குறிப்பிடத்தக்க காரணிகளின் எண்ணிக்கையைப் பொறுத்து, பின்னடைவு பிரிக்கப்பட்டுள்ளது. தரவு பகுப்பாய்வின் அடிப்படைகள். பின்னடைவை வரையறுத்தல்

6. பின்னடைவு பகுப்பாய்வின் தரத்தின் அளவை பிரதிபலிக்கும் முக்கிய காட்டி தீர்மானக் குணகம் (R 2).

தீர்மானக் குணகம்சார்ந்துள்ள மாறி எவ்வளவு என்பதைக் காட்டுகிறது " மணிக்குபகுப்பாய்வில் கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ளப்பட்டது மற்றும் பகுப்பாய்வில் சேர்க்கப்பட்டுள்ள காரணிகளின் தாக்கத்தால் ஏற்படுகிறது.

தீர்மானக் குணகம் (ஆர் 2)இடையில் மதிப்புகளை எடுக்கும். பின்னடைவு சமன்பாடு தரமானதாக இருந்தால் ஆர் 2 ≥0,8.

நிர்ணயம் குணகம் தொடர்பு குணகத்தின் சதுரத்திற்கு சமம், அதாவது.

எடுத்துக்காட்டு 6.1.பின்வரும் தரவைப் பயன்படுத்தி, பின்னடைவு சமன்பாட்டை உருவாக்கி பகுப்பாய்வு செய்யவும்:

தீர்வு

1) தொடர்பு குணகத்தைக் கணக்கிடுங்கள்: அறிகுறிகளுக்கிடையிலான உறவு நேரடி மற்றும் மிதமானது.

2) ஒரு ஜோடிவழி நேரியல் பின்னடைவு சமன்பாட்டை உருவாக்கவும்.

2.1) ஒரு கணக்கீட்டு அட்டவணையை உருவாக்கவும்.

,

இணையாக நேரியல் பின்னடைவு சமன்பாடு: y x = 25.17 + 0.087x.

3) தத்துவார்த்த மதிப்புகளைக் கண்டறியவும் y x"பின்னடைவு சமன்பாட்டில் உண்மையான மதிப்புகளை மாற்றுவதன் மூலம்" என். எஸ்».

4) உண்மையான வரைபடங்களை உருவாக்குங்கள் " y "மற்றும் தத்துவார்த்த மதிப்புகள் " y xபயனுள்ள அறிகுறி (படம் 6.1): r xy = 0.47) மற்றும் குறைந்த எண்ணிக்கையிலான அவதானிப்புகள்.

7) தீர்மானத்தின் குணகத்தைக் கணக்கிடுங்கள்: ஆர் 2= (0.47) 2 = 0.22. கட்டப்பட்ட சமன்பாடு தரமற்றது.

ஏனெனில் பின்னடைவு பகுப்பாய்வின் போது கணக்கீடுகள் மிகவும் பெரியவை, சிறப்பு நிரல்களைப் பயன்படுத்த பரிந்துரைக்கப்படுகிறது ("ஸ்டாடிஸ்டிக் 10", SPSS, முதலியன).

படம் 6.2 புள்ளியியல் 10 நிரலைப் பயன்படுத்தி மேற்கொள்ளப்பட்ட பின்னடைவு பகுப்பாய்வின் முடிவுகளுடன் ஒரு அட்டவணையைக் காட்டுகிறது.

படம் 6.2. "ஸ்டாடிஸ்டிக் 10" நிரலைப் பயன்படுத்தி மேற்கொள்ளப்பட்ட பின்னடைவு பகுப்பாய்வின் முடிவுகள்

5. இலக்கியம்:

1. Gmurman V.E. நிகழ்தகவு கோட்பாடு மற்றும் கணித புள்ளிவிவரங்கள்: பாடநூல். பல்கலைக்கழகங்களுக்கான கையேடு / V.E. கர்மன். - எம்.: உயர்நிலைப் பள்ளி, 2003.-- 479 பக்.

2. கொய்சுபேக்கோவ் பி.கே. பயோஸ்டாட்டிஸ்டிக்ஸ்: பாடநூல். - அல்மாட்டி: எவெரோ, 2014.-- 154 பக்.

3. லோபோட்ஸ்காயா என்.எல். உயர் கணிதம். / என்.எல். லோபோட்ஸ்கயா, யு.வி. மொரோசோவ், ஏ.ஏ. துனேவ். - மின்ஸ்க்: உயர்நிலைப் பள்ளி, 1987.-- 319 பக்.

4. மருத்துவ வி.ஏ., டோக்மாச்சேவ் எம்.எஸ்., ஃபிஷ்மேன் பி.பி. மருத்துவம் மற்றும் உயிரியலில் புள்ளியியல்: ஒரு கையேடு. 2 தொகுதிகளில் / எட். யூ.எம். கோமரோவ். டி 1. தத்துவார்த்த புள்ளிவிவரங்கள். - எம்.: மருத்துவம், 2000.-- 412 பக்.

5. பொது சுகாதாரம் மற்றும் சுகாதாரப் பாதுகாப்பு பற்றிய புள்ளிவிவர பகுப்பாய்வு முறைகளின் பயன்பாடு: பாடநூல் / பதிப்பு. V.Z. குசேரென்கோ - 4 வது பதிப்பு, ரெவ். மற்றும் சேர்க்க. - எம்.: ஜியோடார்- மீடியா, 2011 .-- 256 பக்.

பின்னடைவு பகுப்பாய்வு என்பது ஆய்வு செய்யப்பட்ட அம்சங்களுக்கிடையில் சீரற்ற உறவின் பகுப்பாய்வு வெளிப்பாட்டை நிறுவுவதற்கான ஒரு முறையாகும். பின்னடைவு சமன்பாடு சராசரி எவ்வாறு மாறுகிறது என்பதைக் காட்டுகிறது மணிக்குஎந்த மாற்றும் போது எக்ஸ் நான் , மற்றும் வடிவம் உள்ளது:

எங்கே y -சார்பு மாறி (அது எப்போதும் ஒன்று);

என். எஸ் நான் - சுயாதீன மாறிகள் (காரணிகள்) (அவற்றில் பல இருக்கலாம்).

ஒரே ஒரு விளக்க மாறி இருந்தால், இது ஒரு எளிய பின்னடைவு பகுப்பாய்வு. அவற்றில் பல இருந்தால் ( என். எஸ் 2), அத்தகைய பகுப்பாய்வு மல்டிவேரியேட் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

பின்னடைவு பகுப்பாய்வின் போது, ​​இரண்டு முக்கிய பணிகள் தீர்க்கப்படுகின்றன:

பின்னடைவு சமன்பாட்டை உருவாக்குதல், அதாவது. இறுதி காட்டி மற்றும் சுயாதீன காரணிகளுக்கு இடையிலான உறவின் வகையைக் கண்டறிதல் எக்ஸ் 1 , எக்ஸ் 2 , …, எக்ஸ் என் .

இதன் விளைவாக வரும் சமன்பாட்டின் முக்கியத்துவத்தின் மதிப்பீடு, அதாவது. தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட காரணி பண்புக்கூறுகள் பண்பின் மாறுபாட்டை எந்த அளவுக்கு விளக்குகிறது என்பதை தீர்மானித்தல் மணிக்கு

பின்னடைவு பகுப்பாய்வு முக்கியமாக திட்டமிடலுக்காகவும், ஒழுங்குமுறை கட்டமைப்பின் வளர்ச்சிக்கும் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

தொடர்புபடுத்தப்பட்ட பகுப்பாய்வைப் போலல்லாமல், பகுப்பாய்வு செய்யப்பட்ட அம்சங்களுக்கு இடையே ஒரு உறவு இருக்கிறதா என்ற கேள்விக்கு மட்டுமே பதிலளிக்கிறது, பின்னடைவு பகுப்பாய்வு அதன் முறையான வெளிப்பாட்டையும் அளிக்கிறது. கூடுதலாக, தொடர்பு பகுப்பாய்வு காரணிகளின் ஏதேனும் ஒன்றோடொன்று இணைப்பைப் படித்தால், பின்னடைவு பகுப்பாய்வு ஒருதலைப்பட்ச சார்புநிலையை ஆய்வு செய்கிறது, அதாவது. காரணி அறிகுறிகளின் மாற்றம் எவ்வாறு பயனுள்ள அடையாளத்தை பாதிக்கிறது என்பதைக் காட்டும் உறவு.

பின்னடைவு பகுப்பாய்வு கணித புள்ளிவிவரங்களின் மிகவும் வளர்ந்த முறைகளில் ஒன்றாகும். கண்டிப்பாகச் சொன்னால், பின்னடைவு பகுப்பாய்வைச் செயல்படுத்த, பல சிறப்புத் தேவைகளைப் பூர்த்தி செய்வது அவசியம் (குறிப்பாக, எக்ஸ்எல் , எக்ஸ் 2 , ..., எக்ஸ் என் ;ஒய்சுதந்திரமாக இருக்க வேண்டும், நிலையான மாறுபாடுகளுடன் பொதுவாக விநியோகிக்கப்படும் சீரற்ற மாறிகள்). நிஜ வாழ்க்கையில், பின்னடைவு மற்றும் தொடர்பு பகுப்பாய்வின் தேவைகளுடன் கடுமையான இணக்கம் மிகவும் அரிது, ஆனால் இந்த இரண்டு முறைகளும் பொருளாதார ஆராய்ச்சியில் மிகவும் பொதுவானவை. பொருளாதாரத்தில் சார்புகள் நேரடியாக மட்டுமல்ல, தலைகீழ் மற்றும் நேரியல் அல்லாததாகவும் இருக்கலாம். எந்தவொரு சார்பு முன்னிலையிலும் ஒரு பின்னடைவு மாதிரியை உருவாக்க முடியும், இருப்பினும், பன்முக பகுப்பாய்வில், வடிவத்தின் நேரியல் மாதிரிகள் மட்டுமே பயன்படுத்தப்படுகின்றன:

பின்னடைவு சமன்பாட்டின் கட்டுமானம், ஒரு விதியாக, குறைந்தபட்ச சதுர முறையால் மேற்கொள்ளப்படுகிறது, இதன் சாராம்சம் அதன் கணக்கிடப்பட்ட மதிப்புகளிலிருந்து விளைவிக்கும் பண்புகளின் உண்மையான மதிப்புகளின் விலகல்களின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகையை குறைப்பதாகும், அதாவது:

எங்கே டி -அவதானிப்புகளின் எண்ணிக்கை;

ஜெ =a + b 1 எக்ஸ் 1 ஜெ + பி 2 எக்ஸ் 2 ஜெ + ... + பி என் என். எஸ் என் ஜெ - விளைவாக காரணி கணக்கிடப்பட்ட மதிப்பு.

தனிப்பட்ட கணினி அல்லது சிறப்பு நிதி கால்குலேட்டருக்கான பகுப்பாய்வு தொகுப்புகளைப் பயன்படுத்தி பின்னடைவு குணகங்களை தீர்மானிக்க பரிந்துரைக்கப்படுகிறது. எளிமையான வழக்கில், படிவத்தின் ஒரு வழி நேரியல் பின்னடைவு சமன்பாட்டின் பின்னடைவு குணகங்கள் y = a + bxசூத்திரங்கள் மூலம் காணலாம்:

கிளஸ்டர் பகுப்பாய்வு

கொத்து பகுப்பாய்வு என்பது மக்கள்தொகையை தொகுப்பதற்காக வடிவமைக்கப்பட்ட பன்முக பகுப்பாய்வு முறைகளில் ஒன்றாகும், இதன் கூறுகள் பல அம்சங்களால் வகைப்படுத்தப்படுகின்றன. ஒவ்வொரு பண்புக்கூறின் மதிப்புகளும் படித்த மக்கள்தொகையின் ஒவ்வொரு பிரிவின் ஒருங்கிணைப்புகளாகப் பல பரிமாணப் பண்புக்கூறுகளில் செயல்படுகின்றன. பல குறிகாட்டிகளின் மதிப்புகளால் வகைப்படுத்தப்படும் ஒவ்வொரு அவதானிப்பும் இந்த குறிகாட்டிகளின் இடைவெளியில் ஒரு புள்ளியாக குறிப்பிடப்படலாம், அவற்றின் மதிப்புகள் பல பரிமாண இடைவெளியில் ஒருங்கிணைப்புகளாகக் கருதப்படுகின்றன. புள்ளிகளுக்கு இடையிலான தூரம் ஆர்மற்றும் கேஉடன் கேஒருங்கிணைப்புகள் இவ்வாறு வரையறுக்கப்படுகின்றன:

க்ளஸ்டரிங்கிற்கான முக்கிய அளவுகோல் என்னவென்றால், க்ளஸ்டர்களுக்கிடையேயான வேறுபாடுகள் ஒரே க்ளஸ்டருக்கு ஒதுக்கப்பட்ட அவதானிப்புகளை விட குறிப்பிடத்தக்கதாக இருக்க வேண்டும், அதாவது. பல பரிமாண இடைவெளியில், சமத்துவமின்மையை கவனிக்க வேண்டும்:

எங்கே ஆர் 1, 2 - கொத்துகளுக்கு இடையிலான தூரம் 1 மற்றும் 2.

பின்னடைவு பகுப்பாய்வு நடைமுறைகளைப் போலவே, கிளஸ்டரிங் செயல்முறை மிகவும் கடினமானது, அதை கணினியில் செய்வது நல்லது.

பின்னடைவு என்றால் என்ன?

இரண்டு தொடர்ச்சியான மாறிகளைக் கவனியுங்கள் x = (x 1, x 2, .., x n), y = (y 1, y 2, ..., y n).

2 டி சிதறல் சதித்திட்டத்தில் புள்ளிகளை வைத்து, எங்களிடம் உள்ளது என்று சொல்லலாம் நேரியல் உறவுதரவு ஒரு நேர்கோட்டுடன் பொருத்தப்பட்டால்.

நாம் அதை நம்பினால் ஒய்பொறுத்தது எக்ஸ், மற்றும் மாற்றங்கள் ஒய்உள்ள மாற்றங்களால் துல்லியமாக ஏற்படுகிறது எக்ஸ், நாம் பின்னடைவு வரியை தீர்மானிக்க முடியும் (பின்னடைவு ஒய்அன்று எக்ஸ்), இந்த இரண்டு மாறிகள் இடையே உள்ள நேரடியான உறவை சிறப்பாக விவரிக்கிறது.

"பின்னடைவு" என்ற வார்த்தையின் புள்ளிவிவர பயன்பாடு சர் ஃபிரான்சிஸ் கால்டன் (1889) காரணமாகக் கூறப்படும் பின்னடைவு என்று அழைக்கப்படும் ஒரு நிகழ்விலிருந்து வருகிறது.

உயரமான தந்தைகள் உயரமான மகன்களைப் பெற்றிருந்தாலும், மகன்களின் சராசரி உயரம் அவர்களின் உயரமான தந்தையை விடக் குறைவாக இருப்பதை அவர் காட்டினார். மகன்களின் சராசரி உயரம் மக்கள்தொகையில் உள்ள அனைத்து தந்தையர்களின் சராசரி உயரத்திற்கு "பின்னடைவு" மற்றும் "தலைகீழ்". எனவே, சராசரியாக, உயரமான தந்தைகளுக்கு குறைந்த (ஆனால் இன்னும் உயரமான) மகன்கள் உள்ளனர், மற்றும் கீழ் தந்தையர்களுக்கு அதிக (ஆனால் இன்னும் குறுகிய) மகன்கள் உள்ளனர்.

பின்னடைவு வரி

ஒரு எளிய (ஜோடி) நேரியல் பின்னடைவு வரியை மதிப்பிடும் ஒரு கணித சமன்பாடு:

எக்ஸ்சுயாதீன மாறி அல்லது முன்கணிப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது.

ஒய்- சார்ந்து மாறி அல்லது பதில் மாறி. இது நாங்கள் எதிர்பார்க்கும் மதிப்பு ஒய்(சராசரியாக) நமக்கு மதிப்பு தெரிந்தால் எக்ஸ், அதாவது இது "கணிக்கப்பட்ட மதிப்பு ஒய்»

• ஒருமதிப்பீட்டு வரியின் இலவச உறுப்பினர் (குறுக்குவெட்டு); இந்த மதிப்பு ஒய், எப்பொழுது x = 0(வரைபடம். 1).
• bமதிப்பிடப்பட்ட வரியின் சாய்வு அல்லது சாய்வு; இது எந்த அளவைக் குறிக்கிறது ஒய்நாம் அதிகரித்தால் சராசரியாக அதிகரிக்கும் எக்ஸ்ஒரு அலகு மூலம்.
• ஒருமற்றும் bமதிப்பிடப்பட்ட வரியின் பின்னடைவு குணகங்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன, இருப்பினும் இந்த சொல் பெரும்பாலும் இதற்கு மட்டுமே பயன்படுத்தப்படுகிறது b.

இணைக்கப்பட்ட நேரியல் பின்னடைவை ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட சுயாதீன மாறிகள் சேர்க்க நீட்டிக்க முடியும்; இந்த வழக்கில் அது அறியப்படுகிறது பல பின்னடைவு.

வரைபடம். 1. A இன் குறுக்குவெட்டு மற்றும் b இன் சாய்வைக் காட்டும் நேரியல் பின்னடைவு கோடு (x ஒரு அலகு அதிகரிக்கும்போது Y இன் அளவு அதிகரிக்கிறது)

குறைந்த சதுர முறை

அவதானிப்பு மாதிரியைப் பயன்படுத்தி பின்னடைவு பகுப்பாய்வை நாங்கள் செய்கிறோம் ஒருமற்றும் b- உண்மையான (பொது) அளவுருக்களின் மாதிரி மதிப்பீடுகள், α மற்றும் β, இது மக்கள்தொகையில் (பொது மக்கள் தொகை) நேரியல் பின்னடைவின் கோட்டை தீர்மானிக்கிறது.

குணகங்களை நிர்ணயிக்கும் எளிய முறை ஒருமற்றும் bஒரு குறைந்தபட்ச சதுர முறை(OLS).

மீதமுள்ளவற்றைக் கருத்தில் கொண்டு பொருத்தம் மதிப்பிடப்படுகிறது (கோட்டிலிருந்து ஒவ்வொரு புள்ளியின் செங்குத்து தூரம், எடுத்துக்காட்டாக, எச்சம் = கவனிக்கப்பட்டது ஒய்- கணிக்கப்பட்டது ஒய், அரிசி. 2)

எஞ்சியவர்களின் சதுரங்களின் தொகை குறைவாக இருக்கும் வகையில் சிறந்த பொருத்தம் கோடு தேர்ந்தெடுக்கப்படுகிறது.

அரிசி. 2. ஒவ்வொரு புள்ளிக்கும் சித்தரிக்கப்பட்ட எச்சங்களுடன் நேரியல் பின்னடைவு கோடு (செங்குத்து கோடு கோடுகள்).

நேரியல் பின்னடைவு அனுமானங்கள்

எனவே, கவனிக்கப்பட்ட ஒவ்வொரு மதிப்பிற்கும், எஞ்சியவை வேறுபாடு மற்றும் அதனுடன் தொடர்புடைய கணிக்கப்பட்ட மதிப்புக்கு சமமாக இருக்கும். ஒவ்வொரு எச்சமும் நேர்மறை அல்லது எதிர்மறையாக இருக்கலாம்.

நேரியல் பின்னடைவின் அடிப்படையிலான பின்வரும் அனுமானங்களைச் சோதிக்க மீதமுள்ளவற்றை நீங்கள் பயன்படுத்தலாம்:

• நிலுவைகள் பொதுவாக பூஜ்ஜிய சராசரியுடன் விநியோகிக்கப்படுகின்றன;

நேரியல், இயல்பு மற்றும் / அல்லது மாறிலி மாறுபாட்டின் அனுமானங்கள் கேள்விக்குறியாக இருந்தால், இந்த அனுமானங்கள் திருப்தி அடையும் ஒரு புதிய பின்னடைவு வரியை நாம் மாற்றலாம் அல்லது கணக்கிடலாம் (உதாரணமாக, ஒரு பதிவு மாற்றத்தைப் பயன்படுத்தவும், முதலியன).

அசாதாரண மதிப்புகள் (அவுட்லியர்கள்) மற்றும் செல்வாக்கு புள்ளிகள்

ஒரு "செல்வாக்கு மிக்க" கவனிப்பு, தவிர்க்கப்பட்டால், மாதிரி அளவுருக்களின் ஒன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட மதிப்பீடுகளை மாற்றுகிறது (அதாவது, சாய்வு அல்லது இடைமறிப்பு).

ஒரு அவுட்லியர் (ஒரு தரவுத்தொகுப்பில் உள்ள பெரும்பாலான மதிப்புகளுக்கு முரணான ஒரு அவதானிப்பு) ஒரு "செல்வாக்கு மிக்க" கண்காணிப்பாக இருக்கலாம் மற்றும் 2D சிதறல் சதி அல்லது எஞ்சிய சதித்திட்டத்திலிருந்து பார்க்கும் போது நன்கு கண்காணிக்க முடியும்.

அவுட்லியர்கள் மற்றும் "செல்வாக்கு மிக்க" அவதானிப்புகளுக்கு (புள்ளிகள்), மாதிரிகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன, அவற்றுடன் மற்றும் இல்லாமல், மதிப்பீட்டின் மாற்றத்தில் (பின்னடைவு குணகம்) கவனம் செலுத்துகிறது.

ஒரு பகுப்பாய்வைச் செய்யும்போது, ​​புறக்கணிப்புகள் அல்லது செல்வாக்கு புள்ளிகளை தானாக நிராகரிக்க வேண்டாம், ஏனெனில் எளிய புறக்கணிப்பு பெறப்பட்ட முடிவுகளை பாதிக்கும். இந்த வெளிப்பாடுகளின் காரணங்களை எப்போதும் ஆராய்ந்து பகுப்பாய்வு செய்யுங்கள்.

நேரியல் பின்னடைவு கருதுகோள்

ஒரு நேரியல் பின்னடைவை உருவாக்கும் போது, ​​பூஜ்ய கருதுகோள் சோதிக்கப்படுகிறது பின்னடைவு வரி slo இன் பொது சாய்வு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்.

கோட்டின் சாய்வு பூஜ்ஜியமாக இருந்தால், மற்றும் இடையே நேரியல் உறவு இல்லை: மாற்றம் பாதிக்காது

உண்மையான சாய்வு பூஜ்யம் என்று பூஜ்ய கருதுகோளை சோதிக்க, நீங்கள் பின்வரும் வழிமுறையைப் பயன்படுத்தலாம்:

சுதந்திரத்தின் அளவைக் கொண்ட ஒரு விநியோகத்திற்கு கீழ்ப்படிந்த விகிதத்திற்கு சமமான ஒரு சோதனை புள்ளிவிவரத்தைக் கணக்கிடுங்கள், அங்கு குணகத்தின் நிலையான பிழை

,

- எச்சங்களின் மாறுபாட்டின் மதிப்பீடு.

வழக்கமாக, அடையப்பட்ட முக்கியத்துவத்தின் அளவு பூஜ்ய கருதுகோள் நிராகரிக்கப்படும்.

இரண்டு பக்க சோதனையின் நிகழ்தகவை வழங்கும் சுதந்திரத்தின் அளவைக் கொண்ட விநியோகத்தின் சதவீத புள்ளி எங்கே

இது 95% நிகழ்தகவுடன் பொது சாய்வைக் கொண்டிருக்கும் இடைவெளி.

பெரிய மாதிரிகளுக்கு, நாம் 1.96 மதிப்பைக் கொண்டு தோராயமாகச் சொல்லலாம் என்று வைத்துக்கொள்வோம் (அதாவது, அளவுகோல் புள்ளிவிவரங்கள் ஒரு சாதாரண விநியோகத்திற்குச் செல்லும்)

நேரியல் பின்னடைவின் தர மதிப்பீடு: தீர்மானத்தின் குணகம் R 2

நேரியல் உறவின் காரணமாக, அது மாறும்போது அது மாறும் என்று நாங்கள் எதிர்பார்க்கிறோம் , மற்றும் பின்னடைவால் ஏற்படும் அல்லது விளக்கப்படும் இந்த மாறுபாட்டை நாங்கள் அழைக்கிறோம். மீதமுள்ள மாறுபாடு முடிந்தவரை சிறியதாக இருக்க வேண்டும்.

இந்த நிலை இருந்தால், பெரும்பாலான மாறுபாடுகள் பின்னடைவு காரணமாக இருக்கும், மேலும் புள்ளிகள் பின்னடைவு கோட்டுக்கு அருகில் இருக்கும், அதாவது. வரி தரவுகளுடன் நன்றாக பொருந்துகிறது.

பின்னடைவால் விளக்கப்படும் மொத்த மாறுபாட்டின் விகிதம் அழைக்கப்படுகிறது தீர்மானத்தின் குணகம், பொதுவாக சதவிகிதம் மற்றும் குறிப்பால் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது ஆர் 2(ஜோடி நேரியல் பின்னடைவில், இது மதிப்பு r 2, தொடர்பு குணகத்தின் சதுரம்), பின்னடைவு சமன்பாட்டின் தரத்தை அகநிலை மதிப்பீடு செய்ய உங்களை அனுமதிக்கிறது.

வேறுபாடு என்பது பின்னடைவால் விளக்க முடியாத மாறுபாட்டின் சதவீதமாகும்.

மதிப்பீடு செய்ய முறையான சோதனை இல்லை, பின்னடைவு வரி பொருத்தத்தின் தரத்தை தீர்மானிக்க நாம் அகநிலை தீர்ப்பை நம்பியிருக்க வேண்டும்.

முன்னறிவிப்புக்கு பின்னடைவு கோட்டைப் பயன்படுத்துதல்

கவனிக்கப்பட்ட வரம்பிற்குள் உள்ள மதிப்பில் இருந்து ஒரு மதிப்பை கணிக்க நீங்கள் ஒரு பின்னடைவு வரியைப் பயன்படுத்தலாம் (இந்த வரம்புகளுக்கு வெளியே ஒருபோதும் விரிவாக்க வேண்டாம்).

பின்னடைவு வரி சமன்பாட்டில் அந்த மதிப்பைச் செருகுவதன் மூலம் ஒரு குறிப்பிட்ட மதிப்பைக் கொண்ட கண்காணிக்கக்கூடியவற்றுக்கான சராசரியை நாங்கள் கணிக்கிறோம்.

எனவே, மக்கள்தொகையில் உண்மையான சராசரிக்கான நம்பிக்கை இடைவெளியை மதிப்பிடுவதற்கு இந்த கணிக்கப்பட்ட மதிப்பையும் அதன் நிலையான பிழையையும் நாங்கள் எவ்வாறு பயன்படுத்துகிறோம் என்று நாம் கணித்தால்.

வெவ்வேறு மதிப்புகளுக்கு இந்த நடைமுறையை மீண்டும் மீண்டும் செய்வது இந்த வரியின் நம்பிக்கை வரம்புகளை உருவாக்க உங்களை அனுமதிக்கிறது. இது உண்மையான வரியைக் கொண்ட இசைக்குழு அல்லது பகுதி, எடுத்துக்காட்டாக, 95% நம்பிக்கை நிலை.

எளிய பின்னடைவு வடிவமைப்புகள்

எளிய பின்னடைவு வடிவமைப்புகளில் ஒரு தொடர்ச்சியான முன்கணிப்பு உள்ளது. P முன்கணிப்பு மதிப்புகளுடன் 3 வழக்குகள் இருந்தால், எடுத்துக்காட்டாக, 7, 4, மற்றும் 9, மற்றும் வடிவமைப்பு முதல் வரிசை விளைவு P ஐ உள்ளடக்கியிருந்தால், வடிவமைப்பு மேட்ரிக்ஸ் X படிவத்தைக் கொண்டிருக்கும்

மற்றும் X1 க்கான P ஐப் பயன்படுத்தி பின்னடைவு சமன்பாடு தெரிகிறது

Y = b0 + b1 P

ஒரு எளிய பின்னடைவு வடிவமைப்பில் P இல் ஒரு உயர்-வரிசை விளைவு இருந்தால், ஒரு இருபடி விளைவு, பின்னர் வடிவமைப்பு மேட்ரிக்ஸில் X1 நெடுவரிசையில் உள்ள மதிப்புகள் இரண்டாவது சக்திக்கு உயர்த்தப்படும்:

மற்றும் சமன்பாடு வடிவம் பெறுகிறது

Y = b0 + b1 P2

சிக்மா-கட்டுப்படுத்தப்பட்ட மற்றும் மிகைப்படுத்தப்பட்ட குறியீட்டு முறைகள் எளிய பின்னடைவு வடிவமைப்புகள் மற்றும் தொடர்ச்சியான முன்கணிப்புகளை மட்டுமே கொண்ட பிற வடிவமைப்புகளுக்குப் பொருந்தாது (ஏனெனில் வகைப்படுத்தப்பட்ட முன்கணிப்பாளர்கள் வெறுமனே இல்லை). தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட குறியீட்டு முறையைப் பொருட்படுத்தாமல், தொடர்ச்சியான மாறிகளின் மதிப்புகள் பொருத்தமான அளவிற்கு அதிகரிக்கப்பட்டு X மாறிகளின் மதிப்புகளாகப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. இந்த வழக்கில், மறுவடிவமைப்பு செய்யப்படவில்லை. கூடுதலாக, பின்னடைவு வடிவமைப்புகளை விவரிக்கும் போது, ​​வடிவமைப்பு மேட்ரிக்ஸ் எக்ஸ் கருத்தை நீங்கள் தவிர்க்கலாம் மற்றும் பின்னடைவு சமன்பாட்டோடு மட்டுமே வேலை செய்யலாம்.

உதாரணம்: எளிய பின்னடைவு பகுப்பாய்வு

இந்த உதாரணம் அட்டவணையில் வழங்கப்பட்ட தரவைப் பயன்படுத்துகிறது:

அரிசி. 3. ஆரம்ப தரவுகளின் அட்டவணை.

தோராயமாக தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட 30 மாவட்டங்களில் 1960 மற்றும் 1970 மக்கள் தொகை கணக்கெடுப்பின் ஒப்பீட்டிலிருந்து தரவு தொகுக்கப்பட்டது. மாவட்ட பெயர்கள் கவனிப்பு பெயர்களாக குறிப்பிடப்படுகின்றன. ஒவ்வொரு மாறிகள் பற்றிய தகவல்களும் கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ளன:

அரிசி. 4. மாறி குறிப்புகள் அட்டவணை.

ஆராய்ச்சி பணி

இந்த எடுத்துக்காட்டுக்கு, வறுமை விகிதத்திற்கும் பட்டத்திற்கும் இடையிலான தொடர்பு பகுப்பாய்வு செய்யப்படும், இது வறுமைக் கோட்டுக்குக் கீழே உள்ள குடும்பங்களின் சதவீதத்தை கணிக்கிறது. எனவே, நாம் மாறி 3 (Pt_Poor) ஐ ஒரு சார்பு மாறியாகக் கருதுவோம்.

மக்கள்தொகை மாற்றம் மற்றும் வறுமைக் கோட்டுக்குக் கீழே உள்ள குடும்பங்களின் சதவிகிதம் தொடர்புடையவை என்று அனுமானிக்கலாம். வறுமை மக்கள்தொகை வெளியேற்றத்திற்கு வழிவகுக்கிறது என்று எதிர்பார்ப்பது நியாயமானதாகத் தோன்றுகிறது, எனவே வறுமைக் கோட்டுக்குக் கீழே உள்ள மக்களின் சதவிகிதம் மற்றும் மக்கள் தொகை மாற்றம் ஆகியவற்றுக்கு இடையே எதிர்மறையான தொடர்பு இருக்கும். எனவே, மாறி 1 (Pop_Chng) ஐ ஒரு முன்கணிப்பு மாறியாகக் கருதுவோம்.

பார்க்கும் முடிவுகள்

பின்னடைவு குணகங்கள்

அரிசி. 5. Pop_Chng இல் பின்னடைவு குணகம் Pt_Poor.

Pop_Chng வரிசை மற்றும் பரம் சந்திப்பில். Pop_Chng இல் Pt_Poor பின்னடைவுக்கான தரமற்ற குணகம் -0.40374 ஆகும். இதன் பொருள் மக்கள்தொகையில் ஒவ்வொரு அலகு குறைவுக்கும், வறுமையில் 40374 அதிகரிப்பு உள்ளது. இந்த தரமற்ற குணகத்திற்கான மேல் மற்றும் கீழ் (இயல்புநிலை) 95% நம்பிக்கை வரம்புகள் பூஜ்ஜியத்தை உள்ளடக்குவதில்லை, எனவே பின்னடைவு குணகம் p அளவில் குறிப்பிடத்தக்கதாகும்<.05 . Обратите внимание на не стандартизованный коэффициент, который также является коэффициентом корреляции Пирсона для простых регрессионных планов, равен -.65, который означает, что для каждого уменьшения стандартного отклонения численности населения происходит увеличение стандартного отклонения уровня бедности на.65.

மாறிகள் விநியோகம்

தரவுகளில் பெரிய வெளிப்பாடுகள் இருந்தால் தொடர்பு குணகம் கணிசமாக மிகைப்படுத்தப்படலாம் அல்லது குறைத்து மதிப்பிடப்படலாம். மாவட்ட வாரியாக சார்பு மாறி Pt_Poor விநியோகத்தை ஆராய்வோம். இதைச் செய்ய, Pt_Poor மாறியின் ஒரு ஹிஸ்டோகிராம் உருவாக்கலாம்.

அரிசி. 6. Pt_Poor மாறியின் ஹிஸ்டோகிராம்.

நீங்கள் பார்க்கிறபடி, இந்த மாறியின் விநியோகம் சாதாரண விநியோகத்திலிருந்து குறிப்பிடத்தக்க வகையில் வேறுபடுகிறது. இருப்பினும், இரண்டு மாவட்டங்கள் (இரண்டு வலது கை நெடுவரிசைகள்) கூட சாதாரண விநியோகத்திலிருந்து எதிர்பார்த்ததை விட வறுமைக் கோட்டுக்குக் கீழே உள்ள குடும்பங்களின் அதிக சதவீதத்தைக் கொண்டிருந்தாலும், அவை "எல்லைக்குள்" இருப்பதாகத் தெரிகிறது.

அரிசி. 7. Pt_Poor மாறியின் ஹிஸ்டோகிராம்.

இந்தத் தீர்ப்பு ஓரளவு அகநிலை. கட்டைவிரல் விதியாக, கவனிப்பு (அல்லது அவதானிப்புகள்) இடைவெளியில் வராவிட்டால் (சராசரி விலகலின் சராசரி times 3 மடங்கு) அவுட்லியர்கள் கணக்கிடப்பட வேண்டும். இந்த வழக்கில், மக்கள்தொகையின் உறுப்பினர்களுக்கிடையேயான தொடர்புகளில் குறிப்பிடத்தக்க தாக்கத்தை ஏற்படுத்தாது என்பதை உறுதிசெய்ய, வெளிநாட்டினருடன் மற்றும் இல்லாமல் பகுப்பாய்வை மீண்டும் செய்வது மதிப்பு.

சிதறல் சதி

கருதுகோள்களில் ஒன்று கொடுக்கப்பட்ட மாறிகளுக்கு இடையிலான உறவைப் பற்றிய முன்னுரிமையாக இருந்தால், அதனுடன் தொடர்புடைய சிதறல் வரைபடத்தின் வரைபடத்தில் அதைச் சரிபார்க்க பயனுள்ளது.

அரிசி. 8. சிதறல் வரைபடம்.

சிதறல் சதி இரண்டு மாறிகள் இடையே ஒரு தெளிவான எதிர்மறை தொடர்பு (-.65) காட்டுகிறது. இது பின்னடைவு கோட்டிற்கான 95% நம்பிக்கை இடைவெளியையும் காட்டுகிறது, அதாவது, 95% நிகழ்தகவுடன், பின்னடைவு கோடு இரண்டு கோடு வளைவுகளுக்கு இடையில் செல்கிறது.

முக்கியத்துவம் அளவுகோல்

அரிசி. 9. முக்கியத்துவத்திற்கான அளவுகோல்களைக் கொண்ட அட்டவணை.

Pop_Chng பின்னடைவு குணகத்திற்கான அளவுகோல் Pop_Chng Pt_Poor உடன் வலுவாக தொடர்புடையது என்பதை உறுதிப்படுத்துகிறது<.001 .

விளைவு

இந்த உதாரணம் ஒரு எளிய பின்னடைவு வடிவமைப்பை எவ்வாறு பகுப்பாய்வு செய்வது என்பதைக் காட்டியது. தரப்படுத்தப்படாத மற்றும் தரப்படுத்தப்பட்ட பின்னடைவு குணகங்களின் விளக்கமும் வழங்கப்பட்டது. சார்பு மாறியின் பதில்களின் விநியோகத்தைப் படிப்பதன் முக்கியத்துவம் விவாதிக்கப்படுகிறது, மேலும் முன்கணிப்பு மற்றும் சார்பு மாறிக்கிடையேயான உறவின் திசை மற்றும் வலிமையை தீர்மானிப்பதற்கான ஒரு நுட்பம் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

புள்ளிவிவர மாடலிங்கில், பின்னடைவு பகுப்பாய்வு என்பது மாறிகளுக்கு இடையிலான உறவை மதிப்பிடுவதற்குப் பயன்படுத்தப்படும் ஒரு ஆய்வு ஆகும். இந்த கணித நுட்பம் பல மாறிகளை மாடலிங் செய்வதற்கும் பகுப்பாய்வு செய்வதற்கும் பல நுட்பங்களை உள்ளடக்கியது, இதில் சார்பு மாறி மற்றும் ஒன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட சுயாதீன மாறிகளுக்கு இடையிலான உறவில் கவனம் செலுத்தப்படுகிறது. இன்னும் குறிப்பாக, பின்னடைவு பகுப்பாய்வு, விளக்கமளிக்கும் மாறிகளில் ஒன்று மாறினால் மற்ற விளக்க மாறிகள் நிலையானதாக இருந்தால், சார்பு மாறியின் வழக்கமான மதிப்பு எவ்வாறு மாறுகிறது என்பதைப் புரிந்துகொள்ள உதவுகிறது.

எல்லா சந்தர்ப்பங்களிலும், இலக்கு மதிப்பெண் என்பது விளக்க மாறிகளின் செயல்பாடாகும் மற்றும் இது பின்னடைவு செயல்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது. பின்னடைவு பகுப்பாய்வில், சார்பு மாறியின் மாற்றத்தை பின்னடைவு செயல்பாடாக வகைப்படுத்துவது ஆர்வமாக உள்ளது, இது நிகழ்தகவு விநியோகத்தைப் பயன்படுத்தி விவரிக்கப்படலாம்.

பின்னடைவு பகுப்பாய்வு பணிகள்

இந்த புள்ளிவிவர ஆராய்ச்சி முறை கணிப்புக்கு பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது, அங்கு அதன் பயன்பாடு குறிப்பிடத்தக்க நன்மையைக் கொண்டுள்ளது, ஆனால் சில நேரங்களில் அது மாயை அல்லது தவறான அணுகுமுறைகளுக்கு வழிவகுக்கும், எனவே இந்த பிரச்சினையில் கவனமாகப் பயன்படுத்த பரிந்துரைக்கப்படுகிறது, ஏனெனில், உதாரணமாக, தொடர்பு இல்லை காரணம்.

அளவுருவான நேரியல் மற்றும் சாதாரண குறைந்தபட்ச சதுரங்கள் பின்னடைவு போன்ற பின்னடைவு பகுப்பாய்வைச் செய்வதற்கு ஏராளமான முறைகள் உருவாக்கப்பட்டுள்ளன. அவற்றின் சாராம்சம் என்னவென்றால், பின்னடைவு செயல்பாடு வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான அறியப்படாத அளவுருக்களின் அடிப்படையில் வரையறுக்கப்படுகிறது. அளவீடற்ற பின்னடைவு அதன் செயல்பாடுகளை ஒரு குறிப்பிட்ட செயல்பாடுகளில் வைக்க அனுமதிக்கிறது, இது எல்லையற்ற பரிமாணமாக இருக்கலாம்.

ஒரு புள்ளிவிவர ஆராய்ச்சி முறையாக, நடைமுறையில் பின்னடைவு பகுப்பாய்வு தரவு உருவாக்கும் செயல்முறையின் வடிவம் மற்றும் பின்னடைவு அணுகுமுறையுடன் எவ்வாறு தொடர்புடையது என்பதைப் பொறுத்தது. தரவு செயல்முறையின் உண்மையான வடிவம் பொதுவாக அறியப்படாத எண் என்பதால், தரவின் பின்னடைவு பகுப்பாய்வு பெரும்பாலும் செயல்முறை குறித்த அனுமானங்களைப் பொறுத்தது. போதுமான தரவு இருந்தால் இந்த அனுமானங்கள் சில நேரங்களில் சோதிக்கப்படலாம். அனுமானங்கள் மிதமாக உடைக்கப்படும்போது கூட பின்னடைவு மாதிரிகள் பெரும்பாலும் பயனுள்ளதாக இருக்கும், இருப்பினும் அவை முடிந்தவரை திறமையாக வேலை செய்யாது.

ஒரு குறுகிய அர்த்தத்தில், பின்னடைவு குறிப்பாக தொடர்ச்சியான மறுமொழி மாறிகளின் மதிப்பீட்டைக் குறிக்கலாம், வகைப்பாட்டில் பயன்படுத்தப்படும் தனித்துவமான பதில் மாறிகளுக்கு மாறாக. தொடர்ச்சியான வெளியீடு மாறியின் வழக்கு, தொடர்புடைய பிரச்சனைகளிலிருந்து வேறுபடுவதற்கு மெட்ரிக் பின்னடைவு என்றும் அழைக்கப்படுகிறது.

வரலாறு

பின்னடைவின் ஆரம்ப வடிவம் நன்கு அறியப்பட்ட குறைந்தபட்ச சதுர முறை ஆகும். இது 1805 இல் லெஜெண்ட்ரே மற்றும் 1809 இல் காஸ் ஆகியோரால் வெளியிடப்பட்டது. லெஜண்ட்ரே மற்றும் காஸ் ஆகியோர் சூரியனைச் சுற்றியுள்ள உடல்களின் சுற்றுப்பாதைகளை வானியல் அவதானிப்புகளிலிருந்து தீர்மானிக்கும் பிரச்சனைக்கு இந்த முறையைப் பயன்படுத்தினர் (முக்கியமாக வால்மீன்கள், ஆனால் பின்னர் புதிதாக கண்டுபிடிக்கப்பட்ட சிறு கோள்களும்). காஸ்-மார்கோவ் கோட்பாட்டின் பதிப்பு உட்பட 1821 இல் குறைந்த சதுரங்களின் கோட்பாட்டின் மேலும் வளர்ச்சியை காஸ் வெளியிட்டார்.

19 ஆம் நூற்றாண்டில் ஒரு உயிரியல் நிகழ்வை விவரிக்க பிரான்சிஸ் கால்டன் என்பவரால் பின்னடைவு என்ற சொல் உருவாக்கப்பட்டது. முக்கிய விஷயம் என்னவென்றால், முன்னோர்களின் வளர்ச்சியிலிருந்து சந்ததிகளின் வளர்ச்சி, ஒரு விதியாக, சாதாரண சராசரிக்கு பின்வாங்குகிறது. கால்டனைப் பொறுத்தவரை, பின்னடைவுக்கு இந்த உயிரியல் அர்த்தம் மட்டுமே இருந்தது, ஆனால் பின்னர் அவரது பணி உட்னி யோலி மற்றும் கார்ல் பியர்சன் ஆகியோரால் தொடர்ந்தது மற்றும் மிகவும் பொதுவான புள்ளிவிவர சூழலுக்கு கொண்டு வரப்பட்டது. யூல் மற்றும் பியர்சன் ஆகியோரின் பணியில், பதில் மற்றும் விளக்க மாறிகளின் கூட்டு விநியோகம் காசியன் என்று கருதப்படுகிறது. இந்த அனுமானம் 1922 மற்றும் 1925 இல் ஃபிஷரால் நிராகரிக்கப்பட்டது. பதில் மாறியின் நிபந்தனை விநியோகம் காசியன் என்று ஃபிஷர் பரிந்துரைத்தார், ஆனால் கூட்டு விநியோகம் இருக்கக்கூடாது. இது சம்பந்தமாக, ஃபிஷரின் அனுமானம் 1821 இல் காஸ் உருவாவதற்கு நெருக்கமாக உள்ளது. 1970 வரை, பின்னடைவு பகுப்பாய்வின் முடிவைப் பெற சில நேரங்களில் 24 மணிநேரம் வரை ஆகும்.

பின்னடைவு பகுப்பாய்வு முறைகள் செயலில் ஆராய்ச்சியின் ஒரு பகுதியாகத் தொடர்கின்றன. சமீபத்திய தசாப்தங்களில், வலுவான பின்னடைவுக்கு புதிய முறைகள் உருவாக்கப்பட்டுள்ளன; தொடர்புடைய பதில்களுடன் பின்னடைவு; பல்வேறு வகையான காணாமல் போன தரவுகளுக்கு இடமளிக்கும் முறைகள்; அளவீடற்ற பின்னடைவு; பேய்சியன் பின்னடைவு முறைகள்; முன்கணிப்பு மாறிகள் பிழையில் அளவிடப்படும் பின்னடைவுகள்; அவதானிப்புகளை விட அதிக முன்கணிப்பாளர்களுடன் பின்னடைவு; மற்றும் பின்னடைவுடன் காரணமான அனுமானங்கள்.

பின்னடைவு மாதிரிகள்

பின்னடைவு பகுப்பாய்வு மாதிரிகள் பின்வரும் மாறிகள் அடங்கும்:

• அறியப்படாத அளவுருக்கள், குறிப்பிடப்பட்ட பீட்டா, இது ஒரு அளவி அல்லது திசையனாக இருக்கலாம்.
• சுயாதீன மாறிகள், எக்ஸ்.
• சார்பு மாறிகள், ஒய்.

பின்னடைவு பகுப்பாய்வு பயன்படுத்தப்படும் பல்வேறு அறிவியல் துறைகளில், சார்பு மற்றும் சுயாதீன மாறிகளுக்குப் பதிலாக வெவ்வேறு சொற்கள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன, ஆனால் எல்லா சந்தர்ப்பங்களிலும் பின்னடைவு மாதிரி Y மற்றும் X இன் செயல்பாட்டிற்கு Y ஐ ஒதுக்குகிறது.

தோராயமாக பொதுவாக E (Y | X) = F (X, β) வடிவத்தில் எழுதப்படும். பின்னடைவு பகுப்பாய்வை மேற்கொள்ள, f செயல்பாட்டின் வடிவம் தீர்மானிக்கப்பட வேண்டும். பொதுவாக, இது Y மற்றும் X க்கு இடையிலான உறவின் அறிவை அடிப்படையாகக் கொண்டது, இது தரவை நம்பவில்லை. அத்தகைய அறிவு கிடைக்கவில்லை என்றால், ஒரு நெகிழ்வான அல்லது வசதியான F படிவம் தேர்ந்தெடுக்கப்படும்.

சார்ந்து மாறி Y

இப்போது தெரியாத அளவுருக்களின் திசையன் length நீளம் k உடையது என்று வைத்துக்கொள்வோம். பின்னடைவு பகுப்பாய்வைச் செய்ய, பயனர் சார்ந்துள்ள மாறி Y பற்றிய தகவலை வழங்க வேண்டும்:

• படிவத்தின் N தரவு புள்ளிகள் (Y, X) காணப்பட்டால், அங்கு N< k, большинство классических подходов к регрессионному анализу не могут быть выполнены, так как система уравнений, определяющих модель регрессии в качестве недоопределенной, не имеет достаточного количества данных, чтобы восстановить β.

• சரியாக N = K கவனிக்கப்பட்டு, F செயல்பாடு நேரியல் என்றால், Y = F (X, β) சமன்பாட்டை சரியாக தீர்க்க முடியும், தோராயமாக அல்ல. N- தெரியாதவற்றுடன் (உறுப்புகள் β) N- சமன்பாடுகளின் தொகுப்பைத் தீர்ப்பதில் இது கொதிக்கிறது, இது X நேரியல் சுதந்திரமாக இருக்கும் வரை ஒரு தனித்துவமான தீர்வைக் கொண்டுள்ளது. எஃப் நேரியல் அல்லாததாக இருந்தால், தீர்வு இருக்காது அல்லது பல தீர்வுகள் இருக்கலாம்.
• தரவுக்கு N> புள்ளிகள் காணப்படுவது மிகவும் பொதுவான சூழ்நிலை. இந்த வழக்கில், தரவுக்குப் பொருந்தக்கூடிய தனித்துவமான மதிப்பை மதிப்பிடுவதற்கு தரவுகளில் போதுமான தகவல்கள் உள்ளன, மேலும் தரவுக்கான விண்ணப்பத்தை over இல் அதிகப்படியான தீர்மானிக்கப்பட்ட அமைப்பாகக் காணக்கூடிய பின்னடைவு மாதிரி உள்ளது.

பிந்தைய வழக்கில், பின்னடைவு பகுப்பாய்வு இதற்கான கருவிகளை வழங்குகிறது:

• அறியப்படாத அளவுருக்களுக்கான தீர்வைத் தேடுங்கள் β, எடுத்துக்காட்டாக, Y இன் அளவிடப்பட்ட மற்றும் கணிக்கப்பட்ட மதிப்புக்கு இடையிலான தூரத்தைக் குறைக்கும்.
• குறிப்பிட்ட புள்ளிவிவர அனுமானங்களின் கீழ், பின்னடைவு பகுப்பாய்வு, தெரியாத β அளவுருக்கள் மற்றும் சார்ந்துள்ள மாறி Y இன் கணிக்கப்பட்ட மதிப்புகள் பற்றிய புள்ளிவிவர தகவல்களை வழங்க அதிகப்படியான தகவல்களைப் பயன்படுத்துகிறது.

தேவையான எண்ணிக்கையிலான சுயாதீன அளவீடுகள்

மூன்று அறியப்படாத அளவுருக்களைக் கொண்ட பின்னடைவு மாதிரியைக் கவனியுங்கள்: β 0, β 1 மற்றும் β 2. திசையன் X க்கான சுயாதீன மாறியின் அதே மதிப்பில் பரிசோதனையாளர் 10 அளவீடுகளை எடுக்கிறார் என்று வைத்துக்கொள்வோம். இந்த வழக்கில், பின்னடைவு பகுப்பாய்வு ஒரு தனித்துவமான மதிப்புகளை அளிக்காது. செய்ய வேண்டிய மிகச் சிறந்த விஷயம், சார்பு மாறி Y இன் சராசரி மற்றும் நிலையான விலகலை மதிப்பிடுவதுதான். அதேபோல், இரண்டு வெவ்வேறு X- மதிப்புகளை அளவிடுவதன் மூலம், இரண்டு தெரியாதவற்றுடன் பின்வாங்குவதற்கு போதுமான தரவைப் பெறலாம், ஆனால் மூன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட அறியப்படாதவை அல்ல.

திசையன் X இன் சுயாதீன மாறியின் மூன்று வெவ்வேறு மதிப்புகளில் சோதனையாளரின் அளவீடுகள் செய்யப்பட்டிருந்தால், பின்னடைவு பகுப்பாய்வு unknown இல் உள்ள மூன்று அறியப்படாத அளவுருக்களுக்கான தனித்துவமான மதிப்பீடுகளை வழங்கும்.

பொது நேரியல் பின்னடைவின் விஷயத்தில், மேட்ரிக்ஸ் எக்ஸ் டி எக்ஸ் தலைகீழாக இருக்க வேண்டும் என்ற தேவைக்கு மேலே உள்ள அறிக்கை சமம்.

புள்ளியியல் அனுமானங்கள்

அளவீடுகளின் எண்ணிக்கை அறியப்படாத அளவுருக்கள் k மற்றும் அளவீட்டு பிழைகள் than i ஐ விட அதிகமாக இருக்கும்போது, ​​ஒரு விதியாக, அளவீடுகளில் உள்ள அதிகப்படியான தகவல் பின்னர் அறியப்பட்டு அளவுருக்கள் தொடர்பான புள்ளிவிவர கணிப்புகளுக்குப் பரப்பப்பட்டு பயன்படுத்தப்படுகிறது. இந்த அதிகப்படியான தகவல் பின்னடைவின் சுதந்திரத்தின் அளவு என்று அழைக்கப்படுகிறது.

அடிப்படை அனுமானங்கள்

பின்னடைவு பகுப்பாய்விற்கான கிளாசிக் அனுமானங்கள் பின்வருமாறு:

• மாதிரி அனுமான கணிப்பின் பிரதிநிதி.
• பிழை என்பது பூஜ்ஜிய சராசரி கொண்ட ஒரு சீரற்ற மாறி, இது விளக்க மாறிகளின் நிபந்தனை.
• விளக்க மாறிகள் பிழை இல்லாமல் அளவிடப்படுகிறது.
• சுயாதீன மாறிகள் (முன்கணிப்பாளர்கள்), அவை நேரியல் சுயாதீனமானவை, அதாவது, மற்றவர்களின் நேரியல் கலவையாக எந்த முன்கணிப்பையும் வெளிப்படுத்த முடியாது.
• பிழைகள் ஒன்றோடொன்று தொடர்புடையவை, அதாவது மூலைவிட்டங்களின் பிழை கோவரியன்ஸ் மேட்ரிக்ஸ் மற்றும் ஒவ்வொரு நொன்ஜெரோ நுழைவும் பிழையின் மாறுபாடு ஆகும்.
• பிழையின் மாறுபாடு அவதானிப்புகளின்படி நிலையானது (ஹோமோசெஸ்டாஸ்டிசிட்டி). இல்லையென்றால், எடை குறைந்த சதுரங்கள் அல்லது பிற முறைகள் பயன்படுத்தப்படலாம்.

குறைந்தபட்ச சதுர மதிப்பீட்டிற்கான இந்த போதுமான நிபந்தனைகள் தேவையான பண்புகளைக் கொண்டுள்ளன, குறிப்பாக, இந்த அனுமானங்கள் அளவுரு மதிப்பீடுகள் புறநிலை, நிலையான மற்றும் பயனுள்ளதாக இருக்கும், குறிப்பாக நேரியல் மதிப்பீடுகளின் வகுப்பில் கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ளப்படும். சான்றுகள் அரிதாக நிபந்தனைகளை பூர்த்தி செய்கின்றன என்பதை கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும். அதாவது, அனுமானங்கள் சரியாக இல்லாவிட்டாலும் இந்த முறை பயன்படுத்தப்படுகிறது. அனுமானங்களிலிருந்து மாறுபாடு சில நேரங்களில் மாதிரி எவ்வளவு பயனுள்ளதாக இருக்கும் என்பதற்கான அளவீடாகப் பயன்படுத்தப்படலாம். இந்த அனுமானங்கள் பல மேம்பட்ட முறைகளில் தளர்த்தப்படலாம். புள்ளியியல் பகுப்பாய்வு அறிக்கைகளில் மாதிரியின் பயனுக்காக மாதிரி தரவு மற்றும் முறைகளுக்கு எதிரான சோதனைகளின் பகுப்பாய்வு பொதுவாக அடங்கும்.

கூடுதலாக, சில சந்தர்ப்பங்களில் மாறிகள் புள்ளி இடங்களில் அளவிடப்பட்ட மதிப்புகளைக் குறிக்கின்றன. புள்ளியியல் அனுமானங்களை மீறும் மாறுபாடுகளில் இடஞ்சார்ந்த போக்குகள் மற்றும் இடஞ்சார்ந்த தன்னியக்க தொடர்புகள் இருக்கலாம். இந்த வகையான தரவைக் கையாளும் ஒரே நுட்பம் புவியியல் எடையுள்ள பின்னடைவு ஆகும்.

நேரியல் பின்னடைவில், அம்சம் என்பது சார்பு மாறி, அதாவது Y i, அளவுருக்களின் நேரியல் கலவையாகும். எடுத்துக்காட்டாக, எளிய நேரியல் பின்னடைவு ஒரு சுயாதீன மாறி, x i மற்றும் இரண்டு அளவுருக்கள், β 0 மற்றும் β 1, மாதிரி n- புள்ளிகளைப் பயன்படுத்துகிறது.

பல நேரியல் பின்னடைவில், பல சுயாதீன மாறிகள் அல்லது அவற்றின் செயல்பாடுகள் உள்ளன.

ஒரு மக்கள்தொகையிலிருந்து தோராயமாக மாதிரி எடுக்கும்போது, ​​அதன் அளவுருக்கள் ஒரு நேரியல் பின்னடைவு மாதிரியின் மாதிரியை வழங்குகிறது.

இந்த அம்சத்தில், குறைந்த சதுர முறை மிகவும் பிரபலமானது. மீதமுள்ள சதுரங்களின் தொகையைக் குறைக்கும் அளவுரு மதிப்பீடுகளைப் பெற இது பயன்படுகிறது. இந்த செயல்பாட்டின் இந்த வகையான குறைத்தல் (இது நேரியல் பின்னடைவின் சிறப்பியல்பு) இயல்பான சமன்பாடுகள் மற்றும் அளவுரு மதிப்பீடுகளுடன் நேரியல் சமன்பாடுகளின் தொகுப்பிற்கு வழிவகுக்கிறது.

மக்கள்தொகை பிழை பொதுவாக பரப்பப்படுகிறது என்று மேலும் கருதி, ஆராய்ச்சியாளர் நிலையான பிழைகளின் மதிப்பீடுகளைப் பயன்படுத்தி நம்பிக்கை இடைவெளிகளை உருவாக்கலாம் மற்றும் அதன் அளவுருக்கள் பற்றிய கருதுகோள்களை சோதிக்கலாம்.

நேரியல் அல்லாத பின்னடைவு பகுப்பாய்வு

அளவுருக்களைப் பொறுத்து செயல்பாடு நேர்கோட்டுடன் இல்லாத ஒரு உதாரணம், மறுசீரமைப்பு செயல்முறையைப் பயன்படுத்தி சதுரங்களின் தொகை குறைக்கப்பட வேண்டும் என்பதைக் குறிக்கிறது. இது நேரியல் மற்றும் நேரியல் அல்லாத குறைந்தபட்ச சதுரங்களை வேறுபடுத்தும் பல சிக்கல்களை அறிமுகப்படுத்துகிறது. இதன் விளைவாக, நேரியல் அல்லாத முறையைப் பயன்படுத்தும் போது பின்னடைவு பகுப்பாய்வின் முடிவுகள் சில நேரங்களில் கணிக்க முடியாதவை.

சக்தி மற்றும் மாதிரி அளவு கணக்கீடு

மாதிரியில் உள்ள விளக்க மாறிகளின் எண்ணிக்கைக்கு எதிராக அவதானிப்புகளின் எண்ணிக்கைக்கு பொதுவாக நிலையான முறை இல்லை. முதல் விதி டோப்ரா மற்றும் ஹார்டின் மூலம் முன்மொழியப்பட்டது மற்றும் N = t ^ n போல் தெரிகிறது, அங்கு N என்பது மாதிரி அளவு, n என்பது சுயாதீன மாறிகளின் எண்ணிக்கை, மற்றும் t என்பது விரும்பிய துல்லியத்தை அடைய தேவையான கண்காணிப்புகளின் எண்ணிக்கை. ஒரே ஒரு சுயாதீன மாறி. உதாரணமாக, ஒரு ஆராய்ச்சியாளர் 1000 நோயாளிகள் (N) கொண்ட ஒரு தரவுத்தொகுப்பைப் பயன்படுத்தி ஒரு நேரியல் பின்னடைவு மாதிரியை உருவாக்குகிறார். நேர்கோட்டை (மீ) துல்லியமாக தீர்மானிக்க ஐந்து அவதானிப்புகள் தேவை என்று ஆராய்ச்சியாளர் முடிவு செய்தால், அந்த மாதிரி ஆதரிக்கக்கூடிய அதிகபட்ச எண்ணிக்கையிலான சுயாதீன மாறிகள் 4 ஆகும்.

பிற முறைகள்

பின்னடைவு மாதிரியின் அளவுருக்கள் பொதுவாக குறைந்த சதுர முறையைப் பயன்படுத்தி மதிப்பிடப்பட்டாலும், மற்ற முறைகள் மிகவும் குறைவாகவே பயன்படுத்தப்படுகின்றன. உதாரணமாக, இவை பின்வரும் முறைகள்:

• பேய்சியன் முறைகள் (எடுத்துக்காட்டாக, பேய்சியன் நேரியல் பின்னடைவு முறை).
• சதவிகித பின்னடைவு, சதவிகித பிழைகளைக் குறைப்பது மிகவும் பொருத்தமானதாகக் கருதப்படும் சூழ்நிலைகளுக்குப் பயன்படுத்தப்படுகிறது.
• சிறிய முழுமையான விலகல்கள், இது அளவு பின்னடைவுக்கு வழிவகுக்கும் வெளிப்புறங்களின் முன்னிலையில் மிகவும் வலுவானது.
• அளவீடற்ற பின்னடைவுக்கு அதிக எண்ணிக்கையிலான அவதானிப்புகள் மற்றும் கணக்கீடுகள் தேவைப்படுகின்றன.
• கொடுக்கப்பட்ட உள்ளீட்டு இடத்தில் அர்த்தமுள்ள தூர மெட்ரிக் தேடலில் கற்றுக்கொள்ளப்பட்ட தொலைதூர கற்றல் மெட்ரிக்.

மென்பொருள்

அனைத்து முக்கிய புள்ளிவிவர மென்பொருள் தொகுப்புகளும் குறைந்தபட்ச சதுரங்கள் பின்னடைவு பகுப்பாய்வைப் பயன்படுத்தி செய்யப்படுகின்றன. எளிமையான நேரியல் பின்னடைவு மற்றும் பல பின்னடைவு பகுப்பாய்வு சில விரிதாள் பயன்பாடுகளிலும் சில கால்குலேட்டர்களிலும் பயன்படுத்தப்படலாம். பல புள்ளிவிவர மென்பொருள் தொகுப்புகள் பல்வேறு வகையான அளவற்ற மற்றும் வலுவான பின்னடைவைச் செய்ய முடியும் என்றாலும், இந்த முறைகள் குறைவாக தரப்படுத்தப்பட்டுள்ளன; வெவ்வேறு மென்பொருள் தொகுப்புகள் வெவ்வேறு முறைகளை செயல்படுத்துகின்றன. கணக்கெடுப்பு பகுப்பாய்வு மற்றும் நியூரோஇமேஜிங் போன்ற பகுதிகளில் பயன்படுத்த சிறப்பு பின்னடைவு மென்பொருள் உருவாக்கப்பட்டுள்ளது.

நவீன அரசியல் அறிவியல் சமூகத்தில் அனைத்து நிகழ்வுகள் மற்றும் செயல்முறைகளின் உறவின் நிலையிலிருந்து தொடர்கிறது. சமூக வாழ்க்கையின் அரசியல் துறையில் இருக்கும் தொடர்புகள் மற்றும் சார்புகளைப் படிக்காமல் நிகழ்வுகள் மற்றும் செயல்முறைகளைப் புரிந்துகொள்வது, அரசியல் வாழ்க்கையின் நிகழ்வுகளைக் கணிப்பது மற்றும் நிர்வகிக்க இயலாது. கொள்கை ஆராய்ச்சியின் பொதுவான நோக்கங்களில் ஒன்று, சில கவனிக்கத்தக்க மாறிகள் இடையே உள்ள உறவை ஆராய்வதாகும். பகுப்பாய்வின் ஒரு முழு வகுப்பு பகுப்பாய்வு முறைகள், பொதுப் பெயரான "பின்னடைவு பகுப்பாய்வு" (அல்லது, "தொடர்பு-பின்னடைவு பகுப்பாய்வு" என்றும் அழைக்கப்படுகிறது), இந்த சிக்கலை தீர்க்க உதவுகிறது. இருப்பினும், இரண்டு மாறிகள் இடையேயான உறவின் வலிமையை மதிப்பிடுவதற்கு தொடர்பு பகுப்பாய்வு அனுமதித்தால், பின்னடைவு பகுப்பாய்வைப் பயன்படுத்தி இந்த உறவின் வகையை தீர்மானிக்க முடியும், மற்றொரு மாறியின் மதிப்பில் எந்த மாறியின் மதிப்பின் சார்புநிலையையும் கணிக்க முடியும்.

முதலில், தொடர்பு என்ன என்பதை நினைவில் கொள்வோம். தொடர்புபுள்ளிவிவர இணைப்பின் மிக முக்கியமான சிறப்பு வழக்கு என்று அழைக்கப்படுகிறது, இதில் ஒரு மாறியின் சம மதிப்புகள் வேறுபடுகின்றன சராசரி மதிப்புகள்மற்றொன்று. பண்பு x இன் மதிப்பில் மாற்றத்துடன், பண்பின் சராசரி மதிப்பு y வழக்கமான முறையில் மாறுகிறது, அதே நேரத்தில் ஒவ்வொரு தனிப்பட்ட விஷயத்திலும் பண்பின் மதிப்பு மணிக்கு(வெவ்வேறு நிகழ்தகவுகளுடன்) பல்வேறு மதிப்புகளைப் பெறலாம்.

"தொடர்பு" என்ற வார்த்தையின் புள்ளிவிவரங்களில் தோற்றம் (மற்றும் அரசியல் விஞ்ஞானம் புள்ளிவிவரங்களின் சாதனையை உள்ளடக்கியது, எனவே, இது அரசியல் அறிவியலுடன் தொடர்புடைய ஒழுக்கம்), ஆங்கில உயிரியலாளர் மற்றும் புள்ளியியலாளர் பிரான்சிஸ் கால்டன் பெயருடன் தொடர்புடையது 19 ஆம் நூற்றாண்டு. தொடர்பு மற்றும் பின்னடைவு பகுப்பாய்வின் தத்துவார்த்த அடித்தளங்கள். "தொடர்பு" என்ற சொல் அறிவியலில் முன்பு அறியப்பட்டது. குறிப்பாக, பழங்காலவியலில் 18 ஆம் நூற்றாண்டின் முற்பகுதியில். பிரஞ்சு விஞ்ஞானி ஜார்ஜஸ் குவியர் இதைப் பயன்படுத்தினார். அகழ்வாராய்ச்சியின் போது கண்டுபிடிக்கப்பட்ட விலங்குகளின் எச்சங்களிலிருந்து, அவற்றின் தோற்றத்தை மீட்டெடுப்பதற்கான உதவியுடன், தொடர்பு சட்டம் என்று அழைக்கப்படுவதை அவர் அறிமுகப்படுத்தினார்.

இந்த விஞ்ஞானியின் பெயர் மற்றும் அவரது தொடர்பு சட்டத்துடன் தொடர்புடைய ஒரு அறியப்பட்ட கதை உள்ளது. எனவே, பல்கலைக்கழக விடுமுறை நாட்களில், ஒரு பிரபல பேராசிரியர் மீது தந்திரம் விளையாட முடிவு செய்த மாணவர்கள், ஒரு மாணவர் மீது கொம்புகள் மற்றும் குளம்புகளுடன் ஆடு தோலை இழுத்தனர். அவர் குவியரின் படுக்கையறையின் ஜன்னல் வழியாக ஏறி, "நான் உன்னை சாப்பிடுவேன்" என்று கத்தினான். பேராசிரியர் எழுந்து, நிழற்படத்தைப் பார்த்து பதிலளித்தார்: "உங்களிடம் கொம்புகளும் குளம்புகளும் இருந்தால், நீங்கள் ஒரு தாவரவகை, நீங்கள் என்னை சாப்பிட முடியாது. மற்றும் தொடர்பு சட்டத்தின் அறியாமைக்காக, நீங்கள் இரண்டைப் பெறுவீர்கள். " அவர் திரும்பி தூங்கிவிட்டார். இது ஒரு நகைச்சுவை, ஆனால் இந்த எடுத்துக்காட்டில் பல தொடர்பு-பின்னடைவு பகுப்பாய்வைப் பயன்படுத்துவதற்கான ஒரு சிறப்பு வழக்கை நாங்கள் கவனிக்கிறோம். இங்கே பேராசிரியர், இரண்டு கவனிக்கப்பட்ட பண்புகளின் (கொம்புகள் மற்றும் குளம்புகளின் இருப்பு) மதிப்புகள் பற்றிய அறிவின் அடிப்படையில், தொடர்பு சட்டத்தின் அடிப்படையில், மூன்றாவது பண்பின் சராசரி மதிப்பை (இந்த விலங்கு சேர்ந்த வர்க்கம்) - தாவரவகை). இந்த விஷயத்தில், இந்த மாறியின் குறிப்பிட்ட மதிப்பைப் பற்றி நாம் பேசவில்லை (அதாவது இந்த விலங்கு பெயரளவு அளவில் வெவ்வேறு மதிப்புகளை எடுக்கலாம் - அது ஒரு ஆடு, ஆடு, அல்லது ஒரு காளையாக இருக்கலாம் ...).

இப்போது "பின்னடைவு" என்ற வார்த்தைக்கு செல்லலாம். சரியாகச் சொன்னால், இந்த முறையைப் பயன்படுத்தி தீர்க்கப்படும் அந்த புள்ளிவிவரப் பிரச்சினைகளின் அர்த்தத்துடன் இது இணைக்கப்படவில்லை. அம்சங்களுக்கிடையேயான தொடர்புகளைப் படிப்பதற்கான முறைகளின் வளர்ச்சியின் வரலாறு பற்றிய அறிவின் அடிப்படையில் மட்டுமே இந்த வார்த்தையின் விளக்கம் கொடுக்க முடியும். இந்த வகையான ஆராய்ச்சியின் முதல் எடுத்துக்காட்டுகளில் ஒன்று புள்ளிவிவர வல்லுநர்களான எஃப்.கால்டன் மற்றும் கே. பியர்சன் ஆகியோரின் பணி ஆகும். எக்ஸ்-தந்தையர்களின் வளர்ச்சி மற்றும் Y-குழந்தைகளின் வளர்ச்சி). அவர்களின் ஆராய்ச்சியின் போது, ​​சராசரியாக, உயரமான தந்தைகள் சராசரியாக, உயரமான குழந்தைகளாக வளர்கிறார்கள் என்ற ஆரம்பக் கருதுகோளை அவர்கள் உறுதி செய்தனர். அதே கொள்கை தாழ்ந்த தந்தையர்களுக்கும் குழந்தைகளுக்கும் பொருந்தும். இருப்பினும், விஞ்ஞானிகள் இதை நிறுத்தியிருந்தால், அவர்களின் படைப்புகள் ஒருபோதும் புள்ளிவிவரங்கள் பற்றிய பாடப்புத்தகங்களில் குறிப்பிடப்பட்டிருக்காது. ஏற்கனவே குறிப்பிடப்பட்ட உறுதிப்படுத்தப்பட்ட கருதுகோளுக்குள் ஆராய்ச்சியாளர்கள் மற்றொரு வடிவத்தைக் கண்டறிந்தனர். மிக உயரமான தந்தைகள் சராசரியாக உயரமான குழந்தைகளில் பிறக்கிறார்கள் என்பதை அவர்கள் நிரூபித்தனர், ஆனால் குழந்தைகளின் உயரம் மிகவும் வித்தியாசமாக இல்லை, அவர்களின் தந்தைகள் சராசரிக்கு மேல் இருந்தாலும், சராசரி உயரத்திலிருந்து அதிகம் வேறுபடுவதில்லை. மிகச் சிறிய அந்தஸ்துள்ள (குறுகிய குழுவின் சராசரி குறிகாட்டிகளிலிருந்து விலகும்) தந்தைகளுக்கும் இது பொருந்தும் - அவர்களின் குழந்தைகள், சராசரியாக, தங்கள் சகாக்களிடமிருந்து உயரத்தில் வேறுபடவில்லை, அவர்களின் தந்தைகள் வெறுமனே குறுகியவர்கள். இந்த முறையை விவரிக்கும் செயல்பாட்டை அவர்கள் அழைத்தனர் பின்னடைவு செயல்பாடு.இந்த ஆய்வுக்குப் பிறகு, ஒரே மாதிரியான செயல்பாடுகளை விவரிக்கும் அனைத்து சமன்பாடுகளும் மற்றும் அதே வழியில் கட்டப்பட்ட பின்னடைவு சமன்பாடுகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

பின்னடைவு பகுப்பாய்வு என்பது தரவின் பன்முக புள்ளிவிவர பகுப்பாய்வின் முறைகளில் ஒன்றாகும், இது ஒரு சார்பு மற்றும் பல (அல்லது ஒரு) சுயாதீன மாறிகள் இடையே ஆய்வு செய்ய அல்லது உறவுகளை வடிவமைக்க வடிவமைக்கப்பட்ட புள்ளிவிவர நுட்பங்களின் தொகுப்பை இணைக்கிறது. புள்ளிவிவரங்களில் ஏற்றுக்கொள்ளப்பட்ட பாரம்பரியத்தின் படி, சார்பு மாறி, பதில் என்று அழைக்கப்படுகிறது விசுயாதீன மாறிகள் முன்கணிப்பாளர்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன மற்றும் அவை குறிக்கப்படுகின்றன எக்ஸ்.பகுப்பாய்வின் போது, ​​சில மாறிகள் பதிலுடன் பலவீனமாக தொடர்புடையவை மற்றும் இறுதியில் பகுப்பாய்விலிருந்து விலக்கப்படும். சார்புடையவருடன் தொடர்புடைய மீதமுள்ள மாறிகள் காரணிகளாக குறிப்பிடப்படலாம்.

பின்னடைவு பகுப்பாய்வு மற்றொரு மாறியைப் பொறுத்து ஒன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட மாறிகளின் மதிப்புகளைக் கணிக்க உதவுகிறது (எடுத்துக்காட்டாக, கல்வியின் அளவைப் பொறுத்து வழக்கத்திற்கு மாறான அரசியல் நடத்தைக்கான போக்கு) அல்லது பல மாறிகள். இது கணினியில் கணக்கிடப்படுகிறது. ஒரு பின்னடைவு சமன்பாட்டை வரையறுக்க, காரணி மீது கட்டுப்படுத்தப்பட்ட அம்சத்தின் சார்பு அளவை அளவிட உங்களை அனுமதிக்கிறது, தொழில்முறை கணிதவியலாளர்கள்-புரோகிராமர்களை ஈடுபடுத்துவது அவசியம். பின்னடைவு பகுப்பாய்வு ஒரு அரசியல் சூழ்நிலையின் வளர்ச்சிக்கான முன்கணிப்பு மாதிரிகளை உருவாக்கும் போது, ​​சமூக பதற்றத்திற்கான காரணங்களை மதிப்பிடும் போது, ​​தத்துவார்த்த சோதனைகளை நடத்தும்போது ஒரு விலைமதிப்பற்ற சேவையை வழங்க முடியும். குடிமக்களின் தேர்தல் நடத்தை மீது பல சமூக-மக்கள்தொகை அளவுருக்களின் செல்வாக்கை ஆய்வு செய்ய பின்னடைவு பகுப்பாய்வு தீவிரமாக பயன்படுத்தப்படுகிறது: பாலினம், வயது, தொழில், வசிக்கும் இடம், தேசியம், நிலை மற்றும் வருமானத்தின் தன்மை.

பின்னடைவு பகுப்பாய்வு கருத்துக்களைப் பயன்படுத்துகிறது சுதந்திரமானமற்றும் சார்ந்ததுமாறிகள். ஒரு சுயாதீன மாறி என்பது மற்றொரு மாறியில் விளக்கும் அல்லது மாற்றத்தை ஏற்படுத்தும் ஒரு மாறி ஆகும். சார்பு மாறி என்பது ஒரு மாறியாகும், அதன் மதிப்பு முதல் மாறியின் செல்வாக்கால் விளக்கப்படுகிறது. உதாரணமாக, 2004 ல் ஜனாதிபதி தேர்தலில், தீர்மானிக்கும் காரணிகள், அதாவது. சுயாதீன மாறிகள் நாட்டின் மக்கள்தொகையின் நிலைமையை உறுதிப்படுத்துதல், வேட்பாளர்களின் புகழ் நிலை மற்றும் காரணி போன்ற குறிகாட்டிகளாகும். பதவிஇந்த வழக்கில் சார்பு மாறி என்பது வேட்பாளர்களுக்கு அளிக்கப்பட்ட வாக்கு சதவீதமாகும். இதேபோல், "வாக்காளர் வயது" மற்றும் "தேர்தல் செயல்பாட்டின் நிலை" ஆகிய மாறிகளில், முதலாவது சுயாதீனமானது, இரண்டாவது சார்புடையது.

பின்னடைவு பகுப்பாய்வு பின்வரும் பணிகளை தீர்க்க உங்களை அனுமதிக்கிறது:

• 1) கி இடையே புள்ளிவிவர ரீதியாக குறிப்பிடத்தக்க உறவின் இருப்பு அல்லது இல்லாத உண்மையை நிறுவவும் எக்ஸ்;
• 2) பின்னடைவு செயல்பாட்டின் சிறந்த (புள்ளிவிவர அர்த்தத்தில்) மதிப்பீடுகளை உருவாக்குங்கள்;
• 3) தொகுக்கப்பட்ட மதிப்புகளின்படி எக்ஸ்தெரியாதவர்களுக்கு ஒரு முன்னறிவிப்பை உருவாக்குங்கள் வேண்டும்
• 4) ஒவ்வொரு காரணியின் செல்வாக்கின் குறிப்பிட்ட எடையை மதிப்பிடுங்கள் எக்ஸ்அன்று வேண்டும்மற்றும், அதன்படி, மாதிரியிலிருந்து முக்கியமற்ற அம்சங்களை விலக்கு;
• 5) மாறிகளுக்கு இடையிலான காரண உறவுகளை அடையாளம் காண்பதன் மூலம், விளக்க மாறிகளின் மதிப்புகளை ஒழுங்குபடுத்துவதன் மூலம் P இன் மதிப்புகளை ஓரளவு கட்டுப்படுத்தவும் எக்ஸ்.

பின்னடைவு பகுப்பாய்வு ஆய்வின் கீழ் உள்ள குறிகாட்டியின் மதிப்பை பாதிக்கும் பரஸ்பர சுயாதீன மாறிகளைத் தேர்ந்தெடுக்க வேண்டிய அவசியத்துடன் தொடர்புடையது, பின்னடைவு சமன்பாட்டின் வடிவத்தை தீர்மானிக்கிறது, முதன்மை சமூகவியல் தரவை செயலாக்க புள்ளிவிவர முறைகளைப் பயன்படுத்தி அளவுருக்களை மதிப்பிடுகிறது. இந்த வகை பகுப்பாய்வு உறவின் வடிவம், திசை மற்றும் இறுக்கம் (அடர்த்தி) பற்றிய கருத்தை அடிப்படையாகக் கொண்டது. வேறுபடுத்து நீராவி அறைமற்றும் பல பின்னடைவுஆராயப்பட்ட அம்சங்களின் எண்ணிக்கையைப் பொறுத்து. நடைமுறையில், பின்னடைவு பகுப்பாய்வு பொதுவாக தொடர்பு பகுப்பாய்வோடு இணைந்து செய்யப்படுகிறது. பின்னடைவு சமன்பாடுஅளவுகளுக்கு இடையேயான எண்ணியல் உறவை விவரிக்கிறது, ஒரு மாறியில் மற்றொரு அதிகரிப்பு அல்லது குறைவுடன் அதிகரிக்கும் அல்லது குறைவதற்கான போக்கு வெளிப்படுத்தப்படுகிறது. அதே நேரத்தில், அவர்கள் கோபமாக உள்ளனர். உறைபனிமற்றும் நேரியல் அல்லாத பின்னடைவு.அரசியல் செயல்முறைகளை விவரிக்கும் போது, ​​பின்னடைவின் இரண்டு மாறுபாடுகளும் சமமாக காணப்படுகின்றன.

அரசியல் கட்டுரைகளில் ஆர்வத்தின் பரஸ்பர சார்பு விநியோகத்திற்கான சிதறல் சதி ( ஒய்)மற்றும் பதிலளித்தவர்களின் கல்வி (எக்ஸ்)ஒரு நேரியல் பின்னடைவு (படம் 30).

அரிசி. முப்பது.

தேர்தல் செயல்பாட்டின் அளவை விநியோகிக்க சிதறல் சதி ( ஒய்)மற்றும் பதிலளிப்பவரின் வயது (A) (நிபந்தனை உதாரணம்) ஒரு நேரியல் அல்லாத பின்னடைவு (படம் 31).

அரிசி. 31

ஜோடி பின்னடைவு மாதிரியில் இரண்டு அம்சங்களின் (A "மற்றும் Y) உறவை விவரிக்க, ஒரு நேரியல் சமன்பாடு பயன்படுத்தப்படுகிறது

இங்கே a, அம்சங்களின் மாறுபாட்டோடு சமன்பாட்டின் பிழையின் சீரற்ற மதிப்பு, அதாவது. "நேரியல்" இலிருந்து சமன்பாட்டின் விலகல்.

குணகங்களை மதிப்பிடுவதற்கு ஒருமற்றும் bகுறைந்தபட்ச சதுர முறையைப் பயன்படுத்தவும், இது பின்னடைவு வரியிலிருந்து சிதறல் சதித்திட்டத்தில் ஒவ்வொரு புள்ளியின் விலகல்களின் சதுரங்களின் தொகை குறைவாக இருக்க வேண்டும் என்று கருதுகிறது. முரண்பாடுகள் ஒரு எச் பிசமன்பாடுகளின் முறையைப் பயன்படுத்தி கணக்கிட முடியும்:

குறைந்தபட்ச சதுர மதிப்பீட்டு முறை குணகங்களின் இத்தகைய மதிப்பீடுகளை அளிக்கிறது ஒருமற்றும் பி,இதில் நேர் கோடு ஆயத்துடன் ஒரு புள்ளியின் வழியாக செல்கிறது என். எஸ்மற்றும் y,அந்த. உறவு வைத்திருக்கிறது மணிக்கு = கோடாரி + பி.பின்னடைவு சமன்பாட்டின் வரைகலை பிரதிநிதித்துவம் அழைக்கப்படுகிறது கோட்பாட்டு பின்னடைவு வரி.ஒரு நேரியல் உறவுடன், பின்னடைவு குணகம் கோட்பாட்டு பின்னடைவு கோட்டின் சாய்வின் தொடுதலை அப்ஸிசா அச்சுக்கு வரைபடத்தில் குறிக்கிறது. குணகத்தில் உள்ள அடையாளம் இணைப்பின் திசையைக் காட்டுகிறது. இது பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமாக இருந்தால், இணைப்பு நேரடியாக இருக்கும்; அது குறைவாக இருந்தால், அது தலைகீழ்.

"அரசியல் பீட்டர்ஸ்பர்க் -2006" (அட்டவணை 56) ஆய்வின் கீழேயுள்ள உதாரணம், குடிமக்களின் நிகழ்காலத்தில் அவர்களின் வாழ்க்கையின் திருப்தியின் அளவு மற்றும் எதிர்காலத்தில் வாழ்க்கைத் தரத்தில் ஏற்படும் மாற்றங்களின் எதிர்பார்ப்புகளுக்கு இடையே ஒரு நேர்கோட்டு உறவைக் காட்டுகிறது. உறவு நேரடி, நேரியல் (தரப்படுத்தப்பட்ட பின்னடைவு குணகம் 0.233, முக்கியத்துவம் நிலை 0.000). இந்த வழக்கில், பின்னடைவு குணகம் குறைவாக உள்ளது, ஆனால் இது புள்ளிவிவர ரீதியாக குறிப்பிடத்தக்க குறிகாட்டியின் கீழ் வரம்பை மீறுகிறது (பியர்சன் குணகத்தின் புள்ளிவிவர ரீதியாக குறிப்பிடத்தக்க குறிகாட்டியின் சதுரத்தின் கீழ் எல்லை).

அட்டவணை 56

எதிர்பார்ப்புகளில் நிகழ்காலத்தில் குடிமக்களின் வாழ்க்கைத் தரத்தின் தாக்கம்

(செயின்ட் பீட்டர்ஸ்பர்க், 2006)

* சார்பு மாறி: "அடுத்த 2-3 ஆண்டுகளில் உங்கள் வாழ்க்கை எப்படி மாறும் என்று நீங்கள் நினைக்கிறீர்கள்?"

அரசியல் வாழ்க்கையில், படித்த மாறியின் மதிப்பு பெரும்பாலும் ஒரே நேரத்தில் பல குணாதிசயங்களைப் பொறுத்தது. உதாரணமாக, அரசியல் செயல்பாடுகளின் நிலை மற்றும் இயல்பு ஒரே நேரத்தில் மாநிலத்தின் அரசியல் ஆட்சி, அரசியல் மரபுகள், கொடுக்கப்பட்ட பகுதியில் உள்ள மக்களின் அரசியல் நடத்தையின் தனித்தன்மை மற்றும் பிரதிவாதியின் சமூக நுண் குழு, அவரது வயது, கல்வி, வருமான நிலை ஆகியவற்றால் பாதிக்கப்படுகிறது. , அரசியல் நோக்குநிலை, முதலியன இந்த வழக்கில், சமன்பாட்டைப் பயன்படுத்துவது அவசியம் பல பின்னடைவுஇது போல் தெரிகிறது:

எங்கே குணகம் பி.- பகுதி பின்னடைவு குணகம். சுயாதீன (விளைவாக) மாறியின் மதிப்புகளை நிர்ணயிப்பதற்கு ஒவ்வொரு சுயாதீன மாறியின் பங்களிப்பையும் இது காட்டுகிறது. பகுதி பின்னடைவு குணகம் 0 க்கு அருகில் இருந்தால், சுயாதீன மற்றும் சார்பு மாறிகளுக்கு இடையே நேரடி உறவு இல்லை என்று நாம் முடிவு செய்யலாம்.

அத்தகைய மாதிரியின் கணக்கீடு மேட்ரிக்ஸ் இயற்கணிதத்தைப் பயன்படுத்தி கணினியில் செய்யப்படலாம். பல பின்னடைவு சமூக உறவுகளின் பன்முக தன்மையை பிரதிபலிக்க அனுமதிக்கிறது மற்றும் ஒவ்வொரு காரணியின் தாக்கத்தின் அளவை தனித்தனியாகவும் கூட்டாகவும் அதன் விளைவாக வரும் பண்பின் மீது தெளிவுபடுத்தவும் அனுமதிக்கிறது.

குணகம் குறிக்கப்படுகிறது பி,நேரியல் பின்னடைவின் குணகம் என்று அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் காரணி பண்பின் மாறுபாட்டிற்கு இடையிலான உறவின் வலிமையைக் காட்டுகிறது எக்ஸ்மற்றும் பயனுள்ள பண்பின் மாறுபாடு ஒய்இந்த குணகம் அம்சங்களின் அளவீட்டின் முழுமையான அலகுகளில் பிணைப்பின் வலிமையை அளவிடுகிறது. இருப்பினும், அம்சங்களுக்கிடையேயான தொடர்பின் இறுக்கம் பயனுள்ள அம்சத்தின் நிலையான விலகலின் பின்னங்களில் வெளிப்படுத்தப்படலாம் (அத்தகைய குணகம் தொடர்பு குணகம் என்று அழைக்கப்படுகிறது). பின்னடைவு குணகம் போலல்லாமல் bதொடர்பு குணகம் அம்சங்களின் அளவீட்டின் ஏற்றுக்கொள்ளப்பட்ட அலகுகளைப் பொறுத்தது அல்ல, எனவே, இது எந்த அம்சங்களுக்கும் ஒப்பிடத்தக்கது. பொதுவாக, இணைப்பு வலுவானதாகக் கருதப்பட்டால் /> 0.7, நடுத்தர இறுக்கம் - 0.5 கிராம் 0.5 இல்.

உங்களுக்குத் தெரியும், நெருங்கிய இணைப்பு என்பது ஒரு செயல்பாட்டு இணைப்பு, ஒவ்வொரு தனிப்பட்ட அர்த்தமும் ஒய்சந்தேகத்திற்கு இடமின்றி மதிப்புக்கு ஒதுக்கப்படலாம் எக்ஸ்.எனவே, தொடர்பு குணகம் 1 க்கு நெருக்கமானது, உறவு செயல்பாட்டுக்கு நெருக்கமானது. பின்னடைவு பகுப்பாய்வின் முக்கியத்துவம் நிலை 0.001 ஐ தாண்டக்கூடாது.

அம்சங்களின் உறவின் இறுக்கத்தின் முக்கிய குறிகாட்டியாக தொடர்பு குணகம் நீண்ட காலமாக கருதப்படுகிறது. இருப்பினும், பின்னர், தீர்மானத்தின் குணகம் அத்தகைய குறிகாட்டியாக மாறியது. இந்த குணகத்தின் பொருள் பின்வருமாறு - இதன் விளைவாக வரும் அம்சத்தின் மொத்த மாறுபாட்டின் பங்கை இது பிரதிபலிக்கிறது வேண்டும், அம்சத்தின் மாறுபாட்டால் விளக்கப்பட்டது எக்ஸ்.இது எளிமையான ஸ்குவேரிங் தொடர்பு குணகம் (0 முதல் 1 வரை மாறுபடும்) மற்றும் ஒரு நேரியல் உறவுக்கு, 0 (0%) முதல் விகிதத்தை பிரதிபலிக்கிறது 1 (100%) பண்பு மதிப்புகள் ஒய்,பண்பு மதிப்புகளால் வரையறுக்கப்பட்டது எக்ஸ்.என எழுதப்பட்டுள்ளது நான் 2,மற்றும் SPSS தொகுப்பில் பின்னடைவு பகுப்பாய்வின் விளைவாக அட்டவணையில் - சதுரம் இல்லாமல்.

பல பின்னடைவு சமன்பாட்டை நிர்மாணிப்பதில் உள்ள முக்கிய பிரச்சனைகளைக் குறிப்பிடுவோம்.

• 1. பின்னடைவு சமன்பாட்டில் சேர்க்கப்பட்ட காரணிகளின் தேர்வு.இந்த கட்டத்தில், ஆராய்ச்சியாளர் முதலில் கோட்பாட்டின் படி, ஆய்வின் கீழ் நிகழ்வை நிர்ணயிக்கும் முக்கிய காரணங்களின் பொதுவான பட்டியலை உருவாக்குகிறார். பின்னர் அவர் பின்னடைவு சமன்பாட்டில் அம்சங்களைத் தேர்ந்தெடுக்க வேண்டும். தேர்வின் அடிப்படை விதி: பகுப்பாய்வில் சேர்க்கப்பட்டுள்ள காரணிகள் ஒருவருக்கொருவர் முடிந்தவரை குறைவாக தொடர்பு கொள்ள வேண்டும்; இந்த விஷயத்தில் மட்டுமே ஒரு குறிப்பிட்ட காரணி-பண்புக்கு செல்வாக்கின் அளவு அளவை ஒதுக்க முடியும்.
• 2. பல பின்னடைவு சமன்பாட்டின் படிவத்தைத் தேர்ந்தெடுப்பது(நடைமுறையில், அவர்கள் பெரும்பாலும் நேரியல் அல்லது நேரியல்-மடக்கை பயன்படுத்துகின்றனர்). எனவே, பல பின்னடைவைப் பயன்படுத்த, ஆராய்ச்சியாளர் முதலில் பல சுயாதீன மாறிகளின் விளைவின் ஒரு அனுமான மாதிரியை உருவாக்க வேண்டும். பெறப்பட்ட முடிவுகள் நம்பகமானதாக இருக்க, மாதிரி உண்மையான செயல்முறைக்கு சரியாக ஒத்துப்போகிறது, அதாவது. மாறிகள் இடையேயான உறவு நேர்கோட்டுடன் இருக்க வேண்டும், குறிப்பிடத்தக்க சுயாதீன மாறியை புறக்கணிக்க முடியாது, மேலும் ஆய்வின் கீழ் உள்ள செயல்முறையுடன் நேரடியாக தொடர்புபடுத்தாத எந்த மாறியையும் பகுப்பாய்வில் சேர்க்க முடியாது. கூடுதலாக, மாறிகளின் அனைத்து அளவீடுகளும் மிகவும் துல்லியமாக இருக்க வேண்டும்.

மேலே உள்ள விளக்கம் இந்த முறையைப் பயன்படுத்துவதற்கான பல நிபந்தனைகளைக் குறிக்கிறது, இது இல்லாமல் பல பின்னடைவு பகுப்பாய்வு (MPA) செயல்முறையுடன் தொடர இயலாது. கீழே பட்டியலிடப்பட்டுள்ள அனைத்து புள்ளிகளையும் கடைபிடிப்பது மட்டுமே பின்னடைவு பகுப்பாய்வைச் சரியாகச் செய்ய அனுமதிக்கிறது.