Инерционни оси. Главни оси и главни инерционни моменти Главни оси на сечението

Главните, три взаимно перпендикулярни оси, прекарани през к.-л. точка на тялото и имащи свойството, че ако се приемат за координатни оси, тогава центробежните инерционни моменти на тялото спрямо тези оси ще бъдат равни на нула. Ако телевизията тяло, фиксирано в една точка, се привежда във въртене около ос, която в дадена точка се проявява. основен О. и., тогава тялото, при липса на външни сили, ще продължи да се върти около тази ос, сякаш около неподвижна. Концепцията за главния О. и. играе важна роля в динамиката на телевизията. тела.

Физически енциклопедичен речник. - М.: Съветска енциклопедия..1983 .

ИНЕРЦИОННА ОС

Основните са три взаимно перпендикулярни оси, прекарани през к.н. точка на тялото, съвпадаща с осите на елипсоида на инерцията на тялото в тази точка. Главен О. и. имат свойството, че ако се приемат като координатни оси, тогава центробежните инерционни моменти на тялото спрямо тези оси ще бъдат равни на нула. Ако една от координатните оси напр. ос ое за целта ОТНОСНОглавни O. и., центробежни моменти на инерция, чиито индекси включват името на оста, т.е. аз xyИ аз xz, са равни на нула. Ако твърдо тяло, фиксирано в една точка, се върти около ос, която в дадена точка е основната О. и., Тогава тялото при липса на външен. силите ще продължат да се въртят около тази ос, сякаш около неподвижна.

Физическа енциклопедия. В 5 тома. - М.: Съветска енциклопедия.Главен редактор А. М. Прохоров.1988 .

Аксиални инерционни моменти на сечениетоспрямо осите хИ при(виж Фиг. 32, а)се наричат ​​определени интеграли на формата

При определяне на аксиалните моменти на инерция в някои случаи е необходимо да се срещне с друга нова геометрична характеристика на сечението - центробежният момент на инерция.

Центробежен момент на инерциясечения спрямо две взаимно перпендикулярни оси x y(виж Фиг. 32, а)

Полярен момент на инерцияраздели спрямо произхода ОТНОСНО(виж Фиг. 32, а)се нарича определен интеграл от формата

Където Р- разстояние от началото до елементарното място dA.

Аксиалните и полярните моменти на инерция винаги са положителни, а центробежният момент, в зависимост от избора на оси, може да бъде положителен, отрицателен или равен на нула. Единиците за обозначаване на инерционните моменти са cm 4, mm 4.

Съществува следната връзка между полярните и аксиалните моменти на инерция:

Съгласно формула (41) сумата от аксиалните инерционни моменти около две взаимно перпендикулярни оси е равна на полярния инерционен момент около пресечната точка на тези оси (начало).

Инерционни моменти на сечения спрямо успоредни оси, едната от които е централна (x s,yc)>се определят от изразите:

Където и Ив-координати на центъра на тежестта C на сечението (фиг. 34).

Формули (42), които имат голямо практическо приложение, гласят следното: инерционният момент на сечение спрямо всяка ос е равен на инерционния момент около ос, успоредна на нея и минаваща през центъра на тежестта на сечението, плюс произведението на площта на напречното сечение и квадрата на разстоянието между осите.

Забележка: координати a и cтрябва да бъдат заменени в горните формули (42), като се вземат предвид техните знаци.

Ориз. 34.

От формули (42) следва, че от всички инерционни моменти около успоредни оси най-малкият момент ще бъде около оста, минаваща през центъра на тежестта на сечението, т.е. централният инерционен момент.

Формулите за определяне на якостта и твърдостта на конструкцията включват моменти на инерция, които се изчисляват спрямо осите, които са не само централни, но и главни. За да се определи кои оси, минаващи през центъра на тежестта, са основните, трябва да можете да определите инерционните моменти спрямо осите, завъртяни една спрямо друга под определен ъгъл.

Връзките между инерционните моменти при въртене на координатните оси (фиг. 35) имат следната форма:

Където А- ъгъл на завъртане на оста ИИ vспрямо осите кънасъответно. Разглежда се ъгъл a положителен, ако въртенето на осите Ии ти се случва обратно на часовниковата стрелка.

Ориз. 35.

Сумата от аксиалните моменти на инерция спрямо всички взаимно перпендикулярни оси не се променя, когато се въртят:

Когато осите се въртят около началото на координатите, центробежният инерционен момент се променя непрекъснато, следователно при определено положение на осите става равно на нула.

Две взаимно перпендикулярни оси, около които центробежният инерционен момент на сечението е равен на нула, се наричат главни инерционни оси.

Посоката на главните инерционни оси може да се определи, както следва:

Две ъглови стойности, получени от формула (43) Асе различават една от друга на 90° и дават позицията на главните оси. Както виждаме, по-малкият от тези ъгли по абсолютна стойност не надвишава л/4.По-нататък ще използваме само по-малкия ъгъл. Главната ос, начертана под този ъгъл, ще бъде обозначена с буквата И.На фиг. 36 показва някои примери за обозначаване на главните оси в съответствие с това правило. Началните оси са обозначени с букви хей да

Ориз. 36.

При проблеми с огъване е важно да се знаят аксиалните моменти на инерция на сеченията спрямо онези главни оси, които минават през центъра на тежестта на сечението.

Главните оси, минаващи през центъра на тежестта на сечението, се наричат главни централни оси.По-нататък, като правило, за краткост ще наричаме тези оси просто главни оси, като се пропуска думата „централен“.

Оста на симетрия на плоска секция е главната централна ос на инерция на тази секция, втората ос е перпендикулярна на нея. С други думи, оста на симетрия и всяка друга, перпендикулярна на нея, образуват система от главни оси.

Ако плосък участък има поне две оси на симетрия, които не са перпендикулярни една на друга, тогава всички оси, минаващи през центъра на тежестта на такъв участък, са неговите главни централни оси на инерция. И така, на фиг. Фигура 37 показва някои видове сечения (кръг, пръстен, квадрат, правилен шестоъгълник и т.н.), които имат следното свойство: всяка ос, минаваща през техния център на тежест, е главна.

Ориз. 37.

Трябва да се отбележи, че нецентралните главни оси не представляват интерес за нас.

В теорията на огъването най-голямо значение имат инерционните моменти относно главните централни оси.

Основните централни моменти на инерцияили основни инерционни моментисе наричат ​​инерционни моменти спрямо главните централни оси. Освен това, по отношение на една от главните оси, инерционният момент максимум, относително различен - минимален:

Аксиалните инерционни моменти на сеченията, показани на фиг. 37, изчислени спрямо главните централни оси, са равни една на друга: Джи,Тогава: J u = J x cos 2 a +J y sin a = Jx.

Инерционните моменти на сложно сечение са равни на сумата от инерционните моменти на неговите части. Следователно, за да определим моментите на инерция на сложен участък, можем да напишем:

където eJ xi , J y „ J xiyi са инерционните моменти на отделните части на сечението.

NB: ако секцията има дупка, тогава е удобно да се счита за секция с отрицателна площ.

За извършване на якостни изчисления в бъдеще ще въведем нова геометрична характеристика на якостта на греда, подложена на право огъване. Тази геометрична характеристика се нарича аксиален момент на съпротивление или момент на съпротивление при огъване.

Съотношението на инерционния момент на сечение спрямо оста към разстоянието от тази ос до най-отдалечената точка на сечението се нарича аксиален момент на съпротивление:

Моментът на съпротивление има размери mm 3, cm 3.

Моментите на инерция и моментите на съпротивление на най-често срещаните прости секции се определят по формулите, дадени в табл. 3.

За валцовани стоманени греди (I-образни греди, канали, ъглови греди и др.) Моментите на инерция и моментите на съпротивление са дадени в таблици с асортименти от валцована стомана, където в допълнение към размерите, площите на напречното сечение, позициите на центровете на са дадени гравитационни и други характеристики.

В заключение, нека представим концепцията радиус на въртенесечения спрямо координатните оси хИ при - i xИ аз гсъответно, които се определят по следните формули.

Главни оси -това са осите, около които аксиалните моменти на инерция приемат екстремни стойности: минимум и максимум.

Главните централни инерционни моменти се изчисляват спрямо главните оси, минаващи през центъра на тежестта.

Примери за решаване на проблеми

Пример 1Определете големината на аксиалните моменти на инерция на плоска фигура спрямо осите оИ OU(фиг. 25.5).

Решение

1. Определете аксиалния инерционен момент спрямо оста оИзползваме формули за основните централни точки. Нека си представим инерционния момент на сечението като разликата между инерционните моменти на кръг и правоъгълник.

За кръг

За правоъгълник

За правоъгълник, оста оне минава през централното парно. Инерционен момент на правоъгълник спрямо ос О:

където A е площта на напречното сечение; a - разстояние между осите оИ ох ох.

Инерционен момент на сечението

Пример 2.Намерете главния централен инерционен момент на сечението около оста о(фиг. 25.6).

Решение

1. Секцията е съставена от стандартни профили, чиито основни централни моменти на инерция са дадени в таблиците на GOST, вижте Приложение 1. За I-лъч № 14 съгласно GOST 8239-89 Джокс 1 = 572 cm 4.

За канал № 16 съгласно GOST 8240-89 Джокс 2 = 757 см 4.

Площ A 2 = 18,1 cm 2, Jo y 2 = 63,3 см 4.

2. Определете координатата на центъра на тежестта на канала спрямо оста оВ даден участък каналът се завърта и повдига. В този случай основните централни оси са разменени.

y 2 = (h 1 /2) + d2-zo 2,според GOST намираме h 1 = 14 см; d2= 5 mm; z o = 1,8 см.

Инерционният момент на сечението е равен на сумата от инерционните моменти на каналите и I-лъча спрямо оста оИзползваме формулата за инерционни моменти относно успоредни оси:

В такъв случай

Пример 3.За дадено сечение (фиг. 2.45) изчислете основните централни моменти на инерция.

Решение

Разрезът има две оси на симетрия, които са главните му централни оси.

Разделяме секцията на две прости форми: правоъгълник ( аз) и два кръга (II).

Инерционният момент на сечението спрямо оста х

ос х(централната ос на сечението) не е централната ос на окръжността. Следователно инерционният момент на кръга трябва да се изчисли по формулата

Заместващи стойности J x '' , a, F" във формулата, получаваме

ос прие в центъра на правоъгълника и кръговете. следователно

Пример 4За дадено сечение (фиг. 2.46) определете положението на главните централни оси и изчислете основните централни инерционни моменти.

Решение

Центърът на тежестта лежи на оста Oy, тъй като тя е оста на симетрия на сечението. Разделяне на секцията на два правоъгълника аз(160 x 100) и II(140 x 80) и избиране на спомагателната ос и определяне на координатата на центъра на тежестта v 0според формулата

Оси оИ OU- главни централни оси на сечението ( OU- ос на симетрия, ос оминава през центъра на тежестта на сечението и е перпендикулярна на OU).

Да изчислим основните инерционни моменти на сечението J xИ J y:

Оста Oy е централната ос за правоъгълници 1 И 11. следователно

За да проверите правилността на решението, можете да разделите участъка на правоъгълници по друг начин и да извършите изчислението отново. Съвпадението на резултатите ще потвърди тяхната коректност.

Пример 5Изчислете основните централни инерционни моменти на сечението (фиг. 2.47).

Решение

Разрезът има две оси на симетрия, които са главните му централни оси.

Разделяме участъка на два правоъгълника с b * h = 140 х 8 и два ролкови канала. За канал № 16 от таблицата GOST 8240 – 72 имаме J X 1 = J x = 747 cm 4; J y 1 = 63,3 cm 9. F1= 18,1 cm 2, z 0= 1,8 см.

Нека изчислим J x и J y:

Пример 6Определете положението на главните централни оси и изчислете основните централни инерционни моменти на дадено сечение (фиг. 2.48).

Решение

Разделяме дадения участък на валцувани профили: канал ази две I-лъчи II.Ние вземаме геометричните характеристики на канала и I-лъча от таблиците на валцована стомана GOST 8240-72 и GOST 8239 - 72.

За канал №20 J Xl = 113 см 4 (в таблицата J y); Джи 1 = 1520 cm 4 (в таблицата J x); F1= 23,4 cm 2; Ж 0 = 2,07 см.

За I-лъч № 18 J x 2= 1330 cm 4 (в таблицата J x); Jy 2 = 94,6 cm4 (в таблица J y); F 2 = 23,8 см 2.

Една от основните оси е оста на симетрия OU, друга главна ос оминава през центъра на тежестта на сечението перпендикулярно на първото.

Избор на спомагателна ос Ии определяне на координатата v 0:

Където v 1= 180 + 20,7 = 200,7 mm и v 2= 180/2 = 90 мм. Ние изчисляваме J xИ Дж y:

Контролни въпроси и задачи

1. Диаметърът на твърдия вал е удвоен. Колко пъти ще се увеличат аксиалните инерционни моменти?

2. Осовите моменти на сечението са равни, респ J x = 2,5 mm 4 и J y = 6,5 мм. Определете полярния момент на сечението.

3. Аксиален инерционен момент на пръстена спрямо оста О, J x = 4 см 4. Определете стойността Jp.

4. В какъв случай J xнай-малък (фиг. 25.7)?

5. Коя от следните формули за определяне J xподходящ за секцията, показана на фиг. 25,8?

6. Инерционен момент на канал № 10 спрямо главната централна ос JXQ= 174cm 4 ; площ на напречното сечение 10,9 cm 2 .

Определете аксиалния инерционен момент около оста, минаваща през основата на канала (фиг. 25.9).

7. Сравнете полярните моменти на инерция на две сечения с почти еднакви площи (фиг. 25.10).

8. Сравнете аксиалните моменти на инерция спрямо оста оправоъгълник и квадрат с еднакви площи (фиг. 25.11).

Главни инерционни оси и главни инерционни моменти.

При промяна на ъгъла се променят величините Ix1, Iy1 и Ix1y1. Нека намерим стойността на ъгъла, при който Ix1 и Iy1 имат екстремни стойности; за да направите това, вземете първата производна на Ix1 или Iy1 по отношение на и я изравнете на нула: или от където (1.28)

Тази формула определя положението на две оси, спрямо едната от които аксиалният инерционен момент е максимален, а спрямо другата - минимален.

Такива оси се наричат ​​главни оси. Инерционните моменти около главните оси се наричат ​​главни инерционни моменти.

Ние намираме стойностите на основните инерционни моменти от формули (1.23) и (1.24), замествайки ги от формула (1.28), и използваме добре познатите тригонометрични формули за функции на двойни ъгли.

След трансформациите получаваме следната формула за определяне на основните инерционни моменти: (1.29)

Чрез изследване на втората производна можем да установим, че за този случай (Ix< Iy) максимальный момент инерции Imax имеет место относительно главной оси, повернутой на угол по отношению к оси х, а минимальный момент инерции - относительно другой, перпендикулярной оси. В большинстве случаев в этом исследовании нет надобности, так как по конфигурации сечений видно, какая из главных осей соответствует максимуму момента инерции.

Главните оси, преминаващи през центъра на тежестта на сечението, се наричат ​​главни централни оси.

В много случаи е възможно незабавно да се определи позицията на главните централни оси. Ако една фигура има ос на симетрия, тогава тя е една от главните централни оси, като втората минава през центъра на тежестта на сечението, перпендикулярно на първата. Горното следва от факта, че по отношение на оста на симетрия и всяка ос, перпендикулярна на нея, центробежният инерционен момент е равен на нула.

Ако двата основни централни момента на инерция на сечение са равни един на друг, тогава за това сечение всяка централна ос е главна и всички главни централни моменти на инерция са еднакви (кръг, квадрат, шестоъгълник, равностранен шестоъгълник) .

9. Основни геометрични характеристики на сечения

Тук: ° С- център на тежестта на плоски участъци;

А- площ на напречното сечение;

аз х , аз г- аксиални инерционни моменти на сечението спрямо главните оси;

аз xI , аз yI- аксиални инерционни моменти спрямо спомагателните оси;

аз стр- полярен инерционен момент на сечението;

У х ,W г- аксиални моменти на съпротивление;

У стр- полярен момент на съпротивление

Правоъгълно сечение

Сечение на равнобедрен триъгълник

10. Основните видове сили, действащи върху тялото. Силов момент около центъра. Свойства на момента на силите.

Когато се разглеждат механичните проблеми, повечето сили, действащи върху телата, могат да бъдат класифицирани в три основни типа:

Силата на всемирното притегляне;

Сила на триене;

Еластична сила.

Всички тела около нас се привличат към Земята, това се дължи на действието на силите на всемирната гравитация. Ако пренебрегнем съпротивлението на въздуха, тогава вече знаем, че всички тела падат на Земята с едно и също ускорение - ускорението на гравитацията.

Като всеки обект, тялото, окачено на пружина, се стреми да падне поради гравитацията на Земята, но когато пружината се разтегне до определена дължина, тялото спира, тоест идва в състояние на механично равновесие. Вече знаем, че механичното равновесие възниква, когато сумата от силите, действащи върху тялото, е нула. Това означава, че силата на гравитацията, действаща върху товара, трябва да се балансира с известна сила, упражнявана от пружината. Тази сила, насочена срещу гравитацията и действаща от пружината, се нарича еластична сила.

След като измине определено разстояние, тялото спира, скоростта на тялото намалява от първоначалната стойност до нула, тоест ускорението на тялото е отрицателна стойност. Следователно върху тялото действа сила от повърхността, която се стреми да спре това тяло, т.е. действа срещу неговата скорост. Тази сила се нарича сила на триене.

Силов момент спрямо центъра (точка).

Силов момент Еспрямо центъра (точка) ОТНОСНОнаречен вектор м о (F)равен векторен продуктвекторен радиус rизвършва се от центъра ОТНОСНОточно Априлагане на сила към вектора на силата Е:

където рамото h е перпендикуляр, пуснат от центъра ОТНОСНОкъм линията на действие на сила F.

Момент м о (F)характеризира ротационния ефект на силата F спрямо центъра (точката) ОТНОСНО.

Свойства на момент на сила:

1. Силов момент спрямо центъра не се променяпри прехвърляне на сила по линията на своето действиедо всяка точка;

2. Ако линия на действиесилата минава през центъра ОТНОСНО(h = 0), тогава моментът на сила спрямо центъра ОТНОСНО равно на нула.

Осите, около които центробежният инерционен момент е нула, се наричат ​​главни, а инерционните моменти около тези оси се наричат ​​главни инерционни моменти.

Нека пренапишем формулата (2.18), като вземем предвид известните тригонометрични отношения:

;

в тази форма

За да определим положението на главните централни оси, диференцираме равенството (2.21) по отношение на ъгъла α веднъж и получаваме

При определена стойност на ъгъла α=α 0, центробежният инерционен момент може да се окаже нула. Следователно, като се вземе предвид производната ( V), аксиалният момент на инерция ще приеме екстремна стойност. Приравняване

,

получаваме формула за определяне на позицията на главните оси на инерция във формата:

(2.22)

Във формула (2.21) поставяме cos2 извън скоби α 0 и заместете стойността (2.22) там и, като вземете предвид известната тригонометрична зависимост получаваме:

След опростяване най-накрая получаваме формулата за определяне на стойностите на основните моменти на инерция:

(2.23)

Формула (20.1) се използва за определяне на инерционните моменти спрямо главните оси. Формула (2.22) не дава директен отговор на въпроса: около коя ос инерционният момент ще бъде максимален или минимален. По аналогия с теорията за изследване на равнинното напрегнато състояние, представяме по-удобни формули за определяне на положението на главните инерционни оси:

(2.24)

Тук α 1 и α 2 определят положението на осите, около които инерционните моменти са съответно равни Дж 1 и Дж 2. Трябва да се има предвид, че сумата от ъгловите модули α 01 и α 02 трябва да е равно на π/2:

Условието (2.24) е условието за ортогоналност на главните инерционни оси на плоско сечение.

Трябва да се отбележи, че когато се използват формули (2.22) и (2.24) за определяне на положението на главните оси на инерция, трябва да се спазва следният модел:

Главната ос, спрямо която инерционният момент е максимален, сключва най-малкия ъгъл с първоначалната ос, спрямо която инерционният момент е по-голям.

Пример 2.2.

Определете геометричните характеристики на плоски секции от дървен материал спрямо главните централни оси:

Решение

Предложеното сечение е асиметрично. Следователно положението на централните оси ще се определя от две координати, главните централни оси ще бъдат завъртяни спрямо централните оси на определен ъгъл. Това води до алгоритъм за решаване на задачата за определяне на основните геометрични характеристики.

1. Разделяме сечението на два правоъгълника със следните области и инерционни моменти спрямо собствените им централни оси:

F1 =12 cm2, F2 =18 cm2;

2. Дефинираме система от спомагателни оси х 0 при 0 започвайки от точка А. Координатите на центровете на тежестта на правоъгълниците в тази система от оси са както следва:

х 1 =4 cm; х 2 =1 cm; при 1 =1,5 cm; при 2 =4,5 см.

3. Определете координатите на центъра на тежестта на секцията, като използвате формули (2.4):

Начертаваме централните оси (в червено на фиг. 2.9).

4. Изчислете аксиалните и центробежните моменти на инерция спрямо централните оси хс и при c по формули (2.13) по отношение на съставното сечение:

5. Намерете основните моменти на инерция, като използвате формула (2.23)

6. Определете положението на главните централни инерционни оси хИ припо формула (2.24):

Главните централни оси са показани на (фиг. 2.9) в синьо.

7. Да проверим извършените изчисления. За да направим това, ще извършим следните изчисления:

Сумата от аксиалните инерционни моменти спрямо главната централна и централната ос трябва да бъде еднаква:

Сума от ъглови модули α хи α y,, определящ позицията на главните централни оси:

Освен това е изпълнена разпоредбата, че основната централна ос х, за които инерционният момент J xима максимална стойност, сключва по-малък ъгъл с централната ос, спрямо която инерционният момент е по-голям, т.е. с ос хс.