Prechodové javy v RLC obvodoch

Lineárne obvody 2. rádu obsahujú dva rôzne typy reaktívnych prvkov L a C. Príkladom takýchto obvodov sú sériové a paralelné rezonančné obvody (obr. 1).

Ryža. 1. Lineárne obvody druhého rádu: a - sériový rezonančný obvod; b - paralelný rezonančný obvod

Prechodné procesy v oscilačných obvodoch sú opísané diferenciálnymi rovnicami 2. rádu. Uvažujme prípad kapacitného výboja na RL obvode (obr. 2). Zostavme reťazovú rovnicu podľa prvého Kirchhoffovho zákona:

Po diferenciácii (1) dostaneme

Ryža. 2.

Riešenie U c (t) rovnice (2) nájdeme ako súčet voľnej U st (t) a vynútenej zložky U pr

U c = U St +U Ave. (3)

U pr závisí od E a U st (t) je určené riešením homogénnej diferenciálnej rovnice tvaru

Charakteristická rovnica pre (4) má tvar

LCpІ + RCp + 1 = 0, (5)

Korene charakteristickej rovnice

Hodnota R/2L = b sa nazýva koeficient útlmu, rezonančná frekvencia obvodu. V čom

Povaha prechodných procesov v obvode závisí od typu koreňov p 1 a p 2. Môžu byť:

1) skutočné, rôzne pre R > 2с, Q< 0,5;

2) skutočné a rovnaké pri R = 2c, Q = 0,5;

3) komplexný konjugát na R< 2с, Q > 0,5.

Tu je charakteristická impedancia, Q = c/R je faktor kvality obvodu.

V diagrame na obr. 2 pred prepnutím na t<0 емкость заряжена до напряжения U c (0 -) = E. После коммутации емкость начинает разряжаться и в контуре возникает переходный процесс. В случае 1 при Q < 0,5 решение уравнения (2) имеет вид

Aby sme našli integračné konštanty A 1 a A 2, napíšeme výraz pre prúd v obvode

Pomocou počiatočných podmienok U c (0 -) = E a i(0 -) = 0 získame sústavu rovníc

Z riešenia systému, ktorý máme

V dôsledku toho získame pre prúd a napätie v obvode

Prechodné procesy v obvodoch druhého rádu

Definícia nezávislej premennej.

I L - nezávislá premenná

Zostavíme diferenciálnu rovnicu pre prechodový proces v obvode a zapíšeme všeobecné riešenie.

I L (t)=i st (t)+i pr

Stanovme počiatočné podmienky.

IL(0)=E/R=19,799A

Zapíšme si riešenie diferenciálu. rovnice pre voľnú zložku.

i st (t)=A*e bt *sin(wt+i)

Vstup Z = 2R+jwL+1/jwC

p=-883,833-7,016i*10 3

f=1/|b|=1,131*10-3

T=2R/w=8,956*10-4

Určme vynútené zložky pri t=?

Určme integračnú konštantu Ai a

UL (t)=LAbwe bt *sin(wt+i)

i L (t)=Ae bt *sin(wt+i)

LAb*sin a+ LAw*cosand =0

p Acos u = 2,494

tg a = 19,799/Acos a = 7,938

Spektrálne znázornenie periodických procesov v elektrických obvodoch

V mnohých prípadoch sa v ustálenom stave môžu krivky periodického emf, napätí a prúdov v elektrických obvodoch líšiť od sínusových. V tomto prípade je priame použitie symbolickej metódy na výpočet obvodov striedavého prúdu nemožné. Pre lineárne elektrické obvody je možné problém výpočtu riešiť na základe metódy superpozície pomocou spektrálneho rozkladu nesínusových napätí a prúdov do Fourierovho radu. Vo všeobecnosti Fourierov rad obsahuje konštantnú zložku, prvú harmonickú, ktorej frekvencia sa zhoduje s frekvenciou u 1 = 2p/T periodického prúdu alebo napätia s periódou T, a súbor vyšších harmonických s frekvenciami u n = n 1, násobky základnej frekvencie u 1. Pre väčšinu periodických funkcií obsahuje Fourierov rad nekonečný počet členov. V praxi sú obmedzené na konečný počet členov radu. V tomto prípade bude pôvodná periodická funkcia reprezentovaná pomocou Fourierovho radu s určitou chybou.

Nech existuje periodické emf s periódou T. e(t)=e(t±nT), spĺňajúce Dirichletove podmienky (funkcia na intervale T má konečný počet diskontinuít a extrémov). Takáto funkcia môže byť reprezentovaná súčtom harmonických zložiek s rôznymi amplitúdami E n, frekvenciami u n = n 1 a počiatočnými fázami u n vo forme Fourierovho radu.

Fourierovu sériu možno znázorniť v inej forme:

Konštantná zložka Eo a koeficienty Fourierovho radu Bn a Cn sa vypočítajú pomocou vzorcov

Pre nepárne funkcie e(t) sú koeficienty С n = 0 a pre párne funkcie B n = 0. Vzťah medzi koeficientmi B n, C n a amplitúdami Е n a fázami с n harmonických je určený vzťahmi

Diagram znázorňujúci závislosť amplitúdy harmonických E n od frekvencie u n = n u 1 sa nazýva spektrum.

Pomocou metódy superpozície a spektrálnej reprezentácie periodického emf. vo forme Fourierovej série možno elektrický obvod vypočítať pomocou nasledujúcej metódy:

1. Nesínusové periodické emf. e(t) sa rozšíri do Fourierovho radu a určia sa amplitúdy En a fázy qn všetkých harmonických emf.

2. V záujmovom odvetví sa vypočítajú prúdy i 0 , i 1 ,...i n vytvorené každou harmonickou emf.

3. Požadovaný prúd vo vetve sa zistí ako súčet prúdov

Keďže zložky prúdu i(t) sú buď konštantná hodnota i 0 alebo sínusové prúdy i n, používajú sa na ich určenie známe metódy na výpočet obvodov jednosmerných a striedavých sínusových prúdov.

Laboratórna práca č.4

Cieľ práce: štúdium prechodových procesov v RLC obvodoch pod vplyvom pravouhlých napäťových impulzov.

Jednou z metód na štúdium prechodových procesov v elektrických obvodoch je operátorská metóda /1,2/. V tomto prípade sa používa Laplaceova transformácia:

definovanie obrázku F(p) zo známeho originálu f(t) .

Riešenie integro-diferenciálnej rovnice reťazca vzhľadom na požadovanú časovú funkciu (originál) je redukované na riešenie algebraickej rovnice pre obrázok.

1. RC - obvod

Nech je na vstup obvodu privedený obdĺžnikový napäťový impulz, ktorého schéma je znázornená na obr. 1,a. Na vstupe obvodu je potrebné nájsť tvar napätia. K tomu je potrebné vykonať nasledujúce kroky výpočtu:

1) zapíšte si analytické vyjadrenie vstupného signálu;

2) zostavte integro-diferenciálnu rovnicu obvodu;

3) prejdite na rovnicu operátora;

4) po vyriešení operátorovej rovnice nájdite obrázok požadovanej funkcie;

5) prejdite na originál požadovanej funkcie.

Analytický výraz pre ideálny pravouhlý napäťový impulz s amplitúdou E zapíšeme do tvaru.

kde l(t) je jednotková funkcia určená podmienkami:

l(t)=0, ak t<0 и l(t)=1, если t>=0.

Výraz (2) je graficky znázornený na obr. 1, b. Pre t>t u dáva rozdiel jednotkových funkcií nulu. Reťazová rovnica je

kde vstupný efekt U(t) je určený výrazom (2), U R (t) a i(t) sú napätie na kondenzátore a prúd v obvode v ľubovoľnom časovom bode. Výstupné napätie U R =i(t)R sa zhoduje s i(t) až do faktora R, preto zvoľme i(t) ako požadovanú funkciu a vezmime do úvahy, že i(t)=dq(t)/dt= CdU C (t)/dt. Potom (3), berúc do úvahy (2), prevezme formulár

Predstavme si obraz prúdu I(p)=a a aplikujme Laplaceovu transformáciu (1) na obe časti (4). Berúc do úvahy obraz jednotkovej funkcie a integračnú vetu originálu, rovnica operátora má tvar

Riešenie

Prechod na originál sa vykonáva aj pomocou tabuľky 1:

stôl 1

Niektoré vlastnosti Laplaceovej transformácie

č. Nehnuteľnosť

Graficky je závislosť (7) znázornená na obr. 1c pre prípad t<

Uvažujme obvod na obr. 2, a. Aby sme získali závislosť U c (t) pri vstupnej akcii (2), uvádzame rovnicu (3) takto:

Zavedením obrazu napätia U c (p) = a, pomocou tabuľky 1 prejdeme k operátorovej rovnici:

kde sa berie do úvahy, že U c (0)=0. Vyriešením (9) pre U c (p) a prechodom na originál dostaneme

Táto závislosť je graficky znázornená na obr. 2c.

Ako teda vyplýva z výrazov (7) a (10) (pozri obr. 1, c; 1, d; 2, c), nábehová a zadná hrana vstupného P-napäťového impulzu spôsobí prechodný proces v RC obvode. . Na prednej hrane sa kondenzátor v priebehu času nabíja (zvýšenie U c (t)) a prúd i(t) klesá na nulu, keď sa kondenzátor nabíja. Pri vystavení zostupnej hrane impulzu sa kondenzátor začne nabíjať cez odpor a zdroj vstupného signálu. Prúd tečie opačným smerom a postupne klesá v absolútnej hodnote. To je spojené s objavením sa negatívneho rázu U R (t) na oscilograme. Čas prechodu, t.j. čas potrebný na nabitie kondenzátora na zdrojové napätie E je teoreticky nekonečný. V praxi je trvanie prechodového procesu v RC obvodoch charakterizované časovou konštantou t=RC, ktorá ukazuje, za aký časový úsek sa prúd v obvode zníži e-krát (z (7) pri t=t i=0,367( E/R)) alebo - za aký časový úsek dosiahne napätie na kondenzátore 0,633 E (z (10)) pri t=t U c =(1-e -1)E=0,633E). Pri odhade t z oscilogramu U c (t) musí byť splnená podmienka t<

oscilogramy U R (t) a U C (t) budú mať tvar znázornený na obr. 1, e a 2, d.

Uvažujme RL obvod, ktorého obvod je znázornený na obr.3a, pre ktorý je vstupné napätie

U(t)=i(t)R+U L (t) (11)

Alebo berúc do úvahy (2) a U L (t) = L di(t)/dt

Porovnaním (12) a (4) si všimneme, že tieto rovnice sa zhodujú so vzájomným nahradením hľadaných funkcií a zavedením časovej konštanty t=R/L pre obvod RL, preto riešenie do (12) zapíšeme tak, že analógia s (7):

kde t = L/R. Tvar napätia U L (t) pre obvod RL opakuje tvar napätia U R (t) pre obvod RL (obr. 3). Podobne je možné ukázať, že tvar U R (t) pre obvod RL opakuje tvar U C (t) pre obvod RC (obr. 4). Na to stačí získať rovnicu pre l(t) z (11) a porovnať ju s (8).

Prechodový proces v RL obvode na nábežnej a zostupnej hrane vstupného impulzu je určený rozsahom procesu akumulácie a disipácie energie magnetického poľa v cievke.

V rádiovej elektronike sa používajú obvody, ktorých vstupné napätie je úmerné derivácii alebo integrálu vstupného napätia. Takéto reťazce sa nazývajú diferenciačné alebo integrujúce, resp. Obvody, ktorých obvody sú znázornené na obr. 1 a 3, sú diferencované, ak sú ich časové konštanty dostatočne malé (v porovnaní s dobou trvania vstupného signálu). Integračné obvody sú obvody, ktoré sú znázornené na obr. 2. a 4, ak sú ich časové konštanty dostatočne veľké (v porovnaní s integračným intervalom). Na tento účel musí byť výstupné napätie zvolené výrazne nižšie ako výstupné napätie.

3. RLC obvod.

Uvažujme obvod, ktorého schéma je znázornená na obr. 5, a. Pre zjednodušenie výpočtu zvážte vplyv kladného napäťového kroku na obvod, t.j. Vstupnú akciu zvolíme v tvare U(t)=E l(t). Potom rovnica U(t)=U R (t)+U L (t)+U C (t), zapísaná vzhľadom na U C (t), bude mať tvar

Odovzdaním operátorovej rovnice pre obrázok a jej riešením nájdeme

Korene P 1,2 =

Rovnice p 2 +(r/L)p+1/LC=0 môžu byť zložité, reálne (v konkrétnom prípade rovné), preto rozlišujú oscilačný, aperiodický a kritický režim činnosti obvodu. Za predpokladu (l/LC)>R 2 /4L 2 máme oscilačný obvod. Potom, za predpokladu, že p 1 = -s ± jw, kde s = R/2L je koeficient tlmenia obvodu, je kruhová frekvencia voľných (vlastných) kmitov, je rezonančná frekvencia obvodu, prepíšeme (15) ako nasleduje:

Korene menovateľa v (16) sú jednoduché, preto pri aplikácii expanznej vety (pozri tabuľku 1) a uvažovaní tlmenia ako malého, t.j. w=w 0, máme

To ukazuje, že prúd v obvode a napätie na kondenzátore oscilujú a amplitúda oscilácií monotónne klesá, čo je typické pre prechodný proces v oscilačnom obvode.

4. Praktická časť

1. Oboznámte sa s vybavením (obdĺžnikový generátor impulzov napätia, osciloskop, doska na pečenie).

2.Zostavte RC obvod. Pomocou osciloskopu zobrazte a načrtnite priebehy impulzov vstupného napätia a impulzov napätia na rezistore a kondenzátore. Pomocou oscilogramov odhadnite časovú konštantu obvodu t a porovnajte ju s produktom RC, kde RC sú nominálne hodnoty parametrov prvkov.

3. Dokončite krok úlohy 2 pre prípady, keď na rovnaký RC obvod pôsobia pravouhlé napäťové impulzy rôzneho trvania a impulz s tu =const pôsobí na RC obvod, ktorého časová konštanta sa mení v dôsledku zmien R aj C . Zvážte prípady t<t u . Pre prípad t<

4. Splňte úlohy z bodov 2 a 3 platné pre RL obvody. Pre prípad t<

5. Zostavte sériový obvod RLC. Pomocou osciloskopu zobrazte a načrtnite tvary impulzov vstupného napätia a impulzov napätia na prvkoch obvodu. Pomocou oscilogramov napätia na prvkoch obvodu sledujte prechod z aperiodického na oscilačný pri zmene koeficientu útlmu

V oscilačnom režime odhadnite periódu oscilácie T a porovnajte ju s vypočítanou hodnotou. Zaregistrujte závislosť T od kapacity C pri .

6. Diskutujte o získaných výsledkoch.

5. Testovacie otázky

1. Čo je to prechodový proces v elektrickom obvode?

2. Ako odhadneme trvanie procesu prechodu?

3. Aká je časová konštanta elektrického obvodu?

4. Aké výrazy vyjadrujú závislosť napätí na prvkoch RC a RL obvodu od času, ak je vstupným dejom pravouhlý napäťový impulz?

5. Ako odhadnúť časovú konštantu elektrického obvodu z napäťového oscilogramu na obvodovom prvku?

6. Je možné odhadnúť t z oscilogramu na obr. 2d pomocou prechodovej hrany impulzu?

7. Sú časové konštanty obvodu odhadnuté z nábežnej a zostupnej hrany impulzu vždy rovnaké?

8. Aké fyzikálne procesy prebiehajú v obvodoch RC a RL pri vystavení obdĺžnikovému napäťovému impulzu?

9. Prečo dochádza k oscilačnému procesu v RLC obvode s pravouhlým impulzom na vstupe?

10. Ako možno kvalitatívne vysvetliť oscilogramy l(t) a U c (t) na obr.

11. Ako sa menia oscilogramy i(t) a U c (t) na obr. 5, keď sa menia parametre oscilačného obvodu?

Ginzburg S.G. Metódy riešenia problémov prechodových procesov v elektrických obvodoch. – M.: Vyššia škola, 1967.-388 s.

Mathanov P.N. Základy analýzy elektrických obvodov. Lineárne obvody. – M.: Vyššia škola, 1981. – 334 s.

Obvod s reaktívnymi prvkami L A S ukladá energiu do magnetických aj elektrických polí, takže nedochádza k prúdovým ani napäťovým rázom. Poďme nájsť prechodné i a spojené s energetickými rezervami v RLC-obvod (obr. 7.13), kedy je zapnutý na ľubovoľné napätie u, počítanie kondenzátora S vopred vybitý.

Stavová rovnica obvodu spĺňa druhý Kirchhoffov zákon:

.

Vyjadrenie prúdu pomocou kapacitného napätia:

,

dostaneme rovnicu

,

ktorých poradie je určené počtom prvkov v reťazci schopných uchovávať energiu. Delenie oboch strán rovnice koeficientom L.C. s deriváciou vyššieho rádu nájdeme rovnicu prechodového procesu:

, (7.17)

ktorého všeobecné riešenie pozostáva zo súčtu dvoch pojmov:

Vynútená zložka je určená typom použitého napätia. Keď je obvod zapnutý na ustálený prúd a celé napätie sa aplikuje na kapacitu. Keď je obvod zapnutý ustálený prúd a napätie na prvkoch R, L, C bude sínusový. Vynútená zložka sa vypočíta pomocou symbolickej metódy a potom sa presunieme od komplexu k okamžitej hodnote.

Voľná ​​zložka sa určí z riešenia homogénnej rovnice

(7.18)

ako súčet dvoch exponenciál (dva prvky na ukladanie energie L, C):

kde sú korene charakteristickej rovnice

.

Povaha voľnej zložky závisí od typu koreňov

, (7.20)

ktorý môže byť skutočný alebo komplexný a je určený pomerom parametrov RLC- reťaze.

Existujú tri možné možnosti procesu prechodu:

- neperiodický, keď sa prechodové prúdy a napätia približujú ku konečnému ustálenému stavu bez zmeny znamienka. Podmienka výskytu:

(7.21)

Kde - kritický odpor. V tomto prípade sú korene charakteristickej rovnice skutočné, negatívne a
rôzne: ; Rozdielne sú aj časové konštanty: ;

- obmedzujúci režim aperiodický.Podmienka výskytu:

. (7.22)

Korene charakteristickej rovnice sú skutočné, záporné a rovné: ; časové konštanty sú tiež rovnaké: . Limitný režim zodpovedá všeobecnému riešeniu homogénnej rovnice (7.18) v tvare

; (7.23)

- periodický, alebo oscilačné , keď sa prechodné prúdy a napätia približujú ku konečnému ustálenému stavu, pričom sa periodicky mení znamienko a v čase klesá pozdĺž sínusoidy. Podmienka výskytu:

. (7.24)

Korene charakteristickej rovnice sú komplexné konjugáty s negatívnou reálnou časťou:

Kde α - koeficient útlmu:

ω St. - uhlová frekvencia voľných (prirodzených) vibrácií:

. (7.26)

Prechodový proces je v tomto prípade výsledkom oscilačnej výmeny energie s frekvenciou voľných oscilácií medzi reaktívnymi prvkami L A C reťaze. Každá oscilácia je sprevádzaná stratami aktívneho odporu R, poskytujúce tlmenie s časovou konštantou.

Všeobecné riešenie rovnice (7.18) pre oscilačný prechodový proces má tvar

Kde A A γ - integračné konštanty určené z počiatočných podmienok.

Zapíšme si napätie uC a aktuálne i, spojené s energetickými rezervami v okruhu, pre prípad skutočných a rôznych koreňov charakteristickej rovnice:

Z počiatočných podmienok

(7.30)

definujme integračné konštanty A 1 a A 2 .

Zvážte zahrnutie RLC- obvody pre napätie. Vynútené zložky kapacitného napätia a prúdu sa určujú z konečného ustáleného stavu pri a rovnajú sa:

. (7.31)

Potom nadobudne tvar sústava rovníc (7.30) na určenie integračných konštánt

(7.32)

Systém riešenia (7.32) dáva:

; (7.33)

. (7.34)

V dôsledku nahradenia nútených komponentov a konštant A 1 a A 2V výrazy pre prechodné napätia uC(t) (7,28) a aktuálne i(t) (7.29) dostaneme:

; (7.35)

keďže podľa Vietovej vety .

Keď poznáme prechodový prúd, zapíšeme prechodové napätia:

;

. (7.37)

V závislosti od typu koreňov sú možné tri možnosti procesu prechodu.

1. Počas prechodného procesu - aperiodický, Potom

Na obr. 7,14, A, b sú znázornené krivky a ich komponenty; na obr. 7,14, V krivky , , sú zobrazené na jednom grafe.

Ako vyplýva z kriviek (obr. 7.14, V), prúd v obvode sa plynule zvyšuje z nuly na maximum a potom plynule klesá na nulu. čas t 1 dosiahnutie maximálneho prúdu sa určí z podmienky . Maximálny prúd zodpovedá inflexnému bodu krivky kapacitného napätia ( ) a nulové indukčné napätie ( ).

Napätie v momente spínania sa prudko zvýši na U 0, potom klesá, prechádza nulou, mení znamienko, zvyšuje sa absolútna hodnota na maximum a opäť klesá, smeruje k nule. čas
ja t 2 dosiahnutie maximálneho napätia na indukčnosti sa určí z podmienky . Maximum zodpovedá inflexnému bodu krivky prúdu, od r .

V sekcii súčasného rastu () je samoindukčné emf, ktoré bráni rastu, negatívne. Napätie vynaložené zdrojom na prekonanie EMF je . V časti, kde sa prúd znižuje (), je emf a napätie, ktoré vyrovnáva emf, je .

2. Keď v okruhu dôjde konečný (hranica)režim aperiodický prechodný proces; krivky a sú podobné krivkám na obr. 7.14 sa povaha procesu nemení.

3. Keď v okruhu dôjde periodické(oscilačné)proces prechodu, keď

Kde - rezonančná frekvencia, na ktorom v RLC- obvod bude rezonovať.

Dosadením konjugovaných komplexov do rovnice pre kapacitné napätie (7.35) dostaneme:

Dosadením konjugovaných komplexov do rovnice pre prúd (7.36) dostaneme:

Dosadením komplexov do (7.37) dostaneme napätie na indukčnosti

Na zostrojenie závislostí , , je potrebné poznať periódu vlastných kmitov a časová konštanta .

Na obr. 7.15 sú znázornené krivky pre dostatočne veľkú konštantu. Poradie konštrukcie je nasledovné: najprv sa zostrojia obalové krivky (prerušované krivky na obr. 7.15) na oboch stranách konečného ustáleného stavu. Vzhľadom na počiatočnú fázu v rovnakom meradle ako t,Štvrťperiódy, v ktorých sínusová vlna dosiahne maximum alebo klesne na nulu, sú vyčlenené. Sínusoida je vpísaná do obálok tak, že sa maximálne bodov dotýka obálok.

Ako vyplýva z kriviek u C(t), i(t) A u L(t), kapacitné napätie zaostáva za prúdom vo fáze o štvrtinu periódy a indukčné napätie vedie prúd o štvrtinu periódy, pričom je v protifáze s kapacitným napätím. Nulové indukčné napätie ( ) a inflexný bod krivky kapacitného napätia ( ) zodpovedajú maximálnemu prúdu./Maximálne indukčné napätie zodpovedá inflexnému bodu krivky prúdu ( ).

Aktuálne i(t) a napätie u L(t) vykonávať tlmené kmity okolo nulovej hodnoty, napätia u C(t) – približne stabilný U 0 Kapacitné napätie v prvej polovici periódy dosiahne svoju maximálnu hodnotu, ktorá nepresiahne 2 U 0 .

Kedy ideálny oscilačný obvod w

volal logaritmické zníženie tlmenia .

Zodpovedá ideálnemu oscilačnému obvodu.

Prechodové procesy v obvode R, L, C sú opísané diferenciálnou rovnicou 2. rádu. Ustálené zložky prúdov a napätí sú určené typom zdroja energie a sú určené známymi metódami na výpočet ustálených podmienok. Voľné zložky majú najväčší teoretický význam, pretože povaha voľného procesu sa ukazuje byť výrazne odlišná v závislosti od toho, či sú korene charakteristickej rovnice reálne alebo komplexne konjugované.

Analyzujme prechodový proces v obvode R, L, C, keď je pripojený k zdroju konštantného EMF (obr. 70.1).

Všeobecný tvar riešenia pre prúd: i(t)=iy(t)+iсв(t)=Iy+A1ep2t+A2ep2t

Zložka v ustálenom stave: Iy=0

Charakteristická rovnica a jej korene:

Diferenciálnej rovnice:

Nezávislé počiatočné podmienky: i(0)=0; uc(0)=0.

Závislá počiatočná podmienka:

Integračné konštanty sa určia zo súčasného riešenia sústavy rovníc:

Konečné riešenie pre súčasné:

Pozrime sa na tvar funkcie i(t) pre rôzne hodnoty koreňov charakteristickej rovnice.

a) Korene charakteristickej rovnice sú skutočné a navzájom sa nerovnajú.

Toto je prípad za predpokladu:

Pri zmene t z 0 na ∞ jednotlivé funkcie ep1t a ep2t klesajú exponenciálne z 1 na 0 a druhá z nich klesá rýchlejšie, pričom ich rozdiel ep1t - ep2t ≥ 0. Z toho vyplýva, že funkcia požadovaného prúdu i(t ) v krajných bodoch pri t = 0 a pri t = ∞ sa rovná nule a v časovom intervale 0< t < ∞ - всегда положительна, достигая при некотором значении времени tm своего максимального значения Imax. Найдем этот момент времени:

Grafický diagram funkcie i(t) pre prípad reálnych koreňov charakteristickej rovnice je na obr. 70,2.

Trvanie procesu prechodu je v tomto prípade určené menšou odmocninou: Tп=4/|pmin|.

Charakter procesu prechodu so skutočnými koreňmi charakteristickej rovnice sa nazýva tlmený alebo aperiodický.

b) Korene charakteristickej rovnice sú komplexne konjugované.

K tomu dochádza, keď sú parametre:

koeficient útlmu:

uhlová frekvencia prirodzených vibrácií:

Riešenie pre pôvodnú funkciu je možné previesť do inej podoby:

V prípade komplexne konjugovaných koreňov charakteristickej rovnice sa teda požadovaná funkcia i(t) mení v čase podľa harmonického zákona Imsinω0t s tlmenou amplitúdou Im(t)=A·e-bt. Grafický diagram funkcie je znázornený na obr. 70,3.

Doba kmitania je T0=2π/ω0, trvanie prechodového procesu je určené koeficientom útlmu: Tп=4/b.

Povaha procesu prechodu s komplexnými konjugovanými koreňmi charakteristickej rovnice sa nazýva oscilačný alebo periodický.

V prípade komplexne konjugovaných koreňov sa na určenie voľnej zložky používa konkrétna forma:

kde koeficienty A a ψ alebo B a C sú nové integračné konštanty, ktoré sú určené pomocou počiatočných podmienok pre požadovanú funkciu.

c) Korene charakteristickej rovnice sú skutočné a navzájom sa rovnajú.

Toto je prípad za predpokladu:

Predtým získané riešenie pre požadovanú funkciu i(t) sa v tomto prípade stane neistým, pretože čitateľ a menovateľ zlomku sa stanú nulou. Odhalme túto neistotu pomocou L'Hopitalovho pravidla, berúc do úvahy p2=p=const a p1=var, ktoré má tendenciu k p. Potom dostaneme:

Povaha prechodového procesu s rovnakými koreňmi charakteristickej rovnice sa nazýva kritická. Kritický charakter procesu prechodu je na hranici medzi tlmeným a oscilačným a vo forme sa nelíši od tlmeného. Trvanie procesu prechodu Tп=4/s. Pri zmene len odporu rezistora R=var=0…∞ tlmený charakter prechodového procesu zodpovedá rozsahu hodnôt Rvar (Rkp< Rvar < ∞), колебательный характер - также области значений (0 < Rvar < Rkp), а критический характер – одной точке Rvar = Rкр. Поэтому на практике случай равных корней характеристического уравнения встречается крайне редко.

V prípade rovnakých koreňov sa na určenie voľnej zložky používa konkrétny tvar:

kde koeficienty A1 a A2 sú nové integračné konštanty, ktoré sú určené pomocou počiatočných podmienok pre požadovanú funkciu.

Kritický režim procesu prechodu sa vyznačuje tým, že jeho trvanie je minimálne. Táto vlastnosť sa využíva v elektrotechnike.

Uvažujme dva prípady prechodných procesov za sebou RLC obvody:

sekvenčné RLC obvod sa pripája na zdroj konštantnej E.M.F. E;

Vopred nabitý kondenzátor sa vybíja o RLC obvod.

1) Pri sériovom pripojení RLC obvodyštetec konštantnej E.M.F. E(obr. 6.3.a) rovnica elektrickej rovnováhy obvodu podľa druhého Kirchhoffovho zákona má tvar:

U L + U R + U C = E (6,10)

berúc do úvahy pomery

UR = Ri=RC (dUc/dt);

UL =L (di/dt)=LC (d2UC/dt2)

rovnica (6.10) možno napísať ako:

L C (d 2 U C / dt 2) + RC ( dU C / dt) + U C = E (6,11)

A	b	V
Ryža. 6.3

Riešenie nehomogénnej diferenciálnej rovnice (6.11) je určená charakteristickou rovnicou: LCp2+RCp+l=0,

ktorá má korene

δ=R/2L - koeficient útlmu,

Rezonančná frekvencia.

V závislosti od pomeru δ2 a ω 2 sú možné tri hlavné typy prechodných procesov:

a) 52 > ω2 alebo Korene charakteristickej rovnice sú negatívne reálne. Proces prechodu má aperiodický charakter (obr. 6.3.b).

b) δ2< ω 2 alebo Korene charakteristickej rovnice sú zložité a konjugované. Charakter procesu prechodu je oscilačný a tlmený (obr. 6.3.c).

V) 52 = ω2 alebo Korene charakteristickej rovnice sú skutočné a rovnaké p1=p2=-R/2L. Charakter procesu prechodu je aperiodický a tlmený (kritický prípad). Doba prechodu je minimálna.

V prvých dvoch prípadoch má riešenie rovnice tvar:

(6.13)

V=U C (0) - napätie na kondenzátore v momente spínania.

Pre túto príležitosť δ2< ω 2 rovnica (6.13) sa redukuje na tvar:

, (6.14)

- frekvencia tlmených kmitov.

Z rov. (6.14) z toho vyplýva, že proces prechodu U c (t) má charakter kmitov s uhlovou frekvenciou ω a bodka Т=2π/ω, ktoré sa rozpadajú s časovou konštantou t=2L/R=l/8.

Na určenie časovej konštanty τ môžete použiť obálku oscilačnej krivky U c (t), v exponenciálnom tvare:

exp(-δt)=exp(-t/τ).

Pre tretí prípad δ=ω 0 riešenie rovnice (6.11) má tvar:

. (6.15)

Zvláštnosťou tohto režimu je, že pri znižovaní R Pod touto hodnotou sa prechodný proces stáva oscilačným.

2. Keď sa kondenzátor vybije na RL obvod(Obrázok 6.4.a) sú možné všetky tri režimy, diskutované vyššie a určené pomerom veličín 5 a ω0. Prechodné procesy v týchto režimoch sú opísané rovnicami (6.13), (6.14), (6.15) pri E=0. Napríklad pre prípad δ<ω 0 rovnica (6.14) s oscilačným výbojom kondenzátora má tvar:

(6.16)

Prechodná krivka U c (t) znázornené na (obr. 6. 4.b). Obálka krivka U c (t) je funkcia exp(-δt)=exp(-t/τ), pomocou ktorého možno určiť časovú konštantu τ a koeficientom útlmu 5 = 1/τ.