Odstredivý moment zotrvačnosti úseku. Moment zotrvačnosti pre figuríny: definícia, vzorce, príklady riešenia problémov. Hlavné osi zotrvačnosti tela

Ak nakreslíme súradnicové osi cez bod O, potom vzhľadom na tieto osi sú odstredivé momenty zotrvačnosti (alebo produkty zotrvačnosti) množstvá definované rovnosťami:

kde sú hmotnosti bodov; - ich súradnice; je zrejmé, že atď.

Pre pevné telesá majú vzorce (10) analogicky s (5) tvar

Na rozdiel od axiálnych môžu byť odstredivé momenty zotrvačnosti kladné aj záporné veličiny a najmä pri určitom spôsobe výberu osí môžu byť nulové.

Hlavné osi zotrvačnosti. Uvažujme homogénne teleso s osou súmernosti. Súradnicové osi Oxyz nakreslíme tak, aby os smerovala pozdĺž osi súmernosti (obr. 279). Potom v dôsledku symetrie bude každý bod telesa s hmotnosťou mk a súradnicami zodpovedať bodu s iným indexom, ale s rovnakou hmotnosťou a so súradnicami rovnými . Výsledkom je, že keďže v týchto súčtoch sú všetky členy vo veľkosti párovo rovnaké a majú opačné znamienko; odtiaľ, berúc do úvahy rovnosti (10), nájdeme:

Symetria v rozložení hmotností vzhľadom na os z je teda charakterizovaná zánikom dvoch odstredivých momentov zotrvačnosti. Os Oz, pre ktorú sú odstredivé momenty zotrvačnosti obsahujúce názov tejto osi vo svojich indexoch rovné nule, sa nazýva hlavná os zotrvačnosti telesa pre bod O.

Z uvedeného vyplýva, že ak má teleso os súmernosti, tak táto os je hlavnou osou zotrvačnosti telesa pre ktorýkoľvek z jeho bodov.

Hlavná os zotrvačnosti nemusí byť nevyhnutne osou symetrie. Uvažujme homogénne teleso, ktoré má rovinu súmernosti (na obr. 279 je rovinou súmernosti telesa rovina ). Narysujme si do tejto roviny niekoľko osí a na ne kolmú os, potom z dôvodu symetrie bude každý bod s hmotnosťou a súradnicami zodpovedať bodu s rovnakou hmotnosťou a súradnicami rovnými . V dôsledku toho, ako v predchádzajúcom prípade, zistíme, že alebo odkiaľ vyplýva, že os je hlavnou osou zotrvačnosti pre bod O. Ak má teda teleso rovinu symetrie, potom akákoľvek os kolmá na túto rovinu bude hlavná os zotrvačnosti telesa pre bod O, v ktorom os pretína rovinu.

Rovnice (11) vyjadrujú podmienky, že os je hlavnou osou zotrvačnosti telesa pre bod O (počiatok).

Podobne, ak potom os Oy bude hlavnou osou zotrvačnosti pre bod O. Ak sú teda všetky odstredivé momenty zotrvačnosti rovné nule, t.j.

potom každá zo súradnicových osí je hlavnou osou zotrvačnosti telesa pre bod O (počiatok).

Napríklad na obr. 279 všetky tri osi sú hlavnými osami zotrvačnosti pre bod O (os je osou symetrie a osi Ox a Oy sú kolmé na roviny symetrie).

Momenty zotrvačnosti telesa vzhľadom na hlavné osi zotrvačnosti sa nazývajú hlavné momenty zotrvačnosti telesa.

Hlavné osi zotrvačnosti skonštruované pre ťažisko telesa sa nazývajú hlavné centrálne osi zotrvačnosti telesa. Z toho, čo bolo dokázané vyššie, vyplýva, že ak má teleso os súmernosti, potom je táto os jednou z hlavných centrálnych osí zotrvačnosti telesa, keďže ťažisko leží na tejto osi. Ak má teleso rovinu symetrie, potom os kolmá na túto rovinu a prechádzajúca ťažiskom telesa bude zároveň jednou z hlavných centrálnych osí zotrvačnosti telesa.

V uvedených príkladoch sa uvažovalo so symetrickými telesami, čo je dostatočné na vyriešenie problémov, s ktorými sa stretneme. Dá sa však dokázať, že cez ktorýkoľvek bod ľubovoľného telesa je možné nakresliť aspoň tri na seba kolmé osi, pre ktoré budú splnené rovnosti (11), t.j. ktoré budú hlavnými osami zotrvačnosti telesa pre tento bod. .

Koncept hlavných osí zotrvačnosti hrá dôležitú úlohu v dynamike tuhého telesa. Ak sú súradnicové osi Oxyz nasmerované pozdĺž nich, potom sa všetky odstredivé momenty zotrvačnosti otočia na nulu a príslušné rovnice alebo vzorce sa výrazne zjednodušia (pozri § 105, 132). S týmto pojmom súvisí aj riešenie úloh o dynamickej rovnici rotujúcich telies (pozri § 136), o stredisku dopadu (pozri § 157) atď.

DEFINÍCIA

Axiálny (alebo rovníkový) moment zotrvačnosti prierez vzhľadom na os sa nazýva množstvo, ktoré je definované ako:

Výraz (1) znamená, že na výpočet osového momentu zotrvačnosti sa súčet súčinov nekonečne malých plôch () vynásobených druhou mocninou vzdialeností od nich k osi rotácie prevezme na celú plochu S:

Súčet axiálnych momentov zotrvačnosti rezu vzhľadom na vzájomne kolmé osi (napríklad vzhľadom na osi X a Y v karteziánskom súradnicovom systéme) dáva polárny moment zotrvačnosti () vzhľadom na priesečník týchto osí:

DEFINÍCIA

Polárny moment zotrvačnosť sa nazýva moment zotrvačnosti rezu vzhľadom na nejaký bod.

Axiálne momenty zotrvačnosti sú vždy väčšie ako nula, pretože v ich definíciách (1) je pod znamienkom integrálu hodnota plochy elementárnej plochy (), vždy kladná, a štvorec vzdialenosti od tejto plochy k os.

Ak máme do činenia s prierezom zložitého tvaru, potom pri výpočtoch často využívame skutočnosť, že osový moment zotrvačnosti zložitého prierezu vzhľadom na os sa rovná súčtu osových momentov zotrvačnosti častí tohto prierezu. vzhľadom na rovnakú os. Malo by sa však pamätať na to, že nie je možné zhrnúť momenty zotrvačnosti, ktoré sa vyskytujú vo vzťahu k rôznym osám a bodom.

Osový moment zotrvačnosti voči osi prechádzajúcej ťažiskom úseku má najmenšiu hodnotu zo všetkých momentov voči osám rovnobežným s ním. Moment zotrvačnosti okolo ktorejkoľvek osi () za predpokladu, že je rovnobežná s osou prechádzajúcou cez ťažisko, sa rovná:

kde je moment zotrvačnosti prierezu vzhľadom na os prechádzajúcu ťažiskom prierezu; - plocha prierezu; - vzdialenosť medzi osami.

Príklady riešenia problémov

PRÍKLAD 1

Cvičenie	Aký je osový moment zotrvačnosti rovnoramenného trojuholníkového prierezu vzhľadom k osi Z prechádzajúcej ťažiskom () trojuholníka rovnobežne s jeho základňou? Výška trojuholníka je .
Riešenie	Vyberme si pravouhlú elementárnu plochu na trojuholníkovom reze (pozri obr. 1). Nachádza sa vo vzdialenosti od osi otáčania, dĺžka jednej strany je , druhá strana je . Z obr. 1 vyplýva, že: Plocha vybraného obdĺžnika, berúc do úvahy (1.1), sa rovná: Na zistenie osového momentu zotrvačnosti použijeme jeho definíciu v tvare:
Odpoveď

PRÍKLAD 2

Cvičenie	Nájdite osové momenty zotrvačnosti vzhľadom na kolmé osi X a Y (obr. 2) rezu v tvare kruhu, ktorého priemer sa rovná d.
Riešenie	Na vyriešenie problému je vhodnejšie začať nájdením polárneho momentu vzhľadom k stredu úseku (). Rozdeľme celý rez na nekonečne tenké prstence hrúbky , ktorých polomer označíme . Potom nájdeme základnú oblasť ako:

GEOMETRICKÉ CHARAKTERISTIKY ROVINNÝCH SEKCIÍ.

Ako ukazujú skúsenosti, odolnosť tyče voči rôznym deformáciám závisí nielen od rozmerov prierezu, ale aj od tvaru.

Rozmery a tvar prierezu sú charakterizované rôznymi geometrickými charakteristikami: plocha prierezu, statické momenty, momenty zotrvačnosti, momenty odporu atď.

1. Statický moment plochy(moment zotrvačnosti prvého stupňa).

Statický moment zotrvačnosti plocha vzhľadom na ľubovoľnú os je súčtom súčinov elementárnych plôch a vzdialenosti od tejto osi, rozložená po celej ploche (obr. 1)

Obr.1

Vlastnosti statického momentu plochy:

1. Statický moment plochy sa meria v jednotkách dĺžky tretej mocniny (napríklad cm 3).

2. Statický moment môže byť menší ako nula, väčší ako nula a teda rovný nule. Osi, okolo ktorých je statický moment nulový, prechádzajú ťažiskom úseku a nazývajú sa stredové osi.

Ak x c A y c sú súradnice ťažiska, potom

3. Statický moment zotrvačnosti zložitého prierezu vzhľadom na ľubovoľnú os sa rovná súčtu statických momentov zložiek jednoduchých prierezov vzhľadom na rovnakú os.

Pojem statického momentu zotrvačnosti vo vede o pevnosti sa používa na určenie polohy ťažiska sekcií, aj keď je potrebné pamätať na to, že v symetrických sekciách leží ťažisko v priesečníku osí symetrie.

2. Moment zotrvačnosti plochých úsekov (obrázkov) (momenty zotrvačnosti druhého stupňa).

A) axiálne(ekvatoriálny) moment zotrvačnosti.

Axiálny moment zotrvačnosti Plocha obrazca vzhľadom na ktorúkoľvek os je súčtom súčinov elementárnych plôch druhou mocninou vzdialenosti k tejto osi rozloženia po celej ploche (obr. 1)

Vlastnosti osového momentu zotrvačnosti.

1. Axiálny moment zotrvačnosti plochy sa meria v jednotkách dĺžky štvrtej mocniny (napríklad cm 4).

2. Axiálny moment zotrvačnosti je vždy väčší ako nula.

3. Osový moment zotrvačnosti zložitého prierezu vzhľadom na ľubovoľnú os sa rovná súčtu osových momentov zložiek jednoduchých prierezov vzhľadom na rovnakú os:

4. Veľkosť osového momentu zotrvačnosti charakterizuje schopnosť tyče (nosníka) určitého prierezu odolávať ohybu.

b) Polárny moment zotrvačnosti.

Polárny moment zotrvačnosti Plocha obrazca vzhľadom k akémukoľvek pólu je súčtom súčinov elementárnych plôch druhou mocninou vzdialenosti k pólu, rozložených po celej ploche (obr. 1).

Vlastnosti polárneho momentu zotrvačnosti:

1. Polárny moment zotrvačnosti plochy sa meria v jednotkách dĺžky štvrtej mocniny (napríklad cm 4).

2. Polárny moment zotrvačnosti je vždy väčší ako nula.

3. Polárny moment zotrvačnosti zložitého úseku vzhľadom na ľubovoľný pól (stred) sa rovná súčtu polárnych momentov zložiek jednoduchých úsekov vzhľadom na tento pól.

4. Polárny moment zotrvačnosti úseku sa rovná súčtu osových momentov zotrvačnosti tohto úseku voči dvom vzájomne kolmým osám prechádzajúcich pólom.

5. Veľkosť polárneho momentu zotrvačnosti charakterizuje schopnosť tyče (nosníka) určitého tvaru prierezu odolávať krúteniu.

c) Odstredivý moment zotrvačnosti.

ODstredivý MOMENT ZOTRVAČNOSTI plochy obrazca vzhľadom na akýkoľvek súradnicový systém je súčtom súčinov elementárnych plôch a súradníc, rozšírených na celú plochu (obr. 1)

Vlastnosti odstredivého momentu zotrvačnosti:

1. Odstredivý moment zotrvačnosti plochy sa meria v jednotkách dĺžky štvrtej mocniny (napríklad cm 4).

2. Odstredivý moment zotrvačnosti môže byť väčší ako nula, menší ako nula a rovný nule. Osi, okolo ktorých je odstredivý moment zotrvačnosti nulový, sa nazývajú hlavné osi zotrvačnosti. Hlavnými osami budú dve na seba kolmé osi, z ktorých aspoň jedna je osou symetrie. Hlavné osi prechádzajúce ťažiskom oblasti sa nazývajú hlavné centrálne osi a axiálne momenty zotrvačnosti oblasti sa nazývajú hlavné centrálne momenty zotrvačnosti.

3. Odstredivý moment zotrvačnosti zložitého úseku v ľubovoľnom súradnicovom systéme sa rovná súčtu odstredivých momentov zotrvačnosti jednotlivých útvarov v tom istom súradnicovom systéme.

MOMENTY ZOTRVAČNOSTI VZHĽADOM NA PARALELNÉ OSI.

Obr.2

Dané: os x, y– centrálny;

tie. osový moment zotrvačnosti v reze okolo osi rovnobežnej so stredovou sa rovná osovému momentu okolo jej stredovej osi plus súčin plochy a štvorca vzdialenosti medzi osami. Z toho vyplýva, že osový moment zotrvačnosti úseku vzhľadom na stredovú os má v sústave rovnobežných osí minimálnu hodnotu.

Po vykonaní podobných výpočtov pre odstredivý moment zotrvačnosti získame:

J x1y1 = J xy + Aab

tie. Odstredivý moment zotrvačnosti rezu vzhľadom na osi rovnobežné s centrálnym súradnicovým systémom sa rovná odstredivému momentu v centrálnom súradnicovom systéme plus súčin plochy a vzdialenosti medzi osami.

MOMENTY ZOTRVAČNOSTI V OTOČNOM SÚRADNICOM SYSTÉME

tie. súčet osových momentov zotrvačnosti rezu je konštantná hodnota, nezávisí od uhla natočenia súradnicových osí a rovná sa polárnemu momentu zotrvačnosti voči počiatku. Odstredivý moment zotrvačnosti môže zmeniť svoju hodnotu a zmeniť sa na „0“.

Osi, okolo ktorých je odstredivý moment nulový, budú hlavnými osami zotrvačnosti, a ak prechádzajú ťažiskom, potom sa nazývajú hlavné osi zotrvačnosti a označujú sa „ u" a "".

Momenty zotrvačnosti okolo hlavných centrálnych osí sa nazývajú hlavné centrálne momenty zotrvačnosti a sú označené , a hlavné centrálne momenty zotrvačnosti majú extrémne hodnoty, t.j. jeden je „min“ a druhý je „max“.

Nech uhol „a 0 “ charakterizuje polohu hlavných osí, potom:

Pomocou tejto závislosti určíme polohu hlavných osí. Veľkosť hlavných momentov zotrvačnosti po niektorých transformáciách je určená nasledujúcim vzťahom:

PRÍKLADY URČOVANIA AXIÁLNYCH MOMENTOV ZOTRVAČNOSTI, POLÁRNYCH MOMENTOV ZOTRVAČNOSTI A MOMENTOV ODPORU JEDNODUCHÝCH OBRÁZKOV.

1. Obdĺžnikový rez

Nápravy X a y - tu av iných príkladoch - hlavné centrálne osi zotrvačnosti.

Určme axiálne momenty odporu:

2. Okrúhla pevná časť. Momenty zotrvačnosti.

Tak je to všade rovnaké

Ja = ρ ∫ (V) r 2 d V. (\displaystyle J_(a)=\rho \int \limits _((V))r^(2)dV.)

Huygens - Steinerova veta

Moment zotrvačnosti pevného telesa vzhľadom na ktorúkoľvek os závisí od hmotnosti, tvaru a veľkosti telesa, ako aj od polohy telesa voči tejto osi. Podľa Huygens-Steinerovej vety moment zotrvačnosti telesa J vzhľadom na ľubovoľnú os sa rovná súčtu momentu zotrvačnosti tohto telesa J c vzhľadom na os prechádzajúcu cez ťažisko tela rovnobežnú s uvažovanou osou a súčinom hmotnosti tela m na štvorec vzdialenosti d medzi osami:

J = Jc + md2, (\displaystyle J=J_(c)+md^(2),)

Kde m- celková telesná hmotnosť.

Napríklad moment zotrvačnosti tyče vo vzťahu k osi prechádzajúcej jej koncom sa rovná:

J = Jc + md2 = 112 ml2 + m (12)2 = 13 m12. (\displaystyle J=J_(c)+md^(2)=(\frac (1)(12))ml^(2)+m\vľavo((\frac (l)(2))\vpravo)^ (2)=(\frac (1)(3))ml^(2).)

Axiálne momenty zotrvačnosti niektorých telies

Momenty zotrvačnosti homogénne telesá najjednoduchšieho tvaru vzhľadom na určité osi otáčania

Telo	Popis	Poloha osi a	Moment zotrvačnosti J a
	Hmotná bodová hmotnosť m	Na diaľku r z bodu, stacionárne
	Dutý tenkostenný valec alebo polomerový krúžok r a omše m	Os valca	m r 2 (\displaystyle mr^(2))
	Pevný valec alebo polomerový disk r a omše m	Os valca	1 2 m r 2 (\displaystyle (\frac (1)(2))mr^(2))
	Dutý hrubostenný masový valec m s vonkajším polomerom r 2 a vnútorný polomer r 1	Os valca	m r 2 2 + r 1 2 2 (\displaystyle m(\frac (r_(2)^(2)+r_(1)^(2))(2)))
	Pevná dĺžka valca l, polomer r a omše m		1 4 m ⋅ r 2 + 1 12 m ⋅ l 2 (\displaystyle (1 \over 4)m\cdot r^(2)+(1 \over 12)m\cdot l^(2))
	Dutý tenkostenný valec (prstenec) dĺžka l, polomer r a omše m	Os je kolmá na valec a prechádza jeho ťažiskom	1 2 m ⋅ r 2 + 1 12 m ⋅ l 2 (\displaystyle (1 \over 2)m\cdot r^(2)+(1 \over 12)m\cdot l^(2))
	Rovná tenká tyč l a omše m	Os je kolmá na tyč a prechádza jej ťažiskom	1 12 m l 2 (\displaystyle (\frac (1)(12))ml^(2))
	Rovná tenká tyč l a omše m	Os je kolmá na tyč a prechádza jej koncom	1 3 m l 2 (\displaystyle (\frac (1)(3))ml^(2))
	Tenkostenná guľa s polomerom r a omše m	Os prechádza stredom gule	2 3 m r 2 (\displaystyle (\frac (2)(3))mr^(2))
	Polomerová guľa r a omše m	Os prechádza stredom lopty	2 5 m r 2 (\displaystyle (\frac (2)(5))mr^(2))
	Polomerový kužeľ r a omše m	Os kužeľa	3 10 m r 2 (\displaystyle (\frac (3)(10))mr^(2))
	Rovnoramenný trojuholník s nadmorskou výškou h, základ a a omšu m	Os je kolmá na rovinu trojuholníka a prechádza vrcholom	1 24 m (a 2 + 12 h 2) (\displaystyle (\frac (1)(24))m(a^(2)+12h^(2)))
	Pravidelný trojuholník so stranou a a omšu m	Os je kolmá na rovinu trojuholníka a prechádza ťažiskom	1 12 m a 2 (\displaystyle (\frac (1)(12))ma^(2))
	Štvorec so stranou a a omšu m	Os je kolmá na rovinu štvorca a prechádza ťažiskom	1 6 m a 2 (\displaystyle (\frac (1)(6))ma^(2))
	Obdĺžnik so stranami a A b a omšu m	Os je kolmá na rovinu obdĺžnika a prechádza ťažiskom	1 12 m (a 2 + b 2) (\displaystyle (\frac (1)(12))m(a^(2)+b^(2)))
	Pravidelný n-uholník polomeru r a omšu m	Os je kolmá na rovinu a prechádza ťažiskom	m r 2 6 [ 1 + 2 cos ⁡ (π / n) 2 ] (\displaystyle (\frac (mr^(2))(6))\left)
	Torus (dutý) s polomerom vodiacej kružnice R, polomer tvoriacej kružnice r a omšu m	Os je kolmá na rovinu vodiacej kružnice torusu a prechádza ťažiskom	I = m (3 4 r 2 + R 2) (\displaystyle I=m\left((\frac (3)(4))\,r^(2)+R^(2)\right))

Odvodzovanie vzorcov

Tenkostenný valec (krúžok, obruč)

Odvodenie vzorca

Moment zotrvačnosti telesa sa rovná súčtu momentov zotrvačnosti jeho častí. Rozdeľme tenkostenný valec na prvky s hmotnosťou dm a momenty zotrvačnosti DJ i. Potom

J = ∑ d J i = ∑ R i 2 d m. (1) . (\displaystyle J=\súčet dJ_(i)=\súčet R_(i)^(2)dm.\qquad (1).)

Pretože všetky prvky tenkostenného valca sú v rovnakej vzdialenosti od osi otáčania, vzorec (1) sa transformuje do tvaru

J = ∑ R 2 d m = R 2 ∑ d m = m R 2 . (\displaystyle J=\súčet R^(2)dm=R^(2)\súčet dm=mR^(2).)

Hrubostenný valec (krúžok, obruč)

Odvodenie vzorca

Nech je homogénny prstenec s vonkajším polomerom R, vnútorný polomer R 1, tl h a hustota ρ. Rozlámeme ho na tenké krúžky DR. Hmotnosť a moment zotrvačnosti prstenca s tenkým polomerom r bude

d m = ρ d V = ρ ⋅ 2 π r h d r; d J = r 2 d m = 2 π ρ h r 3 d r. (\displaystyle dm=\rho dV=\rho \cdot 2\pi rhdr;\qquad dJ=r^(2)dm=2\pi \rho hr^(3)dr.)

Nájdite moment zotrvačnosti hrubého prstenca ako integrál

J = ∫ R 1 R d J = 2 π ρ h ∫ R 1 R r 3 d r = (\displaystyle J=\int _(R_(1))^(R)dJ=2\pi \rho h\int _ (R_(1))^(R)r^(3)dr=) = 2 π ρ h r 4 4 | R 1 R = 1 2 π ρ h (R 4 − R 1 4) = 1 2 π ρ h (R 2 − R 1 2) (R 2 + R 1 2) . (\displaystyle =2\pi \rho h\left.(\frac (r^(4))(4))\right|_(R_(1))^(R)=(\frac (1)(2 ))\pi \rho h\left(R^(4)-R_(1)^(4)\right)=(\frac (1)(2))\pi \rho h\left(R^(2) )-R_(1)^(2)\vpravo)\vľavo(R^(2)+R_(1)^(2)\vpravo).)

Pretože objem a hmotnosť prstenca sú rovnaké

V = π (R2 - R12) h; m = ρ V = π ρ (R 2 − R 1 2) h , (\displaystyle V=\pi \left(R^(2)-R_(1)^(2)\right)h;\qquad m= \rho V=\pi \rho \left(R^(2)-R_(1)^(2)\right)h,)

získame konečný vzorec pre moment zotrvačnosti prstenca

J = 12 m (R2 + R12). (\displaystyle J=(\frac (1)(2))m\left(R^(2)+R_(1)^(2)\right).)

Homogénny disk (plný valec)

Odvodenie vzorca

Uvažovať valec (disk) ako krúžok s nulovým vnútorným polomerom ( R 1 = 0 ), dostaneme vzorec pre moment zotrvačnosti valca (disku):

J = 12 mR2. (\displaystyle J=(\frac (1)(2))mR^(2).)

Pevný kužeľ

Odvodenie vzorca

Rozbijeme kužeľ na tenké kotúče s hrúbkou dh, kolmo na os kužeľa. Polomer takéhoto disku sa rovná

r = Rh H , (\displaystyle r=(\frac (Rh)(H)),)

Kde R- polomer kužeľovej základne, H- výška kužeľa, h– vzdialenosť od vrcholu kužeľa k disku. Hmotnosť a moment zotrvačnosti takéhoto disku bude

d J = 1 2 r 2 d m = 1 2 π ρ r 4 d h = 1 2 π ρ (R h H) 4 d h; (\displaystyle dJ=(\frac (1)(2))r^(2)dm=(\frac (1)(2))\pi \rho r^(4)dh=(\frac (1)( 2))\pi \rho \vľavo((\frac (Rh)(H))\vpravo)^(4)dh;)

Integrácia, chápeme

J = ∫ 0 H d J = 1 2 π ρ (R H) 4 ∫ 0 H h 4 d h = 1 2 π ρ (R H) 4 h 5 5 | 0 H == 1 10 π ρ R 4 H = (ρ ⋅ 1 3 π R 2 H) 3 10 R 2 = 3 10 m R2. (\displaystyle (\begin(aligned)J=\int _(0)^(H)dJ=(\frac (1)(2))\pi \rho \left((\frac (R)(H)) \right)^(4)\int _(0)^(H)h^(4)dh=(\frac (1)(2))\pi \rho \left((\frac (R)(H) )\vpravo)^(4)\vľavo.(\frac (h^(5))(5))\vpravo|_(0)^(H)==(\frac (1)(10))\pi \rho R^(4)H=\vľavo(\rho \cdot (\frac (1)(3))\pi R^(2)H\vpravo)(\frac (3)(10))R^( 2)=(\frac (3)(10))mR^(2).\end(zarovnané)))

Pevná homogénna guľa

Odvodenie vzorca

Rozbijeme guľu na tenké kotúče hrúbky dh, kolmo na os otáčania. Polomer takéhoto disku umiestneného vo výške h od stredu gule ju nájdeme pomocou vzorca

r = R2 - h2. (\displaystyle r=(\sqrt (R^(2)-h^(2))).)

Hmotnosť a moment zotrvačnosti takéhoto disku bude

d m = ρ d V = ρ ⋅ π r 2 d h; (\displaystyle dm=\rho dV=\rho \cdot \pi r^(2)dh;) d J = 1 2 r 2 d m = 1 2 π ρ r 4 d h = 1 2 π ρ (R 2 − h 2) 2 d h = 1 2 π ρ (R 4 − 2 R 2 h 2 + h 4) d h . (\displaystyle dJ=(\frac (1)(2))r^(2)dm=(\frac (1)(2))\pi \rho r^(4)dh=(\frac (1)( 2))\pi \rho \left(R^(2)-h^(2)\right)^(2)dh=(\frac (1)(2))\pi \rho \left(R^( 4)-2R^(2)h^(2)+h^(4)\vpravo)dh.)

Moment zotrvačnosti lopty nájdeme integráciou:

J = ∫ − R R d J = 2 ∫ 0 R d J = π ρ ∫ 0 R (R 4 − 2 R 2 h 2 + h 4) d h = = π ρ (R 4 h − 2 3 R 2 h 3 + 1 5 h 5) | 0 R = π ρ (R 5 − 2 3 R 5 + 1 5 R 5) = 8 15 π ρ R 5 = = (4 3 π R 3 ρ) ⋅ 2 5 R 2 = 2 5 m R 2 . (\displaystyle (\begin(aligned)J&=\int _(-R)^(R)dJ=2\int _(0)^(R)dJ=\pi \rho \int _(0)^(R )\left(R^(4)-2R^(2)h^(2)+h^(4)\right)dh=\\&=\pi \rho \left.\left(R^(4) h-(\frac (2)(3))R^(2)h^(3)+(\frac (1)(5))h^(5)\vpravo)\vpravo|_(0)^( R)=\pi \rho \left(R^(5)-(\frac (2)(3))R^(5)+(\frac (1)(5))R^(5)\vpravo) =(\frac (8)(15)\pi \rho R^(5)=\\&=\left((\frac (4)(3))\pi R^(3)\rho \right) \cdot (\frac (2)(5))R^(2)=(\frac (2)(5))mR^(2).\end(zarovnané)))

Tenkostenná guľa

Odvodenie vzorca

Aby sme to odvodili, použijeme vzorec pre moment zotrvačnosti homogénnej gule s polomerom R :

Jo = 2 5 M R2 = 8 15 π ρ R5. (\displaystyle J_(0)=(\frac (2)(5))MR^(2)=(\frac (8)(15))\pi \rho R^(5).)

Vypočítajme, o koľko sa zmení moment zotrvačnosti gule, ak sa pri konštantnej hustote ρ jej polomer zväčší o nekonečne malé množstvo DR .

J = d J 0 d R d R = d d R (8 15 π ρ R 5) d R = = 8 3 π ρ R 4 d R = (ρ ⋅ 4 π R 2 d R) 2 3 R 2 = 2 3 mR2. (\displaystyle (\begin(aligned)J&=(\frac (dJ_(0))(dR))dR=(\frac (d)(dR))\left((\frac (8)(15))\ pi \rho R^(5)\vpravo)dR=\\&=(\frac (8)(3))\pi \rho R^(4)dR=\vľavo(\rho \cdot 4\pi R^ (2)dR\vpravo)(\frac (2)(3))R^(2)=(\frac (2)(3))mR^(2).\end(zarovnané)))

Tenká tyč (os prechádza stredom)

Odvodenie vzorca

Rozbijeme tyč na malé kúsky dĺžky DR. Hmotnosť a moment zotrvačnosti takéhoto fragmentu sa rovnajú

d m = m d r l; d J = r2 d m = m r2 d r l. (\displaystyle dm=(\frac (mdr)(l));\qquad dJ=r^(2)dm=(\frac (mr^(2)dr)(l)).)

Integrácia, chápeme

J = ∫ − l / 2 l / 2 d J = 2 ∫ 0 l / 2 d J = 2 m l ∫ 0 l / 2 r 2 d r = 2 m l r 3 3 | 0 l / 2 = 2 m l 3 24 = 1 12 m l 2. (\displaystyle J=\int _(-l/2)^(l/2)dJ=2\int _(0)^(l/2)dJ=(\frac (2m)(l))\int _ (0)^(l/2)r^(2)dr=(\frac (2m)(l))\vľavo.(\frac (r^(3))(3))\vpravo|_(0) ^(l/2)=(\frac (2m)(l))(\frac (l^(3))(24))=(\frac (1)(12))ml^(2.)

Tenká tyč (os prechádza cez koniec)

Odvodenie vzorca

Keď sa os otáčania pohybuje od stredu tyče k jej koncu, ťažisko tyče sa pohybuje vzhľadom na os o vzdialenosť l⁄ 2. Podľa Steinerovej vety bude nový moment zotrvačnosti rovný

J = J° + mr2 = J° + m (12)2 = 112 ml2 + 14 ml2 = 13 m12. (\displaystyle J=J_(0)+mr^(2)=J_(0)+m\vľavo((\frac (l)(2)\vpravo)^(2)=(\frac (1)( 12))ml^(2)+(\frac (1)(4))ml^(2)=(\frac (1)(3))ml^(2.)

Bezrozmerné momenty zotrvačnosti planét a satelitov

Ich bezrozmerné momenty zotrvačnosti majú veľký význam pre štúdium vnútornej štruktúry planét a ich satelitov. Bezrozmerný moment zotrvačnosti telesa s polomerom r a omše m sa rovná pomeru momentu jeho zotrvačnosti voči osi rotácie k momentu zotrvačnosti hmotného bodu rovnakej hmotnosti voči pevnej osi rotácie umiestnenej vo vzdialenosti r(rovná Pán 2). Táto hodnota odráža rozloženie hmoty v hĺbke. Jednou z metód na jej meranie v blízkosti planét a satelitov je určenie Dopplerovho posunu rádiového signálu vysielaného AMS letiacim v blízkosti danej planéty alebo satelitu. Pre tenkostennú guľu je bezrozmerný moment zotrvačnosti 2/3 (~0,67), pre homogénnu guľu je to 0,4 a vo všeobecnosti platí, že čím je menšia, tým väčšia je hmotnosť telesa sústredená v jej strede. Napríklad Mesiac má bezrozmerný moment zotrvačnosti blízky 0,4 (rovná sa 0,391), takže sa predpokladá, že je relatívne homogénny, jeho hustota sa s hĺbkou mení len málo. Bezrozmerný moment zotrvačnosti Zeme je menší ako u homogénnej gule (rovnajúci sa 0,335), čo je argument v prospech existencie hustého jadra.

Odstredivý moment zotrvačnosti

Odstredivé momenty zotrvačnosti telesa vzhľadom na osi pravouhlého karteziánskeho súradnicového systému sú tieto veličiny:

J x y = ∫ (m) x y d m = ∫ (V) x y ρ d V , (\displaystyle J_(xy)=\int \limits _((m))xydm=\int \limits _((V))xy\ rho dV,) J x z = ∫ (m) x z d m = ∫ (V) x z ρ d V , (\displaystyle J_(xz)=\int \limits _((m))xzdm=\int \limits _((V))xz\ rho dV,) J y z = ∫ (m) y z d m = ∫ (V) y z ρ d V , (\displaystyle J_(yz)=\int \limits _((m))yzdm=\int \limits _((V))yz\ rho dV,)

Kde X , r A z- súradnice malého telesného prvku s objemom dV, hustota ρ a hmotnosť dm .

Os OX sa nazýva hlavná os zotrvačnosti tela, ak sú odstredivé momenty zotrvačnosti J xy A J xz sú súčasne rovné nule. Cez každý bod telesa je možné viesť tri hlavné osi zotrvačnosti. Tieto osi sú na seba navzájom kolmé. Momenty zotrvačnosti tela vzhľadom na tri hlavné osi zotrvačnosti nakreslené v ľubovoľnom bode O telá sa nazývajú hlavné momenty zotrvačnosti tohto tela.

Hlavné osi zotrvačnosti prechádzajúce ťažiskom telesa sú tzv hlavné centrálne osi zotrvačnosti tela a momenty zotrvačnosti okolo týchto osí sú jeho hlavné centrálne momenty zotrvačnosti. Os symetrie homogénneho telesa je vždy jednou z jeho hlavných centrálnych osí zotrvačnosti.

Geometrické momenty zotrvačnosti

Geometrický moment zotrvačnosti objemu

J V a = ∫ (V) r 2 d V , (\displaystyle J_(Va)=\int \limits _((V))r^(2)dV,)

kde, ako predtým r- vzdialenosť od prvku dV do osi a .

Geometrický moment zotrvačnosti plochy vzhľadom na os - geometrická charakteristika tela vyjadrená vzorcom:

J S a = ∫ (S) r 2 d S , (\displaystyle J_(Sa)=\int \limits _((S))r^(2)dS,)

kde sa integrácia vykonáva po povrchu S, A dS- prvok tohto povrchu.

Rozmer JSa- dĺžka do štvrtej mocniny ( d i m J S a = L 4 (\displaystyle \mathrm (dim) J_(Sa)=\mathrm (L^(4)) )), jednotka merania SI je 4. V stavebných výpočtoch, literatúre a sortimente valcovaných kovov sa často uvádza v cm 4.

Prierezový moment odporu je vyjadrený geometrickým momentom zotrvačnosti plochy:

W = JSarm ax. (\displaystyle W=(\frac (J_(Sa))(r_(max))).)

Tu r max- maximálna vzdialenosť od povrchu k osi.

Geometrické momenty zotrvačnosti oblasti niektorých postáv
Výška obdĺžnika h (\displaystyle h) a šírka b (\displaystyle b):	J y = b h 3 12 (\displaystyle J_(y)=(\frac (bh^(3))(12))) J z = h b 3 12 (\displaystyle J_(z)=(\frac (hb^(3))(12)))
Obdĺžnikový boxový diel s výškou a šírkou pozdĺž vonkajších obrysov H (\displaystyle H) A B (\displaystyle B) a pre interné h (\displaystyle h) A b (\displaystyle b) resp	Jz = B H 3 12 − b h 3 12 = 1 12 (B H 3 − b h 3) (\displaystyle J_(z)=(\frac (BH^(3))(12))-(\frac (bh^( 3))(12))=(\frac (1)(12))(BH^(3)-bh^(3))) J y = HB 3 12 − h b 3 12 = 1 12 (H B 3 − hb 3) (\displaystyle J_(y)=(\frac (HB^(3))(12))-(\frac (hb^( 3))(12))=(\frac (1)(12))(HB^(3)-hb^(3)))
Priemer kruhu d (\displaystyle d)	J y = J z = π d 4 64 (\displaystyle J_(y)=J_(z)=(\frac (\pi d^(4))(64)))

Moment zotrvačnosti vzhľadom na rovinu

Moment zotrvačnosti tuhého telesa vzhľadom na určitú rovinu je skalárna veličina rovnajúca sa súčtu súčinov hmotnosti každého bodu telesa druhou mocninou vzdialenosti od tohto bodu k príslušnej rovine.

Ak cez ľubovoľný bod O (\displaystyle O) nakresliť súradnicové osi x , y , z (\displaystyle x,y,z), potom momenty zotrvačnosti vzhľadom na súradnicové roviny x O y (\displaystyle xOy), y O z (\displaystyle yOz) A z O x (\displaystyle zOx) budú vyjadrené vzorcami:

J x O y = ∑ i = 1 n m i z i 2, (\displaystyle J_(xOy)=\sum _(i=1)^(n)m_(i)z_(i)^(2)\ ,) J y O z = ∑ i = 1 n m i x i 2, (\displaystyle J_(yOz)=\sum _(i=1)^(n)m_(i)x_(i)^(2)\ ,) Jz O x = ∑ i = 1 n m i y i 2. (\displaystyle J_(zOx)=\sum _(i=1)^(n)m_(i)y_(i)^(2)\ .)

V prípade pevného telesa je sumácia nahradená integráciou.

Centrálny moment zotrvačnosti

Centrálny moment zotrvačnosti (moment zotrvačnosti okolo bodu O, moment zotrvačnosti okolo pólu, polárny moment zotrvačnosti) J O (\displaystyle J_(O)) je množstvo určené výrazom:

Ja = ∫ (m) r 2 d m = ∫ (V) ρ r 2 d V , (\displaystyle J_(a)=\int \limits _((m))r^(2)dm=\int \limits _((V))\rho r^(2)dV,)

Centrálny moment zotrvačnosti možno vyjadriť ako hlavné axiálne momenty zotrvačnosti, tak aj momenty zotrvačnosti okolo rovín:

J O = 1 2 (J x + J y + J z), (\displaystyle J_(O)=(\frac (1)(2))\left(J_(x)+J_(y)+J_(z) \správny),) JO = JxOy+JyOz + JxOz. (\displaystyle J_(O)=J_(xOy)+J_(yOz)+J_(xOz).)

Tenzor zotrvačnosti a elipsoid zotrvačnosti

Moment zotrvačnosti telesa vo vzťahu k ľubovoľnej osi prechádzajúcej ťažiskom a so smerom určeným jednotkovým vektorom s → = ‖ s x , s y , s z ‖ T , | s → | = 1 (\displaystyle (\vec (s))=\left\Vert s_(x),s_(y),s_(z)\right\Vert ^(T),\left\vert (\vec (s) )\vpravo\vert =1), môžu byť reprezentované vo forme kvadratickej (bilineárnej) formy:

I s = s → T ⋅ J ^ ⋅ s → , (\displaystyle I_(s)=(\vec (s))^(T)\cdot (\hat (J))\cdot (\vec (s)) ,\qquad) (1)

kde je tenzor zotrvačnosti. Matica tenzora zotrvačnosti je symetrická a má rozmery 3 × 3 (\displaystyle 3\time 3) a skladá sa zo zložiek odstredivých momentov:

J ^ = ‖ J x x − J x y − J x z − J y x J y − J y z − J z x − J z y J z z ‖ , (\displaystyle (\klobúk (J))=\left\Vert (\begin(pole )(ccc)J_(xx)&-J_(xy)&-J_(xz)\\-J_(yx)&J_(yy)&-J_(yz)\\-J_(zx)&-J_(zy) &J_(zz)\koniec (pole))\vpravo\Vert ,) J x y = J y x , J x z = J z x , J z y = J y z , (\displaystyle J_(xy)=J_(yx),\quad J_(xz)=J_(zx),\quad J_(zy)= J_(yz),\quad )J x x = ∫ (m) (y2 + z2) dm, Jyy = ∫ (m) (x2 + z2) dm, Jzz = ∫(m) (x2 + y2) dm. (\displaystyle J_(xx)=\int \limits _((m))(y^(2)+z^(2))dm,\quad J_(yy)=\int \limits _((m)) (x^(2)+z^(2))dm,\quad J_(zz)=\int \limits _((m))(x^(2)+y^(2))dm.)

Výberom vhodného súradnicového systému možno maticu tenzora zotrvačnosti zredukovať na diagonálnu formu. Aby ste to dosiahli, musíte vyriešiť problém vlastných hodnôt pre tenzorovú maticu J ^ (\displaystyle (\klobúk (J))):

J ^ d = Q ^ T ⋅ J ^ ⋅ Q ^ , (\displaystyle (\klobúk (J))_(d)=(\klobúk (Q))^(T)\cdot (\klobúk (J))\ cdot (\hat (Q)),) J ^ d = ‖ J X 0 0 0 J Y 0 0 0 J Z ‖ , (\displaystyle (\klobúk (J))_(d)=\left\Vert (\begin(array)(ccc)J_(X)&0&0\ \0&J_(Y)&0\\0&0&J_(Z)\koniec (pole))\vpravo\Vert ,)

Kde Q ^ (\displaystyle (\klobúk (Q)))- ortogonálna matica prechodu k vlastnej báze tenzora zotrvačnosti. Na správnom základe sú osi súradníc nasmerované pozdĺž hlavných osí tenzora zotrvačnosti a tiež sa zhodujú s hlavnými poloosami elipsoidu tenzora zotrvačnosti. množstvá J X , J Y , J Z (\displaystyle J_(X),J_(Y),J_(Z))- hlavné momenty zotrvačnosti. Výraz (1) vo svojom vlastnom súradnicovom systéme má tvar:

I s = J X ⋅ s x 2 + J Y ⋅ s y 2 + J Z ⋅ s z 2 , (\displaystyle I_(s)=J_(X)\cdot s_(x)^(2)+J_(Y)\cdot s_(y )^(2)+J_(Z)\cdot s_(z)^(2),)

z ktorej získame rovnicu elipsoidu v jeho vlastných súradniciach. Delenie oboch strán rovnice o Ja s (\displaystyle I_(s))

(s x I s) 2 ⋅ J X + (s y I s) 2 ⋅ J Y + (s z I s) 2 ⋅ J Z = 1 (\displaystyle \left((s_(x) \over (\sqrt (I_(s))) ))\vpravo)^(2)\cdot J_(X)+\left((s_(y) \over (\sqrt (I_(s)))\right)^(2)\cdot J_(Y) +\left((s_(z) \over (\sqrt (I_(s))))\right)^(2)\cdot J_(Z)=1)

a robiť náhrady:

ξ = s x I s , η = s y I s , ζ = s z I s , (\displaystyle \xi =(s_(x) \over (\sqrt (I_(s)))),\eta =(s_(y ) \over (\sqrt (I_(s)))),\zeta =(s_(z) \over (\sqrt (I_(s)))),)

získame kanonickú formu elipsoidnej rovnice v súradniciach ξ η ζ (\displaystyle \xi \eta \zeta ):

ξ 2 ⋅ J X + η 2 ⋅ J Y + ζ 2 ⋅ J Z = 1. (\displaystyle \xi ^(2)\cdot J_(X)+\eta ^(2)\cdot J_(Y)+\zeta ^( 2)\cdot J_(Z)=1.)

Vzdialenosť od stredu elipsoidu k určitému bodu súvisí s hodnotou momentu zotrvačnosti telesa pozdĺž priamky prechádzajúcej stredom elipsoidu a týmto bodom:

r 2 = ξ 2 + η 2 + ζ 2 = (s x I s) 2 + (s y I s) 2 + (s z I s) 2 = 1 I s. (\displaystyle r^(2)=\xi ^(2)+\eta ^(2)+\zeta ^(2)=\left((s_(x) \over (\sqrt (I_(s))) )\right)^(2)+\left((s_(y) \over (\sqrt (I_(s)))\right)^(2)+\left((s_(z) \over (\ sqrt (I_(s))))\right)^(2)=(1 \over I_(s)).)

Často počujeme výrazy: „je inertný“, „pohyb zotrvačnosťou“, „moment zotrvačnosti“. V prenesenom zmysle možno slovo „zotrvačnosť“ interpretovať ako nedostatok iniciatívy a konania. Zaujíma nás priamy význam.

Čo je zotrvačnosť

Podľa definície zotrvačnosť vo fyzike je to schopnosť telies udržiavať stav pokoja alebo pohybu v neprítomnosti vonkajších síl.

Ak je všetko jasné so samotným konceptom zotrvačnosti na intuitívnej úrovni, potom moment zotrvačnosti– samostatná otázka. Súhlasíte, je ťažké si predstaviť, čo to je. V tomto článku sa dozviete, ako vyriešiť základné problémy na túto tému "Moment zotrvačnosti".

Stanovenie momentu zotrvačnosti

Zo školského kurzu je to známe hmotnosť – miera zotrvačnosti telesa. Ak tlačíme dva vozíky rôznej hmotnosti, tak ten ťažší bude ťažšie zastaviť. To znamená, že čím väčšia hmotnosť, tým väčší vonkajší vplyv je potrebný na zmenu pohybu tela. To, čo sa berie do úvahy, platí pre translačný pohyb, keď sa vozík z príkladu pohybuje priamočiaro.

Analogicky s hmotnostným a translačným pohybom je moment zotrvačnosti mierou zotrvačnosti telesa počas rotačného pohybu okolo osi.

Moment zotrvačnosti– skalárna fyzikálna veličina, miera zotrvačnosti telesa pri rotácii okolo osi. Označené písmenom J a v systéme SI merané v kilogramoch krát meter štvorcový.

Ako vypočítať moment zotrvačnosti? Existuje všeobecný vzorec, podľa ktorého sa vo fyzike vypočíta moment zotrvačnosti akéhokoľvek telesa. Ak je teleso rozdelené na nekonečne malé kúsky s hmotnosťou dm , potom sa moment zotrvačnosti bude rovnať súčtu súčinov týchto elementárnych hmotností druhou mocninou vzdialenosti k osi rotácie.

Toto je všeobecný vzorec pre moment zotrvačnosti vo fyzike. Pre hmotný bod hmoty m , rotujúce okolo osi na diaľku r z toho má tento vzorec tvar:

Steinerova veta

Od čoho závisí moment zotrvačnosti? Od hmotnosti, polohy osi otáčania, tvaru a veľkosti tela.

Huygens-Steinerova veta je veľmi dôležitá veta, ktorá sa často používa pri riešení problémov.

Mimochodom! Pre našich čitateľov je teraz zľava 10%. akýkoľvek druh práce

Huygens-Steinerova veta hovorí:

Moment zotrvačnosti telesa voči ľubovoľnej osi sa rovná súčtu momentu zotrvačnosti telesa voči osi prechádzajúcej ťažiskom rovnobežnej s ľubovoľnou osou a súčinu hmotnosti telesa druhou mocninou vzdialenosti medzi osami.

Pre tých, ktorí sa nechcú pri riešení problémov hľadania momentu zotrvačnosti neustále integrovať, uvádzame nákres označujúci momenty zotrvačnosti niektorých homogénnych telies, s ktorými sa v problémoch často stretávame:

Príklad riešenia úlohy na nájdenie momentu zotrvačnosti

Pozrime sa na dva príklady. Prvou úlohou je nájsť moment zotrvačnosti. Druhou úlohou je použiť Huygens-Steinerovu vetu.

Úloha 1. Nájdite moment zotrvačnosti homogénneho disku s hmotnosťou m a polomerom R. Os otáčania prechádza stredom disku.

Riešenie:

Rozdeľme disk na nekonečne tenké krúžky, ktorých polomer sa mení od 0 predtým R a zvážte jeden taký prsteň. Nech je jeho polomer r a hmotnosť - dm. Potom moment zotrvačnosti krúžku je:

Hmotnosť prstenca môže byť vyjadrená ako:

Tu dz- výška prsteňa. Dosadíme hmotnosť do vzorca pre moment zotrvačnosti a integrujme:

Výsledkom bol vzorec pre moment zotrvačnosti absolútneho tenkého disku alebo valca.

Úloha 2. Nech opäť existuje disk s hmotnosťou m a polomerom R. Teraz potrebujeme nájsť moment zotrvačnosti disku vzhľadom na os prechádzajúcu stredom jedného z jeho polomerov.

Riešenie:

Moment zotrvačnosti disku voči osi prechádzajúcej ťažiskom je známy z predchádzajúcej úlohy. Aplikujme Steinerovu vetu a nájdime:

Mimochodom, na našom blogu nájdete ďalšie užitočné materiály o fyzike a riešení problémov.

Dúfame, že v článku nájdete niečo užitočné pre seba. Ak sa v procese výpočtu tenzora zotrvačnosti vyskytnú ťažkosti, nezabudnite na študentskú službu. Naši špecialisti vám poradia s akýmkoľvek problémom a pomôžu problém vyriešiť v priebehu niekoľkých minút.