गणितीय विश्वकोश. गणित का विश्वकोश देखें कि "गणितीय विश्वकोश" अन्य शब्दकोशों में क्या है

गणितीय विश्वकोश - गणित की सभी शाखाओं पर एक संदर्भ प्रकाशन। विश्वकोश गणित के सबसे महत्वपूर्ण क्षेत्रों के लिए समर्पित समीक्षा लेखों पर आधारित है। इस प्रकार के लेखों के लिए मुख्य आवश्यकता प्रस्तुति की अधिकतम पहुंच के साथ सिद्धांत की वर्तमान स्थिति के अवलोकन की संभावित पूर्णता है; ये लेख आम तौर पर वरिष्ठ गणित के छात्रों, स्नातक छात्रों और गणित के संबंधित क्षेत्रों के विशेषज्ञों के लिए और कुछ मामलों में - ज्ञान के अन्य क्षेत्रों के विशेषज्ञों के लिए उपलब्ध हैं जो अपने काम में गणितीय तरीकों का उपयोग करते हैं, इंजीनियरों और गणित के शिक्षकों के लिए। इसके अलावा, व्यक्तिगत विशिष्ट समस्याओं और गणित की विधियों पर मध्यम आकार के लेख उपलब्ध कराए गए हैं; ये लेख सीमित पाठक वर्ग के लिए हैं और इसलिए कम पहुंच योग्य हो सकते हैं। अंत में, एक अन्य प्रकार का लेख संक्षिप्त संदर्भ और परिभाषाएँ हैं। विश्वकोश के अंतिम खंड के अंत में एक विषय सूचकांक होगा, जिसमें न केवल सभी लेखों के शीर्षक शामिल होंगे, बल्कि कई अवधारणाएँ भी शामिल होंगी, जिनकी परिभाषाएँ पहले दो प्रकार के लेखों के भीतर भी दी जाएंगी। लेखों में उल्लिखित सबसे महत्वपूर्ण परिणामों के रूप में। अधिकांश विश्वकोश लेखों के साथ प्रत्येक शीर्षक के लिए क्रम संख्या के साथ एक ग्रंथ सूची होती है, जिससे उन्हें लेखों के पाठ में उद्धृत करना संभव हो जाता है। लेखों के अंत में (एक नियम के रूप में), लेखक या स्रोत को इंगित किया जाता है यदि लेख पहले ही प्रकाशित हो चुका है (मुख्य रूप से ये ग्रेट सोवियत इनसाइक्लोपीडिया में लेख हैं)। लेखों में उल्लिखित विदेशी (प्राचीन को छोड़कर) वैज्ञानिकों के नाम लैटिन वर्तनी के साथ हैं (यदि संदर्भों की सूची में कोई लिंक नहीं है)।

डाउनलोड करें और पढ़ें गणितीय विश्वकोश, खंड 3, विनोग्रादोव आई.एम., 1982

गणितीय विश्वकोश - गणित की सभी शाखाओं पर एक संदर्भ प्रकाशन। विश्वकोश गणित के सबसे महत्वपूर्ण क्षेत्रों के लिए समर्पित समीक्षा लेखों पर आधारित है। इस प्रकार के लेखों के लिए मुख्य आवश्यकता प्रस्तुति की अधिकतम पहुंच के साथ सिद्धांत की वर्तमान स्थिति के अवलोकन की संभावित पूर्णता है; ये लेख आम तौर पर वरिष्ठ गणित के छात्रों, स्नातक छात्रों और गणित के संबंधित क्षेत्रों के विशेषज्ञों के लिए और कुछ मामलों में - ज्ञान के अन्य क्षेत्रों के विशेषज्ञों के लिए उपलब्ध हैं जो अपने काम में गणितीय तरीकों का उपयोग करते हैं, इंजीनियरों और गणित के शिक्षकों के लिए। इसके अलावा, व्यक्तिगत विशिष्ट समस्याओं और गणित की विधियों पर मध्यम आकार के लेख उपलब्ध कराए गए हैं; ये लेख सीमित पाठक वर्ग के लिए हैं और इसलिए कम पहुंच योग्य हो सकते हैं। अंत में, एक अन्य प्रकार का लेख संक्षिप्त संदर्भ और परिभाषाएँ हैं। विश्वकोश के अंतिम खंड के अंत में एक विषय सूचकांक होगा, जिसमें न केवल सभी लेखों के शीर्षक शामिल होंगे, बल्कि कई अवधारणाएँ भी शामिल होंगी, जिनकी परिभाषाएँ पहले दो प्रकार के लेखों के भीतर भी दी जाएंगी। लेखों में उल्लिखित सबसे महत्वपूर्ण परिणामों के रूप में। अधिकांश विश्वकोश लेखों के साथ प्रत्येक शीर्षक के लिए क्रम संख्या के साथ एक ग्रंथ सूची होती है, जिससे उन्हें लेखों के पाठ में उद्धृत करना संभव हो जाता है। लेखों के अंत में (एक नियम के रूप में), लेखक या स्रोत को इंगित किया जाता है यदि लेख पहले ही प्रकाशित हो चुका है (मुख्य रूप से ये ग्रेट सोवियत इनसाइक्लोपीडिया में लेख हैं)। लेखों में उल्लिखित विदेशी (प्राचीन को छोड़कर) वैज्ञानिकों के नाम लैटिन वर्तनी के साथ हैं (यदि संदर्भों की सूची में कोई लिंक नहीं है)।

डाउनलोड करें और पढ़ें गणितीय विश्वकोश, खंड 2, विनोग्रादोव आई.एम., 1979

गणितीय विश्वकोश - गणित की सभी शाखाओं पर एक संदर्भ प्रकाशन। विश्वकोश गणित के सबसे महत्वपूर्ण क्षेत्रों के लिए समर्पित समीक्षा लेखों पर आधारित है। इस प्रकार के लेखों के लिए मुख्य आवश्यकता प्रस्तुति की अधिकतम पहुंच के साथ सिद्धांत की वर्तमान स्थिति के अवलोकन की संभावित पूर्णता है; ये लेख आम तौर पर वरिष्ठ गणित के छात्रों, स्नातक छात्रों और गणित के संबंधित क्षेत्रों के विशेषज्ञों के लिए और कुछ मामलों में - ज्ञान के अन्य क्षेत्रों के विशेषज्ञों के लिए उपलब्ध हैं जो अपने काम में गणितीय तरीकों का उपयोग करते हैं, इंजीनियरों और गणित के शिक्षकों के लिए। इसके अलावा, व्यक्तिगत विशिष्ट समस्याओं और गणित की विधियों पर मध्यम आकार के लेख उपलब्ध कराए गए हैं; ये लेख सीमित पाठक वर्ग के लिए हैं और इसलिए कम पहुंच योग्य हो सकते हैं। अंत में, एक अन्य प्रकार का लेख संक्षिप्त संदर्भ और परिभाषाएँ हैं। विश्वकोश के अंतिम खंड के अंत में एक विषय सूचकांक होगा, जिसमें न केवल सभी लेखों के शीर्षक शामिल होंगे, बल्कि कई अवधारणाएँ भी शामिल होंगी, जिनकी परिभाषाएँ पहले दो प्रकार के लेखों के भीतर भी दी जाएंगी। लेखों में उल्लिखित सबसे महत्वपूर्ण परिणामों के रूप में। अधिकांश विश्वकोश लेखों के साथ प्रत्येक शीर्षक के लिए क्रम संख्या के साथ एक ग्रंथ सूची होती है, जिससे उन्हें लेखों के पाठ में उद्धृत करना संभव हो जाता है। लेखों के अंत में (एक नियम के रूप में), लेखक या स्रोत को इंगित किया जाता है यदि लेख पहले ही प्रकाशित हो चुका है (मुख्य रूप से ये ग्रेट सोवियत इनसाइक्लोपीडिया में लेख हैं)। लेखों में उल्लिखित विदेशी (प्राचीन को छोड़कर) वैज्ञानिकों के नाम लैटिन वर्तनी के साथ हैं (यदि संदर्भों की सूची में कोई लिंक नहीं है)।

डाउनलोड करें और पढ़ें गणितीय विश्वकोश, खंड 1, विनोग्रादोव आई.एम., 1977

बीजगणित मूल रूप से समीकरणों को हल करने से संबंधित गणित की एक शाखा थी। ज्यामिति के विपरीत, बीजगणित का स्वयंसिद्ध निर्माण 19वीं शताब्दी के मध्य तक अस्तित्व में नहीं था, जब बीजगणित के विषय और प्रकृति का एक मौलिक नया दृष्टिकोण सामने आया। अनुसंधान ने तथाकथित बीजगणितीय संरचनाओं के अध्ययन पर तेजी से ध्यान केंद्रित करना शुरू कर दिया। इसके दो फायदे थे. एक ओर, उन क्षेत्रों को स्पष्ट किया गया जिनके लिए व्यक्तिगत प्रमेय मान्य हैं; दूसरी ओर, समान प्रमाणों को पूरी तरह से अलग-अलग क्षेत्रों में उपयोग करना संभव हो गया। बीजगणित का यह विभाजन 20वीं शताब्दी के मध्य तक चला और दो नामों के रूप में परिलक्षित हुआ: "शास्त्रीय बीजगणित" और "आधुनिक बीजगणित"। उत्तरार्द्ध को दूसरे नाम से बेहतर जाना जाता है: "अमूर्त बीजगणित"। तथ्य यह है कि इस खंड को - गणित में पहली बार - पूर्ण अमूर्तता की विशेषता दी गई थी।

लघु गणितीय विश्वकोश, फ्राइड ई., पादरी आई., रीमन आई., रेवेस पी., रुज़सा आई., 1976 डाउनलोड करें और पढ़ें

"संभाव्यता और गणितीय सांख्यिकी" संभाव्यता सिद्धांत, गणितीय सांख्यिकी और विज्ञान और प्रौद्योगिकी के विभिन्न क्षेत्रों में उनके अनुप्रयोगों पर एक संदर्भ प्रकाशन है। विश्वकोश के दो भाग हैं: मुख्य भाग में समीक्षा लेख, व्यक्तिगत विशिष्ट समस्याओं और विधियों पर समर्पित लेख, बुनियादी अवधारणाओं की परिभाषा देने वाले संक्षिप्त संदर्भ, सबसे महत्वपूर्ण प्रमेय और सूत्र शामिल हैं। व्यावहारिक मुद्दों - सूचना सिद्धांत, कतार सिद्धांत, विश्वसनीयता सिद्धांत, प्रयोगात्मक योजना और संबंधित क्षेत्रों - भौतिकी, भूभौतिकी, आनुवंशिकी, जनसांख्यिकी और प्रौद्योगिकी की व्यक्तिगत शाखाओं के लिए काफी जगह समर्पित है। अधिकांश लेख इस मुद्दे पर सबसे महत्वपूर्ण कार्यों की ग्रंथ सूची के साथ होते हैं। लेखों के शीर्षक अंग्रेजी अनुवाद में भी दिये गये हैं। दूसरे भाग - "संभावना सिद्धांत और गणितीय सांख्यिकी पर संकलन" में अतीत के घरेलू विश्वकोशों के लिए लिखे गए लेख, साथ ही पहले अन्य कार्यों में प्रकाशित विश्वकोश सामग्री शामिल हैं। विश्वकोश के साथ संभाव्यता सिद्धांत और गणितीय सांख्यिकी के विषयों को कवर करने वाली पत्रिकाओं, पत्रिकाओं और चल रहे प्रकाशनों की एक विस्तृत सूची है।
विश्वकोश में शामिल सामग्री गणित और अन्य विज्ञान के क्षेत्र में स्नातक, स्नातकोत्तर छात्रों और शोधकर्ताओं के लिए आवश्यक है जो अपने शोध और व्यावहारिक कार्यों में संभाव्य तरीकों का उपयोग करते हैं।

गणितीय विश्वकोश - गणित की सभी शाखाओं पर एक संदर्भ प्रकाशन। विश्वकोश गणित के सबसे महत्वपूर्ण क्षेत्रों के लिए समर्पित समीक्षा लेखों पर आधारित है। इस प्रकार के लेखों के लिए मुख्य आवश्यकता प्रस्तुति की अधिकतम पहुंच के साथ सिद्धांत की वर्तमान स्थिति के अवलोकन की संभावित पूर्णता है; ये लेख आम तौर पर वरिष्ठ गणित के छात्रों, स्नातक छात्रों और गणित के संबंधित क्षेत्रों के विशेषज्ञों के लिए और कुछ मामलों में - ज्ञान के अन्य क्षेत्रों के विशेषज्ञों के लिए उपलब्ध हैं जो अपने काम में गणितीय तरीकों का उपयोग करते हैं, इंजीनियरों और गणित के शिक्षकों के लिए। इसके अलावा, व्यक्तिगत विशिष्ट समस्याओं और गणित की विधियों पर मध्यम आकार के लेख उपलब्ध कराए गए हैं; ये लेख सीमित पाठक वर्ग के लिए हैं और इसलिए कम पहुंच योग्य हो सकते हैं। अंत में, एक अन्य प्रकार का लेख संक्षिप्त संदर्भ और परिभाषाएँ हैं। पहले दो प्रकार के लेखों में कुछ परिभाषाएँ दी गई हैं। अधिकांश विश्वकोश लेखों के साथ प्रत्येक शीर्षक के लिए क्रम संख्या के साथ एक ग्रंथ सूची होती है, जिससे उन्हें लेखों के पाठ में उद्धृत करना संभव हो जाता है। लेखों के अंत में (एक नियम के रूप में), लेखक या स्रोत को इंगित किया जाता है यदि लेख पहले ही प्रकाशित हो चुका है (मुख्य रूप से ये ग्रेट सोवियत इनसाइक्लोपीडिया में लेख हैं)। लेखों में उल्लिखित विदेशी (प्राचीन को छोड़कर) वैज्ञानिकों के नाम लैटिन वर्तनी के साथ हैं (यदि संदर्भों की सूची में कोई लिंक नहीं है)।

विश्वकोश में लेखों की व्यवस्था का सिद्धांत वर्णानुक्रम में है। यदि लेख का शीर्षक एक शब्द है जिसका पर्यायवाची है, तो बाद वाला मुख्य के बाद दिया जाता है। कई मामलों में, लेख के शीर्षक में दो या दो से अधिक शब्द होते हैं। इन मामलों में, शब्दों को या तो उनके सबसे सामान्य रूप में दिया जाता है, या सबसे महत्वपूर्ण अर्थ वाले शब्द को पहला स्थान दिया जाता है। यदि किसी लेख के शीर्षक में एक उचित नाम शामिल है, तो इसे पहले स्थान पर रखा जाता है (ऐसे लेखों के संदर्भों की सूची में, एक नियम के रूप में, शब्द का नाम समझाने वाला एक प्राथमिक स्रोत होता है)। लेखों के शीर्षक मुख्यतः एकवचन में दिये गये हैं।

विश्वकोश व्यापक रूप से अन्य लेखों के लिंक की एक प्रणाली का उपयोग करता है, जहां पाठक को विचाराधीन विषय पर अतिरिक्त जानकारी मिलेगी। परिभाषा लेख के शीर्षक में प्रदर्शित शब्द का संदर्भ प्रदान नहीं करती है।

स्थान बचाने के लिए, लेख विश्वकोश के लिए कुछ शब्दों के सामान्य संक्षिप्ताक्षरों का उपयोग करते हैं।

खंड 1 पर काम किया

पब्लिशिंग हाउस "सोवियत इनसाइक्लोपीडिया" का गणित संपादकीय बोर्ड - वी. आई. बिट्युत्सकोव (संपादकीय प्रमुख), एम. आई. वोइत्सेखोवस्की (वैज्ञानिक संपादक), यू. ए. गोर्बकोव (वैज्ञानिक संपादक), ए. बी. इवानोव (वरिष्ठ वैज्ञानिक संपादक), ओ ए. इवानोवा (वरिष्ठ) वैज्ञानिक संपादक), टी. वाई. पोपोवा (वैज्ञानिक संपादक), एस. ए. रुकोवा (वरिष्ठ वैज्ञानिक संपादक), ई. जी. सोबोलेव्स्काया (संपादक), एल. वी. सोकोलोवा (जूनियर संपादक), एल. आर. हबीब (जूनियर संपादक)।

प्रकाशन गृह कर्मचारी: ई. पी. रयाबोवा (साहित्यिक संपादक)। ई. आई. झारोवा, ए. एम. मार्टीनोव (ग्रंथ सूची)। ए. एफ. डाल्कोव्स्काया (प्रतिलेखन)। एन. ए. फेडोरोवा (अधिग्रहण विभाग)। 3. ए. सुखोवा (चित्रण का संस्करण)। ई. आई. अलेक्सीवा, एन. वाई. क्रुझालोवा (शब्दकोश के संपादक)। एम. वी. अकीमोवा, ए. एफ. प्रोशको (प्रूफ़रीडर)। जी. वी. स्मिरनोवा (तकनीकी संस्करण)।

कलाकार आर.आई. मैलानिचेव द्वारा कवर।

खंड 1 के बारे में अतिरिक्त जानकारी

प्रकाशन गृह "सोवियत विश्वकोश"

विश्वकोश, शब्दकोश, संदर्भ पुस्तकें

प्रकाशन गृह की वैज्ञानिक और संपादकीय परिषद

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मॉस्को 1977

गणितीय विश्वकोश. खंड 1 (ए - डी)

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गणितीय विश्वकोश. ईडी। बोर्ड: आई. एम. विनोग्रादोव (मुख्य संपादक) [और अन्य] टी. 1 - एम., "सोवियत इनसाइक्लोपीडिया", 1977

(एनसाइक्लोपीडिया। शब्दकोश। संदर्भ पुस्तकें), खंड 1. ए - जी. 1977. 1152 एसटीबी। भ्रम से.

9 जून 1976 को टाइपसेटिंग के लिए प्रस्तुत किया गया। 18 फरवरी 1977 को मुद्रण के लिए हस्ताक्षर किया गया। प्रथम मॉडल प्रिंटिंग हाउस के नाम पर बनाए गए मैट्रिक्स से मुद्रण पाठ। ए. ए. ज़दानोवा। ऑर्डर ऑफ़ द रेड बैनर ऑफ़ लेबर पब्लिशिंग हाउस "सोवियत इनसाइक्लोपीडिया"। 109817. मॉस्को, ज़ेडएच - 28, पोक्रोव्स्की बुलेवार्ड, 8. टी - 02616 सर्कुलेशन 150,000 प्रतियां। आदेश संख्या 418. मुद्रण कागज संख्या 1. कागज प्रारूप 84xl08 1/14। खंड 36 भौतिक. पी.एल. ; 60, 48 पारंपरिक पी.एल. मूलपाठ। 101, 82 शैक्षणिक. - ईडी। एल किताब की कीमत 7 रूबल है. 10 कि.

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गणितीय विश्वकोश

गणितीय विश्वकोश- गणितीय विषयों को समर्पित पांच खंडों में सोवियत विश्वकोश प्रकाशन। प्रकाशन गृह "सोवियत इनसाइक्लोपीडिया" द्वारा 1985 में प्रकाशित। प्रधान संपादक: शिक्षाविद आई. एम. विनोग्रादोव।

यह गणित की सभी मुख्य शाखाओं पर एक मौलिक सचित्र प्रकाशन है। पुस्तक इस विषय पर व्यापक सामग्री, प्रसिद्ध गणितज्ञों की जीवनियाँ, चित्र, ग्राफ़, चार्ट और रेखाचित्र प्रस्तुत करती है।

कुल मात्रा: लगभग 3000 पृष्ठ। मात्रा के अनुसार लेखों का वितरण:

• खंड 1: अबेकस - ह्यूजेन्स सिद्धांत, 576 पृष्ठ।
• खंड 2: डी'एलेम्बर्ट ऑपरेटर - सहकारी खेल, 552 पीपी।
• खंड 3: निर्देशांक - एकपदी, 592 पृ.
• खंड 4: प्रमेय की आँख - जटिल कार्य, 608 पृष्ठ।
• खंड 5: रैंडम वेरिएबल - सेल, 623 पीपी।
  खंड 5 का परिशिष्ट: सूचकांक, विख्यात टाइपो की सूची।

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• "गणितीय समीकरणों की दुनिया" पोर्टल पर गणित पर सामान्य और विशेष संदर्भ पुस्तकें और विश्वकोश, जहां आप इलेक्ट्रॉनिक रूप में विश्वकोश डाउनलोड कर सकते हैं।

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विकिमीडिया फ़ाउंडेशन. 2010.

• गणितीय रसायन शास्त्र
• क्वांटम यांत्रिकी की गणितीय नींव

देखें अन्य शब्दकोशों में "गणितीय विश्वकोश" क्या है:

गणितीय तर्क- (सैद्धांतिक तर्क, प्रतीकात्मक तर्क) गणित की एक शाखा जो गणित की नींव के प्रमाणों और प्रश्नों का अध्ययन करती है। "आधुनिक गणितीय तर्क का विषय विविध है।" पी. एस. पोरेत्स्की की परिभाषा के अनुसार, "गणितीय ... ... विकिपीडिया

विश्वकोश- (अन्य ग्रीक ἐγκύκλιος παιδεία "एक पूर्ण चक्र में सीखना", κύκλος सर्कल और παιδεία लर्निंग/पेडिया से नया लैटिन विश्वकोश (16वीं शताब्दी से पहले का नहीं) सिस्टम में लाया गया ... विकिपीडिया

विश्वकोश- (ज्ञान की संपूर्ण श्रृंखला में ग्रीक एन्किक्लिओस पेडिया प्रशिक्षण से), वैज्ञानिक। या वैज्ञानिक व्यवस्थित जानकारी युक्त लोकप्रिय संदर्भ प्रकाशन। ज्ञान की शक्ति। ई. में सामग्री को वर्णानुक्रम या व्यवस्थित रूप से व्यवस्थित किया गया है। सिद्धांत (ज्ञान की शाखाओं द्वारा).... ... प्राकृतिक विज्ञान। विश्वकोश शब्दकोश

गणितीय तर्क- आधुनिक तर्कशास्त्र के नामों में से एक जो दूसरे में आया। ज़मीन। 19 प्रारंभ 20 वीं सदी पारंपरिक तर्क को बदलने के लिए. प्रतीकात्मक तर्क शब्द का प्रयोग तर्क विज्ञान के विकास में आधुनिक चरण के दूसरे नाम के रूप में भी किया जाता है। परिभाषा… … दार्शनिक विश्वकोश

गणितीय अनंतता- अपघटन का सामान्य नाम। गणित में अनंत के विचार का कार्यान्वयन। यद्यपि एम.बी. की अवधारणा के अर्थों के बीच। और अन्य अर्थ जिनमें अनंत शब्द का उपयोग किया जाता है, वहां कोई कठोर सीमा नहीं है (क्योंकि ये सभी अवधारणाएं अंततः बहुत प्रतिबिंबित करती हैं ... ... दार्शनिक विश्वकोश

गणितीय प्रेरण- पूर्ण गणितीय प्रेरण (गणित में इसे अक्सर पूर्ण प्रेरण कहा जाता है; इस मामले में, इस अवधारणा को गैर-गणितीय औपचारिक तर्क में मानी जाने वाली पूर्ण प्रेरण की अवधारणा से अलग किया जाना चाहिए), - सामान्य प्रस्तावों को साबित करने की एक विधि ...। .. दार्शनिक विश्वकोश

गणितीय परिकल्पना- घटना के अध्ययन किए गए क्षेत्र के कानून को व्यक्त करने वाले समीकरण के रूप, प्रकार, चरित्र में एक अनुमानित परिवर्तन, इसे एक अंतर्निहित कानून के रूप में एक नए, अभी तक अध्ययन न किए गए क्षेत्र तक विस्तारित करने के उद्देश्य से। आधुनिक समय में एम. जी. का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। सैद्धांतिक... ... दार्शनिक विश्वकोश

राजनीतिक अर्थव्यवस्था में गणितीय विद्यालय- अंग्रेज़ी राजनीतिक अर्थव्यवस्था में गणितीय स्कूल; जर्मन पोलिटिसचेन ओकोनोमी में गणितज्ञ स्कूल। राजनीति, अर्थव्यवस्था में दिशा, जो 19वीं सदी के उत्तरार्ध में उभरी, प्रतिनिधियों (एल. वाल्रास, वी. पेरेटो, ओ. जेवन्स, आदि) द्वारा दी गई थी... ... समाजशास्त्र का विश्वकोश

समाजशास्त्र में गणितीय विद्यालय- अंग्रेज़ी समाजशास्त्र में गणितीय विद्यालय; जर्मन गणितज्ञ स्कूल इन डेर सोज़ियोलॉजी। समाजशास्त्र में एक प्रवृत्ति जो 20वीं सदी के पूर्वार्द्ध में उभरी, समाजशास्त्र के संस्थापकों (ए. जिप्फ़, ई. डोड, आदि) का मानना ​​था कि एक समाजशास्त्री के सिद्धांत... के स्तर तक पहुँचते हैं। समाजशास्त्र का विश्वकोश

इमारतों और संरचनाओं का गणितीय मॉडल- इमारतों और संरचनाओं का गणितीय (कंप्यूटर) मॉडल - डिजाइन, निर्माण और ... के दौरान उत्पन्न होने वाली समस्याओं के एक सेट को हल करते समय संख्यात्मक गणना करने के लिए एक सीमित तत्व आरेख के रूप में इमारतों और संरचनाओं का प्रतिनिधित्व। निर्माण सामग्री के शब्दों, परिभाषाओं और स्पष्टीकरणों का विश्वकोश

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• गणितीय विश्वकोश (5 पुस्तकों का सेट), . गणितीय विश्वकोश - गणित की सभी शाखाओं पर एक सुविधाजनक संदर्भ प्रकाशन। विश्वकोश गणित के सबसे महत्वपूर्ण क्षेत्रों पर आधारित लेखों पर आधारित है। स्थान का सिद्धांत...

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लेख की सामग्री

अंक शास्त्र।गणित को आमतौर पर इसकी कुछ पारंपरिक शाखाओं के नाम सूचीबद्ध करके परिभाषित किया जाता है। सबसे पहले, यह अंकगणित है, जो संख्याओं के अध्ययन, उनके बीच संबंधों और संख्याओं के संचालन के नियमों से संबंधित है। अंकगणित के तथ्य विभिन्न विशिष्ट व्याख्याओं के प्रति संवेदनशील होते हैं; उदाहरण के लिए, संबंध 2 + 3 = 4 + 1 इस कथन से मेल खाता है कि दो और तीन किताबें चार और एक जितनी किताबें बनाती हैं। कोई भी संबंध जैसे 2 + 3 = 4 + 1, अर्थात भौतिक जगत से किसी भी व्याख्या के संदर्भ के बिना विशुद्ध गणितीय वस्तुओं के बीच संबंध को अमूर्त कहा जाता है। गणित की अमूर्त प्रकृति इसे विभिन्न प्रकार की समस्याओं को हल करने के लिए उपयोग करने की अनुमति देती है। उदाहरण के लिए, बीजगणित, जो संख्याओं पर संक्रियाओं से संबंधित है, अंकगणित से परे जाने वाली समस्याओं को हल कर सकता है। गणित की एक अधिक विशिष्ट शाखा ज्यामिति है, जिसका मुख्य कार्य वस्तुओं के आकार और आकार का अध्ययन करना है। ज्यामितीय विधियों के साथ बीजगणितीय विधियों का संयोजन, एक ओर, त्रिकोणमिति (मूल रूप से ज्यामितीय त्रिकोणों के अध्ययन के लिए समर्पित, और अब बहुत व्यापक मुद्दों को कवर करता है) की ओर ले जाता है, और दूसरी ओर, विश्लेषणात्मक ज्यामिति की ओर, जिसमें ज्यामितीय निकायों और आकृतियों का अध्ययन बीजगणितीय विधियों द्वारा किया जाता है। उच्च बीजगणित और ज्यामिति की कई शाखाएँ हैं जिनमें अमूर्तता की उच्च डिग्री होती है और सामान्य संख्याओं और सामान्य ज्यामितीय आकृतियों के अध्ययन से संबंधित नहीं होती हैं; ज्यामितीय विषयों के सबसे सारगर्भित को टोपोलॉजी कहा जाता है।

गणितीय विश्लेषण उन मात्राओं के अध्ययन से संबंधित है जो स्थान या समय में बदलती हैं, और यह दो बुनियादी अवधारणाओं - फ़ंक्शन और सीमा पर आधारित है, जो गणित की अधिक प्रारंभिक शाखाओं में नहीं पाई जाती हैं। प्रारंभ में, गणितीय विश्लेषण में अंतर और अभिन्न कलन शामिल था, लेकिन अब इसमें अन्य अनुभाग भी शामिल हैं।

गणित की दो मुख्य शाखाएँ हैं - शुद्ध गणित, जो निगमनात्मक तर्क पर जोर देती है, और व्यावहारिक गणित। शब्द "अनुप्रयुक्त गणित" कभी-कभी गणित की उन शाखाओं को संदर्भित करता है जो विशेष रूप से विज्ञान की जरूरतों और आवश्यकताओं को पूरा करने के लिए बनाई गई थीं, और कभी-कभी विभिन्न विज्ञानों (भौतिकी, अर्थशास्त्र, आदि) के उन वर्गों को संदर्भित करता है जो गणित को हल करने के साधन के रूप में उपयोग करते हैं। उनके कार्य. गणित के बारे में कई आम ग़लतफ़हमियाँ "अनुप्रयुक्त गणित" की इन दो व्याख्याओं को भ्रमित करने से उत्पन्न होती हैं। अंकगणित पहले अर्थ में व्यावहारिक गणित का उदाहरण हो सकता है, और दूसरे अर्थ में लेखांकन।

आम धारणा के विपरीत, गणित तेजी से आगे बढ़ रहा है। गणितीय समीक्षा पत्रिका लगभग प्रकाशित करती है। नवीनतम परिणामों वाले लेखों के 8,000 संक्षिप्त सारांश - नए गणितीय तथ्य, पुराने तथ्यों के नए प्रमाण, और यहां तक ​​कि गणित के पूरी तरह से नए क्षेत्रों के बारे में जानकारी। गणित शिक्षा में वर्तमान प्रवृत्ति छात्रों को गणित शिक्षण में पहले से ही आधुनिक, अधिक अमूर्त गणितीय विचारों से परिचित कराना है। यह सभी देखेंगणित का इतिहास. गणित सभ्यता की आधारशिलाओं में से एक है, लेकिन बहुत कम लोगों को इस विज्ञान की वर्तमान स्थिति का अंदाज़ा है।

पिछले सौ वर्षों में गणित में भारी बदलाव आया है, इसकी विषय वस्तु और अनुसंधान पद्धति दोनों में। इस लेख में हम आधुनिक गणित के विकास के मुख्य चरणों का एक सामान्य विचार देने का प्रयास करेंगे, जिसके मुख्य परिणामों पर विचार किया जा सकता है, एक ओर, शुद्ध और व्यावहारिक गणित के बीच अंतर में वृद्धि, और दूसरी ओर, गणित के पारंपरिक क्षेत्रों पर पूर्ण पुनर्विचार।

गणितीय पद्धति का विकास

गणित का जन्म.

लगभग 2000 ई.पू यह देखा गया कि 3, 4 और 5 इकाई लंबाई की भुजाओं वाले त्रिभुज में, एक कोण 90° होता है (इस अवलोकन से व्यावहारिक आवश्यकताओं के लिए समकोण बनाना आसान हो गया)। क्या तब आपने अनुपात 5 2 = 3 2 + 4 2 पर ध्यान दिया? इस संबंध में हमें कोई जानकारी नहीं है. कुछ सदियों बाद, एक सामान्य नियम खोजा गया: किसी भी त्रिभुज में एबीसीशीर्ष पर समकोण के साथ एऔर पार्टियां बी = एसीऔर सी = अब, जिसके बीच यह कोण घिरा हुआ है, और विपरीत पक्ष ए = ईसा पूर्वअनुपात वैध है ए 2 = बी 2 + सी 2. हम कह सकते हैं कि विज्ञान तब शुरू होता है जब व्यक्तिगत अवलोकनों के एक समूह को एक सामान्य कानून द्वारा समझाया जाता है; इसलिए, "पाइथागोरस प्रमेय" की खोज को वास्तव में वैज्ञानिक उपलब्धि के पहले ज्ञात उदाहरणों में से एक माना जा सकता है।

लेकिन सामान्य रूप से विज्ञान के लिए और विशेष रूप से गणित के लिए इससे भी अधिक महत्वपूर्ण तथ्य यह है कि एक सामान्य कानून के निर्माण के साथ-साथ, इसे साबित करने का प्रयास भी किया जाता है। दिखाएँ कि यह आवश्यक रूप से अन्य ज्यामितीय गुणों का अनुसरण करता है। पूर्वी "प्रमाण" में से एक अपनी सादगी में विशेष रूप से स्पष्ट है: इसके बराबर चार त्रिकोण एक वर्ग में अंकित हैं बीसीडीईजैसा कि चित्र में दिखाया गया है। चौकोर क्षेत्र ए 2 को कुल क्षेत्रफल 2 के साथ चार समान त्रिभुजों में विभाजित किया गया है ईसा पूर्वऔर चौकोर एएफजीएचक्षेत्र ( बी – सी) 2 . इस प्रकार, ए 2 = (बी – सी) 2 + 2ईसा पूर्व = (बी 2 + सी 2 – 2ईसा पूर्व) + 2ईसा पूर्व = बी 2 + सी 2. यह एक कदम आगे बढ़ने और अधिक सटीक रूप से पता लगाने के लिए शिक्षाप्रद है कि "पिछली" संपत्तियों को क्या जाना जाता है। सबसे स्पष्ट तथ्य यह है कि चूँकि त्रिभुज बीएसीऔर बीईएफबिल्कुल, बिना अंतराल या ओवरलैप के, किनारों पर "फिट"। बी ० ए।और बी.एफ., इसका मतलब है कि दो शीर्ष कोण बीऔर साथएक त्रिकोण में एबीसीमिलकर 90° का कोण बनाते हैं और इसलिए इसके तीनों कोणों का योग 90° + 90° = 180° के बराबर होता है। उपरोक्त "प्रमाण" भी सूत्र का उपयोग करता है ( ईसा पूर्व/2) एक त्रिभुज के क्षेत्रफल के लिए एबीसीशीर्ष पर 90° के कोण के साथ ए. वास्तव में, अन्य धारणाओं का भी उपयोग किया गया था, लेकिन जो कहा गया है वह पर्याप्त है ताकि हम गणितीय प्रमाण के आवश्यक तंत्र को स्पष्ट रूप से देख सकें - निगमनात्मक तर्क, जो विशुद्ध रूप से तार्किक तर्कों का उपयोग करने की अनुमति देता है (उचित रूप से तैयार सामग्री के आधार पर, हमारे उदाहरण में - एक वर्ग को विभाजित करके) ज्ञात परिणामों से नए गुण निकालने के लिए, एक नियम के रूप में, उपलब्ध डेटा से सीधे पालन नहीं किया जाता है।

सिद्धांत और प्रमाण की विधियाँ।

गणितीय पद्धति की मूलभूत विशेषताओं में से एक सावधानीपूर्वक निर्मित विशुद्ध तार्किक तर्कों का उपयोग करके बयानों की एक श्रृंखला बनाने की प्रक्रिया है जिसमें प्रत्येक बाद की कड़ी पिछले लिंक से जुड़ी होती है। पहला बिल्कुल स्पष्ट विचार यह है कि किसी भी श्रृंखला में पहली कड़ी होनी चाहिए। यह परिस्थिति यूनानियों के लिए तब स्पष्ट हो गई जब उन्होंने 7वीं शताब्दी में गणितीय तर्कों के एक समूह को व्यवस्थित करना शुरू किया। ईसा पूर्व. इस योजना को लागू करने के लिए यूनानियों को लगभग आवश्यकता थी। 200 साल पहले, और बचे हुए दस्तावेज़ केवल इस बात का एक मोटा अंदाज़ा प्रदान करते हैं कि वे कैसे संचालित होते थे। हमारे पास केवल शोध के अंतिम परिणाम - प्रसिद्ध - के बारे में सटीक जानकारी है शुरुआतयूक्लिड (लगभग 300 ईसा पूर्व)। यूक्लिड आरंभिक स्थितियों को सूचीबद्ध करके शुरू करते हैं, जिनसे अन्य सभी स्थितियां विशुद्ध रूप से तार्किक रूप से प्राप्त होती हैं। इन प्रावधानों को स्वयंसिद्ध या अभिधारणाएँ कहा जाता है (शब्द व्यावहारिक रूप से विनिमेय हैं); वे या तो किसी भी प्रकार की वस्तुओं के बहुत सामान्य और कुछ हद तक अस्पष्ट गुणों को व्यक्त करते हैं, उदाहरण के लिए, "संपूर्ण भाग से बड़ा होता है," या कुछ विशिष्ट गणितीय गुण, उदाहरण के लिए, कि किन्हीं दो बिंदुओं के लिए उन्हें जोड़ने वाली एक अद्वितीय सीधी रेखा होती है . हमारे पास इस बात की कोई जानकारी नहीं है कि क्या यूनानियों ने स्वयंसिद्ध सिद्धांतों की "सच्चाई" को कोई गहरा अर्थ या महत्व दिया था, हालांकि कुछ संकेत हैं कि यूनानियों ने कुछ स्वयंसिद्ध सिद्धांतों को स्वीकार करने से पहले कुछ समय तक उन पर चर्चा की थी। यूक्लिड और उनके अनुयायियों में, स्वयंसिद्धों को गणित के निर्माण के लिए केवल शुरुआती बिंदु के रूप में प्रस्तुत किया जाता है, उनकी प्रकृति पर कोई टिप्पणी किए बिना।

प्रमाण के तरीकों के लिए, वे, एक नियम के रूप में, पहले से सिद्ध प्रमेयों के प्रत्यक्ष उपयोग तक सीमित थे। हालाँकि, कभी-कभी तर्क-वितर्क अधिक जटिल हो जाता है। हम यहां यूक्लिड की पसंदीदा पद्धति का उल्लेख करेंगे, जो गणित के रोजमर्रा के अभ्यास का हिस्सा बन गई है - अप्रत्यक्ष प्रमाण, या विरोधाभास द्वारा प्रमाण। विरोधाभास द्वारा प्रमाण के प्राथमिक उदाहरण के रूप में, हम दिखाएंगे कि एक शतरंज की बिसात जिसमें से विकर्ण के विपरीत छोर पर स्थित दो कोने वाले वर्गों को काट दिया जाता है, को डोमिनोज़ के साथ कवर नहीं किया जा सकता है, जिनमें से प्रत्येक दो वर्गों के बराबर है। (यह माना जाता है कि शतरंज की बिसात के प्रत्येक वर्ग को केवल एक बार कवर किया जाना चाहिए।) मान लीजिए कि विपरीत ("विपरीत") कथन सत्य है, अर्थात। कि बोर्ड को डोमिनोज़ से ढका जा सके। प्रत्येक टाइल एक काले और एक सफेद वर्ग को कवर करती है, इसलिए इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि डोमिनोज़ को कैसे व्यवस्थित किया जाता है, वे समान संख्या में काले और सफेद वर्गों को कवर करते हैं। हालाँकि, क्योंकि दो कोने वाले वर्ग हटा दिए गए हैं, शतरंज की बिसात (जिसमें मूल रूप से सफेद जितने काले वर्ग थे) में दूसरे रंग के वर्गों की तुलना में एक रंग के दो अधिक वर्ग हैं। इसका मतलब यह है कि हमारी शुरुआती धारणा सच नहीं हो सकती, क्योंकि इससे विरोधाभास पैदा होता है। और चूँकि जो प्रस्ताव एक दूसरे का खंडन करते हैं वे एक ही समय में झूठे नहीं हो सकते (यदि उनमें से एक गलत है, तो विपरीत सत्य है), हमारी प्रारंभिक धारणा सत्य होनी चाहिए, क्योंकि जो धारणा इसका खंडन करती है वह गलत है; इसलिए, तिरछे कटे हुए दो कोने वाले वर्गों वाली शतरंज की बिसात को डोमिनोज़ से ढका नहीं जा सकता है। इसलिए, एक निश्चित कथन को साबित करने के लिए, हम यह मान सकते हैं कि यह गलत है, और इस धारणा से किसी अन्य कथन के साथ विरोधाभास का निष्कर्ष निकाल सकते हैं, जिसकी सच्चाई ज्ञात है।

विरोधाभास द्वारा प्रमाण का एक उत्कृष्ट उदाहरण, जो प्राचीन ग्रीक गणित के विकास में मील के पत्थर में से एक बन गया, वह प्रमाण है जो एक तर्कसंगत संख्या नहीं है, यानी। भिन्न के रूप में प्रस्तुत करने योग्य नहीं पी/क्यू, कहाँ पीऔर क्यू- पूर्ण संख्याएं। यदि , तो 2= पी 2 /क्यू 2, कहाँ से पी 2 = 2क्यू 2. मान लीजिए दो पूर्णांक हैं पीऔर क्यू, जिसके लिए पी 2 = 2क्यू 2. दूसरे शब्दों में, हम मानते हैं कि एक पूर्णांक है जिसका वर्ग दूसरे पूर्णांक के वर्ग का दोगुना है। यदि कोई पूर्णांक इस शर्त को पूरा करता है, तो उनमें से एक अन्य सभी से छोटा होना चाहिए। आइए इनमें से सबसे छोटी संख्या पर ध्यान केंद्रित करें। इसे एक संख्या होने दो पी. 2 से क्यू 2 एक सम संख्या है और पी 2 = 2क्यू 2, फिर संख्या पी 2 सम होना चाहिए. चूँकि सभी विषम संख्याओं के वर्ग विषम होते हैं, और वर्ग पी 2 सम है, जिसका अर्थ स्वयं संख्या है पीसम होना चाहिए. दूसरे शब्दों में, संख्या पीकिसी पूर्णांक के आकार का दोगुना आर. क्योंकि पी = 2आरऔर पी 2 = 2क्यू 2, हमारे पास है: (2 आर) 2 = 4आर 2 = 2क्यू 2 और क्यू 2 = 2आर 2. अंतिम समानता का स्वरूप भी समानता जैसा ही है पी 2 = 2क्यू 2, और हम उसी तर्क को दोहराते हुए दिखा सकते हैं कि संख्या क्यूसम है और ऐसा कोई पूर्णांक है एस, क्या क्यू = 2एस. परन्तु फिर क्यू 2 = (2एस) 2 = 4एस 2, और, तब से क्यू 2 = 2आर 2, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि 4 एस 2 = 2आर 2 या आर 2 = 2एस 2. इससे हमें एक दूसरा पूर्णांक मिलता है जो इस शर्त को पूरा करता है कि इसका वर्ग दूसरे पूर्णांक के वर्ग का दोगुना है। परन्तु फिर पीऐसी सबसे छोटी संख्या नहीं हो सकती (क्योंकि) आर = पी/2), हालाँकि शुरू में हमने मान लिया था कि यह ऐसी संख्याओं में सबसे छोटी थी। इसलिए, हमारी प्रारंभिक धारणा गलत है, क्योंकि यह विरोधाभास की ओर ले जाती है, और इसलिए ऐसे कोई पूर्णांक नहीं हैं पीऔर क्यू, जिसके लिए पी 2 = 2क्यू 2 (अर्थात ऐसा कि ) । इसका मतलब यह है कि संख्या तर्कसंगत नहीं हो सकती.

यूक्लिड से लेकर 19वीं सदी की शुरुआत तक.

इस अवधि के दौरान, तीन नवाचारों के परिणामस्वरूप गणित में महत्वपूर्ण बदलाव आया।

(1) बीजगणित के विकास की प्रक्रिया में, प्रतीकात्मक संकेतन की एक विधि का आविष्कार किया गया जिससे मात्राओं के बीच बढ़ते जटिल संबंधों को संक्षिप्त रूप में प्रस्तुत करना संभव हो गया। ऐसी असुविधाओं के एक उदाहरण के रूप में जो ऐसी "कर्सिव राइटिंग" न होने पर उत्पन्न होतीं, आइए शब्दों में रिश्ते को व्यक्त करने का प्रयास करें ( ए + बी) 2 = ए 2 + 2अब + बी 2: “दो दिए गए वर्गों की भुजाओं के योग के बराबर भुजा वाले एक वर्ग का क्षेत्रफल उनके क्षेत्रफलों के योग के साथ-साथ एक आयत के क्षेत्रफल का दोगुना होता है जिसकी भुजाएँ उसकी भुजाओं के बराबर होती हैं दिए गए वर्ग।"

(2) 17वीं शताब्दी के पूर्वार्ध में रचना। विश्लेषणात्मक ज्यामिति, जिसने शास्त्रीय ज्यामिति की किसी भी समस्या को किसी बीजगणितीय समस्या में बदलना संभव बना दिया।

(3) 1600 से 1800 की अवधि में इनफिनिटसिमल कैलकुलस का निर्माण और विकास, जिससे सीमा और निरंतरता की अवधारणाओं से संबंधित सैकड़ों समस्याओं को आसानी से और व्यवस्थित रूप से हल करना संभव हो गया, जिनमें से केवल कुछ ही बड़ी कठिनाई के साथ हल किए गए थे। प्राचीन यूनानी गणितज्ञों द्वारा। गणित की इन शाखाओं पर बीजगणित लेख में अधिक विस्तार से चर्चा की गई है; विश्लेषणात्मक ज्यामिति ; गणितीय विश्लेषण ; ज्यामिति समीक्षा.

17वीं सदी से. यह प्रश्न, जो अब तक अघुलनशील था, धीरे-धीरे स्पष्ट होता जा रहा है। गणित क्या है? 1800 से पहले इसका उत्तर काफी सरल था। उस समय, विभिन्न विज्ञानों के बीच कोई स्पष्ट सीमाएँ नहीं थीं; गणित "प्राकृतिक दर्शन" का हिस्सा था - पुनर्जागरण और 17वीं शताब्दी की शुरुआत के महान सुधारकों द्वारा प्रस्तावित तरीकों का उपयोग करके प्रकृति का व्यवस्थित अध्ययन। - गैलीलियो (1564-1642), एफ. बेकन (1561-1626) और आर. डेसकार्टेस (1596-1650)। ऐसा माना जाता था कि गणितज्ञों के अध्ययन का अपना क्षेत्र था - संख्याएँ और ज्यामितीय वस्तुएँ - और गणितज्ञ प्रयोगात्मक पद्धति का उपयोग नहीं करते थे। हालाँकि, न्यूटन और उनके अनुयायियों ने स्वयंसिद्ध विधि का उपयोग करके यांत्रिकी और खगोल विज्ञान का अध्ययन किया, जैसे यूक्लिड द्वारा ज्यामिति प्रस्तुत की गई थी। अधिक सामान्यतः, यह माना गया कि कोई भी विज्ञान जिसमें किसी प्रयोग के परिणामों को संख्याओं या संख्याओं की प्रणालियों का उपयोग करके दर्शाया जा सकता है, गणित के अनुप्रयोग का क्षेत्र बन जाता है (भौतिकी में, यह विचार केवल 19 वीं शताब्दी में स्थापित किया गया था)।

प्रायोगिक विज्ञान के जिन क्षेत्रों में गणितीय उपचार किया गया है उन्हें अक्सर "अनुप्रयुक्त गणित" कहा जाता है; यह एक बहुत ही दुर्भाग्यपूर्ण नाम है, क्योंकि, न तो शास्त्रीय और न ही आधुनिक मानकों के अनुसार, इन अनुप्रयोगों में (सख्त अर्थ में) वास्तव में गणितीय तर्क हैं, क्योंकि उनमें अध्ययन का विषय गैर-गणितीय वस्तुएं हैं। एक बार जब प्रयोगात्मक डेटा को संख्याओं या समीकरणों की भाषा में अनुवादित किया जाता है (ऐसे "अनुवाद" के लिए अक्सर "लागू" गणितज्ञ की ओर से बड़ी संसाधनशीलता की आवश्यकता होती है), तो गणितीय प्रमेयों को व्यापक रूप से लागू करना संभव हो जाता है; फिर परिणाम का पुन: अनुवाद किया जाता है और अवलोकनों के साथ तुलना की जाती है। यह तथ्य कि "गणित" शब्द इस प्रकार की प्रक्रिया पर लागू होता है, अंतहीन गलतफहमियों के स्रोतों में से एक है। जिस "शास्त्रीय" समय के बारे में हम अभी बात कर रहे हैं, उस समय इस प्रकार की ग़लतफ़हमी मौजूद नहीं थी, क्योंकि वही लोग "अनुप्रयुक्त" और "शुद्ध" गणितज्ञ थे, जो एक साथ गणितीय विश्लेषण या संख्या सिद्धांत की समस्याओं और अन्य समस्याओं पर काम कर रहे थे। गतिशीलता या प्रकाशिकी. हालाँकि, बढ़ी हुई विशेषज्ञता और "शुद्ध" और "अनुप्रयुक्त" गणित को अलग करने की प्रवृत्ति ने सार्वभौमिकता की पहले से मौजूद परंपरा को काफी कमजोर कर दिया, और जे. वॉन न्यूमैन (1903-1957) जैसे वैज्ञानिक, दोनों में सक्रिय वैज्ञानिक कार्य करने में सक्षम थे। लागू किया गया और शुद्ध गणित में नियम के बजाय अपवाद बन गया है।

गणितीय वस्तुओं की प्रकृति क्या है - संख्याएँ, बिंदु, रेखाएँ, कोण, सतह आदि, जिनका अस्तित्व हम मान लेते हैं? ऐसी वस्तुओं के संबंध में "सत्य" की अवधारणा का क्या अर्थ है? शास्त्रीय काल में इन प्रश्नों के बिल्कुल निश्चित उत्तर दिए गए थे। बेशक, उस युग के वैज्ञानिकों ने स्पष्ट रूप से समझा कि हमारी संवेदनाओं की दुनिया में यूक्लिड की "अनंत विस्तारित सीधी रेखा" या "आयाम रहित बिंदु" जैसी कोई चीज़ नहीं है, जैसे कोई "शुद्ध धातु", "मोनोक्रोमैटिक" नहीं हैं। प्रकाश", "हीट-इंसुलेटेड सिस्टम", आदि, जो प्रयोगकर्ता अपने तर्क में संचालित करते हैं। ये सभी अवधारणाएँ "प्लेटोनिक विचार" हैं, अर्थात्। अनुभवजन्य अवधारणाओं के एक प्रकार के जनरेटिव मॉडल, हालांकि मौलिक रूप से भिन्न प्रकृति के होते हैं। फिर भी, यह चुपचाप मान लिया गया था कि विचारों की भौतिक "छवियाँ" स्वयं विचारों के जितनी चाहें उतनी करीब हो सकती हैं। इस हद तक कि वस्तुओं की विचारों से निकटता के बारे में कुछ भी कहा जा सकता है, "विचारों" को भौतिक वस्तुओं के "सीमित मामले" कहा जाता है। इस दृष्टिकोण से, यूक्लिड के स्वयंसिद्ध और उनसे प्राप्त प्रमेय "आदर्श" वस्तुओं के गुणों को व्यक्त करते हैं जिनके लिए पूर्वानुमानित प्रयोगात्मक तथ्यों को अनुरूप होना चाहिए। उदाहरण के लिए, अंतरिक्ष में तीन बिंदुओं से बने त्रिभुज के कोणों को ऑप्टिकल तरीकों से मापने पर, "आदर्श स्थिति" में योग 180° के बराबर आना चाहिए। दूसरे शब्दों में, स्वयंसिद्धों को भौतिक नियमों के समान स्तर पर रखा जाता है, और इसलिए उनकी "सच्चाई" को भौतिक कानूनों की सच्चाई के समान ही माना जाता है; वे। स्वयंसिद्धों के तार्किक परिणाम प्रयोगात्मक डेटा के साथ तुलना करके सत्यापन के अधीन हैं। बेशक, माप उपकरण की "अपूर्ण" प्रकृति और मापी गई वस्तु की "अपूर्ण प्रकृति" दोनों से जुड़ी त्रुटि की सीमा के भीतर ही सहमति प्राप्त की जा सकती है। हालाँकि, यह हमेशा माना जाता है कि यदि कानून "सत्य" हैं, तो माप प्रक्रियाओं में सुधार सैद्धांतिक रूप से माप त्रुटि को वांछित के रूप में छोटा कर सकता है।

पूरे 18वीं सदी में. इस बात के अधिक से अधिक प्रमाण थे कि बुनियादी सिद्धांतों से प्राप्त सभी परिणाम, विशेष रूप से खगोल विज्ञान और यांत्रिकी में, प्रयोगात्मक डेटा के अनुरूप हैं। और चूंकि ये परिणाम उस समय मौजूद गणितीय तंत्र का उपयोग करके प्राप्त किए गए थे, इसलिए प्राप्त सफलताओं ने यूक्लिड के स्वयंसिद्धों की सच्चाई के बारे में राय को मजबूत करने में योगदान दिया, जैसा कि प्लेटो ने कहा, "सभी के लिए स्पष्ट" है और चर्चा का विषय नहीं है।

संदेह और नई उम्मीदें.

गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति.

यूक्लिड द्वारा दिए गए अभिधारणाओं में से एक इतना स्पष्ट था कि महान गणितज्ञ के पहले छात्रों ने भी इसे प्रणाली में एक कमजोर बिंदु माना था शुरू किया. प्रश्न में अभिगृहीत बताता है कि किसी दी गई रेखा के बाहर स्थित एक बिंदु के माध्यम से, दी गई रेखा के समानांतर केवल एक रेखा खींची जा सकती है। अधिकांश जियोमीटर का मानना ​​था कि समानांतर स्वयंसिद्ध को अन्य स्वयंसिद्धों द्वारा सिद्ध किया जा सकता है, और यूक्लिड ने समानांतर कथन को एक अभिधारणा के रूप में केवल इसलिए तैयार किया क्योंकि वह इस तरह के प्रमाण के साथ आने में असमर्थ था। लेकिन, यद्यपि सर्वश्रेष्ठ गणितज्ञों ने समांतरता की समस्या को हल करने का प्रयास किया, लेकिन उनमें से कोई भी यूक्लिड से आगे निकलने में सफल नहीं हुआ। अंततः, 18वीं शताब्दी के उत्तरार्ध में। यूक्लिड की समानता संबंधी अभिधारणा को विरोधाभास द्वारा सिद्ध करने का प्रयास किया गया। यह सुझाव दिया गया है कि समानांतर अभिगृहीत ग़लत है। प्राथमिक रूप से, यूक्लिड का अभिधारणा दो मामलों में गलत साबित हो सकता है: यदि किसी दी गई रेखा के बाहर एक बिंदु के माध्यम से एक भी समानांतर रेखा खींचना असंभव है; या यदि इसके माध्यम से कई समानांतर रेखाएँ खींची जा सकती हैं। यह पता चला कि पहली प्राथमिकता संभावना को अन्य सिद्धांतों द्वारा बाहर रखा गया है। समानताओं के बारे में पारंपरिक सिद्धांत के बजाय एक नया सिद्धांत अपनाने के बाद (कि किसी दी गई रेखा के बाहर एक बिंदु के माध्यम से किसी दिए गए के समानांतर कई रेखाएं खींची जा सकती हैं), गणितज्ञों ने इससे एक बयान प्राप्त करने की कोशिश की जो अन्य सिद्धांतों का खंडन करता है, लेकिन असफल रहा: नहीं चाहे उन्होंने नए "यूक्लिडियन विरोधी" या "गैर-यूक्लिडियन" सिद्धांत से परिणाम निकालने की कितनी भी कोशिश की, कोई विरोधाभास कभी सामने नहीं आया। अंत में, एक-दूसरे से स्वतंत्र रूप से, एन.आई. लोबाचेव्स्की (1793-1856) और जे. बोल्याई (1802-1860) ने महसूस किया कि समानता के बारे में यूक्लिड का अभिधारणा अप्राप्य है, या, दूसरे शब्दों में, "गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति" में कोई विरोधाभास दिखाई नहीं देगा। ”

गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति के आगमन के साथ, कई दार्शनिक समस्याएं तुरंत उत्पन्न हुईं। चूंकि स्वयंसिद्धों की प्राथमिक आवश्यकता का दावा गायब हो गया था, इसलिए उनकी "सच्चाई" का परीक्षण करने का एकमात्र तरीका प्रयोगात्मक था। लेकिन, जैसा कि ए. पोंकारे (1854-1912) ने बाद में उल्लेख किया, किसी भी घटना के विवरण में इतनी सारी भौतिक धारणाएँ छिपी होती हैं कि एक भी प्रयोग किसी गणितीय सिद्धांत की सच्चाई या झूठ का पुख्ता सबूत नहीं दे सकता है। इसके अलावा, भले ही हम मान लें कि हमारी दुनिया "गैर-यूक्लिडियन" है, तो क्या इसका मतलब यह है कि सभी यूक्लिडियन ज्यामिति झूठी हैं? जहाँ तक ज्ञात है, किसी भी गणितज्ञ ने कभी भी ऐसी परिकल्पना पर गंभीरता से विचार नहीं किया है। अंतर्ज्ञान ने सुझाव दिया कि यूक्लिडियन और गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति दोनों पूर्ण गणित के उदाहरण हैं।

गणितीय "राक्षस"।

अप्रत्याशित रूप से, वही निष्कर्ष पूरी तरह से अलग दिशा से पहुंचे - वस्तुओं की खोज की गई जिसने 19 वीं शताब्दी के गणितज्ञों को चौंका दिया। चौंका दिया और "गणितीय राक्षस" करार दिया। यह खोज सीधे तौर पर गणितीय विश्लेषण के बहुत ही सूक्ष्म मुद्दों से संबंधित है जो केवल 19वीं शताब्दी के मध्य में उत्पन्न हुए थे। वक्र की प्रायोगिक अवधारणा का सटीक गणितीय एनालॉग खोजने का प्रयास करते समय कठिनाइयाँ उत्पन्न हुईं। "निरंतर गति" की अवधारणा का सार क्या था (उदाहरण के लिए, कागज की एक शीट पर चलने वाले ड्राइंग पेन का बिंदु) सटीक गणितीय परिभाषा के अधीन था, और यह लक्ष्य तब प्राप्त हुआ जब निरंतरता की अवधारणा ने एक सख्त गणितीय अधिग्रहण किया अर्थ ( सेमी. भीवक्र). सहज रूप से ऐसा लगता था कि इसके प्रत्येक बिंदु पर "वक्र" की एक दिशा थी, यानी। सामान्य स्थिति में, इसके प्रत्येक बिंदु के पड़ोस में, एक वक्र लगभग एक सीधी रेखा के समान ही व्यवहार करता है। (दूसरी ओर, यह कल्पना करना मुश्किल नहीं है कि एक वक्र में बहुभुज की तरह "किंक" कोने वाले बिंदुओं की एक सीमित संख्या होती है।) इस आवश्यकता को गणितीय रूप से तैयार किया जा सकता है, अर्थात्, वक्र के स्पर्शरेखा का अस्तित्व था मान लिया गया, और 19वीं शताब्दी के मध्य तक। यह माना जाता था कि "वक्र" के लगभग सभी बिंदुओं पर एक स्पर्शरेखा होती है, शायद कुछ "विशेष" बिंदुओं को छोड़कर। इसलिए, "वक्र" की खोज जिसमें किसी भी बिंदु पर स्पर्शरेखा नहीं थी, एक वास्तविक घोटाले का कारण बनी ( सेमी. भीफ़ंक्शन सिद्धांत)। (त्रिकोणमिति और विश्लेषणात्मक ज्यामिति से परिचित पाठक आसानी से सत्यापित कर सकते हैं कि समीकरण द्वारा दिया गया वक्र है य = एक्सपाप(1/ एक्स), जिसके मूल बिंदु पर स्पर्शरेखा नहीं है, लेकिन ऐसे वक्र को परिभाषित करना जिसके किसी भी बिंदु पर स्पर्शरेखा नहीं है, अधिक कठिन है।)

कुछ देर बाद, बहुत अधिक "पैथोलॉजिकल" परिणाम प्राप्त हुआ: एक वक्र का एक उदाहरण बनाना संभव था जो एक वर्ग को पूरी तरह से भर देता है। तब से, "सामान्य ज्ञान" के विपरीत, ऐसे सैकड़ों "राक्षसों" का आविष्कार किया गया है। इस बात पर जोर दिया जाना चाहिए कि ऐसी असामान्य गणितीय वस्तुओं का अस्तित्व मूल सिद्धांतों से एक त्रिकोण या दीर्घवृत्त के अस्तित्व के रूप में सख्ती से और तार्किक रूप से निर्दोष है। क्योंकि गणितीय "राक्षस" किसी भी प्रयोगात्मक वस्तु के अनुरूप नहीं हो सकते हैं, और एकमात्र संभावित निष्कर्ष यह है कि गणितीय "विचारों" की दुनिया किसी की अपेक्षा से कहीं अधिक समृद्ध और असामान्य है, और उनमें से केवल कुछ ही हमारी दुनिया में पत्राचार करते हैं संवेदनाएँ लेकिन यदि गणितीय "राक्षस" तार्किक रूप से स्वयंसिद्धों का अनुसरण करते हैं, तो क्या स्वयंसिद्धों को अभी भी सत्य माना जा सकता है?

नई वस्तुएं.

उपरोक्त परिणामों की एक और तरफ से पुष्टि की गई: गणित में, मुख्य रूप से बीजगणित में, एक के बाद एक नई गणितीय वस्तुएँ सामने आने लगीं, जो संख्या की अवधारणा का सामान्यीकरण थीं। साधारण पूर्णांक काफी "सहज ज्ञान युक्त" होते हैं, और भिन्न की प्रायोगिक अवधारणा पर आना बिल्कुल भी मुश्किल नहीं है (हालाँकि यह स्वीकार किया जाना चाहिए कि एक इकाई को कई समान भागों में विभाजित करने और उनमें से कई को चुनने की प्रक्रिया प्रकृति में भिन्न होती है) गिनती की प्रक्रिया से) एक बार जब यह पता चला कि किसी संख्या को भिन्न के रूप में प्रस्तुत नहीं किया जा सकता है, तो यूनानियों को अपरिमेय संख्याओं पर विचार करने के लिए मजबूर किया गया, जिसका तर्कसंगत संख्याओं द्वारा अनुमान के अनंत अनुक्रम के माध्यम से सही निर्धारण मानव मन की उच्चतम उपलब्धियों से संबंधित है, लेकिन यह शायद ही हमारी भौतिक दुनिया में किसी भी वास्तविक चीज़ से मेल खाता है (जहां कोई भी माप हमेशा त्रुटियों से जुड़ा होता है)। फिर भी, अपरिमेय संख्याओं का परिचय कमोबेश भौतिक अवधारणाओं के "आदर्शीकरण" की भावना से हुआ। हम नकारात्मक संख्याओं के बारे में क्या कह सकते हैं, जो धीरे-धीरे, बड़े प्रतिरोध का सामना करते हुए, बीजगणित के विकास के संबंध में वैज्ञानिक उपयोग में आने लगीं? यह पूरी निश्चितता के साथ कहा जा सकता है कि कोई तैयार भौतिक वस्तुएँ नहीं थीं, जिनसे शुरू करके हम, प्रत्यक्ष अमूर्तता की प्रक्रिया का उपयोग करके, एक नकारात्मक संख्या की अवधारणा विकसित कर सकें, और एक प्रारंभिक बीजगणित पाठ्यक्रम को पढ़ाने में हमें कई का परिचय देना होगा नकारात्मक संख्याएँ क्या हैं, यह समझाने के लिए सहायक और बल्कि जटिल उदाहरण (उन्मुख खंड, तापमान, ऋण, आदि)। यह स्थिति "हर किसी के लिए स्पष्ट" अवधारणा से बहुत दूर है, जैसा कि प्लेटो ने गणित में अंतर्निहित विचारों की मांग की थी, और अक्सर कॉलेज के स्नातकों का सामना होता है जिनके लिए संकेतों का नियम अभी भी एक रहस्य है (- ए)(–बी) = अब. यह सभी देखेंसंख्या ।

"काल्पनिक" या "जटिल" संख्याओं के साथ स्थिति और भी खराब है, क्योंकि उनमें एक "संख्या" शामिल होती है मैं, ऐसा है कि मैं 2 = -1, जो संकेत नियम का स्पष्ट उल्लंघन है। फिर भी, 16वीं शताब्दी के अंत के गणितज्ञ। जटिल संख्याओं के साथ गणना करने में संकोच न करें जैसे कि वे "समझ में आ गए" हों, हालांकि 200 साल पहले वे इन "वस्तुओं" को परिभाषित नहीं कर सकते थे या किसी सहायक निर्माण का उपयोग करके उनकी व्याख्या नहीं कर सकते थे, उदाहरण के लिए, उन्हें नकारात्मक संख्याओं के निर्देशित खंडों का उपयोग करके व्याख्या की गई थी। . (1800 के बाद, सम्मिश्र संख्याओं की कई व्याख्याएँ प्रस्तावित की गईं, जिनमें समतल में सदिशों का उपयोग करना सबसे प्रसिद्ध है।)

आधुनिक स्वयंसिद्धि.

क्रांति 19वीं शताब्दी के उत्तरार्ध में हुई। और यद्यपि यह आधिकारिक बयानों को अपनाने के साथ नहीं था, वास्तव में यह एक प्रकार की "स्वतंत्रता की घोषणा" की घोषणा के बारे में था। अधिक विशेष रूप से, बाहरी दुनिया से गणित की स्वतंत्रता की वास्तविक घोषणा के बारे में।

इस दृष्टिकोण से, गणितीय "वस्तुएँ", यदि उनके "अस्तित्व" के बारे में बात करना बिल्कुल भी समझ में आता है, तो वे मन की शुद्ध रचनाएँ हैं, और क्या उनका कोई "अनुरूपता" है और वे भौतिक दुनिया में किसी भी "व्याख्या" की अनुमति देते हैं , गणित के लिए महत्वहीन है (हालाँकि यह प्रश्न अपने आप में दिलचस्प है)।

ऐसी "वस्तुओं" के बारे में "सच्चे" कथन स्वयंसिद्धों के समान तार्किक परिणाम हैं। लेकिन अब सिद्धांतों को पूरी तरह से मनमाना माना जाना चाहिए, और इसलिए उन्हें "आदर्शीकरण" के माध्यम से रोजमर्रा के अनुभव से "स्पष्ट" या निष्कर्ष निकालने योग्य होने की कोई आवश्यकता नहीं है। व्यवहार में, पूर्ण स्वतंत्रता विभिन्न विचारों द्वारा सीमित है। बेशक, "शास्त्रीय" वस्तुएं और उनके सिद्धांत अपरिवर्तित रहते हैं, लेकिन अब उन्हें गणित की एकमात्र वस्तुएं और सिद्धांत नहीं माना जा सकता है, और सिद्धांतों को बाहर फेंकने या फिर से काम करने की आदत रोजमर्रा के अभ्यास का हिस्सा बन गई है ताकि यह संभव हो सके उन्हें विभिन्न तरीकों से उपयोग करें, जैसा कि यूक्लिडियन से गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति में संक्रमण के दौरान किया गया था। (यह इस तरह से है कि "गैर-यूक्लिडियन" ज्यामिति के कई प्रकार प्राप्त किए गए हैं, जो यूक्लिडियन ज्यामिति और लोबचेव्स्की-बोलाई ज्यामिति से भिन्न हैं; उदाहरण के लिए, गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति हैं जिनमें कोई समानांतर रेखाएं नहीं हैं।)

मैं विशेष रूप से एक परिस्थिति पर जोर देना चाहूंगा जो गणितीय "वस्तुओं" के नए दृष्टिकोण से उत्पन्न होती है: सभी प्रमाण विशेष रूप से स्वयंसिद्धों पर आधारित होने चाहिए। यदि हम गणितीय प्रमाण की परिभाषा याद रखें तो ऐसा कथन दोहराव वाला लग सकता है। हालाँकि, शास्त्रीय गणित में वस्तुओं या स्वयंसिद्धों की "सहज" प्रकृति के कारण इस नियम का शायद ही कभी पालन किया जाता था। तक में शुरुआतयूक्लिड, अपनी सभी स्पष्ट "कठोरता" के बावजूद, कई सिद्धांतों को स्पष्ट रूप से नहीं बताया गया है और कई गुणों को या तो चुपचाप मान लिया गया है या पर्याप्त औचित्य के बिना पेश किया गया है। यूक्लिडियन ज्यामिति को ठोस आधार पर रखने के लिए, इसके सिद्धांतों के एक महत्वपूर्ण संशोधन की आवश्यकता थी। यह कहने लायक नहीं है कि किसी प्रमाण के सबसे छोटे विवरण पर पांडित्यपूर्ण नियंत्रण "राक्षसों" की उपस्थिति का परिणाम है जिसने आधुनिक गणितज्ञों को अपने निष्कर्षों में सावधान रहना सिखाया है। शास्त्रीय वस्तुओं के बारे में सबसे हानिरहित और "स्वयं-स्पष्ट" कथन, उदाहरण के लिए, यह कथन कि एक रेखा के विपरीत किनारों पर स्थित बिंदुओं को जोड़ने वाला वक्र आवश्यक रूप से इस रेखा को काटता है, आधुनिक गणित में सख्त औपचारिक प्रमाण की आवश्यकता होती है।

यह कहना विरोधाभासी लग सकता है कि स्वयंसिद्ध सिद्धांतों के पालन के कारण ही आधुनिक गणित एक स्पष्ट उदाहरण के रूप में कार्य करता है कि कोई भी विज्ञान कैसा होना चाहिए। फिर भी, यह दृष्टिकोण वैज्ञानिक सोच की सबसे मौलिक प्रक्रियाओं में से एक की एक विशिष्ट विशेषता को दर्शाता है - अधूरे ज्ञान की स्थिति में सटीक जानकारी प्राप्त करना। वस्तुओं के एक निश्चित वर्ग का वैज्ञानिक अध्ययन यह मानता है कि जो विशेषताएँ एक वस्तु को दूसरी वस्तु से अलग करना संभव बनाती हैं, उन्हें जानबूझकर भुला दिया जाता है, और विचाराधीन वस्तुओं की केवल सामान्य विशेषताएँ ही संरक्षित रहती हैं। जो बात गणित को विज्ञान की सामान्य श्रेणी से अलग करती है, वह है इस कार्यक्रम का इसके सभी बिंदुओं में कड़ाई से पालन करना। कहा जाता है कि गणितीय वस्तुएं पूरी तरह से उन वस्तुओं के सिद्धांत में प्रयुक्त सिद्धांतों द्वारा निर्धारित होती हैं; या, पोंकारे के शब्दों में, स्वयंसिद्ध उन वस्तुओं की "प्रच्छन्न परिभाषा" के रूप में कार्य करते हैं जिनका वे उल्लेख करते हैं।

आधुनिक गणित

यद्यपि किसी भी स्वयंसिद्ध का अस्तित्व सैद्धांतिक रूप से संभव है, अब तक केवल कुछ ही स्वयंसिद्धों का प्रस्ताव और अध्ययन किया गया है। आमतौर पर, एक या अधिक सिद्धांतों के विकास के दौरान, यह देखा जाता है कि कुछ प्रमाण पैटर्न कमोबेश समान परिस्थितियों में दोहराए जाते हैं। एक बार जब सामान्य प्रमाण योजनाओं में उपयोग किए गए गुणों की खोज की जाती है, तो उन्हें स्वयंसिद्धों के रूप में तैयार किया जाता है, और उनके परिणाम एक सामान्य सिद्धांत में निर्मित होते हैं जिनका उन विशिष्ट संदर्भों से कोई सीधा संबंध नहीं होता है जहां से स्वयंसिद्धों का सार निकाला गया था। इस तरह से प्राप्त सामान्य प्रमेय किसी भी गणितीय स्थिति पर लागू होते हैं जिसमें वस्तुओं की प्रणालियाँ होती हैं जो संबंधित सिद्धांतों को संतुष्ट करती हैं। विभिन्न गणितीय स्थितियों में समान प्रमाण योजनाओं की पुनरावृत्ति इंगित करती है कि हम एक ही सामान्य सिद्धांत की विभिन्न विशिष्टताओं से निपट रहे हैं। इसका मतलब यह है कि उचित व्याख्या के बाद इस सिद्धांत के सिद्धांत हर स्थिति में प्रमेय बन जाते हैं। स्वयंसिद्धों से प्राप्त कोई भी संपत्ति इन सभी स्थितियों में मान्य होगी, लेकिन प्रत्येक मामले के लिए अलग प्रमाण की आवश्यकता नहीं है। ऐसे मामलों में, गणितीय स्थितियों को समान गणितीय "संरचना" साझा करने के लिए कहा जाता है।

हम अपने दैनिक जीवन में हर कदम पर संरचना के विचार का उपयोग करते हैं। यदि थर्मामीटर 10 डिग्री सेल्सियस पढ़ता है और पूर्वानुमान कार्यालय 5 डिग्री सेल्सियस तापमान में वृद्धि की भविष्यवाणी करता है, तो हम बिना किसी गणना के 15 डिग्री सेल्सियस तापमान की उम्मीद करते हैं। यदि पृष्ठ 10 पर एक किताब खोली जाती है और हमें 5 पृष्ठ आगे देखने के लिए कहा जाता है , हम मध्यवर्ती पृष्ठों की गिनती किए बिना, इसे 15वें पृष्ठ पर खोलने में संकोच नहीं करते हैं। दोनों मामलों में, हमारा मानना ​​है कि संख्याओं को जोड़ने से सही परिणाम मिलता है, भले ही उनकी व्याख्या कुछ भी हो - तापमान या पृष्ठ संख्या के रूप में। हमें थर्मामीटर के लिए एक अंकगणित और पृष्ठ संख्याओं के लिए दूसरा अंकगणित सीखने की आवश्यकता नहीं है (हालाँकि हम घड़ियों से निपटते समय एक विशेष अंकगणित का उपयोग करते हैं, जिसमें 8 + 5 = 1, क्योंकि घड़ियों की संरचना किताब के पन्नों की तुलना में अलग होती है)। गणितज्ञों की रुचि वाली संरचनाएँ कुछ अधिक जटिल हैं, जिन्हें इस लेख के अगले दो खंडों में चर्चा किए गए उदाहरणों से देखना आसान है। उनमें से एक समूह सिद्धांत और संरचनाओं और समरूपता की गणितीय अवधारणाओं के बारे में बात करेगा।

समूह सिद्धांत.

ऊपर उल्लिखित प्रक्रिया को बेहतर ढंग से समझने के लिए, आइए हम एक आधुनिक गणितज्ञ की प्रयोगशाला को देखने और उसके मुख्य उपकरणों में से एक - समूह सिद्धांत ( सेमी. भीसार बीजगणित)। समूह वस्तुओं का एक समूह (या "सेट") है जी, जिस पर एक ऑपरेशन परिभाषित किया गया है जो किन्हीं दो वस्तुओं या तत्वों से मेल खाता है ए, बीसे जी, निर्दिष्ट क्रम में लिया गया (पहला तत्व है ए, दूसरा तत्व है बी), तीसरा तत्व सीसे जीकड़ाई से परिभाषित नियम के अनुसार। संक्षिप्तता के लिए, हम इस तत्व को निरूपित करते हैं ए*बी; तारांकन चिह्न (*) दो तत्वों की संरचना के संचालन को दर्शाता है। यह ऑपरेशन, जिसे हम समूह गुणन कहेंगे, को निम्नलिखित शर्तों को पूरा करना होगा:

(1) किन्हीं तीन तत्वों के लिए ए, बी, सीसे जीसाहचर्य संपत्ति रखती है: ए* (बी*सी) = (ए*बी) *सी;

(2)में जीएक ऐसा तत्व है इ, जो किसी भी तत्व के लिए है एसे जीएक रिश्ता है इ*ए = ए*इ = ए; यह तत्व इकिसी समूह का एकवचन या तटस्थ तत्व कहा जाता है;

(3) किसी भी तत्व के लिए एसे जीएक ऐसा तत्व है एў, जिसे उल्टा या सममित कहा जाता है तत्व के लिए ए, क्या ए*एў = एў* ए = इ.

यदि इन गुणों को स्वयंसिद्धों के रूप में लिया जाता है, तो उनके तार्किक परिणाम (किसी भी अन्य स्वयंसिद्ध या प्रमेय से स्वतंत्र) मिलकर बनाते हैं जिसे आमतौर पर समूह सिद्धांत कहा जाता है। इन परिणामों को हमेशा के लिए निकालना बहुत उपयोगी साबित हुआ, क्योंकि गणित की सभी शाखाओं में समूहों का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। समूहों के हजारों संभावित उदाहरणों में से, हम केवल कुछ सबसे सरल उदाहरणों का चयन करेंगे।

(ए) भिन्न पी/क्यू, कहाँ पीऔर क्यू- मनमाना पूर्णांक i1 (साथ क्यू= 1 हमें साधारण पूर्णांक प्राप्त होते हैं)। भिन्न पी/क्यूसमूह गुणन के अंतर्गत एक समूह बनाएं ( पी/क्यू) *(आर/एस) = (जनसंपर्क)/(क्यूएस). गुण (1), (2), (3) अंकगणित के अभिगृहीतों से अनुसरण करते हैं। वास्तव में, [( पी/क्यू) *(आर/एस)] *(टी/यू) = (पीआरटी)/(क्यूएसयू) = (पी/क्यू)*[(आर/एस)*(टी/यू)]. इकाई तत्व संख्या 1 = 1/1 है, क्योंकि (1/1)*( पी/क्यू) = (1एच पी)/(1एच क्यू) = पी/क्यू. अंत में, भिन्न का व्युत्क्रम तत्व पी/क्यू, एक अंश है क्यू/पी, क्योंकि ( पी/क्यू)*(क्यू/पी) = (पी क्यू)/(पी क्यू) = 1.

(बी) के रूप में विचार करें जीचार पूर्णांकों 0, 1, 2, 3 और as का एक सेट ए*बी- विभाजन का शेष भाग ए + बी 4 पर। इस प्रकार शुरू किए गए ऑपरेशन के परिणाम तालिका में प्रस्तुत किए गए हैं। 1 (तत्व ए*बीलाइन के चौराहे पर खड़ा है एऔर स्तंभ बी). यह सत्यापित करना आसान है कि गुण (1)-(3) संतुष्ट हैं, और पहचान तत्व संख्या 0 है।

(सी) आइए चुनें जीसंख्याओं 1, 2, 3, 4 और जैसे का एक सेट ए*बी- विभाजन का शेष भाग अब(साधारण उत्पाद) 5 से। परिणामस्वरूप, हमें तालिका मिलती है। 2. यह जांचना आसान है कि गुण (1)-(3) संतुष्ट हैं, और पहचान तत्व 1 है।

(डी) चार वस्तुओं, जैसे चार संख्याएं 1, 2, 3, 4, को 24 तरीकों से एक पंक्ति में व्यवस्थित किया जा सकता है। प्रत्येक व्यवस्था को दृश्य रूप से एक परिवर्तन के रूप में दर्शाया जा सकता है जो "प्राकृतिक" व्यवस्था को किसी दिए गए व्यवस्था में बदल देता है; उदाहरण के लिए, व्यवस्था 4, 1, 2, 3 परिवर्तन का परिणाम है

एस: 1 ® 4, 2 ® 1, 3 ® 2, 4 ® 3,

जिसे अधिक सुविधाजनक रूप में लिखा जा सकता है

ऐसे किन्हीं दो परिवर्तनों के लिए एस, टीहम तय करेंगे एस*टीएक परिवर्तन के रूप में जो क्रमिक निष्पादन से उत्पन्न होता है टी, और तब एस. उदाहरण के लिए, यदि , तो . इस परिभाषा के साथ, सभी 24 संभावित परिवर्तन एक समूह बनाते हैं; इसका इकाई तत्व है, और तत्व का व्युत्क्रम है एस, परिभाषा में तीरों को प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया गया एसइसके विपरीत; उदाहरण के लिए, यदि , तो .

इसे पहले तीन उदाहरणों में देखना आसान है ए*बी = बी*ए; ऐसे मामलों में समूह या समूह गुणन को क्रमविनिमेय कहा जाता है। दूसरी ओर, अंतिम उदाहरण में, और इसलिए टी*एससे मतभेद होना एस*टी.

उदाहरण (डी) से समूह तथाकथित का एक विशेष मामला है। सममित समूह, जिसके अनुप्रयोगों में अन्य बातों के अलावा, बीजगणितीय समीकरणों को हल करने के तरीके और परमाणुओं के स्पेक्ट्रा में रेखाओं का व्यवहार शामिल है। उदाहरण (बी) और (सी) में समूह संख्या सिद्धांत में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं; उदाहरण में (बी) संख्या 4 को किसी भी पूर्णांक से बदला जा सकता है एन, और 0 से 3 तक की संख्याएँ - 0 से 3 तक की संख्याएँ एन– 1 (साथ एन= 12 हमें संख्याओं की एक प्रणाली मिलती है जो घड़ी के डायल पर होती है, जैसा कि हमने ऊपर बताया है); उदाहरण में (सी) संख्या 5 को किसी भी अभाज्य संख्या से बदला जा सकता है आर, और 1 से 4 तक की संख्याएँ - 1 से लेकर तक की संख्याएँ पी – 1.

संरचनाएं और समरूपता.

पिछले उदाहरण दिखाते हैं कि समूह बनाने वाली वस्तुओं की प्रकृति कितनी भिन्न हो सकती है। लेकिन वास्तव में, प्रत्येक मामले में, सब कुछ एक ही परिदृश्य में आता है: वस्तुओं के एक सेट के गुणों में से, हम केवल उन पर विचार करते हैं जो इस सेट को एक समूह में बदल देते हैं (यहां अधूरे ज्ञान का एक उदाहरण है!)। ऐसे मामलों में कहा जाता है कि हम अपने द्वारा चुने गए समूह गुणन द्वारा दी गई समूह संरचना पर विचार कर रहे हैं।

संरचना का एक अन्य उदाहरण तथाकथित है। आदेश संरचना. गुच्छा इक्रम की संरचना से संपन्न, या यदि तत्वों के बीच आदेश दिया गया हो ए è बी, से संबंधित इ, एक निश्चित संबंध दिया गया है, जिसे हम निरूपित करते हैं आर (ए,बी). (यह संबंध तत्वों के किसी भी जोड़े के लिए अर्थपूर्ण होना चाहिए इ, लेकिन सामान्य तौर पर यह कुछ जोड़ों के लिए गलत है और दूसरों के लिए सच है, उदाहरण के लिए, संबंध 7

(1) आर (ए,ए) हर किसी के लिए सच है ए, स्वामित्व इ;

(2) से आर (ए,बी) और आर (बी,ए) उसका अनुसरण करता है ए = बी;

(3) से आर (ए,बी) और आर (बी,सी) चाहिए आर (ए,सी).

आइए हम बड़ी संख्या में विविध क्रमित सेटों से कई उदाहरण दें।

(ए) इसभी पूर्णांकों से मिलकर बना है आर (ए,बी) - रिश्ता " एकम या बराबर बी».

(बी) इसभी पूर्णांकों से मिलकर बनता है >1, आर (ए,बी) - रिश्ता " एविभाजित बीया बराबर बी».

(सी) इसमतल पर सभी वृत्त शामिल हैं, आर (ए,बी) - संबंध "सर्कल"। एमें निहित बीया मेल खाता है बी».

संरचना के अंतिम उदाहरण के रूप में, आइए हम मीट्रिक स्थान की संरचना का उल्लेख करें; ऐसी संरचना को सेट पर परिभाषित किया गया है इ, यदि तत्वों का प्रत्येक जोड़ा एऔर बीसे संबंधित इ, आप संख्या का मिलान कर सकते हैं डी (ए,बी) i 0, निम्नलिखित गुणों को संतुष्ट करता है:

(1) डी (ए,बी) = 0 यदि और केवल यदि ए = बी;

(2) डी (बी,ए) = डी (ए,बी);

(3) डी (ए,सी) Ј डी (ए,बी) + डी (बी,सी) किन्हीं तीन दिए गए तत्वों के लिए ए, बी, सीसे इ.

आइए हम मीट्रिक रिक्त स्थान के उदाहरण दें:

(ए) साधारण "त्रि-आयामी" स्थान, जहां डी (ए,बी) - साधारण (या "यूक्लिडियन") दूरी;

(बी) एक गोले की सतह, जहां डी (ए,बी) - दो बिंदुओं को जोड़ने वाले वृत्त के सबसे छोटे चाप की लंबाई एऔर बीगोले पर;

(सी) कोई भी सेट इ, जिसके लिए डी (ए,बी) = 1 यदि ए № बी; डी (ए,ए) = किसी भी तत्व के लिए 0 ए.

संरचना की अवधारणा की सटीक परिभाषा काफी कठिन है। बिना विस्तार में जाए हम कईयों के बारे में ऐसा कह सकते हैं इयदि सेट के तत्वों के बीच एक निश्चित प्रकार की संरचना निर्दिष्ट की जाती है इ(और कभी-कभी अन्य वस्तुएं, उदाहरण के लिए, संख्याएं जो सहायक भूमिका निभाती हैं) संबंध निर्दिष्ट किए जाते हैं जो विचाराधीन प्रकार की संरचना को चिह्नित करने वाले सिद्धांतों के एक निश्चित निश्चित सेट को संतुष्ट करते हैं। ऊपर हमने तीन प्रकार की संरचनाओं के सिद्धांत प्रस्तुत किये हैं। बेशक, कई अन्य प्रकार की संरचनाएं हैं जिनके सिद्धांत पूरी तरह से विकसित हैं।

कई अमूर्त अवधारणाएँ संरचना की अवधारणा से निकटता से संबंधित हैं; आइए हम केवल सबसे महत्वपूर्ण में से एक का नाम लें - समरूपता की अवधारणा। पिछले अनुभाग में दिए गए समूह (बी) और (सी) के उदाहरण को याद करें। इसे तालिका से जांचना आसान है। 1 से टेबल 2 को मिलान का उपयोग करके नेविगेट किया जा सकता है

0 ® 1, 1 ® 2, 2 ® 4, 3 ® 3.

इस मामले में हम कहते हैं कि ये समूह समरूपी हैं। सामान्य तौर पर, दो समूह जीऔर जीयदि समूह के तत्वों के बीच ў समरूपी हैं जीऔर समूह तत्व जीў इस तरह का एक-से-एक पत्राचार स्थापित करना संभव है ए « एў, क्या होगा अगर सी = ए*बी, वह सीў = एў* बीў संबंधित तत्वों के लिए जीў. समूह सिद्धांत का कोई भी कथन जो किसी समूह के लिए मान्य हो जी, समूह के लिए मान्य रहता है जीў, और इसके विपरीत। बीजगणितीय रूप से समूह जीऔर जीў अप्रभेद्य.

पाठक आसानी से देख सकते हैं कि ठीक उसी तरह से कोई दो आइसोमोर्फिक ऑर्डर किए गए सेट या दो आइसोमॉर्फिक मीट्रिक रिक्त स्थान को परिभाषित कर सकता है। यह दिखाया जा सकता है कि समरूपता की अवधारणा किसी भी प्रकार की संरचनाओं तक फैली हुई है।

वर्गीकरण

गणित के पुराने और नये वर्गीकरण.

संरचना की अवधारणा और अन्य संबंधित अवधारणाओं ने आधुनिक गणित में एक केंद्रीय स्थान ले लिया है, विशुद्ध रूप से "तकनीकी" और दार्शनिक और पद्धतिगत दोनों दृष्टिकोण से। मुख्य प्रकार की संरचनाओं के सामान्य प्रमेय गणितीय "तकनीक" के अत्यंत शक्तिशाली उपकरण के रूप में कार्य करते हैं। जब भी कोई गणितज्ञ यह दिखाने में सफल होता है कि वह जिन वस्तुओं का अध्ययन करता है, वे एक निश्चित प्रकार की संरचना के सिद्धांतों को संतुष्ट करते हैं, तो वह यह साबित करता है कि इस प्रकार की संरचना के सिद्धांत के सभी प्रमेय उन विशिष्ट वस्तुओं पर लागू होते हैं जिनका वह अध्ययन कर रहा है (इन सामान्य प्रमेयों के बिना वह बहुत संभव है कि चूक गए होंगे, अपने विशिष्ट विकल्पों पर ध्यान नहीं देंगे या मेरे तर्क पर अनावश्यक धारणाओं का बोझ डालने के लिए मजबूर हो जाएंगे)। इसी तरह, यदि दो संरचनाएं आइसोमोर्फिक साबित होती हैं, तो प्रमेयों की संख्या तुरंत दोगुनी हो जाती है: संरचनाओं में से एक के लिए सिद्ध प्रत्येक प्रमेय तुरंत दूसरे के लिए एक संबंधित प्रमेय देता है। इसलिए, यह आश्चर्य की बात नहीं है कि बहुत जटिल और कठिन सिद्धांत हैं, उदाहरण के लिए संख्या सिद्धांत में "वर्ग क्षेत्र सिद्धांत", जिसका मुख्य लक्ष्य संरचनाओं की समरूपता को साबित करना है।

दार्शनिक दृष्टिकोण से, संरचनाओं और समरूपताओं का व्यापक उपयोग आधुनिक गणित की मुख्य विशेषता को प्रदर्शित करता है - तथ्य यह है कि गणितीय "वस्तुओं" की "प्रकृति" ज्यादा मायने नहीं रखती है, केवल वस्तुओं के बीच संबंध महत्वपूर्ण हैं (एक प्रकार का) अपूर्ण ज्ञान का सिद्धांत)।

अंत में, कोई यह उल्लेख करने में असफल नहीं हो सकता कि संरचना की अवधारणा ने गणित की शाखाओं को नए तरीके से वर्गीकृत करना संभव बना दिया है। 19वीं सदी के मध्य तक. वे अध्ययन के विषय के अनुसार भिन्न-भिन्न थे। अंकगणित (या संख्या सिद्धांत) पूर्णांकों से संबंधित है, ज्यामिति सीधी रेखाओं, कोणों, बहुभुजों, वृत्तों, क्षेत्रों आदि से संबंधित है। बीजगणित लगभग विशेष रूप से संख्यात्मक समीकरणों या समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के तरीकों से संबंधित था; विश्लेषणात्मक ज्यामिति ने ज्यामितीय समस्याओं को समकक्ष बीजगणितीय समस्याओं में परिवर्तित करने के लिए तरीकों का विकास किया। गणित की एक अन्य महत्वपूर्ण शाखा, जिसे "गणितीय विश्लेषण" कहा जाता है, की रुचियों की श्रेणी में मुख्य रूप से अंतर और अभिन्न कलन और ज्यामिति, बीजगणित और यहां तक ​​कि संख्या सिद्धांत में उनके विभिन्न अनुप्रयोग शामिल हैं। इन अनुप्रयोगों की संख्या में वृद्धि हुई, और उनका महत्व भी बढ़ गया, जिसके कारण गणितीय विश्लेषण उपखंडों में विखंडित हो गया: कार्यों का सिद्धांत, अंतर समीकरण (सामान्य और आंशिक व्युत्पन्न), अंतर ज्यामिति, विविधताओं की गणना, आदि।

कई आधुनिक गणितज्ञों के लिए, यह दृष्टिकोण प्रारंभिक प्रकृतिवादियों के जानवरों के वर्गीकरण के इतिहास को याद दिलाता है: एक समय में, समुद्री कछुए और ट्यूना दोनों को मछली माना जाता था क्योंकि वे पानी में रहते थे और उनकी विशेषताएं समान थीं। आधुनिक दृष्टिकोण ने हमें न केवल यह देखना सिखाया है कि सतह पर क्या है, बल्कि गहराई से देखना और गणितीय वस्तुओं की भ्रामक उपस्थिति के पीछे छिपी मूलभूत संरचनाओं को पहचानने का प्रयास करना भी सिखाया है। इस दृष्टिकोण से, सबसे महत्वपूर्ण प्रकार की संरचनाओं का अध्ययन करना महत्वपूर्ण है। यह संभव नहीं है कि हमारे पास इन प्रकारों की पूरी और निश्चित सूची हो; उनमें से कुछ की खोज पिछले 20 वर्षों में की गई है, और भविष्य में नई खोजों की उम्मीद करने का हर कारण है। हालाँकि, हमें पहले से ही कई बुनियादी "अमूर्त" प्रकार की संरचनाओं की समझ है। (वे गणित की "शास्त्रीय" वस्तुओं की तुलना में "अमूर्त" हैं, हालांकि उन्हें भी शायद ही "ठोस" कहा जा सकता है; यह अमूर्तता की डिग्री का मामला है।)

ज्ञात संरचनाओं को उनमें मौजूद संबंधों या उनकी जटिलता के आधार पर वर्गीकृत किया जा सकता है। एक ओर, "बीजगणितीय" संरचनाओं का एक व्यापक ब्लॉक है, जिसका एक विशेष मामला, उदाहरण के लिए, एक समूह संरचना है; अन्य बीजगणितीय संरचनाओं में हम रिंग्स और फ़ील्ड्स का नाम लेते हैं ( सेमी. भीसार बीजगणित)। बीजगणितीय संरचनाओं के अध्ययन से संबंधित गणित की शाखा को सामान्य या शास्त्रीय बीजगणित के विपरीत, "आधुनिक बीजगणित" या "अमूर्त बीजगणित" कहा जाता है। नए बीजगणित में यूक्लिडियन ज्यामिति, गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति और विश्लेषणात्मक ज्यामिति का एक महत्वपूर्ण हिस्सा भी शामिल किया गया था।

व्यापकता के समान स्तर पर संरचनाओं के दो अन्य ब्लॉक हैं। उनमें से एक, जिसे सामान्य टोपोलॉजी कहा जाता है, में संरचनाओं के प्रकार के सिद्धांत शामिल हैं, जिनमें से एक विशेष मामला एक मीट्रिक स्थान की संरचना है ( सेमी. टोपोलॉजी ; सार स्थान)। तीसरे खंड में आदेश संरचनाओं और उनके विस्तार के सिद्धांत शामिल हैं। संरचना के "विस्तार" में मौजूदा सिद्धांतों में नए सिद्धांत जोड़ना शामिल है। उदाहरण के लिए, यदि समूह के अभिगृहीतों में हम चौथे अभिगृहीत के रूप में क्रमविनिमेयता का गुण जोड़ते हैं ए*बी = बी*ए, तो हमें एक क्रमविनिमेय (या एबेलियन) समूह की संरचना मिलती है।

इन तीन ब्लॉकों में से, अंतिम दो हाल तक अपेक्षाकृत स्थिर स्थिति में थे, और "आधुनिक बीजगणित" ब्लॉक तेजी से बढ़ रहा था, कभी-कभी अप्रत्याशित दिशाओं में (उदाहरण के लिए, "होमोलॉजिकल बीजगणित" नामक एक पूरी शाखा विकसित हुई)। तथाकथित के बाहर "शुद्ध" प्रकार की संरचनाएँ दूसरे स्तर पर होती हैं - "मिश्रित" संरचनाएँ, उदाहरण के लिए बीजगणितीय और टोपोलॉजिकल, साथ में उन्हें जोड़ने वाले नए सिद्धांत। ऐसे कई संयोजनों का अध्ययन किया गया है, जिनमें से अधिकांश दो व्यापक खंडों में आते हैं - "टोपोलॉजिकल बीजगणित" और "बीजगणितीय टोपोलॉजी"।

कुल मिलाकर, ये ब्लॉक विज्ञान का एक बहुत ही महत्वपूर्ण "अमूर्त" क्षेत्र बनाते हैं। कई गणितज्ञ शास्त्रीय सिद्धांतों को बेहतर ढंग से समझने और कठिन समस्याओं को हल करने के लिए नए उपकरणों का उपयोग करने की उम्मीद करते हैं। दरअसल, अमूर्तता और सामान्यीकरण के उचित स्तर के साथ, पूर्वजों की समस्याएं एक नई रोशनी में सामने आ सकती हैं, जिससे उनका समाधान ढूंढना संभव हो जाएगा। शास्त्रीय सामग्री का विशाल हिस्सा नए गणित के प्रभाव में आ गया और अन्य सिद्धांतों के साथ रूपांतरित या विलय हो गया। ऐसे विशाल क्षेत्र बचे हैं जिनमें आधुनिक तरीकों ने उतनी गहराई तक प्रवेश नहीं किया है। उदाहरणों में विभेदक समीकरणों का सिद्धांत और अधिकांश संख्या सिद्धांत शामिल हैं। यह बहुत संभावना है कि नए प्रकार की संरचनाओं की खोज और गहन अध्ययन के बाद इन क्षेत्रों में महत्वपूर्ण प्रगति हासिल की जाएगी।

दार्शनिक कठिनाइयाँ

यहां तक ​​कि प्राचीन यूनानियों ने भी स्पष्ट रूप से समझा था कि गणितीय सिद्धांत विरोधाभासों से मुक्त होना चाहिए। इसका मतलब यह है कि कथन से तार्किक परिणाम निकालना असंभव है आरऔर उसका इनकार नहीं है पी. हालाँकि, चूँकि गणितीय वस्तुओं का वास्तविक दुनिया में पत्राचार माना जाता था, और स्वयंसिद्ध प्रकृति के नियमों का "आदर्शीकरण" थे, इसलिए किसी को भी गणित की स्थिरता पर संदेह नहीं था। शास्त्रीय गणित से आधुनिक गणित में संक्रमण के दौरान, निरंतरता की समस्या ने एक अलग अर्थ प्राप्त कर लिया। किसी भी गणितीय सिद्धांत के सिद्धांतों को चुनने की स्वतंत्रता स्पष्ट रूप से स्थिरता की स्थिति से सीमित होनी चाहिए, लेकिन क्या कोई यह सुनिश्चित कर सकता है कि यह शर्त पूरी हो जाएगी?

हम पहले ही सेट की अवधारणा का उल्लेख कर चुके हैं। इस अवधारणा का उपयोग गणित और तर्कशास्त्र में हमेशा कमोबेश स्पष्ट रूप से किया गया है। 19वीं सदी के उत्तरार्ध में. सेट की अवधारणा को संभालने के लिए प्राथमिक नियमों को आंशिक रूप से व्यवस्थित किया गया था, इसके अलावा, कुछ महत्वपूर्ण परिणाम प्राप्त हुए थे जिन्होंने तथाकथित की सामग्री का गठन किया था। समुच्चय सिद्धान्त ( सेमी. भीसेट सिद्धांत), जो मानो अन्य सभी गणितीय सिद्धांतों का आधार बन गया। प्राचीन काल से 19वीं शताब्दी तक। उदाहरण के लिए, अनंत सेटों के बारे में चिंताएं थीं, जो ज़ेनो ऑफ एलेटिक (5वीं शताब्दी ईसा पूर्व) के प्रसिद्ध विरोधाभासों में परिलक्षित होती थीं। ये चिंताएँ आंशिक रूप से प्रकृति में आध्यात्मिक थीं, और आंशिक रूप से मात्राओं को मापने की अवधारणा (उदाहरण के लिए, लंबाई या समय) से जुड़ी कठिनाइयों के कारण थीं। 19वीं सदी के बाद ही इन कठिनाइयों को ख़त्म करना संभव हो सका। गणितीय विश्लेषण की बुनियादी अवधारणाओं को सख्ती से परिभाषित किया गया था। 1895 तक सभी भय दूर हो गए और ऐसा लगने लगा कि गणित सेट सिद्धांत की अटल नींव पर टिका हुआ है। लेकिन अगले दशक में, नए तर्क सामने आए जो सेट सिद्धांत (और बाकी गणित) की आंतरिक असंगति को दर्शाते थे।

नये विरोधाभास बहुत सरल थे। इनमें से पहला, रसेल का विरोधाभास, एक सरल संस्करण में माना जा सकता है जिसे नाई का विरोधाभास कहा जाता है। एक निश्चित शहर में, एक नाई उन सभी निवासियों की हजामत बनाता है जो खुद हजामत नहीं बनाते हैं। नाई खुद हजामत कौन बनाता है? यदि नाई स्वयं दाढ़ी बनाता है, तो वह न केवल उन निवासियों की दाढ़ी बनाता है जो स्वयं दाढ़ी नहीं बनाते हैं, बल्कि एक निवासी की भी दाढ़ी बनाता है जो स्वयं दाढ़ी बनाता है; यदि वह आप ही न मुण्डन कराता है, तो उस नगर के सब निवासियोंको जो अपके मुण्डन नहीं कराते, वह न मुण्डन कराता है। जब भी "सभी समुच्चयों के समुच्चय" की अवधारणा पर विचार किया जाता है तो इस प्रकार का विरोधाभास उत्पन्न होता है। यद्यपि यह गणितीय वस्तु बहुत स्वाभाविक लगती है, इसके बारे में तर्क करने से शीघ्र ही विरोधाभास उत्पन्न हो जाता है।

बेरी का विरोधाभास और भी अधिक स्पष्ट है। उन सभी रूसी वाक्यांशों के सेट पर विचार करें जिनमें सत्रह से अधिक शब्द नहीं हैं; रूसी भाषा में शब्दों की संख्या सीमित है, इसलिए ऐसे वाक्यांशों की संख्या भी सीमित है। आइए उनमें से उन्हें चुनें जो किसी पूर्णांक को विशिष्ट रूप से परिभाषित करते हैं, उदाहरण के लिए: "दस से कम सबसे बड़ी विषम संख्या।" ऐसे वाक्यांशों की संख्या भी सीमित है; इसलिए, उनके द्वारा निर्धारित पूर्णांकों का समुच्चय परिमित है। आइए हम इन संख्याओं के परिमित समुच्चय को इससे निरूपित करें डी. अंकगणित के अभिगृहीतों से यह निष्कर्ष निकलता है कि ऐसे पूर्णांक हैं जिनका संबंध नहीं है डी, और इन संख्याओं में से सबसे छोटी संख्या है एन. यह नंबर एनवाक्यांश द्वारा विशिष्ट रूप से परिभाषित किया गया है: "सबसे छोटा पूर्णांक जिसे सत्रह से अधिक रूसी शब्दों वाले वाक्यांश द्वारा परिभाषित नहीं किया जा सकता है।" लेकिन इस वाक्यांश में बिल्कुल सत्रह शब्द हैं। इसलिए, यह संख्या निर्धारित करता है एन, जो होना चाहिए डी, और हम एक विरोधाभासी विरोधाभास पर पहुँच जाते हैं।

अंतर्ज्ञानवादी और औपचारिकतावादी।

समुच्चय सिद्धांत के विरोधाभासों से उत्पन्न आघात ने विभिन्न प्रकार की प्रतिक्रियाओं को जन्म दिया। कुछ गणितज्ञ काफी दृढ़ थे और उन्होंने राय व्यक्त की कि गणित शुरू से ही गलत दिशा में विकसित हो रहा था और इसे पूरी तरह से अलग आधार पर आधारित होना चाहिए। ऐसे "अंतर्ज्ञानवादियों" (जैसा कि उन्होंने खुद को बुलाना शुरू किया) के दृष्टिकोण का किसी भी सटीकता के साथ वर्णन करना संभव नहीं है, क्योंकि उन्होंने अपने विचारों को पूरी तरह से तार्किक योजना तक सीमित करने से इनकार कर दिया। अंतर्ज्ञानवादियों के दृष्टिकोण से, सहज ज्ञान युक्त अप्रस्तुत वस्तुओं पर तार्किक प्रक्रियाओं को लागू करना गलत है। एकमात्र सहज रूप से स्पष्ट वस्तुएँ प्राकृतिक संख्याएँ 1, 2, 3,... और प्राकृतिक संख्याओं के सीमित सेट हैं, जो सटीक रूप से निर्दिष्ट नियमों के अनुसार "निर्मित" हैं। लेकिन ऐसी वस्तुओं पर भी, अंतर्ज्ञानवादियों ने शास्त्रीय तर्क के सभी निष्कर्षों को लागू करने की अनुमति नहीं दी। उदाहरण के लिए, उन्होंने इसे किसी भी कथन के लिए नहीं पहचाना आरसच भी है आर, या नहीं आर. ऐसे सीमित साधनों के साथ, वे आसानी से "विरोधाभास" से बच गए, लेकिन साथ ही उन्होंने न केवल सभी आधुनिक गणित, बल्कि शास्त्रीय गणित के परिणामों का एक महत्वपूर्ण हिस्सा भी फेंक दिया, और जो बचे थे, उनके लिए नया खोजना आवश्यक था , अधिक जटिल प्रमाण।

आधुनिक गणितज्ञों का विशाल बहुमत अंतर्ज्ञानवादियों के तर्कों से सहमत नहीं था। गैर-अंतर्ज्ञानवादी गणितज्ञों ने देखा है कि विरोधाभासों में उपयोग किए जाने वाले तर्क सेट सिद्धांत के साथ सामान्य गणितीय कार्य में उपयोग किए जाने वाले तर्कों से काफी भिन्न होते हैं, और इसलिए मौजूदा गणितीय सिद्धांतों को खतरे में डाले बिना ऐसे तर्कों को अवैध माना जाना चाहिए। एक और अवलोकन यह था कि "बेवकूफ" सेट सिद्धांत में, जो "विरोधाभास" के आगमन से पहले अस्तित्व में था, "सेट", "संपत्ति", "संबंध" शब्दों के अर्थ पर सवाल नहीं उठाया गया था - जैसे कि शास्त्रीय ज्यामिति में "सहज" सामान्य ज्यामितीय अवधारणाओं की प्रकृति पर सवाल नहीं उठाया गया। नतीजतन, कोई उसी तरह से कार्य कर सकता है जैसे वह ज्यामिति में था, अर्थात्, "अंतर्ज्ञान" के लिए अपील करने के सभी प्रयासों को त्यागें और सेट सिद्धांत के शुरुआती बिंदु के रूप में सटीक रूप से तैयार किए गए स्वयंसिद्धों की एक प्रणाली लें। हालाँकि, यह स्पष्ट नहीं है कि "संपत्ति" या "संबंध" जैसे शब्दों को उनके सामान्य अर्थ से कैसे वंचित किया जा सकता है; फिर भी यदि हम बेरी के विरोधाभास जैसे तर्कों को बाहर करना चाहते हैं तो यह अवश्य किया जाना चाहिए। इस पद्धति में स्वयंसिद्ध या प्रमेय तैयार करने में सामान्य भाषा का उपयोग करने से बचना शामिल है; केवल कठोर नियमों की एक स्पष्ट प्रणाली के अनुसार निर्मित प्रस्तावों को गणित में "गुण" या "संबंध" के रूप में अनुमति दी जाती है और सिद्धांतों के निर्माण में प्रवेश किया जाता है। इस प्रक्रिया को गणितीय भाषा का "औपचारिकीकरण" कहा जाता है (सामान्य भाषा की अस्पष्टताओं से उत्पन्न होने वाली गलतफहमी से बचने के लिए, एक कदम आगे जाने और शब्दों को औपचारिक वाक्यों में विशेष प्रतीकों के साथ बदलने की सिफारिश की जाती है, उदाहरण के लिए, संयोजक को बदलना "और" प्रतीक & के साथ, संयोजक "या" - प्रतीक b के साथ, "मौजूद है" प्रतीक $ आदि के साथ)। जिन गणितज्ञों ने अंतर्ज्ञानवादियों द्वारा प्रस्तावित तरीकों को अस्वीकार कर दिया, उन्हें "औपचारिकतावादी" कहा जाने लगा।

हालाँकि, मूल प्रश्न का उत्तर कभी नहीं दिया गया। क्या "स्वयंसिद्ध सेट सिद्धांत" विरोधाभासों से मुक्त है? "औपचारिक" सिद्धांतों की निरंतरता को साबित करने के नए प्रयास 1920 के दशक में डी. हिल्बर्ट (1862-1943) और उनके स्कूल द्वारा किए गए थे और उन्हें "मेटामैथमैटिक्स" कहा गया था। अनिवार्य रूप से, मेटामैथेमेटिक्स "अनुप्रयुक्त गणित" की एक शाखा है, जहां जिन वस्तुओं पर गणितीय तर्क लागू किया जाता है वे एक औपचारिक सिद्धांत के प्रस्ताव और प्रमाणों के भीतर उनकी व्यवस्था हैं। इन वाक्यों को केवल कुछ स्थापित नियमों के अनुसार निर्मित प्रतीकों के भौतिक संयोजन के रूप में माना जाना चाहिए, इन प्रतीकों के संभावित "अर्थ" (यदि कोई हो) के किसी भी संदर्भ के बिना। एक अच्छा सादृश्य शतरंज का खेल है: प्रतीक टुकड़ों के अनुरूप होते हैं, वाक्य बोर्ड पर विभिन्न स्थितियों के अनुरूप होते हैं, और तार्किक निष्कर्ष टुकड़ों को हिलाने के नियमों के अनुरूप होते हैं। एक औपचारिक सिद्धांत की स्थिरता स्थापित करने के लिए, यह दिखाना पर्याप्त है कि इस सिद्धांत में एक भी प्रमाण कथन 0 संख्या 0 के साथ समाप्त नहीं होता है। हालाँकि, कोई "मेटा-गणितीय" प्रमाण में गणितीय तर्कों के उपयोग पर आपत्ति कर सकता है। गणितीय सिद्धांत की निरंतरता का; यदि गणित असंगत होता, तो गणितीय तर्क अपना सारा बल खो देते और हम स्वयं को एक दुष्चक्र की स्थिति में पाते। इन आपत्तियों का उत्तर देने के लिए, हिल्बर्ट ने उस प्रकार के बहुत ही सीमित गणितीय तर्क की अनुमति दी जिसे अंतर्ज्ञानवादी मेटामैथेमेटिक्स में उपयोग के लिए स्वीकार्य मानते हैं। हालाँकि, के. गोडेल ने जल्द ही (1931) दिखाया कि अंकगणित की स्थिरता को ऐसे सीमित साधनों से सिद्ध नहीं किया जा सकता है यदि यह वास्तव में सुसंगत है (इस लेख का दायरा हमें उस सरल विधि को रेखांकित करने की अनुमति नहीं देता है जिसके द्वारा यह उल्लेखनीय परिणाम प्राप्त किया गया था, और मेटामैथेमेटिक्स का बाद का इतिहास)।

औपचारिकतावादी दृष्टिकोण से वर्तमान समस्याग्रस्त स्थिति का सारांश देते हुए, हमें यह स्वीकार करना होगा कि यह अभी ख़त्म नहीं हुआ है। सेट की अवधारणा का उपयोग उन आरक्षणों द्वारा सीमित था जो विशेष रूप से ज्ञात विरोधाभासों से बचने के लिए पेश किए गए थे, और इस बात की कोई गारंटी नहीं है कि स्वयंसिद्ध सेट सिद्धांत में नए विरोधाभास उत्पन्न नहीं होंगे। फिर भी, स्वयंसिद्ध सेट सिद्धांत की सीमाओं ने नए व्यवहार्य सिद्धांतों के जन्म को नहीं रोका।

गणित और वास्तविक दुनिया

गणित की स्वतंत्रता के दावों के बावजूद इस बात से कोई इनकार नहीं करेगा कि गणित और भौतिक जगत एक दूसरे से जुड़े हुए हैं। बेशक, शास्त्रीय भौतिकी की समस्याओं को हल करने के लिए गणितीय दृष्टिकोण मान्य है। यह भी सत्य है कि गणित के एक अत्यंत महत्वपूर्ण क्षेत्र अर्थात् अवकल समीकरणों, साधारण तथा आंशिक व्युत्पन्नों के सिद्धांत में भौतिकी तथा गणित के पारस्परिक संवर्धन की प्रक्रिया काफी फलदायी है।

सूक्ष्म जगत् परिघटनाओं की व्याख्या करने में गणित उपयोगी है। हालाँकि, गणित के नए "अनुप्रयोग" शास्त्रीय अनुप्रयोगों से काफी भिन्न हैं। भौतिकी के सबसे महत्वपूर्ण उपकरणों में से एक संभाव्यता का सिद्धांत बन गया है, जिसका उपयोग पहले मुख्य रूप से जुए और बीमा के सिद्धांत में किया जाता था। भौतिक विज्ञानी जिन गणितीय वस्तुओं को "परमाणु अवस्थाओं" या "संक्रमणों" से जोड़ते हैं, वे प्रकृति में बहुत अमूर्त हैं और क्वांटम यांत्रिकी के आगमन से बहुत पहले गणितज्ञों द्वारा पेश और अध्ययन किए गए थे। यह जोड़ा जाना चाहिए कि पहली सफलताओं के बाद गंभीर कठिनाइयाँ पैदा हुईं। यह उस समय हुआ जब भौतिक विज्ञानी गणितीय विचारों को क्वांटम सिद्धांत के अधिक सूक्ष्म पहलुओं पर लागू करने का प्रयास कर रहे थे; फिर भी, कई भौतिक विज्ञानी अभी भी नए गणितीय सिद्धांतों को आशा के साथ देखते हैं, यह विश्वास करते हुए कि वे नई समस्याओं को हल करने में उनकी मदद करेंगे।

गणित एक विज्ञान है या कला?

यहां तक ​​कि अगर हम "शुद्ध" गणित में संभाव्यता सिद्धांत या गणितीय तर्क को शामिल करते हैं, तो यह पता चलता है कि ज्ञात गणितीय परिणामों में से 50% से भी कम वर्तमान में अन्य विज्ञानों द्वारा उपयोग किए जाते हैं। बाकी आधे के बारे में हमें क्या सोचना चाहिए? दूसरे शब्दों में, गणित के उन क्षेत्रों के पीछे क्या उद्देश्य हैं जो भौतिक समस्याओं को हल करने से संबंधित नहीं हैं?

इस प्रकार के प्रमेयों के एक विशिष्ट प्रतिनिधि के रूप में हम पहले ही संख्या की अतार्किकता का उल्लेख कर चुके हैं। एक अन्य उदाहरण जे.-एल. लैग्रेंज (1736-1813) द्वारा सिद्ध किया गया प्रमेय है। शायद ही कोई गणितज्ञ हो जो इसे "महत्वपूर्ण" या "सुंदर" न कहे। लैग्रेंज के प्रमेय में कहा गया है कि एक से बड़ा या उसके बराबर किसी भी पूर्णांक को अधिकतम चार संख्याओं के वर्गों के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है; उदाहरण के लिए, 23 = 3 2 + 3 2 + 2 2 + 1 2। वर्तमान स्थिति में, यह समझ से परे है कि यह परिणाम किसी प्रायोगिक समस्या को हल करने में उपयोगी हो सकता है। यह सच है कि भौतिक विज्ञानी अतीत की तुलना में आज पूर्णांकों के साथ अधिक बार व्यवहार करते हैं, लेकिन जिन पूर्णांकों के साथ वे काम करते हैं वे हमेशा सीमित होते हैं (वे शायद ही कभी कुछ सौ से अधिक होते हैं); इसलिए, लैग्रेंज जैसा प्रमेय केवल "उपयोगी" हो सकता है यदि इसे किसी सीमा के भीतर पूर्णांकों पर लागू किया जाए। लेकिन जैसे ही हम लैग्रेंज प्रमेय के सूत्रीकरण को सीमित करते हैं, यह तुरंत एक गणितज्ञ के लिए दिलचस्प होना बंद हो जाता है, क्योंकि इस प्रमेय की संपूर्ण आकर्षक शक्ति सभी पूर्णांकों के लिए इसकी प्रयोज्यता में निहित है। (पूर्णांकों के बारे में बहुत सारे कथन हैं जिन्हें कंप्यूटर द्वारा बहुत बड़ी संख्याओं के लिए सत्यापित किया जा सकता है; लेकिन चूंकि कोई सामान्य प्रमाण नहीं मिला है, इसलिए वे काल्पनिक बने हुए हैं और पेशेवर गणितज्ञों के लिए उनमें कोई दिलचस्पी नहीं है।)

तात्कालिक अनुप्रयोगों से दूर विषयों पर ध्यान केंद्रित करना किसी भी क्षेत्र में काम करने वाले वैज्ञानिकों के लिए असामान्य नहीं है, चाहे वह खगोल विज्ञान हो या जीव विज्ञान। हालाँकि, जबकि प्रायोगिक परिणाम को परिष्कृत और बेहतर बनाया जा सकता है, गणितीय प्रमाण हमेशा निर्णायक होता है। यही कारण है कि गणित, या कम से कम उसके उस हिस्से को, जिसका "वास्तविकता" से कोई संबंध नहीं है, एक कला मानने के प्रलोभन से बचना मुश्किल है। गणितीय समस्याएं बाहर से नहीं थोपी जाती हैं, और, यदि हम आधुनिक दृष्टिकोण लें, तो हम अपनी सामग्री के चुनाव में पूरी तरह से स्वतंत्र हैं। कुछ गणितीय कार्यों का मूल्यांकन करते समय, गणितज्ञों के पास "उद्देश्य" मानदंड नहीं होते हैं और उन्हें अपने "स्वाद" पर भरोसा करने के लिए मजबूर किया जाता है। समय, देश, परंपराओं और व्यक्तियों के आधार पर स्वाद बहुत भिन्न होता है। आधुनिक गणित में फैशन और "स्कूल" हैं। वर्तमान में, तीन ऐसे "स्कूल" हैं, जिन्हें सुविधा के लिए हम "क्लासिकिज्म", "आधुनिकतावाद" और "अमूर्तवाद" कहेंगे। उनके बीच के अंतर को बेहतर ढंग से समझने के लिए, आइए एक प्रमेय या प्रमेयों के समूह का मूल्यांकन करते समय गणितज्ञों द्वारा उपयोग किए जाने वाले विभिन्न मानदंडों का विश्लेषण करें।

(1) सामान्य राय के अनुसार, एक "सुंदर" गणितीय परिणाम गैर-तुच्छ होना चाहिए, अर्थात। स्वयंसिद्धों या पहले से सिद्ध प्रमेयों का स्पष्ट परिणाम नहीं होना चाहिए; प्रमाण में किसी नए विचार का उपयोग किया जाना चाहिए या पुराने विचारों को चतुराई से लागू किया जाना चाहिए। दूसरे शब्दों में, एक गणितज्ञ के लिए जो महत्वपूर्ण है वह स्वयं परिणाम नहीं है, बल्कि उसे प्राप्त करने में आने वाली कठिनाइयों पर काबू पाने की प्रक्रिया है।

(2) किसी भी गणितीय समस्या का अपना इतिहास, एक "वंशावली" होता है, जो उसी सामान्य पैटर्न का अनुसरण करता है जिसके अनुसार किसी भी विज्ञान का इतिहास विकसित होता है: पहली सफलताओं के बाद, उत्तर आने में एक निश्चित समय लग सकता है पूछा गया प्रश्न मिल गया है। जब कोई समाधान प्राप्त हो जाता है, तो कहानी यहीं समाप्त नहीं होती है, क्योंकि विस्तार और सामान्यीकरण की प्रसिद्ध प्रक्रियाएँ शुरू हो जाती हैं। उदाहरण के लिए, ऊपर वर्णित लैग्रेंज प्रमेय किसी भी पूर्णांक को घनों, चौथी, पांचवीं शक्तियों आदि के योग के रूप में प्रस्तुत करने के प्रश्न की ओर ले जाता है। इस प्रकार "चेतावनी समस्या" उत्पन्न होती है, जिसका अभी तक अंतिम समाधान नहीं मिला है। इसके अलावा, यदि हम भाग्यशाली हैं, तो हम जो समस्या हल करेंगे वह एक या अधिक मूलभूत संरचनाओं से संबंधित होगी, और इसके परिणामस्वरूप, इन संरचनाओं से संबंधित नई समस्याएं पैदा होंगी। भले ही मूल सिद्धांत अंततः नष्ट हो जाए, यह आमतौर पर अपने पीछे कई जीवित अंकुर छोड़ जाता है। आधुनिक गणितज्ञों को समस्याओं की इतनी व्यापक श्रृंखला का सामना करना पड़ रहा है कि, यदि प्रायोगिक विज्ञान के साथ सभी संचार बाधित हो जाएं, तो भी उनके समाधान में कई शताब्दियां लग जाएंगी।

(3) प्रत्येक गणितज्ञ इस बात से सहमत होगा कि जब उसके सामने कोई नई समस्या आती है, तो उसे किसी भी तरह से हल करना उसका कर्तव्य है। जब कोई समस्या शास्त्रीय गणितीय वस्तुओं से संबंधित होती है (क्लासिकिस्ट शायद ही कभी अन्य प्रकार की वस्तुओं से निपटते हैं), क्लासिकिस्ट इसे केवल शास्त्रीय साधनों का उपयोग करके हल करने का प्रयास करते हैं, जबकि अन्य गणितज्ञ कार्य के लिए प्रासंगिक सामान्य प्रमेयों का उपयोग करने के लिए अधिक "अमूर्त" संरचनाएं पेश करते हैं। दृष्टिकोण में यह अंतर नया नहीं है. 19वीं सदी से. गणितज्ञों को "रणनीतिज्ञों" में विभाजित किया गया है जो समस्या का विशुद्ध रूप से सशक्त समाधान खोजने का प्रयास करते हैं, और "रणनीतिकार" जो गोल-गोल युद्धाभ्यास के लिए प्रवृत्त होते हैं जो छोटी ताकतों के साथ दुश्मन को कुचलना संभव बनाते हैं।

(4) प्रमेय की "सुंदरता" का एक अनिवार्य तत्व इसकी सादगी है। निस्संदेह, सरलता की खोज सभी वैज्ञानिक विचारों की विशेषता है। लेकिन प्रयोगकर्ता "बदसूरत समाधान" अपनाने के लिए तैयार हैं, बशर्ते समस्या हल हो जाए। इसी तरह, गणित में, क्लासिकिस्ट और अमूर्तवादी "पैथोलॉजिकल" परिणामों की उपस्थिति के बारे में बहुत चिंतित नहीं हैं। दूसरी ओर, आधुनिकतावादी सिद्धांत की "विकृति" की उपस्थिति में मौलिक अवधारणाओं की अपूर्णता का संकेत देने वाला एक लक्षण देखने के लिए यहां तक ​​​​जाते हैं।