जड़ों से शक्तियों और पीठ तक संक्रमण, उदाहरण, समाधान। घात और मूल के लिए सूत्र घात और वर्गमूल

अक्सर, गणितीय अभिव्यक्तियों को बदलने और सरल बनाने के लिए जड़ों से घातों तक और इसके विपरीत की ओर बढ़ने की आवश्यकता होती है। यह आलेख इस बारे में बात करता है कि रूट को डिग्री और बैक में कैसे परिवर्तित किया जाए। सिद्धांत, व्यावहारिक उदाहरण और सबसे आम गलतियों पर चर्चा की जाती है।

भिन्नात्मक घातांक वाली घातों से मूल तक संक्रमण

मान लीजिए कि हमारे पास एक साधारण भिन्न के रूप में एक घातांक वाली एक संख्या है - a m n। ऐसे व्यंजक को मूल के रूप में कैसे लिखें?

उत्तर डिग्री की परिभाषा से ही मिलता है!

परिभाषा

एक धनात्मक संख्या a की घात m n, संख्या a m का n मूल है।

इस मामले में, निम्नलिखित शर्त पूरी होनी चाहिए:

ए > 0 ; म ∈ ℤ ; एन ∈ ℕ.

शून्य की भिन्नात्मक घात को इसी प्रकार परिभाषित किया गया है, लेकिन इस मामले में संख्या m को पूर्णांक के रूप में नहीं, बल्कि एक प्राकृतिक संख्या के रूप में लिया जाता है, ताकि 0 से विभाजन न हो:

0 एम एन = 0 एम एन = 0।

परिभाषा के अनुसार, डिग्री a m n को मूल a m n के रूप में दर्शाया जा सकता है।

उदाहरण के लिए: 3 2 5 = 3 2 5, 1 2 3 - 3 4 = 1 2 3 - 3 4।

हालाँकि, जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, हमें शर्तों के बारे में नहीं भूलना चाहिए: a > 0; म ∈ ℤ ; एन ∈ ℕ.

इस प्रकार, अभिव्यक्ति - 8 1 3 को - 8 1 3 के रूप में प्रस्तुत नहीं किया जा सकता है, क्योंकि अंकन - 8 1 3 का कोई मतलब नहीं है - नकारात्मक संख्याओं की डिग्री परिभाषित नहीं है। इसके अलावा, मूल स्वयं - 8 1 3 समझ में आता है।

आधार और भिन्नात्मक घातांक में अभिव्यक्तियों के साथ डिग्री से संक्रमण डिग्री के आधार में मूल अभिव्यक्तियों के अनुमेय मूल्यों (बाद में वीए के रूप में संदर्भित) की पूरी श्रृंखला में समान रूप से किया जाता है।

उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति x 2 + 2 x + 1 - 4 1 2 को x 2 + 2 x + 1 - 4 के वर्गमूल के रूप में लिखा जा सकता है। घात x 2 + x · y · z - z 3 का अभिव्यक्ति - 7 3 इस अभिव्यक्ति के ODZ से सभी x, y, z के लिए अभिव्यक्ति x 2 + x · y · z - z 3 - 7 3 बन जाता है।

जब मूल के साथ एक अभिव्यक्ति के बजाय, एक शक्ति के साथ अभिव्यक्ति लिखी जाती है, तो घात के साथ जड़ों का उलटा प्रतिस्थापन भी संभव है। हम बस पिछले पैराग्राफ से समानता को उलट देते हैं और प्राप्त करते हैं:

पुनः, सकारात्मक संख्याओं के लिए संक्रमण स्पष्ट है। उदाहरण के लिए, 7 6 4 = 7 6 4, या 2 7 - 5 3 = 2 7 - 5 3।

नकारात्मक ए के लिए जड़ें समझ में आती हैं। उदाहरण के लिए - 4 2 6, - 2 3. हालाँकि, इन जड़ों को घातों - 4 2 6 और - 2 1 3 के रूप में प्रस्तुत करना असंभव है।

क्या ऐसे भावों को शक्तियों से परिवर्तित करना भी संभव है? हाँ, यदि आप कुछ प्रारंभिक परिवर्तन करते हैं। आइए विचार करें कि कौन से हैं।

शक्तियों के गुणों का उपयोग करके, आप अभिव्यक्ति - 4 2 6 को बदल सकते हैं।

4 2 6 = - 1 2 · 4 2 6 = 4 2 6।

चूँकि 4 > 0, हम लिख सकते हैं:

किसी ऋणात्मक संख्या के विषम मूल के मामले में, हम लिख सकते हैं:

ए 2 एम + 1 = - ए 2 एम + 1।

तब अभिव्यक्ति - 2 3 का रूप लेगा:

2 3 = - 2 3 = - 2 1 3 .

आइए अब समझें कि जिन मूलों के अंतर्गत भाव समाहित हैं, उन्हें आधार में इन भावों वाली शक्तियों द्वारा कैसे प्रतिस्थापित किया जाता है।

आइए हम कुछ अभिव्यक्ति को अक्षर A से निरूपित करें। हालाँकि, हम A m n को A m n के रूप में प्रस्तुत करने में जल्दबाजी नहीं करेंगे। आइए हम बताते हैं कि यहां क्या मतलब है। उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति x - 3 2 3, पहले पैराग्राफ से समानता के आधार पर, मैं x - 3 2 3 के रूप में प्रस्तुत करना चाहूंगा। ऐसा प्रतिस्थापन केवल x - 3 ≥ 0 के लिए संभव है, और ODZ से शेष x के लिए यह उपयुक्त नहीं है, क्योंकि ऋणात्मक a के लिए सूत्र a m n = a m n का कोई मतलब नहीं है।

इस प्रकार, विचारित उदाहरण में, फॉर्म ए एम एन = ए एम एन का परिवर्तन एक परिवर्तन है जो ओडीजेड को सीमित करता है, और सूत्र ए एम एन = ए एम एन के गलत अनुप्रयोग के कारण, त्रुटियां अक्सर होती हैं।

मूल A m n से घात A m n तक सही ढंग से जाने के लिए, कई बिंदुओं का पालन करना होगा:

• यदि संख्या m पूर्णांक और विषम है, और n प्राकृतिक और सम है, तो सूत्र A m n = A m n चर के संपूर्ण ODZ के लिए मान्य है।
• यदि m एक पूर्णांक और विषम है, और n एक प्राकृतिक और विषम है, तो अभिव्यक्ति A m n को प्रतिस्थापित किया जा सकता है:
  - चर के सभी मानों के लिए A m n पर जिसके लिए A ≥ 0;
  - पर - - चर के सभी मानों के लिए ए एम एन जिसके लिए ए< 0 ;
• यदि m एक पूर्णांक और सम है, और n कोई प्राकृत संख्या है, तो A m n को A m n से प्रतिस्थापित किया जा सकता है।

आइए इन सभी नियमों को एक तालिका में संक्षेपित करें और उनके उपयोग के कई उदाहरण दें।

आइए अभिव्यक्ति x - 3 2 3 पर वापस लौटें। यहाँ m = 2 एक पूर्णांक और सम संख्या है, और n = 3 एक प्राकृतिक संख्या है। इसका मतलब यह है कि अभिव्यक्ति x - 3 2 3 को इस रूप में सही ढंग से लिखा जाएगा:

एक्स - 3 2 3 = एक्स - 3 2 3।

आइए जड़ों और शक्तियों के साथ एक और उदाहरण दें।

उदाहरण। जड़ को शक्ति में बदलना

एक्स + 5 - 3 5 = एक्स + 5 - 3 5, एक्स > - 5 - - एक्स - 5 - 3 5, एक्स< - 5

आइए तालिका में प्रस्तुत परिणामों की पुष्टि करें। यदि संख्या m पूर्णांक और विषम है, और n प्राकृतिक और सम है, तो अभिव्यक्ति A m n में ODZ से सभी चर के लिए A का मान सकारात्मक या गैर-नकारात्मक है (m > 0 के लिए)। इसीलिए A m n = A m n .

दूसरे विकल्प में, जब m एक पूर्णांक, धनात्मक और विषम है, और n प्राकृतिक और विषम है, तो A m n के मान अलग हो जाते हैं। ODZ के उन चरों के लिए जिनके लिए A गैर-नकारात्मक है, A m n = A m n = A m n। उन चरों के लिए जिनके लिए A ऋणात्मक है, हम A m n = - A m n = - 1 m · A m n = - A m n = - A m n = - A m n प्राप्त करते हैं।

आइए इसी तरह निम्नलिखित मामले पर विचार करें, जब m एक पूर्णांक और सम है, और n कोई प्राकृतिक संख्या है। यदि A का मान धनात्मक या गैर-ऋणात्मक है, तो ODZ से चर के ऐसे मानों के लिए A m n = A m n = A m n । ऋणात्मक A के लिए हमें A m n = - A m n = - 1 m · A m n = A m n = A m n प्राप्त होता है।

इस प्रकार, तीसरे मामले में, ODZ के सभी चरों के लिए हम A m n = A m n लिख सकते हैं।

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डिग्री सूत्रसमीकरणों और असमानताओं को हल करने में, जटिल अभिव्यक्तियों को कम करने और सरल बनाने की प्रक्रिया में उपयोग किया जाता है।

संख्या सीहै एन-किसी संख्या की घात एकब:

डिग्री के साथ संचालन.

1. अंशों को एक ही आधार से गुणा करने पर उनके संकेतक जोड़े जाते हैं:

पूर्वाह्न·ए एन = ए एम + एन .

2. अंशों को समान आधार से विभाजित करने पर उनके घातांक घटा दिए जाते हैं:

3. 2 या अधिक कारकों के उत्पाद की डिग्री इन कारकों की डिग्री के उत्पाद के बराबर है:

(एबीसी…) एन = ए एन · बी एन · सी एन …

4. भिन्न की डिग्री लाभांश और भाजक की डिग्री के अनुपात के बराबर होती है:

(ए/बी) एन = ए एन /बी एन।

5. एक घात को एक घात तक बढ़ाने पर, घातांक को गुणा किया जाता है:

(ए एम) एन = ए एम एन।

उपरोक्त प्रत्येक सूत्र बाएँ से दाएँ और इसके विपरीत दिशाओं में सत्य है।

उदाहरण के लिए. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

जड़ों के साथ संचालन.

1. कई कारकों के उत्पाद का मूल इन कारकों की जड़ों के उत्पाद के बराबर है:

2. किसी अनुपात का मूल लाभांश और मूल के भाजक के अनुपात के बराबर होता है:

3. किसी जड़ को किसी घात तक बढ़ाते समय, मूलांक को इस घात तक बढ़ाने के लिए पर्याप्त है:

4. यदि आप जड़ की डिग्री बढ़ाते हैं एनएक बार और एक ही समय में निर्माण करें एनवां घात एक मूल संख्या है, तो मूल का मान नहीं बदलेगा:

5. यदि आप जड़ की डिग्री को कम करते हैं एनउसी समय जड़ निकालें एन-किसी मूलांक की घात, तो मूल का मान नहीं बदलेगा:

नकारात्मक घातांक वाली डिग्री.एक गैर-धनात्मक (पूर्णांक) घातांक वाली एक निश्चित संख्या की घात को गैर-धनात्मक घातांक के निरपेक्ष मान के बराबर घातांक वाली उसी संख्या की घात से विभाजित करने के रूप में परिभाषित किया जाता है:

FORMULA पूर्वाह्न:ए एन =ए एम - एनन केवल के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है एम> एन, लेकिन साथ भी एम< एन.

उदाहरण के लिए. ए4:ए 7 = ए 4 - 7 = ए -3.

सूत्रीकरण के लिए पूर्वाह्न:ए एन =ए एम - एनकब निष्पक्ष हो गया म=एनशून्य डिग्री की उपस्थिति आवश्यक है.

शून्य सूचकांक वाली डिग्री.शून्य घातांक वाली किसी भी संख्या की घात शून्य के बराबर नहीं होती है।

उदाहरण के लिए. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

भिन्नात्मक घातांक के साथ डिग्री.वास्तविक संख्या बढ़ाने के लिए एडिग्री तक एम/एन, आपको जड़ निकालने की जरूरत है एनकी डिग्री एम-इस संख्या की घात ए.

बधाई हो: आज हम जड़ों पर नज़र डालेंगे - 8वीं कक्षा में सबसे अधिक दिमाग चकरा देने वाले विषयों में से एक। :)

बहुत से लोग जड़ों के बारे में भ्रमित हो जाते हैं, इसलिए नहीं कि वे जटिल हैं (इसमें इतना जटिल क्या है - कुछ परिभाषाएँ और कुछ और गुण), बल्कि इसलिए कि अधिकांश स्कूली पाठ्यपुस्तकों में जड़ों को ऐसे जंगल के माध्यम से परिभाषित किया जाता है कि केवल पाठ्यपुस्तकों के लेखक ही इस लिखावट को वे स्वयं समझ सकते हैं। और तब भी केवल अच्छी व्हिस्की की एक बोतल के साथ। :)

इसलिए, अब मैं जड़ की सबसे सही और सबसे सक्षम परिभाषा दूंगा - केवल वही जिसे आपको वास्तव में याद रखना चाहिए। और फिर मैं समझाऊंगा: यह सब क्यों आवश्यक है और इसे व्यवहार में कैसे लागू किया जाए।

लेकिन सबसे पहले, एक महत्वपूर्ण बिंदु याद रखें कि कई पाठ्यपुस्तक संकलनकर्ता किसी कारण से "भूल जाते हैं":

जड़ें सम डिग्री की हो सकती हैं (हमारा पसंदीदा $\sqrt(a)$, साथ ही सभी प्रकार के $\sqrt(a)$ और यहां तक ​​कि $\sqrt(a)$) और विषम डिग्री (सभी प्रकार के $\sqrt (ए)$, $\ sqrt(ए)$, आदि)। और विषम घात के मूल की परिभाषा सम घात से कुछ भिन्न होती है।

संभवतः जड़ों से जुड़ी सभी त्रुटियों और गलतफहमियों में से 95% इस "कुछ अलग" में छिपी हुई हैं। तो आइए शब्दावली को हमेशा के लिए स्पष्ट कर लें:

परिभाषा। यहां तक ​​कि जड़ भी एनसंख्या $a$ से कोई भी है गैर नकारात्मकसंख्या $b$ ऐसी है कि $((b)^(n))=a$. और एक ही संख्या $a$ का विषम मूल आम तौर पर कोई भी संख्या $b$ होता है जिसके लिए समान समानता होती है: $((b)^(n))=a$।

किसी भी स्थिति में, मूल को इस प्रकार दर्शाया गया है:

\(ए)\]

ऐसे अंकन में संख्या $n$ को मूल घातांक कहा जाता है, और संख्या $a$ को मूल अभिव्यक्ति कहा जाता है। विशेष रूप से, $n=2$ के लिए हमें अपना "पसंदीदा" वर्गमूल मिलता है (वैसे, यह सम डिग्री का मूल है), और $n=3$ के लिए हमें एक घनमूल (विषम डिग्री) मिलता है, जो है अक्सर समस्याओं और समीकरणों में भी पाया जाता है।

उदाहरण। वर्गमूलों के क्लासिक उदाहरण:

\[\begin(संरेखित) और \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \end(संरेखित करें)\]

वैसे, $\sqrt(0)=0$, और $\sqrt(1)=1$. यह काफी तार्किक है, क्योंकि $((0)^(2))=0$ और $((1)^(2))=1$।

घनमूल भी आम हैं - इनसे डरने की जरूरत नहीं:

\[\begin(संरेखित करें) और \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \end(संरेखित करें)\]

खैर, कुछ "विदेशी उदाहरण":

\[\begin(संरेखित करें) और \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \end(संरेखित करें)\]

यदि आप यह नहीं समझ पा रहे हैं कि सम और विषम डिग्री के बीच क्या अंतर है, तो परिभाषा को दोबारा पढ़ें। बहुत जरुरी है!

इस बीच, हम जड़ों की एक अप्रिय विशेषता पर विचार करेंगे, जिसके कारण हमें सम और विषम घातांकों के लिए एक अलग परिभाषा पेश करने की आवश्यकता पड़ी।

आखिर जड़ों की आवश्यकता क्यों है?

परिभाषा पढ़ने के बाद, कई छात्र पूछेंगे: "जब गणितज्ञ इसे लेकर आए तो वे क्या धूम्रपान कर रहे थे?" और वास्तव में: इन सभी जड़ों की आखिर आवश्यकता क्यों है?

इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए, आइए एक क्षण के लिए प्राथमिक विद्यालय की ओर वापस चलें। याद रखें: उन दूर के समय में, जब पेड़ हरे थे और पकौड़े स्वादिष्ट थे, हमारी मुख्य चिंता संख्याओं को सही ढंग से गुणा करना था। खैर, "पाँच बटा पाँच - पच्चीस" जैसा कुछ, बस इतना ही। लेकिन आप संख्याओं को जोड़ियों में नहीं, बल्कि त्रिक, चौगुनी और आम तौर पर पूरे सेट में गुणा कर सकते हैं:

\[\begin(संरेखित) और 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(संरेखित)\]

हालाँकि, बात ये नहीं है. तरकीब अलग है: गणितज्ञ आलसी लोग होते हैं, इसलिए उन्हें दस पाँच का गुणन इस तरह लिखने में कठिनाई होती थी:

इसीलिए वे डिग्रियाँ लेकर आये। लंबी स्ट्रिंग के बजाय कारकों की संख्या को सुपरस्क्रिप्ट के रूप में क्यों नहीं लिखा जाता? कुछ इस तरह:

यह बहुत सुविधाजनक है! सभी गणनाएँ काफी हद तक कम हो गई हैं, और आपको लगभग 5,183 लिखने के लिए चर्मपत्र और नोटबुक की ढेर सारी शीट बर्बाद नहीं करनी पड़ेगी। इस रिकॉर्ड को संख्या की शक्ति कहा जाता था; इसमें बहुत सारी संपत्तियां पाई गईं, लेकिन खुशी अल्पकालिक साबित हुई।

एक भव्य शराब पार्टी के बाद, जो केवल डिग्री की "खोज" के लिए आयोजित की गई थी, कुछ विशेष रूप से जिद्दी गणितज्ञ ने अचानक पूछा: "क्या होगा यदि हम किसी संख्या की डिग्री जानते हैं, लेकिन संख्या स्वयं अज्ञात है?" अब, वास्तव में, यदि हम जानते हैं कि एक निश्चित संख्या $b$, मान लीजिए, 5वीं घात 243 देती है, तो हम कैसे अनुमान लगा सकते हैं कि संख्या $b$ स्वयं किसके बराबर है?

यह समस्या पहली नज़र में लगने से कहीं अधिक वैश्विक निकली। क्योंकि यह पता चला कि अधिकांश "तैयार" शक्तियों के लिए ऐसी कोई "प्रारंभिक" संख्याएँ नहीं हैं। अपने लिए जज करें:

\[\begin(संरेखित) और ((बी)^(3))=27\राइटएरो b=3\cdot 3\cdot 3\राइटएरो b=3; \\ & ((b)^(3))=64\राइटएरो b=4\cdot 4\cdot 4\राइटएरो b=4. \\ \end(संरेखित करें)\]

क्या होगा यदि $((b)^(3))=50$? यह पता चला है कि हमें एक निश्चित संख्या खोजने की ज़रूरत है, जिसे तीन बार गुणा करने पर, हमें 50 मिलेगा। लेकिन यह संख्या क्या है? यह स्पष्ट रूप से 3 से बड़ा है, क्योंकि 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. अर्थात यह संख्या तीन और चार के बीच में है, लेकिन आप यह नहीं समझ पाएंगे कि यह किसके बराबर है।

यही कारण है कि गणितज्ञ $n$वें मूल लेकर आए। यही कारण है कि रेडिकल प्रतीक $\sqrt(*)$ पेश किया गया था। बहुत ही संख्या $b$ को निर्दिष्ट करने के लिए, जो संकेतित डिग्री तक हमें पहले से ज्ञात मूल्य देगा

\[\sqrt[n](a)=b\राइटएरो ((b)^(n))=a\]

मैं बहस नहीं करता: अक्सर इन जड़ों की गणना आसानी से की जाती है - हमने ऊपर ऐसे कई उदाहरण देखे हैं। लेकिन फिर भी, ज्यादातर मामलों में, यदि आप एक मनमानी संख्या के बारे में सोचते हैं और फिर उसमें से एक मनमानी डिग्री का मूल निकालने का प्रयास करते हैं, तो आप एक भयानक परेशानी में पड़ जाएंगे।

वहाँ क्या है! यहां तक ​​कि सबसे सरल और सबसे परिचित $\sqrt(2)$ को हमारे सामान्य रूप में - पूर्णांक या भिन्न के रूप में प्रस्तुत नहीं किया जा सकता है। और यदि आप इस नंबर को कैलकुलेटर में दर्ज करते हैं, तो आपको यह दिखाई देगा:

\[\sqrt(2)=1.414213562...\]

जैसा कि आप देख सकते हैं, दशमलव बिंदु के बाद संख्याओं का एक अंतहीन क्रम होता है जो किसी भी तर्क का पालन नहीं करता है। निःसंदेह, आप अन्य संख्याओं के साथ शीघ्रता से तुलना करने के लिए इस संख्या को पूर्णांकित कर सकते हैं। उदाहरण के लिए:

\[\sqrt(2)=1.4142...\लगभग 1.4 \lt 1.5\]

या यहाँ एक और उदाहरण है:

\[\sqrt(3)=1.73205...\लगभग 1.7 \gt 1.5\]

लेकिन ये सभी गोलियाँ, सबसे पहले, काफी कठिन हैं; और दूसरी बात, आपको अनुमानित मूल्यों के साथ काम करने में सक्षम होने की भी आवश्यकता है, अन्यथा आप गैर-स्पष्ट त्रुटियों का एक समूह पकड़ सकते हैं (वैसे, तुलना और पूर्णांकन के कौशल को एकीकृत राज्य परीक्षा प्रोफ़ाइल पर परीक्षण किया जाना आवश्यक है)।

इसलिए, गंभीर गणित में आप मूलों के बिना नहीं रह सकते - वे सभी वास्तविक संख्याओं $\mathbb(R)$ के समुच्चय के समान प्रतिनिधि हैं, बिल्कुल भिन्नों और पूर्णांकों की तरह जो लंबे समय से हमारे परिचित हैं।

किसी मूल को $\frac(p)(q)$ के रूप के एक अंश के रूप में प्रस्तुत करने में असमर्थता का अर्थ है कि यह मूल एक परिमेय संख्या नहीं है। ऐसी संख्याओं को अपरिमेय कहा जाता है, और उन्हें मूलांक या विशेष रूप से इसके लिए डिज़ाइन की गई अन्य संरचनाओं (लघुगणक, घात, सीमाएँ, आदि) की सहायता के अलावा सटीक रूप से प्रस्तुत नहीं किया जा सकता है। लेकिन उस पर फिर कभी।

आइए कई उदाहरणों पर विचार करें, जहां सभी गणनाओं के बाद भी उत्तर में अपरिमेय संख्याएँ बनी रहेंगी।

\[\begin(संरेखित) और \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\लगभग 2.236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32) ))=\sqrt(-2)\लगभग -1.2599... \\ \end(संरेखित)\]

स्वाभाविक रूप से, मूल की उपस्थिति से यह अनुमान लगाना लगभग असंभव है कि दशमलव बिंदु के बाद कौन सी संख्याएँ आएंगी। हालाँकि, आप एक कैलकुलेटर पर भरोसा कर सकते हैं, लेकिन सबसे उन्नत दिनांक कैलकुलेटर भी हमें केवल एक अपरिमेय संख्या के पहले कुछ अंक ही देता है। इसलिए, उत्तरों को $\sqrt(5)$ और $\sqrt(-2)$ के रूप में लिखना अधिक सही है।

यही कारण है कि उनका आविष्कार किया गया था। उत्तरों को आसानी से रिकॉर्ड करने के लिए।

दो परिभाषाओं की आवश्यकता क्यों है?

चौकस पाठक ने शायद पहले ही नोटिस कर लिया है कि उदाहरणों में दिए गए सभी वर्गमूल सकारात्मक संख्याओं से लिए गए हैं। खैर, कम से कम शुरुआत से। लेकिन घनमूल किसी भी संख्या से शांतिपूर्वक निकाला जा सकता है - चाहे वह सकारात्मक हो या नकारात्मक।

ऐसा क्यों हो रहा है? फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर एक नज़र डालें $y=((x)^(2))$:

द्विघात फलन का ग्राफ़ दो मूल देता है: धनात्मक और ऋणात्मक

आइए इस ग्राफ़ का उपयोग करके $\sqrt(4)$ की गणना करने का प्रयास करें। ऐसा करने के लिए, ग्राफ़ (लाल रंग में चिह्नित) पर एक क्षैतिज रेखा $y=4$ खींची जाती है, जो परवलय के साथ दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करती है: $((x)_(1))=2$ और $((x )_(2)) =-2$. चूँकि, यह काफी तर्कसंगत है

पहले अंक से सब कुछ स्पष्ट है - यह सकारात्मक है, इसलिए यह मूल है:

लेकिन फिर दूसरे बिंदु का क्या करें? जैसे चार की एक साथ दो जड़ें होती हैं? आख़िरकार, यदि हम संख्या −2 का वर्ग करें, तो हमें 4 भी मिलता है। फिर $\sqrt(4)=-2$ क्यों नहीं लिखते? और शिक्षक ऐसी पोस्टों को ऐसे क्यों देखते हैं जैसे वे आपको खा जाना चाहते हैं? :)

समस्या यह है कि यदि आप कोई अतिरिक्त शर्तें नहीं लगाते हैं, तो चतुर्भुज के दो वर्गमूल होंगे - सकारात्मक और नकारात्मक। और किसी भी धनात्मक संख्या में भी दो होंगे। लेकिन ऋणात्मक संख्याओं का कोई मूल नहीं होगा - इसे उसी ग्राफ से देखा जा सकता है, क्योंकि परवलय कभी भी अक्ष से नीचे नहीं गिरता है य, अर्थात। नकारात्मक मूल्यों को स्वीकार नहीं करता.

सम घातांक वाले सभी मूलों के लिए एक समान समस्या उत्पन्न होती है:

1. कड़ाई से बोलते हुए, प्रत्येक धनात्मक संख्या में सम घातांक $n$ के साथ दो मूल होंगे;
2. ऋणात्मक संख्याओं से, सम $n$ वाला मूल बिल्कुल भी नहीं निकाला जाता है।

इसीलिए सम घात $n$ के मूल की परिभाषा में यह विशेष रूप से निर्धारित किया गया है कि उत्तर एक गैर-ऋणात्मक संख्या होनी चाहिए। इस तरह हम अस्पष्टता से छुटकारा पाते हैं।

लेकिन विषम $n$ के लिए ऐसी कोई समस्या नहीं है। इसे देखने के लिए, आइए फ़ंक्शन $y=((x)^(3))$ के ग्राफ़ को देखें:

एक घन परवलय कोई भी मान ले सकता है, इसलिए घनमूल किसी भी संख्या से लिया जा सकता है

इस ग्राफ से दो निष्कर्ष निकाले जा सकते हैं:

1. एक घन परवलय की शाखाएँ, एक नियमित परवलय के विपरीत, दोनों दिशाओं में अनंत तक जाती हैं - ऊपर और नीचे दोनों। इसलिए, चाहे हम कितनी भी ऊंचाई पर क्षैतिज रेखा खींचें, यह रेखा निश्चित रूप से हमारे ग्राफ़ के साथ प्रतिच्छेद करेगी। नतीजतन, घनमूल हमेशा किसी भी संख्या से निकाला जा सकता है;
2. इसके अलावा, ऐसा प्रतिच्छेदन हमेशा अद्वितीय होगा, इसलिए आपको यह सोचने की ज़रूरत नहीं है कि किस संख्या को "सही" मूल माना जाए और किसे अनदेखा किया जाए। यही कारण है कि विषम डिग्री के लिए मूल निर्धारित करना सम डिग्री की तुलना में आसान है (गैर-नकारात्मकता के लिए कोई आवश्यकता नहीं है)।

अफ़सोस की बात है कि अधिकांश पाठ्यपुस्तकों में इन सरल बातों को नहीं समझाया गया है। इसके बजाय, हमारा मस्तिष्क सभी प्रकार की अंकगणितीय जड़ों और उनके गुणों से भरा होने लगता है।

हाँ, मैं बहस नहीं करता: आपको यह भी जानना होगा कि अंकगणितीय मूल क्या है। और मैं इस बारे में एक अलग पाठ में विस्तार से बात करूंगा। आज हम इसके बारे में भी बात करेंगे, क्योंकि इसके बिना $n$-th बहुलता की जड़ों के बारे में सभी विचार अधूरे होंगे।

लेकिन सबसे पहले आपको ऊपर दी गई परिभाषा को स्पष्ट रूप से समझने की आवश्यकता है। अन्यथा शब्दों की अधिकता के कारण आपके दिमाग में ऐसी गड़बड़ी शुरू हो जाएगी कि अंत में आपको कुछ भी समझ नहीं आएगा।

आपको बस सम और विषम संकेतकों के बीच अंतर को समझने की जरूरत है। इसलिए, आइए एक बार फिर से वह सब कुछ एकत्र करें जो आपको जड़ों के बारे में जानने के लिए आवश्यक है:

1. एक सम डिग्री का मूल केवल एक गैर-ऋणात्मक संख्या से मौजूद होता है और स्वयं हमेशा एक गैर-ऋणात्मक संख्या होती है। ऋणात्मक संख्याओं के लिए ऐसा मूल अपरिभाषित है।
2. लेकिन एक विषम डिग्री की जड़ किसी भी संख्या से मौजूद होती है और स्वयं कोई भी संख्या हो सकती है: सकारात्मक संख्याओं के लिए यह सकारात्मक है, और नकारात्मक संख्याओं के लिए, जैसा कि कैप संकेत देता है, यह नकारात्मक है।

क्या यह मुश्किल है? नहीं, यह मुश्किल नहीं है. यह स्पष्ट है? हाँ, यह बिल्कुल स्पष्ट है! तो अब हम गणनाओं का थोड़ा अभ्यास करेंगे।

बुनियादी गुण और सीमाएँ

जड़ों में कई अजीब गुण और सीमाएँ होती हैं - इस पर एक अलग पाठ में चर्चा की जाएगी। इसलिए, अब हम केवल सबसे महत्वपूर्ण "ट्रिक" पर विचार करेंगे, जो केवल एक समान सूचकांक वाली जड़ों पर लागू होती है। आइए इस गुण को एक सूत्र के रूप में लिखें:

\[\sqrt(((x)^(2n)))=\left| x\दाएं|\]

दूसरे शब्दों में, यदि हम किसी संख्या को सम घात तक बढ़ाते हैं और फिर उसी घात का मूल निकालते हैं, तो हमें मूल संख्या नहीं, बल्कि उसका मापांक प्राप्त होगा। यह एक सरल प्रमेय है जिसे आसानी से सिद्ध किया जा सकता है (यह गैर-नकारात्मक $x$ पर अलग से और फिर नकारात्मक पर अलग से विचार करने के लिए पर्याप्त है)। शिक्षक लगातार इसके बारे में बात करते हैं, यह हर स्कूल की पाठ्यपुस्तक में दिया गया है। लेकिन जैसे ही अपरिमेय समीकरणों (अर्थात मूल चिह्न वाले समीकरण) को हल करने की बात आती है, छात्र सर्वसम्मति से इस सूत्र को भूल जाते हैं।

मुद्दे को विस्तार से समझने के लिए, आइए एक मिनट के लिए सभी सूत्रों को भूल जाएं और सीधे दो संख्याओं की गणना करने का प्रयास करें:

\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=?\]

ये बहुत ही सरल उदाहरण हैं. ज़्यादातर लोग पहला उदाहरण तो सुलझा लेंगे, लेकिन कई लोग दूसरे पर अटक जाते हैं। ऐसी किसी भी समस्या को बिना किसी समस्या के हल करने के लिए हमेशा इस प्रक्रिया पर विचार करें:

1. सबसे पहले, संख्या को चौथी घात तक बढ़ाया जाता है। ख़ैर, यह काफ़ी आसान है। आपको एक नया नंबर मिलेगा जो गुणन सारणी में भी पाया जा सकता है;
2. और अब इस नए नंबर से चौथा रूट निकालना जरूरी है. वे। जड़ों और शक्तियों की कोई "कमी" नहीं होती - ये क्रमिक क्रियाएं हैं।

आइए पहली अभिव्यक्ति देखें: $\sqrt(((3)^(4)))$। जाहिर है, आपको सबसे पहले रूट के तहत अभिव्यक्ति की गणना करने की आवश्यकता है:

\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]

फिर हम संख्या 81 का चौथा मूल निकालते हैं:

अब दूसरी अभिव्यक्ति के साथ भी ऐसा ही करते हैं। सबसे पहले, हम संख्या −3 को चौथी घात तक बढ़ाते हैं, जिसके लिए इसे 4 बार गुणा करने की आवश्यकता होती है:

\[((\left(-3 \right))^(4))=\left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \ बाएँ(-3 \दाएँ)=81\]

हमें एक सकारात्मक संख्या मिली, क्योंकि उत्पाद में माइनस की कुल संख्या 4 है, और वे सभी एक-दूसरे को रद्द कर देंगे (आखिरकार, माइनस के लिए माइनस एक प्लस देता है)। फिर हम दोबारा जड़ निकालते हैं:

सिद्धांत रूप में, यह पंक्ति लिखी नहीं जा सकती थी, क्योंकि यह कोई संदेह नहीं है कि उत्तर वही होगा। वे। समान शक्ति की एक समान जड़ माइनस को "जला" देती है, और इस अर्थ में परिणाम एक नियमित मॉड्यूल से अप्रभेद्य है:

\[\begin(संरेखित) और \sqrt(((3)^(4)))=\left| 3 \दाएं|=3; \\ & \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=\left| -3 \दाएं|=3. \\ \end(संरेखित करें)\]

ये गणनाएँ सम डिग्री के मूल की परिभाषा के साथ अच्छी तरह मेल खाती हैं: परिणाम हमेशा गैर-नकारात्मक होता है, और मूल चिह्न में हमेशा एक गैर-नकारात्मक संख्या भी होती है। अन्यथा, मूल अपरिभाषित है.

प्रक्रिया पर टिप्पणी

1. नोटेशन $\sqrt(((a)^(2)))$ का अर्थ है कि हम पहले संख्या $a$ का वर्ग करते हैं और फिर परिणामी मान का वर्गमूल लेते हैं। इसलिए, हम यह सुनिश्चित कर सकते हैं कि मूल चिह्न के नीचे हमेशा एक गैर-नकारात्मक संख्या होती है, क्योंकि किसी भी स्थिति में $((a)^(2))\ge 0$;
2. लेकिन संकेतन $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$, इसके विपरीत, इसका मतलब है कि हम पहले एक निश्चित संख्या $a$ का मूल लेते हैं और उसके बाद ही परिणाम का वर्ग करते हैं। इसलिए, संख्या $a$ किसी भी स्थिति में नकारात्मक नहीं हो सकती - यह परिभाषा में शामिल एक अनिवार्य आवश्यकता है।

इस प्रकार, किसी भी मामले में किसी को बिना सोचे-समझे जड़ों और डिग्री को कम नहीं करना चाहिए, जिससे मूल अभिव्यक्ति कथित तौर पर "सरल" हो जाए। क्योंकि यदि मूल में एक ऋणात्मक संख्या है और उसका घातांक सम है, तो हमें समस्याओं का एक समूह मिलता है।

हालाँकि, ये सभी समस्याएँ केवल सम संकेतकों के लिए ही प्रासंगिक हैं।

मूल चिह्न के नीचे से ऋण चिह्न हटाना

स्वाभाविक रूप से, विषम घातांक वाली जड़ों की भी अपनी विशेषता होती है, जो सिद्धांततः सम घातांक वाली जड़ों में मौजूद नहीं होती है। अर्थात्:

\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]

संक्षेप में, आप विषम अंशों के मूलों के चिन्ह के नीचे से ऋण को हटा सकते हैं। यह एक बहुत ही उपयोगी संपत्ति है जो आपको सभी नुकसानों को "बाहर फेंकने" की अनुमति देती है:

\[\begin(संरेखित करें) और \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \right)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \end(संरेखित करें)\]

यह सरल गुण कई गणनाओं को बहुत सरल बना देता है। अब आपको चिंता करने की आवश्यकता नहीं है: क्या होगा यदि मूल के नीचे एक नकारात्मक अभिव्यक्ति छिपी हुई थी, लेकिन मूल की डिग्री सम हो गई? यह जड़ों के बाहर सभी माइनस को "बाहर फेंकने" के लिए पर्याप्त है, जिसके बाद उन्हें एक-दूसरे से गुणा किया जा सकता है, विभाजित किया जा सकता है, और आम तौर पर कई संदिग्ध चीजें की जा सकती हैं, जो "शास्त्रीय" जड़ों के मामले में हमें ले जाने की गारंटी है एक गलती।

और यहां एक और परिभाषा सामने आती है - वही जिसके साथ अधिकांश स्कूलों में तर्कहीन अभिव्यक्तियों का अध्ययन शुरू होता है। और जिसके बिना हमारा तर्क अधूरा होगा. हमें मिलिये!

अंकगणित मूल

आइए एक क्षण के लिए मान लें कि मूल चिन्ह के नीचे केवल धनात्मक संख्याएँ या, चरम मामलों में, शून्य हो सकती हैं। आइए सम/विषम संकेतकों के बारे में भूल जाएं, आइए ऊपर दी गई सभी परिभाषाओं के बारे में भूल जाएं - हम केवल गैर-नकारात्मक संख्याओं के साथ काम करेंगे। तो क्या?

और फिर हमें एक अंकगणितीय मूल मिलेगा - यह आंशिक रूप से हमारी "मानक" परिभाषाओं के साथ ओवरलैप होता है, लेकिन फिर भी उनसे भिन्न होता है।

परिभाषा। एक गैर-नकारात्मक संख्या $a$ की $n$वीं डिग्री का अंकगणितीय मूल एक गैर-नकारात्मक संख्या $b$ है जैसे कि $((b)^(n))=a$।

जैसा कि हम देख सकते हैं, हमें अब समानता में कोई दिलचस्पी नहीं है। इसके बजाय, एक नया प्रतिबंध सामने आया: कट्टरपंथी अभिव्यक्ति अब हमेशा गैर-नकारात्मक है, और जड़ स्वयं भी गैर-नकारात्मक है।

यह बेहतर ढंग से समझने के लिए कि अंकगणितीय मूल सामान्य से किस प्रकार भिन्न है, वर्ग और घन परवलय के ग्राफ़ पर एक नज़र डालें जिनसे हम पहले से ही परिचित हैं:

अंकगणित मूल खोज क्षेत्र - गैर-नकारात्मक संख्याएँ

जैसा कि आप देख सकते हैं, अब से हम केवल ग्राफ़ के उन टुकड़ों में रुचि रखते हैं जो पहले समन्वय तिमाही में स्थित हैं - जहां निर्देशांक $x$ और $y$ सकारात्मक हैं (या कम से कम शून्य)। अब आपको यह समझने के लिए संकेतक को देखने की आवश्यकता नहीं है कि हमें मूल के नीचे ऋणात्मक संख्या डालने का अधिकार है या नहीं। क्योंकि नकारात्मक संख्याओं को अब सिद्धांत रूप में नहीं माना जाता है।

आप पूछ सकते हैं: "अच्छा, हमें ऐसी निष्प्रभावी परिभाषा की आवश्यकता क्यों है?" या: "हम ऊपर दी गई मानक परिभाषा के साथ काम क्यों नहीं कर सकते?"

खैर, मैं सिर्फ एक गुण बताऊंगा जिसके कारण नई परिभाषा उपयुक्त हो जाती है। उदाहरण के लिए, घातांक का नियम:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

कृपया ध्यान दें: हम मूल अभिव्यक्ति को किसी भी घात तक बढ़ा सकते हैं और साथ ही मूल घातांक को उसी घात से गुणा कर सकते हैं - और परिणाम वही संख्या होगी! यहाँ उदाहरण हैं:

\[\begin(संरेखित करें) और \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16)\\ \end(संरेखित)\]

तो इसमें बड़ी बात क्या है? हम पहले ऐसा क्यों नहीं कर सके? उसकी वजह यहाँ है। आइए एक सरल अभिव्यक्ति पर विचार करें: $\sqrt(-2)$ - यह संख्या हमारी शास्त्रीय समझ में बिल्कुल सामान्य है, लेकिन अंकगणितीय मूल के दृष्टिकोण से बिल्कुल अस्वीकार्य है। आइए इसे परिवर्तित करने का प्रयास करें:

$\begin(संरेखित करें) और \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \right))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(संरेखित)$

जैसा कि आप देख सकते हैं, पहले मामले में हमने मूलांक के नीचे से ऋण को हटा दिया (हमारे पास पूरा अधिकार है, क्योंकि घातांक विषम है), और दूसरे मामले में हमने उपरोक्त सूत्र का उपयोग किया। वे। गणितीय दृष्टिकोण से, सब कुछ नियमों के अनुसार किया जाता है।

डब्ल्यूटीएफ?! एक ही संख्या धनात्मक और ऋणात्मक दोनों कैसे हो सकती है? बिलकुल नहीं। यह सिर्फ इतना है कि घातांक का सूत्र, जो सकारात्मक संख्याओं और शून्य के लिए बहुत अच्छा काम करता है, नकारात्मक संख्याओं के मामले में पूर्ण विधर्म उत्पन्न करना शुरू कर देता है।

ऐसी अस्पष्टता से छुटकारा पाने के लिए अंकगणितीय जड़ों का आविष्कार किया गया था। एक अलग बड़ा पाठ उनके लिए समर्पित है, जहां हम उनकी सभी संपत्तियों पर विस्तार से विचार करते हैं। इसलिए अब हम उन पर ध्यान नहीं देंगे - पाठ पहले ही बहुत लंबा हो गया है।

बीजगणितीय मूल: उन लोगों के लिए जो अधिक जानना चाहते हैं

मैंने बहुत देर तक सोचा कि इस विषय को एक अलग अनुच्छेद में रखूँ या नहीं। अंत में मैंने इसे यहीं छोड़ने का निर्णय लिया। यह सामग्री उन लोगों के लिए है जो जड़ों को और भी बेहतर ढंग से समझना चाहते हैं - अब औसत "स्कूल" स्तर पर नहीं, बल्कि ओलंपियाड स्तर के करीब।

तो: किसी संख्या के $n$वें मूल की "शास्त्रीय" परिभाषा और सम और विषम घातांक में संबंधित विभाजन के अलावा, एक अधिक "वयस्क" परिभाषा है जो समता और अन्य सूक्ष्मताओं पर बिल्कुल भी निर्भर नहीं करती है। इसे बीजगणितीय मूल कहते हैं।

परिभाषा। किसी भी $a$ का बीजगणितीय $n$वां मूल सभी संख्याओं $b$ का समुच्चय है, जैसे कि $((b)^(n))=a$। ऐसी जड़ों के लिए कोई स्थापित पदनाम नहीं है, इसलिए हम केवल शीर्ष पर एक डैश लगा देंगे:

\[\overline(\sqrt[n](a))=\left\( b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \right. \right\) \]

पाठ की शुरुआत में दी गई मानक परिभाषा से मूलभूत अंतर यह है कि बीजगणितीय मूल एक विशिष्ट संख्या नहीं है, बल्कि एक सेट है। और चूँकि हम वास्तविक संख्याओं के साथ काम करते हैं, यह सेट केवल तीन प्रकारों में आता है:

1. खाली सेट। तब होता है जब आपको किसी ऋणात्मक संख्या से सम अंश का बीजीय मूल ज्ञात करने की आवश्यकता होती है;
2. एक एकल तत्व से युक्त एक सेट। विषम शक्तियों की सभी जड़ें, साथ ही शून्य की सम शक्तियों की जड़ें, इस श्रेणी में आती हैं;
3. अंत में, सेट में दो नंबर शामिल हो सकते हैं - वही $((x)_(1))$ और $((x)_(2))=-((x)_(1))$ जो हमने देखा था ग्राफ़ द्विघात फ़ंक्शन। तदनुसार, ऐसी व्यवस्था तभी संभव है जब किसी धनात्मक संख्या से सम अंश का मूल निकाला जाए।

अंतिम मामला अधिक विस्तृत विचार का पात्र है। आइए अंतर को समझने के लिए कुछ उदाहरण गिनें।

उदाहरण। भावों का मूल्यांकन करें:

\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]

समाधान। पहली अभिव्यक्ति सरल है:

\[\overline(\sqrt(4))=\left\( 2;-2 \right\)\]

यह दो संख्याएँ हैं जो सेट का हिस्सा हैं। क्योंकि उनमें से प्रत्येक का वर्ग करने पर एक चार मिलता है।

\[\overline(\sqrt(-27))=\left\( -3 \right\)\]

यहां हम केवल एक संख्या से युक्त एक सेट देखते हैं। यह काफी तार्किक है, क्योंकि मूल घातांक विषम है।

अंत में, अंतिम अभिव्यक्ति:

\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]

हमें एक खाली सेट मिला. क्योंकि ऐसी एक भी वास्तविक संख्या नहीं है, जिसे चौथी (अर्थात्, सम!) घात तक बढ़ाने पर, हमें ऋणात्मक संख्या −16 प्राप्त हो।

अंतिम नोट. कृपया ध्यान दें: यह कोई संयोग नहीं है कि मैंने हर जगह नोट किया कि हम वास्तविक संख्याओं के साथ काम करते हैं। चूँकि जटिल संख्याएँ भी हैं - वहाँ $\sqrt(-16)$ और कई अन्य अजीब चीजों की गणना करना काफी संभव है।

हालाँकि, आधुनिक स्कूली गणित पाठ्यक्रमों में जटिल संख्याएँ लगभग कभी नहीं दिखाई देती हैं। उन्हें अधिकांश पाठ्यपुस्तकों से हटा दिया गया है क्योंकि हमारे अधिकारी इस विषय को "समझने में बहुत कठिन" मानते हैं।

बस इतना ही। अगले पाठ में हम जड़ों के सभी प्रमुख गुणों को देखेंगे और अंततः अपरिमेय अभिव्यक्तियों को सरल बनाना सीखेंगे। :)

शक्तियों और जड़ों के साथ संचालन. नकारात्मक के साथ डिग्री ,

शून्य और भिन्नात्मक सूचक. उन अभिव्यक्तियों के बारे में जिनका कोई अर्थ नहीं है।

डिग्री के साथ संचालन.

1. समान आधार से घातों को गुणा करने पर उनके घातांक जुड़ जाते हैं:

पूर्वाह्न · ए एन = ए एम + एन .

2. अंशों को एक ही आधार से विभाजित करते समय उनके घातांक कटौती की जाती है .

3. दो या दो से अधिक कारकों के उत्पाद की डिग्री इन कारकों की डिग्री के उत्पाद के बराबर होती है।

(एबीसी… ) एन = ए एन· बी एन · सी एन…

4. अनुपात (अंश) की डिग्री लाभांश (अंश) और भाजक (भाजक) की डिग्री के अनुपात के बराबर होती है:

(ए/बी ) एन = ए एन / बी एन .

5. किसी घात को घात तक बढ़ाने पर, उनके घातांक को गुणा किया जाता है:

(पूर्वाह्न ) एन = ए एम एन .

उपरोक्त सभी सूत्र बाएँ से दाएँ और इसके विपरीत दोनों दिशाओं में पढ़े और क्रियान्वित किए जाते हैं।

उदाहरण (2· 3 · 5/15)² = 2² 3² 5² / 15² = 900 / 225 = 4 .

जड़ों के साथ संचालन. नीचे दिए गए सभी सूत्रों में, प्रतीक मतलब अंकगणित मूल(मूल अभिव्यक्ति सकारात्मक है).

1. कई कारकों के उत्पाद का मूल उत्पाद के बराबर होता है इन कारकों की जड़ें:

2. अनुपात का मूल लाभांश और भाजक के मूल के अनुपात के बराबर होता है:

3. जब किसी जड़ को किसी शक्ति तक बढ़ाया जाता है, तो यह इस शक्ति तक बढ़ाने के लिए पर्याप्त होता है मूलांक संख्या:

4. यदि हम जड़ की डिग्री बढ़ा देते हैंएम के लिए बढ़ाएम वें घात एक मूलांक संख्या है, तो मूल का मान नहीं बदलेगा:

5. यदि हम जड़ की डिग्री को कम कर देंएम जड़ को एक बार और एक ही समय पर निकालेंएम किसी मूलांक की वां घात, तो मूल का मान नहीं हैबदल जाएगा:

डिग्री की अवधारणा का विस्तार. अब तक हमने केवल प्राकृतिक घातांक वाली डिग्रियों पर विचार किया है;लेकिन कार्रवाई के साथ डिग्री और जड़ें भी ले जा सकती हैं नकारात्मक, शून्यऔर आंशिकसंकेतक. इन सभी प्रतिपादकों को अतिरिक्त परिभाषा की आवश्यकता है।

नकारात्मक घातांक वाली डिग्री. किसी संख्या की शक्ति C एक ऋणात्मक (पूर्णांक) घातांक को एक विभाजित के रूप में परिभाषित किया गया है निरपेक्ष मान के बराबर घातांक के साथ समान संख्या की घात द्वारानकारात्मक सूचक:

टीअब सूत्र पूर्वाह्न: एक= पूर्वाह्न - एन न केवल के लिए इस्तेमाल किया जा सकता हैएम, इससे अधिक एन, लेकिन साथ भी एम, से कम एन .

उदाहरण ए 4 :ए 7 =ए 4 - 7 =ए - 3 .

अगर हमें फॉर्मूला चाहिएपूर्वाह्न : एक= पूर्वाह्न - एनजब उचित थाएम = एन, हमें डिग्री शून्य की परिभाषा की आवश्यकता है।

शून्य सूचकांक वाली डिग्री. घातांक शून्य वाली किसी भी गैर-शून्य संख्या की घात 1 है।

उदाहरण। 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

भिन्नात्मक घातांक के साथ डिग्री. वास्तविक संख्या बढ़ाने के लिएऔर पावर एम/एन के लिए , आपको जड़ निकालने की जरूरत है m की nवीं शक्ति -इस संख्या की घातए :

उन अभिव्यक्तियों के बारे में जिनका कोई अर्थ नहीं है। ऐसी अनेक अभिव्यक्तियाँ हैं।कोई संख्या।

वास्तव में, यदि हम यह मान लें कि यह व्यंजक किसी संख्या के बराबर है एक्स, तो विभाजन संक्रिया की परिभाषा के अनुसार हमारे पास है: 0 = 0 · एक्स. लेकिन यह समानता तब होती है जब कोई भी संख्या x, जिसे सिद्ध करने की आवश्यकता थी।

केस 3.

0 0 - कोई संख्या।

वास्तव में,

समाधान. आइए तीन मुख्य मामलों पर विचार करें:

1) एक्स = 0 – यह मान इस समीकरण को संतुष्ट नहीं करता है

(क्यों?)।

2) कब एक्स> 0 हमें मिलता है: एक्स/एक्स = 1, यानी 1 = 1, जिसका अर्थ है

क्या एक्स- कोई संख्या; लेकिन इसे ध्यान में रखते हुए

हमारे मामले में एक्स> 0, उत्तर हैएक्स > 0 ;

3) कब एक्स < 0 получаем: – एक्स/एक्स= 1, यानी ई . -1 = 1, इसलिए,

ऐसे में कोई समाधान नहीं है.

इस प्रकार, एक्स > 0.

मैंने फिर से संकेत की ओर देखा... और, चलो चलें!

आइए कुछ सरल से शुरुआत करें:

एक मिनट रुकिए। इसका मतलब है कि हम इसे इस तरह लिख सकते हैं:

समझ गया? यहां आपके लिए अगला है:

क्या परिणामी संख्याओं की जड़ें ठीक-ठीक नहीं निकाली गई हैं? कोई समस्या नहीं - यहां कुछ उदाहरण दिए गए हैं:

यदि दो नहीं, बल्कि अधिक गुणक हों तो क्या होगा? जो उसी! जड़ों को गुणा करने का सूत्र किसी भी संख्या में कारकों के साथ काम करता है:

अब पूरी तरह से अपने आप पर:

उत्तर:बहुत अच्छा! सहमत हूँ, सब कुछ बहुत आसान है, मुख्य बात गुणन सारणी को जानना है!

जड़ विभाजन

हमने जड़ों के गुणन को सुलझा लिया है, अब विभाजन के गुण पर चलते हैं।

मैं आपको याद दिला दूं कि सामान्य सूत्र इस तरह दिखता है:

जिसका अर्थ है कि भागफल का मूल मूल के भागफल के बराबर होता है।

खैर, आइए कुछ उदाहरण देखें:

बस इतना ही विज्ञान है. यहाँ एक उदाहरण है:

सब कुछ पहले उदाहरण की तरह सहज नहीं है, लेकिन, जैसा कि आप देख सकते हैं, कुछ भी जटिल नहीं है।

यदि आपको यह अभिव्यक्ति मिले तो क्या होगा:

आपको बस सूत्र को विपरीत दिशा में लागू करने की आवश्यकता है:

और यहाँ एक उदाहरण है:

आपको यह अभिव्यक्ति भी मिल सकती है:

सब कुछ समान है, केवल यहां आपको यह याद रखना होगा कि भिन्नों का अनुवाद कैसे किया जाता है (यदि आपको याद नहीं है, तो विषय देखें और वापस आएं!)। तुम्हे याद है? अब चलो निर्णय करें!

मुझे यकीन है कि आपने हर चीज़ का सामना कर लिया है, अब आइए जड़ों को डिग्री तक ऊपर उठाने का प्रयास करें।

घातांक

यदि वर्गमूल का वर्ग किया जाए तो क्या होगा? यह सरल है, किसी संख्या के वर्गमूल का अर्थ याद रखें - यह वह संख्या है जिसका वर्गमूल बराबर होता है।

तो, यदि हम उस संख्या का वर्ग करें जिसका वर्गमूल बराबर है, तो हमें क्या मिलता है?

बेशक, !

आइए उदाहरण देखें:

यह आसान है, है ना? यदि जड़ भिन्न डिग्री की हो तो क्या होगा? कोई बात नहीं!

उसी तर्क का पालन करें और डिग्री के साथ गुणों और संभावित कार्यों को याद रखें।

"" विषय पर सिद्धांत पढ़ें और आपके लिए सब कुछ बेहद स्पष्ट हो जाएगा।

उदाहरण के लिए, यहाँ एक अभिव्यक्ति है:

इस उदाहरण में, डिग्री सम है, लेकिन यदि यह विषम हो तो क्या होगा? फिर से, घातांक के गुणों को लागू करें और हर चीज़ का गुणनखंड करें:

इससे सब कुछ स्पष्ट प्रतीत होता है, लेकिन किसी संख्या का मूल किसी घात तक कैसे निकाला जाए? यहाँ, उदाहरण के लिए, यह है:

बहुत सरल, है ना? यदि डिग्री दो से अधिक हो तो क्या होगा? हम डिग्री के गुणों का उपयोग करके उसी तर्क का पालन करते हैं:

अच्छा, क्या सब कुछ स्पष्ट है? फिर उदाहरणों को स्वयं हल करें:

और यहाँ उत्तर हैं:

जड़ के चिन्ह के नीचे प्रवेश करना

हमने जड़ों से क्या-क्या नहीं सीखा! बस मूल चिन्ह के नीचे संख्या दर्ज करने का अभ्यास करना बाकी है!

यह सचमुच आसान है!

मान लीजिए कि हमारे पास एक संख्या लिखी हुई है

हम इसके साथ क्या कर सकते हैं? खैर, निःसंदेह, तीनों को मूल के नीचे छिपाएँ, याद रखें कि तीन का वर्गमूल है!

हमें इसकी ज़रूरत क्यों है? हाँ, उदाहरणों को हल करते समय हमारी क्षमताओं का विस्तार करने के लिए:

आपको जड़ों का यह गुण कैसा लगा? क्या इससे जीवन बहुत आसान हो जाता है? मेरे लिए, यह बिल्कुल सही है! केवल हमें याद रखना चाहिए कि हम केवल वर्गमूल चिन्ह के नीचे धनात्मक संख्याएँ ही दर्ज कर सकते हैं।

इस उदाहरण को स्वयं हल करें -
क्या आप संभाल पाओगे? आइए देखें कि आपको क्या मिलना चाहिए:

बहुत अच्छा! आप मूल चिन्ह के नीचे संख्या दर्ज करने में कामयाब रहे! आइए समान रूप से महत्वपूर्ण बात पर आगे बढ़ें - आइए देखें कि वर्गमूल वाली संख्याओं की तुलना कैसे करें!

जड़ों की तुलना

हमें उन संख्याओं की तुलना करना क्यों सीखना चाहिए जिनमें वर्गमूल होता है?

बहुत सरल। अक्सर, परीक्षा में सामने आने वाले बड़े और लंबे भावों में, हमें एक तर्कहीन उत्तर मिलता है (याद रखें कि यह क्या है? हम आज इस बारे में पहले ही बात कर चुके हैं!)

हमें प्राप्त उत्तरों को समन्वय रेखा पर रखना होगा, उदाहरण के लिए, यह निर्धारित करने के लिए कि समीकरण को हल करने के लिए कौन सा अंतराल उपयुक्त है। और यहाँ समस्या उत्पन्न होती है: परीक्षा में कोई कैलकुलेटर नहीं है, और इसके बिना, आप कैसे कल्पना कर सकते हैं कि कौन सी संख्या अधिक है और कौन सी कम है? इतना ही!

उदाहरण के लिए, निर्धारित करें कि कौन बड़ा है: या?

आप तुरंत नहीं बता सकते. ठीक है, आइए मूल चिन्ह के नीचे एक संख्या दर्ज करने की विघटित संपत्ति का उपयोग करें?

तो आगे बढ़ो:

खैर, जाहिर है, मूल चिन्ह के नीचे जितनी बड़ी संख्या होगी, मूल उतना ही बड़ा होगा!

वे। तो अगर, ।

इससे हम दृढ़तापूर्वक यह निष्कर्ष निकालते हैं। और कोई भी हमें अन्यथा नहीं मनाएगा!

बड़ी संख्या से जड़ें निकालना

इससे पहले, हमने मूल के चिह्न के नीचे एक गुणक दर्ज किया था, लेकिन इसे कैसे हटाया जाए? आपको बस इसे कारकों में शामिल करना होगा और जो आप निकालते हैं उसे निकालना होगा!

एक अलग रास्ता अपनाना और अन्य कारकों में विस्तार करना संभव था:

बुरा नहीं है, है ना? इनमें से कोई भी दृष्टिकोण सही है, अपनी इच्छानुसार निर्णय लें।

इस तरह की गैर-मानक समस्याओं को हल करते समय फैक्टरिंग बहुत उपयोगी होती है:

आइए डरें नहीं, बल्कि कार्य करें! आइए प्रत्येक कारक को मूल के अंतर्गत अलग-अलग कारकों में विघटित करें:

अब इसे स्वयं आज़माएँ (कैलकुलेटर के बिना! यह परीक्षा में नहीं होगा):

क्या यह अंत है? आइए आधे रास्ते में न रुकें!

बस इतना ही, यह इतना डरावना नहीं है, है ना?

घटित? शाबाश, यह सही है!

अब इस उदाहरण को आज़माएँ:

लेकिन उदाहरण को समझ पाना कठिन है, इसलिए आप तुरंत समझ नहीं सकते कि इसे कैसे अपनाया जाए। लेकिन, निःसंदेह, हम इसे संभाल सकते हैं।

अच्छा, आइए फ़ैक्टरिंग शुरू करें? आइए तुरंत ध्यान दें कि आप किसी संख्या को विभाजित कर सकते हैं (विभाज्यता के संकेतों को याद रखें):

अब, इसे स्वयं आज़माएँ (फिर से, बिना कैलकुलेटर के!):

अच्छा, क्या यह काम किया? शाबाश, यह सही है!

आइए इसे संक्षेप में बताएं

1. किसी गैर-ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल (अंकगणितीय वर्गमूल) एक गैर-ऋणात्मक संख्या होती है जिसका वर्ग बराबर होता है।
   .
2. यदि हम किसी चीज़ का केवल वर्गमूल निकालते हैं, तो हमें हमेशा एक गैर-नकारात्मक परिणाम मिलता है।
3. अंकगणितीय मूल के गुण:
4. वर्गमूलों की तुलना करते समय यह याद रखना आवश्यक है कि मूल चिन्ह के नीचे जितनी बड़ी संख्या होगी, मूल उतना ही बड़ा होगा।

वर्गमूल कैसा है? सब साफ?

हमने बिना किसी झंझट के आपको वर्गमूल के बारे में वह सब कुछ समझाने की कोशिश की जो परीक्षा में आपको जानना आवश्यक है।

यह आपकी बारी है। यह विषय आपके लिए कठिन है या नहीं, हमें लिखें।

क्या आपने कुछ नया सीखा या सब कुछ पहले से ही स्पष्ट था?

टिप्पणियों में लिखें और आपकी परीक्षाओं के लिए शुभकामनाएँ!