त्रिकोणमिति सूत्र cos2x। त्रिकोणमिति के सभी सूत्र. त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने की विधियाँ

मूल त्रिकोणमिति सूत्र वे सूत्र हैं जो मूल त्रिकोणमितीय कार्यों के बीच संबंध स्थापित करते हैं। साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कोटैंजेंट कई रिश्तों से जुड़े हुए हैं। नीचे हम मुख्य त्रिकोणमितीय सूत्र प्रस्तुत करते हैं, और सुविधा के लिए हम उन्हें उद्देश्य के अनुसार समूहित करेंगे। इन सूत्रों का उपयोग करके आप मानक त्रिकोणमिति पाठ्यक्रम से लगभग किसी भी समस्या को हल कर सकते हैं। आइए तुरंत ध्यान दें कि नीचे केवल स्वयं सूत्र हैं, न कि उनके निष्कर्ष, जिन पर अलग-अलग लेखों में चर्चा की जाएगी।

त्रिकोणमिति की बुनियादी पहचान

त्रिकोणमितीय पहचान एक कोण के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के बीच एक संबंध प्रदान करती है, जिससे एक फ़ंक्शन को दूसरे के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है।

त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ

पाप 2 ए + कॉस 2 ए = 1 टी जी α = पाप α क्योंकि α, सी टी जी α = कॉस α पाप α टी जी α सी टी जी α = 1 टी जी 2 α + 1 = 1 कॉस 2 α, सी टी जी 2 α + 1 = 1 पाप 2 α

ये पहचान सीधे यूनिट सर्कल, साइन (sin), कोसाइन (cos), टेंगेंट (tg) और कोटैंजेंट (ctg) की परिभाषाओं का अनुसरण करती हैं।

न्यूनीकरण सूत्र

कटौती सूत्र आपको मनमाने ढंग से और मनमाने ढंग से बड़े कोणों के साथ काम करने से लेकर 0 से 90 डिग्री तक के कोणों के साथ काम करने की अनुमति देते हैं।

न्यूनीकरण सूत्र

पाप α + 2 π z = पाप α, क्योंकि α + 2 π z = cos α t g α + 2 π z = t g α, c t g α + 2 π z = c t g α पाप - α + 2 π z = - पाप α, cos - α + 2 π z = cos α t g - α + 2 π z = - t g α , c t g - α + 2 π z = - c t g α syn π 2 + α + 2 π z = cos α , cos π 2 + α + 2 π z = - पाप α t g π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g π 2 + α + 2 π z = - t g α पाप π 2 - α + 2 π z = cos α , cos π 2 - α + 2 π z = पाप α t g π 2 - α + 2 π z = c t g α, c t g π 2 - α + 2 π z = t g α पाप π + α + 2 π z = - पाप α, cos π + α + 2 π z = - cos α t g π + α + 2 π z = t g α , c t g π + α + 2 π z = c t g α पाप π - α + 2 π z = पाप α , cos π - α + 2 π z = - cos α t g π - α + 2 π z = - t g α, c t g π - α + 2 π z = - c t g α पाप 3 π 2 + α + 2 π z = - cos α, cos 3 π 2 + α + 2 π z = पाप α t g 3 π 2 + α + 2 π z = - c t g α, c t g 3 π 2 + α + 2 π z = - t g α पाप 3 π 2 - α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 - α + 2 π z = - पाप α t g 3 π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g 3 π 2 - α + 2 π z = t g α

न्यूनीकरण सूत्र त्रिकोणमितीय कार्यों की आवधिकता का परिणाम हैं।

त्रिकोणमितीय जोड़ सूत्र

त्रिकोणमिति में योग सूत्र आपको कोणों के योग या अंतर के त्रिकोणमितीय फलन को के रूप में व्यक्त करने की अनुमति देते हैं त्रिकोणमितीय कार्यये कोण.

त्रिकोणमितीय जोड़ सूत्र

पाप α ± β = पाप α · क्योंकि β ± क्योंकि α · पाप β क्योंकि α + β = क्योंकि α · क्योंकि β - पाप α · पाप β क्योंकि α - β = क्योंकि α · क्योंकि β + पाप α · पाप β टी जी α ± β = t g α ± t g β 1 ± t g α t g β c t g α ± β = - 1 ± c t g α c t g β c t g α ± c t g β

योग सूत्रों के आधार पर अनेक कोणों के लिए त्रिकोणमितीय सूत्र निकाले जाते हैं।

एकाधिक कोणों के लिए सूत्र: दोहरा, तिगुना, आदि।

डबल और ट्रिपल कोण सूत्र

पाप 2 α = 2 · पाप α · cos α cos 2 α = cos 2 α - पाप 2 α, cos 2 α = 1 - 2 पाप 2 α, cos 2 α = 2 cos 2 α - 1 t g 2 α = 2 · टी जी α 1 - टी जी 2 α के साथ टी जी 2 α = टी जी 2 α के साथ - 1 2 · टी जी α के साथ पाप 3 α = 3 पाप α · कॉस 2 α - पाप 3 α, पाप 3 α = 3 पाप α - 4 पाप 3 α cos 3 α = cos 3 α - 3 syn 2 α · cos α , cos 3 α = - 3 cos α + 4 cos 3 α t g 3 α = 3 t g α - t g 3 α 1 - 3 t g 2 α c t g 3 α = सी टी जी 3 α - 3 सी टी जी α 3 सी टी जी 2 α - 1

अर्धकोण सूत्र

त्रिकोणमिति में अर्ध-कोण सूत्र दोहरे-कोण सूत्रों का परिणाम हैं और अर्ध-कोण के मूल कार्यों और पूरे कोण की कोज्या के बीच संबंध को व्यक्त करते हैं।

अर्धकोण सूत्र

पाप 2 α 2 = 1 - कॉस α 2 कॉस 2 α 2 = 1 + कॉस α 2 टी जी 2 α 2 = 1 - कॉस α 1 + कॉस α सी टी जी 2 α 2 = 1 + कॉस α 1 - कॉस α

डिग्री कम करने के सूत्र

डिग्री कम करने के सूत्र

पाप 2 α = 1 - कॉस 2 α 2 कॉस 2 α = 1 + कॉस 2 α 2 पाप 3 α = 3 पाप α - पाप 3 α 4 कॉस 3 α = 3 कॉस α + कॉस 3 α 4 पाप 4 α = 3 - 4 cos 2 α + cos 4 α 8 cos 4 α = 3 + 4 cos 2 α + cos 4 α 8

गणना करते समय बोझिल शक्तियों के साथ काम करना अक्सर असुविधाजनक होता है। डिग्री में कमी के सूत्र आपको त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन की डिग्री को मनमाने ढंग से बड़े से पहले तक कम करने की अनुमति देते हैं। यहाँ उनका सामान्य दृष्टिकोण है:

डिग्री कम करने के फ़ार्मुलों का सामान्य दृश्य

सम n के लिए

पाप एन α = सी एन 2 एन 2 एन + 1 2 एन - 1 ∑ के = 0 एन 2 - 1 (- 1) एन 2 - के · सी के एन · कॉस ((एन - 2 के) α) कॉस एन α = सी एन 2 एन 2 एन + 1 2 एन - 1 ∑ के = 0 एन 2 - 1 सी के एन कॉस ((एन - 2 के) α)

विषम n के लिए

पाप एन α = 1 2 एन - 1 ∑ के = 0 एन - 1 2 (- 1) एन - 1 2 - के सी के एन पाप ((एन - 2 के) α) क्योंकि एन α = 1 2 एन - 1 ∑ के = 0 n - 1 2 C k n cos ((n - 2 k) α)

त्रिकोणमितीय फलनों का योग और अंतर

त्रिकोणमितीय फलनों के अंतर और योग को उत्पाद के रूप में दर्शाया जा सकता है। हल करते समय साइन और कोसाइन के गुणनखंडन का उपयोग करना बहुत सुविधाजनक है त्रिकोणमितीय समीकरणऔर अभिव्यक्ति को सरल बनाना।

त्रिकोणमितीय फलनों का योग और अंतर

सिन α + सिन β = 2 सिन α + β 2 कॉस α - β 2 सिन α - सिन β = 2 सिन α - β 2 कॉस α + β 2 कॉस α + कॉस β = 2 कॉस α + β 2 कॉस α - β 2 कॉस α - कॉस β = - 2 सिन α + β 2 सिन α - β 2, कॉस α - कॉस β = 2 सिन α + β 2 सिन β - α 2

त्रिकोणमितीय फलनों का गुणनफल

यदि कार्यों के योग और अंतर के सूत्र किसी को उनके उत्पाद तक जाने की अनुमति देते हैं, तो त्रिकोणमितीय कार्यों के उत्पाद के सूत्र विपरीत संक्रमण करते हैं - उत्पाद से योग तक। कोसाइन द्वारा साइन, कोसाइन और साइन के गुणनफल के सूत्रों पर विचार किया जाता है।

त्रिकोणमितीय कार्यों के उत्पाद के लिए सूत्र

पाप α · पाप β = 1 2 · (cos (α - β) - cos (α + β)) cos α · cos β = 1 2 · (cos (α - β) + cos (α + β)) पाप α cos β = 1 2 (sin (α - β) + पाप (α + β))

सार्वभौमिक त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन

सभी बुनियादी त्रिकोणमितीय फलन - साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट - को आधे कोण की स्पर्शरेखा के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

सार्वभौमिक त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन

पाप α = 2 t g α 2 1 + t g 2 α 2 cos α = 1 - t g 2 α 2 1 + t g 2 α 2 t g α = 2 t g α 2 1 - t g 2 α 2 c t g α = 1 - t g 2 α 2 2 टी जी α 2

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त्रिकोणमितीय रूपांतरण करते समय, इन युक्तियों का पालन करें:

1. प्रारंभ से अंत तक उदाहरण का तुरंत कोई समाधान निकालने का प्रयास न करें।
2. संपूर्ण उदाहरण को एक बार में परिवर्तित करने का प्रयास न करें. छोटे-छोटे कदम आगे बढ़ाएँ।
3. याद रखें कि त्रिकोणमिति में त्रिकोणमितीय सूत्रों के अलावा, आप अभी भी सभी निष्पक्ष बीजगणितीय परिवर्तनों (ब्रैकेटिंग, संक्षिप्त अंश, संक्षिप्त गुणन सूत्र, और इसी तरह) का उपयोग कर सकते हैं।
4. यकीन मानिए सब कुछ ठीक हो जाएगा.

बुनियादी त्रिकोणमितीय सूत्र

त्रिकोणमिति में अधिकांश सूत्र अक्सर दाएँ से बाएँ और बाएँ से दाएँ दोनों जगह उपयोग किए जाते हैं, इसलिए आपको इन सूत्रों को इतनी अच्छी तरह से सीखने की ज़रूरत है कि आप कुछ सूत्रों को दोनों दिशाओं में आसानी से लागू कर सकें। आइए सबसे पहले त्रिकोणमितीय फलनों की परिभाषाएँ लिखें। उसको रहनो दो सही त्रिकोण:

फिर, साइन की परिभाषा:

कोसाइन की परिभाषा:

स्पर्शरेखा परिभाषा:

कोटैंजेंट की परिभाषा:

मूल त्रिकोणमितीय पहचान:

बुनियादी त्रिकोणमितीय पहचान से सबसे सरल परिणाम:

द्विकोण सूत्र.दोहरे कोण की ज्या:

दोहरे कोण की कोज्या:

दोहरे कोण की स्पर्शरेखा:

दोहरे कोण का कोटैंजेंट:

अतिरिक्त त्रिकोणमितीय सूत्र

त्रिकोणमितीय जोड़ सूत्र.योग की ज्या:

अंतर की ज्या:

योग की कोज्या:

अंतर की कोज्या:

योग का स्पर्शरेखा:

अंतर का स्पर्शरेखा:

राशि का कोटैंजेंट:

अंतर का कोटैंजेंट:

किसी राशि को उत्पाद में बदलने के लिए त्रिकोणमितीय सूत्र।ज्याओं का योग:

साइन अंतर:

कोसाइन का योग:

कोसाइन का अंतर:

स्पर्शरेखाओं का योग:

स्पर्शरेखा अंतर:

कोटैंजेंट का योग:

कोटैंजेंट अंतर:

किसी उत्पाद को योग में बदलने के लिए त्रिकोणमितीय सूत्र।साइन का उत्पाद:

साइन और कोसाइन का उत्पाद:

कोसाइन का उत्पाद:

डिग्री कम करने के सूत्र.

अर्धकोण सूत्र.

त्रिकोणमितीय कमी सूत्र

कोज्या फलन कहलाता है सहकार्यसाइन फ़ंक्शन और इसके विपरीत। इसी प्रकार, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट फलन सह-कार्य हैं। कटौती सूत्र निम्नलिखित नियम के रूप में तैयार किए जा सकते हैं:

• यदि कटौती सूत्र में 90 डिग्री या 270 डिग्री से एक कोण घटाया (जोड़ा) जाता है, तो घटा हुआ फलन सह-कार्य में बदल जाता है;
• यदि न्यूनीकरण सूत्र में कोण को 180 डिग्री या 360 डिग्री से घटाया (जोड़ा) जाता है, तो घटे हुए फ़ंक्शन का नाम बरकरार रहता है;
• इस मामले में, यदि हम घटाए गए (जोड़े गए) कोण को तीव्र मानते हैं, तो संबंधित चतुर्थांश में कम किए गए (यानी, मूल) फ़ंक्शन का चिह्न कम किए गए फ़ंक्शन के सामने रखा जाता है।

न्यूनीकरण सूत्रतालिका के रूप में दिए गए हैं:

द्वारा त्रिकोणमितीय वृत्त त्रिकोणमितीय कार्यों के सारणीबद्ध मान निर्धारित करना आसान:

त्रिकोणमितीय समीकरण

एक निश्चित त्रिकोणमितीय समीकरण को हल करने के लिए, इसे सबसे सरल त्रिकोणमितीय समीकरणों में से एक में घटाया जाना चाहिए, जिसकी चर्चा नीचे की जाएगी। इसके लिए:

• आप ऊपर दिए गए त्रिकोणमितीय सूत्रों का उपयोग कर सकते हैं। साथ ही, आपको पूरे उदाहरण को एक बार में बदलने की कोशिश करने की ज़रूरत नहीं है, बल्कि आपको छोटे-छोटे चरणों में आगे बढ़ने की ज़रूरत है।
• हमें बीजगणितीय तरीकों का उपयोग करके कुछ अभिव्यक्ति को बदलने की संभावना के बारे में नहीं भूलना चाहिए, यानी। उदाहरण के लिए, कोष्ठक से कुछ निकालें या, इसके विपरीत, कोष्ठक खोलें, भिन्न को कम करें, संक्षिप्त गुणन सूत्र लागू करें, भिन्न को एक सामान्य हर में लाएँ, इत्यादि।
• त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करते समय, आप इसका उपयोग कर सकते हैं समूहीकरण विधि. यह याद रखना चाहिए कि कई कारकों का उत्पाद शून्य के बराबर होने के लिए, यह पर्याप्त है कि उनमें से कोई भी शून्य के बराबर हो, और बाकी अस्तित्व में थे.
• को लागू करने परिवर्तनीय प्रतिस्थापन विधि, हमेशा की तरह, प्रतिस्थापन शुरू करने के बाद समीकरण सरल हो जाना चाहिए और इसमें मूल चर शामिल नहीं होना चाहिए। आपको रिवर्स रिप्लेसमेंट करना भी याद रखना होगा।
• याद रखें कि सजातीय समीकरण अक्सर त्रिकोणमिति में दिखाई देते हैं।
• मॉड्यूल खोलते समय या त्रिकोणमितीय कार्यों के साथ अपरिमेय समीकरणों को हल करते समय, आपको सामान्य कार्यों के साथ संबंधित समीकरणों को हल करने की सभी सूक्ष्मताओं को याद रखने और ध्यान में रखने की आवश्यकता होती है।
• ODZ के बारे में याद रखें (त्रिकोणमितीय समीकरणों में, ODZ पर प्रतिबंध मुख्य रूप से इस तथ्य पर आते हैं कि आप शून्य से विभाजित नहीं कर सकते हैं, लेकिन अन्य प्रतिबंधों के बारे में मत भूलिए, विशेष रूप से तर्कसंगत शक्तियों में और यहां तक ​​​​कि शक्तियों की जड़ों के तहत अभिव्यक्तियों की सकारात्मकता के बारे में)। यह भी याद रखें कि साइन और कोसाइन का मान केवल माइनस वन से प्लस वन तक की सीमा में हो सकता है।

मुख्य बात यह है कि, यदि आप नहीं जानते कि क्या करना है, तो कम से कम कुछ करें, और मुख्य बात यह है कि त्रिकोणमितीय सूत्रों का सही ढंग से उपयोग करें। यदि आपको जो मिलता है वह बेहतर से बेहतर हो जाता है, तो समाधान जारी रखें, और यदि यह बदतर हो जाता है, तो शुरुआत में वापस जाएं और अन्य सूत्र लागू करने का प्रयास करें, ऐसा तब तक करें जब तक आपको सही समाधान न मिल जाए।

सरलतम त्रिकोणमितीय समीकरणों के समाधान के लिए सूत्र।साइन के लिए समाधान लिखने के दो समकक्ष रूप हैं:

अन्य त्रिकोणमितीय कार्यों के लिए, अंकन स्पष्ट है। कोसाइन के लिए:

स्पर्शरेखा के लिए:

कोटैंजेंट के लिए:

कुछ विशेष मामलों में त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करना:

भौतिकी में सभी सूत्र और नियम, और गणित में सूत्र और विधियाँ सीखें। वास्तव में, यह करना भी बहुत आसान है; भौतिकी में केवल लगभग 200 आवश्यक सूत्र हैं, और गणित में तो इससे भी कम। इनमें से प्रत्येक विषय में जटिलता के बुनियादी स्तर की समस्याओं को हल करने के लिए लगभग एक दर्जन मानक तरीके हैं, जिन्हें सीखा भी जा सकता है, और इस प्रकार, अधिकांश सीटी को सही समय पर पूरी तरह से स्वचालित रूप से और बिना किसी कठिनाई के हल किया जा सकता है। इसके बाद आपको केवल सबसे कठिन कार्यों के बारे में ही सोचना होगा।

भौतिकी और गणित में रिहर्सल परीक्षण के सभी तीन चरणों में भाग लें। दोनों विकल्पों पर निर्णय लेने के लिए प्रत्येक आरटी पर दो बार जाया जा सकता है। फिर से, सीटी पर, समस्याओं को जल्दी और कुशलता से हल करने की क्षमता, और सूत्रों और विधियों के ज्ञान के अलावा, आपको समय की उचित योजना बनाने, बलों को वितरित करने और सबसे महत्वपूर्ण बात, उत्तर फॉर्म को सही ढंग से भरने में भी सक्षम होना चाहिए, बिना उत्तरों और समस्याओं की संख्या, या अपने स्वयं के अंतिम नाम को भ्रमित करना। इसके अलावा, आरटी के दौरान, समस्याओं में प्रश्न पूछने की शैली की आदत डालना महत्वपूर्ण है, जो डीटी में एक अप्रस्तुत व्यक्ति के लिए बहुत असामान्य लग सकता है।

इन तीन बिंदुओं का सफल, मेहनती और जिम्मेदार कार्यान्वयन, साथ ही अंतिम प्रशिक्षण परीक्षणों का जिम्मेदार अध्ययन, आपको सीटी में एक उत्कृष्ट परिणाम दिखाने की अनुमति देगा, जो कि आपकी क्षमता की अधिकतम सीमा है।

कोई गलती मिली?

यदि आपको लगता है कि आपको इसमें कोई त्रुटि मिली है शिक्षण सामग्री, तो कृपया इसके बारे में ईमेल द्वारा लिखें ()। पत्र में, विषय (भौतिकी या गणित), विषय या परीक्षण का नाम या संख्या, समस्या की संख्या, या पाठ (पृष्ठ) में वह स्थान इंगित करें जहां, आपकी राय में, कोई त्रुटि है। यह भी बताएं कि संदिग्ध त्रुटि क्या है। आपके पत्र पर किसी का ध्यान नहीं जाएगा, त्रुटि को या तो ठीक कर दिया जाएगा, या आपको समझाया जाएगा कि यह त्रुटि क्यों नहीं है।

यह समस्या B11 को हल करने के लिए आवश्यक अंतिम और सबसे महत्वपूर्ण पाठ है। हम पहले से ही जानते हैं कि कोणों को रेडियन से डिग्री में कैसे बदला जाता है (पाठ देखें " कोण की रेडियन और डिग्री माप"), और हम यह भी जानते हैं कि समन्वय क्वार्टरों पर ध्यान केंद्रित करते हुए त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन का चिह्न कैसे निर्धारित किया जाए (पाठ देखें " त्रिकोणमितीय फलनों के लक्षण »).

केवल फ़ंक्शन के मान की गणना करना बाकी है - वही संख्या जो उत्तर में लिखी गई है। यहीं पर बुनियादी त्रिकोणमितीय पहचान बचाव में आती है।

मूल त्रिकोणमितीय पहचान. किसी भी कोण α के लिए निम्नलिखित कथन सत्य है:

पाप 2 α + cos 2 α = 1.

यह सूत्र एक कोण की ज्या और कोज्या से संबंधित है। अब, ज्या को जानकर, हम आसानी से कोज्या ज्ञात कर सकते हैं - और इसके विपरीत। यह वर्गमूल लेने के लिए पर्याप्त है:

जड़ों के सामने "±" चिन्ह पर ध्यान दें। तथ्य यह है कि मूल त्रिकोणमितीय पहचान से यह स्पष्ट नहीं है कि मूल साइन और कोसाइन क्या थे: सकारात्मक या नकारात्मक। आख़िरकार, चुकता करना - यहां तक ​​कि समारोह, जो सभी नुकसानों (यदि कोई हो) को "जल" देता है।

यही कारण है कि सभी समस्याओं बी11 में, जो गणित में एकीकृत राज्य परीक्षा में पाई जाती हैं, आवश्यक रूप से अतिरिक्त शर्तें हैं जो संकेतों के साथ अनिश्चितता से छुटकारा पाने में मदद करती हैं। आमतौर पर यह समन्वय तिमाही का एक संकेत है, जिसके द्वारा संकेत निर्धारित किया जा सकता है।

एक चौकस पाठक शायद पूछेगा: "स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के बारे में क्या?" उपरोक्त सूत्रों से इन कार्यों की सीधे गणना करना असंभव है। हालाँकि, बुनियादी त्रिकोणमितीय पहचान के महत्वपूर्ण परिणाम हैं, जिनमें पहले से ही स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट शामिल हैं। अर्थात्:

एक महत्वपूर्ण परिणाम: किसी भी कोण α के लिए, मूल त्रिकोणमितीय पहचान को निम्नानुसार फिर से लिखा जा सकता है:

ये समीकरण मुख्य पहचान से आसानी से प्राप्त होते हैं - यह दोनों पक्षों को cos 2 α (स्पर्शरेखा प्राप्त करने के लिए) या पाप 2 α (कोटैंजेंट प्राप्त करने के लिए) से विभाजित करने के लिए पर्याप्त है।

आइए इस सब को विशिष्ट उदाहरणों से देखें। नीचे वास्तविक B11 समस्याएँ दी गई हैं जो नकली समस्याओं से ली गई हैं एकीकृत राज्य परीक्षा विकल्पगणित में 2012.

हम कोसाइन को जानते हैं, लेकिन हम साइन को नहीं जानते। मुख्य त्रिकोणमितीय पहचान (अपने "शुद्ध" रूप में) केवल इन कार्यों को जोड़ती है, इसलिए हम इसके साथ काम करेंगे। हमारे पास है:

पाप 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ पाप 2 α + 99/100 = 1 ⇒ पाप 2 α = 1/100 ⇒ पाप α = ±1/10 = ±0.1.

समस्या को हल करने के लिए, साइन का चिन्ह ढूंढना बाकी है। चूँकि कोण α ∈ (π /2; π ), तो डिग्री माप में इसे इस प्रकार लिखा जाता है: α ∈ (90°; 180°)।

नतीजतन, कोण α II समन्वय तिमाही में स्थित है - वहां सभी साइन सकारात्मक हैं। इसलिए पाप α = 0.1.

तो, हम ज्या को जानते हैं, लेकिन हमें कोज्या ज्ञात करने की आवश्यकता है। ये दोनों कार्य मूल त्रिकोणमितीय पहचान में हैं। आइए स्थानापन्न करें:

पाप 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ 3/4 + cos 2 α = 1 ⇒ cos 2 α = 1/4 ⇒ cos α = ±1/2 = ±0.5.

यह अंश के सामने चिह्न से निपटना बाकी है। क्या चुनें: प्लस या माइनस? शर्त के अनुसार, कोण α अंतराल (π 3π /2) से संबंधित है। आइए कोणों को रेडियन माप से डिग्री में बदलें - हमें मिलता है: α ∈ (180°; 270°)।

जाहिर है, यह III समन्वय तिमाही है, जहां सभी कोसाइन नकारात्मक हैं। इसलिए cos α = −0.5.

काम। यदि निम्नलिखित ज्ञात हो तो tan α ज्ञात कीजिए:

स्पर्शरेखा और कोज्या मूल त्रिकोणमितीय पहचान से निम्नलिखित समीकरण से संबंधित हैं:

हमें मिलता है: tan α = ±3. स्पर्शरेखा का चिन्ह कोण α द्वारा निर्धारित होता है। यह ज्ञात है कि α ∈ (3π /2; 2π ). आइए कोणों को रेडियन माप से डिग्री में बदलें - हमें α ∈ (270°; 360°) मिलता है।

जाहिर है, यह IV समन्वय तिमाही है, जहां सभी स्पर्श रेखाएं नकारात्मक हैं। इसलिए tan α = −3.

काम। यदि निम्नलिखित ज्ञात हो तो cos α ज्ञात कीजिए:

पुनः ज्या ज्ञात है और कोज्या अज्ञात है। आइए हम मुख्य त्रिकोणमितीय पहचान लिखें:

पाप 2 α + कॉस 2 α = 1 ⇒ 0.64 + कॉस 2 α = 1 ⇒ कॉस 2 α = 0.36 ⇒ कॉस α = ±0.6।

चिन्ह कोण से निर्धारित होता है। हमारे पास है: α ∈ (3π /2; 2π ). आइए कोणों को डिग्री से रेडियन में बदलें: α ∈ (270°; 360°) IV समन्वय तिमाही है, वहां कोसाइन सकारात्मक हैं। इसलिए, cos α = 0.6.

काम। यदि निम्नलिखित ज्ञात हो तो पाप α ज्ञात कीजिए:

आइए हम एक सूत्र लिखें जो मूल त्रिकोणमितीय पहचान का अनुसरण करता है और सीधे साइन और कोटैंजेंट को जोड़ता है:

यहां से हमें वह पाप 2 α = 1/25, यानी मिलता है। पाप α = ±1/5 = ±0.2. यह ज्ञात है कि कोण α ∈ (0; π /2). डिग्री माप में, इसे इस प्रकार लिखा जाता है: α ∈ (0°; 90°) - मैं तिमाही का समन्वय करता हूं।

तो, कोण I निर्देशांक चतुर्थांश में है - वहां सभी त्रिकोणमितीय फलन सकारात्मक हैं, इसलिए पाप α = 0.2।