Trigonometrické vzorce cos2x. Všetky trigonometrické vzorce. Metódy riešenia goniometrických rovníc

Základné vzorce trigonometrie sú vzorce, ktoré vytvárajú vzťahy medzi základnými goniometrickými funkciami. Sínus, kosínus, dotyčnica a kotangens sú vzájomne prepojené mnohými vzťahmi. Nižšie uvádzame hlavné trigonometrické vzorce a pre pohodlie ich zoskupujeme podľa účelu. Pomocou týchto vzorcov môžete vyriešiť takmer akýkoľvek problém zo štandardného kurzu trigonometrie. Hneď si všimneme, že nižšie sú uvedené iba samotné vzorce a nie ich odvodenie, ktorému budú venované samostatné články.

Základné identity trigonometrie

Trigonometrické identity poskytujú vzťah medzi sínusom, kosínusom, tangensom a kotangensom jedného uhla, čo umožňuje, aby sa jedna funkcia vyjadrila v podmienkach inej.

Trigonometrické identity

sin 2 a + cos 2 a = 1 tg α = sin α cos α , ctg α = cos α sin α tg α ctg α = 1 tg 2 α + 1 = 1 cos 2 α , ctg 2 α + 1 = 1 sin 2α

Tieto identity vyplývajú priamo z definícií jednotkového kruhu, sínus (sin), kosínus (cos), tangens (tg) a kotangens (ctg).

Odlievané vzorce

Odlievacie vzorce vám umožňujú prejsť od práce s ľubovoľnými a ľubovoľne veľkými uhlami k práci s uhlami v rozsahu od 0 do 90 stupňov.

Odlievané vzorce

sin α + 2 π z = sin α , cos α + 2 π z = cos α tg α + 2 π z = tg α , ctg α + 2 π z = ctg α sin - α + 2 π z = - sin α , cos - α + 2 π z = cos α tg - α + 2 π z = - tg α , ctg - α + 2 π z = - ctg α sin π 2 + α + 2 π z = cos α , cos π 2 + α + 2 π z = - sin α tg π 2 + α + 2 π z = - ctg α , ctg π 2 + α + 2 π z = - tg α sin π 2 - α + 2 π z = cos α , cos π 2 - α + 2 π z = sin α tg π 2 - α + 2 π z = ctg α , ctg π 2 - α + 2 π z = tg α sin π + α + 2 π z = - sin α , cos π + α + 2 π z = - cos α tg π + α + 2 π z = tg α , ctg π + α + 2 π z = ctg α sin π - α + 2 π z = sin α , cos π - α + 2 π z = - cos α tg π - α + 2 π z = - tg α , ctg π - α + 2 π z = - ctg α sin 3 π 2 + α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 + α + 2 π z = sin α tg 3 π 2 + α + 2 π z = - ctg α , ctg 3 π 2 + α + 2 π z = - tg α sin 3 π 2 - α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 - α + 2 π z = - sin α tg 3 π 2 - α + 2 π z = ctg α , ctg 3 π 2 - α + 2 π z = tg α

Redukčné vzorce sú dôsledkom periodicity goniometrických funkcií.

Goniometrické sčítacie vzorce

Sčítacie vzorce v trigonometrii umožňujú vyjadriť goniometrickú funkciu súčtu alebo rozdielu uhlov pomocou goniometrických funkcií týchto uhlov.

Goniometrické sčítacie vzorce

sin α ± β = sin α cos β ± cos α sin β cos α + β = cos α cos β - sin α sin β cos α - β = cos α cos β + sin α sin β tg α t ± β tg β 1 ± tg α tg β ctg α ± β = - 1 ± ctg α ctg β ctg α ± ctg β

Na základe sčítacích vzorcov sú odvodené trigonometrické vzorce pre viacnásobný uhol.

Vzorce s viacerými uhlami: dvojitý, trojitý atď.

Vzorce dvojitého a trojitého uhla

sin 2 α \u003d 2 sin α cos α cos 2 α \u003d cos 2 α - sin 2 α, cos 2 α \u003d 1 - 2 sin 2 α, cos 2 α \u003d 2 cos 2 α - 1 α \tg α - 1 α u003d 2 tg α 1 - tg 2 α s tg 2 α \u003d s tg 2 α - 1 2 s tg α sin 3 α \u003d 3 sin α cos 2 α - sin 3 α, sin 3 α - \u00 4 sin 3 α cos 3 α \u003d cos 3 α - 3 sin 2 α cos α, cos 3 α \u003d - 3 cos α + 4 cos 3 α tg 3 α \u003d 3 tg α - tg - 3 α α 2 α ctg 3 α = ctg 3 α - 3 ctg α 3 ctg 2 α - 1

Vzorce polovičného uhla

Vzorce polovičného uhla v trigonometrii sú dôsledkom vzorcov dvojitého uhla a vyjadrujú vzťah medzi základnými funkciami polovičného uhla a kosínusom celého uhla.

Vzorce polovičného uhla

sin 2 α 2 = 1 - cos α 2 cos 2 α 2 = 1 + cos α 2 t g 2 α 2 = 1 - cos α 1 + cos α c t g 2 α 2 = 1 + cos α 1 - cos α

Redukčné vzorce

Redukčné vzorce

sin 2 α = 1 - cos 2 α 2 cos 2 α = 1 + cos 2 α 2 sin 3 α = 3 sin α - sin 3 α 4 cos 3 α = 3 cos α + cos 3 α 4 sin 4 α = 3 - 4 cos 2 α + cos 4 α 8 cos 4 α = 3 + 4 cos 2 α + cos 4 α 8

Pri výpočtoch je často nepohodlné pracovať s ťažkopádnymi právomocami. Vzorce na zníženie stupňa vám umožňujú znížiť stupeň goniometrickej funkcie z ľubovoľne veľkého na prvý. Tu je ich všeobecný pohľad:

Všeobecná forma redukčných vzorcov

pre párne n

sin n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n 2 - 1 (- 1) n 2 - k C kn cos ((n - 2 k) α) cos n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n 2 - 1 C kn cos ((n - 2 k) α)

za nepárne n

sin n α = 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n - 1 2 (- 1) n - 1 2 - k C kn sin ((n - 2 k) α) cos n α = 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n - 1 2 C kn cos ((n - 2 k) α)

Súčet a rozdiel goniometrických funkcií

Rozdiel a súčet goniometrických funkcií možno znázorniť ako súčin. Faktorovanie rozdielov sínusov a kosínusov je veľmi výhodné pri riešení goniometrických rovníc a pri zjednodušovaní výrazov.

Súčet a rozdiel goniometrických funkcií

sin α + sin β = 2 sin α + β 2 cos α - β 2 sin α - sin β = 2 sin α - β 2 cos α + β 2 cos α + cos β = 2 cos α + β β cos α - 2 2 cos α - cos β \u003d - 2 sin α + β 2 sin α - β 2, cos α - cos β \u003d 2 sin α + β 2 sin β - α 2

Súčin goniometrických funkcií

Ak vám vzorce pre súčet a rozdiel funkcií umožňujú prejsť na ich súčin, potom vzorce pre súčin goniometrických funkcií vykonajú spätný prechod - od súčinu k súčtu. Do úvahy sa berú vzorce pre súčin sínusov, kosínusov a sínus po kosínu.

Vzorce na súčin goniometrických funkcií

sin α sin β = 1 2 (cos (α - β) - cos (α + β)) cos α cos β = 1 2 (cos (α - β) + cos (α + β)) sin α cos β = 1 2 (sin (α - β) + sin (α + β))

Univerzálna trigonometrická substitúcia

Všetky základné goniometrické funkcie - sínus, kosínus, tangens a kotangens - možno vyjadriť pomocou tangens polovičného uhla.

Univerzálna trigonometrická substitúcia

sin α = 2 tg α 2 1 + tg 2 α 2 cos α = 1 - tg 2 α 2 1 + tg 2 α 2 tg α = 2 tg α 2 1 - tg 2 α 2 ctg α = 1 - α 2 tg 2 2tgα 2

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

Pri vykonávaní trigonometrických transformácií postupujte podľa týchto tipov:

1. Nesnažte sa okamžite prísť so schémou riešenia príkladu od začiatku do konca.
2. Nepokúšajte sa previesť celý príklad naraz. Pohybujte sa vpred malými krokmi.
3. Pamätajte, že okrem goniometrických vzorcov v trigonometrii môžete stále použiť všetky spravodlivé algebraické transformácie (zátvorky, zmenšovanie zlomkov, skrátené vzorce na násobenie atď.).
4. Verte, že všetko bude v poriadku.

Základné goniometrické vzorce

Väčšina vzorcov v trigonometrii sa často používa sprava doľava aj zľava doprava, takže sa tieto vzorce musíte naučiť tak dobre, aby ste mohli jednoducho použiť nejaký vzorec v oboch smeroch. Na začiatok si zapíšeme definície goniometrických funkcií. Nech existuje pravouhlý trojuholník:

Potom definícia sínusu je:

Definícia kosínusu:

Definícia dotyčnice:

Definícia kotangens:

Základná trigonometrická identita:

Najjednoduchšie dôsledky základnej trigonometrickej identity:

Vzorce s dvojitým uhlom. Sínus dvojitého uhla:

Kosínus dvojitého uhla:

Dvojitý uhol tangens:

Kotangens s dvojitým uhlom:

Ďalšie trigonometrické vzorce

Goniometrické sčítacie vzorce. Sínus súčtu:

Sínus rozdielu:

Kosínus súčtu:

Kosínus rozdielu:

Tangent súčtu:

Tangenta rozdielu:

Kotangens súčtu:

Rozdiel kotangens:

Goniometrické vzorce na prevod sumy na súčin. Súčet sínusov:

Sínusový rozdiel:

Súčet kosínov:

Kosínový rozdiel:

súčet dotyčníc:

Tangentový rozdiel:

Súčet kotangens:

Kotangens rozdiel:

Goniometrické vzorce na prepočet súčinu na súčet. Súčin sínusov:

Súčin sínusu a kosínusu:

Súčin kosínusov:

Vzorce na zníženie stupňa.

Vzorce polovičného uhla.

Trigonometrické redukčné vzorce

Volá sa funkcia kosínus kofunkcia sínusová funkcia a naopak. Podobne funkcie tangens a kotangens sú kofunkcie. Redukčné vzorce možno formulovať podľa nasledujúceho pravidla:

• Ak sa v redukčnom vzorci uhol odpočíta (sčíta) od 90 stupňov alebo 270 stupňov, potom sa redukovateľná funkcia zmení na kofunkciu;
• Ak je v redukčnom vzorci uhol odčítaný (pridaný) od 180 stupňov alebo 360 stupňov, názov redukovanej funkcie sa zachová;
• V tomto prípade pred redukovanou funkciou je znamienko, ktoré má redukovaná (t. j. pôvodná) funkcia v zodpovedajúcej štvrtine, ak odčítaný (sčítaný) uhol považujeme za ostrý.

Odlievané vzorce sú uvedené vo forme tabuľky:

Autor: trigonometrický kruh je ľahké určiť tabuľkové hodnoty goniometrických funkcií:

Goniometrické rovnice

Na vyriešenie určitej goniometrickej rovnice je potrebné ju zredukovať na jednu z najjednoduchších goniometrických rovníc, o ktorej sa bude diskutovať nižšie. Pre to:

• Môžete použiť vyššie uvedené trigonometrické vzorce. V tomto prípade sa nemusíte pokúšať konvertovať celý príklad naraz, ale musíte postupovať vpred po malých krokoch.
• Netreba zabúdať ani na možnosť transformácie nejakého výrazu pomocou algebraických metód, t.j. napríklad dať niečo zo zátvoriek alebo naopak, otvoriť zátvorky, zmenšiť zlomok, použiť skrátený vzorec na násobenie, priviesť zlomky k spoločnému menovateľovi atď.
• Pri riešení goniometrických rovníc môžete použiť metóda zoskupovania. Je potrebné mať na pamäti, že na to, aby sa súčin viacerých faktorov rovnal nule, stačí, aby sa ktorýkoľvek z nich rovnal nule a zvyšok existoval.
• Uplatňuje sa variabilná metóda náhrady, ako obvykle, rovnica po zavedení náhrady by sa mala zjednodušiť a neobsahovať pôvodnú premennú. Musíte tiež pamätať na opačnú substitúciu.
• Pamätajte, že homogénne rovnice sa často vyskytujú aj v trigonometrii.
• Pri otváraní modulov alebo riešení iracionálnych rovníc s goniometrickými funkciami si treba pamätať a brať do úvahy všetky jemnosti riešenia zodpovedajúcich rovníc s obyčajnými funkciami.
• Pamätajte na ODZ (v goniometrických rovniciach sa obmedzenia na ODZ v podstate scvrkávajú na skutočnosť, že nemôžete deliť nulou, ale nezabudnite na ďalšie obmedzenia, najmä na kladnosť výrazov v racionálnych mocninách a pod koreňmi párnych stupňov ). Pamätajte tiež, že hodnoty sínus a kosínus môžu ležať iba medzi mínus jedna a plus jedna vrátane.

Hlavná vec je, že ak neviete, čo robiť, urobte aspoň niečo, zatiaľ čo hlavnou vecou je správne používať trigonometrické vzorce. Ak sa to, čo získate, zlepšuje a zlepšuje, pokračujte v riešení, a ak sa to zhorší, vráťte sa na začiatok a skúste použiť iné vzorce, tak to urobte, kým nenarazíte na správne riešenie.

Vzorce na riešenie najjednoduchších goniometrických rovníc. Pre sínus existujú dve ekvivalentné formy zápisu riešenia:

Pre ostatné goniometrické funkcie je zápis jedinečný. Pre kosínus:

Pre dotyčnicu:

Pre kotangens:

Riešenie goniometrických rovníc v niektorých špeciálnych prípadoch:

Naučte sa všetky vzorce a zákony vo fyzike a vzorce a metódy v matematike. V skutočnosti je to tiež veľmi jednoduché, vo fyzike je len asi 200 potrebných vzorcov a v matematike ešte o niečo menej. V každom z týchto predmetov je asi tucet štandardných metód na riešenie problémov základnej úrovne zložitosti, ktoré sa možno aj naučiť, a tak úplne automaticky a bez problémov vyriešiť väčšinu digitálnej transformácie v správnom čase. Potom už budete musieť myslieť len na tie najťažšie úlohy.

Zúčastnite sa všetkých troch stupňov skúšobného testovania z fyziky a matematiky. Každý RT je možné navštíviť dvakrát, aby sa vyriešili obe možnosti. Opäť platí, že na CT je okrem schopnosti rýchlo a efektívne riešiť problémy a znalosti vzorcov a metód potrebné aj vedieť si správne naplánovať čas, rozložiť sily a hlavne správne vyplniť odpoveďový formulár. , bez toho, aby ste si pomýlili čísla odpovedí a úloh, ani svoje vlastné meno. Počas RT je tiež dôležité zvyknúť si na štýl kladenia otázok v úlohách, ktorý sa môže nepripravenému človeku na DT zdať veľmi nezvyčajný.

Úspešné, usilovné a zodpovedné plnenie týchto troch bodov, ako aj zodpovedné štúdium záverečných tréningových testov vám umožní ukázať na CT výborný výsledok, maximum toho, čoho ste schopní.

Našli ste chybu?

Ak ste, ako sa vám zdá, našli chybu v školiacich materiáloch, napíšte o nej e-mailom (). V liste uveďte predmet (fyziku alebo matematiku), názov alebo číslo témy alebo testu, číslo úlohy, prípadne miesto v texte (strane), kde je podľa vás chyba. Popíšte aj údajnú chybu. Váš list nezostane bez povšimnutia, chyba bude buď opravená, alebo vám bude vysvetlené, prečo nejde o chybu.

Toto je posledná a najdôležitejšia lekcia potrebná na riešenie problémov B11. Už vieme, ako previesť uhly z radiánov na stupne (pozri lekciu " Radiánová a stupňová miera uhla“), a tiež vieme, ako určiť znamienko goniometrickej funkcie so zameraním na štvrtiny súradníc (pozri lekciu „ Znaky goniometrických funkcií »).

Záležitosť zostáva malá: vypočítať hodnotu samotnej funkcie - samotné číslo, ktoré je napísané v odpovedi. Tu prichádza na pomoc základná trigonometrická identita.

Základná trigonometrická identita. Pre každý uhol α platí tvrdenie:

sin 2 α + cos 2 α = 1.

Tento vzorec spája sínus a kosínus jedného uhla. Teraz, keď poznáme sínus, môžeme ľahko nájsť kosínus - a naopak. Stačí vziať druhú odmocninu:

Všimnite si znak „±“ pred koreňmi. Faktom je, že zo základnej trigonometrickej identity nie je jasné, aký bol pôvodný sínus a kosínus: kladný alebo záporný. Koniec koncov, kvadratúra je rovnomerná funkcia, ktorá „vypáli“ všetky mínusy (ak nejaké sú).

To je dôvod, prečo vo všetkých úlohách B11, ktoré sa nachádzajú v USE v matematike, sú nevyhnutne ďalšie podmienky, ktoré pomáhajú zbaviť sa neistoty pomocou znakov. Zvyčajne ide o označenie štvrtiny súradníc, podľa ktorej možno určiť znamenie.

Pozorný čitateľ sa určite opýta: "A čo tangenta a kotangens?" Nie je možné priamo vypočítať tieto funkcie z vyššie uvedených vzorcov. Existujú však dôležité dôsledky zo základnej trigonometrickej identity, ktoré už obsahujú dotyčnice a kotangens. menovite:

Dôležitý dôsledok: pre akýkoľvek uhol α možno základnú trigonometrickú identitu prepísať takto:

Tieto rovnice sa dajú ľahko odvodiť zo základnej identity - obe strany stačí vydeliť cos 2 α (pre získanie dotyčnice) alebo sin 2 α (pre kotangens).

Pozrime sa na to všetko na konkrétnych príkladoch. Nasledujú skutočné problémy B11 prevzaté zo skúšok matematiky USE v roku 2012.

Poznáme kosínus, ale nepoznáme sínus. Hlavná goniometrická identita (vo svojej „čistej“ podobe) spája práve tieto funkcie, preto s ňou budeme pracovať. Máme:

sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ sin 2 α + 99/100 = 1 ⇒ sin 2 α = 1/100 ⇒ sin α = ±1/10 = ±0,1.

Na vyriešenie problému zostáva nájsť znamenie sínusu. Pretože uhol α ∈ (π /2; π ), potom v mierke stupňov sa píše takto: α ∈ (90°; 180°).

Preto uhol α leží v súradnicovej štvrtine II - všetky sínusy sú tam kladné. Preto sin α = 0,1.

Takže poznáme sínus, ale musíme nájsť kosínus. Obe tieto funkcie sú v základnej goniometrickej identite. Nahrádzame:

sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ 3/4 + cos 2 α = 1 ⇒ cos 2 α = 1/4 ⇒ cos α = ±1/2 = ±0,5.

Zostáva sa zaoberať znakom pred zlomkom. Čo si vybrať: plus alebo mínus? Podľa podmienky patrí uhol α intervalu (π 3π /2). Prevedieme uhly z radiánovej miery na mieru – dostaneme: α ∈ (180°; 270°).

Je zrejmé, že toto je súradnicový štvrťrok III, kde sú všetky kosínusy záporné. Preto cosα = -0,5.

Úloha. Nájdite tg α, ak poznáte nasledovné:

Tangent a kosínus sú spojené rovnicou, ktorá vychádza zo základnej goniometrickej identity:

Dostaneme: tg α = ±3. Znamienko dotyčnice je určené uhlom α. Je známe, že α ∈ (3π /2; 2π ). Prevedieme uhly z radiánovej miery na mieru stupňov - dostaneme α ∈ (270°; 360°).

Je zrejmé, že toto je IV súradnicová štvrť, kde sú všetky dotyčnice záporné. Preto tgα = −3.

Úloha. Nájdite cos α, ak poznáte nasledovné:

Opäť platí, že sínus je známy a kosínus nie je známy. Zapíšeme si hlavnú trigonometrickú identitu:

sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ 0,64 + cos 2 α = 1 ⇒ cos 2 α = 0,36 ⇒ cos α = ±0,6.

Znamienko je určené uhlom. Máme: α ∈ (3π /2; 2π ). Prevedieme uhly zo stupňov na radiány: α ∈ (270°; 360°) je IV súradnicová štvrť, kosínusy sú tam kladné. Preto cos α = 0,6.

Úloha. Nájdite hriech α, ak poznáte nasledovné:

Napíšme vzorec, ktorý vyplýva zo základnej goniometrickej identity a priamo spája sínus a kotangens:

Odtiaľto dostaneme, že sin 2 α = 1/25, t.j. sin α = ±1/5 = ±0,2. Je známe, že uhol α ∈ (0; π /2). V stupňoch sa to píše takto: α ∈ (0°; 90°) - súradnice štvrtiny.

Uhol je teda v súradnicovej štvrtine I - všetky trigonometrické funkcie sú tam kladné, preto sin α \u003d 0,2.