आइए बहुपद के विभाजन का शेषफल ज्ञात करें पी(एक्स) प्रपत्र के एक रैखिक द्विपद के लिए ( एक्स ‑ ए), कहाँ ए- एक निश्चित संख्या. चूँकि भाजक बहुपद की पहली डिग्री होती है, शेषफल की शून्य डिग्री होनी चाहिए, अर्थात यह एक निश्चित संख्या होनी चाहिए आर. तो अगर क्यू(एक्स) एक भागफल बहुपद है, तो समानता रखती है: पी(एक्स) = क्यू(एक्स)·( एक्स ‑ ए) + आर. इसके बजाय परिणामी समानता में प्रतिस्थापित करना एक्ससंख्या ए, हम पाते हैं: पी(ए) = क्यू(ए)·( ए ‑ ए) + आर = क्यू(ए)·0 + आर = आर. इस प्रकार, यह पता चलता है कि बहुपद के विभाजन का शेषफल पी(एक्स) द्विपद द्वारा ( एक्स ‑ ए) को लाभांश बहुपद में प्रतिस्थापित करके विभाजन किए बिना पाया जा सकता है एके बजाय एक्स. कई गैर-मानक समस्याओं को हल करने में सफलतापूर्वक उपयोग किया गया सिद्ध कथन, बेज़ौट के प्रमेय का सार है (एटिने बेज़ौट, 1730 - 1783, फ्रांसीसी गणितज्ञ, पेरिस एकेडमी ऑफ साइंसेज के सदस्य)।

बेज़ाउट का प्रमेय: शेष आरएक बहुपद को विभाजित करने से पी(एक्स) द्विपद द्वारा ( एक्स ‑ ए) बिंदु पर इस बहुपद के मान के बराबर है ए, अर्थात। आर = पी(ए).

नोट 1:बहुपदबुलाया दिया गया, यदि इसका अग्रणी गुणांक (अर्थात, उच्चतम डिग्री के पद का गुणांक) 1 के बराबर है। उदाहरण के लिए, बहुपद कम हो जाते हैं, लेकिन नहीं होते हैं।

नोट 2: पूर्णांक गुणांक वाले बहुपद को पूर्णांक गुणांक वाले कम बहुपद से विभाजित करने पर, भागफल बहुपद और शेष बहुपद के सभी गुणांक भी पूर्णांक हो जाते हैं (यह याद रखना आसान है कि एक बहुपद को "कोने" बहुपद से कैसे विभाजित किया जाता है) ). विशेष रूप से, पूर्णांक गुणांक वाले बहुपद को द्विपद से विभाजित करते समय ( एक्स ‑ ए), कहाँ ए- एक पूर्णांक, भागफल बहुपद के सभी गुणांक पूर्णांक होते हैं।

संख्या ए बुलाया बहुपद की जड़ पी(एक्स), अगर पी(ए) = 0 (दूसरे शब्दों में, यदि संख्या ए- समीकरण की जड़ पी(एक्स) = 0). उदाहरण के लिए, संख्या 1 और -1 बहुपद के मूल हैं, संख्या -2 और 5 बहुपद के मूल हैं, और बहुपद का कोई मूल नहीं है, क्योंकि समानता असंभव है। बेज़ाउट के प्रमेय से यह निष्कर्ष निकलता है कि यदि एक संख्या एबहुपद का मूल है पी(एक्स), फिर बहुपद के विभाजन का शेषफल पी(एक्स) द्विपद द्वारा ( एक्स ‑ ए) बराबर है पी(ए) = 0, अर्थात् एक बहुपद पी(एक्स) द्वारा विभाजित ( एक्स ‑ ए) बिना शेषफल के. दूसरे शब्दों में, यदि ए– एक बहुपद की जड़ पी(एक्स), वह पी(एक्स) इस रूप में प्रस्तुत किया जाएगा: पी(एक्स) = (एक्स ‑ ए)· क्यू(एक्स). यह कथन बेज़ाउट के प्रमेय के परिणाम का सार है।

बेज़ाउट के प्रमेय का परिणाम: संख्या एबहुपद का मूल है पी(एक्स) अगर और केवल अगर पी(एक्स) द्वारा विभाजित ( एक्स ‑ ए) बिना शेषफल के.

कार्य:

1. बहुपद को से विभाजित करने पर शेषफल ज्ञात कीजिए।

2. तृतीय घात का एक बहुपद ज्ञात कीजिए जिसे विभाजित करने पर एक्सपर शेषफल 1 देता है एक्स- 2 - शेषफल 3, और शेषफल के बिना विभाज्य है।

3. सिद्ध करें कि बहुपद विभाज्य है।

4. किन मूल्यों पर एऔर बीबहुपद निम्नलिखित बहुपदों में शेषफल के बिना विभाज्य है:

5. किसी बहुपद को इससे विभाजित करते समय एक्स- 1 से भाग देने पर 2 शेष बचता है एक्स- 2 - 1. इस बहुपद को विभाजित करने पर शेषफल क्या होता है ?

6. बहुपद को से विभाजित करने पर शेषफल ज्ञात कीजिए।

7. यह ज्ञात है कि किसी बहुपद को से विभाजित करने पर शेषफल 2 के बराबर होता है एक्स+ 1. इस बहुपद को इससे विभाजित करने पर शेषफल ज्ञात कीजिए:

ए) एक्स – 1;

ख) 3 एक्स + 2;

8. लघु चतुर्थ-डिग्री बहुपद ज्ञात कीजिए यदि यह ज्ञात हो कि यह से विभाज्य है, और इससे विभाजित करने पर शेषफल बचता है।

9. एक बहुपद को विभाजित करने पर शेषफल क्या हो सकता है? पी(एक्स) पर एक्स– 1, और बहुपद क्यू(एक्स) - पर एक्स+ 1 यदि से विभाजित करते समय एक्स 2 – 1 बहुपद शेषफल -6 छोड़ता है?

10. सिद्ध कीजिए कि संख्या 7 से विभाज्य है।

11. सिद्ध कीजिए कि संख्याओं 100.000 और 1.000.000.000 में से 11 से भाग देने पर शेषफल बराबर होते हैं।

12. संख्या को 26 से विभाजित करने पर शेषफल ज्ञात कीजिए।

13. समीकरण की जड़ों में से एक 3 के बराबर है। पैरामीटर का मान ज्ञात करें एऔर समीकरण हल करें.

गैल.: पृष्ठ 111,क्रमांक 9.10 (बी)।

गृहकार्य:

14. बहुपद को बिना विभाजित किये, से विभाजित करने पर शेषफल ज्ञात कीजिये एक्स + 2.

एटिने बेज़ाउट–

फ्रांसीसी गणितज्ञ, पेरिस एकेडमी ऑफ साइंसेज के सदस्य (1758 से), 31 मार्च 1730 को नेमोर्स में पैदा हुए और 27 सितंबर 1783 को मृत्यु हो गई।

1763 से, बेज़ू ने मिडशिपमेन स्कूल में और 1768 से रॉयल आर्टिलरी कोर में गणित पढ़ाया।

एटिने बेज़ाउट के मुख्य कार्य उच्च बीजगणित से संबंधित हैं; वे बीजगणितीय समीकरणों को हल करने के लिए एक सिद्धांत के निर्माण के लिए समर्पित हैं। रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के सिद्धांत में, उन्होंने निर्धारकों के सिद्धांत के उद्भव में योगदान दिया, उच्च डिग्री के समीकरणों की प्रणालियों से अज्ञात को खत्म करने का सिद्धांत विकसित किया, और प्रमेय साबित किया (पहली बार के. मैकलॉरिन द्वारा तैयार किया गया) कि दो वक्र क्रम m और n अधिकतम mn बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं। फ्रांस और विदेशों में, 1848 तक, 1764-69 में उनके द्वारा लिखित छह खंडों वाला "गणित का पाठ्यक्रम" बहुत लोकप्रिय था। बेज़ो ने अनिश्चित गुणक की विधि विकसित की; प्राथमिक बीजगणित में, इस विधि के आधार पर समीकरणों की प्रणाली को हल करने की एक विधि का नाम उनके नाम पर रखा गया है। बेज़ाउट के कार्यों का एक हिस्सा बाहरी बैलिस्टिक के लिए समर्पित है। बीजगणित के मूल प्रमेयों में से एक का नाम वैज्ञानिक के नाम पर रखा गया है।

बेज़ाउट का प्रमेय.

बहुपद विभाजन का शेषफल पी एन ( एक्स )

द्विपद द्वारा ( एक्स - ए ) मान के बराबर है

इस बहुपद पर एक्स = ए .

पीएन(एक्स) - डिग्री का बहुपद दिया गया है एन ,

द्विपद (एक्स- ए) - इसका विभाजक,

क्यूएन-1 (एक्स) – विभाजन का भागफल पीएन(एक्स) पर एक्स- ए(डिग्री n-1 का बहुपद),

आर- विभाजन का शेष ( आरकोई वेरिएबल नहीं है एक्सके संबंध में प्रथम डिग्री विभाजक के रूप में एक्स).

सबूत:

बहुपदों को शेषफल से विभाजित करने के नियम के अनुसार, हम लिख सकते हैं:

पीएन(x) = (x-a)Qएन-1(एक्स)+आर .

इसलिए, पर एक्स = ए :

पीएन(ए) = (ए-ए)क्यूएन-1(ए) + आर =0*क्यूएन-1(ए)+आर=

=0+ आर= आर .

मतलब, आर = पीएन(ए) , अर्थात। किसी बहुपद को इससे विभाजित करने पर शेषफल बचता है (एक्स- ए) इस के मूल्य के बराबर

बहुपद पर एक्स= ए, जिसे सिद्ध करने की आवश्यकता थी।

प्रमेय से परिणाम .

साथ परिणाम 1 :

बहुपद विभाजन का शेषफल पी एन ( एक्स )

द्विपद द्वारा कुल्हाड़ी + बी मूल्य के बराबर

इस बहुपद पर एक्स = - बी / ए ,

टी . इ . आर=पी एन (-बी ० ए) ।

सबूत:

बहुपदों को विभाजित करने के नियम के अनुसार:

पीएन(x)= (कुल्हाड़ी + बी)* क्यूएन-1(एक्स)+आर.

Pn (-b/a) = (a(-b/a) + b)Qn-1(-b/a) + R = R. इसका मतलब है कि R = Pn (-b/a), जो कि आवश्यक है सिद्ध किया जाना है.

परिणाम 2 :

यदि संख्या ए जड़ है

बहुपद पी ( एक्स ) , वह यह

बहुपद विभाज्य है ( एक्स - ए ) बिना

शेष.

सबूत:

बेज़ाउट के प्रमेय के अनुसार, एक बहुपद का शेषफल होता है पी (एक्स) पर एक्स- एके बराबर होती है पी (ए) , और शर्त के अनुसार एजड़ है पी (एक्स) , जिसका अर्थ है कि पी (ए) = 0 , जिसे सिद्ध करने की आवश्यकता है .

बेज़ाउट के प्रमेय के इस परिणाम से यह स्पष्ट है कि समीकरण को हल करने की समस्या पी (एक्स) = 0 यह एक बहुपद के भाजक की पहचान करने की समस्या के समतुल्य है पीप्रथम डिग्री (रैखिक विभाजक) होना।

परिणाम 3 :

यदि एक बहुपद पी ( एक्स ) यह है

जोड़ीवार अलग जड़ें

ए 1 , ए 2 , … , ए एन , फिर इसे विभाजित किया जाता है

काम ( एक्स - ए 1 ) … ( एक्स - ए एन )

एक का पता लगाए बिना .

सबूत:

आइए जड़ों की संख्या पर गणितीय प्रेरण का उपयोग करके प्रमाण बनाएं। पर एन=1 कथन परिणाम 2 में सिद्ध होता है। मान लीजिए कि यह उस मामले के लिए पहले ही सिद्ध हो चुका है जब जड़ों की संख्या बराबर है क, यह मतलब है कि पी(एक्स)द्वारा शेषफल के बिना विभाज्य (एक्स- ए1 )(एक्स- ए2 ) … (एक्स- एक) , कहाँ

ए1 , ए2 , … , एक- इसकी जड़ें.

होने देना पी(एक्स) यह है क+1 प्रेरण परिकल्पना द्वारा जोड़ीवार अलग जड़ें ए1 , ए2 , एक , … , एक+1 बहुपद के मूल हैं, जिसका अर्थ है कि बहुपद गुणनफल से विभाज्य है (एक्स- ए1 ) … (एक्स- एक) , यह कहां से आता है

पी(एक्स) = (एक्स-ए1 ) … (एक्स-एक)क्यू(x).

जिसमें एक+1 – एक बहुपद की जड़ पी(एक्स) , अर्थात। . पी(एक+1 ) = 0 .

इसलिए, इसके स्थान पर प्रतिस्थापित कर रहा हूँ एक्सएक+1 , हमें सही समानता मिलती है:

पी(एक+1) = (एक+1-ए1 ) ... (एक+1-एक)प्रश्न(एक+1) =

लेकिन एक+1 संख्याओं से भिन्न ए1 , … , एक, और इसलिए कोई भी संख्या नहीं एक+1 - ए1 , … , एक+1 - एक 0 के बराबर नहीं. इसलिए, शून्य बराबर है क्यू(एक+1 ) , अर्थात। एक+1 – एक बहुपद की जड़ क्यू(एक्स) . और परिणाम 2 से यह इस प्रकार है क्यू(एक्स) द्वारा विभाजित एक्स- एक+ 1 बिना किसी निशान के.

क्यू(एक्स) = (एक्स- एक+1 ) क्यू1 (एक्स) , और यही कारण है

P(x) = (x-a1) … (x-ak)Q(x) =

=(एक्स- ए1 ) … (एक्स- एक)(एक्स- एक+1 ) क्यू1 (एक्स) .

इस का मतलब है कि पी(एक्स) द्वारा विभाजित (एक्स- ए1 ) … (एक्स- एक+1 ) एक का पता लगाए बिना।

अतः, यह सिद्ध हो गया है कि प्रमेय सत्य है क =1 , और इसकी वैधता से एन = कइससे यह पता चलता है कि यह कब भी सत्य है एन = क+1 . इस प्रकार, प्रमेय किसी भी संख्या में जड़ों के लिए सत्य है, और क्यासिद्ध करने की आवश्यकता है .

परिणाम 4 :

डिग्री का बहुपद एन अब और नहीं है

एन विभिन्न जड़ें.

सबूत:

आइए विरोधाभास द्वारा विधि का उपयोग करें: यदि बहुपद पीएन(एक्स) डिग्री एनऔर अधिक होगा एनजड़ें - एन+ क (ए1 , ए2 , … , एएन+ क- इसकी जड़ें), फिर, पहले सिद्ध परिणाम 3 के अनुसार, यह

उत्पाद द्वारा विभाजित किया जाएगा (एक्स- ए1 ) … (एक्स- एएन+ क) , डिग्री होना एन+ क, जो असंभव है.

हम एक विरोधाभास पर आ गए हैं, जिसका अर्थ है कि हमारी धारणा गलत है और घात n वाले बहुपद में इससे अधिक नहीं हो सकता एनजड़ें, क्यू.ई.डी.

परिणाम 5 :

किसी भी बहुपद के लिए पी ( एक्स )

और संख्याएँ ए अंतर

( पी ( एक्स )- पी ( ए )) बिना विभाजित है

द्विपद द्वारा शेषफल ( एक्स - ए ) .

सबूत:

होने देना पी(एक्स) - डिग्री का बहुपद दिया गया है एन , ए- कोई संख्या।

बहुपद पीएन(एक्स) इस प्रकार दर्शाया जा सकता है: पीएन(एक्स)=(एक्स- ए) क्यूएन-1 (एक्स)+ आर ,

कहाँ क्यूएन-1 (एक्स) – बहुपद, विभाजित करते समय भागफल पीएन(एक्स) पर (एक्स- ए) ,

आर- विभाजन का शेष भाग पीएन(एक्स) पर (एक्स- ए) .

इसके अलावा, बेज़ाउट के प्रमेय के अनुसार:

आर = पीएन(ए), अर्थात।

पीएन(x)=(x-a)Qएन-1(एक्स)+पीएन(ए) .

Pn(x) - Pn(a) = (x-a)Qn-1(x) ,

और इसका अर्थ है शेषफल के बिना विभाज्यता (पीएन(एक्स) – पीएन(ए))

पर (एक्स- ए) , जिसे सिद्ध करने की आवश्यकता है .

परिणाम 6 :

संख्या ए जड़ है

बहुपद पी ( एक्स ) डिग्री

पहले से कम नहीं और फिर

केवल जब

पी ( एक्स ) द्वारा विभाजित ( एक्स - ए )

एक का पता लगाए बिना .

सबूत:

इस प्रमेय को सिद्ध करने के लिए सूत्रित स्थिति की आवश्यकता एवं पर्याप्तता पर विचार करना आवश्यक है।

1. ज़रूरत .

होने देना ए– एक बहुपद की जड़ पी(एक्स) , फिर परिणाम 2 द्वारा पी(एक्स) द्वारा विभाजित (एक्स- ए) एक का पता लगाए बिना।

इस प्रकार विभाज्यता पी(एक्स) पर (एक्स- ए) के लिए एक आवश्यक शर्त है एजड़ था पी(एक्स) , क्योंकि इसी का परिणाम है.

2. पर्याप्तता .

चलो बहुपद पी(एक्स) द्वारा शेषफल के बिना विभाज्य (एक्स- ए) ,

तब आर = 0 , कहाँ आर- विभाजन का शेष भाग पी(एक्स) पर (एक्स- ए) , लेकिन बेज़ाउट के प्रमेय के अनुसार आर = पी(ए) , यह कहां से आता है पी(ए) = 0 , जिसका अर्थ है कि एजड़ है पी(एक्स) .

इस प्रकार विभाज्यता पी(एक्स) पर (एक्स- ए) के लिए भी पर्याप्त शर्त है एजड़ था पी(एक्स) .

भाजकत्व पी(एक्स) पर (एक्स- ए) है आवश्यक और पर्याप्तके लिए शर्त एजड़ था पी(एक्स) , क्यू.ई.डी.

एक बहुपद जिसका कोई वास्तविक नहीं है

ठोस जड़ें, विघटन में

रैखिक कारकों के कारकों के लिए

शामिल नहीं है।

सबूत:

आइए विरोधाभास विधि का उपयोग करें: मान लीजिए कि बिना मूल वाला बहुपद पी(एक्स) जब गुणनखंड किया जाता है, तो इसमें एक रैखिक गुणनखंड होता है (एक्स – ए) :

पी(एक्स) = (एक्स - ए)क्यू(एक्स),

तो इसे विभाजित किया जाएगा (एक्स – ए) , लेकिन परिणाम 6 द्वारा एजड़ होगा पी(एक्स) , लेकिन शर्त के अनुसार इसमें जड़ें नहीं होती हैं। हम एक विरोधाभास पर आ गए हैं, जिसका अर्थ है कि हमारी धारणा गलत और बहुपद है

बेज़ाउट के प्रमेय का प्रमाण

मान लीजिए f(x) चर x के संबंध में nवीं डिग्री के एक मनमाने बहुपद को दर्शाता है और इसे द्विपद (x-a) से विभाजित करने पर भागफल q(x) और शेषफल R प्राप्त होता है। जाहिर है, q(x) होगा x के सापेक्ष कुछ बहुपद (n-1)वीं डिग्री हो, और शेष R एक स्थिर मान होगा, अर्थात। x से स्वतंत्र.

यदि शेष R, x के संबंध में कम से कम पहली डिग्री का बहुपद होता, तो इसका मतलब यह होगा कि विभाजन विफल हो गया। अतः R, x पर निर्भर नहीं है।

विभाजन की परिभाषा से (लाभांश भाजक और भागफल तथा शेषफल के गुणनफल के बराबर होता है), मुझे पहचान मिलती है

f(x) =(x-a)q(x)+R.

यह समानता x के किसी भी मान के लिए सत्य है, जिसका अर्थ है कि यह x=a के लिए भी सत्य है।

चर x के बजाय समानता के बाएँ और दाएँ पक्षों में संख्या a को प्रतिस्थापित करने पर, मुझे मिलता है:

f(a)=(a-a)q(a)+R. (1)

यहां प्रतीक f(a) अब f(x) को नहीं दर्शाता है, यानी। x के लिए एक बहुपद नहीं, बल्कि x=a पर इस बहुपद का मान। q(a) x=a पर q(x) के मान को दर्शाता है।

R का शेष वही रहता है जो पहले था, क्योंकि R, x पर निर्भर नहीं करता है।

गुणनफल (a-a)q(a) शून्य के बराबर है, क्योंकि गुणनखंड (a-a) शून्य के बराबर है, और गुणनखंड q(a) एक निश्चित संख्या है। (बहुपद q(x) x के किसी विशेष मान के लिए अपना अर्थ नहीं खोता है।)

इसलिए, समानता (1) से हम प्राप्त करते हैं:

क्यू.ई.डी.

प्रमेय से परिणाम

परिणाम 1.

बहुपद f(x) को द्विपद (ax+b) से विभाजित करने पर शेषफल मान के बराबर होता है

यह बहुपद x=-b/a पर है, अर्थात आर=एफ(-बी/ए).

सबूत:

बहुपदों को विभाजित करने के नियम के अनुसार:

f(x)= (ax+b)*q(x)+R.

f(-b/a)=(a(-b/a)+b)q(-b/a)+R=R. तो, R=f(-b/a),

क्यू.ई.डी.

परिणाम 2:

यदि संख्या a किसी बहुपद f(x) का मूल है, तो यह बहुपद बिना किसी शेषफल के (x-a) से विभाज्य है।

सबूत:

बेज़आउट के प्रमेय के अनुसार, बहुपद f(x) को (x-a) से विभाजित करने का शेषफल f(a) के बराबर है, और शर्त के अनुसार, a, f(x) का मूल है, जिसका अर्थ है कि f(a) = 0, जिसे सिद्ध करने की आवश्यकता है।

बेज़ाउट के प्रमेय के इस परिणाम से यह स्पष्ट है कि समीकरण f(x) = 0 को हल करने की समस्या बहुपद f के विभाजक की पहचान करने की समस्या के बराबर है जिसमें पहली डिग्री (रैखिक भाजक) होती है।

परिणाम 3:

यदि एक बहुपद f(x) की जोड़ीवार अलग-अलग जड़ें a 1 , a 2 ,… ,a n हैं, तो इसे बिना किसी शेषफल के गुणनफल (x-a 1)…(x-a n) से विभाजित किया जाता है।

सबूत:

आइए जड़ों की संख्या पर गणितीय प्रेरण का उपयोग करके प्रमाण बनाएं। n=1 के लिए, कथन परिणाम 2 में सिद्ध है। मान लीजिए कि यह पहले से ही उस स्थिति के लिए सिद्ध है जब जड़ों की संख्या k के बराबर है, इसका मतलब है कि f(x) बिना किसी शेषफल के विभाज्य है

(x-a 1)(x-a 2)…(x-a k), जहां a 1, a 2,…, a k इसके मूल हैं।

मान लीजिए f(x) में (k+1) जोड़ीवार अलग-अलग जड़ें हैं। प्रेरण परिकल्पना के अनुसार, a 1, a 2, a k,…, (ak+1) बहुपद की जड़ें हैं, जिसका अर्थ है कि बहुपद को उत्पाद (x-a 1)…(x-a k) में विभाजित किया गया है, जिसका अर्थ है वह

f(x)=(x-a 1)…(x-a k)q(x).

इस मामले में (ak+1) बहुपद f(x) का मूल है, अर्थात।

इसका मतलब यह है कि x के लिए (ak+1) को प्रतिस्थापित करने पर, हमें सही समानता प्राप्त होती है:

f(ak+1)=(ak+1 -a 1)…(ak+1 -a k)q(ak+1)=0.

लेकिन (ak+1) संख्याओं a 1 ,…, a k से भिन्न है, और इसलिए कोई भी संख्या (ak+1 -a 1),…, (ak+1 -a k) 0 के बराबर नहीं है। इसलिए, शून्य q(ak+1) के बराबर है, यानी। (ak+1) बहुपद q(x) का मूल है। और उपफल 2 से यह पता चलता है कि q(x) बिना किसी शेषफल के (x-a k+1) से विभाज्य है।

q(x)=(x-a k+1)q 1 (x), और इसलिए

f(x)=(x-a 1)...(x-a k)q(x)=(x-a 1)...(x-a k)(x-a k+1)q 1 (x).

इसका मतलब यह है कि f(x) को बिना किसी शेषफल के (x-a 1)…(x-a k+1) से विभाजित किया जाता है।

तो, यह सिद्ध हो गया है कि प्रमेय k=1 के लिए सत्य है, और n=k के लिए इसकी वैधता से यह पता चलता है कि यह n=k+1 के लिए भी सत्य है। इस प्रकार, प्रमेय किसी भी संख्या में जड़ों के लिए सत्य है, जिसे सिद्ध करने की आवश्यकता है।

परिणाम 4:

घात n वाले बहुपद में अधिकतम n विभिन्न मूल होते हैं।

सबूत:

आइए विरोधाभास द्वारा विधि का उपयोग करें: यदि घात n वाले एक बहुपद f(x) की जड़ें n से अधिक हैं - n+k (a 1 , a 2 ,..., a n+k इसकी जड़ें हैं), तो इसके अनुसार पहले सिद्ध परिणाम 3 को गुणनफल (x-a 1)...(x-a n+k) में विभाजित किया जाएगा, जिसकी डिग्री (n+k) है, जो असंभव है।

हम एक विरोधाभास पर पहुंच गए हैं, जिसका अर्थ है कि हमारी धारणा गलत है, और घात n वाले बहुपद में n से अधिक मूल नहीं हो सकते हैं, जिसे हमें साबित करने की आवश्यकता है।

परिणाम 5:

किसी भी बहुपद f(x) और संख्या a के लिए, अंतर (f(x)-f(a)) को बिना किसी शेषफल के द्विपद (x-a) से विभाजित किया जाता है।

सबूत:

मान लीजिए f(x) घात n वाला एक दिया हुआ बहुपद है, a कोई भी संख्या है।

बहुपद f(x) को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है: f(x)=(x-a)q(x)+R, जहां f(x) को (x-a) से विभाजित करने पर q(x) बहुपद भागफल है, R शेषफल है विभाजन f(x) से (x-a) का।

इसके अलावा, बेज़ाउट के प्रमेय के अनुसार:

f(x)=(x-a)q(x)+f(a).

f(x)-f(a)=(x-a)q(x),

और इसका अर्थ है बिना शेषफल के विभाज्यता (f(x)-f(a))

(एक्स-ए) पर, जिसे साबित करने की जरूरत है।

परिणाम 6:

एक संख्या a कम से कम पहले घात वाले बहुपद f(x) का मूल तभी होती है जब f(x) बिना किसी शेषफल के (x-a) से विभाज्य हो।

सबूत:

इस प्रमेय को सिद्ध करने के लिए सूत्रित स्थिति की आवश्यकता एवं पर्याप्तता पर विचार करना आवश्यक है।

1. आवश्यकता.

मान लीजिए a बहुपद f(x) का मूल है, तो उपफल 2 द्वारा f(x) बिना किसी शेषफल के (x-a) से विभाज्य है।

इस प्रकार, f(x) की (x-a) से विभाज्यता a के लिए f(x) का मूल होने के लिए एक आवश्यक शर्त है, क्योंकि इसी का परिणाम है.

2. पर्याप्तता.

मान लीजिए कि बहुपद f(x) को बिना किसी शेषफल के (x-a) से विभाजित किया जाता है,

फिर R=0, जहां R, f(x) को (x-a) से विभाजित करने का शेषफल है, लेकिन Bezout के प्रमेय R=f(a) द्वारा, जिसका अर्थ है कि f(a)=0, जिसका अर्थ है कि a मूल f है (एक्स)।

इस प्रकार, f(x) की (x-a) से विभाज्यता भी a के लिए f(x) का मूल होने के लिए पर्याप्त शर्त है।

f(x) की (x-a) से विभाज्यता a के लिए f(x) का मूल होने के लिए एक आवश्यक और पर्याप्त शर्त है, जिसे हमें सिद्ध करने की आवश्यकता है।

परिणाम 7:

जिस बहुपद का कोई वास्तविक मूल नहीं होता, उसमें गुणनखंडित होने पर रैखिक गुणनखंड नहीं होते।

सबूत:

आइए विरोधाभास द्वारा विधि का उपयोग करें: मान लीजिए कि गुणनखंडित होने पर बिना जड़ वाले बहुपद f(x) में एक रैखिक कारक होता है

तब यह (x-a) से विभाज्य होगा, लेकिन उपफल 6 a द्वारा f(x) का मूल होगा, और शर्त के अनुसार इसमें वास्तविक मूल नहीं होंगे। हम एक विरोधाभास पर पहुंच गए हैं, जिसका अर्थ है कि हमारी धारणा गलत है और एक बहुपद जिसकी वास्तविक जड़ें नहीं हैं, उसके गुणनखंड में रैखिक कारक शामिल नहीं हैं, जिसे हमें साबित करने की आवश्यकता है।

1. बाँटना 5एक्स 4 + 5 एक्स 3 + एक्स 2 − 11 पर एक्स - 1हॉर्नर की योजना का उपयोग करना।

समाधान:

आइए दो पंक्तियों की एक तालिका बनाएं: पहली पंक्ति में हम बहुपद 5 के गुणांक लिखते हैं एक्स 4 +5एक्स 3 +एक्स 2 −11, चर की डिग्री के अवरोही क्रम में व्यवस्थित एक्स. ध्यान दें कि इस बहुपद में शामिल नहीं है एक्सपहली डिग्री में, यानी पहले गुणांक एक्सपहली घात 0 के बराबर है। चूँकि हम से विभाजित करते हैं एक्स-1, फिर दूसरी पंक्ति में हम एक लिखते हैं:

आइए दूसरी पंक्ति में रिक्त कक्षों को भरना शुरू करें। दूसरी पंक्ति के दूसरे सेल में हम संख्या लिखते हैं 5 , बस इसे पहली पंक्ति के संबंधित सेल से ले जाएँ:

आइए अगले सेल को इस सिद्धांत के अनुसार भरें: 1⋅ 5 + 5 = 10 :

आइए दूसरी पंक्ति के चौथे सेल को भी इसी तरह भरें: 1⋅ 10 + 1 = 11 :

पांचवें सेल के लिए हमें मिलता है: 1⋅ 11 + 0 = 11 :

और अंत में, अंतिम, छठी कोशिका के लिए, हमारे पास है: 1⋅ 11 + (−11)= 0 :

समस्या हल हो गई है, जो कुछ बचा है वह उत्तर लिखना है:

जैसा कि आप देख सकते हैं, दूसरी पंक्ति (एक और शून्य के बीच) में स्थित संख्याएँ 5 को विभाजित करने के बाद प्राप्त बहुपद के गुणांक हैं एक्स 4 +5एक्स 3 +एक्स 2 −11 प्रति एक्स−1. स्वाभाविक रूप से, चूँकि मूल बहुपद की घात 5 है एक्स 4 +5एक्स 3 +एक्स 2 −11 चार के बराबर था, तो परिणामी बहुपद की घात 5 है एक्स 3 +10एक्स 2 +11एक्स+11 एक कम है, अर्थात। तीन के बराबर है. दूसरी पंक्ति में अंतिम संख्या (शून्य) का अर्थ बहुपद 5 के विभाजन का शेषफल है एक्स 4 +5एक्स 3 +एक्स 2 −11 प्रति एक्स−1.
हमारे मामले में, शेषफल शून्य है, अर्थात। बहुपद समान रूप से विभाज्य होते हैं। इस परिणाम को इस प्रकार भी दर्शाया जा सकता है: बहुपद का मान 5 है एक्स 4 +5एक्स 3 +एक्स 2 −11 पर एक्स=1 शून्य के बराबर है.
निष्कर्ष इस रूप में भी तैयार किया जा सकता है: चूँकि बहुपद का मान 5 है एक्स 4 +5एक्स 3 +एक्स 2 −11 पर एक्स=1 शून्य के बराबर है, तो एकता बहुपद 5 का मूल है एक्स 4 +5एक्स 3 +एक्स 2 −11.

2. बहुपद के विभाजन का शेषफल, अपूर्ण भागफल ज्ञात कीजिए

ए(एक्स) = एक्स 3 – 2एक्स 2 + 2एक्स– 1 प्रति द्विपद एक्स – 1.

समाधान:

		– 2		– 1
α = 1		– 1

उत्तर: क्यू(एक्स) = एक्स 2 – एक्स + 1 , आर(एक्स) = 0.

3. एक बहुपद का मान परिकलित करें ए(एक्स) पर एक्स = – 1 यदि ए(एक्स) = एक्स 3 – 2 एक्स – 1.

समाधान:

			– 2	– 1
α = – 1		– 1	– 1

उत्तर: ए(– 1) = 0.

4. एक बहुपद का मान परिकलित करेंए(एक्स) पर एक्स= 3, अपूर्ण भागफल औरशेष, कहाँ

ए(एक्स)= 4 एक्स 5 – 7एक्स 4 + 5एक्स 3 – 2 एक्स + 1.

समाधान:

		– 7			– 2
α = 3					178	535

उत्तर: आर(एक्स) = ए(3) = 535, क्यू(एक्स) = 4 एक्स 4 + 5एक्स 3 + 20एक्स 2 + 60एक्स +178.

5. समीकरण के मूल ज्ञात कीजिएएक्स 3 + 4 एक्स 2 + एक्स – 6 = 0.

समाधान:

मुक्त पद ±1 के विभाजक ज्ञात कीजिए; ± 2; ± 3; ± 6

यहाँ, a = 1 (x – 1 = x – a), और लाभांश बहुपद के गुणांक क्रमशः बराबर हैं
1, 4, 1, - 6. हम हॉर्नर योजना को लागू करने के लिए एक तालिका बनाते हैं:

कक्षा: 11

पाठ के लिए प्रस्तुति

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पाठ का उद्देश्य:

• एक बहुपद को एक बहुपद से विभाजित करने और हॉर्नर की योजना के उपयोग में कौशल के विकास को बढ़ावा देना;
• OpenOffice.org कैल्क स्प्रेडशीट में अपने कौशल को मजबूत करें;
• नए ज्ञान को समझने, समझने और शुरू में याद करने के लिए छात्रों की गतिविधियों को व्यवस्थित करें;
• किसी समस्या की स्थिति को हल करते समय बेज़ाउट के प्रमेय का विश्लेषण करें और सिद्ध करें: क्या तृतीय-डिग्री बहुपद का गुणनखंड करना संभव है;
• उच्च डिग्री समीकरणों को हल करने के लिए बेज़ौट के प्रमेय का उपयोग करने पर विचार करें;
• तार्किक सोच, ध्यान, भाषण और स्वतंत्र रूप से काम करने की क्षमता के विकास को बढ़ावा देना।

पाठ का प्रकार:नई सामग्री प्रस्तुत करने का पाठ।

उपकरण:मल्टीमीडिया प्रोजेक्टर, पाठ प्रस्तुति, कंप्यूटर कक्षा।

"दिमाग को बेहतर बनाने के लिए, आपको याद रखने से ज्यादा तर्क करने की जरूरत है।"
डेसकार्टेस (1596-1650)। फ्रांसीसी गणितज्ञ, भौतिक विज्ञानी, भाषाशास्त्री, दार्शनिक।

कक्षाओं के दौरान

मैं. आयोजन का समय

संयुक्त गतिविधियों में आज हमारा कार्य डेसकार्टेस के शब्दों की पुष्टि करना है (स्लाइड 1)। हमारे पाठ का विषय (स्लाइड 2) "बेज़ाउट्स प्रमेय" इतना महत्वपूर्ण है कि इसका उपयोग एकीकृत राज्य परीक्षा कार्यों और विभिन्न ओलंपियाड में भी किया जाता है। बेज़ाउट का प्रमेय उच्च डिग्री के समीकरणों वाली कई समस्याओं के समाधान की सुविधा प्रदान करता है। दुर्भाग्य से, इसका अध्ययन केवल प्रोफ़ाइल स्तर पर किया जाता है।

द्वितीय. एक समस्याग्रस्त स्थिति का उद्भव

इस पाठ में हम सीखेंगे कि उच्च डिग्री के समीकरणों को कैसे हल किया जाए, और हम स्वयं समाधान एल्गोरिथ्म प्राप्त करेंगे।

प्रश्न हल करें: x 3 - 2x 2 - 6x + 4=0(स्लाइड 3)। एक समस्या उत्पन्न होती है: हम समझते हैं कि समीकरण के बाईं ओर को उत्पाद के रूप में प्रस्तुत करना सुविधाजनक होगा, और चूंकि उत्पाद शून्य के बराबर है, तो प्रत्येक कारक को शून्य के बराबर करें। ऐसा करने के लिए, आपको तृतीय-डिग्री बहुपद का गुणनखंड करने की आवश्यकता है। आख़िर कैसे?क्या हमारे मामले में सामान्य कारक को समूहीकृत या ब्रैकेट में रखना संभव है? (नहीं)।

तृतीय. संदर्भ ज्ञान का अद्यतनीकरण

आइए याद रखें कि बहुपद x 2 - 5x - 6 का गुणनखंड कैसे करें? (स्लाइड 4)।

(द्विघात त्रिपद का गुणनखंड करने के सूत्र के अनुसार:

ax 2 + bx + c = a(x – x 1)(x-x 2), जहां x 1 और x 2 त्रिपद के मूल हैं)।

त्रिपद के मूल दो प्रकार से ज्ञात कीजिए। जो लोग?

(द्विघात समीकरण और विएटा के प्रमेय की जड़ों के लिए सूत्र का उपयोग करके)।

प्रत्येक समूह से एक छात्र बोर्ड पर हल करता है। बाकी छात्र अपनी नोटबुक में हैं। हमें मिला: x 2 - 5x - 6 = (x - 6) (x + 1)।

इसका मतलब यह है कि त्रिपद प्रत्येक द्विपद से विभाज्य है: x - 6 और x + 1।

हमारे त्रिपद के मुक्त पद पर ध्यान दें और इसके विभाजक (±1, ±2, ±3, ±6) खोजें।

कौन से भाजक त्रिपद के मूल हैं? (-1 और 6)

क्या निष्कर्ष निकाला जा सकता है? (त्रिनोमियल की जड़ें मुक्त पद के विभाजक हैं)।

चतुर्थ. परिकल्पना करना

तो कौन सा एकपदी आपको बहुपद के मूल खोजने में मदद करेगा?

पी(एक्स) = x 3 - 2x 2 - 6x + 4=0?

(स्वतंत्र सदस्य)।

इसके विभाजक लिखिए: ±1; ±2; ±4.

प्रत्येक भाजक के लिए बहुपद मान ज्ञात कीजिए। स्प्रेडशीट का उपयोग करना और सीधे:

पहला समूह नोटबुक में गणना करता है, दूसरा OpenOffice.org calc में कंप्यूटर पर।

पी(1)= -3
Р(-1)=7
Р(2)=-8
Р(-2)=0
Р(4)=12
Р(-4)=-68

(स्प्रेडशीट में गणना करते समय, सेल B2 में, छात्र सूत्र दर्ज करते हैं: =A1^3-2*A1^2-6*A1+4। स्वत: पूर्ण मार्कर का उपयोग करके, वे पूरे कॉलम में बहुपद के मान प्राप्त करते हैं ).

कौन सा भाजक बहुपद का मूल है? (-2)

इस प्रकार, विस्तार में कारकों में से एक x-(-2) = x + 2 होगा।

अन्य गुणक कैसे खोजें?

("एक कॉलम में" को द्विपद से विभाजित करें एक्स + 2)

यह और कैसे संभव है? (हॉर्नर की योजना के अनुसार)। (स्लाइड 5)

हॉर्नर की योजना क्या है? ( हॉर्नर की योजना बहुपदों को विभाजित करने के लिए एक एल्गोरिदम है, जिसे विशेष मामले के लिए लिखा जाता है जब भाजक एक द्विपद के बराबर होता है एक्स-ए).

हम विभाजन करते हैं: पहला समूह "एक कॉलम में" है, दूसरा - हॉर्नर की योजना के अनुसार।

बिना किसी निशान के विभाजित।

आइए समीकरण पर वापस लौटें: x 3 - 2x 2 - 6x + 4= (x 2 -4x+2)(x+ 2)=0

x 2 -2x+2=0 - द्विघात समीकरण. इसे हल करो:

डी 1 = 4 – 2 = 2;

उत्तर:-2, .

क्या विभाजित करने पर कुछ शेष बच सकता है?हम इस प्रश्न का उत्तर बाद में देंगे। अब बहुपद का मान x = - 2 पर रखें। (मान शून्य है)।

कृपया ध्यान दें कि x = - 2 बहुपद का मूल है और बहुपद को x-(-2) से विभाजित करने पर शेषफल 0 होता है।

मान लीजिए कि x = 1 - समीकरण का मूल नहीं है।

आइए बहुपद को इससे विभाजित करने का प्रयास करें एक्स 1. दूसरा समूह दीर्घ विभाजन करता है। हॉर्नर की योजना के अनुसार पहला, तालिका को एक और पंक्ति से पूरक करता है।

तो, x 3 - 2x 2 - 6x + 4 = (x - 1)∙(x 2 - x - 7) - 3.

ध्यान दें कि x=1 बहुपद का मूल नहीं है और बहुपद को (x-1) से विभाजित करने पर शेषफल x=1 पर बहुपद के मान के बराबर होता है।

शेषफल के बारे में प्रश्न का उत्तर यहां दिया गया है। हाँ, शेषफल x के मान के लिए प्राप्त किया गया था जो बहुपद का मूल नहीं है।

आइए मुक्त अवधि के शेष विभाजकों के लिए हॉर्नर की योजना को जारी रखें। अब पहले समूह को कंप्यूटर पर और दूसरे को नोटबुक में गणना करने दें।

वी. परिकल्पना का प्रमाण

(स्लाइड 6) आपने शेषफल के बारे में एक पैटर्न देखा। कौन सा? (शेष x के मान के लिए प्राप्त किया जाता है जो बहुपद का मूल नहीं है)।

आइए इस पैटर्न को सामान्य रूप में लिखें।

माना P(x) एक बहुपद है और a एक संख्या है।

आइए कथन को सिद्ध करें: जब P(x) को (x - a) से विभाजित किया जाता है तो शेषफल P(a) के बराबर होता है।

सबूत। P(x) को शेषफल से (x - a) से विभाजित करें।

हमें P(x)= (x - a)Q(x) + R मिलता है; शेषफल की परिभाषा के अनुसार, बहुपद r या तो 0 के बराबर होता है या घात (x - a) से एक घात कम होता है, अर्थात। 1 से कम। लेकिन एक बहुपद की घात 1 से कम तभी होती है जब वह 0 के बराबर हो, और इसलिए दोनों मामलों में R वास्तव में एक संख्या है - शून्य या गैर-शून्य।

अब मान x = a को समानता P(x)= (x - a)Q(x) + R में प्रतिस्थापित करने पर, हमें P(a)= (a - a)Q(x) + R, P(a) मिलता है = आर, तो वास्तव में आर = पी(ए)।

इस पैटर्न को गणितज्ञ बेज़ाउट ने भी नोट किया था।

विद्यार्थी का संदेश

(स्लाइड 7) एटिने बेज़ू - फ्रांसीसी गणितज्ञ, पेरिस एकेडमी ऑफ साइंसेज के सदस्य (1758 से), का जन्म 31 मार्च 1730 को नेमोर्स में हुआ था और 27 सितंबर 1783 को उनकी मृत्यु हो गई। 1763 से, बेज़ू ने मिडशिपमेन स्कूल में और 1768 से रॉयल आर्टिलरी कोर में गणित पढ़ाया।

एटिने बेज़ाउट के मुख्य कार्य उच्च बीजगणित से संबंधित हैं; वे बीजगणितीय समीकरणों को हल करने के लिए एक सिद्धांत के निर्माण के लिए समर्पित हैं।

रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के सिद्धांत में, उन्होंने निर्धारकों के सिद्धांत के उद्भव में योगदान दिया, उच्च डिग्री के समीकरणों की प्रणालियों से अज्ञात को खत्म करने का सिद्धांत विकसित किया, और प्रमेय को साबित किया (पहली बार मैकलॉरिन द्वारा तैयार किया गया) कि क्रम के दो वक्र m और n अधिकतम mn बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं।

फ्रांस और विदेशों में, 1848 तक, 1764-69 में उनके द्वारा लिखित छह खंडों वाला "गणित का पाठ्यक्रम" बहुत लोकप्रिय था।

बेज़आउट ने अनिश्चित गुणक की विधि विकसित की। प्रारंभिक बीजगणित में, इस विधि के आधार पर समीकरणों की प्रणालियों को हल करने की एक विधि का नाम उनके नाम पर रखा गया है।

बेज़ाउट के कार्यों का एक हिस्सा बाहरी बैलिस्टिक के लिए समर्पित है।

बीजगणित के मूल प्रमेयों में से एक का नाम वैज्ञानिक के नाम पर रखा गया है।

परिणाम

बहुपद P(x) को द्विपद (x – a) से विभाजित करने के लिए शेषफल क्या होना चाहिए? (0 के बराबर).

हमें बेज़आउट के प्रमेय से एक परिणाम प्राप्त होता है: बहुपद P(x) को एक द्विपद (x - a) से विभाज्य बनाने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि समानता P(a) = 0 संतुष्ट हो।

छठी. जो सीखा गया है उसे आत्मसात करना

(स्लाइड 8) समीकरण हल करें: x 4 - x 3 - 6x 2 - x + 3 = 0.

बहुपद P(x) = x 4 - x 3 - 6x 2 - x + 3 के पूर्णांक मूल मुक्त पद के भाजक होने चाहिए, इसलिए ये संख्याएँ -1, 1, 3, -3 हो सकती हैं।

आइए हॉर्नर की योजना के अनुसार एक रूट का चयन करें:

सातवीं. परिणाम: तो, बेज़ाउट का प्रमेय हमें क्या देता है? (स्लाइड 9) बेज़ाउट का प्रमेय एक बहुपद का एक मूल खोजने के बाद, उस बहुपद के मूलों की आगे खोज करना संभव बनाता है जिसकी डिग्री 1 कम है: यदि P(a) = 0, तो P(x)= (x - a)Q( x), और जो कुछ बचा है वह समीकरण Q (x) = 0 को हल करना है। कभी-कभी इस तकनीक का उपयोग करके - इसे डिग्री कम करना कहा जाता है - आप एक बहुपद की सभी जड़ें पा सकते हैं।