Ako zostrojiť inerciálny Nyquistov hodograf. Amplitúdová charakteristika (Nyquist hodograf). Použitie l.a.ch.h. a fázové frekvenčné charakteristiky na analýzu stability systému

Toto je miesto bodov, ktoré koniec vektora funkcie prenosu frekvencie opisuje, keď sa frekvencia mení z -∞ na +∞. Veľkosť segmentu od začiatku ku každému bodu hodografu ukazuje, koľkokrát je pri danej frekvencii výstupný signál väčší ako vstupný a fázový posun medzi signálmi je určený uhlom k spomínanému segmentu.

Všetky ostatné frekvenčné závislosti sú generované z AFC:

• U(w) - párne (pre uzavreté automatické riadiace systémy P(w));
• V(w) - nepárne;
• A(w) - párne (frekvenčná odozva);
• j(w) - nepárne (fázová odozva);
• LACHH & LFCH - používané najčastejšie.

Logaritmické frekvenčné charakteristiky.

Logaritmické frekvenčné charakteristiky (LFC) zahŕňajú logaritmickú amplitúdovú charakteristiku (LAFC) a logaritmickú fázovú charakteristiku (LPFC) konštruované oddelene v jednej rovine. Konštrukcia LFC a LFCH sa vykonáva pomocou nasledujúcich výrazov:

L(w) = 20 lg | W(j w)| = 20 lg A(w), [dB];

j(w) = arg( W(j w)), [rad].

Rozsah L(w) je vyjadrené v decibelov . Bel je logaritmická jednotka zodpovedajúca desaťnásobnému zvýšeniu výkonu. Jeden Bel zodpovedá 10-násobnému zvýšeniu výkonu, 2 Belom - 100-krát, 3 Belom - 1000-krát atď. Decibel sa rovná jednej desatine Belu.

Príklady AFC, AFC, PFC, LFC a LPFC pre typické dynamické prepojenia sú uvedené v tabuľke 2.

Tabuľka 2 Frekvenčné charakteristiky typických dynamických spojení.

Princípy automatickej regulácie

Na základe princípu riadenia možno samohybné zbrane rozdeliť do troch skupín:

1. S reguláciou na základe vonkajších vplyvov - princíp Poncelet (používaný v samohybných zbraniach s otvorenou slučkou).
2. S reguláciou odchýlkou ​​- princíp Polzunov-Watt (používaný v uzavretých samohybných zbraniach).
3. S kombinovanou reguláciou. V tomto prípade ACS obsahuje uzavreté a otvorené regulačné slučky.

Princíp riadenia založený na vonkajšom rušení

Konštrukcia vyžaduje snímače rušenia. Systém je opísaný pomocou funkcie prenosu s otvorenou slučkou: X(t) = g(t) - f(t).

Výhody:

• Je možné dosiahnuť úplnú invarianciu voči určitým poruchám.
• Problém stability systému nevzniká, pretože žiadny OS.

nedostatky:

• Veľký počet porúch vyžaduje zodpovedajúci počet kompenzačných kanálov.
• Zmeny parametrov riadeného objektu vedú k chybám v riadení.
• Dá sa použiť len na predmety, ktorých vlastnosti sú jasne známe.

Princíp kontroly odchýlky

Systém je opísaný prenosovou funkciou s otvorenou slučkou a rovnicou uzavretia: X(t) = g(t) - r(t) W oc( t). Algoritmus systému je založený na snahe znížiť chybu X(t) na nulu.

Výhody:

• OOS vedie k zníženiu chybovosti bez ohľadu na faktory, ktoré ju spôsobili (zmeny parametrov riadeného objektu alebo vonkajších podmienok).

nedostatky:

• V systémoch OS je problém stability.
• Je zásadne nemožné dosiahnuť absolútnu nemennosť voči poruchám v systémoch. Túžba dosiahnuť čiastočnú invarianciu (nie s prvým OS) vedie ku komplikácii systému a zhoršeniu stability.

Kombinované ovládanie

Kombinovaná regulácia pozostáva z kombinácie dvoch princípov regulácie na základe odchýlky a vonkajšej poruchy. Tie. Riadiaci signál k objektu je generovaný dvoma kanálmi. Prvý kanál je citlivý na odchýlku regulovanej veličiny od cieľa. Druhý generuje riadiacu akciu priamo z hlavného alebo rušivého signálu.

X(t) = g(t) - f(t) - r(t)Woc(t)

Výhody:

• Prítomnosť OOS robí systém menej citlivým na zmeny parametrov kontrolovaného objektu.
• Pridanie kanála (kanálov) citlivého na referenciu alebo rušenia neovplyvní stabilitu spätnoväzbovej slučky.

nedostatky:

• Kanály, ktoré sú citlivé na úlohu alebo na rušenie, zvyčajne obsahujú rozlišovacie prepojenia. Ich praktická realizácia je náročná.
• Nie všetky objekty umožňujú vynútenie.

Analýza stability ATS

Pojem stability regulačného systému je spojený s jeho schopnosťou vrátiť sa do rovnovážneho stavu po zániku vonkajších síl, ktoré ho z tohto stavu vyviedli. Stabilita je jednou z hlavných požiadaviek na automatické systémy.

Koncept stability možno rozšíriť na prípad pohybu ATS:

• nerušený pohyb
• rozhorčený pohyb.

Pohyb akéhokoľvek riadiaceho systému je opísaný pomocou diferenciálnej rovnice, ktorá vo všeobecnosti popisuje 2 prevádzkové režimy systému:

Režim ustáleného stavu

Režim jazdy

V tomto prípade môže byť všeobecné riešenie v akomkoľvek systéme napísané ako:

Nútené komponent je určený vstupným vplyvom na vstup riadiaceho systému. Systém dosiahne tento stav na konci prechodných procesov.

Prechodný komponent sa určí riešením homogénnej diferenciálnej rovnice v tvare:

Koeficienty a 0 ,a 1 ,…a n zahŕňajú systémové parametre => zmena ktoréhokoľvek koeficientu diferenciálnej rovnice vedie k zmene množstva parametrov systému.

Riešenie homogénnej diferenciálnej rovnice

kde sú integračné konštanty a sú korene charakteristickej rovnice nasledujúceho tvaru:

Charakteristická rovnica predstavuje menovateľa prenosovej funkcie rovnú nule.

Korene charakteristickej rovnice môžu byť skutočné, komplexne konjugované a komplexné, čo je určené parametrami systému.

Na posúdenie stability systémov sa používa množstvo kritériá udržateľnosti

Všetky kritériá udržateľnosti sú rozdelené do 3 skupín:

Root

- algebraické

Dôležitá veta z teórie funkcií komplexnej premennej stavy: nech je funkcia jedinečná vo vnútri jednoducho spojeného obrysu C a navyše je na tomto obryse jedinečná a analytická. Ak sa na C nerovná nule a ak vnútri obrysu C môže byť len konečný počet singulárnych bodov (pólov), potom

kde je počet núl a počet pólov vo vnútri C, z ktorých každý sa berie do úvahy podľa svojej násobnosti.

Táto veta vyplýva priamo z Cauchyho vety o zvyšku, ktorá hovorí, že

Nahradíme a všimnime si, že singularity sú zachované na nulách aj na póloch. Potom sa zvyšky nájdené v týchto singulárnych bodoch budú rovnať násobnostiam singulárnych bodov s kladným znamienkom na nulách a záporným znamienkom na Veta formulovaná vyššie je teraz zrejmá.

Vzťah (11.2-1) je možné zapísať aj vo forme

Keďže obrys C bude mať vo všeobecnosti reálnu aj imaginárnu časť, jeho logaritmus bude zapísaný vo forme

Za predpokladu, že C nikde na hranici nezmizne, integrácia v (II.2-3) dáva priamo

kde označuje ľubovoľný začiatok a koniec uzavretého obrysu C.

Spojením výsledkov (II.2-1) a (II.2-7) zistíme, že súčin celkovej zmeny uhla (úplnej otáčky okolo začiatku), keď obrys C prebieha okolo, sa rovná rozdielu medzi nuly a póly vo vnútri obrysu C.

Ak je celkový počet otáčok okolo počiatku ako C okolo, potom môžeme písať

Okrem toho sa obrys C obieha v smere zodpovedajúcom zväčšeniu kladného uhla a otáčanie sa nazýva kladné, ak k nemu dôjde aj v smere zväčšenia kladného uhla.

Ryža. II.2-1. Uzavretý obrys obopínajúci konečnú časť pravej polroviny.

Teraz môžu byť tieto výsledky aplikované priamo na problém určovania stability. Chceme vedieť, či má menovateľ prenosovej funkcie nuly v pravej polrovine.

V dôsledku toho je obrys C zvolený tak, aby úplne obklopoval pravú polrovinu. Tento obvod je znázornený na obr. kde veľký polkruh ohraničujúci pravú polrovinu je daný vzťahmi

pričom inklinuje k nekonečnu v limite.

Predpokladajme, že je napísané ako

kde je celá funkcia a ktoré nemajú žiadne spoločné faktory. Poďme ďalej zostaviť diagram v komplexnej rovine, pričom zmeníme hodnoty pozdĺž obrysu C. Tento diagram nám poskytne uzavretý obrys. Vo všeobecnom prípade to bude celá funkcia polynómovej formy, ktorá zjavne nemá žiadne póly v konečnej časti roviny. Ak je transcendentálna, potom treba určiť počet P pólov v konečnej časti pravej polroviny. Keď poznáme P a určíme z diagramu, kedy C prechádza, môžeme teraz podľa rovnice (II.2-8) určiť počet núl v pravej polrovine

Ryža. II.2-2. Jednoduchý jednookruhový riadiaci systém.

Aby bol systém stabilný, musí sa rovnať nule. V dôsledku toho aplikácia tohto kritéria zahŕňa dve fázy: prvá je určenie pólov v pravej polrovine a druhá je zostavenie diagramu, keď prechádza C. Prvá fáza sa zvyčajne vykonáva veľmi jednoducho. Druhý môže predstavovať značné ťažkosti, najmä ak je tretieho alebo vyššieho rádu a obsahuje transcendentálne výrazy.

Pre spätnoväzbový riadiaci systém, znázornený vo všeobecnej forme na obr. Zložitosť vytvárania diagramov možno výrazne znížiť použitím prenosovej funkcie s otvorenou slučkou. Prenosová funkcia systému s uzavretou slučkou súvisí s prenosovou funkciou systému s otvorenou slučkou vzťahom

kde môže mať póly aj nuly. Pri probléme so stabilitou je žiaduce vedieť, či má póly v pravej polrovine. To je ekvivalentné tomu, že ste v pravej polrovine núl funkcie alebo ste v pravej polrovine, posunutej o -1, nuly funkcie. Na objasnenie efektu, ktorý nastáva v dôsledku zmeny zisk v otvorenej slučke a zároveň minimalizujeme prácu pri konštrukcii Nyquistovho diagramu, prepíšeme výrazy menovateľa (II.2-12) do tvaru, kde K je zisk systému s otvorenou slučkou. Teraz sú póly identické s nulami vzhľadom na

Ak chcete použiť Nyquistovo kritérium, najprv nakreslíme obrys C, ktorý pokrýva

celú pravú polrovinu. Potom vypočítame celkový počet otáčok pre rovnaký pohyb okolo bodu.Zmena zosilnenia K zmení iba polohu bodu a neovplyvní umiestnenie [-Počet pólov P funkcie v PPP je určený priamo zo samotnej funkcie, ak má tvar súčinu jednoduchých faktorov, alebo ťažšie vypočítateľným, ak má polynóm alebo transcendentálny tvar. Stabilita systému je potom určená priamou aplikáciou rovnice (II.2-8), ktorá stanovuje

V dôsledku toho je systém stabilný iba vtedy, ak je rovný nule, kde teraz počet núl menovateľa (II.2-12) v

Ryža. II.2-3. Dve možné modifikácie okruhov s obtokom pólov na pomyselnej osi.

Pri uplatňovaní kritéria v tejto forme je potrebné venovať pozornosť výberu obrysu C, ktorý pokrýva pravú polrovinu. Vzťah (11.2-1), a teda (11.2-13) vyžaduje absenciu singularít zobrazenej funkcie na vrstevnici C. Časté sú prípady, keď má v počiatku pól alebo dokonca niekoľko párov komplexne konjugovaných pólov na obryse C. pomyselnú os. Na vyriešenie týchto špeciálnych prípadov sa kongur C modifikuje prechádzaním každej zo singularít vo veľmi malých polkruhoch, ako je znázornené na obr. II.2-3. Ak sú prvky póly, potom upravený obrys C môže prechádzať buď vpravo alebo vľavo od nich, ako je znázornené na obr. II.2-3,a a II.2-3,b. Ak singularita nie je pól, potom musí obrys vždy prechádzať napravo od neho, pretože vzťah (II.2-1) pripúšťa len také singularity, ako sú póly vo vnútri obrysu C. Tie póly na pomyselnej osi, ktoré sú obchádzané zľava, ležia vo vnútri obrysu C, a preto ich treba brať do úvahy v P. V tomto prípade sa obrys C v bezprostrednej blízkosti singulárneho bodu zvyčajne volí v tvare

kde sa uhol mení od do v limite má tendenciu k nule.

Hodograf pri prechode obrysom C pozostáva hlavne zo štyroch častí. Hodograf o

s vylúčením blízkosti singularít na imaginárnej osi je jednoducho frekvenčná odozva systému s otvorenou slučkou. Hodograf v preto možno získať jeho vynesením v polohe v relatívnej osi. Keď sa prechádza nekonečným polkruhom, hodnota pre všetky fyzikálne realizovateľné systémy je nula alebo nanajvýš konečná konštantná hodnota. Nakoniec sa hodograf pri behu cez malé polkruhy v blízkosti pólov na pomyselnej osi určí priamym dosadením výrazu (II.2-14) do tejto funkcie. Tým je mapovanie obrysu C na funkčnú rovinu dokončené.

Pri uplatňovaní kritéria v tejto forme je zrejmá povaha obmedzení, ktoré sú naň kladené. Po prvé, môže mať iba konečný počet singularít pólového typu v pravej polrovine. Po druhé, na imaginárnej osi môže mať iba konečný počet singularít (pólov alebo odbočných bodov). Triedu funkcií možno rozšíriť tak, aby zahŕňala funkcie, ktoré majú body vetvenia, pokiaľ body vetvenia ležia v ľavej polrovine a ak je použitá hlavná hodnota funkcie. Po tretie, významné znaky formulára v čitateli sú prípustné, pretože absolútna hodnota tejto funkcie pri zmene v rámci pravej polroviny leží medzi a 0.

Použitie Nyquistovho kritéria je vhodné demonštrovať na príklade. Riadený systém so spätnou väzbou nech je definovaný vzťahmi

Prenosová funkcia daných prvkov zodpovedá dvojfázovému indukčnému motoru pracujúcemu na frekvencii z polvlnového magnetického zosilňovača. Prítomnosť negatívneho tlmenia je spojená s nízkym odporom rotora. Vzniká prvá otázka: je možné stabilizovať dané prvky len vďaka faktoru zosilnenia? Položme teda

Prenosová funkcia systému s otvorenou slučkou má formu

Vidíme po prvé, že má len jeden pól v pravej polrovine a tento pól sa nachádza v bode Približná schéma pri prejazde vrstevnicou C znázornenou na obr. II.2-4, a, je znázornená na obr. II.2-4, b a ukazuje, že pri zvolenom zosilnení je jedna pozitívna revolúcia okolo bodu.

Ryža. II.2-4. Príklady Nyquistových diagramov.

Preto pomocou Nyquistovho kritéria vyjadreného rovnicou (II.2-13) dospejeme k výsledku

Zvýšenie K vytvára možnosť väčšieho počtu kladných otáčok v dôsledku špirálovitého charakteru časti diagramu v dôsledku multiplikátora, môžeme teda konštatovať, že systém je nestabilný pre všetky kladné hodnoty K.

Pre záporné hodnoty K môžeme buď otočiť náš diagram vzhľadom na začiatok a zvážiť otáčky okolo bodu, alebo použiť existujúci diagram a zvážiť otáčky okolo bodu. Druhá metóda je jednoduchšia; priamo ukazuje, že v okolí minimálne nedochádza k žiadnemu pozitívnemu vývoju. To dáva aspoň jednu nulu v pravej polrovine pre záporné hodnoty K. Preto sme dospeli k záveru, že systém je nestabilný pre všetky hodnoty K, kladné aj záporné, a preto je potrebná určitá korekcia na vykonanie systém stabilný.

Nyquistovo kritérium možno použiť aj vtedy, keď je frekvenčná odozva systému s otvorenou slučkou skonštruovaná z experimentálnych údajov. Prenosová funkcia systému s otvorenou slučkou musí byť v tomto prípade stabilná, a preto nemôže mať póly v pravej polrovine, t.j. Pre správnu konštrukciu Nyquistovho hodografu je potrebné dbať na presné určenie správania systému pri veľmi nízkych frekvenciách.

Pri aplikácii Nyquistovho kritéria na systémy s viacerými slučkami, konštrukcia začína najvnútornejšou slučkou a pokračuje k vonkajším slučkám, pričom sa starostlivo počíta počet pólov v PPP z každej jednotlivej slučky. Práca vložená do tejto metódy môže byť často znížená odstránením niektorých obvodov prevedením vývojového diagramu. Voľba postupnosti konštrukcie hodografu pre systémy s viacerými slučkami závisí od štruktúrneho diagramu, ako aj od umiestnenia špecifikovaných a opravných prvkov v obrysoch.

Podmienka úlohy.

Pomocou Michajlova a Nyquistovho kritéria stability určite stabilitu jednoslučkového riadiaceho systému, ktorý má prenosovú funkciu formulára v otvorenom stave.

Zadajte hodnoty K, a, b a c do vzorca podľa možnosti.

W(s) = , (1)

Zostrojte Michajlovove a Nyquistove hodografy. Určite medznú frekvenciu systému.

Určte kritickú hodnotu zosilnenia systému.

Riešenie.

Problémy analýzy a syntézy riadiacich systémov sa riešia pomocou takého výkonného matematického aparátu, akým je operačný počet (Laplaceova transformácia). Problémy analýzy a syntézy riadiacich systémov sa riešia pomocou takého výkonného matematického aparátu, akým je operačný počet (Laplaceova transformácia). Všeobecné riešenie rovnice operátora je súčet termínov určených hodnotami koreňov charakteristického polynómu (polynómu):

D(s) =  d s n d n ) .

Konštrukcia Michajlovho hodografu.

A) Vypíšeme charakteristický polynóm pre uzavretý systém opísaný rovnicou (1)

D(s) = 50 + (25s+1)(0,1s+1)(0,01s+1) = 50+(625+50s+1)(0,001+0,11s+1) =0,625+68,85 +630,501+50,11s +51.

Korene polynómu D(s) môže byť: null; skutočný (negatívny, pozitívny); imaginárny (vždy spárovaný, konjugovaný) a komplexne konjugovaný.

B) Transformujte do tvaru s→ ωj

D()=0,625+68,85+630,501+50,11+51=0,625ω-68,85jω- 630,501ω+50,11jω+51

ω – frekvencia signálu, j = (1) 1/2 – imaginárna jednotka. J4 = (-1) 4/2 = 1, J3 = (-1) 3/2 =-(1) 1/2 = - j, J2 = (-1) 2/2 =-1, J = (-1) 1/2 = j,

C) Vyberme skutočnú a imaginárnu časť.

D= U()+jV(), kde U() je reálna časť a V() je imaginárna časť.

U(ω) =0,625ω-630,501ω+51

V(ω) =ω(50,11-68,85ω)

D) Postavme Michajlovov hodograf.

Zostavme Michajlovov hodograf blízko nule a ďalej od nuly; na tento účel zostavíme D(jw), keď sa w zmení z 0 na +∞. Poďme nájsť priesečníky U(w) a V w) s nápravami. Vyriešme problém pomocou programu Microsoft Excel.

Hodnoty w nastavíme v rozsahu od 0 do 0,0001 až 0,1 a vypočítame ich v tabuľke. Excelové hodnoty U(ω) a V(co), D(co); nájsť priesečníky U(w) a V w) s nápravami,

Hodnoty w nastavíme v rozsahu od 0,1 do 20 a vypočítame ich v tabuľke. Excelové hodnoty U(w) a V(w), D; nájsť priesečníky U(w) a V w) s nápravami.

Tabuľka 2.1 – Definícia reálnej a imaginárnej časti a samotného polynómu D() pomocou programu Microsoft Excel

Ryža. A, B, ..... Závislosti U(ω) a V(ω), D(ω) z ω

Podľa obr. A, B, .....nájdite priesečníky U(w) a V w) s nápravami:

pri ω = 0 U(ω)= …. A V(ω)= ……

Obr.1. Michajlovov hodograf pri ω = 0:000,1:0,1.

Obr.2. Michajlovov hodograf pri ω = 0,1:20

D) Závery o stabilite systému na základe hodografu.

Stabilita (ako koncept) každého dynamického systému je určená jeho správaním po odstránení vonkajšieho vplyvu, t.j. jeho voľný pohyb pod vplyvom počiatočných podmienok. Systém je stabilný, ak sa vráti do pôvodného rovnovážneho stavu po tom, čo na systém prestane pôsobiť signál (poruchy), ktorý ho z tohto stavu vyviedol. Nestabilný systém sa nevracia do pôvodného stavu, ale v priebehu času sa od neho neustále vzďaľuje. Na posúdenie stability systému je potrebné študovať voľnú zložku riešenia rovnice dynamiky, teda riešenie rovnice:.

D(s) =  d s n d n )= 0.

Skontrolujte stabilitu systému pomocou Michajlovho kritéria :

Mikhailovovo kritérium: Pre stabilnú ASR je potrebné a postačujúce, aby michajlovský hodograf (pozri obr. 1 a obr. 2), počnúc w = 0 na kladnej reálnej poloosi, sa postupne otáčal v kladnom smere (proti smeru hodinových ručičiek) ako w sa zvyšuje z 0 na ∞ n kvadrantov, kde n je stupeň charakteristického polynómu.

Z riešenia (pozri obr. 1 a obr. 2) je zrejmé, že hodograf spĺňa nasledujúce kriteriálne podmienky: Začína na kladnej reálnej poloosi pri w = 0. Hodograf nespĺňa tieto kriteriálne podmienky: neobíde všetky 4 kvadranty v kladnom smere (stupeň polynómu n=4) pri ω.

Dospeli sme k záveru, že tento systém s otvorenou slučkou nie je stabilný .

Konštrukcia Nyquistovho hodografu.

A) Urobme náhradu vo vzorci (1) s→ ωj

W(s) = =,

B) Otvorte zátvorky a zvýraznite skutočnú a imaginárnu časť v menovateli

C) Vynásobte konjugátom a vyberte skutočnú a imaginárnu časť

,

kde U() je reálna časť a V() je imaginárna časť.

D) Zostrojme Nyquistov hodograf: - závislosť W() na .

Obr.3. Nyquistov hodograf.

E) Skontrolujte stabilitu systému pomocou Nyquistovho kritéria:

Nyquistovo kritérium: Aby systém, ktorý je stabilný v otvorenom stave, bol stabilný aj v uzavretom stave, je potrebné, aby Nyquistov hodograf pri zmene frekvencie od nuly do nekonečna nepokrýval bod súradnicami (-1; j0) .

Z riešenia (pozri obr. 3) je zrejmé, že hodograf spĺňa všetky podmienky kritéria:

Hodograf mení svoj smer v smere hodinových ručičiek

Hodograf nepokrýva bod (-1; j0)

Dospeli sme k záveru, že tento systém s otvorenou slučkou je stabilný .

Stanovenie kritickej hodnoty zosilnenia systému.

A) V odseku 2 už bola rozlíšená skutočná a vymyslená časť

B) Na nájdenie kritickej hodnoty zisku systému je potrebné prirovnať imaginárnu časť k nule a skutočnú časť k -1

C) Zistime z druhej (2) rovnice

Čitateľ musí byť 0.

Tak to akceptujeme

C) Dosaďte do prvej (1) rovnice a nájdite

Kritická hodnota zisku systému.

Literatúra:

1.Metódy klasickej a modernej teórie automatického riadenia. 1. zväzok.

Analýza a štatistická dynamika automatických riadiacich systémov. M: Ed. MSTU pomenovaná po Baumanovi. 2000

2. Voronov A.A. Teória automatického riadenia. T. 1-3, M., Nauka, 1992

Nyquistovo kritérium stability sformuloval a odôvodnil v roku 1932 americký fyzik H. Nyquist. Nyquistovo kritérium stability sa najčastejšie používa v inžinierskej praxi z nasledujúcich dôvodov:

- stabilita systému v uzavretom stave je študovaná frekvenčnou prenosovou funkciou jeho otvorenej časti W p (jw), pričom táto funkcia sa najčastejšie skladá z jednoduchých faktorov. Koeficienty sú skutočné parametre systému, čo vám umožňuje vybrať ich z podmienok stability;

- na štúdium stability môžete použiť experimentálne získané frekvenčné charakteristiky najzložitejších prvkov systému (riadiaci objekt, výkonné orgány), čo zvyšuje presnosť získaných výsledkov;

- stabilitu systému je možné študovať pomocou logaritmických frekvenčných charakteristík, ktorých konštrukcia nie je náročná;

- hranice stability systému sú určené celkom jednoducho;

- vhodné na použitie na posúdenie stability ATS s oneskorením.

Nyquistovo kritérium stability umožňuje vyhodnotiť stabilitu ACS na základe AFC jeho časti s otvorenou slučkou. V tomto prípade sa rozlišujú tri prípady použitia Nyquistovho kritéria.

1. Otvorená časť ACS je stabilná.Pre stabilitu systému s uzavretou slučkou je potrebné a postačujúce, aby odozva AFC časti systému s otvorenou slučkou (Nyquist hodograf) pri zmene frekvencie w od 0 do +¥ nepokryl bod so súradnicami [-1, j 0]. Na obr. 4.6 ukazuje hlavné možné situácie:

1. - uzavretý systém je absolútne stabilný;

2. - ATS je podmienene stabilný, t.j. stabilný len v určitom rozsahu zmien koeficientu prenosu k;

3. - ATS je na hranici stability;

4. - ATS je nestabilný.

Ryža. 4.6. Nyquist hodografuje, keď je otvorená časť ACS stabilná

2. Otvorená časť ACS je na hranici stability.V tomto prípade má charakteristická rovnica nulové alebo čisto imaginárne korene a zvyšné korene majú negatívne reálne časti.

Pre stabilitu uzavretého systému, ak je časť systému s otvorenou slučkou na hranici stability, je potrebné a postačujúce, aby odozva AFC časti systému s otvorenou slučkou pri zmene w od 0 do +¥, doplnené v oblasti diskontinuity oblúkom s nekonečne veľkým polomerom, nepokryli bod so súradnicami [-1, j 0]. V prítomnosti ν nulových koreňov AFC odozvy časti systému s otvorenou slučkou at w=0 o oblúk s nekonečne veľkým polomerom sa pohybuje od kladnej reálnej poloosi o uhol stupňov v smere hodinových ručičiek, ako je znázornené na obr. 4.7.

Ryža. 4.7. Nyquistove hodografy v prítomnosti nulových koreňov

Ak existuje dvojica čisto imaginárnych koreňov w i =, potom odozva AFC pri frekvencii w i oblúk s nekonečne veľkým polomerom sa pohybuje pod uhlom 180° v smere hodinových ručičiek, čo je znázornené na obr. 4.8.

Ryža. 4.8. Nyquist hodograf v prítomnosti dvojice čisto imaginárnych koreňov

3. Časť systému s otvorenou slučkou je nestabilná, t.j. charakteristická rovnica má l korene s pozitívnou skutočnou časťou. V tomto prípade je pre stabilitu systému s uzavretou slučkou potrebné a postačujúce, že pri zmene frekvencie w od 0 do +¥ AFC otvorenej časti ACS pokrýval bod

[-1, j 0) l/2 krát v kladnom smere (proti smeru hodinových ručičiek).

Pri zložitom tvare Nyquistovho hodografu je vhodnejšie použiť inú formuláciu Nyquistovho kritéria, ktorú navrhol Ya.Z. Tsypkin pomocou pravidiel prechodu. Prechod odozvy fázovej odozvy časti systému s otvorenou slučkou s rastúcim w segment reálnej osi od -1 do -¥ zhora nadol sa považuje za pozitívny (obr. 4.9) a zdola nahor za negatívny. Ak odpoveď AFC začína v tomto segmente o w=0 alebo končí na w=¥ , potom sa predpokladá, že AFC robí polovičný prechod.

Ryža. 4.9. Prechody Nyquistovho hodografu cez segment P( w) od -¥ do -1

Uzavretý systém je stabilný, ak sa rozdiel medzi počtom kladných a záporných prechodov Nyquistovho hodografu cez segment reálnej osi od -1 do -¥ rovná l/2, kde l je počet koreňov charakteristickej rovnice s kladnou reálna časť.

Konštrukcia Nyquistových hodografov pomocou prenosovej funkcie systému s otvorenou slučkou špecifikovaného ako polynóm

Nyquistovo frekvenčné kritérium pri štúdiu stability automatických systémov je založené na amplitúdovo-fázovej frekvenčnej odozve systému s otvorenou slučkou a možno ho formulovať takto:

ak charakteristická rovnica systému s otvorenou slučkou n-tého rádu má k koreňov s kladnou reálnou časťou (k = 0, 1, ..... n) a n-k koreňov so zápornou reálnou časťou, potom pre stabilitu systéme s uzavretou slučkou je potrebné a postačujúce, aby hodograf amplitúdovo-fázovej frekvenčnej odozvy systému s otvorenou slučkou (Nyquistov hodograf) pokrýval bod (-1, j0) komplexnej roviny pod uhlom k p, alebo, ktorý je rovnaký, prekryl bod (-1, j0) v kladnom smere, t.j. proti smeru hodinových ručičiek, k-krát.

Pre špeciálny prípad, keď charakteristická rovnica systému s otvorenou slučkou nemá korene s kladnou reálnou časťou (k = 0), t.j. , keď je stabilný v otvorenom stave, Nyquistovo kritérium je formulované takto:

automatický riadiaci systém je stabilný v uzavretom stave, ak amplitúdová fázová frekvenčná odozva systému s otvorenou slučkou pri zmene frekvencie z 0 na? nepokrýva bod v komplexnej rovine so súradnicami (-1, j0).

Nyquistovo kritérium stability je vhodné použiť na systémy so spätnou väzbou, najmä na systémy vysokého rádu.

Na konštrukciu Nyquistovho hodografu použijeme prenosovú funkciu systému s otvorenou slučkou v symbolickej forme z praktickej lekcie č.

Zapíšme to v symbolicko-digitálnej podobe pre dané parametre všetkých prvkov systému okrem koeficientu prenosu magnetického zosilňovača:

Zapíšme si rovnicu amplitúdovo-fázovej frekvenčnej charakteristiky, vyberieme skutočnú a imaginárnu frekvenčnú charakteristiku a zostrojme rodinu Nyquistových hodografov ako funkciu frekvencie a koeficientu prenosu magnetického zosilňovača.

Vykreslenie grafu amplitúdovo-fázovej frekvenčnej odozvy v MathСad

Obr.3. Skupina Nyquistových kriviek hodografu skonštruovaných pre prenosovú funkciu systému s otvorenou slučkou ako funkcie k mu .

Z obr.3 je zrejmé, že bodom so súradnicami prechádza jeden z Nyquistových hodografov (j0, -1) . V dôsledku toho je v danom rozsahu zmien koeficientu prenosu magnetického zosilňovača aj jeho kritická hodnota. Na jej určenie používame nasledujúce vzťahy:

Preto je kritický koeficient prenosu magnetického zosilňovača:

k mukr =11.186981170416560078

Presvedčime sa, že je to naozaj tak. Na tento účel zostrojíme Nyquistove hodografové krivky pre tri hodnoty koeficientu prenosu magnetického zosilňovača: k mu = 0,6 tis mukr ; k mu = k mukr ; k mu = 1,2 tis mukr

Obr.4.

kmu = 0,6 k mukr; k mu = k mukr; k mu = 1,2 k mukr

Krivky na obr. 4 potvrdzujú, že kritický koeficient prenosu magnetického zosilňovača je nájdený správne.

Použitie l.a.ch.h. a fázové frekvenčné charakteristiky na analýzu stability systému

Kritérium stability systému v zmysle logaritmickej amplitúdovej frekvenčnej odozvy (l.a.ch..x) a fázovej frekvenčnej odozvy možno formulovať takto:

Automatický riadiaci systém, nestabilný v otvorenom stave, je stabilný v uzavretom stave, ak je rozdiel medzi počtom kladných prechodov (prechod fázovej frekvenčnej odozvy zdola nahor cez čiaru μ(φ) = -180 ° ) a počty záporných prechodov (prechod fázovej frekvenčnej odozvy zhora nadol cez čiaru c(n) = -180 ° ) fázová frekvenčná odozva c(sch) cez čiaru c(sch) = -180 ° sa rovná nule vo frekvenčnom rozsahu, v ktorom l.a.h..x (L(u)> 0).

Pre konštrukciu fázovej frekvenčnej odozvy je vhodné reprezentovať prenosovú funkciu vo forme typických dynamických väzieb.

a vytvorte fázovú charakteristiku pomocou výrazu:

«+» - zodpovedá typickým dynamickým väzbám čitateľa prenosovej funkcie;

«-« - zodpovedá typickým dynamickým väzbám menovateľa prenosovej funkcie.

Na konštrukciu asymptotického l.a.ch.h. Používame prenosovú funkciu systému s otvorenou slučkou, prezentovanú vo forme typických dynamických väzieb:

Na tento účel používame prenosovú funkciu formulára:

Predstavme si túto prenosovú funkciu vo forme typických dynamických odkazov:

Parametre typických dynamických odkazov sú definované takto:

Fázová charakteristická rovnica bude mať tvar:

Určme frekvenciu, pri ktorej fázová frekvenčná odozva pretína os c(w) = -180 °

Na výstavbu L.A.C.H. použime výraz:

Obrázok 5 zobrazuje grafy l.a.f.x pre dve hodnoty koeficientu prenosu magnetického zosilňovača k mu = 10 ak mu = 80 .

Obr.5.

Analýza l.a.h.h. a charakteristiky fázovej frekvencie ukazujú, že so zvyšujúcim sa koeficientom prenosu magnetického zosilňovača od 8 do 80 systém sa stáva nestabilným zo stabilného stavu. Stanovme kritický koeficient prenosu magnetického zosilňovača.

Ak neexistujú žiadne ďalšie požiadavky na hranice stability systému, odporúča sa, aby sa rovnali:

DL(s) = -12 dB Ds(s) = 35°h 45

Určme, pri akom koeficiente prenosu magnetického zosilňovača je táto podmienka splnená.

Potvrdzujú to aj grafy na obrázku 6.