प्राकृतिक लघुगणक और आधार के लघुगणक के व्युत्पन्न के लिए सूत्रों का प्रमाण और व्युत्पत्ति। एलएन 2एक्स, एलएन 3एक्स और एलएन एनएक्स के डेरिवेटिव की गणना के उदाहरण। गणितीय प्रेरण की विधि का उपयोग करके nवें क्रम लघुगणक के व्युत्पन्न के लिए सूत्र का प्रमाण।

सामग्री

यह सभी देखें: लघुगणक - गुण, सूत्र, ग्राफ
प्राकृतिक लघुगणक - गुण, सूत्र, ग्राफ

प्राकृतिक लघुगणक के व्युत्पन्न और आधार के लघुगणक के लिए सूत्रों की व्युत्पत्ति

x के प्राकृतिक लघुगणक का व्युत्पन्न x से विभाजित एक के बराबर है:
(1) (एलएन एक्स)′ =.

आधार a के लघुगणक का व्युत्पन्न a के प्राकृतिक लघुगणक द्वारा गुणा किए गए चर x से विभाजित एक के बराबर है:
(2) (लॉग ए एक्स)′ =.

सबूत

मान लीजिए कि कोई ऐसी धनात्मक संख्या है जो एक के बराबर नहीं है। एक चर x पर निर्भर फ़ंक्शन पर विचार करें, जो आधार का लघुगणक है:
.
इस फ़ंक्शन को यहां परिभाषित किया गया है। आइए चर x के संबंध में इसका व्युत्पन्न ज्ञात करें। परिभाषा के अनुसार, व्युत्पन्न निम्नलिखित सीमा है:
(3) .

आइए इस अभिव्यक्ति को ज्ञात गणितीय गुणों और नियमों में परिवर्तित करें। ऐसा करने के लिए हमें निम्नलिखित तथ्यों को जानना होगा:
ए)लघुगणक के गुण. हमें निम्नलिखित सूत्रों की आवश्यकता होगी:
(4) ;
(5) ;
(6) ;
बी)लघुगणक की निरंतरता और एक सतत कार्य के लिए सीमा की संपत्ति:
(7) .
यहां एक फ़ंक्शन है जिसकी एक सीमा है और यह सीमा सकारात्मक है।
में)दूसरी उल्लेखनीय सीमा का अर्थ:
(8) .

आइए इन तथ्यों को अपनी सीमा तक लागू करें। सबसे पहले हम बीजीय व्यंजक को रूपांतरित करते हैं
.
ऐसा करने के लिए, हम गुण (4) और (5) लागू करते हैं।

.

आइए संपत्ति (7) और दूसरी उल्लेखनीय सीमा (8) का उपयोग करें:
.

और अंत में, हम संपत्ति लागू करते हैं (6):
.
आधार का लघुगणक इबुलाया प्राकृतिक. इसे इस प्रकार नामित किया गया है:
.
तब ;
.

इस प्रकार, हमें लघुगणक के अवकलज के लिए सूत्र (2) प्राप्त हुआ।

प्राकृतिक लघुगणक का व्युत्पन्न

एक बार फिर हम आधार a के लघुगणक के अवकलज के लिए सूत्र लिखते हैं:
.
इस सूत्र में प्राकृतिक लघुगणक का सबसे सरल रूप है, जिसके लिए,। तब
(1) .

इस सरलता के कारण, गणितीय विश्लेषण और अंतर कलन से संबंधित गणित की अन्य शाखाओं में प्राकृतिक लघुगणक का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। अन्य आधारों के साथ लघुगणकीय कार्यों को संपत्ति (6) का उपयोग करके प्राकृतिक लघुगणक के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है:
.

आधार के संबंध में लघुगणक का व्युत्पन्न सूत्र (1) से पाया जा सकता है, यदि आप विभेदन चिह्न से स्थिरांक निकालते हैं:
.

लघुगणक के अवकलज को सिद्ध करने के अन्य तरीके

यहां हम मानते हैं कि हम घातांक के अवकलज का सूत्र जानते हैं:
(9) .
तब हम प्राकृतिक लघुगणक के व्युत्पन्न के लिए सूत्र प्राप्त कर सकते हैं, यह देखते हुए कि लघुगणक घातांक का व्युत्क्रम फलन है।

आइए हम प्राकृतिक लघुगणक के अवकलज के सूत्र को सिद्ध करें, व्युत्क्रम फलन के अवकलज के लिए सूत्र लागू करना:
.
हमारे मामले में । प्राकृतिक लघुगणक का व्युत्क्रम फलन घातांक है:
.
इसका व्युत्पन्न सूत्र (9) द्वारा निर्धारित किया जाता है। चर को किसी भी अक्षर द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है। सूत्र (9) में, चर x को y से बदलें:
.
के बाद से
.
तब
.
सूत्र सिद्ध है.

अब हम प्राकृतिक लघुगणक के अवकलज के सूत्र को सिद्ध करते हैं जटिल कार्यों को विभेदित करने के नियम. चूँकि फलन तथा एक दूसरे के व्युत्क्रम हैं
.
आइए इस समीकरण को चर x के संबंध में अलग करें:
(10) .
x का व्युत्पन्न एक के बराबर है:
.
हम जटिल कार्यों के विभेदन का नियम लागू करते हैं:
.
यहाँ । आइए (10) में स्थानापन्न करें:
.
यहाँ से
.

उदाहरण

के व्युत्पन्न खोजें एलएन 2एक्स, एलएन 3xऔर lnnx.

मूल कार्यों का स्वरूप समान होता है। इसलिए हम फ़ंक्शन का व्युत्पन्न ढूंढेंगे y = लॉग एनएक्स. फिर हम n = 2 और n = 3 प्रतिस्थापित करते हैं। और, इस प्रकार, हम के व्युत्पन्नों के लिए सूत्र प्राप्त करते हैं एलएन 2xऔर एलएन 3x .

इसलिए, हम फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की तलाश कर रहे हैं
y = लॉग एनएक्स .
आइए इस फ़ंक्शन की कल्पना एक जटिल फ़ंक्शन के रूप में करें जिसमें दो फ़ंक्शन शामिल हैं:
1) एक चर के आधार पर कार्य: ;
2) एक चर के आधार पर कार्य: .
फिर मूल फ़ंक्शन फ़ंक्शंस से बना है और:
.

आइए वेरिएबल x के संबंध में फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें:
.
आइए वेरिएबल के संबंध में फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें:
.
हम एक जटिल फलन के अवकलज के लिए सूत्र लागू करते हैं।
.
यहां हमने इसे सेट किया है.

तो हमने पाया:
(11) .
हम देखते हैं कि अवकलज n पर निर्भर नहीं है। यदि हम उत्पाद के लघुगणक के सूत्र का उपयोग करके मूल फ़ंक्शन को बदलते हैं तो यह परिणाम काफी स्वाभाविक है:
.
- यह एक स्थिरांक है. इसका व्युत्पन्न शून्य है. फिर, योग के विभेदन के नियम के अनुसार, हमारे पास है:
.

; ; .

मापांक x के लघुगणक का व्युत्पन्न

आइए एक और बहुत महत्वपूर्ण फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें - मापांक x का प्राकृतिक लघुगणक:
(12) .

आइए मामले पर विचार करें. तब फ़ंक्शन इस प्रकार दिखता है:
.
इसका व्युत्पन्न सूत्र (1) द्वारा निर्धारित किया जाता है:
.

अब आइए मामले पर विचार करें। तब फ़ंक्शन इस प्रकार दिखता है:
,
कहाँ ।
लेकिन हमने उपरोक्त उदाहरण में इस फ़ंक्शन का व्युत्पन्न भी पाया। यह n पर निर्भर नहीं है और इसके बराबर है
.
तब
.

हम इन दोनों मामलों को एक सूत्र में जोड़ते हैं:
.

तदनुसार, आधार a के लघुगणक के लिए, हमारे पास है:
.

प्राकृतिक लघुगणक के उच्च क्रम के व्युत्पन्न

फ़ंक्शन पर विचार करें
.
हमने इसका प्रथम-क्रम व्युत्पन्न पाया:
(13) .

आइए दूसरे क्रम का व्युत्पन्न खोजें:
.
आइए तीसरे क्रम का व्युत्पन्न खोजें:
.
आइए चौथा क्रम व्युत्पन्न खोजें:
.

आप देख सकते हैं कि nवें क्रम के व्युत्पन्न का रूप इस प्रकार है:
(14) .
आइए इसे गणितीय प्रेरण द्वारा सिद्ध करें।

सबूत

आइए मान n = 1 को सूत्र (14) में प्रतिस्थापित करें:
.
चूँकि , तब जब n = 1 , सूत्र (14) मान्य है।

आइए मान लें कि सूत्र (14) n = k के लिए संतुष्ट है। आइए हम सिद्ध करें कि इसका तात्पर्य यह है कि सूत्र n = k के लिए मान्य है + 1 .

वास्तव में, n = k के लिए हमारे पास है:
.
चर x के संबंध में अंतर करें:

.
तो हमें मिला:
.
यह सूत्र n = k + के लिए सूत्र (14) से मेल खाता है 1 . इस प्रकार, इस धारणा से कि सूत्र (14) n = k के लिए मान्य है, यह इस प्रकार है कि सूत्र (14) n = k + के लिए मान्य है 1 .

इसलिए, nवें क्रम व्युत्पन्न के लिए सूत्र (14), किसी भी n के लिए मान्य है।

ए को आधार बनाने के लिए लघुगणक के उच्च क्रम के व्युत्पन्न

आधार a के लघुगणक का nवाँ क्रम व्युत्पन्न ज्ञात करने के लिए, आपको इसे प्राकृतिक लघुगणक के रूप में व्यक्त करना होगा:
.
सूत्र (14) को लागू करने पर, हम nवां अवकलज पाते हैं:
.

यह सभी देखें:

याद रखना बहुत आसान है.

ठीक है, आइए ज्यादा दूर न जाएं, आइए तुरंत व्युत्क्रम फलन पर विचार करें। कौन सा फलन घातांकीय फलन का व्युत्क्रम है? लघुगणक:

हमारे मामले में, आधार संख्या है:

ऐसे लघुगणक (अर्थात, आधार वाला लघुगणक) को "प्राकृतिक" कहा जाता है, और हम इसके लिए एक विशेष संकेतन का उपयोग करते हैं: हम इसके बजाय लिखते हैं।

यह किसके बराबर है? बिल्कुल, ।

प्राकृतिक लघुगणक का व्युत्पन्न भी बहुत सरल है:

उदाहरण:

1. फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें।
2. फ़ंक्शन का व्युत्पन्न क्या है?

उत्तर: व्युत्पन्न परिप्रेक्ष्य से घातांकीय और प्राकृतिक लघुगणक विशिष्ट रूप से सरल कार्य हैं। किसी भी अन्य आधार के साथ घातांकीय और लघुगणकीय कार्यों का एक अलग व्युत्पन्न होगा, जिसका विश्लेषण हम विभेदन के नियमों से गुजरने के बाद बाद में करेंगे।

विभेदीकरण के नियम

किस चीज़ के नियम? फिर से एक नया शब्द, फिर?!...

भेदभावव्युत्पन्न खोजने की प्रक्रिया है.

बस इतना ही। इस प्रक्रिया को एक शब्द में आप और क्या कह सकते हैं? व्युत्पन्न नहीं... गणितज्ञ अंतर को किसी फ़ंक्शन की समान वृद्धि कहते हैं। यह शब्द लैटिन के डिफरेंशिया - अंतर से आया है। यहाँ।

इन सभी नियमों को प्राप्त करते समय, हम दो फ़ंक्शन का उपयोग करेंगे, उदाहरण के लिए, और। हमें उनकी वेतन वृद्धि के लिए सूत्रों की भी आवश्यकता होगी:

कुल मिलाकर 5 नियम हैं.

स्थिरांक को व्युत्पन्न चिन्ह से हटा दिया जाता है।

यदि - कोई अचर संख्या (स्थिर), तो.

जाहिर है, यह नियम अंतर के लिए भी काम करता है:।

आइए इसे साबित करें. इसे रहने दो, या सरल।

उदाहरण।

फ़ंक्शंस के व्युत्पन्न खोजें:

1. एक बिंदु पर;
2. एक बिंदु पर;
3. एक बिंदु पर;
4. बिंदु पर।

समाधान:

1. (व्युत्पन्न सभी बिंदुओं पर समान है, क्योंकि यह एक रैखिक कार्य है, याद रखें?);

उत्पाद का व्युत्पन्न

यहां सब कुछ समान है: आइए एक नया फ़ंक्शन पेश करें और इसकी वृद्धि ढूंढें:

व्युत्पन्न:

उदाहरण:

1. कार्यों के व्युत्पन्न खोजें और;
2. किसी बिंदु पर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें।

समाधान:

एक घातीय फलन का व्युत्पन्न

अब आपका ज्ञान यह सीखने के लिए पर्याप्त है कि केवल घातांक ही नहीं, बल्कि किसी भी घातीय फलन का व्युत्पन्न कैसे खोजा जाए (क्या आप अभी तक भूल गए हैं कि वह क्या है?)।

तो, कुछ संख्या कहां है.

हम पहले से ही फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को जानते हैं, तो आइए अपने फ़ंक्शन को एक नए आधार पर कम करने का प्रयास करें:

ऐसा करने के लिए, हम एक सरल नियम का उपयोग करेंगे:। तब:

ख़ैर, यह काम कर गया। अब व्युत्पन्न खोजने का प्रयास करें, और यह न भूलें कि यह फ़ंक्शन जटिल है।

घटित?

यहां, स्वयं जांचें:

सूत्र एक घातांक के व्युत्पन्न के समान निकला: जैसा था, वैसा ही रहा, केवल एक कारक दिखाई दिया, जो सिर्फ एक संख्या है, लेकिन चर नहीं।

उदाहरण:
फ़ंक्शंस के व्युत्पन्न खोजें:

उत्तर:

यह मात्र एक संख्या है जिसकी गणना बिना कैलकुलेटर के नहीं की जा सकती अर्थात इसे सरल रूप में नहीं लिखा जा सकता। इसलिए, हम इसे उत्तर में इसी रूप में छोड़ते हैं।

ध्यान दें कि यहां दो कार्यों का भागफल है, इसलिए हम संबंधित विभेदन नियम लागू करते हैं:

इस उदाहरण में, दो कार्यों का उत्पाद:

लघुगणकीय फलन का व्युत्पन्न

यह यहाँ समान है: आप पहले से ही प्राकृतिक लघुगणक के व्युत्पन्न को जानते हैं:

इसलिए, एक अलग आधार के साथ एक मनमाना लघुगणक खोजने के लिए, उदाहरण के लिए:

हमें इस लघुगणक को आधार तक कम करने की आवश्यकता है। आप लघुगणक का आधार कैसे बदलते हैं? मुझे आशा है कि आपको यह सूत्र याद होगा:

केवल अब हम इसके बजाय लिखेंगे:

हर केवल एक अचर है (एक अचर संख्या, बिना किसी चर के)। व्युत्पन्न बहुत सरलता से प्राप्त किया जाता है:

यूनिफाइड स्टेट परीक्षा में घातीय और लघुगणकीय कार्यों के व्युत्पन्न लगभग कभी नहीं पाए जाते हैं, लेकिन उन्हें जानना अतिश्योक्तिपूर्ण नहीं होगा।

एक जटिल फ़ंक्शन का व्युत्पन्न.

"जटिल कार्य" क्या है? नहीं, यह लघुगणक नहीं है, और चापस्पर्शज्या भी नहीं है। इन फ़ंक्शंस को समझना मुश्किल हो सकता है (हालाँकि यदि आपको लघुगणक कठिन लगता है, तो "लघुगणक" विषय पढ़ें और आप ठीक हो जाएंगे), लेकिन गणितीय दृष्टिकोण से, "जटिल" शब्द का अर्थ "कठिन" नहीं है।

एक छोटे कन्वेयर बेल्ट की कल्पना करें: दो लोग बैठे हैं और कुछ वस्तुओं के साथ कुछ क्रियाएं कर रहे हैं। उदाहरण के लिए, पहला चॉकलेट बार को रैपर में लपेटता है, और दूसरा उसे रिबन से बांधता है। परिणाम एक मिश्रित वस्तु है: एक चॉकलेट बार लपेटा हुआ और रिबन से बंधा हुआ। चॉकलेट बार खाने के लिए, आपको उल्टे क्रम में उल्टे कदम उठाने होंगे।

आइए एक समान गणितीय पाइपलाइन बनाएं: पहले हम किसी संख्या की कोज्या ज्ञात करेंगे, और फिर परिणामी संख्या का वर्ग करेंगे। तो, हमें एक नंबर (चॉकलेट) दिया जाता है, मैं उसका कोसाइन (रैपर) ढूंढता हूं, और फिर जो मुझे मिला उसका आप वर्ग कर देते हैं (इसे रिबन से बांध देते हैं)। क्या हुआ? समारोह। यह एक जटिल फ़ंक्शन का एक उदाहरण है: जब, इसका मान ज्ञात करने के लिए, हम पहली क्रिया सीधे वेरिएबल के साथ करते हैं, और फिर दूसरी क्रिया पहली क्रिया के परिणाम के साथ करते हैं।

दूसरे शब्दों में, एक जटिल फ़ंक्शन एक ऐसा फ़ंक्शन है जिसका तर्क एक अन्य फ़ंक्शन है: .

हमारे उदाहरण के लिए, .

हम समान चरणों को उल्टे क्रम में आसानी से कर सकते हैं: पहले आप इसका वर्ग करें, और फिर मैं परिणामी संख्या की कोज्या ढूंढता हूं:। यह अनुमान लगाना आसान है कि परिणाम लगभग हमेशा अलग होगा। जटिल कार्यों की एक महत्वपूर्ण विशेषता: जब क्रियाओं का क्रम बदलता है, तो फ़ंक्शन भी बदल जाता है।

दूसरा उदाहरण: (वही बात)। .

जो क्रिया हम अंतिम बार करेंगे वह कहलाएगी "बाहरी" फ़ंक्शन, और कार्रवाई पहले की गई - तदनुसार "आंतरिक" कार्य(ये अनौपचारिक नाम हैं, मैं इनका उपयोग केवल सामग्री को सरल भाषा में समझाने के लिए करता हूँ)।

स्वयं यह निर्धारित करने का प्रयास करें कि कौन सा कार्य बाहरी है और कौन सा आंतरिक:

उत्तर:आंतरिक और बाहरी कार्यों को अलग करना चर बदलने के समान है: उदाहरण के लिए, किसी फ़ंक्शन में

1. हम पहले कौन सा कार्य करेंगे? सबसे पहले, आइए साइन की गणना करें, और उसके बाद ही इसे घन करें। इसका मतलब यह है कि यह एक आंतरिक कार्य है, लेकिन एक बाहरी कार्य है।
   और मूल कार्य उनकी रचना है: .
2. आंतरिक: ; बाहरी: ।
   इंतिहान: ।
3. आंतरिक: ; बाहरी: ।
   इंतिहान: ।
4. आंतरिक: ; बाहरी: ।
   इंतिहान: ।
5. आंतरिक: ; बाहरी: ।
   इंतिहान: ।

हम वेरिएबल बदलते हैं और एक फ़ंक्शन प्राप्त करते हैं।

खैर, अब हम अपना चॉकलेट बार निकालेंगे और व्युत्पन्न की तलाश करेंगे। प्रक्रिया हमेशा उलटी होती है: पहले हम बाहरी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की तलाश करते हैं, फिर हम परिणाम को आंतरिक फ़ंक्शन के व्युत्पन्न से गुणा करते हैं। मूल उदाहरण के संबंध में, यह इस तरह दिखता है:

एक और उदाहरण:

तो, आइए अंततः आधिकारिक नियम बनाएं:

किसी जटिल फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजने के लिए एल्गोरिदम:

यह सरल लगता है, है ना?

आइए उदाहरणों से जांचें:

समाधान:

1) आंतरिक: ;

बाहरी: ;

2) आंतरिक: ;

(अभी तक इसे काटने की कोशिश मत करो! कोसाइन के नीचे से कुछ भी नहीं निकलता है, याद है?)

3) आंतरिक: ;

बाहरी: ;

यह तुरंत स्पष्ट है कि यह एक तीन-स्तरीय जटिल कार्य है: आखिरकार, यह पहले से ही अपने आप में एक जटिल कार्य है, और हम इसमें से जड़ भी निकालते हैं, यानी हम तीसरी क्रिया करते हैं (चॉकलेट को एक आवरण में रखें) और ब्रीफकेस में एक रिबन के साथ)। लेकिन डरने का कोई कारण नहीं है: हम अभी भी इस फ़ंक्शन को हमेशा की तरह उसी क्रम में "अनपैक" करेंगे: अंत से।

अर्थात्, पहले हम मूल में अंतर करते हैं, फिर कोज्या में, और उसके बाद ही कोष्ठक में व्यंजक में। और फिर हम इसे सब गुणा करते हैं।

ऐसे मामलों में, कार्यों को क्रमांकित करना सुविधाजनक होता है। अर्थात्, आइए कल्पना करें कि हम क्या जानते हैं। इस अभिव्यक्ति के मूल्य की गणना करने के लिए हम किस क्रम में क्रियाएं करेंगे? आइए एक उदाहरण देखें:

कार्रवाई जितनी देर से की जाएगी, संबंधित कार्य उतना ही अधिक "बाहरी" होगा। क्रियाओं का क्रम पहले जैसा ही है:

यहां घोंसला बनाना आम तौर पर 4-स्तरीय होता है। आइये कार्रवाई की दिशा तय करें.

1. उग्र अभिव्यक्ति. .

2. जड़. .

3. ज्या. .

4. चौकोर. .

5. यह सब एक साथ रखना:

व्युत्पन्न. संक्षेप में मुख्य बातों के बारे में

किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न- तर्क की अतिसूक्ष्म वृद्धि के लिए फ़ंक्शन की वृद्धि और तर्क की वृद्धि का अनुपात:

मूल व्युत्पन्न:

विभेदीकरण के नियम:

स्थिरांक को व्युत्पन्न चिन्ह से हटा दिया जाता है:

योग का व्युत्पन्न:

उत्पाद का व्युत्पन्न:

भागफल का व्युत्पन्न:

एक जटिल फ़ंक्शन का व्युत्पन्न:

किसी जटिल फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजने के लिए एल्गोरिदम:

1. हम "आंतरिक" फ़ंक्शन को परिभाषित करते हैं और इसका व्युत्पन्न ढूंढते हैं।
2. हम "बाहरी" फ़ंक्शन को परिभाषित करते हैं और इसका व्युत्पन्न ढूंढते हैं।
3. हम पहले और दूसरे बिंदु के परिणामों को गुणा करते हैं।

जटिल व्युत्पन्न. लघुगणकीय व्युत्पन्न.
शक्ति-घातांकीय फलन का व्युत्पन्न

हम अपनी विभेदीकरण तकनीक में सुधार करना जारी रखते हैं। इस पाठ में, हम अपने द्वारा कवर की गई सामग्री को समेकित करेंगे, अधिक जटिल व्युत्पन्नों को देखेंगे, और व्युत्पन्न खोजने के लिए नई तकनीकों और युक्तियों से भी परिचित होंगे, विशेष रूप से, लघुगणकीय व्युत्पन्न के साथ।

जिन पाठकों के पास तैयारी का स्तर कम है, उन्हें लेख का संदर्भ लेना चाहिए व्युत्पन्न कैसे खोजें? समाधान के उदाहरण , जो आपको अपने कौशल को लगभग शून्य से ऊपर उठाने की अनुमति देगा। इसके बाद, आपको पृष्ठ का सावधानीपूर्वक अध्ययन करने की आवश्यकता है एक जटिल फ़ंक्शन का व्युत्पन्न , समझें और समाधान करें सभीमैंने जो उदाहरण दिये. यह पाठ तार्किक रूप से लगातार तीसरा है, और इसमें महारत हासिल करने के बाद आप आत्मविश्वास से काफी जटिल कार्यों को अलग कर पाएंगे। "और कहाँ?" की स्थिति लेना अवांछनीय है। यह काफी है!", क्योंकि सभी उदाहरण और समाधान वास्तविक परीक्षणों से लिए गए हैं और अक्सर व्यवहार में सामने आते हैं।

आइए दोहराव से शुरू करें। सबक पर एक जटिल फ़ंक्शन का व्युत्पन्न हमने विस्तृत टिप्पणियों के साथ कई उदाहरण देखे। डिफरेंशियल कैलकुलस और गणितीय विश्लेषण की अन्य शाखाओं के अध्ययन के दौरान, आपको बहुत बार अंतर करना होगा, और उदाहरणों का विस्तृत विवरण में वर्णन करना हमेशा सुविधाजनक (और हमेशा आवश्यक नहीं) नहीं होता है। इसलिए, हम मौखिक रूप से डेरिवेटिव खोजने का अभ्यास करेंगे। इसके लिए सबसे उपयुक्त "उम्मीदवार" सबसे सरल जटिल कार्यों के व्युत्पन्न हैं, उदाहरण के लिए:

जटिल कार्यों के विभेदन के नियम के अनुसार :

भविष्य में अन्य मटन विषयों का अध्ययन करते समय, ऐसी विस्तृत रिकॉर्डिंग की अक्सर आवश्यकता नहीं होती है; यह माना जाता है कि छात्र जानता है कि ऑटोपायलट पर ऐसे डेरिवेटिव कैसे ढूंढें। आइए कल्पना करें कि सुबह 3 बजे फोन की घंटी बजी और एक सुखद आवाज ने पूछा: "दो एक्स की स्पर्शरेखा का व्युत्पन्न क्या है?" इसके बाद लगभग तुरंत और विनम्र प्रतिक्रिया दी जानी चाहिए: .

पहला उदाहरण तुरंत स्वतंत्र समाधान के लिए अभिप्रेत होगा।

उदाहरण 1

उदाहरण के लिए, एक क्रिया में निम्नलिखित व्युत्पन्नों को मौखिक रूप से खोजें:। कार्य को पूरा करने के लिए आपको केवल उपयोग करने की आवश्यकता है प्राथमिक कार्यों के व्युत्पन्न की तालिका (यदि आपने इसे अभी तक याद नहीं किया है)। यदि आपको कोई कठिनाई हो तो मैं पाठ को दोबारा पढ़ने की सलाह देता हूँ एक जटिल फ़ंक्शन का व्युत्पन्न .

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

पाठ के अंत में उत्तर

जटिल व्युत्पन्न

प्रारंभिक तोपखाने की तैयारी के बाद, कार्यों के 3-4-5 नेस्टिंग वाले उदाहरण कम डरावने होंगे। निम्नलिखित दो उदाहरण कुछ लोगों को जटिल लग सकते हैं, लेकिन यदि आप उन्हें समझते हैं (किसी को कष्ट होगा), तो अंतर कलन में लगभग बाकी सब कुछ बच्चों के मजाक जैसा लगेगा।

उदाहरण 2

किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, किसी जटिल फलन का व्युत्पन्न ज्ञात करते समय, सबसे पहले, यह आवश्यक है सहीअपने निवेश को समझें. ऐसे मामलों में जहां संदेह हैं, मैं आपको एक उपयोगी तकनीक की याद दिलाता हूं: उदाहरण के लिए, हम "x" का प्रयोगात्मक मान लेते हैं, और इस मान को "भयानक अभिव्यक्ति" में प्रतिस्थापित करने का प्रयास करते हैं (मानसिक रूप से या ड्राफ्ट में)।

1) सबसे पहले हमें अभिव्यक्ति की गणना करने की आवश्यकता है, जिसका अर्थ है कि योग सबसे गहरा एम्बेडिंग है।

2) फिर आपको लघुगणक की गणना करने की आवश्यकता है:

4) फिर कोज्या का घन करें:

5) पांचवें चरण में अंतर:

6) और अंत में, सबसे बाहरी कार्य वर्गमूल है:

किसी जटिल फ़ंक्शन को विभेदित करने का सूत्र बाहरीतम कार्य से लेकर अंतरतम तक उल्टे क्रम में लागू किया जाता है। हमने निर्णय किया:

ऐसा प्रतीत होता है कि कोई त्रुटि नहीं है...

(1) वर्गमूल का अवकलज लीजिए।

(2) हम नियम का उपयोग करके अंतर का व्युत्पन्न लेते हैं

(3) त्रिक का व्युत्पन्न शून्य है। दूसरे पद में हम घात (घन) का अवकलज लेते हैं।

(4) कोसाइन का व्युत्पन्न लें।

(5) लघुगणक का अवकलज लीजिए।

(6) और अंत में, हम सबसे गहरे एम्बेडिंग का व्युत्पन्न लेते हैं।

यह बहुत कठिन लग सकता है, लेकिन यह सबसे क्रूर उदाहरण नहीं है। उदाहरण के लिए, कुज़नेत्सोव के संग्रह को लें और आप विश्लेषण किए गए व्युत्पन्न की सभी सुंदरता और सादगी की सराहना करेंगे। मैंने देखा कि वे परीक्षा में इसी तरह की चीज़ देना पसंद करते हैं ताकि यह जांचा जा सके कि क्या कोई छात्र किसी जटिल फ़ंक्शन का व्युत्पन्न ढूंढना समझता है या नहीं समझता है।

निम्नलिखित उदाहरण आपके लिए स्वयं हल करने के लिए है।

उदाहरण 3

किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

संकेत: सबसे पहले हम रैखिकता नियम और उत्पाद विभेदन नियम लागू करते हैं

पाठ के अंत में पूर्ण समाधान और उत्तर।

अब कुछ छोटी और अच्छी चीज़ की ओर बढ़ने का समय आ गया है।
किसी उदाहरण में दो नहीं, बल्कि तीन कार्यों का गुणनफल दिखाना कोई असामान्य बात नहीं है। तीन कारकों के उत्पाद का व्युत्पन्न कैसे खोजें?

उदाहरण 4

किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

पहले हम देखते हैं, क्या तीन कार्यों के उत्पाद को दो कार्यों के उत्पाद में बदलना संभव है? उदाहरण के लिए, यदि हमारे उत्पाद में दो बहुपद हैं, तो हम कोष्ठक खोल सकते हैं। लेकिन विचाराधीन उदाहरण में, सभी फ़ंक्शन अलग-अलग हैं: डिग्री, घातांक और लघुगणक।

ऐसे में यह जरूरी है क्रमिक रूप सेउत्पाद विभेदन नियम लागू करें दो बार

चाल यह है कि "y" से हम दो कार्यों के उत्पाद को दर्शाते हैं:, और "ve" से हम लघुगणक को दर्शाते हैं:। ऐसा क्यों किया जा सकता है? सच्ची में – यह दो कारकों का उत्पाद नहीं है और नियम काम नहीं करता है?! इसमें कुछ भी जटिल नहीं है:

अब नियम को दूसरी बार लागू करना बाकी है ब्रैकेट में:

आप मोड़ भी सकते हैं और कोष्ठक से बाहर भी कुछ डाल सकते हैं, लेकिन इस मामले में उत्तर को ठीक इसी रूप में छोड़ना बेहतर है - इसे जांचना आसान होगा।

विचारित उदाहरण को दूसरे तरीके से हल किया जा सकता है:

दोनों समाधान बिल्कुल समतुल्य हैं.

उदाहरण 5

किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

यह एक स्वतंत्र समाधान के लिए एक उदाहरण है; नमूने में इसे पहली विधि का उपयोग करके हल किया गया है।

आइए भिन्नों वाले समान उदाहरण देखें।

उदाहरण 6

किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

आप यहां कई तरीकों से जा सकते हैं:

या इस तरह:

लेकिन यदि हम पहले भागफल के विभेदन के नियम का उपयोग करें तो समाधान अधिक सघनता से लिखा जाएगा , संपूर्ण अंश के लिए लेते हुए:

सिद्धांत रूप में, उदाहरण हल हो गया है, और यदि इसे वैसे ही छोड़ दिया जाए, तो कोई त्रुटि नहीं होगी। लेकिन यदि आपके पास समय है, तो यह हमेशा सलाह दी जाती है कि ड्राफ्ट पर जांच कर लें कि क्या उत्तर को सरल बनाया जा सकता है? आइए हम अंश के व्यंजक को एक सामान्य हर में घटाएँ और आइए तीन मंजिला अंश से छुटकारा पाएं :

अतिरिक्त सरलीकरण का नुकसान यह है कि व्युत्पन्न खोजते समय गलती करने का जोखिम नहीं होता है, बल्कि सामान्य स्कूल परिवर्तनों के दौरान गलती होने का जोखिम होता है। दूसरी ओर, शिक्षक अक्सर असाइनमेंट को अस्वीकार कर देते हैं और व्युत्पन्न को "दिमाग में लाने" के लिए कहते हैं।

स्वयं हल करने के लिए एक सरल उदाहरण:

उदाहरण 7

किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

हम व्युत्पन्न खोजने के तरीकों में महारत हासिल करना जारी रखते हैं, और अब हम एक विशिष्ट मामले पर विचार करेंगे जब विभेदन के लिए "भयानक" लघुगणक प्रस्तावित किया जाता है

उदाहरण 8

किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

यहां आप एक जटिल फ़ंक्शन को अलग करने के नियम का उपयोग करके लंबा रास्ता तय कर सकते हैं:

लेकिन पहला कदम तुरंत आपको निराशा में डुबो देता है - आपको एक भिन्नात्मक शक्ति से अप्रिय व्युत्पन्न लेना होगा, और फिर एक अंश से भी।

इसीलिए पहले"परिष्कृत" लघुगणक का व्युत्पन्न कैसे लें, इसे पहले प्रसिद्ध स्कूल गुणों का उपयोग करके सरल बनाया गया है:

! यदि आपके पास अभ्यास नोटबुक है, तो इन सूत्रों को सीधे वहां कॉपी करें। यदि आपके पास नोटबुक नहीं है, तो उन्हें कागज के एक टुकड़े पर कॉपी करें, क्योंकि पाठ के शेष उदाहरण इन सूत्रों के इर्द-गिर्द घूमेंगे।

समाधान स्वयं कुछ इस प्रकार लिखा जा सकता है:

आइए फ़ंक्शन को रूपांतरित करें:

व्युत्पन्न ढूँढना:

फ़ंक्शन को पूर्व-रूपांतरित करने से समाधान बहुत सरल हो गया। इस प्रकार, जब विभेदन के लिए एक समान लघुगणक प्रस्तावित किया जाता है, तो हमेशा "इसे तोड़ने" की सलाह दी जाती है।

और अब आपके लिए स्वयं हल करने के लिए कुछ सरल उदाहरण:

उदाहरण 9

किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

उदाहरण 10

किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

सभी परिवर्तन और उत्तर पाठ के अंत में हैं।

लघुगणकीय व्युत्पन्न

यदि लघुगणक का व्युत्पन्न इतना मधुर संगीत है, तो प्रश्न उठता है: क्या कुछ मामलों में लघुगणक को कृत्रिम रूप से व्यवस्थित करना संभव है? कर सकना! और आवश्यक भी.

उदाहरण 11

किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

हमने हाल ही में ऐसे ही उदाहरण देखे। क्या करें? आप क्रमिक रूप से भागफल के विभेदन के नियम को लागू कर सकते हैं, और फिर उत्पाद के विभेदन के नियम को लागू कर सकते हैं। इस पद्धति का नुकसान यह है कि आपके पास एक विशाल तीन-मंजिला अंश रह जाता है, जिससे आप बिल्कुल भी निपटना नहीं चाहते हैं।

लेकिन सिद्धांत और व्यवहार में लघुगणकीय व्युत्पन्न जैसी एक अद्भुत चीज़ है। लघुगणक को दोनों तरफ "लटकाकर" कृत्रिम रूप से व्यवस्थित किया जा सकता है:

टिप्पणी : क्योंकि एक फ़ंक्शन नकारात्मक मान ले सकता है, तो, आम तौर पर बोलते हुए, आपको मॉड्यूल का उपयोग करने की आवश्यकता होती है: , जो भेदभाव के परिणामस्वरूप गायब हो जाएगा। हालाँकि, वर्तमान डिज़ाइन भी स्वीकार्य है, जहाँ डिफ़ॉल्ट रूप से इसे ध्यान में रखा जाता है जटिल अर्थ. लेकिन अगर पूरी सख्ती से देखा जाए तो दोनों ही मामलों में आरक्षण किया जाना चाहिए.

अब आपको यथासंभव दाईं ओर के लघुगणक को "विघटित" करने की आवश्यकता है (आपकी आंखों के सामने सूत्र?)। मैं इस प्रक्रिया का विस्तार से वर्णन करूंगा:

आइए भेदभाव से शुरू करें।
हम दोनों भागों को अभाज्य के अंतर्गत समाप्त करते हैं:

दाईं ओर का व्युत्पन्न काफी सरल है; मैं इस पर टिप्पणी नहीं करूंगा, क्योंकि यदि आप इस पाठ को पढ़ रहे हैं, तो आपको इसे आत्मविश्वास से संभालने में सक्षम होना चाहिए।

बाईं ओर के बारे में क्या?

बाईं ओर हमारे पास है जटिल कार्य. मुझे इस प्रश्न का पूर्वाभास है: "क्यों, क्या लघुगणक के अंतर्गत एक अक्षर "Y" है?"

तथ्य यह है कि यह "एक अक्षर का खेल" - यह स्वयं एक कार्य है(यदि यह बहुत स्पष्ट नहीं है, तो लेख देखें अंतर्निहित रूप से निर्दिष्ट किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न). इसलिए, लघुगणक एक बाहरी फ़ंक्शन है, और "y" एक आंतरिक फ़ंक्शन है। और हम किसी जटिल फ़ंक्शन को विभेदित करने के लिए नियम का उपयोग करते हैं :

बाईं ओर, मानो जादू से, हमारे पास एक व्युत्पन्न है। अगला, अनुपात के नियम के अनुसार, हम "y" को बाईं ओर के हर से दाईं ओर के शीर्ष पर स्थानांतरित करते हैं:

और अब आइए याद करें कि विभेदीकरण के दौरान हमने किस प्रकार के "खिलाड़ी"-कार्य के बारे में बात की थी? आइए स्थिति पर नजर डालें:

अंतिम उत्तर:

उदाहरण 12

किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

यह आपके लिए स्वयं हल करने का एक उदाहरण है। इस प्रकार के उदाहरण का एक नमूना डिज़ाइन पाठ के अंत में है।

लघुगणकीय व्युत्पन्न का उपयोग करके किसी भी उदाहरण संख्या 4-7 को हल करना संभव था, दूसरी बात यह है कि वहां के कार्य सरल हैं, और, शायद, लघुगणकीय व्युत्पन्न का उपयोग बहुत उचित नहीं है।

शक्ति-घातांकीय फलन का व्युत्पन्न

हमने अभी तक इस फ़ंक्शन पर विचार नहीं किया है। एक घात-घातांकीय फलन एक ऐसा फलन है जिसके लिए डिग्री और आधार दोनों "x" पर निर्भर करते हैं. एक उत्कृष्ट उदाहरण जो आपको किसी भी पाठ्यपुस्तक या व्याख्यान में दिया जाएगा:

पावर-एक्सपोनेंशियल फ़ंक्शन का व्युत्पन्न कैसे खोजें?

अभी चर्चा की गई तकनीक का उपयोग करना आवश्यक है - लघुगणकीय व्युत्पन्न। हम दोनों तरफ लघुगणक लटकाते हैं:

एक नियम के रूप में, दाहिनी ओर से डिग्री लघुगणक के नीचे से निकाली जाती है:

परिणामस्वरूप, दाईं ओर हमारे पास दो कार्यों का गुणनफल है, जिन्हें मानक सूत्र के अनुसार विभेदित किया जाएगा .

हम व्युत्पन्न पाते हैं; ऐसा करने के लिए, हम दोनों भागों को स्ट्रोक के नीचे संलग्न करते हैं:

आगे की कार्रवाइयां सरल हैं:

अंत में:

यदि कोई रूपांतरण पूरी तरह से स्पष्ट नहीं है, तो कृपया उदाहरण संख्या 11 के स्पष्टीकरण को ध्यान से दोबारा पढ़ें।

व्यावहारिक कार्यों में, पावर-एक्सपोनेंशियल फ़ंक्शन हमेशा विचार किए गए व्याख्यान उदाहरण की तुलना में अधिक जटिल होगा।

उदाहरण 13

किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

हम लघुगणकीय व्युत्पन्न का उपयोग करते हैं।

दाईं ओर हमारे पास एक स्थिरांक और दो कारकों का गुणनफल है - "x" और "लघुगणक x का लघुगणक" (लघुगणक के नीचे एक और लघुगणक निहित है)। विभेदन करते समय, जैसा कि हमें याद है, स्थिरांक को तुरंत व्युत्पन्न चिह्न से बाहर ले जाना बेहतर होता है ताकि यह रास्ते में न आए; और, निःसंदेह, हम परिचित नियम लागू करते हैं :