Výpočet Mohrovho integrálu pomocou Vereščaginovho pravidla. Simpsonov vzorec na násobenie diagramov - Určenie posunov. Metóda O. Mohra v kombinácii so Simpsonovou metódou (vzorec) Násobenie diagramu sebou samým

Je zrejmé, že rôznorodosť aplikovaných zaťažení a geometrických návrhov konštrukcií vedie k rôznym, z hľadiska geometrie, znásobeným diagramom. Ak chcete implementovať Vereshchaginovo pravidlo, musíte poznať oblasti geometrických útvarov a súradnice ich ťažísk. Obrázok 29 ukazuje niektoré z hlavných možností, ktoré vznikajú pri praktických výpočtoch.

Na znásobenie diagramov zložitých tvarov je potrebné ich rozdeliť na jednoduché. Napríklad, ak chcete vynásobiť dva diagramy, ktoré vyzerajú ako lichobežník, musíte jeden z nich rozdeliť na trojuholník a obdĺžnik, vynásobiť plochu každého z nich súradnicou druhého diagramu, ktorý sa nachádza pod zodpovedajúcim stredom gravitácie a pridajte výsledky. To isté platí pre násobenie zakriveného lichobežníka ľubovoľným lineárnym diagramom.

Ak sa vyššie uvedené kroky uskutočnia vo všeobecnej forme, získame vzorce pre takéto zložité prípady, ktoré sú vhodné na použitie v praktických výpočtoch (obr. 30). Výsledok vynásobenia dvoch lichobežníkov (obr. 30, a):

Ryža. 29

Pomocou vzorca (2.21) môžete vynásobiť aj diagramy, ktoré majú tvar „skrútených“ lichobežníkov (obr. 30, b), ale v tomto prípade sa súčin ordinát umiestnených na opačných stranách osí diagramu berie do úvahy s a znamienko mínus.

Ak je jeden z vynásobených diagramov načrtnutý pozdĺž štvorcovej paraboly (čo zodpovedá zaťaženiu s rovnomerne rozloženým zaťažením), potom sa pre násobenie s druhým (nevyhnutne lineárnym) diagramom považuje za súčet (obr. 30, c) resp. rozdiel (obr. 30, d) lichobežníkových a parabolických diagramov. Výsledok násobenia v oboch prípadoch je určený vzorcom:

(2.22)

ale hodnota f je určená inak (obr. 30, c, d).

Ryža. tridsať

Môžu nastať prípady, keď žiadny z vynásobených diagramov nie je priamočiary, ale aspoň jeden z nich je ohraničený prerušovanými priamkami. Na znásobenie takýchto diagramov sú najskôr rozdelené do sekcií, v rámci ktorých je aspoň jeden diagram priamočiary.

Uvažujme o použití Vereshchaginovho pravidla na konkrétnych príkladoch.

Príklad 15. Určte priehyb v strede rozpätia a uhol natočenia ľavého nosného úseku nosníka zaťaženého rovnomerne rozloženým zaťažením (obr. 31, a) pomocou Vereshchaginovej metódy.

Postupnosť výpočtov pomocou Vereshchaginovej metódy je rovnaká ako v Mohrovej metóde, takže zvážime tri stavy lúča: náklad - pri pôsobení rozloženého zaťaženia q; zodpovedá diagramu M q (obr. 31, b), a dva jednotlivé stavy - pri pôsobení sily
aplikovaný v bode C (schéma
31, c) a moment
aplikovaný v bode B (schéma
31, d).

Vychýlenie lúča v strede rozpätia:

Podobný výsledok bol získaný skôr Mohrovou metódou (pozri príklad 13). Je potrebné venovať pozornosť skutočnosti, že násobenie diagramov sa vykonalo na polovicu lúča a potom sa v dôsledku symetrie výsledok zdvojnásobil. Ak sa plocha celého diagramu M q vynásobí ordinátou diagramu umiestnenou pod jeho ťažiskom
(
na obr. 31, c), potom bude veľkosť posunutia úplne odlišná a nesprávna od diagramu
obmedzené prerušovanou čiarou. Neprípustnosť takéhoto postupu už bola naznačená vyššie.

A pri výpočte uhla natočenia úseku v bode B môžete vynásobiť plochu diagramu M q súradnicou diagramu umiestnenou pod jeho ťažiskom
(
31, d), pretože diagram
ohraničené priamkou:

Tento výsledok sa tiež zhoduje s výsledkom získaným predtým Mohrovou metódou (pozri príklad 13).

Ryža. 31

Príklad 16. Určte horizontálne a vertikálne pohyby bodu A v rámci (obr. 32, a).

Rovnako ako v predchádzajúcom príklade, na vyriešenie problému je potrebné zvážiť tri stavy rámu: náklad a dva samostatné. Diagram momentov M F zodpovedajúcich prvému stavu je uvedený na obr. 32, b. Na výpočet horizontálneho posunu aplikujeme silu v bode A v smere požadovaného posunu (t.j. horizontálne)
a na výpočet vertikálnej posuvnej sily
aplikujte vertikálne (obr. 32, c, d). Zodpovedajúce diagramy
A
sú znázornené na obr. 32, d, f.

Horizontálny pohyb bodu A:

Pri výpočte
v reze AB je lichobežník (schéma M F) rozdelený na trojuholník a obdĺžnik, za ktorým je trojuholník z diagramu
"vynásobené" každým z týchto čísel. V reze BC je krivočiary lichobežník rozdelený na krivočiary trojuholník a obdĺžnik a na násobenie diagramov v reze SD sa používa vzorec (2.21).

Znamienko "-" získané počas výpočtu
, znamená, že bod A sa nepohybuje vodorovne doľava (v tomto smere pôsobí sila
), a doprava.

Tu znak "-" znamená, že bod A sa pohybuje nadol, nie nahor.

Všimnite si, že diagramy jedného momentu sú vytvorené zo sily
, majú rozmer dĺžky a jednotkové diagramy momentov zostrojené od okamihu
, sú bezrozmerné.

Príklad 17. Určte vertikálny posun bodu A rovinno-priestorového systému (obr. 33, a).

Obr.23

Ako je známe (pozri kapitolu 1), v prierezoch tyčí rovinno-priestorového systému vznikajú tri vnútorné silové faktory: priečna sila Q y, ohybový moment M x a krútiaci moment M cr. Keďže vplyv priečnej sily na veľkosť posunu je nevýznamný (pozri príklad 14, obr. 27), pri výpočte posunu Mohrovou a Vereščaginovou metódou zostanú len dva zo šiestich členov.

Na vyriešenie úlohy zostrojíme diagramy ohybových momentov M x, q a momentov momentov M cr, q z vonkajšieho zaťaženia (obr. 33, b) a následne v bode A aplikujeme silu
v smere požadovaného pohybu, t.j. vertikálne (obr. 33, c) a zostrojte jednotlivé diagramy ohybových momentov
a krútiaci moment
(Obr. 33, d). Šípky na diagramoch krútiaceho momentu znázorňujú smery krútenia zodpovedajúcich častí systému rovinného priestoru.

Vertikálny pohyb bodu A:

Pri násobení diagramov krútiaceho momentu sa súčin berie so znamienkom „+“, ak sú šípky označujúce smer krútenia súsmerné, a inak so znamienkom „-“.

EE "BSUIR"

Katedra inžinierskej grafiky

„STANOVENIE VÝSUVOV METÓDOU MOR. VERESHCHAGINOVO PRAVIDLO"

MINSK, 2008

Uvažujme teraz o všeobecnej metóde na určenie posunov, vhodnej pre akýkoľvek lineárne deformovateľný systém pri akomkoľvek zaťažení. Túto metódu navrhol vynikajúci nemecký vedec O. Mohr.

Povedzme napríklad, že chcete určiť vertikálny posun bodu A lúča znázorneného na obr. 7.13, a. Daný (zaťažovací) stav označíme písmenom k. Zvoľme pomocný stav toho istého nosníka s jednotkou

sila pôsobiaca v bode A a v smere požadovaného posunu. Pomocný stav označujeme písmenom i (obr. 7.13,6).

Vypočítajme prácu vonkajších a vnútorných síl pomocného stavu na posunoch spôsobených pôsobením síl stavu zaťaženia.

Práca vonkajších síl sa bude rovnať súčinu jednotkovej sily a požadovaného posunutia ya

a práca vnútorných síl v absolútnej hodnote sa rovná integrálu

(1)

Vzorec (7.33) je Mohrov vzorec (Mohrov integrál), ktorý umožňuje určiť posunutie v akomkoľvek bode lineárne deformovateľného systému.

V tomto vzorci je integrand MiMk kladný, ak oba ohybové momenty majú rovnaké znamienko, a záporný, ak Mi a Mk majú rôzne znamienka.

Ak by sme mali určiť uhlové posunutie v bode A, potom v stave i by sme mali aplikovať moment rovný jednej (bez rozmeru) v bode A.

Označením písmena Δ ľubovoľný pohyb (lineárny alebo uhlový) napíšeme Mohrov vzorec (integrál) v tvare

(2)

Vo všeobecnom prípade môže byť analytický výraz Mi a Mk odlišný v rôznych častiach nosníka alebo elastického systému vo všeobecnosti. Preto namiesto vzorca (2) by sa mal použiť všeobecnejší vzorec

(3)

Ak tyče systému nepracujú v ohybe, ale v ťahu (stlačení), ako napríklad v nosníkoch, potom má Mohrov vzorec tvar

(4)

V tomto vzorci je produkt NiNK kladný, ak sú obe sily ťahové alebo obe tlakové. Ak tyče súčasne pracujú v ohybe a ťahu (stlačení), potom v bežných prípadoch, ako ukazujú porovnávacie výpočty, je možné určiť posuny s prihliadnutím iba na ohybové momenty, pretože vplyv pozdĺžnych síl je veľmi malý.

Z rovnakých dôvodov, ako bolo uvedené vyššie, v bežných prípadoch možno ignorovať vplyv šmykových síl.

Namiesto priameho výpočtu Mohrovho integrálu môžete použiť grafoanalytickú techniku ​​„metódu násobenia diagramov“ alebo Vereshchaginovo pravidlo.

Uvažujme dva diagramy ohybových momentov, z ktorých jeden Mk má ľubovoľný obrys a druhý Mi je priamočiary (obr. 7.14, a a b).

(5)

Hodnota MKdz predstavuje elementárnu plochu dωk diagramu Mk (na obrázku vytieňovaná). teda

(6)

teda,

(8)

Ale predstavuje statický moment oblasti diagramu Mk vzhľadom na nejakú os y prechádzajúcu bodom O, ktorá sa rovná ωkzc, kde ωk je plocha momentového diagramu; zc je vzdialenosť od osi y k ťažisku Mk diagramu. Z nákresu je zrejmé, že

kde Msi je ordináta diagramu Mi, ktorý sa nachádza pod ťažiskom diagramu Mk (pod bodom C). teda

(10)

t.j. požadovaný integrál sa rovná súčinu plochy diagramu Mk (akýkoľvek tvar) na ordináte priamočiareho diagramu Msi umiestneného pod jeho ťažiskom. Hodnota ωкМсi sa považuje za pozitívnu, ak sú oba diagramy umiestnené na rovnakej strane tyče, a za zápornú, ak sú umiestnené na rôznych stranách. Pozitívny výsledok násobenia diagramov znamená, že smer pohybu sa zhoduje so smerom jednotkovej sily (alebo momentu).

Treba mať na pamäti, že ordináta Msi sa musí brať v priamke. V konkrétnom prípade, keď sú oba diagramy priamočiare, môžete vynásobiť plochu ktoréhokoľvek z nich zodpovedajúcou ordinátou druhého.

Pre tyče s premenlivým prierezom sa Vereshchaginovo pravidlo pre násobenie diagramov neuplatňuje, pretože v tomto prípade už nie je možné odstrániť hodnotu EJ zo znamienka integrálu. V tomto prípade by mala byť EJ vyjadrená ako funkcia úsečky rezu a potom by sa mal vypočítať Mohrov integrál (1).

Pri postupnej zmene tuhosti tyče sa integrácia (alebo násobenie diagramov) vykoná pre každý úsek samostatne (s vlastnou hodnotou EJ) a potom sa výsledky spočítajú.

V tabuľke 1 sú znázornené plochy niektorých jednoduchých diagramov a súradnice ich ťažiska.

stôl 1

Typ diagramu	Oblasť diagramu	Vzdialenosť od ťažiska

Na urýchlenie výpočtov môžete použiť hotové tabuľky násobenia diagramov (tabuľka 2).

V tejto tabuľke sú v bunkách na priesečníku zodpovedajúcich elementárnych diagramov uvedené výsledky vynásobenia týchto diagramov.

Pri rozdelení komplexného diagramu na elementárne, uvedené v tabuľke. 1 a 7.2 treba mať na pamäti, že parabolické diagramy boli získané pôsobením len jedného rozloženého zaťaženia.

V prípadoch, keď sa v zložitom diagrame získajú zakrivené úseky zo súčasného pôsobenia sústredených momentov, síl a rovnomerne rozloženého zaťaženia, aby sa predišlo chybám, mal by byť komplexný diagram najskôr „vrstvený“, t. j. rozdelený na niekoľko častí. nezávislé diagramy: od pôsobenia sústredených momentov, síl a od pôsobenia rovnomerne rozloženého zaťaženia.

Môžete použiť aj inú techniku, ktorá nevyžaduje stratifikáciu diagramov, ale vyžaduje len výber krivočiarej časti diagramu pozdĺž tetivy spájajúcej jej krajné body.

Oba spôsoby si ukážeme na konkrétnom príklade.

Povedzme napríklad, že chcete určiť zvislé posunutie ľavého konca lúča (obr. 7.15).

Celkový diagram zaťaženia je znázornený na obr. 7.15, a.

Tabuľka 7.2

Diagram pôsobenia jednotkovej sily v bode A je na obr. 7.15, mesto

Na určenie vertikálneho posunu v bode A je potrebné vynásobiť diagram zaťaženia jednotkovým diagramom síl. Poznamenávame však, že v reze BC celkového diagramu je krivočiary diagram získaný nielen pôsobením rovnomerne rozloženého zaťaženia, ale aj pôsobením sústredenej sily P. Výsledkom je, že v reze BC existuje už nebude elementárnym parabolickým diagramom uvedeným v tabuľkách 7.1 a 7.2, ale podľa v podstate komplexného diagramu, pre ktorý sú údaje v týchto tabuľkách neplatné.

Preto je potrebné stratifikovať komplexný diagram podľa obr. 7.15 a na elementárne diagramy uvedené na obr. 7,15, b a 7,15, c.

Schéma podľa obr. 7.15, b sme získali len z koncentrovanej sily, diagram podľa obr. 7.15, c - len z pôsobenia rovnomerne rozloženého zaťaženia.

Teraz môžete vynásobiť diagramy pomocou tabuľky. 1 alebo 2.

Aby ste to dosiahli, musíte vynásobiť trojuholníkový diagram podľa obr. 7.15, b k trojuholníkovému diagramu podľa obr. 7.15, d a pripočítajte k tomu výsledok vynásobenia parabolického diagramu na obr. 7.15, v lichobežníkovom diagrame rezu BC podľa obr. 7.15, d, keďže v reze AB sú ordináty diagramu podľa obr. 7,15, in sa rovnajú nule.

Ukážme si teraz druhú metódu násobenia diagramov. Pozrime sa ešte raz na diagram na obr. 7.15, a. Zoberme si počiatok referencie v sekcii B. Ukážeme, že v medziach krivky LMN možno ohybové momenty získať ako algebraický súčet ohybových momentov zodpovedajúcich priamke LN a ohybových momentov parabolického diagramu LNML, rovnako ako pre jednoduchý nosník dĺžky a, zaťažený rovnomerne rozloženým zaťažením q:

Najväčšia ordináta v strede sa bude rovnať .

Aby sme to dokázali, napíšme skutočný výraz pre ohybový moment v reze vo vzdialenosti z od bodu B

(A)

Napíšme teraz výraz pre ohybový moment v tom istom reze, získaný ako algebraický súčet ordinátov priamky LN a paraboly LNML.

Rovnica priamky LN

kde k je dotyčnica uhla sklonu tejto priamky

V dôsledku toho rovnica ohybových momentov získaná ako algebraický súčet rovnice priamky LN a paraboly LNMN má tvar

ktorý sa zhoduje s výrazom (A).

Pri násobení diagramov podľa Vereščaginovho pravidla by ste mali vynásobiť lichobežník BLNC lichobežníkom z jednotkového diagramu v sekcii BC (pozri obr. 7.15, d) a odpočítať výsledok vynásobenia parabolického diagramu LNML (plocha ) tým istým lichobežníkom. z diagramu jednotky. Tento spôsob vrstvenia diagramov je výhodný najmä vtedy, keď sa zakrivená časť diagramu nachádza v jednej zo stredných častí lúča.

Príklad 7.7. Určte zvislé a uhlové posuny konzolového nosníka v mieste pôsobenia zaťaženia (obr. 7.16).

Riešenie. Zostrojíme diagram ohybových momentov pre stav zaťaženia (obr. 7.16, a).

Na určenie zvislého posunu volíme pomocný stav nosníka s jednotkovou silou v mieste pôsobenia zaťaženia.

Z tejto sily zostrojíme diagram ohybových momentov (obr. 7.16, b). Určenie vertikálneho posunu pomocou Mohrovej metódy

Hodnota ohybového momentu v dôsledku zaťaženia

Hodnota ohybového momentu z jednotkovej sily

Tieto hodnoty МР a Mi dosadíme pod znamienko integrálu a integrujeme

Rovnaký výsledok bol predtým získaný inou metódou.

Kladná hodnota priehybu znamená, že bod pôsobenia zaťaženia P sa pohybuje smerom nadol (v smere jednotkovej sily). Ak by sme jednotkovú silu smerovali zdola nahor, mali by sme Mi = 1z a v dôsledku integrácie by sme dostali výchylku so znamienkom mínus. Znamienko mínus by znamenalo, že pohyb nie je hore, ale dole, ako je to v skutočnosti.

Vypočítajme teraz Mohrov integrál vynásobením diagramov podľa Vereshchaginovho pravidla.

Keďže oba diagramy sú priamočiare, nezáleží na tom, z ktorého diagramu zobrať oblasť a z ktorého ordinátu.

Plocha diagramu zaťaženia sa rovná

Ťažisko tohto diagramu sa nachádza vo vzdialenosti 1/3 l od zapustenia. Z jednotkovej sily, umiestnenej pod, určíme ordinátu diagramu momentov

ťažisko diagramu zaťaženia. Je ľahké overiť, že sa rovná 1/3l.

Preto.

Rovnaký výsledok sa získa z tabuľky integrálov. Výsledok násobenia diagramov je pozitívny, pretože oba diagramy sú umiestnené v spodnej časti tyče. V dôsledku toho sa bod pôsobenia zaťaženia posunie nadol, t. j. pozdĺž akceptovaného smeru jednotkovej sily.

Na určenie uhlového posunu (uhol natočenia) zvolíme pomocný stav lúča, v ktorom na konci lúča pôsobí sústredený moment rovný jednote.

Pre tento prípad zostrojíme diagram ohybových momentov (obr. 7.16, c). Uhlové posunutie určíme vynásobením diagramov. Oblasť diagramu zaťaženia

Súradnice diagramu z jedného momentu sú všade rovné jednote. Preto je požadovaný uhol natočenia úseku rovný

Keďže oba diagramy sú umiestnené nižšie, výsledok vynásobenia diagramov je kladný. Koncová časť lúča sa teda otáča v smere hodinových ručičiek (v smere jednotkového momentu).

Príklad: Pomocou Mohr-Vereshchaginovej metódy určte priehyb v bode D pre lúč znázornený na obr. 7.17.

Riešenie. Zo zaťaženia vytvoríme vrstvený diagram momentov, t.j. z pôsobenia každého zaťaženia vytvoríme samostatné diagramy. V tomto prípade sa pre pohodlie násobenia diagramov odporúča zostaviť stratifikované (elementárne) diagramy vzhľadom na rez, ktorého priehyb je v tomto prípade určený vzhľadom na rez D.

Na obr. 7.17 je znázornený diagram ohybových momentov od reakcie A (rez AD) a od zaťaženia P = 4 T (rez DC). Diagramy sú postavené na komprimovanom vlákne.

Na obr. 7.17, b sú znázornené diagramy momentov z reakcie B (rez BD), zľava rovnomerne rozloženého zaťaženia (rez AD) a z rovnomerne rozloženého zaťaženia pôsobiaceho na rez BC. Tento diagram je znázornený na obr. 7.17, b na jednosmernom úseku zdola.

Ďalej zvolíme pomocný stav nosníka, na ktorý pôsobíme jednotkovou silou v bode D, kde sa určuje priehyb (obr. 7.17, c). Diagram momentov z jednotkovej sily je znázornený na obr. 7.17, d. Teraz vynásobme diagramy 1 až 7 diagrammi 8 a 9 pomocou tabuliek násobenia diagramov, berúc do úvahy znamienka.

V tomto prípade sa diagramy umiestnené na jednej strane lúča vynásobia znamienkom plus a diagramy umiestnené na opačných stranách lúča sa vynásobia znamienkom mínus.

Pri vynásobení diagramu 1 a diagramu 8 dostaneme

Vynásobením pozemku 5 grafom 8 dostaneme

Vynásobením grafov 2 a 9 dostaneme

Vynásobte diagramy 4 a 9

Vynásobte diagramy 6 a 9

Zhrnutím výsledkov násobiacich diagramov dostaneme

Znamienko mínus ukazuje, že bod D sa nepohybuje nadol, ako smeruje jednotková sila, ale nahor.

Rovnaký výsledok bol získaný skôr pomocou univerzálnej rovnice.

Samozrejme, v tomto príklade bolo možné stratifikovať diagram iba v sekcii AD, keďže v sekcii DB je celkový diagram priamočiary a nie je potrebné ho stratifikovať. V sekcii BC sa delaminácia nevyžaduje, pretože z jednotkovej sily v tejto sekcii sa diagram rovná nule. Na určenie priehybu v bode C je potrebné rozvrstvenie diagramu v reze BC.

Príklad. Určite zvislé, vodorovné a uhlové posuny úseku A zlomenej tyče znázornenej na obr. 7.18, a. Prierezová tuhosť zvislého rezu tyče je EJ1, prierezová tuhosť vodorovného rezu je EJ2.

Riešenie. Zostrojíme diagram ohybových momentov v dôsledku zaťaženia. Je to znázornené na obr. 7.18, b (pozri príklad 6.9). Na určenie vertikálneho posunu úseku A zvolíme pomocný stav systému znázornený na obr. 7,18, c. V bode A pôsobí jednotková vertikálna sila smerujúca nadol.

Diagram ohybových momentov pre tento stav je na obr. 7,18, c.

Vertikálne posunutie určujeme pomocou Mohrovej metódy, metódou násobenia diagramov. Keďže na zvislej tyči v pomocnom stave nie je diagram M1, násobíme iba diagramy súvisiace s vodorovnou tyčou. Oblasť diagramu berieme zo stavu zaťaženia a ordinátu z pomocného stavu. Vertikálny posun je

Keďže oba diagramy sú umiestnené nižšie, berieme výsledok násobenia so znamienkom plus. V dôsledku toho sa bod A pohybuje nadol, t.j. v smere jednotkovej vertikálnej sily.

Na určenie horizontálneho pohybu bodu A zvolíme pomocný stav s horizontálnou jednotkovou silou smerujúcou doľava (obr. 7.18, d). Je tam uvedený momentový diagram pre tento prípad.

Vynásobíme diagramy MP a M2 a dostaneme

Výsledok násobenia diagramov je pozitívny, pretože násobené diagramy sú umiestnené na tej istej strane tyčí.

Na určenie uhlového posunu zvolíme pomocný stav sústavy podľa obr. 7.18.5 a zostrojte diagram ohybových momentov pre tento stav (na tom istom obrázku). Vynásobíme diagramy MP a M3:

Výsledok násobenia je pozitívny, pretože násobené diagramy sú umiestnené na jednej strane.

Preto sa časť A otáča v smere hodinových ručičiek

Rovnaké výsledky by sa získali pomocou tabuliek
násobiace diagramy.

Pohľad na deformovanú tyč je znázornený na obr. 7.18, e, pričom posuny sú značne zvýšené.

LITERATÚRA

Feodosiev V.I. Pevnosť materiálov. 1986

Beljajev N.M. Pevnosť materiálov. 1976

Kraskovsky E.Ya., Druzhinin Yu.A., Filatova E.M. Výpočet a návrh prístrojových mechanizmov a počítačových systémov. 1991

Rabotnov Yu.N. Mechanika deformovateľných telies. 1988

Stepin P.A. Pevnosť materiálov. 1990

A jeho rukou písané poznámky skončili v rukách referenta veľvyslanca Prikaz, od ktorého ich dostali. Ostatné biografické informácie sú získané iba z textu samotnej „Prechádzky“. Prečo Afanasy Nikitin nazval svoje dielo „Walking through Three Seas“? Na túto otázku nám dáva odpoveď sám autor: „Hľa, napísal som svoje hriešne „Chôdza cez tri moria“, 1. Derbenského (Kaspického) mora, Doria...

Poznamenáva, že nevyhnutnou podmienkou pre realizáciu akéhokoľvek komunikačného aktu musí byť „vzájomná znalosť skutočností hovoriaceho a poslucháča, ktorá je základom jazykovej komunikácie“, v lingvistike sa im hovorí „znalosť pozadia“. Podľa jej správnej poznámky „význam slova používaného v danom rodnom jazyku na označenie takýchto úplne odlišných z pohľadu stredoeurópskej kultúry...

Určenie posunov v systémoch pozostávajúcich z priamočiarych prvkov konštantnej tuhosti možno výrazne zjednodušiť použitím špeciálnej výpočtovej techniky

integrál formy

Vzhľadom na to, že integrand obsahuje súčin úsilia Mm a Mn, čo sú ordináty diagramov zostrojených pre jeden a reálny stav, nazýva sa táto technika metóda násobenia diagramov. Môže sa použiť v prípade, keď jeden z násobených diagramov, napríklad Mt, je priamočiary; v tomto prípade (obr. 5.17)

Mm = (x + a) tan a.

Druhý diagram M p môže mať akýkoľvek tvar (rovný, zlomený

alebo krivočiary).

Dosadíme do výrazu hodnotu M m

kde M n dx= dΩ n je diferenciálna plocha Ω n diagramu M n (obr. 5.17),

Integrálne predstavuje statický moment plochy Ω n diagramu M p vzhľadom k osi 0-0 (obr. 5.17).Tento statický moment možno vyjadriť rôzne:

kde xc je súradnica ťažiska plochy diagramu Mn. Potom

Ale keďže (pozri obr. 5.17)

(5.26)

Výsledok vynásobenia dvoch diagramov sa teda rovná súčinu plochy jedného z nich súradnicou druhého (priamočiareho) diagramu, braného pod ťažiskom plochy prvého diagramu. .

Metódu násobenia diagramov navrhol v roku 1925 A.K. Vereshchagin, študent Moskovského inštitútu železničných inžinierov, a preto sa nazýva Vereshchaginovo pravidlo (alebo metóda),

Všimnite si, že ľavá strana výrazu (5.26) sa líši od Mohrovho integrálu tým, že v ňom nie je tuhosť rezu EJ. V dôsledku toho musí byť výsledok násobenia diagramov podľa Vereshchaginovho pravidla na určenie požadovaného posunu vydelený tuhosťou.

Je veľmi dôležité poznamenať, že ordináta musí byť prevzatá z priameho diagramu. Ak sú oba diagramy rovné, potom môže byť ordináta prevzatá z ľubovoľného diagramu. Ak teda potrebujete vynásobiť priamočiare diagramy Mi a Mk (obr. 518, a), potom nezáleží na tom, čo treba vziať: súčin yk oblasti diagramu Mi na súradnici yk pod jeho ťažiskom z diagramu Mk alebo súčinu Ω_k yi plochy diagramu M k podľa ordináty уi pod (alebo nad) jeho ťažiskom z Mg diagramu.

Keď sa vynásobia dva diagramy vo forme lichobežníka, nie je potrebné nájsť polohu ťažiska oblasti jedného z nich. Mali by ste rozdeliť jeden z diagramov na dva trojuholníky a vynásobiť plochu každého z nich ordinátou pod jeho ťažiskom od druhého diagramu. Napríklad v prípade znázornenom na obr. 518, b, dostaneme

V zátvorkách tohto vzorca sa súčin ac ľavých súradníc oboch diagramov a súčin bd pravých súradníc berie s koeficientom rovným dvom a súčin ad a bc súradníc umiestnených na rôznych stranách - s koeficientom rovným do jedného.

Pomocou vzorca (5.27) môžete vynásobiť diagramy, ktoré vyzerajú ako „skrútené“ lichobežníky; v tomto prípade sú produkty súradníc s rovnakými znamienkami brané so znamienkom plus a iné - so znamienkom mínus. V prípade znázornenom napríklad na obr. 5.18c je výsledok násobenia diagramov vo forme „skrúteného“ a obyčajného lichobežníka rovný (l/6) (2ac-2bd+ad-bc) a v prípade znázornenom na obr. 5,18, g, sa rovná (l/6) (-2ac-2bd+ad+bc).

Vzorec (5.27) je použiteľný aj vtedy, keď jeden alebo oba násobené diagramy majú tvar trojuholníka. V týchto prípadoch sa trojuholník považuje za lichobežník s jednou extrémnou ordinátou rovnou nule. Výsledok napríklad vynásobenia diagramov znázornených na obr. 5,18, d, rovná sa (l/6) (2ac+ad).

Násobenie diagramu vo forme „skrúteného“ lichobežníka akýmkoľvek iným diagramom je možné vykonať rozdelením „skrúteného“ lichobežníka na dva trojuholníky, ako je znázornené na obr. 5,18, napr.

Prednáška č. 6. Výpočet staticky neurčitých plochých prútových sústav: nosníky, rámy, väzníky.

Osnova prednášky:

1. Spôsob síl.

1.1. Hlavný systém. Hlavné neznáme.

1.2. Sústava kanonických rovníc silovej metódy na výpočet pôsobenia vonkajšieho zaťaženia.

1.3. Výpočet staticky neurčitých sústav metódou síl.

2. Spôsob pohybu.

2.1. Výber neznámych a určenie ich počtu.

2.2. Určenie počtu neznámych

2.3. Hlavný systém

2.4. Kanonické rovnice

3. Základy výpočtu sústav metódou konečných prvkov.

Prednáška 13 (pokračovanie). Príklady riešení na výpočet posunov pomocou Mohr-Vereshchaginovej metódy a úlohy na nezávislé riešenie

Definovanie posunov v nosníkoch

Príklad 1

Určte pohyb bodu TO nosníky (pozri obrázok) pomocou Mohrovho integrálu.

Riešenie.

1) Z vonkajšej sily zostavíme rovnicu pre ohybový moment M F .

2) Aplikujte v bode TO jednotková sila F = 1.

3) Zapíšeme rovnicu ohybového momentu z jednotkovej sily.

4) Určite pohyby

Príklad 2

Určte pohyb bodu TO trámy podľa Vereščaginovej metódy.

Riešenie.

1) Vytvárame schému nákladu.

2) V bode K pôsobíme jednotkovou silou.

3) Vytvoríme jeden diagram.

4) Určte priehyb

Príklad 3

Určte uhly natočenia na podperách A A IN

Riešenie.

Diagramy zostrojujeme z daného zaťaženia a z jednotlivých momentov aplikovaných v rezoch A A IN(pozri obrázok). Požadované posuny určíme pomocou Mohrových integrálov

,

, ktorý vypočítame pomocou Vereščaginovho pravidla.

Nájdenie parametrov pozemku

C 1 = 2/3, C 2 = 1/3,

a potom uhly natočenia na podperách A A IN

Príklad 4.

Určte uhol natočenia úseku S pre daný lúč (pozri obrázok).

Riešenie.

Určenie podporných reakcií R A =R B ,

, , R A = R B = qa.

Zostrojíme diagramy ohybového momentu z daného zaťaženia a z jedného momentu pôsobiaceho v reze S, kde sa hľadá uhol natočenia. Mohrov integrál vypočítame pomocou Vereščaginovho pravidla. Nájdenie parametrov pozemku

C 2 = -C 1 = -1/4,

a pozdĺž nich požadovaný pohyb

Príklad 5.

Určte priehyb v reze S pre daný lúč (pozri obrázok).

Riešenie.

Diagram M F(obr. b)

Podporné reakcie:

BE: , ,

, R B + R E = F, R E = 0;

AB: , R A = R IN = F; , .

Vypočítavame momenty v charakteristických bodoch, M B = 0, M C = Fa a zostavte diagram ohybového momentu z daného zaťaženia.

Diagram(obr. c).

V priereze S, kde sa hľadá priehyb, aplikujeme jednotkovú silu a zostrojíme z nej diagram ohybového momentu, pričom najprv vypočítame reakcie podpery. BE - , , = 2/3; , , = 1/3 a potom momenty v charakteristických bodoch , , .

2. Stanovenie požadovaného priehybu. Použime Vereshchaginovo pravidlo a najprv vypočítajme parametre diagramov a:

,

Odklon sekcie S

Príklad 6.

Určte priehyb v reze S pre daný lúč (pozri obrázok).

Riešenie.

S. Pomocou Vereshchaginovho pravidla vypočítame parametre diagramov ,

a nájdite požadované vychýlenie

Príklad 7.

Určte priehyb v reze S pre daný lúč (pozri obrázok).

Riešenie.

1. Zostrojenie diagramov ohybových momentov.

Podporné reakcie:

, , R A = 2qa,

, R A + R D = 3qa, R D = qa.

Zostrojíme diagramy ohybových momentov z daného zaťaženia a z jednotkovej sily pôsobiacej v bode S.

2. Určenie pohybov. Na výpočet Mohrovho integrálu používame Simpsonov vzorec, ktorý postupne aplikujeme na každú z troch sekcií, na ktoré je lúč rozdelený.

ZápletkaAB :

Zápletkaslnko :

ZápletkaS D :

Požadovaný pohyb

Príklad 8.

Určte priehyb sekcie A a uhol natočenia sekcie E pre daný lúč (obr. A).

Riešenie.

1. Zostrojenie diagramov ohybových momentov.

Diagram M F(ryža. V). Po určení podporných reakcií

, , R B = 19qa/8,

, R D = 13qa/8, zostavujeme diagramy priečnej sily Q a ohybový moment M F z daného zaťaženia.

Diagram(obr. d). V priereze A, kde sa hľadá priehyb, aplikujeme jednotkovú silu a zostrojíme z nej diagram ohybového momentu.

Diagram(obr. e). Tento diagram je skonštruovaný z jedného momentu aplikovaného v reze E, kde sa hľadá uhol natočenia.

2. Určenie pohybov. Priehyb sekcie A nachádzame pomocou Vereščaginovho pravidla. Epure M F na stránkach slnko A CD Rozložíme ho na jednoduché časti (obr. d). Uvádzame potrebné výpočty vo forme tabuľky.

	-qa 3 /6	2qa 3 /3	-qa 3 /2				-qa 3 /2
C i
		-qa 4 /2	5qa 4 /12	-qa 4 /6	-qa 4 /12			-qa 4 /24

Dostaneme.

Znamienko mínus vo výsledku znamená, že bod A sa nepohybuje nadol, ako smerovala jednotková sila, ale nahor.

Uhol natočenia sekcie E nachádzame dvoma spôsobmi: Vereščaginovým pravidlom a Simpsonovým vzorcom.

Podľa Vereshchaginovho pravidla násobenie diagramov M F a analogicky s predchádzajúcim dostaneme

,

Aby sme našli uhol natočenia pomocou Simpsonovho vzorca, vypočítame predbežné ohybové momenty v strede sekcií:

Požadovaný výtlak zvýšený o EI X raz,

Príklad 9.

Určte, pri akej hodnote koeficientu k priehyb sekcie S sa bude rovnať nule. Keď sa nájde hodnota k zostrojte diagram ohybového momentu a znázornite približný pohľad na pružnú čiaru nosníka (pozri obrázok).

Riešenie.

Zostrojíme diagramy ohybových momentov z daného zaťaženia a z jednotkovej sily pôsobiacej v reze S, kde sa hľadá priehyb.

Podľa podmienok problému V C= 0. Na druhej strane . Integrálny na pozemku AB vypočítame pomocou Simpsonovho vzorca a v sekcii slnko- podľa Vereščaginovho pravidla.

Zisťujeme vopred

Presun sekcie S ,

Odtiaľ , .

Keď sa nájde hodnota k určiť hodnotu reakcie podpory v bode A: , , , z ktorého zistíme polohu krajného bodu na diagrame M podľa stavu .

Na základe momentových hodnôt v charakteristických bodoch

Zostavíme diagram ohybového momentu (obr. d).

Príklad 10.

IN konzolový nosník znázornený na obrázku.

Riešenie.

M z pôsobenia vonkajšej sústredenej sily F: M IN = 0, M A = –F 2l(lineárny graf).

Podľa podmienok problému je potrebné určiť vertikálny posun pri IN bodov IN konzolový nosník, preto zostavíme jednotkový diagram pôsobenia zvislej jednotkovej sily F i = 1 aplikovaný v bode IN.

Vzhľadom na to, že konzolový nosník pozostáva z dvoch sekcií s rôznymi tuhosťami v ohybe, schémy a M Vynásobíme pomocou Vereshchaginovho pravidla oddelene po častiach. Diagramy M a vynásobte prvú časť pomocou vzorca a diagramy druhej časti - ako oblasť diagramu M druhá sekcia Fl 2 / 2 ordinovať 2 l/3 diagramy druhého rezu pod ťažiskom trojuholníkového diagramu M rovnakú oblasť.

V tomto prípade vzorec dáva:

Príklad 11.

Určte vertikálny pohyb bodu IN jednopoľový nosník znázornený na obrázku. Nosník má konštantnú ohybovú tuhosť po celej svojej dĺžke. EI.

Riešenie.

Zostavíme diagram ohybových momentov M z pôsobenia vonkajšieho rozloženého zaťaženia: M A = 0; M D = 0;

Aplikujte na mieste IN jednotková vertikálna sila F i = 1 a zostavte diagram (pozri obrázok):

kde R a = 2/3;

Kde R d = 1/3, takže M a = 0; M d = 0; .

Rozdeľme predmetný lúč na 3 časti. Násobenie diagramov 1. a 3. oddielu nespôsobuje ťažkosti, keďže násobíme trojuholníkové diagramy. Aby sme mohli použiť Vereshchaginovo pravidlo na 2. časť, rozdeľme diagram M 2. rez na dve zložky diagramu: pravouhlý a parabolický s plochou (pozri tabuľku).

Ťažisko parabolickej časti diagramu M leží v strede 2. sekcie.

Takže vzorec použitie Vereshchaginovho pravidla dáva:

Príklad 12.

Určte maximálny priehyb dvojnosného nosníka zaťaženého rovnomerne rozloženým zaťažením intenzity q(pozri obrázok).

Riešenie.

Nájdenie ohybových momentov:

Od danej záťaže

Z jednotkovej sily aplikovanej v bode S kde sa hľadá priehyb.

Vypočítame požadovaný maximálny priehyb, ktorý sa vyskytuje v strednej časti nosníka

Príklad 13.

Určte priehyb v bode IN lúč znázornený na obrázku.

Riešenie.

Zostrojíme diagramy ohybových momentov z daného zaťaženia a jednotkovej sily pôsobiacej v bode IN. Na znásobenie týchto diagramov musí byť lúč rozdelený na tri časti, pretože jeden diagram je obmedzený na tri rôzne priame čiary.

Operácia násobiacich diagramov v druhej a tretej časti sa vykonáva jednoducho. Ťažkosti vznikajú pri výpočte plochy a súradníc ťažiska hlavného diagramu v prvej časti. V takýchto prípadoch konštrukcia vrstvených diagramov výrazne zjednodušuje riešenie problému. V tomto prípade je vhodné vziať jednu zo sekcií podmienečne ako stacionárnu a zostaviť diagramy pre každú zo záťaží, pričom sa k tejto sekcii približujú sprava a zľava. V diagrame jednotkových zaťažení je vhodné brať rez v mieste zlomeniny ako stacionárny.

Vrstvený diagram, v ktorom je rez braný ako stacionárny IN, je znázornené na obrázku. Po vypočítaní plôch komponentov vrstveného diagramu a zodpovedajúcich súradníc jednotkového diagramu dostaneme

Príklad 14.

Určte posuny v bodoch 1 a 2 nosníka (obr. a).

Riešenie.

Tu sú diagramy M A Q pre trámy pri A= 2 m; q= 10 kN/m; S=1,5A; M=0,5qa 2 ; R=0,8qa; M 0 =M; = 200 MPa (obr. b A V).

Určme zvislé posunutie stredu rezu, kde pôsobí sústredený moment. Za týmto účelom uvažujme lúč v stave pod vplyvom iba sústredenej sily pôsobiacej v bode 1 kolmom na os lúča (v smere požadovaného posunu) (obr. d).

Vypočítajme podporné reakcie zostavením troch rovnovážnych rovníc

Vyšetrenie

Reakcie boli nájdené správne.

Na zostavenie diagramu zvážte tri časti (obr. d).

1 pozemok

2. oddiel

Časť 3

Pomocou týchto údajov zostrojíme diagram (obr. e) zo strany natiahnutých vlákien.

Určme podľa Mohrovho vzorca pomocou Vereščaginovho pravidla. V tomto prípade môže byť zakrivený diagram v oblasti medzi podperami znázornený ako sčítanie troch diagramov. Šípka

Znamienko mínus znamená, že bod 1 sa pohybuje nahor (v opačnom smere).

Určme vertikálny posun bodu 2, kde pôsobí sústredená sila. Za týmto účelom uvažujme lúč v stave pod vplyvom iba sústredenej sily pôsobiacej v bode 2 kolmom na os lúča (v smere požadovaného posunu) (obr. e).

Diagram je zostavený podobne ako predchádzajúci.

Bod 2 sa posúva nahor.

Určme uhol natočenia úseku, kde pôsobí sústredený moment.

Nevýhodou Mohrovej metódy je potreba získať hodnoty súčiniteľov vnútornej sily obsiahnutých v integrandových vyjadreniach vzorcov (2.18) a (2.19) vo všeobecnej forme ako funkcie z, čo sa stáva aj dosť pracne. s dvoma alebo tromi deliacimi sekciami v nosníkoch a najmä v rámoch

Ukazuje sa, že tejto nevýhode sa dá vyhnúť, ak sa priama integrácia v Mohrových vzorcoch nahradí tzv. násobiace diagramy. Takáto náhrada je možná v prípadoch, keď je aspoň jeden z násobených diagramov priamočiary. Túto podmienku spĺňajú všetky systémy pozostávajúce z rovných tyčí. V takýchto systémoch bude diagram vytvorený zo zovšeobecnenej jednotkovej sily vždy priamočiary.

Metóda výpočtu Mohrovho integrálu nahradením priamej integrácie vynásobením zodpovedajúcich diagramov sa nazýva Vereshchaginova metóda (alebo pravidlo) a je nasledovný: aby ste vynásobili dva diagramy, z ktorých aspoň jeden je priamočiary, musíte vynásobiť plochu jedného diagramu (ak existuje zakrivený diagram, potom jeho plocha musí byť) súradnicou ďalší diagram, umiestnený pod ťažiskom prvého.

Dokážme platnosť tohto pravidla. Pozrime sa na dva diagramy (obr. 28). Nech jeden z nich (Mn) je zaťažený a má zakrivený obrys a druhý zodpovedá jednotkovému zaťaženiu a je lineárny.

Z obr. 28 vyplýva, že dosadíme hodnoty do výrazu

kde je diferenciálna plocha diagramu Mn.

Ryža. 28

Integrál predstavuje statický moment plochy vzhľadom na os O – O1, pričom:

kde zc je úsečka ťažiska oblasti, potom:

Vzhľadom na to, že dostaneme:
(2.20)
Výraz (2.20) určuje výsledok vynásobenia dvoch diagramov a nepohybovania sa. Aby sa získal posun, musí sa tento výsledok vydeliť tuhosťou zodpovedajúcou súčiniteľom vnútornej sily pod integrálnym znamienkom.

Základné možnosti násobenia diagramov

Je zrejmé, že rôznorodosť aplikovaných zaťažení a geometrických návrhov konštrukcií vedie k rôznym, z hľadiska geometrie, znásobeným diagramom. Na realizáciu Vereščaginove pravidlá musíte poznať oblasti geometrických útvarov a súradnice ich ťažísk. Obrázok 29 ukazuje niektoré z hlavných možností, ktoré vznikajú pri praktických výpočtoch.

Pre násobiace diagramy zložité formy, treba ich rozčleniť na jednoduché. Napríklad, ak chcete vynásobiť dva diagramy, ktoré vyzerajú ako lichobežník, musíte jeden z nich rozdeliť na trojuholník a obdĺžnik, vynásobiť plochu každého z nich súradnicou druhého diagramu, ktorý sa nachádza pod zodpovedajúcim stredom gravitácie a pridajte výsledky. To isté platí pre násobenie zakriveného lichobežníka ľubovoľným lineárnym diagramom.

Ak sa vyššie uvedené kroky uskutočnia vo všeobecnej forme, získame vzorce pre takéto zložité prípady, ktoré sú vhodné na použitie v praktických výpočtoch (obr. 30). Výsledok vynásobenia dvoch lichobežníkov (obr. 30, a):

(2.21)

Ryža. 29

Pomocou vzorca (2.21) môžete vynásobiť aj diagramy, ktoré majú tvar „skrútených“ lichobežníkov (obr. 30, b), ale v tomto prípade sa súčin ordinát umiestnených na opačných stranách osí diagramu berie do úvahy s a znamienko mínus.

Ak jeden z násobiteľné diagramy je načrtnutá pozdĺž štvorcovej paraboly (čo zodpovedá zaťaženiu s rovnomerne rozloženým zaťažením), potom sa pre násobenie s druhým (nevyhnutne lineárnym) diagramom považuje za súčet (obr. 30, c) alebo ako rozdiel (obr. 30, d) lichobežníkových a parabolických diagramov. Výsledok násobenia v oboch prípadoch je určený vzorcom:
(2.22)

ale hodnota f je určená inak (obr. 30, c, d).

Ryža. tridsať

Môžu nastať prípady, keď žiadny z vynásobených diagramov nie je priamočiary, ale aspoň jeden z nich je ohraničený prerušovanými priamkami. Na znásobenie takýchto diagramov sú najskôr rozdelené do sekcií, v rámci ktorých je aspoň jeden diagram priamočiary.
Zvážte použitie Vereščaginove pravidlá na konkrétnych príkladoch.

Príklad 15. Určte priehyb v strede rozpätia a uhol natočenia ľavej nosnej časti nosníka zaťaženého rovnomerne rozloženým zaťažením (obr. 31,a), Vereshchaginova metóda.

Postupnosť výpočtu Vereshchaginova metóda– rovnako ako v Mohrovej metóde, preto budeme uvažovať tri stavy nosníka: zaťaženie – pri pôsobení rozloženého zaťaženia q; zodpovedá diagramu Mq (obr. 31, b) a dva jednotlivé stavy - pôsobením sily pôsobiacej v bode C (diagram, obr. 31, c) a momentu pôsobiaceho v bode B (diagram, obr. 31, d).

Vychýlenie lúča v strede rozpätia:

Podobný výsledok bol získaný skôr Mohrovou metódou (pozri príklad 13). Je potrebné venovať pozornosť skutočnosti, že násobenie diagramov sa vykonalo na polovicu lúča a potom sa v dôsledku symetrie výsledok zdvojnásobil. Ak sa plocha celého diagramu Mq vynásobí ordinátou diagramu umiestnenou pod jeho ťažiskom (na obr. 31, c), potom bude veľkosť posunutia úplne odlišná a nesprávna, pretože diagram je obmedzený prerušovaná čiara. Neprípustnosť takéhoto postupu už bola naznačená vyššie.

A pri výpočte uhla natočenia úseku v bode B môžete vynásobiť plochu diagramu Mq ordinátou diagramu umiestnenou pod jeho ťažiskom (obr. 31, d), pretože diagram je obmedzený po priamke:

Tento výsledok sa tiež zhoduje s výsledkom získaným predtým Mohrovou metódou (pozri príklad 13).

Ryža. 31

Príklad 16. Určte horizontálne a vertikálne pohyby bodu A v rámci (obr. 32, a).

Rovnako ako v predchádzajúcom príklade, na vyriešenie problému je potrebné zvážiť tri stavy rámu: náklad a dva samostatné. Diagram momentov MF zodpovedajúcich prvému stavu je uvedený na obr. 32, b. Na výpočet horizontálneho pohybu aplikujeme silu v bode A v smere požadovaného pohybu (t.j. horizontálne) a na výpočet vertikálneho pohybu aplikujeme silu vertikálne (obr. 32, c, e). Zodpovedajúce diagramy sú znázornené na obr. 32, d, f.

Horizontálny pohyb bodu A:

Pri výpočte v časti AB sa lichobežník (diagram MF) rozdelí na trojuholník a obdĺžnik, potom sa trojuholník z diagramu „vynásobí“ každým z týchto obrázkov. V reze BC je krivočiary lichobežník rozdelený na krivočiary trojuholník a obdĺžnik a na násobenie diagramov v reze SD sa používa vzorec (2.21).

Znamienko "-" získané počas výpočtu znamená, že bod A sa nepohybuje horizontálne doľava (sila pôsobí v tomto smere), ale doprava.