Alfombra de expectativas. Valor esperado. Propiedades más simples de la expectativa matemática

Características de DSV y sus propiedades. Expectativa matemática, varianza, desviación estándar

La ley de distribución caracteriza completamente la variable aleatoria. Sin embargo, cuando es imposible encontrar la ley de distribución, o esto no es necesario, uno puede limitarse a encontrar valores, llamados características numéricas de una variable aleatoria. Estos valores determinan algún valor promedio alrededor del cual se agrupan los valores de una variable aleatoria y el grado de su dispersión alrededor de este valor promedio.

Expectativa matemática Una variable aleatoria discreta es la suma de los productos de todos los valores posibles de una variable aleatoria por sus probabilidades.

La expectativa matemática existe si la serie del lado derecho de la igualdad converge absolutamente.

Desde el punto de vista de la probabilidad, podemos decir que la expectativa matemática es aproximadamente igual a la media aritmética de los valores observados de una variable aleatoria.

Ejemplo. Se conoce la ley de distribución de una variable aleatoria discreta. Encuentre el valor esperado.

X
pag	0.2	0.3	0.1	0.4

Solución:

9.2 Propiedades de la expectativa matemática

1. La expectativa matemática de un valor constante es igual al más constante.

2. El factor constante se puede sacar más allá del signo de la expectativa matemática.

3. La expectativa matemática del producto de dos variables aleatorias independientes es igual al producto de sus expectativas matemáticas.

Esta propiedad es válida para un número arbitrario de variables aleatorias.

4. La expectativa matemática de la suma de dos variables aleatorias es igual a la suma de las expectativas matemáticas de los términos.

Esta propiedad también es válida para un número arbitrario de variables aleatorias.

Dejemos que se realicen n pruebas independientes, la probabilidad de que ocurra el evento A en el que es igual ap.

Teorema. La expectativa matemática M (X) del número de ocurrencia del evento A en n ensayos independientes es igual al producto del número de ensayos y la probabilidad de ocurrencia del evento en cada ensayo.

Ejemplo. Encuentre la expectativa matemática de una variable aleatoria Z si se conocen las expectativas matemáticas de X e Y: M (X) = 3, M (Y) = 2, Z = 2X + 3Y.

Solución:

9.3 Dispersión de una variable aleatoria discreta

Sin embargo, la expectativa matemática no puede caracterizar completamente un proceso aleatorio. Además de la expectativa matemática, es necesario ingresar un valor que caracterice la desviación de los valores de la variable aleatoria de la expectativa matemática.

Esta desviación es igual a la diferencia entre la variable aleatoria y su expectativa matemática. En este caso, la expectativa matemática de la desviación es cero. Esto se debe a que algunas posibles desviaciones son positivas, otras negativas y, como resultado de su amortización mutua, se obtiene cero.

Dispersión (dispersión) una variable aleatoria discreta se llama la expectativa matemática del cuadrado de la desviación de la variable aleatoria de su expectativa matemática.

En la práctica, este método de calcular la varianza es inconveniente, ya que conduce a cálculos engorrosos para una gran cantidad de valores de una variable aleatoria.

Por tanto, se utiliza un método diferente.

Teorema. La varianza es igual a la diferencia entre la expectativa matemática del cuadrado de la variable aleatoria X y el cuadrado de su expectativa matemática..

Prueba. Teniendo en cuenta el hecho de que la expectativa matemática M (X) y el cuadrado de la expectativa matemática M 2 (X) son valores constantes, podemos escribir:

Ejemplo. Encuentre la varianza de una variable aleatoria discreta dada por la ley de distribución.

NS
X 2
R	0.2	0.3	0.1	0.4

Solución:.

9.4 Propiedades de la dispersión

1. La varianza de la constante es cero. ...

2. Se puede sacar un factor constante del signo de dispersión elevándolo al cuadrado. .

3. La varianza de la suma de dos variables aleatorias independientes es igual a la suma de las varianzas de estos valores. ...

4. La varianza de la diferencia de dos variables aleatorias independientes es igual a la suma de las varianzas de estos valores. ...

Teorema. La varianza del número de ocurrencias de un evento A en n ensayos independientes, en cada uno de los cuales la probabilidad p de que ocurra un evento es constante, es igual al producto del número de ensayos y las probabilidades de ocurrencia y no ocurrencia. ocurrencia de un evento en cada ensayo.

9.5 Desviación estándar de una variable aleatoria discreta

Desviación cuadrática media La variable aleatoria X se llama raíz cuadrada de la varianza.

Teorema. La desviación estándar de la suma de un número finito de variables aleatorias independientes entre sí es igual a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las desviaciones estándar de estos valores.

Valor esperado- el valor promedio de una variable aleatoria (la distribución de probabilidad de una variable aleatoria estacionaria) cuando el número de muestras o el número de mediciones (a veces dicen - el número de pruebas) tiende a infinito.

La media aritmética de una variable aleatoria unidimensional de un número finito de pruebas se suele llamar una estimación de la expectativa matemática... Cuando el número de pruebas de un proceso aleatorio estacionario tiende a infinito, la estimación de la expectativa matemática tiende a la expectativa matemática.

La expectativa es uno de los conceptos básicos de la teoría de la probabilidad).

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Definición

Dejemos que se dé el espacio de probabilidad (Ω, A, P) (\ Displaystyle (\ Omega, (\ mathfrak (A)), \ mathbb (P))) y una variable aleatoria definida en él X (\ Displaystyle X)... Es decir, por definición, X: Ω → R (\ Displaystyle X \ colon \ Omega \ to \ mathbb (R)) es una función medible. Si hay una integral de Lebesgue de X (\ Displaystyle X) en el espacio Ω (\ Displaystyle \ Omega), entonces se llama la expectativa matemática, o el valor promedio (esperado) y se denota M [X] (\ Displaystyle M [X]) o E [X] (\ Displaystyle \ mathbb (E) [X]).

M [X] = ∫ Ω X (ω) P (d ω). (\ Displaystyle M [X] = \ int \ límites _ (\ Omega) \! X (\ omega) \, \ mathbb (P) (d \ omega).)

Fórmulas básicas para la expectativa matemática

M [X] = ∫ - ∞ ∞ x d F X (x); x ∈ R (\ Displaystyle M [X] = \ int \ límites _ (- \ infty) ^ (\ infty) \! x \, dF_ (X) (x); x \ in \ mathbb (R)).

La expectativa matemática de una distribución discreta

P (X = xi) = pi, ∑ yo = 1 ∞ pi = 1 (\ Displaystyle \ mathbb (P) (X = x_ (i)) = p_ (i), \; \ sum \ limits _ (i = 1 ) ^ (\ infty) p_ (i) = 1),

entonces se sigue directamente de la definición de la integral de Lebesgue que

M [X] = ∑ yo = 1 ∞ x yo p yo (\ Displaystyle M [X] = \ sum \ límites _ (i = 1) ^ (\ infty) x_ (i) \, p_ (i)).

El valor esperado de un valor entero

P (X = j) = p j, j = 0, 1 ,. ... ... ; ∑ j = 0 ∞ pj = 1 (\ Displaystyle \ mathbb (P) (X = j) = p_ (j), \; j = 0,1, ...; \ quad \ sum \ limits _ (j = 0 ) ^ (\ infty) p_ (j) = 1)

entonces su expectativa matemática se puede expresar en términos de la función generadora de la secuencia (p yo) (\ Displaystyle \ (p_ (i) \))

P (s) = ∑ k = 0 ∞ p k s k (\ Displaystyle P (s) = \ sum _ (k = 0) ^ (\ infty) \; p_ (k) s ^ (k))

como el valor de la primera derivada en unidad: M [X] = P ′ (1) (\ displaystyle M [X] = P "(1))... Si la expectativa matemática X (\ Displaystyle X) interminablemente entonces lim s → 1 P ′ (s) = ∞ (\ Displaystyle \ lim _ (s \ a 1) P "(s) = \ infty) y escribiremos P ′ (1) = M [X] = ∞ (\ displaystyle P "(1) = M [X] = \ infty)

Ahora tomemos la función generadora Q (s) (\ displaystyle Q (s)) secuencias de cola de distribución (q k) (\ Displaystyle \ (q_ (k) \))

q k = P (X> k) = ∑ j = k + 1 ∞ p j; Q (s) = ∑ k = 0 ∞ q k s k. (\ Displaystyle q_ (k) = \ mathbb (P) (X> k) = \ sum _ (j = k + 1) ^ (\ infty) (p_ (j)); \ quad Q (s) = \ sum _ (k = 0) ^ (\ infty) \; q_ (k) s ^ (k).)

Esta función generadora está asociada a una función previamente definida P (s) (\ displaystyle P (s)) propiedad: Q (s) = 1 - P (s) 1 - s (\ Displaystyle Q (s) = (\ frac (1-P (s)) (1-s))) a | s |< 1 {\displaystyle |s|<1} ... De esto, por el teorema del valor medio, se sigue que la expectativa matemática es simplemente igual al valor de esta función en la unidad:

M [X] = P ′ (1) = Q (1) (\ Displaystyle M [X] = P "(1) = Q (1))

La expectativa matemática de una distribución absolutamente continua

M [X] = ∫ - ∞ ∞ xf X (x) dx (\ displaystyle M [X] = \ int \ limits _ (- \ infty) ^ (\ infty) \! Xf_ (X) (x) \, dx ).

La expectativa matemática de un vector aleatorio

Permitir X = (X 1,…, X norte) ⊤: Ω → R norte (\ Displaystyle X = (X_ (1), \ dots, X_ (n)) ^ (\ top) \ colon \ Omega \ to \ mathbb ( R) ^ (n)) es un vector aleatorio. Entonces por definición

M [X] = (M [X 1],…, M [X n]) ⊤ (\ Displaystyle M [X] = (M, \ dots, M) ^ (\ top)),

es decir, la expectativa matemática de un vector se determina por componentes.

La expectativa matemática de la transformación de una variable aleatoria.

Permitir g: R → R (\ Displaystyle g \ colon \ mathbb (R) \ to \ mathbb (R)) es una función de Borel tal que la variable aleatoria Y = g (X) (\ Displaystyle Y = g (X)) tiene una expectativa matemática finita. Entonces la fórmula es válida para eso.

M [g (X)] = ∑ yo = 1 ∞ g (xi) pi, (\ Displaystyle M \ left = \ sum \ limits _ (i = 1) ^ (\ infty) g (x_ (i)) p_ ( I),)

si X (\ Displaystyle X) tiene una distribución discreta;

M [g (X)] = ∫ - ∞ ∞ g (x) f X (x) dx, (\ Displaystyle M \ left = \ int \ limits _ (- \ infty) ^ (\ infty) \! G (x ) f_ (X) (x) \, dx,)

si X (\ Displaystyle X) Tiene una distribución absolutamente continua.

Si la distribucion P X (\ Displaystyle \ mathbb (P) ^ (X)) variable aleatoria X (\ Displaystyle X) forma general, entonces

M [g (X)] = ∫ - ∞ ∞ g (x) P X (d x). (\ Displaystyle M \ left = \ int \ limits _ (- \ infty) ^ (\ infty) \! g (x) \, \ mathbb (P) ^ (X) (dx).)

En el caso especial cuando g (X) = X k (\ Displaystyle g (X) = X ^ (k)), valor esperado M [g (X)] = M [X k] (\ Displaystyle M = M) llamado k (\ Displaystyle k)-ésimo momento de una variable aleatoria.

Propiedades más simples de la expectativa matemática

• La expectativa matemática de un número es el número en sí.

M [a] = a (\ Displaystyle M [a] = a) una ∈ R (\ Displaystyle a \ in \ mathbb (R))- constante;

• La expectativa es lineal, es decir

M [una X + segundo Y] = una M [X] + segundo M [Y] (\ Displaystyle M = aM [X] + bM [Y]), dónde X, Y (\ Displaystyle X, Y) son variables aleatorias con expectativa matemática finita, y a, segundo ∈ R (\ Displaystyle a, b \ in \ mathbb (R))- constantes arbitrarias; 0 ⩽ M [X] ⩽ M [Y] (\ Displaystyle 0 \ leqslant M [X] \ leqslant M [Y]); M [X] = M [Y] (\ Displaystyle M [X] = M [Y]). M [X Y] = M [X] M [Y] (\ Displaystyle M = M [X] M [Y]).

La expectativa matemática (valor medio) de una variable aleatoria X, dada en un espacio de probabilidad discreto, es el número m = M [X] = ∑x i p i si la serie converge absolutamente.

Propósito del servicio... Usar el servicio en línea se calculan la expectativa matemática, la varianza y la desviación estándar(ver ejemplo). Además, se traza un gráfico de la función de distribución F (X).

Propiedades de la expectativa matemática de una variable aleatoria

1. La expectativa matemática de una constante es igual a sí misma: M [C] = C, C es una constante;
2. M = C M [X]
3. La expectativa matemática de la suma de variables aleatorias es igual a la suma de sus expectativas matemáticas: M = M [X] + M [Y]
4. La expectativa matemática del producto de variables aleatorias independientes es igual al producto de sus expectativas matemáticas: M = M [X] M [Y], si X e Y son independientes.

Propiedades de dispersión

1. La varianza de la constante es cero: D (c) = 0.
2. El factor constante se puede sacar del signo de varianza elevándolo al cuadrado: D (k * X) = k 2 D (X).
3. Si las variables aleatorias X e Y son independientes, entonces la varianza de la suma es igual a la suma de las varianzas: D (X + Y) = D (X) + D (Y).
4. Si las variables aleatorias X e Y son dependientes: D (X + Y) = DX + DY + 2 (X-M [X]) (Y-M [Y])
5. La fórmula de cálculo es válida para la varianza:
   D (X) = M (X 2) - (M (X)) 2

Un ejemplo. Se conocen las expectativas matemáticas y las varianzas de dos variables aleatorias independientes X e Y: M (x) = 8, M (Y) = 7, D (X) = 9, D (Y) = 6. Encuentre la expectativa matemática y la varianza de la variable aleatoria Z = 9X-8Y + 7.
Solución. Basado en las propiedades de la expectativa matemática: M (Z) = M (9X-8Y + 7) = 9 * M (X) - 8 * M (Y) + M (7) = 9 * 8 - 8 * 7 + 7 = 23 ...
Según las propiedades de dispersión: D (Z) = D (9X-8Y + 7) = D (9X) - D (8Y) + D (7) = 9 ^ 2D (X) - 8 ^ 2D (Y) + 0 = 81 * 9 - 64 * 6 = 345

Algoritmo para calcular el valor esperado

Propiedades de las variables aleatorias discretas: todos sus valores se pueden volver a numerar con números naturales; asigne una probabilidad distinta de cero a cada valor.

1. Multiplica los pares: x i por p i a su vez.
2. Suma el producto de cada par x i p i.
   Por ejemplo, para n = 4: m = ∑x i p i = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4

Función de distribución de una variable aleatoria discreta escalonadamente, aumenta abruptamente en aquellos puntos cuyas probabilidades son positivas.

Ejemplo 1.

x yo	1	3	4	7	9
Pi	0.1	0.2	0.1	0.3	0.3

Encontramos la expectativa matemática por la fórmula m = ∑x i p i.
Expectativa matemática M [X].
M [x] = 1 * 0,1 + 3 * 0,2 + 4 * 0,1 + 7 * 0,3 + 9 * 0,3 = 5,9
Encontramos la varianza por la fórmula d = ∑x 2 i p i - M [x] 2.
Dispersión D [X].
D [X] = 1 2 * 0,1 + 3 2 * 0,2 + 4 2 * 0,1 + 7 2 * 0,3 + 9 2 * 0,3 - 5,9 2 = 7,69
Desviación estándar σ (x).
σ = raíz cuadrada (D [X]) = raíz cuadrada (7.69) = 2.78

Ejemplo # 2. Una variable aleatoria discreta tiene la siguiente serie de distribución:

NS	-10	-5	0	5	10
R	a	0,32	2a	0,41	0,03

Encuentre el valor a, la expectativa matemática y la desviación estándar de esta variable aleatoria.

Solución. Encontramos el valor a de la relación: Σp i = 1
Σp i = a + 0.32 + 2 a + 0.41 + 0.03 = 0.76 + 3 a = 1
0,76 + 3 a = 1 o 0,24 = 3 a, de donde a = 0,08

Ejemplo No. 3. Determine la ley de distribución de una variable aleatoria discreta, si se conoce su varianza, y x 1 x 1 = 6; x 2 = 9; x 3 = x; x 4 = 15
p 1 = 0,3; p 2 = 0,3; p 3 = 0,1; p 4 = 0,3
d (x) = 12,96

Solución.
Aquí debe componer una fórmula para encontrar la varianza d (x):
d (x) = x 1 2 p 1 + x 2 2 p 2 + x 3 2 p 3 + x 4 2 p 4 -m (x) 2
donde la expectativa m (x) = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4
Para nuestros datos
m (x) = 6 * 0.3 + 9 * 0.3 + x 3 * 0.1 + 15 * 0.3 = 9 + 0.1x 3
12,96 = 6 2 0,3 + 9 2 0,3 + x 3 2 0,1 + 15 2 0,3- (9 + 0,1x 3) 2
o -9/100 (x 2 -20x + 96) = 0
En consecuencia, es necesario encontrar las raíces de la ecuación, y habrá dos de ellas.
x 3 = 8, x 3 = 12
Elegimos el que cumple la condición x 1 x 3 = 12

Ley de distribución de una variable aleatoria discreta
x 1 = 6; x 2 = 9; x 3 = 12; x 4 = 15
p 1 = 0,3; p 2 = 0,3; p 3 = 0,1; p 4 = 0,3

La expectativa matemática es la distribución de probabilidad de una variable aleatoria

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La expectativa matemática es, la definición

Uno de los conceptos más importantes en estadística matemática y teoría de la probabilidad, que caracteriza la distribución de valores o probabilidades de una variable aleatoria. Generalmente se expresa como un promedio ponderado de todos los parámetros posibles de una variable aleatoria. Es muy utilizado en el análisis técnico, el estudio de series numéricas, el estudio de procesos continuos y de largo plazo. Es importante para evaluar riesgos, predecir indicadores de precios cuando se negocia en mercados financieros y se utiliza en el desarrollo de estrategias y métodos de tácticas de juego en la teoría del juego.

La expectativa matemática es valor medio de una variable aleatoria, la distribución de probabilidad de una variable aleatoria se considera en la teoría de la probabilidad.

La expectativa matemática es una medida del valor medio de una variable aleatoria en la teoría de la probabilidad. La expectativa matemática de una variable aleatoria X denotado M (x).

La expectativa matemática es

La expectativa matemática es en la teoría de la probabilidad, el promedio ponderado de todos los valores posibles que puede tomar esta variable aleatoria.

La expectativa matemática es la suma de los productos de todos los valores posibles de una variable aleatoria por las probabilidades de estos valores.

La expectativa matemática es el beneficio medio de una solución u otra, siempre que dicha solución pueda considerarse dentro del marco de la teoría de los grandes números y la larga distancia.

La expectativa matemática es en la teoría del juego, la cantidad de ganancias que un jugador puede ganar o perder, en promedio, por cada apuesta. En el lenguaje de los jugadores, esto a veces se denomina "ventaja del jugador" (si es positivo para el jugador) o "ventaja del casino" (si es negativo para el jugador).

La expectativa matemática es porcentaje de ganancia sobre ganancia multiplicado por ganancia promedio menos probabilidad de pérdida multiplicada por pérdida promedio.

La expectativa matemática de una variable aleatoria en la teoría matemática

Una de las características numéricas importantes de una variable aleatoria es la expectativa matemática. Introduzcamos el concepto de sistema de variables aleatorias. Considere una colección de variables aleatorias que son los resultados del mismo experimento aleatorio. Si - uno de los posibles valores del sistema, entonces el evento corresponde a una cierta probabilidad que satisface los axiomas de Kolmogorov. Una función definida para cualquier valor posible de variables aleatorias se llama ley de distribución conjunta. Esta función le permite calcular las probabilidades de cualquier evento a partir de. En particular, la ley conjunta de distribución de variables aleatorias y, que toman valores del conjunto y, está dada por probabilidades.

El término "expectativa matemática" fue introducido por Pierre Simon, el marqués de Laplace (1795) y se originó a partir del concepto de "valor esperado de una recompensa", que apareció por primera vez en el siglo XVII en la teoría del juego en las obras de Blaise Pascal. y Christian Huygens. Sin embargo, Pafnutii Lvovich Chebyshev (mediados del siglo XIX) dio la primera comprensión teórica completa y evaluación de este concepto.

La ley de distribución de valores numéricos aleatorios (función de distribución y serie de distribución o densidad de probabilidad) describe completamente el comportamiento de una variable aleatoria. Pero en una serie de problemas basta con conocer algunas de las características numéricas de la cantidad investigada (por ejemplo, su valor medio y la posible desviación del mismo) para dar respuesta a la pregunta planteada. Las principales características numéricas de las variables aleatorias son la expectativa matemática, la varianza, la moda y la mediana.

La expectativa matemática de una variable aleatoria discreta es la suma de los productos de sus valores posibles por las probabilidades correspondientes. A veces, la expectativa matemática se denomina promedio ponderado, ya que es aproximadamente igual a la media aritmética de los valores observados de una variable aleatoria para una gran cantidad de experimentos. De la definición de la expectativa matemática se deduce que su valor no es menor que el valor más pequeño posible de una variable aleatoria y no más que el mayor. La expectativa matemática de una variable aleatoria es un valor no aleatorio (constante).

La expectativa matemática tiene un significado físico simple: si una unidad de masa se coloca en una línea recta colocando alguna masa en algunos puntos (para una distribución discreta), o "untándola" con una cierta densidad (para una distribución absolutamente continua), entonces el punto correspondiente a la expectativa matemática será la coordenada El "centro de gravedad" es recto.

El valor promedio de una variable aleatoria es un cierto número, que es, por así decirlo, su "representante" y lo reemplaza en cálculos aproximados. Cuando decimos: “el tiempo medio de funcionamiento de la lámpara es de 100 horas” o “el punto medio del impacto se desplaza con relación al objetivo 2 m hacia la derecha”, indicamos una determinada característica numérica de una variable aleatoria que describe su ubicación en el eje numérico, es decir "Caracterización del puesto".

De las características de la posición en la teoría de la probabilidad, el papel más importante lo juega la expectativa matemática de una variable aleatoria, que a veces se denomina simplemente el valor medio de una variable aleatoria.

Considere una variable aleatoria NS con posibles valores x1, x2, ..., xn con probabilidades p1, p2, ..., pn... Necesitamos caracterizar por algún número la posición de los valores de una variable aleatoria en el eje de abscisas, teniendo en cuenta el hecho de que estos valores tienen diferentes probabilidades. Para ello, es natural utilizar el llamado "promedio ponderado" de los valores xi, y cada valor de xi durante la promediación debe tenerse en cuenta con un "peso" proporcional a la probabilidad de este valor. Así, calcularemos la media de la variable aleatoria X que denotaremos M | X |:

Este promedio ponderado se denomina expectativa matemática de una variable aleatoria. Por lo tanto, hemos introducido en consideración uno de los conceptos más importantes de la teoría de la probabilidad: el concepto de expectativa matemática. La expectativa matemática de una variable aleatoria es la suma de los productos de todos los valores posibles de una variable aleatoria por las probabilidades de estos valores.

NS asociado a una peculiar relación con la media aritmética de los valores observados de una variable aleatoria con un gran número de experimentos. Esta dependencia es del mismo tipo que la dependencia entre frecuencia y probabilidad, a saber: con un gran número de experimentos, la media aritmética de los valores observados de una variable aleatoria se aproxima (converge en probabilidad) a su expectativa matemática. De la presencia de una relación entre frecuencia y probabilidad, se puede deducir como consecuencia la presencia de una relación similar entre la media aritmética y la expectativa matemática. De hecho, considere la variable aleatoria NS caracterizado por una serie de distribución:

Deja que se produzca norte experimentos independientes, en cada uno de los cuales el valor X adquiere un cierto significado. Suponga el valor x1 apareció m1 tiempos, valor x2 apareció m2 tiempos, generalmente significando xi apareció mi veces. Calculemos la media aritmética de los valores observados de la cantidad X, que, en contraste con la expectativa matemática M | X | nosotros designaremos M * | X |:

Con un aumento en el número de experimentos. norte frecuencia Pi se acercará (convergerá en probabilidad) a las probabilidades correspondientes. En consecuencia, la media aritmética de los valores observados de la variable aleatoria M | X | con un aumento en el número de experimentos, se acercará (convergerá en probabilidad) a su expectativa matemática. La conexión entre la media aritmética y la expectativa matemática formulada anteriormente es el contenido de una de las formas de la ley de los grandes números.

Ya sabemos que todas las formas de la ley de los grandes números establecen el hecho de que ciertos promedios son estables para una gran cantidad de experimentos. Aquí estamos hablando de la estabilidad de la media aritmética a partir de una serie de observaciones de la misma cantidad. Con un pequeño número de experimentos, la media aritmética de sus resultados es aleatoria; con un aumento suficiente en el número de experimentos, se vuelve "casi no aleatorio" y, estabilizándose, se acerca a un valor constante: la expectativa matemática.

La propiedad de estabilidad de los promedios con un gran número de experimentos es fácil de verificar experimentalmente. Por ejemplo, al pesar un cuerpo en un laboratorio con una balanza precisa, obtenemos un nuevo valor cada vez como resultado del pesaje; para reducir el error de observación, pesamos el cuerpo varias veces y usamos la media aritmética de los valores obtenidos. Es fácil ver que con un aumento adicional en el número de experimentos (pesajes), la media aritmética reacciona cada vez menos a este aumento, y con un número suficientemente grande de experimentos, prácticamente deja de cambiar.

Cabe señalar que la característica más importante de la posición de una variable aleatoria, la expectativa matemática, no existe para todas las variables aleatorias. Es posible componer ejemplos de tales variables aleatorias para las que no existe la expectativa matemática, ya que la suma o integral correspondiente diverge. Sin embargo, para la práctica, estos casos no son de gran interés. Por lo general, las variables aleatorias con las que tratamos tienen un rango limitado de valores posibles y, por supuesto, tienen una expectativa matemática.

Además de las características más importantes de la posición de una variable aleatoria, la expectativa matemática, a veces se utilizan en la práctica otras características de la posición, en particular, la moda y la mediana de una variable aleatoria.

La moda de una variable aleatoria es su valor más probable. El término "valor más probable", estrictamente hablando, se aplica sólo a cantidades discontinuas; para una cantidad continua, la moda es el valor en el que la densidad de probabilidad es máxima. Las figuras muestran la moda de las variables aleatorias continuas y discontinuas, respectivamente.

Si el polígono de distribución (curva de distribución) tiene más de un máximo, la distribución se denomina "polimodal".

A veces hay distribuciones que tienen un mínimo, no un máximo, en el medio. Estas distribuciones se denominan "antimodales".

En el caso general, la moda y la expectativa matemática de una variable aleatoria no coinciden. En el caso particular, cuando la distribución es simétrica y modal (es decir, tiene una moda) y hay una expectativa matemática, entonces coincide con la moda y el centro de simetría de la distribución.

A menudo se utiliza otra característica de la posición: la denominada mediana de una variable aleatoria. Esta característica generalmente se usa solo para variables aleatorias continuas, aunque se puede definir formalmente para una variable discontinua. Geométricamente, la mediana es la abscisa del punto en el que el área delimitada por la curva de distribución se divide a la mitad.

En el caso de una distribución modal simétrica, la mediana coincide con la expectativa matemática y la moda.

La expectativa matemática es el valor medio de la variable aleatoria, la característica numérica de la distribución de probabilidad de la variable aleatoria. De la forma más general, la expectativa matemática de una variable aleatoria X (w) se define como la integral de Lebesgue con respecto a la medida de probabilidad R en el espacio de probabilidad original:

La expectativa matemática se puede calcular como la integral de Lebesgue de NS por distribución de probabilidad px magnitudes X:

De forma natural, puede definir el concepto de variable aleatoria con una expectativa matemática infinita. Los tiempos de regreso en algunas caminatas aleatorias son ejemplos típicos.

Usando la expectativa matemática, se determinan muchas características numéricas y funcionales de la distribución (como la expectativa matemática de las funciones correspondientes de una variable aleatoria), por ejemplo, una función generadora, una función característica, momentos de cualquier orden, en particular varianza, covarianza.

La expectativa matemática es una característica de la ubicación de los valores de una variable aleatoria (el valor promedio de su distribución). En esta capacidad, la expectativa matemática sirve como un cierto parámetro de distribución "típico" y su papel es similar al papel del momento estático - las coordenadas del centro de gravedad de la distribución de masa - en mecánica. La expectativa matemática se diferencia de otras características de ubicación, con la ayuda de las cuales la distribución se describe en términos generales, medianas, modos, por el mayor valor que tiene y la característica de dispersión correspondiente, la dispersión, en los teoremas límite de la teoría de la probabilidad. Con la mayor completitud, el significado de la expectativa matemática se revela mediante la ley de los grandes números (la desigualdad de Chebyshev) y la ley reforzada de los grandes números.

La expectativa matemática de una variable aleatoria discreta

Sea alguna variable aleatoria que pueda tomar uno de varios valores numéricos (por ejemplo, el número de puntos al lanzar un dado puede ser 1, 2, 3, 4, 5 o 6). En la práctica, a menudo surge la pregunta para tal valor: ¿qué valor toma "en promedio" con un gran número de pruebas? ¿Cuál será nuestro ingreso (o pérdida) promedio de cada una de las operaciones riesgosas?

Digamos que hay una especie de lotería. Queremos saber si es rentable o no participar en él (o incluso participar repetidamente, de forma regular). Digamos que cada cuarto boleto ganador, el premio es de 300 rublos y el precio de cualquier boleto es de 100 rublos. Con una participación infinitamente grande, esto es lo que sucede. En tres cuartas partes de los casos, perderemos, cada tres pérdidas costará 300 rublos. En cada cuarto caso, ganaremos 200 rublos. (premio menos costo), es decir, por cuatro participaciones perdemos en promedio 100 rublos, por una, en promedio 25 rublos. En total, la tasa promedio de nuestra ruina será de 25 rublos por boleto.

Tiramos los dados. Si no es trampa (no hay cambio en el centro de gravedad, etc.), ¿cuántos puntos tendremos en promedio a la vez? Dado que cada opción es igualmente probable, tomamos una estúpida media aritmética y obtenemos 3,5. Dado que esto es PROMEDIO, no hay necesidad de estar indignado porque ningún lanzamiento específico dará 3.5 puntos; bueno, ¡este cubo no tiene borde con tal número!

Ahora resumamos nuestros ejemplos:

Veamos la imagen que se acaba de mostrar. A la izquierda hay una tabla de distribución de una variable aleatoria. El valor X puede tomar uno de n valores posibles (mostrado en la línea superior). No puede haber otros valores. Cada valor posible a continuación está etiquetado con su probabilidad. A la derecha está la fórmula, donde M (X) se denomina expectativa matemática. El significado de este valor es que con un gran número de pruebas (con una muestra grande), el valor promedio tenderá a esta misma expectativa matemática.

Volvamos al mismo cubo de juego. La expectativa matemática de la cantidad de puntos al lanzar es 3.5 (calcule usted mismo usando la fórmula, si no cree). Digamos que lo arrojaste un par de veces. Bajaron 4 y 6. En promedio, resultó 5, es decir, lejos de 3,5. Lo tiraron una vez más, bajaron 3, es decir, en promedio (4 + 6 + 3) / 3 = 4.3333 ... De alguna manera lejos de la expectativa matemática. Ahora haz este loco experimento: ¡rueda el cubo 1000 veces! Y si el promedio no es exactamente 3.5, estará cerca de eso.

Calculemos la expectativa matemática para la lotería descrita anteriormente. La placa se verá así:

Entonces la expectativa matemática será, como establecimos anteriormente.:

Otra cosa es que sería difícil usar el mismo “en los dedos”, sin fórmula, si hubiera más opciones. Bueno, digamos que habría 75% de boletos perdidos, 20% de boletos ganadores y 5% de boletos ganadores adicionales.

Ahora algunas propiedades de la expectativa matemática.

Demostrar esto es simple:

Se permite sacar un factor constante del signo de la expectativa matemática, es decir:

Este es un caso especial de la propiedad de linealidad de la expectativa matemática.

Otra consecuencia de la linealidad de la expectativa matemática:

es decir, la expectativa matemática de la suma de variables aleatorias es igual a la suma de las expectativas matemáticas de las variables aleatorias.

Sean X, Y variables aleatorias independientes, luego:

Esto también es fácil de probar) XY en sí misma es una variable aleatoria, mientras que si los valores iniciales pudieran tomar norte y metro valores respectivamente, entonces XY puede tomar valores nm. La probabilidad de cada uno de los valores se calcula en base al hecho de que se multiplican las probabilidades de eventos independientes. Como resultado, obtenemos esto:

La expectativa matemática de una variable aleatoria continua

Las variables aleatorias continuas tienen características tales como densidad de distribución (densidad de probabilidad). De hecho, caracteriza la situación en la que una variable aleatoria toma algunos valores del conjunto de números reales con más frecuencia, algunos con menos frecuencia. Por ejemplo, considere el siguiente gráfico:

Aquí X es una variable aleatoria en sí misma, f (x)- densidad de distribución. A juzgar por este gráfico, en experimentos, el valor X a menudo será un número cercano a cero. Posibilidades de superar 3 o ser menos -3 más bien puramente teórico.

Por ejemplo, suponga que hay una distribución uniforme:

Esto es bastante consistente con la comprensión intuitiva. Digamos, si obtenemos muchos números reales aleatorios con una distribución uniforme, cada segmento |0; 1| , entonces la media aritmética debe ser de aproximadamente 0,5.

Las propiedades de la expectativa matemática - linealidad, etc., aplicables a variables aleatorias discretas, también son aplicables aquí.

Relación entre la expectativa matemática y otros indicadores estadísticos

En el análisis estadístico, junto con la expectativa matemática, existe un sistema de indicadores interdependientes que reflejan la homogeneidad de los fenómenos y la estabilidad de los procesos. Los indicadores de variación a menudo no tienen un significado independiente y se utilizan para análisis de datos adicionales. La excepción es el coeficiente de variación, que caracteriza la homogeneidad de los datos, que es una estadística valiosa.

El grado de variabilidad o estabilidad de los procesos en la ciencia estadística se puede medir utilizando varios indicadores.

El indicador más importante que caracteriza la variabilidad de una variable aleatoria es Dispersión, que está estrecha y directamente relacionado con la expectativa matemática. Este parámetro se utiliza activamente en otros tipos de análisis estadístico (prueba de hipótesis, análisis de relaciones de causa y efecto, etc.). Al igual que la media lineal, la varianza también refleja la medida de la dispersión de los datos alrededor de la media.

Es útil traducir el lenguaje de los signos al lenguaje de las palabras. Resulta que la varianza es el cuadrado medio de las desviaciones. Es decir, primero se calcula el promedio, luego se toma la diferencia entre cada original y el promedio, se eleva al cuadrado, se suma y luego se divide por el número de valores en la población. La diferencia entre el valor individual y la media refleja la medida de la desviación. Está al cuadrado para que todas las desviaciones se conviertan en números exclusivamente positivos y para evitar la destrucción mutua de las desviaciones positivas y negativas cuando se suman. Luego, con los cuadrados de las desviaciones, simplemente calculamos la media aritmética. Desviaciones cuadradas medias. Las desviaciones se elevan al cuadrado y se considera el promedio. La solución a la palabra mágica "varianza" se encuentra en solo tres palabras.

Sin embargo, en su forma pura, como la media aritmética o el índice, no se utiliza la varianza. Es más bien un indicador auxiliar e intermedio que se utiliza para otros tipos de análisis estadístico. Ni siquiera tiene una unidad de medida normal. A juzgar por la fórmula, este es el cuadrado de la unidad de medida de los datos originales.

Midamos una variable aleatoria norte veces, por ejemplo, medimos la velocidad del viento diez veces y queremos encontrar el valor promedio. ¿Cómo se relaciona la media con la función de distribución?

O tiraremos los dados muchas veces. El número de puntos que caerán en el dado con cada tirada es una variable aleatoria y puede tomar cualquier valor natural del 1 al 6. La media aritmética de los puntos eliminados, calculada para todas las tiradas de dados, también es un valor aleatorio. , pero para grandes norte tiende a un número muy específico: la expectativa matemática Mx... En este caso, Mx = 3,5.

¿Cómo surgió este valor? Dejar entrar norte juicios n1 una vez cayó 1 punto, n2 veces - 2 puntos y así sucesivamente. Entonces, el número de resultados en los que se eliminó un punto es:

Lo mismo ocurre con los resultados cuando se lanzan 2, 3, 4, 5 y 6 puntos.

Supongamos ahora que conocemos la ley de distribución de una variable aleatoria x, es decir, sabemos que una variable aleatoria x puede tomar valores x1, x2, ..., xk con probabilidades p1, p2, ..., pk.

La expectativa matemática Mx de una variable aleatoria x es:

La expectativa matemática no siempre es una estimación razonable de alguna variable aleatoria. Entonces, para estimar el salario promedio, es más razonable usar el concepto de la mediana, es decir, un valor tal que el número de personas que reciben menos que el salario mediano y más es el mismo.

La probabilidad p1 de que la variable aleatoria x sea menor que x1 / 2 y la probabilidad p2 de que la variable aleatoria x sea mayor que x1 / 2 son iguales e iguales a 1/2. La mediana no se determina de forma inequívoca para todas las distribuciones.

Desviación estándar o estándar en estadística, es el grado en que los datos de observación o conjuntos se desvían de la media. Está designado por las letras s o s. Una pequeña desviación estándar indica que los datos están agrupados alrededor de la media, mientras que una gran desviación estándar indica que los datos originales están muy lejos de ella. La desviación estándar es igual a la raíz cuadrada de una cantidad llamada varianza. Es el promedio de la suma de las diferencias al cuadrado de los datos iniciales que se desvían de la media. La desviación de la raíz cuadrada media de una variable aleatoria se llama raíz cuadrada de la varianza:

Ejemplo. En condiciones de prueba al disparar a un objetivo, calcule la varianza y la desviación estándar de una variable aleatoria:

Variación- variabilidad, variabilidad del valor del rasgo en las unidades de la población. Los valores numéricos individuales de una característica que se encuentran en la población estudiada se denominan variantes de valores. La insuficiencia del valor medio para una característica completa de la población hace necesario complementar los valores medios con indicadores que permitan evaluar la tipicidad de estos promedios midiendo la variabilidad (variación) del rasgo en estudio. El coeficiente de variación se calcula mediante la fórmula:

Variación de deslizamiento(R) es la diferencia entre los valores máximo y mínimo del rasgo en la población estudiada. Este indicador da la idea más general de la variabilidad del rasgo en estudio, ya que muestra la diferencia solo entre los valores límite de las opciones. La dependencia de los valores extremos del rasgo le da al rango de variación un carácter aleatorio e inestable.

Desviación lineal media es la media aritmética de las desviaciones absolutas (módulo) de todos los valores de la población analizada con respecto a su valor medio:

Valor esperado en la teoría del juego

La expectativa matemática es la cantidad promedio de dinero que un jugador puede ganar o perder en una apuesta determinada. Este es un concepto muy importante para el jugador, porque es fundamental para la evaluación de la mayoría de situaciones de juego. La expectativa también es una herramienta óptima para analizar diseños de cartas básicos y situaciones de juego.

Digamos que está jugando una moneda con un amigo, apostando $ 1 por igual cada vez, independientemente de lo que surja. Cruz - ganas, cara - pierdes. Las probabilidades de que salga cruz son uno a uno, y usted apuesta de $ 1 a $ 1. Por lo tanto, su expectativa matemática es cero, porque matemáticamente hablando, no puedes saber si liderarás o perderás después de dos lanzamientos o después de 200.

Tu ganancia por hora es cero. Una ganancia por hora es la cantidad de dinero que espera ganar en una hora. Puede lanzar una moneda 500 veces en una hora, pero no ganará ni perderá, porque sus posibilidades no son ni positivas ni negativas. Desde el punto de vista de un jugador serio, este sistema de apuestas no está mal. Pero esto es simplemente una pérdida de tiempo.

Pero suponga que alguien quiere apostar $ 2 contra su $ 1 en el mismo juego. Entonces inmediatamente tiene una expectativa positiva de 50 centavos de cada apuesta. ¿Por qué 50 centavos? En promedio, ganas una apuesta y pierdes la segunda. Apueste el primer dólar y pierda $ 1, apueste el segundo y gane $ 2. Apuesta $ 1 dos veces y tiene $ 1 por delante. Así que cada una de sus apuestas de un dólar le dio 50 centavos.

Si la moneda cae 500 veces en una hora, sus ganancias por hora ya serán de $ 250, porque en promedio, perdió $ 1 250 veces y ganó $ 2 250 veces. $ 500 menos $ 250 equivalen a $ 250, que son las ganancias totales. Tenga en cuenta que el valor esperado, que es la cantidad que ganó en promedio en una apuesta, es de 50 centavos. Ganó $ 250 haciendo una apuesta en dólares 500 veces, lo que equivale a 50 centavos de la apuesta.

El valor esperado no tiene nada que ver con el resultado a corto plazo. Su oponente, que decidió apostar $ 2 en su contra, podría ganarle en los primeros diez lanzamientos seguidos, pero usted, con una ventaja de apuesta de 2: 1, en igualdad de condiciones, bajo cualquier circunstancia, gana 50 centavos de cada Apuesta de $ 1. No importa si gana o pierde una apuesta o varias apuestas, pero solo si tiene suficiente dinero en efectivo para compensar tranquilamente los costos. Si continúa apostando de la misma manera, durante un largo período de tiempo, sus ganancias alcanzarán la suma de sus expectativas en lanzamientos individuales.

Cada vez que haces una apuesta con el mejor resultado (una apuesta que puede resultar rentable a largo plazo), cuando las probabilidades están a tu favor, definitivamente ganarás algo, y no importa si pierdes. o no en esta mano. Por el contrario, si realiza una apuesta con el peor resultado (una apuesta que no es rentable a largo plazo), cuando las probabilidades no están a su favor, está perdiendo algo independientemente de si gana o pierde en la mano dada.

Haces una apuesta con el mejor resultado si tu expectativa es positiva, y es positiva si las probabilidades están de tu lado. Al realizar una apuesta con el peor resultado, tiene una expectativa negativa, lo que sucede cuando las probabilidades están en su contra. Los jugadores serios solo apuestan con el mejor resultado; en el peor de los casos, se retiran. ¿Qué significan las probabilidades a tu favor? Puede terminar ganando más de lo que aportan las probabilidades reales. Las probabilidades reales de que salga cruz son de 1 a 1, pero usted obtiene 2 a 1 debido a la proporción de las apuestas. En este caso, las probabilidades están a su favor. Definitivamente obtendrá el mejor resultado con una expectativa positiva de 50 centavos por apuesta.

Aquí hay un ejemplo más complejo de valor esperado. Su amigo escribe los números del uno al cinco y apuesta $ 5 contra su $ 1 a que usted no determinará el número oculto. ¿Debería aceptar tal apuesta? ¿Cuál es la expectativa aquí?

En promedio, se equivoca cuatro veces. Con base en esto, las probabilidades en contra de que adivine el número son de 4 a 1. Las probabilidades son que pierda un dólar en un intento. Sin embargo, gana 5 a 1, si puede perder 4 a 1. Así que las probabilidades están a su favor, puede aceptar la apuesta y esperar un mejor resultado. Si realiza esta apuesta cinco veces, en promedio perderá cuatro veces $ 1 y ganará $ 5 una vez. En base a esto, para los cinco intentos, ganará $ 1 con un valor esperado positivo de 20 centavos por apuesta.

Un jugador que va a ganar más de lo que apuesta, como en el ejemplo anterior, atrapa las probabilidades. Por el contrario, arruina las probabilidades cuando espera ganar menos de lo que apuesta. Un jugador que hace una apuesta puede tener una expectativa positiva o negativa, que depende de si atrapa o arruina las probabilidades.

Si apuesta $ 50 para ganar $ 10 con una probabilidad de ganar de 4 a 1, obtendrá una expectativa negativa de $ 2, porque en promedio, gana cuatro veces $ 10 y pierde $ 50 una vez, lo que muestra que la pérdida de una apuesta es de $ 10. Pero si apuesta $ 30 para ganar $ 10, con las mismas posibilidades de ganar 4 a 1, entonces en este caso tiene una expectativa positiva de $ 2, porque vuelve a ganar cuatro veces por $ 10 y pierde $ 30 una vez para obtener una ganancia de $ 10. Estos ejemplos muestran que la primera apuesta es mala y la segunda buena.

La expectativa es el centro de cualquier situación de juego. Cuando una casa de apuestas anima a los fanáticos del fútbol a apostar $ 11 para ganar $ 10, tienen una expectativa positiva de 50 centavos por cada $ 10. Si el casino paga el mismo dinero de la línea de pase en los dados, entonces la expectativa positiva del casino es de aproximadamente $ 1,40 por cada $ 100, porque este juego está estructurado de manera que todo el que apuesta en esta línea pierde un 50,7% de media y gana el 49,3% del tiempo total. Sin lugar a dudas, es esta expectativa positiva aparentemente mínima la que brinda ganancias colosales a los propietarios de casinos de todo el mundo. Como comentó el propietario del casino Vegas World, Bob Stupak, "Una milésima de probabilidad negativa porcentual en una distancia lo suficientemente larga arruinará al hombre más rico del mundo".

Expectativa matemática al jugar al póquer

El juego de póquer es el ejemplo más ilustrativo e ilustrativo en términos de uso de la teoría y las propiedades de la expectativa matemática.

El valor esperado en el póquer es el beneficio promedio de una solución particular, siempre que dicha solución pueda considerarse dentro del marco de la teoría de los grandes números y la larga distancia. Un juego de póquer exitoso consiste en aceptar siempre movimientos con expectativas positivas.

El significado matemático de la expectativa matemática cuando se juega al póquer es que a menudo nos encontramos con variables aleatorias al tomar una decisión (no sabemos qué cartas están en las manos del oponente, qué cartas aparecerán en las rondas de apuestas posteriores). Debemos considerar cada una de las soluciones desde el punto de vista de la teoría de los grandes números, que establece que con una muestra suficientemente grande, el valor promedio de una variable aleatoria tenderá a su expectativa matemática.

Entre las fórmulas particulares para calcular la expectativa matemática, la siguiente es la más aplicable en el póquer:

Al jugar al póquer, el valor esperado se puede calcular tanto para las apuestas como para las llamadas. En el primer caso, se debe tener en cuenta el fold equity; en el segundo, las propias probabilidades del pozo. Al evaluar la expectativa matemática de un movimiento, recuerde que un pliegue siempre tiene una expectativa cero. Por lo tanto, descartar cartas siempre será una decisión más rentable que cualquier movimiento negativo.

La expectativa le dice lo que puede esperar (ganancias o pérdidas) por cada dólar que arriesga. Los casinos ganan dinero porque la expectativa matemática de todos los juegos que se practican en ellos está a favor del casino. Con una serie de juegos suficientemente larga, se puede esperar que el cliente pierda su dinero, ya que la "probabilidad" está a favor del casino. Sin embargo, los jugadores de casino profesionales limitan sus juegos a períodos cortos de tiempo, lo que aumenta las probabilidades a su favor. Lo mismo ocurre con la inversión. Si su expectativa es positiva, puede ganar más dinero haciendo muchas operaciones en un corto período de tiempo. La expectativa es su porcentaje de ganancia sobre la ganancia multiplicada por la ganancia promedio menos su probabilidad de pérdida multiplicada por la pérdida promedio.

El póquer también se puede ver en términos de expectativa matemática. Puede suponer que un determinado movimiento es rentable, pero en algunos casos puede resultar lejos de ser el mejor, porque otro movimiento es más rentable. Digamos que acierta un full en un póquer de cinco cartas. Tu oponente apuesta. Sabes que si subes tu oferta, él responderá. Por lo tanto, levantar parece la mejor táctica. Pero si subes la apuesta, los dos jugadores restantes definitivamente se retirarán. Pero si llama, estará completamente seguro de que otros dos jugadores después de usted harán lo mismo. Cuando subes la apuesta, obtienes una unidad, pero simplemente igualando - dos. Por lo tanto, igualar le da una expectativa matemática positiva más alta y es la mejor táctica.

La expectativa matemática también puede dar una idea de qué tácticas son menos rentables en el póquer y cuáles son más. Por ejemplo, cuando juega una mano determinada, cree que sus pérdidas promediarán 75 centavos, incluidos los antes, entonces esta mano debe jugarse porque esto es mejor que retirarse cuando la apuesta inicial es de $ 1.

Otra razón importante para comprender la esencia de la expectativa matemática es que te da una sensación de paz tanto si ganaste una apuesta como si no: si hiciste una buena apuesta o te retiraste a tiempo, sabrás que has ganado o ahorrado una cierta cantidad. de dinero, que el jugador más débil no pudo salvar. Es mucho más difícil retirarse si está molesto porque su oponente ha hecho una mano más fuerte en el intercambio. Con todo esto, el dinero que ahorraste sin jugar, en lugar de apostar, se suma a tus ganancias por noche o por mes.

Solo recuerda que si cambiaste de manos, tu oponente te igualaría y, como verás en el artículo "El teorema fundamental del póquer", esta es solo una de tus ventajas. Deberías estar feliz cuando esto suceda. Incluso puedes aprender a disfrutar de una mano perdedora, porque sabes que otros jugadores en tu lugar habrían perdido mucho más.

Como se mencionó en el ejemplo del juego de monedas al principio, la tasa de rendimiento por hora está relacionada con el valor esperado, y este concepto es especialmente importante para los jugadores profesionales. Cuando vaya a jugar al póquer, debe estimar mentalmente cuánto puede ganar en una hora de juego. En la mayoría de los casos, necesitará confiar en su intuición y experiencia, pero también puede usar algunas matemáticas. Por ejemplo, estás jugando a draw lowball y ves que tres jugadores apuestan $ 10 y luego intercambian dos cartas, lo cual es una táctica muy mala, podrías pensar que cada vez que apuestan $ 10, pierden alrededor de $ 2. Cada uno de ellos lo hace ocho veces por hora, lo que significa que los tres pierden alrededor de $ 48 por hora. Usted es uno de los cuatro jugadores restantes, que son aproximadamente iguales, por lo que estos cuatro jugadores (y usted entre ellos) tienen que dividir $ 48, y cada ganancia será de $ 12 por hora. Su tarifa por hora en este caso es simplemente su parte del dinero perdido por tres malos jugadores en una hora.

Durante un largo período de tiempo, la recompensa total del jugador es la suma de sus expectativas matemáticas en manos individuales. Cuanto más juegue con expectativa positiva, más ganará, y viceversa, cuantas más manos juegue con expectativa negativa, más perderá. Como consecuencia, debe elegir un juego que pueda maximizar sus expectativas positivas o anular las negativas para que pueda maximizar sus ganancias por hora.

Expectativa matemática positiva en la estrategia del juego

Si sabe cómo contar cartas, es posible que tenga una ventaja sobre el casino si no lo ven y lo echan. Los casinos aman a los jugadores borrachos y no soportan los contadores de cartas. Advantage te permitirá ganar más veces de las que pierdes. Una buena administración del dinero mediante cálculos matemáticos de expectativas puede ayudarlo a sacar más provecho de su ventaja y reducir las pérdidas. Sin una ventaja, es mejor donar dinero a organizaciones benéficas. Al negociar en bolsa, la ventaja viene dada por el sistema de juego, que genera más ganancias que pérdidas, diferencias de precio y comisiones. Ninguna cantidad de administración de dinero salvará un mal sistema de juego.

Una expectativa positiva se define por un valor mayor que cero. Cuanto mayor sea este número, mayor será la expectativa estadística. Si el valor es menor que cero, entonces la expectativa matemática también será negativa. Cuanto mayor sea el módulo del valor negativo, peor será la situación. Si el resultado es cero, entonces la expectativa es de equilibrio. Solo puedes ganar cuando tienes una expectativa matemática positiva, un sistema de juego razonable. Jugar por intuición conduce al desastre.

Expectativa y comercio de intercambio

La expectativa matemática es un indicador estadístico bastante demandado y popular en la implementación de operaciones de cambio en los mercados financieros. En primer lugar, este parámetro se utiliza para analizar el éxito de una operación. No es difícil adivinar que cuanto mayor sea el valor dado, más razones para considerar exitosa la operación estudiada. Por supuesto, el análisis del trabajo de un comerciante no se puede realizar solo con la ayuda de este parámetro. Sin embargo, el valor calculado, en combinación con otros métodos para evaluar la calidad del trabajo, puede mejorar significativamente la precisión del análisis.

La expectativa matemática a menudo se calcula en los servicios de monitoreo de cuentas comerciales, lo que le permite evaluar rápidamente el trabajo realizado en el depósito. Como excepciones, se pueden citar estrategias que utilizan la “exclusión” de operaciones no rentables. Un comerciante puede tener suerte durante algún tiempo y, por lo tanto, es posible que no haya pérdidas en su trabajo. En este caso, no será posible navegar solo por expectativa, pues no se tomarán en cuenta los riesgos utilizados en la obra.

Al operar en el mercado, la expectativa se usa con mayor frecuencia al predecir la rentabilidad de una estrategia comercial o al predecir los ingresos de un comerciante en función de los datos estadísticos de sus operaciones anteriores.

En términos de administración de dinero, es muy importante comprender que cuando se realizan operaciones con expectativas negativas, no existe un esquema de administración de dinero que definitivamente pueda generar grandes ganancias. Si continúa jugando en la bolsa de valores en estas condiciones, no importa cómo administre su dinero, perderá toda su cuenta, sin importar cuán grande fuera al principio.

Este axioma no solo es cierto para juegos o intercambios con expectativas negativas, también es cierto para juegos con probabilidades iguales. Por lo tanto, el único caso en el que tiene la posibilidad de beneficiarse a largo plazo es cuando hace negocios con un valor esperado positivo.

La diferencia entre la expectativa negativa y la expectativa positiva es la diferencia entre la vida y la muerte. No importa cuán positiva o negativa sea la expectativa; lo que importa es si es positivo o negativo. Por lo tanto, antes de considerar los problemas de administración del dinero, debe encontrar un juego con expectativas positivas.

Si no tienes un juego así, ninguna cantidad de administración de dinero en el mundo te salvará. Por otro lado, si tiene una expectativa positiva, puede, mediante una buena administración del dinero, convertirla en una función de crecimiento exponencial. ¡No importa cuán pequeña sea esa expectativa positiva! En otras palabras, no importa qué tan rentable sea un sistema de negociación por contrato único. Si tiene un sistema que gana $ 10 por contrato en una sola operación (después de deducir las comisiones y el deslizamiento), puede usar técnicas de administración de dinero para hacerlo más rentable que un sistema que muestra una ganancia promedio de $ 1000 por operación (después de la deducción). de comisiones y deslizamientos).

Lo que importa no es cuán rentable fue el sistema, sino cuán seguro se puede decir que el sistema mostrará al menos una ganancia mínima en el futuro. Por lo tanto, la preparación más importante que puede hacer un comerciante es asegurarse de que el sistema muestre una expectativa matemática positiva en el futuro.

Para tener una expectativa matemática positiva en el futuro, es muy importante no restringir los grados de libertad de su sistema. Esto se logra no solo eliminando o reduciendo el número de parámetros a optimizar, sino también reduciendo tantas reglas del sistema como sea posible. Cada parámetro que agrega, cada regla que hace, cada pequeño cambio que realiza en el sistema, reduce el número de grados de libertad. Idealmente, necesita construir un sistema bastante primitivo y simple que genere consistentemente pequeñas ganancias en casi cualquier mercado. Nuevamente, es importante que comprenda que no importa qué tan rentable sea el sistema, siempre que sea rentable. El dinero que gane en el comercio se obtendrá mediante una gestión eficaz del dinero.

Un sistema de comercio es simplemente una herramienta que le brinda una expectativa matemática positiva para que se pueda utilizar la administración del dinero. Los sistemas que funcionan (muestran al menos un beneficio mínimo) en solo uno o unos pocos mercados, o tienen diferentes reglas o parámetros para diferentes mercados, lo más probable es que no funcionen en tiempo real durante el tiempo suficiente. El problema con la mayoría de los comerciantes expertos en tecnología es que dedican demasiado tiempo y esfuerzo a optimizar las diversas reglas y valores de parámetros del sistema comercial. Esto da resultados completamente opuestos. En lugar de gastar energía y tiempo en la computadora aumentando las ganancias del sistema comercial, concentre su energía en aumentar el nivel de confiabilidad para obtener la ganancia mínima.

Sabiendo que la administración del dinero es solo un juego numérico que requiere el uso de expectativas positivas, un comerciante puede dejar de buscar el "santo grial" del comercio de acciones. En cambio, puede comenzar a probar su método de negociación, descubrir qué tan lógico es este método, si ofrece expectativas positivas. Los métodos correctos de administración del dinero aplicados a cualquier método comercial, incluso mediocre, harán el resto del trabajo por sí mismos.

Para que cualquier comerciante tenga éxito en su trabajo, es necesario resolver las tres tareas más importantes :. Asegúrese de que el número de acuerdos exitosos supere los inevitables errores y errores de cálculo; Configure su sistema de operaciones de modo que la oportunidad de ganar dinero sea con la mayor frecuencia posible; Para lograr la estabilidad del resultado positivo de sus operaciones.

Y aquí nosotros, los traders que trabajan, podemos ayudarnos con la expectativa matemática. Este término en la teoría de la probabilidad es uno de los clave. Con su ayuda, puede dar una estimación promedio de un cierto valor aleatorio. La expectativa matemática de una variable aleatoria es similar al centro de gravedad si imaginamos todas las probabilidades posibles como puntos con masas diferentes.

Cuando se aplica a una estrategia comercial, para evaluar su efectividad, la expectativa matemática de ganancias (o pérdidas) se usa con mayor frecuencia. Este parámetro se define como la suma de los productos de los niveles de ganancias y pérdidas dados y la probabilidad de que ocurran. Por ejemplo, la estrategia comercial desarrollada asume que el 37% de todas las transacciones generarán ganancias y el resto, el 63%, no será rentable. Al mismo tiempo, el ingreso promedio de un acuerdo exitoso será de $ 7 y la pérdida promedio será de $ 1,4. Calculemos la expectativa matemática de operar usando el siguiente sistema:

¿Qué significa este número? Dice que, siguiendo las reglas de este sistema, en promedio, recibiremos $ 1.708 de cada operación cerrada. Dado que la estimación de la eficiencia obtenida es mayor que cero, dicho sistema se puede utilizar para el trabajo real. Si, como resultado del cálculo, la expectativa matemática resulta ser negativa, entonces esto ya habla de una pérdida promedio y tal operación conducirá a la ruina.

La cantidad de beneficio por operación también se puede expresar como un valor relativo en forma de%. Por ejemplo:

- porcentaje de ingresos por 1 operación - 5%;

- porcentaje de operaciones comerciales exitosas - 62%;

- porcentaje de pérdida por 1 operación - 3%;

- porcentaje de transacciones fallidas - 38%;

Es decir, el comercio promedio generará un 1,96%.

Es posible desarrollar un sistema que, a pesar de la prevalencia de operaciones no rentables, dará un resultado positivo, ya que su MO> 0.

Sin embargo, esperar solo no es suficiente. Es difícil ganar dinero si el sistema da muy pocas señales comerciales. En este caso, su rentabilidad será comparable al interés bancario. Deje que cada transacción dé un promedio de solo $ 0.50, pero ¿qué pasa si el sistema asume 1000 transacciones por año? Esta será una cantidad muy seria en un tiempo relativamente corto. De esto se deduce lógicamente que otra característica distintiva de un buen sistema de negociación puede considerarse un período corto de tenencia de posiciones.

Fuentes y enlaces

dic.academic.ru - Diccionario académico de Internet

math.ru - sitio educativo en matemáticas

nsu.ru - sitio web educativo de la Universidad Estatal de Novosibirsk

webmath.ru es un portal educativo para estudiantes, solicitantes y escolares.

exponenta.ru sitio web educativo matemático

ru.tradimo.com - escuela de comercio en línea gratuita

crypto.hut2.ru: un recurso de información multidisciplinario

poker-wiki.ru - la enciclopedia libre del póquer

sernam.ru - Biblioteca científica de publicaciones seleccionadas de ciencias naturales

reshim.su - sitio web RESOLVEMOS tareas de control del curso

unfx.ru - Forex en UNFX: formación, señales comerciales, gestión de confianza

slovopedia.com - El gran diccionario enciclopédico de Slovopedia

pokermansion.3dn.ru - Tu guía para el mundo del póquer

statanaliz.info - blog de información "Análisis estadístico de datos"

forex-trader.rf - portal de Forex-Trader

megafx.ru: análisis de Forex actualizado

fx-by.com: todo para el comerciante

- el número de niños entre 10 recién nacidos.

Está bastante claro que este número no se conoce de antemano, y en los próximos diez niños nacidos puede haber:

O chicos - uno y solo uno de las opciones enumeradas.

Y, para mantenerse en forma, un poco de educación física:

- rango de salto de longitud (en algunas unidades).

Incluso el maestro de los deportes no puede predecirla :)

Sin embargo, ¿tu hipótesis?

2) Variable aleatoria continua - toma todos valores numéricos de algún rango finito o infinito.

Nota : en la literatura educativa, las abreviaturas DSV y NSV son populares

Primero, analicemos una variable aleatoria discreta, luego - continuo.

Ley de distribución de una variable aleatoria discreta

- este es correspondencia entre los posibles valores de esta cantidad y sus probabilidades. La mayoría de las veces, la ley está escrita en una tabla:

Muy a menudo el término hilera distribución pero suena ambiguo en algunas situaciones, así que me ceñiré a la "ley".

Y ahora punto muy importante: desde la variable aleatoria necesariamente Va a aceptar uno de los significados, entonces los eventos correspondientes forman grupo completo y la suma de las probabilidades de que ocurran es igual a uno:

o, si el escrito está colapsado:

Entonces, por ejemplo, la ley de distribución de probabilidades de puntos arrojados en un dado es la siguiente:

Sin comentarios.

Es posible que tenga la impresión de que una variable aleatoria discreta solo puede tomar valores enteros "buenos". Disipemos la ilusión, pueden ser cualquier cosa:

Ejemplo 1

Algunos juegos tienen la siguiente ley de distribución ganadora:

... probablemente hayas soñado con este tipo de tareas durante mucho tiempo :) Te contaré un secreto: yo también. Especialmente después de terminar el trabajo teoría de campo.

Solución: dado que una variable aleatoria puede tomar solo uno de tres valores, los eventos correspondientes forman grupo completo, lo que significa que la suma de sus probabilidades es igual a uno:

Expondremos al "partidista":

- por tanto, la probabilidad de ganar unidades convencionales es de 0,4.

Control: lo que se requería para estar convencido.

Respuesta:

No es raro que la ley de distribución deba elaborarse de forma independiente. Para hacer esto, use definición clásica de probabilidad, teoremas de multiplicación / suma para probabilidades de eventos y otros chips tervera:

Ejemplo 2

La caja contiene 50 billetes de lotería, de los cuales 12 son ganadores, 2 de ellos ganan 1.000 rublos cada uno, y el resto, 100 rublos cada uno. Elabore la ley de distribución de una variable aleatoria: el tamaño de la recompensa, si se saca un boleto al azar de la caja.

Solución: como notó, es costumbre ordenar los valores de una variable aleatoria en orden ascendente... Por lo tanto, comenzamos con las ganancias más pequeñas, a saber, los rublos.

Hay 50 - 12 = 38 de estos boletos en total, y definición clásica:
- la probabilidad de que un billete extraído al azar resulte perdedor.

El resto de casos son sencillos. La probabilidad de ganar rublos es:

Revisados: ¡y este es un momento particularmente agradable de tales tareas!

Respuesta: la distribución requerida del pago:

La siguiente tarea para una solución independiente:

Ejemplo 3

La probabilidad de que el tirador dé en el blanco es. Elabore la ley de distribución de una variable aleatoria: el número de aciertos después de 2 disparos.

... Sabía que lo extrañabas :) Recuerda teoremas de multiplicación y suma... Solución y respuesta al final de la lección.

La ley de distribución describe completamente una variable aleatoria, pero en la práctica es útil (ya veces más útil) conocer solo una parte de ella. características numéricas .

La expectativa matemática de una variable aleatoria discreta

En términos simples, es valor medio esperado con repetición múltiple de pruebas. Deje que una variable aleatoria tome valores con probabilidades respectivamente. Entonces la expectativa matemática de una variable aleatoria dada es suma de productos de todos sus valores a las probabilidades correspondientes:

o colapsado:

Calculemos, por ejemplo, la expectativa matemática de una variable aleatoria: la cantidad de puntos que se dejan caer en un dado:

Ahora recordemos nuestro juego hipotético:

Surge la pregunta: ¿es rentable jugar a este juego? … ¿Quién tiene qué impresiones? ¡Así que después de todo "de improviso" y no dirás! Pero esta pregunta se puede responder fácilmente calculando el valor esperado, de hecho: peso promedio por las probabilidades de ganar:

Por lo tanto, la expectativa matemática de este juego perdiendo.

No confíe en las impresiones, ¡confíe en los números!

Sí, aquí puedes ganar 10 o incluso 20-30 veces seguidas, pero a la larga lo arruinaremos inevitablemente. Y no te aconsejaría que jugaras a esos juegos :) Bueno, tal vez solo por diversión.

De todo lo anterior, se deduce que la expectativa matemática ya no es un valor ALEATORIO.

Tarea creativa para el autoaprendizaje:

Ejemplo 4

El Sr. X juega a la ruleta europea según el siguiente sistema: apuesta constantemente 100 rublos al "rojo". Elabore la ley de distribución de una variable aleatoria: su ganancia. Calcula la expectativa matemática de una victoria y redondeala al kopeck más cercano. Cuantos promedio el jugador pierde con cada cien apuesta?

referencia : La ruleta europea contiene 18 sectores rojos, 18 negros y 1 verde ("cero"). En el caso de un golpe "rojo", el jugador recibe una apuesta duplicada; de lo contrario, se destina a los ingresos del casino.

Hay muchos otros sistemas de ruleta para los que puede crear sus propias tablas de probabilidad. Pero este es el caso cuando no necesitamos ninguna ley de distribución ni tablas, porque se ha establecido con certeza que la expectativa matemática del jugador será exactamente la misma. De sistema a sistema solo cambios