प्रतिस्थापन विधि द्वारा समीकरणों को हल करना, स्कूली ज्ञान। प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करके समीकरणों की प्रणालियों को हल करना। जोड़ द्वारा रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करना

आमतौर पर सिस्टम के समीकरणों को एक के नीचे एक कॉलम में लिखा जाता है और एक घुंघराले ब्रेस के साथ जोड़ा जाता है

इस प्रकार के समीकरणों की एक प्रणाली, जहां ए, बी, सी- संख्याएँ, और एक्स, वाई- वेरिएबल्स कहलाते हैं रैखिक समीकरणों की प्रणाली.

समीकरणों की प्रणाली को हल करते समय, समीकरणों को हल करने के लिए मान्य गुणों का उपयोग किया जाता है।

प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करना

आइए एक उदाहरण देखें

1) किसी एक समीकरण में चर को व्यक्त करें। उदाहरण के लिए, आइए व्यक्त करें यपहले समीकरण में, हमें सिस्टम मिलता है:

2) इसके स्थान पर सिस्टम के दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करें यअभिव्यक्ति 3x-7:

3) परिणामी दूसरे समीकरण को हल करें:

4) हम परिणामी समाधान को सिस्टम के पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:

समीकरणों की एक प्रणाली का एक अनूठा समाधान होता है: संख्याओं का एक जोड़ा x=1, y=-4. उत्तर: (1; -4) , कोष्ठक में लिखा है, प्रथम स्थान पर मान एक्स, दूसरे पर - य.

जोड़ द्वारा रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करना

आइए पिछले उदाहरण से समीकरणों की प्रणाली को हल करें अतिरिक्त विधि.

1) सिस्टम को इस प्रकार रूपांतरित करें कि किसी एक चर के गुणांक विपरीत हो जाएं। आइए सिस्टम के पहले समीकरण को "3" से गुणा करें।

2) सिस्टम के समीकरणों को पद दर पद जोड़ें। हम सिस्टम के दूसरे समीकरण (कोई भी) को बिना किसी बदलाव के फिर से लिखते हैं।

3) हम परिणामी समाधान को सिस्टम के पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:

रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को रेखांकन द्वारा हल करना

दो चर वाले समीकरणों की एक प्रणाली का ग्राफिकल समाधान समीकरणों के ग्राफ़ के सामान्य बिंदुओं के निर्देशांक खोजने के लिए आता है।

एक रैखिक फलन का ग्राफ़ एक सीधी रेखा है। एक समतल पर दो रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद कर सकती हैं, समानांतर हो सकती हैं, या संपाती हो सकती हैं। तदनुसार, समीकरणों की एक प्रणाली हो सकती है: ए) एक अद्वितीय समाधान हो सकता है; बी) कोई समाधान नहीं है; ग) अनंत संख्या में समाधान हैं।

2) समीकरणों की प्रणाली का समाधान ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन का बिंदु (यदि समीकरण रैखिक हैं) है।

सिस्टम का ग्राफिक समाधान

नए वेरिएबल पेश करने की विधि

चर बदलने से मूल प्रणाली की तुलना में समीकरणों की एक सरल प्रणाली को हल किया जा सकता है।

सिस्टम के समाधान पर विचार करें

तो फिर आइए प्रतिस्थापन का परिचय दें

आइए प्रारंभिक चरों पर चलते हैं

विशेष स्थितियां

रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल किए बिना, आप संबंधित चर के गुणांकों से इसके समाधानों की संख्या निर्धारित कर सकते हैं।

विभिन्न प्रक्रियाओं के गणितीय मॉडलिंग के लिए आर्थिक क्षेत्र में समीकरणों की प्रणालियों का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, उत्पादन प्रबंधन और योजना, रसद मार्गों (परिवहन समस्या) या उपकरण प्लेसमेंट की समस्याओं को हल करते समय।

जनसंख्या आकार ज्ञात करने की समस्याओं को हल करते समय समीकरणों की प्रणालियों का उपयोग न केवल गणित में, बल्कि भौतिकी, रसायन विज्ञान और जीव विज्ञान में भी किया जाता है।

रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली कई चर वाले दो या दो से अधिक समीकरण हैं जिनके लिए एक सामान्य समाधान खोजना आवश्यक है। संख्याओं का ऐसा अनुक्रम जिसके लिए सभी समीकरण सच्ची समानताएँ बन जाते हैं या यह सिद्ध कर देते हैं कि अनुक्रम का अस्तित्व ही नहीं है।

रेखीय समीकरण

ax+by=c रूप के समीकरण रैखिक कहलाते हैं। पदनाम x, y अज्ञात हैं जिनका मान पाया जाना चाहिए, b, a चर के गुणांक हैं, c समीकरण का मुक्त पद है।
किसी समीकरण को प्लॉट करके हल करना एक सीधी रेखा की तरह दिखेगा, जिसके सभी बिंदु बहुपद के समाधान हैं।

रैखिक समीकरणों की प्रणालियों के प्रकार

सबसे सरल उदाहरण दो चर X और Y वाले रैखिक समीकरणों की प्रणाली माने जाते हैं।

F1(x, y) = 0 और F2(x, y) = 0, जहां F1,2 फ़ंक्शन हैं और (x, y) फ़ंक्शन वेरिएबल हैं।

समीकरणों की प्रणाली को हल करें - इसका मतलब उन मानों (x, y) को ढूंढना है जिन पर सिस्टम वास्तविक समानता में बदल जाता है या यह स्थापित करना कि x और y के उपयुक्त मान मौजूद नहीं हैं।

मानों की एक जोड़ी (x, y), जिसे एक बिंदु के निर्देशांक के रूप में लिखा जाता है, रैखिक समीकरणों की प्रणाली का समाधान कहा जाता है।

यदि सिस्टम में एक सामान्य समाधान है या कोई समाधान मौजूद नहीं है, तो उन्हें समकक्ष कहा जाता है।

रैखिक समीकरणों की सजातीय प्रणालियाँ वे प्रणालियाँ हैं जिनका दाहिना पक्ष शून्य के बराबर है। यदि समान चिह्न के बाद दाएँ भाग का कोई मान हो या किसी फ़ंक्शन द्वारा व्यक्त किया गया हो, तो ऐसी प्रणाली विषमांगी होती है।

चरों की संख्या दो से कहीं अधिक हो सकती है, तो हमें तीन या अधिक चर वाले रैखिक समीकरणों की प्रणाली के उदाहरण के बारे में बात करनी चाहिए।

जब सिस्टम का सामना होता है, तो स्कूली बच्चे यह मान लेते हैं कि समीकरणों की संख्या आवश्यक रूप से अज्ञात की संख्या से मेल खानी चाहिए, लेकिन ऐसा नहीं है। सिस्टम में समीकरणों की संख्या चर पर निर्भर नहीं करती है; उनमें से जितनी चाहें उतनी हो सकती हैं।

समीकरणों की प्रणालियों को हल करने की सरल और जटिल विधियाँ

ऐसी प्रणालियों को हल करने के लिए कोई सामान्य विश्लेषणात्मक विधि नहीं है; सभी विधियाँ संख्यात्मक समाधानों पर आधारित हैं। स्कूली गणित पाठ्यक्रम में क्रमपरिवर्तन, बीजगणितीय जोड़, प्रतिस्थापन, साथ ही ग्राफिकल और मैट्रिक्स विधियों, गाऊसी विधि द्वारा समाधान जैसे तरीकों का विस्तार से वर्णन किया गया है।

समाधान विधियों को पढ़ाते समय मुख्य कार्य यह सिखाना है कि सिस्टम का सही ढंग से विश्लेषण कैसे किया जाए और प्रत्येक उदाहरण के लिए इष्टतम समाधान एल्गोरिदम कैसे खोजा जाए। मुख्य बात प्रत्येक विधि के लिए नियमों और कार्यों की एक प्रणाली को याद रखना नहीं है, बल्कि एक विशेष विधि का उपयोग करने के सिद्धांतों को समझना है

7वीं कक्षा के सामान्य शिक्षा पाठ्यक्रम में रैखिक समीकरणों की प्रणालियों के उदाहरणों को हल करना काफी सरल है और बहुत विस्तार से समझाया गया है। किसी भी गणित की पाठ्यपुस्तक में इस अनुभाग पर पर्याप्त ध्यान दिया जाता है। उच्च शिक्षा के पहले वर्षों में गॉस और क्रैमर पद्धति का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की प्रणालियों के उदाहरणों को हल करने का अधिक विस्तार से अध्ययन किया जाता है।

प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करके सिस्टम को हल करना

प्रतिस्थापन विधि की क्रियाओं का उद्देश्य एक चर के मान को दूसरे के संदर्भ में व्यक्त करना है। अभिव्यक्ति को शेष समीकरण में प्रतिस्थापित किया जाता है, फिर इसे एक चर वाले रूप में घटा दिया जाता है। सिस्टम में अज्ञात की संख्या के आधार पर कार्रवाई दोहराई जाती है

आइए हम प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करके कक्षा 7 के रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली के उदाहरण का समाधान दें:

जैसा कि उदाहरण से देखा जा सकता है, चर x को F(X) = 7 + Y के माध्यम से व्यक्त किया गया था। परिणामी अभिव्यक्ति, X के स्थान पर सिस्टम के दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित, दूसरे समीकरण में एक चर Y प्राप्त करने में मदद की . इस उदाहरण को हल करना आसान है और आपको Y मान प्राप्त करने की अनुमति देता है। अंतिम चरण प्राप्त मानों की जांच करना है।

प्रतिस्थापन द्वारा रैखिक समीकरणों की प्रणाली के उदाहरण को हल करना हमेशा संभव नहीं होता है। समीकरण जटिल हो सकते हैं और चर को दूसरे अज्ञात के रूप में व्यक्त करना आगे की गणना के लिए बहुत बोझिल होगा। जब सिस्टम में 3 से अधिक अज्ञात हों, तो प्रतिस्थापन द्वारा हल करना भी अनुचित है।

रैखिक अमानवीय समीकरणों की एक प्रणाली के उदाहरण का समाधान:

बीजगणितीय जोड़ का उपयोग कर समाधान

जोड़ विधि का उपयोग करके सिस्टम के लिए समाधान खोजते समय, समीकरणों को शब्द दर शब्द जोड़ा जाता है और विभिन्न संख्याओं से गुणा किया जाता है। गणितीय संक्रियाओं का अंतिम लक्ष्य एक चर में एक समीकरण है।

इस पद्धति के अनुप्रयोग के लिए अभ्यास और अवलोकन की आवश्यकता होती है। 3 या अधिक चर होने पर जोड़ विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करना आसान नहीं है। जब समीकरणों में भिन्न और दशमलव हों तो बीजगणितीय जोड़ का उपयोग करना सुविधाजनक होता है।

समाधान एल्गोरिथ्म:

1. समीकरण के दोनों पक्षों को एक निश्चित संख्या से गुणा करें। अंकगणितीय संक्रिया के परिणामस्वरूप, चर का एक गुणांक 1 के बराबर हो जाना चाहिए।
2. परिणामी अभिव्यक्ति को पद दर पद जोड़ें और अज्ञात में से एक खोजें।
3. शेष चर ज्ञात करने के लिए परिणामी मान को सिस्टम के दूसरे समीकरण में रखें।

एक नया चर प्रस्तुत करके समाधान की विधि

यदि सिस्टम को दो से अधिक समीकरणों के लिए समाधान खोजने की आवश्यकता नहीं है तो एक नया चर पेश किया जा सकता है; अज्ञात की संख्या भी दो से अधिक नहीं होनी चाहिए।

इस विधि का उपयोग एक नए चर को प्रस्तुत करके समीकरणों में से एक को सरल बनाने के लिए किया जाता है। प्रस्तुत अज्ञात के लिए नया समीकरण हल किया जाता है, और परिणामी मान का उपयोग मूल चर निर्धारित करने के लिए किया जाता है।

उदाहरण से पता चलता है कि एक नया चर टी पेश करके, सिस्टम के पहले समीकरण को एक मानक द्विघात ट्रिनोमियल में कम करना संभव था। आप विवेचक ज्ञात करके बहुपद को हल कर सकते हैं।

प्रसिद्ध सूत्र का उपयोग करके विवेचक का मान ज्ञात करना आवश्यक है: D = b2 - 4*a*c, जहां D वांछित विवेचक है, b, a, c बहुपद के गुणनखंड हैं। दिए गए उदाहरण में, a=1, b=16, c=39, इसलिए D=100। यदि विवेचक शून्य से अधिक है, तो दो समाधान हैं: t = -b±√D / 2*a, यदि विभेदक शून्य से कम है, तो एक समाधान है: x = -b / 2*a.

परिणामी प्रणालियों का समाधान जोड़ विधि द्वारा पाया जाता है।

सिस्टम को हल करने के लिए दृश्य विधि

3 समीकरण प्रणालियों के लिए उपयुक्त। इस विधि में निर्देशांक अक्ष पर सिस्टम में शामिल प्रत्येक समीकरण के ग्राफ़ बनाना शामिल है। वक्रों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं के निर्देशांक प्रणाली का सामान्य समाधान होंगे।

ग्राफ़िकल विधि में कई बारीकियाँ हैं। आइए दृश्यात्मक तरीके से रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के कई उदाहरण देखें।

जैसा कि उदाहरण से देखा जा सकता है, प्रत्येक पंक्ति के लिए दो बिंदुओं का निर्माण किया गया था, चर x के मान मनमाने ढंग से चुने गए थे: 0 और 3. x के मानों के आधार पर, y के मान पाए गए: 3 और 0. निर्देशांक (0, 3) और (3, 0) वाले बिंदुओं को ग्राफ़ पर चिह्नित किया गया और एक रेखा से जोड़ा गया।

दूसरे समीकरण के लिए चरणों को दोहराया जाना चाहिए। रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु सिस्टम का समाधान है।

निम्नलिखित उदाहरण में रैखिक समीकरणों की प्रणाली के लिए एक ग्राफिकल समाधान खोजने की आवश्यकता है: 0.5x-y+2=0 और 0.5x-y-1=0।

जैसा कि उदाहरण से देखा जा सकता है, सिस्टम के पास कोई समाधान नहीं है, क्योंकि ग्राफ़ समानांतर हैं और अपनी पूरी लंबाई के साथ प्रतिच्छेद नहीं करते हैं।

उदाहरण 2 और 3 की प्रणालियाँ समान हैं, लेकिन जब निर्माण किया जाता है तो यह स्पष्ट हो जाता है कि उनके समाधान भिन्न हैं। यह याद रखना चाहिए कि यह कहना हमेशा संभव नहीं होता है कि किसी सिस्टम में समाधान है या नहीं; एक ग्राफ बनाना हमेशा आवश्यक होता है।

मैट्रिक्स और इसकी किस्में

मैट्रिक्स का उपयोग रैखिक समीकरणों की प्रणाली को संक्षेप में लिखने के लिए किया जाता है। मैट्रिक्स एक विशेष प्रकार की तालिका होती है जो संख्याओं से भरी होती है। n*m में n - पंक्तियाँ और m - कॉलम हैं।

एक मैट्रिक्स वर्गाकार होता है जब स्तंभों और पंक्तियों की संख्या बराबर होती है। मैट्रिक्स-वेक्टर एक कॉलम का मैट्रिक्स है जिसमें पंक्तियों की असीमित संख्या होती है। एक विकर्ण और अन्य शून्य तत्वों वाले मैट्रिक्स को पहचान कहा जाता है।

व्युत्क्रम मैट्रिक्स एक मैट्रिक्स है जिसे गुणा करने पर मूल मैट्रिक्स एक इकाई मैट्रिक्स में बदल जाता है; ऐसा मैट्रिक्स केवल मूल वर्ग मैट्रिक्स के लिए मौजूद होता है।

समीकरणों की प्रणाली को मैट्रिक्स में बदलने के नियम

समीकरणों की प्रणालियों के संबंध में, समीकरणों के गुणांक और मुक्त पदों को मैट्रिक्स संख्याओं के रूप में लिखा जाता है; एक समीकरण मैट्रिक्स की एक पंक्ति है।

एक मैट्रिक्स पंक्ति को गैर-शून्य कहा जाता है यदि पंक्ति का कम से कम एक तत्व शून्य नहीं है। अत: यदि किसी समीकरण में चरों की संख्या भिन्न हो तो लुप्त अज्ञात के स्थान पर शून्य डालना आवश्यक है।

मैट्रिक्स कॉलम सख्ती से चर के अनुरूप होना चाहिए। इसका मतलब यह है कि चर x के गुणांक केवल एक कॉलम में लिखे जा सकते हैं, उदाहरण के लिए पहले, अज्ञात y का गुणांक - केवल दूसरे में।

किसी मैट्रिक्स को गुणा करते समय, मैट्रिक्स के सभी तत्वों को क्रमिक रूप से एक संख्या से गुणा किया जाता है।

व्युत्क्रम मैट्रिक्स खोजने के लिए विकल्प

व्युत्क्रम मैट्रिक्स खोजने का सूत्र काफी सरल है: K -1 = 1 / |K|, जहां K -1 व्युत्क्रम मैट्रिक्स है, और |K| मैट्रिक्स का निर्धारक है. |के| शून्य के बराबर नहीं होना चाहिए, तो सिस्टम के पास एक समाधान है।

दो-दो-दो मैट्रिक्स के लिए निर्धारक की गणना आसानी से की जाती है; आपको बस विकर्ण तत्वों को एक-दूसरे से गुणा करना होगा। "तीन बटा तीन" विकल्प के लिए, एक सूत्र है |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + ए 3 बी 2 सी 1। आप सूत्र का उपयोग कर सकते हैं, या आप याद रख सकते हैं कि आपको प्रत्येक पंक्ति और प्रत्येक स्तंभ से एक तत्व लेने की आवश्यकता है ताकि काम में स्तंभों की संख्या और तत्वों की पंक्तियों की पुनरावृत्ति न हो।

मैट्रिक्स विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की प्रणालियों के उदाहरणों को हल करना

समाधान खोजने की मैट्रिक्स विधि आपको बड़ी संख्या में चर और समीकरणों वाले सिस्टम को हल करते समय बोझिल प्रविष्टियों को कम करने की अनुमति देती है।

उदाहरण में, a nm समीकरणों के गुणांक हैं, मैट्रिक्स एक वेक्टर है x n चर हैं, और b n मुक्त पद हैं।

गॉसियन पद्धति का उपयोग करके सिस्टम को हल करना

उच्च गणित में, गॉसियन विधि का अध्ययन क्रैमर विधि के साथ किया जाता है, और सिस्टम के समाधान खोजने की प्रक्रिया को गॉस-क्रैमर समाधान विधि कहा जाता है। इन विधियों का उपयोग बड़ी संख्या में रैखिक समीकरणों वाले सिस्टम के चर खोजने के लिए किया जाता है।

गॉस विधि प्रतिस्थापन और बीजगणितीय जोड़ द्वारा समाधान के समान है, लेकिन अधिक व्यवस्थित है। स्कूली पाठ्यक्रम में, गॉसियन विधि द्वारा समाधान का उपयोग 3 और 4 समीकरणों की प्रणालियों के लिए किया जाता है। विधि का उद्देश्य सिस्टम को एक उल्टे ट्रेपेज़ॉइड के रूप में कम करना है। बीजगणितीय परिवर्तनों और प्रतिस्थापनों के माध्यम से, सिस्टम के समीकरणों में से एक चर का मान पाया जाता है। दूसरा समीकरण 2 अज्ञात के साथ एक अभिव्यक्ति है, जबकि 3 और 4 क्रमशः 3 और 4 चर के साथ हैं।

सिस्टम को वर्णित रूप में लाने के बाद, आगे का समाधान सिस्टम के समीकरणों में ज्ञात चर के अनुक्रमिक प्रतिस्थापन तक कम हो जाता है।

ग्रेड 7 के लिए स्कूली पाठ्यपुस्तकों में, गॉस विधि द्वारा समाधान का एक उदाहरण इस प्रकार वर्णित है:

जैसा कि उदाहरण से देखा जा सकता है, चरण (3) पर दो समीकरण प्राप्त हुए: 3x 3 -2x 4 =11 और 3x 3 +2x 4 =7। किसी भी समीकरण को हल करने से आप किसी एक चर x n का पता लगा सकेंगे।

प्रमेय 5, जिसका उल्लेख पाठ में किया गया है, बताता है कि यदि सिस्टम के समीकरणों में से एक को समकक्ष समीकरण से बदल दिया जाता है, तो परिणामी सिस्टम भी मूल के बराबर होगा।

मध्य विद्यालय के छात्रों के लिए गॉसियन पद्धति को समझना कठिन है, लेकिन यह गणित और भौतिकी कक्षाओं में उन्नत शिक्षण कार्यक्रमों में नामांकित बच्चों की सरलता विकसित करने के सबसे दिलचस्प तरीकों में से एक है।

रिकॉर्डिंग में आसानी के लिए, गणनाएँ आमतौर पर निम्नानुसार की जाती हैं:

समीकरणों और मुक्त पदों के गुणांक एक मैट्रिक्स के रूप में लिखे जाते हैं, जहां मैट्रिक्स की प्रत्येक पंक्ति सिस्टम के समीकरणों में से एक से मेल खाती है। समीकरण के बाएँ पक्ष को दाएँ पक्ष से अलग करता है। रोमन अंक प्रणाली में समीकरणों की संख्या दर्शाते हैं।

सबसे पहले, जिस मैट्रिक्स पर काम करना है उसे लिखें, फिर किसी एक पंक्ति के साथ की गई सभी कार्रवाइयां लिखें। परिणामी मैट्रिक्स को "तीर" चिह्न के बाद लिखा जाता है और परिणाम प्राप्त होने तक आवश्यक बीजगणितीय संचालन जारी रखा जाता है।

नतीजा एक मैट्रिक्स होना चाहिए जिसमें विकर्णों में से एक 1 के बराबर है, और अन्य सभी गुणांक शून्य के बराबर हैं, यानी, मैट्रिक्स एक इकाई रूप में कम हो गया है। हमें समीकरण के दोनों पक्षों की संख्याओं के साथ गणना करना नहीं भूलना चाहिए।

यह रिकॉर्डिंग विधि कम बोझिल है और आपको कई अज्ञात को सूचीबद्ध करके विचलित नहीं होने देती है।

किसी भी समाधान पद्धति के निःशुल्क उपयोग के लिए देखभाल और कुछ अनुभव की आवश्यकता होगी। सभी विधियाँ व्यावहारिक प्रकृति की नहीं होतीं। समाधान खोजने के कुछ तरीके मानव गतिविधि के किसी विशेष क्षेत्र में अधिक बेहतर हैं, जबकि अन्य शैक्षिक उद्देश्यों के लिए मौजूद हैं।

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इस मामले में, सिस्टम के दूसरे समीकरण से x को y के संदर्भ में व्यक्त करना और पहले समीकरण में x के बजाय परिणामी अभिव्यक्ति को प्रतिस्थापित करना सुविधाजनक है:

पहला समीकरण एक चर y वाला समीकरण है। आइए इसे हल करें:

5(7-3y)-2y = -16

हम परिणामी y मान को x के व्यंजक में प्रतिस्थापित करते हैं:

उत्तर: (-2; 3).

इस प्रणाली में, पहले समीकरण से y को x के संदर्भ में व्यक्त करना और दूसरे समीकरण में y के बजाय परिणामी अभिव्यक्ति को प्रतिस्थापित करना आसान है:

दूसरा समीकरण एक चर x वाला समीकरण है। आइए इसे हल करें:

3x-4(-1.5-3.5x)=23

y के व्यंजक में, x के बजाय, हम x=1 प्रतिस्थापित करते हैं और y पाते हैं:

उत्तर: (1; -5).

यहां दूसरे समीकरण से y को x के रूप में व्यक्त करना अधिक सुविधाजनक है (क्योंकि 10 से विभाजित करना 4, -9 या 3 से विभाजित करने की तुलना में आसान है):

आइए पहला समीकरण हल करें:

4x-9(1.6-0.3x)= -1

4x-14.4+2.7x= -1

x=2 को प्रतिस्थापित करें और y ज्ञात करें:

उत्तर: (2; 1).

प्रतिस्थापन विधि लागू करने से पहले इस प्रणाली को सरल बनाया जाना चाहिए। पहले समीकरण के दोनों पक्षों को सबसे कम सामान्य हर से गुणा किया जा सकता है, दूसरे समीकरण में हम कोष्ठक खोलते हैं और समान पद प्रस्तुत करते हैं:

हमने दो चर वाले रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त की। अब प्रतिस्थापन लागू करते हैं। दूसरे समीकरण से a से b तक व्यक्त करना सुविधाजनक है:

हम सिस्टम का पहला समीकरण हल करते हैं:

3(21.5 + 2.5बी) – 7बी = 63

इसका मान ज्ञात करना बाकी है:

फ़ॉर्मेटिंग नियमों के अनुसार, हम उत्तर को वर्णमाला क्रम में अर्धविराम से अलग किए गए कोष्ठक में लिखते हैं।

उत्तर: (14;-3).

एक चर को दूसरे के माध्यम से व्यक्त करते समय, कभी-कभी इसे एक निश्चित गुणांक के साथ छोड़ना अधिक सुविधाजनक होता है।

आइए हम समीकरणों की प्रणालियों के दो प्रकार के समाधानों का विश्लेषण करें:

1. प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करके सिस्टम को हल करना।
2. सिस्टम समीकरणों के टर्म-दर-टर्म जोड़ (घटाव) द्वारा सिस्टम को हल करना।

समीकरणों की प्रणाली को हल करने के लिए प्रतिस्थापन विधि द्वाराआपको एक सरल एल्गोरिदम का पालन करना होगा:
1. एक्सप्रेस. किसी भी समीकरण से हम एक चर व्यक्त करते हैं।
2. स्थानापन्न. हम परिणामी मान को व्यक्त चर के स्थान पर दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं।
3. परिणामी समीकरण को एक चर के साथ हल करें। हम सिस्टम का समाधान ढूंढते हैं।

समाधान करना पद-दर-पद जोड़ (घटाव) विधि द्वारा प्रणालीकरने की जरूरत है:
1. एक वेरिएबल का चयन करें जिसके लिए हम समान गुणांक बनाएंगे।
2. हम समीकरण जोड़ते या घटाते हैं, जिसके परिणामस्वरूप एक चर वाला समीकरण बनता है।
3. परिणामी रैखिक समीकरण को हल करें। हम सिस्टम का समाधान ढूंढते हैं।

सिस्टम का समाधान फ़ंक्शन ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं।

आइए उदाहरणों का उपयोग करके सिस्टम के समाधान पर विस्तार से विचार करें।

उदाहरण 1:

आइए प्रतिस्थापन विधि से हल करें

प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करके समीकरणों की प्रणाली को हल करना

2x+5y=1 (1 समीकरण)
x-10y=3 (दूसरा समीकरण)

1. एक्सप्रेस
यह देखा जा सकता है कि दूसरे समीकरण में 1 के गुणांक के साथ एक चर x है, जिसका अर्थ है कि दूसरे समीकरण से चर x को व्यक्त करना सबसे आसान है।
x=3+10y

2.इसे व्यक्त करने के बाद, हम पहले समीकरण में वेरिएबल x के स्थान पर 3+10y प्रतिस्थापित करते हैं।
2(3+10y)+5y=1

3. परिणामी समीकरण को एक चर के साथ हल करें।
2(3+10y)+5y=1 (कोष्ठक खोलें)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0.2

समीकरण प्रणाली का समाधान ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं, इसलिए हमें x और y को खोजने की आवश्यकता है, क्योंकि प्रतिच्छेदन बिंदु में x और y शामिल हैं। आइए x खोजें, पहले बिंदु में जहां हमने इसे व्यक्त किया था, हम y को प्रतिस्थापित करते हैं।
x=3+10y
x=3+10*(-0.2)=1

अंक लिखने की प्रथा है, पहले स्थान पर हम वेरिएबल x लिखते हैं, और दूसरे स्थान पर वेरिएबल y लिखते हैं।
उत्तर: (1; -0.2)

उदाहरण #2:

आइए पद-दर-पद जोड़ (घटाव) विधि का उपयोग करके हल करें।

जोड़ विधि का उपयोग करके समीकरणों की प्रणाली को हल करना

3x-2y=1 (1 समीकरण)
2x-3y=-10 (दूसरा समीकरण)

1. हम एक वेरिएबल चुनते हैं, मान लीजिए कि हम x चुनते हैं। पहले समीकरण में, चर x का गुणांक 3 है, दूसरे में - 2. हमें गुणांकों को समान बनाने की आवश्यकता है, इसके लिए हमें समीकरणों को गुणा करने या किसी भी संख्या से विभाजित करने का अधिकार है। हम पहले समीकरण को 2 से गुणा करते हैं, और दूसरे को 3 से गुणा करते हैं और कुल गुणांक 6 प्राप्त करते हैं।

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. चर x से छुटकारा पाने के लिए पहले समीकरण से दूसरे को घटाएँ। रैखिक समीकरण को हल करें।
__6x-4y=2

5y=32 | :5
y=6.4

3. एक्स खोजें। हम पाए गए y को किसी भी समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं, मान लीजिए कि पहले समीकरण में।
3x-2y=1
3x-2*6.4=1
3x-12.8=1
3x=1+12.8
3x=13.8 |:3
एक्स=4.6

प्रतिच्छेदन बिंदु x=4.6 होगा; y=6.4
उत्तर: (4.6; 6.4)

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