График функции корень из квадратного трехчлена. Как построить параболу? Что такое парабола? Как решаются квадратные уравнения? Задачи на анализ графика квадратичной функции

График квадратного трехчлена

2019-04-19

Квадратный трехчлен

Квадратным трехчленом мы назвали целую рациональную функцию второй степени:

$y = ax^2 + bx + c$, (1)

где $a \neq 0$. Докажем, что графиком квадратного трехчлена является парабола, получаемая параллельными сдвигами (в на правлениях координатных осей) из параболы $y = ax^2$. Для этого приведем выражение (1) путем простых тождественных преобразований к виду

$y = a(x + \alpha)^2 + \beta$. (2)

Соответствующие преобразования, записанные ниже, известны как «выделение точного квадрата»:

$y = x^2 + bx + c = a \left (x^2 + \frac{b}{a} x \right) + c = a \left (x^2 + \frac{b}{a} x + \frac {b^2}{4a^2} \right) - \frac {b^2}{4a} + c = a \left (x + \frac{b}{2a} \right)^2 - \frac {b^2 - 4ac}{4a}$. (2")

Мы привели квадратный трехчлен к виду (2); при этом

$\alpha = \frac{b}{2a}, \beta = - \frac {b^2 - 4ac}{4a}$

(эти выражения не следует запоминать, удобней всякий раз выполнять преобразование трехчлена (1) к виду (2) непосредственно).

Теперь видно, что график трехчлена (1) - парабола, равная параболе $y = ax^2$ и получаемая сдвигами параболы $y = ax^2$ в направлениях осей координат на $\alpha$ и $\beta$ (с учетом знака $\alpha$ и $\beta$) соответственно. Вершина этой параболы помещается в точке $(- \alpha, \beta)$, ее осью служит прямая $x = - \alpha$. При $a > 0$ вершина - наинизшая точка параболы, при $a
Проведем теперь исследование квадратного трехчлена, т. е. выясним его свойства в зависимости от числовых значений коэффициентов $a, b, с$ в его выражении (1).

Обозначим в равенстве (2") величину $b^2- 4ac$ через $d$:

$y = a \left (x + \frac{b}{2a} \right)^2 - \frac{d}{4a}$; (4)

$d = b^2 - 4ac$ называется дискриминантом квадратного трехчлена. Свойства трехчлена (1) (и расположение его графика) определяются знаками дискриминанта $d$ и старшего коэффициента $a$.

1) $a > 0, d 0$; так как $a > 0$, то график расположен выше вершины $O^{ \prime}$; он лежит в верхней полуплоскости ($y > 0$ - рис а.).

2) $a
3) $a > 0, d > 0$. Вершина $O^{ \prime}$ лежит ниже оси $Ox$, парабола пересекает ось $Ox$ в двух точках $x_1, x_2$ (рис в.).

4) $a 0$. Вершина $O^{ \prime}$ лежит выше оси $Ox$, парабола снова пересекает ось $Ox$ в двух точках $x_1, x_2$ (рис. г).

5) $a > 0, d = 0$. Вершина лежит на самой оси $Ox$, парабола расположена в верхней полуплоскости (рис. д).

6) $a
Выводы. Если $d 0$), либо ниже (при $a
Если $d > 0$, то функция знакопеременная (график частью лежит ниже, частью выше оси $Ox$). Квадратный трехчлен с $d > 0$ имеет два корня (нуля) $x_1, x_2$. При $a > 0$ он отрицателен в интервале между корнями (рис. в) и положителен вне этого интервала. При $a

Определение

Параболой называется график квадратичной функции $y = ax^{2} + bx + c$, где $a \neq 0$.

График функции $y = x^2$.

Для схематичного построения графика функции $y = x^2$ найдем несколько точек, удовлетворяющих этому равенству. Для удобства запишем координаты этих точек в виде таблицы:

График функции $y = ax^2$.

Если коэффициент $a > 0$, то график $y = ax^2$ получается из графика $y = x^2$ либо вертикальным растяжением (при $a > 1$), либо сжатием к оси $x$ (при $0 < a < 1$). Изобразим для примера графики $y = 2x^2$ и $y = \dfrac{x^2}{2}$:

Если же $a < 0$, то график функции $y = ax^2$ можно получить из графика $y = |a|x^2$, отразив его симметрично относительно оси $x$. Построим графики функций $y = - x^2$, $y = -2x^2$ и $y = - \dfrac{x^2}{2}$:

График квадратичной функции.

Для построения графика функции $y = ax^2 + bx + c$ нужно выделить из квадратного трехчлена $ax^2 + bx + c$ полный квадрат, то есть представить его в виде $a(x - x_0)^2 + y_0$. График функции $y = a(x - x_0)^2 + y_0$ получается из соответствующего графика $y = ax^2$ смещением на $x_0$ вдоль оси $x$, и на $y_0$ вдоль оси $y$. В итоге точка $(0;0)$ переместится в точку $(x_0;y_0)$.

Определение

Вершиной параболы $y = a(x - x_0)^2 + y_0$ называется точка с координатами $(x_0;y_0)$.

Построим параболу $y = 2x^2 - 4x - 6$. Выделив полный квадрат, получим $y = 2(x - 1)^2 - 8$.

В итоге получилась парабола с вершиной в точке $(1;-8)$.

График квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$ пересекает ось $y$ в точке $(0; c)$ и ось $x$ в точках $(x_{1,2};0)$, где $x_{1,2}$ - корни квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ (при этом если корней у уравнения нет, то соответствующая парабола не пересекает оси $x$).

Например, парабола $y = 2x^2 - 4x - 6$ пересекает оси в точках $(0; -6)$, $(-1; 0)$ и $(3; 0)$.

Определяемый формулой $a{{x}^{2}}+bx+c$ $(a\ne 0).$ Числа $a, b$ и $c$ - коэффициенты квадратного трехчлена, они обычно называются: a - старший, b - второй или средний коэффициент, c - свободный член. Функция вида y = ax 2 + bx + c называется квадратичной функцией.

У всех этих парабол вершина находится в начале координат; при a > 0 это наинизшая точка графика (наименьшее значение функции), а при a < 0, наоборот, наивысшая точка (наибольшее значение функции). Ось Oy есть ось симметрии каждой из таких парабол.

Как видно, при a > 0 парабола направлена вверх, при a < 0 - вниз.

Существует простой и удобный графический способ, позволяющий строить любое число точек параболы y = ax 2 без вычислений, если известна точка параболы, отличная от вершины. Пусть точка M(x 0 , y 0) лежит на параболе y = ax 2 (рис. 2). Если мы хотим построить между точками O и M дополнительно еще n точек, то делим отрезок ON оси абсцисс на n + 1 равных частей и в точках деления проводим перпендикуляры к оси Ox. На столько же равных частей делим отрезок NM и точки деления соединяем лучами с началом координат. Искомые точки параболы лежат на пересечении перпендикуляров и лучей с одинаковыми номерами (на рис. 2 число точек деления равно 9).

График функции y =ax 2 + bx + c отличается от графика y = ax 2 лишь своим положением и может быть получен просто перемещением кривой на чертеже. Это следует из представления квадратного трехчлена в виде

откуда легко заключить, что график функции y = ax 2 + bx + c есть парабола y = ax 2 , вершина которой перенесена в точку

а ось её симметрии осталась параллельной оси Oy (рис. 3). Из полученного выражения для квадратного трехчлена легко следуют все его основные свойства. Выражение D = b 2 − 4ac называют дискриминантом квадратного трехчлена ax 2 + bx + c и дискриминантом связанного с ним квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0. От знака дискриминанта зависит, пересекает ли график квадратного трехчлена ось абсцисс или лежит по одну сторону от нее. Именно, если D < 0, то парабола не имеет общих точек с осью Ox, при этом: если a > 0, то парабола лежит выше оси Ox, а если a < 0, то ниже этой оси (рис. 4). В случае D > 0 график квадратного трехчлена пересекает ось абсцисс в двух точках x 1 и x 2 , которые являются корнями квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0 и равны соответственно

При D = 0 парабола касается оси Ox в точке

Свойства квадратного трехчлена лежат в основе решения квадратных неравенств. Поясним это на примере. Пусть требуется найти все решения неравенства 3x 2 - 2x - 1 < 0. Найдем дискриминант квадратного трехчлена, стоящего в левой части неравенства: D = 16. Так как D > 0, то соответствующее квадратное уравнение 3x 2 − 2x − 1 = 0 имеет два различных корня, они определяются по формулам, приведенным ранее:

x 1 = −1/3 и x 2 = 1.

В рассматриваемом квадратном трехчлене a = 3 > 0, значит, ветви его графика направлены вверх и значения квадратного трехчлена отрицательны лишь в интервале между корнями. Итак, все решения неравенства удовлетворяют условию

−1/3 < x < 1.

К квадратным неравенствам могут быть сведены разнообразные неравенства теми же самыми заменами, какими различные уравнения сводятся к квадратному.