यूलर सर्कल: क्यों एक बार देखना सौ बार सुनने से बेहतर है। वेन आरेख किसी फ़ंक्शन के लिए यूलर वेन आरेख बनाएं

समुच्चय सिद्धांत के तत्व.

"अंतर्गत अनेकहम अपने अंतर्ज्ञान या अपने विचार की कुछ निश्चित, पूरी तरह से अलग-अलग वस्तुओं के एकीकरण को समझते हैं" - इस प्रकार सेट सिद्धांत के संस्थापक जॉर्ज कैंटर ने "सेट" की अवधारणा का वर्णन किया।

कैंटर के सेट सिद्धांत का मूल आधार निम्नलिखित है:

1°एक सेट में कोई भी अलग-अलग वस्तुएँ शामिल हो सकती हैं।

2°एक समुच्चय को उसके घटक वस्तुओं के समुच्चय द्वारा विशिष्ट रूप से परिभाषित किया जाता है।

3°कोई भी संपत्ति उन वस्तुओं के समूह को परिभाषित करती है जिनमें यह संपत्ति होती है।

यदि x एक वस्तु है, P एक गुण है, P(x) एक पदनाम है कि x के पास गुण P है, तो (x|P(x)) उन वस्तुओं के पूरे वर्ग को दर्शाता है जिनके पास गुण P है। वे वस्तुएँ जो a बनाती हैं क्लास या सेट को कहा जाता है तत्वोंवर्ग या सेट.

शब्द " गुच्छा" का उपयोग अवधारणाओं के सेट, संग्रह, कुछ तत्वों के संग्रह के पर्याय के रूप में किया जाता है। इस प्रकार, हम इस बारे में बात कर सकते हैं:

क) छत्ते में बहुत सारी मधुमक्खियाँ,

बी) एक खंड पर बिंदुओं का एक सेट,

ग) किसी वर्ग के शीर्षों का समुच्चय या उसकी भुजाओं और विकर्णों का समुच्चय,

घ) दर्शकों में कई छात्र, आदि।

उपरोक्त उदाहरणों में, ए), सी)-डी) के मामलों में, संबंधित सेट में वस्तुओं की एक निश्चित सीमित संख्या होती है, ऐसे सेट कहलाते हैं अंतिम. किसी खंड पर बिंदुओं के समुच्चय (उदाहरण बी)) की गणना नहीं की जा सकती, इसलिए ऐसे समुच्चय कहलाते हैं अनंत. वह समुच्चय जिसमें एक भी तत्व न हो, कहलाता है खालीअनेक।

किसी सेट को निर्दिष्ट करने का सबसे सरल रूप उसके तत्वों को सूचीबद्ध करना है, उदाहरण के लिए ए = (4, 7, 13) (सेट ए में तीन तत्व होते हैं - पूर्णांक 4, 7, 13)। असाइनमेंट का एक और अक्सर इस्तेमाल किया जाने वाला रूप सेट के तत्वों के गुणों को इंगित करना है, उदाहरण के लिए ए = (x| x 2 ≤ 4) - संख्याओं का सेट x जो निर्दिष्ट शर्त को पूरा करता है।

सेट को आम तौर पर बड़े अक्षरों ए, बी, सी,... और उनके तत्वों को छोटे अक्षरों द्वारा दर्शाया जाता है: ए, बी, सी,... संकेतन ए ∈ ए (पढ़ें: ए ए से संबंधित है) या ए ∋ ए (पढ़ें: ए में ए शामिल है) का अर्थ है, कि ए सेट ए का एक तत्व है। एक खाली सेट को प्रतीक Ø द्वारा दर्शाया गया है।

यदि समुच्चय B का प्रत्येक अवयव समुच्चय A का भी एक अवयव है, तो समुच्चय B कहा जाता है सबसेटसेट ए (पदनाम - बी ⊆ ए या ए ⊇ बी)।

प्रत्येक समुच्चय अपना स्वयं का उपसमुच्चय है (यह समुच्चय का "सबसे चौड़ा" उपसमुच्चय है)। रिक्त समुच्चय किसी भी समुच्चय का एक उपसमुच्चय है (यह "सबसे संकीर्ण" उपसमुच्चय है)। सेट ए के किसी भी अन्य उपसमुच्चय में सेट ए का कम से कम एक तत्व होता है, लेकिन उसके सभी तत्व नहीं। ऐसे उपसमुच्चय को सत्य या उचित उपसमुच्चय कहा जाता है। किसी समुच्चय A के वास्तविक उपसमुच्चय के लिए, संकेतन B ⊂ A या A ⊃ B का उपयोग किया जाता है। यदि एक ही समय में B ⊆ A और A ⊆ B, अर्थात, समुच्चय B का प्रत्येक तत्व A का है, और उसी समय समय, A का प्रत्येक तत्व B से संबंधित है, तो A और B, स्पष्ट रूप से, समान तत्वों से मिलकर बने हैं और इसलिए, संपाती हैं। इस मामले में, सेट बराबर चिह्न का उपयोग किया जाता है: ए = बी। (प्रतीकों ∈, ∋, ⊂, ⊃, ⊆, ⊇ को समावेशन प्रतीक कहा जाता है)।

ज्यामितीय रूप से, सेट को आमतौर पर एक विमान पर बिंदुओं के कुछ सेट के रूप में दर्शाया जाता है। चित्र स्वयं कहलाते हैं यूलर-वेन आरेख (यूलेरियन वृत्त). अर्थात्, यूलर-वेन आरेख, पिछली सदी के अंत में अंग्रेजी तर्कशास्त्री जॉन वेन (1834 - 1923) द्वारा प्रस्तावित, प्रतिच्छेदी आकृति (वृत्त या दीर्घवृत्त) के माध्यम से अवधारणाओं की मात्राओं के बीच संबंधों के सेट या ज्यामितीय प्रतिनिधित्व का ज्यामितीय प्रतिनिधित्व हैं। . तार्किक आंकड़ों के दृश्य ग्राफिक प्रतिनिधित्व पर अपने कार्यों में, उन्होंने यूलर (1707 - 1783), आई. लैम्बर्ट (1728 - 1777), गेर्गोन (1771 -1859), बी. बोलजानो (1781 -) द्वारा प्रस्तावित कई ग्राफिक प्रणालियों पर भरोसा किया। 1848).

यहां कुछ चित्र दिए गए हैं. आरेख के निर्माण में सार्वभौमिक सेट का प्रतिनिधित्व करने वाला एक बड़ा आयत बनाना शामिल है यू, और इसके अंदर - सेट का प्रतिनिधित्व करने वाले वृत्त (या कुछ अन्य बंद आंकड़े)। आकृतियों को समस्या के लिए आवश्यक सबसे सामान्य तरीके से प्रतिच्छेद करना चाहिए और तदनुसार लेबल किया जाना चाहिए। आरेख के विभिन्न क्षेत्रों के अंदर स्थित बिंदुओं को संबंधित सेट के तत्वों के रूप में माना जा सकता है। आरेख के निर्माण के साथ, आप नवगठित सेटों को इंगित करने के लिए कुछ क्षेत्रों को छायांकित कर सकते हैं।

मौजूदा सेट से नए सेट प्राप्त करने के लिए सेट ऑपरेशन पर विचार किया जाता है।

परिभाषा। संगठनसेट ए और बी एक सेट है जिसमें वे सभी तत्व शामिल हैं जो सेट ए, बी में से कम से कम एक से संबंधित हैं (चित्र 1):

परिभाषा। पार करकेसेट ए और बी एक सेट है जिसमें वे सभी और केवल वे तत्व शामिल हैं जो सेट ए और सेट बी दोनों से एक साथ संबंधित हैं (चित्र 2):

परिभाषा। अंतर सेसमुच्चय A और B, A के उन सभी और केवल उन तत्वों का समुच्चय है जो B में समाहित नहीं हैं (चित्र 3):

परिभाषा। सममितीय अंतरसेट ए और बी इन सेटों के तत्वों का सेट है जो या तो केवल सेट ए से संबंधित हैं या केवल सेट बी से संबंधित हैं (चित्र 4):

सममित अंतर के लिए एक अन्य सामान्य पदनाम है: ए ∆ बी,के बजाय ए + बी.

परिभाषा। एक पूर्ण पूरकसमुच्चय A उन सभी तत्वों का समुच्चय है जो समुच्चय A से संबंधित नहीं हैं (चित्र 5):

निम्नलिखित समानताएँ मान्य हैं: (AUB)= A∩B; (ए∩बी)= एयूबी।

अंत में, हम तीन सेटों के संघ में तत्वों की संख्या की गणना के लिए एक और सूत्र प्रस्तुत करते हैं (चित्र में दिखाए गए उनके सापेक्ष व्यवस्था के सामान्य मामले के लिए):

m(AUBUC)=m(A)+m(B)+m(C)-m(A∩B)-m(B∩C)-m(A∩C)+m(A∩B∩C)

उदाहरण 1. संख्या 15 के सभी प्राकृत विभाजकों का समुच्चय और उसके तत्वों की संख्या लिखिए।

उदाहरण 2. दिए गए सेट A=(2,3,5,8,13,15), B=(1,3,4,8,16), C=(12,13,15,16), D= (0,1 ,20).

AUB, CUD, B∩C, A∩D, A\C, C\A, B\D, AUBUC, A∩B∩C, BUD∩C, A∩C\D खोजें।

एयूबी= (1,2,3,4,5,8,13,15,16)

सीयूडी= (0,1,12,13,15,16,20)

औबक= (1,2,3,4,5,8,12,13,15,16)

BU(D∩C)= (1,3,4,8,16)

(A∩C)\D= (13.15)

उदाहरण 3. स्कूल में 1400 छात्र हैं। इनमें से 1,250 स्की कर सकते हैं और 952 स्केट कर सकते हैं। 60 विद्यार्थी स्की या स्केट करना नहीं जानते। कितने छात्र स्केट और स्की कर सकते हैं?

A∩B उन छात्रों का समूह है जो स्की या स्केटिंग नहीं कर सकते।

शर्त के अनुसार m(A∩B)=60, हम समानता (AUB)= A∩B, फिर m((AUB))=60 का भी उपयोग करते हैं।

तो m(AUB)=m( यू)-m((AUB))=1400-60=1340.

शर्त के अनुसार m(A)=1250, m(B)=952, हमें m(A∩B)=m(A)+m(B)-m(AUB)=1250+952-1340=862 प्राप्त होता है

उदाहरण 4. 25 छात्रों के एक समूह ने निम्नलिखित परिणामों के साथ परीक्षा सत्र उत्तीर्ण किया: 2 लोगों को केवल "उत्कृष्ट" प्राप्त हुआ; 3 लोगों को उत्कृष्ट, अच्छे और संतोषजनक ग्रेड प्राप्त हुए; 4 लोग केवल "अच्छे"; 3 लोगों को अच्छे और संतोषजनक ग्रेड प्राप्त हुए। सत्र को केवल "उत्कृष्ट", "अच्छे" के रूप में उत्तीर्ण करने वाले छात्रों की संख्या, सत्र को केवल "संतोषजनक" के रूप में उत्तीर्ण करने वाले छात्रों की संख्या के बराबर है। ऐसे कोई छात्र नहीं हैं जिन्हें केवल उत्कृष्ट और संतोषजनक ग्रेड प्राप्त हुए हों। 22 छात्रों को संतोषजनक या अच्छे ग्रेड प्राप्त हुए। कितने छात्र परीक्षा में शामिल नहीं हुए? कितने छात्रों ने सत्र केवल "संतोषजनक" रूप से उत्तीर्ण किया? फिर स्थिति से हमें प्राप्त होता है

हम परीक्षा में शामिल नहीं होने वाले छात्रों की संख्या इस प्रकार पाते हैं:

उत्तर: 6 छात्रों को केवल "संतोषजनक" अंक प्राप्त हुए, 1 छात्र परीक्षा में शामिल नहीं हुआ।

उदाहरण 5.

सेट की समानता.

सेट एऔर मेंयदि वे सम्मिलित हों तो समान माने जाते हैं उसी सेतत्व.

समुच्चयों की समानता को इस प्रकार दर्शाया गया है: ए = बी.

यदि समुच्चय समान नहीं हैं तो लिखिए ए ¹ बी.

दो सेटों की समानता लिखना ए = बीलिखने के बराबर है एÌ में, या मेंÌ ए.

उदाहरण के लिए, समीकरण के समाधान का सेट एक्स 2 - 5एक्स+ 6 = 0 में पाँच से कम अभाज्य संख्याओं के समुच्चय के समान तत्व (संख्या 2 और 3) शामिल हैं। ये दोनों सेट बराबर हैं. (अभाज्य संख्या एक प्राकृतिक संख्या है जो बिना किसी शेषफल के केवल 1 और स्वयं से विभाज्य होती है; 1 एक अभाज्य संख्या नहीं है।)

समुच्चयों का प्रतिच्छेदन (गुणा)।

गुच्छा डी, जिसमें संबंधित सभी तत्व शामिल हैं और ए सेट करें और बी सेट करें, को समुच्चयों का प्रतिच्छेदन कहा जाता है एऔर मेंऔर नामित किया गया है डी = ए में।

आइए दो सेटों पर विचार करें: एक्स= (0, 1, 3, 5) और वाई= (1, 2, 3, 4). संख्याएँ 1 और 3 और केवल वे दोनों सेटों से एक साथ संबंधित हैं एक्सऔर वाईउनसे बने सेट (1, 3) में सभी सामान्य सेट शामिल हैं एक्सऔर वाईतत्व. इस प्रकार, समुच्चय (1,3) विचारित समुच्चयों का प्रतिच्छेदन है एक्सऔर वाई:

{1, 3} = {0, 1, 3, 5} {1, 2, 3, 4}.

खंड के लिए [-1; 1] और अंतराल ]0; 3[ प्रतिच्छेदन, यानी, सामान्य तत्वों से युक्त एक सेट, अंतराल है]0; 1] (चित्र 1)।

चावल। 1. खंड को प्रतिच्छेद करना [-1; 1] और अंतराल ]0; 3[अंतराल है]0; 1]

आयतों के एक समूह और समचतुर्भुजों के एक समूह का प्रतिच्छेदन वर्गों का एक समूह है।

किसी दिए गए स्कूल के आठवीं कक्षा के छात्रों के एक समूह और उसी स्कूल के एक रसायन विज्ञान क्लब के सदस्यों के एक समूह का प्रतिच्छेदन आठवीं कक्षा के छात्रों का एक समूह है जो एक रसायन विज्ञान क्लब के सदस्य हैं।

सेटों के प्रतिच्छेदन (और अन्य संचालन - नीचे देखें) को एक समतल पर सेटों का दृश्य चित्रण करके अच्छी तरह से चित्रित किया गया है। यूलर ने इसके लिए वृत्तों का उपयोग करने का सुझाव दिया। सेटों के प्रतिच्छेदन की छवि (ग्रे रंग में)। एऔर मेंयूलर सर्कल का उपयोग चित्र में दिखाया गया है। 2.

चावल। 3. सेटों के प्रतिच्छेदन का यूलर-वेन आरेख (ग्रे रंग में हाइलाइट किया गया)। एऔर में, जो एक निश्चित ब्रह्मांड के उपसमुच्चय हैं, जिन्हें एक आयत के रूप में दर्शाया गया है

यदि सेट एऔर मेंसामान्य तत्व नहीं हैं, तो वे कहते हैं कि ये सेट प्रतिच्छेद नहीं करते हैं या उनका प्रतिच्छेदन खाली सेट है, और लिखते हैं ए में = Æ.

उदाहरण के लिए, सम संख्याओं के समुच्चय और विषम संख्याओं के समुच्चय का प्रतिच्छेदन रिक्त है।

संख्यात्मक अंतरालों का प्रतिच्छेदन ]-1 भी खाली है; 0] और -1; 0] तथा )