स्पर्शरेखा वृत्तों की स्पर्शरेखा की रचना कीजिए। पाठ “वृत्तों पर स्पर्श रेखाएँ बनाना। दो स्पर्शरेखा वृत्तों के गुण

राज्य बजटीय शैक्षणिक संस्थान

व्यायामशाला संख्या 000

ज्यामिति में डिज़ाइन कार्य।

वृत्त पर स्पर्शरेखा बनाने के आठ तरीके।

9 जैविक-रासायनिक वर्ग

वैज्ञानिक निदेशक: ,

शैक्षणिक मामलों के उप निदेशक,

गणित शिक्षक.

मॉस्को 2012

परिचय

अध्याय 1. …………………………………………………………………………4

निष्कर्ष

परिचय

आत्मा की सर्वोच्च अभिव्यक्ति मन है।

तर्क की सर्वोच्च अभिव्यक्ति ज्यामिति है।

ज्योमेट्री सेल एक त्रिकोण है. वह भी

ब्रह्मांड की तरह अक्षय. वृत्त ज्यामिति की आत्मा है।

चक्र को जानो और तुम न केवल आत्मा को जानो

ज्यामिति, बल्कि अपनी आत्मा को भी उन्नत करें।

क्लॉडियस टॉलेमी
काम।

केंद्र O और त्रिज्या R वाले वृत्त पर एक स्पर्शरेखा की रचना करें जो वृत्त के बाहर स्थित बिंदु A से होकर गुजरती है

अध्याय 1।

एक वृत्त की स्पर्शरेखा का निर्माण जिसके लिए समानांतर रेखाओं के सिद्धांत के आधार पर औचित्य की आवश्यकता नहीं होती है।

https://pandia.ru/text/78/156/images/image003_18.gif" width=”17″ ऊंचाई=”16 src=”>ABO = 90°. एक वृत्त के लिए (O; r) OB - त्रिज्या। OB AB, इसलिए, स्पर्शरेखा गुण के अनुसार AB एक स्पर्शरेखा है।

इसी प्रकार, AC एक वृत्त की स्पर्शरेखा है।

निर्माण संख्या 1 इस तथ्य पर आधारित है कि वृत्त की स्पर्श रेखा संपर्क बिंदु पर खींची गई त्रिज्या के लंबवत होती है।

एक सीधी रेखा के लिए वृत्त के साथ संपर्क का केवल एक बिंदु होता है।

एक रेखा पर दिए गए बिंदु से होकर केवल एक लंबवत रेखा खींची जा सकती है।

निर्माण क्रमांक 2.

https://pandia.ru/text/78/156/images/image003_18.gif" width=”17” ऊंचाई=”16”> ABO = 90°

5. ओबी - त्रिज्या, एबीओ = 90°, इसलिए, एबी - विशेषता द्वारा स्पर्शरेखा।

6. इसी प्रकार, समद्विबाहु त्रिभुज में AON AC स्पर्श रेखा है (ACO = 90°, OS त्रिज्या है)

7. अतः, AB और AC स्पर्श रेखाएँ हैं

गठन संख्या 3

https://pandia.ru/text/78/156/images/image003_18.gif" width=”17″ ऊंचाई=”16”>ORM = OVA = 90° (समान त्रिभुजों में संगत कोणों के रूप में), इसलिए, AB – स्पर्शरेखा स्पर्शरेखा पर आधारित है।

4. इसी प्रकार, AC एक स्पर्शरेखा है

निर्माण №4

https://pandia.ru/text/78/156/images/image008_9.jpg" संरेखित करें = "बाएं" चौड़ाई = "330" ऊंचाई = "743 src = ">

निर्माण संख्या 6.

निर्माण:

2. मैं बिंदु A से होकर एक मनमानी सीधी रेखा खींचूंगा जो वृत्त (O, r) को बिंदु M और N पर काटेगी।

6. AB और BC अभीष्ट स्पर्शरेखाएँ हैं।

सबूत:

1. चूँकि त्रिभुज PQN और PQM एक वृत्त में अंकित हैं और भुजा PQ वृत्त का व्यास है, तो ये त्रिभुज समकोण हैं।

2. त्रिभुज PQL में, खंड PM और QN ऊँचाईयाँ हैं जो बिंदु K पर प्रतिच्छेद करती हैं, इसलिए KL तीसरी ऊँचाई है..gif" width="17" ऊँचाई = "16 src = ">.gif" width = "17" ऊँचाई = "16 src = "> AQS = AMS = 180° - https://pandia.ru/text/78/156/images/image003_18.gif" width = "17" ऊँचाई = "16"> PQN = β, फिर |AQ| |AS|ctg β इसलिए |PA|: |AQ|. = ctg α: ctg β (2).

5. (1) और (2) की तुलना करने पर मुझे |PD| मिलता है : |पीए| = |डीक्यू| : |एक्यू|, या

(|OD| + R)(|OA| - R)=(R -|OD|)(|OA| + R).

कोष्ठक खोलने और सरल करने के बाद, मुझे पता चला कि |OD|·|OA|=R².

5. संबंध |OD|·|OA|=R² से यह निष्कर्ष निकलता है कि |OD|:R=R: |OA|, अर्थात, त्रिभुज ODB और OBA समरूप हैं..gif" width="17" ऊंचाई=" 16"> ओबीए = 90°। इसलिए, सीधी रेखा एबी वांछित स्पर्शरेखा है, जिसे सिद्ध करने की आवश्यकता थी।

निर्माण संख्या 6.

निर्माण:

1. मैं एक वृत्त (A; |OA|) बनाऊंगा।

2. मुझे 2R के बराबर एक कंपास ओपनिंग मिलेगी, जिसके लिए मैं सर्कल (O; R) पर बिंदु S का चयन करूंगा और प्रत्येक 60º वाले तीन आर्क प्लॉट करूंगा: SP=PQ=QT=60°। बिंदु S और T बिल्कुल विपरीत हैं।

3. मैं प्रतिच्छेद करते हुए एक वृत्त (O; ST) बनाता हूं डब्ल्यू 1यह किस प्रकार का वृत्त है? बिंदु M और N पर.

4. अब मैं MO के मध्य का निर्माण करूँगा। ऐसा करने के लिए, मैं वृत्त (O; OM) और (M; MO) बनाता हूं, और फिर बिंदु M और O के लिए हम उन पर बिल्कुल विपरीत बिंदु U और V पाते हैं।

6. अंत में, मैं एक वृत्त (K; KM) और (L; LM) का निर्माण करूंगा, जो वांछित बिंदु B - MO के मध्य में प्रतिच्छेद करेगा।

सबूत:

त्रिभुज KMV और UMK समद्विबाहु और समान हैं। इसलिए, इस तथ्य से कि KM = 0.5 MU, यह इस प्रकार है कि MB = 0.5 MK = 0.5 R. तो, बिंदु बी संपर्क का वांछित बिंदु है। इसी प्रकार, आप संपर्क बिंदु C पा सकते हैं।

अध्याय 3।

छेदक और समद्विभाजक के गुणों के आधार पर एक वृत्त की स्पर्शरेखा का निर्माण।

गठन संख्या 7

https://pandia.ru/text/78/156/images/image011_7.jpg" संरेखित करें = "बाएं" चौड़ाई = "440" ऊंचाई = "514 src = "> गठन संख्या 8

निर्माण:

1. सीधी रेखा AP को बिंदु D पर प्रतिच्छेद करते हुए एक वृत्त (A;AP) की रचना कीजिए।

2. व्यास QD पर एक वृत्त w का निर्माण करें

3. मैं इसे सीधी रेखा एपी के लंब के साथ बिंदु ए पर काटूंगा और बिंदु एम और एन प्राप्त करूंगा।

सबूत:

स्पष्ट है कि AM²=AN²=AD·AQ=AP·AQ. फिर वृत्त (A;AM) स्पर्शरेखा बिंदुओं B और C पर (O;R) को प्रतिच्छेद करता है। AB और AC आवश्यक स्पर्शरेखाएँ हैं।

किसी वृत्त की स्पर्शरेखा वाली एक सीधी रेखा संपर्क बिंदु पर खींची गई त्रिज्या के साथ 90  का कोण बनाती है। इस प्रकार, किसी दिए गए बिंदु पर वृत्त की स्पर्श रेखा बनाने के लिए, त्रिज्या पर लंबवत वांछित रेखा खींचना आवश्यक है।

आइए स्पर्शरेखाओं और युग्मों की रचना के कुछ उदाहरण देखें।

उदाहरण 1

बिंदु A से होकर केंद्र O 1 वाले वृत्त की स्पर्शरेखा एक सीधी रेखा खींचें

समस्या को हल करने के लिए, हम निम्नलिखित निर्माण करते हैं:

1) बिंदु O 1 और A को एक सीधी रेखा से जोड़ें;

2) बिंदु O 2 से - खंड O 1 A के मध्य में - त्रिज्या O 2 A के साथ एक सहायक वृत्त बनाएं जब तक कि यह बिंदु B पर दिए गए वृत्त के साथ प्रतिच्छेद न हो जाए।

उत्तरार्द्ध संपर्क का एक बिंदु है, क्योंकि कोण ABO 1 90  के बराबर है (यह विश्राम करता है)

व्यास AO 1 द्वारा), इसलिए, त्रिज्या O 1 B सीधी रेखा और बिंदु B पर वृत्ताकार चाप का सामान्य अभिलंब है।

उदाहरण 2

त्रिज्या R 1 और R 2 वाले दो वृत्तों के लिए एक उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा बनाएं (चित्र 3.4)।

समस्या को हल करने के लिए, हम निम्नलिखित निर्माण करते हैं:

1) बड़े वृत्त के केंद्र O 1 से हम R 1 और R 2 के बीच के अंतर के बराबर त्रिज्या वाला एक सहायक वृत्त खींचते हैं, अर्थात R 1 - R 2;

2) इस वृत्त पर बिंदु O 2 से हम एक स्पर्शरेखा O 2 K खींचते हैं जैसा कि हमने उदाहरण 1 में किया था;

3) हम दिए गए बड़े वृत्त के साथ प्रतिच्छेदन तक सीधी रेखा O 1 K को जारी रखते हैं, हमें बिंदु B मिलता है, जो स्पर्शरेखा का बिंदु है। बिंदु O 2 से हम O 1 B के समानांतर एक रेखा खींचते हैं जब तक कि रेखा वृत्त को बिंदु A पर नहीं काटती है, जो स्पर्शरेखा AB की स्पर्शरेखा का दूसरा बिंदु है।

चावल। 3.3. स्पर्शरेखा का निर्माण-

वृत्त के लिए कोई सीधी रेखा नहीं

चावल। 3.4. स्पर्शरेखा का निर्माण

दो सर्किलों के लिए

3.3. दो सीधी रेखाओं का युग्म बनाना

उदाहरण 3

त्रिज्या के साथ दो प्रतिच्छेदी रेखाओं m और n का एक संयुग्मन बनाएं

जोड़ी आर सी (चित्र 3.5)।

चावल। 3.5. दो प्रतिच्छेदी रेखाओं का संयुग्मन बनाना

दी गई रेखाओं पर लंब गिराएं और कनेक्टिंग पॉइंट ए और बी प्राप्त करें; बिंदु O से त्रिज्या R c के साथ हम बिंदु A और B के बीच एक संयुग्मी चाप खींचते हैं।

3.4. एक वृत्त के साथ एक सीधी रेखा का संयुग्मन (आंतरिक और बाहरी)

उदाहरण 4

त्रिज्या R c वाले एक वृत्त के बाहरी और आंतरिक संयुग्मन की रचना करें

किसी दिए गए संयुग्मन त्रिज्या के सीधे चाप t के साथ केंद्र O 1 के साथ।

डी

चावल। 3.6. बाह्य का निर्माण

एक वृत्त और एक रेखा का संयुग्मन

चावल। 3.7. एक वृत्त और एक रेखा का आंतरिक संयुग्मन बनाना

बाहरी इंटरफ़ेस बनाने के लिए, निम्न चरणों का पालन करें

1) दूरी R c पर सीधी रेखा t के समानांतर एक सीधी रेखा m और केंद्र O 1 से त्रिज्या (R 1 + R c) के साथ एक सहायक वृत्त खींचिए; सीधी रेखा m और सहायक वृत्त का प्रतिच्छेदन बिंदु - बिंदु O - संयुग्मन चाप का केंद्र है; 2) केंद्र O 1 और O को एक सीधी रेखा से जोड़ें, किसी दिए गए वृत्त के साथ इसका प्रतिच्छेदन पहला संयुग्मन बिंदु देगा - बिंदु A; 3) बिंदु O से दी गई सीधी रेखा t पर लंब को नीचे करें और दूसरा संयुग्मन बिंदु - बिंदु B प्राप्त करें; 4) बिंदु O से हम त्रिज्या R c के साथ एक संयुग्मन चाप AB खींचते हैं। एक सीधी रेखा के साथ एक वृत्त के आंतरिक संयुग्मन का निर्माण (चित्र 3.7) बाहरी संयुग्मन के निर्माण के समान ही किया जाता है। अंतर यह है कि सहायक वृत्त की त्रिज्या त्रिज्याओं के योग के बराबर नहीं है, बल्कि उनके अंतर (R 1 - R c) के बराबर है।

आमतौर पर ऐसी समस्या में आपको एक वृत्त और एक बिंदु दिया जाता है। किसी वृत्त पर एक स्पर्शरेखा बनाना आवश्यक है, और स्पर्शरेखा को किसी दिए गए बिंदु से होकर गुजरना चाहिए।

यदि बिंदु का स्थान निर्दिष्ट नहीं है, तो बिंदु के स्थान के तीन संभावित मामलों को अलग से निर्दिष्ट किया जाना चाहिए।

1. यदि कोई बिंदु किसी दिए गए वृत्त से घिरे वृत्त के अंदर स्थित है, तो उसके माध्यम से स्पर्शरेखा का निर्माण नहीं किया जा सकता है।
2. यदि कोई बिंदु किसी वृत्त पर स्थित है, तो स्पर्शरेखा का निर्माण दिए गए बिंदु पर खींची गई त्रिज्या के लंबवत रेखा का निर्माण करके किया जाता है।
3. यदि कोई बिंदु किसी वृत्त से घिरे वृत्त के बाहर स्थित है, तो स्पर्श रेखा बनाने से पहले, वृत्त पर एक बिंदु खोजा जाता है जिससे होकर उसे गुजरना होगा।

दूसरे मामले को हल करने के लिए, जिस सीधी रेखा पर त्रिज्या स्थित है, उस पर एक खंड बनाया जाता है जो त्रिज्या के बराबर होता है और वृत्त पर बिंदु के दूसरी ओर स्थित होता है। इस प्रकार, वृत्त पर एक बिंदु त्रिज्या के दोगुने के बराबर खंड के मध्य में बनता है। इसके बाद, दो वृत्त बनाए जाते हैं जिनकी त्रिज्या मूल वृत्त की त्रिज्या के दोगुने के बराबर होती है, खंड के सिरों पर केंद्र त्रिज्या के दोगुने के बराबर होते हैं। इन वृत्तों के किसी भी प्रतिच्छेदन बिंदु और समस्या की स्थितियों द्वारा निर्दिष्ट बिंदु से होकर एक सीधी रेखा खींची जाती है। यह मूल वृत्त की त्रिज्या के लंबवत माध्यिका होगी, अर्थात, इसके लंबवत, और इसलिए वृत्त की स्पर्शरेखा होगी।

आप तीसरे मामले को हल कर सकते हैं, जब बिंदु वृत्त से घिरे वृत्त के बाहर स्थित हो, इस प्रकार। किसी दिए गए वृत्त के केंद्र और दिए गए बिंदु को जोड़ने वाले एक खंड का निर्माण करना आवश्यक है। इसके बाद, एक माध्यिका लंबवत (पिछले पैराग्राफ में वर्णित) बनाकर इसका मध्य ज्ञात करें। इसके बाद एक वृत्त (या उसका कुछ भाग) बनाएं। निर्मित वृत्त और समस्या स्थितियों द्वारा निर्दिष्ट बिंदु का प्रतिच्छेदन बिंदु वह बिंदु है जिसके माध्यम से स्पर्शरेखा गुजरती है, जो समस्या स्थितियों द्वारा निर्दिष्ट बिंदु से भी गुजरती है। दो ज्ञात बिंदुओं से होकर एक स्पर्श रेखा खींची जाती है।

यह साबित करने के लिए कि निर्मित सीधी रेखा एक स्पर्शरेखा है, किसी को समस्या की स्थितियों द्वारा दिए गए वृत्त की त्रिज्या और वृत्तों के प्रतिच्छेदन बिंदु को शर्तों द्वारा दिए गए बिंदु से जोड़ने वाले खंड पर विचार करना चाहिए। संकट। यह कोण एक अर्धवृत्त (निर्मित वृत्त का व्यास) पर टिका होता है, अर्थात सीधा होता है। अर्थात्, त्रिज्या निर्मित रेखा के लंबवत है। इसलिए, निर्मित रेखा स्पर्शरेखा है।

छेदक, स्पर्शरेखा - यह सब ज्यामिति पाठों में सैकड़ों बार सुना जा सकता है। लेकिन स्कूल से ग्रेजुएशन हमारे पीछे है, साल बीत जाते हैं, और यह सारा ज्ञान भूल जाता है। आपको क्या याद रखना चाहिए?

सार

शब्द "वृत्त की स्पर्श रेखा" से शायद हर कोई परिचित है। लेकिन यह संभावना नहीं है कि हर कोई इसकी परिभाषा जल्दी से तैयार कर पाएगा। इस बीच, स्पर्श रेखा एक वृत्त के समान तल में स्थित एक सीधी रेखा होती है जो इसे केवल एक बिंदु पर काटती है। इनकी संख्या बहुत बड़ी हो सकती है, लेकिन उन सभी के गुण समान हैं, जिनकी चर्चा नीचे की जाएगी। जैसा कि आप अनुमान लगा सकते हैं, स्पर्शरेखा बिंदु वह स्थान है जहां वृत्त और सीधी रेखा प्रतिच्छेद करते हैं। प्रत्येक विशिष्ट मामले में केवल एक ही होता है, लेकिन यदि उनमें से अधिक हों, तो यह एक सेकेंट होगा।

खोज और अध्ययन का इतिहास

स्पर्शरेखा की अवधारणा प्राचीन काल में सामने आई थी। इन सीधी रेखाओं का निर्माण, पहले एक वृत्त तक, और फिर एक रूलर और कम्पास का उपयोग करके दीर्घवृत्त, परवलय और अतिपरवलय तक, ज्यामिति के विकास के प्रारंभिक चरणों में किया गया था। बेशक, इतिहास ने खोजकर्ता का नाम संरक्षित नहीं किया है, लेकिन यह स्पष्ट है कि उस समय भी लोग वृत्त की स्पर्शरेखा के गुणों से काफी परिचित थे।

आधुनिक समय में, इस घटना में रुचि फिर से बढ़ गई - नए वक्रों की खोज के साथ, इस अवधारणा के अध्ययन का एक नया दौर शुरू हुआ। इस प्रकार, गैलीलियो ने एक साइक्लोइड की अवधारणा पेश की, और फ़र्मेट और डेसकार्टेस ने इसके लिए एक स्पर्शरेखा का निर्माण किया। जहां तक ​​मंडलों की बात है तो ऐसा लगता है कि इस क्षेत्र में पूर्वजों के लिए कोई रहस्य नहीं बचा है।

गुण

प्रतिच्छेदन बिंदु पर खींची गई त्रिज्या यह होगी

किसी वृत्त की स्पर्शरेखा का मुख्य, लेकिन एकमात्र गुण नहीं। एक अन्य महत्वपूर्ण विशेषता में दो सीधी रेखाएँ शामिल हैं। तो, वृत्त के बाहर स्थित एक बिंदु के माध्यम से, दो स्पर्शरेखाएँ खींची जा सकती हैं, और उनके खंड बराबर होंगे। इस विषय पर एक और प्रमेय है, लेकिन इसे मानक स्कूल पाठ्यक्रम के हिस्से के रूप में शायद ही कभी पढ़ाया जाता है, हालांकि यह कुछ समस्याओं को हल करने के लिए बेहद सुविधाजनक है। ऐसा लगता है. वृत्त के बाहर स्थित एक बिंदु से एक स्पर्श रेखा और एक छेदक रेखा खींची जाती है। खंड AB, AC और AD बनते हैं। A रेखाओं का प्रतिच्छेदन है, B स्पर्शरेखा बिंदु है, C और D प्रतिच्छेदन हैं। इस मामले में, निम्नलिखित समानता मान्य होगी: वृत्त की स्पर्शरेखा की लंबाई, वर्ग, खंड AC और AD के उत्पाद के बराबर होगी।

उपरोक्त का एक महत्वपूर्ण परिणाम है। वृत्त पर प्रत्येक बिंदु के लिए आप एक स्पर्शरेखा बना सकते हैं, लेकिन केवल एक। इसका प्रमाण काफी सरल है: सैद्धांतिक रूप से त्रिज्या से एक लंब को उस पर गिराने पर, हमें पता चलता है कि गठित त्रिभुज का अस्तित्व नहीं हो सकता है। और इसका मतलब यह है कि स्पर्शरेखा ही एकमात्र है।

निर्माण

ज्यामिति में अन्य समस्याओं के बीच, एक नियम के रूप में, कोई विशेष श्रेणी नहीं है

विद्यार्थियों और छात्रों द्वारा पसंद किया गया। इस श्रेणी की समस्याओं को हल करने के लिए, आपको केवल एक कंपास और एक रूलर की आवश्यकता है। ये निर्माण कार्य हैं. स्पर्शरेखा के निर्माण के लिए भी कुछ हैं।

तो, एक वृत्त और उसकी सीमाओं के बाहर स्थित एक बिंदु दिया गया है। और उनके माध्यम से एक स्पर्शरेखा खींचना आवश्यक है। यह कैसे करना है? सबसे पहले, आपको वृत्त O के केंद्र और दिए गए बिंदु के बीच एक खंड बनाना होगा। फिर इसे आधे में विभाजित करने के लिए कंपास का उपयोग करें। ऐसा करने के लिए, आपको एक त्रिज्या निर्धारित करने की आवश्यकता है - मूल वृत्त के केंद्र और इस बिंदु के बीच की दूरी के आधे से थोड़ा अधिक। इसके बाद, आपको दो प्रतिच्छेदी चाप बनाने की आवश्यकता है। इसके अलावा, कम्पास की त्रिज्या को बदलने की आवश्यकता नहीं है, और वृत्त के प्रत्येक भाग का केंद्र क्रमशः मूल बिंदु और O होगा। चापों के चौराहों को जोड़ने की जरूरत है, जो खंड को आधे में विभाजित करेगा। इस दूरी के बराबर कम्पास पर एक त्रिज्या निर्धारित करें। इसके बाद, चौराहे बिंदु पर केंद्र के साथ, एक और वृत्त का निर्माण करें। मूल बिंदु और O दोनों उस पर स्थित होंगे, इस स्थिति में, समस्या में दिए गए वृत्त के साथ दो और प्रतिच्छेदन होंगे। वे प्रारंभ में निर्दिष्ट बिंदु के लिए संपर्क बिंदु होंगे।

यह वृत्त पर स्पर्शरेखाओं का निर्माण था जिसके कारण जन्म हुआ

अंतर कलन। इस विषय पर पहला काम प्रसिद्ध जर्मन गणितज्ञ लीबनिज़ द्वारा प्रकाशित किया गया था। इसने भिन्नात्मक और अपरिमेय मात्राओं की परवाह किए बिना मैक्सिमा, मिनिमा और टैंगेंट खोजने की संभावना प्रदान की। खैर, अब इसका उपयोग कई अन्य गणनाओं के लिए किया जाता है।

इसके अलावा, किसी वृत्त की स्पर्शरेखा स्पर्शरेखा के ज्यामितीय अर्थ से संबंधित होती है। यहीं से इसका नाम आता है. लैटिन टैंगेंस से अनुवादित का अर्थ है "स्पर्शरेखा"। इस प्रकार, यह अवधारणा न केवल ज्यामिति और विभेदक कलन से जुड़ी है, बल्कि त्रिकोणमिति से भी जुड़ी है।

दो वृत्त

स्पर्शरेखा हमेशा केवल एक अंक को प्रभावित नहीं करती है। यदि एक वृत्त में बड़ी संख्या में सीधी रेखाएँ खींची जा सकती हैं, तो इसके विपरीत क्यों नहीं? कर सकना। लेकिन इस मामले में कार्य गंभीर रूप से जटिल हो जाता है, क्योंकि दो वृत्तों की स्पर्शरेखा किसी भी बिंदु से नहीं गुजर सकती है, और इन सभी आंकड़ों की सापेक्ष स्थिति बहुत अधिक हो सकती है

अलग।

प्रकार और किस्में

जब हम दो वृत्तों और एक या अधिक सीधी रेखाओं के बारे में बात कर रहे हैं, भले ही यह ज्ञात हो कि ये स्पर्शरेखाएँ हैं, यह तुरंत स्पष्ट नहीं है कि ये सभी आकृतियाँ एक दूसरे के संबंध में कैसे स्थित हैं। इसके आधार पर, कई किस्मों को प्रतिष्ठित किया जाता है। इस प्रकार, वृत्तों में एक या दो उभयनिष्ठ बिंदु हो सकते हैं या बिल्कुल भी नहीं हो सकते हैं। पहले मामले में वे प्रतिच्छेद करेंगे, और दूसरे में वे स्पर्श करेंगे। और यहाँ दो किस्में प्रतिष्ठित हैं। यदि एक वृत्त, मानो, दूसरे में अंतर्निहित है, तो स्पर्शरेखा को आंतरिक कहा जाता है, यदि नहीं, तो बाह्य। आप न केवल चित्र के आधार पर, बल्कि उनकी त्रिज्याओं के योग और उनके केंद्रों के बीच की दूरी की जानकारी के आधार पर भी आंकड़ों की सापेक्ष स्थिति को समझ सकते हैं। यदि ये दोनों मात्राएँ समान हों तो वृत्त स्पर्श करते हैं। यदि पहला बड़ा है, तो वे प्रतिच्छेद करते हैं, और यदि यह कम है, तो उनके पास सामान्य बिंदु नहीं हैं।

सीधी रेखाओं के साथ भी ऐसा ही। किन्हीं दो वृत्तों के लिए जिनमें उभयनिष्ठ बिंदु नहीं हैं, आप ऐसा कर सकते हैं

चार स्पर्श रेखाएँ बनाइये। उनमें से दो आकृतियों के बीच प्रतिच्छेद करेंगे, उन्हें आंतरिक कहा जाता है। कुछ अन्य बाहरी हैं।

यदि हम उन वृत्तों के बारे में बात कर रहे हैं जिनमें एक सामान्य बिंदु है, तो समस्या बहुत सरल हो जाती है। तथ्य यह है कि किसी भी सापेक्ष स्थिति के लिए, इस मामले में उनके पास केवल एक स्पर्शरेखा होगी। और यह उनके प्रतिच्छेदन बिंदु से होकर गुजरेगा। इसलिए निर्माण मुश्किल नहीं होगा.

यदि आकृतियों में प्रतिच्छेदन के दो बिंदु हैं, तो उनके लिए एक सीधी रेखा का निर्माण किया जा सकता है, जो एक और दूसरे दोनों के वृत्त की स्पर्शरेखा है, लेकिन केवल बाहरी। इस समस्या का समाधान वैसा ही है जिस पर नीचे चर्चा की जाएगी।

समस्या को सुलझाना

दो वृत्तों की आंतरिक और बाह्य दोनों स्पर्श रेखाएँ बनाना इतना आसान नहीं है, हालाँकि इस समस्या को हल किया जा सकता है। तथ्य यह है कि इसके लिए एक सहायक आकृति का उपयोग किया जाता है, इसलिए आपको स्वयं ही यह विधि अपनानी होगी

काफी समस्याग्रस्त. तो, अलग-अलग त्रिज्याओं और केंद्रों O1 और O2 वाले दो वृत्त दिए गए हैं। उनके लिए आपको स्पर्श रेखाओं के दो जोड़े बनाने होंगे।

सबसे पहले, आपको बड़े वृत्त के केंद्र के पास एक सहायक बनाने की आवश्यकता है। इस मामले में, दो प्रारंभिक आंकड़ों की त्रिज्या के बीच का अंतर कंपास पर स्थापित किया जाना चाहिए। सहायक वृत्त की स्पर्शरेखाएँ छोटे वृत्त के केंद्र से बनाई जाती हैं। इसके बाद, O1 और O2 से इन रेखाओं पर लंब तब तक खींचे जाते हैं जब तक कि वे मूल आकृतियों के साथ प्रतिच्छेद न कर दें। स्पर्शरेखा के मूल गुण के अनुसार, दोनों वृत्तों पर आवश्यक बिंदु पाए जाते हैं। समस्या हल हो गई है, कम से कम पहला भाग।

आंतरिक स्पर्श रेखाएँ बनाने के लिए, आपको व्यावहारिक रूप से हल करना होगा

समान कार्य. फिर से आपको एक सहायक आकृति की आवश्यकता होगी, लेकिन इस बार इसकी त्रिज्या मूल आकृतियों के योग के बराबर होगी। इनमें से किसी एक वृत्त के केंद्र से स्पर्श रेखाएँ बनाई जाती हैं। समाधान की आगे की दिशा को पिछले उदाहरण से समझा जा सकता है।

एक वृत्त या दो या दो से अधिक की स्पर्शरेखा इतना कठिन कार्य नहीं है। बेशक, गणितज्ञों ने लंबे समय से ऐसी समस्याओं को मैन्युअल रूप से हल करना बंद कर दिया है और गणनाओं को विशेष कार्यक्रमों को सौंप दिया है। लेकिन आपको यह नहीं सोचना चाहिए कि अब आपको इसे स्वयं करने में सक्षम होने की आवश्यकता नहीं है, क्योंकि कंप्यूटर के लिए किसी कार्य को सही ढंग से तैयार करने के लिए आपको बहुत कुछ करने और समझने की आवश्यकता है। दुर्भाग्य से, ऐसी चिंताएँ हैं कि ज्ञान नियंत्रण के परीक्षण रूप में अंतिम परिवर्तन के बाद, निर्माण कार्य छात्रों को अधिक से अधिक कठिनाइयों का कारण बनेंगे।

जहाँ तक बड़ी संख्या में वृत्तों के लिए उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ खोजने की बात है, तो यह हमेशा संभव नहीं होता है, भले ही वे एक ही तल में स्थित हों। लेकिन कुछ मामलों में आप ऐसी सीधी रेखा पा सकते हैं।

जीवन से उदाहरण

दो वृत्तों की एक सामान्य स्पर्शरेखा अक्सर व्यवहार में पाई जाती है, हालाँकि यह हमेशा ध्यान देने योग्य नहीं होती है। कन्वेयर, ब्लॉक सिस्टम, पुली ट्रांसमिशन बेल्ट, एक सिलाई मशीन में धागा तनाव, और यहां तक ​​कि सिर्फ एक साइकिल श्रृंखला - ये सभी वास्तविक जीवन के उदाहरण हैं। इसलिए आपको यह नहीं सोचना चाहिए कि ज्यामितीय समस्याएं केवल सिद्धांत में ही रहती हैं: इंजीनियरिंग, भौतिकी, निर्माण और कई अन्य क्षेत्रों में उनका व्यावहारिक अनुप्रयोग होता है।

पाठ मकसद

• शैक्षिक - विषय पर ज्ञान की पुनरावृत्ति, सामान्यीकरण और परीक्षण: "एक वृत्त की स्पर्शरेखा"; बुनियादी कौशल का विकास.
• विकासात्मक - छात्रों का ध्यान, दृढ़ता, दृढ़ता, तार्किक सोच, गणितीय भाषण विकसित करना।
• शैक्षिक - पाठ के माध्यम से, एक-दूसरे के प्रति चौकस रवैया अपनाएं, साथियों को सुनने की क्षमता, पारस्परिक सहायता और स्वतंत्रता पैदा करें।
• स्पर्शरेखा, संपर्क बिंदु की अवधारणा का परिचय दें।
• स्पर्शरेखा के गुण और उसके चिन्ह पर विचार करें और प्रकृति और प्रौद्योगिकी में समस्याओं को हल करने में उनका अनुप्रयोग दिखाएँ।

पाठ मकसद

• स्केल रूलर, चाँदे का उपयोग करके स्पर्श रेखाएँ बनाने और त्रिभुज बनाने का कौशल विकसित करें।
• छात्रों की समस्या-समाधान कौशल का परीक्षण करें।
• किसी वृत्त की स्पर्शरेखा बनाने के लिए बुनियादी एल्गोरिथम तकनीकों में निपुणता सुनिश्चित करें।
• समस्या समाधान के लिए सैद्धांतिक ज्ञान को लागू करने की क्षमता विकसित करें।
• छात्रों की सोच और भाषण का विकास करें।
• सादृश्य द्वारा निरीक्षण करने, पैटर्न पर ध्यान देने, सामान्यीकरण करने और तर्क करने के कौशल विकसित करने पर काम करें।
• गणित में रुचि पैदा करना।

शिक्षण योजना

1. स्पर्शरेखा की अवधारणा का उद्भव.
2. स्पर्शरेखा की उपस्थिति का इतिहास.
3. ज्यामितीय परिभाषाएँ.
4. बुनियादी प्रमेय.
5. एक वृत्त पर स्पर्श रेखा की रचना करना.
6. समेकन।

स्पर्शरेखा की अवधारणा का उद्भव

स्पर्शरेखा की अवधारणा गणित की सबसे पुरानी अवधारणाओं में से एक है। ज्यामिति में, किसी वृत्त की स्पर्श रेखा को उस रेखा के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसका उस वृत्त के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु बिल्कुल एक होता है। पूर्वज, कम्पास और शासकों का उपयोग करके, एक वृत्त पर और बाद में शंकु वर्गों पर स्पर्शरेखाएँ खींचने में सक्षम थे: दीर्घवृत्त, हाइपरबोलस और परवलय।

स्पर्शरेखा का इतिहास

आधुनिक समय में स्पर्शरेखाओं में रुचि पुनर्जीवित हुई। फिर ऐसे वक्रों की खोज की गई जो प्राचीन वैज्ञानिकों के लिए अज्ञात थे। उदाहरण के लिए, गैलीलियो ने साइक्लोइड की शुरुआत की, और डेसकार्टेस और फ़र्मेट ने इसके लिए एक स्पर्शरेखा का निर्माण किया। 17वीं शताब्दी के पहले तीसरे में। वे यह समझने लगे कि स्पर्शरेखा एक सीधी रेखा है, जो किसी दिए गए बिंदु के एक छोटे से पड़ोस में वक्र के "सबसे निकट" होती है। ऐसी स्थिति की कल्पना करना आसान है जहां किसी दिए गए बिंदु (आकृति) पर वक्र की स्पर्श रेखा बनाना असंभव है।

ज्यामितीय परिभाषाएँ

घेरा- किसी दिए गए बिंदु से समान दूरी पर समतल पर स्थित बिंदुओं का ज्यामितीय स्थान, जिसे उसका केंद्र कहा जाता है।

घेरा.

संबंधित परिभाषाएँ

• वृत्त के केंद्र को उस पर किसी बिंदु (साथ ही इस खंड की लंबाई) से जोड़ने वाले खंड को कहा जाता है RADIUSवृत्त.
• समतल का वृत्त से घिरा भाग कहलाता है चारो ओर.
• किसी वृत्त पर दो बिंदुओं को जोड़ने वाला खंड उसका कहलाता है तार. वृत्त के केन्द्र से गुजरने वाली जीवा कहलाती है व्यास.
• किसी वृत्त पर कोई भी दो अपसारी बिंदु उसे दो भागों में विभाजित करते हैं। इनमें से प्रत्येक भाग को कहा जाता है आर्कवृत्त. एक चाप का माप उसके संगत केंद्रीय कोण का माप हो सकता है। एक चाप को अर्धवृत्त कहा जाता है यदि उसके सिरों को जोड़ने वाला खंड एक व्यास है।
• वह सीधी रेखा जिसमें वृत्त के साथ बिल्कुल एक उभयनिष्ठ बिंदु हो, कहलाती है स्पर्शरेखाएक वृत्त के लिए, और उनके उभयनिष्ठ बिंदु को रेखा और वृत्त का स्पर्शरेखा बिंदु कहा जाता है।
• वृत्त पर दो बिंदुओं से होकर गुजरने वाली सीधी रेखा कहलाती है काटनेवाला.
• किसी वृत्त में केंद्रीय कोण एक समतल कोण होता है जिसके केंद्र में एक शीर्ष होता है।
• वह कोण जिसका शीर्ष एक वृत्त पर स्थित होता है और जिसकी भुजाएँ इस वृत्त को काटती हैं, कहलाता है अंकित कोण.
• एक उभयनिष्ठ केंद्र वाले दो वृत्त कहलाते हैं गाढ़ा.

स्पर्श रेखा- वक्र पर एक बिंदु से गुजरने वाली और पहले क्रम तक इस बिंदु पर इसके साथ मेल खाने वाली एक सीधी रेखा।

एक वृत्त की स्पर्शरेखाएक सीधी रेखा है जिसका एक वृत्त के साथ एक उभयनिष्ठ बिंदु है।

इस बिंदु पर खींची गई त्रिज्या के लंबवत एक ही तल में एक वृत्त पर एक बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा स्पर्शरेखा कहलाती है. इस स्थिति में, वृत्त पर इस बिंदु को स्पर्शरेखा बिंदु कहा जाता है।

जहां हमारे मामलों में "ए" एक सीधी रेखा है जो किसी दिए गए वृत्त की स्पर्शरेखा है, बिंदु "ए" स्पर्शरेखा का बिंदु है। इस मामले में, a⊥OA (सीधी रेखा a त्रिज्या OA के लंबवत है)।

वे कहते हैं कि दो वृत्त स्पर्श करते हैं, यदि उनके पास एक भी समान बिंदु है। इस बिंदु को कहा जाता है वृत्तों का संपर्क बिंदु. स्पर्शरेखा बिंदु के माध्यम से, आप किसी एक वृत्त पर स्पर्शरेखा खींच सकते हैं, जो दूसरे वृत्त की स्पर्शरेखा भी है। स्पर्श करने वाले वृत्त आंतरिक या बाह्य हो सकते हैं।

स्पर्शरेखा को आंतरिक कहा जाता है यदि वृत्तों के केंद्र स्पर्शरेखा के एक ही तरफ स्थित हों।

एक स्पर्शरेखा को बाह्य कहा जाता है यदि वृत्तों के केंद्र स्पर्शरेखा के विपरीत दिशा में स्थित हों

a दो वृत्तों की उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा है, K स्पर्शरेखा का बिंदु है।

बुनियादी प्रमेय

प्रमेयस्पर्शरेखा और छेदक रेखा के बारे में

यदि वृत्त के बाहर स्थित किसी बिंदु से एक स्पर्शरेखा और एक छेदक रेखा खींची जाती है, तो स्पर्शरेखा की लंबाई का वर्ग छेदक रेखा और उसके बाहरी भाग के गुणनफल के बराबर होता है: MC 2 = MA MB।

प्रमेय.वृत्त की स्पर्शरेखा बिंदु पर खींची गई त्रिज्या स्पर्शरेखा के लंबवत होती है।

प्रमेय.यदि त्रिज्या उस बिंदु पर एक रेखा के लंबवत है जहां यह एक वृत्त को काटती है, तो यह रेखा इस वृत्त की स्पर्शरेखा है।

सबूत।

इन प्रमेयों को सिद्ध करने के लिए, हमें यह याद रखना होगा कि एक बिंदु से एक रेखा पर डाला गया लंब क्या होता है। यह इस बिंदु से इस रेखा तक की सबसे कम दूरी है। आइए मान लें कि OA स्पर्शरेखा पर लंबवत नहीं है, लेकिन स्पर्शरेखा पर लंबवत एक सीधी रेखा OS है। लंबाई OS में त्रिज्या की लंबाई और एक निश्चित खंड BC शामिल है, जो निश्चित रूप से त्रिज्या से अधिक है। इस प्रकार, कोई इसे किसी भी पंक्ति के लिए सिद्ध कर सकता है। हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि त्रिज्या, संपर्क बिंदु पर खींची गई त्रिज्या, बिंदु O से स्पर्शरेखा की सबसे छोटी दूरी है, अर्थात। ओएस स्पर्शरेखा के लंबवत है। व्युत्क्रम प्रमेय के प्रमाण में, हम इस तथ्य से आगे बढ़ेंगे कि स्पर्शरेखा का वृत्त के साथ केवल एक उभयनिष्ठ बिंदु है। मान लीजिए कि इस सीधी रेखा में वृत्त के साथ एक और उभयनिष्ठ बिंदु B है। त्रिभुज AOB आयताकार है और इसकी दोनों भुजाओं की त्रिज्याएँ बराबर हैं, जो कि नहीं हो सकता। इस प्रकार, हम पाते हैं कि इस सीधी रेखा में बिंदु A को छोड़कर वृत्त के साथ कोई और बिंदु उभयनिष्ठ नहीं है, अर्थात्। स्पर्शरेखा है.

प्रमेय.एक बिंदु से वृत्त पर खींचे गए स्पर्शरेखा खंड बराबर होते हैं, और इस बिंदु को वृत्त के केंद्र से जोड़ने वाली सीधी रेखा स्पर्शरेखाओं के बीच के कोण को विभाजित करती है।

सबूत।

प्रमाण बहुत सरल है. पिछले प्रमेय का उपयोग करते हुए, हम दावा करते हैं कि OB, AB पर लंबवत है, और OS, AC पर लंबवत है। समकोण त्रिभुज ABO और ACO पैर और कर्ण में बराबर हैं (OB=OS - त्रिज्या, AO - कुल)। इसलिए, उनकी भुजाएँ AB=AC और कोण OAC और OAB बराबर हैं।

प्रमेय.किसी वृत्त पर एक उभयनिष्ठ बिंदु वाली स्पर्शरेखा और जीवा द्वारा बनाए गए कोण का परिमाण उसकी भुजाओं के बीच घिरे चाप के कोणीय परिमाण के आधे के बराबर होता है।

सबूत।

एक स्पर्शरेखा और एक जीवा द्वारा निर्मित कोण NAB पर विचार करें। आइए AC का व्यास निकालें। स्पर्शरेखा संपर्क बिंदु पर खींचे गए व्यास के लंबवत है, इसलिए, ∠CAN=90 o. प्रमेय को जानने पर, हम देखते हैं कि कोण अल्फा (ए) चाप बीसी के आधे कोणीय मान या कोण बीओएस के आधे के बराबर है। ∠NAB=90 o -a, यहां से हमें ∠NAB=1/2(180 o -∠BOC)=1/2∠AOB या = चाप BA का आधा कोणीय मान प्राप्त होता है। वगैरह।

प्रमेय.यदि एक बिंदु से एक वृत्त पर एक स्पर्शरेखा और एक छेदक खींचा जाता है, तो दिए गए बिंदु से स्पर्शरेखा के बिंदु तक स्पर्शरेखा खंड का वर्ग दिए गए बिंदु से बिंदु तक स्पर्शरेखा खंड की लंबाई के उत्पाद के बराबर होता है वृत्त के साथ इसके प्रतिच्छेदन का।

सबूत।

चित्र में, यह प्रमेय इस प्रकार दिखता है: MA 2 = MV * MC। आइए इसे साबित करें. पिछले प्रमेय के अनुसार, कोण MAC चाप AC के कोणीय मान के आधे के बराबर है, लेकिन प्रमेय के अनुसार कोण ABC चाप AC के कोणीय मान के आधे के बराबर है, इसलिए, ये कोण प्रत्येक के बराबर हैं अन्य। इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए कि त्रिभुज AMC और BMA के शीर्ष M पर एक उभयनिष्ठ कोण है, हम इन त्रिभुजों की समानता को दो कोणों (दूसरा चिह्न) में बताते हैं। समानता से हमें प्राप्त होता है: MA/MB=MC/MA, जिससे हमें MA 2 =MB*MC मिलता है

एक वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ बनाना

आइए अब इसका पता लगाने का प्रयास करें और जानें कि एक वृत्त की स्पर्शरेखा बनाने के लिए क्या करने की आवश्यकता है।

इस मामले में, एक नियम के रूप में, समस्या एक वृत्त और एक बिंदु देती है। और आपको और मुझे वृत्त पर एक स्पर्शरेखा बनाने की आवश्यकता है ताकि यह स्पर्शरेखा किसी दिए गए बिंदु से होकर गुजरे।

इस घटना में कि हमें किसी बिंदु का स्थान नहीं पता है, तो आइए बिंदुओं के संभावित स्थान के मामलों पर विचार करें।

सबसे पहले, एक बिंदु एक वृत्त के अंदर स्थित हो सकता है, जो किसी दिए गए वृत्त द्वारा सीमित होता है। इस स्थिति में, इस वृत्त के माध्यम से स्पर्श रेखा बनाना संभव नहीं है।

दूसरे मामले में, बिंदु एक वृत्त पर स्थित है, और हम त्रिज्या पर एक लंबवत रेखा खींचकर एक स्पर्शरेखा का निर्माण कर सकते हैं, जो हमें ज्ञात बिंदु पर खींची गई है।

तीसरा, मान लें कि बिंदु वृत्त के बाहर स्थित है, जो वृत्त द्वारा सीमित है। इस मामले में, स्पर्श रेखा बनाने से पहले, वृत्त पर एक बिंदु खोजना आवश्यक है जिससे होकर स्पर्श रेखा अवश्य गुजरनी चाहिए।

पहले मामले में, मुझे आशा है कि आपके लिए सब कुछ स्पष्ट है, लेकिन दूसरे विकल्प को हल करने के लिए हमें उस सीधी रेखा पर एक खंड बनाने की आवश्यकता है जिस पर त्रिज्या स्थित है। यह खंड त्रिज्या और उस खंड के बराबर होना चाहिए जो विपरीत दिशा में वृत्त पर स्थित है।

यहां हम देखते हैं कि वृत्त पर एक बिंदु एक खंड का मध्य है जो त्रिज्या के दोगुने के बराबर है। अगला कदम दो वृत्तों का निर्माण करना होगा। इन वृत्तों की त्रिज्या मूल वृत्त की त्रिज्या के दोगुने के बराबर होगी, जिसका केंद्र खंड के सिरों पर होगा, जो त्रिज्या के दोगुने के बराबर है। अब हम इन वृत्तों के किसी भी प्रतिच्छेदन बिंदु और दिए गए बिंदु से होकर एक सीधी रेखा खींच सकते हैं। ऐसी सीधी रेखा प्रारंभ में खींचे गए वृत्त की त्रिज्या की माध्यिका लंबवत होती है। इस प्रकार, हम देखते हैं कि यह रेखा वृत्त पर लंबवत है और इससे यह पता चलता है कि यह वृत्त पर स्पर्शरेखा है।

तीसरे विकल्प में, हमारे पास वृत्त के बाहर स्थित एक बिंदु है, जो एक वृत्त द्वारा सीमित है। इस मामले में, हम पहले एक खंड का निर्माण करते हैं जो दिए गए वृत्त के केंद्र और दिए गए बिंदु को जोड़ेगा। और फिर हम उसका मध्य ढूंढते हैं। परन्तु इसके लिए लम्ब समद्विभाजक का निर्माण करना आवश्यक है। और आप पहले से ही जानते हैं कि इसे कैसे बनाना है। फिर हमें एक वृत्त, या कम से कम उसका एक भाग खींचने की आवश्यकता है। अब हम देखते हैं कि दिए गए वृत्त और नवनिर्मित वृत्त का प्रतिच्छेदन बिंदु वह बिंदु है जिससे होकर स्पर्शरेखा गुजरती है। यह उस बिंदु से भी गुजरता है जो समस्या की स्थितियों के अनुसार निर्दिष्ट किया गया था। और अंत में, आप जिन दो बिंदुओं को जानते हैं, उनके माध्यम से आप एक स्पर्श रेखा खींच सकते हैं।

और अंत में, यह साबित करने के लिए कि हमने जो सीधी रेखा बनाई है वह एक स्पर्शरेखा है, हमें उस कोण पर ध्यान देने की आवश्यकता है जो वृत्त की त्रिज्या और स्थिति से ज्ञात खंड और वृत्तों के प्रतिच्छेदन बिंदु को जोड़ने से बना था। समस्या की स्थिति द्वारा दिए गए बिंदु के साथ। अब हम देखते हैं कि परिणामी कोण एक अर्धवृत्त पर टिका हुआ है। और इससे ये पता चलता है कि ये कोण सही है. नतीजतन, त्रिज्या नवनिर्मित रेखा के लंबवत होगी, और यह रेखा स्पर्शरेखा है।

स्पर्शरेखा का निर्माण.

स्पर्श रेखाओं का निर्माण उन समस्याओं में से एक है जिसके कारण विभेदक कलन का जन्म हुआ। डिफरेंशियल कैलकुलस से संबंधित पहला प्रकाशित कार्य, लीबनिज द्वारा लिखा गया था, जिसका शीर्षक था "मैक्सिमा और मिनिमा की एक नई विधि, साथ ही स्पर्शरेखा, जिसके लिए न तो आंशिक और न ही अपरिमेय मात्राएं, न ही एक विशेष प्रकार का कैलकुलस, एक बाधा है।"

प्राचीन मिस्रवासियों का ज्यामितीय ज्ञान।

यदि हम टाइग्रिस और यूफ्रेट्स और एशिया माइनर के बीच घाटी के प्राचीन निवासियों के बहुत मामूली योगदान को ध्यान में नहीं रखते हैं, तो ज्यामिति की उत्पत्ति 1700 ईसा पूर्व प्राचीन मिस्र में हुई थी। उष्णकटिबंधीय वर्षा ऋतु के दौरान, नील नदी ने अपने जल भंडार को फिर से भर दिया और उफान पर आ गई। खेती योग्य भूमि के जल से आच्छादित क्षेत्र, और कर उद्देश्यों के लिए यह निर्धारित करना आवश्यक था कि कितनी भूमि नष्ट हुई। सर्वेक्षणकर्ताओं ने मापने के उपकरण के रूप में कसकर खींची गई रस्सी का उपयोग किया। मिस्रवासियों द्वारा ज्यामितीय ज्ञान के संचय के लिए एक और प्रोत्साहन उनकी गतिविधियाँ थीं जैसे पिरामिडों का निर्माण और ललित कलाएँ।

ज्यामितीय ज्ञान के स्तर का अंदाजा प्राचीन पांडुलिपियों से लगाया जा सकता है, जो विशेष रूप से गणित के लिए समर्पित हैं और पाठ्यपुस्तकों, या बल्कि समस्या पुस्तकों की तरह हैं, जहां विभिन्न व्यावहारिक समस्याओं के समाधान दिए गए हैं।

मिस्रवासियों की सबसे पुरानी गणितीय पांडुलिपि की प्रतिलिपि 1800 - 1600 के बीच एक निश्चित छात्र द्वारा बनाई गई थी। ईसा पूर्व. एक पुराने पाठ से. पपीरस की खोज रूसी मिस्रविज्ञानी व्लादिमीर सेमेनोविच गोलेनिश्चेव ने की थी। इसे मॉस्को में ए.एस. के नाम पर ललित कला संग्रहालय में रखा गया है। पुश्किन, और इसे मॉस्को पेपिरस कहा जाता है।

मॉस्को की तुलना में दो से तीन सौ साल बाद लिखा गया एक और गणितीय पपीरस, लंदन में रखा गया है। इसे कहा जाता है: "सभी अंधेरी चीजों, उन सभी रहस्यों का ज्ञान कैसे प्राप्त करें जो चीजें अपने आप में छिपाती हैं... पुराने स्मारकों के अनुसार, लेखक अहम्स ने इसे लिखा था।" पांडुलिपि को "अहम्स पपीरस" कहा जाता है रिहंद पपीरस - उस अंग्रेज के नाम पर जिसने मिस्र में इस पपीरस को पाया और खरीदा था। अहम्स पपीरस विभिन्न गणनाओं से जुड़ी 84 समस्याओं का समाधान प्रदान करता है जिनकी व्यवहार में आवश्यकता हो सकती है।