Имеются следующие данные разных стран об индексе розничных цен на продукты питания (х) и об индексе промышленного производства (у).

	Индекс розничных цен на продукты питания (х)	Индекс промышленного производства (у)
1	100	70
2	105	79
3	108	85
4	113	84
5	118	85
6	118	85
7	110	96
8	115	99
9	119	100
10	118	98
11	120	99
12	124	102
13	129	105
14	132	112

Требуется:

1. Для характеристики зависимости у от х рассчитать параметры следующих функций:

А) линейной;

Б) степенной;

В) равносторонней гиперболы.

3. Оценить статистическую значимость параметров регрессии и корреляции.

4. Выполнить прогноз значения индекса промышленного производства у при прогнозном значении индекса розничных цен на продукты питания х=138.

Решение:

1. Для расчёта параметров линейной регрессии

Решаем систему нормальных уравнений относительно a и b:

Построим таблицу расчётных данных, как показано в таблице 1.

Таблица 1 Расчетные данные для оценки линейной регрессии

№ п/п	х	у	ху	x 2	y 2
1	100	70	7000	10000	4900	74,26340	0,060906
2	105	79	8295	11025	6241	79,92527	0,011712
3	108	85	9180	11664	7225	83,32238	0,019737
4	113	84	9492	12769	7056	88,98425	0,059336
5	118	85	10030	13924	7225	94,64611	0,113484
6	118	85	10030	13924	7225	94,64611	0,113484
7	110	96	10560	12100	9216	85,58713	0,108467
8	115	99	11385	13225	9801	91,24900	0,078293
9	119	100	11900	14161	10000	95,77849	0,042215
10	118	98	11564	13924	9604	94,64611	0,034223
11	120	99	11880	14400	9801	96,91086	0,021102
12	124	102	12648	15376	10404	101,4404	0,005487
13	129	105	13545	16641	11025	107,1022	0,020021
14	132	112	14784	17424	12544	110,4993	0,013399
Итого:	1629	1299	152293	190557	122267	1299,001	0,701866
Среднее значение:	116,3571	92,78571	10878,07	13611,21	8733,357	х	х
	8,4988	11,1431	х	х	х	х	х
	72,23	124,17	х	х	х	х	х

Среднее значение определим по формуле:

Cреднее квадратическое отклонение рассчитаем по формуле:

и занесём полученный результат в таблицу 1.

Возведя в квадрат полученное значение получим дисперсию:

Параметры уравнения можно определить также и по формулам:

Таким образом, уравнение регрессии:

Следовательно, с увеличением индекса розничных цен на продукты питания на 1, индекс промышленного производства увеличивается в среднем на 1,13.

Рассчитаем линейный коэффициент парной корреляции:

Связь прямая, достаточно тесная.

Определим коэффициент детерминации:

Вариация результата на 74,59% объясняется вариацией фактора х.

Подставляя в уравнение регрессии фактические значения х, определим теоретические (расчётные) значения .

следовательно, параметры уравнения определены правильно.

Рассчитаем среднюю ошибку аппроксимации - среднее отклонение расчётных значений от фактических:

В среднем расчётные значения отклоняются от фактических на 5,01%.

Оценку качества уравнения регрессии проведём с помощью F-теста.

F-тест состоит в проверке гипотезы Н 0 о статистической незначимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи. Для этого выполняется сравнение фактического F факт и критического (табличного) F табл значений F-критерия Фишера.

F факт определяется по формуле:

где n - число единиц совокупности;

m - число параметров при переменных х.

Полученные оценки уравнения регрессии позволяют использовать его для прогноза.

Если прогнозное значение индекса розничных цен на продукты питания х = 138, тогда прогнозное значение индекса промышленного производства составит:

2. Степенная регрессия имеет вид:

Для определения параметров производят логарифмиро-вание степенной функции:

Для определения параметров логарифмической функции строят систему нормальных уравнений по способу наи-меньших квадратов:

Построим таблицу расчётных данных, как показано в таблице 2.

Таблица 2 Расчетные данные для оценки степенной регрессии

№п/п	х	у	lg x	lg y	lg x*lg y	(lg x) 2	(lg y) 2
1	100	70	2,000000	1,845098	3,690196	4,000000	3,404387
2	105	79	2,021189	1,897627	3,835464	4,085206	3,600989
3	108	85	2,033424	1,929419	3,923326	4,134812	3,722657
4	113	84	2,053078	1,924279	3,950696	4,215131	3,702851
5	118	85	2,071882	1,929419	3,997528	4,292695	3,722657
6	118	85	2,071882	1,929419	3,997528	4,292695	3,722657
7	110	96	2,041393	1,982271	4,046594	4,167284	3,929399
8	115	99	2,060698	1,995635	4,112401	4,246476	3,982560
9	119	100	2,075547	2,000000	4,151094	4,307895	4,000000
10	118	98	2,071882	1,991226	4,125585	4,292695	3,964981
11	120	99	2,079181	1,995635	4,149287	4,322995	3,982560
12	124	102	2,093422	2,008600	4,204847	4,382414	4,034475
13	129	105	2,110590	2,021189	4,265901	4,454589	4,085206
14	132	112	2,120574	2,049218	4,345518	4,496834	4,199295
Итого	1629	1299	28,90474	27,49904	56,79597	59,69172	54,05467
Среднее значение	116,3571	92,78571	2,064624	1,964217	4,056855	4,263694	3,861048
	8,4988	11,1431	0,031945	0,053853	х	х	х
	72,23	124,17	0,001021	0,0029	х	х	х

Продолжение таблицы 2 Расчетные данные для оценки степенной регрессии

№п/п	х	у
1	100	70	74,16448	17,34292	0,059493	519,1886
2	105	79	79,62057	0,385112	0,007855	190,0458
3	108	85	82,95180	4,195133	0,024096	60,61728
4	113	84	88,59768	21,13866	0,054734	77,1887
5	118	85	94,35840	87,57961	0,110099	60,61728
6	118	85	94,35840	87,57961	0,110099	60,61728
7	110	96	85,19619	116,7223	0,11254	10,33166
8	115	99	90,88834	65,79901	0,081936	38,6174
9	119	100	95,52408	20,03384	0,044759	52,04598
10	118	98	94,35840	13,26127	0,037159	27,18882
11	120	99	96,69423	5,316563	0,023291	38,6174
12	124	102	101,4191	0,337467	0,005695	84,90314
13	129	105	107,4232	5,872099	0,023078	149,1889
14	132	112	111,0772	0,85163	0,00824	369,1889
Итого	1629	1299	1296,632	446,4152	0,703074	1738,357
Среднее значение	116,3571	92,78571	х	х	х	х
	8,4988	11,1431	х	х	х	х
	72,23	124,17	х	х	х	х

Решая систему нормальных уравнений, определяем параметры логарифмической функции.

Получим линейное уравнение:

Выполнив его потенцирование, получим:

Подставляя в данное уравнение фактические значения х, получаем теоретические значения результата . По ним рассчитаем показатели: тесноты связи - индекс корреляции и среднюю ошибку аппроксимации.

Связь достаточно тесная.

В среднем расчётные значения отклоняются от фактических на 5,02%.

Таким образом, Н 0 - гипотеза о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признаётся их статистическая значимость и надёжность.

Полученные оценки уравнения регрессии позволяют использовать его для прогноза. Если прогнозное значение индекса розничных цен на продукты питания х = 138, тогда прогнозное значение индекса промышленного производства составит:

Для определения параметров этого уравнения используется система нормальных уравнений:

Произведем замену переменных

и получим следующую систему нормальных уравнений:

Решая систему нормальных уравнений, определяем параметры гиперболы.

Составим таблицу расчётных данных, как показано в таблице 3.

Таблица 3 Расчетные данные для оценки гиперболической зависимости

№п/п	х	у	z	yz
1	100	70	0,010000000	0,700000	0,0001000	4900
2	105	79	0,009523810	0,752381	0,0000907	6241
3	108	85	0,009259259	0,787037	0,0000857	7225
4	113	84	0,008849558	0,743363	0,0000783	7056
5	118	85	0,008474576	0,720339	0,0000718	7225
6	118	85	0,008474576	0,720339	0,0000718	7225
7	110	96	0,009090909	0,872727	0,0000826	9216
8	115	99	0,008695652	0,860870	0,0000756	9801
9	119	100	0,008403361	0,840336	0,0000706	10000
10	118	98	0,008474576	0,830508	0,0000718	9604
11	120	99	0,008333333	0,825000	0,0000694	9801
12	124	102	0,008064516	0,822581	0,0000650	10404
13	129	105	0,007751938	0,813953	0,0000601	11025
14	132	112	0,007575758	0,848485	0,0000574	12544
Итого:	1629	1299	0,120971823	11,13792	0,0010510	122267
Среднее значение:	116,3571	92,78571	0,008640844	0,795566	0,0000751	8733,357
	8,4988	11,1431	0,000640820	х	х	х
	72,23	124,17	0,000000411	х	х	х

Продолжение таблицы 3 Расчетные данные для оценки гиперболической зависимости

1. Какие из следующих измерений относятся к классу наименований измерительных шкал:
а) числа, кодирующие темперамент;


г) телефонные номера.

2. Какие из следующих измерений относятся к классу порядка измерительных шкал:

б) академический ранг как мера продвижения по службе;
в) метрическая система измерения расстояния;
г) телефонные номера.

3. Какие из следующих измерений относятся к классу отношений измерительных шкал:
а) числа, кодирующие темперамент;
б) академический ранг как мера продвижения по службе;
в) метрическая система измерения расстояния;
г) телефонные номера.

4. Какие из следующих признаков относятся количественным видам:

б) родственные связи членов семьи;
в) пол и возраст человека;
г) социальное положение вкладчика;
д) количество детей в семье;
е) розничный товарооборот торговых предприятий.

5. Какие из следующих признаков относятся качественным видам:
а) количество работников на фирме;
б) родственные связи членов семьи;
в) пол и возраст человека;
г) социальное положение вкладчика;
д) количество детей в семье;
е) розничный товарооборот торговых предприятий.

6. Какую шкалу используют при измерении уровня интеллекта человека:
а) наименований;
б) порядковую;
в) интервальную;
г) отношений.

7. Среднее квадратическое отклонение — это:
а) квадрат размаха вариационного ряда;
б) корень квадратный из дисперсии;
в) квадрат коэффициента вариации;
г) квадратный корень из величины размаха вариации.

8. Коэффициент вариации ряда определяется отношением:
а) среднего квадратического отклонения к среднему арифметическому значению ряда;
б) дисперсии к медиане ряда;
в) дисперсии к максимальному значению ряда;
г) абсолютного показателя вариации к среднему арифметическому значению ряда.

9. Мода данного вариационного ряда

x 10 15 35
n 1 2 3

это:
а) 20;
б) 16;
в) 3;
г) 35.

10. Среднее арифметическое значение совокупности это:
а) значение признака в середине вариационного ряда;
б) полуразность максимального и минимального значений вариационного ряда;
в) полусумма максимального и минимального значений вариационного ряда;
г) отношение суммы всех величин совокупности к их общему числу.

11. Известны данные о стаже работы семи продавцов магазина: 2; 3; 2; 5; 10; 7; 1 лет. Найти среднее значение стажа их работы.
а) 4,3 года;
б) 5 лет;
в) 3года;
г) 3,8 года.

12. Ряд распределения это:
а) последовательность выборочных данных;
б) упорядоченное расположение данных по количественному признаку;
в) числовая последовательность данных;
г) последовательность значений, упорядоченная по качественным признакам.

13. Частотой варианты вариационного ряда называется:
а) численность выборки;
б) значение варианты вариационного ряда;
в) численность отдельных вариант или группы вариационного ряда;
г) число групп вариационного ряда.

14. Мода — это:
а) максимальное значение признака совокупности;
б) наиболее часто встречающееся значение признака;
в) среднее арифметическое значение совокупности.

15. Известны данные о стаже работы продавцов магазина: 2; 3; 2; 5; 10; 7; 1. Найти медиану стажа их работы:
а) 4,5 года;
б) 4,3 года;
в) 3 года;
г) 5 лет.

16. Вариационный размах данного вариационного ряда:
x 10 15 20 30
n 1 2 3 2

это:
а) 15;
б) 10;
в) 30;
г) 20.

17. Численность упорядоченного ряда делит пополам:
а) мода;
б) средняя арифметическая;
в) средняя гармоническая;
г) медиана.

18. Статистическая группировка — это:
а) объединение или разделение данных по существенным признакам;
б) научная организация статистического наблюдения;
в) виды отчетности;
г) непосредственный сбор массовых данных.

19. Коэффициент осцилляции это:
а) абсолютный показатель;
б) средний показатель;
в) относительный показатель вариации.

20. Дисперсия вариационного ряда характеризует:
а) среднее значение индивидуальных признаков;
б) рассеяние индивидуальных значений признаков от среднего значения;
в) среднеквадратическое отклонение.

21. Уравнение прямолинейной функции регрессии отображает динамику развития:
а) с переменным ускорением;

в) равномерное;
г) равноускоренное.

22. Если величина коэффициента корреляции равна 0,6, то по шкале Чедд.ка:
а) связь практически отсутствует;
б) связь слабая;
в) связь умеренная;
г) связь сильная.

23. Данные представляют оценки взрослых людей в тесте на определение коэффициента интеллектуальности Стенфорда-Бине 104, 87, 101, 130, 148, 92, 97, 105, 134, 121. Найти размах вариации:
а) 61;
б) 60;
в) 75.

24. Найти среднюю арифметическую взвешанную для следующего интервального ряда:

li ni
10-14 1
15-19 1
20-24 4
25-29 2
30-34 4

а) 24;
б) 24,92;
в) 25,38.

25. Вычислить медиану следующего ряда 2,1; 1,5; 1,6; 2,1; 2,4:
а) 2;
б) 1,5;
в) 2,1.

26. Вычислить моду следующего интервального ряда

частота 5-7 8-10 11-13 14-16
интервал 4 7 26 41

а) 14;
б) 14,54;
в) 15,23;

27. Какие из следующих измерений относятся к классу наименований измерительных шкал:
а) диагноз больного;
б) автомобильные номера;
в) твердость минерала;
г) календарное время;
д) вес человека.

28. Какие из следующих измерений относятся к классу порядковый измерительных шкал:
а) диагноз больного;
б) автомобильные номера;
в) твердость минерала;
г) календарное время;
д) вес человека.

29. Какие из следующих измерений относятся к классу интервальный измерительных шкал:
а) диагноз больного;
б) автомобильные номера;
в) твердость минерала;
г) календарное время;
д) вес человека.
30. Какие из следующих измерений относятся к классу отношений измерительных шкал:
а) диагноз больного;
б) автомобильные номера;
в) твердость минерала;
г) календарное время;
д) вес человека.

31. Какую шкалу используют при измерении времени:
а) интервальную;
б) отношений;
в) Чеддока.

32. К количественным видам относятся следующие признаки:
а) рост человека;
б) награды за заслуги;
в) цвет глаз;
г) автомобильные номера.

33. К качественным видам относятся следующие признаки:
а) рост человека;
б) награды за заслуги;
в) цвет глаз;
г) автомобильные номера

34. Вычислить моду

xi 5 8 10 13 14
ni 7 4 5 9 1

а) 10;
б) 11;
в) 13

35. В больших по счету числу учеников в классах наблюдается меньшие успехи в приобретении знаний за четверть, чем в небольших классах. Что является результативным признаком?
а) число учеников в классе;
б) успехи в приобретении знаний,
в) число учеников с успехами в приобретении знаний.

36. Длина интервала в интервальном ряду – это:
а) размах вариации поделенное на среднеарифметическое значение;
б) размах вариации поделенный на число групп;
в) дисперсия поделенная на объем выборки.

37. Пример парной корреляции: ученики, научившиеся читать раньше других имеют тенденцию к более высокой успеваемости. Какой из этих признаков: умение рано читать или высокая успеваемость ученика является факторным признаком?
а) умение рано читать;
б) высокая успеваемость;
в) ни один из них.

38. Какой из следующих методов можно применять при сравнении средних трех и более выборок:
а) тест Стьюдента;
б) тест Фишера;
в) дисперсионный анализ.

39. Объем выборки вариационного ряда

xi 10 15 20 30
ni 1 2 3 2

а) 5;
б) 8;
в) 12;
г) 30.

40. Мода вариационного ряда

xi 10 15 20 25
ni 1 5 4 3

а) 15;
б) 5;
в) 23;
г) 3.

41. Уравнение параболической функции регрессии отражает динамику развития:
а) с переменным ускорением;
б) с замедлением роста в конце периода;
в) равномерное;
г) равноускоренное.

42.Коэффициент регрессии В показывает:
а) ожидаемое значение зависимой переменной при нулевом значении предиктора
б) ожидаемое значение зависимой переменной при изменении предиктора на единицу
в) вероятность ошибки регрессии
г) этот вопрос еще окончательно не решен

43. Выборка — это:
а) все множество объектов, по поводу которых строятся рассуждения исследователя;
б) множество объектов, доступных для эмпирического исследования;
в) все возможные значения дисперсии;
г) то же, что и рандомизация.

44. Какой из следующих коэффициентов корреляции демонстрирует наибольшую связь переменных:
а) -0.90;
б) 0;
в) 0.07;
г) 0.01.

45. Генеральная совокупность — это:
а) все множество объектов, по поводу которых строятся рассуждения исследователя;
б) множество объектов, доступных для эмпирического исследования;
в) все возможные значения математического ожидания;
г) нормальное распределение.

46. Как соотносятся объемы выборки и генеральной совокупности:
а) выборка как правило значительно меньше генеральной совокупности;
б) генеральная совокупность всегда меньше выборки;
в) выборка и генеральная совокупность практически всегда совпадают;
г) нет правильного ответа.

47. Точечно-бисериальный коэффициент корреляции является частным случаем коэффициента корреляции:
а) Спирмена;
б) Пирсона;
в) Кендала;
г) все ответы верны.

48. При каком минимальном уровне значимости принято отвергать нулевую гипотезу?
а) 5% уровень
б) 7 % уровень
в) 9 % уровень
г) 10% уровень

49. Какой из следующих методов обычно применяют при сравнении средних в двух нормальных выборках:
а) тест Стьюдента;
б) тест Фишера;
в) однофакторный дисперсионный анализ;
г) корреляционный анализ.

50. С помощью чего проверяются статистические гипотезы:
а) статистик;
б) параметров;
в) экспериментов;
г) наблюдения.

51. Какое из следующих значений коэффициента корреляции невозможно:
а) -0.54;
б) 2.18;
в) 0; г) 1.

52. Какое преобразование необходимо произвести при сравнении двух коэффициентов корреляции:
а) Стьюдента;
б) Фишера;
в) Пирсона;
г) Спирмена.

53. Что такое медиана распределения:
а) то же, что и биссектриса;
б) то же, что и мода;
в) среднее арифметическое;
г) 50%-ый квантиль распределения;
д) нет правильного ответа.

54. Точечно-биссериальный коэффициент корреляции является частным случаем коэффициента корреляции:
а) Спирмена;
б) Пирсона;
в) Кендалла;
г) все ответы верны.

55.Какая из следующих переменных является дискретной:
а) тип темперамента;
б) уровень интеллекта;
в) время реакции;
г) все ответы верны.

56. В каком диапазоне может изменяться коэффициент корреляции:
а) от –1 до 1;
б) от 0 до 1;
в) от 0 до 100;
г) в любом.

57. По поводу чего выдвигаются статистические гипотезы:
а) понятий;
б) статистик;
в) выборок;
г) параметров.

58. Как называется непараметрический аналог дисперсионного анализа:
а) тест Стьюдента;
б) метод Краскела-Уоллиса;
в) тест Вилкоксона;
г) тест Манна-Уитни.

59. Понятие коэффициента корреляции было впервые разработано в работах:
а) Фишера;
б) Стьюдента;
в) Пирсона;
г) Спирмена.

60. Какая из следующих статистик является несмещенной оценкой математического ожидания:
а) среднее арифметическое;
б) мода;
в) медиана;
г) все ответы верны.

61. Как соотносятся коэффициенты корреляции Пирсона и Спирмена:
а) коэффициент Пирсона является частным случаем Спирмена;
б) коэффициент Спирмена является частным случаем Пирсона;
в) эти коэффициенты имеют различную логику построения;
г) это одно и то же.

62. Согласно теоретическим предположениям дисперсионного анализа, F-отношение не может быть:
а) равно 1;
б) больше 1;
в) меньше 1;
г) нет правильного ответа.

Назначение сервиса . С помощью данного онлайн-калькулятора можно найти параметры уравнения нелинейной регрессии (экспоненциальной, степенной, равносторонней гиперболы, логарифмической, показательной) (см. пример).

Инструкция . Укажите количество исходных данных. Полученное решение сохраняется в файле Word . Также автоматически создается шаблон решения в Excel . Примечание : если необходимо определить параметры параболической зависимости (y = ax 2 + bx + c), то можно воспользоваться сервисом Аналитическое выравнивание .
Ограничить однородную совокупность единиц, устранив аномальные объекты наблюдения можно через метод Ирвина или по правилу трех сигм (устранить те единицы, для которых значение объясняющего фактора отклоняется от среднего более, чем на утроенное среднеквадратичное отклонение).

Виды нелинейной регрессии

Здесь ε - случайная ошибка (отклонение, возмущение), отражающая влияние всех неучтенных факторов.

Уравнению регрессии первого порядка - это уравнение парной линейной регрессии .

Уравнение регрессии второго порядка это полиномальное уравнение регрессии второго порядка: y = a + bx + cx 2 .

Уравнение регрессии третьего порядка соответственно полиномальное уравнение регрессии третьего порядка: y = a + bx + cx 2 + dx 3 .

Чтобы привести нелинейные зависимости к линейной используют методы линеаризации (см. метод выравнивания):

1. Замена переменных.
2. Логарифмирование обеих частей уравнения.
3. Комбинированный.

y = f(x)	Преобразование	Метод линеаризации
y = b x a	Y = ln(y); X = ln(x)	Логарифмирование
y = b e ax	Y = ln(y); X = x	Комбинированный
y = 1/(ax+b)	Y = 1/y; X = x	Замена переменных
y = x/(ax+b)	Y = x/y; X = x	Замена переменных. Пример
y = aln(x)+b	Y = y; X = ln(x)	Комбинированный
y = a + bx + cx 2	x 1 = x; x 2 = x 2	Замена переменных
y = a + bx + cx 2 + dx 3	x 1 = x; x 2 = x 2 ; x 3 = x 3	Замена переменных
y = a + b/x	x 1 = 1/x	Замена переменных
y = a + sqrt(x)b	x 1 = sqrt(x)	Замена переменных

Пример . По данным, взятым из соответствующей таблицы, выполнить следующие действия:

1. Построить поле корреляции и сформулировать гипотезу о форме связи.
2. Рассчитать параметры уравнений линейной, степенной, экспоненциальной, полулогарифмической, обратной, гиперболической парной регрессии.
3. Оценить тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.
4. Дать с помощью среднего (общего) коэффициента эластичности сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.
5. Оценить с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнений.
6. Оценить с помощью F-критерия Фишера статистическую надежность результатов регрессионного моделирования. По значениям характеристик, рассчитанных в пп. 4, 5 и данном пункте, выбрать лучшее уравнение регрессии и дать его обоснование.
7. Рассчитать прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 15% от его среднего уровня. Определить доверительный интервал прогноза для уровня значимости α=0,05 .
8. Оценить полученные результаты, выводы оформить в аналитической записке.

Год	Фактическое конечное потребление домашних хозяйств (в текущих ценах), млрд. руб. (1995 г. - трлн. руб.), y	Среднедушевые денежные доходы населения (в месяц), руб. (1995 г. - тыс. руб.), х
1995	872	515,9
2000	3813	2281,1
2001	5014	3062
2002	6400	3947,2
2003	7708	5170,4
2004	9848	6410,3
2005	12455	8111,9
2006	15284	10196
2007	18928	12602,7
2008	23695	14940,6
2009	25151	16856,9

Решение. В калькуляторе последовательно выбираем виды нелинейной регрессии . Получим таблицу следующего вида.
Экспоненциальное уравнение регрессии имеет вид y = a e bx
После линеаризации получим: ln(y) = ln(a) + bx
Получаем эмпирические коэффициенты регрессии: b = 0.000162, a = 7.8132
Уравнение регрессии: y = e 7.81321500 e 0.000162x = 2473.06858e 0.000162x

Степенное уравнение регрессии имеет вид y = a x b
После линеаризации получим: ln(y) = ln(a) + b ln(x)
Эмпирические коэффициенты регрессии: b = 0.9626, a = 0.7714
Уравнение регрессии: y = e 0.77143204 x 0.9626 = 2.16286x 0.9626

Гиперболическое уравнение регрессии имеет вид y = b/x + a + ε
После линеаризации получим: y=bx + a
Эмпирические коэффициенты регрессии: b = 21089190.1984, a = 4585.5706
Эмпирическое уравнение регрессии: y = 21089190.1984 / x + 4585.5706

Логарифмическое уравнение регрессии имеет вид y = b ln(x) + a + ε
Эмпирические коэффициенты регрессии: b = 7142.4505, a = -49694.9535
Уравнение регрессии: y = 7142.4505 ln(x) - 49694.9535

Показательное уравнение регрессии имеет вид y = a b x + ε
После линеаризации получим: ln(y) = ln(a) + x ln(b)
Эмпирические коэффициенты регрессии: b = 0.000162, a = 7.8132
y = e 7.8132 *e 0.000162x = 2473.06858*1.00016 x

x	y	1/x	ln(x)	ln(y)
515.9	872	0.00194	6.25	6.77
2281.1	3813	0.000438	7.73	8.25
3062	5014	0.000327	8.03	8.52
3947.2	6400	0.000253	8.28	8.76
5170.4	7708	0.000193	8.55	8.95
6410.3	9848	0.000156	8.77	9.2
8111.9	12455	0.000123	9	9.43
10196	15284	9.8E-5	9.23	9.63
12602.7	18928	7.9E-5	9.44	9.85
14940.6	23695	6.7E-5	9.61	10.07
16856.9	25151	5.9E-5	9.73	10.13

Ещё один вид однофакторной регрессии – аппроксимация степенными полиномами вида:

Естественно желание получить как можно простую зависимость, ограничиваясь степенным полиномам второй степени, т.е. параболической зависимостью:
(5.5.2)

Вычислим частные производные по коэффициентам b 0 , b 1 и b 2 :

(5.5.3)

Приравнивая производные нулю получим нормальных систему уравнений:

(5.5.4)

Решая систему нормальных уравнений (5.5.2) для конкретного случая значений x i * , y i * ;
получим оптимальные значения b 0 , b 1 и b 2 . Для аппроксимации зависимостью (5.5.2) и тем более (5.5.1) не получены простые формулы для вычисления коэффициентов и как правило их вычисление производят по стандартным процедурам в матричном виде:

(5.5.5)

На рис.5.5.1 приведён типовой пример аппроксимации параболической зависимостью:

9 (5;9)

(1;1)

1

1 2 3 4 5 х

Рис.5.5.1. Координаты экспериментальных точек и аппроксимиру-

щая их параболическая зависимость

Пример 5.1. Провести аппроксимацию результатов эксперимента, приведённых в таблице 5.1.1, линейным уравнением регрессии
.

Таблица 5.1.1

Построим экспериментальные точки по координатам, указанным в таблице 5.1.1 на графике, представленном на рис.5.1.1.

у

9

4

1 2 3 4 5 х

По рис.5.1.1, на котором для предварительной оценки проведём прямую линию, сделаем заключение, что в расположении экспериментальных точек имеется явно выраженная нелинейность, но она не очень значительная и поэтому имеет смысл провести их аппроксимацию линейной зависимостью. Отметим, что для получения корректно-математического заключения требуется построить прямую линию методом наименьших квадратов.

До проведения регрессионного анализа целесообразно вычислить

коэффициент линейной корреляции между переменными х и у :

Существенность корреляционной связи определяется по критическому значению коэффициента линейной корреляции, вычисляемого по формуле:

Критическое значение критерия Стьюдента t крит находится по статистическим таблицам для рекомендуемого уровня значимости α=0.05 и для n -2 степеней свободы. Если вычисленное значение r xy не меньше критического значения r крит , то корреляционная связь между переменными x и y считается сушественной. Произведём вычисления:

Ввиду того, что
делаем заключение, что корреляционная связь между переменнымих и у является существенной и она может быть линейной.

Вычислим коэффициенты уравнения регрессии:

Таким образом, получили линейное уравнение регрессии:

По уравнению регрессии проведём прямую линию на рис.5.1.2.

у (5;9.8)

9

4

(0;-0.2) 1 2 3 4 5 х

Рис.5.1.2. Координаты экспериментальных точек и аппроксимиру-

щая их линейная зависимость

По уравнению регрессии вычислим значения функции по экспериментальным точкам таблицы 5.1.1 и разницу между экспериментальными и вычисленными значениями функции, которые представим в таблице 5.1.2.

Таблица 5.1.2

Вычислим среднюю квадратическую ошибку и её отношение к среднему значению:

По отношению стандартной ошибки к среднему значению получен неудовлетворительный результат, так как превышено рекомендуемое значение в 0.05.

Проведём оценку уровня значимости коэффициентов уравнения регрессии по критерию Стьюдента:

Из статистической таблицы для 3 степеней свободы выпишем строки с уровнем значимости -и значением критерия Стьюдента– t в таблицу 5.1.3.

Таблица 5.1.3

Уровень значимости коэффициентов уравнения регрессии:

Отметим, что по уровню значимости для коэффициента получен удовлетворительный результат, а для коэффициентанеудовлетворительный.

Проведём оценку качества полученного уравнения регрессии по показателям, вычисляемым на основе дисперсионного анализа:

Проверка:

Результат проверки – положительный, что свидетельствует о корректности проведённых вычислений.

Вычислим критерий Фишера:

при двух степенях свободы:

По статистическим таблицам находим критические значения критерия Фишера для двух рекомендуемых градаций уровня значимости:

Так как вычисленное значение критерия Фишера превосходит критическое дл уровня значимости 0,01, то будем считать, что уровень значимости по критерию Фишера меньше 0,01, что будем считать удовлетворительным.

Вычислим коэффициент множественной детерминации:

для двух степеней свободы

По статистической таблице для рекомендуемого уровня значимости 0,05и двух найденных степеней свободы находим критическое значение коэффициента множественной детерминации:

Так как вычисленное значение коэффициента множественной детерминации превышает критическое значение для уровня значимости
, то уровень значимости по коэффициенту множественной детерминации
и полученный результат поданному показателю будем считать удовлетворительным.

Таким образом, полученные расчётные параметры по отношению стандартной ошибки к среднему значению и уровню значимости по критерию Стьюдента являются неудовлетворительными, поэтому целесообразно для аппроксимации подобрать другую аппроксимирующую зависимость.

Пример 5.2. Аппроксимация экспериментального распределения случайных чисел математической зависимостью

Экспериментальное распределение случайных чисел, приведённое в таблице 5.1.1, при аппроксимации линейной зависимостью, не привело к удовлетворительному результату, в т.ч. по незначимости коэффициента уравнения регрессии при свободном члене, поэтому для улучшения качества аппроксимации попробуем её провести линейной зависимостью без свободного члена:

Вычислим значение коэффициента уравнения регрессии:

Таким образом, получили уравнение регрессии:

По полученному уравнению регрессии вычислим значения функции и разницу между экспериментальными и вычисленными значениями функции, которые представим в виде таблицы 5.2.1.

Таблица 5.2.1

x i

По уравнению регрессии
на рис.5.2.1 проведём прямую линию.

у (5;9. 73 )

(0;0) 1 2 3 4 5 х

Рис.5.2.1. Координаты экспериментальных точек и аппроксимиру-

ющая их линейная зависимость

Для оценки качества аппроксимации проведём вычисления показателей качества аналогично вычислениям, приведённым в примере 5.1.

(осталось старым);

с 4-мя степенями свободы;

для

По результатам проведённой аппроксимации отметим, что по уровню значимости коэффициента уравнения регрессии получен удовлетворительный результат; отношение стандартной ошибки к среднему значению улучшилось, но всё ещё осталось выше рекомендуемого значения 0.05, поэтому рекомендуется повторить аппроксимацию более сложной математической зависимостью.

Пример 5.3. Для улучшения качества аппроксимации примеров 5.1 и 5.2 проведём нелинейную аппроксимацию зависимостью
. Для этого первоначально произведём промежуточные вычисления и их результаты поместим в таблицу 5.3.1.

Значения

Таблица 5.3.1

X 2
(lnX ) 2
lnX·lnY

Дополнительно вычислим:

Произведём аппроксимацию зависимостью
. По формулам (5.3.7), (5.3.8) вычислим коэффициентыb 0 и b 1 :

По формулам (5.3.11) вычислим коэффициенты A 0 и A 1 :

Для вычисления стандартной ошибки проведены промежуточные вычисления, представленные в таблице 5.3.2.

Таблица 5.3.2

Y i	y i

Сумма: 7,5968

Стандартная ошибка аппроксимации получилась намного больше, чем в двух предыдущих примерах, поэтому результаты аппроксимации признаем непригодными.

Пример 5.4. Попробуем провести аппроксимацию ещё одной нелинейной зависимостью
. По формулам (5.3.9), (5.3.10) по данным таблицы 5.3.1 вычислим коэффициентыb 0 и b 1 :

Получили промежуточную зависимость:

По формулам (5.3.13) вычислим коэффициенты C 0 и C 1 :

Получили окончательную зависимость:

Для вычисления стандартной ошибки проведём промежуточные вычисления и поместим их в таблицу 5.4.1.

Таблица 5.4.1

Y i	y i

Сумма: 21,83152

Вычислим стандартную ошибку:

Стандартная ошибка аппроксимации получилась намного больше, чем в предыдущем примере, поэтому результаты аппроксимации признаем непригодными.

Пример 5.5. Аппроксимация экспериментального распределения случайных чисел математической зависимостью y = b · lnx

Исходные данные как и в предыдущих примерах приведены в таблице 5.4.1 и на рис.5.4.1.

Таблица 5.4.1

На основании анализа рис.5.4.1 и таблицы 5.4.1 отметим, что при меньших значениях аргумента (в начале таблицы) функция изменяется сильнее, чем при больших (в конце таблицы) поэтому представляется целесообразным изменить масштаб аргумента и ввести в уравнение регрессии логарифмическую функцию от него и провести аппроксимацию следующей математической зависимостью:

. По формуле (5.4.3) вычислим коэффициент b :

Для оценки качества аппроксимации проведём промежуточные вычисления, представленные в таблице 5.4.2, по которым вычислим величину ошибки и отношение стандартной ошибки к среднему значению.

Таблица 5.4.2

Так как по отношению стандартной ошибки к среднему значению превышено рекомендуемое значение 0,05, то результат будем считать неудовлетворительным. В частности, отметим, что наибольшее отклонение даёт значение х=1, так как при этом значении lnx =0. Поэтому проведём аппроксимацию зависимстью y = b 0 +b 1 ·lnx

Вспомогательные вычисления представим в виде таблицы 5.4.3.

Таблица 5.4.3

По формулам (5.4.6) и (5.4.7) вычислим коэффициенты b 0 и b 1 :

9 (5;9.12)

4

1 (1;0.93)

1 2 3 4 5 х

Для оценки качества аппроксимации проведём вспомогательные вычисления и определим уровень значимости найденных коэффициентов и отношение стандартной ошибки к среднему значению.

Уровень значимости чуть выше рекомендованного значения 0,05 (
).

Ввиду того, что по главному показателю – отношению стандартной ошибки к среднему значению получено почти двукратное превышение рекомендуемого уровня 0,05 результаты будем считать приемлемыми. Отметим, что вычисленное значение критерия Стьюдента t b 0 =2,922 отличается от критического
сравнительно на небольшую величину.

Пример 5.6. Проведём аппроксимацию экспериментальных данных примера 5.1 гиперболической зависимостью
. Для того, чтобы вычислить коэффициентовb 0 и b 1 проведём предварительные вычисления, приведённые в таблице 5.6.1.

Таблица 5.6.1

X i	x i =1/X i		x i 2	x i y i

По результатам таблицы 5.6.1 по формулам (5.4.8) и (5.4.9) вычислим коэффициенты b 0 и b 1 :

Таким образом, получено гиперболическое уравнение регрессии

.

Результаты вспомогательных вычислений для оценки качества аппроксимации приведены в таблице 5.6.2.

Таблица 5.6.2

X i

По результатам таблицы 5.6.2 вычислим стандартную ошибку и отношение стандартной ошибки к среднему значению:

Ввиду того, что отношение стандартной ошибки к среднему значению превышает рекомендуемое значение 0,05 делаем заключение о непригодности результатов аппроксимации.

Пример 5.7.

Для вычисления конкретных значений доходов от работы стреловых кранов в зависимости от времени проведения профилактических работ требуется получить параболическую зависимость .

Вычислим коэффициенты этой зависимости b 0 , b 1 , b 11 в матричном виде по формуле:

Нелинейные уравнения регрессии, связывающие результативный показатель с оптимальными значениями проведения профилактических работ башенных кранов, получены с помощью процедуры множественной регрессии пакета прикладных программ Statistica 6.0. Далее приведем результаты регрессионного анализа для результативного показателя эффективности по таблице 5.7.1.

Таблица 5.7.1

В таблице 5.7.2 приведены результаты нелинейной регрессии для результативного показателя эффективности и в таблице 5.7.3 результаты анализа остатков.

Таблица 5.7.2

Таблица 5.7.3

Рис. 3.7.36. Анализ остатков.

Таким образом, получили уравнение множественной регрессии для переменной
:

Отношение стандартной ошибки к среднему значению:

14780/1017890=0,0145 < 0,05.

Так как отношение стандартной ошибки к среднему значению не превышает рекомендуемого значения 0,05 то результаты аппроксимации можно считать приемлемыми. В качестве недостатка по таблице 5.7.2 следует отметить превышение рекомендуемого уровня значимости 0.05 всеми вычисленными коэффициентами.

Линейная регрессия

Уравнение линейной регрессии представляет собой уравнение прямой, аппроксимирующей (приблизительно описывающей) зависимость между случайными величинами X и Y.

Рассмотрим случайную двумерную величину (X, Y), где -- зависимые случайные величины. Представим одну из величин как функцию другой. Ограничимся приближенным представлением величины в виде линейной функции величины X:

где -- параметры, подлежащие определению. Это можно сделать различными способами: наиболее употребительный из них -- метод наименьших квадратов. Функцию g(x) называют среднеквадратической регрессией Y на X. Функцию g(x) называют среднеквадратической регрессией Y на X.

где F -- суммарное квадратичное отклонение.

Подберем a и b так, чтобы сумма квадратов отклонений была минимальной. Для того, чтобы найти коэффициенты a и b, при которых F достигает минимального значения, приравняем частные производные к нулю:

Находим a и b. Выполнив элементарные преобразования, получим систему двух линейных уравнений относительно a и b:

где -- объём выборки.

В нашем случае A = 3888; B =549; C =8224; D = 1182;N = 100.

Найдём a и b из этой линейной. Получим стационарную точку для где 1,9884; 0,8981.

Следовательно, уравнение примет вид:

y = 1,9884x + 0,8981

Рис. 10

Параболическая регрессия

Найдем по данным наблюдений выборочное уравнение кривой линии среднеквадратичной (параболической в нашем случае) регрессии. Воспользуемся методом наименьших квадратов для определения p, q, r.

Ограничимся представлением величины Y в виде параболической функции величины X:

где p, q, и r -- параметры, подлежащие определению. Это можно сделать с помощью метода наименьших квадратов.

Подберем параметры p, q и r так, чтобы сумма квадратов отклонений была минимальной. Так как каждое отклонение зависит от отыскиваемых параметров, то и сумма квадратов отклонений есть функция F этих параметров:

Для отыскания минимума приравняем к нулю соответствующие частные производные:

Находим p, q и r. Выполнив элементарные преобразования, получим систему трех линейных уравнений относительно p, q и r:

Решая эту систему методом обратной матрицы, получим: p = -0,0085; q = 2,0761;

Следовательно, уравнение параболической регрессии примет вид:

y = -0,0085x 2 + 2,0761x + 0,7462

Построим график параболической регрессии. Для удобства наблюдения график регрессии будет на фоне диаграммы рассеивания (см. рисунок 13).

Рис. 13

Теперь изобразим линии линейной регрессии и параболической регрессии на одной диаграмме, для наглядного сравнения (см. рисунок 14).

Рис. 14

Линейная регрессия изображена красным цветом, а параболическая -- синим. По диаграмме видно, что отличие в данном случае больше, чем при сравнении двух линий линейных регрессий. Требуется дальнейшее исследование, какая же регрессия лучше выражает зависимость между x и y, т. е. какой тип зависимости между x и y.