चतुष्फलक के गुण, प्रकार और सूत्र। चतुष्फलक का आयतन नियमित चतुष्फलकीय आरेखण

ग्रीक से अनुवादित टेट्राहेड्रोन का अर्थ है "टेट्राहेड्रोन"। इस ज्यामितीय आकृति में चार फलक, चार शीर्ष और छह किनारे हैं। चेहरे त्रिकोण हैं. वास्तव में, टेट्राहेड्रोन पॉलीहेड्रा का पहला उल्लेख है जो प्लेटो के अस्तित्व से बहुत पहले सामने आया था।

आज हम टेट्राहेड्रोन के तत्वों और गुणों के बारे में बात करेंगे, और इन तत्वों के क्षेत्र, आयतन और अन्य मापदंडों को खोजने के सूत्र भी सीखेंगे।

चतुष्फलक के तत्व

चतुष्फलक के किसी भी शीर्ष से खींचे गए और विपरीत फलक की माध्यिकाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु तक गिराए गए खंड को माध्यिका कहा जाता है।

बहुभुज की ऊंचाई विपरीत शीर्ष से खींचा गया एक सामान्य खंड है।

द्विमाध्यिका प्रतिच्छेदी किनारों के केंद्रों को जोड़ने वाला एक खंड है।

चतुष्फलक के गुण

1) दो प्रतिच्छेदी किनारों से गुजरने वाले समानांतर तल एक परिचालित समान्तर चतुर्भुज बनाते हैं।

2) चतुष्फलक का एक विशिष्ट गुण यह है कि आकृति की माध्यिकाएँ और द्विमाध्यिकाएँ एक बिंदु पर मिलती हैं। यह महत्वपूर्ण है कि उत्तरार्द्ध मध्यस्थों को 3:1 के अनुपात में विभाजित करता है, और द्विमध्यस्थों को - आधे में विभाजित करता है।

3) एक समतल चतुष्फलक को समान आयतन के दो भागों में विभाजित करता है यदि यह दो प्रतिच्छेदी किनारों के मध्य से होकर गुजरता है।

चतुष्फलक के प्रकार

आकृति की प्रजाति विविधता काफी व्यापक है। एक चतुष्फलक हो सकता है:

• नियमित, अर्थात् आधार पर एक समबाहु त्रिभुज;
• समफलकीय, जिसमें सभी फलकों की लंबाई समान होती है;
• ऑर्थोसेन्ट्रिक, जब ऊंचाइयों का एक सामान्य प्रतिच्छेदन बिंदु होता है;
• आयताकार यदि शीर्ष पर समतल कोण सामान्य हैं;
• आनुपातिक, सभी द्वि ऊँचाइयाँ समान हैं;
• अगर कोई गोला है जो पसलियों को छूता है तो फ्रेम करें;
• अकेंद्रित, अर्थात्, शीर्ष से विपरीत फलक के अंकित वृत्त के केंद्र तक गिराए गए खंडों में प्रतिच्छेदन का एक सामान्य बिंदु होता है; इस बिंदु को टेट्राहेड्रोन का गुरुत्वाकर्षण केंद्र कहा जाता है।

आइए हम नियमित टेट्राहेड्रोन पर विस्तार से ध्यान दें, जिसके गुण व्यावहारिक रूप से समान हैं।

नाम के आधार पर आप समझ सकते हैं कि इसे ऐसा इसलिए कहा जाता है क्योंकि फलक नियमित त्रिभुज हैं। इस आकृति के सभी किनारे लंबाई में सर्वांगसम हैं, और फलक क्षेत्रफल में सर्वांगसम हैं। एक नियमित टेट्राहेड्रोन पाँच समान पॉलीहेड्रा में से एक है।

चतुष्फलकीय सूत्र

टेट्राहेड्रोन की ऊंचाई 2/3 की जड़ और किनारे की लंबाई के गुणनफल के बराबर होती है।

टेट्राहेड्रोन का आयतन पिरामिड के आयतन के समान ही पाया जाता है: 2 के वर्गमूल को 12 से विभाजित किया जाता है और घन में किनारे की लंबाई से गुणा किया जाता है।

वृत्तों के क्षेत्रफल और त्रिज्या की गणना के लिए शेष सूत्र ऊपर प्रस्तुत किए गए हैं।

एक मनमाना त्रिभुज ABC और एक बिंदु D पर विचार करें जो इस त्रिभुज के तल में नहीं है। आइए खंडों का उपयोग करके इस बिंदु को त्रिभुज ABC के शीर्षों से जोड़ें। परिणामस्वरूप, हमें त्रिभुज ADC, CDB, ABD प्राप्त होते हैं। चार त्रिभुजों ABC, ADC, CDB और ABD से घिरी सतह को चतुष्फलक कहा जाता है और इसे DABC नामित किया गया है।
वे त्रिभुज जो चतुष्फलक का निर्माण करते हैं, उसके फलक कहलाते हैं।
इन त्रिभुजों की भुजाओं को चतुष्फलक के किनारे कहा जाता है। और उनके शीर्ष चतुष्फलक के शीर्ष हैं

चतुष्फलक है 4 चेहरे, 6 पसलियांऔर 4 चोटियाँ.
दो किनारे जिनमें एक उभयनिष्ठ शीर्ष नहीं होता, विपरीत कहलाते हैं।
अक्सर, सुविधा के लिए, चतुष्फलक के किसी एक फलक को कहा जाता है आधार, और शेष तीन फलक पार्श्व फलक हैं।

इस प्रकार, चतुष्फलक सबसे सरल बहुफलक है जिसके फलक चार त्रिभुज होते हैं।

लेकिन यह भी सच है कि कोई भी मनमाना त्रिकोणीय पिरामिड एक चतुष्फलक होता है। फिर यह भी सत्य है कि चतुष्फलक कहा जाता है एक पिरामिड जिसके आधार पर एक त्रिभुज है।

चतुष्फलक की ऊँचाईएक खंड कहा जाता है जो एक शीर्ष को विपरीत फलक पर स्थित एक बिंदु से जोड़ता है और उसके लंबवत होता है।
चतुष्फलक की माध्यिकाएक खंड कहा जाता है जो एक शीर्ष को विपरीत फलक की माध्यिकाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु से जोड़ता है।
चतुष्फलक का द्विमध्यकएक खंड कहा जाता है जो टेट्राहेड्रोन के प्रतिच्छेदी किनारों के मध्य बिंदुओं को जोड़ता है।

चूँकि टेट्राहेड्रोन त्रिकोणीय आधार वाला एक पिरामिड है, इसलिए किसी भी टेट्राहेड्रोन के आयतन की गणना सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है

• एस- किसी भी चेहरे का क्षेत्र,
• एच- ऊँचाई इस चेहरे तक कम हो गई

नियमित चतुष्फलक - एक विशेष प्रकार का चतुष्फलक

एक चतुष्फलक जिसके सभी फलक समबाहु हों, त्रिभुज कहलाता है। सही।
एक नियमित चतुष्फलक के गुण:

• सभी किनारे बराबर हैं.
• एक नियमित चतुष्फलक के सभी समतल कोण 60° होते हैं
• चूँकि इसका प्रत्येक शीर्ष तीन नियमित त्रिभुजों का शीर्ष है, प्रत्येक शीर्ष पर समतल कोणों का योग 180° होता है
• एक नियमित चतुष्फलक के किसी भी शीर्ष को विपरीत फलक के लंबकेन्द्र (त्रिभुज की ऊंचाई के प्रतिच्छेदन बिंदु पर) में प्रक्षेपित किया जाता है।

आइए हमें एक नियमित चतुष्फलक ABCD दिया जाए जिसके किनारे a के बराबर हों। डीएच इसकी ऊंचाई है.
आइए हम अतिरिक्त निर्माण करें BM - त्रिभुज ABC की ऊंचाई और DM - त्रिभुज ACD की ऊंचाई।
BM की ऊंचाई BM के बराबर है और बराबर है
त्रिभुज बीडीएम पर विचार करें, जहां डीएच, जो चतुष्फलक की ऊंचाई है, इस त्रिभुज की ऊंचाई भी है।
भुजा एमबी तक गिराए गए त्रिभुज की ऊंचाई सूत्र का उपयोग करके पाई जा सकती है

, कहाँ
बीएम=, डीएम=, बीडी=ए,
पी=1/2 (बीएम+बीडी+डीएम)=
आइए इन मानों को ऊंचाई सूत्र में प्रतिस्थापित करें। हम पाते हैं


चलिए 1/2a निकाल लेते हैं. हम पाते हैं

आइए वर्गों के अंतर का फॉर्मूला लागू करें

छोटे-छोटे परिवर्तनों के बाद हमें मिलता है


किसी भी चतुष्फलक के आयतन की गणना सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है
,
कहाँ ,

इन मूल्यों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है

इस प्रकार, एक नियमित चतुष्फलक के लिए आयतन सूत्र है

कहाँ ए-टेट्राहेड्रोन किनारा

यदि किसी चतुष्फलक के शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात हों तो उसके आयतन की गणना करना

आइए हमें चतुष्फलक के शीर्षों के निर्देशांक दिए जाएं

शीर्ष से हम सदिश , , खींचते हैं।
इनमें से प्रत्येक वेक्टर के निर्देशांक ज्ञात करने के लिए, संबंधित आरंभिक निर्देशांक को अंतिम निर्देशांक से घटाएं। हम पाते हैं

पाठ का पाठ प्रतिलेख:

शुभ दोपहर हम इस विषय का अध्ययन करना जारी रखते हैं: "रेखाओं और तलों की समानता।"

मुझे लगता है कि यह पहले से ही स्पष्ट है कि आज हम पॉलीहेड्रा के बारे में बात करेंगे - बहुभुजों से बने ज्यामितीय निकायों की सतहें।

अर्थात् चतुष्फलक के बारे में।

हम योजना के अनुसार पॉलीहेड्रा का अध्ययन करेंगे:

1. चतुष्फलक की परिभाषा

2. चतुष्फलक के तत्व

3. चतुष्फलक का विकास

4. एक विमान पर छवि

1. त्रिभुज ABC की रचना कीजिए

2. बिंदु D इस त्रिभुज के तल में नहीं है

3. बिंदु D को खंडों के साथ त्रिभुज ABC के शीर्षों से जोड़ें। हमें त्रिभुज DAB, DBC और DCA प्राप्त होते हैं।

परिभाषा: चार त्रिभुजों ABC, DAB, DBC और DCA से बनी सतह को चतुष्फलक कहा जाता है।

पदनाम: डीएबीसी.

चतुष्फलक के तत्व

वे त्रिभुज जो चतुष्फलक बनाते हैं, फलक कहलाते हैं, उनकी भुजाएँ किनारे होती हैं, और उनके शीर्ष चतुष्फलक के शीर्ष कहलाते हैं।

चतुष्फलक के कितने फलक, किनारे और शीर्ष होते हैं?

एक चतुष्फलक के चार फलक, छह किनारे और चार शीर्ष होते हैं

चतुष्फलक के दो किनारे जिनमें उभयनिष्ठ शीर्ष नहीं होते, विपरीत कहलाते हैं।

चित्र में, किनारे AD और BC, BD और AC, CD और AB विपरीत हैं।

कभी-कभी चतुष्फलक के एक फलक को अलग कर दिया जाता है और उसे उसका आधार कहा जाता है, और अन्य तीन को पार्श्व फलक कहा जाता है।

चतुष्फलक का विकास.

कागज से चतुष्फलक बनाने के लिए आपको निम्नलिखित विकास की आवश्यकता होगी:

इसे मोटे कागज पर स्थानांतरित करने, काटने, बिंदीदार रेखाओं के साथ मोड़ने और चिपकाने की जरूरत है।

एक समतल पर एक चतुष्फलक को दर्शाया गया है

विकर्णों के साथ उत्तल या गैर-उत्तल चतुर्भुज के रूप में। इस मामले में, अदृश्य किनारों को धराशायी रेखाओं से दर्शाया गया है।

पहली तस्वीर में, AC एक अदृश्य किनारा है,

दूसरे पर - ईके, एलके और केएफ।

आइए कई विशिष्ट चतुष्फलकीय समस्याओं का समाधान करें:

5 सेमी के किनारे वाले एक नियमित टेट्राहेड्रोन का विकास क्षेत्र ज्ञात करें।

समाधान। आइए चतुष्फलक के विकास का चित्र बनाएं

(एक टेट्राहेड्रोन स्कैन स्क्रीन पर दिखाई देता है)

इस चतुष्फलक में चार समबाहु त्रिभुज होते हैं, इसलिए एक नियमित चतुष्फलक का विकास क्षेत्र चतुष्फलक की कुल सतह के क्षेत्रफल या चार नियमित त्रिभुजों के क्षेत्रफल के बराबर होता है।

हम सूत्र का उपयोग करके एक नियमित त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करते हैं:

तब हमें चतुष्फलक का क्षेत्रफल इसके बराबर प्राप्त होता है:

आइए सूत्र में किनारे की लंबाई a = 5 सेमी रखें,

यह पता चला है

उत्तर: नियमित चतुष्फलक का विकास क्षेत्र

बिंदु M, N और K से गुजरने वाले समतल के साथ टेट्राहेड्रोन के एक खंड का निर्माण करें।

a) वास्तव में, आइए हम बिंदु M और N (चेहरे ADC से संबंधित), बिंदु M और K (चेहरे ADB से संबंधित), बिंदु N और K (चेहरे DBC से संबंधित) को जोड़ते हैं। टेट्राहेड्रोन का क्रॉस सेक्शन त्रिकोण एमकेएन है।

बी) बिंदु एम और के (एडीबी के किनारों से संबंधित), बिंदु के और एन (डीसीबी के किनारों से संबंधित) को कनेक्ट करें, फिर एमके और एबी को तब तक जारी रखें जब तक वे प्रतिच्छेद न करें और बिंदु पी को रखें। लाइन पीएन और बिंदु टी एक ही विमान एबीसी में स्थित हैं और अब हम प्रत्येक फलक के साथ सीधी रेखा एमके का प्रतिच्छेदन बना सकते हैं। परिणाम एक चतुर्भुज एमकेएनटी है, जो वांछित खंड है।

इसके सभी फलक समान त्रिभुज हैं। एक समफलकीय चतुष्फलक का विकास एक त्रिभुज है जो तीन मध्य रेखाओं द्वारा चार समान त्रिभुजों में विभाजित होता है। एक आइसोहेड्रल टेट्राहेड्रोन में, ऊंचाई के आधार, ऊंचाई के मध्य बिंदु और चेहरों की ऊंचाई के प्रतिच्छेदन बिंदु एक गोले (12 बिंदुओं का एक गोला) की सतह पर स्थित होते हैं (एक त्रिकोण के लिए यूलर सर्कल का एक एनालॉग) ).

एक आइसोहेड्रल टेट्राहेड्रोन के गुण:

• इसके सभी फलक समान (सर्वांगसम) हैं।
• क्रॉसिंग किनारे जोड़े में बराबर हैं।
• त्रिफलकीय कोण बराबर होते हैं।
• सम्मुख द्विफलकीय कोण बराबर होते हैं।
• एक ही किनारे पर स्थित दो समतल कोण बराबर होते हैं।
• प्रत्येक शीर्ष पर समतल कोणों का योग 180° होता है।
• चतुष्फलक का विकास एक त्रिभुज या समांतर चतुर्भुज के रूप में होता है।
• वर्णित समांतर चतुर्भुज आयताकार है।
• चतुष्फलक में सममिति के तीन अक्ष होते हैं।
• क्रॉसिंग किनारों के सामान्य लंब जोड़े में लंबवत होते हैं।
• मध्य रेखाएं जोड़े में लंबवत होती हैं।
• चेहरों की परिधि बराबर हैं.
• चेहरों का क्षेत्रफल बराबर है।
• चतुष्फलक की ऊँचाई समान होती है।
• विपरीत फलकों के गुरुत्वाकर्षण केंद्रों के साथ शीर्षों को जोड़ने वाले खंड बराबर होते हैं।
• चेहरों के चारों ओर परिचालित वृत्तों की त्रिज्याएँ बराबर होती हैं।
• टेट्राहेड्रोन का गुरुत्वाकर्षण केंद्र परिचालित गोले के केंद्र के साथ मेल खाता है।
• गुरुत्वाकर्षण का केंद्र अंकित गोले के केंद्र से मेल खाता है।
• परिचालित गोले का केंद्र खुदे हुए गोले के केंद्र से मेल खाता है।
• अंकित गोला इन फलकों के चारों ओर बने वृत्तों के केंद्र पर बने फलकों को छूता है।
• बाहरी इकाई सामान्यों (फलकों के लंबवत इकाई सदिश) का योग शून्य है।
• सभी द्विफलकीय कोणों का योग शून्य होता है।

ऑर्थोसेंट्रिक टेट्राहेड्रोन

शीर्षों से विपरीत फलकों तक गिरी सभी ऊंचाइयां एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं।

ऑर्थोसेंट्रिक टेट्राहेड्रोन के गुण:

• टेट्राहेड्रोन की ऊंचाई एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती है।
• चतुष्फलक की ऊंचाई के आधार फलकों के लंबकेन्द्र हैं।
• चतुष्फलक के प्रत्येक दो विपरीत किनारे लंबवत होते हैं।
• चतुष्फलक के विपरीत किनारों के वर्गों का योग बराबर होता है।
• चतुष्फलक के विपरीत किनारों के मध्यबिंदुओं को जोड़ने वाले खंड बराबर होते हैं।
• विपरीत द्विफलकीय कोणों की कोज्याओं का गुणनफल बराबर होता है।
• फलकों के क्षेत्रफलों के वर्गों का योग विपरीत किनारों के गुणनफलों के वर्गों के योग से चार गुना कम है।
• यू ऑर्थोसेंट्रिक टेट्राहेड्रोनप्रत्येक फलक के 9-बिंदु वृत्त (यूलर वृत्त) एक गोले (24-बिंदु क्षेत्र) से संबंधित हैं।
• यू ऑर्थोसेंट्रिक टेट्राहेड्रोनगुरुत्वाकर्षण के केंद्र और चेहरों की ऊंचाइयों के प्रतिच्छेदन बिंदु, साथ ही टेट्राहेड्रोन की प्रत्येक ऊंचाई के खंडों को शीर्ष से ऊंचाई के चौराहे के बिंदु तक 2: 1 के अनुपात में विभाजित करने वाले बिंदु, झूठ बोलते हैं एक गोले पर (12 बिन्दुओं का गोला)।

आयताकार चतुष्फलक

किसी एक शीर्ष से सटे सभी किनारे एक दूसरे के लंबवत हैं। एक आयताकार चतुष्फलक एक घनाभ से एक समतल से चतुष्फलक को काटकर प्राप्त किया जाता है।

फ्रेम चतुष्फलक

यह एक चतुष्फलक है जो निम्नलिखित में से किसी भी शर्त को पूरा करता है:

• एक गोला है जो सभी किनारों को छू रहा है,
• क्रॉसिंग किनारों की लंबाई का योग बराबर है,
• विपरीत किनारों पर द्विफलकीय कोणों का योग बराबर होता है,
• चेहरों पर अंकित वृत्त जोड़े में स्पर्श करते हैं,
• चतुष्फलक के विकास से उत्पन्न सभी चतुर्भुजों का वर्णन किया गया है,
• उनमें अंकित वृत्तों के केंद्रों से फलकों पर उठाए गए लंब एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं।

अनुरूप चतुष्फलक

एक अनुरूप चतुष्फलक के गुण:

• द्वि-ऊंचाइयां बराबर हैं। टेट्राहेड्रोन के बायल्टिट्यूड इसके दो प्रतिच्छेदी किनारों (जिन किनारों में सामान्य शीर्ष नहीं होते हैं) के सामान्य लंबवत होते हैं।
• किसी चतुष्फलक का किसी के लंबवत समतल पर प्रक्षेपण bimedians, एक समचतुर्भुज है. Bimediansटेट्राहेड्रोन को उसके प्रतिच्छेदी किनारों (जिनमें उभयनिष्ठ शीर्ष नहीं होते) के मध्य बिंदुओं को जोड़ने वाले खंड कहा जाता है।
• वर्णित समांतर चतुर्भुज के फलक आकार में समान हैं।
• निम्नलिखित संबंध कायम हैं: $4a^2(a\_1)^2-\; (b^2+(b\_1)^2-c^2-(c\_1)^2)^2=4b^2(b\_1)^2-\; (c^2+(c\_1)\; ^2-a^2-(a\_1)^2)^2=4c^2(c\_1)^2-\; (a^2+(a\_1)^2-b^2-(b\_1)^2)^2$, कहाँ $ए$और $a\_1$, $बी$और $बी\_1$, $सी$और $सी\_1$- विपरीत पसलियों की लंबाई.
• चतुष्फलक के विपरीत किनारों के प्रत्येक जोड़े के लिए, उनमें से एक और दूसरे के मध्य से होकर खींचे गए तल लंबवत होते हैं।
• एक गोले को एक अनुरूप चतुष्फलक के वर्णित समानांतर चतुर्भुज में अंकित किया जा सकता है।

अकेंद्रित चतुष्फलक

इस प्रकार में, टेट्राहेड्रोन के शीर्षों को विपरीत फलकों पर अंकित वृत्तों के केंद्रों से जोड़ने वाले खंड एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं। एक अकेंद्रित चतुष्फलक के गुण:

• टेट्राहेड्रोन के चेहरों के गुरुत्वाकर्षण केंद्रों को विपरीत शीर्षों (टेट्राहेड्रोन के माध्यिका) से जोड़ने वाले खंड हमेशा एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं। यह बिंदु चतुष्फलक के गुरुत्वाकर्षण का केंद्र है।
• टिप्पणी. यदि अंतिम स्थिति में हम चेहरों के गुरुत्वाकर्षण केंद्रों को चेहरों के लंबकेंद्रों से बदल दें, तो यह एक नई परिभाषा में बदल जाएगा ऑर्थोसेंट्रिक टेट्राहेड्रोन. यदि हम उन्हें फलकों पर अंकित वृत्तों के केंद्रों से प्रतिस्थापित करें, जिन्हें कभी-कभी अंतःकेन्द्र भी कहा जाता है, तो हमें चतुष्फलक के एक नए वर्ग की परिभाषा मिलती है - अकेंद्रित.
• टेट्राहेड्रोन के शीर्षों को विपरीत फलकों पर अंकित वृत्तों के केंद्रों से जोड़ने वाले खंड एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं।
• इन फलकों के उभयनिष्ठ किनारे पर खींचे गए दो फलकों के कोणों के समद्विभाजकों का एक उभयनिष्ठ आधार होता है।
• विपरीत किनारों की लंबाई का गुणनफल बराबर होता है।
• इन किनारों के तीन सिरों से गुजरने वाले किसी गोले के साथ एक शीर्ष से निकलने वाले तीन किनारों के दूसरे प्रतिच्छेदन बिंदु से बना त्रिकोण समबाहु होता है।

नियमित चतुष्फलक

यह एक समफलकीय चतुष्फलक है, जिसके सभी फलक नियमित त्रिभुज हैं। यह प्लेटो के पाँच ठोसों में से एक है।

एक नियमित चतुष्फलक के गुण:

• चतुष्फलक के सभी किनारे एक दूसरे के बराबर हैं,
• चतुष्फलक के सभी फलक एक दूसरे के बराबर होते हैं,
• सभी फलकों की परिधि और क्षेत्रफल समान हैं।
• एक नियमित चतुष्फलक एक साथ है ऑर्थोसेंट्रिक, फ्रेम, समबाहु, इनसेंट्रिक और आनुपातिक।
• एक चतुष्फलक नियमित होता है यदि वह निम्नलिखित में से किसी दो प्रकार के चतुष्फलक से संबंधित हो: ऑर्थोसेंट्रिक, फ़्रेम, इनसेंट्रिक, आनुपातिक, आइसोहेड्रल.
• यदि कोई चतुष्फलक नियमित है तो वह नियमित है समफलकीयऔर टेट्राहेड्रा के निम्नलिखित प्रकारों में से एक से संबंधित है: ऑर्थोसेंट्रिक, फ़्रेम, इनसेंट्रिक, आनुपातिक.
• एक ऑक्टाहेड्रोन को एक नियमित टेट्राहेड्रोन में अंकित किया जा सकता है, इसके अलावा, ऑक्टाहेड्रोन के चार (आठ में से) चेहरों को टेट्राहेड्रोन के चार चेहरों के साथ जोड़ा जाएगा, ऑक्टाहेड्रोन के सभी छह शीर्षों को टेट्राहेड्रोन के छह किनारों के केंद्रों के साथ जोड़ा जाएगा। .
• एक नियमित टेट्राहेड्रोन में एक उत्कीर्ण ऑक्टाहेड्रोन (केंद्र में) और चार टेट्राहेड्रा (शीर्ष पर) होते हैं, और इन टेट्राहेड्रा और ऑक्टाहेड्रोन के किनारे नियमित टेट्राहेड्रोन के किनारों के आधे आकार के होते हैं।
• एक नियमित टेट्राहेड्रोन को दो तरीकों से एक घन में अंकित किया जा सकता है, जिसमें टेट्राहेड्रोन के चार शीर्ष घन के चार शीर्षों के साथ संरेखित होते हैं।
• एक नियमित टेट्राहेड्रोन को एक इकोसाहेड्रोन में अंकित किया जा सकता है, इसके अलावा, टेट्राहेड्रोन के चार शीर्षों को इकोसाहेड्रोन के चार शीर्षों के साथ जोड़ा जाएगा।
• एक नियमित चतुष्फलक के क्रॉसिंग किनारे परस्पर लंबवत होते हैं।

चतुष्फलक का आयतन

• टेट्राहेड्रोन का आयतन (चिह्न को ध्यान में रखते हुए), जिसके शीर्ष बिंदुओं पर स्थित हैं $\backslash mathbf(r)\_1\; (x\_1,y\_1,z\_1),$ $\backslash mathbf(r)\_2\; (x\_2,y\_2,z\_2),$ $\backslash mathbf(r)\_3\; (x\_3,y\_3,z\_3),$ $\backslash mathbf(r)\_4\; (x\_4,y\_4,z\_4),$के बराबर होती है

$वी\; =\; \backslash frac16$

\begin(vmatrix) 1 और x_1 और y_1 और z_1 \\ 1 और x_2 और y_2 और z_2 \\ 1 और x_3 और y_3 और z_3 \\ 1 और x_4 और y_4 और z_4 \end(vmatrix) = \frac16 \begin( vmatrix) x_2 - x_1 और y_2 - y_1& z_2 - z_1\\ x_3 - x_1 और y_3 - y_1& z_3 - z_1\\ x_4 - x_1 और y_4 - y_1& z_4 - z_1 \end(vmatrix),या

$वी\; =\; \backslash frac(1)(3)\backslash \; एस\; एच,$

कहाँ $एस$किसी भी चेहरे का क्षेत्र है, और $एच$- इस चेहरे की ऊंचाई कम हो गई है।

• किनारे की लंबाई के संदर्भ में टेट्राहेड्रोन का आयतन केली-मेंजर निर्धारक का उपयोग करके व्यक्त किया जाता है:

$288\; \backslash cdot\; V^2\; =$

0 और 1 और 1 और 1 और 1 \ 1 और 0 और d_(12)^2 और d_(13)^2 और d_(14)^2 \ 1 और d_(12)^2 और 0 और d_( 23)^2 और d_(24)^2 \\ 1 और d_(13)^2 और d_(23)^2 और 0 और d_(34)^2 \\ 1 और d_(14)^2 और d_( 24)^2 और d_(34)^2 और 0

\end(vmatrix).

• इस सूत्र में एक समान निर्धारक के माध्यम से हेरॉन के सूत्र के एक प्रकार के रूप में त्रिभुज के क्षेत्र के लिए एक फ्लैट एनालॉग है।
• दो विपरीत किनारों की लंबाई के माध्यम से एक चतुष्फलक का आयतन एऔर बी, क्रॉसिंग लाइनों की तरह जो अलग-अलग दूरी पर हैं एचएक दूसरे से और एक दूसरे से कोण बनाते हैं $\backslash phi$, सूत्र द्वारा पाया जाता है:

$V\; =\; \backslash frac(1)(6)\; ab\; h\; \backslash sin\; \backslash phi\; .$

$वी\; =\; \backslash frac(1)(3)\backslash \; abc\; \backslash sqrt\; (D)\; ,$

कहाँ $$D=\backslash begin(vmatrix)$$

1 और \cos \गामा और \cos \बीटा \\ \cos \गामा और 1 और \cos \अल्फा \\ \cos \बीटा और \cos \अल्फा और 1 \end(vmatrix)।

• अंतिम सूत्र के तल का एनालॉग एक त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र उसकी दोनों भुजाओं की लंबाई के संदर्भ में है एऔर बी, एक शीर्ष से निकलकर आपस में एक कोण बनाते हैं $\backslash गामा$:

$S\; =\; \backslash frac(1)(2)\backslash \; ab\; \backslash sqrt\; (D)\; ,$

कहाँ $D=\backslash begin(vmatrix)$

1 और \cos \गामा \\ cos \गामा और 1 \\ \end(vmatrix)।

सूक्ष्म जगत में टेट्राहेड्रा

• एक नियमित टेट्राहेड्रोन परमाणु कक्षाओं के एसपी 3-संकरण द्वारा बनता है (उनकी धुरी नियमित टेट्राहेड्रोन के शीर्षों की ओर निर्देशित होती है, और केंद्रीय परमाणु का नाभिक नियमित टेट्राहेड्रोन के वर्णित क्षेत्र के केंद्र में स्थित होता है), इसलिए कई जिन अणुओं में केंद्रीय परमाणु का ऐसा संकरण होता है, उनमें इस बहुफलक का आभास होता है
• सीएच 4 मीथेन अणु
• सल्फेट आयन एसओ 4 2-, फॉस्फेट आयन पीओ 4 3-, परक्लोरेट आयन सीएलओ 4 - और कई अन्य आयन
• डायमंड सी एक टेट्राहेड्रोन है जिसका किनारा 2.5220 एंगस्ट्रॉम के बराबर है
• फ्लोराइट सीएएफ 2, टेट्राहेड्रोन जिसका किनारा 3, 8626 एंगस्ट्रॉम के बराबर है
• स्पैलेराइट, ZnS, टेट्राहेड्रोन जिसका किनारा 3.823 एंगस्ट्रॉम के बराबर है
• जटिल आयन - , 2- , 2- , 2+
• सिलिकेट्स, जिनकी संरचनाएं सिलिकॉन-ऑक्सीजन टेट्राहेड्रोन 4- पर आधारित हैं

प्रकृति में चतुष्फलक

कुछ फल, उनमें से चार एक तरफ, एक टेट्राहेड्रोन के शीर्ष पर स्थित हैं जो नियमित के करीब है। यह डिज़ाइन इस तथ्य के कारण है कि एक दूसरे को छूने वाली चार समान गेंदों के केंद्र एक नियमित टेट्राहेड्रोन के शीर्ष पर स्थित होते हैं। इसलिए, गेंद जैसे फल एक समान सापेक्ष व्यवस्था बनाते हैं। उदाहरण के लिए, अखरोट को इस प्रकार व्यवस्थित किया जा सकता है।

प्रौद्योगिकी में टेट्राहेड्रोन

यह सभी देखें

• सिम्प्लेक्स - एन-डायमेंशनल टेट्राहेड्रोन

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टिप्पणियाँ

साहित्य

• मैटिज़न वी.ई., डबरोव्स्की। टेट्राहेड्रोन "क्वांट" की ज्यामिति से, संख्या 9, 1988 पी.66।
• ज़स्लावस्की ए.ए. // गणितीय शिक्षा, सेर। 3 (2004), संख्या 8, पृ. 78-92।

सही सही गैर-उत्तल उत्तल सूत्र, प्रमेय, सिद्धांतों अन्य

टेट्राहेड्रोन की विशेषता बताने वाला अंश

चौथे दिन, ज़ुबोव्स्की वैल पर आग लग गई।
पियरे और तेरह अन्य को क्रिम्सकी ब्रोड, एक व्यापारी के घर के गाड़ी घर में ले जाया गया। सड़कों पर चलते हुए, पियरे का धुंए से दम घुट रहा था, जो पूरे शहर पर छाया हुआ लग रहा था। आग अलग-अलग दिशाओं से दिखाई दे रही थी। पियरे को अभी तक मास्को के जलने का महत्व समझ में नहीं आया और उसने इन आग को डरावनी दृष्टि से देखा।
पियरे क्रीमियन ब्रोड के पास एक घर के कैरिज हाउस में चार और दिनों तक रहे, और इन दिनों के दौरान उन्होंने फ्रांसीसी सैनिकों की बातचीत से सीखा कि यहां रखे गए सभी लोग हर दिन मार्शल के फैसले की उम्मीद करते थे। कौन सा मार्शल, पियरे सैनिकों से पता नहीं लगा सका। सैनिक के लिए, जाहिर है, मार्शल सत्ता में सर्वोच्च और कुछ हद तक रहस्यमयी कड़ी प्रतीत होता था।
ये पहले दिन, 8 सितंबर तक, जिस दिन कैदियों को माध्यमिक पूछताछ के लिए ले जाया गया था, पियरे के लिए सबसे कठिन थे।

एक्स
8 सितंबर को, एक बहुत ही महत्वपूर्ण अधिकारी कैदियों को देखने के लिए खलिहान में दाखिल हुआ, यह देखते हुए कि गार्ड ने उसके साथ कितना सम्मान किया। यह अधिकारी, संभवतः एक स्टाफ अधिकारी, अपने हाथों में एक सूची के साथ, सभी रूसियों को एक रोल कॉल किया, पियरे को बुलाया: सेलुई क्वि एन "अवोए पस सन नॉम [वह जो अपना नाम नहीं बताता]। और, उदासीनता से और सभी कैदियों को आलस्य से देखते हुए, उसने गार्ड को आदेश दिया कि अधिकारी को मार्शल के पास ले जाने से पहले उन्हें कपड़े पहनाना और साफ करना उचित है। एक घंटे बाद सैनिकों की एक कंपनी पहुंची, और पियरे और तेरह अन्य को मेडेन फील्ड में ले जाया गया . दिन साफ ​​था, बारिश के बाद धूप थी, और हवा असामान्य रूप से साफ थी। धुंआ उस दिन की तरह शांत नहीं हुआ जब पियरे को जुबोव्स्की वैल के गार्डहाउस से बाहर निकाला गया था; साफ हवा में धुआं स्तंभों में उठ रहा था। आग आग कहीं दिखाई नहीं दे रही थी, लेकिन हर तरफ से धुएं के गुबार उठ रहे थे और पूरा मॉस्को, जो कुछ भी पियरे देख सकता था, वह एक अग्निकांड था। सभी तरफ स्टोव और चिमनी के साथ खाली जगह और कभी-कभी जली हुई दीवारें दिखाई दे रही थीं। पत्थर के घरों की। पियरे ने आग को करीब से देखा और शहर के परिचित क्वार्टरों को नहीं पहचाना। कुछ स्थानों पर, जीवित चर्च देखे जा सकते थे। क्रेमलिन, अविभाज्य, अपने टावरों और इवान द ग्रेट के साथ दूर से सफेद दिखाई दे रहा था। पास में, नोवोडेविची कॉन्वेंट का गुंबद खुशी से चमक रहा था, और सुसमाचार की घंटी वहां से विशेष रूप से जोर से सुनाई दे रही थी। इस घोषणा ने पियरे को याद दिलाया कि यह रविवार था और वर्जिन मैरी के जन्म का पर्व था। लेकिन ऐसा लग रहा था कि इस छुट्टी को मनाने वाला कोई नहीं था: हर जगह आग से तबाही थी, और रूसी लोगों से केवल कभी-कभार फटे हुए, भयभीत लोग थे जो फ्रांसीसी को देखते ही छिप गए थे।
जाहिर है, रूसी घोंसला तबाह और नष्ट हो गया था; लेकिन जीवन की इस रूसी व्यवस्था के विनाश के पीछे, पियरे को अनजाने में लगा कि इस बर्बाद घोंसले पर उसकी अपनी, पूरी तरह से अलग, लेकिन दृढ़ फ्रांसीसी व्यवस्था स्थापित हो गई है। इसका अहसास उसे उन सैनिकों को देखकर हुआ, जो नियमित पंक्तियों में प्रसन्नतापूर्वक और प्रसन्न होकर चल रहे थे, जो अन्य अपराधियों के साथ उसके साथ थे; उन्होंने इसे एक डबल गाड़ी में कुछ महत्वपूर्ण फ्रांसीसी अधिकारी की दृष्टि से महसूस किया, जिसे एक सैनिक चला रहा था और उनकी ओर आ रहा था। उसने इसे मैदान के बाईं ओर से आने वाले रेजिमेंटल संगीत की हर्षित ध्वनियों से महसूस किया, और विशेष रूप से उसने इसे उस सूची से महसूस और समझा जिसे आज सुबह दौरे पर आए फ्रांसीसी अधिकारी ने कैदियों को बुलाते हुए पढ़ा। पियरे को कुछ सैनिकों द्वारा पकड़ लिया गया, दर्जनों अन्य लोगों के साथ एक स्थान या दूसरे स्थान पर ले जाया गया; ऐसा लग रहा था कि वे उसके बारे में भूल सकते हैं, उसे दूसरों के साथ मिला सकते हैं। लेकिन नहीं: पूछताछ के दौरान दिए गए उनके जवाब उनके नाम के रूप में वापस आए: सेलुई क्वि एन "एवोए पस सन नॉम। और इस नाम के तहत, जिससे पियरे को डर था, अब उसे निस्संदेह आत्मविश्वास के साथ कहीं ले जाया जा रहा था उन चेहरों पर लिखा था कि अन्य सभी कैदी और वह वही थे जिनकी जरूरत थी, और उन्हें वहां ले जाया जा रहा था जहां उनकी जरूरत थी। पियरे को ऐसा महसूस हुआ जैसे कि उसके लिए अज्ञात, लेकिन सही ढंग से काम करने वाली मशीन के पहियों में एक महत्वहीन टुकड़ा फंस गया हो।
पियरे और अन्य अपराधियों को मेडेन फील्ड के दाहिनी ओर, मठ से ज्यादा दूर नहीं, एक विशाल बगीचे के साथ एक बड़े सफेद घर में ले जाया गया। यह प्रिंस शचरबातोव का घर था, जिसमें पियरे पहले अक्सर मालिक से मिलने जाते थे और अब, जैसा कि उन्हें सैनिकों की बातचीत से पता चला, मार्शल, ड्यूक ऑफ एकमुहल, तैनात थे।
उन्हें बरामदे में ले जाया गया और एक-एक करके उन्हें घर में ले जाया गया। पियरे को छठे स्थान पर लाया गया। पियरे से परिचित एक ग्लास गैलरी, एक वेस्टिबुल और एक एंटेचैम्बर के माध्यम से, उसे एक लंबे, निचले कार्यालय में ले जाया गया, जिसके दरवाजे पर एक सहायक खड़ा था।
डेवाउट कमरे के अंत में मेज के ऊपर बैठा था, उसकी नाक पर चश्मा था। पियरे उसके करीब आ गया. डेवाउट, अपनी आँखें ऊपर उठाए बिना, जाहिरा तौर पर अपने सामने पड़े कुछ कागजों से निपट रहा था। बिना नज़र उठाये उसने धीरे से पूछा:
- तुम कौन हो? [आप कौन हैं?]
पियरे चुप था क्योंकि वह शब्द बोलने में असमर्थ था। पियरे के लिए, डेवाउट सिर्फ एक फ्रांसीसी जनरल नहीं था; पियरे डेवाउट के लिए, वह एक ऐसा व्यक्ति था जो अपनी क्रूरता के लिए जाना जाता था। डावौट के ठंडे चेहरे को देखकर, जो एक सख्त शिक्षक की तरह, कुछ समय के लिए धैर्य रखने और उत्तर की प्रतीक्षा करने के लिए सहमत हो गया, पियरे को लगा कि देरी के हर सेकंड से उसकी जान जा सकती है; लेकिन वह नहीं जानता था कि क्या कहे। पहली पूछताछ के दौरान उसने जो कहा, उसे कहने की उसकी हिम्मत नहीं हुई; किसी की रैंक और स्थिति का खुलासा करना खतरनाक और शर्मनाक दोनों था। पियरे चुप था. लेकिन इससे पहले कि पियरे कुछ भी निर्णय ले पाता, डावाउट ने अपना सिर उठाया, अपना चश्मा माथे तक उठाया, अपनी आँखें सिकोड़ लीं और पियरे की ओर ध्यान से देखा।
"मैं इस आदमी को जानता हूं," उसने नपी-तुली, ठंडी आवाज में कहा, जाहिर तौर पर इसका मकसद पियरे को डराना था। जो ठंड पहले पियरे की पीठ पर बह चुकी थी, उसने उसके सिर को बुरी तरह जकड़ लिया।
- मोन जनरल, वौस ने पौवेज़ पस मी कनैत्रे, जे ने वौस ऐ जमैस वु... [आप मुझे नहीं जान सकते, जनरल, मैंने आपको कभी नहीं देखा।]
"सी"एस्ट अन एस्पियन रूसे, [यह एक रूसी जासूस है,"] डेवाउट ने उसे रोका, एक अन्य जनरल को संबोधित किया जो कमरे में था और जिस पर पियरे ने ध्यान नहीं दिया था। और डेवाउट दूर चला गया। उसकी आवाज़ में अप्रत्याशित उछाल के साथ, पियरे अचानक तेजी से बोला.
"नॉन, मोनसिग्नूर," उन्होंने कहा, अचानक याद आया कि डेवाउट एक ड्यूक था। - नॉन, मोनसिग्नॉर, वौस एन"अवेज़ पास पु मी कॉन्नैट्रे। जे सुइस अन ऑफिसर मिलिशियनेयर एट जे एन"एआई पास क्विट मॉस्को। [नहीं, महामहिम... नहीं, महामहिम, आप मुझे नहीं जान सके। मैं एक पुलिस अधिकारी हूं और मैंने मॉस्को नहीं छोड़ा है।]
- मतदाता नामांकित? [आपका नाम?] - दावाउट दोहराया।
- बेसौहोफ़. [बेजुखोव.]
– Qu"est ce qui me prouvera que vous ne mentez pas? [मुझे कौन साबित करेगा कि आप झूठ नहीं बोल रहे हैं?]
- मोनसिग्नूर! [महामहिम!] - पियरे नाराज नहीं, बल्कि विनती भरे स्वर में चिल्लाया।
डेवाउट ने अपनी आँखें उठाईं और पियरे की ओर ध्यान से देखा। उन्होंने कई सेकंड तक एक-दूसरे को देखा और इस नज़र ने पियरे को बचा लिया। इस दृष्टि से युद्ध और मुकदमे की सभी स्थितियों से अलग इन दोनों लोगों के बीच एक मानवीय संबंध स्थापित हुआ। उस एक मिनट में उन दोनों ने अस्पष्ट रूप से अनगिनत चीजों का अनुभव किया और महसूस किया कि वे दोनों मानवता की संतान थे, कि वे भाई थे।
डावाउट के लिए पहली नज़र में, जिसने केवल अपनी सूची से अपना सिर उठाया था, जहां मानवीय मामलों और जीवन को संख्या कहा जाता था, पियरे केवल एक परिस्थिति थी; और, अपने विवेक पर बुरे काम को ध्यान में न रखते हुए, डेवाउट ने उसे गोली मार दी होगी; लेकिन अब उसने पहले से ही उसमें एक व्यक्ति को देख लिया है। उसने एक पल के लिए सोचा।
- मुझे टिप्पणी करें कि क्या आपने मुझे बताया है कि आपने मुझे क्या नुकसान पहुंचाया है? [आप मुझे अपने शब्दों की सच्चाई कैसे साबित करेंगे?] - डेवौट ने ठंडे स्वर में कहा।
पियरे ने रामबल को याद किया और अपनी रेजिमेंट, अपना अंतिम नाम और उस सड़क का नाम रखा जिस पर घर स्थित था।
"वौस एन"एटेस पस सी क्यू वौस डाइट्स, [आप जो कहते हैं वह नहीं हैं।]," डेवौट ने फिर से कहा।
पियरे ने कांपती, रुक-रुक कर आवाज में अपनी गवाही की सच्चाई का सबूत देना शुरू किया।
लेकिन इसी समय सहायक ने प्रवेश किया और डावौट को कुछ सूचना दी।
एडजुटेंट द्वारा बताई गई खबर सुनकर डेवाउट अचानक मुस्कुराया और बटन बंद करने लगा। वह स्पष्ट रूप से पियरे के बारे में पूरी तरह से भूल गया।
जब सहायक ने उसे कैदी की याद दिलाई, तो उसने भौंहें सिकोड़ लीं, पियरे की ओर सिर हिलाया और कहा कि उसे ले जाया जाए। लेकिन पियरे को नहीं पता था कि वे उसे कहाँ ले जाने वाले थे: वापस बूथ पर या फांसी की तैयार जगह पर, जो उसके साथियों ने उसे मेडेन फील्ड के साथ चलते समय दिखाया था।
उसने अपना सिर घुमाया और देखा कि सहायक फिर से कुछ पूछ रहा था।
- उई, संस डूटे! [हां, बिल्कुल!] - डेवाउट ने कहा, लेकिन पियरे को नहीं पता था कि "हां" क्या था।
पियरे को याद नहीं कि वह कैसे, कितनी देर और कहाँ चला। वह, पूरी तरह से बेहोशी और नीरसता की स्थिति में, अपने आस-पास कुछ भी नहीं देख पाने के कारण, दूसरों के साथ-साथ अपने पैरों को तब तक हिलाता रहा जब तक कि सभी लोग रुक नहीं गए, और वह भी रुक गया। इस पूरे समय के दौरान, पियरे के दिमाग में एक ही विचार चल रहा था। यह विचार था कि आख़िर किसने, किसने, उसे मौत की सज़ा सुनाई। ये वही लोग नहीं थे जिन्होंने आयोग में उनसे पूछताछ की थी: उनमें से कोई भी ऐसा नहीं चाहता था और जाहिर तौर पर ऐसा नहीं कर सकता था। यह डेवाउट नहीं था जिसने उसे इतनी मानवीय दृष्टि से देखा। एक और मिनट और डेवौट को एहसास हो गया होगा कि वे कुछ गलत कर रहे थे, लेकिन प्रवेश करने वाले सहायक ने इस क्षण को बाधित कर दिया। और यह सहायक, जाहिर है, कुछ भी बुरा नहीं चाहता था, लेकिन उसने प्रवेश नहीं किया होगा। वह कौन था जिसने अंततः मार डाला, मार डाला, उसकी जान ले ली - पियरे को उसकी सभी यादों, आकांक्षाओं, आशाओं, विचारों के साथ? किसने किया यह? और पियरे को लगा कि यह कोई नहीं है।
यह एक आदेश था, परिस्थितियों का एक पैटर्न था।
किसी प्रकार का आदेश उसे मार रहा था - पियरे, उसे उसके जीवन से, हर चीज़ से वंचित कर रहा था, उसे नष्ट कर रहा था।

प्रिंस शचरबातोव के घर से, कैदियों को देवीची पोल के साथ सीधे देवीची कॉन्वेंट के बाईं ओर ले जाया गया और एक वनस्पति उद्यान की ओर ले जाया गया, जिस पर एक स्तंभ था। खम्भे के पीछे ताजी खोदी हुई मिट्टी से खोदा हुआ एक बड़ा गड्ढा था, और लोगों की एक बड़ी भीड़ गड्ढे और खम्भे के चारों ओर अर्धवृत्ताकार खड़ी थी। भीड़ में थोड़ी संख्या में रूसी और बड़ी संख्या में नेपोलियन के सैनिक शामिल थे: अलग-अलग वर्दी में जर्मन, इटालियन और फ्रांसीसी। स्तंभ के दायीं और बायीं ओर लाल एपॉलेट, जूते और शाकोस के साथ नीली वर्दी में फ्रांसीसी सैनिकों के मोर्चे खड़े थे।
अपराधियों को एक निश्चित क्रम में रखा गया था, जो सूची में था (पियरे छठे स्थान पर था), और उन्हें एक पद पर ले जाया गया। दोनों ओर से अचानक कई ड्रम बजने लगे और पियरे को लगा कि इस ध्वनि से ऐसा लगा जैसे उसकी आत्मा का एक हिस्सा फट गया हो। उसकी सोचने-विचारने की क्षमता खत्म हो गई। वह केवल देख और सुन सकता था। और उसकी केवल एक ही इच्छा थी - कुछ भयानक घटित होने की इच्छा जिसे जितनी जल्दी हो सके किया जाना था। पियरे ने पीछे मुड़कर अपने साथियों की ओर देखा और उनकी जाँच की।
किनारे पर मौजूद दो लोगों के बाल मुंडवाए गए और उनकी रक्षा की गई। एक लंबा और पतला है; दूसरा काला, झबरा, मांसल, चपटी नाक वाला है। तीसरा सड़क पर काम करने वाला एक नौकर था, जिसकी उम्र लगभग पैंतालीस साल थी, जिसके भूरे बाल थे और उसका भरा-पूरा शरीर मोटा था। चौथा बहुत सुंदर आदमी था, उसकी घनी भूरी दाढ़ी और काली आँखें थीं। पाँचवाँ एक फैक्ट्री कर्मचारी था, पीला, पतला, लगभग अठारह वर्ष का, ड्रेसिंग गाउन में।
पियरे ने सुना कि फ्रांसीसी चर्चा कर रहे थे कि कैसे गोली मारनी है - एक समय में एक या एक समय में दो? "एक बार में दो," वरिष्ठ अधिकारी ने ठंडेपन और शांति से उत्तर दिया। सैनिकों के रैंकों में हलचल थी, और यह ध्यान देने योग्य था कि हर कोई जल्दी में था - और वे इतनी जल्दी में नहीं थे कि वे कुछ ऐसा करने की जल्दी में थे जो हर किसी के लिए समझ में आता था, बल्कि इसलिए कि वे जल्दी में थे समाप्त करने के लिए एक आवश्यक, लेकिन अप्रिय और समझ से बाहर कार्य।
स्कार्फ पहने एक फ्रांसीसी अधिकारी अपराधियों की पंक्ति के दाहिनी ओर पहुंचा और रूसी और फ्रेंच में फैसला पढ़ा।
तभी दो जोड़े फ्रांसीसी अपराधियों के पास पहुंचे और अधिकारी के निर्देश पर किनारे पर खड़े दो गार्डों को पकड़ लिया। गार्ड, चौकी के पास आकर रुक गए और जब बैग लाए गए, तो चुपचाप उनके चारों ओर देखा, जैसे एक घायल जानवर एक उपयुक्त शिकारी को देखता है। एक खुद को क्रॉस करता रहा, दूसरे ने उसकी पीठ खुजाई और मुस्कुराहट की तरह अपने होठों से हरकत की। सिपाहियों ने जल्दी-जल्दी अपने हाथों से उनकी आँखों पर पट्टी बाँधना, थैलियाँ पहनाना और उन्हें एक खम्भे से बाँधना शुरू कर दिया।
राइफलों से लैस बारह राइफलमैन नपे-तुले, दृढ़ कदमों के साथ रैंक के पीछे से निकले और पोस्ट से आठ कदम दूर रुक गए। पियरे ने मुँह फेर लिया ताकि न देख सके कि क्या होगा। अचानक एक दुर्घटना और दहाड़ सुनाई दी, जो पियरे को सबसे भयानक गड़गड़ाहट से भी तेज़ लग रही थी, और उसने चारों ओर देखा। वहाँ धुआँ था, और पीले चेहरे और काँपते हाथों वाले फ्रांसीसी गड्ढे के पास कुछ कर रहे थे। वे अन्य दो को ले आये। उसी तरह, एक ही नज़र से, ये दोनों व्यर्थ में, केवल अपनी आँखों से, चुपचाप, सुरक्षा की माँग करते हुए और, जाहिरा तौर पर, न तो समझ रहे थे और न ही विश्वास कर रहे थे कि क्या होगा। वे विश्वास नहीं कर सकते थे, क्योंकि केवल वे ही जानते थे कि उनके लिए उनका जीवन क्या था, और इसलिए वे नहीं समझते थे और विश्वास नहीं करते थे कि इसे छीना जा सकता है।
पियरे न देखना चाहता था और फिर मुड़ गया; लेकिन फिर, मानो एक भयानक विस्फोट उसके कानों में हुआ, और इन आवाज़ों के साथ उसने धुआं, किसी का खून और फ्रांसीसी के पीले, भयभीत चेहरे देखे, जो पोस्ट पर फिर से कुछ कर रहे थे, कांपते हाथों से एक दूसरे को धक्का दे रहे थे। पियरे ने जोर-जोर से साँस लेते हुए अपने चारों ओर देखा, मानो पूछ रहा हो: यह क्या है? पियरे की नज़रों में जो भी नज़रें आईं उनमें एक ही सवाल था।

इस पाठ में हम चतुष्फलक और उसके तत्वों (चतुष्फलकीय किनारा, सतह, फलक, शीर्ष) को देखेंगे। और हम अनुभागों के निर्माण की सामान्य विधि का उपयोग करके, टेट्राहेड्रोन में अनुभागों के निर्माण पर कई समस्याओं का समाधान करेंगे।

विषय: रेखाओं और तलों की समानता

पाठ: चतुष्फलक. चतुष्फलक में अनुभागों के निर्माण में समस्याएँ

चतुष्फलक का निर्माण कैसे करें? आइए एक मनमाना त्रिभुज लें एबीसी. कोई बात डी, इस त्रिभुज के तल में स्थित नहीं है। हमें 4 त्रिभुज प्राप्त होते हैं। इन 4 त्रिभुजों से बनी सतह को चतुष्फलक कहा जाता है (चित्र 1.)। इस सतह से घिरे आंतरिक बिंदु भी टेट्राहेड्रोन का हिस्सा हैं।

चावल। 1. टेट्राहेड्रोन एबीसीडी

चतुष्फलक के तत्व
ए,बी, सी, डी - चतुष्फलक के शीर्ष.
अब, एसी।, विज्ञापन, ईसा पूर्व, बी.डी, सीडी - चतुष्फलकीय किनारे.
एबीसी, अब्द, बीडीसी, एडीसी - चतुष्फलकीय फलक.

टिप्पणी:फ्लैट लिया जा सकता है एबीसीपीछे चतुष्फलकीय आधार, और फिर बिंदु डीहै चतुष्फलक का शीर्ष. चतुष्फलक का प्रत्येक किनारा दो तलों का प्रतिच्छेदन है। उदाहरण के लिए, पसली अब- यह विमानों का प्रतिच्छेदन है अबडीऔर एबीसी. चतुष्फलक का प्रत्येक शीर्ष तीन तलों का प्रतिच्छेदन है। शिखर एविमानों में निहित है एबीसी, अबडी, एडीसाथ. डॉट एतीन नामित विमानों का प्रतिच्छेदन है। यह तथ्य इस प्रकार लिखा गया है: ए= एबीसी ∩ अबडी ∩ एसीडी.

टेट्राहेड्रोन परिभाषा

इसलिए, चतुर्पाश्वीयचार त्रिभुजों से बनी एक सतह है।

चतुष्फलकीय किनारा- चतुष्फलक के दो तलों की प्रतिच्छेदन रेखा।

6 माचिस की तीलियों से 4 बराबर त्रिकोण बनाएं। एक स्तर पर समस्या का समाधान करना असंभव है। और अंतरिक्ष में ऐसा करना आसान है. आइए एक चतुष्फलक लें। 6 माचिस इसके किनारे हैं, चतुष्फलक के चार फलक हैं और चार समान त्रिभुज होंगे। समस्या सुलझ गई है।

एक चतुष्फलक दिया गया एबीसीडी. डॉट एमटेट्राहेड्रोन के एक किनारे से संबंधित है अब, बिंदु एनटेट्राहेड्रोन के एक किनारे से संबंधित है मेंडीऔर अवधि आरकिनारे का है डीसाथ(अंक 2।)। एक समतल के साथ चतुष्फलक के एक खंड का निर्माण करें एमएनपी.

चावल। 2. समस्या 2 के लिए आरेखण - एक समतल के साथ चतुष्फलक के एक खंड का निर्माण करें

समाधान:
चतुष्फलक के मुख पर विचार करें डीसूरज. मुद्दे के इस पहलू पर एनऔर पीचेहरों के हैं डीसूरज, और इसलिए टेट्राहेड्रोन। लेकिन बिंदु की स्थिति के अनुसार एन, पीकाटने वाले विमान से संबंधित हैं। मतलब, एनपी- यह दो तलों के प्रतिच्छेदन की रेखा है: चेहरे का तल डीसूरजऔर विमान काटना. चलिए मान लेते हैं कि सीधी रेखाएँ एनपीऔर सूरजसमानांतर नहीं. वे एक ही तल में लेटे हैं डीसूरज।आइए रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें एनपीऔर सूरज. आइए इसे निरूपित करें इ(चित्र 3.).

चावल। 3. समस्या के लिए आरेखण 2. बिंदु E ढूँढना

डॉट इसेक्शन प्लेन के अंतर्गत आता है एमएनपी, क्योंकि यह लाइन पर है एनपी, और सीधी रेखा एनपीपूरी तरह से सेक्शन प्लेन में स्थित है एमएनपी.

यह भी इंगित करें इएक विमान में पड़ा है एबीसी, क्योंकि यह एक सीधी रेखा पर स्थित है सूरजहवाई जहाज से बाहर एबीसी.

हमें वह मिल गया खाओ- समतलों के प्रतिच्छेदन की रेखा एबीसीऔर एमएनपी,अंक के बाद से इऔर एमदो तलों में एक साथ लेटें - एबीसीऔर एमएनपी.आइए बिंदुओं को जोड़ें एमऔर इ, और सीधे जारी रखें खाओलाइन के साथ चौराहे तक एसी. रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु खाओऔर एसीचलो निरूपित करें क्यू.

तो इस मामले में एनपीक्यूМ- आवश्यक अनुभाग.

चावल। 4. समस्या 2 के लिए चित्रण। समस्या 2 का समाधान

आइए अब उस मामले पर विचार करें जब एनपीसमानांतर ईसा पूर्व. अगर सीधा है एनपीकिसी रेखा के समानांतर, उदाहरण के लिए, एक सीधी रेखा सूरजहवाई जहाज से बाहर एबीसी, फिर सीधे एनपीपूरे विमान के समानांतर एबीसी.

वांछित अनुभाग तल सीधी रेखा से होकर गुजरता है एनपी, समतल के समानांतर एबीसी, और समतल को एक सीधी रेखा में काटता है एमक्यू. तो चौराहे की रेखा एमक्यूरेखा के समानांतर एनपी. हम पाते हैं एनपीक्यूМ- आवश्यक अनुभाग.

डॉट एमकिनारे पर पड़ा है एडीमेंचतुर्पाश्वीय एबीसीडी. बिंदु से गुजरने वाले समतल के साथ टेट्राहेड्रोन के एक खंड का निर्माण करें एमआधार के समानांतर एबीसी.

चावल। 5. समस्या 3 के लिए आरेखण एक समतल के साथ चतुष्फलक के एक खंड का निर्माण करें

समाधान:
विमान काटना φ विमान के समानांतर एबीसीशर्त के अनुसार इसका मतलब यह है कि यह विमान φ रेखाओं के समानांतर अब, एसी, सूरज.
हवाई जहाज में अबडीबिंदु के माध्यम से एमचलो एक सीधा रास्ता बनाते हैं पी क्यूसमानांतर अब(चित्र 5)। सीधा पी क्यूएक विमान में पड़ा है अबडी. इसी प्रकार विमान में एसीडीबिंदु के माध्यम से आरचलो एक सीधा रास्ता बनाते हैं जनसंपर्कसमानांतर एसी. एक बात समझ में आ गयी आर. दो प्रतिच्छेदी रेखाएँ पी क्यूऔर जनसंपर्कविमान पीक्यूआरक्रमशः दो प्रतिच्छेदी रेखाओं के समानांतर अबऔर एसीविमान एबीसी, जिसका अर्थ है विमान एबीसीऔर पीक्यूआरसमानांतर। पीक्यूआर- आवश्यक अनुभाग. समस्या सुलझ गई है।

एक चतुष्फलक दिया गया एबीसीडी. डॉट एम- आंतरिक बिंदु, चतुष्फलक के मुख पर बिंदु अबडी. एन- खंड का आंतरिक बिंदु डीसाथ(चित्र 6.). एक रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु का निर्माण करें एन.एम.और विमान एबीसी.

चावल। 6. समस्या 4 के लिए चित्रण

समाधान:
इसे हल करने के लिए हम एक सहायक विमान का निर्माण करेंगे डीएम.एन.. इसे सीधा रहने दो डीएमरेखा AB को बिंदु पर प्रतिच्छेद करती है को(चित्र 7.). तब, एसकेडी- यह विमान का एक भाग है डीएम.एन.और चतुष्फलक. हवाई जहाज में डीएम.एन.झूठ और सीधा एन.एम., और परिणामी सीधी रेखा एसके. तो यदि एन.एम.समानांतर नहीं एसके, फिर वे किसी बिंदु पर प्रतिच्छेद करेंगे आर. डॉट आरऔर वहां रेखा का वांछित प्रतिच्छेदन बिंदु होगा एन.एम.और विमान एबीसी.

चावल। 7. समस्या 4 के लिए चित्रण। समस्या 4 का समाधान

एक चतुष्फलक दिया गया एबीसीडी. एम- चेहरे का आंतरिक बिंदु अबडी. आर- चेहरे का आंतरिक बिंदु एबीसी. एन- किनारे का आंतरिक बिंदु डीसाथ(चित्र 8.). बिंदुओं से गुजरने वाले समतल के साथ टेट्राहेड्रोन के एक खंड का निर्माण करें एम, एनऔर आर.

चावल। 8. समस्या 5 के लिए आरेखण एक समतल के साथ चतुष्फलक के एक खंड का निर्माण करें

समाधान:
आइए पहले मामले पर विचार करें, जब सीधी रेखा एम.एन.समतल के समानांतर नहीं एबीसी. पिछली समस्या में हमने रेखा का प्रतिच्छेदन बिंदु पाया एम.एन.और विमान एबीसी. यही वह बिंदु है को, यह सहायक विमान का उपयोग करके प्राप्त किया जाता है डीएम.एन., अर्थात। क र ते हैं डीएमऔर हमें एक बिंदु मिलता है एफ. हम निभाते हैं सीएफ़और चौराहे पर एम.एन.हमें एक बिंदु मिलता है को.

चावल। 9. समस्या के लिए आरेखण 5. बिंदु K ज्ञात करना

चलो एक सीधा रास्ता बनाते हैं के.आर. सीधा के.आरसेक्शन प्लेन और प्लेन दोनों में स्थित है एबीसी. अंक प्राप्त करना पी 1और आर 2. कनेक्ट पी 1और एमऔर निरंतरता के रूप में हमें बात समझ में आती है एम 1. बिंदु को जोड़ना आर 2और एन. परिणामस्वरूप, हमें वांछित अनुभाग प्राप्त होता है Р 1 Р 2 एनएम 1. पहले मामले में समस्या हल हो गई है।
आइए दूसरे मामले पर विचार करें, जब सीधी रेखा एम.एन.विमान के समानांतर एबीसी. विमान एमएनपीएक सीधी रेखा से होकर गुजरता है एम.एन.विमान के समानांतर एबीसीऔर समतल को काटता है एबीसीकुछ सीधी रेखा के साथ आर 1 आर 2, फिर सीधे आर 1 आर 2दी गई रेखा के समानांतर एम.एन.(चित्र 10.).

चावल। 10. समस्या के लिए आरेखण 5. आवश्यक अनुभाग

अब एक सीधी रेखा खींचते हैं आर 1 एमऔर हमें एक बिंदु मिलता है एम 1.Р 1 Р 2 एनएम 1- आवश्यक अनुभाग.

इसलिए, हमने टेट्राहेड्रोन को देखा और कुछ विशिष्ट टेट्राहेड्रोन समस्याओं को हल किया। अगले पाठ में हम एक समान्तर चतुर्भुज को देखेंगे।

1. आई. एम. स्मिरनोवा, वी. ए. स्मिरनोव। - 5वां संस्करण, संशोधित और विस्तारित - एम.: मेनेमोसिन, 2008. - 288 पी। : बीमार। ज्यामिति. ग्रेड 10-11: सामान्य शिक्षा संस्थानों के छात्रों के लिए पाठ्यपुस्तक (बुनियादी और विशिष्ट स्तर)

2. शैरगिन आई.एफ. - एम.: बस्टर्ड, 1999. - 208 पी.: आईएल। ज्यामिति. ग्रेड 10-11: सामान्य शिक्षा संस्थानों के लिए पाठ्यपुस्तक

3. ई. वी. पोटोस्कुएव, एल. आई. ज़्वालिच। - छठा संस्करण, स्टीरियोटाइप। - एम.: बस्टर्ड, 008. - 233 पी. :il. ज्यामिति. ग्रेड 10: गणित के गहन और विशेष अध्ययन के साथ सामान्य शिक्षा संस्थानों के लिए पाठ्यपुस्तक

अतिरिक्त वेब संसाधन

2. टेट्राहेड्रोन के क्रॉस सेक्शन का निर्माण कैसे करें। अंक शास्त्र ()।

3. शैक्षणिक विचारों का उत्सव ()।

"टेट्राहेड्रोन" विषय पर घर पर समस्याएं हल करें, टेट्राहेड्रोन के किनारे, टेट्राहेड्रोन के चेहरे, कोने और टेट्राहेड्रोन की सतह का पता कैसे लगाएं

1. ज्यामिति. ग्रेड 10-11: सामान्य शिक्षा संस्थानों (बुनियादी और विशिष्ट स्तर) के छात्रों के लिए पाठ्यपुस्तक आई. एम. स्मिरनोवा, वी. ए. स्मिरनोव। - 5वां संस्करण, संशोधित और विस्तारित - एम.: मेनेमोसिन, 2008. - 288 पीपी.: बीमार। कार्य 18, 19, 20 पृष्ठ 50

2. बिंदु इमध्य शिरा एमएचतुर्पाश्वीय एमएवीएस. बिंदुओं से गुजरने वाले समतल के साथ टेट्राहेड्रोन के एक खंड का निर्माण करें बी, सीऔर इ.

3. टेट्राहेड्रोन एमएबीसी में, बिंदु एम चेहरे एएमवी से संबंधित है, बिंदु पी चेहरे बीएमसी से संबंधित है, बिंदु के किनारे एसी से संबंधित है। बिंदुओं से गुजरने वाले समतल के साथ टेट्राहेड्रोन के एक खंड का निर्माण करें एम, आर, के.

4. एक समतल के साथ चतुष्फलक के प्रतिच्छेदन के परिणामस्वरूप कौन सी आकृतियाँ प्राप्त की जा सकती हैं?