एक उभयनिष्ठ गुणज कैसे खोजें. लघुत्तम समापवर्त्य (एलसीएम) - परिभाषा, उदाहरण और गुण। लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने की सामान्य योजना

आइए जीसीडी का सबसे बड़ा सामान्य भाजक खोजें (36; 24)

समाधान चरण

विधि संख्या 1

36 - समग्र संख्या
24 - समग्र संख्या

आइए संख्या 36 का विस्तार करें

36: 2 = 18
18: 2 = 9 - अभाज्य संख्या 2 से विभाज्य
9: 3 = 3 - अभाज्य संख्या 3 से विभाज्य।

आइए संख्या 24 को तोड़ें प्रमुख कारकों में और उन्हें हरे रंग में हाइलाइट करें। हम अभाज्य संख्याओं में से एक भाजक का चयन करना शुरू करते हैं, सबसे छोटी अभाज्य संख्या 2 से शुरू करते हैं, जब तक कि भागफल एक अभाज्य संख्या न बन जाए।

24: 2 = 12 - अभाज्य संख्या 2 से विभाज्य
12: 2 = 6 - अभाज्य संख्या 2 से विभाज्य
6: 2 = 3
हम भाग पूरा करते हैं क्योंकि 3 एक अभाज्य संख्या है

2) इसे नीले रंग से हाइलाइट करें और सामान्य कारकों को लिखें

36 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3
24 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3
सामान्य गुणनखंड (36; 24): 2, 2, 3

3) अब, जीसीडी खोजने के लिए आपको सामान्य गुणनखंडों को गुणा करना होगा

उत्तर: जीसीडी (36; 24) = 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​​​= 12

विधि संख्या 2

1) संख्याओं (36; 24) के सभी संभावित विभाजक ज्ञात कीजिए। ऐसा करने के लिए, हम बारी-बारी से संख्या 36 को 1 से 36 तक के भाजक में और संख्या 24 को 1 से 24 तक के भाजक में विभाजित करेंगे। यदि संख्या बिना किसी शेषफल के विभाज्य है, तो हम भाजक को भाजक की सूची में लिखते हैं।

संख्या 36 के लिए
36: 1 = 36; 36: 2 = 18; 36: 3 = 12; 36: 4 = 9; 36: 6 = 6; 36: 9 = 4; 36: 12 = 3; 36: 18 = 2; 36: 36 = 1;

24 नंबर के लिए आइए उन सभी मामलों को लिखें जब यह बिना किसी शेषफल के विभाज्य हो:
24: 1 = 24; 24: 2 = 12; 24: 3 = 8; 24: 4 = 6; 24: 6 = 4; 24: 8 = 3; 24: 12 = 2; 24: 24 = 1;

2) आइए संख्याओं (36; 24) के सभी सामान्य भाजक लिखें और सबसे बड़े को हरे रंग में हाइलाइट करें, यह संख्याओं की जीसीडी का सबसे बड़ा सामान्य भाजक होगा (36; 24)

संख्याओं के सामान्य गुणनखंड (36; 24): 1, 2, 3, 4, 6, 12

उत्तर: जीसीडी (36 ; 24) = 12

आइए LCM (52; 49) का लघुत्तम समापवर्तक ज्ञात करें

समाधान चरण

विधि संख्या 1

1) आइए संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करें। ऐसा करने के लिए, आइए जाँच करें कि क्या प्रत्येक संख्या अभाज्य है (यदि कोई संख्या अभाज्य है, तो इसे अभाज्य गुणनखंडों में विघटित नहीं किया जा सकता है, और यह स्वयं एक अपघटन है)

52 - समग्र संख्या
49 - समग्र संख्या

आइए संख्या 52 का विस्तार करें प्रमुख कारकों में और उन्हें हरे रंग में हाइलाइट करें। हम अभाज्य संख्याओं में से एक भाजक का चयन करना शुरू करते हैं, सबसे छोटी अभाज्य संख्या 2 से शुरू करते हैं, जब तक कि भागफल एक अभाज्य संख्या न बन जाए।

52: 2 = 26 - अभाज्य संख्या 2 से विभाज्य
26: 2 = 13 - अभाज्य संख्या 2 से विभाज्य।
हम विभाजन पूरा करते हैं क्योंकि 13 एक अभाज्य संख्या है

आइए संख्या 49 का विस्तार करें प्रमुख कारकों में और उन्हें हरे रंग में हाइलाइट करें। हम अभाज्य संख्याओं में से एक भाजक का चयन करना शुरू करते हैं, सबसे छोटी अभाज्य संख्या 2 से शुरू करते हैं, जब तक कि भागफल एक अभाज्य संख्या न बन जाए।

49: 7 = 7 - अभाज्य संख्या 7 से विभाज्य।
हम भाग पूरा करते हैं क्योंकि 7 एक अभाज्य संख्या है

2) सबसे पहले सबसे बड़ी संख्या के गुणनखंड लिखें और फिर छोटी संख्या के गुणनखंड लिखें। आइए लुप्त कारकों को खोजें, छोटी संख्या के विस्तार में उन कारकों को नीले रंग में हाइलाइट करें जो बड़ी संख्या के विस्तार में शामिल नहीं थे।

52 = 2 ∙ 2 ∙ 13
49 = 7 ∙ 7

3) अब, एलसीएम खोजने के लिए आपको बड़ी संख्या के गुणनखंडों को लुप्त गुणनखंडों से गुणा करना होगा, जो नीले रंग में हाइलाइट किए गए हैं

एलसीएम (52 ; 49) = 2 ∙ 2 ∙ 13 ∙ 7 ∙ 7 = 2548

विधि संख्या 2

1) संख्याओं (52; 49) के सभी संभावित गुणज ज्ञात कीजिए। ऐसा करने के लिए, हम बारी-बारी से संख्या 52 को 1 से 49 तक की संख्याओं से और संख्या 49 को 1 से 52 तक की संख्याओं से गुणा करेंगे।

सभी गुणकों का चयन करें 52 हरे रंग में:

52 ∙ 1 = 52 ; 52 ∙ 2 = 104 ; 52 ∙ 3 = 156 ; 52 ∙ 4 = 208 ;
52 ∙ 5 = 260 ; 52 ∙ 6 = 312 ; 52 ∙ 7 = 364 ; 52 ∙ 8 = 416 ;
52 ∙ 9 = 468 ; 52 ∙ 10 = 520 ; 52 ∙ 11 = 572 ; 52 ∙ 12 = 624 ;
52 ∙ 13 = 676 ; 52 ∙ 14 = 728 ; 52 ∙ 15 = 780 ; 52 ∙ 16 = 832 ;
52 ∙ 17 = 884 ; 52 ∙ 18 = 936 ; 52 ∙ 19 = 988 ; 52 ∙ 20 = 1040 ;
52 ∙ 21 = 1092 ; 52 ∙ 22 = 1144 ; 52 ∙ 23 = 1196 ; 52 ∙ 24 = 1248 ;
52 ∙ 25 = 1300 ; 52 ∙ 26 = 1352 ; 52 ∙ 27 = 1404 ; 52 ∙ 28 = 1456 ;
52 ∙ 29 = 1508 ; 52 ∙ 30 = 1560 ; 52 ∙ 31 = 1612 ; 52 ∙ 32 = 1664 ;
52 ∙ 33 = 1716 ; 52 ∙ 34 = 1768 ; 52 ∙ 35 = 1820 ; 52 ∙ 36 = 1872 ;
52 ∙ 37 = 1924 ; 52 ∙ 38 = 1976 ; 52 ∙ 39 = 2028 ; 52 ∙ 40 = 2080 ;
52 ∙ 41 = 2132 ; 52 ∙ 42 = 2184 ; 52 ∙ 43 = 2236 ; 52 ∙ 44 = 2288 ;
52 ∙ 45 = 2340 ; 52 ∙ 46 = 2392 ; 52 ∙ 47 = 2444 ; 52 ∙ 48 = 2496 ;
52 ∙ 49 = 2548 ;

सभी गुणकों का चयन करें 49 हरे रंग में:

49 ∙ 1 = 49 ; 49 ∙ 2 = 98 ; 49 ∙ 3 = 147 ; 49 ∙ 4 = 196 ;
49 ∙ 5 = 245 ; 49 ∙ 6 = 294 ; 49 ∙ 7 = 343 ; 49 ∙ 8 = 392 ;
49 ∙ 9 = 441 ; 49 ∙ 10 = 490 ; 49 ∙ 11 = 539 ; 49 ∙ 12 = 588 ;
49 ∙ 13 = 637 ; 49 ∙ 14 = 686 ; 49 ∙ 15 = 735 ; 49 ∙ 16 = 784 ;
49 ∙ 17 = 833 ; 49 ∙ 18 = 882 ; 49 ∙ 19 = 931 ; 49 ∙ 20 = 980 ;
49 ∙ 21 = 1029 ; 49 ∙ 22 = 1078 ; 49 ∙ 23 = 1127 ; 49 ∙ 24 = 1176 ;
49 ∙ 25 = 1225 ; 49 ∙ 26 = 1274 ; 49 ∙ 27 = 1323 ; 49 ∙ 28 = 1372 ;
49 ∙ 29 = 1421 ; 49 ∙ 30 = 1470 ; 49 ∙ 31 = 1519 ; 49 ∙ 32 = 1568 ;
49 ∙ 33 = 1617 ; 49 ∙ 34 = 1666 ; 49 ∙ 35 = 1715 ; 49 ∙ 36 = 1764 ;
49 ∙ 37 = 1813 ; 49 ∙ 38 = 1862 ; 49 ∙ 39 = 1911 ; 49 ∙ 40 = 1960 ;
49 ∙ 41 = 2009 ; 49 ∙ 42 = 2058 ; 49 ∙ 43 = 2107 ; 49 ∙ 44 = 2156 ;
49 ∙ 45 = 2205 ; 49 ∙ 46 = 2254 ; 49 ∙ 47 = 2303 ; 49 ∙ 48 = 2352 ;
49 ∙ 49 = 2401 ; 49 ∙ 50 = 2450 ; 49 ∙ 51 = 2499 ; 49 ∙ 52 = 2548 ;

2) आइए संख्याओं (52; 49) के सभी सामान्य गुणजों को लिखें और सबसे छोटे को हरे रंग में हाइलाइट करें, यह संख्याओं (52; 49) का सबसे छोटा सामान्य गुणज होगा।

संख्याओं के सामान्य गुणज (52; 49): 2548

उत्तर: एलसीएम (52; 49) = 2548

स्कूली बच्चों को गणित में बहुत सारे कार्य दिए जाते हैं। उनमें से, अक्सर निम्नलिखित सूत्रीकरण के साथ समस्याएं होती हैं: दो अर्थ हैं। दी गई संख्याओं का लघुत्तम समापवर्तक कैसे ज्ञात करें? ऐसे कार्यों को करने में सक्षम होना आवश्यक है, क्योंकि अर्जित कौशल का उपयोग विभिन्न हर वाले भिन्नों के साथ काम करने के लिए किया जाता है। इस लेख में हम देखेंगे कि एलओसी और बुनियादी अवधारणाओं को कैसे खोजा जाए।

बुनियादी अवधारणाओं

एलसीएम कैसे ज्ञात करें, इस प्रश्न का उत्तर खोजने से पहले, आपको एकाधिक शब्द को परिभाषित करने की आवश्यकता है. अक्सर, इस अवधारणा का सूत्रीकरण इस तरह लगता है: एक निश्चित मान A का गुणज एक प्राकृतिक संख्या है जो बिना किसी शेषफल के A से विभाज्य होगी। तो, 4 के लिए, गुणज 8, 12, 16, 20 होंगे। और इसी तरह, आवश्यक सीमा तक।

इस मामले में, किसी विशिष्ट मान के लिए भाजक की संख्या सीमित हो सकती है, लेकिन गुणज अनंत रूप से अनेक होते हैं। प्राकृतिक मूल्यों का भी यही मूल्य है। यह एक संकेतक है जो बिना किसी अवशेष के उनमें विभाजित है। कुछ संकेतकों के लिए सबसे छोटे मूल्य की अवधारणा को समझने के बाद, आइए आगे बढ़ें कि इसे कैसे खोजा जाए।

एनओसी ढूंढी जा रही है

दो या दो से अधिक घातांकों का सबसे छोटा गुणज सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या है जो सभी निर्दिष्ट संख्याओं से पूरी तरह विभाज्य है।

ऐसा मान ज्ञात करने के कई तरीके हैं, निम्नलिखित विधियों पर विचार करें:

1. यदि संख्याएँ छोटी हों तो उनसे विभाज्य सभी संख्याओं को एक रेखा पर लिख लें। ऐसा तब तक करते रहें जब तक आपको उनमें कुछ समानता न मिल जाए। लिखित रूप में, उन्हें K अक्षर से दर्शाया जाता है। उदाहरण के लिए, 4 और 3 के लिए, सबसे छोटा गुणज 12 है।
2. यदि ये बड़े हैं या आपको 3 या अधिक मानों का गुणज खोजने की आवश्यकता है, तो आपको एक अन्य तकनीक का उपयोग करना चाहिए जिसमें संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करना शामिल है। सबसे पहले, सूचीबद्ध सबसे बड़े को बाहर निकालें, फिर बाकी सभी को। उनमें से प्रत्येक के पास गुणकों की अपनी संख्या है। उदाहरण के तौर पर, आइए 20 (2*2*5) और 50 (5*5*2) को विघटित करें। छोटे वाले के लिए, कारकों को रेखांकित करें और उन्हें बड़े वाले में जोड़ें। परिणाम 100 होगा, जो उपरोक्त संख्याओं का सबसे छोटा सामान्य गुणक होगा।
3. 3 संख्याएँ (16, 24 और 36) ढूँढ़ते समय सिद्धांत अन्य दो के समान ही होते हैं। आइए उनमें से प्रत्येक का विस्तार करें: 16 = 2*2*2*2, 24=2*2*2*3, 36=2*2*3*3। संख्या 16 के विस्तार से केवल दो दो को सबसे बड़े विस्तार में शामिल नहीं किया गया था। हम उन्हें जोड़ते हैं और 144 प्राप्त करते हैं, जो पहले बताए गए संख्यात्मक मानों के लिए सबसे छोटा परिणाम है।

अब हम जानते हैं कि दो, तीन या अधिक मानों के लिए सबसे छोटा मान ज्ञात करने की सामान्य तकनीक क्या है। हालाँकि, निजी तरीके भी हैं, यदि पिछले वाले मदद नहीं करते हैं तो एनओसी खोजने में मदद करते हैं।

जीसीडी और एनओसी कैसे खोजें।

खोजने के निजी तरीके

किसी भी गणितीय अनुभाग की तरह, एलसीएम खोजने के विशेष मामले हैं जो विशिष्ट स्थितियों में मदद करते हैं:

• यदि कोई एक संख्या शेष के बिना अन्य से विभाज्य है, तो इन संख्याओं का सबसे छोटा गुणज उसके बराबर है (60 और 15 का एलसीएम 15 है);
• अपेक्षाकृत अभाज्य संख्याओं में कोई सामान्य अभाज्य गुणनखंड नहीं होता है। उनका सबसे छोटा मान इन संख्याओं के गुणनफल के बराबर है। इस प्रकार, संख्या 7 और 8 के लिए यह 56 होगा;
• यही नियम विशेष मामलों सहित अन्य मामलों के लिए भी काम करता है, जिनके बारे में विशेष साहित्य में पढ़ा जा सकता है। इसमें समग्र संख्याओं के अपघटन के मामले भी शामिल होने चाहिए, जो व्यक्तिगत लेखों और यहां तक ​​कि उम्मीदवार शोध प्रबंधों का विषय हैं।

विशेष मामले मानक उदाहरणों की तुलना में कम आम हैं। लेकिन उनके लिए धन्यवाद, आप जटिलता की अलग-अलग डिग्री के अंशों के साथ काम करना सीख सकते हैं। यह भिन्नों के लिए विशेष रूप से सत्य है, जहां असमान हर हैं।

कुछ उदाहरण

आइए कुछ उदाहरण देखें जो आपको लघुत्तम गुणज ज्ञात करने के सिद्धांत को समझने में मदद करेंगे:

1. एलओसी खोजें (35; 40)। हम पहले 35 = 5*7 को विघटित करते हैं, फिर 40 = 5*8 को। सबसे छोटी संख्या में 8 जोड़ें और LOC 280 प्राप्त करें।
2. एनओसी (45; 54)। हम उनमें से प्रत्येक को विघटित करते हैं: 45 = 3*3*5 और 54 = 3*3*6। हम संख्या 6 को 45 में जोड़ते हैं। हमें 270 के बराबर एलसीएम मिलता है।
3. खैर, आखिरी उदाहरण. 5 और 4 हैं। इनका कोई अभाज्य गुणज नहीं है, इसलिए इस मामले में सबसे छोटा सामान्य गुणज उनका गुणनफल होगा, जो 20 के बराबर है।

उदाहरणों के लिए धन्यवाद, आप समझ सकते हैं कि एनओसी कैसे स्थित है, बारीकियां क्या हैं और इस तरह के हेरफेर का अर्थ क्या है।

एनओसी ढूंढना शुरू में जितना आसान लगता है उससे कहीं अधिक आसान है। ऐसा करने के लिए, सरल विस्तार और सरल मानों को एक दूसरे से गुणा करने दोनों का उपयोग किया जाता है. गणित के इस अनुभाग के साथ काम करने की क्षमता गणितीय विषयों, विशेष रूप से जटिलता की विभिन्न डिग्री के अंशों के आगे के अध्ययन में मदद करती है।

विभिन्न तरीकों का उपयोग करके समय-समय पर उदाहरणों को हल करना न भूलें; इससे आपका तार्किक तंत्र विकसित होता है और आपको कई शब्दों को याद रखने की अनुमति मिलती है। जानें कि ऐसे घातांक को कैसे ढूंढें और आप गणित के बाकी अनुभागों में अच्छा प्रदर्शन करने में सक्षम होंगे। गणित सीखने में आनंद!

वीडियो

यह वीडियो आपको यह समझने और याद रखने में मदद करेगा कि लघुत्तम समापवर्त्य को कैसे खोजा जाए।

सामान्य गुणज

सीधे शब्दों में कहें तो, कोई भी पूर्णांक जो दी गई प्रत्येक संख्या से विभाज्य है सामान्य एकाधिकदिए गए पूर्णांक.

आप दो या दो से अधिक पूर्णांकों का सार्व गुणज ज्ञात कर सकते हैं।

उदाहरण 1

दो संख्याओं के सामान्य गुणज की गणना करें: $2$ और $5$।

समाधान.

परिभाषा के अनुसार, $2$ और $5$ का सामान्य गुणज $10$ है, क्योंकि यह संख्या $2$ और संख्या $5$ का गुणज है:

संख्याओं $2$ और $5$ के सामान्य गुणज भी $-10, 20, -20, 30, -30$, आदि संख्याएँ होंगी, क्योंकि उन सभी को $2$ और $5$ संख्याओं में विभाजित किया गया है।

नोट 1

शून्य किसी भी गैर-शून्य पूर्णांक संख्या का एक सामान्य गुणज है।

विभाज्यता के गुणों के अनुसार, यदि एक निश्चित संख्या कई संख्याओं का एक सामान्य गुणज है, तो चिह्न के विपरीत संख्या भी दी गई संख्याओं का एक सामान्य गुणज होगी। इसे विचारित उदाहरण से देखा जा सकता है।

दिए गए पूर्णांकों के लिए, आप हमेशा उनका सामान्य गुणज ज्ञात कर सकते हैं।

उदाहरण 2

$111$ और $55$ के सामान्य गुणज की गणना करें।

समाधान.

आइए दी गई संख्याओं को गुणा करें: $111\div 55=6105$। यह सत्यापित करना आसान है कि संख्या $6105$, संख्या $111$ और संख्या $55$ से विभाज्य है:

$6105\div 111=$55;

$6105\div 55=$111.

इस प्रकार, $6105$, $111$ और $55$ का एक सामान्य गुणज है।

उत्तर: $111$ और $55$ का सामान्य गुणज $6105$ है।

लेकिन, जैसा कि हम पिछले उदाहरण से पहले ही देख चुके हैं, यह सामान्य गुणज एक नहीं है। अन्य सामान्य गुणक $-6105, 12210, -12210, 61050, -61050$, आदि होंगे। इस प्रकार, हम निम्नलिखित निष्कर्ष पर पहुंचे:

नोट 2

पूर्णांकों के किसी भी सेट में अनंत संख्या में सामान्य गुणज होते हैं।

व्यवहार में, वे केवल धनात्मक पूर्णांक (प्राकृतिक) संख्याओं के सामान्य गुणज खोजने तक ही सीमित हैं, क्योंकि किसी दी गई संख्या और उसके विपरीत गुणजों का समुच्चय संपाती होता है।

लघुत्तम समापवर्त्य का निर्धारण

दी गई संख्याओं के सभी गुणजों में से, लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) का उपयोग सबसे अधिक बार किया जाता है।

परिभाषा 2

दिए गए पूर्णांकों का सबसे छोटा धनात्मक उभयनिष्ठ गुणज है न्यूनतम समापवर्तकये नंबर.

उदाहरण 3

$4$ और $7$ संख्याओं का LCM परिकलित करें।

समाधान.

क्योंकि इन संख्याओं में कोई उभयनिष्ठ भाजक नहीं है, तो $LCM(4,7)=28$।

उत्तर: $NOK (4,7)=28$.

जीसीडी के माध्यम से एनओसी ढूँढना

क्योंकि एलसीएम और जीसीडी के बीच एक कनेक्शन है, इसकी मदद से आप गणना कर सकते हैं दो धनात्मक पूर्णांकों का LCM:

नोट 3

उदाहरण 4

$232$ और $84$ संख्याओं के एलसीएम की गणना करें।

समाधान.

आइए GCD के माध्यम से LCM ज्ञात करने के लिए सूत्र का उपयोग करें:

$LCD (a,b)=\frac(a\cdot b)(GCD (a,b))$

आइए यूक्लिडियन एल्गोरिथम का उपयोग करके संख्याओं $232$ और $84$ की GCD खोजें:

$232=84\cdot 2+64$,

$84=64\cdot 1+20$,

$64=20\cdot 3+4$,

वे। $जीसीडी(232,84)=4$।

आइए $एलसीसी (232, 84)$ खोजें:

$NOK (232.84)=\frac(232\cdot 84)(4)=58\cdot 84=4872$

उत्तर: $NOK (232.84)=$4872.

उदाहरण 5

$LCD(23, 46)$ की गणना करें।

समाधान.

क्योंकि $46$, $23$ से विभाज्य है, तो $gcd (23, 46)=23$। आइए LOC खोजें:

$NOK (23.46)=\frac(23\cdot 46)(23)=46$

उत्तर: $NOK (23.46)=$46.

इस प्रकार, कोई सूत्रीकरण कर सकता है नियम:

नोट 4

हम उन संख्याओं को कहते हैं जो 10 के 10 गुणकों से विभाज्य होती हैं। उदाहरण के लिए, 30 या 50, 10 के गुणज हैं। 28, 14 का गुणज है। जो संख्याएँ 10 और 14 दोनों से विभाज्य होती हैं, उन्हें स्वाभाविक रूप से 10 और 14 के सामान्य गुणज कहा जाता है।

हम जितने चाहें उतने सामान्य गुणज ढूंढ सकते हैं। उदाहरण के लिए, 140, 280, आदि।

एक स्वाभाविक प्रश्न यह है: सबसे छोटा समापवर्त्य, लघुत्तम समापवर्त्य कैसे खोजा जाए?

10 और 14 के लिए पाए गए गुणजों में से, अब तक का सबसे छोटा गुणज 140 है। लेकिन क्या यह सबसे छोटा सामान्य गुणज है?

आइए अपनी संख्याओं का गुणनखंड करें:

आइए एक ऐसी संख्या बनाएं जो 10 और 14 से विभाज्य हो। 10 से विभाज्य होने के लिए, आपके पास 2 और 5 के गुणनखंड होने चाहिए। 14 से विभाज्य होने के लिए, आपके पास 2 और 7 के गुणनखंड होने चाहिए। लेकिन 2 पहले से ही मौजूद है, आपको बस 7 जोड़ना है। परिणामी संख्या 70, 10 और 14 का सामान्य गुणज है। हालाँकि, इससे छोटी संख्या बनाना संभव नहीं होगा ताकि यह भी एक सामान्य गुणज हो।

तो यही है न्यूनतम समापवर्तक. इसके लिए हम एनओसी नोटेशन का उपयोग करते हैं।

आइए संख्या 182 और 70 के लिए जीसीडी और एलसीएम खोजें।

अपने लिए गणना करें:

3.

हम जाँच:

यह समझने के लिए कि जीसीडी और एलसीएम क्या हैं, आप गुणनखंडन के बिना नहीं कर सकते। लेकिन, जब हम पहले से ही समझ जाते हैं कि यह क्या है, तो हर बार इसे ध्यान में रखना आवश्यक नहीं है।

उदाहरण के लिए:

आप आसानी से सत्यापित कर सकते हैं कि दो संख्याओं के लिए, जहां एक दूसरे से विभाज्य है, छोटी संख्या उनकी जीसीडी है और बड़ी संख्या उनका एलसीएम है। स्वयं को समझाने का प्रयास करें कि ऐसा क्यों है।

एक पिता के कदम की लंबाई 70 सेमी है, और एक छोटी बेटी के कदम की लंबाई 15 सेमी है। वे उसी निशान पर अपने पैरों के साथ चलना शुरू करते हैं। उनके पैर फिर से समतल होने से पहले वे कितनी दूर तक चलेंगे?

पिताजी और बेटी चलना शुरू करते हैं। सबसे पहले, पैर एक ही निशान पर हैं। कुछ कदम चलने के बाद उनके पैर उसी स्तर पर आ गये। इसका मतलब यह है कि पिता और बेटी दोनों को इस मुकाम तक पहुंचने के लिए कई सीढ़ियां मिलीं। इसका मतलब यह है कि उससे दूरी को पिता और बेटी दोनों के कदम की लंबाई से विभाजित किया जाना चाहिए।

अर्थात्, हमें खोजना होगा:

यानी 210 सेमी = 2 मीटर 10 सेमी में ऐसा होगा.

यह समझना कठिन नहीं है कि पिता 3 कदम उठाएगा और बेटी 14 कदम चलाएगी (चित्र 1)।

चावल। 1. समस्या के लिए चित्रण

समस्या 1

पेट्या के VKontakte नेटवर्क पर 100 मित्र हैं, और वान्या के 200 मित्र हैं। पेट्या और वान्या के कुल कितने मित्र हैं, यदि उनके 30 पारस्परिक मित्र हैं?

उत्तर 300 गलत है क्योंकि उनके परस्पर मित्र हो सकते हैं।

आइए इस समस्या को ऐसे सुलझाएं. आइए पेट्या के सभी दोस्तों के एक समूह का चित्रण करें। आइए वान्या के कई दोस्तों को दूसरे, बड़े घेरे में चित्रित करें।

इन मंडलियों का एक सामान्य भाग होता है। वहाँ परस्पर मित्र हैं। इस सामान्य भाग को दो सेटों का "प्रतिच्छेदन" कहा जाता है। अर्थात्, पारस्परिक मित्रों का समुच्चय सभी के मित्रों के समुच्चयों का प्रतिच्छेदन है।

चावल। 2. अनेक मित्रों की मंडली

यदि 30 परस्पर मित्र हैं, तो बाईं ओर 70 केवल पेटिना के मित्र हैं, और 170 केवल वनीना के मित्र हैं (चित्र 2 देखें)।

कुल कितना?

दो वृत्तों से युक्त संपूर्ण बड़े समुच्चय को दो समुच्चयों का मिलन कहा जाता है।

वास्तव में, वीके स्वयं हमारे लिए दो सेटों के प्रतिच्छेदन की समस्या को हल करता है; जब आप किसी अन्य व्यक्ति के पेज पर जाते हैं तो यह तुरंत कई पारस्परिक मित्रों को इंगित करता है।

दो संख्याओं के जीसीडी और एलसीएम की स्थिति बहुत समान है।

समस्या 2

दो संख्याओं पर विचार करें: 126 और 132।

हम उनके अभाज्य गुणनखंडों को वृत्तों में दर्शाते हैं (चित्र 3 देखें)।

चावल। 3. अभाज्य गुणनखंडों वाले वृत्त

समुच्चयों का प्रतिच्छेदन उनका उभयनिष्ठ भाजक है। जीसीडी में वे शामिल हैं।

दो सेटों का मिलन हमें LCM देता है।

ग्रन्थसूची

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3. वेबसाइट "स्कूल सहायक" ()

गृहकार्य

1. बंदरगाह शहर में तीन पर्यटक नाव यात्राएँ शुरू होती हैं, जिनमें से पहली 15 दिन, दूसरी - 20 और तीसरी - 12 दिन तक चलती है। बंदरगाह पर लौटने के बाद, जहाज उसी दिन फिर से रवाना हुए। आज तीनों मार्गों पर जहाज बंदरगाह से रवाना हुए। वे कितने दिनों में पहली बार एक साथ फिर से नौकायन करेंगे? प्रत्येक जहाज कितनी यात्राएँ करेगा?

2. संख्याओं का LCM ज्ञात करें:

3. लघुत्तम समापवर्त्य के अभाज्य गुणनखंड ज्ञात कीजिए:

और अगर: , , .

आइए निम्नलिखित समस्या को हल करने पर विचार करें। लड़के का कदम 75 सेमी है, और लड़की का कदम 60 सेमी है। वह न्यूनतम दूरी ज्ञात करना आवश्यक है जिस पर वे दोनों पूर्णांक संख्या में कदम उठाते हैं।

समाधान।जिस पूरे रास्ते से लोग गुजरेंगे वह 60 और 70 से विभाज्य होना चाहिए, क्योंकि उनमें से प्रत्येक को पूर्णांक संख्या में कदम उठाने होंगे। दूसरे शब्दों में, उत्तर 75 और 60 दोनों का गुणज होना चाहिए।

सबसे पहले, हम संख्या 75 के सभी गुणजों को लिखेंगे। हमें मिलता है:

• 75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600, 675, … .

आइए अब उन संख्याओं को लिखें जो 60 के गुणज होंगे। हमें मिलता है:

• 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, … .

अब हम वे संख्याएँ ज्ञात करते हैं जो दोनों पंक्तियों में हैं।

• संख्याओं का सामान्य गुणज 300, 600 आदि होगा।

उनमें से सबसे छोटी संख्या 300 है। इस स्थिति में, इसे संख्याओं 75 और 60 का सबसे छोटा समापवर्त्य कहा जाएगा।

समस्या की स्थिति पर लौटते हुए, सबसे छोटी दूरी जिस पर लड़के पूर्णांक संख्या में कदम उठाएंगे वह 300 सेमी होगी। लड़का इस रास्ते को 4 चरणों में तय करेगा, और लड़की को 5 कदम उठाने होंगे।

लघुत्तम समापवर्त्य का निर्धारण

• दो प्राकृत संख्याओं a और b का लघुत्तम समापवर्तक वह सबसे छोटी प्राकृत संख्या है जो a और b दोनों का गुणज है।

दो संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने के लिए, इन संख्याओं के सभी गुणजों को एक पंक्ति में लिखना आवश्यक नहीं है।

आप निम्न विधि का उपयोग कर सकते हैं.

लघुत्तम समापवर्त्य कैसे ज्ञात करें

सबसे पहले आपको इन संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करना होगा।

• 60 = 2*2*3*5,
• 75=3*5*5.

आइए अब पहली संख्या (2,2,3,5) के विस्तार में मौजूद सभी कारकों को लिखें और दूसरी संख्या (5) के विस्तार में लुप्त सभी कारकों को इसमें जोड़ें।

परिणामस्वरूप, हमें अभाज्य संख्याओं की एक श्रृंखला प्राप्त होती है: 2,2,3,5,5। इन संख्याओं का गुणनफल इन संख्याओं के लिए सबसे कम सामान्य कारक होगा। 2*2*3*5*5 = 300.

लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने की सामान्य योजना

• 1. संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करें।
• 2. उन प्रमुख कारकों को लिखिए जो उनमें से किसी एक का हिस्सा हैं।
• 3. इन कारकों में वे सभी कारक जोड़ें जो दूसरों के विस्तार में हैं, लेकिन चयनित में नहीं।
• 4. सभी लिखित कारकों का गुणनफल ज्ञात कीजिए।

यह विधि सार्वभौमिक है. इसका उपयोग किसी भी प्राकृतिक संख्या का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है।