आरएलसी सर्किट में क्षणिक

दूसरे क्रम के रैखिक सर्किट में दो अलग-अलग प्रकार के प्रतिक्रियाशील तत्व एल और सी होते हैं। ऐसे सर्किट के उदाहरण श्रृंखला और समानांतर अनुनाद सर्किट (छवि 1) हैं।

चावल। 1. दूसरे क्रम के रैखिक सर्किट: ए - श्रृंखला गुंजयमान सर्किट; बी - समानांतर गुंजयमान सर्किट

ऑसिलेटरी सर्किट में क्षणिक प्रक्रियाओं का वर्णन दूसरे क्रम के अंतर समीकरणों द्वारा किया जाता है। आइए आरएल सर्किट पर कैपेसिटेंस डिस्चार्ज के मामले पर विचार करें (चित्र 2)। आइए किरचॉफ के पहले नियम के अनुसार श्रृंखला समीकरण बनाएं:

विभेदन के बाद (1) हमें प्राप्त होता है

चावल। 2.

समीकरण (2) का समाधान यू सी (टी) मुक्त यू सेंट (टी) और मजबूर यू पीआर घटकों के योग के रूप में पाया जाता है

यू सी =यू सेंट +यू एवेन्यू। (3)

यू पीआर ई पर निर्भर करता है, और यू सेंट (टी) फॉर्म के एक सजातीय अंतर समीकरण को हल करके निर्धारित किया जाता है

(4) के लिए विशेषता समीकरण का रूप है

एलसीपीІ + आरसीपी + 1 = 0, (5)

विशेषता समीकरण की जड़ें

मान R/2L = b को क्षीणन गुणांक, सर्किट की गुंजयमान आवृत्ति कहा जाता है। जिसमें

सर्किट में क्षणिक प्रक्रियाओं की प्रकृति जड़ों पी 1 और पी 2 के प्रकार पर निर्भर करती है। वे हो सकते है:

1) वास्तविक, R > 2с, Q के लिए भिन्न< 0,5;

2) R = 2c, Q = 0.5 पर वास्तविक और बराबर;

3) R पर जटिल संयुग्म< 2с, Q > 0,5.

यहाँ विशेषता प्रतिबाधा है, Q = c/R सर्किट का गुणवत्ता कारक है।

चित्र के आरेख में. टी पर स्विच करने से पहले 2<0 емкость заряжена до напряжения U c (0 -) = E. После коммутации емкость начинает разряжаться и в контуре возникает переходный процесс. В случае 1 при Q < 0,5 решение уравнения (2) имеет вид

एकीकरण स्थिरांक A 1 और A 2 को खोजने के लिए, हम सर्किट में करंट के लिए अभिव्यक्ति लिखते हैं

प्रारंभिक स्थितियों U c (0 -) = E और i(0 -) = 0 का उपयोग करके, हम समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त करते हैं

हमारे पास मौजूद सिस्टम के समाधान से

परिणामस्वरूप, सर्किट में करंट और वोल्टेज के लिए हमें प्राप्त होता है

दूसरे क्रम के सर्किट में क्षणिक प्रक्रियाएं

स्वतंत्र चर की परिभाषा.

मैं एल - स्वतंत्र चर

हम सर्किट में क्षणिक प्रक्रिया के लिए एक अंतर समीकरण बनाते हैं और सामान्य समाधान लिखते हैं।

आई एल (टी)=आई सेंट (टी)+आई पीआर

आइए प्रारंभिक स्थितियाँ निर्धारित करें।

आईएल(0)=ई/आर=19.799ए

आइए अंतर का समाधान लिखें। मुक्त घटक के लिए समीकरण.

i st (t)=A*e bt *sin(wt+i)

Z इनपुट =2R+jwL+1/jwC

p=-883.833-7.016i*10 3

f=1/|b|=1.131*10 -3

T=2р/w=8.956*10 -4

आइए t= पर मजबूर घटकों का निर्धारण करें?

आइए हम एकीकरण एआई और के स्थिरांक का निर्धारण करें

U L (t)=LAbwe bt *sin(wt+i)

i L (t)=Ae bt *sin(wt+i)

LAb*sin और+ LAw*cosand =0

पी एकोस यू=2.494

tg और=19.799/Acos और=7.938

विद्युत परिपथों में आवधिक प्रक्रियाओं का वर्णक्रमीय प्रतिनिधित्व

कई मामलों में, स्थिर अवस्था में, विद्युत परिपथों में आवधिक ईएमएफ, वोल्टेज और धाराओं के वक्र साइनसॉइडल से भिन्न हो सकते हैं। इस मामले में, प्रत्यावर्ती धारा सर्किट की गणना के लिए प्रतीकात्मक विधि का प्रत्यक्ष उपयोग असंभव हो जाता है। रैखिक विद्युत सर्किट के लिए, फूरियर श्रृंखला में गैर-साइनसॉइडल वोल्टेज और धाराओं के वर्णक्रमीय अपघटन का उपयोग करके सुपरपोजिशन विधि के आधार पर गणना समस्या को हल किया जा सकता है। सामान्य स्थिति में, फूरियर श्रृंखला में एक स्थिर घटक होता है, पहला हार्मोनिक, जिसकी आवृत्ति आवधिक धारा या अवधि टी के साथ वोल्टेज की आवृत्ति यू 1 = 2पी/टी के साथ मेल खाती है, और आवृत्तियों के साथ उच्च हार्मोनिक्स का एक सेट होता है। = n 1, मौलिक आवृत्ति के गुणज u 1. अधिकांश आवधिक कार्यों के लिए, फूरियर श्रृंखला में अनंत संख्या में पद होते हैं। व्यवहार में, वे श्रृंखला के पदों की एक सीमित संख्या तक सीमित हैं। इस मामले में, मूल आवधिक फ़ंक्शन को कुछ त्रुटि के साथ फूरियर श्रृंखला का उपयोग करके दर्शाया जाएगा।

माना कि आवर्त T के साथ एक आवर्त ईएमएफ है। e(t)=e(t±nT), डिरिचलेट शर्तों को संतुष्ट करता है (अंतराल T पर एक फ़ंक्शन में असंततता और एक्स्ट्रेमा की एक सीमित संख्या होती है)। इस तरह के फ़ंक्शन को विभिन्न आयामों के साथ हार्मोनिक घटकों के योग द्वारा दर्शाया जा सकता है ई एन, आवृत्तियों यू एन = एन 1 और प्रारंभिक चरण यू एन एक फूरियर श्रृंखला के रूप में

फूरियर श्रृंखला को दूसरे रूप में दर्शाया जा सकता है:

स्थिर घटक ई 0 और फूरियर श्रृंखला गुणांक बी एन और सी एन की गणना सूत्रों का उपयोग करके की जाती है

विषम कार्यों e(t) के लिए गुणांक С n = 0, और सम कार्यों के लिए B n = 0। गुणांक B n, C n और आयाम Е n और हार्मोनिक्स के चरणों с n के बीच संबंध संबंधों द्वारा निर्धारित किया जाता है

आवृत्ति u n = n u 1 पर हार्मोनिक्स E n के आयाम की निर्भरता दर्शाने वाले आरेख को स्पेक्ट्रम कहा जाता है।

सुपरपोज़िशन विधि और आवधिक ईएमएफ के वर्णक्रमीय प्रतिनिधित्व का उपयोग करना। फूरियर श्रृंखला के रूप में, विद्युत सर्किट की गणना निम्नलिखित विधि का उपयोग करके की जा सकती है:

1. गैर-साइनसॉइडल आवधिक ईएमएफ। ई(टी) को फूरियर श्रृंखला में विस्तारित किया गया है और ईएमएफ के सभी हार्मोनिक्स के आयाम ई एन और चरण क्यू एन निर्धारित किए गए हैं।

2. ब्याज की शाखा में, प्रत्येक ईएमएफ हार्मोनिक द्वारा निर्मित धाराओं i 0 , i 1 ,...in की गणना की जाती है।

3. शाखा में आवश्यक धारा को धाराओं के योग के रूप में पाया जाता है

चूँकि धारा i(t) के घटक या तो एक स्थिर मान i 0 या साइनसॉइडल धाराएँ in n हैं, उन्हें निर्धारित करने के लिए प्रत्यक्ष और प्रत्यावर्ती साइनसॉइडल धाराओं के सर्किट की गणना के लिए प्रसिद्ध तरीकों का उपयोग किया जाता है।

प्रयोगशाला कार्य संख्या 4

कार्य का उद्देश्य: आयताकार वोल्टेज दालों के प्रभाव में आरएलसी सर्किट में क्षणिक प्रक्रियाओं का अध्ययन।

विद्युत परिपथों में क्षणिक प्रक्रियाओं का अध्ययन करने की एक विधि ऑपरेटर विधि /1,2/ है। इस मामले में, लाप्लास ट्रांसफॉर्म का उपयोग किया जाता है:

ज्ञात मूल f(t) से छवि F(p) को परिभाषित करना।

वांछित समय फ़ंक्शन (मूल) के संबंध में श्रृंखला के पूर्णांक-अंतर समीकरण का समाधान छवि के लिए बीजगणितीय समीकरण के समाधान में कम हो जाता है।

1. आरसी - सर्किट

मान लीजिए कि सर्किट के इनपुट पर एक आयताकार वोल्टेज पल्स लगाया जाता है, जिसका आरेख चित्र 1, ए में दिखाया गया है। सर्किट के इनपुट पर वोल्टेज आकार ढूंढना आवश्यक है। ऐसा करने के लिए, निम्नलिखित गणना चरणों को निष्पादित करना आवश्यक है:

1) इनपुट सिग्नल की विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति लिखें;

2) सर्किट का एक पूर्णांक-विभेदक समीकरण बनाएं;

3) ऑपरेटर समीकरण पर जाएं;

4) ऑपरेटर समीकरण को हल करने के बाद, वांछित फ़ंक्शन की छवि ढूंढें;

5) आवश्यक फ़ंक्शन के मूल पर जाएं।

हम आयाम ई के एक आदर्श आयताकार वोल्टेज पल्स के लिए विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति को फॉर्म में लिखते हैं।

जहाँ l(t) शर्तों द्वारा निर्धारित एक इकाई फलन है:

l(t)=0 यदि t<0 и l(t)=1, если t>=0.

अभिव्यक्ति (2) चित्र 1, बी में ग्राफिक रूप से प्रस्तुत की गई है। t>t u के लिए इकाई फलनों का अंतर शून्य देता है। शृंखला समीकरण है

जहां इनपुट प्रभाव यू(टी) अभिव्यक्ति (2) द्वारा निर्धारित किया जाता है, यूआर (टी) और आई(टी) समय में एक मनमाना बिंदु पर संधारित्र पर वोल्टेज और सर्किट में वर्तमान हैं। आउटपुट वोल्टेज U R =i(t)R एक कारक R तक i(t) के साथ मेल खाता है, तो आइए i(t) को वांछित फ़ंक्शन के रूप में चुनें और ध्यान रखें कि i(t)=dq(t)/dt= सीडीयू सी (टी)/डीटी। तब (3), (2) को ध्यान में रखते हुए, रूप लेगा

आइए वर्तमान I(p)=a की छवि का परिचय दें और लाप्लास ट्रांसफॉर्म (1) को दोनों भागों (4) पर लागू करें। यूनिट फ़ंक्शन की छवि और मूल के एकीकरण प्रमेय को ध्यान में रखते हुए, ऑपरेटर समीकरण रूप लेता है

इसका समाधान कर रहे हैं

मूल में परिवर्तन भी तालिका 1 का उपयोग करके किया जाता है:

तालिका नंबर एक

लाप्लास के कुछ गुण बदल जाते हैं

नहीं. संपत्ति

ग्राफ़िक रूप से, निर्भरता (7) को केस टी के लिए चित्र 1 सी में प्रस्तुत किया गया है<

चित्र 2, ए में सर्किट पर विचार करें। इनपुट क्रिया (2) के तहत निर्भरता यू सी (टी) प्राप्त करने के लिए, हम समीकरण (3) को निम्नानुसार प्रस्तुत करते हैं:

वोल्टेज छवि यू सी (पी) = ए का परिचय देते हुए, तालिका 1 का उपयोग करके हम ऑपरेटर समीकरण पर आगे बढ़ते हैं:

जहां यह ध्यान में रखा जाता है कि U c (0)=0. यू सी (पी) के लिए (9) को हल करने और मूल तक पहुंचने पर, हम प्राप्त करते हैं

यह निर्भरता चित्र 2सी में ग्राफिक रूप से प्रस्तुत की गई है।

इस प्रकार, अभिव्यक्ति (7) और (10) (चित्र 1, सी; 1, डी; 2, सी देखें) के अनुसार, इनपुट पी-वोल्टेज पल्स के अग्रणी और अनुगामी किनारे आरसी सर्किट में एक क्षणिक प्रक्रिया का कारण बनते हैं। . अग्रणी किनारे पर, एक संधारित्र समय के साथ चार्ज होता है (यूसी (टी) में वृद्धि), और जैसे ही संधारित्र चार्ज होता है, वर्तमान i(t) शून्य हो जाता है। पल्स के अनुगामी किनारे के संपर्क में आने पर, संधारित्र अवरोधक और इनपुट सिग्नल स्रोत के माध्यम से चार्ज होना शुरू हो जाता है। धारा विपरीत दिशा में बहती है और निरपेक्ष मान में धीरे-धीरे कम होती जाती है। यह ऑसिलोग्राम पर एक नकारात्मक उछाल यू आर (टी) की उपस्थिति से जुड़ा हुआ है। संक्रमण समय, यानी संधारित्र को स्रोत वोल्टेज E तक चार्ज होने में लगने वाला समय सैद्धांतिक रूप से अनंत है। व्यवहार में, आरसी सर्किट में क्षणिक प्रक्रिया की अवधि को समय स्थिरांक t=RC द्वारा दर्शाया जाता है, जो दर्शाता है कि किस अवधि में सर्किट में करंट ई गुना (7) से t=t i=0.367( पर) घट जाता है E/R)) या - किस अवधि के लिए संधारित्र पर वोल्टेज 0.633 E ((10) से) t=t U c =(1-e -1)E=0.633E पर पहुंच जाएगा। ऑसिलोग्राम यू सी (टी) से टी का अनुमान लगाते समय, शर्त टी को पूरा करना होगा<

ऑसिलोग्राम यू आर (टी) और यू सी (टी) का रूप चित्र 1, ई और 2, डी में दिखाया गया है।

आइए एक आरएल सर्किट पर विचार करें, जिसका सर्किट चित्र 3 ए में दिखाया गया है, जिसके लिए इनपुट वोल्टेज

U(t)=i(t)R+U L (t) (11)

या (2) और U L (t)=L di(t)/dt को ध्यान में रखते हुए

(12) और (4) की तुलना करते हुए, हम ध्यान देते हैं कि ये समीकरण मांगे गए कार्यों के पारस्परिक प्रतिस्थापन और आरएल सर्किट के लिए समय स्थिर टी = आर/एल की शुरूआत के साथ मेल खाते हैं, इसलिए हम (12) का समाधान लिखते हैं (7) के साथ सादृश्य:

जहां t=L/R. आरएल सर्किट के लिए वोल्टेज आकार यू एल (टी) आरएल सर्किट के लिए वोल्टेज आकार यू आर (टी) को दोहराता है (चित्र 3)। इसी प्रकार, यह दिखाया जा सकता है कि आरएल सर्किट के लिए यू आर (टी) का आकार आरसी सर्किट के लिए यू सी (टी) के आकार को दोहराता है (चित्र 4)। ऐसा करने के लिए, (11) से l(t) के लिए एक समीकरण प्राप्त करना और इसकी तुलना (8) से करना पर्याप्त है।

इनपुट पल्स के अग्रणी और अनुगामी किनारों पर आरएल सर्किट में क्षणिक प्रक्रिया कॉइल में चुंबकीय क्षेत्र ऊर्जा के संचय और अपव्यय की प्रक्रिया की सीमा से निर्धारित होती है।

रेडियो इलेक्ट्रॉनिक्स में, ऐसे सर्किट का उपयोग किया जाता है जिनका इनपुट वोल्टेज इनपुट वोल्टेज के व्युत्पन्न या अभिन्न के समानुपाती होता है। ऐसी शृंखलाओं को क्रमशः विभेदीकरण या एकीकृत करना कहा जाता है। जिन सर्किटों को चित्र 1 और 3 में दिखाया गया है वे विभेदित हो रहे हैं यदि उनका समय स्थिरांक पर्याप्त रूप से छोटा है (इनपुट सिग्नल की अवधि की तुलना में)। इंटीग्रेटिंग सर्किट वे सर्किट होते हैं जिन्हें चित्र 2 और 4 में दिखाया गया है, यदि उनका समय स्थिरांक काफी बड़ा है (एकीकरण अंतराल की तुलना में)। ऐसा करने के लिए, आउटपुट वोल्टेज को आउटपुट वोल्टेज से काफी कम चुना जाना चाहिए।

3. आरएलसी सर्किट।

आइए सर्किट पर विचार करें, जिसका आरेख चित्र 5, ए में दिखाया गया है। गणना को सरल बनाने के लिए, सर्किट पर सकारात्मक वोल्टेज चरण के प्रभाव पर विचार करें, अर्थात। हम इनपुट क्रिया को U(t)=E l(t) के रूप में चुनते हैं। तब U C (t) के सापेक्ष लिखा गया समीकरण U(t)=U R (t)+U L (t)+U C (t), रूप लेगा

छवि के लिए ऑपरेटर समीकरण को पारित करने और इसे हल करने पर, हम पाते हैं

जड़ें पी 1,2 =

समीकरण p 2 +(r/L)p+1/LC=0 जटिल, वास्तविक (किसी विशेष मामले में बराबर) हो सकते हैं, इसलिए, वे सर्किट के संचालन के ऑसिलेटरी, एपेरियोडिक और क्रिटिकल मोड के बीच अंतर करते हैं। बशर्ते (l/LC)>R 2 /4L 2 हमारे पास एक ऑसिलेटरी सर्किट हो। फिर, यह मानते हुए कि p 1 = -s ± jw, जहां s = R/2L सर्किट का अवमंदन गुणांक है, मुक्त (प्राकृतिक) दोलनों की गोलाकार आवृत्ति है, सर्किट की गुंजयमान आवृत्ति है, हम (15) को इस प्रकार फिर से लिखते हैं इस प्रकार है:

(16) में हर की जड़ें सरल हैं, इसलिए, विस्तार प्रमेय को लागू करना (तालिका 1 देखें) और अवमंदन को छोटा मानना, यानी। w=w 0, हमारे पास है

इससे पता चलता है कि सर्किट में करंट और कैपेसिटर पर वोल्टेज दोलन करता है, और दोलनों का आयाम नीरस रूप से कम हो जाता है, जो एक ऑसिलेटरी सर्किट में एक क्षणिक प्रक्रिया के लिए विशिष्ट है।

4. व्यावहारिक भाग

1. उपकरण (आयताकार वोल्टेज पल्स जनरेटर, ऑसिलोस्कोप, ब्रेडबोर्ड) से खुद को परिचित करें।

2. आरसी सर्किट को इकट्ठा करें। ऑसिलोस्कोप का उपयोग करके, प्रतिरोधक और संधारित्र पर इनपुट वोल्टेज पल्स और वोल्टेज पल्स के तरंग रूपों को देखें और स्केच करें। ऑसिलोग्राम का उपयोग करते हुए, सर्किट समय स्थिरांक t का अनुमान लगाएं और इसकी तुलना उत्पाद RC से करें, जहां R C तत्वों के मापदंडों के नाममात्र मान हैं।

3. उन मामलों के लिए कार्य चरण 2 को पूरा करें जब एक ही आरसी सर्किट पर अलग-अलग अवधि के आयताकार वोल्टेज पल्स द्वारा कार्य किया जाता है और t u = स्थिरांक के साथ एक पल्स आरसी सर्किट पर कार्य करता है जिसका समय स्थिरांक आर और सी दोनों में परिवर्तन के कारण बदलता है। मामलों पर विचार करें टी<टी यू. मामले के लिए टी<

4. आरएल सर्किट पर लागू बिंदु 2 और 3 के कार्यों को पूरा करें। मामले के लिए टी<

5. एक सीरियल आरएलसी सर्किट को इकट्ठा करें। ऑसिलोस्कोप का उपयोग करके, सर्किट तत्वों पर इनपुट वोल्टेज पल्स और वोल्टेज पल्स के आकार को देखें और स्केच करें। सर्किट तत्वों पर वोल्टेज ऑसिलोग्राम का उपयोग करके, क्षीणन गुणांक में परिवर्तन होने पर एपेरियोडिक से ऑसिलेटरी में संक्रमण का निरीक्षण करें

दोलन मोड में, दोलन अवधि टी का अनुमान लगाएं और गणना मूल्य के साथ इसकी तुलना करें। धारिता C पर T की निर्भरता दर्ज करें।

6. प्राप्त परिणामों पर चर्चा करें.

5. परीक्षण प्रश्न

1. विद्युत परिपथ में क्षणिक प्रक्रिया क्या है?

2. हम संक्रमण प्रक्रिया की अवधि का अनुमान कैसे लगाते हैं?

3. विद्युत परिपथ का समय स्थिरांक क्या है?

4. यदि इनपुट क्रिया एक आयताकार वोल्टेज पल्स है, तो कौन से भाव समय पर आरसी और आरएल सर्किट के तत्वों पर वोल्टेज की निर्भरता का वर्णन करते हैं?

5. किसी सर्किट तत्व पर वोल्टेज ऑसिलोग्राम से विद्युत सर्किट के समय स्थिरांक का अनुमान कैसे लगाया जाए?

6. क्या पल्स के संक्रमण किनारे का उपयोग करके चित्र 2डी में ऑसिलोग्राम से टी का अनुमान लगाना संभव है?

7. क्या पल्स के अग्रणी और गिरते किनारों से अनुमानित सर्किट समय स्थिरांक हमेशा समान होते हैं?

8. आयताकार वोल्टेज पल्स के संपर्क में आने पर आरसी और आरएल सर्किट में कौन सी भौतिक प्रक्रियाएं होती हैं?

9. इनपुट पर एक आयताकार पल्स के साथ आरएलसी सर्किट में एक दोलन प्रक्रिया क्यों होती है?

10. चित्र 5 में ऑसिलोग्राम l(t) और U c (t) को गुणात्मक रूप से कैसे समझाया जा सकता है?

11. जब ऑसिलेटरी सर्किट के पैरामीटर बदलते हैं तो चित्र 5 में ऑसिलोग्राम i(t) और U c (t) कैसे बदलते हैं?

गिन्ज़बर्ग एस.जी. विद्युत परिपथों में क्षणिक प्रक्रियाओं पर समस्याओं को हल करने के तरीके। - एम.: हायर स्कूल, 1967.-388 पी.

मथानोव पी.एन. विद्युत सर्किट विश्लेषण की मूल बातें। रैखिक सर्किट. - एम.: हायर स्कूल, 1981. - 334 पी.

प्रतिक्रियाशील तत्वों के साथ सर्किट एलऔर साथऊर्जा को चुंबकीय और विद्युत दोनों क्षेत्रों में संग्रहीत करता है, इसलिए कोई करंट या वोल्टेज उछाल नहीं होता है। आइए संक्रमणकालीन खोजें मैंऔर ऊर्जा भंडार से जुड़ा हुआ है आरएलसी-सर्किट (चित्र 7.13), जब इसे एक मनमाना वोल्टेज पर स्विच किया जाता है यू, संधारित्र की गिनती साथपूर्व-मुक्ति.

सर्किट की स्थिति का समीकरण किरचॉफ के दूसरे नियम को संतुष्ट करता है:

.

धारा को कैपेसिटिव वोल्टेज के रूप में व्यक्त करना:

,

हमें समीकरण मिलता है

,

जिसका क्रम श्रृंखला में ऊर्जा भंडारण करने में सक्षम तत्वों की संख्या से निर्धारित होता है। समीकरण के दोनों पक्षों को गुणांक से विभाजित करना एल.सी.उच्च क्रम व्युत्पन्न के साथ, हम संक्रमण प्रक्रिया का समीकरण पाते हैं:

, (7.17)

जिसके सामान्य समाधान में दो पदों का योग होता है:

मजबूर घटक लागू वोल्टेज के प्रकार से निर्धारित होता है। जब सर्किट को स्थिर स्थिति के लिए चालू किया जाता है और सभी वोल्टेज कैपेसिटेंस पर लागू होंगे। जब सर्किट चालू होता है तत्वों पर स्थिर धारा और वोल्टेज आर, एल, सीसाइनसॉइडल होगा. मजबूर घटक की गणना प्रतीकात्मक विधि का उपयोग करके की जाती है, और फिर हम जटिल से तात्कालिक मूल्य की ओर बढ़ते हैं।

मुक्त घटक सजातीय समीकरण के समाधान से निर्धारित होता है

(7.18)

दो घातांकों (दो ऊर्जा भंडारण तत्वों) के योग के रूप में एल, सी):

विशेषता समीकरण की जड़ें कहां हैं

.

मुक्त घटक की प्रकृति जड़ों के प्रकार पर निर्भर करती है

, (7.20)

जो वास्तविक या जटिल हो सकता है, और मापदंडों के अनुपात से निर्धारित होता है आरएलसी-जंजीरें.

तीन संभावित संक्रमण प्रक्रिया विकल्प हैं:

- एपेरियोडिक, जब क्षणिक धाराएं और वोल्टेज बिना संकेत बदले अंतिम स्थिर अवस्था में पहुंच जाते हैं। घटना की स्थिति:

(7.21)

कहाँ - महत्वपूर्ण प्रतिरोध. इस मामले में, विशेषता समीकरण की जड़ें वास्तविक, नकारात्मक और हैं
अलग: ; समय स्थिरांक भी भिन्न हैं: ;

- एपेरियोडिक का सीमित मोड.घटना की स्थिति:

. (7.22)

विशेषता समीकरण की जड़ें वास्तविक, नकारात्मक और समान हैं: ; समय स्थिरांक भी बराबर हैं: . सीमा मोड सजातीय समीकरण (7.18) के सामान्य समाधान के अनुरूप है

; (7.23)

- आवधिक,या oscillatory , जब क्षणिक धाराएं और वोल्टेज अंतिम स्थिर स्थिति में पहुंचते हैं, तो समय-समय पर संकेत बदलते हैं और साइनसॉइड के साथ समय में क्षय होता है। घटना की स्थिति:

. (7.24)

विशेषता समीकरण की जड़ें नकारात्मक वास्तविक भाग के साथ जटिल संयुग्म हैं:

कहाँ α - क्षीणन गुणांक:

ω अनुसूचित जनजाति। - मुक्त (प्राकृतिक) कंपन की कोणीय आवृत्ति:

. (7.26)

इस मामले में क्षणिक प्रक्रिया प्रतिक्रियाशील तत्वों के बीच मुक्त दोलन की आवृत्ति के साथ दोलनशील ऊर्जा विनिमय का परिणाम है एलऔर सीजंजीरें प्रत्येक दोलन सक्रिय प्रतिरोध में हानि के साथ होता है आर, समय स्थिरांक के साथ अवमंदन प्रदान करना।

एक दोलनशील क्षणिक प्रक्रिया के लिए समीकरण (7.18) का सामान्य समाधान इस प्रकार है

कहाँ एऔर γ - प्रारंभिक स्थितियों से निर्धारित एकीकरण स्थिरांक।

आइए वोल्टेज लिखें यूसीऔर वर्तमान मैं, विशेषता समीकरण की वास्तविक और विभिन्न जड़ों के मामले में, सर्किट में ऊर्जा भंडार से जुड़ा हुआ है:

प्रारंभिक स्थितियों से

(7.30)

आइए एकीकरण स्थिरांक को परिभाषित करें ए 1 और ए 2 .

शामिल करने पर विचार करें आरएलसी-वोल्टेज के लिए सर्किट. कैपेसिटिव वोल्टेज और करंट के मजबूर घटक अंतिम स्थिर स्थिति से निर्धारित होते हैं और इसके बराबर होते हैं:

. (7.31)

फिर एकीकरण स्थिरांक निर्धारित करने के लिए समीकरणों की प्रणाली (7.30) का रूप लेती है

(7.32)

समाधान प्रणाली (7.32) देती है:

; (7.33)

. (7.34)

मजबूर घटकों और स्थिरांक को प्रतिस्थापित करने के परिणामस्वरूप ए 1 और एक्षणिक वोल्टेज के लिए 2V अभिव्यक्ति यूसी(टी) (7.28) और वर्तमान मैं(टी) (7.29) हमें मिलता है:

; (7.35)

चूंकि विएटा के प्रमेय के अनुसार .

संक्रमण धारा को जानते हुए, हम संक्रमण वोल्टेज लिखते हैं:

;

. (7.37)

जड़ों के प्रकार के आधार पर, संक्रमण प्रक्रिया के लिए तीन विकल्प संभव हैं।

1. क्षणिक प्रक्रिया के दौरान - अनावधिक, तब

चित्र में. 7.14, ए, बीवक्र और उनके घटक दिखाए गए हैं; चित्र में 7.14, वीवक्र, , एक ग्राफ़ पर प्रस्तुत किए गए हैं।

वक्रों से निम्नानुसार (चित्र 7.14, वी), सर्किट में करंट शून्य से अधिकतम तक सुचारू रूप से बढ़ता है, और फिर सुचारू रूप से शून्य तक घटता है। समय टी 1 अधिकतम धारा तक पहुंचना स्थिति से निर्धारित होता है . अधिकतम धारा कैपेसिटिव वोल्टेज वक्र के विभक्ति बिंदु से मेल खाती है ( ) और शून्य आगमनात्मक वोल्टेज ( ).

स्विचिंग के समय वोल्टेज अचानक बढ़ जाता है यू 0, फिर घटता है, शून्य से गुजरता है, चिह्न बदलता है, निरपेक्ष मान में अधिकतम तक बढ़ता है और फिर से घटता है, शून्य की ओर प्रवृत्त होता है। समय
मुझे टी 2 अधिष्ठापन में अधिकतम वोल्टेज तक पहुंचना स्थिति से निर्धारित होता है . अधिकतम, वर्तमान वक्र के विभक्ति बिंदु से मेल खाता है .

वर्तमान वृद्धि () के अनुभाग में, स्व-प्रेरण ईएमएफ, जो विकास को रोकता है, नकारात्मक है। ईएमएफ पर काबू पाने के लिए स्रोत द्वारा खर्च किया गया वोल्टेज है . उस अनुभाग में जहां करंट घटता है (), ईएमएफ है, और ईएमएफ को संतुलित करने वाला वोल्टेज है।

2. जब सर्किट में होता है अंतिम (सीमा)तरीकाएपेरियोडिक क्षणिक प्रक्रिया; वक्र, और चित्र में वक्र के समान हैं। 7.14, प्रक्रिया की प्रकृति नहीं बदलती।

3. जब सर्किट में होता है आवधिक(oscillatory)संक्रमण प्रक्रिया कब

कहाँ - गुंजयमान आवृत्ति, जिस पर आरएलसी- सर्किट प्रतिध्वनित होगा.

कैपेसिटिव वोल्टेज (7.35) के समीकरण में संयुग्मित कॉम्प्लेक्स को प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

संयुग्मित संकुलों को धारा (7.36) के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

कॉम्प्लेक्स को (7.37) में प्रतिस्थापित करते हुए, हम इंडक्शन पर वोल्टेज प्राप्त करते हैं

निर्भरता के निर्माण के लिए, प्राकृतिक दोलनों की अवधि को जानना आवश्यक है और समय स्थिर .

चित्र में. 7.15 पर्याप्त रूप से बड़े स्थिरांक के लिए वक्र दिखाता है। निर्माण क्रम इस प्रकार है: सबसे पहले, अंतिम स्थिर अवस्था के दोनों किनारों पर लिफाफा वक्र (चित्र 7.15 में धराशायी वक्र) का निर्माण किया जाता है। प्रारंभिक चरण को उसी पैमाने पर ध्यान में रखते हुए टी,वे तिमाही अवधियाँ जिनमें साइन लहर अधिकतम तक पहुँचती है या शून्य पर जाती है, अलग कर दी जाती है। साइनसॉइड को लिफाफों में इस प्रकार अंकित किया जाता है कि यह लिफाफों को अधिकतम बिंदुओं पर छूता है।

जैसा कि वक्रों से होता है यू सी(टी), मैं(टी) और यू एल(टी), कैपेसिटिव वोल्टेज एक अवधि के एक चौथाई तक चरण में वर्तमान से पीछे रहता है, और आगमनात्मक वोल्टेज एक अवधि के एक चौथाई तक वर्तमान से आगे रहता है, कैपेसिटिव वोल्टेज के साथ एंटीफ़ेज़ में होता है। शून्य प्रेरक वोल्टेज ( ) और कैपेसिटिव वोल्टेज वक्र का विभक्ति बिंदु ( ) अधिकतम धारा के अनुरूप है।/अधिकतम प्रेरक वोल्टेज धारा वक्र के विभक्ति बिंदु से मेल खाता है ( ).

मौजूदा मैं(टी) और वोल्टेज यू एल(टी) शून्य मान, वोल्टेज के आसपास नम दोलन निष्पादित करें यू सी(टी) - स्थिर के बारे में यू 0 . अवधि के पहले भाग में कैपेसिटिव वोल्टेज अपने अधिकतम मूल्य तक पहुँच जाता है, 2 से अधिक नहीं यू 0 .

कब आदर्श दोलन सर्किटडब्ल्यू

बुलाया लघुगणकीय अवमंदन कमी .

एक आदर्श ऑसिलेटरी सर्किट से मेल खाता है।

सर्किट आर, एल, सी में क्षणिक प्रक्रियाओं को दूसरे क्रम के अंतर समीकरण द्वारा वर्णित किया गया है। धाराओं और वोल्टेज के स्थिर-अवस्था घटकों को ऊर्जा स्रोत के प्रकार द्वारा निर्धारित किया जाता है और स्थिर-अवस्था स्थितियों की गणना के लिए ज्ञात तरीकों द्वारा निर्धारित किया जाता है। मुक्त घटक सबसे बड़ी सैद्धांतिक रुचि के हैं, क्योंकि मुक्त प्रक्रिया की प्रकृति इस बात पर निर्भर करती है कि विशेषता समीकरण की जड़ें वास्तविक हैं या जटिल संयुग्मी हैं, यह काफी भिन्न होती है।

आइए हम सर्किट आर, एल, सी में क्षणिक प्रक्रिया का विश्लेषण करें जब यह स्थिर ईएमएफ के स्रोत से जुड़ा हो (चित्र 70.1)।

वर्तमान के लिए समाधान का सामान्य रूप: i(t)=iy(t)+iсв(t)=Iy+A1ep2t+A2ep2t

स्थिर-अवस्था घटक: Iy=0

अभिलक्षणिक समीकरण और उसकी जड़ें:

अंतर समीकरण:

स्वतंत्र प्रारंभिक शर्तें: i(0)=0; यूसी(0)=0.

आश्रित प्रारंभिक स्थिति:

एकीकरण स्थिरांक समीकरणों की प्रणाली के एक साथ समाधान से निर्धारित होते हैं:

वर्तमान के लिए अंतिम समाधान:

आइए हम विशेषता समीकरण की जड़ों के विभिन्न मूल्यों के लिए फ़ंक्शन i(t) के रूप का अध्ययन करें।

ए) विशेषता समीकरण की जड़ें वास्तविक हैं और एक दूसरे के बराबर नहीं हैं।

यह मामला प्रदान किया गया है:

जैसे ही t 0 से ∞ में बदलता है, व्यक्तिगत फ़ंक्शन ep1t और ep2t तेजी से 1 से 0 तक कम हो जाते हैं, और उनमें से दूसरा तेजी से घटता है, जबकि उनका अंतर ep1t - ep2t ≥ 0 होता है। इससे यह पता चलता है कि वांछित स्ट्रीम फ़ंक्शन i(t) है ) चरम बिंदुओं पर t = 0 पर और t = ∞ पर शून्य के बराबर है, और समय अंतराल में 0< t < ∞ - всегда положительна, достигая при некотором значении времени tm своего максимального значения Imax. Найдем этот момент времени:

विशेषता समीकरण की वास्तविक जड़ों के मामले के लिए फ़ंक्शन i(t) का एक ग्राफिकल आरेख चित्र में दिखाया गया है। 70.2.

इस मामले में संक्रमण प्रक्रिया की अवधि छोटी जड़ द्वारा निर्धारित की जाती है: Tп=4/|pmin|

विशेषता समीकरण की वास्तविक जड़ों के साथ संक्रमण प्रक्रिया की प्रकृति को नम या एपेरियोडिक कहा जाता है।

बी) विशेषता समीकरण की जड़ें जटिल संयुग्मी हैं।

ऐसा तब होता है जब पैरामीटर हैं:

क्षीणन गुणांक:

प्राकृतिक कंपन की कोणीय आवृत्ति:

मूल फ़ंक्शन के समाधान को दूसरे रूप में परिवर्तित किया जा सकता है:

इस प्रकार, विशेषता समीकरण की जटिल संयुग्म जड़ों के मामले में, वांछित फ़ंक्शन i(t) एक नम आयाम Im(t)=A·e-bt के साथ हार्मोनिक कानून Imsinω0t के अनुसार समय में बदलता है। फ़ंक्शन का एक ग्राफिकल आरेख चित्र में दिखाया गया है। 70.3.

दोलन अवधि T0=2π/ω0 है, संक्रमण प्रक्रिया की अवधि क्षीणन गुणांक द्वारा निर्धारित की जाती है: Tп=4/b।

विशेषता समीकरण की जटिल संयुग्मी जड़ों के साथ संक्रमण प्रक्रिया की प्रकृति को दोलनशील या आवधिक कहा जाता है।

जटिल संयुग्म जड़ों के मामले में, मुक्त घटक को निर्धारित करने के लिए एक विशेष रूप का उपयोग किया जाता है:

जहां गुणांक ए और ψ या बी और सी नए एकीकरण स्थिरांक हैं, जो वांछित फ़ंक्शन के लिए प्रारंभिक शर्तों के माध्यम से निर्धारित होते हैं।

ग) विशेषता समीकरण की जड़ें वास्तविक और एक दूसरे के बराबर हैं।

यह मामला प्रदान किया गया है:

इस मामले में वांछित फ़ंक्शन i(t) के लिए पहले प्राप्त समाधान अनिश्चित हो जाता है, क्योंकि भिन्न का अंश और हर शून्य हो जाता है। आइए L'Hopital के नियम का उपयोग करके इस अनिश्चितता को प्रकट करें, p2=p=const, और p1=var पर विचार करते हुए, जो कि p की ओर प्रवृत्त होता है। तब हमें मिलता है:

विशेषता समीकरण की समान जड़ों वाली संक्रमण प्रक्रिया की प्रकृति को क्रिटिकल कहा जाता है। संक्रमण प्रक्रिया की महत्वपूर्ण प्रकृति नम और दोलन के बीच की सीमा रेखा है और रूप में यह नम से अलग नहीं है। संक्रमण प्रक्रिया की अवधि Tп=4/p. जब केवल रोकनेवाला का प्रतिरोध R=var=0…∞ बदलता है, तो क्षणिक प्रक्रिया की नम प्रकृति Rvar (Rkp) मानों की सीमा से मेल खाती है< Rvar < ∞), колебательный характер - также области значений (0 < Rvar < Rkp), а критический характер – одной точке Rvar = Rкр. Поэтому на практике случай равных корней характеристического уравнения встречается крайне редко.

समान जड़ों के मामले में, मुक्त घटक को निर्धारित करने के लिए एक विशेष रूप का उपयोग किया जाता है:

जहां गुणांक A1 और A2 नए एकीकरण स्थिरांक हैं, जो वांछित फ़ंक्शन के लिए प्रारंभिक शर्तों के माध्यम से निर्धारित होते हैं।

संक्रमण प्रक्रिया के महत्वपूर्ण मोड की विशेषता यह है कि इसकी अवधि न्यूनतम है। इस संपत्ति का उपयोग इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग में किया जाता है।

आइए क्रमिक रूप से क्षणिक प्रक्रियाओं के दो मामलों पर विचार करें आरएलसी सर्किट:

अनुक्रमिक आरएलसी सर्किटस्थिर ई.एम.एफ. के स्रोत से जुड़ता है। इ;

पूर्व-आवेशित संधारित्र को किसके द्वारा डिस्चार्ज किया जाता है? आरएलसी सर्किट.

1) सीरियल कनेक्ट करते समय आरएलसी सर्किटनिरंतर ई.एम.एफ. का ब्रश इ(चित्र 6.3.ए) किरचॉफ के दूसरे नियम के अनुसार सर्किट के विद्युत संतुलन के समीकरण का रूप है:

यू एल +यू आर +यू सी =ई (6.10)

अनुपातों को ध्यान में रखते हुए

यू आर = आर आई=आर सी (डीयू सी /डीटी);

यू एल =एल (डी/डीटी)=एल सी (डी 2 यू सी /डीटी 2)

समीकरण (6.10) इस प्रकार लिखा जा सकता है:

एल सी (डी 2 यू सी /डीटी 2) + आरसी (डीयू सी /डीटी) + यू सी = ई (6.11)

ए	बी	वी
चावल। 6.3

एक अमानवीय अवकल समीकरण का समाधान (6.11) विशेषता समीकरण द्वारा निर्धारित किया जाता है: एलसीपी 2 +आरसीपी+1=0,

जिसकी जड़ें हैं

δ=R/2L -क्षीणन गुणांक,

गुंजयमान आवृत्ति।

अनुपात पर निर्भर करता है δ2और ω 2 तीन मुख्य प्रकार की क्षणिक प्रक्रियाएँ संभव हैं:

ए) δ 2 > ω 2या विशेषता समीकरण की जड़ें नकारात्मक वास्तविक हैं। संक्रमण प्रक्रिया प्रकृति में आवधिक है (चित्र 6.3.बी)।

बी) δ2< ω 2 या विशेषता समीकरण की जड़ें जटिल और संयुग्मी हैं। संक्रमण प्रक्रिया की प्रकृति दोलनशील और अवमंदित होती है (चित्र 6.3.c)

वी) δ 2 = ω 2अथवा अभिलाक्षणिक समीकरण के मूल वास्तविक एवं समान हैं पी 1 =पी 2 =-आर/2एल.संक्रमण प्रक्रिया की प्रकृति आवधिक और अवमंदित (गंभीर स्थिति) है। संक्रमण का समय न्यूनतम है.

पहले दो मामलों के लिए, समीकरण के समाधान का रूप इस प्रकार है:

(6.13)

वी=यू सी (0) -स्विचिंग के समय संधारित्र पर वोल्टेज।

अवसर के लिए δ2< ω 2 समीकरण (6.13) फॉर्म में घटाया गया है:

, (6.14)

- नम दोलनों की आवृत्ति।

Eq से. (6.14) यह संक्रमण प्रक्रिया का अनुसरण करता है यू सी (टी)इसमें कोणीय आवृत्ति के साथ दोलनों का गुण होता है ω और अवधि Т=2π/ω, जो समय स्थिरांक के साथ क्षय होता है τ=2L/R=1/δ.

समय स्थिरांक निर्धारित करने के लिए τ आप दोलन वक्र के आवरण का उपयोग कर सकते हैं यू सी (टी),एक घातांकीय रूप होना:

exp(-δt)=exp(-t/τ).

तीसरे मामले के लिए δ=ω 0 समीकरण का हल (6.11) इसका रूप है:

. (6.15)

इस विधा की विशेषता यह है कि जब घट जाती है आरइस मान के नीचे क्षणिक प्रक्रिया दोलनशील हो जाती है।

2. जब संधारित्र डिस्चार्ज होता है आरएल सर्किट(चित्रा 6.4.ए) सभी तीन मोड संभव हैं, ऊपर चर्चा की गई है और मात्राओं के अनुपात से निर्धारित किया गया है δ तथा ω 0 .इन तरीकों में क्षणिक प्रक्रियाओं को समीकरणों द्वारा वर्णित किया गया है (6.13), (6.14), (6.15) पर ई=0.उदाहरण के लिए, मामले के लिए δ<ω 0 समीकरण (6.14) संधारित्र के दोलनशील निर्वहन के साथ इसका रूप होता है:

(6.16)

क्षणिक वक्र यू सी (टी)(चित्र 6.4.बी) में दिखाया गया है। लिफाफा वक्र यू सी (टी)एक फ़ंक्शन है exp(-δt)=exp(-t/τ),जिसका उपयोग समय स्थिरांक निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है τ और क्षीणन गुणांक δ=1/τ.