Нахождение обратной. Найти обратную матрицу онлайн. Алгебраические дополнения и миноры

1. Находим определитель исходной матрицы. Если , то матрица- вырожденная и обратной матрицыне существует. Если, то матрицаневырожденная и обратная матрица существует.

2. Находим матрицу , транспонированную к.

3. Находим алгебраические дополнения элементов и составляем из них присоединенную матрицу.

4. Составляем обратную матрицу по формуле .

5. Проверяем правильность вычисления обратной матрицы , исходя из ее определения:.

Пример. Найти матрицу, обратную данной: .

Р е ш е н и е.

1) Определитель матрицы

.

2) Находим алгебраические дополнения элементов матрицы и составляем из них присоединенную матрицу :

3) Вычисляем обратную матрицу:

,

4) Проверяем:

№4 Ранг матрицы. Линейная независимость строк матрицы

Для решения и исследования ряда математических и прикладных задач важное значение имеет понятие ранга матрицы.

В матрице размеромвычеркиванием каких-либо строк и столбцов можно вычленить квадратные подматрицы-го порядка, где. Определители таких подматриц называютсяминорами -го порядка матрицы .

Например, из матриц можно получить подматрицы 1, 2 и 3-го порядка.

Определение. Рангом матрицы называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы. Обозначение:или.

Из определения следует:

1) Ранг матрицы не превосходит меньшего из ее размеров, т.е..

2) тогда и только тогда, когда все элементы матрицы равны нулю, т.е..

3) Для квадратной матрицы n-го порядка тогда и только тогда, когда матрица- невырожденная.

Поскольку непосредственный перебор всех возможных миноров матрицы , начиная с наибольшего размера, затруднителен (трудоемок), то пользуются элементарными преобразованиями матрицы, сохраняющими ранг матрицы.

Элементарные преобразования матрицы:

1) Отбрасывание нулевой строки (столбца).

2) Умножение всех элементов строки (столбца) на число .

3) Изменение порядка строк (столбцов) матрицы.

4) Прибавление к каждому элементу одной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на любое число.

5) Транспонирование матрицы.

Определение. Матрица , полученная из матрицыпри помощи элементарных преобразований, называется эквивалентной и обозначаетсяА В .

Теорема. Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях матрицы.

С помощью элементарных преобразований можно привести матрицу к так называемому ступенчатому виду, когда вычисление ее ранга не представляет труда.

Матрица называется ступенчатой если она имеет вид:

Очевидно, что ранг ступенчатой матрицы равен числу ненулевых строк , т.к. имеется минор-го порядка, не равный нулю:

.

Пример. Определить ранг матрицы с помощью элементарных преобразований.

Ранг матрицы равен количеству ненулевых строк, т.е. .

№5Линейная независимость строк матрицы

Дана матрица размера

Обозначим строки матрицы следующим образом:

Две строки называются равными , если равны их соответствующие элементы. .

Введем операции умножения строки на число и сложение строк как операции, проводимые поэлементно:

Определение. Строка называется линейной комбинацией строкматрицы, если она равна сумме произведений этих строк на произвольные действительные числа(любые числа):

Определение. Строки матрицы называютсялинейно зависимыми , если существует такие числа , не равные одновременно нулю, что линейная комбинация строк матрицы равна нулевой строке:

Где . (1.1)

Линейная зависимость строк матрицы обозначает, что хотя бы 1 строка матрицы является линейной комбинацией остальных.

Определение. Если линейная комбинация строк (1.1) равна нулю тогда и только тогда, когда все коэффициенты , то строкиназываютсялинейно независимыми .

Теорема о ранге матрицы . Ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых строк или столбцов, через которые линейно выражаются все остальные строки (столбцы).

Теорема играет принципиальную роль в матричном анализе, в частности, при исследовании систем линейных уравнений.

№6 Решение системы линейных уравнений снеизвестными

Системы линейных уравнений находят широкое применение в экономике.

Система линейных уравнений спеременными имеет вид:

,

где () - произвольные числа, называемыекоэффициентами при переменных и свободными членами уравнений , соответственно.

Краткая запись: ().

Определение. Решением системы называется такая совокупность значений , при подстановке которых каждое уравнение системы обращается в верное равенство.

1) Система уравнений называется совместной , если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной , если она не имеет решений.

2) Совместная система уравнений называется определенной , если она имеет единственное решение, и неопределенной , если она имеет более одного решения.

3) Две системы уравнений называются равносильными (эквивалентными ) , если они имеют одно и то же множество решений (например, одно решение).

Обратная матрица для данной это такая матрица, умножение исходной на которую дает единичную матрицу: Обязательным и достаточным условием наличия обратной матрицы является неравенство нулю детерминанта исходной (что в свою очередь подразумевает, что матрица должна быть квадратная). Если же определитель матрицы равняется нулю, то ее называют вырожденной и такая матрица не имеет обратной. В высшей математике обратные матрицы имеют важное значение и применяются для решения ряда задач. Например, на нахождении обратной матрицы построен матричный метод решения систем уравнений. Наш сервис сайт позволяет вычислять обратную матрицу онлайн двумя методами: методом Гаусса-Жордана и с помощью матрицы алгебраических дополнений. Прервый подразумевает большое количество элементарных преобразований внутри матрицы, второй - вычисление детерминанта и алгебраических дополнений ко всем элементам. Для вычисления определителя матрицы онлайн вы можете воспользоваться другим нашим сервисом - Вычисление детерминанта матрицы онлайн

Найти обратную матрицу на сайт

сайт позволяет находить обратную матрицу онлайн быстро и бесплатно. На сайте произвордятся вычисления нашим сервисом и выдается результат с подробным решением по нахождению обратной матрицы . Сервер всегда выдает только точный и верный ответ. В задачах по определению обратной матрицы онлайн , необходимо, чтобы определитель матрицы был отличным от нуля, иначе сайт сообщит о невозможности найти обратную матрицу ввиду равенства нулю определителя исходной матрицы. Задача по нахождению обратной матрицы встречается во многих разделах математики, являясь одним из самых базовых понятий алгебры и математическим инструментом в прикладных задачах. Самостоятельное определение обратной матрицы требует значительных усилий, много времени, вычислений и большой внимательности, чтобы не допустить описку или мелкую ошибку в вычислениях. Поэтому наш сервис по нахождению обратной матрицы онлайн значительно облегчит вам задачу и станет незаменимым инструментом для решения математических задач. Даже если вы находите обратную матрицу самостоятельно, мы рекомендуем проверить ваше решение на нашем сервере. Ввведите вашу исходную матрицу у нас на Вычисление обратной матрицы онлайн и сверьте ваш ответ. Наша система никогда не ошибается и находит обратную матрицу заданной размерности в режиме онлайн мгновенно! На сайте сайт допускаются символьные записи в элементах матриц , в этом случае обратная матрица онлайн будет представлена в общем символьном виде.

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ И МИНОРЫ

Пусть имеем определитель третьего порядка: .

Минором , соответствующим данному элементу a ij определителя третьего порядка, называется определитель второго порядка, полученный из данного вычёркиванием строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент, т.е. i -ой строки и j -го столбца. Миноры соответствующие данному элементу a ij будем обозначать M ij .

Например , минором M 12 , соответствующим элементу a 12 , будет определитель , который получается вычёркиванием из данного определителя 1-ой строки и 2-го столбца.

Таким образом, формула, определяющая определитель третьего порядка, показывает, что этот определитель равен сумме произведений элементов 1-ой строки на соответствующие им миноры; при этом минор, соответствующий элементу a 12 , берётся со знаком “–”, т.е. можно записать, что

Аналогично можно ввести определения миноров для определителей второго порядка и высших порядков.

Введём ещё одно понятие.

Алгебраическим дополнением элемента a ij определителя называется его минор M ij , умноженный на (–1) i+j .

Алгебраическое дополнение элемента a ij обозначается A ij .

Из определения получаем, что связь между алгебраическим дополнением элемента и его минором выражается равенством A ij = (–1) i+j M ij .

Например,

Пример. Дан определитель . Найти A 13 , A 21 , A 32 .

Легко видеть, что используя алгебраические дополнения элементов, формулу (1) можно записать в виде:

Аналогично этой формуле можно получить разложение определителя по элементам любой строки или столбца.

Например, разложение определителя по элементам 2-ой строки можно получить следующим образом. Согласно свойству 2 определителя имеем:

Разложим полученный определитель по элементам 1-ой строки.

.

(2)

Отсюда т.к. определители второго порядка в формуле (2) есть миноры элементов a 21 , a 22 , a 23 . Таким образом, , т.е. мы получили разложение определителя по элементам 2-ой строки.

Аналогично можно получить разложение определителя по элементам третьей строки. Используя свойство 1 определителей (о транспонировании), можно показать, что аналогичные разложения справедливы и при разложении по элементам столбцов.

Таким образом, справедлива следующая теорема.

Теорема (о разложении определителя по заданной строке или столбцу). Определитель равен сумме произведений элементов какой–либо его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения.

Всё вышесказанное справедливо и для определителей любого более высокого порядка.

Примеры.

ОБРАТНАЯ МАТРИЦА

Понятие обратной матрицы вводится только для квадратных матриц .

Если A – квадратная матрица, то обратной для неё матрицей называется матрица, обозначаемая A -1 и удовлетворяющая условию . (Это определение вводится по аналогии с умножением чисел)

В данной статье мы расскажем о матричном методе решения системы линейных алгебраических уравнений, найдем его определение и приведем примеры решения.

Определение 1

Метод обратной матрицы - это метод, использующийся при решении СЛАУ в том случае, если число неизвестных равняется числу уравнений.

Пример 1

Найти решение системы n линейных уравнений с n неизвестными:

a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1 n x n = b 1 a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + . . . + a n n x n = b n

Матричный вид записи : А × X = B

где А = а 11 а 12 ⋯ а 1 n а 21 а 22 ⋯ а 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ а n 1 а n 2 ⋯ а n n - матрица системы.

X = x 1 x 2 ⋮ x n - столбец неизвестных,

B = b 1 b 2 ⋮ b n - столбец свободных коэффициентов.

Из уравнения, которое мы получили, необходимо выразить X . Для этого нужно умножить обе части матричного уравнения слева на A - 1:

A - 1 × A × X = A - 1 × B .

Так как А - 1 × А = Е, то Е × X = А - 1 × В или X = А - 1 × В.

Замечание

Обратная матрица к матрице А имеет право на существование только, если выполняется условие d e t A н е р а в е н н у л ю. Поэтому при решении СЛАУ методом обратной матрицы, в первую очередь находится d e t А.

В том случае, если d e t A н е р а в е н н у л ю, у системы имеется только один вариант решения: при помощи метода обратной матрицы. Если d e t А = 0 , то систему нельзя решить данным методом.

Пример решения системы линейных уравнений с помощью метода обратной матрицы

Решаем СЛАУ методом обратной матрицы:

2 x 1 - 4 x 2 + 3 x 3 = 1 x 1 - 2 x 2 + 4 x 3 = 3 3 x 1 - x 2 + 5 x 3 = 2

Как решить?

• Записываем систему в виде матричного уравнения А X = B , где

А = 2 - 4 3 1 - 2 4 3 - 1 5 , X = x 1 x 2 x 3 , B = 1 3 2 .

• Выражаем из этого уравнения X:

• Находим определитель матрицы А:

d e t A = 2 - 4 3 1 - 2 4 3 - 1 5 = 2 × (- 2) × 5 + 3 × (- 4) × 4 + 3 × (- 1) × 1 - 3 × (- 2) × 3 - - 1 × (- 4) × 5 - 2 × 4 - (- 1) = - 20 - 48 - 3 + 18 + 20 + 8 = - 25

d e t А не равняется 0, следовательно для этой системы подходит метод решения обратной матрицей.

• Находим обратную матрицу А - 1 при помощи союзной матрицы. Вычисляем алгебраические дополнения А i j к соответствующим элементам матрицы А:

А 11 = (- 1) (1 + 1) - 2 4 - 1 5 = - 10 + 4 = - 6 ,

А 12 = (- 1) 1 + 2 1 4 3 5 = - (5 - 12) = 7 ,

А 13 = (- 1) 1 + 3 1 - 2 3 - 1 = - 1 + 6 = 5 ,

А 21 = (- 1) 2 + 1 - 4 3 - 1 5 = - (- 20 + 3) = 17 ,

А 22 = (- 1) 2 + 2 2 3 3 5 - 10 - 9 = 1 ,

А 23 = (- 1) 2 + 3 2 - 4 3 - 1 = - (- 2 + 12) = - 10 ,

А 31 = (- 1) 3 + 1 - 4 3 - 2 4 = - 16 + 6 = - 10 ,

А 32 = (- 1) 3 + 2 2 3 1 4 = - (8 - 3) = - 5 ,

А 33 = (- 1) 3 + 3 2 - 4 1 - 2 = - 4 + 4 = 0 .

• Записываем союзную матрицу А * , которая составлена из алгебраических дополнений матрицы А:

А * = - 6 7 5 17 1 - 10 - 10 - 5 0

• Записываем обратную матрицу согласно формуле:

A - 1 = 1 d e t A (A *) T: А - 1 = - 1 25 - 6 17 - 10 7 1 - 5 5 - 10 0 ,

• Умножаем обратную матрицу А - 1 на столбец свободных членов В и получаем решение системы:

X = A - 1 × B = - 1 25 - 6 17 - 10 7 1 - 5 5 - 10 0 1 3 2 = - 1 25 - 6 + 51 - 20 7 + 3 - 10 5 - 30 + 0 = - 1 0 1

Ответ : x 1 = - 1 ; x 2 = 0 ; x 3 = 1

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Матрица $A^{-1}$ называется обратной по отношению к квадратной матрице $A$, если выполнено условие $A^{-1}\cdot A=A\cdot A^{-1}=E$, где $E$ – единичная матрица, порядок которой равен порядку матрицы $A$.

Невырожденная матрица – матрица, определитель которой не равен нулю. Соответственно, вырожденная матрица – та, у которой равен нулю определитель.

Обратная матрица $A^{-1}$ существует тогда и только тогда, когда матрица $A$ – невырожденная. Если обратная матрица $A^{-1}$ существует, то она единственная.

Есть несколько способов нахождения обратной матрицы, и мы рассмотрим два из них. На этой странице будет рассмотрен метод присоединённой матрицы, который полагается стандартным в большинстве курсов высшей математики. Второй способ нахождения обратной матрицы (метод элементарных преобразований), который предполагает использование метода Гаусса или метода Гаусса-Жордана, рассмотрен во второй части .

Метод присоединённой (союзной) матрицы

Пусть задана матрица $A_{n\times n}$. Для того, чтобы найти обратную матрицу $A^{-1}$, требуется осуществить три шага:

1. Найти определитель матрицы $A$ и убедиться, что $\Delta A\neq 0$, т.е. что матрица А – невырожденная.
2. Составить алгебраические дополнения $A_{ij}$ каждого элемента матрицы $A$ и записать матрицу $A_{n\times n}^{*}=\left(A_{ij} \right)$ из найденных алгебраических дополнений.
3. Записать обратную матрицу с учетом формулы $A^{-1}=\frac{1}{\Delta A}\cdot {A^{*}}^T$.

Матрицу ${A^{*}}^T$ часто именуют присоединённой (взаимной, союзной) к матрице $A$.

Если решение происходит вручную, то первый способ хорош лишь для матриц сравнительно небольших порядков: второго (), третьего (), четвертого (). Чтобы найти обратную матрицу для матрицы высшего порядка, используются иные методы. Например, метод Гаусса, который рассмотрен во второй части .

Пример №1

Найти матрицу, обратную к матрице $A=\left(\begin{array} {cccc} 5 & -4 &1 & 0 \\ 12 &-11 &4 & 0 \\ -5 & 58 &4 & 0 \\ 3 & -1 & -9 & 0 \end{array} \right)$.

Так как все элементы четвёртого столбца равны нулю, то $\Delta A=0$ (т.е. матрица $A$ является вырожденной). Так как $\Delta A=0$, то обратной матрицы к матрице $A$ не существует.

Ответ : матрицы $A^{-1}$ не существует.

Пример №2

Найти матрицу, обратную к матрице $A=\left(\begin{array} {cc} -5 & 7 \\ 9 & 8 \end{array}\right)$. Выполнить проверку.

Используем метод присоединённой матрицы. Сначала найдем определитель заданной матрицы $A$:

$$ \Delta A=\left| \begin{array} {cc} -5 & 7\\ 9 & 8 \end{array}\right|=-5\cdot 8-7\cdot 9=-103. $$

Так как $\Delta A \neq 0$, то обратная матрица существует, посему продолжим решение. Находим алгебраические дополнения

\begin{aligned} & A_{11}=(-1)^2\cdot 8=8; \; A_{12}=(-1)^3\cdot 9=-9;\\ & A_{21}=(-1)^3\cdot 7=-7; \; A_{22}=(-1)^4\cdot (-5)=-5.\\ \end{aligned}

Составляем матрицу из алгебраических дополнений: $A^{*}=\left(\begin{array} {cc} 8 & -9\\ -7 & -5 \end{array}\right)$.

Транспонируем полученную матрицу: ${A^{*}}^T=\left(\begin{array} {cc} 8 & -7\\ -9 & -5 \end{array}\right)$ (полученная матрица часто именуется присоединённой или союзной матрицей к матрице $A$). Используя формулу $A^{-1}=\frac{1}{\Delta A}\cdot {A^{*}}^T$, имеем:

$$ A^{-1}=\frac{1}{-103}\cdot \left(\begin{array} {cc} 8 & -7\\ -9 & -5 \end{array}\right) =\left(\begin{array} {cc} -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end{array}\right) $$

Итак, обратная матрица найдена: $A^{-1}=\left(\begin{array} {cc} -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end{array}\right)$. Чтобы проверить истинность результата, достаточно проверить истинность одного из равенств: $A^{-1}\cdot A=E$ или $A\cdot A^{-1}=E$. Проверим выполнение равенства $A^{-1}\cdot A=E$. Дабы поменьше работать с дробями, будем подставлять матрицу $A^{-1}$ не в форме $\left(\begin{array} {cc} -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end{array}\right)$, а в виде $-\frac{1}{103}\cdot \left(\begin{array} {cc} 8 & -7\\ -9 & -5 \end{array}\right)$:

$$ A^{-1}\cdot{A} =-\frac{1}{103}\cdot \left(\begin{array} {cc} 8 & -7\\ -9 & -5 \end{array}\right)\cdot\left(\begin{array} {cc} -5 & 7 \\ 9 & 8 \end{array}\right) =-\frac{1}{103}\cdot\left(\begin{array} {cc} -103 & 0 \\ 0 & -103 \end{array}\right) =\left(\begin{array} {cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right) =E $$

Ответ : $A^{-1}=\left(\begin{array} {cc} -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end{array}\right)$.

Пример №3

Найти обратную матрицу для матрицы $A=\left(\begin{array} {ccc} 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end{array} \right)$. Выполнить проверку.

Начнём с вычисления определителя матрицы $A$. Итак, определитель матрицы $A$ таков:

$$ \Delta A=\left| \begin{array} {ccc} 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end{array} \right| = 18-36+56-12=26. $$

Так как $\Delta A\neq 0$, то обратная матрица существует, посему продолжим решение. Находим алгебраические дополнения каждого элемента заданной матрицы:

$$ \begin{aligned} & A_{11}=(-1)^{2}\cdot\left|\begin{array}{cc} 9 & 4\\ 3 & 2\end{array}\right|=6;\; A_{12}=(-1)^{3}\cdot\left|\begin{array}{cc} -4 &4 \\ 0 & 2\end{array}\right|=8;\; A_{13}=(-1)^{4}\cdot\left|\begin{array}{cc} -4 & 9\\ 0 & 3\end{array}\right|=-12;\\ & A_{21}=(-1)^{3}\cdot\left|\begin{array}{cc} 7 & 3\\ 3 & 2\end{array}\right|=-5;\; A_{22}=(-1)^{4}\cdot\left|\begin{array}{cc} 1 & 3\\ 0 & 2\end{array}\right|=2;\; A_{23}=(-1)^{5}\cdot\left|\begin{array}{cc} 1 & 7\\ 0 & 3\end{array}\right|=-3;\\ & A_{31}=(-1)^{4}\cdot\left|\begin{array}{cc} 7 & 3\\ 9 & 4\end{array}\right|=1;\; A_{32}=(-1)^{5}\cdot\left|\begin{array}{cc} 1 & 3\\ -4 & 4\end{array}\right|=-16;\; A_{33}=(-1)^{6}\cdot\left|\begin{array}{cc} 1 & 7\\ -4 & 9\end{array}\right|=37. \end{aligned} $$

Составляем матрицу из алгебраических дополнений и транспонируем её:

$$ A^*=\left(\begin{array} {ccc} 6 & 8 & -12 \\ -5 & 2 & -3 \\ 1 & -16 & 37\end{array} \right); \; {A^*}^T=\left(\begin{array} {ccc} 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end{array} \right). $$

Используя формулу $A^{-1}=\frac{1}{\Delta A}\cdot {A^{*}}^T$, получим:

$$ A^{-1}=\frac{1}{26}\cdot \left(\begin{array} {ccc} 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end{array} \right)= \left(\begin{array} {ccc} 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end{array} \right) $$

Итак, $A^{-1}=\left(\begin{array} {ccc} 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end{array} \right)$. Чтобы проверить истинность результата, достаточно проверить истинность одного из равенств: $A^{-1}\cdot A=E$ или $A\cdot A^{-1}=E$. Проверим выполнение равенства $A\cdot A^{-1}=E$. Дабы поменьше работать с дробями, будем подставлять матрицу $A^{-1}$ не в форме $\left(\begin{array} {ccc} 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end{array} \right)$, а в виде $\frac{1}{26}\cdot \left(\begin{array} {ccc} 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end{array} \right)$:

$$ A\cdot{A^{-1}} =\left(\begin{array}{ccc} 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4\\ 0 & 3 & 2\end{array} \right)\cdot \frac{1}{26}\cdot \left(\begin{array} {ccc} 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end{array} \right) =\frac{1}{26}\cdot\left(\begin{array} {ccc} 26 & 0 & 0 \\ 0 & 26 & 0 \\ 0 & 0 & 26\end{array} \right) =\left(\begin{array} {ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array} \right) =E $$

Проверка пройдена успешно, обратная матрица $A^{-1}$ найдена верно.

Ответ : $A^{-1}=\left(\begin{array} {ccc} 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end{array} \right)$.

Пример №4

Найти матрицу, обратную матрице $A=\left(\begin{array} {cccc} 6 & -5 & 8 & 4\\ 9 & 7 & 5 & 2 \\ 7 & 5 & 3 & 7\\ -4 & 8 & -8 & -3 \end{array} \right)$.

Для матрицы четвёртого порядка нахождение обратной матрицы с помощью алгебраических дополнений несколько затруднительно. Однако такие примеры в контрольных работах встречаются.

Чтобы найти обратную матрицу, для начала нужно вычислить определитель матрицы $A$. Лучше всего в данной ситуации это сделать с помощью разложения определителя по строке (столбцу) . Выбираем любую строку или столбец и находим алгебраические дополнения каждого элемента избранной строки или столбца.

Например, для первой строки получим:

$$ A_{11}=\left|\begin{array}{ccc} 7 & 5 & 2\\ 5 & 3 & 7\\ 8 & -8 & -3 \end{array}\right|=556;\; A_{12}=-\left|\begin{array}{ccc} 9 & 5 & 2\\ 7 & 3 & 7 \\ -4 & -8 & -3 \end{array}\right|=-300; $$ $$ A_{13}=\left|\begin{array}{ccc} 9 & 7 & 2\\ 7 & 5 & 7\\ -4 & 8 & -3 \end{array}\right|=-536;\; A_{14}=-\left|\begin{array}{ccc} 9 & 7 & 5\\ 7 & 5 & 3\\ -4 & 8 & -8 \end{array}\right|=-112. $$

Определитель матрицы $A$ вычислим по следующей формуле:

$$ \Delta{A}=a_{11}\cdot A_{11}+a_{12}\cdot A_{12}+a_{13}\cdot A_{13}+a_{14}\cdot A_{14}=6\cdot 556+(-5)\cdot(-300)+8\cdot(-536)+4\cdot(-112)=100. $$

$$ \begin{aligned} & A_{21}=-77;\;A_{22}=50;\;A_{23}=87;\;A_{24}=4;\\ & A_{31}=-93;\;A_{32}=50;\;A_{33}=83;\;A_{34}=36;\\ & A_{41}=473;\;A_{42}=-250;\;A_{43}=-463;\;A_{44}=-96. \end{aligned} $$

Матрица из алгебраических дополнений: $A^*=\left(\begin{array}{cccc} 556 & -300 & -536 & -112\\ -77 & 50 & 87 & 4 \\ -93 & 50 & 83 & 36\\ 473 & -250 & -463 & -96\end{array}\right)$.

Присоединённая матрица: ${A^*}^T=\left(\begin{array} {cccc} 556 & -77 & -93 & 473\\ -300 & 50 & 50 & -250 \\ -536 & 87 & 83 & -463\\ -112 & 4 & 36 & -96\end{array}\right)$.

Обратная матрица:

$$ A^{-1}=\frac{1}{100}\cdot \left(\begin{array} {cccc} 556 & -77 & -93 & 473\\ -300 & 50 & 50 & -250 \\ -536 & 87 & 83 & -463\\ -112 & 4 & 36 & -96 \end{array} \right)= \left(\begin{array} {cccc} 139/25 & -77/100 & -93/100 & 473/100 \\ -3 & 1/2 & 1/2 & -5/2 \\ -134/25 & 87/100 & 83/100 & -463/100 \\ -28/25 & 1/25 & 9/25 & -24/25 \end{array} \right) $$

Проверка, при желании, может быть произведена так же, как и в предыдущих примерах.

Ответ : $A^{-1}=\left(\begin{array} {cccc} 139/25 & -77/100 & -93/100 & 473/100 \\ -3 & 1/2 & 1/2 & -5/2 \\ -134/25 & 87/100 & 83/100 & -463/100 \\ -28/25 & 1/25 & 9/25 & -24/25 \end{array} \right)$.

Во второй части будет рассмотрен иной способ нахождения обратной матрицы, который предполагает использование преобразований метода Гаусса или метода Гаусса-Жордана.