दूसरे क्रम के व्युत्पन्न का यांत्रिक अर्थ। किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ के लिए सामान्य और स्पर्शरेखा के समीकरण

निर्देश कार्ड संख्या 20

टाकीरीबी/विषय: « दूसरा व्युत्पन्न और उसका भौतिक अर्थ».

मक्साती/उद्देश्य:

स्पर्शरेखा के समीकरण, साथ ही ओएक्स अक्ष पर स्पर्शरेखा के झुकाव के कोण की स्पर्शरेखा को खोजने में सक्षम हो। किसी फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर, साथ ही त्वरण का पता लगाने में सक्षम हो।

अध्ययन किए गए तथ्यों और अवधारणाओं की तुलना और वर्गीकरण करने के कौशल के निर्माण के लिए परिस्थितियाँ बनाएँ।

शैक्षिक कार्य के प्रति एक जिम्मेदार रवैया, स्पर्शरेखा समीकरण खोजने में अंतिम परिणाम प्राप्त करने की इच्छाशक्ति और दृढ़ता को बढ़ावा देना, साथ ही किसी फ़ंक्शन और त्वरण में परिवर्तन की दर का पता लगाना।

सैद्धांतिक सामग्री:

(ज्यामितीय अर्थ निकाला गया)

किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ का स्पर्शरेखा समीकरण है:

उदाहरण 1: आइए अश्लीलता 2 वाले बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा का समीकरण खोजें।

उत्तर: y = 4x-7

भुज x o वाले बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा का कोणीय गुणांक k f / (x o) (k= f / (x o)) के बराबर है। किसी दिए गए बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा के झुकाव का कोण बराबर होता है

आर्कटीजी के = आर्कटीजी एफ / (एक्स ओ), यानी। क= एफ / (एक्स ओ)= टीजी

उदाहरण 2: साइन तरंग किस कोण पर है x-अक्ष को मूल बिंदु पर प्रतिच्छेद करता है?

वह कोण जिस पर किसी दिए गए फ़ंक्शन का ग्राफ़ x-अक्ष को काटता है, इस बिंदु पर फ़ंक्शन f(x) के ग्राफ़ पर खींची गई स्पर्शरेखा के ढलान के बराबर होता है। आइए व्युत्पन्न खोजें: व्युत्पन्न के ज्यामितीय अर्थ को ध्यान में रखते हुए, हमारे पास है: और a = 60°। उत्तर: =60 0 .

यदि किसी फ़ंक्शन की परिभाषा के क्षेत्र में प्रत्येक बिंदु पर एक व्युत्पन्न है, तो इसका व्युत्पन्न एक फ़ंक्शन है। बदले में, फ़ंक्शन का एक व्युत्पन्न हो सकता है, जिसे कहा जाता है दूसरे क्रम का व्युत्पन्नकार्य (या दूसरा व्युत्पन्न) और प्रतीक द्वारा निर्दिष्ट हैं।

उदाहरण 3: फ़ंक्शन का दूसरा व्युत्पन्न खोजें: f(x)=x 3 -4x 2 +2x-7.

सबसे पहले, आइए इस फ़ंक्शन का पहला व्युत्पन्न ढूंढें f"(x)=(x 3 -4x 2 +2x-7)'=3x 2 -8x+2,

फिर, हम प्राप्त प्रथम अवकलज का दूसरा अवकलज ज्ञात करते हैं

f""x)=(3x 2 -8x+2)''=6x-8. उत्तर: f""x) = 6x-8.

(दूसरे व्युत्पन्न का यांत्रिक अर्थ)

यदि कोई बिंदु सीधी रेखा में चलता है और उसकी गति का नियम दिया गया है, तो बिंदु का त्वरण समय के संबंध में पथ के दूसरे व्युत्पन्न के बराबर है:

किसी भौतिक पिंड की गति पथ के पहले व्युत्पन्न के बराबर है, अर्थात:

किसी भौतिक पिंड का त्वरण गति के पहले व्युत्पन्न के बराबर है, अर्थात:

उदाहरण 4: शरीर नियम s (t) = 3 + 2t + t 2 (m) के अनुसार सीधी गति करता है। समय t = 3 s पर इसकी गति और त्वरण ज्ञात कीजिए। (दूरी मीटर में और समय सेकंड में मापा जाता है)।
समाधान
वी (टी) = एस (टी) =(3+2टी+टी 2)'= 2 + 2टी
ए (टी) = v΄ (टी) =(2+2टी)'= 2 (एम/एस 2)
वी(3) = 2 + 2∙3 = 8 (एम/एस)। उत्तर: 8 मीटर/सेकेंड; 2 मी/से 2 .

व्यावहारिक भाग:

1 विकल्प	विकल्प 2	विकल्प 3	विकल्प 4	विकल्प 5
दिए गए बिंदु M से गुजरने वाली स्पर्शरेखा के x-अक्ष के झुकाव कोण की स्पर्शरेखा ज्ञात कीजिए फ़ंक्शन का ग्राफ एफ.
f(x)=x 2 , M(-3;9)	f(x)=x 3 , M(-1;-1)
भुज x 0 वाले बिंदु पर फ़ंक्शन f के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा का समीकरण लिखें।
f(x)=x 3 -1, x 0 =2	f(x)=x 2 +1, x 0 =1	f(x)= 2x-x 2, x 0 = -1	f(x)=3sinx, x 0 =	एफ(एक्स)= एक्स 0 = -1
भुज x 0 वाले बिंदु पर फलन f की स्पर्श रेखा का ढलान ज्ञात कीजिए।
फ़ंक्शन का दूसरा व्युत्पन्न खोजें:
			f(x)= 2cosx-x 2	f(x)= -2sinx+x 3
पिंड नियम x (t) के अनुसार सीधी चाल चलता है। फिलहाल इसकी गति और त्वरण निर्धारित करें समय टी. (विस्थापन मीटर में और समय सेकंड में मापा जाता है)।
x(t)=t 2 -3t, t=4	x(t)=t 3 +2t, t=1	x(t)=2t 3 -t 2 , t=3	x(t)=t 3 -2t 2 +1,t=2	x(t)=t 4 -0.5t 2 =2, t=0.5

नियंत्रण प्रश्न:

आप व्युत्पन्न का भौतिक अर्थ क्या मानते हैं - क्या यह तात्कालिक गति या औसत गति है?

किसी बिंदु के माध्यम से किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर खींची गई स्पर्शरेखा और व्युत्पन्न की अवधारणा के बीच क्या संबंध है?

बिंदु M(x 0 ;f(x 0)) पर किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा की परिभाषा क्या है?

दूसरे व्युत्पन्न का यांत्रिक अर्थ क्या है?

व्युत्पन्न.आइए कुछ फ़ंक्शन पर विचार करें य= एफ (एक्स) दो बिंदुओं पर एक्स 0 और एक्स 0 + : एफ(एक्स 0) और एफ (एक्स 0+). यहाँ, के माध्यम से तर्क में कुछ छोटे परिवर्तन को दर्शाता है, कहा जाता है तर्क वृद्धि; तदनुसार, दो फ़ंक्शन मानों के बीच का अंतर: एफ(एक्स 0 + ) - एफ (एक्स 0) बुलाया गया कार्य वृद्धि. यौगिककार्य य= एफ (एक्स) बिंदु पर एक्स 0 को सीमा कहा जाता है:

यदि यह सीमा मौजूद है, तो फ़ंक्शन एफ (एक्स) कहा जाता है विभेदकबिंदु पर एक्स 0 . किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न एफ (एक्स) को इस प्रकार दर्शाया गया है:

व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ.फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर विचार करें य= एफ (एक्स):

चित्र 1 से यह स्पष्ट है कि फ़ंक्शन के ग्राफ़ के किन्हीं दो बिंदुओं A और B के लिए:

छेदक AB का झुकाव कोण कहाँ है?

इस प्रकार, अंतर अनुपात छेदक के ढलान के बराबर है। यदि आप बिंदु A को स्थिर करते हैं और बिंदु B को उसकी ओर ले जाते हैं, तो यह बिना किसी सीमा के घटता है और 0 के करीब पहुंचता है, और छेदक AB स्पर्शरेखा AC के करीब पहुंचता है। इसलिए, अंतर अनुपात की सीमा बिंदु ए पर स्पर्शरेखा के ढलान के बराबर है। यह इस प्रकार है: किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न उस बिंदु पर इस फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा का ढलान है।यह क्या है ज्यामितीय अर्थव्युत्पन्न.

स्पर्शरेखा समीकरण.आइए हम बिंदु A पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा का समीकरण प्राप्त करें ( एक्स 0 , एफ (एक्स 0)). सामान्य तौर पर, ढलान गुणांक के साथ एक सीधी रेखा का समीकरण एफ ’(एक्स 0) का रूप है:

य = एफ ’(एक्स 0) · एक्स + बी .

ढूँढ़ने के लिए बी,हम इस तथ्य का लाभ उठाते हैं कि स्पर्श रेखा बिंदु A से होकर गुजरती है:

एफ (एक्स 0) = एफ ’(एक्स 0) · एक्स 0 +बी,

यहाँ से, बी = एफ (एक्स 0) – एफ ’(एक्स 0) · एक्स 0 , और इसके स्थान पर इस अभिव्यक्ति को प्रतिस्थापित करना बी, हमें मिल जाएगा स्पर्शरेखा समीकरण:

य =एफ (एक्स 0) + एफ ’(एक्स 0) · ( एक्स – एक्स 0) .

व्युत्पन्न का यांत्रिक अर्थ.आइए सबसे सरल मामले पर विचार करें: समन्वय अक्ष के साथ एक भौतिक बिंदु की गति, और गति का नियम दिया गया है: समन्वय एक्सगतिमान बिंदु - ज्ञात कार्य एक्स (टी) समय टी. से समय अंतराल के दौरान टी 0 से टी 0 + बिंदु दूरी के अनुसार चलता है: एक्स (टी 0 + ) -एक्स (टी 0) = , और उसका औसत गतिके बराबर है: वी ए = / . 0 पर, औसत गति एक निश्चित मान की ओर प्रवृत्त होती है, जिसे कहा जाता है तात्कालिक गति वी(टी 0) समय पर भौतिक बिंदु टी 0 . लेकिन व्युत्पन्न की परिभाषा से हमारे पास है:

यहाँ से, वी(टी 0)= एक्स'(टी 0) , यानी वेग समय के संबंध में निर्देशांक का व्युत्पन्न है।यह क्या है यांत्रिक अर्थयौगिक . वैसे ही, त्वरण समय के संबंध में गति का व्युत्पन्न है: ए = वी'(टी).

नमूना समस्याएँ

कार्य 1. कार्यों के ग्राफ़ के सामान्य स्पर्शरेखा के लिए एक समीकरण लिखें और।

एक सीधी रेखा फ़ंक्शंस के ग्राफ़ के लिए एक सामान्य स्पर्शरेखा है और यदि यह एक और दूसरे ग्राफ़ दोनों को छूती है, लेकिन जरूरी नहीं कि एक ही बिंदु पर हो।

- भुज x0 वाले बिंदु पर फ़ंक्शन y=x2 के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा का समीकरण

- भुज x1 वाले बिंदु पर फ़ंक्शन y=x3 के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा का समीकरण

रेखाएँ संपाती होती हैं यदि उनकी ढलान और मुक्त पद समान हों। यहाँ से

व्यवस्था का समाधान होगा

सामान्य स्पर्शरेखा समीकरण हैं:

16. विभेदीकरण के नियम. जटिल, व्युत्क्रम और अंतर्निहित कार्यों के व्युत्पन्न।
विभेदीकरण के नियम
विभेदन करते समय, एक स्थिरांक को व्युत्पन्न के रूप में निकाला जा सकता है:

कार्यों के योग को अलग करने का नियम:

कार्यों में अंतर बताने का नियम:

कार्यों के उत्पाद को अलग करने का नियम (लीबनिज़ का नियम):

भागफल कार्यों को अलग करने का नियम:

किसी फ़ंक्शन को दूसरे फ़ंक्शन की शक्ति से अलग करने का नियम:

किसी जटिल फलन को विभेदित करने का नियम:

किसी फ़ंक्शन को विभेदित करने के लिए लघुगणक नियम:

एक जटिल फ़ंक्शन का व्युत्पन्न

एक "दो-परत" जटिल फ़ंक्शन उस रूप में लिखा जाता है जहां u = g(x) आंतरिक फ़ंक्शन है, जो बदले में, बाहरी फ़ंक्शन f के लिए एक तर्क है। यदि एफ और जी अलग-अलग फ़ंक्शन हैं, तो जटिल फ़ंक्शन भी एक्स के संबंध में अलग-अलग है और इसका व्युत्पन्न है यह सूत्र दर्शाता है कि एक जटिल फ़ंक्शन का व्युत्पन्न बाहरी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न और बाहरी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के उत्पाद के बराबर है आंतरिक कार्य. हालाँकि, यह महत्वपूर्ण है कि आंतरिक फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की गणना बिंदु x पर की जाती है, और बाहरी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की गणना बिंदु u = g(x) पर की जाती है! इस सूत्र को उस स्थिति में आसानी से सामान्यीकृत किया जा सकता है जब एक जटिल फ़ंक्शन में एक दूसरे के भीतर पदानुक्रमित रूप से निहित कई "परतें" होती हैं। आइए एक जटिल फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के लिए नियम को दर्शाने वाले कई उदाहरण देखें। विभेदीकरण अनुभाग की कई अन्य समस्याओं में इस नियम का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

उदाहरण 1

फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें। समाधान। चूँकि, तब हम एक जटिल फलन के अवकलज के नियम से प्राप्त करते हैं

एक फ़ंक्शन जटिल होता है यदि इसे फ़ंक्शन y = f[φ(x)] के फ़ंक्शन के रूप में दर्शाया जा सकता है, जहां y = f(u), аu = φ(x), जहां u एक मध्यवर्ती तर्क है। किसी भी जटिल फ़ंक्शन को प्राथमिक फ़ंक्शन (सरल) के रूप में दर्शाया जा सकता है, जो इसके मध्यवर्ती तर्क हैं।

उदाहरण:

सरल कार्य: जटिल कार्य:

y= x 2 y = (x+1) 2 ;u= (x+1); य=उ 2 ;

y = सिनएक्स; y =sin2x;u= 2x; y = सिनु;

y = e x y = e 2x; u= 2x; वाई = ई यू;

y = lnx y = ln(x+2); u= x+2; y =lnu.

किसी जटिल फलन को विभेदित करने का सामान्य नियम उपरोक्त प्रमेय द्वारा बिना प्रमाण के दिया गया है।

यदि फ़ंक्शन u=φ(x) का व्युत्पन्न u" x =φ"(x) बिंदु x पर है, और फ़ंक्शन y =f(u) का व्युत्पन्न u" u =f है " (यू) संबंधित बिंदु पर, फिर बिंदु x पर जटिल फ़ंक्शन y =f[φ(x)] का व्युत्पन्न सूत्र द्वारा पाया जाता है: y" x =f " (यू) यू"(एक्स)।

इस प्रमेय का कम सटीक लेकिन संक्षिप्त सूत्रीकरण अक्सर उपयोग किया जाता है : एक जटिल फ़ंक्शन का व्युत्पन्न मध्यवर्ती चर के संबंध में व्युत्पन्न के उत्पाद के बराबर होता है और स्वतंत्र चर के संबंध में मध्यवर्ती चर का व्युत्पन्न होता है।

उदाहरण: y = पाप2x 2 ; यू= 2x 2 ; y = सिनु;

y" x = (sinu)" u · (2x 2)" x =cosu · 4x = 4x · cos2x 2.

3. दूसरा क्रम व्युत्पन्न। दूसरे व्युत्पन्न का यांत्रिक अर्थ.

फ़ंक्शन y =f(x) के व्युत्पन्न को प्रथम क्रम व्युत्पन्न या केवल फ़ंक्शन का पहला व्युत्पन्न कहा जाता है। यह व्युत्पन्न x का एक फलन है और इसे दूसरी बार विभेदित किया जा सकता है। किसी व्युत्पन्न के व्युत्पन्न को द्वितीय-क्रम व्युत्पन्न या द्वितीय व्युत्पन्न कहा जाता है। इसे निर्दिष्ट किया गया है: y" xx - (खिलाड़ी दो स्ट्रोक चालू एक्स);एफ"(एक्स) – ( ef दो स्ट्रोक पर x);d 2 y/dх 2 – (de दो yrek on de x दो बार);d 2 f/dх 2 – (de दो ef पर de x दो बार)।

दूसरे व्युत्पन्न की परिभाषा के आधार पर, हम लिख सकते हैं:

y" xx = (y" x)" x; f" (x) = " x d 2 y/dx 2 = d/dx (dу/dx).

दूसरा व्युत्पन्न, बदले में, x का एक फ़ंक्शन है और इसे तीसरे क्रम के व्युत्पन्न आदि प्राप्त करने के लिए विभेदित किया जा सकता है।

उदाहरण: y = 2x 3 +x 2; y" xx = [(2x 3 +x 2)" x ]" x = (6x 2 +2x)" x = 12x+2;

दूसरे व्युत्पन्न का यांत्रिक अर्थ तात्कालिक त्वरण के आधार पर समझाया गया है, जो वैकल्पिक गति की विशेषता है।

यदि S=f(t) गति का समीकरण है, तो=S" t ; एबुध =;

एतुरंत =
एऔसत =
="टी ; एतुरंत = " t = (S" t)" t = S" tt .

इस प्रकार, समय के संबंध में पथ का दूसरा व्युत्पन्न प्रत्यावर्ती गति के तात्कालिक त्वरण के बराबर है। यह दूसरे व्युत्पन्न का भौतिक (यांत्रिक) अर्थ है।

उदाहरण:मान लीजिए किसी भौतिक बिंदु की सीधीरेखीय गति नियम S = t 3 /3 के अनुसार होती है। किसी भौतिक बिंदु का त्वरण दूसरे व्युत्पन्न S" tt के रूप में निर्धारित किया जाएगा: ए= एस" टीटी = (टी 3 /3)" = 2टी।

4. विभेदक कार्य.

व्युत्पन्न की अवधारणा से निकटता से संबंधित एक फ़ंक्शन के अंतर की अवधारणा है, जिसमें महत्वपूर्ण व्यावहारिक अनुप्रयोग हैं।

फ़ंक्शन एफ( एक्स) का एक व्युत्पन्न है
=एफ " (एक्स);

अनंतिम मात्रा α(∆х)( के बीच संबंध के बारे में प्रमेय के अनुसार (हम प्रमेय पर विचार नहीं करते हैं)
α(∆х)=0) व्युत्पन्न के साथ: =एफ " (x)+ α (∆x), जहां से ∆f = f " (x) ∆х+α(∆х) · ∆х.

अंतिम समानता से यह पता चलता है कि फ़ंक्शन की वृद्धि में एक योग होता है, जिसका प्रत्येक पद ∆x→ 0 के लिए एक अत्यंत छोटा मान है।

आइए हम अपरिमित ∆x के संबंध में इस योग के प्रत्येक अतिसूक्ष्म मान की लघुता का क्रम निर्धारित करें:

फलस्वरूप, अपरिमित f (x) ∆x और ∆х छोटेपन का क्रम समान है।

नतीजतन, अतिसूक्ष्म मान α(∆x)∆x का अतिसूक्ष्म मान αx के संबंध में लघुता का उच्च क्रम है। इसका मतलब यह है कि ∆f के लिए अभिव्यक्ति में, दूसरा पद α(∆х)∆х पहले पद f की तुलना में ∆х→0 के रूप में तेजी से 0 की ओर बढ़ता है। " (x)∆x.

यह पहला पद है f " (x)∆x को बिंदु x पर फ़ंक्शन का अंतर कहा जाता है। यह नामित है डाई (डी इग्रेक) या डीएफ (डी ईएफ)। अतः dy=df= f " (x)∆х ऑर्डी= एफ " (x)dx, क्योंकि तर्क का अंतर dх इसकी वृद्धि ∆х के बराबर है (यदि सूत्र में df = f " (x)dx मान लें कि f(x)=x, तो हमें df=dx=x" x ∆x मिलता है, लेकिन x" x =1, यानी dx=∆x)। तो, किसी फ़ंक्शन का अंतर इस फ़ंक्शन के उत्पाद और तर्क के अंतर के बराबर है।

अंतर का विश्लेषणात्मक अर्थ यह है कि किसी फ़ंक्शन का अंतर फ़ंक्शन ∆f की वृद्धि का मुख्य भाग है, जो तर्क ∆x के संबंध में रैखिक है। किसी फ़ंक्शन का अंतर किसी फ़ंक्शन की वृद्धि से अनंत मान α(∆х)∆х तक भिन्न होता है ∆х की तुलना में लघुता के उच्च क्रम का। वास्तव में ∆f=f " (x)∆x+α(∆x)∆x या ∆f=df+α(∆x)∆x; जबसेf= ∆f- α(∆х)∆х.

उदाहरण: y = 2x 3 +x 2;dу =?dу = y"dx = (2x 3 +x 2)" x dx= (6x 2 +2x)dx.

उच्च कोटि के अतिसूक्ष्म मान α(∆х)∆х की उपेक्षा करना से थोड़ा अधिक ∆एक्स, हम पाते हैं df≈ ∆f≈ f " (x)dх यानी किसी फ़ंक्शन के अंतर का उपयोग किसी फ़ंक्शन की वृद्धि का अनुमान लगाने के लिए किया जा सकता है, क्योंकि अंतर की गणना करना आमतौर पर आसान होता है। अंतर को किसी फ़ंक्शन के मान की अनुमानित गणना के लिए भी लागू किया जा सकता है। आइए फ़ंक्शन y = f(x) और बिंदु x पर इसके अवकलज को जानें। किसी निकटतम बिंदु (x+∆x) पर फ़ंक्शन f(x+∆x) का मान ज्ञात करना आवश्यक है। ऐसा करने के लिए, हम अनुमानित समानता ∆у ≈dyor ∆у ≈f का उपयोग करेंगे " (एक्स) ∆x. यह मानते हुए कि ∆у=f(х+∆х)-f(х), हम प्राप्त करते हैंf(х+∆х)-f (х) ≈f " (x) dх , जहाँ सेf(x+∆x) = f(x)+f " (एक्स) डीएक्स। परिणामी सूत्र समस्या का समाधान करता है।

यौगिक(एक बिंदु पर कार्य) - अंतर कैलकुलस की मूल अवधारणा, एक फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर को दर्शाती है (किसी दिए गए बिंदु पर)। इसे किसी फ़ंक्शन की वृद्धि और उसके तर्क की वृद्धि के अनुपात की सीमा के रूप में परिभाषित किया गया है क्योंकि यदि ऐसी कोई सीमा मौजूद है, तो तर्क की वृद्धि शून्य हो जाती है। एक फ़ंक्शन जिसका परिमित व्युत्पन्न (किसी बिंदु पर) होता है, उसे अवकलनीय (उस बिंदु पर) कहा जाता है।

व्युत्पन्न. आइए कुछ फ़ंक्शन पर विचार करें य = एफ (एक्स ) दो बिंदुओं पर एक्स 0 और एक्स 0 + : एफ (एक्स 0) और एफ (एक्स 0+). यहाँ, के माध्यम से तर्क में कुछ छोटे परिवर्तन को दर्शाता है, कहा जाता है तर्क वृद्धि; तदनुसार, दो फ़ंक्शन मानों के बीच का अंतर: एफ (एक्स 0 + )  एफ (एक्स 0 ) कहा जाता है कार्य वृद्धि.यौगिककार्य य = एफ (एक्स ) बिंदु पर एक्स 0 सीमा कहा जाता है:

यदि यह सीमा मौजूद है, तो फ़ंक्शन एफ (एक्स ) कहा जाता है विभेदकबिंदु पर एक्स 0 . किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न एफ (एक्स ) को इस प्रकार दर्शाया गया है:

व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ. फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर विचार करें य = एफ (एक्स ):

चित्र 1 से यह स्पष्ट है कि फ़ंक्शन के ग्राफ़ के किन्हीं दो बिंदुओं A और B के लिए:

छेदक AB का झुकाव कोण कहाँ है?

इस प्रकार, अंतर अनुपात छेदक के ढलान के बराबर है। यदि आप बिंदु A को स्थिर करते हैं और बिंदु B को उसकी ओर ले जाते हैं, तो यह बिना किसी सीमा के घटता है और 0 के करीब पहुंचता है, और छेदक AB स्पर्शरेखा AC के करीब पहुंचता है। इसलिए, अंतर अनुपात की सीमा बिंदु ए पर स्पर्शरेखा के ढलान के बराबर है। यह इस प्रकार है: किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न उस बिंदु पर इस फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा का ढलान है।यह क्या है ज्यामितीय अर्थ व्युत्पन्न.

स्पर्शरेखा समीकरण. आइए हम बिंदु A पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा का समीकरण प्राप्त करें ( एक्स 0 , एफ (एक्स 0 )). सामान्य तौर पर, ढलान गुणांक के साथ एक सीधी रेखा का समीकरण एफ ’(एक्स 0 ) का रूप है:

य = एफ ’(एक्स 0 ) · एक्स + बी .

ढूँढ़ने के लिए बी, आइए इस तथ्य का लाभ उठाएं कि स्पर्श रेखा बिंदु A से होकर गुजरती है:

एफ (एक्स 0 ) = एफ ’(एक्स 0 ) · एक्स 0 +बी ,

यहाँ से, बी = एफ (एक्स 0 ) – एफ ’(एक्स 0 ) · एक्स 0 , और इसके स्थान पर इस अभिव्यक्ति को प्रतिस्थापित करना बी, हमें मिल जाएगा स्पर्शरेखा समीकरण:

य =एफ (एक्स 0 ) + एफ ’(एक्स 0 ) · ( एक्स – एक्स 0 ) .

व्युत्पन्न का यांत्रिक अर्थ. आइए सबसे सरल मामले पर विचार करें: समन्वय अक्ष के साथ एक भौतिक बिंदु की गति, और गति का नियम दिया गया है: समन्वय एक्सगतिमान बिंदु - ज्ञात कार्य एक्स (टी) समय टी. से समय अंतराल के दौरान टी 0 से टी 0 + बिंदु दूरी तय करता है: एक्स (टी 0 + )  एक्स (टी 0) = , और उसका औसत गति के बराबर है: वी ए =  . 0 पर, औसत गति एक निश्चित मान की ओर प्रवृत्त होती है, जिसे कहा जाता है तत्काल गति वी ( टी 0 ) समय पर भौतिक बिंदु टी 0 . लेकिन व्युत्पन्न की परिभाषा से हमारे पास है:

यहाँ से, वी (टी 0 ) = एक्स' (टी 0 ) , अर्थात। गति निर्देशांक का व्युत्पन्न है द्वारा समय। यह क्या है यांत्रिक अर्थयौगिक . वैसे ही, त्वरण समय के संबंध में गति का व्युत्पन्न है: ए = वी' (टी).

8. व्युत्पन्न और विभेदीकरण नियमों की तालिका

हमने "व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ" लेख में इस बारे में बात की कि व्युत्पन्न क्या है। यदि कोई फ़ंक्शन किसी ग्राफ़ द्वारा दिया गया है, तो प्रत्येक बिंदु पर इसका व्युत्पन्न फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा के स्पर्शरेखा के बराबर होता है। और यदि फ़ंक्शन किसी सूत्र द्वारा दिया गया है, तो डेरिवेटिव की तालिका और विभेदन के नियम आपकी मदद करेंगे, यानी डेरिवेटिव खोजने के नियम।

यौगिक(एक बिंदु पर कार्य) - अंतर कैलकुलस की मूल अवधारणा, एक फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर को दर्शाती है (किसी दिए गए बिंदु पर)। इसे किसी फ़ंक्शन की वृद्धि और उसके तर्क की वृद्धि के अनुपात की सीमा के रूप में परिभाषित किया गया है क्योंकि यदि ऐसी कोई सीमा मौजूद है, तो तर्क की वृद्धि शून्य हो जाती है। एक फ़ंक्शन जिसका परिमित व्युत्पन्न (किसी बिंदु पर) होता है, उसे अवकलनीय (उस बिंदु पर) कहा जाता है।

व्युत्पन्न. आइए कुछ फ़ंक्शन पर विचार करें य = एफ (एक्स ) दो बिंदुओं पर एक्स 0 और एक्स 0 + : एफ (एक्स 0) और एफ (एक्स 0+). यहाँ, के माध्यम से तर्क में कुछ छोटे परिवर्तन को दर्शाता है, कहा जाता है तर्क वृद्धि; तदनुसार, दो फ़ंक्शन मानों के बीच का अंतर: एफ (एक्स 0 + )  एफ (एक्स 0 ) कहा जाता है कार्य वृद्धि.यौगिककार्य य = एफ (एक्स ) बिंदु पर एक्स 0 सीमा कहा जाता है:

यदि यह सीमा मौजूद है, तो फ़ंक्शन एफ (एक्स ) कहा जाता है विभेदकबिंदु पर एक्स 0 . किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न एफ (एक्स ) को इस प्रकार दर्शाया गया है:

व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ. फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर विचार करें य = एफ (एक्स ):

चित्र 1 से यह स्पष्ट है कि फ़ंक्शन के ग्राफ़ के किन्हीं दो बिंदुओं A और B के लिए:

छेदक AB का झुकाव कोण कहाँ है?

इस प्रकार, अंतर अनुपात छेदक के ढलान के बराबर है। यदि आप बिंदु A को स्थिर करते हैं और बिंदु B को उसकी ओर ले जाते हैं, तो यह बिना किसी सीमा के घटता है और 0 के करीब पहुंचता है, और छेदक AB स्पर्शरेखा AC के करीब पहुंचता है। इसलिए, अंतर अनुपात की सीमा बिंदु ए पर स्पर्शरेखा के ढलान के बराबर है। यह इस प्रकार है: किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न उस बिंदु पर इस फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा का ढलान है।यह क्या है ज्यामितीय अर्थ व्युत्पन्न.

स्पर्शरेखा समीकरण. आइए हम बिंदु A पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा का समीकरण प्राप्त करें ( एक्स 0 , एफ (एक्स 0 )). सामान्य तौर पर, ढलान गुणांक के साथ एक सीधी रेखा का समीकरण एफ ’(एक्स 0 ) का रूप है:

य = एफ ’(एक्स 0 ) · एक्स + बी .

ढूँढ़ने के लिए बी, आइए इस तथ्य का लाभ उठाएं कि स्पर्श रेखा बिंदु A से होकर गुजरती है:

एफ (एक्स 0 ) = एफ ’(एक्स 0 ) · एक्स 0 +बी ,

यहाँ से, बी = एफ (एक्स 0 ) – एफ ’(एक्स 0 ) · एक्स 0 , और इसके स्थान पर इस अभिव्यक्ति को प्रतिस्थापित करना बी, हमें मिल जाएगा स्पर्शरेखा समीकरण:

य =एफ (एक्स 0 ) + एफ ’(एक्स 0 ) · ( एक्स – एक्स 0 ) .

व्युत्पन्न का यांत्रिक अर्थ. आइए सबसे सरल मामले पर विचार करें: समन्वय अक्ष के साथ एक भौतिक बिंदु की गति, और गति का नियम दिया गया है: समन्वय एक्सगतिमान बिंदु - ज्ञात कार्य एक्स (टी) समय टी. से समय अंतराल के दौरान टी 0 से टी 0 + बिंदु दूरी तय करता है: एक्स (टी 0 + ) एक्स (टी 0) = , और उसका औसत गति के बराबर है: वी ए =  . 0 पर, औसत गति एक निश्चित मान की ओर प्रवृत्त होती है, जिसे कहा जाता है तत्काल गति वी ( टी 0 ) समय पर भौतिक बिंदु टी 0 . लेकिन व्युत्पन्न की परिभाषा से हमारे पास है:

यहाँ से, वी (टी 0 ) = एक्स' (टी 0 ) , अर्थात। गति निर्देशांक का व्युत्पन्न है द्वारा समय। यह क्या है यांत्रिक अर्थयौगिक . वैसे ही, त्वरण समय के संबंध में गति का व्युत्पन्न है: ए = वी' (टी).

8. व्युत्पन्न और विभेदीकरण नियमों की तालिका

हमने "व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ" लेख में इस बारे में बात की कि व्युत्पन्न क्या है। यदि कोई फ़ंक्शन किसी ग्राफ़ द्वारा दिया गया है, तो प्रत्येक बिंदु पर इसका व्युत्पन्न फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा के स्पर्शरेखा के बराबर होता है। और यदि फ़ंक्शन किसी सूत्र द्वारा दिया गया है, तो डेरिवेटिव की तालिका और विभेदन के नियम आपकी मदद करेंगे, यानी डेरिवेटिव खोजने के नियम।

§ 2. व्युत्पन्न की परिभाषा.

कार्य करने दो य= एफ(एक्स) अंतराल पर परिभाषित ( ए;बी). तर्क के मूल्य पर विचार करें

(ए;बी) . आइए तर्क को और विस्तार दें ∆ एक्स 0, ताकि स्थिति ( एक्स 0 +∆ एक्स)

ए;बी). आइए हम संबंधित फ़ंक्शन मानों को y 0 और y 1 द्वारा निरूपित करें:

य 0 = एफ(एक्स 0 ), य 1 = एफ(एक्स 0 +∆ एक्स). से चलते समय एक्स 0 को एक्स 0 +∆ एक्सकार्य बढ़ाया जाएगा

∆आप= य 1 -य 0 = एफ(एक्स 0 +∆ एक्स) -एफ(एक्स 0 ). यदि, प्रयत्न करते हुए ∆ एक्सशून्य से फ़ंक्शन की वृद्धि के अनुपात की एक सीमा होती है ∆यउस तर्क वृद्धि के कारण जिसके कारण यह हुआ ∆ एक्स,

वे। एक सीमा है

=

,

तो इस सीमा को फ़ंक्शन का व्युत्पन्न कहा जाता है य= एफ(एक्स) बिंदु पर एक्स 0 . तो, फ़ंक्शन का व्युत्पन्न य= एफ(एक्स) बिंदु पर एक्स=एक्स 0 किसी फ़ंक्शन की वृद्धि और तर्क की वृद्धि के अनुपात की सीमा है जब तर्क की वृद्धि शून्य हो जाती है। किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न य= एफ(एक्स) बिंदु पर एक्सप्रतीकों द्वारा दर्शाया गया है (एक्स) या (एक्स). संकेतन का भी प्रयोग किया जाता है , , ,. अंतिम तीन नोटेशन इस तथ्य पर जोर देते हैं कि व्युत्पन्न को चर के संबंध में लिया जाता है एक्स.

यदि फ़ंक्शन य= एफ(एक्स) एक निश्चित अंतराल के प्रत्येक बिंदु पर एक व्युत्पन्न होता है, फिर इस अंतराल पर व्युत्पन्न ( एक्स) एक फ़ंक्शन तर्क है एक्स.

§ 3. व्युत्पन्न का यांत्रिक और ज्यामितीय अर्थ।

किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ के लिए सामान्य और स्पर्शरेखा के समीकरण।

जैसा कि § 1 में दिखाया गया था, एक बिंदु की तात्कालिक गति है

वी = .

लेकिन इसका मतलब है कि गति वी तय की गई दूरी का व्युत्पन्न है एस समय तक टी ,

वी =. इस प्रकार, यदि फ़ंक्शन य= एफ(एक्स) किसी भौतिक बिंदु की सीधी रेखीय गति के नियम का वर्णन करता है, जहाँ यवह पथ है जो किसी भौतिक बिंदु द्वारा उसके चलने के क्षण से लेकर समय के क्षण तक तय किया जाता है एक्स, फिर व्युत्पन्न ( एक्स) एक समय में एक बिंदु की तात्कालिक गति निर्धारित करता है एक्स. यह व्युत्पत्ति का यांत्रिक अर्थ है।

§ 1 में फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा का कोणीय गुणांक भी पाया गया य= एफ(एक्स) क= टीजीα= . इस संबंध का अर्थ है कि स्पर्शरेखा का ढलान व्युत्पन्न के बराबर है ( एक्स). अधिक सख्ती से कहें तो, व्युत्पन्न ( एक्स) कार्य य= एफ(एक्स) , के बराबर तर्क मान के साथ गणना की गई एक्स, उस बिंदु पर इस फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा के ढलान के बराबर है जिसका भुज बराबर है एक्स. यह व्युत्पत्ति का ज्यामितीय अर्थ है।

चलो पर एक्स=एक्स 0 समारोह य= एफ(एक्स) मूल्य ग्रहण करता है य 0 =एफ(एक्स 0 ) , और इस फ़ंक्शन के ग्राफ़ में निर्देशांक वाले बिंदु पर एक स्पर्शरेखा है ( एक्स 0 ;य 0). फिर स्पर्शरेखा का ढलान

के = ( एक्स 0). विश्लेषणात्मक ज्यामिति के पाठ्यक्रम से ज्ञात किसी दिए गए बिंदु से एक निश्चित दिशा में गुजरने वाली रेखा के समीकरण का उपयोग करना ( य-य 0 =क(एक्स-एक्स 0)), हम स्पर्शरेखा समीकरण लिखते हैं:

स्पर्श रेखा के लंबवत बिंदु से गुजरने वाली सीधी रेखा को वक्र का अभिलंब कहा जाता है। चूँकि अभिलंब स्पर्श रेखा के लंबवत है, इसका ढलान है कमानदंड स्पर्शरेखा के ढलान से संबंधित है कविश्लेषणात्मक ज्यामिति से संबंध द्वारा जाना जाता है: कमानदंड = ─, अर्थात निर्देशांक के साथ बिंदु से गुजरने वाले सामान्य के लिए ( एक्स 0 ;य 0),कसामान्य = ─ . इसलिए, इस सामान्य के समीकरण का रूप है:

(उसे उपलब्ध कराया

).

§ 4. व्युत्पन्न गणना के उदाहरण.

किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की गणना करने के लिए य= एफ(एक्स) बिंदु पर एक्स, ज़रूरी:

तर्क एक्सवृद्धि दें ∆ एक्स;

फ़ंक्शन ∆ की संगत वृद्धि ज्ञात कीजिए य=एफ(एक्स+∆एक्स) -एफ(एक्स);

रिश्ता बनाओ ;

∆ पर इस अनुपात की सीमा ज्ञात कीजिए एक्स→0.

उदाहरण 4.1. किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें य=सी= स्थिरांक.

तर्क एक्सवृद्धि दें ∆ एक्स.

जैसा भी हो एक्स, ∆य=0: ∆य=एफ(एक्स+∆एक्स) ─एफ(एक्स)=С─С=0;

यहाँ से =0 और =0, यानी =0.

उदाहरण 4.2. किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें य=एक्स.

∆ य=एफ(एक्स+∆एक्स) ─एफ(एक्स)= एक्स+∆एक्स– एक्स=∆ एक्स;

1, =1, यानी =1.

उदाहरण 4.3. किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें य=एक्स 2.

∆ य= (एक्स+∆ एक्स)2–एक्स 2= 2 एक्स∙∆ एक्स+ (∆ एक्स)2;

= 2 एक्स+ ∆ एक्स, = 2 एक्स, अर्थात। =2 एक्स.

उदाहरण 4.4. फलन y=sin का अवकलज ज्ञात कीजिए एक्स.

∆ य=पाप( एक्स+∆एक्स) – पाप एक्स= 2पाप क्योंकि( एक्स+);

=

;

=



=क्योंकि एक्स, अर्थात। =क्योंकि एक्स।

उदाहरण 4.5. किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें य=

.

=

, अर्थात। = .

व्युत्पन्न का यांत्रिक अर्थ

भौतिकी से ज्ञात होता है कि एकसमान गति के नियम का क्या रूप है एस = वी टी, कहाँ एस- पथ समय के क्षण तक चला गया टी, वी– एकसमान गति की गति.

हालाँकि, क्योंकि प्रकृति में होने वाली अधिकांश गतिविधियाँ असमान होती हैं, फिर सामान्यतः गति, और, परिणामस्वरूप, दूरी एससमय पर निर्भर करेगा टी, अर्थात। समय का एक कार्य होगा.

तो, एक भौतिक बिंदु को कानून के अनुसार एक दिशा में एक सीधी रेखा में चलने दें s=s(t).

आइए समय में एक निश्चित बिंदु को चिह्नित करें टी 0 . इस बिंदु पर बिंदु रास्ता पार कर चुका है s=s(t 0 ). आइए गति निर्धारित करें वीसमय के एक क्षण में भौतिक बिंदु टी 0 .

ऐसा करने के लिए, आइए किसी अन्य समय बिंदु पर विचार करें टी 0 + Δ टी. यह यात्रा पथ से मेल खाता है =एस(टी 0 + Δ टी). फिर समय की अवधि में Δ टीबिंदु ने पथ Δs की यात्रा की है =एस(टी 0 + Δ टी)–अनुसूचित जनजाति)।

आइए दृष्टिकोण पर विचार करें. इसे समय अंतराल Δ में औसत गति कहा जाता है टी. औसत गति इस समय किसी बिंदु की गति की गति को सटीक रूप से चित्रित नहीं कर सकती है टी 0 (क्योंकि गति असमान है)। औसत गति का उपयोग करके इस वास्तविक गति को अधिक सटीक रूप से व्यक्त करने के लिए, आपको कम समय Δ लेने की आवश्यकता है टी.

तो, समय में एक निश्चित क्षण में गति की गति टी 0 (तात्कालिक गति) से अंतराल में औसत गति की सीमा है टी 0 से टी 0 +Δ टी, जब Δ टी→0:

,

वे। असमान गतियह समय के संबंध में तय की गई दूरी का व्युत्पन्न है।

व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ

आइए सबसे पहले किसी दिए गए बिंदु पर वक्र की स्पर्शरेखा की परिभाषा का परिचय दें।

आइए हमारे पास एक वक्र और उस पर एक निश्चित बिंदु है म 0(आंकड़ा देखें) एक और बिंदु पर विचार करें एमइस वक्र और एक छेदक रेखा खींचिए म0 म. अगर बात एमवक्र और बिंदु के अनुदिश चलना शुरू कर देता है म 0गतिहीन रहता है, तब सेकेंट अपनी स्थिति बदल देता है। यदि, बिंदु के असीमित सन्निकटन के साथ एमएक वक्र के अनुदिश एक बिंदु तक म 0किसी भी तरफ छेदक एक निश्चित सीधी रेखा की स्थिति पर कब्जा कर लेता है एम 0 टी, फिर सीधे एम 0 टीकिसी दिए गए बिंदु पर वक्र की स्पर्श रेखा कहलाती है म 0.

वह।, स्पर्शरेखाकिसी दिए गए बिंदु पर वक्र के लिए म 0सेकेंट की सीमा स्थिति कहलाती है म0 मजब बिंदु एमवक्र के अनुदिश एक बिंदु की ओर बढ़ता है म 0.

आइए अब सतत फलन पर विचार करें y=f(x)और इस फ़ंक्शन के अनुरूप वक्र। कुछ कीमत पर एक्स 0 फ़ंक्शन मान लेता है आप 0 =एफ(एक्स 0).ये मूल्य एक्स 0 और यवक्र पर 0 एक बिंदु से मेल खाता है म 0 (x 0 ; य 0).चलिए तर्क देते हैं एक्स 0वृद्धि Δ एक्स. तर्क का नया मान फ़ंक्शन के बढ़े हुए मान से मेल खाता है य 0 +Δ y=f(x 0 –Δ एक्स). हमें बात समझ में आ गई एम(एक्स 0+Δ एक्स; य 0+Δ य).आइए एक सेकेंट बनाएं म0 मऔर अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ छेदक द्वारा बने कोण को φ से निरूपित करें बैल. आइए एक रिश्ता बनाएं और उस पर ध्यान दें।

यदि अब Δ एक्स→0, तो फ़ंक्शन Δ की निरंतरता के कारण पर→0, और इसलिए बात एम, एक वक्र के साथ चलते हुए, बिना किसी सीमा के बिंदु तक पहुंचता है म 0. फिर सेकेंट म0 मबिंदु पर वक्र की स्पर्शरेखा की स्थिति लेने की प्रवृत्ति होगी म 0, और कोण φ→α Δ पर एक्स→0, जहां α स्पर्शरेखा और अक्ष की सकारात्मक दिशा के बीच के कोण को दर्शाता है बैल. चूंकि फ़ंक्शन tan φ लगातार φ≠π/2 के लिए φ पर निर्भर करता है, तो φ→α tan φ → tan α के लिए और, इसलिए, स्पर्शरेखा का ढलान होगा:

वे। एफ "(एक्स)= टीजी α .

इस प्रकार, ज्यामितीय रूप से वाई "(एक्स 0)बिंदु पर इस फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा के ढलान का प्रतिनिधित्व करता है एक्स 0, अर्थात। किसी दिए गए तर्क मान के लिए एक्स, व्युत्पन्न फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा द्वारा गठित कोण के स्पर्शरेखा के बराबर है एफ(एक्स)उचित बिंदु पर एम 0 (एक्स; वाई)सकारात्मक अक्ष दिशा के साथ बैल।

उदाहरण।वक्र की स्पर्श रेखा का ढलान ज्ञात कीजिए वाई = एक्स 2 बिंदु पर एम(-1; 1).

हम पहले ही देख चुके हैं कि ( एक्स 2)" = 2एक्स. लेकिन वक्र की स्पर्श रेखा का कोणीय गुणांक tan α = है य"| x=-1 = – 2.

व्युत्पन्न का ज्यामितीय, यांत्रिक, आर्थिक अर्थ

व्युत्पन्न की परिभाषा.

व्याख्यान संख्या 7-8

ग्रन्थसूची

1 उखोबोटोव, वी.आई. गणित: पाठ्यपुस्तक। - चेल्याबिंस्क: चेल्याब। राज्य विश्वविद्यालय, 2006.-251 पी.

2 एर्मकोव, वी.आई. उच्च गणित में समस्याओं का संग्रह। ट्यूटोरियल। -एम.: इन्फ्रा-एम, 2006. - 575 पी.

3 एर्मकोव, वी.आई. उच्च गणित का सामान्य पाठ्यक्रम. पाठ्यपुस्तक। -एम.: इन्फ्रा-एम, 2003. - 656 पी.

थीम "व्युत्पन्न"

लक्ष्य:व्युत्पन्न की अवधारणा को समझाएं, किसी फ़ंक्शन की निरंतरता और भिन्नता के बीच संबंध का पता लगाएं, उदाहरणों के साथ व्युत्पन्न का उपयोग करने की प्रयोज्यता दिखाएं।

.

अर्थशास्त्र में इस सीमा को उत्पादन की सीमांत लागत कहा जाता है।

व्युत्पन्न की परिभाषा. व्युत्पन्न का ज्यामितीय और यांत्रिक अर्थ, ग्राफ़ के स्पर्शरेखा वाले फ़ंक्शन का समीकरण।

संक्षिप्त उत्तर चाहिए (बिना अनावश्यक पानी के)

मृत_सफेद_बर्फ

व्युत्पन्न विभेदक कैलकुलस की मूल अवधारणा है, जो किसी फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर को दर्शाती है।
ज्यामितीय?
किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन की स्पर्शरेखा... .
फ़ंक्शन को बढ़ाने की शर्त: f " (x) > 0.
फ़ंक्शन के घटने की शर्त: f " (x)< 0.
विभक्ति बिंदु (आवश्यक शर्त): f " " (x0) = 0.
उत्तल ऊपर: f " " (x) उत्तल नीचे: f " " (x) >0
सामान्य समीकरण: y=f(x0)-(1/f `(x0))(x-x0)
यांत्रिक?
वेग दूरी के संबंध में एक व्युत्पन्न है, त्वरण गति के संबंध में एक व्युत्पन्न है और दूरी के संबंध में दूसरा व्युत्पन्न है...
बिंदु x0 पर फ़ंक्शन f के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा का समीकरण
y=f(x0)+f `(x0)(x-x0)

उपयोगकर्ता हटा दिया गया

यदि फ़ंक्शन डेल्टा y की वृद्धि के डेल्टा y से डेल्टा x के अनुपात पर एक सीमा है, जिसके कारण तर्क डेल्टा x की वृद्धि हुई है, जब डेल्टा x शून्य हो जाता है, तो इस सीमा को व्युत्पन्न कहा जाता है फ़ंक्शन y = f(x) किसी दिए गए बिंदु x पर और इसे y" या f "(x) द्वारा दर्शाया जाता है
सीधीरेखीय गति की गति v समय t के संबंध में पथ s का व्युत्पन्न है: v = ds/dt। यह व्युत्पत्ति का यांत्रिक अर्थ है।
भुज x वाले बिंदु पर वक्र y = f(x) की स्पर्शरेखा का कोणीय गुणांक शून्य है, जो f"(x शून्य है) का अवकलज है। यह अवकलज का ज्यामितीय अर्थ है।
बिंदु एम शून्य पर एक स्पर्शरेखा वक्र एक सीधी रेखा एम शून्य टी है, जिसका कोणीय गुणांक छेदक एम शून्य एम एक के कोणीय गुणांक की सीमा के बराबर है जब डेल्टा एक्स शून्य की ओर जाता है।
tg phi = lim tg अल्फा क्योंकि डेल्टा x शून्य की ओर प्रवृत्त होता है = lim (डेल्टा x / डेल्टा y) क्योंकि डेल्टा x शून्य की ओर प्रवृत्त होता है
व्युत्पन्न के ज्यामितीय अर्थ से, स्पर्शरेखा समीकरण रूप लेता है:
y - y शून्य = f"(x शून्य)(x - x शून्य)