Ln क्या खड़ा है प्राकृतिक लघुगणक और ई। को घटाने वाली शक्तियों के लिए सूत्र

आधार (a\u003e 0, a 1 के बराबर नहीं है) के लिए एक सकारात्मक संख्या b का लघुगणक एक संख्या c है, जैसे कि c \u003d b: log a b \u003d c a c \u003d b (a\u003e 0, a of 1, b\u003e 0) & nbsp; & nbsp; & nbsp;

कृपया ध्यान दें: एक गैर-सकारात्मक संख्या का लघुगणक अपरिभाषित है। साथ ही, लघुगणक का आधार एक सकारात्मक संख्या होना चाहिए, न कि 1. के बराबर। उदाहरण के लिए, यदि हम -2 को वर्ग करते हैं, तो हमें संख्या 4 मिलती है, लेकिन इसका मतलब यह नहीं है कि 4 के आधार -2 का लघुगणक 2 है।

मूल लघुगणकीय पहचान

लॉग ए बी \u003d बी (ए\u003e 0, ए (1) (2)

यह महत्वपूर्ण है कि इस सूत्र के दाएं और बाएं पक्षों की परिभाषा के डोमेन अलग-अलग हों। बाएं हाथ की ओर केवल b\u003e 0, a\u003e 0 और ≠ 1. के लिए परिभाषित किया गया है। दाएं हाथ की ओर किसी भी b के लिए परिभाषित किया गया है, और यह बिल्कुल भी निर्भर नहीं करता है। इस प्रकार, समीकरणों और असमानताओं को सुलझाने में मूल लघुगणकीय "पहचान" के आवेदन से जीडीवी में बदलाव हो सकता है।

एक लघुगणक की परिभाषा के दो स्पष्ट परिणाम

a \u003d 1 (a (0, a (1) (3) लॉग करें
1 \u003d 0 (a\u003e 0, a (1) (4) लॉग करें

दरअसल, संख्या को पहली शक्ति में बढ़ाते समय, हमें समान संख्या मिलती है, और शून्य शक्ति को बढ़ाते समय, हम एक प्राप्त करते हैं।

उत्पाद का लघुगणक और भागफल का लघुगणक

log a (b c) \u003d log a b + log a c (a\u003e 0, a b 1, b\u003e 0, c\u003e 0) (5)

लॉग इन a b c \u003d लॉग a b - लॉग a c (a\u003e 0, a b 1, b\u003e 0, c\u003e 0 (6))

लॉगरिदमिक समीकरणों और असमानताओं को हल करते समय मैं स्कूली बच्चों को इन फॉर्मूलों के बिना सोचे समझे इस्तेमाल करने की चेतावनी देता हूं। जब उनका उपयोग "बाएं से दाएं" किया जाता है, तो ODZ संकरा होता है, और जब आप लघुगणक के योग या अंतर से उत्पाद या भागफल के लघुगणक की ओर बढ़ते हैं, तो ODV का विस्तार होता है।

वास्तव में, अभिव्यक्ति लॉग ए (एफ (एक्स) जी (एक्स)) दो मामलों में परिभाषित किया गया है: जब दोनों फ़ंक्शन सख्ती से सकारात्मक हैं, या जब एफ (एक्स) और जी (एक्स) दोनों शून्य से कम हैं।

इस एक्सप्रेशन को योग में बदलकर f (x) + log a g (x) लॉग करें, हम केवल f (x)\u003e 0 और g (x)\u003e 0 होने पर खुद को उस स्थिति तक सीमित रखने के लिए मजबूर हैं। अनुमेय मूल्यों की एक संकीर्णता है, और यह स्पष्ट रूप से अस्वीकार्य है, क्योंकि इससे समाधानों का नुकसान हो सकता है। सूत्र (6) के लिए एक समान समस्या मौजूद है।

डिग्री को लघुगणक के संकेत के बाहर व्यक्त किया जा सकता है

एक b p \u003d p लॉग इन a b (a\u003e 0, a b 1, b\u003e 0) (7)

और फिर से मैं सटीकता के लिए कॉल करना चाहूंगा। निम्नलिखित उदाहरण पर विचार करें:

लॉग इन a (f (x) 2 \u003d 2 लॉग इन a f (x)

समानता के बाएं हाथ को परिभाषित किया गया है, जाहिर है, शून्य को छोड़कर, च (x) के सभी मूल्यों के लिए। दाईं ओर केवल f (x)\u003e 0 के लिए है! लघुगणक से शक्ति निकालते हुए, हम फिर से ODV को संकीर्ण करते हैं। रिवर्स प्रक्रिया वैध मानों की सीमा का विस्तार करती है। ये सभी टिप्पणियां न केवल डिग्री 2 पर लागू होती हैं, बल्कि किसी भी डिग्री पर भी लागू होती हैं।

नए आधार पर परिवर्तन के लिए सूत्र

लॉग ए बी \u003d लॉग सी बी लॉग सी ए (ए\u003e 0, ए b 1, बी\u003e 0, सी\u003e 0, सी) 1) (8)

यह दुर्लभ मामला है जब परिवर्तन के दौरान ODV नहीं बदलता है। यदि आपने उचित रूप से एक मूलांक ग (सकारात्मक और 1 के बराबर नहीं) चुना है, तो एक नए मूलांक के लिए संक्रमण का सूत्र पूरी तरह से सुरक्षित है।

यदि हम नए आधार c के रूप में संख्या b को चुनते हैं, तो हमें सूत्र का एक महत्वपूर्ण विशेष मामला मिलता है (8):

एक बी \u003d 1 लॉग बी ए (एक ए 0, एक ए 1, बी\u003e 0, बी) 1) (9)

लघुगणक के साथ कुछ सरल उदाहरण

उदाहरण 1. गणना: lg2 + lg50।
फेसला। lg2 + lg50 \u003d lg100 \u003d 2. हमने लघुगणक (5) और दशमलव लघुगणक की परिभाषा के योग के लिए सूत्र का उपयोग किया।

उदाहरण 2. गणना: lg125 / lg5।
फेसला। lg125 / lg5 \u003d log 5 125 \u003d 3. हमने नए बेस (8) में परिवर्तन के लिए सूत्र का उपयोग किया है।

लघुगणक से संबंधित सूत्रों की तालिका

लॉग ए बी \u003d बी (ए\u003e 0, ए b 1)

a \u003d 1 (a (0, a (1) लॉग करें

1 \u003d 0 (a\u003e 0, a (1) लॉग करें

log a (b c) \u003d log a b + log a c (a\u003e 0, a b 1, b\u003e 0, c\u003e 0)

लॉग इन a b c \u003d लॉग a b - लॉग a c (a (0, a b 1, b\u003e 0, c\u003e 0)

b b p \u003d p लॉग इन a b (a\u003e 0, a b 1, b\u003e 0)

लॉग ए बी \u003d लॉग सी बी लॉग सी ए (ए\u003e 0, ए b 1, बी\u003e 0, सी\u003e 0, सी log 1)

b \u003d 1 लॉग बी a (a\u003e 0, a, 1, b\u003e 0, b) 1) लॉग करें

संख्या के आधार पर ई: ln x \u003d log e x.

प्राकृतिक लघुगणक का व्यापक रूप से गणित में उपयोग किया जाता है, क्योंकि इसके व्युत्पन्न का सबसे सरल रूप है: (ln x) ′ \u003d 1 / x.

आधारित परिभाषाएं, प्राकृतिक लघुगणक का आधार संख्या है इ:
f 28 2.718281828459045 ...;
.

फंक्शन ग्राफ y \u003d ln x.

प्राकृतिक लघुगणक ग्राफ (फ़ंक्शन y \u003d) ln x) प्रतिपादक ग्राफ से इसे सीधी रेखा y \u003d x के सापेक्ष प्रतिबिम्बित करके प्राप्त किया जाता है।

प्राकृतिक लघुगणक को चर x के सकारात्मक मानों के लिए परिभाषित किया गया है। यह परिभाषा के अपने डोमेन में एकात्मक रूप से बढ़ता है।

एक्स → के रूप में 0 प्राकृतिक लघुगणक की सीमा शून्य से अनंत (- log) है।

X → + x के रूप में, प्राकृतिक लघुगणक की सीमा प्लस अनंत (+ ∞) है। बड़े एक्स के लिए, लॉगरिथम धीरे-धीरे बढ़ता है। कोई भी ऊर्जा समीकरण x एक धनात्मक घातांक के साथ लघुगणक की तुलना में तेजी से बढ़ता है।

प्राकृतिक लघुगणक गुण

परिभाषा की सीमा, मूल्यों का सेट, बहिर्गमन, वृद्धि, घटाना

प्राकृतिक लघुगणक एक नीरस रूप से बढ़ता हुआ कार्य है, इसलिए इसकी कोई विलुप्ति नहीं है। प्राकृतिक लघुगणक के मुख्य गुण तालिका में प्रस्तुत किए गए हैं।

लन x

ln 1 \u003d 0

प्राकृतिक लघुगणक के लिए मूल सूत्र

उलटा फ़ंक्शन की परिभाषा से उत्पन्न होने वाले सूत्र:

लघुगणक की मुख्य संपत्ति और इसके परिणाम

आधार प्रतिस्थापन सूत्र

आधार परिवर्तन फार्मूले का उपयोग करके किसी भी लघुगणक को प्राकृतिक लघुगणक के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

इन योगों के प्रमाण "लघुगणक" खंड में प्रस्तुत किए गए हैं।

उलटा काम करना

प्राकृतिक लघुगणक का विलोम प्रतिपादक है।

तो अगर

तो अगर।

व्युत्पन्न ln x

प्राकृतिक लघुगणक की व्युत्पत्ति:
.
मापांक x के प्राकृतिक लघुगणक की व्युत्पत्ति:
.
एनटी क्रम के व्युत्पन्न:
.
सूत्रों की व्युत्पत्ति \u003e\u003e\u003e

अविभाज्य

इंटीग्रल को भागों द्वारा एकीकरण द्वारा गणना की जाती है:
.
इसलिए,

जटिल संख्या के संदर्भ में अभिव्यक्तियाँ

एक जटिल चर z के एक समारोह पर विचार करें:
.
हम जटिल चर को व्यक्त करते हैं जेड मॉड्यूल के माध्यम से आर और तर्क φ :
.
लघुगणक के गुणों का उपयोग करना, हमारे पास है:
.
या
.
The तर्क विशिष्ट रूप से परिभाषित नहीं है। अगर हम डालते हैं
, जहाँ n एक पूर्णांक है,
यह अलग n के लिए एक ही नंबर होगा।

इसलिए, प्राकृतिक लघुगणक, एक जटिल चर के एक समारोह के रूप में, एक अस्पष्ट कार्य नहीं है।

बिजली श्रृंखला विस्तार

अपघटन पर जगह लेता है:

संदर्भ:
I.N. ब्रोंस्टीन, के.ए. सेमेन्डेयव, तकनीकी संस्थानों के इंजीनियरों और छात्रों के लिए गणित की हैंडबुक, "लैन", 2009।

इससे पहले कि हम प्राकृतिक लघुगणक की अवधारणा से परिचित हो जाएं, एक निरंतर संख्या $ ई $ की अवधारणा पर विचार करें।

नंबर $ ई $

परिभाषा १

नंबर $ ई $ एक गणितीय स्थिरांक है, जो एक पारलौकिक संख्या है और $ e \\ लगभग 2.718281828459045 \\ ldots $ के बराबर है।

परिभाषा २

ट्रान्सेंडैंटल एक संख्या है जो पूर्णांक गुणांक वाले बहुपद की जड़ नहीं है।

टिप्पणी 1

अंतिम सूत्र बताता है दूसरी अद्भुत सीमा.

नंबर ई को भी कहा जाता है यूलर नंबरऔर कभी - कभी नेपियर संख्या.

टिप्पणी 2

संख्या $ ई $ के पहले संकेतों को याद रखने के लिए, निम्नलिखित अभिव्यक्ति का अक्सर उपयोग किया जाता है: "$ 2 $, $ 7 $, दो बार लियो टॉल्स्टॉय"... बेशक, इसका उपयोग करने में सक्षम होने के लिए, आपको याद रखना चाहिए कि लियो टॉल्स्टॉय का जन्म $ 1828 डॉलर में हुआ था। ये संख्या $ 2 $ के मूल्य के दो बार दोहराए जाते हैं $ 2 $ के पूर्णांक भाग के बाद और दशमलव $ 7 $।

हमने प्राकृतिक लघुगणक के अध्ययन में संख्या $ e $ की अवधारणा पर सटीक रूप से विचार करना शुरू किया क्योंकि यह लघुगणक $ \\ log_ (e) ,a $ के आधार पर खड़ा है, जिसे आमतौर पर कहा जाता है प्राकृतिक और $ \\ ln .a $ के रूप में लिखा गया।

प्राकृतिक

लॉगरिदम का उपयोग अक्सर गणनाओं में किया जाता है, संख्या $ ई $ के आधार पर।

परिभाषा ४

आधार $ ई $ के साथ लघुगणक कहा जाता है प्राकृतिक.

उन। प्राकृतिक लघुगणक को $ \\ log_ (e) buta $ के रूप में निरूपित किया जा सकता है, लेकिन गणित में यह संकेतन $ \\ ln .a $ का उपयोग करने के लिए प्रथागत है।

प्राकृतिक लघुगणक गुण

चूंकि एक से किसी भी आधार पर लघुगणक $ 0 $ है, तो एक का प्राकृतिक लघुगणक $ 0 $ है:

$ E $ का प्राकृतिक लघुगणक एक के बराबर है:

दो संख्याओं के उत्पाद का प्राकृतिक लघुगणक इन संख्याओं के प्राकृतिक लघुगणक के योग के बराबर है:

$ \\ ln \\ (ab) \u003d \\ ln +a + \\ ln nb $।

दो संख्याओं के भागफल का प्राकृतिक लघुगणक इन संख्याओं के प्राकृतिक लघुगणक के अंतर के बराबर होता है:

$ \\ ln) \\ frac (a) (b) \u003d \\ ln -a- \\ ln\u2061 b $।

संख्या की शक्ति के प्राकृतिक लघुगणक को उप-लघुगणक संख्या के प्राकृतिक लघुगणक द्वारा प्रतिपादक के उत्पाद के रूप में दर्शाया जा सकता है:

$ \\ ln \\ a ^ s \u003d s \\ cdot \\ ln $ a $।

उदाहरण 1

अभिव्यक्ति को सरल करें $ \\ frac (2 \\ ln -4e- \\ ln expression16) (\\ ln \\5e- \\ frac (1) (2) \\ ln )25) $।

फेसला.

हम अंश और गुणक में पहले लघुगणक पर लागू होते हैं उत्पाद के लघुगणक की संपत्ति, और अंश और हर के दूसरे लघुगणक के लिए - डिग्री के लघुगणक की संपत्ति

$ \\ frac (2 \\ ln f4e- \\ ln )16) (\\ ln \u20615e- \\ frac (1) (2) \\ ln )25) \u003d \\ frac (2 (\\ ln \u20614 + \\ ln \u2061e)) -\u003e n ln\u2061 4 ^ 2) (\\ ln +5 + \\ ln -e- \\ frac (1) (2) \\ ln\u2061 5 ^ 2) \u003d $

आइए हम कोष्ठक खोलें और समान शब्द प्रस्तुत करें, और संपत्ति $ \\ ln thee \u003d 1 $ भी लागू करें:

$ \u003d \\ frac (2 \\ ln \\4 + 2-2 \\ ln (4) (\\ ln \\5 + 1- \\ frac (1) (2) \\ cdot 2 \\ ln )5) \u003d \\ frac (2) \\ ln l5 + 1- \\ ln \u003d5) \u003d 2 $।

उत्तर: $ \\ frac (2 \\ ln -4e- \\ ln )16) (\\ ln \\5e- \\ frac (1) (2) \\ ln )25) \u003d 2 $।

उदाहरण 2

अभिव्यक्ति का मूल्य ज्ञात करें $ \\ ln\u2061 2e ^ 2 + \\ ln \\ frac (1) (2e) $।

फेसला.

आइए, लघुगणक के योग का सूत्र लागू करें:

$ \\ ln 2e ^ 2 + \\ ln \\ frac (1) (2e) \u003d \\ ln 2e ^ 2 \\ cdot \\ frac (1) (2e) \u003d \\ ln \u2061e \u003d 1 $।

उत्तर: $ \\ ln 2e ^ 2 + \\ ln \\ frac (1) (2e) \u003d 1 $।

उदाहरण 3

लघुगणक अभिव्यक्ति $ 2 \\ lg 10,1 + 3 \\ ln\u2061 e ^ 5 $ के मूल्य का मूल्यांकन करें।

फेसला.

चलो डिग्री के लघुगणक की संपत्ति को लागू करते हैं:

$ 2 \\ lg ,0,1 + 3 \\ ln e ^ 5 \u003d 2 \\ lg 10 ^ (- 1) +3 \\ cdot 5 \\ ln \u2061e \u003d -2 \\ lg +10 + 15 \\ ln \u2061 \u003d -2 + 15 \u003d 13 $।

उत्तर: $ 2 \\ lg ,0,1 + 3 \\ ln e ^ 5 \u003d 13 $।

उदाहरण 4

$ \\ Ln \\ frac (1) (8) -3 \\ ln .4 $ के लिए लघुगणक अभिव्यक्ति को सरल बनाएं।

$ 3 \\ ln \\ frac (9) (e ^ 2) -2 \\ ln l27 \u003d 3 \\ ln (\\ frac (3) (e)) ^ 2-2 \\ ln 3 ^ 3 \u003d 3 \u003d 3 \\ cdot 2 \\ ldot \\ _ प्रथम लघुगणक पर लागू करें भागफल के लघुगणक की संपत्ति:

$ \u003d 6 (\\ ln \u20613- \\ ln )e) -6 \\ ln\u2061 3 \u003d $

आइए कोष्ठक खोलें और समान शब्द दें:

$ \u003d 6 \\ ln -3-6 \\ ln 6e-6 \\ ln \u003d3 \u003d -6 $।

: $ 3 \\ ln \\ frac (9) (e ^ 2) -2 \\ ln \\27 \u003d -6 $।

उत्तरआधार के लिए संख्या b का लघुगणक एक प्रतिपादक है, जिस पर संख्या को संख्या b प्राप्त करने के लिए उठाया जाना चाहिए।

लघुगणक - चरम

तो अगर।

महत्वपूर्ण गणितीय मात्रा , क्योंकि लघुगणकीय पथरी न केवल घातीय समीकरणों को हल करने की अनुमति देती है, बल्कि संकेतक के साथ भी काम कर रही है, घातीय को अलग करती है औरलघुगणक कार्य उन्हें एकीकृत करें और गणना के लिए एक अधिक स्वीकार्य रूप प्रदान करें।संपर्क में

लघुगणक के सभी गुण सीधे घातीय कार्यों के गुणों से संबंधित हैं। उदाहरण के लिए, तथ्य यह है कि

मतलब कि: यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि विशिष्ट समस्याओं को हल करते समय, लॉगरिथम के गुण शक्तियों के साथ काम करने के लिए नियमों की तुलना में अधिक महत्वपूर्ण और उपयोगी हो सकते हैं।

यहाँ कुछ पहचान हैं:

यहाँ मुख्य हैं

बीजीय भाव ध्यान!:

;

.

केवल x\u003e 0, x only 1, y\u003e 0 के लिए मौजूद हो सकता है। आइए इस प्रश्न को समझने की कोशिश करें कि प्राकृतिक लघुगणक क्या हैं। गणित में अलग रुचि

दो प्रकार का प्रतिनिधित्व करते हैं - पहला "10" संख्या पर आधारित है, और इसे "दशमलव लघुगणक" कहा जाता है। दूसरे को प्राकृतिक कहा जाता है। प्राकृतिक लघुगणक का आधार "ई" संख्या है। यह उसके बारे में है कि हम इस लेख में विस्तार से बात करेंगे।लीजेंड:

एलजी एक्स - दशमलव;

• ln x - प्राकृतिक।
• पहचान का उपयोग करके, आप देख सकते हैं कि ln e \u003d 1, साथ ही तथ्य यह है कि lg 10 \u003d 1 है।

प्राकृतिक लघुगणक साजिश

आइए अंक द्वारा मानक शास्त्रीय विधि का उपयोग करके प्राकृतिक लघुगणक की साजिश करें। यदि आप चाहें, तो आप जांच कर सकते हैं कि क्या हम फ़ंक्शन की जांच करके फ़ंक्शन का सही निर्माण कर रहे हैं। हालांकि, यह जानने के लिए कि इसे "हाथ से" कैसे बनाया जाए, यह जानने के लिए कि लॉगरिदम की सही गणना कैसे करें।

समारोह: y \u003d ln x। आइए अंक की एक तालिका लिखें जिसके माध्यम से ग्राफ़ पास होगा:

आइए हम बताते हैं कि हमने तर्क x के ऐसे मूल्यों को क्यों चुना है। यह पहचान के बारे में है:। प्राकृतिक लघुगणक के लिए, यह पहचान इस तरह दिखाई देगी:

सुविधा के लिए, हम पाँच लंगर बिंदु ले सकते हैं:

{!LANG-79659dff17f6da6535a8a186229e29e5!}

;

;

.

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.

इस प्रकार, प्राकृतिक लघुगणक की गणना एक बहुत ही सरल कार्य है, इसके अलावा, यह शक्तियों के साथ संचालन की गणना को सरल करता है, उन्हें चालू करता है साधारण गुणन।

अंकों द्वारा ग्राफ बनाने के बाद, हमें लगभग एक ग्राफ मिलता है:

प्राकृतिक लघुगणक का डोमेन (यानी, तर्क X के सभी मान्य मान) सभी संख्या शून्य से अधिक हैं।

केवल x\u003e 0, x only 1, y\u003e 0 के लिए मौजूद हो सकता है।प्राकृतिक लॉगरिदम के डोमेन में केवल सकारात्मक संख्याएं शामिल हैं! परिभाषा के डोमेन में x \u003d 0 शामिल नहीं है। यह लघुगणक के अस्तित्व के लिए स्थितियों के आधार पर असंभव है।

मूल्यों की श्रेणी (यानी फ़ंक्शन y के सभी मान्य मान \u003d ln x) अंतराल में सभी संख्याएं हैं।

प्राकृतिक लॉग सीमा

ग्राफ का अध्ययन, सवाल उठता है - फ़ंक्शन वाई पर कैसे व्यवहार करता है<0.

जाहिर है, फ़ंक्शन का ग्राफ y- अक्ष को पार करने के लिए जाता है, लेकिन ऐसा नहीं कर सकता, क्योंकि एक्स पर प्राकृतिक लघुगणक<0 не существует.

प्राकृतिक सीमा लॉग इस तरह लिखा जा सकता है:

एक लघुगणक के आधार को बदलने का सूत्र

प्राकृतिक लघुगणक मनमाने ढंग से आधार लघुगणक की तुलना में बहुत आसान है। यही कारण है कि हम किसी भी लघुगणक को प्राकृतिक रूप से कम करने या प्राकृतिक लघुगणक के माध्यम से मनमाने ढंग से व्यक्त करने का तरीका सीखने का प्रयास करेंगे।

आइए लघुगणक पहचान के साथ शुरू करें:

तब किसी भी संख्या या चर y को इस रूप में दर्शाया जा सकता है:

जहां x कोई संख्या है (लघुगणक के गुणों के अनुसार सकारात्मक)।

इस अभिव्यक्ति को दोनों पक्षों पर लघुगणित किया जा सकता है। हम एक आधारभूत z का उपयोग करते हुए ऐसा करते हैं:

आइए संपत्ति का उपयोग करें (केवल "ग" के बजाय हमारे पास एक अभिव्यक्ति है):

यहाँ से हमें एक सार्वभौमिक सूत्र मिलता है:

.

विशेष रूप से, यदि z \u003d e, तो:

.

हम दो प्राकृतिक लघुगणक के अनुपात के माध्यम से मनमाना आधार का प्रतिनिधित्व करने में कामयाब रहे।

हम समस्याओं का समाधान करते हैं

प्राकृतिक लघुगणक में बेहतर नेविगेट करने के लिए, कई समस्याओं के उदाहरणों पर विचार करें।

समस्या 1... समीकरण ln x \u003d 3 को हल करना आवश्यक है।

फेसला: लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करना: यदि, फिर, हमें मिलता है:

समस्या २... समीकरण (5 + 3 * ln (x - 3)) \u003d 3 को हल करें।

समाधान: लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करना: यदि, तब, हमें प्राप्त होता है:

.

आइए एक लघुगणक की परिभाषा को फिर से लागू करें:

.

इस तरह:

.

आप उत्तर की गणना लगभग कर सकते हैं, या आप इसे इस रूप में छोड़ सकते हैं।

उद्देश्य ३। प्रश्न हल करें।

फेसला:चलो प्रतिस्थापन बनाते हैं: t \u003d ln x। तब समीकरण निम्न रूप लेगा:

.

हमसे पहले एक द्विघात समीकरण है। आइए पाते हैं इसका भेदभाव:

सांख्यिकी और संभाव्यता सिद्धांत में, लघुगणक मात्रा बहुत आम है। यह आश्चर्य की बात नहीं है, क्योंकि संख्या ई - अक्सर घातीय मूल्यों की वृद्धि दर को दर्शाती है।

कंप्यूटर विज्ञान, प्रोग्रामिंग और कंप्यूटर सिद्धांत में, लॉगरिथम काफी सामान्य हैं, उदाहरण के लिए, स्मृति में एन को स्टोर करने के लिए, आपको बिट्स की आवश्यकता होती है।

भग्न और आयाम के सिद्धांत में, लघुगणक का लगातार उपयोग किया जाता है, क्योंकि भग्न के आयाम केवल उनकी मदद से निर्धारित किए जाते हैं।

यांत्रिकी और भौतिकी में ऐसा कोई खंड नहीं है जहाँ लघुगणक का उपयोग नहीं किया जाता है। बैरोमीटर का वितरण, सांख्यिकीय ऊष्मप्रवैगिकी के सभी सिद्धांत, Tsiolkovsky समीकरण और इसी तरह की प्रक्रियाएं हैं जो केवल गणितीय रूप से लॉगरिदम का उपयोग करके वर्णित की जा सकती हैं।

रसायन विज्ञान में, लॉगरिथम का उपयोग नर्नस्ट समीकरणों में किया जाता है, रेडॉक्स प्रक्रियाओं का वर्णन।

आश्चर्यजनक रूप से, संगीत में भी, एक ऑक्टेव के कुछ हिस्सों की संख्या का पता लगाने के लिए लघुगणक का उपयोग किया जाता है।

प्राकृतिक लघुगणक समारोह y \u003d ln x इसके गुण

प्राकृतिक लघुगणक की मुख्य संपत्ति का प्रमाण