Решить уравнение 3 степени. Степенные или показательные уравнения. Как решить кубическое уравнение без свободного члена

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

ВВЕДЕНИЕ

П.Л. Чебышев, величайшийрусский математик и механик, основоположник петербургской математической школы, уроженец Калужской губернии, писал в статье «О втором томе «Истории» Полевого» о людях, способных угадать и схватить суть явлений:

«Ум человеческий, по простонародному выражению, не пророк, а угадчик, он видит общий ход вещей и может выводить из оного глубокие предположения, часто оправданные временем…».

В 1838 году, участвуя в студенческом конкурсе, П.Л. Чебышев получил серебряную медаль за работу по нахождению корнейуравнения n-ной степени. Оригинальная работа была закончена уже в 1838 году и сделана на основеалгоритма Ньютона.

Гипотеза: решение неполного уравнения третьей степени, корни которого не являются целыми, решается с помощью формулы П.Л. Чебышева рациональным способом.

Цель исследования: решить неполное уравнение третьей степени с помощью нескольких способов и определить наиболее рациональный из них.

Задачи исследования:

Ознакомиться с определением производной первого и второго порядка;

Научиться строить графики функций-многочленов третьей степени;

Применить к решению неполногоуравнения третьей степени формулу П.Л. Чебышева;

Применить к решению неполногоуравнения третьей степени известные способы;

Применить алгоритм уточнения корней многочлена, если известны грубо приближенно два значения его корня;

Из полученных способов решения выбрать наиболее рациональный.

ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ

Производная функции

Предел функции в заданной точке, предельной для области определения функции - такая величина, к которой стремится значение рассматриваемой функции при стремлении ее аргумента к данной точке.

Производная функции — понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции в данной точке. Определяется как предел отношения приращения функции к приращению её аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке).

Определение производной функции через предел.

Пусть в некоторой окрестности точки {displaystyle x_{0}in mathbb {R} } определена функция {displaystyle fcolon U(x_{0})subset mathbb {R} to mathbb {R} .} .Производной функции {displaystyle f} f в точке {displaystyle x_{0}} называется предел, если он существует,

Производная от первой производной называется производной второго порядка или второй производной.

Формула П.Л. Чебышева

Способы решения алгебраических уравнений высших степеней

Уравнения третьей (и выше) степеней могут быть решены способами:

Графическим, который становится тем сложнее, чем степень многочлена выше, так как график построить иногда труднее, чем найти соответствующие корни;

Оперативным, часто приближенный, но дающий возможность находить корни с большой точностью. Графический способ при оперативном способе является подсобным.

Теорема 1. Если имеется целый корень многочлена с целыми коэффициентами, когда при старшем члене коэффициент единица, то он является делителем свободного члена.

Теорема 2. Всякий многочлен нечетной степени на множестве действительных чисел имеет по крайней мере один действительный корень.

Номограммы

Номограмма (греч.νομοσ — закон) — графическое представление функции от нескольких переменных, позволяющее с помощью простых геометрических операций (например, прикладывания линейки) исследовать функциональные зависимости без вычислений. Например, решать квадратное уравнение без применения формул. Номография (от греч. nómos — закон и...графия), раздел математики, объединяющий теорию и практические методы построения номограмм - специальных чертежей, являющихся изображениями функциональных зависимостей. Особенность номограмм заключается в том, что каждый чертеж изображает заданную область изменения переменных и каждое из значений переменных в этой области изображено на номограмме определенным геометрическим элементом (точкой или линией); изображения значения переменных, связанных функциональной зависимостью, находятся на номограмме в определенном соответствии, общем для номограмм одного и того же типа.

Номограммы для решения уравнений. Для решения уравнений х α + р 0 х ß + q 0 = 0 используют номограммы из выравненных точек. Получить такую номограмму можно так: Нарисуем две вертикальные параллельные прямые - ось р с началом отсчётаА и ось q с началом отсчёта В (Рис. 1); на этом рисунке отрезок АВ перпендикулярен осям p,q , но это вовсе необязательно).

Возьмём произвольные числа α, ß и положительное число а . На оси р возьмём точку С с координатой -а α-ß на оси р - точку D с координатой -а α . Пусть AD ∩BC =E . Проведём через Е произвольную прямую, не параллельную осям р , q . Обозначим координату пересечения М это прямой с осью р через р 0 , пересечения N с осью q - через q . Тогда а α + р 0 α ß + q 0 = 0 (1), т.е. число а является корнем уравнения х α + р 0 х ß + q 0 = 0 (2). Прямая MN может пересекаться с осями р , q одним из трёх способов: р 0 < 0, q 0 > 0 (рис.1); р 0 > 0, q 0 < 0 (рис. 2); р 0 < 0, q 0 < 0 (рис.3).

Рис. 2 Рис. 3

Докажем равенство (1) для случая, изображённого на рис. 1 (остальные два случая рассматриваются аналогично). Из подобия треугольников AEC и BED имеем

что и даёт (1). Зафиксируем произвольные α, ß и рассмотрим всевозможные уравнения х α + рх ß + q = 0 . Номограмма для отыскания положительных корней таких уравнений рисуется следующим образом: 1) параметру а придаются разные положительные значения и для каждого из них строится точкаЕ так, как рассказано выше; 2) полученные точки, помеченные соответствующими значениями параметра, соединяются плавной кривой Г (рис.4).

Теперь при помощи этой номограммы приближённо можно найти положительные корни конкретного уравнения х α + р 0 х ß + q 0 = 0, для этого надо на оси р взять точку M с координатой р 0 , на оси q - точку N с координатой q 0 и провести прямую MN . Каждая точка пересечения прямой MN с кривой Г даёт, в силу (1), положительный корень уравнения (2). Точки, соответствующие коэффициентам p, q уравнения, и точки, соответствующие искомым положительным корням уравнения х α + рх ß + q =0, лежат на одной прямой.

Алгоритм уточнения корней многочлена, если известны грубо приближенно два значения его корня

Теорема. Зная два приближенных значения и многочлена, можно получать улучшенные приближенные значения по рекуррентной формуле:

РЕШЕНИЕ НЕПОЛНОГО УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕЙ СТЕПЕНИ

Пример решения уравнения третьей степени

Пусть дано уравнение

Решение 1.

Так как левая часть уравнения-многочлен третьей (нечетной) степени, то на множестве действительных чисел имеет по крайней мере один действительный корень, т.е. эти числа являются делителями свободного члена 1.

Имеем 1 3 -5 1+1=-3 и значит, целых корней нет.

Может быть, рациональный корень? Нет, так как многочлен с коэффициентом при старшем члене 1 не имеет и целых корней.

Значит, предположение неверное - корень иррациональный, найдем его приближенно, установив интервал, в котором он находится.

Составим таблицу 1, давая значения переменной х и вычисляя значения функции у :

Таблица 1

Уже найден интервал, имеем корень отрицательный, заключенный в границах:

Второй интервал, имеем корень положительный, заключенный в границах

Третий интервал, имеем положительный корень, заключенный в границах

Больше находить корни не следует, так как уравнение третьей степени не может иметь более трех корней.

Функция непрерывна на R и дифференцируема на R .

График функции пересекает ось Оу в точке.

Производная функции равна

Критические точки 1 рода:

Исследуем функцию на монотонность:

Применили формулу Бернулли для вычисления приближенного значения

Дадим графическое изображение функции, (Рис. 6) которое несколько уточняет значение иррациональных корней, давая рациональные приближения:

Решение 2.

Преобразуем исходное уравнение к виду:

Решим это уравнение графическим способом.

Введем две функции:

Построим графики данных указанных функций (Рис. 7):

Решение 3.

Применим формулу П.Л. Чебышева

Используем график функции (Рис. 6)

Видно, что один из корней уравнения расположен близко к

Найдём производные первого и второго порядка данной функции:

Произведем вычисления:

Применим формулу:

Остальные корни проще найти, используя свойства многочленов:

1). Если корень многочлена, то делится на.

2). При делении многочлена на получается остаток, равный значению этого многочлена при.

3). Схемой Горнера, где (Таблица 2):

Таблица 2

Получили остаток деления 0,008 .

Делитель приравниваем к нулю:

Ответ: -2,33; 0,2; 2,13.

Решение 4.

Решим данное уравнение при помощи этой номограммы (Рис. 8), выполнив соответствующие расчёты:

Построим отрезок. Он пересечет полученный график в точках с координатами.

Для получения третьего корня изменим знак х на -х , получаем

Найдем отрицательный корень уравнения, построив отрезок, он пересекает график функции в точке.

Ответ: -2,3; 0,25; 2,2.

Проверим полученные корни с помощью Интернет ресурсов: сайта

Решение уравнений бесплатно - Калькулятор Онлайн Обычные уравнения

Ответы продемонстрированы на Рис. 9 и Рис. 10:

Ответ: 0,2; 2,13; -2,33.

Уточним один из корней многочлена, полученные в Решении 4 с помощью алгоритма уточнения корней многочлена, если известны грубо приближенно два значения его корня.

Возьмём, .

Можно продолжить уточнение приближенного значения корня. Примем за приближенного значения корня число.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Проанализируем использованные способы решения уравнения (Таблица 3):

Способ решения	Недостатки	Преимущества
Построение графика функции и определение приближенного значения нулей функции с помощью таблицы зависимости х оту .	Времяемкий, встречается проблема оценивания значения иррационального числа. Погрешность в нахождении одного из трех корней.	Наглядный.Интересно оценивание корней с помощью свойства непрерывных функций (знакопостоянство и нули функции). Может быть применен к большинству алгебраических уравнений.
Графический способ решения уравнения	Неточный. Погрешность в нахождении одного из трех корней.	Наглядный, дает право выбора введения вспомогательных функций.
Применение формулы П.Л. Чебышева	Громоздкие вычисления, чтобы их избежать прибегли к теории многочленов для нахождения двух корней.
Применение номограммы	Времяемкий, требует точности в построении графика функции, в масштабе, аккуратности.	Корни найдены достаточно точно.

Таблица 3

Итак, наиболее рациональным оказался способ с применением формулы Чебышева.

Из анкетирования, проведенного в 11 классе, было выяснено, что формула Чебышева и номограммама - это понятия, незнакомые выпускникам, учащимся физико-математического профиля. Оценивание корней уравнения с помощью таблицы с применением свойстванепрерывности функции оказалось новым для 80% учащихся.

Таким образом, умение решать неполное алгебраическое уравнение, имеющего нерациональные корни, является актуальным и, как показала практика, проблематичным.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ

1. Предел функции —Режим доступа: Википедия ru.wikipedia.org(дата обращения 20.07.2018)

Производная функции — Режим доступа:Википедияru.wikipedia.org(дата обращения 20.07.2018)

2. Урок-игра "Победитель простых чисел - П.Л. Чебышёв...- Режим доступа: открытыйурок.рф(дата обращения 21.07.2018)
3. Акири И., Гарит В. И др. Математика. Учебник для 11 класса - Кишинев.:PrutInternatijnal, 2004, 120-121 с.

И.Клумова «Номограммы из выравненных точек». Научно-популярный журнал «Квант», №9 1978г.

Решение уравнений бесплатно - Калькулятор Онлайн Обычные уравненияУпрощение выражений - Режим доступа: kontrolnaya-rabota.ru(дата обращения 19.07.2018)

Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Кубическое уравнение представляет собой уравнение третьего порядка и имеет следующий вид:

\ где \ Число \ именуется корнем кубического уравнения, если при его подстановке уравнение обращается в верное равенство.

Данного рода уравнения всегда имеет 3 корня. Корни могут получиться как вещественными, так и комплексными. Если исходные данные позволяют подобрать один из корней кубического уравнения \ то можно кубический многочлен разделить на \[(x - x1)\] и решать получившееся квадратное уравнение.

Допустим, дано уравнение вида:

Для решения выполним группировку:

Проанализировав уравнение, видно, что \ - корень уравнения

Найдем корни полученного квадратного трехчлена \

Получим ответ: \

Где можно решить уравнение 3 степени онлайн решателем?

Решить уравнение вы можете на нашем сайте https://сайт. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать - это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.

Изложено, как решать кубические уравнения. Рассмотрен случай, когда известен один корень. Методы поиска целых и рациональных корней. Применение формул Кардано и Виета для решения любого кубического уравнения.

Содержание

Здесь мы рассматриваем решение кубических уравнений вида
(1) .
Далее считаем, что - это действительные числа.

(2) ,
то разделив его на , получаем уравнение вида (1) с коэффициентами
.

Уравнение (1) имеет три корня: , и . Один из корней всегда действительный. Действительный корень мы обозначаем как . Корни и могут быть либо действительными, либо комплексно сопряженными. Действительные корни могут быть кратными. Например, если , то и - это двукратные корни (или корни кратности 2), а - простой корень.

Если известен один корень

Пусть нам известен один корень кубического уравнения (1). Обозначим известный корень как . Тогда разделив уравнение (1) на , получим квадратное уравнение. Решая квадратное уравнение, найдем еще два корня и .

Для доказательства воспользуемся тем, что кубический многочлен можно представить в виде:
.
Тогда, разделив (1) на , получаем квадратное уравнение.

Примеры деления многочленов представлены на странице
“Деление и умножение многочлена на многочлен уголком и столбиком ”.
Решение квадратных уравнений рассмотрено на странице
“Корни квадратного уравнения ”.

Если один из корней - целый

Если исходное уравнение имеет вид:
(2) ,
и его коэффициенты , , , - целые числа, то можно попытаться найти целый корень. Если это уравнение имеет целый корень, то он является делителем коэффициента . Метод поиска целых корней заключается в том, что мы находим все делители числа и проверяем, выполняется ли для них уравнение (2). Если уравнение (2) выполняется, то мы нашли его корень. Обозначим его как . Далее делим уравнение (2) на . Получаем квадратное уравнение. Решая его, находим еще два корня.

Примеры определения целых корней даны на странице
Примеры разложения многочленов на множители > > > .

Поиск рациональных корней

Если в уравнении (2) , , , - целые числа, причем , и целых корней нет, то можно попытаться найти рациональные корни, то есть корни вида , где и - целые.

Для этого умножим уравнение (2) на и сделаем подстановку :
;
(3) .
Далее ищем целые корни уравнения (3) среди делителей свободного члена .

Если мы нашли целый корень уравнения (3), то, возвращаясь к переменной , получаем рациональный корень уравнения (2):
.

Формулы Кардано и Виета для решения кубического уравнения

Если нам не известен ни один корень, и целых корней нет, то найти корни кубического уравнения можно по формулам Кардано.

Рассмотрим кубическое уравнение:
(1) .
Сделаем подстановку:
.
После этого уравнение приводится к неполному или приведенному виду:
(4) ,
где
(5) ; .

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.
Г. Корн, Справочник по математике для научных работников и инженеров, 2012.

В кубическом уравнении наивысшим показателем степени является 3, у такого уравнения 3 корня (решения) и оно имеет вид . Некоторые кубические уравнения не так просто решить, но если применить правильный метод (при хорошей теоретической подготовке), можно найти корни даже самого сложного кубического уравнения - для этого воспользуйтесь формулой для решения квадратного уравнения, найдите целые корни или вычислите дискриминант.

Шаги

Как решить кубическое уравнение без свободного члена

Выясните, есть ли в кубическом уравнении свободный член d {\displaystyle d} . Кубическое уравнение имеет вид a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 {\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0} . Чтобы уравнение считалось кубическим, достаточно, чтобы в нем присутствовал только член x 3 {\displaystyle x^{3}} (то есть других членов может вообще не быть).

Вынесите за скобки x {\displaystyle x} . Так как в уравнении нет свободного члена, каждый член уравнения включает переменную x {\displaystyle x} . Это означает, что один x {\displaystyle x} можно вынести за скобки, чтобы упростить уравнение. Таким образом, уравнение запишется так: x (a x 2 + b x + c) {\displaystyle x(ax^{2}+bx+c)} .

Разложите на множители (на произведение двух биномов) квадратное уравнение (если возможно). Многие квадратные уравнения вида a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0} можно разложить на множители . Такое уравнение получится, если вынести x {\displaystyle x} за скобки. В нашем примере:

Решите квадратное уравнение с помощью специальной формулы. Сделайте это, если квадратное уравнение нельзя разложить на множители. Чтобы найти два корня уравнения, значения коэффициентов a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} , c {\displaystyle c} подставьте в формулу .

• В нашем примере подставьте значения коэффициентов a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} , c {\displaystyle c} ( 3 {\displaystyle 3} , − 2 {\displaystyle -2} , 14 {\displaystyle 14} ) в формулу: − b ± b 2 − 4 a c 2 a {\displaystyle {\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}} − (− 2) ± ((− 2) 2 − 4 (3) (14) 2 (3) {\displaystyle {\frac {-(-2)\pm {\sqrt {((-2)^{2}-4(3)(14)}}}{2(3)}}} 2 ± 4 − (12) (14) 6 {\displaystyle {\frac {2\pm {\sqrt {4-(12)(14)}}}{6}}} 2 ± (4 − 168 6 {\displaystyle {\frac {2\pm {\sqrt {(4-168}}}{6}}} 2 ± − 164 6 {\displaystyle {\frac {2\pm {\sqrt {-164}}}{6}}}
• Первый корень: 2 + − 164 6 {\displaystyle {\frac {2+{\sqrt {-164}}}{6}}} 2 + 12 , 8 i 6 {\displaystyle {\frac {2+12,8i}{6}}}
• Второй корень: 2 − 12 , 8 i 6 {\displaystyle {\frac {2-12,8i}{6}}}

1. Используйте ноль и корни квадратного уравнения в качестве решений кубического уравнения. У квадратных уравнений два корня, а у кубических - три. Два решения вы уже нашли - это корни квадратного уравнения. Если же вы вынесли «х» за скобки, третьим решением будет .

   Как найти целые корни с помощью множителей

   1. Удостоверьтесь, что в кубическом уравнении есть свободный член d {\displaystyle d} . Если в уравнении вида a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 {\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0} есть свободный член d {\displaystyle d} (который не равен нулю), вынести «х» за скобки не получится. В данном случае воспользуйтесь методом, изложенным в этом разделе.

      Выпишите множители коэффициента a {\displaystyle a} и свободного члена d {\displaystyle d} . То есть найдите множители числа при x 3 {\displaystyle x^{3}} и числа перед знаком равенства. Напомним, что множителями числа являются числа, при перемножении которых получается это число.

      Разделите каждый множитель a {\displaystyle a} на каждый множитель d {\displaystyle d} . В итоге получится множество дробей и несколько целых чисел; корнями кубического уравнения будет одно из целых чисел или отрицательное значение одного из целых чисел.

      • В нашем примере разделите множители a {\displaystyle a} (1 и 2 ) на множители d {\displaystyle d} (1 , 2 , 3 и 6 ). Вы получите: 1 {\displaystyle 1} , , , , 2 {\displaystyle 2} и . Теперь в этот список добавьте отрицательные значения полученных дробей и чисел: 1 {\displaystyle 1} , − 1 {\displaystyle -1} , 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} , − 1 2 {\displaystyle -{\frac {1}{2}}} , 1 3 {\displaystyle {\frac {1}{3}}} , − 1 3 {\displaystyle -{\frac {1}{3}}} , 1 6 {\displaystyle {\frac {1}{6}}} , − 1 6 {\displaystyle -{\frac {1}{6}}} , 2 {\displaystyle 2} , − 2 {\displaystyle -2} , 2 3 {\displaystyle {\frac {2}{3}}} и − 2 3 {\displaystyle -{\frac {2}{3}}} . Целыми корнями кубического уравнения являются какие-то числа из этого списка.

   2. Подставьте целые числа в кубическое уравнение. Если при этом равенство соблюдается, подставленное число является корнем уравнения. Например, подставьте в уравнение 1 {\displaystyle 1} :

      Воспользуйтесь методом деления многочленов по схеме Горнера , чтобы быстрее найти корни уравнения. Сделайте это, если не хотите вручную подставлять числа в уравнение. В схеме Горнера целые числа делятся на значения коэффициентов уравнения a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} , c {\displaystyle c} и d {\displaystyle d} . Если числа делятся нацело (то есть остаток равен ), целое число является корнем уравнения.

Уравнение третьей степени с комплексными коэффициентами имеет вид:

Подвергнем (1) упрощению – сделаем член с квадратом неизвестного равным нулю, для чего положим и найдем .

Таким образом, сделав в (1) подстановку , получим неполное кубическое уравнение:

Чтобы найти корни уравнения (2), положим , где u и v – два новых вспомогательных неизвестных. (2) запишем в виде:

раскрыв скобки и перегруппировав члены, получим:

Потребуем, чтобы или . Это требование всегда выполнимо, т.к. оно вместе с условием означает, что u и v являются корнями квадратного уравнения.

Тогда уравнение (2) приведется к уравнениям:

Отсюда согласно формулам Виета являются корнями квадратного уравнения:

Итак, неполное уравнение (2) решено в радикалах:

(3) – формула Кардана.

Формула Кардана состоит из суммы двух кубических радикалов. Каждый из них имеет три значения. Комбинируя значения u и v , получим девять сумм u+ v ,но среди них только три корня уравнения (2). Это будут те суммы u+ v, у которых u и v связаны соотношением:

Обозначим через , какую-нибудь пару значений , удовлетворяющих (4), а через - один из первообразных корней третьей степени из единицы. Например: .

Тогда , . Найдем . Так как и , то

Откуда

Откуда .

Таким образом, получим все значения корней неполного кубического уравнения (2):

Учитывая, что , , имеем: (5)

Пример. Определить по формуле Кардана корни уравнения:

Обозначим - выражение стоящее под знаком квадратного радикала в формуле Кардана.

Предложение Если , то уравнение (2) имеет три различных корня.

Покажем, что , , , где - первообразный корень третьей степени из 1.

Пусть , , . Возведя обе части равенства в куб получим: , т.е. квадратное уравнение имеет два равных корня: , что невозможно, т.к. дискриминант этого квадратного уравнения . Тогда из формул (5) , т.к. при . Если бы , то , т.е.

Что при невозможно.

Аналогично обнаруживается, что .

Если при и , то

Так как ,то . Следовательно .

Откуда одно из значений : . Соответствующее значение :

Обращаясь к формулам (5) получим:

Предложение: При ( и ) уравнение (2) имеет два равных корня: , и в этом случае корни (2) можно найти, не прибегая к извлечению корней второй и третьей степеней, а именно: , (6)

Пример: Решить уравнение: .

УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕЙ СТЕПЕНИ С ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ.

Пусть (7) – неполное кубическое уравнение третьей степени с действительными коэффициентами и .

Теорема: Если , то уравнение (7) имеет один действительный и два мнимых сопряженных корня;

если , то корни уравнения (7) действительны и хотя бы один из них кратный;

если , то то все корни (7) действительны и различны.

1. . Так как , то все три корня уравнения (7) должны быть различными.

Рассмотрим выражение .

Так как , то - действительное число. Следовательно, одно из значений и должно быть действительным. Пусть , тогда . На основании (5) уравнение (7) имеет только один действительный корень: , а два остальных корня будут сопряженными чисто комплексными числами:

2. . При , , уравнение имеет два равных корня. Так как (7) уравнение с действительными коэффициентами, то при , , все три корня уравнения действительны, причем два из них равны.

При , , уравнение (7) имеет три равных нулю корня: .

3. (неприводимый случай). Так как , то , где . Тогда . Найдем модуль и аргумент подкоренного выражения:

Полагая получим:

Произведение комплексного числа на сопряженное равно квадрату модуля :

Т.е. , но . Значит . Тогда

Тогда корни (7) имеют вид:

Итак, в случае уравнение (7) имеет три действительных корня.

Недостаток формулы Кардана состоит в том, что она часто представляет рациональные корни в иррациональном виде.

Пример. Очевидно - действительный корень.

(один действительный и два сопряженных мнимых корня)

По формуле Кардана: - иррациональные числа

При приближенных вычислениях , . Вследствие этого недостатка рациональные корни кубического уравнения с рациональными коэффициентами определяют не по формуле Кардана.

УРАВНЕНИЯ ЧЕТВЕРТОЙ СТЕПЕНИ.

Пусть (1) –

Уравнение четвертой степени с комплексными коэффициентами. Наиболее ранний способ решения (1) принадлежит Феррари ученику Кардана.

Подберем вспомогательное неизвестное так, чтобы правая часть (2) превратилась в полный квадрат. Что возможно при условии, что , где , , . Если , сравнивая коэффициенты при : , , , откуда . Обратно, если , то .

Подставляя в равенство выражения А, В,С, находим, что .

(3)- кубическая резольвента.

Пусть - какой-нибудь корень уравнения (3). Подставляя в (2) в правой части получим полный квадрат:

Эти два квадратных уравнения дадут все четыре корня уравнения (1). Итак, решение уравнения четвертой степени сводится к решению одного уравнения третьей степени и двух уравнений второй степени, и так же решается в радикалах. При нахождении корней уравнения типа (1) по способу Феррари проводят последовательно все преобразования, не запоминая кубическую резольвенту.

Пример.

- (члены степени не больше двух), оставляя