किसी पिंड के गुरुत्वाकर्षण का केंद्र ज्ञात करने के लिए क्या आवश्यक है? समतल आकृतियों के गुरुत्व केन्द्र का निर्धारण। पिंडों के गुरुत्वाकर्षण केंद्रों के निर्देशांक निर्धारित करने की विधियाँ

6.1. सामान्य जानकारी

समानांतर बलों का केंद्र
आइए हम एक दिशा में निर्देशित दो समानांतर बलों पर विचार करें, और, शरीर पर बिंदुओं पर लागू होते हैं ए 1 और ए 2 (चित्र 6.1)। बलों की इस प्रणाली में एक परिणाम होता है, जिसकी क्रिया की रेखा एक निश्चित बिंदु से होकर गुजरती है साथ. बिंदु स्थिति साथवेरिग्नन के प्रमेय का उपयोग करके पाया जा सकता है:

यदि आप बलों को मोड़ते हैं और बिंदुओं के पास ए 1 और ए 2 एक दिशा में और एक ही कोण पर, फिर हमें समान मॉड्यूल वाले समानांतर साला की एक नई प्रणाली मिलती है। इस स्थिति में, उनका परिणाम भी बिंदु से होकर गुजरेगा साथ. इस बिंदु को समानांतर बलों का केंद्र कहा जाता है।
आइए एक ठोस पिंड पर बिंदुओं पर लागू समानांतर और समान रूप से निर्देशित बलों की एक प्रणाली पर विचार करें। इस प्रणाली का एक परिणाम है.
यदि सिस्टम के प्रत्येक बल को उनके अनुप्रयोग के बिंदुओं के पास एक ही दिशा में और एक ही कोण पर घुमाया जाता है, तो समान मॉड्यूल और अनुप्रयोग के बिंदुओं के साथ समान रूप से निर्देशित समानांतर बलों की नई प्रणालियाँ प्राप्त की जाएंगी। ऐसी प्रणालियों के परिणामी का मापांक समान होगा आर, लेकिन हर बार एक अलग दिशा। अपनी ताकत जोड़कर एफ 1 और एफ 2 हम पाते हैं कि उनका परिणामी आर 1, जो सदैव बिंदु से होकर गुजरेगा साथ 1, जिसकी स्थिति समानता से निर्धारित होती है। आगे मोड़ना आर 1 और एफ 3, हम उनका परिणाम पाते हैं, जो हमेशा बिंदु से होकर गुजरेगा साथ 2 एक सीधी रेखा पर लेटना ए 3 साथ 2. अंत में बलों को जोड़ने की प्रक्रिया पूरी करने के बाद, हम इस निष्कर्ष पर पहुंचेंगे कि सभी बलों का परिणाम वास्तव में हमेशा एक ही बिंदु से होकर गुजरेगा साथ, जिनकी बिंदुओं के सापेक्ष स्थिति अपरिवर्तित रहेगी।
डॉट साथ, जिसके माध्यम से समान दिशा में एक ही कोण पर इन बलों के अनुप्रयोग के बिंदुओं के निकट इन बलों के किसी भी घूर्णन के लिए समानांतर बलों की परिणामी प्रणाली की क्रिया की रेखा गुजरती है, समानांतर बलों का केंद्र कहलाती है (चित्र 6.2)।

चित्र.6.2

आइए हम समानांतर बलों के केंद्र के निर्देशांक निर्धारित करें। बिंदु की स्थिति के बाद से साथशरीर के सापेक्ष अपरिवर्तित है, तो इसके निर्देशांक समन्वय प्रणाली की पसंद पर निर्भर नहीं करते हैं। आइए सभी बलों को उनके अनुप्रयोग के चारों ओर घुमाएँ ताकि वे अक्ष के समानांतर हो जाएँ कहांऔर घुमाए गए बलों पर वेरिग्नन के प्रमेय को लागू करें। क्योंकि आर"इन बलों का परिणाम है, तो, वेरिग्नन के प्रमेय के अनुसार, हमारे पास है , क्योंकि , , हम पाते हैं

यहां से हम समानांतर बलों के केंद्र का निर्देशांक पाते हैं zc:

निर्देशांक निर्धारित करने के लिए एक्ससीआइए अक्ष के चारों ओर बलों के क्षण के लिए एक अभिव्यक्ति बनाएं आउंस.

निर्देशांक निर्धारित करने के लिए वाईसीआइए सभी बलों को मोड़ दें ताकि वे अक्ष के समानांतर हो जाएं आउंस.

मूल बिंदु के सापेक्ष समानांतर बलों के केंद्र की स्थिति (चित्र 6.2) इसके त्रिज्या वेक्टर द्वारा निर्धारित की जा सकती है:

6.2. किसी कठोर पिंड का गुरुत्व केंद्र

ग्रैविटी केंद्रएक कठोर पिंड का एक बिंदु इस पिंड से हमेशा जुड़ा रहता है साथ, जिसके माध्यम से अंतरिक्ष में शरीर की किसी भी स्थिति के लिए किसी दिए गए शरीर के परिणामी गुरुत्वाकर्षण बलों की कार्रवाई की रेखा गुजरती है।
गुरुत्वाकर्षण के केंद्र का उपयोग गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव के तहत निकायों और निरंतर मीडिया की संतुलन स्थिति की स्थिरता का अध्ययन करने में किया जाता है और कुछ अन्य मामलों में, अर्थात्: सामग्रियों की ताकत में और संरचनात्मक यांत्रिकी में - वीरशैचिन के नियम का उपयोग करते समय।
किसी पिंड के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र को निर्धारित करने के दो तरीके हैं: विश्लेषणात्मक और प्रयोगात्मक। गुरुत्वाकर्षण के केंद्र को निर्धारित करने की विश्लेषणात्मक विधि सीधे समानांतर बलों के केंद्र की अवधारणा से अनुसरण करती है।
गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के निर्देशांक, समानांतर बलों के केंद्र के रूप में, सूत्रों द्वारा निर्धारित किए जाते हैं:

कहाँ आर- पूरे शरीर का वजन; पी- शरीर के कणों का वजन; एक्सके, वाईके, ज़ेडके- शरीर के कणों के निर्देशांक.
एक सजातीय शरीर के लिए, पूरे शरीर और उसके किसी भी हिस्से का वजन आयतन के समानुपाती होता है पी=वीγ, पीके =वीके γ, कहाँ γ - प्रति इकाई आयतन वजन, वी- शरीर का आयतन. भावों को प्रतिस्थापित करना पी, पीगुरुत्वाकर्षण के केंद्र के निर्देशांक निर्धारित करने के सूत्र में और, एक सामान्य कारक द्वारा कम करना γ , हम पाते हैं:

डॉट साथ, जिसके निर्देशांक परिणामी सूत्रों द्वारा निर्धारित होते हैं, कहलाते हैं आयतन का गुरुत्व केंद्र.
यदि पिंड एक पतली सजातीय प्लेट है, तो गुरुत्वाकर्षण का केंद्र सूत्रों द्वारा निर्धारित किया जाता है:

कहाँ एस- संपूर्ण प्लेट का क्षेत्रफल; एसके- इसके भाग का क्षेत्रफल; एक्सके, वाईके- प्लेट भागों के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के निर्देशांक।
डॉट साथइस मामले में इसे कहा जाता है क्षेत्र के गुरुत्वाकर्षण का केंद्र.
भावों के अंश जो समतल आकृतियों के गुरुत्व केंद्र के निर्देशांक निर्धारित करते हैं, कहलाते हैं क्षेत्र के स्थिर क्षणअक्षों के सापेक्ष परऔर एक्स:

तब क्षेत्र के गुरुत्वाकर्षण का केंद्र सूत्रों द्वारा निर्धारित किया जा सकता है:

उन पिंडों के लिए जिनकी लंबाई क्रॉस-अनुभागीय आयामों से कई गुना अधिक है, रेखा के गुरुत्वाकर्षण का केंद्र निर्धारित करें। रेखा के गुरुत्वाकर्षण केंद्र के निर्देशांक सूत्रों द्वारा निर्धारित किए जाते हैं:

कहाँ एल- दिशा और रेखा; लालकृष्ण- इसके भागों की लंबाई; एक्सके, वाईके, ज़ेडके- रेखा के हिस्सों के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र का समन्वय।

6.3. पिंडों के गुरुत्वाकर्षण केंद्रों के निर्देशांक निर्धारित करने की विधियाँ

प्राप्त सूत्रों के आधार पर, निकायों के गुरुत्वाकर्षण के केंद्रों को निर्धारित करने के लिए व्यावहारिक तरीकों का प्रस्ताव करना संभव है।
1. समरूपता. यदि किसी पिंड में समरूपता का केंद्र है, तो गुरुत्वाकर्षण का केंद्र समरूपता के केंद्र पर होता है।
यदि शरीर में सममिति का तल है। उदाहरण के लिए, XOU विमान, तो गुरुत्वाकर्षण का केंद्र इस विमान में स्थित है।
2. विभाजन. सरल आकार वाले पिंडों से युक्त पिंडों के लिए, विभाजन विधि का उपयोग किया जाता है। शरीर को भागों में विभाजित किया गया है, जिसका गुरुत्वाकर्षण केंद्र समरूपता की विधि द्वारा निर्धारित किया जाता है। संपूर्ण पिंड का गुरुत्व केंद्र आयतन (क्षेत्रफल) के गुरुत्व केंद्र के सूत्रों द्वारा निर्धारित किया जाता है।

उदाहरण. नीचे दिए गए चित्र में दिखाए गए प्लेट का गुरुत्वाकर्षण केंद्र निर्धारित करें (चित्र 6.3)। प्लेट को विभिन्न तरीकों से आयतों में विभाजित किया जा सकता है और प्रत्येक आयत के गुरुत्वाकर्षण केंद्र के निर्देशांक और उनका क्षेत्रफल निर्धारित किया जा सकता है।

चित्र.6.3

उत्तर: एक्ससी=17.0 सेमी; यसी=18.0 सेमी.

3. जोड़ना. यह विधि विभाजन विधि का एक विशेष मामला है। इसका उपयोग तब किया जाता है जब शरीर में कटआउट, कट आदि हों, यदि कटआउट के बिना शरीर के गुरुत्वाकर्षण केंद्र के निर्देशांक ज्ञात हों।

उदाहरण. कटआउट त्रिज्या वाली एक गोलाकार प्लेट के गुरुत्वाकर्षण का केंद्र निर्धारित करें आर = 0,6 आर(चित्र 6.4)।

चित्र.6.4

एक गोल प्लेट में समरूपता का केंद्र होता है। आइए निर्देशांक की उत्पत्ति को प्लेट के केंद्र में रखें। कटआउट रहित प्लेट क्षेत्र, कटआउट क्षेत्र। कटआउट के साथ चौकोर प्लेट; .
कटआउट वाली प्लेट में समरूपता का अक्ष होता है О1 एक्स, इस तरह, वाईसी=0.

4. एकीकरण. यदि शरीर को भागों की एक सीमित संख्या में विभाजित नहीं किया जा सकता है, जिसके गुरुत्वाकर्षण केंद्रों की स्थिति ज्ञात है, तो शरीर को मनमाने ढंग से छोटी मात्रा में विभाजित किया जाता है, जिसके लिए विभाजन विधि का उपयोग करने वाला सूत्र रूप लेता है: .
फिर वे सीमा तक चले जाते हैं, प्राथमिक आयतन को शून्य की ओर निर्देशित करते हैं, अर्थात। मात्राओं को अंकों में अनुबंधित करना। योगों को शरीर के संपूर्ण आयतन तक विस्तारित इंटीग्रल्स द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, फिर आयतन के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के निर्देशांक निर्धारित करने के सूत्र रूप लेते हैं:

किसी क्षेत्र के गुरुत्वाकर्षण केंद्र के निर्देशांक निर्धारित करने के सूत्र:

संरचनात्मक यांत्रिकी में मोहर इंटीग्रल की गणना करते समय, प्लेटों के संतुलन का अध्ययन करते समय क्षेत्र के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के निर्देशांक निर्धारित किए जाने चाहिए।

उदाहरण. त्रिज्या के एक वृत्ताकार चाप के गुरुत्वाकर्षण का केंद्र निर्धारित करें आरकेंद्रीय कोण के साथ एओबी= 2α (चित्र 6.5)।

चावल। 6.5

वृत्त का चाप अक्ष के सममित होता है ओह, इसलिए, चाप का गुरुत्वाकर्षण केंद्र अक्ष पर स्थित है ओह, हाँ = 0.
एक रेखा के गुरुत्वाकर्षण केंद्र के सूत्र के अनुसार:

6.प्रयोगात्मक विधि. जटिल विन्यास के अमानवीय निकायों के गुरुत्वाकर्षण के केंद्रों को प्रयोगात्मक रूप से निर्धारित किया जा सकता है: लटकाने और वजन करने की विधि द्वारा। पहली विधि शरीर को विभिन्न बिंदुओं पर केबल पर लटकाना है। जिस केबल पर शरीर लटका हुआ है उसकी दिशा गुरुत्वाकर्षण की दिशा देगी। इन दिशाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु पिंड के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र को निर्धारित करता है।
वजन मापने की विधि में सबसे पहले किसी शरीर, जैसे कि कार, का वजन निर्धारित करना शामिल होता है। फिर समर्थन पर वाहन के रियर एक्सल का दबाव पैमाने पर निर्धारित किया जाता है। एक बिंदु के सापेक्ष संतुलन समीकरण बनाकर, उदाहरण के लिए, सामने के पहियों की धुरी, आप इस धुरी से कार के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र तक की दूरी की गणना कर सकते हैं (चित्र 6.6)।

चित्र.6.6

कभी-कभी, समस्याओं को हल करते समय, गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के निर्देशांक निर्धारित करने के लिए विभिन्न तरीकों का एक साथ उपयोग किया जाना चाहिए।

6.4. कुछ सरल ज्यामितीय आकृतियों के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र

बार-बार आने वाली आकृतियों (त्रिकोण, गोलाकार चाप, सेक्टर, खंड) के पिंडों के गुरुत्वाकर्षण के केंद्रों को निर्धारित करने के लिए, संदर्भ डेटा (तालिका 6.1) का उपयोग करना सुविधाजनक है।

तालिका 6.1

कुछ सजातीय पिंडों के गुरुत्वाकर्षण केंद्र के निर्देशांक

№	आकृति का नाम	चित्रकला
	एक वृत्त का चाप: एकसमान वृत्त के चाप का गुरुत्व केंद्र सममिति (निर्देशांक) के अक्ष पर होता है यूसी=0). आर- वृत्त की त्रिज्या.
	सजातीय वृत्ताकार क्षेत्र यूसी=0). जहां α केंद्रीय कोण का आधा है; आर- वृत्त की त्रिज्या.
	खंड:गुरुत्वाकर्षण का केंद्र समरूपता के अक्ष (समन्वय) पर स्थित है यूसी=0). जहां α केंद्रीय कोण का आधा है; आर- वृत्त की त्रिज्या.
	आधा गोला:
	त्रिकोण: एक सजातीय त्रिभुज का गुरुत्वाकर्षण केंद्र उसकी माध्यिकाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु पर होता है। कहाँ X1, y1, x2, y2, x3, y3- त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक
	कोन: एक समान गोलाकार शंकु का गुरुत्वाकर्षण केंद्र उसकी ऊंचाई पर होता है और शंकु के आधार से ऊंचाई के 1/4 की दूरी पर स्थित होता है।

ऊपर प्राप्त सामान्य सूत्रों के आधार पर, पिंडों के गुरुत्वाकर्षण केंद्रों के निर्देशांक निर्धारित करने के लिए विशिष्ट तरीकों को इंगित करना संभव है।

1. समरूपता.यदि किसी सजातीय पिंड में एक समतल, अक्ष या समरूपता का केंद्र है (चित्र 7), तो इसका गुरुत्वाकर्षण केंद्र क्रमशः समरूपता के तल, समरूपता के अक्ष या समरूपता के केंद्र में स्थित है।

चित्र 7

2. बंटवारा.शरीर को सीमित संख्या में भागों में विभाजित किया गया है (चित्र 8), जिनमें से प्रत्येक के लिए गुरुत्वाकर्षण के केंद्र और क्षेत्र की स्थिति ज्ञात है।

चित्र.8

3.नकारात्मक क्षेत्र विधि.विभाजन विधि का एक विशेष मामला (चित्र 9)। यह उन पिंडों पर लागू होता है जिनमें कटआउट होते हैं यदि कटआउट के बिना शरीर के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र और कटआउट भाग ज्ञात होते हैं। कटआउट के साथ एक प्लेट के रूप में एक शरीर को एक क्षेत्र एस 1 और कट आउट भाग एस 2 के एक क्षेत्र के साथ एक ठोस प्लेट (कटआउट के बिना) के संयोजन द्वारा दर्शाया जाता है।

चित्र.9

4.समूहीकरण विधि.यह पिछली दो विधियों का एक अच्छा पूरक है। किसी आकृति को उसके घटक तत्वों में विभाजित करने के बाद, इस समूह की समरूपता को ध्यान में रखते हुए समाधान को सरल बनाने के लिए उनमें से कुछ को फिर से जोड़ना सुविधाजनक होता है।

कुछ सजातीय पिंडों के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र।

1) एक वृत्ताकार चाप का गुरुत्व केंद्र.चाप पर विचार करें अब RADIUS आरएक केंद्रीय कोण के साथ. समरूपता के कारण इस चाप का गुरुत्व केंद्र अक्ष पर स्थित होता है बैल(चित्र 10)।

चित्र.10

आइए सूत्र का उपयोग करके निर्देशांक ज्ञात करें। ऐसा करने के लिए, आर्क पर चयन करें अबतत्व एमएम'लंबाई, जिसकी स्थिति कोण द्वारा निर्धारित होती है। कोआर्डिनेट एक्सतत्व एमएम'इच्छा । इन मूल्यों को प्रतिस्थापित करना एक्सऔर डी एलऔर यह ध्यान में रखते हुए कि इंटीग्रल को चाप की पूरी लंबाई पर विस्तारित किया जाना चाहिए, हम प्राप्त करते हैं:

कहाँ एल- वक्राकार लंबाई अब, के बराबर ।

यहां से हम अंततः पाते हैं कि एक गोलाकार चाप का गुरुत्वाकर्षण केंद्र केंद्र से कुछ दूरी पर समरूपता के अक्ष पर स्थित होता है के बारे में, बराबर

जहाँ कोण को रेडियन में मापा जाता है।

2) त्रिभुज के क्षेत्रफल का गुरुत्व केंद्र.समतल में पड़े एक त्रिभुज पर विचार करें ऑक्सी, जिसके शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात हैं: ए मैं(एक्स मैं,यी), (मैं= 1,2,3). त्रिभुज को भुजा के समानांतर संकीर्ण पट्टियों में तोड़ना ए 1 ए 2, हम इस निष्कर्ष पर पहुंचते हैं कि त्रिभुज का गुरुत्वाकर्षण केंद्र माध्यिका से संबंधित होना चाहिए ए 3 एम 3 (चित्र 11)।

चित्र.11

एक त्रिभुज को भुजा के समानांतर पट्टियों में तोड़ना ए 2 ए 3, हम सत्यापित कर सकते हैं कि यह माध्यिका पर स्थित होना चाहिए ए 1 एम 1 . इस प्रकार, किसी त्रिभुज का गुरुत्व केंद्र उसकी माध्यिकाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु पर स्थित होता है, जो, जैसा कि ज्ञात है, संबंधित पक्ष से गिनती करते हुए, प्रत्येक मध्यिका से एक तिहाई भाग को अलग करता है।

विशेष रूप से, मध्यिका के लिए ए 1 एम 1 हम बिंदु के निर्देशांक को ध्यान में रखते हुए प्राप्त करते हैं एम 1 शीर्षों के निर्देशांक का अंकगणितीय माध्य है ए 2 और ए 3:

एक्स सी = एक्स 1 + (2/3)∙(एक्स एम 1 - एक्स 1) = एक्स 1 + (2/3)∙[(एक्स 2 + एक्स 3)/2-एक्स 1 ] = (एक्स 1 +एक्स 2 +एक्स 3)/3.

इस प्रकार, त्रिभुज के गुरुत्वाकर्षण केंद्र के निर्देशांक इसके शीर्षों के निर्देशांक के अंकगणितीय माध्य हैं:

एक्स सी =(1/3)Σ एक्स मैं ; य सी =(1/3)Σ यी.

3) एक वृत्ताकार क्षेत्र के क्षेत्रफल का गुरुत्व केंद्र.त्रिज्या वाले वृत्त के एक त्रिज्यखंड पर विचार करें आर 2α के केंद्रीय कोण के साथ, अक्ष के सममित रूप से स्थित है बैल(चित्र 12) .

यह तो स्पष्ट है य सी = 0, और वृत्त के केंद्र से जहां से यह क्षेत्र काटा जाता है, इसके गुरुत्वाकर्षण केंद्र की दूरी सूत्र द्वारा निर्धारित की जा सकती है:

चित्र.12

इस अभिन्न की गणना करने का सबसे आसान तरीका एकीकरण डोमेन को एक कोण के साथ प्राथमिक क्षेत्रों में विभाजित करना है डीφ. पहले क्रम के अतिसूक्ष्मों के लिए सटीक, ऐसे त्रिज्यखंड को समान आधार वाले त्रिभुज से प्रतिस्थापित किया जा सकता है आर× डीφ और ऊंचाई आर. ऐसे त्रिभुज का क्षेत्रफल डीएफ=(1/2)आर 2 ∙डीφ, और इसका गुरुत्वाकर्षण केंद्र 2/3 की दूरी पर है आरशीर्ष से, इसलिए (5) में हम डालते हैं एक्स = (2/3)आर∙cosφ. (5) में प्रतिस्थापित एफ= α आर 2, हमें मिलता है:

अंतिम सूत्र का उपयोग करके, हम, विशेष रूप से, गुरुत्वाकर्षण के केंद्र की दूरी की गणना करते हैं आधा गोला.

α = π/2 को (2) में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं: एक्स सी = (4आर)/(3π) ≅ 0.4 आर .

उदाहरण 1।आइए चित्र में दिखाए गए सजातीय पिंड के गुरुत्वाकर्षण का केंद्र निर्धारित करें। 13.

चित्र.13

शरीर सजातीय है, जिसमें सममित आकार वाले दो भाग होते हैं। उनके गुरुत्वाकर्षण केन्द्रों के निर्देशांक:

उनकी मात्राएँ:

इसलिए, शरीर के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के निर्देशांक

उदाहरण 2.आइए समकोण पर मुड़ी एक प्लेट का गुरुत्व केंद्र ज्ञात करें। आयाम ड्राइंग में हैं (चित्र 14)।

चित्र.14

गुरुत्वाकर्षण के केन्द्रों के निर्देशांक:

क्षेत्र:

चावल। 6.5.

उदाहरण 3.एक वर्गाकार शीट सेमी में एक वर्गाकार छेद सेमी काटा गया है (चित्र 15)। आइए शीट का गुरुत्वाकर्षण केंद्र ज्ञात करें।

चित्र.15

इस समस्या में, शरीर को दो भागों में विभाजित करना अधिक सुविधाजनक है: एक बड़ा वर्ग और एक चौकोर छेद। केवल छिद्र का क्षेत्रफल ही ऋणात्मक माना जाना चाहिए। फिर छेद के साथ शीट के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के निर्देशांक:

कोआर्डिनेट चूँकि शरीर में समरूपता का एक अक्ष (विकर्ण) होता है।

उदाहरण 4.वायर ब्रैकेट (चित्र 16) में समान लंबाई के तीन खंड होते हैं एल.

चित्र.16

अनुभागों के गुरुत्वाकर्षण केंद्रों के निर्देशांक:

इसलिए, संपूर्ण ब्रैकेट के गुरुत्वाकर्षण केंद्र के निर्देशांक हैं:

उदाहरण 5.ट्रस के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र की स्थिति निर्धारित करें, जिसकी सभी छड़ों का रैखिक घनत्व समान है (चित्र 17)।

आइए हम याद करें कि भौतिकी में किसी पिंड का घनत्व ρ और उसका विशिष्ट गुरुत्व g संबंध से संबंधित हैं: γ= ρ जी, कहाँ जी- गुरुत्वाकर्षण का त्वरण. ऐसे सजातीय पिंड का द्रव्यमान ज्ञात करने के लिए, आपको घनत्व को उसके आयतन से गुणा करना होगा।

चित्र.17

शब्द "रैखिक" या "रैखिक" घनत्व का अर्थ है कि ट्रस रॉड के द्रव्यमान को निर्धारित करने के लिए, रैखिक घनत्व को इस रॉड की लंबाई से गुणा किया जाना चाहिए।

समस्या को हल करने के लिए, आप विभाजन विधि का उपयोग कर सकते हैं। किसी दिए गए ट्रस को 6 व्यक्तिगत छड़ों के योग के रूप में प्रस्तुत करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

कहाँ एल मैंलंबाई मैंवें ट्रस रॉड, और एक्स मैं, यी- इसके गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के निर्देशांक।

ट्रस के अंतिम 5 बारों को समूहीकृत करके इस समस्या का समाधान सरल बनाया जा सकता है। यह देखना आसान है कि वे चौथी छड़ के मध्य में स्थित समरूपता केंद्र के साथ एक आकृति बनाते हैं, जहां छड़ों के इस समूह का गुरुत्वाकर्षण केंद्र स्थित है।

इस प्रकार, किसी दिए गए ट्रस को छड़ों के केवल दो समूहों के संयोजन द्वारा दर्शाया जा सकता है।

इसके लिए पहले समूह में पहली छड़ शामिल है एल 1 = 4 मीटर, एक्स 1 = 0 मी, यइसके लिए 1 = 2 मीटर छड़ों के दूसरे समूह में पाँच छड़ें हैं एल 2 = 20 मीटर, एक्स 2 = 3 मीटर, य 2 = 2 मी.

ट्रस के गुरुत्वाकर्षण केंद्र के निर्देशांक सूत्र का उपयोग करके पाए जाते हैं:

एक्स सी = (एल 1 ∙एक्स 1 +एल 2 ∙एक्स 2)/(एल 1 + एल 2) = (4∙0 + 20∙3)/24 = 5/2 मीटर;

य सी = (एल 1 ∙य 1 +एल 2 ∙य 2)/(एल 1 + एल 2) = (4∙2 + 20∙2)/24 = 2 मीटर।

ध्यान दें कि केंद्र साथजोड़ने वाली सीधी रेखा पर स्थित है साथ 1 और साथ 2 और खंड को विभाजित करता है साथ 1 साथ 2 के संबंध में: साथ 1 साथ/एसएस 2 = (एक्स सी - एक्स 1)/(एक्स 2 - एक्स सी ) = एल 2 /एल 1 = 2,5/0,5.

स्व-परीक्षण प्रश्न

समानान्तर बलों के केन्द्र को क्या कहते हैं?

समानांतर बलों के केंद्र के निर्देशांक कैसे निर्धारित किये जाते हैं?

उन समानांतर बलों का केंद्र कैसे निर्धारित करें जिनका परिणाम शून्य है?

समानांतर बलों के केंद्र में क्या गुण होते हैं?

समानांतर बलों के केंद्र के निर्देशांक की गणना के लिए किस सूत्र का उपयोग किया जाता है?

किसी पिंड का गुरुत्वाकर्षण केंद्र क्या है?

किसी पिंड पर एक बिंदु पर कार्य करने वाले पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण बल को समानांतर बलों की एक प्रणाली के रूप में क्यों लिया जा सकता है?

अमानवीय और सजातीय पिंडों के गुरुत्वाकर्षण केंद्र की स्थिति निर्धारित करने का सूत्र, समतल खंडों के गुरुत्वाकर्षण केंद्र की स्थिति निर्धारित करने का सूत्र लिखिए?

सरल ज्यामितीय आकृतियों के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र की स्थिति निर्धारित करने के लिए सूत्र लिखें: आयत, त्रिकोण, समलम्ब और अर्ध वृत्त?

क्षेत्रफल का स्थिर क्षण क्या है?

किसी ऐसे पिंड का उदाहरण दीजिए जिसका गुरुत्वाकर्षण केंद्र शरीर के बाहर स्थित है।

पिंडों के गुरुत्वाकर्षण के केंद्रों को निर्धारित करने में समरूपता के गुणों का उपयोग कैसे किया जाता है?

नकारात्मक भार विधि का सार क्या है?

वृत्ताकार चाप का गुरुत्व केंद्र कहाँ होता है?

किसी त्रिभुज के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र को खोजने के लिए किस ग्राफिकल निर्माण का उपयोग किया जा सकता है?

उस सूत्र को लिखिए जो एक वृत्ताकार क्षेत्र के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र को निर्धारित करता है।

एक त्रिभुज और एक गोलाकार क्षेत्र के गुरुत्वाकर्षण के केंद्रों को निर्धारित करने वाले सूत्रों का उपयोग करके, एक गोलाकार खंड के लिए एक समान सूत्र प्राप्त करें।

सजातीय पिंडों, समतल आकृतियों और रेखाओं के गुरुत्वाकर्षण केंद्रों के निर्देशांक की गणना के लिए किस सूत्र का उपयोग किया जाता है?

अक्ष के सापेक्ष समतल आकृति के क्षेत्रफल का स्थैतिक क्षण क्या कहलाता है, इसकी गणना कैसे की जाती है तथा इसका आयाम क्या होता है?

यदि किसी क्षेत्र के अलग-अलग हिस्सों के गुरुत्वाकर्षण केंद्रों की स्थिति ज्ञात हो तो उसके गुरुत्वाकर्षण केंद्र की स्थिति कैसे निर्धारित की जाए?

गुरुत्वाकर्षण के केंद्र की स्थिति निर्धारित करने के लिए कौन से सहायक प्रमेय का उपयोग किया जाता है?

इंजीनियरिंग अभ्यास में, ऐसा होता है कि सरल तत्वों से युक्त एक जटिल सपाट आकृति के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के निर्देशांक की गणना करने की आवश्यकता होती है, जिसके लिए गुरुत्वाकर्षण के केंद्र का स्थान ज्ञात होता है। यह कार्य निर्धारित करने के कार्य का हिस्सा है...

बीम और छड़ों के मिश्रित क्रॉस सेक्शन की ज्यामितीय विशेषताएं। दबाव के केंद्र के निर्देशांक निर्धारित करते समय, कार्गो रखने के दौरान विभिन्न वाहनों के लिए लोडिंग योजनाओं के डेवलपर्स, तत्वों के क्रॉस-सेक्शन का चयन करते समय धातु संरचनाओं के निर्माण के डिजाइनरों और निश्चित रूप से, कटिंग डाई के डिज़ाइन इंजीनियरों को अक्सर इसी तरह के सवालों का सामना करना पड़ता है। छात्र "सैद्धांतिक यांत्रिकी" और "सामग्री की ताकत" विषयों का अध्ययन करते समय।

प्राथमिक आंकड़ों का पुस्तकालय.

सममित समतल आकृतियों के लिए, गुरुत्वाकर्षण का केंद्र समरूपता के केंद्र के साथ मेल खाता है। प्राथमिक वस्तुओं के सममित समूह में शामिल हैं: वृत्त, आयत (वर्ग सहित), समांतर चतुर्भुज (रम्बस सहित), नियमित बहुभुज।

उपरोक्त चित्र में प्रस्तुत दस आंकड़ों में से केवल दो ही बुनियादी हैं। अर्थात्, त्रिभुजों और वृत्तों के त्रिज्यखंडों का उपयोग करके, आप व्यावहारिक रुचि के लगभग किसी भी आंकड़े को जोड़ सकते हैं। किसी भी मनमाने वक्र को खंडों में विभाजित किया जा सकता है और गोलाकार चाप से प्रतिस्थापित किया जा सकता है।

शेष आठ आंकड़े सबसे आम हैं, यही कारण है कि उन्हें इस अद्वितीय पुस्तकालय में शामिल किया गया था। हमारे वर्गीकरण में ये तत्व बुनियादी नहीं हैं। दो त्रिभुजों से एक आयत, समांतर चतुर्भुज और समलंब चतुर्भुज बनाया जा सकता है। एक षट्भुज चार त्रिभुजों का योग है। एक वृत्त खंड एक वृत्त और एक त्रिभुज के त्रिज्यखंड के बीच का अंतर है। एक वृत्त का वलयाकार क्षेत्र दो क्षेत्रों के बीच का अंतर है। वृत्त α=2*π=360˚ कोण वाले वृत्त का एक त्रिज्यखंड है। तदनुसार, अर्धवृत्त α=π=180˚ कोण वाले वृत्त का एक त्रिज्यखंड है।

किसी समग्र आकृति के गुरुत्व केंद्र के निर्देशांक की एक्सेल में गणना।

विशुद्ध सैद्धांतिक गणनाओं का उपयोग करके मुद्दे का अध्ययन करने की तुलना में एक उदाहरण पर विचार करके जानकारी देना और समझना हमेशा आसान होता है। आइए समस्या के समाधान पर विचार करें "गुरुत्वाकर्षण का केंद्र कैसे खोजें?" इस पाठ के नीचे चित्र में दिखाए गए समग्र चित्र के उदाहरण का उपयोग करना।

समग्र खंड एक आयत है (आयामों के साथ)। ए1 =80 मिमी, बी1 =40 मिमी), जिसमें ऊपर बाईं ओर (आधार के आकार के साथ) एक समद्विबाहु त्रिभुज जोड़ा गया था ए2 =24 मिमी और ऊंचाई एच2 =42 मिमी) और जिसमें से ऊपर दाईं ओर से एक अर्धवृत्त काटा गया था (निर्देशांक वाले बिंदु पर केंद्र के साथ) एक्स03 =50 मिमी और य03 =40 मिमी, त्रिज्या आर3 =26 मिमी).

गणना करने में आपकी सहायता के लिए हम एक प्रोग्राम का उपयोग करेंगे एमएस एक्सेल या प्रोग्राम ओओओ कैल्क . उनमें से कोई भी आसानी से हमारे कार्य का सामना करेगा!

साथ कोशिकाओं में पीला हम इसे भर देंगे सहायक प्रारंभिक गणना .

हम हल्के पीले रंग की भराव वाली कोशिकाओं में परिणामों की गणना करते हैं।

नीला फ़ॉन्ट है आरंभिक डेटा .

काला फ़ॉन्ट है मध्यवर्ती गणना परिणाम .

लाल फ़ॉन्ट है अंतिम गणना परिणाम .

हम समस्या को हल करना शुरू करते हैं - हम अनुभाग के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के निर्देशांक की खोज शुरू करते हैं।

आरंभिक डेटा:

1. हम तदनुसार एक समग्र खंड बनाते हुए प्रारंभिक आकृतियों के नाम लिखेंगे

सेल D3 के लिए: आयत

सेल E3 के लिए: त्रिकोण

सेल F3 के लिए: आधा गोला

2. इस आलेख में प्रस्तुत "प्राथमिक आंकड़ों की लाइब्रेरी" का उपयोग करके, हम समग्र खंड के तत्वों के गुरुत्वाकर्षण के केंद्रों के निर्देशांक निर्धारित करेंगे xciऔर yciमनमाने ढंग से चयनित अक्षों 0x और 0y के सापेक्ष मिमी में और लिखें

सेल D4 के लिए: =80/2 = 40,000

एक्ससी 1 = ए 1 /2

सेल D5 के लिए: =40/2 =20,000

वाईसी 1 = बी 1 /2

सेल E4 के लिए: =24/2 =12,000

एक्ससी 2 = ए 2 /2

सेल E5 पर: =40+42/3 =54,000

वाईसी 2 = बी 1 + एच 2 /3

सेल F4 के लिए: =50 =50,000

एक्ससी 3 = एक्स03

सेल F5 पर: =40-4*26/3/PI() =28,965

वाईसी 3 = य 03 -4* r3 /3/ π

3. आइए तत्वों के क्षेत्रफल की गणना करें एफ 1 , एफ 2 , एफ3 मिमी2 में, फिर से "प्रारंभिक आंकड़ों की लाइब्रेरी" अनुभाग से सूत्रों का उपयोग करें

सेल D6 में: =40*80 =3200

एफ1 = ए 1 * बी1

सेल E6 में: =24*42/2 =504

F2 = ए2 *एच2 /2

सेल F6 में: =-PI()/2*26^2 =-1062

F3 =-π/2*r3 ^2

तीसरे तत्व - अर्धवृत्त - का क्षेत्रफल ऋणात्मक है क्योंकि यह एक कटआउट है - एक खाली स्थान!

गुरुत्व केंद्र निर्देशांक की गणना:

4. आइए अंतिम आंकड़े का कुल क्षेत्रफल निर्धारित करें एफ0 मिमी2 में

मर्ज किए गए सेल D8E8F8 में: =D6+E6+F6 =2642

एफ0 = एफ 1 + एफ 2 + एफ3

5. आइए एक मिश्रित आकृति के स्थिर क्षणों की गणना करें एसएक्सऔर एसवाईचयनित अक्ष 0x और 0y के सापेक्ष mm3 में

मर्ज किए गए सेल D9E9F9 में: =D5*D6+E5*E6+F5*F6 =60459

एसएक्स = yc1 * F1 + yc2 *F2 + yc3 *F3

मर्ज किए गए सेल D10E10F10 में: =D4*D6+E4*E6+F4*F6 =80955

एसवाई = xc1 * F1 + xc2 *F2 + xc3 *F3

6. और अंत में, आइए समग्र खंड के गुरुत्वाकर्षण केंद्र के निर्देशांक की गणना करें एक्स.सीऔर वाईसीचयनित समन्वय प्रणाली 0x - 0y में मिमी में

मर्ज किए गए सेल D11E11F11 में: =D10/D8 =30,640

एक्स.सी = एसवाई / एफ0

मर्ज किए गए सेल D12E12F12 में: =D9/D8 =22,883

Yc =Sx /F0

समस्या हल हो गई है, एक्सेल में गणना पूरी हो गई है - तीन सरल तत्वों का उपयोग करके संकलित अनुभाग के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के निर्देशांक पाए गए हैं!

निष्कर्ष।

किसी जटिल अनुभाग के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र की गणना करने की पद्धति को समझना आसान बनाने के लिए लेख में उदाहरण को बहुत सरल चुना गया था। विधि यह है कि किसी भी जटिल आकृति को गुरुत्वाकर्षण के केंद्रों के ज्ञात स्थानों के साथ सरल तत्वों में विभाजित किया जाना चाहिए और पूरे खंड के लिए अंतिम गणना की जानी चाहिए।

यदि अनुभाग रोल्ड प्रोफाइल - कोणों और चैनलों से बना है, तो उन्हें कटे हुए गोलाकार "π/2" सेक्टरों के साथ आयतों और वर्गों में विभाजित करने की कोई आवश्यकता नहीं है। इन प्रोफाइलों के गुरुत्वाकर्षण केंद्रों के निर्देशांक GOST तालिकाओं में दिए गए हैं, अर्थात, कोण और चैनल दोनों आपके समग्र वर्गों की गणना में मूल प्राथमिक तत्व होंगे (आई-बीम के बारे में बात करने का कोई मतलब नहीं है, पाइप, छड़ें और षट्कोण - ये केंद्रीय सममित खंड हैं)।

बेशक, निर्देशांक अक्षों का स्थान, आकृति के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र की स्थिति को प्रभावित नहीं करता है! इसलिए, एक समन्वय प्रणाली चुनें जो आपकी गणनाओं को सरल बनाती हो। यदि, उदाहरण के लिए, मुझे हमारे उदाहरण में समन्वय प्रणाली को 45˚ दक्षिणावर्त घुमाना था, तो एक आयत, त्रिकोण और अर्धवृत्त के गुरुत्वाकर्षण केंद्रों के निर्देशांक की गणना गणना के एक और अलग और बोझिल चरण में बदल जाएगी जिसे निष्पादित नहीं किया जा सकता है। सिर में"।

नीचे प्रस्तुत एक्सेल गणना फ़ाइल इस मामले में कोई प्रोग्राम नहीं है। बल्कि, यह एक कैलकुलेटर, एक एल्गोरिदम, एक टेम्पलेट का एक स्केच है जो प्रत्येक विशिष्ट मामले में अनुसरण करता है चमकीले पीले रंग की भराव वाली कोशिकाओं के लिए सूत्रों का अपना अनुक्रम बनाएं.

तो, अब आप जानते हैं कि किसी भी अनुभाग के गुरुत्वाकर्षण का केंद्र कैसे खोजा जाए! मनमाने ढंग से जटिल समग्र वर्गों की सभी ज्यामितीय विशेषताओं की पूरी गणना "" खंड में आगामी लेखों में से एक में विचार की जाएगी। ब्लॉग पर समाचारों का अनुसरण करें.

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ग्लास, सिक्का और दो कांटों के बारे में कुछ शब्द, जिन्हें लेख की शुरुआत में "चित्रण आइकन" में दर्शाया गया है। आप में से बहुत से लोग निश्चित रूप से इस "ट्रिक" से परिचित हैं, जो बच्चों और अनभिज्ञ वयस्कों की ओर प्रशंसात्मक दृष्टि आकर्षित करती है। इस लेख का विषय गुरुत्वाकर्षण का केंद्र है। यह वह और आधार है, जो हमारी चेतना और अनुभव के साथ खेल रहा है, जो बस हमारे दिमाग को बेवकूफ बना रहा है!

"कांटा + सिक्का" प्रणाली का गुरुत्वाकर्षण केंद्र हमेशा स्थित होता है तयदूरी लंबवत नीचेसिक्के के किनारे से, जो बदले में आधार है। यह स्थिर संतुलन की स्थिति है!यदि आप कांटे हिलाते हैं, तो यह तुरंत स्पष्ट हो जाता है कि सिस्टम अपनी पिछली स्थिर स्थिति लेने का प्रयास कर रहा है! एक पेंडुलम की कल्पना करें - एक निर्धारण बिंदु (= कांच के किनारे पर एक सिक्के का समर्थन बिंदु), पेंडुलम की एक छड़ी-अक्ष (= हमारे मामले में, अक्ष आभासी है, क्योंकि दोनों कांटों का द्रव्यमान है) अंतरिक्ष की विभिन्न दिशाओं में फैला हुआ) और अक्ष के नीचे एक भार (= संपूर्ण "कांटा" प्रणाली का गुरुत्वाकर्षण का केंद्र + सिक्का")। यदि आप पेंडुलम को ऊर्ध्वाधर से किसी भी दिशा (आगे, पीछे, बाएँ, दाएँ) में विक्षेपित करना शुरू करते हैं, तो गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में यह अनिवार्य रूप से अपनी मूल स्थिति में वापस आ जाएगा। संतुलन की स्थिर स्थिति(यही बात हमारे कांटे और सिक्के के साथ भी होती है)!

यदि आप नहीं समझते हैं, लेकिन समझना चाहते हैं, तो इसे स्वयं समझें। स्वयं "वहां पहुंचना" बहुत दिलचस्प है! मैं जोड़ूंगा कि स्थिर संतुलन का उपयोग करने का वही सिद्धांत खिलौना वंका-स्टैंड-अप में भी लागू किया गया है। इस खिलौने का केवल गुरुत्वाकर्षण का केंद्र आधार के ऊपर स्थित है, लेकिन सहायक सतह के गोलार्ध के केंद्र के नीचे है।

प्रिय पाठकों, आपकी टिप्पणियाँ देखकर मुझे सदैव ख़ुशी होती है!!!

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आयत। चूँकि एक आयत में समरूपता के दो अक्ष होते हैं, इसका गुरुत्वाकर्षण केंद्र समरूपता के अक्षों के प्रतिच्छेदन पर होता है, अर्थात। आयत के विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु पर।

त्रिकोण. गुरुत्वाकर्षण का केंद्र इसकी माध्यिकाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु पर स्थित है। ज्यामिति से यह ज्ञात होता है कि त्रिभुज की माध्यिकाएं एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं और आधार से 1:2 के अनुपात में विभाजित होती हैं।

घेरा। चूँकि एक वृत्त में सममिति के दो अक्ष होते हैं, इसका गुरुत्वाकर्षण केंद्र समरूपता के अक्षों के प्रतिच्छेदन पर होता है।

अर्धवृत्त. अर्धवृत्त में सममिति का एक अक्ष होता है, तो गुरुत्वाकर्षण का केंद्र इस अक्ष पर स्थित होता है। गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के एक अन्य निर्देशांक की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:।

कई संरचनात्मक तत्व मानक रोल्ड उत्पादों से बने होते हैं - कोण, आई-बीम, चैनल और अन्य। सभी आयाम, साथ ही रोल्ड प्रोफाइल की ज्यामितीय विशेषताएं, सारणीबद्ध डेटा हैं जो सामान्य वर्गीकरण (GOST 8239-89, GOST 8240-89) की तालिकाओं में संदर्भ साहित्य में पाए जा सकते हैं।

उदाहरण 1। चित्र में दिखाए गए चित्र के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र की स्थिति निर्धारित करें।

समाधान:

हम समन्वय अक्षों का चयन करते हैं ताकि ऑक्स अक्ष सबसे निचले समग्र आयाम के साथ चले, और ओए अक्ष सबसे बाएं समग्र आयाम के साथ चले।

हम एक जटिल आकृति को न्यूनतम संख्या में सरल आकृतियों में तोड़ते हैं:

आयत 20x10;

त्रिकोण 15x10;

वृत्त R=3 सेमी.

हम प्रत्येक साधारण आकृति के क्षेत्रफल और उसके गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के निर्देशांक की गणना करते हैं। गणना परिणाम तालिका में दर्ज किए गए हैं

चित्र संख्या	आकृति A का क्षेत्रफल,	गुरुत्व केंद्र निर्देशांक

उत्तर: सी(14.5; 4.5)

उदाहरण 2 . एक शीट और रोल्ड अनुभागों से युक्त समग्र अनुभाग के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के निर्देशांक निर्धारित करें।

समाधान।

हम निर्देशांक अक्षों का चयन करते हैं जैसा कि चित्र में दिखाया गया है।

आइए आंकड़ों को संख्याओं द्वारा निर्दिष्ट करें और तालिका से आवश्यक डेटा लिखें:

चित्र संख्या	आकृति A का क्षेत्रफल,	गुरुत्व केंद्र निर्देशांक

हम सूत्रों का उपयोग करके आकृति के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के निर्देशांक की गणना करते हैं:

उत्तर: सी(0; 10)

प्रयोगशाला कार्य संख्या 1 "समग्र सपाट आकृतियों के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र का निर्धारण"

लक्ष्य: प्रयोगात्मक और विश्लेषणात्मक तरीकों का उपयोग करके किसी दी गई सपाट जटिल आकृति के गुरुत्वाकर्षण का केंद्र निर्धारित करें और उनके परिणामों की तुलना करें।

कार्य - आदेश

अपनी नोटबुक में निर्देशांक अक्षों को दर्शाते हुए आकार में अपनी सपाट आकृति बनाएं।

विश्लेषणात्मक रूप से गुरुत्वाकर्षण का केंद्र निर्धारित करें।

1. आकृति को न्यूनतम संख्या में आकृतियों में विभाजित करें जिनके गुरुत्वाकर्षण के केंद्र हम जानते हैं कि कैसे निर्धारित किया जाए।

   प्रत्येक आकृति के गुरुत्वाकर्षण केंद्र की क्षेत्रफल संख्या और निर्देशांक इंगित करें।

   प्रत्येक आकृति के गुरुत्व केंद्र के निर्देशांक की गणना करें।

   प्रत्येक आकृति के क्षेत्रफल की गणना करें।

   सूत्रों का उपयोग करके संपूर्ण आकृति के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के निर्देशांक की गणना करें (गुरुत्वाकर्षण के केंद्र की स्थिति आकृति के चित्र पर अंकित है):

हैंगिंग विधि का उपयोग करके गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के निर्देशांक को प्रयोगात्मक रूप से निर्धारित करने के लिए इंस्टॉलेशन में एक ऊर्ध्वाधर स्टैंड होता है 1 (चित्र देखें) जिससे सुई जुड़ी हुई है 2 . सपाट आकृति 3 कार्डबोर्ड से बना है, जिसमें छेद करना आसान है। छेद ए और में बेतरतीब ढंग से स्थित बिंदुओं पर छेद किया गया (अधिमानतः एक दूसरे से सबसे दूर की दूरी पर)। एक सपाट आकृति को पहले एक बिंदु पर सुई पर लटकाया जाता है ए , और फिर बिंदु पर में . साहुल रेखा का उपयोग करना 4 , उसी सुई से जुड़ा हुआ, प्लंब लाइन के धागे के अनुरूप एक पेंसिल के साथ आकृति पर एक ऊर्ध्वाधर रेखा खींचें। ग्रैविटी केंद्र साथ आकृति को बिंदुओं पर लटकाते समय खींची गई ऊर्ध्वाधर रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु पर आकृति स्थित होगी ए और में .

भौतिकी पाठ नोट्स, ग्रेड 7

विषय: गुरुत्वाकर्षण के केंद्र का निर्धारण

भौतिकी शिक्षक, अर्गायश माध्यमिक विद्यालय क्रमांक 2

खिदियातुलिना जेड.ए.

प्रयोगशाला कार्य:

"एक सपाट प्लेट के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र का निर्धारण"

लक्ष्य : एक सपाट प्लेट का गुरुत्वाकर्षण केंद्र ज्ञात करना।

सैद्धांतिक भाग:

सभी पिंडों का एक गुरुत्वाकर्षण केंद्र होता है। किसी पिंड का गुरुत्वाकर्षण केंद्र वह बिंदु है जिसके सापेक्ष पिंड पर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण का कुल क्षण शून्य होता है। उदाहरण के लिए, यदि आप किसी वस्तु को उसके गुरुत्वाकर्षण के केंद्र से लटकाते हैं, तो वह स्थिर अवस्था में रहेगी। यानी अंतरिक्ष में इसकी स्थिति नहीं बदलेगी (यह उल्टा या अपनी तरफ नहीं मुड़ेगा)। कुछ शव क्यों झुक जाते हैं जबकि अन्य नहीं? यदि आप शरीर के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र से फर्श पर लंबवत एक रेखा खींचते हैं, तो यदि रेखा शरीर के समर्थन की सीमाओं से परे जाती है, तो शरीर गिर जाएगा। समर्थन का क्षेत्र जितना बड़ा होगा, शरीर का गुरुत्वाकर्षण का केंद्र समर्थन क्षेत्र के केंद्रीय बिंदु और गुरुत्वाकर्षण के केंद्र की केंद्र रेखा के जितना करीब होगा, शरीर की स्थिति उतनी ही अधिक स्थिर होगी . उदाहरण के लिए, पीसा की प्रसिद्ध झुकी मीनार का गुरुत्वाकर्षण केंद्र इसके समर्थन के मध्य से केवल दो मीटर की दूरी पर स्थित है। और गिरावट तभी होगी जब यह विचलन लगभग 14 मीटर होगा। मानव शरीर का गुरुत्वाकर्षण केंद्र नाभि से लगभग 20.23 सेंटीमीटर नीचे होता है। गुरुत्वाकर्षण के केंद्र से लंबवत खींची गई एक काल्पनिक रेखा पैरों के ठीक बीच से गुजरती है। टम्बलर डॉल का रहस्य भी शरीर के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र में छिपा है। इसकी स्थिरता को इस तथ्य से समझाया गया है कि गिलास का गुरुत्वाकर्षण केंद्र सबसे नीचे है; यह वास्तव में उस पर खड़ा है; किसी पिंड के संतुलन को बनाए रखने की शर्त शरीर के समर्थन क्षेत्र के भीतर उसके गुरुत्वाकर्षण के सामान्य केंद्र के ऊर्ध्वाधर अक्ष का गुजरना है। यदि शरीर के गुरुत्वाकर्षण का ऊर्ध्वाधर केंद्र समर्थन क्षेत्र छोड़ देता है, तो शरीर संतुलन खो देता है और गिर जाता है। इसलिए, समर्थन का क्षेत्र जितना बड़ा होगा, शरीर के गुरुत्वाकर्षण का केंद्र समर्थन क्षेत्र के केंद्रीय बिंदु और गुरुत्वाकर्षण के केंद्र की केंद्रीय रेखा के जितना करीब होगा, स्थिति उतनी ही अधिक स्थिर होगी शरीर होगा. जब कोई व्यक्ति ऊर्ध्वाधर स्थिति में होता है तो समर्थन का क्षेत्र तलवों के नीचे और पैरों के बीच की जगह तक सीमित होता है। पैर पर गुरुत्वाकर्षण के केंद्र की ऊर्ध्वाधर रेखा का केंद्र बिंदु एड़ी ट्यूबरकल के सामने 5 सेमी है। समर्थन क्षेत्र का धनु आकार हमेशा ललाट पर प्रबल होता है, इसलिए गुरुत्वाकर्षण के केंद्र की ऊर्ध्वाधर रेखा का विस्थापन पीछे की तुलना में दाएं और बाएं अधिक आसानी से होता है, और आगे की ओर विशेष रूप से कठिन होता है। इस संबंध में, तेजी से दौड़ने के दौरान घुमावों के दौरान स्थिरता धनु दिशा (आगे या पीछे) की तुलना में काफी कम होती है। जूतों में एक पैर, विशेष रूप से चौड़ी एड़ी और सख्त तलवे के साथ, बिना जूतों की तुलना में अधिक स्थिर होता है, क्योंकि यह समर्थन का एक बड़ा क्षेत्र प्राप्त करता है।

व्यावहारिक भाग:

कार्य का उद्देश्य: प्रस्तावित उपकरण का उपयोग करके प्रयोगात्मक रूप से कार्डबोर्ड और एक त्रिकोण से बनी दो आकृतियों के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र की स्थिति का पता लगाएं।

उपकरण:तिपाई, मोटा कार्डबोर्ड, स्कूल किट से त्रिकोण, रूलर, टेप, धागा, पेंसिल...

कार्य 1: मनमाने आकार की एक सपाट आकृति के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र की स्थिति निर्धारित करें

कैंची का उपयोग करके, कार्डबोर्ड से एक यादृच्छिक आकार काट लें। बिंदु A पर धागे को टेप से जोड़ दें और चित्र को धागे से तिपाई के पैर पर लटका दें। रूलर और पेंसिल का प्रयोग करके कार्डबोर्ड पर ऊर्ध्वाधर रेखा AB अंकित करें।

थ्रेड अटैचमेंट पॉइंट को स्थिति सी पर ले जाएं। उपरोक्त चरणों को दोहराएं।

रेखाओं AB और के प्रतिच्छेदन का बिंदु Oसीडीआकृति के गुरुत्व केंद्र की वांछित स्थिति देता है।

कार्य 2: केवल एक रूलर और पेंसिल का उपयोग करके, एक सपाट आकृति के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र की स्थिति ज्ञात करें

एक पेंसिल और रूलर का उपयोग करके आकृति को दो आयतों में विभाजित करें। निर्माण के अनुसार, उनके गुरुत्वाकर्षण केंद्रों की स्थिति O1 और O2 ज्ञात करें। यह स्पष्ट है कि संपूर्ण आकृति का गुरुत्वाकर्षण केंद्र O1O2 रेखा पर है

आकृति को दूसरे तरीके से दो आयतों में विभाजित करें। निर्माण के अनुसार, उनमें से प्रत्येक के गुरुत्वाकर्षण केंद्र O3 और O4 की स्थिति ज्ञात कीजिए। बिंदु O3 और O4 को एक रेखा से जोड़ें। रेखाओं O1O2 और O3O4 का प्रतिच्छेदन बिंदु आकृति के गुरुत्वाकर्षण केंद्र की स्थिति निर्धारित करता है

कार्य 2: त्रिभुज के गुरुत्वाकर्षण केंद्र की स्थिति निर्धारित करें

टेप का उपयोग करके, धागे के एक छोर को त्रिकोण के शीर्ष पर सुरक्षित करें और इसे तिपाई पैर से लटका दें। एक रूलर का उपयोग करके, गुरुत्वाकर्षण रेखा की दिशा AB को चिह्नित करें (त्रिभुज के विपरीत दिशा पर एक निशान बनाएं)

त्रिभुज को शीर्ष C से लटकाते हुए भी यही प्रक्रिया दोहराएँ। त्रिभुज के विपरीत शीर्ष C की ओर एक निशान बनाएँडी.

टेप का उपयोग करके, धागे AB और के टुकड़े संलग्न करेंसीडी. उनके प्रतिच्छेदन का बिंदु O त्रिभुज के गुरुत्वाकर्षण केंद्र की स्थिति निर्धारित करता है। इस मामले में, आकृति का गुरुत्वाकर्षण केंद्र शरीर के बाहर ही है।

तृतीय . गुणवत्ता संबंधी समस्याओं का समाधान

1.सर्कस कलाकार रस्सी पर चलते समय किस उद्देश्य से अपने हाथों में भारी डंडे पकड़ते हैं?

2. पीठ पर भारी बोझ उठाने वाला व्यक्ति आगे की ओर क्यों झुकता है?

3. जब तक आप अपने शरीर को आगे की ओर नहीं झुकाते, आप कुर्सी से क्यों नहीं उठ सकते?

4.क्रेन उठाए जा रहे भार की ओर क्यों नहीं झुकती? भार के बिना क्रेन काउंटरवेट की ओर क्यों नहीं झुकती?

5. कार और साइकिल आदि क्यों करते हैं? क्या आगे के पहियों की बजाय पिछले पहियों पर ब्रेक लगाना बेहतर है?

6. घास से लदा ट्रक बर्फ से लदे ट्रक की तुलना में अधिक आसानी से क्यों पलट जाता है?