Metódy stanovenia zvyškov. Metóda váženého rezidua. Problémy teórie poľa

Predseda UNESCO pre NIT, Rein T.S. Úvod Funkcia je aproximovaná množinou funkcií: Kde - neznáme parametre - lineárne nezávislé funkcie patriace do úplnej postupnosti (3) Uvažujme chybovú funkciu (reziduálnu): (4) V tomto prípade budeme predpokladať, že: - množina váhové funkcie (5)

Predseda UNESCO pre NIT, Rein T.S. Kolokačná metóda. Príklad Uvažujme nasledujúcu rovnicu druhého rádu na intervale: s okrajovými podmienkami: Vezmime si aproximatívnu funkciu vo forme výrazu, ktorý spĺňa okrajové podmienky pre ľubovoľné: (6) (7) (8) pre presné riešenie (kontrola ): Ako kolokačné body volíme

Predseda UNESCO pre NIT, Rein T.S. Kolokačná metóda a metóda najmenších štvorcov Rozšírme kolokačnú metódu na prípad, keď počet bodov prevyšuje počet neznámych. V tomto prípade sú neznáme parametre určené minimalizáciou v zmysle odmocniny. sa odhaduje v bodoch (), pričom funkciu môžeme zapísať v tvare: Minimalizujeme (16), pre rovnicu dostaneme: (15) (16) (17)

Predseda UNESCO pre NIT, Rein T.S. Príklad Uvažujme nasledujúcu rovnicu druhého rádu na intervale: s okrajovými podmienkami: a aproximačnú funkciu vo forme výrazu, ktorý spĺňa okrajové podmienky pre ľubovoľné: pre Presné riešenie (kontrola): Vypočítajte nesúlad v troch bodoch:

Predseda UNESCO pre NIT, Rein T.S. Metóda momentov Pre daný systém rovníc: Ako váhové funkcie možno použiť ľubovoľnú množinu lineárne nezávislých funkcií z celej postupnosti, napríklad: Tým sa zabezpečí, že zmiznú zvyškové momenty vyššieho rádu: (18) (17) (19)

Predseda UNESCO pre NIT, Rein T.S. Príklad Uvažujme nasledujúcu rovnicu druhého rádu na intervale: s okrajovými podmienkami: a aproximačnú funkciu vo forme výrazu, ktorý spĺňa okrajové podmienky pre ľubovoľné: pre Presné riešenie (kontrola): Chybová funkcia je ortogonalizovaná vzhľadom na a:

Po relatívne podrobnom preštudovaní jednej metódy prejdeme k predstaveniu ďalších metód v celých triedach. Najbežnejšou triedou sú vážené reziduálne metódy. Vychádzajú z predpokladu, že požadovaná funkcia môže byť reprezentovaná vo forme funkčného radu, napríklad:

Väčšinou sa snažia zvoliť funkciu f 0 tak, aby čo najpresnejšie spĺňala počiatočné a okrajové podmienky. Predpokladá sa, že aproximačné (testovacie) funkcie f j sú známe. Matematici prišli s množstvom požiadaviek na takéto funkcie, ale nebudeme ich tu rozoberať. Obmedzme sa na skutočnosť, že polynómy a goniometrické funkcie tieto požiadavky spĺňajú. Pri popise konkrétnych metód sa zváži niekoľko ďalších príkladov množín podobných funkcií.

Koeficienty a j sú vopred neznáme a mali by sa určiť zo systému rovníc získaných z pôvodnej rovnice. Z nekonečného radu sa vezme len určitý konečný počet členov.

V rovnici, ktorá sa má vyriešiť, sa všetky členy prepíšu na ľavú stranu a na pravej strane zostane iba nula. Takto sa rovnica zredukuje na tvar

Ak sa do tejto rovnice dosadí približné riešenie (zapísané ako konečný súčet vopred zvolených funkcií), nebude splnené rovnako. Preto môžeme písať

kde hodnota R sa nazýva rezíduum. Vo všeobecnosti je zvyšok funkciou x, y, z a t. Problém spočíva v nájdení takých koeficientov a j, že rozdiel zostáva malý v celej výpočtovej oblasti. Pojem „malý“ v týchto metódach znamená, že integrály vo výpočtovej oblasti rezídua vynásobené niektorými váhovými funkciami sú rovné nule. Teda

Po zadaní konečného počtu váhových funkcií získame sústavu rovníc na hľadanie neznámych koeficientov. Zadaním rôznych skúšobných aproximačných (skúšobných) a rôznych váhových funkcií ľahko získame celú triedu metód nazývanú vážené reziduálne metódy.

Tu je niekoľko príkladov najjednoduchších metód z tejto triedy.

Metóda podoblasti. Výpočtová doména je rozdelená na niekoľko subdomén D m, ktoré sa môžu navzájom prekrývať. Funkcia váhy je uvedená vo formulári

To zaisťuje, že integrál zvyšku v každej subdoméne je rovný nule. Metóda slúžila ako základ pre množstvo metód (jednej z nich bude diskutované nižšie).

Kolokačná metóda. Funkcia Dirac delta sa používa ako váhové funkcie

Kde x=(x,y,z). Dovoľte mi pripomenúť, že funkcia Dirac je zložitá funkcia, ktorá sa rovná nule všade okrem pôvodu. Ale na začiatku to nadobudne hodnotu, ktorú veda nepozná, takže akýkoľvek integrál nad oblasťou obsahujúcou počiatok súradníc sa rovná jednote. Zjednodušene povedané: nastavíme určitý počet bodov (v tomto prístupe sa často nazývajú uzly). Pôvodná rovnica bude v týchto bodoch splnená. Existujú prístupy k výberu týchto bodov a skúšobných funkcií na maximalizáciu presnosti s obmedzeným počtom uzlov. Ale nebudeme ich tu rozoberať.

Metóda najmenších štvorcov. Metóda je založená na minimalizácii hodnoty

Nie je však ťažké preukázať, že patrí aj do triedy vážených reziduálnych metód. Váhové funkcie pre ňu sú funkciami formulára

Možno je to najznámejšia metóda z tejto triedy medzi nešpecialistami, ale nie je ani zďaleka najobľúbenejšia medzi odborníkmi.

Galerkinova metóda. V tejto metóde sa aproximačné (skúšobné) funkcie berú ako váhové funkcie. Teda

Metóda je široko používaná v prípadoch, keď chceme nájsť riešenie vo forme spojitej (a nie mriežkovej) funkcie.

Uvažujme o aplikácii týchto metód na výpočet deformácie konzolového nosníka dĺžky L. Nech je odchýlka od stredovej čiary opísaná rovnicou

Vo formulári sú uvedené okrajové podmienky

Riešenie budeme hľadať vo formulári

Potom sa nezrovnalosť zapíše do formulára

Aby sme našli neznáme koeficienty a a b, budeme musieť vytvoriť systém dvoch rovníc. Urobme to pomocou všetkých diskutovaných metód.

Kolokačná metóda. Vyberte dva body na koncoch lúča. Rozdiel v nich prirovnávame k nule

Dostaneme

Ako môžete vidieť, metóda kolokácie je pomerne jednoduchá na implementáciu, ale má nižšiu presnosť ako iné metódy.

Metóda podoblasti. Rozdeľujeme celú dĺžku lúča na dve podoblasti. V každom z nich dávame rovnítko medzi integrál zvyšku k nule.

Galerkinova metóda. Zoberieme integrály rezídua vynásobené testovacími funkciami.

Metóda najmenších štvorcov.

Metóda najmenších štvorcov si vyžaduje najväčšie výpočtové úsilie, ale neposkytuje výrazné zvýšenie presnosti. Preto sa pri riešení praktických problémov používa len zriedka.

50. SCHÉMY EXPLICITNÝCH A IMPLICITNÝCH DIFERENCIÍ. METÓDA VÁŽENÝCH OBYVATEĽOV. BUBNOV-GALERKINOVA METÓDA.

Diferenčná schéma- toto je konečný systém algebraických rovníc, ktorý zodpovedá nejakému diferenciálnemu problému obsahujúcemu diferenciálnu rovnicu a ďalšie podmienky (napríklad okrajové podmienky a/alebo počiatočné rozdelenie). Diferenčné schémy sa teda používajú na redukciu diferenciálneho problému, ktorý má kontinuálny charakter, na konečný systém rovníc, ktorých numerické riešenie je v zásade možné na počítačoch. Algebraické rovnice uvedené do súladu s diferenciálnou rovnicou sa získavajú pomocou diferenčnej metódy, ktorá odlišuje teóriu diferenčných schém od iných numerických metód riešenia diferenciálnych úloh (napríklad projekčné metódy, ako je Galerkinova metóda).

Riešenie diferenčnej schémy sa nazýva približné riešenie diferenciálnej úlohy.

Formálna definícia síce nekladie výrazné obmedzenia na typ algebraických rovníc, ale v praxi má zmysel uvažovať len o tých schémach, ktoré nejakým spôsobom zodpovedajú diferenciálnej úlohe. Dôležitými konceptmi v teórii diferenčných schém sú koncepty konvergencie, aproximácie, stability a konzervativizmu.

Explicitné schémy

Explicitné schémy vypočítavajú hodnotu výsledku prostredníctvom niekoľkých susedných údajových bodov. Príklad explicitnej schémy na diferenciáciu: (aproximácia 2. rádu). Explicitné schémy sa často ukážu ako nestabilné.

Tu V * - približné riešenie,
F- funkcia, ktorá spĺňa okrajové podmienky,
N m – testovacie funkcie, ktoré sa na hranici regiónu musia rovnať nule,
A m – neznáme koeficienty, ktoré je potrebné zistiť z podmienky najlepšieho uspokojenia diferenciálneho operátora,
M– počet skúšobných funkcií.

Ak nahradíme V* do pôvodného diferenciálneho operátora získame nezrovnalosť, ktorá nadobúda rôzne hodnoty v rôznych bodoch regiónu.

R = LV * +P

Tu W n– niektoré váhové funkcie, v závislosti od výberu ktorých sa rozlišujú rôzne varianty metódy vážených zvyškov,

S– oblasť priestoru, v ktorej sa hľadá riešenie.

Pri výbere delta funkcií ako váhových funkcií budeme mať metódu nazývanú pointwise kolokačná metóda, pre po častiach konštantné funkcie - metóda kolokácie podľa subdomén, ale najbežnejšia je Galerkinova metóda, pri ktorej sa testovacie funkcie vyberajú ako váhové funkcie. N. V tomto prípade, ak sa počet testovacích funkcií rovná počtu váhových funkcií, po rozšírení určitých integrálov dospejeme k uzavretému systému algebraických rovníc pre koeficienty. A.

KA + Q = 0

Kde sú koeficienty matice K a vektora Q vypočítané pomocou vzorcov:

Po zistení koeficientov A a ich dosadením do (1) dostaneme riešenie pôvodného problému.

Nevýhody metódy vážených zvyškov sú zrejmé: keďže sa riešenie hľadá v celej doméne naraz, počet skúšobných a váhových funkcií musí byť významný, aby sa zabezpečila prijateľná presnosť, čo však spôsobuje ťažkosti pri výpočte koeficientov. K ij A Q i, najmä pri riešení rovinných a objemových úloh, keď je potrebné počítať dvojné a trojné integrály nad plochami s krivočiarymi hranicami. Preto sa táto metóda v praxi nepoužívala, kým nebola vynájdená metóda konečných prvkov (MKP).

PROBLÉMY TEÓRIE POLA

Metóda konečných prvkov je numerická metóda a je založená na nahradení objektu (štruktúry alebo jej časti) množinou subdomén (prvkov), pre každú z nich sa nájde približné riešenie problému prenosu tepla. To znamená, že pre každý prvok je potrebné zapísať rovnicu diferenciálneho transportu a okrajové podmienky charakterizujúce procesy prenosu tepla na hraničných plochách tohto konkrétneho prvku a potom získať riešenie v tej či onej forme. Kombinácia „elementárnych“ riešení podľa určitého pravidla poskytuje riešenie problému pre objekt ako celok. Táto kapitola predstaví základný koncept MKP.

2.1 Metódy váženého rezidua

Veľká skupina metód na približné riešenie diferenciálu

rovníc je založená na matematickej formulácii súvisiacej s

integrálna reprezentácia váženého rezidua. Táto skupina metód sa nazýva vážené reziduálne metódy .

Nech existuje diferenciálna rovnica a pre ňu okrajová podmienka:

,
, (2.1.1)

,
. (2.1.2)

Tu L−diferenciálny operátor; X i− priestorové súradnice; V A S− objem a vonkajšia hranica skúmanej oblasti; u 0 - presné riešenie.

Budeme predpokladať, že nejaká funkcia u je tiež riešením rovnice a dá sa aproximovať množinou funkcií
:

, (2.1.3)

kým koeficienty − neznáme veličiny, ktoré sa musia určiť pomocou nejakého matematického postupu.

V reziduálnych metódach tento postup pozostáva z dvoch po sebe nasledujúcich etáp. V prvej fáze dosadením približného riešenia (2.1.3) do rovnice (2.1.1) nájdeme funkciu
chyba, alebo zvyškový, ktorý charakterizuje stupeň rozdielu
od presné riešenia :

Výsledkom je algebraická rovnica obsahujúca aktuálne súradnice A M zatiaľ neznáme koeficienty .

V druhej fáze sú kladené požiadavky na reziduálnu funkciu (2.1.4), ktoré minimalizujú buď samotný rezíduum (kolokačná metóda), alebo vážené rezíduum (metóda najmenších štvorcov a Galerkinova metóda).

V kolokačnej metóde sa predpokladá, že diferenciálna rovnica je splnená iba v niektorých vybraných (ľubovoľne) bodoch - kolokačných bodoch, ktorých počet sa rovná počtu neznámych koeficientov. . V týchto M bodov, rozdiel musí byť rovný nule, čo vedie k systému M algebraické rovnice pre M koeficienty :

. (2.1.5)

Pri metódach váženého rezídua sa vážený reziduál najskôr vytvorí vynásobením niektorými váhovými funkciami a potom ho v priemere minimalizujte:

. (2.1.6)

Pri metóde najmenších štvorcov - Rayleigh-Ritzovej metóde - sa ako váhová funkcia volí samotná chyba, t.j.
a vyžaduje sa, aby takto získaná hodnota (funkčná) bola minimálna:

. (2.1.7)

Na to je potrebné splniť nasledujúcu podmienku:

, (2.1.8)

čo vedie k systému algebraických rovníc pre neznáme koeficienty.

V Galerkinovej metóde sa samotné funkcie berú ako váhové funkcie
, volal základné a sú povinné ortogonalita až reziduálna :

. (2.1.9)

Ak je lineárny operátor, potom systém (2.1.9) prejde na systém algebraických rovníc pre koeficienty .

Uvažujme o Galerkinovej metóde na konkrétnom príklade. Daná rovnica na intervale
:

s okrajovými podmienkami:
,
.

Zoberme si funkciu aproximácie v nasledujúcom tvare:

spĺňajúce okrajové podmienky (2.1.2) pre ľubovoľné . V prvej fáze zistíme nezrovnalosť:

Vykonajte postup druhej fázy:

,
.

Integrácia povedie k systému dvoch rovníc:

,

ktorého riešením budú nasledujúce hodnoty :
;
. Približné riešenie má tvar:.

Porovnanie približných výsledkov získaných rôznymi metódami s presným riešením je uvedené v tabuľke 1.

stôl 1

Z tabuľky 1 je zrejmé, že pri rovnakých aproximačných funkciách vo všetkých metódach najlepšie priblíženie k presnému riešeniu poskytuje Galerkinova metóda. Okrem toho je táto metóda použiteľná na riešenie nelineárnych problémov, vrátane tých, pre ktoré nie je potrebná žiadna funkcia pri použití Rayleigh-Ritzovej metódy.