Теорема за изменението на кинетичната енергия на системата. Теорема за промяна на кинетичната енергия Теорема за промяна на енергията

Пример за решаване на задача с помощта на теоремата за промяната на кинетичната енергия на система с твърди тела, блокове, макари и пружина.

Съдържание

Задачата

Механичната система се състои от тежести 1 и 2, стъпаловидна макара 3 с радиус на стъпката R 3 \u003d 0,3 m, r 3 \u003d 0,1 mи радиус на въртене спрямо оста на въртене ρ 3 = 0,2 m, блок 4 с радиус R 4 = 0,2 mи движещ се блок 5. Блок 5 се счита за непрекъснат хомогенен цилиндър. Коефициентът на триене на товара 2 около равнината f = 0,1 . Телата на системата са свързани помежду си чрез нишки, хвърлени върху блокове и навити на макара 3. Секциите на нишките са успоредни на съответните равнини. Към подвижния блок 5 е прикрепена пружина с коефициент на твърдост c = 280 N/m.

Под действието на сила F = f (s) = 80 (6 + 7 s) N, в зависимост от преместването s на точката на нейното приложение, системата се задвижва от състояние на покой. Деформацията на пружината в момента на началото на движението е равна на нула. При движение макарата 3 е подложена на постоянен момент M = 1,6 Нмсъпротивителни сили (от триене в лагери). Маси на телата: m 1 = 0 , м 2 = 5 кг, м 3 = 6 кг, м 4 = 0 , м 5 = 4 кг.

Определете стойността на центъра на масата на тялото 5 V C 5 в момента, в който преместването s на товар 1 стане равно на s 1 = 0,2 m.

индикация. Когато решавате проблем, използвайте теорема за промяната на кинетичната енергия.

Решението на проблема

дадени:Р 3 \u003d 0,3 m, r 3 \u003d 0,1 m, ρ 3 = 0,2 m, Р 4 = 0,2 m, f = 0,1 , s = 280 N/m, м 1 = 0 , м 2 = 5 кг, м 3 = 6 кг, м 4 = 0 , м 5 = 4 кг, F = f (s) = 80 (6 + 7 s) N, с 1 = 0,2 m.

Намирам: VC 5 .

Променлива нотация

Р 3 , r 3- радиуси на стъпалата на макарата 3;
ρ 3 - радиусът на инерцията на ролката 3 спрямо оста на въртене;
Р 5 - радиус на блока 5;
V 1 , В 2 - скорости на тела 1 и 2;
ω 3 - ъглова скорост на въртене на макарата 3;
VC 5 - скоростта на центъра на масата C 5 блок 5;
ω 5 - ъглова скорост на въртене на блок 5;
с 1 , с 2 - движение на тела 1 и 2;
φ 3 - ъгъл на въртене на макарата 3;
s C 5 - изместване на центъра на масата C 5 блок 5;
s A , s B - преместване на точките A и B.

Установяване на кинематични връзки

Нека установим кинематични връзки. Тъй като тежести 1 и 2 са свързани с една нишка, техните скорости са равни:
V 2 = V1.
Тъй като нишката, свързваща тежести 1 и 2, е навита на външната стъпка на макара 3, точките на външната стъпка на макара 3 се движат със скорост V 2 = V1. Тогава ъгловата скорост на въртене на макарата:
.
Център на масовата скорост V C 5 блок 5 е равен на скоростта на точките на вътрешния етап на макара 3:
.
Скоростта на точка К е нула. Следователно, това е моментният център на скоростите на блок 5. Ъгловата скорост на въртене на блок 5:
.
Скоростта на точка B - свободният край на пружината - е равна на скоростта на точка A:
.

Нека изразим скоростите чрез V C 5 .
;
;
.

Сега да инсталираме връзки между движенията на тялото и ъглите на завъртанешайба и блок. Тъй като скоростите и ъгловите скорости са времеви производни на преместванията и ъглите на въртене
,
тогава същите връзки ще бъдат между премествания и ъгли на въртене:
с 2 = s1;
;
;
.

Определяне на кинетичната енергия на система

Нека намерим кинетичната енергия на системата. Товар 2 се движи напред със скорост V 2 . Макара 3 се върти с ъглова скорост на въртене ω 3 . Блок 5 извършва плоскопаралелно движение. Върти се с ъглова скорост ω 5 и неговият център на маса се движи със скорост V C 5 . Кинетична енергия на системата:
.

Тъй като е даден радиусът на въртене на шайбата спрямо оста на въртене, инерционният момент на шайбата спрямо оста на въртене се определя по формулата:
Дж 3 = m 3 ρ 2 3.
Тъй като блок 5 е твърд хомогенен цилиндър, неговият инерционен момент спрямо центъра на масата е
.

Използвайки кинематични отношения, ние изразяваме всички скорости по отношение на V C 5 и заменете изразите за инерционните моменти във формулата за кинетичната енергия.
,
където въведохме константата
килограма.

И така, открихме зависимостта на кинетичната енергия на системата от скоростта на центъра на масата V C 5 движещ се блок:
, където m = 75 килограма.

Определяне на сумата от работи на външни сили

Помислете за външните силидействащи върху системата.
В този случай ние не вземаме предвид силите на опън на нишките, тъй като нишките са неразтегливи и следователно не произвеждат работа. Поради тази причина ние не разглеждаме вътрешните напрежения, действащи в телата, тъй като те са абсолютно твърди.
Върху тяло 1 (с нулева маса) действа дадена сила F.
Гравитационната сила P действа върху товар 2 2 = m 2 g 2 и сила на триене F T .
Макара 3 се влияе от гравитацията P 3 = m 3 g, сила на натиск на оста N 3 и момент на силата на триене M .
Макара 4 (с нулева маса) е подложена на силата на натиск на оста N 4 .
Подвижният блок 5 се влияе от гравитацията P 5 = m 5 g, силата на пружината F y и силата на опън на конеца T K в точка K .

Работата, която силата извършва при преместване на точката на нейното приложение до малко преместване, е равна на скаларното произведение на векторите, тоест произведението на модулите на векторите F и ds и косинуса на ъгъла между тях. Дадената сила, приложена към тяло 1, е успоредна на движението на тяло 1. Следователно работата, извършена от сила при преместване на тяло 1 на разстояние s 1 е равно на:


Дж.

Помислете за товар 2. Той се влияе от гравитацията P 2 , сила на повърхностен натиск N 2 , сили на опън на конеца T 23 , T 24 и сила на триене F T . Тъй като товарът не се движи във вертикална посока, проекцията на неговото ускорение върху вертикалната ос е нула. Следователно сумата от проекциите на силите върху вертикалната ос е нула:
н 2 - P 2 = 0;
н 2 \u003d P 2 \u003d m 2 g.
Сила на триене:
F T = f N 2 = f m 2 g.
P-сили 2 и Н 2 перпендикулярно на преместването s 2 така че те не вършат никаква работа.
Работата на силата на триене:
Дж.

Ако разглеждаме товар 2 като изолирана система, тогава трябва да вземем предвид работата, извършена от силите на опън на нишките T 23 и Т 24 . Ние обаче се интересуваме от цялата система, състояща се от тела 1, 2, 3, 4 и 5. За такава система силите на опън на нишката са вътрешни сили. И тъй като нишките са неразтегливи, сумата от тяхната работа е нула. В случай на натоварване 2 е необходимо също така да се вземат предвид силите на опън на нишките, действащи върху шайба 3 и блок 4. Те са равни по големина и противоположни по посока на силите T 23 и Т 24 . Следователно, работата, извършена от силите на опън на нишките 23 и 24 върху товара 2, е равна по величина и противоположен по знак на работата, извършена от силите на опън на тези нишки върху ролката 3 и блока 4. В резултат на това, сумата от работата, извършена от силите на опън на нишките, е нула.

Помислете за макара 3. Тъй като нейният център на масата не се движи, работата на гравитацията P 3 е равно на нула.
Тъй като C-ос 3 е неподвижна, тогава силата на натиск на оста N 3 не произвежда работа.
Работата, произведена от момента на силите, се изчислява подобно на работата, произведена от силата:
.
В нашия случай векторите на момента на силите на триене и ъгъла на въртене на шайбата са насочени по оста на въртене на шайбата, но противоположни по посока. Следователно работата на момента на силите на триене:
Дж.

Помислете за блок 5.
Тъй като скоростта на точка K е равна на нула, тогава силата T K не произвежда работа.
Центърът на тежестта на блок C 5 се премести на разстояние s C 5 нагоре. Следователно работата, извършена от гравитацията на блока, е:
Дж.
Работата на еластичната сила на пружината е равна на изменението на потенциалната енергия на пружината със знак минус. Тъй като пружината не се деформира в началото, тогава
Дж.

Сумата от работата на всички сили:

Дж.

Приложение на теоремата за изменението на кинетичната енергия на системата

Прилагаме теоремата за изменението на кинетичната енергия на системата в интегрална форма.
.
Тъй като системата е била в покой в ​​началото, нейната кинетична енергия в началото на движението
T 0 = 0 .
Тогава
.
Оттук
Госпожица.

Лекция 5 Теорема за промяна на кинетичната енергия

5. 1. Работа на силата

Нека силата е равностойната на всички сили на системата, приложени към точка Р, и ( dx, dy, дз) - елементарно движение на точката P по нейната траектория P 1 P 2 (фиг. 5.1). елементарна работа дАсили се нарича скаларно произведение

Елементарната работа е скаларна величина. Ако е ъгълът между силата и посоката на преместване, тогава изразът (5.1) може да бъде представен като

където е проекцията на силата върху посоката на елементарното преместване (или посоката на скоростта на точката).

Знакът на елементарната работа зависи от знака на функцията . Ако е остър ъгъл, тогава , ако е тъп ъгъл, тогава , ако , тогава .

Нека точката Рправи последен ход от позиция в позиция, описвайки дъга. Нека разделим дъгата на нпроизволни малки участъци, посочващи дължината на участъка с номера кпрез . Тогава елементарната работа на силата на к-та секция ще бъде равна на , а целият път от до - сумата от работата по отделните секции

Получаваме точната стойност на работата, като преминем към лимита, при условие че броят на секциите ннараства безкрайно и дължината на всяка секция намалява:

.

Такава граница се нарича криволинеен интеграл от първи род по дъга и се записва по следния начин

. (5.3)

Резултатът от интеграцията е цялостната работа Асила Евърху разглежданото крайно преместване по пътя .

5. 1. 1. Работа на тежестта

Позволявам м е масата на точката, ж- ускорение на гравитацията. Тогава

Изчислявайки работата по формули (5.1) и (5.3), имаме

къде е височината на падане.

Следователно, когато въпросът е повдигнат, .

5. 1. 2. Работата на линейната сила на еластичност

Нека материалната точка Рсе движи по оста о(фиг. 5.3) под действието на пружината, към която е закрепен. Ако при , , тогава пружината се деформира и при малки отклонения на точката можем да приемем, че върху нея се прилага еластична сила от страната на пружината. След това работата на еластичната сила върху преместването х 0 х 1 ще бъде равно на

. (5.5)

Работата на еластичната сила е равна на половината от произведението на коефициента на твърдост и разликата между квадратите на началното и крайното удължение (или компресия) на пружината.

5. 1. 3. Елементарна работа на силите, приложени към твърдо тяло

Разгледайте движението на тяло в равнина. Позволявам ОТНОСНО- произволно избрана точка върху твърдо тяло (фиг. 5.4). Нека го наречем стълб. Тогава движението на тялото в равнина може да бъде представено като сума от най-простите: транслационно движение заедно с полюса и въртене на тялото около полюса. Тогава скоростта на точка спрямо фиксирана координатна система се определя като геометрична сума от две скорости

където е скоростта на полюса, е векторът на ъгловата скорост на твърдото тяло, е скоростта на Ойлер, т.е. скоростта на точката, докато се върти около полюса.

Ще представим твърдото тяло като механична система, състояща се от нотделни точки, взаимното разстояние между които не се променя.

Изчислете преместването на точка под действието на сила:

Тогава .

Елементарната работа, съгласно (5.1), може да бъде написана по следния начин

Използване на свойствата на смесеното произведение на вектори , пренаписваме последния израз във формата

Нека - резултантната на всички сили, външни и вътрешни (фиг. 5.4), приложени в точка на тялото, т.е.

.

Тогава (a) се записва като

Съгласно (3.1 и 3.2), главният вектор и главният момент на вътрешните сили на системата са равни на нула, получаваме

Тук: е основният вектор, е основният момент на външните сили около точката ОТНОСНО.

Особени случаи

А. Постъпателно движение на твърдо тяло. Всички точки на тялото имат еднакви премествания (фиг. 5.5, а) както по абсолютна стойност, така и по посока, тогава от (5.6) получаваме (тук):

. (5.7)

b. Въртене на твърдо тяло около неподвижна ос. Нека оста zпреминава през полюса ОТНОСНО(фиг. 5.5b). Тогава , ; от (5.6) получаваме

. (5.8)

Пример.маса на бобината ми радиус Рзадвижван от постоянна сила Е, приложен в точката А(фиг. 5.6). Намотката се търкаля надясно, без да се хлъзга върху грапава повърхност.

Изчислете работата на всички външни сили, ако центърът на намотката се е преместил на разстояние , е коефициентът на триене при търкаляне, е силата на триене, r е радиусът на сърцевината на намотката, към която е приложена силата.

Решение.Бобината прави плоско движение. Тъй като търкалянето става без плъзгане, моментният център на скоростите се намира в точката на контакт на намотката с равнината, т.е. в точката Р(фиг.5.6). Нека насочим оста S хоризонтално надясно. В съответствие с посоката на движение вземаме положителната посока на ъгъла на въртене обратно на часовниковата стрелка.

Оставете центъра на намотката СЪСще се премести в . В този случай намотката ще се завърти под ъгъл. Тогава откъде

Вземане на точка Рза моментната ос на въртене изчисляваме елементарната работа по формулата (5.8):

(А)

Тук: линии на действие на силите и мгпресечете оста на въртене, така че ; по-нататък, къде не нормалната сила на реакция.

За да се определи желаната работа, остава да се вземе определен интеграл от (а) в диапазона от 0 до СА. Вземете

5. 2. Силово поле. Силова функция. Потенциална енергия

Да предположим, че една точка се движи в някакво пространство и върху нея действа сила от страната на пространството, която зависи от положението на точката в това пространство, но не зависи от скоростта на точката. В този случай казваме, че пространството е дадено силово поле, а също и че точката се движи в силовото поле. Съответните понятия за система от материални точки са подобни.

В механиката често се срещат сили, които зависят от положението на техните точки на приложение. Например, еластичната сила, приложена към материална точка, която се движи по хоризонтална права линия под действието на пружина. Най-важният пример за силово поле в природата е гравитационното поле: действието на Слънцето върху планета с дадена маса се определя във всяка точка на пространството от закона за всемирното привличане.

Силовото поле се нарича потенциалако има скаларна функция U, в зависимост само от координатите , , точка-точка на материалната система (евентуално и от времето), така че

Функцията се извиква степенна функция.

Разгледайте свойствата на якостната функция.

Елементарната работа (5.1) е свързана със силата по следния начин

По този начин, елементарната работа на сила в потенциално силово поле е равна на общия диференциал на функцията на силата ii.

Общата работа на силата върху участъка от точката към основния въпрос (фиг.5.1)

тези. . (5.10)

От получените изрази следва, че

1. работата на сила в потенциално силово поле по всяка затворена траектория е нула;

2. работата на сила в потенциално силово поле зависи само от положението на крайното и началното точки, но самият път не играе роля.

Потенциална енергия.Потенциална енергия Пв разглежданата точка на силовото поле Рнаречена работа, извършена от полевите сили, действащи върху материална точка, когато тя се движи от точка Рдо начална точка 1 , т.е.

П= или П=

Нека свържем функцията сила Uс потенциална енергия. Ние имаме

Примери за изчисляване на потенциална енергия

1. Еднородно гравитационно поле. Позволявам ме масата на точката; ж - ускорение на гравитацията. Тогава (фиг. 5.2)

2. Силово поле на еластична пружина. Нека материалната точка се движи по оста о(фиг. 5.3) под действието на пружината, към която е закрепен. Ако при , пружината не е деформирана, тогава, приемайки във формула (5.5), получаваме

.

5. 3. Кинетична енергия

5. 3. 1. Кинетична енергия на системата. Теорема на Кьониг

Кинетичната енергия на материална точка се нарича половината от произведението на масата на точката и квадрата на нейната скорост, т.е. . Кинетичната енергия е положителна скаларна величина. В системата SI единицата за кинетична енергия е джаул: .

Кинетичната енергия на механична система е сумата от кинетичните енергии на всички точки, включени в системата:

(5.11)

Скоростите на точките от системата (5.1) се определят по отношение на фиксираната отправна система.

Нека комбинираме началото на координатите с центъра на масата на системата. Да предположим, че механичната система, заедно с координатната система, се движи транслационно спрямо неподвижната координатна система (фиг. 5.7). Точка - точка на системата.

След това, въз основа на теоремата за добавяне на скоростта, абсолютната скорост на точката Рк. система се записва като векторна сума на транслационните и относителните скорости:

, (A)

където е скоростта на началото на движещата се координатна система (скорост на преместване, т.е. скоростта на центъра на масата на системата); - точкова скорост Ркспрямо движещата се координатна система Охуz (относителна скорост).

Замествайки (а) във формула (5.11), получаваме

(5.12)

Ето масата на цялата система.

Радиус-векторът на центъра на масата на системата в движещата се координатна система се определя съгласно (2.1), - , където , т.е. . Тъй като произходът ОТНОСНОе центърът на масата на системата, тогава , тогава , т.е. втората сума в израз (5.12) е равна на нула.

Така кинетичната енергия на системата (5.12) има формата

(5.13)

Това равенство определя Теорема на Кьониг.

Теорема. Кинетичната енергия на системата е равна на сумата от кинетичната енергия на материална точка, разположена в центъра на масата на системата и имаща маса, равна на масата на системата, и кинетичната енергия на движението на системата спрямо центърът на масата би имал.

5. 3. 2. Кинетична енергия на твърдо тяло

Твърдото тяло е частен случай на механична система и се разглежда като непрекъснато разпределена маса, тогава всички суми, включени в израза за кинетичната енергия на системата, преминават в интеграли. По този начин за твърдо тяло формулата (5.11) приема формата

. (5.14)

1. Кинетична енергия на твърдо тяло, движещо се напред.

При този вид движение скоростите на всички точки на тялото са еднакви (фиг. 5.8). Изваждайки го от знака за интеграл във формула (5.14), получаваме

. (5.15)

Кинетичната енергия на твърдо тяло, движещо се напред, е равна на половината от произведението на масата на тялотоМна квадрата на неговата скорост.

2. Кинетична енергия на твърдо тяло, въртящо се около неподвижна ос

Модул за скорост Vвсяка точка на твърдо тяло, въртяща се около фиксирана ос, е равна на , където е модулът на ъгловата скорост на твърдото тяло, е разстоянието от точката до оста на въртене z(фиг. 5.9). Замествайки във формула (5.14), получаваме

Тук е инерционният момент на твърдото тяло спрямо оста z.

Кинетичната енергия на твърдо тяло, въртящо се около фиксирана ос, е равна на половината от произведението на инерционния момент на тялото около оста на въртене и квадрата на ъгловата скорост на тялото.

3. Кинетична енергия на твърдо тяло при плоскопаралелно движение

При равнинно-паралелно движение скоростта на всяка точка на тялото се състои от геометричната сума на скоростта на полюса и скоростта на точката по време на въртене около полюса. Нека тялото се движи плоско в равнина Окси, Тогава

|| . За полюса избираме центъра на масата на тялото, след което във формулата (5.13) скоростта е скоростта на точката ктяло по време на въртенето му спрямо полюса (центъра на масата) и е равно на , където разстоянието к- о, посочете полюса. Тогава (5.13) се пренаписва

Имайки предвид, че е инерционният момент на тялото спрямо оста zпреминавайки през полюса СЪС, последният израз може да бъде пренаписан като

, (5.17)

при равнинно-паралелно движение на тялото кинетичната енергия е сумата от кинетичната енергия на транслационното движение заедно с центъра на масата и кинетичната енергия от въртене около ос, минаваща през центъра на масата и перпендикулярна на равнината на движение.

5. 4. Теорема за изменението на кинетичната енергия

5. 4. 1. Теорема за изменението на кинетичната енергия на точка

Намерете връзката между работата и промяната в скоростта. Нека материална точка с маса мсе движи по оста опод действието на сила, например, компресирана или разтегната пружина, фиксирана в началото, - точка ОТНОСНО(фиг. 5.10). Уравнението на движението на точка има формата

Умножете двете страни на това уравнение по и като имате предвид това , получаваме

. (5.19)

От дясната страна на това равенство заместваме V xпо и умножете по дтдясна и лява част. Тогава

. (5.20)

В тази форма равенството има много ясно значение: когато точката е изместена с dx, силата извършва работа , в резултат на което стойността се променя точкова кинетична енергияхарактеризиращи движението на точка и по-специално модула на нейната скорост. Ако точката е изместена от позиция в , и нейната скорост се промени от на , тогава, интегрирайки (5.20), имаме

. (5.21)

Като се има предвид това , най-накрая намираме

. (5.22)

Промяната в кинетичната енергия на материална точка по време на всяко нейно движение е равна на работата на силата, действаща върху точката при същото движение.

Извършвайки всички предишни процедури, получаваме

,

тук е дъгата, по която се движи точката (фиг. 5.11).

5. 4. 2. Теорема за изменението на кинетичната енергия на системата

Нека точките на системата по маса се движат по такъв начин, че техните радиус вектори в инерциалната референтна система са получили увеличение. Нека намерим как се е променила кинетичната енергия в този случай Tсистеми.

Съгласно (5.11), кинетичната енергия на системата

.

Нека изчислим диференциала на кинетичната енергия на системата и преобразуваме получения израз

Тук

Като се има предвид, че , където е ускорението на точката a и са резултантите на външни и вътрешни сили, приложени към точката, пренаписваме последното равенство във формата

По този начин,

. (5.23)

Последното равенство изразява теоремата за промяната на кинетичната енергия на механична система в диференциална форма: диференциалът на кинетичната енергия на системата е равен на елементарната работа на всички сили на системата.

специален случай. За абсолютно твърдо тяло сумата от работата на всички вътрешни сили на системата е нула:

.

Следователно теоремата за промяната на кинетичната енергия (5.23) за твърдо тяло може да бъде записана като

Промяната в кинетичната енергия на твърдо тяло с всяко елементарно преместване е равна на елементарната работа на външните сили, действащи върху тялото.

Ако и двете части на (5.24) се интегрират между две положения - начално и крайно, в които съответно кинетичната енергия и , получаваме

. (5.25)

Пример 1. Дискова маса м=5 кги радиусът се задвижва от постоянна сила, приложена в точка А(фиг. 5.6). Диск се търкаля по грапава повърхност вдясно, без да се плъзга. Определете скоростта на центъра на масата СЪСнамотка в момента, в който се движи на разстояние , коефициент на триене при плъзгане , радиус на въртене на диска

Решение.Дискът се движи в равнина. Нека запишем теоремата за промяната на кинетичната енергия за твърдо тяло

Нека изчислим кинетичната енергия на диска. В началния момент от време дискът е бил в покой, т.е. . Кинетична енергия в крайната позиция на диска

Ако разгледаме всяка точка от системата с маса , имайки скорост , тогава за тази точка ще бъде

,

където и - елементарна работа на външни и вътрешни сили, действащи върху точка. Съставяйки такива уравнения за всяка от точките на системата и добавяйки ги член по член, получаваме

,

. (2)

Равенството изразява теоремата за изменението на кинетичната енергия на системата в диференциална форма.

Ако полученият израз се припише на елементарния период от време, през който се е случило разглежданото движение, можем да получим втората формулировка за диференциалната форма на теоремата: производната по време на кинетичната енергия на механичната система е равна на сумата на правомощията на всички външни () и вътрешни () сили, т.е.

Диференциалните форми на теоремата за промяната на кинетичната енергия могат да се използват за съставяне на диференциални уравнения на движение, но това се прави доста рядко, тъй като има по-удобни методи.

Интегрирайки двете части на равенството (2) в границите, съответстващи на изместването на системата от някаква начална позиция, където кинетичната енергия е , до позиция, където стойността на кинетичната енергия става равна на , ще има

Полученото уравнение изразява теоремата за промяната на кинетичната енергия в крайната форма: промяната в кинетичната енергия на системата по време на част от нейното преместване е равна на сумата от работата върху това изместване на всички външни и вътрешни сили, приложени към системата.

За разлика от предишните теореми, вътрешните сили в уравненията не са изключени. Наистина, ако и са силите на взаимодействие между точките и системата (виж фиг. 51), тогава . Но в същото време точката може да се движи към , а точката може да се движи към . Тогава работата на всяка от силите ще бъде положителна и сумата от работата няма да е нула. Пример за това е феноменът на връщане назад. Вътрешните сили (сили на натиск), действащи както върху снаряда, така и върху търкалящите се части, тук извършват положителна работа. Сумата от тези работи, която не е равна на нула, променя кинетичната енергия на системата от стойността в началото на изстрела до стойността в края.

Друг пример: две точки, свързани с пружина. Когато разстоянието между точките се промени, еластичните сили, приложени към точките, ще вършат работа. Но ако системата се състои от абсолютно твърди тела и връзките между тях са непроменливи, не еластични, идеални, тогава работата на вътрешните сили ще бъде равна на нула и те могат да бъдат игнорирани и изобщо да не се показват на изчислителната диаграма.

Нека разгледаме два важни специални случая.

1) Неизменна система. неизмененще наречем система, в която разстоянията между точките на приложение на вътрешните сили не се променят по време на движението на системата. По-специално, такава система е абсолютно твърдо тяло или неразтеглива нишка.

Фиг.51

Нека две точки и от непроменлива система (фиг. 51), действащи една върху друга със сили и (), имат скорости и в даден момент. След това за определен период от време дттези точки ще направят елементарни премествания и , насочени по векторите и . Но тъй като сегментът е непроменим, тогава, според добре известната теорема на кинематиката, проекциите на векторите и , и следователно и двете премествания и посоката на сегмента ще бъдат равни един на друг, т.е. . Тогава елементарната работа на силите и ще бъде еднаква по абсолютна стойност и противоположна по знак и сумата ще бъде нула. Този резултат е валиден за всички вътрешни сили за всяко преместване на системата.

Оттук заключаваме, че за непроменяща се система сумата от работата на всички вътрешни сили е нулаи уравненията приемат формата

2) Система с идеални връзки. Нека разгледаме система, върху която са наложени ограничения, които не се променят с времето. Разделяме всички външни и вътрешни сили, действащи върху точките на системата, на активенИ реакции на свързване.Тогава

,

къде е елементарната работа по действие к-точката на системата от външни и вътрешни активни сили, а е елементарната работа на реакциите на външните и вътрешните връзки, наложени върху една и съща точка.

Както можете да видите, промяната в кинетичната енергия на системата зависи от работата и активните сили и реакции на връзките. Въпреки това е възможно да се въведе концепцията за такива "идеални" механични системи, в които наличието на връзки не влияе на промяната в кинетичната енергия на системата по време на нейното движение. За такива връзки очевидно трябва да бъде изпълнено следното условие:

Ако за връзки, които не се променят с времето, сумата от работата на всички реакции по време на елементарно изместване на системата е равна на нула, тогава такива връзки се наричат идеален.За механична система, върху която са наложени само идеални ограничения, които не се променят с времето, очевидно ще имаме

По този начин промяната в кинетичната енергия на система с идеални връзки, които не се променят с времето по време на нито едно от нейните премествания, е равна на сумата от работата върху това изместване, приложена към системата от външни и вътрешни активни сили.

Механичната система се нарича консервативен(енергията му като че ли се запазва, не се променя), ако за него има място интегралът на енергията

или (3)

то е законът за запазване на механичната енергия: когато една система се движи в потенциално поле, нейната механична енергия (сумата от потенциална и кинетична) остава непроменена, постоянна през цялото време.

Механичната система ще бъде консервативна, ако силите, действащи върху нея, са потенциални, например гравитация, еластични сили. В консервативните механични системи, използвайки енергийния интеграл, можете да проверите правилността на формулирането на диференциалните уравнения на движението. Ако системата е консервативна и условие (3) не е изпълнено, тогава е допусната грешка при съставянето на уравненията на движението.

Енергийният интеграл може да се използва за проверка на коректността на уравненията по друг начин, без да се изчислява производната. За да направите това, след като извършите численото интегриране на уравненията на движението, изчислете стойността на общата механична енергия за два различни момента от време, например начален и краен. Ако разликата между стойностите се окаже сравнима с изчислителните грешки, това ще покаже правилността на използваните уравнения.

Всички предишни теореми позволиха да се изключат вътрешните сили от уравненията на движението, но всички външни сили, включително неизвестните преди реакции на външни ограничения, бяха запазени в уравненията. Практическата стойност на теоремата за промяната на кинетичната енергия се състои във факта, че с идеални връзки, които не се променят с времето, тя ще ни позволи да изключим от уравненията на движението всичконеизвестни досега реакции на връзки.

механична система

Кинетичната енергия на механична системасе нарича аритметична сума от кинетичните енергии на всички негови материални точки

Изчисляване на кинетичната енергия на твърдо тяло

1. Движение напред

Както е известно, в случай на постъпателно движение, скоростите на всички точки на тялото в един и същи момент от време са равни, тогава (83) може да се представи като

. (84)

При постъпателното движение на тялото неговата кинетична енергия е равна на половината от произведението на масата и квадрата на скоростта на центъра на масата.

2. Въртеливо движение на твърдо тяло

П При въртеливо движение скоростта на всяка точка от тялото

. (85)

Заместете (85) в (83):

.

Като вземем предвид (59), получаваме

. (86)

При въртеливо движение кинетичната енергия е равна на половината от произведението на инерционния момент на тялото около оста на въртене и квадрата на ъгловата скорост.

3 . плоско движение

Равнинното движение може да бъде представено като въртене около полюса (например центъра на масата) и движение заедно с полюса, след което

. (87)

Кинетичната енергия на тяло при равнинно движение е равна на сумата от кинетичните енергии от постъпателното движение заедно с центъра на масата и въртеливото движение спрямо центъра на масата.

Теорема: Промяната в кинетичната енергия на механична система при някакво нейно преместване е равна на сумата от работата на всички вътрешни и външни сили на системата при същото преместване

. (88)

Забележки:

1. Въведената стойност на кинетичната енергия на системата, за разлика от импулса на системата и ъгловия момент, е скаларна величина. при което:

Q=0 по време на въртене и покой;

К О=0 при транслационно движение или покой;

T

По този начин, за разлика от теоремата за промяната на импулса и ъгловия момент, тази теорема е подходяща за изучаване на всякакъв вид движение, тъй като T=0 само за стационарна система.

2. За разлика от споменатите теореми, тази теорема отчита действието на вътрешните сили на системата.

Някои случаи на изчисляване на работата

1. Работата на момента на силатаМ Зспрямо оста е равен на произведението на момента и ъгъла на завъртане  тела около оста

. (89)

2. Сумата от работата на вътрешните силиабсолютно твърдо тяло (недеформируемо) винаги е равно на нула.

3. Работата на момента на триене при търкаляне
.

,

Където  - коефициент на триене при търкаляне;

Ре радиусът на цилиндъра;

се дължината на дъгата, равна на сегмента от пътя, изминат от центъра на масата C по повърхността;


- ъгълът на завъртане на осите на цилиндъра в процеса на движение;

н– нормална повърхностна реакция;

П- земно притегляне;

Е тре силата на триене при плъзгане.

Диференциални уравнения на транслационно, въртеливо и плоско движение на твърдо тяло

1. транслационно движение

При постъпателното движение всички точки на тялото се движат по една и съща траектория и в същото време имат еднакво ускорение. Тогава движението на центъра на масата теорема (67) може да се използва за описание на движението. Проектираме това уравнение върху координатните оси

Система (90) е диференциално уравнение за постъпателното движение на твърдо тяло.

2. въртеливо движение

П Нека твърдо тяло се върти около ос под действието на сили. Динамичната характеристика на въртеливото движение на твърдо тяло е кинетичният момент К z, а характеристиката на въртеливото действие на силата е моментът на силата около оста. Следователно, за да опишем въртеливото движение на твърдо тяло спрямо фиксирана ос, използваме теоремата за промяната на ъгловия момент (81)

. (91)

При въртене
, Тогава

,

предвид това аз z=const, като резултат получаваме

. (92)

Уравнение (92) е диференциално уравнение за въртеливото движение на твърдо тяло около фиксирана ос.

намерен ъгъл  ще определи позицията на въртящо се тяло във всеки даден момент.

3. плоско движение

Положението на тялото, извършващо равнинно движение във всеки момент от времето, се определя от положението на полюса и ъгъла на въртене на тялото спрямо полюса. Ако вземем центъра на масата на тялото като полюс, тогава уравнението на неговото движение може да се намери от теоремата за движението на центъра на масата (67), а въртеливото движение около центъра ще се определя от уравнението (92), което е валидно и за движението на системата около оста, минаваща през центъра на масата. Тогава диференциалните уравнения на равнинното движение на твърдо тяло имат формата

Кинетичната енергия на механична система е сумата от кинетичните енергии на всички нейни точки:

Диференцирайки всяка част от това равенство по отношение на времето, получаваме

Използвайки основния закон на динамиката за Да се-та точка на системата m k 2i k= Fj., стигаме до равенството

Скаларното произведение на силата F и скоростта v на точката на нейното приложение се нарича сила на силатаи обозначават Р:

Използвайки тази нова нотация, представяме (11.6) в следната форма:

Полученото равенство изразява диференциалната форма на теоремата за промяната на кинетичната енергия: скоростта на изменение на кинетичната енергия на механична система е равна на сумата j от мощностите на всички cm, действащи върху системата.

Представяне на производната fв (8.5) под формата на дроб -- и правя

след това разделяне на променливи, получаваме:

Където dT-диференциал на кинетичната енергия, т.е. промяната му за безкрайно малък интервал от време dr, dr k = k dt -елементарно изместване Да се-та точка на системата, т.е. движение във времето дт.

Скаларното произведение на силата F и елементарното преместване д-рнеговите приложни точки се наричат елементарна работасили и представляват dA:

Използвайки свойствата на скаларното произведение, може да се представи елементарната работа на силата и във формата

Тук ds = dr-дължината на дъгата на траекторията на точката на прилагане на силата, съответстваща на нейното елементарно преместване c/g; А -ъгълът между посоките на вектора на силата F и вектора на елементарното преместване c/r; F „ F y , F,- проекции на вектора на силата F върху декартовите оси; dx, dy, dzпроекции върху декартовите оси на елементарния вектор на преместване s/r.

Като се има предвид нотацията (11.9), равенството (11.8) може да бъде представено в следната форма:

тези. диференциалът на кинетичната енергия на системата е равен на сумата от елементарните работи на всички сили, действащи върху системата.Това равенство, подобно на (11.7), изразява диференциалната форма на теоремата за промяната на кинетичната енергия, но се различава от (11.7) по това, че използва не производни, а безкрайно малки увеличения - диференциали.

Извършвайки почленно интегриране на равенството (11.12), получаваме

където като граници на интегриране се използват: 7 0 - кинетична енергия на системата в момента? 0; 7) - кинетична енергия на системата в момента на времето t x.

Определени интеграли във времето или A(F):

Забележка 1. За да се изчисли работата, понякога е по-удобно да се използва недъгова параметризация на траекторията Г-ца),и координатата M(x(t), y(/), z(f)). В този случай за елементарната работа е естествено да вземем представянето (11.11) и да представим криволинейния интеграл във формата:

Като се вземе предвид обозначението (11.14) на работа върху ограничено изместване, равенството (11.13) приема формата

и представлява крайната форма на теоремата за промяната на кинетичната енергия на механична система.

Теорема 3. Промяната в кинетичната енергия на механична система, когато тя се движи от първоначалното положение до крайното, е равна на сумата от работата на всички сили, действащи върху точките на системата по време на това движение.

Коментирайте 2. Дясната страна на равенството (11.16) отчита произведенията всички силидействащи върху системата, както външни, така и вътрешни. Въпреки това има такива механични системи, за които общата работа на всички вътрешни сили е равна на нула. Его т.нар неизменни системи, за които разстоянията между взаимодействащи материални точки не се променят. Например система от твърди тела, свързани с панти без триене или гъвкави неразтегливи нишки. За такива системи в равенството (11.16) е достатъчно да се вземе предвид само работата на външните сили, т.е. теорема (11.16) приема формата: