कोष्ठक का उपयोग किस लिए किया जाता है? रूसी वर्तनी और विराम चिह्न के नियम (1956)। कोष्ठक के मूल प्रकार, संकेतन, शब्दावली

पिछले पाठ में हमने गुणनखंडन पर चर्चा की थी। हमने दो तरीकों में महारत हासिल की: सामान्य कारक को कोष्ठक से बाहर रखना और समूह बनाना। इस पाठ में - निम्नलिखित शक्तिशाली विधि: संक्षिप्त गुणन सूत्र. संक्षेप में - एफएसयू।

गणित की सभी शाखाओं में संक्षिप्त गुणन सूत्र (योग और अंतर वर्ग, योग और अंतर घन, वर्गों का अंतर, योग और अंतर घन) अत्यंत आवश्यक हैं। इनका उपयोग व्यंजकों को सरल बनाने, समीकरणों को हल करने, बहुपदों को गुणा करने, भिन्नों को कम करने, अभिन्नों को हल करने आदि में किया जाता है। और इसी तरह। संक्षेप में, उनसे निपटने का हर कारण मौजूद है। समझें कि वे कहाँ से आते हैं, उनकी आवश्यकता क्यों है, उन्हें कैसे याद रखें और उन्हें कैसे लागू करें।

क्या हम समझते हैं?)

संक्षिप्त गुणन सूत्र कहाँ से आते हैं?

समानताएँ 6 और 7 बहुत परिचित तरीके से नहीं लिखी गई हैं। यह एक तरह से विपरीत है. यह जानबूझकर किया गया है।) कोई भी समानता बाएँ से दाएँ और दाएँ से बाएँ दोनों तरह से काम करती है। यह प्रविष्टि यह स्पष्ट करती है कि एफएसयू कहां से आते हैं।

इन्हें गुणन से लिया गया है।) उदाहरण के लिए:

(ए+बी) 2 =(ए+बी)(ए+बी)=ए 2 +एबी+बीए+बी 2 =ए 2 +2एबी+बी 2

बस, कोई वैज्ञानिक तरकीब नहीं। हम बस कोष्ठकों को गुणा करते हैं और समान कोष्ठक देते हैं। ऐसा ही होता है सभी संक्षिप्त गुणन सूत्र। संक्षिप्तगुणन इसलिए है क्योंकि स्वयं सूत्रों में कोष्ठकों का गुणन और समान कोष्ठकों का ह्रास नहीं होता है। संक्षिप्त।) परिणाम तुरंत दिया जाता है।

एफएसयू को दिल से जानने की जरूरत है। पहले तीन के बिना, आप सी का सपना नहीं देख सकते; बाकी के बिना, आप बी या ए का सपना नहीं देख सकते।)

हमें संक्षिप्त गुणन सूत्रों की आवश्यकता क्यों है?

इन सूत्रों को सीखने, यहाँ तक कि याद रखने के दो कारण हैं। पहला यह कि तैयार उत्तर स्वचालित रूप से त्रुटियों की संख्या कम कर देता है। लेकिन ये मुख्य कारण नहीं है. लेकिन दूसरा...

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अंग्रेजी में "ब्रैकेट्स" शब्द का अनुवाद या के रूप में किया गया है कोष्टक.

कोष्ठक का उपयोग किसी शब्द या वाक्यांश को शेष वाक्य से अलग करने के लिए किया जाता है। इनका उपयोग अक्सर किसी वाक्य में किसी ऐसी चीज़ का वर्णन करने के लिए किया जाता है जिसका लेखक ने अभी तक उल्लेख नहीं किया है।

सबसे अधिक प्रयुक्त कोष्ठक ( गोल कोष्ठक - ()) और वर्गाकार कोष्ठक ( वर्ग कोष्ठक).

ब्रैकेट का उपयोग हमेशा जोड़े में किया जाता है और उनका उद्देश्य मुख्य वाक्य को तोड़े बिना आवश्यक जानकारी जोड़ना है, ताकि यदि ब्रैकेट में शब्द हटा दिए जाएं तो वाक्य बरकरार रहे।

गोल कोष्ठक ()

वर्गाकार कोष्ठकों के विपरीत, कोष्ठकों में दी गई जानकारी एक वाक्य का हिस्सा होती है, लेकिन मुख्य अर्थ नहीं बताती है।

उदाहरण:
जब उसने दुकान में सैली (एक लड़की जिसके साथ वह स्कूल जाता था) को देखा, तो उसे अपनी आँखों पर विश्वास नहीं हुआ।
कुछ व्याकरणविदों का मानना ​​है कि (जब भी संभव हो) हमें अल्पविराम का उपयोग करना चाहिए।
मेरी कार ड्राइव में है (खिड़की खुली हुई है)।
मेरी अभी-अभी हमारी नई कार के साथ दुर्घटना हुई है। (Sssh! मेरे पति को अभी तक पता नहीं है।)
मौसम अद्भुत है. (काश यह हमेशा ऐसा ही होता!)
पार्टी शानदार थी (हमेशा की तरह)!

जैसा कि आप देख सकते हैं, कोष्ठक में दी गई जानकारी वाक्य का अभिन्न अंग नहीं है और यदि कोष्ठक में दी गई जानकारी हटा दी जाए तो इसका अर्थ नहीं बदलेगा। इस प्रकार, कोष्ठक को लिखित रूप में एक वाक्य के अस्थायी रुकावट के रूप में माना जा सकता है।

कई मामलों में, अल्पविराम या हाइफ़न की एक जोड़ी कोष्ठक को प्रतिस्थापित कर सकती है:

जब उसने दुकान में सैली नामक लड़की को देखा, जिसके साथ वह स्कूल जाता था, तो उसे अपनी आँखों पर विश्वास नहीं हुआ।

जब उसने सैली - एक लड़की जिसके साथ वह स्कूल जाता था - को दुकान में देखा, तो उसे अपनी आँखों पर विश्वास नहीं हुआ।

हालाँकि, ऐसा प्रतिस्थापन तभी उचित है जब अतिरिक्त वाक्य, जो मुख्य वाक्य में शामिल हो, का मुख्य वाक्य से सीधा संबंध हो।

इसे अच्छा आचरण माना जाता है नहींकोष्ठक में लंबे वाक्यों का प्रयोग करें क्योंकि इससे वाक्य को समझना कठिन हो सकता है।

इस कारण से, कोष्ठकों का यथासंभव कम उपयोग करने का प्रयास करें, विशेषकर जब समापन कोष्ठक किसी वाक्य के अंत में होता है। अवधि हमेशा समापन कोष्ठक के बाद रखी जाती है।

ट्रेन गिलिंघम (केंट) और रैनहैम (केंट) में रुकेगी .

वर्ग कोष्ठक

कोष्ठक के विपरीत, वर्गाकार कोष्ठक का उपयोग आमतौर पर उस पाठ को संलग्न करने के लिए किया जाता है जो मुख्य वाक्य से सीधे तौर पर संबंधित न होने वाली किसी चीज़ की व्याख्या करता है।

उदाहरण के लिए:

मुझे डार्क चॉकलेट बहुत पसंद है.

"सर्वनाम", "क्रिया", "विशेषण" और "संज्ञा" व्याख्यात्मक शब्द हैं, वे "मुझे डार्क चॉकलेट पसंद है" वाक्य का हिस्सा नहीं हैं और इसलिए इन्हें वर्गाकार कोष्ठक का उपयोग करके वाक्य के मुख्य शब्दों से स्पष्ट रूप से अलग किया जाना चाहिए।

वर्गाकार कोष्ठक के उपयोग का एक और उदाहरण उद्धरणों में है, जब शब्द स्वयं उद्धरण से संबंधित नहीं होते हैं, बल्कि व्याख्यात्मक शब्दों के रूप में इसमें शामिल होते हैं।

"जॉन के अनुसार, उन्होंने कहा कि जब उन्होंने उसे देखा तो उन्हें विश्वास नहीं हुआ क्योंकि वे एक साथ स्कूल जाते थे। इतने वर्षों के बाद उसे देखकर वह बहुत आश्चर्यचकित था।"

वर्गाकार कोष्ठक सूचनात्मक उद्देश्यों के लिए हैं, लेकिन उद्धरण का मुख्य भाग नहीं हैं।

लिखित रूप में कोष्ठक का उपयोग करने की युक्तियों के साथ अंग्रेजी में वीडियो।

एक अंग्रेजी पाठ के लिए एक छात्र द्वारा तैयार रैप गीत के साथ एक वीडियो क्लिप। यह गाना पद्य में अंग्रेजी में कोष्ठक के बारे में बात करता है।

अंग्रेजी मजाक

एक नाविक एक बार में एक समुद्री डाकू से मिलता है, और बात समुद्र में उनके साहसिक कारनामों पर केंद्रित हो जाती है। नाविक ने नोट किया कि समुद्री डाकू के पास एक खूंटी-पैर, एक हुक और एक आँख पैच है।
नाविक पूछता है, "तो, आपका अंत खूंटी-पैर के साथ कैसे हुआ?"
समुद्री डाकू ने उत्तर दिया, “हम समुद्र में तूफान में थे, और मैं पानी में बहकर शार्कों के झुंड में चला गया। जैसे ही मेरे आदमी मुझे बाहर खींच रहे थे, एक शार्क ने मेरा पैर काट लिया।”
"बहुत खूब!" नाविक ने कहा. "तुम्हारे हुक के बारे में क्या?"
“ठीक है,” समुद्री डाकू ने उत्तर दिया, “हम एक दुश्मन जहाज पर सवार थे और अन्य नाविकों से तलवारों से लड़ रहे थे। एक दुश्मन ने मेरा हाथ काट दिया।"
"अविश्वसनीय!" नाविक ने टिप्पणी की. "तुम्हें आँख पर पट्टी कैसे लगी?"
समुद्री डाकू ने उत्तर दिया, "सीगल की एक बूँद मेरी आँख में गिरी।"
"आपने सीगल को गिराने के कारण अपनी आंख खो दी?" नाविक ने अविश्वसनीय ढंग से पूछा।
“ठीक है,” समुद्री डाकू ने कहा, “यह हुक के साथ मेरा पहला दिन था।”

इस आर्टिकल में हम बात करेंगे गणित में कोष्ठकआइए जानें कि इनका उपयोग किस प्रकार किया जाता है और इनका उपयोग किस लिए किया जाता है। सबसे पहले, हम मुख्य प्रकार के कोष्ठकों को सूचीबद्ध करेंगे, उनके पदनामों और शब्दों का परिचय देंगे जिनका उपयोग हम सामग्री का वर्णन करते समय करेंगे। उसके बाद, आइए विशिष्टताओं की ओर बढ़ें और उदाहरणों का उपयोग करके समझें कि कहाँ और कौन से कोष्ठक का उपयोग किया जाता है।

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कोष्ठक के मूल प्रकार, संकेतन, शब्दावली

गणित में कई प्रकार के कोष्ठकों का उपयोग किया गया है, और निस्संदेह, उन्होंने अपना गणितीय अर्थ प्राप्त कर लिया है। मुख्य रूप से गणित में उपयोग किया जाता है तीन प्रकार के कोष्ठक: कोष्ठक (और) , वर्ग [और ] , और घुंघराले ब्रेसिज़ (और) से मेल खाते हैं। हालाँकि, अन्य प्रकार के ब्रैकेट भी हैं, उदाहरण के लिए, बैकस्क्वेयर ] और [, या कोण ब्रैकेट और > .

गणित में कोष्ठक का उपयोग अधिकतर जोड़ियों में किया जाता है: एक खुला कोष्ठक (संबंधित समापन कोष्ठक के साथ), एक खुला वर्ग कोष्ठक [एक समापन वर्ग कोष्ठक के साथ], और अंत में एक खुला घुंघराले ब्रेस (और एक समापन घुंघराले ब्रेस)। लेकिन इनके अन्य संयोजन भी हैं, उदाहरण के लिए, ( और ] या [ और ) . युग्मित कोष्ठक एक गणितीय अभिव्यक्ति को घेरते हैं और इसे एक संरचनात्मक इकाई के रूप में, या कुछ बड़ी गणितीय अभिव्यक्ति के भाग के रूप में देखने के लिए मजबूर करते हैं।

जहाँ तक अयुग्मित कोष्ठकों की बात है, सबसे आम रूप के एकल घुंघराले कोष्ठक हैं ( , जो एक सिस्टम चिह्न है और सेटों के प्रतिच्छेदन को दर्शाता है, साथ ही एक एकल वर्ग ब्रैकेट [ , जो सेटों के मिलन को दर्शाता है।

इसलिए, कोष्ठकों के पदनामों और नामों पर निर्णय लेने के बाद, हम उनके उपयोग के विकल्पों पर आगे बढ़ सकते हैं।

कोष्ठक उस क्रम को इंगित करने के लिए जिसमें क्रियाएं की जाती हैं

गणित में कोष्ठक का एक उद्देश्य उस क्रम को इंगित करना है जिसमें कार्य किए जाते हैं या कार्यों के स्वीकृत क्रम को बदलना है। इन उद्देश्यों के लिए, आमतौर पर कोष्ठकों के जोड़े का उपयोग किया जाता है, जो एक अभिव्यक्ति को संलग्न करते हैं जो मूल अभिव्यक्ति का हिस्सा है। इस मामले में, आपको पहले स्वीकृत क्रम (पहले गुणा और भाग, और फिर जोड़ और घटाव) के अनुसार कोष्ठक में क्रियाएं करनी चाहिए, और फिर अन्य सभी क्रियाएं करनी चाहिए।

आइए एक उदाहरण दें जो बताता है कि कोष्ठकों का उपयोग करके स्पष्ट रूप से यह दर्शाया जाए कि कौन सी क्रियाएं पहले करने की आवश्यकता है। कोष्ठक रहित अभिव्यक्ति 5+3−2 का अर्थ है कि पहले 5 को 3 में जोड़ा जाता है, जिसके बाद परिणामी योग से 2 घटाया जाता है। यदि आप मूल अभिव्यक्ति में इस तरह कोष्ठक लगाते हैं (5+3)−2, तो क्रियाओं के क्रम में कुछ भी नहीं बदलेगा। और यदि कोष्ठक इस प्रकार रखे गए हैं 5+(3−2) , तो आपको पहले कोष्ठक में अंतर की गणना करनी चाहिए, फिर 5 और परिणामी अंतर जोड़ना चाहिए।

आइए अब कोष्ठक स्थापित करने का एक उदाहरण दें जो आपको कार्यों के स्वीकृत क्रम को बदलने की अनुमति देता है। उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति 5 + 2 4 का तात्पर्य है कि पहले 2 को 4 से गुणा किया जाएगा, और उसके बाद ही 2 और 4 के परिणामी गुणनफल के साथ 5 का जोड़ किया जाएगा। कोष्ठक 5+(2·4) वाला व्यंजक बिल्कुल समान क्रियाओं को मानता है। हालाँकि, यदि आप कोष्ठक को इस तरह (5+2)·4 रखते हैं, तो आपको पहले संख्या 5 और 2 का योग निकालना होगा, जिसके बाद परिणाम को 4 से गुणा किया जाएगा।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि अभिव्यक्तियों में कोष्ठक के कई जोड़े हो सकते हैं जो उस क्रम को दर्शाते हैं जिसमें कार्य किए जाते हैं, उदाहरण के लिए, (4+5 2)−0.5:(7−2):(2+1+12). लिखित अभिव्यक्ति में, कोष्ठक की पहली जोड़ी में क्रियाएँ पहले की जाती हैं, फिर दूसरे में, फिर तीसरे में, जिसके बाद अन्य सभी क्रियाएँ स्वीकृत क्रम के अनुसार की जाती हैं।

इसके अलावा, कोष्ठक के भीतर कोष्ठक, कोष्ठक के भीतर कोष्ठक और इसी तरह, उदाहरण के लिए, और हो सकते हैं। इन मामलों में, क्रियाएं पहले आंतरिक कोष्ठक में की जाती हैं, फिर आंतरिक कोष्ठक वाले कोष्ठक में, इत्यादि। दूसरे शब्दों में, क्रियाएँ आंतरिक कोष्ठक से शुरू होकर धीरे-धीरे बाहरी कोष्ठक की ओर बढ़ती हैं। तो अभिव्यक्ति तात्पर्य यह है कि आंतरिक कोष्ठक में क्रियाएं पहले की जाएंगी, अर्थात, संख्या 3 को 6 से घटाया जाएगा, फिर गणना किए गए अंतर से 4 को गुणा किया जाएगा और परिणाम में संख्या 8 को जोड़ा जाएगा, इसलिए परिणाम में बाहरी कोष्ठक प्राप्त होंगे, और अंत में परिणामी परिणाम को 2 से विभाजित किया जाएगा।

लिखित रूप में, अक्सर विभिन्न आकारों के कोष्ठकों का उपयोग किया जाता है, ऐसा आंतरिक कोष्ठकों को बाहरी कोष्ठकों से स्पष्ट रूप से अलग करने के लिए किया जाता है। इस मामले में, आंतरिक कोष्ठक आमतौर पर बाहरी कोष्ठक की तुलना में छोटे उपयोग किए जाते हैं, उदाहरण के लिए, . समान उद्देश्यों के लिए, कभी-कभी ब्रैकेट के जोड़े को अलग-अलग रंगों में हाइलाइट किया जाता है, उदाहरण के लिए, (2+2· (2+(5·4−4) )·(6:2−3·7)·(5−3). और कभी-कभी, समान लक्ष्यों का पीछा करते हुए, कोष्ठक के साथ, वे वर्ग का उपयोग करते हैं और, यदि आवश्यक हो, तो घुंघराले कोष्ठक, उदाहरण के लिए, ·7 या {5++7−2}: .

इस बिंदु के निष्कर्ष में, मैं यह कहना चाहूंगा कि किसी अभिव्यक्ति में क्रियाएं करने से पहले, क्रियाओं को निष्पादित करने के क्रम को इंगित करने वाले कोष्ठकों को जोड़े में सही ढंग से पार्स करना बहुत महत्वपूर्ण है। ऐसा करने के लिए, अपने आप को रंगीन पेंसिलों से लैस करें और कोष्ठकों के माध्यम से बाएं से दाएं चलना शुरू करें, उन्हें निम्नलिखित नियम के अनुसार जोड़े में चिह्नित करें।

जैसे ही पहला समापन कोष्ठक मिल जाए, इसे और इसके बाईं ओर निकटतम प्रारंभिक कोष्ठक को किसी रंग से चिह्नित किया जाना चाहिए। इसके बाद, आपको अगले अचिह्नित समापन ब्रैकेट तक दाईं ओर बढ़ते रहना होगा। एक बार जब यह मिल जाए, तो आपको इसे और निकटतम अचिह्नित प्रारंभिक कोष्ठक को एक अलग रंग से चिह्नित करना चाहिए। और इसी तरह, तब तक दाईं ओर बढ़ते रहें जब तक कि सभी कोष्ठक चिह्नित न हो जाएं। इस नियम में हमें बस यह जोड़ना है कि यदि अभिव्यक्ति में भिन्न हैं, तो इस नियम को पहले अंश में अभिव्यक्ति पर लागू किया जाना चाहिए, फिर हर में अभिव्यक्ति पर, और फिर आगे बढ़ना चाहिए।

कोष्ठक में ऋणात्मक संख्याएँ

कोष्ठकों का एक अन्य उद्देश्य तब पता चलता है जब उनके साथ भाव प्रकट होते हैं और उन्हें लिखने की आवश्यकता होती है। भावों में ऋणात्मक संख्याएँ कोष्ठक में संलग्न हैं।

यहां कोष्ठक में ऋणात्मक संख्याओं वाली प्रविष्टियों के उदाहरण दिए गए हैं: 5+(−3)+(−2)·(−1) , .

अपवाद के रूप में, एक ऋणात्मक संख्या कोष्ठक में संलग्न नहीं होती है जब वह किसी अभिव्यक्ति में बाईं ओर से पहली संख्या होती है या किसी भिन्न के अंश या हर में बाईं ओर से पहली संख्या होती है। उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति −5·4+(−4):2 में पहली ऋणात्मक संख्या −5 बिना कोष्ठक के लिखी गई है; भिन्न के हर में बायीं ओर से पहली संख्या, −2.2, भी कोष्ठक में संलग्न नहीं है। फॉर्म (−5)·4+(−4):2 और के कोष्ठक के साथ नोटेशन . यहां यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि कोष्ठक वाले नोटेशन अधिक सख्त हैं, क्योंकि कोष्ठक के बिना अभिव्यक्तियां कभी-कभी अलग-अलग व्याख्याओं की अनुमति देती हैं, उदाहरण के लिए, −5 4+(−4):2 को (−5) 4+(−4) के रूप में समझा जा सकता है: 2 या −(5·4)+(−4):2 के रूप में। इसलिए, अभिव्यक्तियाँ बनाते समय, आपको "अतिसूक्ष्मवाद के लिए प्रयास नहीं करना चाहिए" और नकारात्मक संख्या को बाईं ओर कोष्ठक में नहीं रखना चाहिए।

ऊपर दिए गए इस पैराग्राफ में कही गई हर बात चर, घात, मूल, भिन्न, कोष्ठक में अभिव्यक्ति और ऋण चिह्न से पहले वाले कार्यों पर भी लागू होती है - वे भी कोष्ठक में संलग्न हैं। यहां ऐसे रिकॉर्ड के उदाहरण दिए गए हैं: 5·(−x) , 12:(−2 2) , , .

उन अभिव्यक्तियों के लिए कोष्ठक जिनके साथ क्रियाएँ की जाती हैं

कोष्ठक का उपयोग उन अभिव्यक्तियों को इंगित करने के लिए भी किया जाता है जिनके साथ कुछ कार्रवाई की जाती है, चाहे वह किसी शक्ति को बढ़ाना हो, व्युत्पन्न लेना आदि हो। आइये इसके बारे में अधिक विस्तार से बात करते हैं।

शक्तियों के साथ अभिव्यक्ति में कोष्ठक

एक अभिव्यक्ति जो एक घातांक है उसे कोष्ठक में रखने की आवश्यकता नहीं है। इसे सूचक के सुपरस्क्रिप्ट नोटेशन द्वारा समझाया गया है। उदाहरण के लिए, संकेतन 2 x+3 से यह स्पष्ट है कि 2 आधार है, और अभिव्यक्ति x+3 घातांक है। हालाँकि, यदि डिग्री को ^ चिह्न का उपयोग करके दर्शाया जाता है, तो घातांक से संबंधित अभिव्यक्ति को कोष्ठक में रखना होगा। इस नोटेशन में, अंतिम अभिव्यक्ति 2^(x+3) के रूप में लिखी जाएगी। यदि हमने 2^x+3 लिखते समय कोष्ठक नहीं लगाया, तो इसका मतलब 2 x +3 होगा।

डिग्री के आधार पर स्थिति थोड़ी अलग है. यह स्पष्ट है कि डिग्री के आधार को कोष्ठक में रखने का कोई मतलब नहीं है जब यह शून्य, एक प्राकृतिक संख्या या कोई चर हो, क्योंकि किसी भी स्थिति में यह स्पष्ट होगा कि घातांक विशेष रूप से इस आधार को संदर्भित करता है। उदाहरण के लिए, 0 3, 5 x 2 +5, y 0.5।

लेकिन जब डिग्री का आधार भिन्नात्मक संख्या, ऋणात्मक संख्या या कुछ अभिव्यक्ति है, तो इसे कोष्ठक में संलग्न किया जाना चाहिए। आइए उदाहरण दें: (0.75) 2 , , , .

यदि आप उस अभिव्यक्ति को कोष्ठक में नहीं रखते हैं जो डिग्री का आधार है, तो आप केवल अनुमान लगा सकते हैं कि घातांक संपूर्ण अभिव्यक्ति को संदर्भित करता है, न कि उसकी व्यक्तिगत संख्या या चर को। इस विचार को समझाने के लिए, आइए एक डिग्री लें जिसका आधार योग x 2 +y है, और संकेतक संख्या -2 है, यह डिग्री अभिव्यक्ति (x 2 +y) -2 से मेल खाती है। यदि हमने आधार को कोष्ठक में नहीं रखा है, तो अभिव्यक्ति इस तरह दिखाई देगी x 2 +y -2, जो दर्शाता है कि घात -2 चर y को संदर्भित करता है, न कि अभिव्यक्ति x 2 +y को।

इस पैराग्राफ के निष्कर्ष में, हम ध्यान दें कि उन शक्तियों के लिए जिनके आधार त्रिकोणमितीय कार्य हैं या, और घातांक है, अंकन का एक विशेष रूप अपनाया जाता है - घातांक को पाप, कॉस, टीजी, सीटीजी, आर्क्सिन, आर्ककोस, आर्कटीजी के बाद लिखा जाता है। आर्कसीटीजी, लॉग, एलएन या एलजी। उदाहरण के लिए, हम निम्नलिखित अभिव्यक्तियां देते हैं पाप 2 एक्स, आर्ककोस 3 वाई, एलएन 5 ई और। इन अंकन का वास्तव में अर्थ है (sin x) 2 , (arccos y) 3 , (lne) 5 और . वैसे, कोष्ठक में संलग्न आधारों वाली अंतिम प्रविष्टियाँ भी स्वीकार्य हैं और उनका उपयोग पहले संकेतित प्रविष्टियों के साथ किया जा सकता है।

जड़ों के साथ अभिव्यक्ति में कोष्ठक

मूलांक (()) के अंतर्गत भावों को कोष्ठक में संलग्न करने की कोई आवश्यकता नहीं है, क्योंकि इसका प्रमुख पात्र उनकी भूमिका निभाता है। अतः अभिव्यक्ति का मूलतः अर्थ है।

त्रिकोणमितीय फलनों वाले व्यंजकों में कोष्ठक

या उससे संबंधित नकारात्मक संख्याओं और अभिव्यक्तियों को अक्सर कोष्ठक में संलग्न करने की आवश्यकता होती है ताकि यह स्पष्ट हो सके कि फ़ंक्शन उस अभिव्यक्ति पर लागू किया जा रहा है, न कि किसी और चीज़ पर। यहां प्रविष्टियों के उदाहरण दिए गए हैं: पाप(−5) , cos(x+2) , .

एक ख़ासियत है: पाप, कॉस, टीजी, सीटीजी, आर्कसिन, आर्ककोस, आर्कटीजी और आर्कसीटीजी के बाद कोष्ठक में संख्याओं और अभिव्यक्तियों को लिखने की प्रथा नहीं है यदि यह स्पष्ट है कि फ़ंक्शन उन पर लागू होते हैं और कोई अस्पष्टता नहीं है। इसलिए एकल गैर-नकारात्मक संख्याओं को कोष्ठक में संलग्न करना आवश्यक नहीं है, उदाहरण के लिए, पाप 1, आर्ककोस 0.3, चर, उदाहरण के लिए, पाप एक्स, आर्कटान जेड, अंश, उदाहरण के लिए, , जड़ें और शक्तियाँ, उदाहरण के लिए, आदि।

और त्रिकोणमिति में, एकाधिक कोण x, 2 x, 3 x, ... बाहर खड़े होते हैं, जो किसी कारण से आमतौर पर कोष्ठक में भी नहीं लिखे जाते हैं, उदाहरण के लिए, पाप 2x, ctg 7x, cos 3α, आदि। हालाँकि यह कोई गलती नहीं है, और कभी-कभी संभावित अस्पष्टताओं से बचने के लिए इन अभिव्यक्तियों को कोष्ठक के साथ लिखना बेहतर होता है। उदाहरण के लिए, syn2 x:2 का क्या मतलब है? सहमत हूँ, संकेतन पाप(2 x): 2 अधिक स्पष्ट है: यह स्पष्ट रूप से दिखाई देता है कि दो x ज्या से संबंधित हैं, और दो x की ज्या 2 से विभाज्य है।

लघुगणक के साथ अभिव्यक्ति में कोष्ठक

संख्यात्मक अभिव्यक्तियाँ और वेरिएबल्स वाली अभिव्यक्तियाँ जिनके साथ लघुगणक किया जाता है, लिखे जाने पर कोष्ठक में संलग्न होती हैं, उदाहरण के लिए, ln(e −1 +e 1), log 3 (x 2 +3 x+7), log((x+ 1) ·(x−2)) .

जब यह स्पष्ट हो कि लघुगणक किस अभिव्यक्ति या संख्या पर लागू होता है तो आप कोष्ठक के उपयोग को छोड़ सकते हैं। अर्थात् जब लघुगणक चिन्ह के नीचे कोई धनात्मक संख्या, भिन्न, घात, मूल, कोई फलन आदि हो तो कोष्ठक लगाना आवश्यक नहीं है। यहां ऐसी प्रविष्टियों के उदाहरण दिए गए हैं: लॉग 2 x 5 , , .

भीतर कोष्ठक

के साथ काम करते समय कोष्ठक का भी उपयोग किया जाता है। सीमा चिह्न के अंतर्गत, आपको कोष्ठक में ऐसे भाव लिखने होंगे जो योग, अंतर, गुणनफल या भागफल का प्रतिनिधित्व करते हों। यहां कुछ उदाहरण दिए गए हैं: और ।

यदि यह स्पष्ट है कि सीमा चिह्न लिम किस अभिव्यक्ति को संदर्भित करता है, तो आप कोष्ठक को छोड़ सकते हैं, उदाहरण के लिए, और।

कोष्ठक और व्युत्पन्न

किसी प्रक्रिया का वर्णन करते समय कोष्ठकों का उपयोग पाया गया है। इसलिए अभिव्यक्ति को कोष्ठक में लिया गया है, उसके बाद व्युत्पन्न का चिह्न दिया गया है। उदाहरण के लिए, (x+1)' या .

कोष्ठकों में समाकलन

कोष्ठक का प्रयोग किया जाता है। एक निश्चित राशि या अंतर का प्रतिनिधित्व करने वाला एक इंटीग्रैंड कोष्ठक में रखा गया है। यहां कुछ उदाहरण दिए गए हैं: ।

फ़ंक्शन तर्क को अलग करने वाले कोष्ठक

गणित में, कोष्ठकों ने अपने स्वयं के तर्कों के साथ कार्यों को दर्शाने में अपना स्थान ले लिया है। इसलिए वेरिएबल x का फ़ंक्शन f को f(x) के रूप में लिखा जाता है। इसी तरह, कई वेरिएबल्स के फ़ंक्शन के तर्क कोष्ठक में सूचीबद्ध किए गए हैं, उदाहरण के लिए, F(x, y, z, t) चार वेरिएबल x, y, z और t का एक फ़ंक्शन F है।

आवधिक दशमलव में कोष्ठक

अवधि को इंगित करने के लिए कोष्ठक का उपयोग करने की प्रथा है। आइए कुछ उदाहरण दें.

आवर्त दशमलव भिन्न 0.232323 में... आवर्त दो अंकों 2 और 3 से बना है, आवर्त कोष्ठकों में संलग्न है, और उसके प्रकट होने के क्षण से एक बार लिखा जाता है: इस प्रकार हमें प्रविष्टि 0,(23) मिलती है . यहां आवधिक दशमलव भिन्न का एक और उदाहरण दिया गया है: 5.35(127) .

संख्यात्मक अंतरालों को दर्शाने के लिए कोष्ठक

पदनाम के लिए, चार प्रकार के कोष्ठक के जोड़े का उपयोग किया जाता है: () , (] , [) और । इन कोष्ठकों के अंदर, दो संख्याओं को अर्धविराम या अल्पविराम से अलग करके दर्शाया गया है - पहले छोटी संख्या, फिर बड़ी संख्या, संख्यात्मक अंतराल को सीमित करते हुए। किसी संख्या से सटे कोष्ठक का अर्थ है कि संख्या अंतराल में शामिल नहीं है, और वर्गाकार कोष्ठक का अर्थ है कि संख्या शामिल है। यदि अंतराल अनंत से जुड़ा है, तो अनंत प्रतीक के साथ एक कोष्ठक रखा जाता है।

स्पष्टीकरण के लिए, हम उनके पदनाम में सभी प्रकार के ब्रैकेट के साथ संख्यात्मक अंतराल के उदाहरण देते हैं: (0, 5) , [−0.5, 12) , , , (−∞, −4] , (−3, +∞) , (−∞, +∞) .

कुछ पुस्तकों में आप संख्यात्मक अंतरालों के लिए नोटेशन पा सकते हैं जिनमें कोष्ठक के बजाय (एक पिछला वर्गाकार कोष्ठक ] का उपयोग किया जाता है, और एक कोष्ठक के बजाय एक कोष्ठक का उपयोग किया जाता है। इस अंकन में, अंकन ]0, 1[ अंकन (0, 1) के बराबर है। 0, 1] के समान प्रविष्टि (0, 1] संगत है।

सिस्टम और समीकरणों और असमानताओं के सेट के लिए पदनाम

लिखने के लिए, साथ ही समीकरणों और असमानताओं की प्रणालियों के लिए, फॉर्म के एकल घुंघराले ब्रेस का उपयोग करें। इस मामले में, समीकरण और/या असमानताएं एक कॉलम में लिखी जाती हैं, और बाईं ओर वे एक घुंघराले ब्रेस द्वारा सीमाबद्ध होते हैं।

आइए उदाहरणों के साथ दिखाएं कि सिस्टम को दर्शाने के लिए घुंघराले ब्रेस का उपयोग कैसे किया जाता है। उदाहरण के लिए, - एक चर के साथ दो समीकरणों की एक प्रणाली, - दो चर के साथ दो असमानताओं की एक प्रणाली, और - दो समीकरणों और एक असमानता की प्रणाली।

किसी सिस्टम के घुंघराले ब्रेस का अर्थ सेट की भाषा में प्रतिच्छेदन है। तो समीकरणों की एक प्रणाली अनिवार्य रूप से इन समीकरणों के समाधानों का प्रतिच्छेदन है, यानी सभी सामान्य समाधान। और एक संघ को दर्शाने के लिए, एक संग्रह चिह्न का उपयोग घुंघराले ब्रैकेट के बजाय वर्गाकार ब्रैकेट के रूप में किया जाता है।

इसलिए, समीकरणों और असमानताओं के सेट को सिस्टम के समान ही दर्शाया जाता है, केवल घुंघराले ब्रेस के बजाय एक वर्ग [ लिखा जाता है। यहां रिकॉर्डिंग समुच्चय के कुछ उदाहरण दिए गए हैं: और ।

अक्सर सिस्टम और समुच्चय को एक अभिव्यक्ति में देखा जा सकता है, उदाहरण के लिए,।

टुकड़े-टुकड़े फ़ंक्शन को दर्शाने के लिए घुंघराले ब्रेस

अंकन में टुकड़े-टुकड़े का कार्यएक एकल घुंघराले ब्रेस का उपयोग किया जाता है; इस ब्रेस में संबंधित संख्यात्मक अंतराल को इंगित करने वाले फ़ंक्शन-परिभाषित सूत्र होते हैं। एक उदाहरण के रूप में यह दर्शाता है कि एक घुंघराले ब्रेस को टुकड़े-टुकड़े फ़ंक्शन के नोटेशन में कैसे लिखा जाता है, हम मॉड्यूलस फ़ंक्शन दे सकते हैं: .

किसी बिंदु के निर्देशांक को इंगित करने के लिए कोष्ठक

किसी बिंदु के निर्देशांक को इंगित करने के लिए कोष्ठक का भी उपयोग किया जाता है। समतल और त्रि-आयामी अंतरिक्ष में बिंदुओं के निर्देशांक, साथ ही एन-आयामी अंतरिक्ष में बिंदुओं के निर्देशांक, कोष्ठक में लिखे गए हैं।

उदाहरण के लिए, अंकन A(1) का अर्थ है कि बिंदु A के निर्देशांक 1 हैं, और अंकन Q(x, y, z) का अर्थ है कि बिंदु Q के निर्देशांक x, y और z हैं।

किसी सेट के तत्वों को सूचीबद्ध करने के लिए कोष्ठक

वर्णन करने का एक तरीका सेटइसके तत्वों की एक सूची है। इस मामले में, सेट के तत्वों को अल्पविराम से अलग किए गए घुंघराले कोष्ठक में लिखा जाता है। उदाहरण के लिए, आइए सेट A = (1, 2,3, 4) दें, उपरोक्त नोटेशन से हम कह सकते हैं कि इसमें तीन तत्व शामिल हैं, जो संख्याएँ 1, 2,3 और 4 हैं।

कोष्ठक और वेक्टर निर्देशांक

जब वैक्टर को एक निश्चित समन्वय प्रणाली में माना जाने लगता है, तो अवधारणा उत्पन्न होती है। उन्हें निरूपित करने के एक तरीके में वेक्टर निर्देशांकों को कोष्ठकों में एक-एक करके सूचीबद्ध करना शामिल है।

स्कूली छात्रों के लिए पाठ्यपुस्तकों में आप वैक्टर के निर्देशांक को नोट करने के लिए दो विकल्प पा सकते हैं; वे इस मायने में भिन्न हैं कि एक घुंघराले कोष्ठक का उपयोग करता है, और दूसरा गोल कोष्ठक का उपयोग करता है। यहां समतल पर सदिशों के लिए अंकन के उदाहरण दिए गए हैं: या, इन अंकन का अर्थ है कि सदिश a के निर्देशांक 0, −3 हैं। त्रि-आयामी अंतरिक्ष में, वेक्टर के तीन निर्देशांक होते हैं, जो वेक्टर के नाम के आगे कोष्ठक में दर्शाए जाते हैं, उदाहरण के लिए, या .

उच्च शिक्षा संस्थानों में, वेक्टर निर्देशांक के लिए एक और पदनाम अधिक सामान्य है: एक तीर या डैश को अक्सर वेक्टर के नाम के ऊपर नहीं रखा जाता है, नाम के बाद एक समान चिह्न दिखाई देता है, जिसके बाद निर्देशांक को अल्पविराम से अलग करके कोष्ठक में लिखा जाता है। उदाहरण के लिए, अंकन a=(2, 4, −2, 6, 1/2) पांच-आयामी अंतरिक्ष में एक वेक्टर के लिए एक पदनाम है। और कभी-कभी एक वेक्टर के निर्देशांक कोष्ठक और एक कॉलम में लिखे जाते हैं, उदाहरण के लिए, आइए एक वेक्टर को द्वि-आयामी स्थान में दें।

मैट्रिक्स तत्वों को इंगित करने के लिए कोष्ठक

तत्वों को सूचीबद्ध करते समय कोष्ठकों का भी उपयोग पाया गया है मैट्रिक्स. मैट्रिक्स के तत्व अक्सर युग्मित कोष्ठक के अंदर लिखे जाते हैं। स्पष्टता के लिए, यहां एक उदाहरण दिया गया है: . हालाँकि, कभी-कभी कोष्ठक के स्थान पर वर्गाकार कोष्ठक का उपयोग किया जाता है। इस नोटेशन में नव लिखित मैट्रिक्स ए निम्नलिखित रूप लेगा: .

ग्रंथ सूची.

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("ऐसा कहां देखा गया है," गाय ने तोते से कहा, "पक्षियों के एक प्रतिनिधि के लिए बिल्ली के बच्चे के साथ प्यार करना? कहां, कहां देखा गया है?"

“हाँ, वास्तव में,” तोते ने उसकी बात दोहराई, “तुमने निगल और बिल्ली को आँगन के एकांत कोनों में बैठकों की तलाश में कहाँ देखा है? पवित्र मैरी! हर कोई इसी बारे में बात करता है। लेकिन मैं नहीं चाहता, मैं इस पर विश्वास नहीं करना चाहता। पवित्र पिता, क्या यह संभव है? बिल्ली स्वैलो से शादी करना चाहती है! बचाओ और दया करो, स्वर्ग की रानी! तथास्तु!"

“यह कहाँ देखा गया है,” कबूतर ने कबूतर से कहा, “यह कहाँ देखा गया है कि निगल बिल्ली के साथ चलता है? आख़िरकार, प्राचीन काल से: एक कबूतर के साथ एक कबूतर, एक हंस के साथ एक हंस, एक बिल्ली के साथ एक बिल्ली, एक मुर्गे के साथ एक मुर्गी। और यहाँ निगल और बिल्ली है!

“हाँ, क्या ज़माना है, क्या नैतिकता है! कानूनों का सम्मान खत्म हो गया है. दुनिया का अंत!" - कबूतर ने उत्तर दिया।

"जरा सोचो," बूढ़ा कुत्ता कुतिया के कान में फुसफुसाया, "बिल्ली के साथ चलते हुए, बेचारे स्वैलो को यह भी संदेह नहीं है कि स्ट्राइप्ड उसे निगलने के मौके का इंतजार कर रहा है।"

“बदमाश,” कुतिया ने अफसोस जताया, “तुम और क्या उम्मीद कर सकते हो? वह इसे निगल जाएगा, वह निश्चित रूप से इसे निगल जाएगा।”

"क्या अविवेक है, आह-आह-आह," ड्रेक ने चिल्लाया। - मूर्ख निगल. यह खतरनाक और अ-नैतिक है! वह बिल्ली से ऐसे बातें करती है मानो वह बिल्ली ही न हो। और वह एक बिल्ली है, और उससे भी बदतर: एक टैबी। एक अपराधी, आप उसके कपड़ों से देख सकते हैं कि वह एक अपराधी है।

"हाँ हाँ हाँ हाँ। आख़िरकार, ड्रेक के साथ एक बत्तख, एक बिल्ली के साथ एक बिल्ली, एक मुर्गे के साथ एक मुर्गी..." बत्तख ने सहमति व्यक्त की।

पेड़ भी फुसफुसाते थे, खासकर जब हवा उन्हें उड़ा देती थी:

“यह कहाँ देखा गया है? ऐसा कहाँ देखा गया है? आपने यह कहाँ देखा है?

और फूल. प्रत्येक ने अलग-अलग पृथ्वी को आश्वस्त किया:

"निगल बिल्ली की पत्नी नहीं हो सकती, नहीं हो सकती!"

और सभी एक स्वर में:

"यह एक नश्वर पाप है!"

“हमारी बेटी,” क्रोधित पिता ने कहा, “अनुचित व्यवहार कर रही है।” वह टैबी बिल्ली के साथ चल रही है।"

माँ ने उत्तर दिया, "हमारी बेटी की शादी का समय आ गया है।"

“लेकिन किसके लिए?”

“कोकिला के लिए. वह पहले ही उसका हाथ मांग चुका है।"

कोर्ट ने इस शादी को दी मंजूरी:

"क्या पार्टी थी! बुलबुल सुंदर है, मधुर है, सुंदर गाती है और पक्षियों में से एक है! और आपने निगल और बिल्ली को शादी करते कहाँ देखा है, कहाँ?”

और तोता:

"आमीन, आमीन, आमीन!")

शरद ऋतु

और फिर शरद ऋतु आ गई. पेड़ों से पत्तियाँ उड़ गईं। मैं अपने आप को गर्म करने की कोशिश करते हुए टहलने लगा; एक ठंडी, घरघराहट भरी हवा आँगन से होकर गुज़री और बादलों को अपने साथ ले आई। आकाश धूसर हो गया और भौंहें चढ़ गईं। वर्ष का समय बदल गया है, और टैबी बिल्ली के प्रति आंगन का दृष्टिकोण भी बदल गया है। नहीं, उन्होंने उससे नफरत करना बंद नहीं किया, उन्होंने उसके आपराधिक अतीत को याद करना बंद नहीं किया। नहीं। लेकिन उन्होंने डरना बंद कर दिया. और दयनीय गपशप और गपशप अफवाहों में बदल गई। पहले, यदि आपको याद हो, तो बिल्ली, अपनी एक हल्की सी खुली आंख से, अपने आस-पास के लोगों में खौफ पैदा कर देती थी। और अब? अब कोई भी उससे नहीं डरता था और सभी लोग ज़ोर-ज़ोर से निगल के साथ उसके घूमने की निंदा करते थे। क्यों? हाँ, क्योंकि बिल्ली पूरे वसंत में खुश और प्रसन्न थी। उसने किसी को धमकी नहीं दी, फूलों को नहीं कुचला, अपने बालों को ऊपर नहीं उठाया, फुफकार नहीं की, अपनी मूंछों पर ताव नहीं दिया। वह नरम और मिलनसार हो गया. वह उन लोगों का अभिवादन करने वाले पहले व्यक्ति थे, जिनसे उनकी मुलाकात होती थी, पुराने दिनों की तरह नहीं, जब वह उन्हें संबोधित "शुभ दोपहर" के जवाब में अपना कान भी नहीं घुमाते थे।

शायद मैं यह भी नोट करूंगा कि वह दयालु और उदार हो गया था, और मैं उसके जीवन के सबसे आश्चर्यजनक तथ्य के साथ अपने बयान का समर्थन करने की कोशिश करूंगा: बिल्ली ने रैटलस्नेक को बाहर निकाल दिया जब वह फिर से यार्ड में स्वागत करने के लिए तैयार हुआ। वहां मौजूद हर कोई छिप गया, यहां तक ​​कि बहादुरी से भौंकने वाला डेन पिल्ला भी।

और बिल्ली... ने सांप पर हमला कर दिया, और अपने पंजों के प्रहार से उसकी छलांग रोक दी। और वह चली गई और फिर कभी सामने नहीं आई।

लेकिन केवल स्वैलो ने ही बिल्ली के कार्य की सराहना की। बाकी सभी ने माना कि जो हुआ वह बिल्ली की हीरो की तरह दिखने की इच्छा थी। गाय को बस इस बात का अफ़सोस हुआ कि साँप को हार का सामना करना पड़ा। और तोते ने इस घटना को "एक सामान्य घमंड" माना।

तो बिल्ली की बदनामी इतनी ही खराब रही। सिवाय इसके कि हर कोई अब यह मानने लगा था कि हालाँकि बिल्ली बुरी थी, लेकिन वह खतरनाक नहीं थी। कम से कम अभी. वह बूढ़ा हो गया होगा और अब उसमें पहले जैसी ताकत नहीं रही होगी, और इसीलिए वह सभी के साथ अच्छे संबंध बहाल करने की कोशिश कर रहा है। तोते को यह भी भ्रम होने लगा कि वह स्ट्राइप्ड से दोस्ती कर लेगा और अपने दुश्मनों के खिलाफ उसका इस्तेमाल कर सकेगा। ठीक है, कम से कम उस ड्रेक के ख़िलाफ़ जो उसकी पीठ पीछे उसके बारे में हर तरह की घृणित बातें बुन रहा है। बिल्ली ने तोते के साथ मेल-मिलाप को धैर्यपूर्वक सहन किया (आखिरकार, वह निगल को भगवान का कानून सिखाता है), लेकिन उसने मैत्रीपूर्ण संबंधों को त्याग दिया। जिस पर नाराज तोते ने तुरंत एक नए संकेत के साथ जवाब दिया: बिल्ली इतनी दयालु है क्योंकि वह निराशाजनक रूप से बीमार है। वह मृत्यु के कगार पर है और अपने पापों का प्रायश्चित करने के लिए तैयार है।

लेकिन किसी भी परिस्थिति में आपको उपरोक्त सभी को दुनिया की बुराई समझने की गलती नहीं करनी चाहिए। आख़िरकार, बिल्ली की बदनामी आज पैदा नहीं हुई, वह पुरानी और जड़ हो चुकी है। और इसलिए, उनके आस-पास के लोग यह कैसे समझ सकते थे कि निगल बिल्ली, जो बिल्ली के जीवन में आई, ने एक ही बार में सब कुछ बदल दिया? वे उदास, उदास उपस्थिति के पीछे और सिरों पर खड़े बालों के नीचे एक कोमल हृदय कैसे देख सकते थे?

और यह इतना कोमल था कि यह शरद ऋतु की पहली सुबह में पद्य में बदल गया। स्ट्राइप्ड ने एक सॉनेट लिखा। खुद को अपने फर कोट में लपेटते हुए, कैट (वह ठंड के प्रति संवेदनशील था) ने अपने पंजे और अक्षरों को मोड़ते हुए गिनती की और एक मोटे शब्दकोश में छंदों की तलाश की, जिसके लेखक प्रसिद्ध व्याकरणविद् एंटिएटर-फिलोलॉजिस्ट, एक शिक्षाविद् थे, जिन्होंने प्राप्त किया था। एक राष्ट्रीय साहित्यिक पुरस्कार. हाँ, बिल्ली एक सॉनेट लिख रही थी। मुझे कैट के इस एकमात्र साहित्यिक कार्य की एक प्रति एक बहुत ही गंभीर व्यक्ति से मिली, जो अदालत की सभी परेशानियों से दूर रहता है, टॉड कुरुरू से, जो मक्खियों को पकड़ने से अपने खाली समय में, एक महत्वपूर्ण विश्लेषण में लगे हुए थे। उनकी राय में, ये बहुत बुरी कविताएँ हैं। इसके अलावा, टॉड ने साहित्यिक चोरी, राक्षसी साहित्यिक चोरी की खोज की।