सदिशों की एक प्रणाली की रैखिक निर्भरता। संरेख सदिश. रैखिक निर्भरता और स्वतंत्रता, गुण, रैखिक निर्भरता के लिए वैक्टर की एक प्रणाली का अध्ययन, उदाहरण और समाधान रैखिक निर्भरता के लिए वैक्टर की एक प्रणाली का अध्ययन, उदाहरण

तो, रैखिक निर्भरता के लिए वैक्टर की एक प्रणाली का अध्ययन करने की समस्या इस प्रणाली के वैक्टर से बने मैट्रिक्स की रैंक खोजने की समस्या तक कम हो जाती है।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि p>n के लिए सदिशों की प्रणाली रैखिक रूप से निर्भर होगी।

टिप्पणी: मैट्रिक्स ए संकलित करते समय, सिस्टम के वैक्टर को पंक्तियों के रूप में नहीं, बल्कि स्तंभों के रूप में लिया जा सकता है।

रैखिक निर्भरता के लिए वैक्टर की एक प्रणाली का अध्ययन करने के लिए एल्गोरिदम।

आइए उदाहरणों का उपयोग करके एल्गोरिदम को देखें।

रैखिक निर्भरता के लिए सदिशों की एक प्रणाली का अध्ययन करने के उदाहरण।

उदाहरण।

सदिशों की एक प्रणाली दी गई है। रैखिक निर्भरता के लिए इसका परीक्षण करें।

समाधान।

चूँकि वेक्टर c शून्य है, वैक्टर की मूल प्रणाली तीसरी संपत्ति के कारण रैखिक रूप से निर्भर है।

उत्तर:

वेक्टर प्रणाली रैखिक रूप से निर्भर है।

उदाहरण।

रैखिक निर्भरता के लिए सदिशों की एक प्रणाली का परीक्षण करें।

समाधान।

यह नोटिस करना मुश्किल नहीं है कि वेक्टर c के निर्देशांक वेक्टर के संबंधित निर्देशांक को 3 से गुणा करने के बराबर हैं, अर्थात। इसलिए, सदिशों की मूल प्रणाली रैखिक रूप से निर्भर है।

इस लेख में हम कवर करेंगे:

• संरेख सदिश क्या हैं;
• सदिशों की संरेखता के लिए शर्तें क्या हैं;
• संरेख सदिशों के कौन से गुण मौजूद हैं;
• संरेख सदिशों की रैखिक निर्भरता क्या है?

संरेख सदिश वे सदिश होते हैं जो एक रेखा के समानांतर होते हैं या एक रेखा पर स्थित होते हैं।

उदाहरण 1

सदिशों की संरेखता के लिए शर्तें

यदि निम्नलिखित में से कोई भी स्थिति सत्य हो तो दो सदिश संरेख होते हैं:

• शर्त 1 . यदि कोई संख्या λ है तो सदिश a और b संरेख हैं जैसे कि a = λ b;
• शर्त 2 . सदिश a और b समान निर्देशांक अनुपात के साथ संरेख हैं:

ए = (ए 1 ; ए 2) , बी = (बी 1 ; बी 2) ⇒ ए ∥ बी ⇔ ए 1 बी 1 = ए 2 बी 2

• शर्त 3 . वेक्टर ए और बी संरेख हैं बशर्ते कि क्रॉस उत्पाद और शून्य वेक्टर बराबर हों:

ए ∥ बी ⇔ ए, बी = 0

नोट 1

शर्त 2 यदि वेक्टर निर्देशांकों में से एक शून्य है तो लागू नहीं होता है।

नोट 2

शर्त 3 केवल उन सदिशों पर लागू होता है जो अंतरिक्ष में निर्दिष्ट हैं।

सदिशों की संरेखता का अध्ययन करने के लिए समस्याओं के उदाहरण

हम संरेखता के लिए सदिश a = (1; 3) और b = (2; 1) की जांच करते हैं।

कैसे हल करें?

इस मामले में, दूसरी संरेखता स्थिति का उपयोग करना आवश्यक है। दिए गए वैक्टर के लिए यह इस तरह दिखता है:

समानता झूठी है. इससे हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि सदिश a और b असंरेख हैं।

उत्तर : ए | | बी

उदाहरण 2

सदिश a = (1; 2) और b = (- 1; m) का कौन सा मान सदिशों के संरेख होने के लिए आवश्यक है?

कैसे हल करें?

दूसरी संरेखता स्थिति का उपयोग करते हुए, यदि उनके निर्देशांक आनुपातिक हैं तो वेक्टर संरेख होंगे:

इससे पता चलता है कि m = - 2.

उत्तर: एम = - 2 .

वेक्टर प्रणालियों की रैखिक निर्भरता और रैखिक स्वतंत्रता के लिए मानदंड

किसी सदिश समष्टि में सदिशों की एक प्रणाली रैखिक रूप से तभी निर्भर होती है जब उस प्रणाली के एक सदिश को इस प्रणाली के शेष सदिशों के रूप में व्यक्त किया जा सके।

सबूत

मान लीजिए सिस्टम e 1 , e 2 , . . . , e n रैखिक रूप से निर्भर है। आइए हम शून्य वेक्टर के बराबर इस प्रणाली का एक रैखिक संयोजन लिखें:

ए 1 ई 1 + ए 2 ई 2 +। . . + ए एन ई एन = 0

जिसमें कम से कम एक संयोजन गुणांक शून्य के बराबर नहीं है।

मान लीजिए a k ≠ 0 k ∈ 1 , 2 , . . . , एन।

हम समानता के दोनों पक्षों को गैर-शून्य गुणांक से विभाजित करते हैं:

ए के - 1 (ए के - 1 ए 1) ई 1 + (ए के - 1 ए के) ई के +। . . + (ए के - 1 ए एन) ई एन = 0

आइए निरूपित करें:

A k - 1 a m , जहां m ∈ 1 , 2 , . . . , के - 1 , के + 1 , एन

इस मामले में:

β 1 ई 1 + . . . + β k - 1 e k - 1 + β k + 1 e k + 1 +। . . + β एन ई एन = 0

या ई के = (- β 1) ई 1 + . . . + (- β k - 1) e k - 1 + (- β k + 1) e k + 1 +। . . + (- β एन) ई एन

इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि सिस्टम का एक वेक्टर सिस्टम के अन्य सभी वैक्टर के माध्यम से व्यक्त होता है। जिसे सिद्ध करने की आवश्यकता है (आदि)।

पर्याप्तता

मान लीजिए कि किसी एक वेक्टर को सिस्टम के अन्य सभी वैक्टरों के माध्यम से रैखिक रूप से व्यक्त किया जाता है:

ई के = γ 1 ई 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 + γ k + 1 e k + 1 +। . . + γ एन ई एन

हम वेक्टर e k को इस समानता के दाईं ओर ले जाते हैं:

0 = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 - e k + γ k + 1 e k + 1 +। . . + γ एन ई एन

चूँकि वेक्टर e k का गुणांक - 1 ≠ 0 के बराबर है, हमें वैक्टर e 1, e 2, की एक प्रणाली द्वारा शून्य का एक गैर-तुच्छ प्रतिनिधित्व मिलता है। . . , e n , और इसका, बदले में, मतलब है कि वैक्टर की यह प्रणाली रैखिक रूप से निर्भर है। जिसे सिद्ध करने की आवश्यकता है (आदि)।

परिणाम:

• सदिशों की एक प्रणाली रैखिक रूप से स्वतंत्र होती है जब इसके किसी भी सदिश को प्रणाली के अन्य सभी सदिशों के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है।
• सदिशों की एक प्रणाली जिसमें एक शून्य सदिश या दो समान सदिश होते हैं, रैखिक रूप से निर्भर होती है।

रैखिकतः आश्रित सदिशों के गुण

1. 2- और 3-आयामी वैक्टर के लिए, निम्नलिखित शर्त पूरी होती है: दो रैखिक रूप से निर्भर वेक्टर संरेख होते हैं। दो संरेख सदिश रैखिकतः आश्रित होते हैं।
2. त्रि-आयामी सदिशों के लिए, निम्नलिखित शर्त पूरी होती है: तीन रैखिक रूप से आश्रित सदिश समतलीय होते हैं। (3 समतलीय सदिश रैखिकतः आश्रित हैं)।
3. एन-आयामी वैक्टर के लिए, निम्नलिखित शर्त संतुष्ट है: एन + 1 वेक्टर हमेशा रैखिक रूप से निर्भर होते हैं।

रैखिक निर्भरता या सदिशों की रैखिक स्वतंत्रता से संबंधित समस्याओं को हल करने के उदाहरण

आइए रैखिक स्वतंत्रता के लिए सदिश a = 3, 4, 5, b = - 3, 0, 5, c = 4, 4, 4, d = 3, 4, 0 की जाँच करें।

समाधान। सदिश रैखिक रूप से निर्भर होते हैं क्योंकि सदिशों का आयाम सदिशों की संख्या से कम होता है।

उदाहरण 4

आइए रैखिक स्वतंत्रता के लिए सदिश a = 1, 1, 1, b = 1, 2, 0, c = 0, - 1, 1 की जाँच करें।

समाधान। हम उन गुणांकों के मान ज्ञात करते हैं जिन पर रैखिक संयोजन शून्य वेक्टर के बराबर होगा:

एक्स 1 ए + एक्स 2 बी + एक्स 3 सी 1 = 0

हम वेक्टर समीकरण को रैखिक रूप में लिखते हैं:

x 1 + x 2 = 0 x 1 + 2 x 2 - x 3 = 0 x 1 + x 3 = 0

हम गॉस विधि का उपयोग करके इस प्रणाली को हल करते हैं:

1 1 0 | 0 1 2 - 1 | 0 1 0 1 | 0 ~

दूसरी पंक्ति से हम पहली को घटाते हैं, तीसरी से - पहली को:

~ 1 1 0 | 0 1 - 1 2 - 1 - 1 - 0 | 0 - 0 1 - 1 0 - 1 1 - 0 | 0 - 0 ~ 1 1 0 | 0 0 1 - 1 | 0 0 - 1 1 | 0 ~

पहली पंक्ति से हम दूसरी घटाते हैं, तीसरी में हम दूसरी जोड़ते हैं:

~ 1 - 0 1 - 1 0 - (- 1) | 0 - 0 0 1 - 1 | 0 0 + 0 - 1 + 1 1 + (- 1) | 0 + 0 ~ 0 1 0 | 1 0 1 - 1 | 0 0 0 0 | 0

समाधान से यह निष्कर्ष निकलता है कि सिस्टम के पास कई समाधान हैं। इसका मतलब यह है कि ऐसी संख्याओं x 1, x 2, x 3 के मानों का एक गैर-शून्य संयोजन है जिसके लिए a, b, c का रैखिक संयोजन शून्य वेक्टर के बराबर है। इसलिए, सदिश a, b, c हैं रैखिक रूप से निर्भर. ​​​​​​​

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होने देना एलएक मनमाना रैखिक स्थान है, ए मैं Î एल,- इसके तत्व (वैक्टर)।

परिभाषा 3.3.1.अभिव्यक्ति , कहाँ , - मनमानी वास्तविक संख्याएँ, जिन्हें रैखिक संयोजन कहा जाता है वैक्टरए 1 , ए 2 ,…, ए एन.

यदि वेक्टर आर = , तो वे ऐसा कहते हैं आर वैक्टर में विघटितए 1 , ए 2 ,…, ए एन.

परिभाषा 3.3.2.सदिशों का रैखिक संयोजन कहलाता है गैर तुच्छ, यदि संख्याओं में कम से कम एक गैर-शून्य है। अन्यथा, रैखिक संयोजन कहा जाता है मामूली.

परिभाषा 3.3.3 . सदिश a 1 , a 2 ,…, a एनउन्हें रैखिक रूप से आश्रित कहा जाता है यदि उनका कोई गैर-तुच्छ रैखिक संयोजन मौजूद हो

= 0 .

परिभाषा 3.3.4. सदिश a 1 ,a 2 ,…, a एनसमानता होने पर रैखिकतः स्वतंत्र कहलाते हैं = 0 यह तभी संभव है जब सभी संख्याएँ एल 1, एल 2,…, एल एनएक साथ शून्य के बराबर हैं.

ध्यान दें कि किसी भी गैर-शून्य तत्व ए 1 को समानता के बाद से एक रैखिक रूप से स्वतंत्र प्रणाली के रूप में माना जा सकता है एलए 1= 0 तभी संभव है यदि एल= 0.

प्रमेय 3.3.1.रैखिक निर्भरता ए 1 , ए 2 ,…, ए के लिए एक आवश्यक और पर्याप्त शर्त एनइनमें से कम से कम एक तत्व को बाकी तत्वों में विघटित करने की संभावना है।

सबूत। आवश्यकता. मान लीजिए कि तत्व a 1 , a 2 ,…, a हैं एनरैखिक रूप से निर्भर. यह मतलब है कि = 0 , और कम से कम एक संख्या एल 1, एल 2,…, एल एनशून्य से भिन्न. निश्चितता के लिए चलो एल 1 ¹ 0. फिर

यानी तत्व a 1 तत्वों a 2 , a 3 , …, a में विघटित हो जाता है एन.

पर्याप्तता. मान लीजिए कि तत्व a 1 को तत्वों a 2 , a 3 , …, a में विघटित किया जाता है एन, यानी ए 1 = . फिर = 0 , इसलिए, सदिशों का एक गैर-तुच्छ रैखिक संयोजन है a 1 , a 2 ,…, a एन, बराबर 0 , इसलिए वे रैखिक रूप से निर्भर हैं .

प्रमेय 3.3.2. यदि तत्वों में से कम से कम एक 1 , ए 2 ,…, ए एनशून्य, तो ये सदिश रैखिकतः आश्रित होते हैं।

सबूत . होने देना ए एन= 0 , फिर = 0 , जिसका अर्थ है इन तत्वों की रैखिक निर्भरता।

प्रमेय 3.3.3. यदि n सदिशों में से कोई p(p< n) векторов линейно зависимы, то и все n элементов линейно зависимы.

सबूत। मान लीजिए, निश्चितता के लिए, तत्व a 1 , a 2 ,…, a हैं पीरैखिक रूप से निर्भर. इसका मतलब यह है कि ऐसा एक गैर-तुच्छ रैखिक संयोजन है = 0 . यदि हम तत्व को इसके दोनों भागों में जोड़ते हैं तो निर्दिष्ट समानता संरक्षित रहेगी। तब + = 0 , और कम से कम एक संख्या एल 1, एल 2,…, एल.पी.शून्य से भिन्न. इसलिए, सदिश a 1 , a 2 ,…, a एनरैखिक रूप से निर्भर हैं.

परिणाम 3.3.1.यदि n तत्व रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं, तो उनमें से कोई भी k रैखिक रूप से स्वतंत्र है (k)।< n).

प्रमेय 3.3.4. यदि सदिशए 1 , ए 2 ,…, ए एन- 1 रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं, और तत्वए 1 , ए 2 ,…, ए एन- 1, ए n रैखिक रूप से निर्भर हैं, फिर वेक्टरए n को वैक्टर में विस्तारित किया जा सकता हैए 1 , ए 2 ,…, ए एन- 1 .

सबूत।चूंकि शर्त के अनुसार ए 1 , ए 2 ,…,ए एन- 1, ए एन रैखिक रूप से निर्भर हैं, तो उनका एक गैर-तुच्छ रैखिक संयोजन होता है = 0 , और (अन्यथा, सदिश a 1 , a 2 ,…, a रैखिक रूप से निर्भर हो जाएंगे एन- 1). लेकिन फिर वेक्टर

क्यू.ई.डी.

रैखिक निर्भरता और वेक्टर स्वतंत्रता

रैखिक रूप से आश्रित और स्वतंत्र वेक्टर प्रणालियों की परिभाषाएँ

परिभाषा 22

आइए हमारे पास n-वेक्टरों की एक प्रणाली और संख्याओं का एक सेट है
, तब

(11)

गुणांकों के दिए गए सेट के साथ वैक्टर की दी गई प्रणाली का रैखिक संयोजन कहा जाता है।

परिभाषा 23

वेक्टर प्रणाली
यदि गुणांकों का ऐसा कोई सेट मौजूद है तो इसे रैखिक रूप से निर्भर कहा जाता है
, जिनमें से कम से कम एक शून्य के बराबर नहीं है, कि गुणांक के इस सेट के साथ वैक्टर की दी गई प्रणाली का रैखिक संयोजन शून्य वेक्टर के बराबर है:

होने देना
, तब

परिभाषा 24 (सिस्टम के एक वेक्टर को अन्य के रैखिक संयोजन के रूप में प्रस्तुत करने के माध्यम से)

वेक्टर प्रणाली
इसे रैखिक रूप से निर्भर कहा जाता है यदि इस प्रणाली के कम से कम एक वेक्टर को इस प्रणाली के शेष वैक्टरों के रैखिक संयोजन के रूप में दर्शाया जा सकता है।

कथन 3

परिभाषाएँ 23 और 24 समतुल्य हैं।

परिभाषा 25(शून्य रैखिक संयोजन के माध्यम से)

वेक्टर प्रणाली
इसे रैखिक रूप से स्वतंत्र कहा जाता है यदि इस प्रणाली का शून्य रैखिक संयोजन केवल सभी के लिए संभव है
शून्य के बराबर.

परिभाषा 26(सिस्टम के एक वेक्टर को अन्य के रैखिक संयोजन के रूप में प्रस्तुत करने की असंभवता के कारण)

वेक्टर प्रणाली
इसे रैखिक रूप से स्वतंत्र कहा जाता है यदि इस प्रणाली के किसी भी सदिश को इस प्रणाली के अन्य सदिशों के रैखिक संयोजन के रूप में प्रस्तुत नहीं किया जा सकता है।

रैखिक रूप से आश्रित और स्वतंत्र वेक्टर प्रणालियों के गुण

प्रमेय 2 (वेक्टरों की प्रणाली में शून्य वेक्टर)

यदि सदिशों की एक प्रणाली में शून्य सदिश है, तो प्रणाली रैखिक रूप से निर्भर है।

 चलो
, तब ।

हम पाते हैं
, इसलिए, शून्य रैखिक संयोजन के माध्यम से वैक्टर की एक रैखिक रूप से निर्भर प्रणाली की परिभाषा के अनुसार (12) सिस्टम रैखिक रूप से निर्भर है। 

प्रमेय 3 (वेक्टर प्रणाली में आश्रित उपप्रणाली)

यदि सदिशों की एक प्रणाली में एक रैखिक रूप से निर्भर उपप्रणाली है, तो संपूर्ण प्रणाली रैखिक रूप से निर्भर है।

 चलो
- रैखिक रूप से निर्भर उपप्रणाली
, जिनमें से कम से कम एक शून्य के बराबर नहीं है:

इसका मतलब है, परिभाषा 23 के अनुसार, सिस्टम रैखिक रूप से निर्भर है। 

प्रमेय 4

रैखिक रूप से स्वतंत्र प्रणाली का कोई भी उपतंत्र रैखिक रूप से स्वतंत्र होता है।

 विपरीत से. मान लीजिए कि सिस्टम रैखिक रूप से स्वतंत्र है और इसमें रैखिक रूप से निर्भर उपप्रणाली है। लेकिन फिर, प्रमेय 3 के अनुसार, संपूर्ण प्रणाली भी रैखिक रूप से निर्भर होगी। विरोधाभास। नतीजतन, एक रैखिक रूप से स्वतंत्र प्रणाली का एक उपतंत्र रैखिक रूप से निर्भर नहीं हो सकता है। 

सदिशों की प्रणाली की रैखिक निर्भरता और स्वतंत्रता का ज्यामितीय अर्थ

प्रमेय 5

दो वैक्टर और यदि और केवल यदि, तो रैखिक रूप से निर्भर हैं
.

 आवश्यकता.

और - रैखिक रूप से निर्भर
कि शर्त पूरी हो गई है
. तब
, अर्थात।
.

पर्याप्तता.

रैखिक रूप से निर्भर. 

परिणाम 5.1

शून्य सदिश किसी भी सदिश के संरेख होता है

परिणाम 5.2

दो सदिशों के रैखिक रूप से स्वतंत्र होने के लिए यह आवश्यक और पर्याप्त है संरेख नहीं था .

प्रमेय 6

तीन सदिशों की एक प्रणाली के रैखिक रूप से निर्भर होने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि ये सदिश समतलीय हों .

 आवश्यकता.

- रैखिक रूप से निर्भर हैं, इसलिए, एक वेक्टर को अन्य दो के रैखिक संयोजन के रूप में दर्शाया जा सकता है।

, (13)

कहाँ
और
. समांतर चतुर्भुज नियम के अनुसार भुजाओं वाले समांतर चतुर्भुज का एक विकर्ण होता है
, लेकिन एक समांतर चतुर्भुज एक सपाट आकृति है
समतलीय
- समतलीय भी हैं।

पर्याप्तता.

- समतलीय। आइए बिंदु O पर तीन वेक्टर लागू करें:

सी

बी`

– रैखिक रूप से निर्भर 

परिणाम 6.1

शून्य सदिश सदिशों के किसी भी युग्म के समतलीय होता है।

परिणाम 6.2

वैक्टर के लिए
रैखिक रूप से स्वतंत्र थे, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि वे समतलीय नहीं हैं।

परिणाम 6.3

किसी समतल के किसी भी सदिश को उसी तल के किन्हीं दो असंरेख सदिशों के रैखिक संयोजन के रूप में दर्शाया जा सकता है।

प्रमेय 7

अंतरिक्ष में कोई भी चार वेक्टर रैखिक रूप से निर्भर होते हैं .

 आइए 4 मामलों पर विचार करें:

आइए सदिशों के माध्यम से एक समतल बनाएं, फिर सदिशों के माध्यम से एक समतल और सदिशों के माध्यम से एक समतल बनाएं। फिर हम सदिशों के जोड़े के समानांतर, बिंदु D से गुजरने वाले विमान बनाते हैं; ; क्रमश। हम समतलों के प्रतिच्छेदन की रेखाओं के अनुदिश एक समांतर चतुर्भुज बनाते हैं ओ.बी. 1 डी 1 सी 1 एबीडीसी.

चलो गौर करते हैं ओ.बी. 1 डी 1 सी 1 – समांतर चतुर्भुज नियम के अनुसार निर्माण द्वारा समांतर चतुर्भुज
.

OADD 1 पर विचार करें - एक समांतर चतुर्भुज (समानांतर चतुर्भुज के गुण से)
, तब

एंबेड समीकरण.3.

प्रमेय 1 के अनुसार
ऐसा है कि । तब
, और परिभाषा 24 के अनुसार सदिशों की प्रणाली रैखिक रूप से निर्भर है। 

परिणाम 7.1

अंतरिक्ष में तीन गैर-समतलीय सदिशों का योग एक सदिश है जो एक समान मूल पर लागू इन तीन सदिशों पर बने समानांतर चतुर्भुज के विकर्ण के साथ मेल खाता है, और योग सदिश की उत्पत्ति इन तीन सदिशों की सामान्य उत्पत्ति के साथ मेल खाती है।

परिणाम 7.2

यदि हम अंतरिक्ष में 3 गैर-समतलीय सदिश लेते हैं, तो इस स्थान के किसी भी सदिश को इन तीन सदिशों के रैखिक संयोजन में विघटित किया जा सकता है।

परिभाषा। सदिशों का रैखिक संयोजन a 1 , ..., a n गुणांक x 1 , ..., x n के साथ एक वेक्टर कहलाता है

एक्स 1 ए 1 + ... + एक्स एन ए एन।

मामूली, यदि सभी गुणांक x 1 , ..., x n शून्य के बराबर हैं।

परिभाषा। रैखिक संयोजन x 1 a 1 + ... + x n a n कहलाता है गैर तुच्छ, यदि गुणांक x 1, ..., x n में से कम से कम एक शून्य के बराबर नहीं है।

रैखिक रूप से स्वतंत्र, यदि शून्य वेक्टर के बराबर इन वैक्टरों का कोई गैर-तुच्छ संयोजन नहीं है।

अर्थात्, सदिश a 1, ..., a n रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं यदि x 1 a 1 + ... + x n a n = 0 यदि और केवल यदि x 1 = 0, ..., x n = 0।

परिभाषा। सदिश a 1, ..., a n कहलाते हैं रैखिक रूप से निर्भर, यदि शून्य वेक्टर के बराबर इन वैक्टरों का एक गैर-तुच्छ संयोजन है।

रैखिकतः आश्रित सदिशों के गुण:

2 और 3 आयामी वैक्टर के लिए.

दो रैखिकतः आश्रित सदिश संरेख होते हैं। (संरेख सदिश रैखिक रूप से निर्भर होते हैं।)

3-आयामी वैक्टर के लिए.

तीन रैखिकतः आश्रित सदिश समतलीय हैं। (तीन समतलीय सदिश रैखिक रूप से आश्रित हैं।)

• एन-आयामी वैक्टर के लिए।

  n + 1 सदिश हमेशा रैखिक रूप से निर्भर होते हैं।

सदिशों की रैखिक निर्भरता और रैखिक स्वतंत्रता पर समस्याओं के उदाहरण:

उदाहरण 1. जांचें कि क्या सदिश a = (3; 4; 5), b = (-3; 0; 5), c = (4; 4; 4), d = (3; 4; 0) रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं .

समाधान:

सदिश रैखिक रूप से निर्भर होंगे, क्योंकि सदिशों का आयाम सदिशों की संख्या से कम है।

उदाहरण 2. जांचें कि क्या सदिश a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 1) रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं।

समाधान:

पहली पंक्ति से दूसरी घटाएँ; तीसरी पंक्ति में दूसरी पंक्ति जोड़ें:

यह समाधान दर्शाता है कि सिस्टम में कई समाधान हैं, यानी, संख्याओं x 1, x 2, x 3 के मानों का एक गैर-शून्य संयोजन है जैसे कि वैक्टर ए, बी, सी का रैखिक संयोजन बराबर है उदाहरण के लिए, शून्य वेक्टर:

ए + बी + सी = 0

और इसका मतलब है कि वेक्टर ए, बी, सी रैखिक रूप से निर्भर हैं।

उत्तर:सदिश a, b, c रैखिक रूप से निर्भर हैं।

उदाहरण 3. जांचें कि क्या सदिश a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 2) रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं।

समाधान:आइए उन गुणांकों के मान ज्ञात करें जिन पर इन वैक्टरों का रैखिक संयोजन शून्य वेक्टर के बराबर होगा।

इस सदिश समीकरण को रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली के रूप में लिखा जा सकता है

आइए गॉस विधि का उपयोग करके इस प्रणाली को हल करें

दूसरी पंक्ति से पहली को घटाएँ; तीसरी पंक्ति से पहली घटाएँ:

पहली पंक्ति से दूसरी घटाएँ; तीसरी पंक्ति में दूसरा जोड़ें.