फ़र्मेट की अंतिम प्रमेय: विल्स और पेरेलमैन का प्रमाण, सूत्र, गणना नियम और प्रमेय का पूर्ण प्रमाण। फ़र्मेट की महान प्रमेय 1994 में सिद्ध हुई

चूंकि बहुत कम लोग गणितीय सोच को जानते हैं, इसलिए मैं सबसे बड़ी वैज्ञानिक खोज के बारे में बात करूंगा - फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय का प्राथमिक प्रमाण - सबसे अधिक समझने योग्य, स्कूली भाषा में।

सबूत एक विशेष मामले के लिए पाया गया था (एक प्रमुख शक्ति n>2 के लिए), जिसमें (और मामला n = 4) समग्र n वाले सभी मामलों को आसानी से कम किया जा सकता है।

इसलिए, हमें यह सिद्ध करना होगा कि समीकरण A^n=C^n-B^n का पूर्णांकों में कोई हल नहीं है। (यहाँ ^ चिन्ह का अर्थ है डिग्री।)

प्रमाण एक साधारण आधार n के साथ एक संख्या प्रणाली में किया जाता है। इस मामले में, प्रत्येक गुणन तालिका में, अंतिम अंक दोहराए नहीं जाते हैं। सामान्य तौर पर, दशमलव प्रणाली में, स्थिति अलग होती है। उदाहरण के लिए, जब संख्या 2 को 1 और 6 दोनों से गुणा किया जाता है, तो दोनों उत्पाद - 2 और 12 - एक ही संख्या (2) में समाप्त होते हैं। और, उदाहरण के लिए, संख्या 2 के लिए सेप्टेनरी प्रणाली में, सभी अंतिम अंक भिन्न हैं: 0x2=...0, 1x2=...2, 2x2=...4, 3x2=...6, 4x2 =...1, 5x2=...3, 6x2=...5, अंतिम अंक 0, 2, 4, 6, 1, 3, 5 के सेट के साथ।

इस संपत्ति के लिए धन्यवाद, किसी भी संख्या ए के लिए जो शून्य में समाप्त नहीं होता है (और फर्मेट की समानता में, संख्याओं ए, कुएं या बी का अंतिम अंक, ए, बी, सी के सामान्य भाजक द्वारा समानता को विभाजित करने के बाद है शून्य के बराबर नहीं), आप एक कारक जी चुन सकते हैं जैसे कि संख्या एजी का मनमाने ढंग से लंबा अंत होगा जैसे 000...001। यह इतनी संख्या जी से है कि हम सभी आधार संख्याओं ए, बी, सी को फर्मेट की समानता में गुणा करते हैं। उसी समय, हम एकल अंत को काफी लंबा बना देंगे, अर्थात्, संख्या U=A+B-C के अंत में शून्य की संख्या (k) से दो अंक अधिक लंबा।

संख्या U शून्य के बराबर नहीं है - अन्यथा C \u003d A + B और A ^ n<(А+В)^n-B^n, т.е. равенство Ферма является неравенством.

वास्तव में, यह एक संक्षिप्त और अंतिम अध्ययन के लिए Fermat की समानता की पूरी तैयारी है। केवल एक चीज जो हमें अभी भी करनी है: हम फ़र्मेट की समानता के दाईं ओर फिर से लिखते हैं - C ^ n-B ^ n - स्कूल विस्तार सूत्र का उपयोग करते हुए: C ^ n-B ^ n \u003d (C-B) P, या aP। और आगे से हम केवल (k + 2) के अंकों के साथ काम करेंगे (गुणा और जोड़) - संख्या ए, बी, सी के अंकों के अंत, तो हम उनके सिर के हिस्सों को अनदेखा कर सकते हैं और बस उन्हें त्याग सकते हैं (केवल एक तथ्य छोड़कर) स्मृति में: फ़र्मेट की समानता के बाईं ओर एक शक्ति है)।

केवल एक और बात जो ध्यान देने योग्य है, वह है संख्या a और P के अंतिम अंक। Fermat की मूल समानता में, संख्या P संख्या 1 में समाप्त होती है। यह Fermat के छोटे प्रमेय के सूत्र से अनुसरण करता है, जिसे संदर्भ पुस्तकों में पाया जा सकता है। और Fermat समानता को संख्या g ^ n से गुणा करने के बाद, संख्या P को संख्या g से n-1 की शक्ति से गुणा किया जाता है, जो कि Fermat के छोटे प्रमेय के अनुसार, संख्या 1 में भी समाप्त होता है। तो नए Fermat में बराबर समानता, संख्या P 1 में समाप्त होती है। और यदि A 1 में समाप्त होता है, तो A^n भी 1 में समाप्त होता है, और इसलिए संख्या भी 1 में समाप्त होती है।

तो, हमारे पास एक प्रारंभिक स्थिति है: संख्या ए, ए, पी के अंतिम अंक ए", ए", पी" संख्या 1 में समाप्त होता है।

खैर, फिर एक मीठा और आकर्षक ऑपरेशन शुरू होता है, जिसे वरीयता में "मिल" कहा जाता है: बाद के अंकों को "", एक """ और इसी तरह, संख्याओं को ध्यान में रखते हुए, हम विशेष रूप से "आसानी से" गणना करते हैं कि वे भी हैं शून्य के बराबर! मैंने उद्धरण चिह्नों में "आसान" रखा, क्योंकि मानवता को 350 वर्षों तक इस "आसान" की कुंजी नहीं मिली! और कुंजी वास्तव में अप्रत्याशित रूप से और गूढ़ रूप से आदिम निकली: संख्या P को P के रूप में दर्शाया जाना चाहिए \u003d q ^ (n-1) + Qn ^(k + 2) इस योग में दूसरे शब्द पर ध्यान देने योग्य नहीं है - आखिरकार, आगे के प्रमाण में हमने (k + 2) के बाद सभी नंबरों को छोड़ दिया संख्या में वें (और यह विश्लेषण को बहुत सरल करता है)! तो सिर के हिस्सों की संख्या को त्यागने के बाद, Fermat की समानता रूप लेती है: ...1=aq^(n-1), जहां a और q संख्याएं नहीं हैं, लेकिन केवल संख्याओं के अंत a और q! (मैं नए अंकन का परिचय नहीं देता, क्योंकि इससे पढ़ना मुश्किल हो जाता है।)

अंतिम दार्शनिक प्रश्न बना रहता है: संख्या P को P=q^(n-1)+Qn^(k+2) के रूप में क्यों दर्शाया जा सकता है? उत्तर सरल है: क्योंकि अंत में 1 के साथ किसी भी पूर्णांक P को इस रूप में और पहचान के रूप में दर्शाया जा सकता है। (आप इसके बारे में कई अन्य तरीकों से सोच सकते हैं, लेकिन हमें इसकी आवश्यकता नहीं है।) वास्तव में, पी = 1 के लिए उत्तर स्पष्ट है: पी = 1 ^ (एन -1)। P=hn+1 के लिए, संख्या q=(nh)n+1, जिसे समीकरण को हल करके सत्यापित करना आसान है [(nh)n+1]^(n-1)==hn+1 द्वि-मूल्यवान द्वारा अंत। और इसी तरह (लेकिन हमें आगे की गणना की कोई आवश्यकता नहीं है, क्योंकि हमें केवल फॉर्म पी = 1 + क्यूएन ^ टी की संख्या के प्रतिनिधित्व की आवश्यकता है)।

उफ-एफ-एफ-एफ! ठीक है, दर्शन समाप्त हो गया है, आप दूसरी कक्षा के स्तर पर गणना के लिए आगे बढ़ सकते हैं, जब तक कि आप न्यूटन के द्विपद सूत्र को एक बार फिर से याद न करें।

तो, आइए संख्या a"" (संख्या a=a""n+1 में) का परिचय दें और संख्या q"" की गणना करने के लिए इसका उपयोग करें (संख्या q=q""n+1 में):
...01=(a""n+1)(q""n+1)^(n-1), या...01=(a""n+1)[(nq"")n+ 1 ], जहां से q""=a""।

और अब फ़र्मेट की समानता के दाहिने हिस्से को फिर से लिखा जा सकता है:
A^n=(a""n+1)^n+Dn^(k+2), जहां संख्या डी का मान हमें रूचि नहीं देता है।

और अब हम निर्णायक निष्कर्ष पर आते हैं। संख्या a "" n + 1 संख्या A का दो अंकों का अंत है और, इसलिए, एक साधारण लेम्मा के अनुसार, यह डिग्री A ^ n के तीसरे अंक को विशिष्ट रूप से निर्धारित करता है। और इसके अलावा, न्यूटन के द्विपद के विस्तार से
(a "" n + 1) ^ n, यह देखते हुए कि विस्तार का प्रत्येक पद (पहले को छोड़कर, जिसे अब मौसम नहीं बदल सकता!) एक SIMPLE कारक n (संख्या का आधार!) से जुड़ता है, यह है स्पष्ट करें कि यह तीसरा अंक "" के बराबर है। लेकिन Fermat की समानता को g ^ n से गुणा करके, हमने k + 1 अंक को अंतिम 1 से पहले संख्या A में 0 में बदल दिया। और, इसलिए, एक "" \u003d 0 !!!

इस प्रकार, हमने चक्र पूरा किया: a"" की शुरुआत करके, हमने पाया कि q""=a"", और अंत में a""=0!

खैर, यह कहा जाना बाकी है कि पूरी तरह से समान गणना और बाद के k अंकों को पूरा करने के बाद, हम अंतिम समानता प्राप्त करते हैं: (k + 2) - संख्या a, या CB का अंक अंत, - संख्या A की तरह, है 1 के बराबर। लेकिन फिर C-A-B का (k+2)-वां अंक शून्य के बराबर है, जबकि यह शून्य के बराबर नहीं है!!!

यहाँ, वास्तव में, सभी प्रमाण हैं। इसे समझने के लिए, आपको एक पेशेवर गणितज्ञ होने के लिए उच्च शिक्षा और इसके अलावा, होने की आवश्यकता नहीं है। हालांकि, पेशेवर चुप रहते हैं ...

पूर्ण प्रमाण का पठनीय पाठ यहाँ स्थित है:

समीक्षा

नमस्ते विक्टर। मुझे आपका बायोडाटा पसंद आया। "मृत्यु से पहले मरने मत दो" बेशक बहुत अच्छा लगता है। गद्य में फर्मेट के प्रमेय के साथ बैठक से, ईमानदार होने के लिए, मैं दंग रह गया था! क्या वह यहाँ की है? वैज्ञानिक, लोकप्रिय विज्ञान और चायदानी स्थल हैं। अन्यथा, आपके साहित्यिक कार्य के लिए धन्यवाद।
निष्ठा से, आन्या।

प्रिय अन्या, सख्त सेंसरशिप के बावजूद, गद्य आपको सब कुछ के बारे में लिखने की अनुमति देता है। फ़र्मेट के प्रमेय के साथ, स्थिति इस प्रकार है: बड़े गणितीय फ़ोरम फ़र्मेटिस्टों के साथ अशिष्टता के साथ व्यवहार करते हैं, और कुल मिलाकर, उनके साथ सबसे अच्छा व्यवहार करते हैं। हालांकि, छोटे रूसी, अंग्रेजी और फ्रेंच मंचों में, मैंने सबूत का अंतिम संस्करण प्रस्तुत किया। किसी ने अभी तक कोई प्रतिवाद नहीं रखा है, और, मुझे यकीन है, कोई भी सामने नहीं रखेगा (सबूत को बहुत सावधानी से जांचा गया है)। शनिवार को मैं प्रमेय के बारे में एक दार्शनिक नोट प्रकाशित करूंगा।
गद्य में लगभग कोई बूरा नहीं है, और यदि आप उनके साथ नहीं घूमते हैं, तो बहुत जल्द वे बंद हो जाते हैं।
मेरी लगभग सभी रचनाएँ गद्य में प्रस्तुत हैं, इसलिए मैंने प्रमाण भी यहाँ रखा है।
बाद में मिलते है,

1

इवलिव यू.ए.

यह लेख 20वीं शताब्दी के अंत में फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय को सिद्ध करने की प्रक्रिया में की गई एक मूलभूत गणितीय त्रुटि के वर्णन के लिए समर्पित है। पाई गई त्रुटि न केवल प्रमेय के सही अर्थ को विकृत करती है, बल्कि संख्याओं की शक्तियों और संख्याओं की प्राकृतिक श्रृंखला के अध्ययन के लिए एक नए स्वयंसिद्ध दृष्टिकोण के विकास में भी बाधा डालती है।

1995 में, एक लेख प्रकाशित किया गया था जो एक किताब के आकार के समान था और प्रसिद्ध फ़र्मेट्स ग्रेट (अंतिम) प्रमेय (WTF) के प्रमाण पर रिपोर्ट किया गया था (प्रमेय के इतिहास और इसे साबित करने के प्रयासों के लिए, देखें, उदाहरण के लिए, ) इस घटना के बाद, कई वैज्ञानिक लेख और लोकप्रिय विज्ञान पुस्तकें सामने आईं, जिन्होंने इस प्रमाण को बढ़ावा दिया, लेकिन इनमें से किसी भी कार्य ने इसमें एक मौलिक गणितीय त्रुटि प्रकट नहीं की, जो लेखक की गलती से भी नहीं, बल्कि कुछ अजीब आशावाद के कारण हुई, जो कि जकड़ी हुई थी। दिमाग के गणितज्ञ जिन्होंने इस समस्या और संबंधित प्रश्नों से निपटा। में इस घटना के मनोवैज्ञानिक पहलुओं की जांच की गई है। यह उस निरीक्षण का विस्तृत विश्लेषण भी देता है, जो किसी विशेष प्रकृति का नहीं है, बल्कि पूर्णांकों की शक्तियों के गुणों की गलत समझ का परिणाम है। जैसा कि दिखाया गया है, फ़र्मेट की समस्या इन गुणों के अध्ययन के लिए एक नए स्वयंसिद्ध दृष्टिकोण में निहित है, जिसे अभी तक आधुनिक विज्ञान में लागू नहीं किया गया है। लेकिन एक गलत सबूत उनके रास्ते में खड़ा हो गया, जो संख्या सिद्धांतकारों को झूठे दिशानिर्देश दे रहा था और फर्मेट की समस्या के प्रमुख शोधकर्ताओं को इसके प्रत्यक्ष और पर्याप्त समाधान से दूर कर रहा था। यह कार्य इस बाधा को दूर करने के लिए समर्पित है।

1. डब्ल्यूटीएफ के सबूत के दौरान की गई गलती का एनाटॉमी

बहुत लंबे और थकाऊ तर्क की प्रक्रिया में, फ़र्मेट के मूल कथन को पी-थ डिग्री के डायोफैंटाइन समीकरण और तीसरे क्रम के अण्डाकार वक्रों के बीच एक पत्राचार के संदर्भ में सुधार किया गया था (देखें प्रमेय 0.4 और 0.5 इंच)। इस तरह की तुलना ने वास्तविक सामूहिक प्रमाण के लेखकों को यह घोषणा करने के लिए मजबूर किया कि उनकी पद्धति और तर्क फ़र्मेट की समस्या के अंतिम समाधान की ओर ले जाते हैं (याद रखें कि डब्ल्यूटीएफ के पास 90 के दशक तक पूर्णांकों की मनमानी पूर्णांक शक्तियों के मामले के लिए मान्यता प्राप्त प्रमाण नहीं थे। पिछली सदी)। इस विचार का उद्देश्य उपरोक्त तुलना की गणितीय गलतता को स्थापित करना है और विश्लेषण के परिणामस्वरूप, में प्रस्तुत प्रमाण में एक मौलिक त्रुटि का पता लगाना है।

क) कहाँ और क्या गलत है?

तो, आइए पाठ के माध्यम से चलते हैं, जहां पृष्ठ 448 पर कहा गया है कि जी। फ्रे (जी। फ्रे) के "मजाकिया विचार" के बाद, डब्ल्यूटीएफ को साबित करने की संभावना खुल गई है। 1984 में, जी. फ्रे ने सुझाव दिया और

के.रिबेट ने बाद में सिद्ध किया कि पुटीय अण्डाकार वक्र फ़र्मेट के समीकरण के काल्पनिक पूर्णांक समाधान का प्रतिनिधित्व करता है,

वाई 2 = एक्स (एक्स + तुमपी) (एक्स - वीपी) (1)

मॉड्यूलर नहीं हो सकता। हालांकि, ए.विल्स और आर.टेलर ने साबित किया कि परिमेय संख्याओं के क्षेत्र में परिभाषित कोई भी अर्ध-स्थिर अण्डाकार वक्र मॉड्यूलर है। इसने फ़र्मेट के समीकरण के पूर्णांक समाधानों की असंभवता के बारे में निष्कर्ष निकाला और, परिणामस्वरूप, फ़र्मेट के कथन की वैधता, जिसे ए। विल्स के संकेतन में प्रमेय 0.5 के रूप में लिखा गया था: चलो एक समानता हो

तुमपी+ वीपी+ वूपी = 0 (2)

कहाँ पे तुम, वी, वू- परिमेय संख्याएं, पूर्णांक घातांक p 3; तब (2) केवल तभी संतुष्ट होता है जब उव्वा = 0 .

अब, जाहिरा तौर पर, हमें वापस जाना चाहिए और गंभीर रूप से विचार करना चाहिए कि वक्र (1) को अण्डाकार के रूप में क्यों माना जाता था और फ़र्मेट के समीकरण के साथ इसका वास्तविक संबंध क्या है। इस प्रश्न का अनुमान लगाते हुए, ए। विल्स वाई। हेलेगौर्च के काम को संदर्भित करता है, जिसमें उन्होंने फ़र्मेट के समीकरण (संभवतः पूर्णांकों में हल) को एक काल्पनिक तीसरे क्रम वक्र के साथ जोड़ने का एक तरीका खोजा। जी. फ्रे के विपरीत, आई. एलेगौच ने अपने वक्र को मॉड्यूलर रूपों से नहीं जोड़ा, लेकिन समीकरण प्राप्त करने की उनकी विधि (1) का उपयोग ए। विल्स के प्रमाण को आगे बढ़ाने के लिए किया गया था।

आइए काम पर करीब से नज़र डालें। लेखक प्रक्षेपी ज्यामिति के संदर्भ में अपने तर्क का संचालन करता है। इसके कुछ अंकन को सरल बनाने और उनके अनुरूप लाने पर, हम पाते हैं कि एबेलियन वक्र

वाई 2 = एक्स (एक्स - β पी) (एक्स + γ पी) (3)

डायोफैंटाइन समीकरण की तुलना की जाती है

एक्सपी+ आपपी+ जेडपी = 0 (4)

कहाँ पे एक्स, वाई, जेडअज्ञात पूर्णांक हैं, पी (2) से एक पूर्णांक घातांक है, और डायोफैंटाइन समीकरण (4) α p , β p , γ p के समाधान एबेलियन वक्र (3) लिखने के लिए उपयोग किए जाते हैं।

अब, यह सुनिश्चित करने के लिए कि यह एक तीसरा क्रम अंडाकार वक्र है, यूक्लिडियन विमान पर चर एक्स और वाई इन (3) पर विचार करना आवश्यक है। ऐसा करने के लिए, हम अण्डाकार वक्रों के अंकगणित के प्रसिद्ध नियम का उपयोग करते हैं: यदि एक घन बीजगणितीय वक्र पर दो परिमेय बिंदु हैं और इन बिंदुओं से गुजरने वाली रेखा इस वक्र को एक और बिंदु पर काटती है, तो बाद वाला भी एक परिमेय बिंदु है बिंदु। काल्पनिक समीकरण (4) औपचारिक रूप से एक सीधी रेखा पर बिंदुओं के योग के नियम का प्रतिनिधित्व करता है। यदि हम चरों में परिवर्तन करते हैं एक्सपी = ए, आपपी = बी, जेडपी = सी और एक्स अक्ष के साथ प्राप्त सीधी रेखा को (3) में निर्देशित करें, फिर यह तीसरी डिग्री वक्र को तीन बिंदुओं पर काटेगा: (एक्स = 0, वाई = 0), (एक्स = β पी, वाई = 0 ), (X = - p , Y = 0) है, जो एबेलियन वक्र (3) के अंकन और एक समान संकेतन (1) में परिलक्षित होता है। हालाँकि, वक्र (3) या (1) वास्तव में अण्डाकार है? स्पष्ट रूप से नहीं, क्योंकि यूक्लिडियन रेखा के खंड, उस पर बिंदुओं को जोड़ते समय, एक गैर-रैखिक पैमाने पर लिए जाते हैं।

यूक्लिडियन अंतरिक्ष के रैखिक समन्वय प्रणालियों पर लौटने पर, (1) और (3) के बजाय हम ऐसे सूत्र प्राप्त करते हैं जो अण्डाकार वक्रों के सूत्रों से बहुत भिन्न होते हैं। उदाहरण के लिए, (1) निम्नलिखित रूप का हो सकता है:

η 2पी = पी (ξ पी + तुमपी)(ξ पी - वीपी) (5)

जहां ξ p = x, p = y, और इस मामले में WTF की व्युत्पत्ति के लिए (1) की अपील अवैध लगती है। इस तथ्य के बावजूद कि (1) अंडाकार वक्रों के वर्ग के कुछ मानदंडों को पूरा करता है, यह एक रैखिक समन्वय प्रणाली में तीसरी डिग्री समीकरण होने के सबसे महत्वपूर्ण मानदंड को पूरा नहीं करता है।

बी) त्रुटि वर्गीकरण

इसलिए, एक बार फिर हम विचार की शुरुआत में लौटते हैं और अनुसरण करते हैं कि डब्ल्यूटीएफ की सच्चाई के बारे में निष्कर्ष कैसे निकाला जाता है। सबसे पहले, यह माना जाता है कि सकारात्मक पूर्णांकों में फर्मेट के समीकरण का समाधान है। दूसरे, इस समाधान को मनमाने ढंग से एक ज्ञात रूप (तीसरी डिग्री का एक समतल वक्र) के बीजगणितीय रूप में इस धारणा के तहत डाला जाता है कि इस प्रकार प्राप्त अण्डाकार वक्र मौजूद हैं (दूसरी असत्यापित धारणा)। तीसरा, चूंकि यह अन्य तरीकों से साबित होता है कि निर्मित कंक्रीट वक्र गैर-मॉड्यूलर है, इसका मतलब है कि यह अस्तित्व में नहीं है। इससे निष्कर्ष निकलता है: फर्मेट समीकरण का कोई पूर्णांक समाधान नहीं है और इसलिए, डब्ल्यूटीएफ सत्य है।

इन तर्कों में एक कमजोर कड़ी है, जो एक विस्तृत जांच के बाद एक गलती साबित होती है। यह गलती सबूत प्रक्रिया के दूसरे चरण में की जाती है, जब यह माना जाता है कि फर्मेट के समीकरण का काल्पनिक समाधान भी एक ज्ञात रूप के अंडाकार वक्र का वर्णन करने वाले तीसरे डिग्री बीजगणितीय समीकरण का समाधान है। अपने आप में, इस तरह की धारणा उचित होगी यदि संकेतित वक्र वास्तव में अंडाकार था। हालांकि, जैसा कि आइटम 1 ए से देखा जा सकता है), यह वक्र गैर-रेखीय निर्देशांक में प्रस्तुत किया जाता है, जो इसे "भ्रम" बनाता है, अर्थात। वास्तव में एक रैखिक टोपोलॉजिकल स्पेस में मौजूद नहीं है।

अब हमें मिली त्रुटि को स्पष्ट रूप से वर्गीकृत करने की आवश्यकता है। यह इस तथ्य में निहित है कि जिसे साबित करने की आवश्यकता है उसे सबूत के तर्क के रूप में दिया जाता है। शास्त्रीय तर्क में, इस त्रुटि को "दुष्चक्र" के रूप में जाना जाता है। इस मामले में, फ़र्मेट समीकरण के पूर्णांक समाधान की तुलना (जाहिरा तौर पर, विशिष्ट रूप से विशिष्ट रूप से) एक काल्पनिक, गैर-मौजूद अण्डाकार वक्र के साथ की जाती है, और फिर आगे के तर्क के सभी मार्ग यह साबित करने के लिए जाते हैं कि इस रूप का एक विशिष्ट अण्डाकार वक्र प्राप्त हुआ है। Fermat समीकरण के काल्पनिक समाधान से मौजूद नहीं है।

यह कैसे हुआ कि एक गंभीर गणितीय कार्य में इतनी प्रारंभिक गलती छूट गई? शायद, यह इस तथ्य के कारण हुआ कि इस प्रकार के "भ्रमपूर्ण" ज्यामितीय आंकड़े पहले गणित में नहीं पढ़े गए थे। वास्तव में, किसकी दिलचस्पी हो सकती है, उदाहरण के लिए, चर x n/2 = A, y n/2 = B, z n/2 = C को बदलकर Fermat के समीकरण से प्राप्त एक काल्पनिक वृत्त में? आखिरकार, इसके समीकरण सी 2 = ए 2 + बी 2 में पूर्णांक x, y, z और n 3 के लिए कोई पूर्णांक समाधान नहीं है। गैर-रैखिक समन्वय अक्षों में एक्स और वाई, इस तरह के एक सर्कल को एक समीकरण द्वारा वर्णित किया जाएगा जो मानक रूप के समान दिखता है:

वाई 2 \u003d - (एक्स - ए) (एक्स + बी),

जहां ए और बी अब चर नहीं हैं, लेकिन उपरोक्त प्रतिस्थापन द्वारा निर्धारित ठोस संख्याएं हैं। लेकिन अगर संख्या ए और बी को उनका मूल रूप दिया जाता है, जिसमें उनके शक्ति चरित्र होते हैं, तो समीकरण के दाईं ओर के कारकों में अंकन की विषमता तुरंत आंख को पकड़ लेती है। यह संकेत भ्रम को वास्तविकता से अलग करने और गैर-रेखीय से रैखिक निर्देशांक में जाने में मदद करता है। दूसरी ओर, यदि हम संख्याओं की तुलना चर के साथ करते समय ऑपरेटरों के रूप में करते हैं, उदाहरण के लिए (1) में, तो दोनों समरूप मात्राएँ होनी चाहिए, अर्थात। समान डिग्री होनी चाहिए।

ऑपरेटरों के रूप में संख्याओं की शक्तियों की इस तरह की समझ से यह भी देखना संभव हो जाता है कि फ़र्मेट के समीकरण की एक भ्रामक अण्डाकार वक्र के साथ तुलना असंदिग्ध नहीं है। उदाहरण के लिए, (5) के दायीं ओर के कारकों में से एक को लें और एक जटिल संख्या r का परिचय देकर इसे p रैखिक कारकों में विस्तारित करें जैसे कि r p = 1 (उदाहरण के लिए देखें):

पी + तुमपी = (ξ + तुम)(ξ + आर तुम)(ξ + आर 2 तुम)...(ξ + r p-1 तुम) (6)

फिर फॉर्म (5) को बीजगणितीय पहचान (6) के प्रकार के अनुसार जटिल संख्याओं के प्रमुख कारकों में अपघटन के रूप में दर्शाया जा सकता है, हालांकि, सामान्य मामले में इस तरह के अपघटन की विशिष्टता संदिग्ध है, जिसे एक बार कुमेर द्वारा दिखाया गया था। .

2. निष्कर्ष

पिछले विश्लेषण से यह पता चलता है कि अण्डाकार वक्रों का तथाकथित अंकगणित इस बात पर प्रकाश डालने में सक्षम नहीं है कि डब्ल्यूटीएफ के प्रमाण की तलाश कहाँ की जाए। काम के बाद, फ़र्मेट का बयान, वैसे, इस लेख के एपिग्राफ के रूप में लिया गया, एक ऐतिहासिक मजाक या व्यावहारिक मजाक के रूप में माना जाने लगा। हालांकि, वास्तव में यह पता चला है कि यह फ़र्मेट नहीं था जो मज़ाक कर रहा था, लेकिन विशेषज्ञ जो 1984 में जर्मनी में ओबरवुल्फ़च में गणितीय संगोष्ठी में एकत्र हुए थे, जिसमें जी। फ्रे ने अपने मजाकिया विचार को आवाज दी थी। इस तरह के लापरवाह बयान के परिणामों ने गणित को समग्र रूप से अपने सार्वजनिक विश्वास को खोने के कगार पर ला दिया, जिसका विस्तार से वर्णन किया गया है और जो विज्ञान से पहले समाज के लिए वैज्ञानिक संस्थानों की जिम्मेदारी का सवाल उठाता है। फ़र्मेट समीकरण का फ़्री वक्र (1) में मानचित्रण फ़र्मेट के प्रमेय के संबंध में विल्स के संपूर्ण प्रमाण का "लॉक" है, और यदि फ़र्मेट वक्र और मॉड्यूलर अण्डाकार वक्रों के बीच कोई पत्राचार नहीं है, तो कोई प्रमाण भी नहीं है।

हाल ही में कई इंटरनेट रिपोर्टें आई हैं कि कुछ प्रमुख गणितज्ञों ने अंततः विल्स के फ़र्मेट के प्रमेय के प्रमाण का पता लगा लिया है, जिससे उन्हें यूक्लिडियन अंतरिक्ष में पूर्णांक बिंदुओं के "न्यूनतम" पुनर्गणना के रूप में एक बहाना मिल गया है। हालांकि, कोई भी नवाचार गणित में मानव जाति द्वारा पहले से प्राप्त शास्त्रीय परिणामों को रद्द नहीं कर सकता है, विशेष रूप से, तथ्य यह है कि हालांकि कोई भी क्रमिक संख्या अपने मात्रात्मक समकक्ष के साथ मेल खाती है, यह संख्याओं की एक दूसरे के साथ तुलना करने के संचालन में इसके लिए एक प्रतिस्थापन नहीं हो सकता है, और इसलिए साथ अनिवार्य रूप से इस निष्कर्ष का अनुसरण करता है कि फ्रे वक्र (1) शुरू में अण्डाकार नहीं है, अर्थात। परिभाषा से नहीं है।

ग्रंथ सूची:

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2. इवलिव यू.ए. 20वीं सदी का सबसे बड़ा वैज्ञानिक घोटाला: फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय का "प्रमाण" - प्राकृतिक और तकनीकी विज्ञान (खंड "इतिहास और गणित की कार्यप्रणाली")। अगस्त 2007 नंबर 4 (30) पीपी। 34-48।
3. एडवर्ड्स जी. (एडवर्ड्स एच.एम.) फ़र्मेट का अंतिम प्रमेय। बीजीय संख्या सिद्धांत का आनुवंशिक परिचय। प्रति. अंग्रेज़ी से। ईडी। बीएफ स्कुबेंको। एम.: मीर 1980, 484 पी।
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5. विल्स ए. मॉड्यूलर एलिप्टिक कर्व्स एंड फ़र्मेट्स लास्ट थ्योरम - एनल्स ऑफ मैथमेटिक्स। मई 1995 v.141 दूसरी श्रृंखला संख्या 3 पृष्ठ.443-551।

ग्रंथ सूची लिंक

इवलिव यू.ए. फर्मेट के महान प्रमेय का विल्स का त्रुटिपूर्ण प्रमाण // मौलिक अनुसंधान। - 2008. - नंबर 3. - पी। 13-16;
यूआरएल: http://fundamental-research.ru/ru/article/view?id=2763 (पहुंच की तिथि: 03.03.2020)। हम आपके ध्यान में प्रकाशन गृह "अकादमी ऑफ नेचुरल हिस्ट्री" द्वारा प्रकाशित पत्रिकाओं को लाते हैं।

तो, Fermat की अंतिम प्रमेय (जिसे अक्सर Fermat का अंतिम प्रमेय कहा जाता है), जिसे 1637 में शानदार फ्रांसीसी गणितज्ञ पियरे फ़र्मेट द्वारा तैयार किया गया था, अपने सार में बहुत सरल है और माध्यमिक शिक्षा वाले किसी भी व्यक्ति के लिए समझ में आता है। यह कहता है कि सूत्र a से n + b की शक्ति से n \u003d c की शक्ति से n की शक्ति तक n > 2 के लिए कोई प्राकृतिक (अर्थात, गैर-आंशिक) समाधान नहीं है। सब कुछ सरल और स्पष्ट प्रतीत होता है , लेकिन सबसे अच्छे गणितज्ञों और साधारण शौकीनों ने साढ़े तीन शताब्दियों से अधिक समय तक समाधान खोजने के लिए संघर्ष किया।

वह इतनी प्रसिद्ध क्यों है? आइए अब जानते हैं...



क्या कुछ सिद्ध, अप्रमाणित और अभी तक अप्रमाणित प्रमेय हैं? बात यह है कि फ़र्मेट का अंतिम प्रमेय सूत्रीकरण की सरलता और प्रमाण की जटिलता के बीच सबसे बड़ा अंतर है। Fermat's Last Theorem एक अविश्वसनीय रूप से कठिन कार्य है, और फिर भी इसके सूत्रीकरण को माध्यमिक विद्यालय की 5 वीं कक्षा के साथ सभी लोग समझ सकते हैं, लेकिन इसका प्रमाण हर पेशेवर गणितज्ञ से भी दूर है। न तो भौतिकी में, न रसायन विज्ञान में, न जीव विज्ञान में, न ही उसी गणित में एक भी समस्या है जो इतनी सरलता से तैयार की जा सकती है, लेकिन इतने लंबे समय तक अनसुलझी रही। 2. इसमें क्या शामिल है?

आइए पाइथागोरस पैंट से शुरू करें शब्दांकन वास्तव में सरल है - पहली नज़र में। जैसा कि हम बचपन से जानते हैं, "पायथागॉरियन पैंट हर तरफ बराबर होते हैं।" समस्या इतनी सरल लगती है क्योंकि यह एक गणितीय कथन पर आधारित था जिसे हर कोई जानता है - पाइथागोरस प्रमेय: किसी भी समकोण त्रिभुज में, कर्ण पर बना वर्ग पैरों पर बने वर्गों के योग के बराबर होता है।

5 वीं शताब्दी ईसा पूर्व में। पाइथागोरस ने पाइथागोरस ब्रदरहुड की स्थापना की। पाइथागोरस ने, अन्य बातों के अलावा, समीकरण x²+y²=z² को संतुष्ट करने वाले पूर्णांक त्रिक का अध्ययन किया। उन्होंने साबित किया कि असीमित पाइथागोरस त्रिक हैं और उन्हें खोजने के लिए सामान्य सूत्र प्राप्त किए। उन्होंने शायद ट्रिपल और उच्च डिग्री देखने की कोशिश की। विश्वास है कि यह काम नहीं किया, पाइथागोरस ने अपने व्यर्थ प्रयासों को छोड़ दिया। बिरादरी के सदस्य गणितज्ञों की तुलना में अधिक दार्शनिक और सौंदर्यशास्त्री थे।


अर्थात्, संख्याओं का एक समूह चुनना आसान है जो x² + y² = z² . की समानता को पूरी तरह से संतुष्ट करता है

3, 4, 5 से शुरू - वास्तव में, प्राथमिक विद्यालय का छात्र समझता है कि 9 + 16 = 25।

या 5, 12, 13: 25 + 144 = 169। बढ़िया।

खैर, और इसी तरह। क्या होगा यदि हम एक समान समीकरण x³+y³=z³ लें? शायद ऐसे नंबर भी हैं?




और इसी तरह (चित्र 1)।

खैर, यह पता चला है कि वे नहीं करते हैं। यहीं से चाल शुरू होती है। सादगी स्पष्ट है, क्योंकि किसी चीज की उपस्थिति नहीं, बल्कि, इसके विपरीत, अनुपस्थिति को साबित करना मुश्किल है। जब यह साबित करना आवश्यक हो कि एक समाधान है, तो इस समाधान को प्रस्तुत किया जा सकता है और करना चाहिए।

अनुपस्थिति को सिद्ध करना अधिक कठिन है: उदाहरण के लिए, कोई कहता है: ऐसे और ऐसे समीकरण का कोई हल नहीं है। उसे पोखर में डाल दो? आसान: बम - और यहाँ यह है, समाधान! (समाधान दें)। और बस, प्रतिद्वंद्वी हार गया। अनुपस्थिति कैसे साबित करें?

कहने के लिए: "मुझे ऐसे समाधान नहीं मिले"? या शायद आपने ठीक से खोज नहीं की? और क्या होगा यदि वे हैं, केवल बहुत बड़े, अच्छी तरह से, जैसे कि एक सुपर-शक्तिशाली कंप्यूटर में अभी तक पर्याप्त ताकत नहीं है? यही मुश्किल है।

एक दृश्य रूप में, इसे इस प्रकार दिखाया जा सकता है: यदि हम उपयुक्त आकार के दो वर्ग लेते हैं और उन्हें इकाई वर्गों में विभाजित करते हैं, तो इकाई वर्गों के इस समूह से एक तीसरा वर्ग प्राप्त होता है (चित्र 2):


और तीसरे आयाम के साथ भी ऐसा ही करते हैं (चित्र 3) - यह काम नहीं करता है। पर्याप्त क्यूब नहीं हैं, या अतिरिक्त बचे हैं:





लेकिन 17वीं शताब्दी के गणितज्ञ, फ्रांसीसी पियरे डी फ़र्मेट ने उत्साहपूर्वक सामान्य समीकरण x . का अध्ययन किया n+yn=zn . और, अंत में, उन्होंने निष्कर्ष निकाला: n>2 के लिए पूर्णांक समाधान मौजूद नहीं हैं। Fermat का सबूत अपरिवर्तनीय रूप से खो गया है। पांडुलिपियों में आग लगी है! केवल डायोफैंटस के अंकगणित में उनकी टिप्पणी बची हुई है: "मुझे इस प्रस्ताव का वास्तव में एक अद्भुत प्रमाण मिला है, लेकिन यहां मार्जिन इसे समाहित करने के लिए बहुत संकीर्ण है।"

दरअसल, बिना प्रमाण के प्रमेय को परिकल्पना कहा जाता है। लेकिन फ़र्मेट की कभी भी गलत नहीं होने की प्रतिष्ठा है। यहां तक ​​कि अगर उन्होंने किसी बयान का सबूत नहीं छोड़ा, तो बाद में इसकी पुष्टि की गई। इसके अलावा, फ़र्मेट ने n=4 के लिए अपनी थीसिस साबित की। तो फ्रांसीसी गणितज्ञ की परिकल्पना इतिहास में फर्मेट के अंतिम प्रमेय के रूप में नीचे चली गई।

फ़र्मेट के बाद, लियोनहार्ड यूलर जैसे महान दिमागों ने प्रमाण खोजने पर काम किया (1770 में उन्होंने n = 3 के लिए एक समाधान प्रस्तावित किया),

एड्रियन लीजेंड्रे और जोहान डिरिचलेट (इन वैज्ञानिकों ने संयुक्त रूप से 1825 में n = 5 के लिए एक प्रमाण पाया), गेब्रियल लेम (जिन्होंने n = 7 के लिए एक प्रमाण पाया) और कई अन्य। पिछली शताब्दी के 80 के दशक के मध्य तक, यह स्पष्ट हो गया था कि वैज्ञानिक दुनिया फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय के अंतिम समाधान की ओर अग्रसर थी, लेकिन केवल 1993 में गणितज्ञों ने देखा और विश्वास किया कि तीन-शताब्दी की गाथा का प्रमाण खोजने की फ़र्मेट का अंतिम प्रमेय लगभग समाप्त हो गया था।

यह दिखाना आसान है कि फ़र्मेट के प्रमेय को केवल अभाज्य n: 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... के लिए सिद्ध करना पर्याप्त है। समग्र n के लिए, प्रमाण मान्य रहता है। लेकिन अपरिमित रूप से कई अभाज्य संख्याएँ हैं...

1825 में, सोफी जर्मेन की विधि का उपयोग करते हुए, महिला गणितज्ञों, डिरिचलेट और लीजेंड्रे ने स्वतंत्र रूप से n = 5 के लिए प्रमेय को सिद्ध किया। 1839 में, फ्रांसीसी गेब्रियल लेम ने उसी विधि का उपयोग करके n=7 के प्रमेय की सच्चाई को दिखाया। धीरे-धीरे, प्रमेय लगभग सभी n सौ से कम के लिए सिद्ध हो गया।


अंत में, जर्मन गणितज्ञ अर्नस्ट कमर ने एक शानदार अध्ययन में दिखाया कि 19 वीं शताब्दी में गणित की विधियाँ सामान्य रूप में प्रमेय को सिद्ध नहीं कर सकती हैं। 1847 में फर्मेट के प्रमेय के प्रमाण के लिए स्थापित फ्रेंच एकेडमी ऑफ साइंसेज का पुरस्कार असाइन नहीं किया गया।

1907 में, धनी जर्मन उद्योगपति पॉल वोल्फस्केल ने एकतरफा प्यार के कारण अपनी जान लेने का फैसला किया। एक सच्चे जर्मन की तरह, उसने आत्महत्या की तारीख और समय निर्धारित किया: ठीक आधी रात को। आखिरी दिन उन्होंने एक वसीयत बनाई और दोस्तों और रिश्तेदारों को पत्र लिखे। आधी रात से पहले कारोबार खत्म हो गया। मुझे कहना होगा कि पॉल को गणित में दिलचस्पी थी। कुछ न होने के कारण, वह पुस्तकालय में गया और कुमेर के प्रसिद्ध लेख को पढ़ने लगा। उसे अचानक लगा कि कुमार ने अपने तर्क में गलती कर दी है। हाथ में पेंसिल लेकर वोल्फस्केहल ने लेख के इस हिस्से का विश्लेषण करना शुरू किया। आधी रात बीत गई, सुबह हो गई। सबूत में अंतर भर गया था। और आत्महत्या का कारण अब पूरी तरह हास्यास्पद लग रहा था। पॉल ने विदाई पत्रों को फाड़ दिया और वसीयत को फिर से लिखा।

वह जल्द ही प्राकृतिक कारणों से मर गया। वारिस बहुत आश्चर्यचकित थे: 100,000 अंक (1,000,000 से अधिक वर्तमान पाउंड स्टर्लिंग) को रॉयल साइंटिफिक सोसाइटी ऑफ गॉटिंगेन के खाते में स्थानांतरित कर दिया गया था, जिसने उसी वर्ष वोल्फस्केल पुरस्कार के लिए एक प्रतियोगिता की घोषणा की थी। 100,000 अंक Fermat के प्रमेय के कहावत पर निर्भर करते हैं। प्रमेय के खंडन के लिए एक फ़ेंनिग का भुगतान नहीं किया जाना चाहिए था ...

अधिकांश पेशेवर गणितज्ञों ने फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय के प्रमाण की खोज को एक खोया हुआ कारण माना और इस तरह के व्यर्थ अभ्यास पर समय बर्बाद करने से इनकार कर दिया। लेकिन शौकिया महिमा के लिए खिलखिलाते हैं। घोषणा के कुछ हफ्ते बाद, "सबूत" के हिमस्खलन ने गौटिंगेन विश्वविद्यालय को मारा। प्रोफेसर ईएम लांडौ, जिनका कर्तव्य भेजे गए सबूतों का विश्लेषण करना था, ने अपने छात्रों को कार्ड वितरित किए:


प्रिय (को) । . . . . . . .

Fermat's Last Theorem के प्रमाण के साथ आपके द्वारा भेजी गई पांडुलिपि के लिए धन्यवाद। पहली त्रुटि पृष्ठ पर है ... पंक्ति में ...। इसके कारण, संपूर्ण प्रमाण अपनी वैधता खो देता है।
प्रोफेसर ई.एम. लैंडौ











1963 में, पॉल कोहेन ने गोडेल के निष्कर्षों पर चित्रण करते हुए, हिल्बर्ट की तेईस समस्याओं में से एक, सातत्य परिकल्पना की अक्षमता को साबित किया। क्या होगा अगर फ़र्मेट का अंतिम प्रमेय भी अघुलनशील है?! लेकिन महान प्रमेय के सच्चे कट्टरपंथियों ने बिल्कुल भी निराश नहीं किया। कंप्यूटर के आगमन ने अप्रत्याशित रूप से गणितज्ञों को प्रमाण का एक नया तरीका दिया। द्वितीय विश्व युद्ध के बाद, प्रोग्रामर और गणितज्ञों के समूहों ने n के 500 तक, फिर 1,000 तक और बाद में 10,000 तक के सभी मानों के लिए फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय को सिद्ध किया।

80 के दशक में, सैमुअल वागस्टाफ ने सीमा को बढ़ाकर 25,000 कर दिया, और 90 के दशक में, गणितज्ञों ने दावा किया कि फ़र्मेट का अंतिम प्रमेय n के 4 मिलियन तक के सभी मूल्यों के लिए सही था। लेकिन अगर अनंत से एक ट्रिलियन ट्रिलियन भी घटा दिया जाए, तो यह छोटा नहीं होता है। गणितज्ञ आंकड़ों से आश्वस्त नहीं हैं। महान प्रमेय को सिद्ध करने का अर्थ अनंत तक जाने वाले सभी के लिए इसे सिद्ध करना था।




1954 में, दो युवा जापानी गणितज्ञ मित्रों ने मॉड्यूलर रूपों का अध्ययन किया। ये रूप संख्याओं की श्रृंखला उत्पन्न करते हैं, प्रत्येक की अपनी श्रृंखला होती है। संयोग से, तानियामा ने इन श्रृंखलाओं की तुलना अण्डाकार समीकरणों द्वारा उत्पन्न श्रृंखला से की। वे मेल खाते थे! लेकिन मॉड्यूलर रूप ज्यामितीय वस्तुएं हैं, जबकि अण्डाकार समीकरण बीजीय हैं। ऐसी विभिन्न वस्तुओं के बीच कभी कोई संबंध नहीं मिला।

फिर भी, सावधानीपूर्वक परीक्षण के बाद, दोस्तों ने एक परिकल्पना सामने रखी: प्रत्येक अण्डाकार समीकरण में एक जुड़वां - एक मॉड्यूलर रूप होता है, और इसके विपरीत। यह वह परिकल्पना थी जो गणित में एक संपूर्ण प्रवृत्ति की नींव बन गई, लेकिन जब तक तानियामा-शिमुरा परिकल्पना सिद्ध नहीं हो जाती, तब तक पूरी इमारत किसी भी क्षण ढह सकती है।

1984 में, गेरहार्ड फ्रे ने दिखाया कि फ़र्मेट के समीकरण का एक समाधान, यदि यह मौजूद है, तो कुछ अण्डाकार समीकरण में शामिल किया जा सकता है। दो साल बाद, प्रोफेसर केन रिबेट ने साबित कर दिया कि मॉड्यूलर दुनिया में इस काल्पनिक समीकरण का समकक्ष नहीं हो सकता है। इसके बाद, फ़र्मेट का अंतिम प्रमेय तानियामा-शिमुरा अनुमान के साथ अटूट रूप से जुड़ा हुआ था। यह साबित करने के बाद कि कोई भी अण्डाकार वक्र मॉड्यूलर है, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि फ़र्मेट के समीकरण के समाधान के साथ कोई अण्डाकार समीकरण नहीं है, और फ़र्मेट का अंतिम प्रमेय तुरंत सिद्ध हो जाएगा। लेकिन तीस साल तक तानियामा-शिमुरा अनुमान को साबित करना संभव नहीं था, और सफलता की उम्मीद कम होती जा रही थी।

1963 में, जब वह केवल दस वर्ष का था, एंड्रयू विल्स पहले से ही गणित से मोहित थे। जब उन्होंने महान प्रमेय के बारे में सीखा, तो उन्होंने महसूस किया कि वह इससे विचलित नहीं हो सकते। एक स्कूली छात्र, छात्र, स्नातक छात्र के रूप में, उन्होंने इस कार्य के लिए खुद को तैयार किया।

केन रिबेट के निष्कर्षों के बारे में जानने के बाद, विल्स ने तानियामा-शिमुरा अनुमान को साबित करने के लिए खुद को फेंक दिया। उन्होंने पूरी तरह से अलगाव और गोपनीयता में काम करने का फैसला किया। "मैं समझ गया था कि फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय के साथ कुछ करने वाली हर चीज़ बहुत अधिक रुचि की है ... बहुत से दर्शक जानबूझकर लक्ष्य की उपलब्धि में हस्तक्षेप करते हैं।" सात साल की कड़ी मेहनत रंग लाई, विल्स ने आखिरकार तानियामा-शिमुरा अनुमान का प्रमाण पूरा कर लिया।

1993 में, अंग्रेजी गणितज्ञ एंड्रयू विल्स ने दुनिया के सामने फर्मेट के अंतिम प्रमेय का प्रमाण प्रस्तुत किया (विल्स ने कैम्ब्रिज में सर आइजैक न्यूटन इंस्टीट्यूट में एक सम्मेलन में अपनी सनसनीखेज रिपोर्ट पढ़ी।), जिस पर काम सात साल से अधिक समय तक चला।







जबकि प्रेस में प्रचार जारी रहा, सबूतों को सत्यापित करने के लिए गंभीर काम शुरू हुआ। सबूत को कठोर और सटीक मानने से पहले सबूत के प्रत्येक टुकड़े की सावधानीपूर्वक जांच की जानी चाहिए। विल्स ने समीक्षकों की प्रतिक्रिया की प्रतीक्षा में एक व्यस्त गर्मी बिताई, उम्मीद है कि वह उनकी स्वीकृति जीत सकते हैं। अगस्त के अंत में, विशेषज्ञों ने अपर्याप्त रूप से प्रमाणित निर्णय पाया।

यह पता चला कि इस निर्णय में घोर त्रुटि है, हालांकि सामान्य तौर पर यह सच है। विल्स ने हार नहीं मानी, संख्या सिद्धांत के जाने-माने विशेषज्ञ रिचर्ड टेलर की मदद ली और 1994 में ही उन्होंने प्रमेय का एक सही और पूरक प्रमाण प्रकाशित किया। सबसे आश्चर्यजनक बात यह है कि एनल्स ऑफ मैथमेटिक्स मैथमैटिकल जर्नल में इस काम ने 130 (!) पेजों को लिया। लेकिन कहानी वहाँ भी समाप्त नहीं हुई - अंतिम बिंदु केवल अगले वर्ष, 1995 में बनाया गया था, जब अंतिम और "आदर्श", गणितीय दृष्टिकोण से, प्रमाण का संस्करण प्रकाशित किया गया था।

"... उसके जन्मदिन के अवसर पर उत्सव के रात्रिभोज की शुरुआत के आधे मिनट बाद, मैंने नादिया को पूरे सबूत की पांडुलिपि दी" (एंड्रयू वेल्स)। क्या मैंने उल्लेख किया कि गणितज्ञ अजीब लोग हैं?






इस बार सबूत के बारे में कोई संदेह नहीं था। दो लेख सबसे सावधानीपूर्वक विश्लेषण के अधीन थे और मई 1995 में गणित के इतिहास में प्रकाशित हुए थे।

उस क्षण से बहुत समय बीत चुका है, लेकिन फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय की अक्षमता के बारे में समाज में अभी भी एक राय है। लेकिन यहां तक ​​कि जो लोग मिले सबूत के बारे में जानते हैं वे भी इस दिशा में काम करना जारी रखते हैं - बहुत कम लोग संतुष्ट हैं कि ग्रेट थ्योरम को 130 पृष्ठों के समाधान की आवश्यकता है!

इसलिए, अब इतने सारे गणितज्ञों (ज्यादातर शौकिया, पेशेवर वैज्ञानिक नहीं) की ताकतों को एक सरल और संक्षिप्त प्रमाण की तलाश में फेंक दिया जाता है, लेकिन यह रास्ता, सबसे अधिक संभावना है, कहीं नहीं ले जाएगा ...

यह संभावना नहीं है कि हमारे संपादकीय कार्यालय के जीवन में कम से कम एक वर्ष फर्मेट के प्रमेय के अच्छे दर्जन प्रमाण प्राप्त किए बिना बीत गया। अब, इस पर "जीत" के बाद, प्रवाह कम हो गया है, लेकिन सूख नहीं गया है।

बेशक, इसे पूरी तरह से सूखने के लिए नहीं, हम इस लेख को प्रकाशित करते हैं। और मेरे अपने बचाव में नहीं - कि, वे कहते हैं, इसलिए हम चुप रहे, हम खुद अभी तक इस तरह की जटिल समस्याओं पर चर्चा करने के लिए परिपक्व नहीं हुए हैं।

लेकिन अगर लेख वास्तव में जटिल लगता है, तो इसके अंत को तुरंत देखें। आपको यह महसूस करना होगा कि जुनून अस्थायी रूप से शांत हो गया है, विज्ञान खत्म नहीं हुआ है, और जल्द ही नए प्रमेयों के नए सबूत संपादकों को भेजे जाएंगे।

ऐसा लगता है कि 20वीं सदी व्यर्थ नहीं गई। सबसे पहले लोगों ने हाइड्रोजन बम से एक पल के लिए दूसरा सूर्य बनाया। फिर वे चंद्रमा पर चले और अंत में कुख्यात फर्मेट के प्रमेय को साबित कर दिया। इन तीन चमत्कारों में से, पहले दो हर किसी की जुबान पर हैं, क्योंकि उनके बड़े सामाजिक परिणाम हुए हैं। इसके विपरीत, तीसरा चमत्कार एक अन्य वैज्ञानिक खिलौने की तरह दिखता है - सापेक्षता के सिद्धांत, क्वांटम यांत्रिकी और अंकगणित की अपूर्णता पर गोडेल के प्रमेय के बराबर। हालाँकि, सापेक्षता और क्वांटा ने भौतिकविदों को हाइड्रोजन बम तक पहुँचाया, और गणितज्ञों के शोध ने हमारी दुनिया को कंप्यूटरों से भर दिया। क्या चमत्कारों का यह सिलसिला 21वीं सदी में भी जारी रहेगा? क्या हमारे दैनिक जीवन में अगले वैज्ञानिक खिलौनों और क्रांतियों के बीच संबंध का पता लगाना संभव है? क्या यह संबंध हमें सफल भविष्यवाणियां करने की अनुमति देता है? आइए Fermat के प्रमेय के उदाहरण का उपयोग करके इसे समझने का प्रयास करें।

आइए एक शुरुआत के लिए ध्यान दें कि वह अपने प्राकृतिक कार्यकाल की तुलना में बहुत बाद में पैदा हुई थी। आखिरकार, फ़र्मेट के प्रमेय का पहला विशेष मामला पाइथागोरस समीकरण X 2 + Y 2 = Z 2 है, जो एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई से संबंधित है। पच्चीस शताब्दी पहले इस सूत्र को सिद्ध करने के बाद, पाइथागोरस ने तुरंत खुद से सवाल पूछा: क्या प्रकृति में ऐसे कई त्रिकोण हैं जिनमें दोनों पैरों और कर्ण की पूर्णांक लंबाई होती है? ऐसा लगता है कि मिस्रवासी केवल एक ऐसे त्रिभुज को जानते थे - भुजाओं के साथ (3, 4, 5)। लेकिन अन्य विकल्प खोजना मुश्किल नहीं है: उदाहरण के लिए (5, 12, 13) , (7, 24, 25) या (8, 15, 17) । इन सभी मामलों में, कर्ण की लंबाई का रूप (ए 2 + बी 2) है, जहां ए और बी विभिन्न समता की सहअभाज्य संख्याएं हैं। इस मामले में, पैरों की लंबाई (ए 2 - बी 2) और 2AB के बराबर है।

इन रिश्तों को देखते हुए, पाइथागोरस ने आसानी से साबित कर दिया कि संख्याओं का कोई भी ट्रिपल (X \u003d A 2 - B 2, Y \u003d 2AB, Z \u003d A 2 + B 2) समीकरण X 2 + Y 2 \u003d Z का समाधान है। 2 और पारस्परिक रूप से सरल पक्ष लंबाई के साथ एक आयत सेट करता है। यह भी देखा गया है कि इस प्रकार के विभिन्न त्रिगुणों की संख्या अनंत है। लेकिन क्या पाइथागोरस समीकरण के सभी समाधानों का यह रूप होता है? पाइथागोरस इस तरह की परिकल्पना को साबित या अस्वीकृत करने में असमर्थ था और इस समस्या पर ध्यान दिए बिना इस समस्या को भावी पीढ़ी पर छोड़ दिया। कौन अपनी असफलताओं को उजागर करना चाहता है? ऐसा लगता है कि इसके बाद पूर्ण समकोण त्रिभुजों की समस्या सात शताब्दियों तक गुमनामी में रही - जब तक कि अलेक्जेंड्रिया में डायोफैंटस नामक एक नई गणितीय प्रतिभा दिखाई नहीं दी।

हम उसके बारे में बहुत कम जानते हैं, लेकिन यह स्पष्ट है कि वह पाइथागोरस जैसा कुछ नहीं था। वह ज्यामिति में और उससे भी आगे-चाहे संगीत, खगोल विज्ञान या राजनीति में एक राजा की तरह महसूस करते थे। एक सामंजस्यपूर्ण वीणा के पक्षों की लंबाई के बीच पहला अंकगणितीय संबंध, ग्रहों और सितारों को ले जाने वाले संकेंद्रित क्षेत्रों से ब्रह्मांड का पहला मॉडल, केंद्र में पृथ्वी के साथ, और अंत में, इतालवी शहर क्रोटोन में वैज्ञानिकों का पहला गणराज्य - ये पाइथागोरस की व्यक्तिगत उपलब्धियां हैं। डायोफैंटस ऐसी सफलताओं का विरोध क्या कर सकता था - महान संग्रहालय का एक मामूली शोधकर्ता, जो लंबे समय से शहर की भीड़ का गौरव नहीं रहा है?

केवल एक ही बात: संख्याओं की प्राचीन दुनिया की बेहतर समझ, जिसके नियमों को पाइथागोरस, यूक्लिड और आर्किमिडीज के पास मुश्किल से महसूस करने का समय था। ध्यान दें कि डायोफैंटस ने अभी तक बड़ी संख्या लिखने की स्थिति प्रणाली में महारत हासिल नहीं की थी, लेकिन वह जानता था कि नकारात्मक संख्याएं क्या हैं और शायद यह सोचने में कई घंटे बिताए कि दो नकारात्मक संख्याओं का उत्पाद सकारात्मक क्यों है। पूर्णांकों की दुनिया को सबसे पहले डायोफैंटस को एक विशेष ब्रह्मांड के रूप में प्रकट किया गया था, जो सितारों, खंडों या पॉलीहेड्रा की दुनिया से अलग था। इस दुनिया में वैज्ञानिकों का मुख्य व्यवसाय समीकरणों को हल करना है, एक सच्चा गुरु सभी संभावित समाधान ढूंढता है और साबित करता है कि कोई अन्य समाधान नहीं है। डायोफैंटस ने द्विघात पाइथागोरस समीकरण के साथ यही किया, और फिर उसने सोचा: क्या कम से कम एक समाधान में समान घन समीकरण X 3 + Y 3 = Z 3 है?

डायोफैंटस ऐसा समाधान खोजने में विफल रहा, यह साबित करने का उसका प्रयास भी असफल रहा कि कोई समाधान नहीं है। इसलिए, "अरिथमेटिक" (यह संख्या सिद्धांत पर दुनिया की पहली पाठ्यपुस्तक थी) पुस्तक में अपने काम के परिणामों को चित्रित करते हुए, डायोफैंटस ने पाइथागोरस समीकरण का विस्तार से विश्लेषण किया, लेकिन इस समीकरण के संभावित सामान्यीकरण के बारे में एक शब्द भी संकेत नहीं दिया। लेकिन वह कर सकता था: आखिरकार, यह डायोफैंटस था जिसने सबसे पहले पूर्णांक की शक्तियों के लिए संकेतन का प्रस्ताव रखा था! लेकिन अफसोस: "टास्क बुक" की अवधारणा हेलेनिक विज्ञान और शिक्षाशास्त्र के लिए अलग थी, और अनसुलझी समस्याओं की सूची प्रकाशित करना एक अशोभनीय व्यवसाय माना जाता था (केवल सुकरात ने अलग तरह से काम किया)। यदि आप समस्या का समाधान नहीं कर सकते - चुप रहो! डायोफैंटस चुप हो गया, और यह चुप्पी चौदह शताब्दियों तक चली - नए युग की शुरुआत तक, जब मानव सोच की प्रक्रिया में रुचि पुनर्जीवित हुई।

16वीं-17वीं सदी के मोड़ पर किसने किसी चीज की कल्पना नहीं की थी! अथक कैलकुलेटर केप्लर ने सूर्य से ग्रहों की दूरी के बीच संबंध का अनुमान लगाने की कोशिश की। पाइथागोरस विफल रहा। केप्लर की सफलता तब मिली जब उन्होंने बहुपदों और अन्य सरल कार्यों को एकीकृत करना सीखा। इसके विपरीत, सपने देखने वाले डेसकार्टेस को लंबी गणना पसंद नहीं थी, लेकिन यह वह था जिसने सबसे पहले विमान या अंतरिक्ष के सभी बिंदुओं को संख्याओं के सेट के रूप में प्रस्तुत किया था। यह दुस्साहसी मॉडल आंकड़ों के बारे में किसी भी ज्यामितीय समस्या को समीकरणों के बारे में कुछ बीजीय समस्या को कम कर देता है - और इसके विपरीत। उदाहरण के लिए, पाइथागोरस समीकरण के पूर्णांक समाधान शंकु की सतह पर पूर्णांक बिंदुओं के अनुरूप होते हैं। घन समीकरण X 3 + Y 3 = Z 3 के अनुरूप सतह अधिक जटिल दिखती है, इसके ज्यामितीय गुणों ने पियरे फ़र्मेट को कुछ भी नहीं सुझाया, और उसे पूर्णांकों के विल्स के माध्यम से नए मार्ग प्रशस्त करने थे।

1636 में, डायोफैंटस की एक पुस्तक, जिसका ग्रीक मूल से लैटिन में अनुवाद किया गया था, टूलूज़ के एक युवा वकील के हाथों में गिर गई, गलती से कुछ बीजान्टिन संग्रह में बच गई और तुर्की के समय में रोमन भगोड़ों में से एक द्वारा इटली लाया गया। बर्बाद। पाइथागोरस समीकरण की एक सुंदर चर्चा को पढ़ते हुए, फ़र्मेट ने सोचा: क्या ऐसा कोई समाधान खोजना संभव है, जिसमें तीन वर्ग संख्याएँ हों? इस प्रकार की कोई छोटी संख्या नहीं है: गणना द्वारा इसे सत्यापित करना आसान है। बड़े फैसलों का क्या? कंप्यूटर के बिना, Fermat एक संख्यात्मक प्रयोग नहीं कर सकता था। लेकिन उन्होंने देखा कि समीकरण एक्स 4 + वाई 4 = जेड 4 के प्रत्येक "बड़े" समाधान के लिए, एक छोटा समाधान बना सकता है। तो दो पूर्णांकों की चौथी घातों का योग कभी भी तीसरी संख्या के समान घात के बराबर नहीं होता है! दो घनों के योग के बारे में क्या?

डिग्री 4 की सफलता से प्रेरित होकर, फ़र्मेट ने डिग्री 3 के लिए "वंश की विधि" को संशोधित करने का प्रयास किया - और सफल रहा। यह पता चला कि उन एकल घनों से दो छोटे घनों की रचना करना असंभव था जिनमें एक किनारे की पूर्णांक लंबाई वाला एक बड़ा घन अलग हो गया। विजयी फ़र्मेट ने डायोफैंटस की किताब के हाशिये पर एक संक्षिप्त नोट बनाया और अपनी खोज की विस्तृत रिपोर्ट के साथ पेरिस को एक पत्र भेजा। लेकिन उन्हें कोई जवाब नहीं मिला - हालांकि आमतौर पर राजधानी के गणितज्ञों ने टूलूज़ में अपने अकेले सहयोगी-प्रतिद्वंद्वी की अगली सफलता पर तुरंत प्रतिक्रिया व्यक्त की। यहाँ क्या बात है?

काफी सरलता से: 17वीं शताब्दी के मध्य तक, अंकगणित फैशन से बाहर हो गया था। 16वीं शताब्दी के इतालवी बीजगणितविदों की महान सफलताएँ (जब डिग्री 3 और 4 के बहुपद समीकरणों को हल किया गया था) एक सामान्य वैज्ञानिक क्रांति की शुरुआत नहीं बन पाई, क्योंकि उन्होंने विज्ञान के आसन्न क्षेत्रों में नई उज्ज्वल समस्याओं को हल करने की अनुमति नहीं दी। अब, अगर केप्लर शुद्ध अंकगणित का उपयोग करके ग्रहों की कक्षाओं का अनुमान लगा सकता है ... लेकिन अफसोस, इसके लिए गणितीय विश्लेषण की आवश्यकता है। इसका मतलब है कि इसे विकसित किया जाना चाहिए - प्राकृतिक विज्ञान में गणितीय विधियों की पूर्ण विजय तक! लेकिन विश्लेषण ज्यामिति से बढ़ता है, जबकि अंकगणित निष्क्रिय वकीलों और संख्याओं और आंकड़ों के शाश्वत विज्ञान के अन्य प्रेमियों के लिए खेल का क्षेत्र बना हुआ है।

इसलिए, फ़र्मेट की अंकगणितीय सफलताएँ असामयिक निकलीं और अप्राप्य रहीं। वे इससे परेशान नहीं हुए: गणितज्ञ की प्रसिद्धि के लिए, उन्हें पहली बार डिफरेंशियल कैलकुलस, एनालिटिक ज्योमेट्री और प्रायिकता सिद्धांत के तथ्य सामने आए। फ़र्मेट की इन सभी खोजों ने तुरंत नए यूरोपीय विज्ञान के स्वर्ण कोष में प्रवेश किया, जबकि संख्या सिद्धांत एक और सौ वर्षों तक पृष्ठभूमि में फीका रहा - जब तक कि इसे यूलर द्वारा पुनर्जीवित नहीं किया गया।

18वीं शताब्दी का यह "गणितज्ञों का राजा" विश्लेषण के सभी अनुप्रयोगों में एक चैंपियन था, लेकिन उसने अंकगणित की भी उपेक्षा नहीं की, क्योंकि विश्लेषण के नए तरीकों से संख्याओं के बारे में अप्रत्याशित तथ्य सामने आए। किसने सोचा होगा कि प्रतिलोम वर्गों का अनंत योग (1 + 1/4 + 1/9 + 1/16+…) 2/6 के बराबर होता है? हेलेन्स में से कौन यह अनुमान लगा सकता था कि समान श्रृंखला संख्या की अपरिमेयता को साबित करना संभव बनाती है?

इस तरह की सफलताओं ने यूलर को फ़र्मेट की जीवित पांडुलिपियों को ध्यान से पढ़ने के लिए मजबूर किया (सौभाग्य से, महान फ्रांसीसी का पुत्र उन्हें प्रकाशित करने में कामयाब रहा)। सच है, डिग्री 3 के लिए "बड़े प्रमेय" के प्रमाण को संरक्षित नहीं किया गया है, लेकिन यूलर ने इसे "वंश विधि" की ओर इशारा करते हुए आसानी से बहाल कर दिया, और तुरंत इस विधि को अगली प्राइम डिग्री - 5 में स्थानांतरित करने का प्रयास किया।

यह वहाँ नहीं था! यूलर के तर्क में, जटिल संख्याएँ सामने आईं कि फ़र्मेट नोटिस नहीं करने में कामयाब रहा (यह खोजकर्ताओं का सामान्य समूह है)। लेकिन जटिल पूर्णांकों का गुणनखंडन एक नाजुक मामला है। यहां तक ​​कि यूलर ने भी इसे पूरी तरह से नहीं समझा और "फर्मेट समस्या" को एक तरफ रख दिया, अपने मुख्य काम को पूरा करने की जल्दी में - पाठ्यपुस्तक "विश्लेषण के सिद्धांत", जो कि हर प्रतिभाशाली युवा को लाइबनिज के बराबर खड़े होने में मदद करने वाला था और यूलर। पाठ्यपुस्तक का प्रकाशन 1770 में सेंट पीटर्सबर्ग में पूरा हुआ। लेकिन यूलर फ़र्मेट के प्रमेय पर वापस नहीं लौटे, यह सुनिश्चित करते हुए कि उनके हाथ और दिमाग ने जो कुछ भी छुआ, वह नए वैज्ञानिक युवाओं द्वारा नहीं भुलाया जाएगा।

और ऐसा ही हुआ: फ्रांसीसी एड्रियन लीजेंड्रे संख्या सिद्धांत में यूलर के उत्तराधिकारी बन गए। 18वीं शताब्दी के अंत में, उन्होंने डिग्री 5 के लिए फ़र्मेट के प्रमेय का प्रमाण पूरा किया - और यद्यपि वे बड़ी प्रमुख शक्तियों के लिए असफल रहे, उन्होंने संख्या सिद्धांत पर एक और पाठ्यपुस्तक संकलित की। इसके युवा पाठक लेखक को उसी तरह से आगे बढ़ाएँ जैसे प्राकृतिक दर्शन के गणितीय सिद्धांतों के पाठक महान न्यूटन से आगे निकल गए! लीजेंड्रे का न्यूटन या यूलर से कोई मुकाबला नहीं था, लेकिन उनके पाठकों में दो प्रतिभाएं थीं: कार्ल गॉस और एवरिस्टे गैलोइस।

प्रतिभाओं की इतनी उच्च एकाग्रता को फ्रांसीसी क्रांति द्वारा सुगम बनाया गया था, जिसने राज्य पंथ के कारण की घोषणा की। उसके बाद, हर प्रतिभाशाली वैज्ञानिक को कोलंबस या सिकंदर महान की तरह महसूस हुआ, जो एक नई दुनिया की खोज या उसे जीतने में सक्षम था। कई सफल हुए, यही वजह है कि 19वीं शताब्दी में वैज्ञानिक और तकनीकी प्रगति मानव जाति के विकास का मुख्य चालक बन गई, और सभी उचित शासकों (नेपोलियन से शुरू) को इसके बारे में पता था।

गॉस कोलंबस के चरित्र के करीब था। लेकिन वह (न्यूटन की तरह) सुंदर भाषणों से शासकों या छात्रों की कल्पना को मोहित करना नहीं जानता था, और इसलिए उसने अपनी महत्वाकांक्षाओं को वैज्ञानिक अवधारणाओं के क्षेत्र तक सीमित कर दिया। यहां वह जो चाहे कर सकता था। उदाहरण के लिए, किसी कारण से किसी कोण के ट्रिसेक्शन की प्राचीन समस्या को कम्पास और स्ट्रेटेज से हल नहीं किया जा सकता है। विमान के बिंदुओं को दर्शाने वाली जटिल संख्याओं की मदद से, गॉस इस समस्या का बीजगणित की भाषा में अनुवाद करता है - और कुछ ज्यामितीय निर्माणों की व्यवहार्यता का एक सामान्य सिद्धांत प्राप्त करता है। इस प्रकार, एक ही समय में, एक कम्पास और एक शासक के साथ एक नियमित 7- या 9-गॉन के निर्माण की असंभवता का एक कठोर प्रमाण दिखाई दिया, और एक नियमित 17-गॉन के निर्माण का ऐसा तरीका, जो नर्क के सबसे बुद्धिमान जियोमीटर ने किया था का सपना नहीं।

बेशक, ऐसी सफलता व्यर्थ नहीं दी जाती है: किसी को नई अवधारणाओं का आविष्कार करना होगा जो मामले के सार को दर्शाती हैं। न्यूटन ने तीन ऐसी अवधारणाएँ पेश कीं: फ्लक्स (व्युत्पन्न), धाराप्रवाह (अभिन्न) और शक्ति श्रृंखला। वे गणितीय विश्लेषण और यांत्रिकी और खगोल विज्ञान सहित भौतिक दुनिया का पहला वैज्ञानिक मॉडल बनाने के लिए पर्याप्त थे। गॉस ने तीन नई अवधारणाएँ भी पेश कीं: वेक्टर स्पेस, फील्ड और रिंग। उनमें से एक नया बीजगणित विकसित हुआ, जो ग्रीक अंकगणित और न्यूटन द्वारा बनाए गए संख्यात्मक कार्यों के सिद्धांत के अधीन था। यह अरस्तू द्वारा बनाए गए तर्क को बीजगणित के अधीन करने के लिए बना रहा: तब गणनाओं की सहायता से सिद्धांतों के इस सेट से किसी भी वैज्ञानिक कथन की कटौती या गैर-व्युत्पन्नता साबित करना संभव होगा! उदाहरण के लिए, क्या फ़र्मेट की प्रमेय अंकगणित के स्वयंसिद्धों से प्राप्त होती है, या क्या यूक्लिड की समानांतर रेखाओं की अभिधारणा प्लैनिमेट्री के अन्य स्वयंसिद्धों से प्राप्त होती है?

गॉस के पास इस साहसी सपने को साकार करने का समय नहीं था - हालाँकि वह बहुत आगे बढ़ गया और विदेशी (गैर-कम्यूटेटिव) बीजगणित के अस्तित्व की संभावना का अनुमान लगाया। केवल साहसी रूसी निकोलाई लोबाचेव्स्की पहली गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति का निर्माण करने में कामयाब रहे, और पहले गैर-कम्यूटेटिव बीजगणित (समूह सिद्धांत) का प्रबंधन फ्रांसीसी एवरिस्ट गैलोइस द्वारा किया गया था। और गॉस की मृत्यु के बहुत बाद में - 1872 में - युवा जर्मन फेलिक्स क्लेन ने अनुमान लगाया कि संभावित ज्यामिति की विविधता को संभावित बीजगणित की विविधता के साथ एक-से-एक पत्राचार में लाया जा सकता है। सीधे शब्दों में कहें, प्रत्येक ज्यामिति को उसके समरूपता समूह द्वारा परिभाषित किया जाता है - जबकि सामान्य बीजगणित सभी संभावित समूहों और उनके गुणों का अध्ययन करता है।

लेकिन ज्यामिति और बीजगणित की ऐसी समझ बहुत बाद में आई और गॉस के जीवनकाल में फ़र्मेट के प्रमेय पर हमला फिर से शुरू हो गया। उन्होंने खुद फ़र्मेट के प्रमेय को सिद्धांत से बाहर कर दिया: व्यक्तिगत समस्याओं को हल करना राजा का व्यवसाय नहीं है जो एक उज्ज्वल वैज्ञानिक सिद्धांत में फिट नहीं होते हैं! लेकिन गॉस के छात्रों ने, उनके नए बीजगणित और न्यूटन और यूलर के शास्त्रीय विश्लेषण से लैस होकर, अलग तरह से तर्क दिया। सबसे पहले, पीटर डिरिचलेट ने इस डिग्री की एकता की जड़ों से उत्पन्न जटिल पूर्णांकों की अंगूठी का उपयोग करके फर्मेट के प्रमेय को डिग्री 7 के लिए सिद्ध किया। फिर अर्नस्ट कमर ने डिरिचलेट पद्धति को सभी प्रमुख डिग्री (!) तक बढ़ा दिया - यह उसे जल्दी में लग रहा था, और वह जीत गया। लेकिन जल्द ही एक गंभीर बात सामने आई: सबूत त्रुटिपूर्ण रूप से तभी पास होता है जब रिंग का प्रत्येक तत्व विशिष्ट रूप से प्रमुख कारकों में विघटित हो जाता है! साधारण पूर्णांकों के लिए, यह तथ्य यूक्लिड को पहले से ही ज्ञात था, लेकिन केवल गॉस ने इसका कठोर प्रमाण दिया। लेकिन संपूर्ण सम्मिश्र संख्याओं का क्या?

"सबसे बड़ी शरारत के सिद्धांत" के अनुसार, एक अस्पष्ट कारक हो सकता है और होना चाहिए! जैसे ही कुमेर ने गणितीय विश्लेषण के तरीकों से अस्पष्टता की डिग्री की गणना करना सीखा, उन्होंने 23 डिग्री के लिए रिंग में इस गंदी चाल की खोज की। गॉस के पास विदेशी कम्यूटेटिव बीजगणित के इस संस्करण के बारे में जानने का समय नहीं था, लेकिन गॉस के छात्रों ने एक एक और गंदी चाल के स्थान पर आदर्शों का नया सुंदर सिद्धांत। सच है, इससे फ़र्मेट की समस्या को हल करने में बहुत मदद नहीं मिली: केवल इसकी प्राकृतिक जटिलता स्पष्ट हो गई।

19वीं शताब्दी के दौरान, इस प्राचीन मूर्ति ने नए जटिल सिद्धांतों के रूप में अपने प्रशंसकों से अधिक से अधिक बलिदान की मांग की। यह आश्चर्य की बात नहीं है कि 20वीं शताब्दी की शुरुआत तक, विश्वासी निराश और विद्रोही हो गए, उन्होंने अपनी पूर्व मूर्ति को अस्वीकार कर दिया। पेशेवर गणितज्ञों के बीच "फर्मेटिस्ट" शब्द एक अपमानजनक शब्द बन गया है। और यद्यपि फर्मेट के प्रमेय के पूर्ण प्रमाण के लिए काफी पुरस्कार दिया गया था, लेकिन इसके आवेदक ज्यादातर आत्मविश्वासी अज्ञानी थे। उस समय के सबसे मजबूत गणितज्ञ - पोंकारे और हिल्बर्ट - ने इस विषय को टाल दिया।

1900 में, हिल्बर्ट ने फ़र्मेट के प्रमेय को बीसवीं सदी के गणित के सामने आने वाली तेईस प्रमुख समस्याओं की सूची में शामिल नहीं किया। सच है, उन्होंने अपनी श्रृंखला में डायोफैंटाइन समीकरणों की सॉल्वैबिलिटी की सामान्य समस्या को शामिल किया। संदेश स्पष्ट था: गॉस और गैलोइस के उदाहरण का अनुसरण करें, नई गणितीय वस्तुओं के सामान्य सिद्धांत बनाएं! फिर एक दिन ठीक (लेकिन पहले से अनुमान नहीं लगाया जा सकता), पुराना किरच अपने आप गिर जाएगा।

महान रोमांटिक हेनरी पोंकारे ने इस तरह अभिनय किया। कई "शाश्वत" समस्याओं की उपेक्षा करते हुए, उन्होंने अपने पूरे जीवन में गणित या भौतिकी की कुछ वस्तुओं के SYMMETRIES का अध्ययन किया: या तो एक जटिल चर के कार्य, या आकाशीय पिंडों की गति के प्रक्षेपवक्र, या बीजीय वक्र या चिकने मैनिफोल्ड (ये घुमावदार के बहुआयामी सामान्यीकरण हैं) लाइनें)। उनके कार्यों का उद्देश्य सरल था: यदि दो अलग-अलग वस्तुओं में समान समरूपता है, तो इसका मतलब है कि उनके बीच एक आंतरिक संबंध है, जिसे हम अभी तक समझ नहीं पाए हैं! उदाहरण के लिए, प्रत्येक द्वि-आयामी ज्यामिति (यूक्लिड, लोबाचेव्स्की या रीमैन) का अपना समरूपता समूह होता है, जो समतल पर कार्य करता है। लेकिन विमान के बिंदु जटिल संख्याएं हैं: इस तरह किसी भी ज्यामितीय समूह की कार्रवाई जटिल कार्यों की विशाल दुनिया में स्थानांतरित हो जाती है। इन कार्यों में से सबसे सममित का अध्ययन करना संभव और आवश्यक है: AUTOMORPHOUS (जो यूक्लिड समूह के अधीन हैं) और मॉड्यूलर (जो लोबचेवस्की समूह के अधीन हैं)!

समतल में अण्डाकार वक्र भी होते हैं। उनका दीर्घवृत्त से कोई लेना-देना नहीं है, लेकिन Y 2 = AX 3 + BX 2 + CX के रूप के समीकरणों द्वारा दिए गए हैं और इसलिए किसी भी सीधी रेखा के साथ तीन बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं। यह तथ्य हमें एक अण्डाकार वक्र के बिंदुओं के बीच गुणन शुरू करने की अनुमति देता है - इसे एक समूह में बदलने के लिए। इस समूह की बीजगणितीय संरचना वक्र के ज्यामितीय गुणों को दर्शाती है; शायद यह अपने समूह द्वारा विशिष्ट रूप से निर्धारित किया जाता है? यह प्रश्न अध्ययन करने योग्य है, क्योंकि कुछ वक्रों के लिए हमारे लिए रुचि का समूह मॉड्यूलर निकला, अर्थात यह लोबाचेव्स्की ज्यामिति से संबंधित है ...

पोंकारे ने यूरोप के गणितीय युवाओं को बहकाते हुए तर्क दिया, लेकिन 20वीं शताब्दी की शुरुआत में इन प्रलोभनों ने उज्ज्वल प्रमेयों या परिकल्पनाओं को जन्म नहीं दिया। यह हिल्बर्ट के आह्वान के साथ अलग तरह से निकला: पूर्णांक गुणांक वाले डायोफैंटाइन समीकरणों के सामान्य समाधानों का अध्ययन करने के लिए! 1922 में, युवा अमेरिकी लुईस मोर्डेल ने इस समीकरण द्वारा दिए गए जटिल वक्र के ज्यामितीय जीनस के साथ इस तरह के समीकरण (यह एक निश्चित आयाम का एक वेक्टर स्थान है) के समाधान के सेट को जोड़ा। मोर्डेल इस निष्कर्ष पर पहुंचे कि यदि समीकरण की डिग्री पर्याप्त रूप से बड़ी (दो से अधिक) है, तो समाधान स्थान का आयाम वक्र के जीनस के संदर्भ में व्यक्त किया जाता है, और इसलिए यह आयाम FINITE है। इसके विपरीत - 2 की शक्ति के लिए, पाइथागोरस समीकरण में समाधानों का एक अनंत-आयामी परिवार है!

बेशक, मोर्डेल ने फ़र्मेट के प्रमेय के साथ अपनी परिकल्पना के संबंध को देखा। यदि यह ज्ञात हो जाता है कि प्रत्येक डिग्री n> 2 के लिए फ़र्मेट के समीकरण के संपूर्ण समाधानों का स्थान परिमित-आयामी है, तो इससे यह साबित करने में मदद मिलेगी कि ऐसा कोई समाधान नहीं है! लेकिन मोर्डेल ने अपनी परिकल्पना को साबित करने का कोई तरीका नहीं देखा - और हालांकि उन्होंने एक लंबा जीवन जिया, उन्होंने इस परिकल्पना के फ़ाल्टिंग्स प्रमेय में परिवर्तन की प्रतीक्षा नहीं की। यह 1983 में, एक पूरी तरह से अलग युग में, कई गुना बीजीय टोपोलॉजी की महान सफलताओं के बाद हुआ।

पोंकारे ने इस विज्ञान को संयोग से बनाया: वह जानना चाहता था कि त्रि-आयामी मैनिफोल्ड क्या हैं। आखिरकार, रीमैन ने सभी बंद सतहों की संरचना का पता लगाया और एक बहुत ही सरल उत्तर प्राप्त किया! यदि त्रि-आयामी या बहुआयामी मामले में ऐसा कोई उत्तर नहीं है, तो आपको कई गुना बीजगणितीय अपरिवर्तनीयों की एक प्रणाली के साथ आने की जरूरत है जो इसकी ज्यामितीय संरचना को निर्धारित करती है। यह सबसे अच्छा है अगर ऐसे अपरिवर्तनीय कुछ समूहों के तत्व हैं - कम्यूटेटिव या गैर-कम्यूटेटिव।

यह अजीब लग सकता है, पोंकारे की यह दुस्साहसी योजना सफल रही: इसे 1950 से 1970 तक कई बड़े भू-मीटर और बीजगणितविदों के प्रयासों के लिए धन्यवाद दिया गया था। 1950 तक, कई गुना वर्गीकृत करने के लिए विभिन्न तरीकों का एक शांत संचय था, और इस तिथि के बाद, लोगों और विचारों का एक महत्वपूर्ण द्रव्यमान जमा हुआ और एक विस्फोट हुआ, जो 17 वीं शताब्दी में गणितीय विश्लेषण के आविष्कार के बराबर था। लेकिन विश्लेषणात्मक क्रांति डेढ़ सदी तक चली, जिसमें गणितज्ञों की चार पीढ़ियों की रचनात्मक आत्मकथाएँ शामिल थीं - न्यूटन और लाइबनिज़ से लेकर फूरियर और कॉची तक। इसके विपरीत, 20वीं शताब्दी की टोपोलॉजिकल क्रांति बीस वर्षों के भीतर थी, इसके प्रतिभागियों की बड़ी संख्या के कारण। उसी समय, आत्मविश्वास से भरे युवा गणितज्ञों की एक बड़ी पीढ़ी उभरी है, जो अचानक अपनी ऐतिहासिक मातृभूमि में बिना काम के रह गई है।

सत्तर के दशक में वे गणित और सैद्धांतिक भौतिकी के निकटवर्ती क्षेत्रों में चले गए। कई ने यूरोप और अमेरिका के दर्जनों विश्वविद्यालयों में अपने स्वयं के वैज्ञानिक स्कूल बनाए हैं। अलग-अलग उम्र और राष्ट्रीयताओं के कई छात्र, विभिन्न क्षमताओं और झुकावों के साथ, अभी भी इन केंद्रों के बीच घूमते हैं, और हर कोई किसी न किसी खोज के लिए प्रसिद्ध होना चाहता है। यह इस महामारी में था कि मोर्डेल का अनुमान और फ़र्मेट का प्रमेय अंततः सिद्ध हो गया था।

हालांकि, पहला निगल, अपने भाग्य से अनजान, जापान में युद्ध के बाद के भूखे और बेरोजगार वर्षों में बड़ा हुआ। निगल का नाम युताका तानियामा था। 1955 में, यह नायक 28 साल का हो गया, और उसने जापान में गणितीय शोध को पुनर्जीवित करने के लिए (दोस्तों गोरो शिमुरा और ताकाउजी तमागावा के साथ) का फैसला किया। कहाँ से शुरू करें? बेशक, विदेशी सहयोगियों से अलगाव पर काबू पाने के साथ! इसलिए 1955 में, तीन युवा जापानीों ने टोक्यो में बीजगणित और संख्या सिद्धांत पर पहले अंतर्राष्ट्रीय सम्मेलन की मेजबानी की। स्टालिन द्वारा जमे हुए रूस की तुलना में अमेरिकियों द्वारा पुन: शिक्षित जापान में ऐसा करना स्पष्ट रूप से आसान था ...

सम्मान के मेहमानों में फ्रांस के दो नायक थे: आंद्रे वेइल और जीन-पियरे सेरे। यहां जापानी बहुत भाग्यशाली थे: वेइल फ्रांसीसी बीजगणित के मान्यता प्राप्त प्रमुख और बोर्बाकी समूह के सदस्य थे, और युवा सेरे ने टोपोलॉजिस्ट के बीच एक समान भूमिका निभाई। उनके साथ गरमागरम चर्चा में, जापानी युवाओं के सिर फट गए, उनका दिमाग पिघल गया, लेकिन अंत में, ऐसे विचार और योजनाएँ क्रिस्टलीकृत हुईं जो शायद ही किसी अलग वातावरण में पैदा हो सकती थीं।

एक दिन, तानियामा ने अण्डाकार वक्रों और मॉड्यूलर कार्यों के बारे में एक प्रश्न के साथ वेइल से संपर्क किया। पहले तो फ्रांसीसी को कुछ समझ नहीं आया: तानियामा अंग्रेजी बोलने में उस्ताद नहीं था। तब मामले का सार स्पष्ट हो गया, लेकिन तानियामा अपनी आशाओं को सटीक रूप देने में कामयाब नहीं हुए। सभी वेइल युवा जापानी को उत्तर दे सकते थे कि यदि वह प्रेरणा के मामले में बहुत भाग्यशाली थे, तो उनकी अस्पष्ट परिकल्पनाओं से कुछ समझदार निकलेगा। लेकिन जबकि इसके लिए उम्मीद कमजोर है!

जाहिर है, वेइल ने तानियामा की निगाहों में स्वर्गीय आग पर ध्यान नहीं दिया। और आग थी: ऐसा लगता है कि एक पल के लिए स्वर्गीय पोंकारे का अदम्य विचार जापानी में चला गया! तानियामा का मानना ​​​​था कि प्रत्येक अण्डाकार वक्र मॉड्यूलर कार्यों द्वारा उत्पन्न होता है - अधिक सटीक रूप से, यह "एक मॉड्यूलर रूप द्वारा समान" है। काश, यह सटीक शब्द बहुत बाद में पैदा हुआ - तानियामा की अपने दोस्त शिमुरा के साथ बातचीत में। और फिर तानियामा ने अवसाद में आकर आत्महत्या कर ली ... उनकी परिकल्पना बिना मालिक के रह गई: यह स्पष्ट नहीं था कि इसे कैसे साबित किया जाए या कहां परीक्षण किया जाए, और इसलिए किसी ने इसे लंबे समय तक गंभीरता से नहीं लिया। पहली प्रतिक्रिया केवल तीस साल बाद आई - लगभग फ़र्मेट के युग की तरह!

1983 में बर्फ टूट गई, जब सत्ताईस वर्षीय जर्मन गर्ड फाल्टिंग्स ने पूरी दुनिया को घोषणा की: मोर्डेल का अनुमान सिद्ध हो गया था! गणितज्ञ अपने पहरे पर थे, लेकिन फाल्टिंग्स एक सच्चे जर्मन थे: उनके लंबे और जटिल प्रमाण में कोई अंतराल नहीं था। बस समय आ गया है, तथ्य और अवधारणाएँ जमा हो गई हैं - और अब एक प्रतिभाशाली बीजगणित, दस अन्य बीजगणितों के परिणामों पर भरोसा करते हुए, एक ऐसी समस्या को हल करने में कामयाब रहा है जो साठ वर्षों से गुरु की प्रतीक्षा कर रही है। 20वीं सदी के गणित में यह असामान्य नहीं है। यह सेट थ्योरी में धर्मनिरपेक्ष सातत्य समस्या, समूह सिद्धांत में बर्नसाइड के दो अनुमान, या टोपोलॉजी में पोंकारे अनुमान को याद करने योग्य है। अंत में, संख्या सिद्धांत में, पुरानी फसलों की कटाई का समय आ गया है ... विजित गणितज्ञों की श्रृंखला में अगला शीर्ष कौन सा होगा? क्या यूलर की समस्या, रीमैन की परिकल्पना, या फ़र्मेट की प्रमेय ढह जाएगी? यह अच्छा है!

और अब, फाल्टिंग्स के रहस्योद्घाटन के दो साल बाद, जर्मनी में एक और प्रेरित गणितज्ञ दिखाई दिया। उसका नाम गेरहार्ड फ्रे था, और उसने कुछ अजीब होने का दावा किया: कि फर्मेट का प्रमेय तानियामा के अनुमान से निकला है! दुर्भाग्य से, फ्रे की अपने विचारों को व्यक्त करने की शैली उनके स्पष्ट हमवतन फाल्टिंग्स की तुलना में दुर्भाग्यपूर्ण तानियामा की याद दिलाती थी। जर्मनी में, कोई भी फ्रे को नहीं समझता था, और वह विदेश चला गया - प्रिंसटन के शानदार शहर में, जहां आइंस्टीन के बाद, उन्हें ऐसे आगंतुकों की आदत नहीं थी। कोई आश्चर्य नहीं कि बैरी मजूर, एक बहुमुखी टोपोलॉजिस्ट, जो हाल ही में चिकने मैनिफोल्ड पर हमले के नायकों में से एक है, ने वहां अपना घोंसला बनाया। और एक छात्र मजूर - केन रिबेट के बगल में बड़ा हुआ, समान रूप से टोपोलॉजी और बीजगणित की पेचीदगियों में अनुभव किया, लेकिन फिर भी किसी भी तरह से खुद को महिमामंडित नहीं किया।

जब उन्होंने पहली बार फ्रे के भाषणों को सुना, तो रिबेट ने फैसला किया कि यह बकवास और निकट-विज्ञान कथा थी (शायद, वेइल ने उसी तरह तानियामा के खुलासे पर प्रतिक्रिया व्यक्त की)। लेकिन रिबेट इस "फंतासी" को नहीं भूल सका और कई बार मानसिक रूप से इसमें लौट आया। छह महीने बाद, रिबेट का मानना ​​​​था कि फ्रे की कल्पनाओं में कुछ समझदार था, और एक साल बाद उसने फैसला किया कि वह खुद फ्रे की अजीब परिकल्पना को लगभग साबित कर सकता है। लेकिन कुछ "छेद" बने रहे, और रिबेट ने अपने मालिक मजूर को कबूल करने का फैसला किया। उन्होंने छात्र की बात ध्यान से सुनी और शांति से उत्तर दिया: “हाँ, तुमने सब कुछ किया है! यहां आपको परिवर्तन लागू करने की आवश्यकता है , यहां - लेम्मास बी और के का उपयोग करें, और सब कुछ एक त्रुटिहीन रूप ले लेगा! इसलिए रिबेट ने फ्रे और मजूर के व्यक्ति में एक गुलेल का उपयोग करते हुए, अस्पष्टता से अमरता की ओर छलांग लगाई। निष्पक्षता में, उन सभी - स्वर्गीय तानियामा के साथ - को फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय का प्रमाण माना जाना चाहिए।

लेकिन यहाँ समस्या यह है: उन्होंने अपना कथन तानियामा परिकल्पना से लिया, जो स्वयं सिद्ध नहीं हुआ है! क्या होगा अगर वह बेवफा है? गणितज्ञ लंबे समय से जानते हैं कि "झूठ से कुछ भी होता है", अगर तानियामा का अनुमान गलत है, तो रिबेट का त्रुटिहीन तर्क बेकार है! हमें तत्काल तानियामा के अनुमान को साबित (या अस्वीकृत) करने की आवश्यकता है - अन्यथा फ़ाल्टिंग्स जैसा कोई व्यक्ति फ़र्मेट के प्रमेय को एक अलग तरीके से साबित करेगा। वह हीरो बन जाएगा!

यह संभावना नहीं है कि हम कभी जान पाएंगे कि कितने युवा या अनुभवी बीजगणित फ़ाल्टिंग्स की सफलता के बाद या 1986 में रिबेट की जीत के बाद फ़र्मेट के प्रमेय पर कूद पड़े। उन सभी ने गुप्त रूप से काम करने की कोशिश की, ताकि असफल होने की स्थिति में उन्हें "डमी" -फर्मेटिस्ट्स के समुदाय में स्थान न दिया जाए। यह ज्ञात है कि सबसे सफल - कैम्ब्रिज के एंड्रयू विल्स - ने 1993 की शुरुआत में ही जीत का स्वाद महसूस किया। यह इतना प्रसन्न नहीं है जितना भयभीत विल्स: क्या होगा यदि तानियामा अनुमान के उनके प्रमाण में त्रुटि या अंतराल दिखाई दे? तब उनकी वैज्ञानिक प्रतिष्ठा नष्ट हो गई! आपको प्रमाण को ध्यान से लिखना होगा (लेकिन यह कई दर्जन पृष्ठ होंगे!) और इसे छह महीने या एक साल के लिए अलग रख दें, ताकि बाद में आप इसे ठंडे दिमाग से और सावधानी से फिर से पढ़ सकें ... लेकिन क्या होगा अगर इस दौरान कोई अपना सबूत प्रकाशित करता है? ओह परेशानी...

फिर भी विल्स ने अपने प्रमाण का शीघ्र परीक्षण करने के लिए दोहरा तरीका निकाला। सबसे पहले, आपको अपने विश्वसनीय मित्रों और सहकर्मियों में से एक पर भरोसा करने की जरूरत है और उसे तर्क का पूरा तरीका बताना होगा। बाहर से तो सारी गलतियां ज्यादा नजर आती हैं! दूसरे, स्मार्ट छात्रों और स्नातक छात्रों के लिए इस विषय पर एक विशेष पाठ्यक्रम पढ़ना आवश्यक है: ये स्मार्ट लोग एक भी व्याख्याता की गलती नहीं छोड़ेंगे! बस उन्हें अंतिम क्षण तक पाठ्यक्रम का अंतिम लक्ष्य न बताएं - अन्यथा पूरी दुनिया को इसके बारे में पता चल जाएगा! और निश्चित रूप से, आपको कैम्ब्रिज से दूर ऐसे दर्शकों की तलाश करने की ज़रूरत है - यह इंग्लैंड में भी नहीं, बल्कि अमेरिका में भी बेहतर है ... दूर के प्रिंसटन से बेहतर क्या हो सकता है?

1993 के वसंत में विल्स वहां गए। उनके धैर्यवान मित्र निकलास काट्ज ने विल्स की लंबी रिपोर्ट को सुनने के बाद उसमें कई खामियां पाईं, लेकिन उन सभी को आसानी से ठीक कर लिया गया। लेकिन प्रिंसटन के स्नातक छात्र जल्द ही विल्स के विशेष पाठ्यक्रम से दूर भाग गए, व्याख्याता के सनकी विचार का पालन नहीं करना चाहते थे, जो उन्हें कोई नहीं जानता कि कहां ले जाता है। अपने काम की ऐसी (विशेष रूप से गहरी नहीं) समीक्षा के बाद, विल्स ने फैसला किया कि यह दुनिया के लिए एक महान चमत्कार प्रकट करने का समय है।

जून 1993 में, कैम्ब्रिज में एक और सम्मेलन आयोजित किया गया, जो "इवासावा सिद्धांत" को समर्पित है - संख्या सिद्धांत का एक लोकप्रिय खंड। विल्स ने अंत तक मुख्य परिणाम की घोषणा किए बिना, उस पर तानियामा अनुमान के अपने प्रमाण को बताने का फैसला किया। रिपोर्ट काफी देर तक चलती रही, लेकिन सफलतापूर्वक पत्रकारों का झुंड धीरे-धीरे आने लगा, जिन्हें कुछ होश आया। अंत में, गड़गड़ाहट हुई: फ़र्मेट की प्रमेय सिद्ध हुई! सामान्य आनंद किसी भी संदेह से ढंका नहीं था: सब कुछ स्पष्ट प्रतीत होता है ... लेकिन दो महीने बाद, काट्ज़ ने विल्स के अंतिम पाठ को पढ़ा, इसमें एक और अंतर देखा। तर्क में एक निश्चित संक्रमण "यूलर सिस्टम" पर निर्भर था - लेकिन विल्स ने जो बनाया वह ऐसी प्रणाली नहीं थी!

विल्स ने अड़चन की जाँच की और महसूस किया कि उनसे यहाँ गलती हुई थी। इससे भी बदतर: यह स्पष्ट नहीं है कि गलत तर्क को कैसे बदला जाए! इसके बाद विल्स के जीवन के सबसे काले महीने आए। पहले, उन्होंने स्वतंत्र रूप से हाथ में सामग्री से एक अभूतपूर्व प्रमाण को संश्लेषित किया। अब वह एक संकीर्ण और स्पष्ट कार्य से बंधा हुआ है - इस निश्चितता के बिना कि इसका एक समाधान है और वह निकट भविष्य में इसे खोजने में सक्षम होगा। हाल ही में, फ्रे उसी संघर्ष का विरोध नहीं कर सका - और अब उसका नाम भाग्यशाली रिबेट के नाम से छिपा हुआ था, हालांकि फ्रे का अनुमान सही निकला। और मेरे अनुमान और मेरे नाम का क्या होगा?

यह कठिन परिश्रम ठीक एक वर्ष तक चला। सितंबर 1994 में, विल्स हार मानने और तानियामा परिकल्पना को अधिक भाग्यशाली उत्तराधिकारियों पर छोड़ने के लिए तैयार थे। ऐसा निर्णय लेने के बाद, उन्होंने धीरे-धीरे अपने प्रमाण को फिर से पढ़ना शुरू किया - शुरू से अंत तक, तर्क की लय को सुनकर, सफल खोजों के आनंद को फिर से अनुभव करना। हालांकि, "शापित" स्थान पर पहुंचने के बाद, विल्स ने मानसिक रूप से एक झूठा नोट नहीं सुना। क्या उनके तर्क का क्रम अभी भी त्रुटिहीन था, और त्रुटि केवल मानसिक छवि के मौखिक विवरण में उत्पन्न हुई थी? अगर यहाँ "यूलर सिस्टम" नहीं है, तो यहाँ क्या छिपा है?

अचानक, मेरे पास एक साधारण विचार आया: "यूलर सिस्टम" काम नहीं करता है जहां इवासावा सिद्धांत लागू होता है। क्यों न इस सिद्धांत को सीधे लागू किया जाए - सौभाग्य से, यह स्वयं विल्स के करीब और परिचित है? और उन्होंने शुरू से ही इस दृष्टिकोण को क्यों नहीं आजमाया, लेकिन समस्या के बारे में किसी और की दृष्टि से मोहित हो गए? विल्स अब इन विवरणों को याद नहीं रख सके - और यह बेकार हो गया। उन्होंने इवासावा सिद्धांत के ढांचे के भीतर आवश्यक तर्क को अंजाम दिया और आधे घंटे में सब कुछ बदल गया! इस प्रकार - एक वर्ष की देरी से - तानियामा के अनुमान के प्रमाण में अंतिम अंतराल बंद हो गया था। अंतिम पाठ सबसे प्रसिद्ध गणितीय पत्रिका के समीक्षकों के एक समूह की दया के लिए दिया गया था, एक साल बाद उन्होंने घोषणा की कि अब कोई त्रुटि नहीं है। इस प्रकार, 1995 में, फ़र्मेट का अंतिम अनुमान 360 वर्ष की आयु में एक सिद्ध प्रमेय में बदल गया, जो अनिवार्य रूप से संख्या सिद्धांत पाठ्यपुस्तकों में प्रवेश करेगा।

फ़र्मेट के प्रमेय के इर्द-गिर्द तीन-शताब्दी के उपद्रव को सारांशित करते हुए, हमें एक अजीब निष्कर्ष निकालना होगा: यह वीर महाकाव्य नहीं हो सकता था! दरअसल, पाइथागोरस प्रमेय दृश्य प्राकृतिक वस्तुओं के बीच एक सरल और महत्वपूर्ण संबंध व्यक्त करता है - खंडों की लंबाई। लेकिन Fermat के प्रमेय के बारे में ऐसा नहीं कहा जा सकता है। यह एक वैज्ञानिक आधार पर एक सांस्कृतिक अधिरचना की तरह दिखता है - जैसे पृथ्वी के उत्तरी ध्रुव तक पहुंचना या चंद्रमा पर उड़ान भरना। आइए हम याद करें कि इन दोनों करतबों को लेखकों द्वारा उनके पूरा होने से बहुत पहले गाया गया था - प्राचीन काल में, यूक्लिड के "एलिमेंट्स" की उपस्थिति के बाद, लेकिन डायोफैंटस के "अरिथमेटिक" की उपस्थिति से पहले। तो, तब इस तरह के बौद्धिक कारनामों की सार्वजनिक आवश्यकता थी - कम से कम काल्पनिक! पहले, हेलेन्स के पास होमर की पर्याप्त कविताएँ थीं, जैसे कि फ़र्मेट से सौ साल पहले, फ्रांसीसी के पास पर्याप्त धार्मिक जुनून था। लेकिन फिर धार्मिक जुनून कम हो गया - और विज्ञान उनके बगल में खड़ा हो गया।

रूस में, ऐसी प्रक्रियाएं एक सौ पचास साल पहले शुरू हुईं, जब तुर्गनेव ने येवगेनी बाजारोव को येवगेनी वनगिन के बराबर रखा। सच है, लेखक तुर्गनेव ने वैज्ञानिक बाज़रोव के कार्यों के उद्देश्यों को खराब तरीके से समझा और उन्हें गाने की हिम्मत नहीं की, लेकिन यह जल्द ही वैज्ञानिक इवान सेचेनोव और प्रबुद्ध पत्रकार जूल्स वर्ने द्वारा किया गया। सहज वैज्ञानिक और तकनीकी क्रांति को अधिकांश लोगों के दिमाग में घुसने के लिए एक सांस्कृतिक खोल की आवश्यकता होती है, और यहां पहले विज्ञान कथा आती है, और फिर लोकप्रिय विज्ञान साहित्य (पत्रिका "ज्ञान शक्ति है" सहित)।

साथ ही, एक विशिष्ट वैज्ञानिक विषय आम जनता के लिए बिल्कुल भी महत्वपूर्ण नहीं है और नायक-कलाकारों के लिए भी बहुत महत्वपूर्ण नहीं है। इसलिए, पेरी और कुक द्वारा उत्तरी ध्रुव की उपलब्धि के बारे में सुनकर, अमुंडसेन ने तुरंत अपने पहले से तैयार अभियान के लक्ष्य को बदल दिया - और जल्द ही स्कॉट से एक महीने पहले दक्षिणी ध्रुव पर पहुंच गया। बाद में, यूरी गगारिन के पृथ्वी के सफल परिभ्रमण ने राष्ट्रपति कैनेडी को अमेरिकी अंतरिक्ष कार्यक्रम के पूर्व लक्ष्य को और अधिक महंगे लेकिन कहीं अधिक प्रभावशाली एक: चंद्रमा पर उतरने वाले पुरुषों को बदलने के लिए मजबूर किया।

इससे पहले भी, अंतर्दृष्टिपूर्ण हिल्बर्ट ने छात्रों के भोले प्रश्न का उत्तर दिया: "अब किस वैज्ञानिक समस्या का समाधान सबसे उपयोगी होगा"? - एक मजाक के साथ उत्तर दिया: "चाँद के दूर की ओर एक मक्खी पकड़ो!" हैरान करने वाले प्रश्न के लिए: "यह क्यों आवश्यक है?" - उसके बाद एक स्पष्ट उत्तर: "किसी को इसकी आवश्यकता नहीं है! लेकिन वैज्ञानिक तरीकों और तकनीकी साधनों के बारे में सोचें कि हमें इस तरह की समस्या को हल करने के लिए विकसित करना होगा - और रास्ते में हम और कितनी खूबसूरत समस्याएं हल करेंगे!

ठीक ऐसा ही Fermat के प्रमेय के साथ हुआ। यूलर इसे अच्छी तरह से अनदेखा कर सकता था।

इस मामले में, कुछ और समस्या गणितज्ञों की मूर्ति बन जाएगी - शायद संख्या सिद्धांत से भी। उदाहरण के लिए, एराटोस्थनीज की समस्या: क्या जुड़वां अभाज्य संख्याओं (जैसे 11 और 13, 17 और 19, और इसी तरह) का एक सीमित या अनंत सेट है? या यूलर की समस्या: क्या प्रत्येक सम संख्या दो अभाज्य संख्याओं का योग है? या: क्या संख्या और e के बीच कोई बीजीय संबंध है? इन तीनों समस्याओं का समाधान अभी तक नहीं हुआ है, हालांकि 20वीं सदी में गणितज्ञ इनके सार को समझने के करीब पहुंच गए हैं। लेकिन इस सदी ने कई नई, कम दिलचस्प समस्याओं को भी जन्म दिया, विशेष रूप से भौतिकी और प्राकृतिक विज्ञान की अन्य शाखाओं के साथ गणित के प्रतिच्छेदन पर।

1900 में वापस, हिल्बर्ट ने उनमें से एक को चुना: गणितीय भौतिकी के स्वयंसिद्धों की एक पूरी प्रणाली बनाने के लिए! सौ साल बाद, यह समस्या हल होने से बहुत दूर है, यदि केवल इसलिए कि भौतिकी के गणितीय साधनों का शस्त्रागार लगातार बढ़ रहा है, और उन सभी का कठोर औचित्य नहीं है। लेकिन 1970 के बाद सैद्धांतिक भौतिकी दो शाखाओं में बंट गई। एक (शास्त्रीय) न्यूटन के समय से स्थिर प्रक्रियाओं की मॉडलिंग और भविष्यवाणी कर रहा है, दूसरा (नवजात शिशु) अस्थिर प्रक्रियाओं और उन्हें नियंत्रित करने के तरीकों की बातचीत को औपचारिक रूप देने की कोशिश कर रहा है। यह स्पष्ट है कि भौतिकी की इन दो शाखाओं को अलग-अलग स्वयंसिद्ध किया जाना चाहिए।

उनमें से पहला शायद बीस या पचास वर्षों में निपटाया जाएगा ...

और भौतिकी की दूसरी शाखा से क्या गायब है - वह जो सभी प्रकार के विकास का प्रभारी है (बाहरी भग्न और अजीब आकर्षित करने वाले, बायोकेनोज की पारिस्थितिकी और गुमिलोव के जुनून के सिद्धांत सहित)? यह हमें जल्द ही समझने की संभावना नहीं है। लेकिन नई मूर्ति के लिए वैज्ञानिकों की पूजा पहले से ही एक सामूहिक घटना बन गई है। संभवत: यहां एक महाकाव्य सामने आएगा, जिसकी तुलना फ़र्मेट के प्रमेय की तीन-शताब्दी की जीवनी से की जा सकती है। इस प्रकार, विभिन्न विज्ञानों के चौराहे पर, नई मूर्तियों का जन्म होता है - धार्मिक लोगों के समान, लेकिन अधिक जटिल और गतिशील ...

जाहिरा तौर पर, एक व्यक्ति समय-समय पर पुरानी मूर्तियों को उखाड़े बिना और नए बनाए बिना - दर्द में और खुशी के साथ एक व्यक्ति नहीं रह सकता है! पियरे फ़र्मेट भाग्यशाली था कि वह एक नई मूर्ति के जन्म के गर्म स्थान के करीब था - और वह नवजात शिशु पर अपने व्यक्तित्व की छाप छोड़ने में कामयाब रहा। ऐसे भाग्य से कोई ईर्ष्या कर सकता है, और उसका अनुकरण करना पाप नहीं है।

सर्गेई स्मिरनोव
"ज्ञान शक्ति है"