யூலர் வட்டங்கள்: நூறு முறை கேட்பதை விட ஒரு முறை பார்ப்பது ஏன் சிறந்தது. வென் வரைபடங்கள் ஒரு செயல்பாட்டிற்காக ஒரு யூலர் வென் வரைபடத்தை வரையவும்

தொகுப்பு கோட்பாட்டின் கூறுகள்.

"கீழே நிறையநமது உள்ளுணர்வு அல்லது நமது சிந்தனையின் சில குறிப்பிட்ட, முற்றிலும் வேறுபடுத்திக் காட்டக்கூடிய பொருள்களின் ஒருங்கிணைப்பை நாங்கள் புரிந்துகொள்கிறோம்.

கேண்டரின் செட் கோட்பாட்டின் அடிப்படை வளாகங்கள் பின்வருவனவற்றைக் குறைக்கின்றன:

1°ஒரு தொகுப்பு எந்த வேறுபடுத்தக்கூடிய பொருட்களையும் கொண்டிருக்கும்.

2°ஒரு தொகுப்பு அதன் அங்கப் பொருள்களின் தொகுப்பால் தனித்துவமாக வரையறுக்கப்படுகிறது.

3°எந்தவொரு சொத்தும் இந்த சொத்தை கொண்டிருக்கும் பொருட்களின் தொகுப்பை வரையறுக்கிறது.

x என்பது ஒரு பொருளாக இருந்தால், P என்பது ஒரு பண்பு, P(x) என்பது x க்கு P பண்பு உள்ளது என்பதன் பெயர், பின்னர் (x|P(x)) என்பது P பண்பு கொண்ட பொருள்களின் முழு வகுப்பையும் குறிக்கிறது. a ஐ உருவாக்கும் பொருள்கள் வகுப்பு அல்லது தொகுப்பு என்று அழைக்கப்படுகின்றன உறுப்புகள்வகுப்பு அல்லது தொகுப்பு.

கால " ஒரு கொத்து"சில கூறுகளின் தொகுப்பு, தொகுப்பு, சேகரிப்பு போன்ற கருத்துகளுக்கு ஒத்த பொருளாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது. எனவே, நாம் இதைப் பற்றி பேசலாம்:

அ) கூட்டில் பல தேனீக்கள்,

b) ஒரு பிரிவில் உள்ள புள்ளிகளின் தொகுப்பு,

c) ஒரு சதுரத்தின் செங்குத்துகளின் தொகுப்பு அல்லது அதன் பக்கங்கள் மற்றும் மூலைவிட்டங்களின் தொகுப்பு,

ஈ) பார்வையாளர்களில் பல மாணவர்கள், முதலியன

மேலே உள்ள எடுத்துக்காட்டுகளில், a), c)-d), தொடர்புடைய தொகுப்புகள் குறிப்பிட்ட வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான பொருட்களைக் கொண்டிருக்கும், அத்தகைய தொகுப்புகள் அழைக்கப்படுகின்றன. இறுதி. ஒரு பிரிவில் உள்ள புள்ளிகளின் தொகுப்பு (எடுத்துக்காட்டு b)) கணக்கிட முடியாது, எனவே அத்தகைய தொகுப்புகள் அழைக்கப்படுகின்றன முடிவில்லாத. ஒரு தனிமம் இல்லாத ஒரு தொகுப்பு அழைக்கப்படுகிறது காலியாகநிறைய.

ஒரு தொகுப்பைக் குறிப்பிடுவதற்கான எளிய வடிவம் அதன் உறுப்புகளை பட்டியலிடுவதாகும், எடுத்துக்காட்டாக A = (4, 7, 13) (தொகுப்பு A மூன்று கூறுகளைக் கொண்டுள்ளது - முழு எண்கள் 4, 7, 13). மற்றொரு அடிக்கடி பயன்படுத்தப்படும் ஒதுக்கீட்டு வடிவம் தொகுப்பின் உறுப்புகளின் பண்புகளைக் குறிக்கிறது, எடுத்துக்காட்டாக A = (x| x 2 ≤ 4) - குறிப்பிட்ட நிபந்தனையை பூர்த்தி செய்யும் எண்களின் தொகுப்பு x.

தொகுப்புகள் பொதுவாக A, B, C,... மற்றும் அவற்றின் உறுப்புகள் சிறிய எழுத்துக்களால் குறிக்கப்படுகின்றன: a, b, c,... குறியீடு a ∈ A (படிக்க: a என்பது A க்கு சொந்தமானது) அல்லது A ∋ a (படிக்க: A கொண்டுள்ளது a) என்பது , a என்பது A தொகுப்பின் ஒரு உறுப்பு. வெற்றுத் தொகுப்பு Ø குறியீட்டால் குறிக்கப்படுகிறது.

B தொகுப்பின் ஒவ்வொரு உறுப்பும் A தொகுப்பின் உறுப்பு என்றால், B தொகுப்பு அழைக்கப்படுகிறது துணைக்குழுஅமை A (பதவி - B ⊆ A அல்லது A ⊇ B).

ஒவ்வொரு தொகுப்பும் அதன் சொந்த துணைக்குழு ஆகும் (இது தொகுப்பின் "அகலமான" துணைக்குழு). வெற்றுத் தொகுப்பு என்பது எந்தவொரு தொகுப்பின் துணைக்குழுவாகும் (இது "குறுகிய" துணைக்குழு ஆகும்). A தொகுப்பின் வேறு எந்த துணைக்குழுவானது A தொகுப்பின் ஒரு தனிமத்தையாவது கொண்டுள்ளது, ஆனால் அதன் அனைத்து கூறுகளும் இல்லை. இத்தகைய துணைக்குழுக்கள் உண்மை அல்லது சரியான துணைக்குழுக்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. A தொகுப்பின் உண்மையான துணைக்குழுக்களுக்கு, B ⊂ A அல்லது A ⊃ B என்ற குறியீடு பயன்படுத்தப்படுகிறது, அதே நேரத்தில் B ⊆ A மற்றும் A ⊆ B, அதாவது B தொகுப்பின் ஒவ்வொரு உறுப்பும் A க்கு சொந்தமானது, மேலும் அதே நேரத்தில் நேரம், A இன் ஒவ்வொரு உறுப்பும் B க்கு சொந்தமானது, பின்னர் A மற்றும் B , வெளிப்படையாக, அதே கூறுகளைக் கொண்டிருக்கும், எனவே, ஒத்துப்போகின்றன. இந்த வழக்கில், செட் சமம் குறி பயன்படுத்தப்படுகிறது: A = B. (சின்னங்கள் ∈, ∋, ⊂, ⊃, ⊆, ⊇ ஆகியவை அடங்கும் குறியீடுகள் எனப்படும்).

வடிவியல் ரீதியாக, செட் பொதுவாக ஒரு விமானத்தில் சில புள்ளிகளின் தொகுப்புகளாக சித்தரிக்கப்படுகிறது. படங்களே அழைக்கப்படுகின்றன ஆய்லர்-வென் வரைபடங்கள் (யூலேரியன் வட்டங்கள்). அதாவது, யூலர்-வென் வரைபடங்கள் என்பது செட்களின் வடிவியல் பிரதிநிதித்துவங்கள் அல்லது கடந்த நூற்றாண்டின் இறுதியில் ஆங்கில தர்க்கவாதி ஜான் வென் (1834 - 1923) முன்மொழியப்பட்ட, வெட்டும் வரையறைகள் (வட்டங்கள் அல்லது நீள்வட்டங்கள்) மூலம் கருத்துகளின் தொகுதிகளுக்கு இடையிலான உறவுகளின் வடிவியல் பிரதிநிதித்துவங்கள் ஆகும். . தர்க்கரீதியான உருவங்களின் காட்சி வரைகலை பிரதிநிதித்துவம் குறித்த அவரது படைப்புகளில், யூலர் (1707 - 1783), ஐ. லாம்பர்ட் (1728 - 1777), கெர்கோன் (1771 -1859), பி. போல்சானோ (1781 -) ஆகியோரால் முன்மொழியப்பட்ட பல வரைகலை அமைப்புகளை அவர் நம்பியிருந்தார். 1848)

இங்கே சில வரைபடங்கள் உள்ளன. வரைபடத்தின் கட்டுமானம் உலகளாவிய தொகுப்பைக் குறிக்கும் ஒரு பெரிய செவ்வகத்தை வரைவதைக் கொண்டுள்ளது யு, மற்றும் அதன் உள்ளே - வட்டங்கள் (அல்லது வேறு சில மூடிய புள்ளிவிவரங்கள்) தொகுப்புகளைக் குறிக்கும். வடிவங்கள் சிக்கலுக்குத் தேவைப்படும் பொதுவான வழியில் குறுக்கிட வேண்டும் மற்றும் அதற்கேற்ப லேபிளிடப்பட வேண்டும். வரைபடத்தின் வெவ்வேறு பகுதிகளுக்குள் இருக்கும் புள்ளிகளை தொடர்புடைய தொகுப்புகளின் கூறுகளாகக் கருதலாம். கட்டமைக்கப்பட்ட வரைபடத்துடன், புதிதாக உருவாக்கப்பட்ட செட்களைக் குறிக்க சில பகுதிகளை நீங்கள் நிழலிடலாம்.

ஏற்கனவே உள்ளவற்றிலிருந்து புதிய செட்களைப் பெறுவதற்கு செட் செயல்பாடுகள் கருதப்படுகின்றன.

வரையறை. சங்கம்செட் A மற்றும் B என்பது A, B (படம் 1):

வரையறை. கடப்பதன் மூலம்செட் A மற்றும் B என்பது செட் A மற்றும் செட் B (படம் 2) இரண்டிற்கும் ஒரே நேரத்தில் சொந்தமான அனைத்து கூறுகளையும் கொண்ட ஒரு தொகுப்பாகும்.

வரையறை. வித்தியாசத்தால் A மற்றும் B என்பது B இல் இல்லாத A இன் அனைத்து கூறுகளின் தொகுப்பாகும் (படம் 3):

வரையறை. சமச்சீர் வேறுபாடுசெட் A மற்றும் B என்பது இந்த தொகுப்புகளின் தனிமங்களின் தொகுப்பாகும், அவை A அமைப்பிற்கு மட்டுமே அல்லது B அமைப்பிற்கு மட்டுமே (படம் 4):

சமச்சீர் வேறுபாட்டிற்கான மற்றொரு பொதுவான பெயர்: ஏ ∆ பி,அதற்கு பதிலாக ஏ + பி.

வரையறை. ஒரு முழுமையான நிரப்புசெட் A என்பது செட் A (படம் 5):

பின்வரும் சமத்துவங்கள் செல்லுபடியாகும்: (AUB)= A∩B; (A∩B)= AUB.

முடிவில், மூன்று தொகுப்புகளின் ஒன்றியத்தில் உள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கையைக் கணக்கிடுவதற்கான மற்றொரு சூத்திரத்தை நாங்கள் முன்வைக்கிறோம் (படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ள அவற்றின் ஒப்பீட்டு ஏற்பாட்டின் பொதுவான வழக்குக்கு):

m(AUBUC)=m(A)+m(B)+m(C)-m(A∩B)-m(B∩C)-m(A∩C)+m(A∩B∩C)

எடுத்துக்காட்டு 1. எண் 15 இன் அனைத்து இயற்கை வகுப்பாளர்களின் தொகுப்பையும் அதன் உறுப்புகளின் எண்ணிக்கையையும் எழுதுங்கள்.

எடுத்துக்காட்டு 2. கொடுக்கப்பட்ட தொகுப்புகள் A=(2,3,5,8,13,15), B=(1,3,4,8,16), C=(12,13,15,16), D= (0,1 ,20).

AUB, CUD, B∩C, A∩D, A\C, C\A, B\D, AUBUC, A∩B∩C, BUD∩C, A∩C\D ஆகியவற்றைக் கண்டறியவும்.

AUB= (1,2,3,4,5,8,13,15,16)

CUD= (0,1,12,13,15,16,20)

AUBUC= (1,2,3,4,5,8,12,13,15,16)

BU(D∩C)= (1,3,4,8,16)

(A∩C)\D= (13.15)

எடுத்துக்காட்டு 3. இப்பள்ளியில் 1400 மாணவர்கள் படிக்கின்றனர். இவர்களில் 1,250 பேர் பனிச்சறுக்கு மற்றும் 952 பேர் சறுக்க முடியும். 60 மாணவர்களுக்கு பனிச்சறுக்கு அல்லது ஸ்கேட் செய்யத் தெரியாது. எத்தனை மாணவர்கள் ஸ்கேட் மற்றும் ஸ்கை செய்யலாம்?

A∩B என்பது ஸ்கை அல்லது ஸ்கேட் செய்ய முடியாத மாணவர்களின் தொகுப்பாகும்.

நிபந்தனையின்படி m(A∩B)=60, சமத்துவத்தையும் (AUB)= A∩B, பிறகு m((AUB))=60 ஐப் பயன்படுத்துகிறோம்.

எனவே m(AUB)=m( யு)-m((AUB))=1400-60=1340.

நிபந்தனையின்படி m(A)=1250, m(B)=952, m(A∩B)=m(A)+m(B)-m(AUB)=1250+952-1340=862 ஐப் பெறுகிறோம்

எடுத்துக்காட்டு 4. 25 மாணவர்களைக் கொண்ட குழு பின்வரும் முடிவுகளுடன் தேர்வு அமர்வில் தேர்ச்சி பெற்றது: 2 பேர் "சிறந்தவர்கள்" மட்டுமே பெற்றனர்; 3 பேர் சிறந்த, நல்ல மற்றும் திருப்திகரமான தரங்களைப் பெற்றனர்; 4 பேர் மட்டுமே "நல்லவர்கள்"; 3 பேர் நல்ல மற்றும் திருப்திகரமான தரங்களைப் பெற்றுள்ளனர். அமர்வில் "சிறந்த", "நல்ல" என்று மட்டுமே தேர்ச்சி பெற்ற மாணவர்களின் எண்ணிக்கை, "திருப்திகரமான" அமர்வில் தேர்ச்சி பெற்ற மாணவர்களின் எண்ணிக்கைக்கு சமம். சிறந்த மற்றும் திருப்திகரமான மதிப்பெண்களை மட்டுமே பெற்ற மாணவர்கள் இல்லை. 22 மாணவர்கள் திருப்திகரமான அல்லது நல்ல தரங்களைப் பெற்றுள்ளனர். எத்தனை மாணவர்கள் தேர்வுக்கு வரவில்லை? எத்தனை மாணவர்கள் அமர்வில் "திருப்திகரமாக" தேர்ச்சி பெற்றனர்?x. பின்னர் நிலையில் இருந்து, நாம் பெறுகிறோம்

பரீட்சைக்குத் தோற்றாத மாணவர்களின் எண்ணிக்கை பின்வருமாறு:

பதில்: 6 மாணவர்கள் "திருப்திகரமான" மதிப்பெண்களை மட்டுமே பெற்றனர், ஒரு மாணவர் தேர்வுக்கு வரவில்லை.

எடுத்துக்காட்டு 5.

தொகுப்புகளின் சமத்துவம்.

அமைக்கிறது ஏமற்றும் INஅவை இருந்தால் சமமாகக் கருதப்படுகின்றன அதே இருந்துஉறுப்புகள்.

தொகுப்புகளின் சமத்துவம் பின்வருமாறு குறிக்கப்படுகிறது: ஏ = பி.

தொகுப்புகள் சமமாக இல்லாவிட்டால், எழுதுங்கள் ஏ ¹ பி.

இரண்டு தொகுப்புகளின் சமத்துவத்தை எழுதுதல் ஏ = பிஎழுதுவதற்கு சமமானது ஏÌ IN, அல்லது INÌ ஏ.

எடுத்துக்காட்டாக, சமன்பாட்டிற்கான தீர்வுகளின் தொகுப்பு எக்ஸ் 2 - 5எக்ஸ்+ 6 = 0 ஆனது ஐந்துக்கும் குறைவான பகா எண்களின் தொகுப்பின் அதே கூறுகளை (எண்கள் 2 மற்றும் 3) கொண்டுள்ளது. இந்த இரண்டு தொகுப்புகளும் சமம். (ஒரு பகா எண் என்பது ஒரு இயற்கை எண்ணாகும், இது மீதம் இல்லாமல் 1 மற்றும் அதனாலேயே வகுபடும்; 1 என்பது பகா எண் அல்ல.)

தொகுப்புகளின் குறுக்குவெட்டு (பெருக்கல்).

ஒரு கொத்து டி, சேர்ந்த அனைத்து கூறுகளையும் கொண்டது மற்றும் ஏ மற்றும் செட் பி, தொகுப்புகளின் குறுக்குவெட்டு என்று அழைக்கப்படுகிறது ஏமற்றும் INமற்றும் நியமிக்கப்பட்டுள்ளது டி = ஏ IN

இரண்டு தொகுப்புகளைக் கருத்தில் கொள்வோம்: எக்ஸ்= (0, 1, 3, 5) மற்றும் ஒய்= (1, 2, 3, 4). எண்கள் 1 மற்றும் 3 மற்றும் அவை மட்டுமே ஒரே நேரத்தில் இரண்டு தொகுப்புகளுக்கும் சொந்தமானது எக்ஸ்மற்றும் ஒய்.அவற்றால் உருவாக்கப்பட்ட தொகுப்பு (1, 3) அனைத்து பொதுவான தொகுப்புகளையும் கொண்டுள்ளது எக்ஸ்மற்றும் ஒய்உறுப்புகள். எனவே, தொகுப்பு (1, 3) என்பது கருதப்படும் தொகுப்புகளின் குறுக்குவெட்டு ஆகும் எக்ஸ்மற்றும் ஒய்:

{1, 3} = {0, 1, 3, 5} {1, 2, 3, 4}.

பிரிவுக்கு [-1; 1] மற்றும் இடைவெளி ]0; 3[ குறுக்குவெட்டு, அதாவது, பொதுவான கூறுகளைக் கொண்ட ஒரு தொகுப்பு, இடைவெளி ]0; 1] (படம் 1).

அரிசி. 1. பிரிவை வெட்டுதல் [-1; 1] மற்றும் இடைவெளி ]0; 3[ என்பது இடைவெளி ]0; 1]

செவ்வகங்களின் தொகுப்பு மற்றும் ரோம்பஸ்களின் தொகுப்பு ஆகியவை சதுரங்களின் தொகுப்பாகும்.

கொடுக்கப்பட்ட பள்ளியின் எட்டாம் வகுப்பு மாணவர்களின் தொகுப்பு மற்றும் அதே பள்ளியின் வேதியியல் கிளப்பின் உறுப்பினர்களின் தொகுப்பு என்பது வேதியியல் கிளப்பில் உறுப்பினர்களாக இருக்கும் எட்டாம் வகுப்பு மாணவர்களின் தொகுப்பாகும்.

செட்களின் குறுக்குவெட்டு (மற்றும் பிற செயல்பாடுகள் - கீழே காண்க) ஒரு விமானத்தில் செட்களை பார்வைக்கு சித்தரிப்பதன் மூலம் நன்கு விளக்கப்பட்டுள்ளது. இதற்காக வட்டங்களைப் பயன்படுத்த யூலர் பரிந்துரைத்தார். செட்களின் குறுக்குவெட்டின் படம் (சாம்பல் நிறத்தில்). ஏமற்றும் INயூலர் வட்டங்களைப் பயன்படுத்துவது படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது. 2.

அரிசி. 3. குறுக்குவெட்டின் ஆய்லர்-வென் வரைபடம் (சாம்பல் நிறத்தில் சிறப்பிக்கப்பட்டுள்ளது) தொகுப்புகள் ஏமற்றும் IN, ஒரு குறிப்பிட்ட பிரபஞ்சத்தின் துணைக்குழுக்கள், செவ்வகமாக சித்தரிக்கப்படுகின்றன

செட் என்றால் ஏமற்றும் INபொதுவான கூறுகள் இல்லை, பின்னர் அவர்கள் இந்த தொகுப்புகளை வெட்டுவதில்லை அல்லது அவற்றின் வெட்டும் வெற்று தொகுப்பு என்று எழுதுகிறார்கள். ஏ IN = Æ.

எடுத்துக்காட்டாக, இரட்டைப்படை எண்களின் தொகுப்பு மற்றும் ஒற்றைப்படை எண்களின் வெட்டும் காலியாக உள்ளது.

எண் இடைவெளிகளின் குறுக்குவெட்டு ]-1 காலியாக உள்ளது; 0] மற்றும் -1; 0] மற்றும்)