Уравнение стороны ав. Дано координаты вершин треугольника

Задача 1 . Даны координаты вершин треугольника АВС: А(4; 3), В(16;-6), С(20; 16). Найти: 1) длину стороны АВ; 2) уравнения сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты; 3) угол В в радианах с точностью до двух знаков; 4) уравнение высоты СD и ее длину; 5) уравнение медианы AE и координаты точки К пересечения этой медианы с высотой CD; 6) уравнение прямой, проходящей через точку К параллельно стороне АВ; 7) координаты точки М, расположенной симметрично точке А относительно прямой СD.

Решение:

1. Расстояние d между точками A(x 1 ,y 1) и B(x 2 ,y 2) определяется по формуле

Применяя (1), находим длину стороны АВ:

2. Уравнение прямой, проходящей через точки A(x 1 ,y 1) и B(x 2 ,y 2) имеет вид

(2)

Подставляя в (2) координаты точек А и В, получим уравнение стороны АВ:

Решив последнее уравнение относительно у, находим уравнение стороны АВ в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом:

откуда

Подставив в (2) координаты точек В и С, получим уравнение прямой ВС:

Или

3. Известно, что тангенс угла между двумя прямыми, угловые коэффициенты которых соответственно равны и вычисляется по формуле

(3)

Искомый угол В образован прямыми АВ и ВС, угловые коэффициенты которых найдены: Применяя (3), получим

Или рад.

4. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении, имеет вид

(4)

Высота CD перпендикулярна стороне АВ. Чтобы найти угловой коэффициент высоты CD, воспользуемся условием перпендикулярности прямых. Так как то Подставив в (4) координаты точки С и найденный угловой коэффициент высоты, получим

Чтобы найти длину высоты CD, определим сначала координаты точки D- точки пересечения прямых АВ и CD. Решая совместно систему:

находим т.е. D(8;0).

По формуле (1) находим длину высоты CD:

5. Чтобы найти уравнение медианы АЕ, определим сначала координаты точки Е, которая является серединой стороны ВС, применяя формулы деления отрезка на две равные части:

(5)

Следовательно,

Подставив в (2) координаты точек А и Е, находим уравнение медианы:

Чтобы найти координаты точки пересечения высоты CD и медианы АЕ, решим совместно систему уравнений

Находим .

6. Так как искомая прямая параллельна стороне АВ, то ее угловой коэффициент будет равен угловому коэффициенту прямой АВ. Подставив в (4) координаты найденной точки К и угловой коэффициент получим

3x + 4y – 49 = 0 (KF)

7. Так как прямая АВ перпендикулярна прямой CD, то искомая точка М, расположенная симметрично точке А относительно прямой CD, лежит на прямой АВ. Кроме того, точка D является серединой отрезка AM. Применяя формулы (5), находим координаты искомой точки М:

Треугольник ABC, высота CD, медиана АЕ, прямая KF и точка М построены в системе координат хОу на рис. 1.

Задача 2. Составить уравнение геометрического места точек, отношение расстояний которых до данной точки А(4; 0) и до данной прямой х=1 равно 2.

Решение :

В системе координат хОу построим точку А(4;0) и прямую х = 1. Пусть М(х;у) – произвольная точка искомого геометрического места точек. Опустим перпендикуляр MB на данную прямую x = 1 и определим координаты точки В. Так как точка В лежит на заданной прямой, то ее абсцисса равна 1. Ордината точки В равна ординате точки М. Следовательно, В(1;у) (рис. 2).

По условию задачи |МА|: |МВ| = 2. Расстояния |МА| и |MB| находим по формуле (1) задачи 1:

Возведя в квадрат левую и правую части, получим

Полученное уравнение представляет собой гипербо­лу, у которой действительная полуось а = 2,а мнимая –

Определим фокусы гиперболы. Для гиперболы выполняется равенство Следовательно, и – фокусы гиперболы. Как видно, заданная точка А(4;0) является правым фокусом гиперболы.

Определим эксцентриситет полученной гиперболы:

Уравнения асимптот гиперболы имеют вид и . Следовательно, или и – асимптоты гиперболы. Прежде чем построить гиперболу, строим ее асимптоты.

Задача 3 . Составить уравнение геометрического места точек, равноудаленных от точки А(4; 3) и прямой у = 1. Полученное уравнение привести к простейшему виду.

Решение: Пусть М(х; у) - одна из точек искомого геометрического места точек. Опустим из точки М перпендикуляр MB на данную прямую у = 1 (рис. 3). Определим координаты точки В. Очевидно, что абсцисса точки В равна абсциссе точки М, а ордината точки В равна 1, т. е. В(х; 1). По условию задачи |МА|=|МВ|. Следовательно, для любой точки М(х;у), принадлежащей искомому геометрическому месту точек, справедливо равенство:

Полученное уравнение определяет параболу с вершиной в точке Чтобы уравнение параболы привести к простейшему виду, положим и y + 2 = Y тогда уравнение параболы принимает вид:

Пример решения некоторых заданий из типовой работы «Аналитическая геометрия на плоскости»

Даны вершины ,
,
треугольника АВС. Найти:

Уравнения всех сторон треугольника;

Систему линейных неравенств, определяющих треугольник АВС ;

Уравнения высоты, медианы и биссектрисы треугольника, проведенных из вершины А ;

Точку пересечения высот треугольника;

Точку пересечения медиан треугольника;

Длину высоты, опущенной на сторону АВ ;

Угол А ;

Сделать чертеж.

Пусть вершины треугольника имеют координаты: А (1; 4), В (5; 3), С (3; 6). Сразу нарисуем чертеж:

1. Чтобы выписать уравнения всех сторон треугольника, воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две заданные точки с координатами (x 0 , y 0 ) и (x 1 , y 1 ):

=

Таким образом, подставляя вместо (x 0 , y 0 ) координаты точки А , а вместо (x 1 , y 1 ) координаты точки В , мы получим уравнение прямой АВ :

Полученное уравнение будет уравнением прямой АВ , записанным в общей форме. Аналогично находим уравнение прямой АС :

И так же уравнение прямой ВС :

2. Заметим, что множество точек треугольника АВС представляет собой пересечение трех полуплоскостей, причем каждую полуплоскость можно задать с помощью линейного неравенства. Если мы возьмем уравнение любой из сторон ∆АВС , например АВ , тогда неравенства

и

задают точки, лежащие по разные стороны от прямой АВ . Нам нужно выбрать ту полуплоскость, где лежит точка С. Подставим ее координаты в оба неравенства:

Правильным будет второе неравенство, значит, нужные точки определяются неравенством

.

Аналогично поступаем с прямой ВС, ее уравнение
. В качестве пробной используем точку А (1, 1):

значит, нужное неравенство имеет вид:

.

Если проверим прямую АС (пробная точка В), то получим:

значит, нужное неравенство будет иметь вид

Окончательно получаем систему неравенств:

Знаки «≤», «≥» означают, что точки, лежащие на сторонах треугольника, тоже включены во множество точек, составляющих треугольник АВС .

3. а) Для того, чтобы найти уравнение высоты, опущенной из вершины А на сторону ВС , рассмотрим уравнение стороны ВС :
. Вектор с координатами
перпендикулярен сторонеВС и, значит, параллелен высоте. Запишем уравнение прямой, проходящей через точку А параллельно вектору
:

Это уравнение высоты, опущенной из т. А на сторону ВС .

б) Найдем координаты середины стороны ВС по формулам:

Здесь
– это координаты т.В , а
– координаты т.С . Подставим и получим:

Прямая, проходящая через эту точку и точку А является искомой медианой:

в) Уравнение биссектрисы мы будем искать, исходя из того, что в равнобедренном треугольнике высота, медиана и биссектриса, опущенные из одной вершины на основание треугольника, равны. Найдем два вектора
и
и их длины:

Тогда вектор
имеет такое же направление, что и вектор
, а его длина
Точно так же единичный вектор
совпадает по направлению с вектором
Сумма векторов

есть вектор, который совпадает по направлению с биссектрисой угла А . Таким образом, уравнение искомой биссектрисы можно записать виде:

4) Уравнение одной из высот мы уже построили. Построим уравнение еще одной высоты, например, из вершины В . Сторона АС задается уравнением
Значит, вектор
перпендикуляренАС , и, тем самым, параллелен искомой высоте. Тогда уравнение прямой, проходящей через вершину В в направлении вектора
(т. е. перпендикулярноАС ), имеет вид:

Известно, что высоты треугольника пересекаются в одной точке. В частности, эта точка является пересечением найденных высот, т.е. решением системы уравнений:

- координаты этой точки.

5. Середина АВ имеет координаты
. Запишем уравнение медианы к сторонеАВ. Эта прямая проходит через точки с координатами (3, 2) и (3, 6), значит, ее уравнение имеет вид:

Заметим, что ноль в знаменателе дроби в записи уравнения прямой означает, что эта прямая проходит параллельно оси ординат.

Чтобы найти точку пересечения медиан достаточно решить систему уравнений:

Точка пересечения медиан треугольника имеет координаты
.

6. Длина высоты, опущенной на сторону АВ, равна расстоянию от точки С до прямой АВ с уравнением
и находится по формуле:

7. Косинус угла А можно найти по формуле косинуса угла между векторами и, который равен отношению скалярного произведения этих векторов к произведению их длин:

.

В задачах 1 - 20 даны вершины треугольника АВС.
Найти: 1) длину стороны АВ; 2) уравнения сторон АВ и АС и их угловые коэффициенты; 3) Внутренний угол А в радианах с точностью до 0,01; 4) уравнение высоты CD и ее длину; 5) уравнение окружности, для которой высота CD есть диаметр; 6) систему линейных неравенств, определяющих треугольник АВС.

Длина сторон треугольника:
|AB| = 15
|AC| = 11.18
|BC| = 14.14
Расстояние d от точки M: d = 10
Даны координаты вершин треугольника: A(-5,2), B(7,-7), C(5,7).
2) Длина сторон треугольника
Расстояние d между точками M 1 (x 1 ; y 1) и M 2 (x 2 ; y 2) определяется по формуле:

8) Уравнение прямой
Прямая, проходящая через точки A 1 (x 1 ; y 1) и A 2 (x 2 ; y 2), представляется уравнениями:

Уравнение прямой AB


или

или
y = -3 / 4 x -7 / 4 или 4y + 3x +7 = 0
Уравнение прямой AC
Каноническое уравнение прямой:

или

или
y = 1 / 2 x + 9 / 2 или 2y -x - 9 = 0
Уравнение прямой BC
Каноническое уравнение прямой:

или

или
y = -7x + 42 или y + 7x - 42 = 0
3) Угол между прямыми
Уравнение прямой AB:y = -3 / 4 x -7 / 4
Уравнение прямой AC:y = 1 / 2 x + 9 / 2
Угол φ между двумя прямыми, заданными уравнениями с угловыми коэффициентами y = k 1 x + b 1 и y 2 = k 2 x + b 2 , вычисляется по формуле:

Угловые коэффициенты данных прямых равны -3 / 4 и 1 / 2 . Воспользуемся формулой, причем ее правую часть берем по модулю:

tg φ = 2
φ = arctg(2) = 63.44 0 или 1.107 рад.
9) Уравнение высоты через вершину C
Прямая, проходящая через точку N 0 (x 0 ;y 0) и перпендикулярная прямой Ax + By + C = 0 имеет направляющий вектор (A;B) и, значит, представляется уравнениями:



Данное уравнение можно найти и другим способом. Для этого найдем угловой коэффициент k 1 прямой AB.
Уравнение AB: y = -3 / 4 x -7 / 4 , т.е. k 1 = -3 / 4
Найдем угловой коэффициент k перпендикуляра из условия перпендикулярности двух прямых: k 1 *k = -1.
Подставляя вместо k 1 угловой коэффициент данной прямой, получим:
-3 / 4 k = -1, откуда k = 4 / 3
Так как перпендикуляр проходит через точку C(5,7) и имеет k = 4 / 3 ,то будем искать его уравнение в виде: y-y 0 = k(x-x 0).
Подставляя x 0 = 5, k = 4 / 3 , y 0 = 7 получим:
y-7 = 4 / 3 (x-5)
или
y = 4 / 3 x + 1 / 3 или 3y -4x - 1 = 0
Найдем точку пересечения с прямой AB:
Имеем систему из двух уравнений:
4y + 3x +7 = 0
3y -4x - 1 = 0
Из первого уравнения выражаем y и подставим во второе уравнение.
Получаем:
x = -1
y = -1
D(-1;-1)
9) Длина высоты треугольника, проведенной из вершины C
Расстояние d от точки M 1 (x 1 ;y 1) до прямой Ax + By + С = 0 равно абсолютному значению величины:

Найдем расстояние между точкой C(5;7) и прямой AB (4y + 3x +7 = 0)


Длину высоты можно вычислить и по другой формуле, как расстояние между точкой C(5;7) и точкой D(-1;-1).
Расстояние между двумя точками выражается через координаты формулой:

5) уравнение окружности, для которой высота CD есть диаметр;
Уравнение окружности радиуса R с центром в точке E(a;b) имеет вид:
(x-a) 2 + (y-b) 2 = R 2
Так как CD является диаметром искомой окружности, то ее центр Е есть середина отрезка CD. Воспользовавшись формулами деления отрезка пополам, получим:


Следовательно, Е(2;3) и R = CD / 2 = 5. Использую формулу, получаем уравнение искомой окружности: (x-2) 2 + (y-3) 2 = 25

6) система линейных неравенств, определяющих треугольник АВС.
Уравнение прямой AB: y = -3 / 4 x -7 / 4
Уравнение прямой AC: y = 1 / 2 x + 9 / 2
Уравнение прямой BC: y = -7x + 42