलिए:

पाप x \u003d 0 या sin x - cos x \u003d 0।

वैरिएबल के मूल्य के बाद से जो कि x \u003d \u003d 0 दूसरे समीकरण की जड़ें नहीं है (उसी संख्या का साइनस और कोसाइन एक साथ शून्य नहीं हो सकता है), तो हम दोनों कोस एक्स पर दूसरे समीकरण के दोनों हिस्सों को विभाजित करते हैं:

पाप x \u003d 0 या sin x / cos x - 1 \u003d 0।

दूसरे समीकरण में, हम उस tg x \u003d sin x / cos x का उपयोग करते हैं, फिर:

पाप x \u003d 0 या tg x \u003d 1. सूत्रों की मदद से, हमारे पास है:

x \u003d πk या x \u003d π / 4 + πk, k एक पूर्णांक (k € z) है।

जड़ों की पहली श्रृंखला से, अंतराल [--π; π] संख्याएँ -π; 0; π। दूसरी श्रृंखला से: (π / 4 - π) और π / 4।

इस प्रकार, प्रारंभिक समीकरण की पांच जड़ें अंतराल से संबंधित हैं [-π; π]।

उत्तर: 5।

उदाहरण 4. अंतराल पर टीजी 2 एक्स + सीटीजी 2 एक्स + 3 टीजी एक्स + 3 एक्स + 3 टीजी एक्स + 3 सीटीजीएक्स + 4 \u003d 0 की जड़ों की मात्रा का पता लगाएं [-π; 1,1π]।

फेसला:

हम निम्नलिखित रूप में समीकरण को फिर से लिखते हैं:

टीजी 2 एक्स + सीटीजी 2 एक्स + 3 (टीजी एक्स + सीटीजीएक्स) + 4 \u003d 0 और एक प्रतिस्थापन करें।

टीजी एक्स + सीटीजीएक्स \u003d ए दें। समानता के दोनों हिस्सों को एक वर्ग में बनाया जाता है:

(टीजी एक्स + सीटीजी एक्स) 2 \u003d ए 2। याद रखें ब्रैकेट:

टीजी 2 एक्स + 2 टीजी एक्स · सीटीजीएक्स + सीटीजी 2 एक्स \u003d ए 2।

चूंकि टीजी एक्स · stgx \u003d 1, फिर टीजी 2 एक्स + 2 + सीटीजी 2 एक्स \u003d ए 2, और इसलिए

टीजी 2 एक्स + सीटीजी 2 एक्स \u003d ए 2 - 2।

अब प्रारंभिक समीकरण है:

एक 2 - 2 + 3 ए + 4 \u003d 0;

एक 2 + 3 ए + 2 \u003d 0. वीआईआईईटी प्रमेय की मदद से, हम इसे \u003d -1 या ए \u003d -2 प्राप्त करते हैं।

हम प्रतिस्थापन की जगह लेंगे, हमारे पास है:

टीजी एक्स + सीटीजीएक्स \u003d -1 या टीजी एक्स + सीटीजीएक्स \u003d -2। हम प्राप्त समीकरणों को हल करते हैं।

टीजी एक्स + 1 / टीजीएक्स \u003d -1 या टीजी एक्स + 1 / टीजीएक्स \u003d -2।

दो पारस्परिक रूप से रिवर्स नंबरों की संपत्ति से, हम यह निर्धारित करते हैं कि पहले समीकरण में जड़ें नहीं हैं, और दूसरे समीकरण से हमारे पास है:

टीजी एक्स \u003d -1, यानी x \u003d -π / 4 + πk, k एक पूर्णांक (k € z) है।

अंतराल [-π; 1,1π] जड़ों से संबंधित हैं: -π / 4; -इस / 4 + π। उनकी राशि:

-π / 4 + (-π / 4 + π) \u003d -π / 2 + π \u003d π / 2।

उत्तर: π / 2।

उदाहरण 5. अंतराल में पाप 3x + पाप x \u003d पाप 2x समीकरण की औसत अंकगणितीय जड़ें पाएं [-π; 0.5π]।

फेसला:

हम पाप α + sin β \u003d 2sin सूत्र ((α + β) / 2) · cos ((α - β) / 2) का उपयोग करते हैं), फिर

पाप 3x + sin x \u003d 2sin ((3x + x) / 2) · cos ((3x - x) / 2) \u003d 2sin 2x · कॉस एक्स और समीकरण दृश्य लेता है

2sin 2x · कॉस एक्स \u003d पाप 2x;

2sin 2x · कॉस एक्स - पाप 2x \u003d 0. मैं ब्रैकेट के लिए पाप 2x गुणक को सारांशित करूंगा

पाप 2x (2cos x - 1) \u003d 0. परिणामी समीकरण हल:

पाप 2x \u003d 0 या 2cos x - 1 \u003d 0;

पाप 2x \u003d 0 या cos x \u003d 1/2;

2x \u003d πk या x \u003d ± π / 3 + 2πk, k एक पूर्णांक (k € z) है।

तो हमारे पास जड़ें हैं

x \u003d πk / 2, x \u003d π / 3 + 2πk, x \u003d -π / 3 + 2πk, k एक पूर्णांक (k € z) है।

अंतराल [-π; 0,5π] जड़ों से संबंधित हैं-π; -π / 2; 0; π / 2 (जड़ों की पहली श्रृंखला से); π / 3 (दूसरी श्रृंखला से); -π / 3 (तीसरी श्रृंखला से)। उनके अंकगणितीय औसत है:

(-π - π / 2 + 0 + π / 2 + π / 3 - π / 3) / 6 \u003d -π / 6।

उत्तर: -π / 6।

उदाहरण 6. अंतराल पर SIN X + COS X \u003d 0 समीकरण की जड़ों की संख्या पाएं [-1.25π; 2π]।

फेसला:

यह समीकरण पहली डिग्री का एक सजातीय समीकरण है। हम दोनों भागों को सीओएसएक्स पर विभाजित करते हैं (चर का मान जिसमें कॉस एक्स \u003d 0 इस समीकरण की जड़ें नहीं है, क्योंकि उसी संख्या की साइनस और कोसाइन शून्य नहीं हो सकती है)। प्रारंभिक समीकरण में फॉर्म है:

x \u003d -π / 4 + πk, k एक पूर्णांक (k € z) है।

अंतराल [-1.25π; 2π] जड़ों से संबंधित- π / 4; (-π / 4 + π); और (-π / 4 + 2π)।

इस प्रकार, समीकरण की तीन जड़ निर्दिष्ट अंतर से संबंधित है।

उत्तर: 3।

सबसे महत्वपूर्ण बात करना सीखें - स्पष्ट रूप से समस्या को हल करने के लिए एक योजना का प्रतिनिधित्व करते हैं, और फिर किसी भी त्रिकोणमितीय समीकरण कंधे पर होगा।

कोई सवाल? ट्रिगोनोमेट्रिक समीकरणों को हल करने के बारे में नहीं जानते?
एक ट्यूटर सहायता प्राप्त करने के लिए - रजिस्टर करें।

साइट, मूल स्रोत के लिए सामग्री संदर्भ की पूर्ण या आंशिक प्रतिलिपि के साथ आवश्यक है।

आप अपने कार्य के लिए एक विस्तृत समाधान आदेश दे सकते हैं !!!

संकेत के तहत अज्ञात युक्त समानता त्रिकोणमितीय समारोह ('सिन एक्स, कॉस एक्स, टीजी एक्स' या 'सीटीजी एक्स') को त्रिकोणमितीय समीकरण कहा जाता है, हम उनके सूत्र हैं कि हम आगे विचार करेंगे।

सबसे सरल समीकरण `sin x \u003d a, cos x \u003d a, tg x \u003d a, ctg x \u003d a` कहा जाता है, जहां` x` `` `` - कोई भी संख्या है। हम उनमें से प्रत्येक फॉर्मूला जड़ों के लिए लिखते हैं।

1. समीकरण `sin x \u003d`।

`| ए |\u003e 1` के साथ समाधान नहीं है।

`| ए | \\ Leq 1` में समाधान की एक अनंत संख्या है।

फॉर्मूला रूट्स: `x \u003d (- 1) ^ n arcsin a + \\ pi n, n z`

2. समीकरण `cos x \u003d a`

`| A |\u003e 1` के साथ - साइनस के मामले में, के बीच समाधान वैध संख्या है कोई।

`| ए | \\ Leq 1` में अनंत सेट समाधान हैं।

सूत्र की जड़ें: `x \u003d \\ pm arccos a + 2 \\ pi n, n z`

चार्ट में साइनस और कोसाइन के लिए निजी मामले।

3. समीकरण `tg x \u003d a`

इसमें `ए` के किसी भी मूल्य के लिए समाधान का एक अनंत सेट है।

जड़ों का सूत्र: `x \u003d arctg a + \\ pi n, n z`

4. समीकरण `ctg x \u003d a`

इसमें `` `के किसी भी मान के लिए अनंत सेट समाधान भी हैं।

सूत्र की जड़ें: `x \u003d arcctg a + \\ pi n, n z` में

तालिका में त्रिकोणमितीय समीकरणों की जड़ों के सूत्र

साइनस के लिए:
कोसाइन के लिए:
टेंगेंट और कोटेंस के लिए:
उलटा त्रिकोणमितीय कार्यों वाले समीकरणों को हल करने के लिए सूत्र:

त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के तरीके

किसी भी त्रिकोणमितीय समीकरण के समाधान में दो चरण होते हैं:

• इसे सबसे सरल में परिवर्तित करके;
• जड़ें और तालिकाओं के उपरोक्त लिखित सूत्रों का उपयोग करके परिणामी सबसे सरल समीकरण को हल करने के लिए।

उदाहरणों पर समाधान के बुनियादी तरीकों पर विचार करें।

बीजगणितीय विधि।

इस विधि में, चर को प्रतिस्थापित किया जाता है और इसकी प्रतिस्थापन समानता में होता है।

उदाहरण। समीकरण हल करें: `2cos ^ 2 (x + \\ frac \\ pi 6) -3sin (\\ frac \\ pi 3 - x) + 1 \u003d 0` '

`2cos ^ 2 (x + \\ frac \\ pi 6) -3cos (x + \\ frac \\ pi 6) + 1 \u003d 0`

हम एक प्रतिस्थापन करते हैं: `cos (x + \\ frac \\ pi 6) \u003d y`, फिर '2y ^ 2-3y + 1 \u003d 0`,

हमें जड़ें मिलती हैं: `y_1 \u003d 1, y_2 \u003d 1/2, जिसमें से दो मामले का पालन करें:

1. `cos (x + \\ frac \\ pi 6) \u003d 1`,` x + \\ frac \\ pi 6 \u003d 2 \\ pi n`, `x_1 \u003d - \\ frac \\ pi 6 + 2 \\ pi n`।

2. `cos (x + \\ frac \\ pi 6) \u003d 1 / 2`,` x + \\ frac \\ pi 6 \u003d \\ pm arccos 1/2 + 2 \\ pi n`, `x_2 \u003d \\ pm \\ frac \\ pi 3- \\ frac \\ pi 6 + 2 \\ pi n`।

उत्तर: `x_1 \u003d - \\ frac \\ pi 6 + 2 \\ pi n`,` x_2 \u003d \\ pm \\ frac \\ pi 3- \\ frac \\ pi 6 + 2 \\ pi n`।

कारक।

उदाहरण। समीकरण हल करें: 'पाप एक्स + कॉस एक्स \u003d 1`।

फेसला। समानता के सभी सदस्यों को छोड़ दें: 'सिन एक्स + कॉस एक्स -1 \u003d 0`। उपयोग करके, हम बाएं हिस्से को बदल और विघटित करते हैं:

`सिन एक्स - 2sin ^ 2 x / 2 \u003d 0`

`2sin x / 2 cos x / 2-2sin ^ 2 x / 2 \u003d 0`

`2sin x / 2 (cos x / 2-sin x / 2) \u003d 0`

1. `पाप x / 2 \u003d 0`,` x / 2 \u003d \\ pi n`, `x_1 \u003d 2 \\ pi n`।
2. `कॉस एक्स / 2-सिन एक्स / 2 \u003d 0,` टीजी एक्स / 2 \u003d 1`, `x / 2 \u003d arctg 1+ \\ pi n`,` x / 2 \u003d \\ pi / 4 + \\ pi n`, `x_2 \u003d \\ pi / 2 + 2 \\ pi n`।

उत्तर: `x_1 \u003d 2 \\ pi n`,` x_2 \u003d \\ pi / 2 + 2 \\ pi n`।

एक सजातीय समीकरण के लिए

प्रारंभ में, इस त्रिकोणमितीय समीकरण को दो प्रकारों में से एक में लाया जाना चाहिए:

`एक पाप x + b cos x \u003d 0 (पहली डिग्री का सजातीय समीकरण) या 'एक पाप ^ 2 x + b sin x cos x + c cos ^ 2 x \u003d 0` (दूसरी डिग्री का सजातीय समीकरण)।

फिर दोनों भागों को `cos x \\ n 0` पर विभाजित करें - पहले मामले के लिए, और` cos ^ 2 x \\ ne 0` पर - दूसरे के लिए। हम टीजी एक्स 'के सापेक्ष समीकरण प्राप्त करते हैं: `एक टीजी एक्स + बी \u003d 0 और एक टीजी ^ 2 एक्स + बी टीजी एक्स + सी \u003d 0', जिसे आपको प्रसिद्ध तरीकों को हल करने की आवश्यकता है।

उदाहरण। समीकरण हल करें: `2 पाप ^ 2 x + sin x cos x - cos ^ 2 x \u003d 1`।

फेसला। हम `1 \u003d पाप ^ 2 x + cos ^ 2 x` के रूप में दाईं ओर लिखते हैं:

`2 पाप ^ 2 x + sin x cos x - cos ^ 2 x \u003d` `sin ^ 2 x + cos ^ 2 x`,

`2 पाप ^ 2 x + sin x cos x - cos ^ 2 x -` 'sin ^ 2 x - cos ^ 2 x \u003d 0`

`पाप ^ 2 x + sin x cos x - 2 cos ^ 2 x \u003d 0`।

यह दूसरी डिग्री का एक सजातीय त्रिकोणमितीय समीकरण है, हम `cos ^ 2 x \\ n 0` के लिए अपने बाएं और दाएं भागों को विभाजित करते हैं, हमें मिलता है:

`\\ Frac (पाप ^ 2 x) (cos ^ 2 x) + \\ frac (sin x cos x) (cos ^ 2 x) - \\ frac (2 cos ^ 2 x) (cos ^ 2 x) \u003d 0`

`Tg ^ 2 x + tg x - 2 \u003d 0`। हम टी ^ 2 + टी - 2 \u003d 0` के परिणामस्वरूप प्रतिस्थापन `टीजी एक्स \u003d टी 'पेश करते हैं। इस समीकरण की जड़ों: `T_1 \u003d -2` और` t_2 \u003d 1`। फिर:

1. `Tg x \u003d -2`,` x_1 \u003d arctg (-2) + \\ pi n`, `n z` z `
2. `Tg x \u003d 1`,` x \u003d arctg 1+ \\ pi n`, `x_2 \u003d \\ pi / 4 + \\ pi n`,` n `z` `` n `।

उत्तर। `x_1 \u003d arctg (-2) + \\ pi n`,` n \\ `z` `` x_2 \u003d \\ pi / 4 + \\ pi n`, `z` `` `` `` `` `` `` `` `` `` `` `` `` `` `` `` `` `` `n`

आधे कोने में संक्रमण

उदाहरण। समीकरण हल करें: `11 पाप एक्स - 2 कॉस एक्स \u003d 10`।

फेसला। परिणामस्वरूप डबल कोण सूत्र, परिणामस्वरूप: `22 पाप (x / 2) cos (x / 2) -`2 cos ^ 2 x / 2 + 2 पाप ^ 2 x / 2 \u003d` `10 sin ^ 2 x / 2 +10 कॉस ^ 2 एक्स / 2`

`4 टीजी ^ 2 एक्स / 2 - 11 टीजी एक्स / 2 + 6 \u003d 0`

ऊपर वर्णित बीजगणितीय विधि को लागू करना, हमें मिलता है:

1. `Tg x / 2 \u003d 2`,` x_1 \u003d 2 arctg 2 + 2 \\ pi n`, `` n `` `z`
2. `टीजी एक्स / 2 \u003d 3/4`,` x_2 \u003d arctg 3/4 + 2 \\ Pi n`, `` n `` `z`।

उत्तर। `x_1 \u003d 2 arctg 2 + 2 \\ pi n, n z`, `x_2 \u003d arctg 3/4 + 2 \\ pi n`,` n `` n `` `n`।

सहायक कोने का परिचय

त्रिकोणमितीय समीकरण `एक पाप x + b cos x \u003d c` में, जहां ए, बी, सी - गुणांक, और एक्स एक चर है, हम दोनों भागों को 'sqrt (^ 2 + b ^ 2) पर विभाजित करते हैं`:

`\\ Frac a (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) sin x +` `\\ frac b (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) cos x \u003d` `\\ frac c (sqrt (a ^ 2) + b ^ 2) ``।

बाएं हिस्से में गुणांक में साइनस और कोसाइन के गुण होते हैं, अर्थात् उनके वर्गों के बराबर 1 और उनके मॉड्यूल 1 से अधिक नहीं हैं। उन्हें निम्नानुसार अस्वीकार कर दिया गया है: `\\ frac a (sqrt (^ 2 + b ^ 2)) \u003d cos \\ varphi`, `\\ frac b (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) \u003d पाप \\ Varphi`,` \\ frac c (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) \u003d सी `, फिर:

`कॉस \\ Varphi sin x + sin \\ Varphi cos x \u003d c`।

आइए निम्नलिखित उदाहरण पर अधिक विस्तार से विचार करें:

उदाहरण। समीकरण हल करें: `3 पाप एक्स + 4 कॉस एक्स \u003d 2`।

फेसला। हम `sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2) पर समानता के दोनों हिस्सों को विभाजित करते हैं, हमें मिलता है:

`\\ Frac (3 sin x) (sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2)) +` `\\ frac (4 कॉस एक्स) (SQRT (3 ^ 2 + 4 ^ 2) \u003d` `\\ frac 2 (sqrt) (3 ^ 2 + 4 ^ 2) ``

`3/5 पाप एक्स + 4/5 कॉस एक्स \u003d 2 / 5`।

`3/5 \u003d cos \\ Varphi`,` 4/5 \u003d पाप \\ Varphi` द्वारा निरूपित। चूंकि 'पाप \\ Varphi\u003e 0, `cos \\ varphi\u003e 0, फिर एक सहायक कोण के रूप में,` \\ varphi \u003d arcsin 4/5` ले लो। फिर हमारी समानता फॉर्म में लिख जाएगी:

`Cos \\ varphi sin x + sin \\ varphi cos x \u003d 2 / 5`

साइनस के लिए कोनों के योग का योग लागू करके, हम निम्नलिखित रूप में हमारी समानता लिखते हैं:

`पाप (x + \\ Varphi) \u003d 2 / 5`

`X + \\ Varphi \u003d (- 1) ^ n arcsin 2/5 + \\ pi n`,` n `` n `z`

`X \u003d (- 1) ^ n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5 + \\ pi n`,` n `z`।

उत्तर। `X \u003d (- 1) ^ n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5 + \\ pi n`,` n `z`।

आंशिक-तर्कसंगत त्रिकोणमितीय समीकरण

ये अंशों के साथ समानता हैं, संख्यात्मक और संप्रदायों में जिनमें से त्रिकोणमितीय कार्य होते हैं।

उदाहरण। समीकरण हल करें। `\\ Frac (sin x) (1 + cos x) \u003d 1-cos x`।

फेसला। `(1 + कॉस एक्स) पर समानता के दाहिने हाथ को गुणा करें और विभाजित करें। नतीजतन, हमें मिलता है:

`\\ Frac (sin x) (1 + cos x) \u003d` `\\ frac ((1-cos x) (1 + cos x)) (1 + cos x)`

`\\ Frac (sin x) (1 + cos x) \u003d` `\\ frac (1-cos ^ 2 x) (1 + cos x)`

`\\ Frac (sin x) (1 + cos x) \u003d` `\\ frac (पाप ^ 2 x) (1 + cos x)`

`\\ Frac (sin x) (1 + cos x) -` \\ frac (पाप ^ 2 x) (1 + cos x) \u003d 0`

`\\ Frac (पाप x-sin ^ 2 x) (1 + cos x) \u003d 0`

यह मानते हुए कि denominator शून्य होने के बराबर है, हमें `1 + cos x \\ ne 0,` cos x \\ ne -1`, `x \\ ne \\ pi + 2 \\ pi n, n z` में मिलता है।

हम शून्य संख्या को शून्य करने के बराबर होते हैं: 'पाप एक्स-पाप ^ 2 x \u003d 0`,' पाप x (1-sin x) \u003d 0`। फिर 'पाप x \u003d 0` या` 1-sin x \u003d 0`।

1. `पाप x \u003d 0`,` x \u003d \\ pi n`, `n` z `
2. `1-sin x \u003d 0`,` sin x \u003d -1`, `x \u003d \\ pi / 2 + 2 \\ pi n, n z` में।

यह देखते हुए कि `x \\ ne \\ pi + 2 \\ pi n, n z` में, समाधान `x \u003d 2 \\ pi n, n \\ z` `` x \u003d \\ pi / 2 + 2 \\ pi n` , `एन \\ z` में।

उत्तर। `x \u003d 2 \\ pi n`,` `n \\` `x \u003d \\ pi / 2 + 2 \\ pi n`,` n `` `` `` `n`।

त्रिकोणमिति, और विशेष रूप से त्रिकोणमितीय समीकरण, ज्यामिति, भौतिकी, इंजीनियरिंग के लगभग सभी क्षेत्रों में उपयोग किया जाता है। 10 वीं कक्षा में अध्ययन शुरू होता है, परीक्षा के लिए कार्य आवश्यक रूप से मौजूद होते हैं, इसलिए त्रिकोणमितीय समीकरणों के सभी सूत्रों को याद रखने की कोशिश करें - वे निश्चित रूप से आपको उपयोग करेंगे!

हालांकि, उन्हें याद रखना जरूरी नहीं है, मुख्य बात सार को समझना है, और वापस लेने में सक्षम होना चाहिए। ऐसा लगता है कि यह मुश्किल नहीं है। वीडियो देखना सुनिश्चित करें।