Нека на равнината  са дадени декартова правоъгълна координатна система Oxy и някаква права L.

Определение. Уравнението F(x;y)=0 (1)Наречен уравнение на праватаЛ(спрямо дадена координатна система), ако това уравнение е изпълнено от координатите x и y на която и да е точка, лежаща на правата L, а не от координатите x и y на всяка точка, която не лежи на правата L.

Че. линия на равнинае геометричното място на точки (M(x;y)), чиито координати отговарят на уравнение (1).

Уравнение (1) определя линията L.

Пример. Уравнение на окръжност.

кръг– набор от точки, равноотдалечени от дадена точка M 0 (x 0,y 0).

Точка M 0 (x 0,y 0) – център на кръга.

За всяка точка M(x;y), разположена върху окръжността, разстоянието MM 0 =R (R=const)

ММ 0 ==Р

(х-х 0 ) 2 +(ооо 0 ) 2 =Р 2 –(2) – уравнение на окръжност с радиус R с център в точка M 0 (x 0,y 0).

Параметрично уравнение на права.

Нека координатите x и y на точки на правата L бъдат изразени с помощта на параметъра t:

(3) – параметрично уравнение на правата в DSC

където функциите (t) и (t) са непрекъснати по отношение на параметъра t (в определен диапазон на изменение на този параметър).

Като изключим параметъра t от уравнение (3), получаваме уравнение (1).

Нека разгледаме правата L като пътя, изминат от материална точка, непрекъснато движеща се по определен закон. Нека променливата t представлява време, отброено от някакъв начален момент. Тогава спецификацията на закона за движение представлява спецификацията на координатите x и y на движещата се точка като някои непрекъснати функции x=(t) и y=(t) от времето t.

Пример. Нека изведем параметрично уравнение за окръжност с радиус r>0 с център в началото. Нека M(x,y) е произволна точка от тази окръжност и t е ъгълът между радиус вектора и оста Ox, броен обратно на часовниковата стрелка.

Тогава x=r cos x y=r sin t. (4)

Уравнения (4) са параметрични уравнения на разглежданата окръжност. Параметърът t може да приема всякаква стойност, но за да може точката M(x, y) да обиколи окръжността веднъж, областта на промяна на параметъра е ограничена до полусегмента 0t2.

Чрез повдигане на квадрат и събиране на уравнения (4) получаваме общото уравнение на окръжност (2).

2. Полярна координатна система (psc).

Нека изберем оста L ( полярна ос) и определете точката на тази ос O ( полюс). Всяка точка от равнината се определя еднозначно от полярните координати ρ и φ, където

ρ – полярен радиус, равно на разстоянието от точка M до полюс O (ρ≥0);

φ – ъгълмежду посоката на вектора ОМи L ос ( полярен ъгъл). М(ρ ; φ )

Уравнение на линията в UCSможе да се напише:

ρ=f(φ) (5) явно линейно уравнение в PCS

F=(ρ; φ) (6) имплицитно линейно уравнение в PCS

Връзка между декартови и полярни координати на точка.

(x;y) (ρ ; φ ) От триъгълник OMA:

tan φ=(възстановяване на ъгълаφ според известнотополучава се допирателнакато се вземе предвид в кой квадрант се намира точка М).(ρ ; φ )(x;y). x=ρcosφ,y=ρsinφ

Пример . Намерете полярните координати на точките M(3;4) и P(1;-1).

За M:=5, φ=arctg (4/3). За P: ρ=; φ=Π+arctg(-1)=3Π/4.

Класификация на плоските линии.

Определение 1.Линията се нарича алгебричен,ако в някаква декартова правоъгълна координатна система, ако е дефинирана от уравнението F(x;y)=0 (1), в което функцията F(x;y) е алгебричен полином.

Определение 2.Всяка неалгебрична линия се нарича трансцендентален.

Определение 3. Алгебричната линия се нарича линия на редан, ако в някаква декартова правоъгълна координатна система тази права се определя от уравнение (1), в което функцията F(x;y) е алгебричен полином от n-та степен.

По този начин линия от n-ти ред е линия, дефинирана в някаква декартова правоъгълна система от алгебрично уравнение от степен n с две неизвестни.

Следващата теорема допринася за установяване на коректността на определения 1,2,3.

Теорема(документ на стр. 107). Ако права в някаква декартова правоъгълна координатна система се определя от алгебрично уравнение от степен n, тогава тази линия във всяка друга декартова правоъгълна координатна система се определя от алгебрично уравнение от същата степен n.

Уравнение на права като геометрично място на точки. Различни видове уравнения с права линия. Изследване на общото уравнение на правата. Построяване на линия с нейното уравнение

Уравнение на линиятанаречено уравнение с променливи хИ г, което се удовлетворява от координатите на всяка точка от тази права и само от тях.

Променливи, включени в уравнението на линията хИ гсе наричат ​​текущи координати, а литералните константи се наричат ​​параметри.

За да създадете уравнение на права като геометрично място на точки, които имат едно и също свойство, трябва:

1) вземете произволна (текуща) точка М(х, г) линии;
2) запишете равенството на общото свойство на всички точки Млинии;
3) изразете сегментите (и ъглите), включени в това равенство, чрез текущите координати на точката М(х, г) и чрез данните в задачата.

В правоъгълни координати уравнението на права линия в равнина се определя в една от следните форми:

1. Уравнение на права с наклон

г = kx + b, (1)

Където к- ъгловият коефициент на правата линия, т.е. тангенса на ъгъла, който правата линия образува с положителната посока на оста вол, и този ъгъл се измерва от оста волдо права линия обратно на часовниковата стрелка, b- размерът на сегмента, отрязан от права линия по ординатната ос. При b= 0 уравнение (1) има формата г = kxи съответната права минава през началото.

Уравнение (1) може да се използва за определяне на всяка права линия в равнината, която не е перпендикулярна на оста вол.

Уравнение на права линия с наклон, разрешен спрямо текущата координата г.

2. Общо уравнение на права

брадва + от + ° С = 0. (2)

Специални случаи на общото уравнение на права линия.

1. Уравнение на права върху равнина

Както знаете, всяка точка от равнината се определя от две координати в някаква координатна система. Координатните системи могат да бъдат различни в зависимост от избора на основа и произход.

Определение. Уравнението на правата е връзката y = f (x) между координатите на точките, които образуват тази права.

Обърнете внимание, че уравнението на права може да бъде изразено параметрично, т.е. всяка координата на всяка точка се изразява чрез някакъв независим параметър t. Типичен пример е траекторията на движеща се точка. В този случай ролята на параметър се играе от времето.

2. Уравнение на права върху равнина

Определение. Всяка права линия в равнината може да бъде зададена чрез уравнение от първи ред Ax + By + C = 0, като константите A, B не са равни на нула едновременно, т.е.

A 2 + B 2 ≠ 0. Това уравнение от първи ред се нарича общо уравнение на правата.

IN В зависимост от стойностите на константите A, B и C са възможни следните специални случаи:

– през началото на координатите минава права линия

C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0( By + C = 0) - права линия, успоредна на оста Ox

B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0( Ax + C = 0) – права линия, успоредна на оста Oy

B = C = 0, A ≠ 0 – правата линия съвпада с оста Oy

A = C = 0, B ≠ 0 – правата линия съвпада с оста Ox

Уравнението на права линия може да бъде представено в различни форми в зависимост от дадени начални условия.

3. Уравнение на права линия спрямо точка и нормален вектор

Определение. В декартова правоъгълна координатна система вектор с компоненти (A, B) е перпендикулярен на правата, дадена от уравнението

Ax + By + C = 0.

Пример. Намерете уравнението на правата, минаваща през точката A(1,2) перпендикулярно на вектора n (3, − 1).

Съставете за A=3 и B=-1 уравнението на права линия: 3x − y + C = 0 . За да намерите коефициента

Нека заместим в получения израз координатите на дадената точка A. Получаваме: 3 − 2 + C = 0, следователно C = -1.

Общо: желаното уравнение: 3x - y - 1 = 0.

4. Уравнение на права, минаваща през две точки

Нека две точки M1 (x1, y1, z1) и M2 (x2, y2, z2) са дадени в пространството, тогава уравнението на правата линия е

преминавайки през тези точки:	x−x1				y−y1				z − z1
			− x				− y				− z

Ако някой от знаменателите е нула, съответният числител трябва да бъде равен на нула.

На равнината уравнението на правата линия, написано по-горе, е опростено: y − y 1 = y 2 − y 1 (x − x 1 ), ако x 2 − x 1

x 1 ≠ x 2 и x = x 1, ако x 1 = x 2 .

Дробта y 2 − y 1 = k се нарича наклон на правата. x 2 − x 1

5. Уравнение на права линия с помощта на точка и наклон

Ако общото уравнение на правата Ax + By + C = 0 се редуцира до формата:

се нарича уравнение на права линия с наклон k.

6. Уравнение на права от точка и насочващ вектор

По аналогия с точката, разглеждаща уравнението на права линия през нормален вектор, можете да въведете дефиницията на права линия през точка и насочващия вектор на правата линия.

Определение. Всеки ненулев вектор a (α 1 ,α 2 ), чиито компоненти удовлетворяват условието A α 1 + B α 2 = 0, се нарича насочващ вектор на правата.

Ax + By + C = 0 .

Пример. Намерете уравнението на права линия с насочващ вектор a (1,-1) и минаваща през точката A(1,2).

Ще потърсим уравнението на желаната права във формата: Ax + By + C = 0. В съответствие с дефиницията коефициентите трябва да отговарят на условията: 1A + (− 1) B = 0, т.е. А = Б. Тогава уравнението на правата има формата: Ax + Ay + C = 0, или x + y + C / A = 0. за x=1, y=2 получаваме C/A=-3, т.е. изисквано уравнение: x + y − 3 = 0

7. Уравнение на права в отсечки

Ако в общото уравнение на правата Ax + By + C = 0, C ≠ 0, тогава, разделяйки на –C,

получаваме: −

x−

y = 1 или

1, където a = −

b = −

Геометричният смисъл на коефициентите е, че коефициентът a е координатата на пресечната точка на правата с оста Ox, а b е координатата на пресечната точка на правата с оста Oy.

8. Нормално уравнение на права

се нарича нормализиращ фактор, тогава получаваме x cosϕ + y sinϕ − p = 0 – нормалното уравнение на правата.

Знакът ± на нормализиращия фактор трябва да бъде избран така, че μ C< 0 .

p е дължината на перпендикуляра, пуснат от началото до правата линия, а ϕ е ъгълът, образуван от този перпендикуляр с положителната посока на оста Ox

9. Ъгъл между прави в равнина

Определение. Ако са дадени две прави y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, тогава острият ъгъл между

Две прави са успоредни, ако k 1 = k 2. Две прави са перпендикулярни, ако k 1 = − 1/ k 2 .

Уравнение на права, минаваща през дадена точка перпендикулярно на дадена права

Определение. Правата линия, минаваща през точката M1 (x1, y1) и перпендикулярна на правата линия y \u003d kx + b, е представена от уравнението:

y − y = −

(x − x)

10. Разстояние от точка до права

Ако е дадена точка M(x0, y0), тогава разстоянието до правата Ax + By + C = 0

се определя като d =

Ax0 + By0 + C

Пример. Определете ъгъла между правите: y = − 3x + 7, y = 2x + 1.

k = − 3, k

2 tan ϕ =

2 − (− 3)

1;ϕ = π / 4.

1− (− 3)2

Пример. Покажи,

че правите 3 x − 5 y + 7 = 0 и 10 x + 6 y − 3 = 0

перпендикулярен.

Намираме: k 1 = 3/ 5, k 2 = − 5 / 3, k 1 k 2 = − 1, следователно, правите са перпендикулярни.

Пример. Дадени са върховете на триъгълника A(0; 1), B (6; 5), C (1 2; - 1).

Намерете уравнението на височината, изтеглена от върха C.
Намерете уравнението на страната AB:	x − 0		y − 1					y − 1		; 4x = 6 y − 6
	6 − 0		5 − 1

2 x − 3 y + 3 = 0; y = 2 3 x + 1.

Търсеното уравнение на височината има формата: Ax + By + C = 0 или y = kx + bk = − 3 2 Тогава

y = − 3 2 x + b . защото височина минава през точка C, то нейните координати удовлетворяват това уравнение: − 1 = − 3 2 12 + b , откъдето b=17. Общо: y = − 3 2 x + 17.

Отговор: 3x + 2 y − 34 = 0.

Мишена:Разгледайте концепцията за линия в равнина, дайте примери. Въз основа на определението за линия, въведете понятието уравнение на права линия в равнина. Разгледайте видовете прави линии, дайте примери и методи за определяне на права линия. Да се ​​консолидира способността за превод на уравнението на права линия от обща форма в уравнение на права линия „в сегменти“, с наклон.

1. Уравнение на права на равнина.
2. Уравнение на права на равнина. Видове уравнения.
3. Методи за уточняване на права линия.

1. Нека x и y са две произволни променливи.

Определение: Извиква се връзка от вида F(x,y)=0 уравнение , ако не е вярно за никакви двойки числа x и y.

Пример: 2x + 7y – 1 = 0, x 2 + y 2 – 25 = 0.

Ако равенството F(x,y)=0 е в сила за всеки x, y, тогава, следователно, F(x,y) = 0 е идентичност.

Пример: (x + y) 2 - x 2 - 2xy - y 2 = 0

Казват, че числата x са 0 и y са 0 удовлетворяват уравнението , ако при заместването им в това уравнение то се превръща в истинско равенство.

Най-важната концепция на аналитичната геометрия е концепцията за уравнението на правата.

Определение: Уравнението на дадена права е уравнението F(x,y)=0, което е изпълнено от координатите на всички точки, лежащи на тази права, и не е изпълнено от координатите на никоя от точките, които не лежат на тази права.

Правата, определена от уравнението y = f(x), се нарича графика на f(x). Променливите x и y се наричат ​​текущи координати, защото те са координатите на променлива точка.

някои примеридефиниции на линии.

1) x – y = 0 => x = y. Това уравнение определя права линия:

2) x 2 - y 2 = 0 => (x-y)(x+y) = 0 => точките трябва да удовлетворяват или уравнението x - y = 0, или уравнението x + y = 0, което съответства на равнината на двойка пресичащи се прави линии, които са ъглополовящи на координатни ъгли:

3) x 2 + y 2 = 0. Това уравнение се изпълнява само от една точка O(0,0).

2. определение: Всяка права линия в равнината може да бъде определена чрез уравнение от първи ред

Ax + Wu + C = 0,

Освен това константите A и B не са равни на нула едновременно, т.е. A 2 + B 2 ¹ 0. Това уравнение от първи ред се нарича общо уравнение на права линия.

В зависимост от стойностите на константите A, B и C са възможни следните специални случаи:

C = 0, A ¹ 0, B ¹ 0 – правата минава през началото

A = 0, B ¹ 0, C ¹ 0 (By + C = 0) - права линия, успоредна на оста Ox

B = 0, A ¹ 0, C ¹ 0 (Ax + C = 0) – права линия, успоредна на оста Oy

B = C = 0, A ¹ 0 – правата съвпада с оста Oy

A = C = 0, B ¹ 0 – правата съвпада с оста Ox

Уравнението на права линия може да бъде представено в различни форми в зависимост от дадени начални условия.

Уравнение на права с ъглов коефициент.

Ако общото уравнение на правата Ax + By + C = 0 се редуцира до формата:

и означаваме , тогава полученото уравнение се нарича уравнение на права линия с наклон k.

Уравнение на права линия в отсечки.

Ако в общото уравнение на правата Ах + Ву + С = 0 С ¹ 0, тогава, разделяйки на –С, получаваме: или , където

Геометричният смисъл на коефициентите е, че коефициентът Ае координатата на пресечната точка на правата с оста Ox, и b– координатата на пресечната точка на правата с оста Oy.

Нормално уравнение на права.

Ако двете страни на уравнението Ax + By + C = 0 се разделят на число, наречено нормализиращ фактор, тогава получаваме

xcosj + ysinj - p = 0 – нормално уравнение на права линия.

Знакът ± на нормиращия фактор трябва да бъде избран така, че m×С< 0.

p е дължината на перпендикуляра, пуснат от началото до правата линия, а j е ъгълът, образуван от този перпендикуляр с положителната посока на оста Ox.

3. Уравнение на права линия с помощта на точка и наклон.

Нека ъгловият коефициент на правата е равен на k, правата минава през точката M(x 0, y 0). Тогава уравнението на правата се намира по формулата: y – y 0 = k(x – x 0)

Уравнение на права, минаваща през две точки.

Нека две точки M 1 (x 1, y 1, z 1) и M 2 (x 2, y 2, z 2) са дадени в пространството, тогава уравнението на права линия, минаваща през тези точки:

Ако някой от знаменателите е равен на нула, съответният числител трябва да бъде равен на нула.

На равнината уравнението на правата линия, написано по-горе, е опростено:

ако x 1 ¹ x 2 и x = x 1, ако x 1 = x 2.

Дробта = k се нарича наклонправ.

Изтеглете от Depositfiles

АНАЛИТИЧНА ГЕОМЕТРИЯ

Лекция № 7. Тема 1 : Прави в равнина и техните уравнения

1.1. Правите и техните уравнения в декартовата координатна система

В аналитичната геометрия, линиите в равнина се разглеждат като геометрично място на точки (g.m.t), които имат едно и също свойство, общо за всички точки на линията.

Определение. Уравнение на линията
е уравнение с две променливихИ при, което е изпълнено от координатите на която и да е точка от правата и не е изпълнено от координатите на друга точка, която не лежи на тази права.

Обратното също е вярно, т.е. всяко уравнениепри

форма, най-общо казано, в декартов

координатна система (DSC) определя линията

като g.m.t., чиито координати удовлетворяват

това уравнение.ОТНОСНО х

Бележка 1. Не всяко уравнение на формата дефинира линия. Например за уравнението
няма точки, чиито координати биха удовлетворили това уравнение. Няма да разглеждаме повече такива случаи.Това е случаят с така наречените въображаеми линии.

П пример 1.Напишете уравнение за окръжност с радиусР центриран в точка
.

За всяка точка лъжаприМ

на кръг, по дефиницияР

кръгове като g.m.t., равноотдалечени

от точката , получаваме уравнениетох

1.2. Параметрични уравнения на прави

Има друг начин за дефиниране на права в равнина с помощта на уравнения, нареченипараметричен:

Пример 1. Линията е дадена с параметрични уравнения

Необходимо е да се получи уравнението на тази линия в DSC.

Нека изключим параметъраT . За да направим това, повдигаме на квадрат двете страни на тези уравнения и събираме

Пример 2. Линията е дадена с параметрични уравнения

А

Необходимо е да се получи уравнението

тази линия в ДСК. —а а

Нека направим същото, тогава ще получим

— А

Бележка 2. Трябва да се отбележи, че параметърътT в механиката е времето.

1.3. Уравнение на права в полярна координатна система

DSC не е единственият начин за определяне на позицията на точка и следователно за определяне на уравнението на линия. В самолет често е препоръчително да използвате така наречената полярна координатна система (PCS).

П CS ще бъде определена, ако посочите точка O – стълб и греда ИЛИ излизаща от тази точка, която се нарича полярна ос. Тогава позицията на всяка точка се определя от две числа: полярния радиус
и полярен ъгъл – ъгъл между

полярна ос и полярен радиус.

Положителна референтна посока

полярен ъгъл спрямо полярната ос

броено обратно на часовниковата стрелка.

За всички точки на равнината
, ИЛИ

а за еднозначност на полярния ъгъл се разглежда
.

Ако началото на DSC се комбинира с

полюс и оста O хизпрати до

полярна ос, лесно се проверявапри

във връзка между полярни и

Декартови координати:

ОТНОСНО хР

Обратно,

(1)

Ако уравнението на линия в DSC има формата , тогава в PSC - Тогава от това уравнение можем да получим уравнение във формата

Пример 3. Напишете уравнение за окръжност в UCS, ако центърът на окръжността е на полюса.

Използвайки формули за преход (1) от DSC към PSC, получаваме

П пример 4.Напишете уравнение за окръжност

ако полюсът е върху окръжността и полярната оспри

преминава през диаметъра.

Нека направим същото

О 2 Р х

Р

Това уравнение също може да се получи

от геометрични изображения (виж фиг.).

П пример 5.Начертайте линия

Да преминем към PSK. Уравнението

ще приеме формата
ОТНОСНО

Нека изградим линейна графика сА

като се вземе предвид нейната симетрия и ОДЗ

Характеристика:

Тази линия се наричаЛемниската на Бернули.

1.4. Трансформация на координатна система.

Уравнение на линията в нова координатна система

1. Паралелен трансфер на DSC.при

Помислете, че два DSC иматМ

същата посока на осите, но

различен произход.

В координатната системаОТНОСНО xyточка

спрямо системата
ОТНОСНО х

има координати
. Тогава имаме

И

В координатна форма полученото векторно равенство има формата

или
. (2)

Формули (2) са формули за преход от „старата“ координатна системаОТНОСНО xyкъм „новата” координатна система и обратно.

Пример 5 Получете уравнението на окръжност, като извършите паралелна транслация на координатната системакъм центъра на кръга.

И формули (2) предполагат
приЗА Навигация в публикации